Cuaderno de Matemática 1º Año Media

Autor: Luis. E. Camacho. S.

Profesor de Matemática; Especialista en Planificación y Evaluación

Deposito Legallf03220035101806X

1

Prologo

El cuaderno de Matemática que utilizarán los alumnos del 1º Año de Media General,

refleja en forma sencilla y práctico los objetivos básicos del programa actual.

Este trabajo refleja las inquietudes del autor, por presentarles a los estudiantes un

instrumento que, mediante lo práctico de sus ejercicios facilite el proceso de aprendizaje

dentro y fuera del aula.

Todos los juegos de Matemática que aparecen en este cuaderno, son creación del

profesor Luis Eduardo Camacho, se aplicaron con anterioridad y los resultados fueron

muy satisfactorios.

Los Teques, Septiembre del 2003

2

Agradecimientos:

Por la revisión, observaciones y validación de mi trabajo:

Msc. Miguel Carmona, especialista de Matemática

Msc. Milagros Coromoto Camacho, Asesora Metodológica

Marcos Salas, Asesor en Computación

Especialmente a:

A mi esposa: por su apoyo.

A mis hijos: por ser la inspiración de todo mi trabajo.

A mis alumnos: por ser la razón pura de mi profesión.

A mis Colegios apreciados: U. E. P.”Gran Aborigen”

Liceo San Pedro de Los Altos

U. E. C. “Andrés Bello”

3

Contenido

.- Números Naturales.....................5

.- Adición en N, multiplicación en N..............5,6

.- Propiedades de la multiplicación en N............7

.- Ecuaciones en N.............8,9

.- N° enteros, adición en Z............10

.- Propiedades de la suma en Z, sustracción en Z............11

.- Multiplicación en Z, propiedades............12,13

.- División en Z............14

.- Relaciones de orden.........15

.- Potencia en N..............15,16

.- N° racionales..........17

.- Adición en Q, propiedades...............17,18

.- Sustracción en Q..............19

.- Multiplicación en Q, propiedades................19,20

.- División en Q..............21

.- Potencia en Q ................21

.- Expresión decimal y científica................21,22

.- Fracción generatriz.................22,23

.- Geometría, circunferencia...............24,25

.- Clasificación de triángulos ..................26,27,28

.- Cuadriláteros...................28,29

.- Polígonos.................29,30,31,32

.- Cálculos de áreas...............32,33

.- Medidas de capacidad y longitud................33,34,35

.- Poliedros..................35,36,37,38,39

.- Ejercicios......................40,41,42

.- Probabilidad estadística.................43,44,45,46

.- Estadística................47,48,49,50,51,52,53,54

.- Informática..................55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67

.- Ejercicios...................68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80

.- Juegos Matemáticos.............81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95 96,97,98,99,100,101,102,103,104,105,106,107,108,109,110,111,112,113, 114,115,116,117,118,119,120.- Páginas de resolución de ejercicios...........121,122,123,124,125,126,127 128.- Bibliografía...............129

4

Números Naturales: Llamamos número natural a cada uno de los números que

empleamos para contar. Al conjunto de los números naturales le asignamos la letra N,

entonces:

N = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Adición en N:La adición en N cumple con las siguientes propiedades:

# Conmutativa: a + b = b + a# Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)# Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a# Elementos Regulares: x + a = x + b ↔ a + b

Multiplicación en N:La multiplicación en N cumple con las siguientes propiedades:

# Conmutativa: a . b = b . a# Asociativa: (a . b) . c = a . (b . c)# Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a# Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0# Elementos regulares: a . x = b . x ↔ a = b# Distributiva: a . (b + c) = (b + c) . a = ab + ac

5

1.-Resuelve por propiedad conmutativa:a) 4 + 7 =b) 5 + 8 =c ) 7 + 9 =

d.) 4 + 12 =

2.-Resuelve por propiedad asociativa:a) 2 + 8 + 7 =b) 1 + 8 +6 =c) 3 + 8 +4 =d) 4 + 7 +9 =

3.-Resuelve por elemento neutro: a) 5 + 0 =b) 4 + 0 =

4.- Resuelve por elementos regulares: a) 18 + x = 18 + 83 c) 12 + x = 12 + 5

b) x + 21 = 10 + 21 d) x + 24 = 4 + 24

Aplica las Propiedades de la Multiplicación:

1.- Resuelve por Conmutativa: a) 5 . 6 =

b) 3 . 7 =c) 4 . 8 =d) 8 . 4 =e) 7 . 5 =

6

2.- Resuelve por Asociativa: a) 3 . 8 . 7 =

b) 4 . 8 . 3 =

c) 9 . 6 . 3 =

d) 4 . 7 . 9 =

3.- Resuelve por Elemento Neutro: a) 4 . 0 =

b) 3 . 0 =

c) 0 . 9 =

d) 0 . 7 =

4.-Resuelve por elementos regulares: a) x . 3 = 4 . 3b) x . 6 = 2 . 6c) x . 9 = 3 . 9d) x . 7 = 5 . 7

7

Ecuaciones en N: las ecuaciones de la forma x + b = a ( con a ε N y b ε N) sólo tienen

solución en N cuando es a ≥ b ; teniéndose que: x + b = a ↔ x = a – b

Ejemplos:

1) Resuelve: x + 5 = 6 x = 6 – 5 x = 1

2)Resuelve: x – 7 = 10 x = 10 + 7 x = 17

3)Resuelve : 2x + 4 = 10 x = 10 – 4 x = 6 x = 3 2 2

4)Resuelve: x + 4 = 5 x = 10 – 8 x = 2 2

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) x +3 = 4 b) x + 3 = 5 c) 2x + 4 = 8

d) 3x – 5 = 10 e) 2x + 3x = 15 f) 4x – x = 20 – 5

g) 3x – 2x = 5 h) x + 2x = 9 i) x – 3 = 6 2

8

Guía para resolver problemas con números naturales:

x = número x + 1 = un número más uno.

2x = dos veces un número x + 2 = un número más dos.

3x = tres veces un número x + (x +1)= suma de dos N° consecutivos.

x/2 = mitad de un número. 2x + 1 = un número impar.

x + (x +1) = dos N° consecutivos. 2x+(2x+2)= dos N° pares consecutivos.

En las ecuacionescon N° naturalesdebes recordar que x es una incógnita que debes hallar.

Los númerosnaturales son unsubconjunto de losnúmeros enteros N Z

9

Números Enteros: Es el conjunto formado por los números positivos, los negativos y elcero. + _ Z = +1,+2,+3,+4,+5,.... Z = -1,-2,-3,-4,-5,.....

* Z = ....-5,-4,-3,-2,-1,+1,+2,+3,+4,+5.... Z = 0

Adición de N° Enteros: a) (2)+(6)+(8)= b) (3)+(8)+(5)+(4)=

c) (-2)+(-4)+(7)= d) (-19)+(-5)+(-6)=

e) (4)+(-6)+(-5)= f) (-2+7)+(5-1)=

Propiedades de la suma en Z:

a)Conmutativa: (a) + (b) = (b) + (a) Resuelve: a) (3) + (6)=

b) (-5) +(-6)=

c) (4) + (-9) =

Recuerda que en la suma deN° enteros, los números deigual signo se suman y secoloca el mismo signo, y losde diferentes signos serestan y se coloca el signode mayor valor absoluto.

