INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR “CENTRAL TÉCNICO”

Nivel tecnológico

Integrantes:

CRISTIAN GUAGALANGO

Cristian albuja

Alex ushina

Javier Gomes

Gustavo fuertes

Diego sanchez

NIVEL: PRE”C”

2011Ángulos y aplicaciones

MATEMÁTICA

Ángulos y aplicaciones

La trigonometría se refiere a la medida de los ángulos y los lados de un triangulo.

Angulo plano

P

O X

El ángulo XOP está formado por dos líneas OX y OP el punto o se llama vértice y las líneas medias se llaman lados del ángulo, un ángulo plano se genera si se gira una línea de la posición inicial OX a la posición terminal OP.

Medición de ángulos

1Grado ( º ) se define como la medida central del ángulo subentendido por un arco del circulo igual a 1/3600de de la circunferencia de un circulo

Minuto ( ` ) es 1/60de 1 grado

Segundo ( “ ) es 1/60 minuto o sea 1/3600 de un grado

Cuando se convierte ángulos expresados de forma decimal o minutos y segundos, la regala general es que la dividimos de ángulo sea convertido al minuto más cercano y el resto de los ángulos se redondea a la centésima más cercana entonces se cambiara al segundo más cercano.

En cambio cuando se convierte ángulos a minutos y segundos en forma decimal el resultado en minutos se redondeara a decimas y los ángulos en segundos se redondea el resultado en centésimas.

EJEMPLOS

Transformar 62,4º grados y minutos

62.4º=62+0.4 (60´)

=62º24´

Transformar 23.9º a grados y minutos

23.9º=23º+0.9 (60´)

=23º54´

Transformar 29.23º a grados minutos y segundos

29.23º=29º+0.23 (60´)

=29º13,8´

=29º13´+0.8 (60”)

=29º13´48”

Transformar 37.47º a grados minutos y segundos

37.47º=37º+0.47 (60´)

=37º28,2´

=37º28´+0.2 (60”)

=37º28´12”

Transformar 78º17´a grados minutos y segundos

78 °17 ´=78+ 1760

=78.3º

Transformar 58º22´16” a grados

58 °22 ´ 16”=58+ 2260

+ 163600

=58.37º

Radian (rad).- se define como la medida del ángulo central subtendido por un arco de un circulo igual al radio del circulo

Rad

La circunferencia de un círculo es igual a 2 rad y subtiende un ángulo de 360º. Entonces 2 rad equivale a los 360º de forma que:

1 rad=1800

❑ =57.296 °=57 ° 17 ´ 45”

1grado= ❑1800 rad=0.01745 rad

=3.1415

Ejemplos:

Transformar 712

rad agrados

712

rad∗ 1800

rad=105 °

Transformar 32

rad a grados

32rad∗1800

rad=270°

Transformar 50º a radianes

50°∗rad

1800= 5

18rad

Transformar -210º a radianes

−210º∗rad

1800=−7

6rad

Reducir 1.27 radianes a grados minutos y segundos

r

1.27rad∗1800

rad=1.27∗57.2960

❑ =72.77 °

=72º+0.77 (60´)

=72º46,2´

=72º46´+0.2 (60”)

=72º46´12”

125º23´19” a radianes

125 °+ 2360

+ 193600

=125,40 °

125,4º*0.01745=2,18 radianes

TRIANGULOS RECTANGULOS

Teorema de Pitágoras.- En un triangulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual ala suma de los cuadrados de los catetos

