Cuaderno de Matemática 2º Año Media
149
0 Autor: Luis . E. Camacho . S Profesor de Matemática, Especialista en Planificación y Evaluación Deposito Legal lf 03220035101806X
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Cuaderno de Matemática para alumnos del 2º Año de Educación Media General.
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0
Autor: Luis . E. Camacho . S
Profesor de Matemática, Especialista en Planificación y Evaluación
Deposito Legallf 03220035101806X
1
Prologo
El cuaderno de trabajo que utilizarán los alumnos del 2º Año de Media General,
refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa de
Matemática.
Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un
instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de
aprendizaje dentro y fuera del aula.
Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del
profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados
fueron muy satisfactorios.
Los Teques, Septiembre del 2003
2
Agradecimientos:
Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:
Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática
Msc. Milagros Coromoto Camacho, asesora Metodológica
Marcos Salas, profesor de computación
Especialmente a:
A mi esposa: por su apoyo.
A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.
A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.
A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”
Liceo San Pedro de Los Altos
U. E. C. “Andrés Bello”
3
Contenido
.-Producto cartesiano de dos conjuntos........................................................................5
.- Gráfico de una relación.............................................................................................6
.- Dominio y rango de una relación...........................................................................6,7
.- Relación de orden, equivalencias..............................................................................7
.- Propiedades reflexiva y simétrica.............................................................................8
.- Propiedad transitiva, antisimétrica........................................................................8,9
.- Ley de composición interna.....................................................................................10
.- Clasificación de funciones.............................................................................11,12,13
.- Números enteros............................................................................13,14,15,16,17,18
.- Relaciones de orden................................................................................................19
.- Potencia en N.....................................................................................................19,20
.- Números racionales..................................................................21,22,23,24,25,26,27
.- Puntos en el plano cartesiano.................................................................................28
.- Función afín.......................................................................................................29,30
.- Vectores...............................................................................................30,31,32,33,34
.- Traslaciones............................................................................................................35
.- Simetrías.................................................................................................................36
.- Proyecciones......................................................................................................37,38
.- Construir triángulos...............................................................................................38
.- Polinomios............................................................39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49
.- Productos notables..............................................................................49,50,51,52,53
.- Factorización......................................................................................53,54,55,56,57
.- Probabilidad estadística..........................................................................58,59,60,61
.- Estadística........................................................62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73
.- Informática............................................74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87
.- Ejercicios..............................................................88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98
.- Juegos Matemáticos...........99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113,114,115,116,117,118,119,120,121,122,123,124,125,126,
127,128,129,130,131,132,133,134,135,136,137,138,139,140.- Práctica general...................................141,142,143,144,145,146,147,148.- Bibliografía..........................................................................................................149
4
Producto Cartesiano de dos Conjuntos:
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina producto cartesiano de A y B
al conjunto formado por los pares ordenados que tienen como primera componente
un elemento del conjunto A y como segunda componente un elemento del conjunto B.
Se anota: A x B
Ejemplo: Dados los conjuntos A= 1,2,3 y B= a,b,c . Hallar A x B.
A x B = (1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c),(3,a),(3,b),(3,c)
Ejercicios: Hallar el producto cartesiano en los siguientes conjuntos:
1.- A = a, b ,c B = x, y, z 3.- X = a,1,c Y = 1,2,3
2.- B = x , y D = 1,2,3 4.- A = a ,x, 5 B = 1,2,3,4
Debes recordarque un conjuntoestá compuestopor elementos.
5
Gráfico de una Relación:
Si entre dos conjuntos A y B se ha definido una relación R, se denomina gráfico
de dicha relación al conjunto formado por los pares ordenados que cumplen la
relación R.
Dominio de una Relación:
Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados que
cumplen la relación R. Se anota Dom. ( R ).
Rango de una Relación:
Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados que
cumplen la relación R. Se anota Rgo ( R ).
A B
Dom.(R) Rgo.(R)
*
*
*
Para que existauna relación,deben existir dosconjuntos.
6
Ejemplo: Dados los conjuntos A = 1,2,3 y b = 2,3,4 y la relación R; “no es
igual” definida de A en B, hallar: a.- Imágenes; b.- Pares; c.- Gráfico; d.- Dominio y
rango; e.- Representación gráfica sagital y tabular.
Imágenes: 1”no es igual a” 2,3,4 Pares: (1,2),(1,3),(1,4)
2 “ “ “ “ 3,4 (2,3),(2,4)
3 “ “ “ “ 2 ,4 (3,2), (3,4)
gráfico = (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4) Dom.R= 1,2,3
Rgo.R = 2,3,4
Gráfica Sagital Gráfica Tabular
A B B
1 2 4 * * *
2 3 3 * *
3 4 2 * *
1 2 3 A
Relación de Orden: una relación R definida en un conjunto A, es una relación de
orden, si tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Relación de Equivalencia: una relación definida sobre un conjunto A, es una
relación de equivalencia, si tiene las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
7
Propiedad Reflexiva: una relación R, definida en un conjunto A, es reflexiva, si
todo elemento de A está relacionado consigo mismo.
A
1
2
3
Propiedad Simétrica: una relación R, definida en un conjunto A es simétrica, si
todo elemento de A está relacionado consigo mismo y con los otros elementos.
A 2
1
Propiedad Transitiva: una relación R definida en un conjunto A, es transitiva si
para cualquier terna de elementos a A; b A y c A se cumple: Si a R b y b R
c entonces
a R c.
8
A A
3
1 2 a b c
Propiedad Antisimétrica: una relación R definida en un conjunto A, es
antisimétrica si para cualquier par de elementos de A; a A y b A, diferentes, se
cumple la relación R;
a R b pero b R a.
A A
a b 1 2
c
4 3
9
Ejemplo de Ley de Composición Interna:
1.- Dado A = a, b, c . Hacer la tabla de composición. (a * b)= b
* a b c
a a b c
b a b c
a a b c
Ejercicios: Hacer la tabla de composición a cada conjunto: (a * b)= b
a.- A = 1,2,3 b.- B = 1,2,3,a c.- X = a,1,b,2,c
d.- C = a, x, b, y, r, e e.- X = 1, q, z f.- A = a ,b, c, d
Revisa esteejemplo.
10
Clasificación de las Funciones:
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se denomina función o aplicación de A en
B, a toda relación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento de B y
nada más que uno.
Se anota: f: A B , y se lee “aplicación o función del conjunto A en el
conjunto B mediante f”.
Función Sobreyectiva: Se dice que la función es sobreyectiva o suprayectiva,
cuando el rango y el conjunto de valores(llegada) son iguales, ó también cuando
todos los elementos de B tienen una o varias contraimágenes.
A f B
1 a
2 b
3 c
4 d
5
Función Inyectiva:Se dice que la función es inyectiva, cuando a elementos
diferentes de A le corresponden elementos diferentes de B, o también cuando los
elementos de B tienen una o ninguna contraimagen.
11
f f
A B A B
1 a 1 a
2 b 2 b
3 c c
Función Biyectiva o Biunívoca: Se dice que la función es biyectiva, cuando es a la
vez sobreyectiva e inyectiva, ó también cuando todos los elementos de B tienen nada
mas que una contraimagen cada uno.
f
A B
1 x
2 y
3 z
12
Ejercicios: Representa en gráfico sagital y determina el tipo de función:
a.- f: (1,a),(2,b),(3,c) b.- f: (x,1),(y,2),(z,1) c.- f: (3,5),(4,6),(5,6)
d.- f: (a,1),(b,2),(c,3),(d,3) e.- f: (x.*),(y,+),(z,&),(r,&)
Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y
el cero.
+ _Z = +1,+2,+3,+4,+5,+..... Z = ....-5,-4,-3,-2,-1
*Z = ...-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5,+... Z = 0
Debes recordar que losnúmeros naturales son unsubconjunto de los enteros.
13
Adición de N° Enteros: a) (2)+(6)+(8)= b) (3)+(8)+(5)+(4)=
c) (-2)+(-4)+(7)= d) (-19)+(-5)+(-6)=
e) (4)+(-6)+(-5)= f) (-2+7)+(5-1)=
Propiedades de la Suma en Z:
a) Conmutativa: (a)+(b) = (b)+(a) Resuelve: a) (3)+(6)=
b) (-5)+(-6)=
c) (4)+(-9)
Recuerda que alsumar dos númerosenteros de distintossignos, se restarán yse colocará el signode mayor valorabsoluto.
Resuelve laspropiedades entu cuaderno.
14
b) Asociativa: (a)+(b + c) = (a + b)+(c) Resuelve: a) (3)+(7)+(5)=
b) (-7)+(-6)+(9)=
c) (-4)+(-7)+(-9)=
d) (-8)+(4)+(-12)=
c) Elemento Neutro: (a)+(0) = (0)+(a) = a
Resuelve: a) (3)+(0)= b) (8)+(0)= c) (6)+(0)=
d) (-7)+(0)= e) (5)+(0)= f) (2)+(0)=
d) Elemento Simétrico: (a)+(-a)= 0
Resuelve: a) (5)+(-5)= b) (6)+(-6)= c) (-4)+(4)=
d) (-7)+(7)= e) (-12)+(12)= f) (3)+(-3)=
Sustracción de N° Enteros: a) (5)-(-4)-(7)=
b) (5)-(7)-(9)=
c) (4+1)-(3-1)=
d) (8-2)-(-3-4)=
15
Multiplicación de N° Enteros: Resuelve: a) (9).(7)=
b) (5).(4)=
c) (-3).(2).(4)=
d) (2).(4).(-3).(2)=
Propiedades de la Multiplicación:
a) Conmutativa: (a).(b) = (b).(a) Resuelve: a) (4).(5)=
b) (-4).(6)=
c) (-4).(2)=
d) (-6).(-4)=
b) Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c) Resuelve a) (2).(4).(5)=
b) (-6).(2)-(-3)=
c) (-7).(5).(-4)=
d) (3).(8).(6)=
Recuerda que elorden de losfactores no alterasu producto.
16
c) Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a Resuelve: a) (5) . 1 =
b) (-9) . 1 =
c) (8) . 1 =
d) (-5) . 1 =
d) Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0 Resuelve: a) (5) . 0=
b) (-9) . 0=
c) 0 . (7)=
d) 0 . (6)=
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División de N° Enteros:
Resuelve: a) (4) : (2)=
b) (5+3) : (2)=
c) (-2+4) : (2)=
d) (7-1) : (5+1)=
e) (8-3+4) : (2+1)=
f) (5-3).(2-1) : (2)=
g) (3+6-2)+(2+5) : (4-2)=
h) (-3+9-2)+(-5+7-1) : (15-10)=
i) (2+8-4).(-1+3-6) : (9-1)=
j) (5-2+9)-(-3+4-6) : (14+3)=
Recuerda que aldividir dos números,debes dividir sussignos también.
