Cuaderno de trabajo de precalculo individual

~ 2 ~

PRESENTACION DEL ESTUDIANTE

Apellidos:

………………………………………………………………….………..….

Nombre (s):

………………………………………………………………………………

Matrícula:

…………………………………………………………………..……………

Profesor (a):

…………………….…………………………………………………………

Grupo o Sección:……………………………………………………………..

………………………………………………………………………………

Universidad o Instituto:

…………………………………………………………………………….….

Fechas de Entrega:

………………………. ………………………. ……………………

~ 3 ~

INDICE

Página

Práctica 6. Funciones, ecuaciones exponenciales y logarítmicas………….……………4

Práctica 7. Vectores…………………………………………………………………….19

Práctica 8. Matrices……………………………………………………………………..22

Práctica 9. Sistema de ecuaciones………………………………………………………29

Práctica 10. Trigonometría………………………………………………………...…….41

Práctica 11. Números complejos………………………………………………......…….56

Práctica 12: Coordenadas polares…………………………………………………….…75

Práctica 13. Sólidos de revolución…………………………………………………..…78

Modulo 14. Razonamientos lógicos matemáticos……………………………..……….80

Bibliografía:……………………………………………….…………………….………86

~ 4 ~

ESTUDIOS MATEMATICOS ARGENTERA

Matemática Básica

Práctica # 6: Funciones y ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas.

Nombre: ___________________________Matrícula:________________________

Profesor: ___________________Sección: _______________Fecha:_____________

I. Contesta correctamente cada pregunta.

1. Hable sobre la importancia de las ecuaciones exponenciales.

2. Qué es una función exponencial?

3. Exponga las propiedades de las ecuaciones exponenciales.

4. Defina logaritmo:

5. Cuáles son los tipos de logaritmos?.

6. Exponga las propiedades de las funciones logarítmicas.

~ 5 ~

7. Cuáles son las partes de un logaritmo?.

8. Qué es un antilogaritmo?.

9. Defina cambio de base logaritmo.

10. Qué es una ecuación exponencial?

11. Qué es una ecuación logarítmica?.

12. Enuncie las leyes logarítmicas y ponga ejemplos.

II. Graficar las siguientes funciones exponenciales .

21) f ( ) 2xx

~ 6 ~

2) ( ) 3 xg x

3 21

2) ( )4

x

g x

63) Q( )

5

x

x

~ 7 ~

I. Graficar las siguientes funciones logarítmicas en el intervalo deseado

32) y log x

103) log ( 3)y x

3

5

4) logy x

~ 8 ~

II. Buscar con la calculadora los logaritmos siguientes. Dejar cuatro cifras

signficativas despues del punto.

1)log5

2)log179632

43)log 649

94)log 765

65)log 36

6)log0.000089

347)log 7000

88)log 0.25

499)log 7=

~ 9 ~

III. Sabiendo que potenciacion y la Radicación son operaciones inversas,

Cambiar de una función a otra en las siguientes expresiones.

21)log 25 2

32)5 125

3)logR P N

54)log 1 0

5) KW Z

IV. Busque el valor de x en las siguientes expresiones.

21)log 5x

2)log 8 3x

~ 10 ~

33)log 243 x

44)log 2 x

105)log 2x

6)log 81 3x

~ 11 ~

V. Aplicar las propiedades logarítmicas en:

1) loga

3

2 4

x w

y z

2) log 3 z

x y

3) ln7

45

x

y z

4) ln23 /y z

~ 12 ~

5) 320 80 30 3

log65 3 10 5

6)

3

5

3 80log

100

7)

3 2 2 5

2 2 4

3 4 2 3log

5 9 2

8)