B

c a

A b C

Ejemplo: halle el valor que se pide en cada uno de los siguientes triángulos

B c=√a2+b2

c=√(3cm)2+(4 cm)2

a= 3cm c c=5 cm

C b=4cm A

A c=12 cm B

a=√c2+b2

a=√(12cm)2+(9cm)2

b= 9 cm a a=15 cm

C

B

b=√c2+a2

b=√(4cm)2−(3cm)2

c=4cm a=3 cm b=2.64 cm

A b C

c=√¿¿c=√¿¿c=√4m2n2+m4−2m2n2+n4

c=√m4+2m2n2+n4

c=√(m2+m2 )2

c=m2+n2

Problemas

Halle la altura de un triangulo equilátero de 14cm de lado

b=√(14cm)2 - (7cm)2

b=12.12cm

Halle la diagonal de un cuadro de 9 cm de lado

a=√(9cm)2 - (9cm)2

a=12.72

Halle la altura de un rectángulo si su diagonal mide 6,8cm y la base 6cm

a=√(6.8cm)2 - (6cm)2

a= 3.2 cm

Una escalera de 65 decímetros de longitud está apoyada sobre una pared. El pie de la escalera esta 25 dm del pie de la pared calcular la altura

A

b=√(65cm)2 - (25cm)2

b=60dm

A qué distancia de la pared habrá que colocar el pie de esta misma escalera para que la pared superior se apoye en la pared a una altura de 52 dcm

.

b=√(65cm)2 - (52cm)2

b=39dm

Se ha formado un pentágono y se hace coincidir la base mayor de un trapecio isósceles con la hipotenusa de un triangulo rectángulo. Halle el perímetro del pentágono

y=√(24cm)2+(7cm)2

y=25

262=z2+z2

26=2z2

26z

=z2=z2=6722

18.38=z

P=(25+12+25+18.38+18.38)cm

P=98.76 cm

RAZONEZ TRIGONOMETRICAS

Sen . A=cat eto op uestohipotenusa

=ac

cos A= catetoadyacentehipotenusa

=bc

Tang A=cateto op uestocateto ady acente

=ab

Ctg A=cateto ady acentecateto op uesto

=baSec A= hipotenusa

catetoadyacente= c

b

Csc= hipotenusacatetoopuesto

= ca

Ejemplos

Halle la funciones trigonométricas del rectángulo si sus lados miden A= 4cm y B=3cm

c=√(4cm)2+ (3cm)2

c =5

Sen. B = 35

cosB=45

TangB=34

Ctg B= 4 3

Sec B= 54

Csc B= 53

Sen . A=45

cos A=35

Tang A=43

Ctg A=34

Sec A=53

Csc A=54

Resolver el siguiente triangulo rectángulo si uno de sus catetos es 25cm y el ángulo A es de

30º

Sen A=25cmc

c=25cm

Sen 30o

c=50 cm

Tang 30o =25cmb

b= 25cm

Tang 30o

b= 43.30

Sen .B=bc

Sen. B= 43.30cm50cm

Sen. B=0.86

B= Sen-1(0.866)

B=60º

∑ De los internos = 180∢ O

180O-(30O+90O)=B

60O=B

Resolver el siguiente triangulo rectángulo

c= √(12.3 cm)2 +(31.6)2

c=33.90

Sen .α=12.333.90

α=21.27º

Sen. β=31.9633.90

β= 68.77º

α=30º b=20cm

a=√(23.09)2−(20)2

a=11.53

α+β+90º=180º

β=180º-90º-30º

β=60º

cos α=bc

c= ccos α

c=20cmcos α

c=23.09

β=52º a=15cm

cos β=acc= a

cosβ

c=24.36cm

b=√c2−¿a2

¿b=√(24.36)2−(15)2

b=19.19cm

α=180º-90º-52º

α=38º

Un punto en el suelo se encuentra a 135 pie de la base de la torre. El ángulo de elevación de dicho punto a la cúspide de la estructura es de 57º20´. Halle la altura de la torre.

57 ° 20´=57 °+ 2060

=57.33º

Tang57.33 °= h135 ft

h=210.52 ft

Cuando un observador mira un objeto, el ángulo que forma la línea visual con la recta horizontal se llama ℓ ángulo de elevación o ángulo de depresión, del objeto dependiendo de si el objeto está por encima o por debajo de la horizontal.