18
Relaciones de orden “mayor que” y “menor que”
1) Ordena de menor a mayor (<): a) 5,-3,8,0,-1,6,100
b) -5,-3,0,10,-26,8,-100
c) –7,0,3,7,-20,-13,36
d) 2,-4,-8,0,-1,24,-25
2) Ordena de mayor a menor (>): a) -3,4,7,-100,-26
b) -5,-12,-15,18,1,0
c) –7,-120.-36,0,-1,8,9,44
d) 20,-1,0,-38,-4,16,2,3
Potenciación: Es una multiplicación reiterada. par
Regla para potenciar: (+) = + impar
(+) = +par
(-) = + impar
(-) = -
19
Propiedades: 1) a0 = 1
2) a1 = a
3) am . an =a m + n
4) am . an =am-n
5) (am )n = am . n
Ejercicios: a) 23 = b) 2.2.2.2=
c) (-3)2 = d) (2)2 . (2)3 =
e) a2 = f) 62 . 63 =
g) 53 . 42 . 52 = h) 32 . 40 . 33 =
i) (22 . 32 )3 = j) (52 . 43 )2 . (22 . 33 ) =
2 . 32 22 . 4 . 52
2 2
k) (32 . 43 )2 . (52 . 33 ) = l) (23 . 32 ) =
(32 . 43 . 53 )2 23 . 32
Puedes aprenderteestas propiedadespara que se tefacilite el objetivo.
20
Números Racionales: Un número racional es el conjunto formado por todas las
fracciones equivalentes a una dada. Un número racional está compuesto por un
numerador y un denominador.
a = numerador b denominador
m. c .m Debes recordar que para hallarel mínimo común múltiplo, se
toman los N° comunes y no comunes con su mayor
exponente.
Hallar el m .c .m en : a) 2 y 9 b) 5 y 12 c) 3, 2 , 4
d) 8,5,3 e) 2,7,6 f) 5,8,7
Adición de N° Racionales:
Resuelve: a) 3 + 4 = b) 4 + 8 = 5 2 5 6
c) 8 + 9 = d) 7 + 6 =7 3 5 2
21
Propiedades de la suma de N° Racionales:
Conmutativa: a + c = c + a b d d b
Resuelve: a) 3/2 + 7/5 = b) 5/2 + 6/2 = c) 5/4 + 8/6 =
d) 4/8 + 7/5 = e) 7/5 + 9/3 = f) 7/5 + 3/5 =
Asociativa: a + c + e = a + c + eb d f b d f
Resuelve: a) 4/6 + 7/6 + 9/3 = b) 7/4 + 1/3 + 6/4 =
c) 5/4 + 8/6 + 9/2 = d) 7/4 + 9/6 + 8/3 =
e) 7/6 + 9/8 + 2/2 = f) 7/6 + 9/8 + 5/6 =
Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a b b
Resuelve: a) 4/3 + 0 = b) 5/3 + 0 = c) 6/2 + 0 =
d) 7/6 + 0 = e) 6/5 + 0 = f) 8/5 + 0 =
Aplica laspropiedades dela suma en Q.
22
Elemento Simétrico: a + -a b b
Resuelve: a) 5/6 = b) 6/3 = c) 8/3 = d) 5/8 = e) 7/5 = f) 5/8 =
Sustracción de N° Racionales:
Resuelve: a) 6/5 – 8/4 = b) 7/5 – 8/4 = c) 6/3 – 7/2 =
d) 6/4 – 8/5 = e) 3/2 – 8/4 = f) 2/4 – 5/3 =
Problemas Simples:
a) Si sumamos 2/5 con 3/6, que fracción obtenemos.
b) Un tanque de agua vacío se llenó de la siguiente manera: el primer día con
2/5 de agua, el segundo día con 2/3 y el tercer día con 1/6.¿ Cual es la
capacidad del tanque?.
c) La distancia entre dos ciudades es de 50 Km.; si un carro recorre la distancia
entre ambas de la siguiente manera: la 1ra hora recorre 2/8 de la distancia; la
2da recorre 1/9 de la distancia y la 3ra hora recorre 2/5 de la distancia.¿ Cual
es la distancia recorrida por el carro?.
23
Multiplicación de N° Racionales:
Resuelve: a) 4/5 . 7/6 = b) 8/3 . 3/5 = c) 5/3 . 2/6 = d) 4/3 . 8/5 =
e) 6/5 . 8/6 = f) 3/5 . 6/4 = g) 7/6 . 9/8 . 4/3 =
Propiedades de la Multiplicación de N° Racionales:
Conmutativa: a . c = c . a b d d b
Resuelve: a) 6/5 . 5/4 = b) 8/4 . 3/5 = c) 6/3 . 9/8 = d) 6/5 . 8/6 =
e) 6/4 . 7/3 = f) 3/6 . 5/4 = g) 4/1 . 5/3 = h) 4/3 . 8/3 =
Asociativa: a . c . e = a . c . e b d f b d f
Resuelve: a) 7/6 . 6/4 . 4/5 = b) 6/3 . 9/3 . 5/3 = c) 3/2 . 8/4 . 2/5 =
d) 5/4 . 7/5 . 8/2 = e) 2/6 . 5/4 . 8/6 = f) 8/4 . 3/6 . 4/2 =
Copia en tucuaderno yresuelve estosejercicios.
24
Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a b b
Resuelve: a) 6/5 . 1 = b) 5/4 . 1 = c) 6/4 . 1 = d) 8/5 . 1 =
Factor Cero: a . 0 = 0 . a b b
Resuelve: a) 4/5 . 0 = b) 6/5 . 0 = c) 4/3 . 0 = d) 6/4 . 0 =
Distributividad: a . c ± e = a . c ± a . e b d f b d b f
Resuelve: a) 6/4 . (5/3 + 7/3) = b) 5/3 . (2/2 – 5/3) = c) 2/6 . (5/6 +7/3) =
d) 6/3 . (5/3 – 7/5) = e) 8/4 . (9/4 – 7/3) = f) 3/5 . (3/2 + 1/5) =
División de N° Racionales:
Resuelve: a) 2/4 : 7/9 = b) 6/2 : 3/5 = c) (5/4 . 8/6) : 7/3 =
d) (7/2 : 9/3) : 8/4 = e) (5/3 + 1/5) : 2/3 = f) 6/4 + (7/3 : 3/2) =
g) (4/5 : 8/2) . 6/4 = h) 5/2 . (5/4 : 8/3) = i) (6/5 – 6/3) : 7/3 =
25
Potenciación de N° Racionales:
Resuelve: a) 2/5 3 = b) 2/4 2 = c) 2/3 . 2/3 2 =
2
d) (2/3)3 . (2/3)2 = e) (3/5)2 : (3/5) =
3
f) (2/4)2 . (2/4)3 = g) (5/2)2 . (5/2)3 . (3/4)2 =
Para potenciar númerosracionales, se regirá porlas misma reglas que lapotencia de númerosnaturales.
26
Representar N° Racionales:
Representar: 4/7 en grafico de barras y circular:
Representar: a) 2/5
b) 4/6
c) 3/8
d) 4/5 *
27
Representar puntos en el plano cartesiano:
Ejemplo: Representar los siguientes puntos:
a(3,5) b(1,3) c(-2,-6) d(-4,2) e(5,-4)
Y
5 a
4
3 b
d 2
1
-4 -3 - 2 -1 1 2 3 4 5 X
-1
-2
-3
-4 e
-5
c -6
Ejercicios: Representar los siguientes puntos:
a.- Representar a(2,3) b(-2,4) c (-1,-2) d(4,2)
b.- Representar a(2,-3) b(-4,0) c(-2,3) d(-2,-3)
c.- Representar a(5,4) b(-2,3) c(-4,0) d(0,-2)
28
Función Afín: son las funciones de la forma f: x R , donde x es un
subconjunto de R (x R). Su representación es una línea recta.
Ejemplo: Representar y = 2x dónde x = -2,-1,0,1,2
X y = 2x Y
-2 2(-2) -4 y
-1 2(-1) -2 4
0 2(0) 0 3
1 2(1) 2 2
2 2(2) 4 1
-2 -1 0 1 2 x
-1
-2
-3
-4
29
Ejercicios: Resuelve las siguientes funciones afines:
a.- Representar y = 3x – 1 x = -2,-1,0,1,2
b.- Representar y = x + 5 x = -2,-1,0,1,2
c.- Representar y = 2x +3 x = -2,-1,0,1,2
d.- Representar y = 2x – 1 x = -2,-1,0,1,2
e.- Representar y = 2x + 4 x = -2,-1,0,1,2
Vectores:
Vector es un segmento orientado. En la matemática moderna vector es una
generalización del concepto geométrico o físico del mismo en el espacio ordinario de
tres dimensiones.
Componentes de un vector en el plano:
Es el punto que tiene como abscisas la diferencia de las abscisas y como
ordenada las diferencias de las ordenadas de los puntos que forman el extremo y el
origen.
ab = (b1 – a1 , b2 – a2)
Resuelve estas funcionesen papel milimetrado.
30
Ejemplo: Dado a = (5,-6) b = (4,8) . Hallar su componente.
ab = ( 4-5,8-(-6)) ab = (-1,14) x = -1
y = 14
y
14 13 12
11 10 9 8
7 6 5 4
3 2 1
X-1 1
Ejercicios: Hallar el componente de los siguientes vectores:
1.- a = (3,7) b = (2,-4) 4.- a = (-3,-1) b = (5,-8)
2.- a = (2,-6) b = (-3,-9) 5.- a = (7,-5) b = (-5,-9)
3.- a = (-4,7) b = (8,-6) 6.- a = (-5,-8) b = (1,-4)
Revisabien esteejemplo.