2 2 54

33

365 20 3 80 2log

5 80 3

~ 13 ~

VI. Expresar como un solo logarítmo:

2 21)log loga b

2)log logy yx n

3) log log logn b c

3 3 3 34) og log log logm x b a

2 2 25)log log 2logA B C

5 5 56) 2(log 2log 3log )x y z

~ 14 ~

VII. Busca el antilogaritmo de :

1) 2.74973632=

2) 0.602060=

3)5.3254647483

4) -10.39794=

5).00000000075

VIII. Realizar las siguientes ecuaciones exponenciales:

2 1 6 51)7 7x x

4 2 2 32)3 9x x

~ 15 ~

2 3 5 23)25 5 5x x x

2 15 304) 4 16x x

2 1 3 5 25) 27(3 9 ) 3x x x

6)

1(4 )

(9 3) 427 9x

x

~ 16 ~

7) 2-(x+2)

= 16-x+10

8) 32x-1

= 243-x-1

9) 6 x-5

= 36(x+1)/2

10) 7x+2 = 343

11) ex+28 = e

6

~ 17 ~

IX. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

31)log 81 x

22) 1 1 2 2Ln x Ln x

3) 2 2 26 14Log x Log x Log x

4) 4 4(2 3) 5 1Log x Log x

5) (2 1 3 2)Lo xg Log x

~ 18 ~

6) 5 5

10(4 5)

2Ln Ln

xx

7) 2 2 2 28 4) 10( ( 2)Log x Log x Log x Log x

Bienaventurado el hombre que puso en jehova su confianza, y no mira a los soberbios,

ni a los que se desvian tras la mentira.(Salmos; 40:4)

~ 19 ~


Matemática Básica

Práctica # 7: Vectores


Profesor: _________________Sección: _______________Fecha:_____________

I) Grafica los siguientes vectores en los puntos dados.

1) A(1,-2); B(4,8)

2) P(-1,0); B(3,-6)

3) A(0,0); B(3.5,-2)

4) P(-2,7); B(4,-1)

~ 20 ~

II) Obten los vectores unitarios asociados a los siguientes vectores.

* ( 6, 2)

* (1, 2, 6)

* (0,3, 4)

* (1,0,1,3)

P

Q

R

W

III) Realiza las siguientes operaciones vectoriales.

* ( 6,8) (3,0)

* (1,2, 6) 4( 1, 5,4)

* 3(0, 1,7) (1/ 2,1, 9)

* ( 3,4 5,4) 2(8,6,0,1)

IV) Determina los siguientes productos interior y el ángulo comprendido.

~ 21 ~

* ( 6,8); (3,0)

* (1,5); ( 3, 4)

* ( 2,1); (2 / 5, 4)

* ( 3,6); ( 6,1)

P W

P r

A B

P Q

Ningún hombre puede huir de su propia historia. Anónimo

~ 22 ~


Matemática Básica

Práctica # 8: Matrices



I. Defina correctamente los siguientes conceptos y ponga ejmplos: a) Vector fila:

b) Vector columna:

c) Matriz:

d) Matriz simétrica:

e) Matriz anti-simétrica:

f) Determinante:

~ 23 ~

II. Establezca la deiferencia entre los siguientes conceptos: a) Matriz diagonal y escalar:

b) Matriz escalar y diagonal:

c) Matriz cuadrada y rectangular:

d) Hable sobre el proceso para multiplicar dos matrices:

I. Resuelve las siguientes operaciones matriciales.

1) (

) (

)

2) (

) - (

) =

~ 24 ~

3) (

) + (

) =

4) (

) - (

) + (

) =

5) (

) (

)

6) ( )

(

)

=

~ 25 ~

7) (

) (

)=

II. Dada las matrices:

A=[

] B= [

] C= [

]

Hallar

8) 2A+B

9) 3A-2B

~ 26 ~

III. Calcular el determinante de las siguientes matrices. Usar Zarrus para las matrices 3x3.

1) A=(

)

2) B=(

)

3) C=(

)

4) D=(

)

~ 27 ~

IV. Buscar la determinante por el método triangular.

1) A=(

)=

2) B=(

)

3) C=(

)=

~ 28 ~

V. Calcular la matriz inversa de las matrices dadas.

) [

]

b)

“Sé sabio, hijo mío, y regocija mi corazón, para que pueda responder al que me está desafiando con escarnio.” (Proverbios 27:11).

