Universidad Nacional del Comahue Facultad de Ingeniera

Aplicacin de las ecuaciones de la capa lmite en una placa plana con succin e inyeccin

Daniel Mateo Ricardo A. Prado (rea Mecnica de los Fluidos)

Cuaderno de Facultad N 001/2009 Septiembre de 2009

ndiceResumen Introduccin Solucin de Blasius Obtencin de la ecuacin diferencial de Blasius Placa plana con flujo transversal Resultados Flujos de Falkner Skan Resultados de Falkner-Skan con velocidad transversal Conclusiones Referencias Apndice 1 1 1 2 4 6 11 13 15 15 16

ResumenTanto la estabilidad de un flujo sobre una placa plana como su resistencia debida a la friccin estn ntimamente relacionadas con el perfil de velocidades dentro de la capa limite. Este trabajo se centra en la implementacin de un algoritmo que resuelve el caso del flujo de un fluido viscoso sobre una placa plana mediante la representacin de las ecuaciones de Prandtl con la introduccin de la solucin propuesta por Blasius para el caso particular de la placa plana con gradiente de presin nulo. En el caso original, las condiciones de contorno sobre la placa son las de impermeabilidad y no deslizamiento. En este trabajo se cambia la condicin de impermeabilidad sobre la superficie de la placa para contemplar la succin o soplado de la capa limite sobre la pared y su efecto sobre el perfil de velocidades. En una segunda parte se busca representar los efectos del gradiente de presiones sobre el flujo sobre una placa plana, ya descriptos en los flujos de Falkner Skan, con el agregado de flujo a travs de la placa plana, dejando de lado la condicin de impermeabilidad.

IntroduccinLas ecuaciones de Navier Stokes son una expresin de la segunda ley de Newton de la dinmica en forma diferencial para un volumen de fluido newtoniano. En 1904 Prandtl desarroll una simplificacin de estas ecuaciones mediante un anlisis de rdenes de magnitud para su aplicacin dentro de la capa lmite, que es una delgada regin alrededor de los cuerpos donde los esfuerzos viscosos son significativos. La expresin de estas ecuaciones es la siguiente:u v =0 + x y u u dU 1 +v =U + u x y dx y

(1)

Solucin de BlasiusPara el flujo laminar sobre una placa plana de una corriente libre uniforme (Figura 1), es decir, sin gradiente de presiones en la direccin de la placa (dU/dx = 0) las ecuaciones (1) se simplifican aun mas, pudindose hallar las componentes u y v de la velocidad dentro de la capa limite. Esta solucin se debe al alumno de Prandtl, Paul H. R. Blasius, que en 1908 present una solucin de las ecuaciones (1) para el caso particular de la placa plana con un mtodo para resolverlas utilizando series [1].

1

Figura 1 Utilizando una nica variable combinada las componentes u y v se expresan como funcin de esta nueva variable segn [1].1 U ( f f) 2 x

=y

U x

u() = f()

v() =

(2.a)

En cambio en la adimensionalizacin utilizada en [2] se incluye un 2 para evitar introducirlo mas adelante, la versin original de Blasius no tenia esta modificacin.

=y

U 2 x

(2.b)

Obtencin de la ecuacin diferencial de BlasiusPartiendo de las ecuaciones de Prandtl (1) y conservando la condicin de contorno de no deslizamiento, impermeabilidad de la placa y la de velocidad igual a la de la corriente libre fuera de la capa limite, el trmino de la cantidad de movimiento se simplifica para dU/dx por la ausencia del gradiente de presin. Utilizando la expresin para y en funcin de la nueva variable adimensional se puede rescribir la ecuacin: 2 (U f ()) f () v = y y 2

(3)

2

U f () 2 f () f ) U ( f = U 2x y 2 y = y U x

2

(4.a)

(4.b)

Aplicando la transformacin de coordenadas (2.b) se encuentra la expresin mas simplificada de (4.a)

( f f ) f = f impermeabilidad y velocidad fuera de la capa limite. u(0) = 0 no deslizamiento v(0) = 0 impermeabilidad u()/U = 1 velocidad igual a U

(5)

Siendo las condiciones de contorno del problema original las de no deslizamiento en la pared e

(6)

se reduce la ecuacin (5) a una ecuacin diferencial ordinaria y homognea de tercer orden no lineal.

f + f f = 0

(7)

siendo ahora las condiciones de contorno dadas por valores de f y f en los valores de la variable adimensional .

f(0) = 0 , no deslizamiento f(0) = 0, impermeabilidad f() = 1, la relacin de u y la velocidad U en = 0.99

(8)

En la figura 2 se observan los perfiles de u y v, adimensionalizadas en funcin de la variable adimensional como aparecen en [1].