31
Adición de Vectores:
Dados dos vectores, se define como la adición de a con b y se anota a + b
es el vector libre s de componentes igual a la suma de las componentes.
s = (x1 + x2 , y1 + y2)
Ejemplo: Dados los vectores a = (3,2) b = ( -1,3)
a + b = ( 3-1,2+3) a + b = (2,5)
Ejercicios: Resuelve las siguientes sumas de vectores:
1.- a = (2,4) b = (-3,-7) 4.- a = (5,7) b = (-6,-4)
2.- a = (7,9) b = (-6,8) 5.- a = (7,11) b.- ( -4,-9)
3.- a = (12,6) b = (-8,-3) 6.- a = (-8,13) b = (5,-5)
Propiedades de la Adición de Vectores:
Conmutativa: a = (xa , ya) y b = (xb , yb) dónde: a + b = b + a
Ejercicios: Aplica la propiedad conmutativa en los vectores:
1.- a = (3,-9) b = (4,7) 3.- a = (-3,-5) b = (3,7)
2.- a = (7,-9) b = (5,8) 4.- a = (6,,5) b = (-5,-7)
32
Asociativa : (a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
Ejercicios: Aplica la propiedad asociativa en los vectores:
1.- a = ( 3,-6) b = (4,6) c = (-4,-8) 3.- a = (7,5) b = (7,-4) c = (2,1)
2.- a = (-6,-2) b = (4,7) c = (-4,-8) 4.- a = (5,9) b = (-4,-7) c = (8,4)
Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a
Ejercicios: Aplica el elemento neutro en los vectores:
1.- a = (3,6) 2.- b = (-6,6) 3.- c = (4,3) 4.- x = (6,-4)
Vector Opuesto: a + ( a ) = (x + (-x) , y + (-y)) = (0,0) = 0 o sea: a + (-a) = 0
Ejercicios: Hallar el vector opuesto en los vectores:
1.- a = (5,7) 2.- a = (-5,4) 3.- x = (-5,-9) 4.- b = (6,-5)
Sustracción de Vectores:
Ejemplo: Dados los vectores a = (2,-5) y b = (8,-3). Hallar a - b.
a - b = (2-8 , -5-(-3)) = (-6,-2)
Ejercicios: Hallar la sustracción de los vectores:
1.- a = (7,9) b = (-5,-8) 3.- b = (4,-6) c = (5,10)
2.- x = (8,6) y = (7,-6) 4.- a = (3,6) b = (-6,-4)
33
Multiplicación de un N° Real por un Vector:
Se define la multiplicación de un número real por un vector, como una ley de
composición externa de tal manera que si K R y a V2 entonces K . a V2.
Dado un vector a = (x , y) y un número real K, llamamos producto del número
real (K) por un vector( a ), a otro vector cuyas componentes se obtienen
multiplicando las componentes del vector dado por el número real. K . a = ( K . x ,
K . y ) .
El vector resultante tiene la misma dirección que a, el mismo sentido cuando K
es positiva (K 0) y sentido contrario cuando K es negativo (K 0)
Ejemplo: Dado el vector a = (-4,3). Hallar -5 . a , 6 . a
Ejercicios: Hallar el producto en los vectores:
1.- a = (-4,7) . Hallar : 2 . a
2.- b = (-4,-6) . Hallar : -5 . b
3.- c = (2/3,-4) . Hallar : 3 . c ; 2/3 . c
4.- d = (-5,0) . Hallar : -6 . d
5.- a = (2/5,3/4). Hallar: -5 . a
6.- x = ( 3,-5/2). Hallar : -4 . x ; -3 . x
34
Traslaciones:
Efectúa las siguientes traslaciones:
1.- a x
b c
2.- a
d
c
b p
3.- a y
b c
d e
Ahoraestudiaremos lageometría en elplano.
35
Simetrías:
Efectúa las siguientes simetrías centrales:
1.- a b
c d *
c d
2.- a b
*
c d
3.- a b
*
c d
36
Proyecciones:
Efectúa las siguientes proyecciones:
1.- a b x
c d
a
2.-
b c p
d
37
3.- a b
c d y
e f
Construir triángulos ABC :
1.- ab = 3cm 2.- ab = 4 cm 3.- ab = 3 cm
ac = 4 cm ac = 2 cm ac = 5 cm
bc = 5 cm bc = 3 cm bc = 6 cm
4.- ab = 60° 5.- ab = 45° 6.- ab = 80°
ac = 4 cm ac = 5 cm ac = 4 cm
bc = 6 cm bc = 4 cm bc = 3 cm
38
Polinomios:
Se denomina función o simplemente polinomio a toda función que se obtiene
combinando sumas y productos de funciones idénticas y constantes.
P(x) = A0 + A1x + A2x² A3x³......An
A0 = término independiente.
x = variable.
A0, A1, A2, A3... = coeficientes del polinomio
Polinomio nulo: es el que tiene todos los coeficientes nulos.
Polinomio constante: es el que tiene todos los coeficientes nulos, menos el término
independiente.
Monomio: es el polinomio que tiene todos los coeficientes nulos, menos uno de
ellos.
Binomio: polinomio que consta de dos términos.
Trinomio: polinomio que consta de tres términos.
Estudiaremos lospolinomios, susoperaciones y propiedades.
39
Grado de un Polinomio: se denomina grado de un polinomio al mayor exponente
de la variable.
a.- p(x) = 2 + 3x + 5x² segundo grado
b.- q(x) = 3x³ - 4x + 9 tercer grado
Completar Polinomios: un polinomio es completo, cuando los exponentes de la
variable se suceden de unidad en unidad desde el término de mayor grado hasta el
término independiente.
Ordenar Polinomios: un polinomio está ordenado cuando se suceden de unidad
en unidad.
Decreciente: cuando los exponentes están ordenados de mayor a menor.
Creciente: cuando los exponentes de la variable están ordenados de menor a
mayor.
Valor Numérico de un Polinomio: es el número que se obtiene cuando se sustituye
en el polinomio, la variable por su valor y se efectúan las operaciones indicadas.
Ejemplo: Dado P(x)= 2x² + 3 dónde x = 3
P(3) = 2(3)² + 3 = p(3) = 2.9 + 3 = p(3) = 18 + 3 p(3) = 21
40
Ejercicios:
1.- p(x) = 2x –4 dónde x = 3
2.- q(x) = 4x + x² dónde x = 2
3.- t(x) = x³ -2 dónde x = 4
4.- p(x) = 3x² + 2x dónde x = 3
5.- q(x) = x³ + 4x – 2 dónde x = 3
6.- p(x) = 4x –x + 5 dónde x = 2
Adición de Polinomios:
Se denomina polinomio suma de otros dos, al polinomio que resulta de escribir
los polinomios sumandos uno a continuación del otro, enlazados por el signo (+).
Regla para sumar polinomios:
1.- Se ordenan en forma creciente o decreciente, y cuando sea incompleto, se
completa con ceros.
2.- Se coloca uno debajo del otro, quedando términos semejantes en columnas.
41
Ejemplo: En forma entera:
P(x) = 5x³ + 4x² - 6x + 8
Q(x) = 3x² - 4x + 3
5x ³ +7x²-10x +11
Ejemplo: En forma racional:
P(x) = 2/2x² - 3/5x + 4/3 operaciones:
Q(x) = 3/2x + 5/4 -3 + 3 = -6+15 = 9 2/2x+9/10x+31/12 5 2 10 10
4 + 5 = 16+15 = 31 3 4 12 12
Ejercicios: Dados los polinomios: p(x) = 2x3 + 6x2 – 5x +8 ; q(x) = 2x4 – 2x3+ 4x2 –2
t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ; r(x) = 2/5x2 – 3/2x + 6/3 ; s(x) = 3/6x2 + 5/4x – 7/2 ;
h(x) = 2/5x2 + 3/4x – 7/4
Hallar la suma de los polinomios:
1.- p(x) + q(x) 2.- p(x) + t(x) 3.- q(x) + t(x)
4.- r(x) + s(x) 5.- r(x) + h(x) 6.- s(x) + h(x)
Recuerda que lospolinomiosdeben estarcompletos yordenados.
42
Propiedades de la Adición de Polinomios:
a.- La adición de dos polinomios siempre resulta otro polinomio, por lo tanto es una
ley de composición interna.
b.- La adición de polinomios es conmutativa.
c.- Es asociativa.
d.- El elemento neutro para la adición es el polinomio nulo.
e.- El polinomio simétrico de p(x) es –p(x).
f.- Todos los polinomios son regulares para la adición.
Conmutativa: p(x) + q(x) = q(x) + p(x)
Ejercicios:
a.- p(x) = 2x2 – 3x + 8 ; q(x) = 5x2 + 6x – 5
b.- p(x) = 3x3 + 4x2 - 6x + 7 ; q(x) = 3x2 + 8x – 7
c.- p(x) = 6x2 + 6x – 10 ; q(x) = 5x2 + 4x – 6
d.- p(x) = 12x2 – 4x – 8 ; q(x) = 6x2 + 7x – 6
Estudiemos ahora laspropiedades de la sumade polinomios.
43
Asociativa: p(x) + q(x) + h(x) = p(x) + q(x) + h(x)
Ejercicios:
a.- p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 3x2 + 4x – 8 ; h(x) = 2x –6
b.- p(x)= 7x2 – 5x + 8 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 3x + 6
c.- p(x) = 7x2 + 6x – 4 ; q(x) = 9x2 + 8x – 6 ; h(x) = 4x –9
d.- p(x) = 11x – 7 ; q(x) = 4x2 + 3x – 6 ; h(x) = 4x – 10
Elemento Neutro: p(x) + 0 = 0 + p(x)
Ejercicios:
a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 8x2 – 3x + 2
b.- q(x) = 4x2 – 6x + 5 d.- q(x) = 7x2 + 6x – 12
Elemento Simétrico: p(x) + -p(x)
a.- p(x) = 5x2 – 3x + 8 c.- p(x) = 3x3 – 8x2 + 4x – 2
b.- q(x) = 2x2 - 7x + 9 d.- q(x) = -3x3 – 4x2 + 8x + 9
44
Sustracción de Polinomios:
Para restar un polinomio p(x) otro polinomio q(x), le sumamos a p(x) el simétrico,
es decir –q(x). P(x) – q(x) = p(x) + -q(x) p(x) = minuendo
q(x) = sustraendo
Ejercicios:
a.- p(x) = 3x + 8 ; q(x) = -5x –4 c.- p(x) = 3x2 –5x + 8 ; q(x) = 6x + 8
b.- p(x) = -5x2 – 5x + 6 ; q(x) = 4x – 8 d.- p(x) = 4x2 – 8x + 9 ; q(x) = 3x2 –7x + 6
Multiplicación de Polinomios:
El producto de dos funciones polinomios, es otra función polinomio formada por
la suma algebraica de los productos parciales de cada término de uno de ellos por
todos los de la otra.