3 15 2

4 7 9

8 31 5

~ 29 ~


Matemática Básica

Práctica # 9: Sistema de Ecuaciones.



I. Realiza todo lo pedido.

a) Establezca la diferencia entre matemática pura y aplicada.

b) Hable brevemente sobre la importancia de los sistemas de ecuaciones.

c) Defina sistema de ecuaciones.

d) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible.

e) Cuando un sistema de ecuaciones es incompatible.

f) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible determinado.

g) Cuando un sistema de ecuaciones es compatible indeterminado.

~ 30 ~

II-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el método de

sustitución.

a-3 13

3

x y

x y

b-2 3 20

3 13

x y

x y

2 4 15

) 5 1

2 8

x y w

c x y w

x y w

~ 31 ~

III-Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones usando el método de reducción.

5 3 8)

7 3 10

x ya

x y

6 4 2

) 8 2 56

2 4 6 86

x y

b x z

x y z

9 5 6)

11 34

k zc

k z

~ 32 ~

IV-Resuelve los sistemas de ecuaciones utilizando el método de igualación.

5 9)

3 2 11

x ya

x y

5 13 18

) 5 10

9 5 37

x y z

b x y z

x z

5 13)

9 3 27

x yc

x y

~ 33 ~

V-Resuelve por el método de Gabriel Crammer.

a) 3 2 11

4 3 26

x y

x y

c)20 30 9

25 10 5 0

x y

x y

) {

VI-Realiza los siguientes ejercicios utilizando el método de Gauss.

~ 34 ~

a)4 13 34

5 8

x y

x y

b)

2 11

2 9

5 10

x y z

x y z

x y z

~ 35 ~

C)

2 3 1

3 2 4

2 3 5

x y z

x y z

x y z

) {

~ 36 ~

VII. Resuelve por el método de Gauss Jordan.

) {

) {

) {

~ 37 ~

I. Resolver por el método gráfico.

) {

b)

2 6

2 3

5 8

x y z

x y z

x y z

~ 38 ~

IX. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:

) {

) { ( ) ( )

~ 39 ~

e)

5

5 1

Log x Log y

Log x Log y

X- Resuelve los siguientes problemas

a) La suma de 2 números es igual a 3 y la diferencia entre ambas cantidades es igual a 5.

Hallar los números.

b) El doble de un número más otro es igual a 7, y la suma del primero con el doble del

segundo es igual a 5. ¿Cuáles son estos números?

~ 40 ~

c) Una guagua con capacidad de 60 pasajeros realiza el viaje desde Santo Domingo a

Santiago y Puerto Plata. Los que viajan a Santiago pagan 60$RD y los que viajan a

Puerto Plata pagan 80$RD. Al término del viaje el dinero obtenido es 3,600$RD.

¿Cuántos pasajeros eran de Santiago y cuántos eran de Puerto Plata?

La habilidad podrá llevarnos a la cima, pero se necesita carácter para permanecer allí.

John Wooden.

~ 41 ~


Matemática Básica

Práctica # 10: Trigonometría.



I. Resolver los siguientes problemas por medio del teorema de Pitágoras.

a) Una cerámica de porcelanato es un cuadrado con catetos de longitudes de 50 cm.

Usar el teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la cerámica.

b) Un joven de 1.7 m de alturas se encuentra a una distancia de 5 metros de una pelota.

Que distancia recorre su mirada para poder ver la pelota diagonalmente, quedándose en

posición firme.

c) La pantalla de la laptop de Luisito se ha roto a la mitad y de largo mide 8 pulg. y de

ancho solo 6 pulg. ¿Que longitud la mitad de pantalla rota?.

~ 42 ~

d) Él bebe de Mauricio quiere subirse a la mesa, pero su salto no se lo permite y decidió

colocar una barra, pero él está a 80 cm de la mesa y del suelo a la mesa hay 125 cm.

¿Qué tamaño debe tener la barra para que esté totalmente diagonal?