Figura 2 extrada de [1]

3

Placa plana con flujo transversalEn el caso de tratarse una placa plana perforada a travs de la cual se succione o se inyecte fluido dentro de la capa limite las condiciones de contorno ya que deja de ser valida la condicin de impermeabilidad.

Figura 3 extrada de White [2] Segn [2] la componente v tiene en la teora de Prandtl la formav = U = ( f f ) x 2x

(9)

En el caso de la placa con velocidad v no nula sobre la pared, donde vale 0, la expresin de la componente es:U ( f (0 )) 2 x

v=

(10)

Entonces el soplado o inyeccin de fluido en una placa plana puede ser representado por un valor no nulo de f(0). En ese caso v x-1/2. La succin de flujo a travs de la placa tiene un efecto estabilizador de la capa lmite aumentando la pendiente du/dy sobre la placa, lo que tiene como efecto adicional el incrementar la resistencia de friccin. Los resultados observados se ven influenciados por el parmetro vw= (v/U)*(Rex)1/2= -f(0)/21/2 Ux Re x =

(11)

Lo que se pretende determinar en este trabajo es la relacin entre el valor de la condicin de contorno de f(0) relacionado como se ha dicho con la velocidad transversal en la placa con la otra condicin en la pared que es el valor de f (0) para que el perfil obtenido se mantenga semejante.

4

Esta relacin es conocida solamente para la condicin descripta por Blasius de impermeabilidad que son los conocidos valores f(0) = 0 y f(0) = 0.4696. El caudal o bien el modulo de la velocidad a utilizar esta limitado por la aplicabilidad de la teora de la capa limite a un mximo aproximado de v = 0.001*U. Para resolver la ecuacin de Blasius se emplea el mtodo de Runge Kutta de segundo orden implementado con el programa Matlab. Como referencia se toma lo expuesto en la pgina 252 de [2] se considera como un valor limite de v* = 0.619 que segn la convencin de signos indica un soplado, valor para el cual se considera que la capa limite esta volada o desprendida. Por el contrario no existe valor lmite para la succin de la capa lmite ms que el indicado como relacin a U. En la figura 4 se observan los diferentes perfiles para cada caso. Ntese que para valores mayores que cero empieza a aparecer un punto de inflexin en la forma del perfil de velocidades u(). Los efectos sobre la cantidad de movimiento, de la succin o soplado de la capa limite sobre una placa plana fueron estudiados por Schlichting y Bussmann en 1943 segn cita White [2].

Figura 4 Extrada de [2] Para lograr perfiles semejantes para distintas condiciones de contorno de f que representen el soplado o succin es necesario ir modificando paralelamente el valor de f(0) hasta lograr que el valor asinttico de f()1 para un determinado valor de f(0). v f (0) Re x = U 2

v *=

(12.a)

f (0) = 2 v *

5

Hay que notar que debido al signo menos, para una succin que se representa por un valor negativo de v*, corresponde un valor positivo de f(0). Una vez fijado el valor v queda definido el de v* y consecuentemente el de f(0). Para el presente caso el fluido elegido es aire, la velocidad de la corriente libre es U = 0,1 m/s, que en una coordenada x = 0,15 m determina un Rex = 1000. Comenzando por un valor de v* = 0.6 indicando que se trata de una velocidad v positiva o soplado de la capa limite, f(0) = -0.8485. v* = 0.6 f(0) = -0.8485 it f (0) f () 1 0.4696 2.4213 2 2 4.5491 3 0.01 1.0471 4 0.00476 1.0000 Tabla 1

ResultadosLos resultados para el ltimo valor de la tabla se encuentran graficados en la figura 5, en trazos llenos se muestran los perfiles con succin/soplado y en lneas de trazos la solucin de Blasius. Entre otras cosas puede observarse el engrosamiento del espesor de la capa lmite como consecuencia del soplado, determinado por la posicin donde se alcanza la velocidad de la corriente libre. Adems puede identificarse un punto de inflexin en el perfil de velocidades en la direccin de la corriente libre.