Objeto X observador ℓ

Línea visual Ángulo de elevación

Ángulo de elevación línea visual

X ℓ Objeto

La longitud de un hilo es de 250 mt y el ángulo de elevación de la cometa es de 40º halle la altura suponiendo que el hilo que la sostiene se mantiene recto.

Sen40 °= a250m

a=250m*sen40º

a=160.69 m

Un poste de 10m de longitud proyecta una sombra de 8.391 m. Halle la longitud de la elevación.

Sen A= 10m8.391m

A=50º

El ángulo de elevación de la parte superior de una torre mide 30º .Acercándose 100m, se encuentra que el ángulo de elevación es de 60º determine la altura de la torre

Tang60 °=bx

x= b

Tang60o

Tang30 °= bx+100

x+100= b

Tang30o

x= b

Tang30o−10 0

tan30 °= bb

Tang60o+100

√3= bb

0.5773+100

bTang60 °

+10 0

X*Tang 60º=b

b+100Tang60 °tang60 °

h=x*tang 60º

h=50m*(1.7321)

h=86.61m

Tang 30º (100m+x)=x tang 60º

Tang30º*100m+x Tang 30º= x Tang 60º

100m+Tang 30º=xtang60º-xtang30º

100m*tang30º=x(tang60º*tang30º)

X= 100m∗tang 30 °tang 60 °∗tang 30°

X=50m

Al aproximarse una patrulla de reconocimiento a un fuerte situado en una llanura encuentra que desde un cierto lugar el fuerte se ve bajo un ángulo de 10º , y que desde otro lugar , 200m mas cerca del fuerte , este se ve bajo un ángulo de 15º.¿Cuál es la altura del fuerte? y ¿Cuál es su distancia al segundo lugar de observación?

Tang10 °=a} over {200 m + x¿

a=Tang 10º (200m+x)

Tang15 °= ax

a=tang15º(x)

1”=2”

Tang 10º*200m +tang 10º(x) =tang 15º(x)

Tang10º*200m=tang15º(x)-tang10º(x)

Tang 10º*200m=x (tang 15º-tang1º)

x= tang 10 °200mtang15 °−tang 10 °

x=135.61m

Reemplazo en 2”

a=tang15º (135.6m)

a=1.37m

Desde la punta de un edificio que se ve hacia el mar una persona observa un bote que navega directamente hacia ella si se encuentra a 100ft sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia de 25º a 40º durante el periodo de observación halle le distancia aproximada que ha recorrido el bote durante ese tiempo.

Tang 40 °=100 piesx2

Tang 40º*100 pies=x2

119.17 pies=x2

c=√¿¿

c=236.61 pies

Tang25 °=100 piesx1+x2

x1+x 2= 100 piesTang25 °

x1+x2=214.45 pies

x1+x2-x2=x1

214.45 pies -119.7 pies=94.75 pies

b=94.75 pies

RESOLUCIÓN DE TRIANGULOS RECTANGULOS

La resolución de triángulos oblicuángulos depende de:

La ley de senos; y ley de cosenos.

Ley de senos.- Los lados de un triangulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos

aSen A

= bSenB

= cSenC

Sen A=hb

SenB=ha

Sen ASenB

=

hbha

⟹Sen ASen B

=ab=

aSen A

=b

Sen B

SenB=hc

hbSenC=¿

SenBSenC

=

hchb

SenBSenC

=bc⟹ b

SenB= c

SenC

Ejercicios

Dados A=65º B=40º a=50m. Resolver el triangulo

Sen65 °50cm

=Sen40 °b

c=180º-65º-40º

c=75º

b= sen 40° ∙50°sen65 °

b=35046m

cSenC

= aSen A

c=a ∙SenCSen A

c=53.28m

Dados c=60cm A=50º B=75º

c=180º-75º-50º

c=55º

bSen75 °

= CSen55 °

b=60cm∙Sen75 °Sen55 °

b=70.75m

aSen50 °

= CSen55 °

a=60cm∗Sen50 °Sen55 °

a=56.11m

Dados

A=60º a=40cm B=45º

c=180º-45º-60º

c=75º

aSenA

= bSenB

40∗Sen 45 °Sen60 °

=b

b=32.65 cm

cSenC

= aSenA

c=a∗SenCSena

c=44.61m

b=7.07cm A=30º B=105º

B=180º-105º-30º

B=45º

aSenA

= bSenB

a=7.07cm∗Sen30°Sen45 °

b=4.94 cm

cSenC

= ASenA

C=4.94 cm∗Sen105 °Sen30 °

b=8.67 cm

a=20cm B=45º C=60º

180º-60º-45º=A

A=75º

bSenB

= aSenA

b=20Sen45 °Sen75 °

b=14.74cm

cSenC

= aSenA

c=20∗Sen60 °Sen75 °

c=17.93cm

a=550cm A=10º12´ B=46º36´

A=10º12´

A=10.2º

B=46º36´

B=46.6º

C=-A-B+180º

C=-10.2º-46.6º+180º

C=123.2º

aSen A

= bSenB

550cmSen10.2 °

= bSen46.6 °

550cm∗Sen46.6 °Sen10.2 °

=b

2256.63cm=b

a

Sen A= c

SenC

550cmSen10.2 °

= cSen123.2°

550cm∗Sen123.2 °Sen10.2°

=c

2598cm=c

B=100º10´ C=45º40” c=3060cm

B=100º10´

B=100.16º

C=45º40”

C=45.01º

A=180º-B-C

A=180º-100.16º-45.01º

A=34.83º

aSen A

= cSenC

aSen34.83 °

= 3060cmSen45.01 °

a=3060cm∗Sen34.83 °Sen45.01 °

a=2471.18cm

bSen B

= cSenC

bSen100.16 °

= 3060cmSen45.01 °

b=3060cm∗Sen100.16 °Sen45.01 °

b=4258.89cm

Resolver el triangulo si: A=48º20´ B=57º30´ c=47.3

A=48 °+ 2060

A=48.33º

B=57 °+ 3060

B=57.5º

C=180º-48.33º-57.5º

C=74.166º

cSenC

= aSenA

a=47.3cm∗Sen48.33 °Sen74.166 °

a=36.72cm

bSenB

= aSenA

b=36.72cm∗Sen57.5 °Sen 48.33 °

b=41.68cm

Resolver el triángulo si: a=12.4cm, b=8.7cm, B=36º40´

B=36º40´

B=36.66º

Sen Aa

= SenBb

A=Sen−1( Sen36.66 °∗12.4 cm8.7cm )

A=59.86º

C=180º-A-B

C=180º-59.86º-36.66º

C=83.48º

cSenC

= aSenA

c=12.4cm∗Sen83.48 °Sen59.86 °

c=14.24cm

En cada uno de los términos calcule las otras partes del triangulo ABC

α=41º γ=77º a=10.5cm

B= -(41º+77º)+(180º)