II. Convertir los siguientes ángulos de grados a radianes

a) 90°

b) 145°

c) 75°

III. Convertir los siguientes ángulos de radianes a grados

a) 6

b) 13

2

c) 4

3

~ 43 ~

IV. Calcular los valores de las funciones trigonométricas del ángulo agudo

sabiendo que:

a) 3

sin7

b) 12

an13

c) 17

Sec5

V. Buscar las funciones trigonométricas del ángulo .

2

2

4

os

an

sec

ec

ot

Sen

C

T

Co

S

C

~ 44 ~

VI. Racionaliza el denominador:

2)

3 2

2)

5 3

3 4)

8 6

a

b

c

VII. Encontrar el valor numérico de las siguientes expresiones

trigonométricas

a- 30* tan 45Sen Co

b- 45 * 90 5 180

9045 270

Tan Sen CosCos

Tan Sen

c- 30 180 90Sen Cos Sen

d-

62 4 2

2 52 4

Sen Tan Cos

Cos Sen Tan

~ 45 ~

e- 2

tan 2 23 4

Tan Co Cos

f- cos60.tan 45 60

cos 45

sen

VIII. Resolución de triángulos rectángulos. Ilustre con un bosquejo.

a) Resolver un triángulo rectángulo donde la hipotenusa a= 50cm y uno de sus catetos es

c= 27 cm

b) Resolver el triángulo rectángulo donde un cateto es b= 5cm y B=50°20`

c) Una torre de 205 pies de altura proyecta una sombra de 183 pies. Calcule el ángulo de

elevación del sol

d) Un poste de luz de 15 m de altura proyecta una sombra de 10 m. calcula el ángulo de

elevación del sol.

~ 46 ~

IX. Aplicar ley de los senos para resolver los siguientes ejercicios

a- Resuelva el triángulo ABC, donde A=35°, B=49° y a=8

b- Resuelva el triángulo HIJ, donde H=60°, I=45° y j=3.7

c- Resuelva el triángulo OPQ, donde O=100°, Q=35° y o=22

~ 47 ~

X. Aplicar ley de los cosenos para resolver los siguientes ejercicios

a- Resuelva el triángulo ABC, donde B=131°, c=8 y a=13

b- Resuelva el triángulo HIJ, donde a=11, b=5 y J=20°

c- Resuelva el triángulo OPQ, donde o=28, p=35 y q=17

~ 48 ~

XI. Hallar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos a través

de la suma o diferencia.

a- 150°

b- 60°

c- 155°

~ 49 ~

XII. Hallar las funciones trigonométricas a través del ángulo duplo.

a) 30°

b) 90°

c) 150°

d) 180

~ 50 ~

XIII. Buscar las funciones trigonométricas a través del ángulo mitad.

a) 90°

b) 60°

c) 150°

~ 51 ~

XIV. Hacer uso de las identidades producto – suma para resolver los

siguientes ejercicios

a) 10 6Cos x Cos x

b) 9 10Sen x Cos x

c) 7 3Sen x Sen x

XV. Hacer uso de las identidades suma- producto para resolver los

siguientes ejercicios

a- 60 30Cos Cos

b- 90 40Sen Sen

c- 70 30Cos Cos

~ 52 ~

XVI. Resolver las siguientes ecuaciones trigonométricas

a) 2 0CosxSenx Cosx

b) 2 0Tanx Cosx Tanx

c) 2 3Tan x

d) 4 1Tan

e) 22 2 3 3sen Sen

~ 53 ~

XVII. Calcular el valor de x.

~ 54 ~

XVIII. Resuelva los siguientes problemas con aplicación de triangulo

rectángulos

a) Parado a 85 pulgadas del edificio #1, el ángulo de elevación del lugar en cual estoy

hasta el punto más alto del edifico es de 60°. Encuentre la altura del edificio.

b) Henry coloca su cámara en un trípode para poder fotografiar la bandera. El está alejado

120 pies de la misma, pero el trípode está a 5 pies por arriba del suelo. Mide un ángulo

de elevación de 15° sobre la horizontal a lo alto de la bandera. ¿Cuál es la altura de la

bandera?

c) Una chichigua se queda atorada en un árbol. Si el hilo de 90 pies forma un ángulo de

22° con el suelo. ¿A qué altura estará la chichigua del suelo?