Figura 5

6

En el otro extremo se tiene el valor v* = -2, lo que indica una fuerte succin de la capa limite, y como para cada valor propuesto de v* se procede a probar valores de f (0) para este valor de v* se tiene f(0) = 2.8284. v* = -2 f(0) = 2.8284 it f (0) f () 1 0.4696 0.1644 2 2.000 0.6812 3 3.000 1.0063 4 2.9803 1.000 Tabla 2

En la figura 6 se observan las curvas comparativas pare una succin con factor v* = -2. el perfil de velocidades observados es similar al que podra obtenerse con un gradiente favorable de presiones dp/dx. Se observa un aumento de la pendiente de la velocidad u sobre la placa con el consiguiente aumento de la resistencia de friccin. Estos son los lmites tomados para las velocidades verticales en la placa con sus respetivos valores de la derivada segunda sobre la pared. En las siguientes figuras se observa el efecto de la velocidad vertical sobre los distintos perfiles de f, f y f . Repitiendo el proceso de bsqueda se obtiene una relacin entre el parmetro adimensional v* y el valor de f(0) correspondiente y dicha relacin se puede observar graficada en la figura 7.

Figura 6

7

Figura 7

Figura 8

Figura 9

1.0308

8

Figura 10

Figura 11

Figura 12

9

La componente vertical de velocidad v tambin puede obtenerse a travs de la funcin de corriente () implementada por Blasius y graficada para distintos valores v*:v = ( f f ) = U 2Ux x

(12.b)

Figura 13 Los pares de valores hallados para v* y f (0) pueden ser unidos por una curva de interpolacin de orden cuarta: f (0) = 0.0407 x 4 + 0.1703 x 3 + 0.2965 x 2 1.0194 x + 0.4671 siendo x el valor del parmetro v*.3,5

(13)

Figura 14

3

2,5

f"(0)

2

1,5

1

0,5

0 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1

v*

10

Flujos de Falkner SkanOtra familia de perfiles semejantes para capa limite son los descubiertos por Falkner y Skan en 1931, en cuyo desarrollo se basa en determinar la existencia de una variable que combine las coordenadas x e y, y a partir de all encontrar expresiones para las componentes de la velocidad u y v en funcin de esta nueva variable. De existir esta variable (x,y) la componente u se escribe en funcin de dicha variable u() = Uf () definida por = y ( x ) (15) (14)

siendo U la velocidad de la corriente libre y una variable adimensional en funcin de x e y. (x) resta aun ser determinada. Siguiendo a I.G. Currie [3] la funcin de corriente que cumple con la velocidad u dada por (14) es ( x, y) = U( x )( x )f () (16)

luego esta expresin de u() es utilizada en la ecuacin de cantidad de movimiento en x, donde junto con v se expresan a travs de la funcin de corriente, as como tambin sus derivadas.u= = Uf ' y

(17)

v=

U = f + U f + U f ' x x x xu 2 Uf " = = y y 2

(18)

(19)

2 u 3 = y 2 y 3

(20)

obtenindose la siguiente expresin al reemplazar en la segunda ecuacin de las (1) 2 2 U 3 = U + 3 y yx x y 2 x y

(21)

A su vez cada termino de (21) puede expresarse en funcin de f, U y sus derivadas.