B=62º

cSenC

= aSenA

c=10.5cm∗Sen77 °Sen 41°

c=15.59cm

bSen B

= aSen A

b=10.5 cm∗Sen62 °Sen41 °

b=14.13cm

β=20º γ=31º b=210cm

A=180º-20º-31º

A=129º

aSen A

= bSenB

a=210cm−Sen129 °Sen20 °

a=477.16cm

cSenC

= aSenA

c=477.16 cm∗Sen31°Sen129 °

c=316.22cm

α=27º40´ β=52º10´ a=32.4cm

α=27º40´

α=27.66º

β=52º10´

β=52.16º

C=180º-27.66º-52.166º

C=100.17º

bSen B

= aSen A

b=32.4cm∗Sen52.16 °Sen20 °

b=52.12cm

cSenC

= aSenA

c=32.4cm∗Sen100.17 °Sen27.66 °

c=68.69cm

α=42º10´ γ=61º20´ b=19.7cm

α=42º10´

α=42.166º

γ=61º21´

γ=61.33º

β=180º-61.33º-42.16º

β=76.51º

aSenA

= bSenB

a=19.7cm∗Sen42.16 °Sen76.51 °

a=13.59cm

cSenC

= aSenA

c=13.59cm∗Sen61.33 °Sen42.16 °

c=17.76cm

Β=50º50´ γ=70º30´ c=537cm

β=50.83º

β=50.83º

γ=70.5º

α=180º-50.83º-70.5º

α=59.17º

bSenB

= cSenC

b=537 cm∗Sen50.83°Sen70.5 °

b=441.65cm

aSen A

= bSenB

a=441.65cm∗Sen59.17 °Sen50.83 °

a=489.16cm

α=7º10´ β=11º40´ a=2.19cm

α=7º10´

α=7.16º

β=11º40´

β=11.66º

C=180º-11.66º-7.16º

C=161.18º

bSen B

= aSen A

b=2.19cm∗Sen11.66 °Sen7.16 °

b=3.55cm

cSenC

= aSen A

c=2.19cm∗Sen161.18 °Sen7.16 °

c=5.668cm

α=65º10´ a=21.3cm b=18.9cm

α=65º10´

α=65.16º

C=180º-53.53º-65.16º

C=61.21º

bSen B

= aSen A

B=Sen−1 18.9cm∗Sen65.16 °21.3cm

B=53.63º

cSenC

= aSen A

c=21.3cm∗Sen61.21 °Sen65.16 °

c=20.57cm

β=30º b=17.9cm a=35.8cm

c=√(35.8)2−(17.9)2

c=31.003cm

aSen A

= bSenB

A=Sen−1 Sen30 °∗35.8cm17.9cm

A=90º

γ=53º20´ a=140cm c=115cm

γ=53º20´

γ=53.33º

aSen A

= bSenB

A=Sen−1 Sen53.33 °∗140 cm115 cm

A=77.54º

γ=180º-53.33º-77.54º

γ=49.13º

bSen B

= aSen A

b=140 cm∗Sen 49.13 °Sen77.54 °

b=108.42cm

α=27º30´ c=52.8cm a=28.1cm

α=27º30´

α=27.5º

cSenC

= aSen A

C=Sen−1 Sen27.5°∗52.8cm28.1cm

C=60.18º

β=180º-27.5º-60.18º

β=92.32º

bSen B

= aSen A

b=Sen92.32 °∗28.1cmSen27.5°

b=60.80cm

Problemas

Cuando un ángulo de elevación del sol es de 64º y un poste de telefonía que está inclinado a un ángulo de 9º en la dirección en la que se encuentra el sol y hace una sombra de 21 pie de longitud sobre el piso determine la longitud del poste.

B=180º-44º-81º

B=35º

bSen B

= aSen A

21 pie∗Sen64Sen35

=a

32.90cm=a

Se desea determinar la distancia entre los puntos A y B que se encuentran en las orillas opuestas de un río se traza un segmento de la recta AC de un longitud de 240 yardas y se encuentra que los ángulos BAC y ACB mide 63º20” y 53º10” respectivamente aproxime la distancia AB.

c=162.50

35º

cSenC

= bSenB

a=240 pie∗Sen64Sen54.16 °

c=212.88 pie

La estación A de un guarda costas se encuentra a 150 millas del sur de la estación B, un barco en el mar envía una llamada de auxilio la cual es recibida por ambas estaciones, la llamada a la estación A indica que la posición del barco es45º al noreste, la llamada a la estación B indica que es de 50º al sur este. Tal como se muestra en la siguiente figura ¿A qué distancia del barco se encuentra cada estación?

α=90º-45º

α=45º

β=90º-30º

β=60º

γ=180º-45º-60º

γ=75º

cSenC

= aSen A

a=150millas∗45 °Sen75 °

a =109.80millas

cSenC

= bSenB

b=150 millas∗60°Sen75 °

b =134.5millas

Se requiere hallar la distancia horizontal de un punto inaccesible B de la orilla opuesta de un río como se muestra en la figura para ello medimos una distancia horizontal conveniente como AC luego medimos los ángulo CAB y ACB; Sí AC=283m el ángulo CABN=38º y el ángulo ACB=66º18”. Halle la distancia AB del ángulo ABC.