~ 55 ~

d) Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa copa

bajo un ángulo de 30° y si nos acercamos 10 m, bajo un ángulo de 60°.

e) Un poste está amarrado al suelo por dos cuerdas de 4 y 5 metros cada una, ubicadas en

sentido contrario una de la otra. Si las bases de las cuerdas están colineales con la base

del poste, y se encuentran a 7 m de distancia entre ellas:

a) ¿Qué ángulo forma cada cuerda con el piso?

b) ¿Cuál es la altura del poste?

La belleza de una flor depende del jardinero que tenga atrás.

Wilton Oltmanns

~ 56 ~


Matemática Básica

Práctica # 11: Números Complejos.



I. Descomponer las siguientes raíces:

Ej.: 9 9· 1 3i

a) 36

b) 2 16

c) 81

d) (23 39)

e) 144

f) ( 117 139)

g) 8

~ 57 ~

II. Exprese en su forma equivalente más simple las siguientes potencias de i.

Ej.: 24 0 1i i es que se coge el residuo y en este caso es cero 246

0

24 4

a) 153i

b) 264i

c) 519i

d) 30i

e) 384i

f) 85i a)

~ 58 ~

III. Encuentra el opuesto de:

(27 5 )

2) ( 3 )

2

) (17 15 )

) ( 3 5 )

) ( 3 5 )

( 1 3

( 27 5

)

)i

a i

b i

c i

d i

e i

i

IV- Encuentra el cojugado de:

1)5 9

2)1 1

3)40 - 25

7 64) -

2 2

5)8 41

6)53-

i

i

i

i

i

i

~ 59 ~

1

2 2

1

2

v. Encuentra el reciproco:

Observar los siguient

1 3 5 3 5 3 5 3 5

9 15 15 25 9 2

es ej

5

emplos:

9 25 34

-3-5i(3 5 -3+5i) .

-3+5i -3-5i

6 101 6 10 6(6 10 ) .

6 10 6 10 36 60 60 1006 10

i i i i

i i i i

i ii

i i i i i

i

i

2

) 10 3

10 6 10 6 10

36 100 36 100 1

) 12 75

) 28 40

) 7 4

) 1

36

a i

b i

c i

d

i

i

i

i

i i

e

~ 60 ~

VI. Representa en forma binómica los siguientess pares ordenados.

1) (4,3 ) =

2) (8,-2 ) =

3) (-31,-7 ) =

4) (-2,4 ) =

1 15) ( , ) =

5 3

6) (-41,19 ) =

7) (1,-3 ) =

8) (9,-6 ) =

2 39) (- ,- )

4+3

8-

= 3

2

2

10)

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

(2,5 ) =i VII. Realiza las siguientes operaciones.

Ej.: 3 5 7 3 3 7 5 3 (10 8 )i i i i i

(5 6 )(4 3 ) (20 18) (15 24) 38 39i i i i

a) 5 6i 4 2i

b) 22 6i 17 30i

c) 25 3i 13 6i

d) 84 22i 11 7i

e) 4 7i 12 9i

f) 9 7i 9 7i 5 4

~ 61 ~

g) (10 5 ) (14 8 )i i

h) (8 19 ) (19 3 )i i

a) (3 2 )(2 )i i

b) (2 2 )( 2 2 )i i

c) ( 6 )(4 6 )i i

d) (4 2 )(5 3 )i i

e) (5 15 )(10 9 )i i

3 1

4 4i i

~ 62 ~

VIII. Realiza las siguientes divisiones de complejos:

Ej.:2 2

2 5 1 2 (2 10) (4 5 ) 8 9 8 9

1 2 1 2 1 2 5 5 5

i i i i ió i

i i

a) 5

3 i

b) 2 3

3 2

i

i

c) 10

1

i

i

d) 7 3

5

i

i

e) 2 3

4 6

i

i

IX. Escribe el reciproco de los siguientes números complejos:

a) (2 3 )i

b) ( 6 15 )i

c) 2

( 12 )3

i

~ 63 ~

d) (5 7 )i

e) ( 9 2 )i

f) 2 3

( )5 2

i

X. Encuentra el recíproco de:

) 1 8

) 6

) 7 6

) 7 4

) -4 7 )