45
Ejemplo: En forma Entera:
Dado p(x) = 2x2 – 5x + 6 ; q(x) = x2 – 3x + 5 . Hallar : p(x) . q(x)
q(x) = x2 – 3x + 5
p(x) =2x2 – 5x + 6
2x4 – 6x3 + 10x2
- 5x3 + 15x2 – 25x
6x2 – 18x + 30
2x4 – 11x3 + 31x2 – 43x + 30
Ejemplo: En forma Racional:
p(x) = 2/3x2 + 4/6x –3/2
q(x) = 2/5x +4/3 operaciones:
4 x3 + 8 x2 – 6 x 8 + 8 = 312 15 30 10 30 9 270
8 x2 + 16 x – 12 - 6 + 16 = 52 9 18 6 10 18 180
4 x3 + 312 x2 + 52 x -12 15 270 180 6
46
Ejercicios: Hallar la multiplicación de los siguientes polinomios:
1.- p(x) = 3x2 + 5x –5 ; q(x) = 4x – 8
2.- p(x) = 4x2 + 6x + 6 ; q(x) = 2x + 2
3.- p(x) = 2x3 + 5x2 – 7x + 3 ; q(x) = 3x – 7
4.- p(x) = 6x2 + 8x – 4 ; q(x) = 3x + 7
5.- p(x) = 4x3 + 6x2 – 9x + 9 ; q(x) = 3x – 6
6.- p(x) = 3/4x2 + 6/3x – 5/2 q(x) = 4/4x – 6/2
7.- p(x) = 4/6x2 + 7/3x + 2/5 q(x) = 3/6x – 7/2
8.- p(x) = 5/3x2 + 1/2x + 3/2 q(x) = 2/4x + 8/2
Propiedades de la Multiplicación de Polinomios:
a.- En la multiplicación de dos polinomios, siempre resulta otro polinomio, por lo
tanto es ; una ley de composición interna.
b.- Es conmutativa.
c.- Es asociativa.
d.- El polinomio constante I, es el elemento neutro para la multiplicación.
e.- El elemento absorbente es el elemento nulo.
f.- Todos los polinomios excepto el nulo son regulares.
47
g.- Es distributiva respecto a la adición y sustracción de polinomios.
h.- El grado del polinomio producto, es igual a la suma de los grados de los
polinomios factores.
Ejercicios: Calcular las siguientes propiedades:
1.- Conmutativa: p(x) . q(x) = q(x) . p(x)
a.- p(x) = 2x + 4 ; q(x) = 3x – 2
b.- p(x) =4x – 6 ; q(x) = 5x + 6
c.- p(x) = 4x2 – 6x + 8 ; q(x) = 3x – 7
d.- p(x) = 6x2 – 7x + 6 ; q(x) = 6x – 2
2.- Asociativa: p(x) . q(x) . h(x) = p(x) . q(x) . h(x)
a.- p(x) = 3x –5 ;, q(x) = 4x – 8 ; h(x) = 5x + 3
b.- p(x) = 4x – 6 ; q(x) = 2x + 7 ; h(x) = 5x – 1
c.- p(x) = 4x2 + 6x – 5 ; q(x) = 4x + 3 ; h(x) = 5x – 1
d.- p(x) = 7x + 8 ; q(x) = 4x2 – 7x + 2 ; h(x) = 3x – 4
3.- Distributiva: p(x) . q(x) ± h(x) = p(x) . q(x) ± p(x) . h(x)
a.- p(x) = 3x + 4 ; q(x) = 4x – 9 ; h(x) = 3x + 2
b.- p(x) = 4x + 5 ; q(x) = 6x – 9 ; h(x) = 5x + 12
c.- p(x) = 5x + 8 ; q(x) = 7x – 1 ; h(x) = 6x + 1
d.- p(x) = 6x – 8 ; q(x) = x + 5 ; h(x) = 5x – 2
48
4.- Elemento Neutro: p(x) . 1 = 1 . p(x)
a.- p(x) = 5x2 + 3x – 6 c.- p(x) = 4x2 – 6x + 5
b.- q(x) = 6x – 8 d.- h(x) = 4x3 – 5x2 + 7x – 2
División de Polinomios:
D(x) = d(x) . c(x) + r(x) D(x) = dividendo
d(x) = divisor
c(x) = cociente
r(x) = residuo
Ejercicios:
a.- Dividir (6x2 + 7x + 2) : (2x + 3) e.- Dividir (20x2 + 10x – 5) : (5x + 5)
b.- Dividir (4x3 + 4x2 – 29x + 21) : (2x – 3) f.- Dividir (10x2 + 13x – 2) : (5x – 1)
c.- Dividir (3x2 + 8x + 6) : (3x + 2) g.- Dividir (4x3 – 2x2 – x + 1) : (2x –3)
d.- Dividir (x4 – x2 – 2x – 1) : (x2 – x – 1) h.- Dividir (5/2x2+ 2/2x – 1/3) : (1/2x+3/5)
Productos Notables:
Se denomina productos notables, a determinados productos que cumplen reglas
fijas, por lo tanto, su resultado puede escribirse directamente sin necesidad de
efectuar la multiplicación.
49
Casos:
1.- Cuadrado de una Suma: el cuadrado de una suma de dos términos es igual al
cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del
segundo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ejemplo: (3a + 2ab)2 = (3a)2 + 2 (3a).(2ab) + (2ab)2
2
9a2 + 12a2 + 4a2 b2
Ejercicios: a.- (5x2 y + 2a2 x)2 = c.- (4p4 q5 + 8p2 )2 =
b.- (3x2 + 5y3 )2 = d.- (7a3 + 9b4 )2=
2.- Cuadrado de una Diferencia: el cuadrado de la diferencia de dos términos, es
igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el
cuadrado del segundo.
(a – b)2 = a2 - 2ab + b2
Ejercicios: a.- (a – 2b)2 = c.- (2x2 y – y2 x2) =
b.- ( 3a2 - 7b4 )2 = d.- (4a3 b4 - 7a5 )2 =
50
3.- Suma por Diferencia: la suma de dos términos por su diferencia es igual a la
diferencia de sus cuadrados. El cuadrado del primer término, menos el cuadrado del
segundo término.
(a + b) . (a – b) = a2 – b2
Ejercicios:
a.- (4x2 y + 3) . (4x2 y – 3)= c.- (2a3 b4 + 5p) . (2a3 b4 – 5p)=
b.- (3x3 – 2y) . (3x3 + 2y)= d.- (6x3 + 8y6 ) . ( 6x3 – 8y6 )=
4.- Producto de la Forma: el resultado es siempre un trinomio cuyas características
son:
a.- El 1er término es el cuadrado del término común.
b.- El 2d0 término es el término común multiplicado por la suma algebraica de los
términos no comunes.
c.- El 3er término es el producto de los términos no comunes.
(x + a) . (x + b) = x2 + (a + b)x + a . b
51
Ejercicios:
a.- (m + 4) . (m-2)= b.- (a2 - 4) . (a2 – 3) c.- (x + 4) . (x + 6)=
d.- (a + 7) . (a + 9)= e.- (b + 5).(b + 8)= f.- (q + 7).(q + 4)=
5.- Cubo de la Suma de dos Términos: el cubo de la suma de dos términos, es igual al
cubo del primero más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres
veces el primero por el cuadrado del segundo más el cubo del segundo.
(a+ b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
Ejercicios:
a.- (3a + 5b)3 = b.- (6x3 + 7y)3 = c.- (4a2 b + 3x)3 =
6.- Cubo de la Diferencia de dos Términos: el cubo de la diferencia de dos términos,
es igual al cubo del primero menos tres veces el cuadrado del primero por el
segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del
segundo.
(a – b)3 = a3 – 3a2 b + 3ab2 - b3
52
Ejercicios:
a.- (3a – 9x5 )3 = b.- (7a3 – 6x6 )3 = c.- ( 2a2 - 4y3)3 =
Factorización de Polinomios:
Es el proceso que permite transformar un polinomio en el producto indicado de
dos o más factores.
Casos de Factorización:
Para descubrir que factores intervienen en la formación de un polinomio, se
procede por tanteos, por lo tanto, en forma general no es fácil transformar un
polinomio en el producto indicado de dos o más factores, porque no todos los
polinomios son factorizables, sin embargo, cuando el polinomio presenta una
determinada forma, se puede factorizar con ayuda de un conjunto de reglas:
a.- Factor común.
b.- Binomios en forma de diferencia de cuadrados.
c.- Trinomio cuadrado perfecto.
d.- Trinomios de la forma x2 + a x + b.
e.- Por agrupación de términos semejantes.
53
a.- Factor Común:
Es el polinomio donde todos sus términos tienen el mismo factor. Este factor
común, puede ser un número, una letra, o la composición de números y letras.
Cuando un polinomio tiene factor común, se puede factorizar así: se escribe el
factor común multiplicando a un paréntesis dentro del cual se escriben los cocientes
que resultan de dividir cada término entre el factor común.
Ejemplo: factorizar 3x4 + 6x3 + 2x f . c = x
x(3x3 + 6x2 + 2)
Ejercicios:
a.- 3x4 + 7x3 – 7x2 + 8x b.- 5a3 + 7a2 – 9a c.- 3a5 b4 + 2 a4 b3
d.- 6x3 y3 + x2 y – 9xy e.- 4a6 b5 + 6a5 b4 – 8a3 b2
b.- Factorización en forma de Diferencia de Cuadrados:
Cuando un binomio está formado por una diferencia de cuadrados; es decir, que
cada término tiene raíz cuadrada, su factorización es igual al producto de dos
paréntesis formados por la suma y por la diferencia de dichas raíces.
Ejemplo: Factorizar 4a2 - b2 4 raíz = 2
a2 = a (2a + b) . (2a – b)
b2 = b
54
Ejercicios:
a.- 1 – 36x2 y6 b.- 36 – x2 c.- 25x2 – 64b2 x6
d.- 1 – 4x6 e.- 1 - 9b2 x6 f.- 16a2 - 1 4 25 100 4
c.- Factorización de Trinomios Cuadrados Perfectos:
Se denomina trinomio cuadrados perfectos al que se origina de elevar al
cuadrado un binomio.
Regla para factorizar trinomios:
a.- Se ordena el trinomio con relación a una de sus letras y se tiene que cumplir que
el primero y el tercer término tengan el mismo signo y tengan raíz.
b.- Se obtienen las raíces del 1er y 3er término.
c.- Se escriben estas raíces separadas por el signo del 2do término dentro de un
paréntesis elevado al cuadrado.
d.- Se tiene que cumplir que el doble del producto de las raíces sea igual al segundo
término.