β=180º-38º-66.3º

β=75.7º

cSenC

= bSenB

c=283m∗66.3 °Sen75.7 °

c=267.41m

LEY DE COSENOS

La ley de cosenos no se puede aplicar directamente si se conocen dos lados del triangulo y el ángulo entre ellos si se conocen los tres lados del triangulo. Sin embargo, podemos hacer uso del siguiente resultado:

Si ABC es un triángulo designado de la manera usual tenemos:

a2=b2+c2-2bc*cosα⟹cosα=b2+c2−a2

2bc⟹α=cos-1( b2+c2−a2

2bc )b2=a2+c2-2ac*cosβ⟹cosβ=

a2+c2−b2

2ac⟹β=cos-1( a2+c2−b2

2ac )

c2=a2+b2-2ab*cosγ⟹cosγ=a2+b2−c2

2ab⟹γ=cos-1( a2+b2−c2

2ab )

Ejemplo

Encuentre las otras partes del triángulo ABC; si a vale 50m c= 8m, β=77º10´

b2=502+82-2(50m) (8m)*cos77.16º

b=48.84m

SenAa

=Sen Bb

A=Sen−1 50m∗Sen77.16 °48.84 m

A=86.51º

C=180º-86.51º-77.16º

C=16.32º

Dados a=2m b=3m γ=45º hallar c, α, β

c2=a2+b2-2(a) (b) cos45º

c2=22+32-2(2m) (3m) cos45º

c=2.12m

Senαa

=Senγc

α=Sen−1 2m∗Sen45 °2.12m

α=40º

β=180º-40º-45º

β=95º

Resolver

A=48º b=8m c=10m

a2=b2+c2-2bc*cosa

a2=82+102-(2)(8m*10m)*cos47º

a=7.41m

aSenα

= bSen β

7.41mSen 48°

= 8mSenβ

7.41mSen 48°

×Senβ=8m

Sen β= 8m7.41mSen48 °

β=Sen−1 8m7.41mSen 48 °

β=53.35º

C=180º-(48º+53.35º)

C=78.65º

Resolver el triangulo a=7, b=3, c=5

cos α=b2+c2−a2

2bc

cos α=(3m)2+(5m)2−(7 m)2

2 (3m )(5m)

Cos α= -0.5

α=cos-1(0.5)

α=120º

cos β=a2+c2−b2

2ac

cos β=(7m)2+(5m)2−(3m)2

2 (7m )(5m)

Cos β=0.92

β=21.78º

cos γ=a2+b2−c2

2ab

cos γ=(7m)2+(3m)2−(5m)2

2 (7m )(3m)

Cos γ=0.78

γ=38.21º

Comprobación

120º+21.78º+38.21º=180º

Un poste de 40 pies de altura se encuentra en la ladera de una colina que forma un ángulo de 17º con la horizontal determine la longitud mínima del cable de retenida necesaria para unir la parte superior del poste con un punto directamente abajo de la colina a 72 pies de la base del poste.

γ=90º-17º

γ=73º

α”=180º-73º

α”=107º

a”2= (40 pies)2+ (72 pies)2-2 (40pies)(72pies)*cos107º

a”=92 pies

El ángulo de una de las esquinas de un terreno en forma triangular mide 73º40´. Si los lados entre los cuales se encuentra dicho ángulo tienen una longitud de 175 pie y 150 pie de termine la longitud del tercero de los lados.

a= (175pie)2+ (150pie)2- 2(175pie) (150) cos73.66º

a=195.85 pie

El punto P, está a 1.4 km del extremo de un lago y a 2.2 km del otro extremo, si el lago subtiende un ángulo de54º en P. ¿Cuál es la longitud del lago?

p2=x2+y2-2xy*cos54º

p2= (2.2km)2+(1.4)2-2(2.2km)(1.4km) cos 45º

p=1.78km

Dos barcos salen del mismo puerto simultáneamente. Uno de ellos navega con un curso de 125º con una distancia de 54 millas náuticas, mientras que el otro lo hace con un curso de 230º, con una distancia de 72 millas náuticas. Obtenga la distancia entre ambos barcos.