10

b)Asociativa: (a) +(b + c) = (a + b) +( c) Resuelve: a) (3)+(7)+(5)=

b) (-7)+(-6)+(9)=

c) (-4)+(-7)+(-9)=

d) (-8)+(4)+(-12)=

c)Elemento Neutro: (a) + (0) = (0) + (a) = a

Resuelve: a) (3)+(0)= c) (6)+(0)=

b) (7)+(0)= d) (-8)+(0)=

d) Elemento Simétrico: (a)+(-a) = 0

Resuelve: a) (5) + (-5)= b) (6) + (-6)=

c) (-4) + (4)=d) (-7) + (7)=

Sustracción de N° Enteros:

Resuelve: a) (5)-(-4)=

b) (5)-(7)-(9)=

c) (4+1)-(3-1)=

d) (8-2) – (-3-4) =

11

Multiplicación de N° Enteros:

Resuelve: a) (9).(7)=

b) (5).(4)=

c) (-3).(2).(4)=

d) (2).(4).(-3).(2)=

Propiedades de la Multiplicación:

Conmutativa. (a).(b) = (b).(a)

Resuelve: a) (3).(4)=(4).(3) b) (5).(-4) =(-4).(5) c) (-9).(-6) = (-6).(-9)

d) (-6).(5)=(5).(-6) e) (5).(8)=(8).(5)

El orden delos factores noaltera elproducto

12

Asociativa: (a).(b . c) = (a . b).(c)

Resuelve: a) (2).(4).(5)= d) (3).(8).(4).(5)=

b) (-6).(2).(-3)= e) (-4).(6).(2)=

c) (-7).(5).(-4)= f) (-4).(9).(3) =

Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a

Resuelve: a) (5).1=

b) (-6).1=

c) (8).1=

d) (-5).1=

Factor Cero: a . 0 = 0 . a = 0

Resuelve: a) (5) . 0 =

b) (-9) . 0 =

c) 0 . (-7) =

d) 0 . (6) =

13

División de N° Enteros:

Resuelve: a) (4) : ( 2) =

b) (5+3) : (2) =

c) (-2+4) : (2) =

d) (7-1) : (5+ 1) =

e) (8-3+4) : (2+1)=

f) (5-3).(2-1) : (2) =

g) (3+6-2) : (2+5) : (4-2) =

h) (-3+9-2) + (-5+7-1) : (15-10) =

i) (2+8-4) . (-1+3-6) : (9-1) =

j) (5-2+9) – (-3+4-6) : (14+3) =

Al dividir N°enteros, recuerdadividir los signostambién.

Resuelveéstos ejercicios

14

Relaciones de orden “mayor que” y “menor que”:

1) Ordena de menor a mayor (<) a) 5,-3,8,0,-1,6,100

b) -5,-3,0,10,-26,8,-20

c) -7,0,3,7,-20,-13,36

d) 2,-4,-8,0,-1,24,-25

2) Ordena de mayor a menor (>): a) -3,4,7,-100,-26

b) -5,-12,-15,18,1,0

c) -7,-120,-36,0,-1,8,9,44

d) 20,-1,0,-38,-4,16,2,3

Potenciación: Es una multiplicación reiterada.

par

Regla para potenciar: (+) = + impar

(+) = + par

(-) = + impar

(-) = -

15

0

Propiedades: 1) a = 1 1

2) a = am n m +n

3) a . a = a

m n m-n m n m . n

4) a : a = a 5) (a ) = a

Ejercicios: a) 2³ = b) 2.2.2.2 =

c) ( -3)2 = d) (2)2 . (2)3 =

e) a² = f) 6 ². 6 ³=

g) 53 . 42 . 52 = h) 32 . 40 . 33

i) ( 22 . 32)3 = j) (52 . 43 )2 . (23 . 3 ) =

2 . 32

22 . 4 . 52

k) (32 . 43 . )2 . (52 . 3)2

= l) (23 . 32 )2 2 =

(32 . 43 . 52 )2 23 . 32

Puedes aprenderteestas propiedades,para que se te faciliteel objetivo.

Realiza estosejercicios entu cuaderno.

16

3.- Números Racionales:

Un número racional es el conjunto formado por todas las fracciones equivalentes a una

dada. Un número racional está compuesto por un numerador y un denominador.

a numerador b denominador

Hallar el m. c. m en : a) 2 y 8 b) 4 y 9 c) 5 y 12 d) 3,2,4

e) 8,5,3 f) 2,7,6 g) 3,9,14 h) 5,8,7

Adición de N° Racionales:

Resuelve: a) 2 + 3 = b) 4 + 7 = c) 5 + 8 =

5 4 3 5 3 2

Debes recordar que para hallar elmínimo común múltiplo, se tomanlos N° comunes y no comunes consu mayor exponente.

17

Propiedades de la Suma de N° Racionales:

Conmutativa: a + c = c + ab d d b

Resuelve: a) 2/3 + 5/3 = b) 3/2 + 5/4 = c) 5/6 + 7/5 =

Asociativa: a + c + e = a + c + e b d f b d f

Resuelve: a) 4/5 + 3/6 + 3/2 = b) 4/2 + 2/3 + 7/2 = c) 4/6 + 7/8 + 3/5 =

Elemento Neutro: a + 0 = 0 + a

b b

Resuelve: a) 4/3 + 0 b) 5/3 + 0 c) 6/2 + 0 d) 5/2 + 0 e) 2/5 + 0

Elemento Simétrico: a - a + b b

Resuelve: a) 5/6 = b) 6/8 = c) 4/9 = d ) 3/5 = e) 7/9 = f) 8/5 =

18

Sustracción de Números Racionales:

Resuelve: a) 5/6 – 8/6 = b) 5/6 – 5/3 = c) 6/8 – 9/6 = d) 5/6 – 3/2 =

Problemas Simples:

a) Si sumamos 2/5 con 3/6, que fracción obtenemos.

b) Un tanque de agua vacío se llenó de la siguiente manera: el primer día con ½ de agua,

el segundo día con 2/3 de aguay el tercer día con ¾ de agua. ¿ Cuál es la capacidad

del tanque?

Multiplicación de N° Racionales:

a) 6/4 . 5/3 = b) 5/4 . 2/4 = c) 7/6 . 4/5 = d) 6/3 . 5/2 = e) 6/4 . 4/3 =

Propiedades de la Multiplicación de N° Racionales:

Conmutativa: a . c c . a =

b d d b

Resuelve: a) 5/4 . 7/6 = b) 5/3 . 6/5 = c) 4/3 . 7/2 = d) 6/2 . 9/5 =

19

Asociativa: a . c . e = a . c . e

b d f b d f

Resuelve: a) 7/4 . 6/5 . 3/2 = b) 3/2 . 4/2 . 6/5 = c) 4/3 . 7/5 . 4/1 =

Elemento Neutro: a . 1 = 1 . a = a

b b b

Resuelve : a) 4/5 . 1 = b) 4/7 . 1 = c) 3/5 . 1 = d) 2/5 . 1 = e) 6/4 . 1 =

Factor Cero : a a . 0 = 0 . b b

Resuelve: a) 5/3 . 0 = b) 4/2 . 0 = c) 3/6 . 0 = d) 2/5 . 0 = e) 3/8 . 0 =

Distributividad a . c + e a . c + a . e־ ־ =

b d f b d b f

Resuelve: a) 6/4 . ( 5/3 + 7/3 ) = b) 5/3 . ( 2/2 – 5/3 ) = c) 2/6 . ( 5/6 + 7/3 ) =

20

División de N° Racionales:

Ejemplo : 2 : 3 2 . 7 14 = = 4 7 4 3 12

Resuelve: a) 2/4 : 7/9 = b) 6/2 : 3/5 = c) ( 5/4 . 8/6 ) : 7/3 =

d) (7/2 : 9/3) : 8/4 = e) (5/3 + 1/5) : 2/3 = f) 6/4 + ( 7/3 : 3/2) =

Potenciación de N° Racionales :

Resuelve : a) 2/5 ³ b) 2/4 ² c) 2/3 . 2/3 ² d) 2/3 ³ . 2/3 ² ²

e) 3/5 ³ : 3/5 f) 2/4 ² . 2/4 ³ ³

Expresión Decimal y Científica:

Calcula: a) 4 = 0,4 b) 8 = c) 486 = d) 5789 = e) 44,567 = 10 100 1000 10 100

21

Escribe en Notación Científica:

Calcula: a) 1.600.000 = 1,6 x 106 b) 1.470.000 = c) 45.200.000.000 =

d) 0,00083 = e) 0,3478 = f) 172 = g) 12,347 = h) 0,0789=

Escribe en forma decimal:

Calcula: a) 3,2 x 104 = 3,2 x 10.000 = 32.000 b) 1,3 x 103 = c) 1,26 10-4 =

d) 3,55 x 10-6 = e) 45 x 10-1 = f) 1,26 x 10-2 = g) 684 x 102 =

Fracción Generatriz:

A,BCDE..... A= unidad 1 B= décima 0,1 C= centésima 0,01 D= milésima 0,001 E= décima de mil 0,0001

Etc.......

Observa laestructura deun N° decimal

22

Dado el decimal: 8,3 5 dónde: 8 es la parte entera 3 es el ante período

5 es el período

a) Dado f: 3,4 5 100f = 100 . 3,4 5 = 345, 5

-10f= -10 . 3,4 5 = -34, 5

90f = 311

f= 311

90

Resolver: a) 4,3 4 b) 6,57 8 = c) 9,4 32 = d) 95, 3 6 = e) 10,58 90 =

f) 7,4 4 g) 58, 78 9 = h) 4, 678 5 = i) 67,4 8546

23

Geometría :

Circunferencia: es una línea cerrada y plana cuyos puntos están a igual distancia del

centro.