55
Ejemplo: Factorizar x2 + 14xy + 49y2
Raíz del primero: x2 = x
Raíz del tercero : 49y2 = 7y
Doble producto de las raíces: 2.x.7y = 14xy
Resultado = ( x + 7y)2
Ejercicios:
a.- x2 - 6x + 9 b.- -x2 + 6x – 9 c.- 12x2 + x4 + 36
d.- 16a2 + 4a + 4 e.- x2 + y2 – x y f.- x2 + 10x + 25
d.- Factorización Trinomio de la Forma x2 + ax +b
Características:
a.- El coeficiente del 1er término es 1.
b.- El 1er término está formado por una letra o varias, elevadas a una potencia par.
c.- El 2do término está formado por el producto de un número que multiplica la raíz
del 1ro.
d.- El 3er término es un número.
Ejemplo: Factorizar x2 + 7x + 10 x . x = x2
2 + 5 = 7 (x + 2) . (x + 5)
2 . 5 = 10
56
Ejercicios:
a.- x2 + 10x – 24 b.- a2 – 5a - 24 c.- x2 + 11x – 12
d.- y2 + 15y + 36 e.- a2 - 6a - 40 f.- a2 + 11a + 24-
57
Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de
las matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la
posibilidad de que un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La
probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento
necesario de la estadística.
La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo
XVII Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores,
como Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes
contribuciones a su desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un
intento de responder a varias preguntas que surgían en los juegos de azar, por
ejemplo saber cuántas veces se han de lanzar un par de dados para que la
probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.
La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1,
ambos inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la
probabilidad 1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos
estudian la probabilidad de un suceso favorable en un experimento o
acontecimiento con un número finito de resultados, todos ellos con igual
probabilidad de ocurrir. Si un experimento tiene n posibles resultados, y f de ellos
se consideran favorables, la probabilidad de un suceso favorable es f/n. Por
ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas posibles, por tanto, la
probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más complicados estudian
acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas probabilidades de
ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al lanzar un par
de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas probabilidades.
58
Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de posibles
resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada
aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.
Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad
y la estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un
3 y al menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una
persona lanza una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso
hacia atrás si sale cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la
persona esté a menos de 10 pasos del origen.
En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente
excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos
sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es
igual al producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son
excluyentes si la ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son
independientes si la ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el
otro ocurra o no. Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los
casos de un conjunto dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de
que al menos uno de los casos de un conjunto dado de sucesos ocurra.
Probabilidad condicional es la probabilidad de que un suceso ocurra cuando se
sabe que otro suceso ha ocurrido o va a ocurrir.
Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no
ocurra es q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y
la de que no ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente
excluyentes X e Y son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y
no ocurra es p contra P. Si un experimento debe dar como resultado uno de los
sucesos O1, O2,…, On, mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2,
…, pn, respectivamente, y si a cada uno de los posibles resultados se le asigna un
valor numérico v1, v2, … vn, el resultado esperado del experimento es E = p1v1 +
59
p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si
saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5; pierde 12 pasteles si saca un 6. El resultado
esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o lo que es
lo mismo, un pastel.
El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis
estadístico. Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo
que significa (se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin
hacer trampas, un gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos
darán 7. Este concepto se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la
probabilidad de un suceso que no se puede medir o es imposible de obtener. Así, si
la estadística a largo plazo muestra que por cada 100 personas entre 20 y 30 años
sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que quiere decir que la probabilidad de
que una de esas personas llegue a los 70 años es de un 42 por ciento.
La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas
y sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan
dispares como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia
problemas matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante
relacionada con la teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del
cálculo.
P = CF casos favorables
CP casos posibles
Ejemplo: Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.
P = 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50%
2
60
Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:
a) Al lanzar dos dados salga el N° 4 y el N° 6.
b) Al lanzar dos monedas salga cara y sello.
c) Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una
verde, salga una azul y una roja.
d) Al lanzar una moneda y un dado salga sello y el N° 3.
61
Estadística: rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y
analizar datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de
experimentos y la toma de decisiones.
Historia :
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de
estadística, pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en
pieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para contar el número de
personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban
ya pequeñas tablillas de arcilla para recopilar datos en tablas sobre la producción
agrícola y de los géneros vendidos o cambiados mediante trueque. Los egipcios
analizaban los datos de la población y la renta del país mucho antes de construir
las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros bíblicos de Números y Crónicas
incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El primero contiene dos censos
de la población de Israel y el segundo describe el bienestar material de las diversas
tribus judías. En China existían registros numéricos similares con anterioridad al
año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya información se utilizaba
hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.
El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de
datos sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control.
Durante la edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en
Europa.
62
Los reyes caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios
minuciosos de las propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente.
Después de la conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de
Inglaterra encargó un censo. La información obtenida con este censo, llevado a
cabo en 1086, se recoge en el Domesday Book. El registro de nacimientos y
defunciones comenzó en Inglaterra a principios del siglo XVI, y en 1662 apareció
el primer estudio estadístico notable de población, titulado Observations on the
London Bills of Mortality (Comentarios sobre las partidas de defunción en
Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la ciudad de Breslau,
en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés Edmund
Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la
generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las
ciencias naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir
la información a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones
verbales.
En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para
describir con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales,
psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y
analizar dichos datos. El trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en
reunir y tabular los datos, sino sobre todo en el proceso de interpretación de esa
información. El desarrollo de la teoría de la probabilidad ha aumentado el alcance
de las aplicaciones de la estadística. Muchos conjuntos de datos se pueden
aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas distribuciones
probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar datos
estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las inferencias
estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un
determinado estudio estadístico.
63
Métodos estadísticos :
La materia prima de la estadística consiste en conjuntos de números obtenidos
al contar o medir cosas. Al recopilar datos estadísticos se ha de tener especial
cuidado para garantizar que la información sea completa y correcta.
El primer problema para los estadísticos reside en determinar qué información
y cuánta se ha de reunir. En realidad, la dificultad al compilar un censo está en
obtener el número de habitantes de forma completa y exacta; de la misma manera
que un físico que quiere contar el número de colisiones por segundo entre las
moléculas de un gas debe empezar determinando con precisión la naturaleza de los
objetos a contar. Los estadísticos se enfrentan a un complejo problema cuando, por
ejemplo, toman una muestra para un sondeo de opinión o una encuesta electoral.
El seleccionar una muestra capaz de representar con exactitud las preferencias
del total de la población no es tarea fácil.
Para establecer una ley física, biológica o social, el estadístico debe comenzar
con un conjunto de datos y modificarlo basándose en la experiencia. Por ejemplo,
en los primeros estudios sobre crecimiento de la población los cambios en el
número de habitantes se predecían calculando la diferencia entre el número de
nacimientos y el de fallecimientos en un determinado lapso. Los expertos en
estudios de población comprobaron que la tasa de crecimiento depende sólo del
número de nacimientos, sin que el número de defunciones tenga importancia. Por
tanto, el futuro crecimiento de la población se empezó a calcular basándose en el
número anual de nacimientos por cada 1.000 habitantes. Sin embargo, pronto se
dieron cuenta que las predicciones obtenidas utilizando este método no daban
resultados correctos. Los estadísticos comprobaron que hay otros factores que
limitan el crecimiento de la población. Dado que el número de posibles
nacimientos depende del número de mujeres, y no del total de la población, y dado
que las mujeres sólo tienen hijos durante parte de su vida, el dato más importante
que se ha de utilizar para predecir la población es el número de niños nacidos
64
vivos por cada 1.000 mujeres en edad de procrear. El valor obtenido utilizando
este dato mejora al combinarlo con el dato del porcentaje de mujeres sin
descendencia. Por tanto, la diferencia entre nacimientos y fallecimientos sólo es
útil para indicar el crecimiento de población en un determinado periodo de tiempo
del pasado, el número de nacimientos por cada 1.000 habitantes sólo expresa la
tasa de crecimiento en el mismo periodo, y sólo el número de nacimientos por cada
1.000 mujeres en edad de procrear sirve para predecir el número de habitantes en
el futuro.
Tabulación y presentación de los datos:
Los datos recogidos deben ser organizados, tabulados y presentados para que
su análisis e interpretación sean rápidos y útiles. Por ejemplo, para estudiar e
interpretar la distribución de las notas o calificaciones de un examen en una clase
con 30 alumnos, primero se ordenan las notas en orden creciente: 3,0; 3,5; 4,3;
5,2; 6,1; 6,5; 6,5; 6,5; 6,8; 7,0; 7,2; 7,2; 7,3; 7,5; 7,5; 7,6; 7,7; 7,8; 7,8; 8,0; 8,3;
8,5; 8,8; 8,8; 9,0; 9,1; 9,6; 9,7; 10 y 10. Esta secuencia muestra, a primera vista,
que la máxima nota es un 10, y la mínima es un 3; el rango, diferencia entre la
máxima y la mínima es 7.
En un diagrama de frecuencia acumulada, como el de la figura 1, las notas
aparecen en el eje horizontal y el número de alumnos en el eje vertical izquierdo,
con el correspondiente porcentaje a la derecha. Cada punto representa el número
total de estudiantes que han obtenido una calificación menor o igual que el valor
dado. Por ejemplo, el punto A corresponde a 7,2, y según el eje vertical, hay 12
alumnos, o un 40%, con calificaciones menores o iguales que 7,2.
65
Para analizar las calificaciones obtenidas por 10 clases de 30 alumnos cada
una en cuatro exámenes distintos (un total de 1.200 calificaciones), hay que tener
en cuenta que la cantidad de datos es demasiado grande para representarlos como
en la figura 1. El estadístico tiene que separar los datos en grupos elegidos
previamente denominados intervalos. Por ejemplo, se pueden utilizar 10 intervalos
para tabular las 1.200 calificaciones, que se muestran en la columna (a) de la tabla
de distribución de datos adjunta; el número de calificaciones por cada intervalo,
llamado frecuencia del intervalo, se muestra en la columna (c). Los números que
definen el rango de un intervalo se denominan límites. Es conveniente elegir los
límites de manera que los rangos de todos los intervalos sean iguales y que los
puntos medios sean números sencillos. Una calificación de 8,7 se cuenta en el
intervalo entre 8 y 9; una calificación igual a un límite de intervalo, como 9, se
puede asignar a cualquiera de los dos intervalos, aunque se debe hacer de la
misma manera a lo largo de toda la muestra. La frecuencia relativa, columna (d),
es la proporción entre la frecuencia de un intervalo y el número total de datos. La
frecuencia acumulada, columna (e), es el número de estudiantes con calificaciones
iguales o menores que el rango de cada intervalo sucesivo. Así, el número de
66
estudiantes con calificaciones menores o iguales a 3 se calcula sumando las
frecuencias de la columna (c) de los tres primeros intervalos, dando 53. La
frecuencia acumulada relativa, columna (f), es el cociente entre la frecuencia
acumulada y el número total de notas.