11

U 2 U = f ' + U f f ' ' Uf ' x y yx x x

(22)

2 U U 2 = f + U f U f ' f " x y x x x

(23)

3 U = f ' ' ' y 3 2

(24)

A travs de simplificaciones y combinaciones de trminos con rdenes de derivacin similares se llega a una expresin mas compacta de la ecuacin. U dU U d dU U + 2 f ' ' ' (f ' ) 2 ( U)f f " = U d dx dx (25)

y puede ponerse de otra forma homognea multiplicando a toda la ecuacin por la inversa del coeficiente de f 2 dU d f ' ' '+ ( U)f f "+ (1 (f ' ) 2 ) = 0 dx dx

(26)

para que exista una solucin semejante en los perfiles, la (26) debera ser una ecuacin diferencial ordinaria de f con la variable , para lo cual los trminos entre corchetes deben ser constantes, llamndolos y .f' ' '+ ff"+ (1 (f' ) 2 ) = 0 2 dU = dx d = ( U) dx

(27)

El parmetro es una medida del gradiente de presin dp/dx, si es positivo el gradiente de presiones es negativo o favorable, igual a cero corresponde al caso de la placa plana, junto con son adimensionales. Nuevamente con un algoritmo empleando un algoritmo para Runge-Kutta a travs de Matlab se resuelve para un valor fijo de = 1 se resuelve para determinadas combinaciones de y v*. un valor de positivo tiene un efecto de aumentar la pendiente del perfil de velocidades u(), efecto

12

similar al de succin de la capa limite, por lo que se busca en primera instancia una compensacin entre el efecto de gradiente favorable ( < 0) con un soplado de la capa limite (v* > 0).

Resultados de Falkner-Skan con velocidad transversalPrimer Caso: = 1 y v* = 0.3 En las Figura 15 a 17 se observa el efecto opuesto entre favorable ( > 0) y el soplado de la capa limite (v* > 0).

Figura 15 Segundo Caso: = 1 y v* = 0.6

Figura 16

13

Tercer Caso: = 0.3 y v* = 0.6 (soplado)

Cuarto Caso: = -0.18 y succin v* = -2.

Figura 17 Cuarto Caso: = -0.18 (desfavorable) y v* = -2 (Succin)

Figura 18 Figura 18 En la tabla 3 se encuentran los valores de f sobre la placa para las condiciones de gradiente de velocidades u/U = 1, en el borde de la capa limite. f =1 = 0.3 = -0.18 v*=0.3 1.0059355 0.53679 v*=0.6 0.815539 0.358892 v*=-2 1.5225 Tabla 3

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ConclusionesDe lo observado puede extraerse que tanto succin de la capa limite sobre una placa plana tiene un efecto positivo sobre la estabilidad de la capa limite al hacer desaparecer el punto de inflexin caracterstico de los flujos sobre placas con gradientes adversos de presin. Por otro lado, la situacin inversa tambin es observada, ya que el efecto estabilizador de un gradiente de presiones favorable se ve disminuido ante la presencia del soplado de capa limite. Normalmente, el aumento de la pendiente en el perfil de velocidades est asociado con un aumento en la resistencia de friccin con lo cual queda claro al observar cada efecto por separado el papel que juega el gradiente de presiones y la succin o soplado de la capa limite sobre la resistencia as como tambin sobre la estabilidad de la capa limite.

Referencias[1] Schlichting Hermann (1979) Boundary Layer Theory, 7th Ed. McGraw Hill. [2] White Frank M. (1991) Viscous Fluid Flow, 2nd Ed. McGraw Hill. [3] Currie Iain G. (2003) Fundamental Mechanics of Fluids, 3rd ed. Marcel Dekker Inc. [4] Mech 371 Lecture - www.owlnet.rice.edu/~mech371/handouts/exact_soln_BL.pdf

