Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

LF 03220025103327ISBN 980-345-249-5

1

PROLOGO

El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos de 2do de Ciencias, refleja en

forma sencilla y práctica los objetivos básicos del programa de Matemática de 2dode

Ciencias.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento de guía que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de

aprendizaje dentro y fuera del aula.

Los Teques, Mayo del 2003

2

Agradecimientos:

Por su valiosa colaboración en revisar, corregir y anexar planteamientos y

ejercicios:

Prof. Miguel Carmona

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U.E.P.”Gran Aborigen

U.E.N.”Teresa de la Parra

U . N . E . O . P . E .M

3

Contenido

.- Sistema de Coordenadas, función real........4,5

.- Representar puntos en el plano...............5

.- Función real de variable real...................5,6

.- Graficar funciones reales, tipos de funciones reales.........6,7

.- Dominio en funciones continuas y discontinuas...............7,8,9

.- Función exponencial ..............9,10,11

.- Función logaritmo.............11,12,13

.- Logaritmo decimal o Briggs.............13

.- Logaritmo Neperiano................14

.- Propiedades de los logaritmos..............14,15

.- Antilogaritmo, característica y mantisa de los logaritmos...........15,16,17

.- Cologaritmo de un logaritmo............18

.- Ecuaciones exponenciales............19,20

.- Números complejos...............20,,21,22,23,24,25,26

.- Bibliografía..............27

4

Sistema de Coordenadas:

y

x

Cuando las rectas secantes en el plano son perpendiculares, el sistema cartesiano

se llama rectangular u ortogonal.

Se dice que hay relación en el plano, ya que hay que buscar la forma de unir dos

puntos de dos rectas.

L´

L

0

Trazamos por un punto (p) cualquiera recta paralela dada, cuyos puntos de corte

son (a y b).

b L’ p

L

0 a

5

Se observa que el par (a,b) representan rectas reales del mismo origen, entonces

(a,b) ε R x R.

Representar puntos en el plano:

1) Situar los puntos. a(3,2) ; b(2, -1) ; c(1, -2)

y

3

2 a

1

-1 0 1 2 3 x

-1 b

-2 c

Función real de variable real:

Son las funciones de la forma f: x R en donde x es un subconjunto de R(x

R).

Variable: es una letra que representa indistintamente cualquiera de los elementos

de un conjunto de números. A este conjunto de números se le llama dominio de la

variable.

6

En la aplicación f : x R, como x es un subconjunto de R, llamamos x a

cualquiera de los números del conjunto x, es decir, x es la variable independiente

porque se le dan valores arbitrarios.

Graficar funciones reales:

Pasos:

a) Se calculan las imágenes de los elementos del dominio según la función dada.

b) Se calcula los pares y con ellos se elabora una tabla de valores en forma

vertical u horizontal, según el número de puntos.

c) Se dibuja en un sistema cartesiano ortogonal los pares.

Tipos de funciones reales:

a) Funciones algebraicas.

b) Funciones trascendentes.

c) Funciones directas.

d) Funciones inversas.

Representa los puntos en el plano:

1) a(3,6) ; b(-3,()) ; c(-5,-.3)

2) a(2,-4) ; b(4,3) ; c(-2,-5)

3) a(2,1) , b(5,-8) ; c(-2,-4)

4) a(3,9) ; b(5,-3) ; c(-6,4)

7

Representa las siguientes funciones reales:

1) f(x) = 3x –1 donde x = {-2, -1,0,1,2}

2) f(x) = x2+ 3 donde x = {-2, -1,0,1,2}

3) f(x) = -x –5 donde x = {-2, -1,0,1,2}

2

4) f(x) = x donde x = {2,4,9,16}

El Dominio en funciones continuas y discontinuas:

Cuando las funciones tienen como denominador la variable o una función de ella,

es necesario determinar para que valores de x dicho denominador se anula; pues

como no está definida la división por cero, estos valores hay que eliminarlos, por lo

tanto, para determinar el dominio de dichas funciones se procede así:

a) Se iguala a cero el denominador.

b) Se resuelve la ecuación resultante.

c) Se excluyen las raíces de la ecuación anterior.

Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = 2

x + 1

x + 1 = 0 donde x = -1

R – {-1} dominio es todo el campo real menos (- 1)

8

Calculo del Dominio en una raíz:

Cuando las funciones tienen bajo el signo de raíz de índice par a la variable

independiente x, es necesario que dicha parte radical sea cero o positiva, para que la

función esté definida, por lo tanto, para determinar el dominio de este tipo de

funciones, se procede así:

1) Se forma una inecuación con la parte subradical mayor o igual a cero.

2) Se resuelve dicha inecuación.

3) La respuesta de dicha inecuación es el dominio.

Ejemplo: Determinar el dominio f(x) = x+3

x + 3 0 x -3

-3 -2 -1 0 1

-3,

Determina el dominio de las funciones:

1) f(x) = 3x 2) f(x) = 4x - 2

x2-4 3x – 6

3) f(x) = 3x + 1 4) f(x) = x

x2+5x+6 x2 – 9

9

Determina el dominio de las raíces:

1) f(x) = 2x-4 2) f(x) = x – 1

3) f(x) = x2- 4x + 3 4) f(x) = 6x + 12

Definir la función exponencial con exponente real:

R f(x) = ax R*+

Significa que dado un número R, obtendremos una imagen R*+, a través

de la expresión f(x) = ax, siendo a 0 y a 1.

Como al hacer operaciones con números irracionales los sustituimos por su

expresión decimal aproximada, al potenciar con exponentes irracionales, sustituimos

el exponente irracional por su expresión decimal aproximada.

10

Ejemplos: 1) a2 = a1,41 2) a = a3,1416

Propiedades de la función exponencial mediante su crecimiento o decrecimiento:

a) Crecimiento: cuando la función es creciente, o sea que los valores muy

grandes, se obtienen valores también grandes de f(x). Se dice que la función

es sobreyectiva porque el rango y el conjunto de valores coinciden, es decir,

todos los elementos de R*+ tienen contraimagen.

Es inyectiva porque a elementos diferentes de R, corresponden elementos

diferentes de R*+.

Como es sobreyectiva e inyectiva, es biyectiva.

y = f(x)

x

b) Decrecimiento: la función es decreciente, porque para valores positivos muy

grandes de x, se obtienen valores muy pequeños de f(x), y para valores

negativos muy grandes de x se obtienen valores muy grandes de f(x).

11

y = f(x)

x

Resuelve y grafica las funciones exponenciales:

1) f(x) = 2x donde x =1,2,3,4 2) f(x) = (1/2)x donde x = 2,1,0,1

3) f(x) = 3x+1 donde x = 0,1,2,3 4) f(x) = 5 – 1x donde x = 0,1,2,3

5) f(x) = x + 2x donde x =0,1,2,3 6) f(x) = 3x – 3x donde x = 1,2,3,4

Función Logaritmo:

R*+ g(x)= lgax R

.

g() = lga = g() =

12

Significa que dado un número R*+ se obtendrá una imagen R a través de

la expresión g(x)= lgax .

Cuando se dan los valores a y para hallar estamos en la función

logarítmica que se anota:

= a donde : = número

a = base

= exponente

lga = donde: a = base

= número

= exponente

Ejemplos:

a) 25 = 52 = lg525 = 2

b) 1000 = 103 = lg101000 = 3

c) 27 = 33 = lg327 = 3

Se deduce que el logaritmo de un número respecto a cierta base, es igual al

exponente a que debe elevarse dicha base para encontrar el número.

Transformar los siguientes números:

a) 36 b) 49 c) 100

d) 121 e) 144 f) 196

g) 256 h) 400 i) 625

13

Determinar las características de la función logarítmica a través de su

representación gráfica:

y

x

1) Los números negativos no tienen logaritmo.

2) Los números menores que 1 tienen logaritmo negativo.

3) Los números mayores que 1, tienen logaritmo positivo.

4) La función logaritmo es creciente.