Los datos de una tabla de distribución de frecuencias se pueden representar
gráficamente utilizando un histograma o diagrama de barras (como en la figura 2),
o como un polígono de frecuencias acumuladas (como en la figura 3). El
histograma es una serie de rectángulos con bases iguales al rango de los intervalos
y con área proporcional a sus frecuencias. El polígono de la figura 3 se obtiene
conectando los puntos medios de cada intervalo de un histograma de frecuencias
acumuladas con segmentos rectilíneos.
67
En los periódicos y otros medios de comunicación los datos se representan
gráficamente utilizando símbolos de diferente longitud o tamaño que representan
las distintas frecuencias.
Valores de la tendencia central:
Una vez que los datos han sido reunidos y tabulados, comienza el análisis con el
objeto de calcular un número único, que represente o resuma todos los datos. Dado
que por lo general la frecuencia de los intervalos centrales es mayor que el resto,
este número se suele denominar valor o medida de la tendencia central.
Sean x1, x2, …, xn los datos de un estudio estadístico. El valor utilizado más a
menudo es la media aritmética o promedio aritmético que se escribe x, y que es
igual a la suma de todos los valores dividida por n:
68
El símbolo S, o sumatorio, denota la suma de todos los datos. Si las x se
agrupan en k intervalos, con puntos medios m1, m2, …, mk y frecuencias f1, f2, …,
fk, la media aritmética viene dada por
donde i = 1, 2, …, k.
La mediana y la moda son otros dos valores de la tendencia central. Si las x se
ordenan según sus valores numéricos, si n es impar la mediana es la x que ocupa la
posición central y si n es par la mediana es la media o promedio de las dos x
centrales. La moda es la x que aparece con mayor frecuencia. Si dos o más x
aparecen con igual máxima frecuencia, se dice que el conjunto de las x no tiene
moda, o es bimodal, siendo la moda las dos x que aparecen con más frecuencia, o
es trimodal, con modas las tres x más frecuentes.
Tipos de Gráficos:
1) Gráfico de Barras: 45 kg
40 kg
35 kg pesos 30 kg
25 kg
1 2 3 4 5 6
69
2) Gráfico Circular:
25 % 30 %
20 % 25 %
2) Gráfico de Líneas:
20
15
notas 10
05
01
5 10 15 20 25
70
3) Gráfico de puntos:
5000 *
4000 *
3000 * Bolívares
2000 *
1000 *
01 05 10 15 20
Compradores
Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:
Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada
01 - 05 6 6
06 - 10 8 14
11 - 15 4 18
16 - 20 5 23
71
8
7
6
frecuencia 5
4
3
2
1
01 05 10 15 20
intervalos
Ejercicio: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular.
Clases frecuencias punto medio frecuencia acum..
01 - 05 5 3 5
06 - 10 6 8 11
11 - 15 4 13 15
16 - 20 7 18 22
72
Ejercicio: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras:
Intervalos frecuencias punto medio p. m x f
01 - 02 6
02 - 04 8
05 - 06 7
07 - 08 4
73
Nociones elementales de Informática:
a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una
manera formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o
procedimiento manual o automatizado.
b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a
un hecho o fenómeno.
c) Tipos de datos:
1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan
origen al proceso.
2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no
permiten verificar todas las transacciones.
d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,
capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se
trate de una lectura o de una escritura.
74
e) Formas de procesamiento de datos:
.- Medios perforados.
.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.
cintas perforadas.
.- Medios magnéticos: tambor magnético.
soporte magnético.
cintas magnéticas.
disco magnético.
.- Medios ópticos.
.- Terminales de teclado-pantalla.
.- Impresora.
75
Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está
formada por:
a) Monitor o pantalla.
b) Teclado.
c) C .P.U
d) Impresora.
e) Mouse.
f) Fax.
g) Scanner.
76
77
Partes de un Computador
Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida
Traduce palabras y números Almacena datos e lenguaje a lenguaje de máqui- instrucciones nas.
Unidad de Control
Controla los cálculos y el ordende las instrucciones
Unidad Aritmética
Ejecuta todos los cálculos
Unidad Central de Procesamiento
Traduce ellenguaje demáquina apalabras ynúmeros
78
Características de los computadores:
a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:
.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.
.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por
medio de lenguajes de programación.
b) Tienen gran velocidad de cálculo.
c) Tienen gran capacidad de almacenamiento.
d) Tienen gran precisión.
e) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos
Tópicos.
f)Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.
Aplicaciones de los computadores:
Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los
trabajos administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el
nombre de ofimática.
79
Tareas administrativas del computador:
a) Gestión de personal.
b) Proceso de nóminas.
c) Control de inventarios.
d) Gestión de almacén.
e) Facturación y contabilidad.
f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.
g) Información de productores, partes y materiales.
h) Estado de cuentas de los clientes.
Aplicaciones Industriales:
a) Control de procesos industriales.
b) Robótica industrial.
c) Diseño.
d) Otros.
Aplicaciones tecno-científico:
a) Predicciones meteorológicas.
b) Control ambiental.
c) Control de comunicación satelital.
d) Programas de simulación (vuelos).
e) Otros.
80
Aplicaciones médicas:
a) Control clínico del paciente.
b) Mantenimiento de hospitales.
c) Tomografía computarizada.
d) Otros.
Concepto de algoritmo:
El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente
especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema
específico (definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones)
ordenadas lógicamente.
81
Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:
Proceso salida - entrada
Operación
Manual decisión
Inicio-fin introducción
manual
magnetic-tape
documento punched
card
82
Representación gráfica de algoritmos :
1) Algoritmo para abrir una puerta
inicio
acercarse a
la puerta
intentar abrirla dándole vuelta al pomo
no ¿ está cerrada si buscar la introducir la con llave? Llave llave en la cerradura
darle vuelta a
la llave
dar vuelta no ¿ Se abrió
al pomo la puerta
abrir comple- salir tamente la puerta
fin
83
Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.
Algoritmo:
1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)
2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)
3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)
4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.
5.- Imprimir : SUM.
Comienzo
N = 0SUM = 0
N = N + 1
SUM = SUM + N
Si ¿ Es N < 20
No
Imprima SUM fin
84
Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enterospositivos.
Algoritmo:
1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.6.- Imprimir
Comienzo
N = 0X = 0
SUM = 0
X = X + 2
N = N + 1
SUM = SUM + X
Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima
85
1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.
2) Representar el algoritmo para bañarse.
3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.
4) Representar el algoritmo para levantarse.
Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos
5) Leer los N° enteros positivos A y B6) Asignar a las variables PROD y N el valor 07) Sumar a PROD el valor en A8) Aumentar a N en 1.9) Si N < B pasar a instrucción3.10) Imprimir: PROD
Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.
1) Leer los N° enteros positivos A y B.2) Asignar a las variable COC el valor 0.3) Efectuar A – B y asignarlo a A.4) Aumentar a COC en 1.5) Asignar a RES el valor A.6) Imprimir: COC y RES
86
Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros
positivos, utilizando divisiones sucesivas.
1) Leer los números enteros positivos A y B.
2) Si A > B, pasar a instrucción 4.
3)Intercambiar valores de A y B.
2) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.
3) Si R = 0 pasar a instrucción 7
4) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.
5) Imprimir; MCD (A , B) = B
87
Dados los conjuntos: A = 1,2,3,4 B = a,2,c, d C = 2,3,4
D = a, b,1,2 E = a,0,1
1) Hallar la relación “es igual a” de A B
2) Hallar la relación “le sigue a” de A C
3) Hallar la relación “ no es igual a” B D
4) Hallar la relación “le antecede a” D E
Hallar el producto cartesiano de los conjuntos:
1) A = 1,2,3,a 2) B = a ,b, c, d 3) C = x, a,1,7
4) A = # , * 5) C = + , a , b 6) B = x, y ,z
88
Dados los siguientes conjuntos, hallar la representación gráfica , el tipo
de función, dominio y rango:
A = 1,2,3,4 B = a, b, c C = 1, f, e, x
D = 1,x, f, r E = a,*,+,1 F = z ,r, t
1) A f B f: (1,a),(2,b),(3,c)
2) A f C f: (1,1),(2,f),(3,e),(4,x)
3) B f D f: (a,1),(b, x),(c, f),(c, r)
4) D f E f: (1,a),(x,*),(f,+),(r,+)
5) E f F f: (a, z),(*,r),(+,t),(1,t)
89
Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones.