a i

b i

c i

d i

e i

XI. Calcule el módulo y argumento de los siguientes números complejos

Ej.: 2 2(3 4 ) 3 4 3 4 9 16 25 5i i

1 14arg. tan ( ) tan (1.3333) 53.1294

3

M y ARG. = 53.12945

1. (8 5 )i

~ 64 ~

2. (3 15 )i

3. (2 8 )i

4. (6 3 )i

5) 5 5

6) 3

7)1 6

i

i

i

~ 65 ~

XII. Use el teorema de De Moivre para efectuar los siguientes cálculos y

exprese los resultados en forma bionomía:

a) 2

3 35(cos )

2 2isen

b) 4( 3 4 )i

c) 3(1 3)i

d) 3

2(cos )3 3

isen

~ 66 ~

e)

4

3 33 cos

2 2isen

f)

5

26

2i

~ 67 ~

XIII. Grafica los siguientes números complejos.

) 4 3

) 13 3

) 1

1 5)

2 8

a i

b i

c i

d i

X

~ 68 ~

2 2

XIV. Expresa en forma trigométrica:

5 6 25 36 61 7.81

6tan ( ) 50.1

: 5 6

)

9 7.81(cos50.19 5

4

) 2 5

) -6 6

) 3 3

) 8 4

1) 5

2

0.19)5

Ejemplo i

a i

b i

i i

c i

d i

e

i

n

i

f

se

~ 69 ~

XV. Representa en forma binómica los siguientes pares ordenados:

0

) 2 45 45

) 5 180 180

) 4 60 60

) 2 3 60 90

) 2 90 90

o o

o o

o o

o o

o

a Cos iSen

b Cos iSen

c Cos iSen

c Cos iSen

d Cos iSen

~ 70 ~

XVI Gr fica los siguientes complejos :

1, 4

5,

3, 4

1,0

10,

4

á

a i

b i

c i

d

ei

~ 71 ~

Determinar el Argumento de los siguientes n meros complejos :

) 3 3,

) 1, 3

) 2, 2

) 0,5

) 3,0

XVII ú

a i

b i

c i

d i

e i

~ 72 ~

90

6

XVIII. Expresa en forma trigonom trica :

) 5

) 3

) 3

) 3,3

) 3,3 3

é

a

b

c i

d i

e i

~ 73 ~

XIX. Expresar En Forma Polar :

) 3 30 30

) 1

) 5 180 180

) 3, 5

o o

o o

a Cos iSen

b i

c Cos iSen

d

~ 74 ~

2

5

3

7

6

XX. Determine cada potencia indicada usando el m todo De Moivre

y exprese en Forma Polar :

8 5

2 4

1 3

25 9

( 81 )

é

a i

b i

c i

d i

e i

La lectura hace al hombre completo. La conversación lo hace ágil. La escritura lo hace preciso.

Francis Bacon

~ 75 ~


Matemática Básica

Práctica # 12: Coordenadas Polares.



. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas

coordenadas polares son dadas.

a) 2,

b) 3, 2

c) 1, 2

3d) 4,

2

I

~ 76 ~

. Convierta de coordenadas polares a rectangulares.

1) 8 ,

22) 1 ,

3

33) 5,

4

4) 4,3

II

~ 77 ~

. Convierta a coordenadas polares.

a) 0,5

b) 2, 4

c) 1, 7

d) 2, 5

. Graficar.

1) R 3

22) R= cos

3

3) R=2sen

III

IV

B

B

~ 78 ~


Matemática Básica

Práctica # 13: Sólidos de Revolución.