Elementos de la Circunferencia:

a) Radio: es cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier

punto de ella.

b) Arco: es la porción de circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

c) Cuerda: es todo segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia.

d) Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

Radio . Arco

24

Cuerda Diámetro

Fórmula de la Circunferencia:

C = 2 . π . r

Calcular: a) C = x b) C = x c) C = x d) C = x r = 4 cm r = 3 cm r = 2 cm r = 6 cm

Construir circunferencias de:

a) 5 cm de diámetro.

b) 2.5 cm de diámetro.

c) 4 cm de radio.

d) 3 cm de radio

e) 20 mm de radio.

f) 30 mm de diámetro.

25

Triángulos: Un triángulo es un polígono de tres lados. Está compuesto por: lados,

vértices, ángulos internos y externos, tiene superficie y perímetro.

Clasificación de los triángulos:

Según sus lados: a.- Equilátero b.- Isósceles c.- Escaleno

Según sus ángulos: d.- Rectángulo e.- Acutángulo f.- Obtusángulo

a b c d

e f

Ángulos Internos:

A α A + α B + α C = 180°

26

Ejercicios: 1) Dado : Hallar : x

2) Dado Hallar : x

Ángulos Externos :B A + B + C = 360°

C

A

1.- Dado 120°

Hallar: X

X 80°

27

X

2.- Dado

Hallar: X 100°

120°

Cuadriláteros: un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Paralelogramo Rectángulo Rombo

a b e f s

v td c g h

u

Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo

28

Trapecio Escaleno i e

m n

:

Construir los siguientes cuadriláteros:

1.- Un rombo, con las siguientes medidas: diagonal ac = 6cm, diagonal bd = 4cm.

2.- Un rombo: diagonal ac = 5cm, diagonal bd= 3cm.

3.- Un paralelogramo, cuyas diagonales midan cb = 7cm. , ad = 4cm y α a ó c = 50°.

4.- Un paralelogramo donde ab= 6cm y en ‘el construyamos un ángulo de 30°, ac= 5cm.

Polígonos: llamamos polígonos a la figura representada por una línea poligonal cerrada y

sus puntos interiores.

Polígono regular Polígono irregularb

b a c

c a

e d e d

29

Nombre de los Polígonos:

3 lados : triángulo 4 lados: cuadrilátero

5 Lados: pentágono6 lados: hexágono

7 lados: heptágono 8 lados: octógono 9 lados: eneágono

10 lados: decágono

Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia.

Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:

a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.

b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.

c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.

d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

30

Polígonos inscritos: son los que tienen todos sus vértices sobre la misma circunferencia

a

b e

d

c

Polígonos circunscritos: son los que tienen todos sus lados tangentes a la misma

circunferencia.

31

Ejercicios: construir polígonos sabiendo que uno de sus lados mide:

a.- Triángulo y uno de sus lados 3cm.

b.- Cuadrilátero y uno de sus lados 2 cm.

c.- Pentágono y uno de sus lados 3cm.

d.- Hexágono y uno de sus lados 4 cm

Cálculo de Áreas:

a.- A (triángulo) = b . h b.- A(rectángulo) = b . h c.- A(cuadrado)= L² 2

d.- A(paralelogramo) = b . h e.- A(trapecio)= B1 + B2 . h

2

f.- A(rombo) = D1 . D2

2

32

Ejercicios:

a.- Calcula el área del triángulo cuya base es 2 cm y la altura 3 cm.

b.- Calcula el área del trapecio cuya base 1 es igual a 4 cm, base 2 igual a 3cm y la altura

2 cm.

c.- Calcula el área del cuadrado, sabiendo que uno de sus lados mide 4 cm.

d.- Calcula el área del paralelogramo, sabiendo que base mide 4 cm y su altura 5 cm.

e.- Calcula el área del rombo, sabiendo que una diagonal mide 3 cm y la otra

diagonal mide 4 cm.

Medidas de Capacidad: Es el volumen que ocupan los líquidos y la unidad más usada es

el litro.

Kl- hl – dal -l- dl – cl - ml

Kl= kilo-litro hl= hecto-litro dal= decalitro l= litro dl= decilitro

Cl= centrilitro ml= mililitro

Estas unidades aumentan de 10 en 10, y disminuyen de igual forma. De mayor a menor

multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

33

Ejercicios: 1.- Transformar 25 Kl a l 2.- Transformar 267 l a cl

3.- Transformar 1280 cl a dal 4.- Transformar 34 dl a hl

Volumen cúbico: Estas unidades aumentan de 1000 en 1000, y disminuyen de igual forma.

De mayor a menor multiplicamos y de menor a mayor dividimos.

Kl³-hl³-dal³-l³-dl³-cl³-ml³

Ejercicios: 1.- Transformar 3,4 m³ a cm³ 2.- Transformar 0,042 dam³ a mm³

3.- Transformar 4876 m³ a hm³ 4.- Transformar 346 dam³ a hm³

5.- Transformar 12345 mm³ a km³ 6.- Transformar 830 cm³ a hm³

Medidas de longitud: Viene dado por la unidad del metro, y es la distancia que existe entre

dos cuerpos.

Km-hm-dam-m-dm-cm-mm

Km= kilómetro hm= hectómetro dam= decámetro m= metro dm= decímetro

cm= centímetro mm= milímetro

34

Transformar: a.) 3,4m a cm b.) 0,456 dam a mm c.) 4876 m a hm

d.) 28 dam a dm e.) 24546 mm a cm f.) 7463 h a Km

Identificar Poliedros:

Son los cuerpos geométricos limitados totalmente por polígonos.

Cubo Prisma

Paralelepípedo Tetraedro

35

Vi pirámide

Caras de un poliedro: son los polígonos que lo limitan.

Aristas de un poliedro: son los lados de los polígonos que forman sus caras, o los

segmentos formados por la intersección de cada dos de sus caras.

Vértices de un poliedro: son los vértices de los polígonos que forman sus caras o los

puntos de intersección de sus aristas.

Calcular el volumen de poliedros:

1) Volumen del cubo: se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura,

pero la base es un cuadrado así que el área vale : A = lado2.

Fórmula: V = (lado)3

36

2) Volumen del paralelepípedo: se calcula multiplicando la superficie de la base por

la altura, pero la base es un rectángulo cuya área vale:

A = largo x ancho.

aFórmula: V = l . a . h

h

l = largol a = ancho

h = altura

3) Volumen del cilindro: se calcula multiplicando la superficie de la base por la

altura, pero la base es un círculo cuya superficie vale: C = . r2

Fórmula: V = . r2 . h

r = radio

h h = altura

37

4) Volumen de un prisma regular : se calcula multiplicando la superficie de la base

por la altura.

Fórmula: V = p . a . h 2

5) Volumen de la esfera: fórmula. V = 4 . . r3

3

r

38

5) Volumen de una pirámide: se calcula multiplicando la superficie de la base por la

altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V = b . h 3

6) Volumen de un cono: se calcula multiplicando la superficie de su base por su

altura y el resultado se divide por tres.

Fórmula: V = . r2 . h 3

h

r

39

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:

a) 3,4 m3 a cm3 b) 0,042 dam3 a mm3

c) 4876 m3 a hm3 d) 0,086 cm3 a dam3

e) 4 km3 a mm3 f) 18742 cm3 a dam3

Calcular el volumen del cubo, cuyas aristas son:

a) l = 6 m b) l = 5 cm c) l = 3 cm

d) l = 7 m e) l = 4 m f) l = 8 cm

Calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyos datos son:

a) l = 3 m b) l = 4 m c) l = 5 cm

a = 2,5 m a = 3 m a = 3 cm

h = 1,8 m h = 2 m h = 6 cm

d) l = 5 m e) l = 6 cm f) l = 7 m

a = 4 m a = 4,5 cm a = 8 m

h = 8 m h = 7 cm h = 10 m

40

Calcular el volumen de un cilindro, cuyos datos son:

a) r = 12 cm b) r = 10 m c) r = 8 cm

h = 45 cm h = 7 m h = 5 cm

= 3,14 = 3,14 = 3,14

d) r = 23 cm e) r = 14 m f) r = 9 cm

h = 30 cm h = 14 m h = 14 cm

= 3,14 = 3,14 = 3,14

Calcular el volumen de un prisma, cuyos datos son:

1) b = 240 cm2 2) b = 124 cm2

h = 14 cm h = 16 cm

3) b = 24 m2 4) b = 45 cm2

h = 6 m h = 5 cm

Calcular el volumen de una esfera, cuyos datos son:

1) r = 3 cm 2) r = 4 m 3) r = 5 cm

= 3,14 = 3,14 = 3,14

41

Calcular el volumen de un cono, cuyos datos son:

1) r = 6 m 2) r = 8 cm 3) r = 7 m

h = 4 m h = 6 cm h = 5 m

= 3,14 = 3,14 = 3,14

42

Probabilidad: también conocida como teoría de la probabilidad, es la rama de las

matemáticas que se ocupa de medir o determinar cuantitativamente la posibilidad de que

un suceso o experimento produzca un determinado resultado. La probabilidad está

basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística.