a) –4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)=
b) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}=
c) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}=
d) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=
Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones:
a) (15+1):8= b) 20 : (7+3)= c) (-36) : (6-12)=
d) (23-11) : (-6)= e) 45 : (14-5)= f) (-80) : (15+5)=
Efectuar cada una de las siguientes expresiones:
a) 32.34.35 = b) 23.34.25.310 = c) a3.b2a.b3 =
3.36 3.22.2.35 a2.b3
90
Hallar el m. c. m de los siguientes números:
a) 20 y 4 b) 30 y 6 c) 5 y 7 d) 15 y 25 e)21 y 34
f)12,3,15 g) 24,12,30 h) 4,8,9 i) 9,10,7 j) 5,9,16
Determinar el M. C. D de los siguientes números:
a) 72 y 90 b) 140 y 35 c) 24 y 56 d) 14 y 8 e) 12 y 34
f) 25 y 46 g) 14 y 28 h) 35 y 42 i) 28 y 35 j) 21 y 30
Efectuar cada una de las siguientes adiciones:
a) 2/6 + 7/4 = b) 5/3 + 6/5 = c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =
d) 5/2 + 7/5 = e) 4/3 + 8/6 + 9/4 = f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =
g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 = i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =
91
Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como
una fracción irreducible:
a) ( 3/4 ) . (-5/3)= b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) = c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =
d) (4/6) . (5/6) . (5/2) = e) (7/6) . (4/5) . (3/6) = f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =
Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando larespuesta lo mas simplificado posible:
a) (3/4 + 2/5) : 2/3 = b) (5/2 – 1/5) : 2/4 = c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =
d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) = e) (5/6 : 4/3) : 6/4 = f) (4/6 – 8/4) . 6/3 =
g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) = h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =
Efectuar cada una de las siguientes potencias:
a) (2/3)4 . (2/3)3 = b) (-1/3)2: (-2/3)4 = c) (3/5) . (3/5)4 =
d) (3/4)2 . (6/5) = e) (2/3)4 . (1/5) 4 = f) (6/4)3 : (6/4)2 =
g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2 3 = h) (4/2)3 . (5/2)3 5 : (4/2)
92
Hallar el valor numérico de los polinomios:
1) p(x) = 2x + 3 donde x = 2
2) q(x) = x2 – 1 donde x = 3
3) t(x) = 2x + 3 x donde x = -1
4) s(x) = 3 – x3 donde x = 2
5) p(x) = x3 + 4x – 2 donde x = 3
6) q(x) = 4x – x + 5 donde x = 2
Dados los polinomios : p(x) = 9x3 + 6x2 – 2x + 1
q(x) = 5x4 – 5x3 + 4x2 – 8x + 3 ; t(x) = 5x3 + 6x2 – 2x + 1 ;
r(x) = 2/3 x2 – 4/2 x + 3/3 ; s(x) = 3/2 x2 + 5/2 x – 2/2
h(x) = 3/5 x2 + 2/5 x – 7/4 ; z(x) = 2 x2 + 3 x - 7
Hallar la suma de los polinomios:
1) p(x) + q(x) 2) p(x) + t(x) 3) q(x) + t(x)
4) r(x) + s(x) 5) r(x) + h(x) 6) s(x) + h(x)
7) Conmutativa: p(x) + q(x) 8) Conmutativa: p(x) + t(x)
9) Asociativa: p(x) + q(x) + z(x) 10) Elemento neutro p(x) + 0
11) Elemento neutro q(x) + 0 11) Elemento simétrico de p(x)
93
Dados los polinomios: p(x) = 2x2 + 3x – 6 ; q(x) = 4x2 – 5x + 9
t(x) = 3x3 – 5x2 + 7x – 6 ; s(x) = 6x2 – 7x + 5
Hallar la sustracción de los polinomios:
1) p(x) – q(x) 2) p(x) – t(x) 3) p(x) – s(x)
4) q(x) – t(x) 5) q(x) – s(x) 6) t(x) – s(x)
Dados los polinomios. p(x) = 2x + 7 ; q(x) = 4x – 5
h(x) = 5x – 9 ; t(x) = 2x2 – 5x + 2 ; s(x) = 3x2 + 7x + 4
Hallar:
1) p(x) . q(x) 2) p(x) . h(x) 3) p(x) . t(x)
4) q(x) . t(x) 5) h(x) . s(x) 6) p(x) . s(x)
7) Conmutativa: p(x) . q(x) 8) Asociativa: p(x) . q(x) . h(x)
9) Elemento neutro: p(x) . 1 10) Distributiva: p(x) . {q(x) ± h(x)}
94
Hallar la división de los polinomios:
1) (4x2 – 6x + 8) : (2x + 2) 2) (8x2 – 2x + 10) : (2x – 4)
3) (10x2 + 5x + 5) : (5x – 5) 4) (9x2 – 6x + 8) : (3x – 6)
Resolver los siguientes productos notables:
1) (2x3 + 4p6)2 2) (5ab2 + 8 c5)2 3) (6q4 + 7 t5)2
4) (3a3 – 5c4)2 5) (6b5 – 9g6)2 6) (6x3 – 7y8)2
7) (3a + b).(3a – b) 8) (3x2 + 2y).(3x2 – 2y) 9) (4p3 + 8q).(4p3 – 8q)
10) (x + 4).(x + 8) 11) (a + 9).(a + 5) 12) (p + 6).(p + 3)
13) (x + 6q)3 14) (2a2 + 6x5)3 15) (6p4 – 9r6)3
95
Factorizar los siguientes polinomios:
1) 3x4 + 6x3 + 2x 2) 4b5 – 8b4 + 6b3 3) 2x5y6 + 7x4y5 – 6x3y4
4) 9x4 – 4p8 5) 25a6 – 16y10 6) 36q2r4 – 49y12
7) - x2 + 6x – 9 8) 20ax – 25x2 + 4a2 9) x6 – 2x3 + 1
10) x2 + 10x – 24 11) a2 – 5a – 24 12) b2 – 9b + 18
13) ax – bx + ay – by 14) a2 + 2ab + b2 15) x2 + 5x + 6 + 3a
96
Hallar la probabilidad de que:
a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.
b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.
c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.
d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras
verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.
e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay
de que acierte:
4 5 8 9 1 0 3
12 4 7 10 23 13 43
32 89 45 54 78 98 46
27 37 4 60 100 48 41
96 3 12 76 1 0 52
97
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,
uno de líneas y otro circular:
Clases frecuencias punto medio f. acumulada
00-06 5
07-13 7
14-20 4
21-27 8
Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras y
uno de puntos:
Intervalos frecuencias punto medio p . m x f
1 – 10 5
11 - 20 8
21 – 30 6
31 - 40 9
98
99
Ludo de los Números Enteros
Descripción:
Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro
colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules,
4 amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.
El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas
con los números enteros.
Regla del Juego:
1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).
2.- Se utilizará un dado a la vez.
3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la
casilla de llegada.
4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto
esperara su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.
5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.
Objetivo Terminal:
El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales
de los números enteros.
100
101
Memoria de los Números Enteros
Descripción:
Consta de 56 piezas en forma de cuadriláteros, elaborados en cartulina doble-
fax, donde un lado estará con un número, palabra o signo, relacionado con el tema
de los números enteros (preferiblemente en colores), y el otro lado en blanco.
Regla del juego:
1.- Se colocará todas las piezas con el color blanco hacia arriba.
2.- Pueden jugar hasta 5 alumnos.
3.- Cada alumno irá levantando de dos piezas hasta que coincidan las figuras, una
vez que coincidan se anexarán al jugador.
4.- Ganará aquel jugador que logre acumular el mayor número de parejas.
Objetivo Terminal:
Comprobar que el alumno esté en capacidad de relacionar los números
negativos, los positivos y el cero como números enteros.
Conocer que los números enteros se escriben como Z.
Establecer que los números naturales son un sub-conjunto de los números
enteros.
102
103
N Z N Z
104
|
105
Juguemos con los Dados
Suma de Fracciones
Descripción del juego:
Se formarán 6 grupos de seis alumnos y cada grupo se dividirá en tres (3
equipos).
Luego se les entregará dos (2) dados que tienen en cada cara una fracción. Los
alumnos dirán que pareja del grupo de seis comienza lanzando los dados, para
comenzar la competencia entre ellos.
Al lanzar los dados quedarán dos fracciones que la pareja tendrá que sumar y
los que lo hagan en menor tiempo y correctamente se anotarán un (1) punto y
competirá con la otra pareja.
La pareja ganadora se queda y sale la perdedora, y así sucesivamente.
Al final competirán entre sí los ganadores de los seis equipos, y se irán
eliminando hasta quedar un (1) ganador. El profesor recogerá el record de todos
los competidores, asignándole desde 0,25 puntos hasta 2 puntos a los ganadores
(dependiendo de las veces que haya ganado).
Propósito:
.- Practicar la suma de fracciones con igual y diferentes denominadores.
.- Compartir conocimientos. Solidaridad.
.- Ser críticos.
Objetivo terminal:
Que los alumnos afiancen los conocimientos en suma de fracciones.
106
Caras de los Dados
Primer Dado:
Segundo Dado:
4 6
5 2
6 4
2 7
4 6
3 5
3 4
2 5
3 6
1 2
2 3
1 4
107
El Tablero de los Vectores
Descripción:
Consiste en un tablero contentivo de 20 combinaciones, que se pueden definir
de los lanzamientos de los dados. Cada combinación tiene un número ( 1 al 20) que
identifica una pregunta específica , además se tendrá también 20 tarjetas con las
respuestas.
Regla del Juego:
1.- Podrán jugar 2, 4 ó 6 jugadores por tablero.
2.- Se colocarán en grupos en una mesa o piso.
3.- Utilizarán dos dados , se rifará el salidor de la partida.
4.- Al lanzar los dados, saldrá una combinación a la que le corresponde una
pregunta. Se le formulará al jugador, quien deberá responder para ganar el punto.
5.- Hay combinaciones en las que aparecerá lo siguiente: “vuelve a lanzar”,
“pierdes 1 punto”, “ganas 1 ó 2 puntos”.
6.- Ganará el jugador que acumule mas puntos.
Objetivo Terminal:
Se logrará cumplir con el objetivo, cuando los alumnos logren responder todas
las preguntas correctamente sobre el tema de los vectores.
108
Define Vector Componente de Sumar los vecto- Haler el compo-
un vector se ano- res a = (3 , 2) y nente del vector
ta. b = (4 , 5) a =(3, 4) b = (1,6)
El sistema de coor- Un par ordenado Se define denada rectangu- se denota: ¡ SUERTE! lar se dibuja S = (x1+x2,y1+y2)
como:
¡ SORPRESA! El par ordenado Esta propiedad : a - b se define: (-1,5) se grafica: a + b = b + a es:
LO LAMENTO Resuelve a - b Esta propiedad es
a = (2,3) b = (-4,5) ( a + b) + c = ¡ SORPRESA!
a + ( b + c)
Dado a = (2,-4) Aplica propiedad ¡ SUERTE! Esta propiedad es:
Hallar: 3 . a conmutativa a + 0 = 0 + a
a = (2,-3) b = (4,6)
109
Tarjetas de Respuestas
Posterior
1
Vector es un segmento orientado
3
a + b = (3+4,2+5)
(7 , 7)
2
ab
4
a b = (1 –3, 6-4) = (-2,-2)
5 6
( a , b)
110
7
Ganas 1 punto
8
Adición de Vectores
9
Vuelve a lanzar los dados
10
11
Conmutativa
12
Sustracción de Vectores
13
Pierdes 1 punto
14
a - b = (2-(-4),3-5) = ( 6,-2)
15
Asociativa
16
Vuelve a lanzar los dados
111
17
3(2,-4) = (6,-12)
18
a + b = (2+4,-3+6) = (6,3)
19
Ganas 2 puntos
20
Elemento Neutro
112
Juego de Dardos de los Conjuntos y Funciones
Descripción:
El juego consiste en doce circunferencias dibujadas en degradación, enumeradas
de adentro hacia fuera de la siguiente forma: 12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1.
Cada número en la circunferencia tiene una pregunta y una respuesta (teoría y
ejercicios). El valor en puntos es el mismo al número representado.
Se dibujarán las circunferencias en una cartulina, se enumerarán y forrará con
papel engomado transparente.
Regla del juego:
1.- Se colocará la lámina pegada en una pared.
2.- Se dispondrá de plastilina, y se harán varias pelotitas de varios colores.
3.- Jugará un alumno a la vez, haciendo 5 lanzamientos cada uno hacia la lamina, a
una distancia cercana.