1. Hallar el volumen de un cono de 9cm de radio y 25 de altura

2. El radio y la altura de un cono miden 7 y 15 cm respectivamente.

3. Calcule el volumen de un cilindro, cuyo diámetro mide 10m si su altura es de 26m.

4. Halle el volumen de un cilindro de 10m de altura si el radio es igual a 1/2 de la altura.

~ 79 ~

5. La altura de un cilindro mide 4cm y el radio de su base es igual al triple 3 de la altura

disminuida en 5. ¿Calcule su volumen?

6. El diámetro de una esfera, es igual al duplo del valor de pi disminuido en 3,

Determine su volumen.

7. El volumen de una esfera mide 66,96cm3, ¿Calcule su radio?

8. Calcular la superficie de un cono de 15cm de generatriz si el diámetro de la base mide

4/5 de ella.

9. L a superficie de un cono recto es 678.24cm2. Calcular la generatriz si es igual a 5/3 del

radio de la base.

Gastar dinero en los libros es una inversión que rinde buen interés.

Benjamín Franklin

~ 80 ~


Matemática Básica

Práctica # 14: Razonamientos Lógicos Matemáticos.

I. Indique el valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes:

p: 2 es un número impar. v(p)=

q: 7 es un número primo. v(q)

r: 5/7 no es un número entero. v(q)=

s: Santo Domingo es un país. v(s)=

t: La tierra gira alrededor del sol. v(t)=

II. A continuación se presentan una serie de proposiciones. Indique con una C

las que son compuestas y con una S las que son simples.

1.___ Carlos es un nombre de persona.

2.___ El invierno es una estación del año y Juan Pablo Duarte descubrió a América

3.___ Venezuela es uno de los países de mayor producción petrolera.

4.___ 3+2 =5 y 5 es un número primo.

5.___ 6 es un número positivo si y solo si es mayor que cero.

III. Dados p: El invierno es frío; q: Diana es estudiosa, r: La salamandra es un

animal vertebrado. Escriba en lenguaje coloquial:

a) ~p

b) ~q

c) ~r

d) p ~q

e) ~q ~r

~ 81 ~

f) (p q) r

g) (p ~q]) ~r

h) ~r (p q)

i) (q ~r) (~p q)

j) ~s ~ q

k) q ~r

l) ~p [(p q) (~q r)

2. Exprese en lenguaje matematico cada una de las siguientes proposiciones:

a) _________ El invierno es frío y Diana es estudiosa.

b) _________ (La salamandra no es un animal vertebrado y Diana no es inteligente) o

el invierno no es frío.

c) _________ El invierno es frío o la salamandra es un animal vertebrado.

d) _________ Diana no es estudiosa y (el invierno es frío o la salamandra es un

animal vertebrado).

e) _________ (Diana es estudiosa y el invierno es frío) y (la salamandra es un animal

vertebrado o el invierno no es frío).

f) _________ Si el invierno es frío y Diana es estudiosa entonces la salamandra es un

animal vertebrado.

g) ________ Si la salamandra no es un animal vertebrado si y solo si Diana es

estudiosa.

h) ________ El invierno no es frío y Diana es estudiosa y solo si la salamandra es un

animal vertebrado.

i) _________ Si el invierno no es frío o la salamandra es un animal vertebrado,

entonces Diana no es estudiosa.

~ 82 ~

IV. Construye la tabla de verdad de cada una de las proposiciones

siguientes:

1) p ~q

2) (p q) r

3) ~p ~q

4) (~p ~q) ~r

5) (p q) (p r)

6) ~p [q (r s)]

7) (~p ~q) (~p s)

8) ~p s

9) (p ~r) q

10) [(~p ~r) (q ~p)] (~r ~p)

V. Dadas las proposiciones siguientes realice la tabla de verdad de cada

una de ella e indique cuales son tautología, contradicciones o

contingencias.