La creación de la probabilidad se atribuye a los matemáticos franceses del siglo XVII

Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque algunos matemáticos anteriores, como

Gerolamo Cardano en el siglo XVI, habían aportado importantes contribuciones a su

desarrollo. La probabilidad matemática comenzó como un intento de responder a varias

preguntas que surgían en los juegos de azar, por ejemplo saber cuántas veces se han de

lanzar un par de dados para que la probabilidad de que salga seis sea el 50 por ciento.

La probabilidad de un resultado se representa con un número entre 0 y 1, ambos

inclusive. La probabilidad 0 indica que el resultado no ocurrirá nunca, y la probabilidad

1 que el resultado ocurrirá siempre. Los problemas más sencillos estudian la

probabilidad de un suceso favorable en un experimento o acontecimiento con un número

finito de resultados, todos ellos con igual probabilidad de ocurrir. Si un experimento

tiene n posibles resultados, y f de ellos se consideran favorables, la probabilidad de un

suceso favorable es f/n. Por ejemplo, un dado no trucado se puede lanzar de seis formas

posibles, por tanto, la probabilidad de que salga un 5 o un 6 es 2/6. Problemas más

complicados estudian acontecimientos en que los distintos resultados tienen distintas

probabilidades de ocurrir. Por ejemplo, encontrar la probabilidad de que salga 5 o 6 al

lanzar un par de dados: los distintos resultados (2, 3,…12) tienen distintas

probabilidades. Algunos experimentos pueden incluso tener un número infinito de

43

posibles resultados, como la probabilidad de que una cuerda de circunferencia dibujada

aleatoriamente sea de longitud mayor que el radio.

Los problemas que estudian experimentos repetitivos relacionan la probabilidad y la

estadística. Algunos ejemplos: encontrar la probabilidad de obtener 5 veces un 3 y al

menos 4 veces un 6 al lanzar un dado sin hacer trampas 50 veces; si una persona lanza

una moneda al aire y da un paso hacia delante si sale cara y un paso hacia atrás si sale

cruz, calcular la probabilidad de que, después de 50 pasos, la persona esté a menos de

10 pasos del origen.

En términos probabilísticos, dos sucesos de un experimento son mutuamente

excluyentes si la probabilidad de que los dos ocurran al mismo tiempo es cero; dos

sucesos son independientes si la probabilidad de que ocurran al mismo tiempo es igual al

producto de sus probabilidades individuales. Es decir, dos sucesos son excluyentes si la

ocurrencia de uno prohíbe la ocurrencia del otro; dos sucesos son independientes si la

ocurrencia o no de uno no afecta a la probabilidad de que el otro ocurra o no.

Probabilidad compuesta es la probabilidad de que todos los casos de un conjunto

dado de sucesos ocurran a la vez; probabilidad total es la de que al menos uno de los

casos de un conjunto dado de sucesos ocurra. Probabilidad condicional es la

probabilidad de que un suceso ocurra cuando se sabe que otro suceso ha ocurrido o va a

ocurrir.

Si la probabilidad de que un suceso ocurra es p, la probabilidad de que no ocurra es

q = 1 - p. Por tanto, la confianza en que el suceso ocurra es p contra q y la de que no

ocurra es q contra p. Si las probabilidades de dos sucesos mutuamente excluyentes X e Y

son p y P respectivamente, la confianza en que X ocurra y que Y no ocurra es p contra P.

Si un experimento debe dar como resultado uno de los sucesos O1, O2,…, On,

mutuamente excluyentes, cuyas probabilidades son p1, p2, …, pn, respectivamente, y si a

cada uno de los posibles resultados se le asigna un valor numérico v1, v2, … vn, el

resultado esperado del experimento es E = p1v1 + p2v2 + … + pnvn. Por ejemplo, una

44

persona lanza un dado, ganando 4 pasteles si saca 1, 2 o 3 y 3 pasteles si saca 4 o 5;

pierde 12 pasteles si saca un 6.

El resultado esperado con un solo lanzamiento es 3/6 × 4 + 2/6 × 3 - 1/6 × 12 = 1, o

lo que es lo mismo, un pastel.

El uso más generalizado de la probabilidad es su utilización en el análisis estadístico.

Por ejemplo, la probabilidad de sacar 7 al lanzar dos dados es 1/6, lo que significa

(se interpreta como) que al lanzar dos dados aleatoriamente y sin hacer trampas, un

gran número de veces, alrededor de un sexto de los lanzamientos darán 7. Este concepto

se utiliza a menudo para calcular estadísticamente la probabilidad de un suceso que no

se puede medir o es imposible de obtener. Así, si la estadística a largo plazo muestra que

por cada 100 personas entre 20 y 30 años sólo habrá 42 vivos cuando tengan 70, lo que

quiere decir que la probabilidad de que una de esas personas llegue a los 70 años es de

un 42 por ciento.

La probabilidad matemática se utiliza mucho en las ciencias físicas, biológicas y

sociales, así como en el comercio y la industria. Se aplica a muchas áreas tan dispares

como la genética, la mecánica cuántica y los seguros. También estudia problemas

matemáticos teóricos de gran importancia y dificultad y está bastante relacionada con la

teoría del análisis matemático, que se desarrolló a partir del cálculo.

45

P = CF casos favorables CP casos posibles

Ejemplos: 1.- Calcular la probabilidad de que al lanzar una moneda salga cara.

P= 1 lo que significa 0,5 x 100% = 50% 2

2.- Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado salga el N° 5.

P = 1 lo que significa 0,16 x 100% = 16,6% 6

Ejercicios: Hallar la probabilidad de que:

a.- Al lanzar dos dados salga el N° 4 y 6.

b.- Al lanzar dos monedas salga cara y sello.

c.- Al meter la mano en un envase que contiene una ficha azul, dos rojas y una verde,

salga una azul y una roja.

d.- Al lanzar una moneda y un dado salga sello y 3.

46

Estadística: Rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar

datos numéricos y que ayuda a resolver problemas como el diseño de experimentos y la

toma de decisiones.

Historia:

Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillas de estadística,

pues ya se utilizaban representaciones gráficas y otros símbolos en pieles, rocas, palos

de madera y paredes de cuevas para contar el número de personas, animales o ciertas

cosas. Hacia el año 3000 a.C. los babilonios usaban ya pequeñas tablillas de arcilla

para recopilar datos en tablas sobre la producción agrícola y de los géneros vendidos o

cambiados mediante trueque. Los egipcios analizaban los datos de la población y la

renta del país mucho antes de construir las pirámides en el siglo XXXI a.C. Los libros

bíblicos de Números y Crónicas incluyen, en algunas partes, trabajos de estadística. El

primero contiene dos censos de la población de Israel y el segundo describe el bienestar

material de las diversas tribus judías. En China existían registros numéricos similares

con anterioridad al año 2000 a.C. Los griegos clásicos realizaban censos cuya

información se utilizaba hacia el 594 a.C. para cobrar impuestos.