Logaritmo Decimal o Briggs:

En el caso particular que la base sea 10 los logaritmos se llaman decimales,

vulgares o de Briggs, en honor al matemático H. Briggs (1561-1630).

Como los logaritmos decimales son los que más se usan, no se anota la base, por

lo tanto, lg10x se anota lgx .

14

Logaritmo Neperiano:

Es el de base en particular sea el número е = 2,718281, los logaritmos se llaman

naturales o neperianos, en honor al matemático J. Neper (1550-1617).

Se anota : lnx ó Lx

Propiedades de la Función Logaritmo:

1) Cuando a0 = 1 lga1 = 0

El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

2) Cuando a1 = a lgaa = 1

El logaritmo de la base siempre es uno.

3) lga(m.n) lgan + lgam

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

4) lga(m/n) lgam - lgan

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el

logaritmo del divisor.

5) lga(mn) n . lgam

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de

dicha potencia.

6) lgan√m lga

m

n

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte subradical dividido por

el índice de la raíz.

15

Ejemplo: Hallar lgax en x = ab2

c3

El quebrado se forma en resta: lga(ab2) – lga c3

Lgaa + 2lgab – 3 lgac

Ejemplo: Hallar lgax en x = (m2+b). 4 mb3

Lgax = lga(m2+b) + lgam + 3lgab

4

Aplica logaritmos en:

1) lgax en x = n3. m2. p5 2) lgax en = x2 . y4 + √m3

m2 m

3) lgax en x =√p . (r3 . p4)2 4) lgax en x = (m2 . n4) + p2. n3

5) lgax en x = a3.p4.t5 - p3.b2 6) lgax en x = {r3.p7+(s2.r6)2}

a2.b3

Definir el Antilogaritmo:

Se define antilogaritmo al número que corresponde un logaritmo dado.

Lgax = lgaA – lgaB su antilogaritmo es x = A

B

16

Regla para aplicar antilogaritmos:

1) Todo número, letra o expresión que esté afectada por lga , se transforma en el

número, letra o expresión.

lga4 se transforma en 4

lgaA “ “ “ A

lga (2√b) “ “ “ 2√b

2) Los signos operatorios se transforman de manera inversa que al aplicar

logaritmos.

La suma se transforma en producto.

La resta se transforma en división.

El producto se transforma en potencia.

La división se transforma en Raíz.

3) Todo número, letra o expresión que no esté afectado de lga, se transforma a

elevado a dicho número, letra o expresión.

lga3 se transforma en a3

lgaA se transforma en aA

lgab se transforma en ab

4) Al aplicar antilogaritmo los términos positivos de la expresión logarítmica

pertenecen al numerador y los términos negativos al denominador de la

expresión final.

Calcular logaritmos decimales exactos:

Cuando se dispone de una calculadora, que permita obtener los cálculos en forma

rápida y precisa, no hace falta la tabla de valores logarítmicas de los números.

17

1) Hallar el logaritmo decimal de 48,7

1,6875 característica = 1 mantisa = 6875

2) Hallar el logaritmo decimal de 0,04

-1,3979 característica = -1 mantisa = 3979

Definir la Característica:

Es la parte entera del logaritmo de todo número que no sea una potencia de

10.

Valor de la Característica:

1) La característica del logaritmo de un N° mayor que 10 es positiva y su valor

absoluto es 1 menos el número de cifras enteras del número.

2) La característica del logaritmo de un N° comprendido en 1 y 10 es cero.

3) La característica de un N° menor que 1 es negativo y su valor absoluto es 1

más el número de ceros que hay entre el punto decimal y la primera cifra

significativa decimal.

Definir la Mantisa:

Es la parte decimal del logaritmo. La mantisa siempre es positiva y se calcula

con la ayuda de las tablas de logaritmos.

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Cologaritmo de un Logaritmo:

1) Se calcula el logaritmo del número.

2) A la característica del número se le suma una unidad positiva y al resultado

obtenido se le cambia de signo.

3) A cada una de las cifras de la mantisa se le resta 9 empezando por la izquier-

da, menos la última cifra significativa que se resta de 10.