15

ApndiceCdigos de programacin empleados

1_Flujos de Falkner Skan con succinclear clf h= 0.001; tend = 10; alfa=1; beta=0;%Beta = 0 corresponde a Blasius y1(1)=1.4142135623730950488016887242097/2; %valor inicial de f(0) y2(1)=0; y3(1)=input('valor inicial de f" '); % el primer elemento (1) corresponde a la superficie de la placa plana t(1)=0; i=1; while t(i) < tend i=i+1; % 1. Calculo de f(t,y) f10 = y2(i-1); f20 = y3(i-1); f30 = -alfa*y1(i-1)*y3(i-1)-beta*(1-y2(i-1)^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%valores intermedios yt1 = y1(i-1) + h*f10; yt2 = y2(i-1) + h*f20; yt3 = y3(i-1) + h*f30; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones intermedias ft1 = yt2; ft2 = yt3; ft3 = -alfa*yt1*yt3-beta*(1-yt2^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones finales ff1 = (1/2)*f10 + (1/2)*ft1; ff2 = (1/2)*f20 + (1/2)*ft2; ff3 = (1/2)*f30 + (1/2)*ft3; %soluciones calculadas en (i) y1(i) = y1(i-1) + h*ff1; y2(i) = y2(i-1) + h*ff2; y3(i) = y3(i-1) + h*ff3; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% actualizacin del tiempo t(i) = t(i-1) + h; end uad=y2(tend/h) axis([0 4 0 10]) plot(y2,t,'r','LineWidth',2.5),hold on legend('u(\eta) con succion');

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%calculo de beta sin succin clear h= 0.001; tend = 10; alfa=1; beta=0;%beta igual a cero corresponde a Blasius y1(1)= 1.4142135623730950488016887242097; %valor inicial de f(0) y2(1)=0; y3(1)=1.6538; % el primer elemento (1) corresponde a la superficie de la placa plana t(1)=0; i=1; while t(i) < tend i=i+1; % 1. Clculo de f(t,y) f10 = y2(i-1); f20 = y3(i-1); f30 = -alfa*y1(i-1)*y3(i-1)-beta*(1-y2(i-1)^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%valores intermedios yt1 = y1(i-1) + h*f10; yt2 = y2(i-1) + h*f20; yt3 = y3(i-1) + h*f30; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones intermedias ft1 = yt2; ft2 = yt3; ft3 = -alfa*yt1*yt3-beta*(1-yt2^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones finales ff1 = (1/2)*f10 + (1/2)*ft1; ff2 = (1/2)*f20 + (1/2)*ft2; ff3 = (1/2)*f30 + (1/2)*ft3; %soluciones calculadas en (i) y1(i) = y1(i-1) + h*ff1; y2(i) = y2(i-1) + h*ff2; y3(i) = y3(i-1) + h*ff3; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% actualizacin del tiempo t(i) = t(i-1) + h; end uad=y2(tend/h) axis([0 4 0 10]) plot(y2,t,'--k','LineWidth',2),hold on

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2_Clculo de las velocidades verticalesclear clf x = 0.15; U=0.1; nu=15*10^-6; h= 0.001; tend = 10; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% succin h= 0.0005; tend = 10; alfa=1; beta=0; x = 0.15; U=0.1; nu=15*10^-6; h= 0.001; tend = 10; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% v*=-1 ya1(1)=1.4142135623730950488016887242097; %v* = -1 ya2(1)=0; ya3(1)=1.6538; % el primer elemento (1) corresponde a la superficie de la placa plana t(1)=0; i=1; while t(i) < tend i=i+1; % 1. Clculo de f(t,y) f10 = ya2(i-1); f20 = ya3(i-1); f30 = -alfa*ya1(i-1)*ya3(i-1)-beta*(1-ya2(i-1)^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%valores intermedios yt1 = ya1(i-1) + h*f10; yt2 = ya2(i-1) + h*f20; yt3 = ya3(i-1) + h*f30; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones intermedias ft1 = yt2; ft2 = yt3; ft3 = -alfa*yt1*yt3-beta*(1-yt2^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones finales ff1 = (1/2)*f10 + (1/2)*ft1; ff2 = (1/2)*f20 + (1/2)*ft2; ff3 = (1/2)*f30 + (1/2)*ft3; %soluciones calculadas en (i) ya1(i) = ya1(i-1) + h*ff1; ya2(i) = ya2(i-1) + h*ff2; ya3(i) = ya3(i-1) + h*ff3; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%actualizacin del tiempo