El Imperio romano fue el primer gobierno que recopiló una gran cantidad de datos

sobre la población, superficie y renta de todos los territorios bajo su control. Durante la

edad media sólo se realizaron algunos censos exhaustivos en Europa. Los reyes

caloringios Pipino el Breve y Carlomagno ordenaron hacer estudios minuciosos de las

propiedades de la Iglesia en los años 758 y 762 respectivamente. Después de la

conquista normanda de Inglaterra en 1066, el rey Guillermo I de Inglaterra encargó un

censo. La información obtenida con este censo, llevado a cabo en 1086, se recoge en el

Domesday Book. El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra a

47

principios del siglo XVI, y en 1662 apareció el primer estudio estadístico notable de

población, titulado Observations on the London Bills of Mortality (Comentarios sobre las

partidas de defunción en Londres). Un estudio similar sobre la tasa de mortalidad en la

ciudad de Breslau, en Alemania, realizado en 1691, fue utilizado por el astrónomo inglés

Edmund Halley como base para la primera tabla de mortalidad. En el siglo XIX, con la

generalización del método científico para estudiar todos los fenómenos de las ciencias

naturales y sociales, los investigadores aceptaron la necesidad de reducir la información

a valores numéricos para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.

En nuestros días, la estadística se ha convertido en un método efectivo para describir

con exactitud los valores de datos económicos, políticos, sociales, psicológicos,

biológicos y físicos, y sirve como herramienta para relacionar y analizar dichos datos. El

trabajo del experto estadístico no consiste ya sólo en reunir y tabular los datos, sino

sobre todo en el proceso de interpretación de esa información. El desarrollo de la teoría

de la probabilidad ha aumentado el alcance de las aplicaciones de la estadística. Muchos

conjuntos de datos se pueden aproximar, con gran exactitud, utilizando determinadas

distribuciones probabilísticas; los resultados de éstas se pueden utilizar para analizar

datos estadísticos. La probabilidad es útil para comprobar la fiabilidad de las

inferencias estadísticas y para predecir el tipo y la cantidad de datos necesarios en un

determinado estudio estadístico.

Tipos de Gráficos:

1.- Gráfico de Barras:

0102030405060708090

1ertrim.

2dotrim.

3ertrim.

4totrim.

EsteOesteNorte

48

2.- Gráfico Circular:

C i r c u l a r

3.- Gráfico de Polígono:

Polígono de Frecuencias

0

5

10

1 - 2 3 - 4- 10

5 - 6 7 - 8 9-10101017 -Calificaciones

N°

49

4.- Gráfico de Ojiva:

Ojiva

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 - 12 13 - 15

Ca lifica cione s

Alu

mno

s

50

5.- Gráfico de Columnas:

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Alum

nos

C a l i fi c a c io n e s

C o lu m n a s

6.- Gráfico de Áreas:

02468

1 - 3 4 - 6 7 - 9 10 -12 13 -15

Calificaciones

Alumnos

Areas

51

Ejemplo: Con la siguiente tabla de distribución, hacer el gráfico de barras:

Intervalos frecuencia clase frecuencia acumulada

01 - 05 6 6

06 - 10 8 14

11 - 15 4 18

16 - 20 5 23

8

7

6

5

Frecuencia 4

3

2

1

01 05 10 15 20

Intervalos

52

Ejemplo: Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico circular

Clases frecuencias punto medio frecuencia acumulada

01-05 5 3 5

06-10 6 8 11

11-15 4 13 15

16-20 7 18 22

Realiza el gráfico.Correspondiente.

53

Ejercicios: Con los siguientes datos, hacer un gráfico de barras

Intervalos frecuencias Punto medio P . m x f

001-002 6

003-004 8

005-006 7

007-008 4

Completa elcuadro y realiza elgráfico.correspondientes

54

Nociones elementales de Informática:

a) Dato: es la representación de hechos, conceptos o instrucciones de una manera

formalizada, ajustada para la comunicación, interpretación o procedimiento

manual o automatizado.

b) Información: conocimiento adecuado para dar respuesta coherente y lógica a un

hecho o fenómeno.

c) Tipos de datos:

1) Primarios: son los que permiten verificar las transacciones que dan origen

al proceso.

2) Secundarios: se originan de otros datos o de una información, no permiten

verificar todas las transacciones.

d) Procesamiento datos: son dispositivos conectados a las computadoras,

capaces de leer en estos soportes la información y escribirla en ellos según se trate

de una lectura o de una escritura.

e) Formas de procesamiento de datos:

.- Medios perforados.

.- Soportes perforados: tarjetas perforadas.

cintas perforadas.

55

.- Medios magnéticos: tambor magnético.

soporte magnético.

cintas magnéticas.

disco magnético .- Medios ópticos.

.- Terminales de teclado-pantalla.

.- Impresora.

Estructura de los computadores: generalmente una computadora normal, está formada

por:

a) Monitor o pantalla.

b) Teclado.

c) C .P.U

d) Impresora.

e) Mouse.

f) Fax.

g) Scanner.

57

Partes de un Computador

Unidad de Entrada Unidad de Memoria Unidad de Salida

Traduce palabras y números Almacena datos e Traduce el lenguaje a lenguaje de máquinas instrucciones de máquina a pala-

bras y números

Unidad de Control

Controla los cálculos y el ordende las instrucciones

Unidad Aritmética

Ejecuta todos los cálculos

Unidad Central de Procesamiento

58

Características de los computadores:

a) Existen dos tipos de máquinas capaces de ejecutar algoritmo:

.- Con lógica cabienda: la información está impresa en los circuitos.

.- Con lógica programada: admiten la programación de algoritmo por

medio de lenguajes de programación.

a) Tienen gran velocidad de cálculo.

b) Tienen gran capacidad de almacenamiento.

c) Tienen gran precisión.

d) Son versátiles ya que pueden realizar multitud de trabajos de distintos

Tópicos.

e) Son automatizadas, ya que la mano del hombre interviene relativamente.

Aplicaciones de los computadores:

Uno de los mayores impactos de la informática ha sido el que ha afectado a los trabajos

administrativos de la oficina, dando lugar a una técnica conocida con el nombre de

ofimática.

Tareas administrativas del computador:

a) Gestión de personal.

b) Proceso de nóminas.

c) Control de inventarios.

59

d) Gestión de almacén.

e) Facturación y contabilidad.

f) Análisis de todos los datos relacionados con el negocio.

g) Información de productores, partes y materiales.

h) Estado de cuentas de los clientes.

Aplicaciones Industriales:

a) Control de procesos industriales.

b) Robótica industrial.

c) Diseño.

d) Otros.

Aplicaciones tecno-científico:

a) Predicciones meteorológicas.

b) Control ambiental.

c) Control de comunicación satelital.

d) Programas de simulación (vuelos).

e) Otros.

60

Aplicaciones médicas:

a) Control clínico del paciente.

b) Mantenimiento de hospitales.

c) Tomografía computarizada.

d) Otros.

Concepto de algoritmo:

El algoritmo es un procedimiento general con acciones y decisiones claramente

especificado y sin ambigüedades que conducen a la solución de un problema específico

(definido), siguiendo un número infinito de pasos (instrucciones) ordenadas lógicamente.

61

Símbolos empleados en el diseño de diagramas de flujo:

Proceso salida - entrada

Operación

Manual decisión

Inicio-fin introducción

manual

magnetic-tape

documento punched

card

62

Representación gráfica de algoritmos :

Problema N° 1: Algoritmo para abrir una puerta

inicio

acercarse a

la puerta

intentar abrirla dándole vuelta al pomo

no ¿ está cerrada si buscar la introducir la con llave? Llave llave en la

cerradura

darle vuelta a

la llave

dar vuelta no ¿ Se abrió

al pomo la puerta

abrir comple- salir tamente la puerta

fin

63

Problema N° 2: Calcular la suma de los 20 primeros números enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar variables SUM y N el valor 0 (se escribe SUM = 0 y N = 0)

2.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

3.- Sumar a SUM el valor en N (se escribe: SUM = SUM + N)

4.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

5.- Imprimir : SUM.

Comienzo

N = 0SUM = 0

N = N + 1

SUM = SUM + N

Si¿ Es N < 20

No

Imprima SUM fin

64

Problema N° 3: Calcular la suma de los veinte primeros números pares enteros positivos.

Algoritmo:

1.- Asignar a las variables SUM, X y N el valor 0.

2.- Aumentar a X en 2 (se escribe : X = X + 2)

3.- Aumentar a N en 1 (se escribe : N = N + 1)

4.- Sumar SUM el valor en X (se escribe: SUM = SUM + X)

5.- Si N < 20, pasar a instrucción 2.

6.- Imprimir

Comienzo

N = 0X = 0

SUM = 0

X = X + 2

N = N + 1

SUM = SUM + X

Si ¿ Es N < 20 ? No Imprima fin SUM

65

1) Representar el algoritmo para montar un caucho del carro.