4) Para comprobar los cálculos sumamos el logaritmo con su cologaritmo y el

resultado tiene que dar cero.

Ejemplos:

1) Calcular el cologaritmo del logaritmo 4,252

Característica: 4 + 1 = 5

Mantisa: 252 9-2 = 7

9-5 = 4

10-2 = 8

cologaritmo = 5 , 748 comprobación: 4,252

5,748

0

Calcular los cologaritmos de los siguientes logaritmos:

1) 3,263 2) 2,8603 3) 0.087

4) 1,460 5) 16,253 6) 14,073

7) 4,001 8) 0,005 9) 3,7564

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Ecuaciones Exponenciales aplicando logaritmos:

Son las ecuaciones que tienen la incógnita en forma de exponente. Se resuelven

aplicando logaritmos o por artificio de cálculo.

Ejemplo: Resolver 5x+3 = 7x-1

aplicamos logaritmos (x + 3) lg5 = (x-1) lg7

igualamos a un solo miembro x + 3 = lg7

x – 1 lg5

calculamos logaritmos y sustituimos valores lg7 = 0,8451 ; lg5 = 0,6990

x + 3 = 0,8451 = x + 3 = 1,20 = x + 3 = 1,20(x – 1)

x – 1 0,6990 x – 1

x + 3 = 1,20x – 1,20

x – 1,20x = - 1,20 –3

-0,2x = - 4,40

x = - 4,20 x = 21

- 0,20

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 3x-2 = 52x+1 2) 2x+1.33x+2= 44x+3 3) 2x-5 = 0,003

4) 0,005x-3 = 0,04 5) 62x+9 = 7x-6 6) 0,45x+5 = 84x+2

20

Ecuaciones Exponenciales:

Se llaman ecuaciones binómias a las que solamente tienen dos términos y para

resolverlos se procede así:

1) Se hacen las transformaciones algebraicas necesarias hasta que las bases

sean iguales.

2) Se igualan los exponentes y se resuelve la ecuación resultante.

Ejemplo: Resolver la ecuación 2x = 32

32 = 52 donde 2x = 25 igualamos exponentes x = 5

Ejemplo: Resolver la ecuación 3x-5 = 27

27 = 33 donde 3x-5 = 33 igualamos exponentes x – 5 = 3

x =5 + 3

x = 8

Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) 5x = 125 2) 6x = 36 3) 5x= 25

4) 0,32x-8 = 0,0081 5) (1/2)x-3 = 1/32 6) 25x-10 = 1

Definir el conjunto de los N° Complejos:

Un número complejo es un par ordenado (a , b) de números reales. Este par de

números pertenece al producto cartesiano:

R x R = R2 (a , b) R2

21

Representar Números Complejos:

Ejemplo: Representar los N° complejos Z1 =(4,3) ; Z2= (-2,4) ; Z3 = (3,-2)

y

4

3 Z1

2

1

-2 -1 0 1 2 3 4 x

-1

-2 Z2

Z3

Suma de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (3,4) ; Z2 = (-4,1)

Z1 + Z2 = (3+4) + (-4,1) = 3 + (-4), 4 + 1 = (-1,5)

Resta de Números Complejos:

Ejemplo: Dados Z1 = (4,0) ; Z2 = (-1,3)

Z1 – Z2 = (4,0) – (-1,3) = { 4 – (- 1) , 0 – 3 } = (5,-3)

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Producto de Números Complejos:

Dados Z1 = (a1,b1) ; Z2 = (a2,b2)

Fórmula: Z1 . Z2 = (a1 . a2 – b1 . b2 , a1 . b2 + b1 . a2 )

Ejemplo: Hallar el producto de los N° complejos Z1 = (4,2) ; Z2 = (-3,1)

Z1 . Z2 = (4,2) . (-3,1) = { 4 . (-3) – 2 . 1 , 4 .1 + 2 . (-3)}

= (-12 –2 , 4 – 6) = (-14,-2)

División de Números Complejos:

Ejemplo. Dados Z1 = (2,4) ; Z2 = (1,0) . Hallar Z1 : Z2

Z1 = (a1 , b1) = a1 . a2 – b1 . b2 , b1 . a2 –a1 . b2

Z2 (a2 , b2) a22 + b2

2 a22 + b2

2

Z1 = (2,4) = 2 . 1 + (-3) . 4 , -3 . 2 – (-1) . 4

Z2 (1,0) 12 + 02 12 + 02

= ( 2,4)

Efectúa las siguientes sumas:

1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,8)

3) Z1 = (-4,8) ; Z2 = (-4,7) 4) Z1 = (4,7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,1) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

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Efectúa las siguientes sustracciones:

1) Z1 = (3,2) ; Z2 = (1,-5) 2) Z1 = (-3,-6) ; Z2 = (4,4)

3) Z1 = (-4,2) ; Z2 = (-4-,7) 4) Z1 = (4,-7) ; Z2 = (7,-3)

5) Z1 = (8,5) , Z2 = (4,-5) 6) Z1 = (-4,-9) ; Z2 = (6,-2)

Efectúa los siguientes productos:

1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

Efectúa las siguientes divisiones:

1) Z1 = (5,3) ; Z2 = (-3,8) 2) Z1 = (1,2) ; Z2 = (9,6)

3) Z1 = (9,5) ; Z2 = (3,2) 4) Z1 = (5,-3) ; Z2 = (6,4)

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Números Complejos en forma binómica:

Ejemplo: Efectuar (2+ 3i) + (3 - 2i) – (-4+ i)

2 + 3i + 3 – 2i + 4 – i = 9

Ejemplo: Efectuar (3 + 4i) . (2 – 3i)

6 – 9i + 8i – 12i2 = 6 – i + 12 = 18 – i sabemos que: i = i

i2 = 1

Ejemplo: Efectuar 3 + 2i

4 – 3i

3 + 2i . 3 + 2i = 12 + 9i + 8i + 6i2 = 12 + 17i – 6 = 6 + 17i

4 – 3i 4 – 3i (4)2 – (3i)2 16 – 9 7 7

Efectúa las siguientes operaciones:

1) (3 + 4i) – (8 +6i) – (5 + 4i) 2) (7 – 6i) + (3 – 6i) + (2 – 7i)

3) (4 + 3i) . (6 – 2i) 4) (7 – 2i) . (9 – 5i)

5) 3i 6) 4 + 5i

1 - i 2i

7) 2i 8) 4i + 2

3 – 2i i

25

Transformación de un N° complejo a forma polar o trigonométrica:

Ejemplo: Dado el N° complejo Z = 3 + 3i

r = 32 + 32 = r = 9 + 3 r = 12 = 2 3

= arc. tg 3 = 30° Z = a + bi = r(Cos + I Sen )= r Cis

3

Z = 3 + 3i = 23 (Cos 30° + I Sen 30°) = 23 Cis 30°

Transformar a forma trigonométrica:

1) Z = 4 + 2i 2) Z = 5 + 3i

3) Z = 7 + 7i 4) Z = 2 + 6i

5) Z = 5 ( Resp. 5Cis0°) 6) Z = 2i (Resp. 2Cis 90°)

Transformación de un número complejo en forma trigonométrica a forma

binómica:

Ejemplo: Transformar Z = 2 Cis 60°

Z = 2 Cis 60° = 2(Cos 60° + i Sen 60°) = 2 (1/2 + 3i/2) = 1 + 3i

26

Transformar a forma binómica:

1) Z = 1/3 Cis 150° 2) Z = 2 Cis 300°

3) Z = 5 Cis 45° 4) Z = 6 Cis 30°

5) Z = 7 Cis 60° 6) Z = 8 Cis 90°

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BIBLIOGRAFÍA

NAVARRO, E..................................................Matemática para Cuarto Año. Libro

de Práctica. Distribuidora Zacarías.

Caracas. Venezuela.

GONZALEZ, Reinaldo. Matemática. Primer Año. Educación

Media Diversificada y Profesional.

Editorial Obelisco. Caracas. Venezuela

1991.