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t(i) = t(i-1) + h; end uad=ya2(tend/h) vasta=sqrt(nu/(2*U*x)).*(t.*ya2-ya1); plot(vasta,t,'--k','LineWidth',2),hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% v* = -0.5 alfa=1; beta=0; y1(1)=1.4142135623730950488016887242097/2; %v* = -0.5 y2(1)=0; y3(1)=1.0308; % el primer elemento (1) corresponde a la superficie de la placa plana t(1)=0; i=1; while t(i) < tend i=i+1; % 1. Calculo f(t,y) f10 = y2(i-1); f20 = y3(i-1); f30 = -alfa*y1(i-1)*y3(i-1)-beta*(1-y2(i-1)^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%valores intermedios yt1 = y1(i-1) + h*f10; yt2 = y2(i-1) + h*f20; yt3 = y3(i-1) + h*f30; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones intermedias ft1 = yt2; ft2 = yt3; ft3 = -alfa*yt1*yt3-beta*(1-yt2^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones finales ff1 = (1/2)*f10 + (1/2)*ft1; ff2 = (1/2)*f20 + (1/2)*ft2; ff3 = (1/2)*f30 + (1/2)*ft3; %soluciones calculadas en (i) y1(i) = y1(i-1) + h*ff1; y2(i) = y2(i-1) + h*ff2; y3(i) = y3(i-1) + h*ff3; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%actualizacin del tiempo t(i) = t(i-1) + h; end uad=y2(tend/h) vast=sqrt(nu/(2*U*x)).*(t.*y2-y1); plot(vast,t,'k','LineWidth',2.5),hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BLASIUS yc1(1)=0; %v* = 0 yc2(1)=0; yc3(1)=.4696;% % el primer elemento (1) corresponde a la superficie de la placa plana t(1)=0;

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i=1; while t(i) < tend i=i+1; % 1. Calculo f(t,y) f10 = yc2(i-1); f20 = yc3(i-1); f30 = -alfa*yc1(i-1)*yc3(i-1)-beta*(1-yc2(i-1)^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%valores intermedios yt1 = yc1(i-1) + h*f10; yt2 = yc2(i-1) + h*f20; yt3 = yc3(i-1) + h*f30; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones intermedias ft1 = yt2; ft2 = yt3; ft3 = -alfa*yt1*yt3-beta*(1-yt2^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones finales ff1 = (1/2)*f10 + (1/2)*ft1; ff2 = (1/2)*f20 + (1/2)*ft2; ff3 = (1/2)*f30 + (1/2)*ft3; %soluciones calculadas en (i) yc1(i) = yc1(i-1) + h*ff1; yc2(i) = yc2(i-1) + h*ff2; yc3(i) = yc3(i-1) + h*ff3; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%actualizacin del tiempo t(i) = t(i-1) + h; end uad=yc2(tend/h) vastc=sqrt(nu/(2*U*x)).*(t.*yc2-yc1); plot(vastc,t,':k','LineWidth',2.5),hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%v* = 0.3 yb1(1)=-0.42426406871192851464050661726291; yb2(1)=0; yb3(1)=.19075; % el primer elemento (1) corresponde a la superficie de la placa plana t(1)=0; i=1; while t(i) < tend i=i+1; % 1. Calculo f(t,y)

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f10 = yb2(i-1); f20 = yb3(i-1); f30 = -alfa*yb1(i-1)*yb3(i-1)-beta*(1-yb2(i-1)^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%valores intermedios yt1 = yb1(i-1) + h*f10; yt2 = yb2(i-1) + h*f20; yt3 = yb3(i-1) + h*f30; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones intermedias ft1 = yt2; ft2 = yt3; ft3 = -alfa*yt1*yt3-beta*(1-yt2^2); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%funciones finales ff1 = (1/2)*f10 + (1/2)*ft1; ff2 = (1/2)*f20 + (1/2)*ft2; ff3 = (1/2)*f30 + (1/2)*ft3; %soluciones calculadas en (i) yb1(i) = yb1(i-1) + h*ff1; yb2(i) = yb2(i-1) + h*ff2; yb3(i) = yb3(i-1) + h*ff3; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%actualizacin del tiempo t(i) = t(i-1) + h; end uad=yb2(tend/h) vastb=sqrt(nu/(2*U*x)).*(t.*yb2-yb1); plot(vastb,t,'-.k','LineWidth',2.5),hold on legend('v* = -1','v* = -0.5','Blasius','v* = 0.3') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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