2) Representar el algoritmo para bañarse.

3) Representar el algoritmo para presentar un examen de matemática.

4)Representar el algoritmo para levantarse.

Problema N° 1: Multiplicar dos números enteros positivos

1) Leer los N° enteros positivos A y B2) Asignar a las variables PROD y N el valor 03) Sumar a PROD el valor en A4) Aumentar a N en 1.5) Si N < B pasar a instrucción 3.6) Imprimir: PROD

Problema N° 2 : Dividir dos números enteros positivos.

1) Leer los N° enteros positivos A y B.2) Asignar a las variable COC el valor 0.3) Efectuar A – B y asignarlo a A.4) Aumentar a COC en 1.5) Asignar a RES el valor A.6) Imprimir: COC y RES

66

Problema N° 3: Determinar el Máximo Común Divisor de dos N° enteros

positivos, utilizando divisiones sucesivas.

1) Leer los números enteros positivos A y B.

2) Si A > B, pasar a instrucción 4.

3)Intercambiar valores de A y B.

4) Dividir a entre b y obtener cociente C y resto R.

5) Si R = 0 pasar a instrucción 7

6) Asignar en A el valor de B, y en B el valor R.

7) Imprimir; MCD (A , B) = B

67

Determina el valor de cada una de las siguientes expresiones.

a) –4+(4+7-9)-{ (4-2)-(6+9)}-(4+1-7)=

b) {-(3+8-4)-(4+12-5)}+{(8-6)-(5+13)}=

c) {-(9-5+14)-(6-5+11)+(15-9+7)}+{(2-24)-(4+10)}=

d) {-(3+15+19-3)-(4+3-9)}-{(13+8+4)-(25-14+2)}=

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

a) x + 8 = 18 b) x – 4 = 10 c) 10 + x = 30

d) 20 + x = 70 e) 82 – x = 68 f) 5x + 10 = 15

g) x + 20 = 34 h) x – 25 = 50 i) 4x = 124

j) 5x + 103 = 153 k) 42x – 84 = 126 l) 1200 = 90 + 111x

68

Determinar el resultado de cada una de las siguientes operaciones:

a) (15+1):8= b) 20 : (7+3)= c) (-36) : (6-12)=

d) (23-11) : (-6)= e) 45 : (14-5)= f) (-80) : (15+5)=

Efectuar cada una de las siguientes expresiones:

a) 32.34.35 = b) 23.34.25.310 = c) a3.b2a.b3 =

3.36 3.22.2.35 a2.b3

Hallar el m .c .m de los siguientes números:

a) 20 y 4 b) 30 y 6 c) 5 y 7 d) 15 y 25 e)21 y 34

f)12,3,15 g) 24,12,30 h) 4,8,9 i) 9,10,7 j) 5,9,16

Determinar el M .C .D de los siguientes números:

a) 72 y 90 b) 140 y 35 c) 24 y 56 d) 14 y 8 e) 12 y 34

f) 25 y 46 g) 14 y 28 h) 35 y 42 i) 28 y 35 j) 21 y 30

69

Efectuar cada una de las siguientes adiciones:

a) 2/6 + 7/4 = b) 5/3 + 6/5 = c) 8/4 + 9/2 + 5/2 =

d) 5/2 + 7/5 = e) 4/3 + 8/6 + 9/4 = f) 8/4 + 12/4 + 3/6 =

g) 4/8 + 9/8 + 10/6 = h) 9/6 + 13/6 = i) 12/5 + 8/4 + 9/8 =

Efectuar cada uno de los siguientes productos dando el resultado como una fracción irreducible:

a) ( 3/4 ) . (-5/3)= b) (2/3) . (-4/5) . (5/3) = c) (2/7) . (-4/5) . (-3/4) =

d) (4/6) . (5/6) . (5/2) = e) (7/6) . (4/5) . (3/6) = f) (5/3) . (5/3) . (2/4) =

Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones, dando larespuesta lo más simplificado posible:

a) (3/4 + 2/5) : 2/3 = b) (5/2 – 1/5) : 2/4 = c) (2/3 –1/5 + 5/4) : 3/5 =

d) (6/5 . 3/5) . (2/3 – 5/4) = e) (5/6 : 4/3) : 6/4 = f) (4/6 – 8/4) . 6/3 =

g) (4/5 : 7/4) – (4/5 . (6/3) = h) (1/5 . 2/4) + (5/4) = i) (6/5 + 5/4) : 9/4 =

70

Efectuar cada una de las siguientes potencias:

a) (2/3)4 . (2/3)3 = b) (-1/3)2: (-2/3)4 = c) (3/5) . (3/5)4 =

d) (3/4)2 . (6/5) = e) (2/3)4 . (1/5) 4 = f) (6/4)3 : (6/4)2 =

g) (4/3)3 . (3/5)5 . (4/3)2 3 = h) (4/2)3 . (5/2)3 5 : (4/2) .(5/2)2 =

Determinar el representante decimal correspondiente a cada una de lassiguientes fracciones:

a) 4/10 = b) 8/100 = c) 486/1000 = d) 39/10.000 = e) 765/100 =

f) 34,2/10 = g) 2,45/100 = h) 0,0078/1000 = i) 8765/100 =

j) 78/1000 = k) 24537/10 = l) 2655364/10.000 = m) 2453/100.000 =

Determinar la fracción generatriz de cada uno de los siguientes números decimales:

a) 2, 35 = b) 34, 24 = c) 4, 786 = d) 76, 345 = e) 54, 8976 =

f) 5, 7 6 5 = g) 45,9 87 = h) 876,98 65 = i) 9,567 87 =

71

Calcular la longitud de cada una de las siguientes circunferencias cuyos radios son:

a) r = 2 cm b) r = 6 cm c) r = 2,4 cm d) r = 10 cm

e) r = 3,5 cm f) r = 34 mm g) r = 45 mm h) r = 5 m.

Dibujar los triángulos cuyos lados se dan a continuación:

a) ab = 2 cm b) ab = 19 mm c) ab = 23 mm d) ab = 4 cm

ac = 2,2 cm ac = 20 mm ac = 20 mm ac = 6 cm

bc = 2 cm bc = 23 mm bc = 26 mm bc = 7 cm

Construir circunferencias de :

a) 3 cm de radio b) 23 mm de radio c) 5,3 cm de diámetro

d) 45 mm de diámetro e) 3,3 cm de radio f) 8 cm de diámetro

72

Construir los siguientes cuadriláteros:

a) Un paralelogramo: ab = 4 cm ; ad = 2 cm

b) Un rectángulo: ab = 6 cm ; ad = 2 cm

c) Un rombo: diagonal ac = 5 cm; diagonal bd = 3 cm

d) Un trapecio isósceles :b1 = 5 cm ; b2 = 2 cm ; h = 3 cm

e) Un trapecio rectángulo: b1 = 6 cm; b2 = 3 cm; h = 4 cm

f) Un trapecio escaleno : b1 = 4 cm ; b2 = 2 cm; h = 3 cm

Construir polígonos, cuyas circunferencias son:

a) Un triángulo, en una circunferencia de 5 cm de diámetro.

b) Un cuadrilátero, en una circunferencia de 4 cm de diámetro.

c) Un pentágono, en una circunferencia de 6 cm de diámetro.

d) Un hexágono, en una circunferencia de 7 cm de diámetro.

73

Calcular las siguientes áreas:

a) De un triángulo: b = 5 cm; h = 6 cm

b) De un rectángulo: b = 4 cm ; h = 3 cm

c) De un cuadrado: l = 3 cm

d) De un paralelogramo: b = 6 cm; h = 2 cm

e) De un trapecio: B1= 5 cm; B2= 3 cm; h = 3 cm

f) De un rombo: D1= 4 cm; D2= 5 cm

Dibujar los triángulos cuyos ángulos y lados adyacentes se dan a con-

tinuación:

a) αA = 68°; ab = 23 mm; ac = 22 mm

b) αB = 120°; ba = 17 mm; bc = 23 mm

c) αC = 47°; ca = 20 mm; cb = 32 mm

d) αA = 100°, ab = 5 cm; ac = 2 cm

e) αB = 45°; ba = 4 cm; bc = 6 cm

74

Calcular el valor del ángulo x en cada una de las siguientes figuras:

a) 75° b)

x 45°

x

52°

c) 56°

x

52° 82°

75

En cada una de las siguientes figuras calcular el área sabiendo que:

a) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 m2.

b) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 cm2.

c) En esta figura cada cuadrado tiene un área de 1 km2.

a) b)

c)

76

Calcular el área de cada una de las siguientes figuras: (dibujarlas)

a) Un cuadrado si uno de sus lados mide 5 cm.

b) Un triángulo cuya base es 4 cm, y su altura 6 cm.

c) Un rectángulo cuya base es 3 cm, y su altura 4 cm.

d) Un paralelogramo cuya base es 5 cm, y su altura 5 cm.

e) Un trapecio cuya b1= 4 cm; b2= 6 cm y su altura 4 cm.

f) Un rombo cuyo D1= 4 cm; D2= 3 cm.