1. [p (p q)] q

2. (pq) (p ~q)

3. ~p (p q)

4. (~p ~q) (~p q)

5. [q (~p q)] q

VI. Si A= {0, 1, 2, 3, 4, 5} determine el valor de verdad de cada una de las

proposiciones siguientes:

1. x A; 4 x < 20

2. x A; x 2 - 1 ≥ 0

3. x A; 3x + 6 > 4 x

4. x A; x 2 + 2x = 0

5. x A; 4x + 1 > 20

6. x A; x 2 - 2x > 5

~ 83 ~

VII. Resolver los siguientes problemas lógicos:

1. Un pastor tiene que pasar un lobo, una cabra y una lechuga a la otra orilla de un río,

dispone de una barca en la que sólo caben él y una de las otras tres cosas. Si el lobo se

queda solo con la cabra se la come, si la cabra se queda sola con la lechuga se la come,

¿Cómo debe hacerlo?

2. Un hombre tiene RD$100.00 con los cuales debe comprar 100 animales de tres

variedades. Solo que el precio es el siguiente, vaca a RD$10.00, chivo a RD$ 5.00 y

pollos a 0.50 centavos. Como lo haría el hombre para con los 100 pesos comprar 100

animales.

3. Un oso camina 10 Km. Hacia el sur, 10 hacia el este y 10 hacia el norte, volviendo al

punto del que partió. ¿De que color es el oso?

4. Un hombre está al principio de un largo pasillo que tiene tres interruptores, al final hay

una habitación con la puerta cerrada. Uno de estos tres interruptores enciende la luz de

esa habitación, que está inicialmente apagada. ¿Cómo lo hizo para conocer que

interruptor enciende la luz recorriendo una sola vez el trayecto del pasillo? Pista: El

hombre tiene una linterna.

~ 84 ~

5. Un prisionero está encerrado en una celda que tiene dos puertas, una conduce a la

muerte y la otra a la libertad. Cada puerta está custodiada por un vigilante, el prisionero

sabe que uno de ellos siempre dice la verdad, y el otro siempre miente. Para elegir la

puerta por la que pasara solo puede hacer una pregunta a un solo de los vigilantes.

¿Cómo puede salvarse?

6. Tenemos doce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso

ligeramente superior. Usando una balanza de platillos y con solo tres pesadas encontrar

la moneda diferente.

7. Tres amigos con dificultades económicas comparten un café que les cuesta 30 pesos, por

lo que cada uno pone 10. Cuando van a pagar piden un descuento y el dueño les rebaja 5

pesos tomando cada uno un peso y dejando dos en un fondo común. Más tarde hacen

cuentas y dicen: Cada uno ha pagado 9 pesos asi que hemos pagado 9x3=27 pesos que

con los dos del fondo hacen 29 ¿Dónde está el peso que falta?

8. Un encuestador se dirige a una casa donde es atendido por una mujer: ¿cantidad de

hijos? Tres dice ella. ¿edades?, El producto de las edades es 36 y la suma es igual al

número de la casa, responde. El encuestador se va pero al rato vuelve y le dice a la

mujer que los datos que le dio no son suficientes; la mujer piensa y le dice: tiene razón,

la mayor estudia piano. Esto es suficiente para que el encuestador sepa las edades de los

hijos. ¿Cuáles son?

~ 85 ~

9. El alcaide de una cárcel informa que dejara salir de la prisión a una persona al azar para

celebrar que hace 25 años que es alcaide. Eligen a un hombre y le dicen que quedará

libre si saca de dentro de una caja una bola blanca, habiendo dentro 9 bolas negras y

solo 1 blanca. El prisionero se entera por un chivatazo que el alcaide pondrá todas las

bolas de color negro, al día siguiente le hace el juego, y el prisionero sale en libertad.

¿Cómo ha conseguido salir de la cárcel si todas las bolas eran negras?

10. Un excursionista es capturado por caníbales y le dicen: Si dices una mentira te matamos

lentamente y si dices una verdad te matamos rápidamente. ¿Qué dice para que no lo

maten?

Son nuestras escogencias y no la suerte la que determinan nuestro

destino.

Jean Nidetch

~ 86 ~

Bibliografía

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Revisado 4 de Septiembre del 2013.

Wilton Oltmanns

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