4.- Las pelotitas acertadas en los números correspondientes tienen sus preguntas,
que deben ser respondidas por el jugador.
5.- El juego contiene una tabla de 12 preguntas y 12 tarjetas en forma de
circunferencias que son las respuestas.
6.- Las preguntas acertadas tendrán el mismo valor en puntos, que el número de la
pregunta.
7.- Ganará el alumno que acumule más puntos.
Objetivo Terminal:
Se dará por cumplido el objetivo, cuando el alumno conozca o domine los ítem de
este juego.
113
7
114
Tabla de Preguntas
1.- Define el Conjunto
2.- Este conjunto es A = { }
3.- El Producto Cartesiano de dos conjuntos se denota:
4.- Dibuja la relación de dos conjuntos
5.- Hallar: f: { (a , x) ; (b , y) ; (c , z) }
6.- Este gráfico de denomina: . . .
. . .
7.- Define la relación de orden
8.- Se cumple la propiedad:
9.- Dado A = { a , b , c }. Hacer la tabla de composición ( a * b) = b
10.- Este es un conjunto B = { 1 }
115
11.- Las funciones se clasifican:
12.- Se cumple la propiedad:
Tarjetas: (posterior)
116
Tarjetas de Respuestas ( anterior)
117
118
Juego de Dominó en la Geometría
Descripción:
El juego de dominó consta de 28 fichas rectangulares. Cada ficha está dividida
en dos recuadros iguales. Cada recuadro expresa una relación.
El juego tiene 56 relaciones en total, las cuales pertenecen al objetivo de figuras
geométricas y cuerpos geométricos. El juego consiste en empatar la figura,
fórmula o cálculo del extremo de una ficha, con una relación de su misma clase,
perteneciente a otra ficha:
Regla del Juego:
Juegan cuatro (4) jugadores por mesa de juego, en el taller, o juntando
pupitres en una aula normal. Para una sección de 24 a 32 alumnos, se necesitará
6 ó 8 juegos semejantes.
El juego se desarrolla en la misma forma que un dominó convencional: se
revuelven las fichas boca abajo, cada jugador recoge 7 piezas y las ordena frente
suyo.
119
El jugador irá colocando las fichas dependiendo de la relación que exista al
momento de jugar. Ganará el jugador que logre colocar todas las fichas. Su quipo
sumará un (1) punto cada vez que llegue primero uno del equipo.
Se jugarán 11 rondas por cada juego de manera que siempre halla un equipo
ganador.
FICHAS
120
121
122
El Fichero de los Polinomios
Descripción:
El juego consiste en un fichero construido en cartón grueso o una pequeña caja
forrada con papel bond. Se le dejará un abertura circular lo suficientemente grande
para que se pueda introducir una mano.
Se introducirán fichas previamente elaboradas en forma circular de distintos
colores. Cada color representará una pregunta o ejercicio. El jugador contestará la
pregunta o realizará el ejercicio en una hoja blanca de anotaciones que llevará el
docente.
Regla del Juego:
1.- Se introducirán las fichas dentro del fichero.
2.- Se jugará de 2,3 ó 4 jugadores por fichero.
3.- Al sacar cualquier ficha, el jugador la mostrará al docente, quien le formulará la
pregunta o ejercicio dependiendo del color.
4.- Si contesta la pregunta se le anotará 2 puntos y se retirará la ficha. Si no contesta
se volverá a introducir la ficha y no ganará puntos.
5.- Los puntos y colores de las fichas se llevará en una hoja de anotaciones.
6.- Ganará el jugador que acumule más puntos en la suma final.
Objetivo Terminal:
La finalidad de este juego es la de integrar al alumno de 8vo grado de una manera
simple y divertida, al análisis de los conceptos y desarrollo de los ejercicios básicos
de los polinomios.
123
Hoja de Anotaciones:
FICHAS
PREGUNTAS RESPUESTAS
Define polinomios Se define polinomios a toda función
que se obtiene combinando sumas y
productos de funciones idénticas y
constantes.
Define polinomio nulo Es el que tiene todos los coeficientes
Nulos.
Define polinomio constante Es el que tiene todos los coeficientes
nulos, menos el término independiente.
Jugador Colores (preguntas contestadas) Puntos Suma total
1)
2)
3)
4)
124
Define grado de un polinomio Se denomina grado de un polinomio al
mayor exponente de la variable.
Cuando un polinomio es Cuando los exponentes de la variable
completo. se suceden de unidad en unidad, desde
el término de mayor grado hasta el tér-
no independiente.
Define valor numérico de un Es el número que se obtiene cuando se
polinomio. sustituye en el polinomio, la variable
por su valor y se efectúan las operacio-
nes indicadas.
Enumera las propiedades de la Conmutativa, Asociativa, Elemento
suma de polinomios. Neutro, Elemento Simétrico
Resuelve p(x) = 5x – x p(-2) = 5(-2) – (-2)
dónde x = -2 p(-2) = - 10 + 2 = -8
125
Sumar p(x) = 5x2 + 4x + 6 p(x) = 5x2 + 4x + 6
q(x) = 2x2 – 3x + 2 q(x) = 2x2 – 3x + 2
p(x)+q(x)= 7x2 + x + 8
Aplicar Conmutativa p(x) = 3x + 6 q(x) = 4x - 2
p(x) = 3x + 6 ; q(x) = 4x – 2 q(x) = 4x – 2 p(x) = 3x + 6
7x + 4 7x + 4
Restar p(x) = 5x2 – 4x – 2 p(x) = 5x2 – 4x – 2
q(x) = - 2x2 – 3x + 7 -q(x) = 2x2 + 3x – 7
7x2 – x – 9
Multiplicar
p(x) = 4x2 – 3x + 5 p(x) = 4x2 – 3x + 5
q(x) = 6x – 3 q(x) = 6x – 3
12x2 + 9x – 15
24x3 – 18x2 + 30x.........
24x3 – 6x2 + 39x – 15
126
Dividir 6x2 – 4x + 3 2x + 4
(6x2 – 4x + 3) : ( 2x + 4) -6x2 – 12x 3x – 8
-16x + 3
16x + 32
35
127
Subiendo y bajando la escalera (Estadística)
Descripción:
Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas
de colores diferentes para identificar los jugadores .
Regla del juego:
1.- Constará de 24 escalones enumerados.
2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia,
deberá
contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.
3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.
4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.
5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder
cumplir con
los ejercicios.
6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.
7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.
8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la
sabe, y
librarse de la caída de la casilla 13.
Objetivo terminal: El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de
los objetivos de estadística y probabilidad del programa de Matemática de una
manera sencilla y amena.
128
Vuelve a empezar
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
129
Tarjetas de Preguntas
Posterior
3Toma una tarjeta de
inmunidad
1
Define Estadística
2
¿ Qué significa % ?
4
Hallar la probabilidad deque al lanzar un dado salga
el N° 4
5¿Este es un gráfico?
frecuencia
rojo
verde
azul
amarillo
morado
6¿ Que es la
probabilidad ?
130
7Lanza dos monedas y halla
la probabilidad de que salgacara y sello
8
Toma una tarjeta deinmunidad
11 ¿ Este es un gráfico de?
0
20
40
60
80
100
1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.
9
¿Qué significa fr ?
10
Toma una tarjeta deinmunidad
13
Define población
14
Toma una tarjeta deinmunidad
12
Avanza 2 escalones
131
15
Define muestra
16
¿ Cuál es la moda en?3,4,5,2,1,3,6,8,3
19Grafica el siguiente cuadro:
Intervalos Frecuencia 00 - 05 1
06 - 10 4 11 - 15 6 16 – 20 2
17
Toma una tarjeta deinmunidad
18
Retrocede 4 escalones
20
Toma una tarjeta deinmunidad
21
Define la mediana
22Calcular la media en:
5, 3, 10, 9, 5, 6, 4
132
Tarjetas de Inmunidad
23¿ Qué porcentaje es
350 de 1000?
24Calcular la mediana en:
1, 3, 4, 5, 6, 2, 8
133
Respuestas
1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fenómenos
que han ocurrido
2.- Significa porcentaje
3.-
4.- La probabilidad es P = 1/6
5.- Gráfico circular
6.- Es el estudio de fenómenos ocurridos al azar
7.- P = 2/4
8.-
9.- Frecuencia relativa
10.-
134
11.- Gráfico de barras
12.- Avanza 2 escalones
13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigación
14.-
15.- Es un subconjunto de la población
16.- La moda es: 3
17.-
18.- Retrocede 4 escalones
19.-
0
2
4
6
00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 - 20
135
20.-
21.- La mediana es el valor central de una distribución.
22.- x = 42 x = 6 7
23.- 35%
24.- es 5
136
Crucigrama Matemático:
1 5
2 3
6 7
4
8 9
10 11 10
12
Horizontal: Vertical:
1.- Suma de 3 + 4 1.- se define + como
2.- Se llama 3.- 8 se escribe
4.- . se escribe 5.- 3 se escribe
6.- Siete en ingles 7.- 21 – 1 es igual
8.- 2 + 3 es igual 9.- x en x = 5 – 1 es igual
10.- 13 se escribe 11.- se conoce como
12.- + se escribe
137
Bingo Geométrico
El juego consiste en llenar el cartón del bingo geométrico primero que los demás.
Este consta de 7 cartones y 12 fichas que estarán dentro de una bolsa.
Habrá un cantador que puede ser un jugador o el profesor. Podrán participar
hasta 7 jugadores.
138
CARTONES
Memoria Geométrica
139
Memoria GeométricaEl juego es individual. Cada alumno encuentra las sumas y cuando uno de los
participantes designado por el profesor lee sus resultados, los demás lo confirman o
los corrigen.
Ganará el jugador que obtenga los resultados correctos.
Número de: Triángulos:_____ Cuadrados:____ Hexágonos:____ Círculos.____Triángulos pequeños:_____ Triángulos grandes:_____ Cuadrados pequeños:____Cuadrados grandes:_____ Hexágonos pequeños:_____ Hexágonos grandes:_____Círculos pequeños:_____ Círculos grandes:____
140
141
142
143
144
145
146
147
148
BIBLIOGRAFIA
NAVARRO, E…………………………………Matemática 8vo Grado. Distribuidora
Zacarías. Caracas Venezuela.1987.
SARABIA, José y BARRAGÁN, Fernando. Matemática 7mo Grado. Ediciones
CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993
PANTOJA, Héctor.................................... Matemática. Educación Básica 8vo Grado
Evaluación Diagnóstica. Ediciones ENEVA
Caracas. Venezuela 1992.
MICROSSOF ENCARTA 99