Transformar cada una de las siguientes medidas de volumen:

a) 2,6 m3 a ml3 b) 0,0003 hl3 a cl3 c) 456,74 l3 a mm3

d) 3,53678 dal3 a ml3 e) 1234,65 kl3 a dl3 f) 2,4 x 102 dal3 a hl3

77

Transformar cada una de las siguientes medidas de longitud:

a) 45 km a hm b) 456,3 m a km c) 1,245 mm a m d) 0,786 m a km

e) 984 dam a dm f) 12,45 km a mm g) 56,387 dm a hm h)36,2 km a m

78

Hallar la probabilidad de que:

a) Al lanzar dos dados y una moneda salga: 3,4 y cara.

b) Al lanzar tres dados salga: 3,6,5.

c) Al lanzar cuatro dados y dos monedas salga:1,6,4,3,cara y sello.

d) En un recipiente que contiene 3 metras azules, 2 metras rojas y 5 metras

verdes, al meter la mano sacar una azul y dos rojas.

e) En el siguiente cuadro numérico al lanzar un dardo, que posibilidad hay de

Acierte el N° 4.

4 5 8 9 1 0 3

12 4 7 10 23 13 43

32 89 45 54 78 98 46

27 37 4 60 100 48 41

96 3 12 76 1 0 52

79

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras,

uno líneas y uno de puntos:

Clases frecuencias punto medio f. acumulada

00-06 5

07-13 7

14-20 4

21-27 8

Con la siguiente distribución de frecuencias, hacer un gráfico de barras uno de puntos.

Intervalos frecuencias punto medio p. m x f

1 – 10 5

11 - 20 8

21 – 30 6

31 - 40 9

81

Ludo de los Números Naturales

Descripción:

Consta de un tablero rectangular elaborado en cartulina, distinguido con cuatro

colores : verde, azul, amarillo y rojo. Además contiene 16 fichas (4 verdes, 4 azules, 4

amarillas y 4 rojas) para ser utilizado por cuatro jugadores.

El recorrido en el juego estará representado por varias operaciones relacionadas con

los números naturales.

Regla del Juego:

1.- Se rifa el salidor ( saldrá primero el que saque el mayor número del dado).

2.- Se utilizará un dado a la vez.

3.- Se podrá jugar con una ficha a la vez, hasta que se introduzcan una a una en la

casilla de llegada.

4.- Al llegar a una casilla con operaciones, hay que contestar. Si es correcto esperara

su siguiente turno, si es incorrecto se perderá un turno de juego.

5.- Ganará el que introduzca todas las fichas en el triángulo de llegada.

Objetivo Terminal:

El alumno mediante el juego del Ludo, conocerá las operaciones fundamentales de

los números naturales.

83

Relaciónate con los Números Naturales

Descripción:

Consta de 55 piezas rectangulares, elaboradas en cartulina doble-fax, donde cada lado

consta de relaciones de dos números, donde se pueden sumar o multiplicar según el

objetivo que se quiera lograr. La relación viene dada d todas las combinaciones de los

números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Se elaborarán 17 circunferencias en cartulina de 20 cm ó 30 cm de diámetro, cada una

enumerada del 1 al 17.

Regla del juego:

1.- Se debe repartir 11 piezas a cada alumno en grupos de cinco (5), en una meza o el

piso.

2.- Se dispondrá de las 17 circunferencias ya recortadas en medio de los jugadores (suma)

y 35 circunferencias para el (producto).

3.- Se les indicará a los alumnos que introduzcan las 11 fichas de cada combinación,

dependiendo de la suma o el producto de los números en la circunferencia

correspondiente.

4.- Ganará el que termine de relacionar las fichas dentro de las circunferencias en forma

correcta.

Objetivo Terminal:

El alumno conocerá mediante el juego , los números naturales, las relaciones entre

ellos, además de sumar y multiplicar en N.

84

SUMA

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17

85

PRODUCTO

0 1 4 9

16 25 36 49

64 81 8 3

5 6 7 12

21 18 15 24

20 28 27 45

32 63 36 42

86

72 48 54 40

35 56 14

PIEZAS

91

Memoria de los Números Enteros

Descripción:

Consta de 56 piezas en forma de cuadriláteros, elaborados en cartulina doble-fax,

donde un lado estará con un número, palabra o signo, relacionado con el tema de los

números enteros (preferiblemente en colores), y el otro lado en blanco.

Regla del juego:

1.- Se colocará todas las piezas con el color blanco hacia arriba.

2.- Pueden jugar hasta 5 alumnos.

3.- Cada alumno irá levantando de dos piezas hasta que coincidan las figuras, una vez

que coincidan se anexarán al jugador.

4.- Ganará aquel jugador que logre acumular el mayor número de parejas.

Objetivo Terminal:

Comprobar que el alumno esté en capacidad de relacionar los números negativos, los

positivos y el cero como números enteros.

Conocer que los números enteros se escriben como Z.

Establecer que los números naturales son un sub-conjunto de los números enteros.

93

N Z N Z

95

Juguemos con los Dados

Suma de Fracciones

Descripción del juego:

Se formarán 6 grupos de seis alumnos y cada grupo se dividirá en tres (3 equipos).

Luego se les entregará dos (2) dados que tienen en cada cara una fracción. Los

alumnos dirán que pareja del grupo de seis comienza lanzando los dados, para comenzar

la competencia entre ellos.

Al lanzar los dados quedarán dos fracciones que la pareja tendrá que sumar y los que

lo hagan en menor tiempo y correctamente se anotarán un (1) punto y competirá con la

otra pareja.

La pareja ganadora se queda y sale la perdedora, y así sucesivamente.

Al final competirán entre sí los ganadores de los seis equipos, y se irán eliminando

hasta quedar un (1) ganador. El profesor recogerá el record de todos los competidores,

asignándole desde 0,25 puntos hasta 2 puntos a los ganadores (dependiendo de las veces

que haya ganado).

Propósito:

.- Practicar la suma de fracciones con igual y diferentes denominadores.

.- Compartir conocimientos. Solidaridad.

.- Ser críticos.

Objetivo terminal:

Que los alumnos afiancen los conocimientos en suma de fracciones.

96

Caras de los Dados

Primer Dado:

Segundo Dado:

4 6

5 2

6 4

2 7

4 6

3 5

3 4

2 5

36

1 2

2 3

1 4

97

Carrera Geométrica

Descripción:

El juego consiste de un tablero de cartulina doble-fax, construido por los alumnos,

conteniendo cuadros sucesivos en los que hay preguntas, observaciones y respuestas que

el jugador debe acatar.

Se jugará con cuatro alumnos en el piso o una mesa. Se utilizará un dado por juego.

Ganará el alumno que logre salvar todos los obstáculos y llegue primero. Consta de

26 tarjetas de preguntas y 26 tarjetas de respuestas.

Regla:

1.- Se sorteará el salidor, lanzando el dado.

2.- Cuando caiga en ? se deberá levantar la tarjeta de arriba y leer la pregunta al

jugador. Si coincide con la tarjeta de respuesta podrá volver a lanzar el dado.

3.- Cuando caiga en “avanzar”, “ pierdes turno, “retrocede espacios”, debes cumplir con

lo escrito.

4.- Los espacios con figuras geométricas son neutros.

5.- El jugador que llegue primero, será el ganador.

Objetivo Terminal:

Se cumplirá el objetivo, si los alumnos responden satisfactoriamente todas las

preguntas en los que ha caído el alumno.

El juego persigue estimular al alumno en el conocimiento teórico y práctico de la

geometría de 7mo grado.

Parte posterior Parte anterior

. 1- Pregunta 1.- Respuesta

99

Preguntas

1.- ¿La Geometríaestudia?

2.-¿ Lacircunferencia es?

3.-¿ Radio es?

4.- ¿El arco es? 5.- ¿Define laCuerda?

6.- ¿ El Diámetroes?

7.- ¿ La fórmulaC = 2. . r es para

calcular la?

8.- ¿ El segmento dela figura es? 9.- ¿ Un triángulo

es?

10.-Qué triánguloes?

11.- ¿ Qué triánguloes?

12.- ¡Los ángulos dela figura son?

13.- ¿ Uncuadrilátero es?

14.- ¿ Qué triánguloes?

15.- La figurarepresenta un:

16.- ¿ Un polígonoes?


18.-Los ángulos dela figura son:

100

Respuestas


20.- La figurarepresenta un: 21.- ¿Un polígono

de 6 lados sellama?

22.-En la fórmula:At = b . h

2b = ?h = ?

23.- ¿ La notaciónKl se llama?

24.-¿ La unidadpara medir lalongitud es?

25.-¿ La figura esun?

26.- La figura esun?

1.- Estudia elespacio y las

formas, figuras ycuerpos que se

imaginen.

2.- Es una líneacerrada y plana

cuyos puntos están aigual distancia del

centro.

3.-Es cualquiersegmento que une el

centro de lacircunferencia concualquier punto.

4.- Es la porción decircunferencia

comprendida entredos de sus puntos.

5.- Es todosegmento que une

dos puntoscualquiera de lacircunferencia.

6.- Es toda cuerdaque pasa por el

centro de lacircunferencia

101

7.- Circunferencia 8.- Radio9.- Un triángulo esun polígono de tres

lados.

10.- Equilátero 11.- Rectángulo 12.- Internos

13.- Es un polígonode cuatro lados 14.- Isósceles

15.- Paralelogramo

16.- Llamamospolígono a la figura

representada poruna línea poligonal.

17.- Rectángulo 18.- Externos

19.- Un polígonoregular 20.- Rombo 21.- Hexágono

102

22.- b = baseh = altura 23.- Kilolitro 24.- Metro

25.- Cubo 26.- Cilindro

103

Juego de Dominó en la Geometría

Descripción:

El juego de dominó consta de 28 fichas rectangulares. Cada ficha está dividida en

dos recuadros iguales. Cada recuadro expresa una relación.

El juego tiene 56 relaciones en total, las cuales pertenecen al objetivo de figuras

geométricas y cuerpos geométricos. El juego consiste en empatar la figura, fórmula o

cálculo del extremo de una ficha, con una relación de su misma clase, perteneciente a

otra ficha:

Regla del Juego:

Juegan cuatro (4) jugadores por mesa de juego, en el taller, o juntando pupitres en

una aula normal. Para una sección de 24 a 32 alumnos, se necesitará 6 ó 8 juegos

semejantes.

El juego se desarrolla en la misma forma que un dominó convencional: se revuelven

las fichas boca abajo, cada jugador recoge 7 piezas y las ordena frente suyo.

El jugador irá colocando las fichas dependiendo de la relación que exista al momento

de jugar. Ganará el jugador que logre colocar todas las fichas. Su quipo sumará un (1)

punto cada vez que llegue primero uno del equipo.

104

Se jugarán 11 rondas por cada juego de manera que siempre halla un equipo

ganador.

FICHAS

107

Subiendo y bajando la escalera (Estadística)

Descripción:

Este juego se dibujará en una hoja blanca o cartulina, utilizando cuatro fichas de

colores diferentes para identificar los jugadores .

Regla del juego:

1.- Constará de 24 escalones enumerados.

2.- Por cada escalón habrá una tarjeta con una pregunta, ejercicio o sugerencia, deberá

contestar o resolver el ejercicio para poder avanzar.

3.- Se jugará de dos (2) hasta cuatro (4) alumnos por cada escalera.

4.- Se utilizará un (1) dado a la vez.

5.- Cada alumno debe tener hojas blancas, lápiz, regla y colores, para poder cumplir con

los ejercicios.

6.- El docente supervisará el desarrollo del juego.

7.- Ganará el alumno que logre contestar todas las preguntas y llegue primero.

8.- Habrá ocho (8) tarjetas de inmunidad para solventar las preguntas, si no la sabe, y

librarse de la caída de la casilla 13.

Objetivo terminal:

El objetivo de este juego es obtener el conocimiento básico de los objetivos de

estadística y probabilidad del programa de Matemática de una manera sencilla y amena.

108

Vuelve a empezar

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

109

Tarjetas de Preguntas

Posterior

3Toma una tarjeta de

inmunidad

1

Define Estadística

2

¿ Qué significa % ?

4

Hallar la probabilidad deque al lanzar un dado salga

el N° 4

5¿Este es un gráfico?

frecuencia

rojo

verde

azul

amarillo

morado

6¿ Que es la

probabilidad ?

110

7Lanza dos monedas y halla

la probabilidad de que salgacara y sello

8

Toma una tarjeta deinmunidad

11 ¿ Este es un gráfico de?

0

20

40

60

80

100

1er trim. 2do trim. 3er trim. 4to trim.

9

¿Qué significa fr ?

10


13

Define población

14


12

Avanza 2 escalones

111

15

Define muestra

16

¿ Cuál es la moda en?3,4,5,2,1,3,6,8,3

19Grafica el siguiente cuadro:

Intervalos Frecuencia 00 - 05 1 06 - 10 4 11 - 15 6 16 – 20 2

17


18

Retrocede 4 escalones

20


21

Define la mediana

22Calcular la media en:

5, 3, 10, 9, 5, 6, 4

112

Tarjetas de Inmunidad

23¿ Qué porcentaje es

350 de 1000?

24Calcular la mediana en:

1, 3, 4, 5, 6, 2, 8

113

Respuestas

1.- Es la ciencia en la que se ordena y clasifican experiencias sobre fenómenos que han

ocurrido

2.- Significa porcentaje

3.-

4.- La probabilidad es P = 1/6

5.- Gráfico circular

6.- Es el estudio de fenómenos ocurridos al azar

7.- P = 2/4

8.-

9.- Frecuencia relativa

10.-

114

11.- Gráfico de barras

12.- Avanza 2 escalones

13.- Es el conjunto de todos los objetos de estudio de una investigación

14.-

15.- Es un subconjunto de la población

16.- La moda es: 3

17.-

18.- Retrocede 4 escalones

19.-

0

2

4

6

00 - 05 06 - 10 11 - 15 16 - 20

115

20.-

21.- La mediana es el valor central de una distribución.

22.- x = 42 x = 6 7

23.- 35%

24.- es 5

116

Crucigrama Matemático:

1 5

2 3

6 7

4

8 9

10 11 10

12

Horizontal: Vertical:

1.- Suma de 3 + 4 1.- se define + como

2.- Se llama 3.- 8 se escribe

4.- . se escribe 5.- 3 se escribe

6.- Siete en ingles 7.- 21 – 1 es igual

8.- 2 + 3 es igual 9.- x en x = 5 – 1 es igual

10.- 13 se escribe 11.- se conoce como

12.- + se escribe

117

Bingo Geométrico

El juego consiste en llenar el cartón del bingo geométrico primero que los demás. Este

consta de 7 cartones y 12 fichas que estarán dentro de una bolsa.

Habrá un cantador que puede ser un jugador o el profesor. Podrán participar hasta 7

jugadores.

118

CARTONES

119

Memoria Geométrica

El juego es individual. Cada alumno encuentra las sumas y cuando uno de losparticipantes designado por el profesor lee sus resultados, los demás lo confirman o loscorrigen. Ganará el jugador que obtenga los resultados correctos.

Número de: Triángulos:_____ Cuadrados:_____ Hexágonos:____ Círculos.____

Triángulos pequeños:_____ Triángulos grandes:_____ Cuadrados pequeños:_____

Cuadrados grandes:_____ Hexágonos pequeños:_____ Hexágonos grandes:_____

Círculos pequeños:_____ Círculos grandes:____

128

BIBLIOGRAFIA

NAVARRO, E……………………………..Matemática 7mo Grado. Distribuidora

Zacarías. Caracas Venezuela.1987.

SARABIA, José y BARRAGÁN, F........ Matemática 7mo Grado. Ediciones

CO-BO. Caracas. Venezuela. 1993

MICROSSOF ENCARTA 99

Cuaderno de Matemática 1º Año Media

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