γ=230º-125º

γ=105º

c2=a2+b2-2(a) (b) Cos 105º

c2=(72 millas)2+(54millas)2-2(72millas)(54millas)*Cos105º

c=100.56 millas

Una es calera de 24 pie de largo descansa sobre un terraplén inclinado. El pie de la escalera esta a 11 pies de lavase del terraplén y la distancia desde la parte superior de la escalera sobre la base es de 16 pie. ¿Cuál es el

ángulo de inclinación del terraplén?

cos γ=a2+b2−c2

2abcos γ=

(16 pies)2+(11 pies)2−(24 pies)2

2 (16 pies )(11 pies)

Cosγ=-0.56

γ=124.42º

α”=180º-124.42º

α”=55.57º

Un paralelogramo tiene dos lados de longitud 30 cm y 70 cm; y uno de los ángulos mide 65º. Halle la longitud de cada diagonal

BD2=30cm2+70cm2-2(30cm)(70cm)2Cos 65º

BD=63.44cm

AC2=30cm2+70cm2-2(30cm)(70cm)Cos115º

AC2=87.03º

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Una expresión matemática que contiene símbolos como Sen x, Cos β, Tang y, y así sucesivamente, en donde las letras X, β y Y son variables y se denominan expresión trigonométrica

Ejemplos:

x+senx

cos(3 y+1)

x2+Tang2(z− y )

√θ+2SenθCtgθ

Identidades fundamentales

1.- Identidades trigonométricas por producto

Sen α∙cscα=1

Senα= 1csc∝

Csc α= 1Sen∝

Cos α∙Sec α=1

cos α= 1Sec α

Secα= 1cos α

Tang α∙Ctg α=1

Tang α= 1Ctgα

Ctgα= 1Tangα

Identidades trigonométricas por cociente

Tang α=SenαCosα

Ctgα=CosαSenα

Identidades trigonométricas por potencia y adición

Sen2α+cos2α=1

Sen2α=1-Cos2α

Cos2α=1-sen2α

Identidades trigonométricas de la tangente y la cotangente

Tang2α+1=Sec2α

Tang2α=Sec2α-1

Sec2α-Tang2α=1

Ctg2α+1=csc2α

Ctg2α=csc2α-1

Csc2α-Ctg2α=1

Ejercicios

Verificar las siguientes identidades

1. - Sen2x(1+Ctg2x) ≡1

Sen2x+ctg2x(sen2x) ≡1

Sen2x+ cos2 xsen2 x

(sen2x) ≡1

Sen2x+cos2x≡1

1≡1

2.- cscxsecx

≡ctgx

1sen x

1cosx

≡ctgx

cosxsenx

≡ctgx

ctgx≡ctgx

3.-Senβ∙Secβ≡Tangβ

Senβ∙1

cosβ≡tangβ

senβcosβ

≡tangβ

Tangβ=tangβ

4.-(1+cosx)(1-cosx)≡sen2x

(1+ 1secx )(1− 1

secx )≡sen2 x

1-cosx+cosx-cos2x≡1-cos2x

1-cos2x≡1-cos2x

5.-(tangϴ+cotgϴ)∙tangϴ≡sec2ϴ( senϴcosϴ

+ cosϴsenϴ )( senϴcosϴ )≡sec2ϴ

( sen2ϴ+cos2ϴcosϴ• senϴ )( senϴcosϴ )≡ sec2ϴ

( 1cosϴ )( 1

cosϴ )≡sec2ϴ1

cos2ϴ≡

1

cos2ϴ

6.-cosx

1+senx≡

1cosx

− senxcosx

cosx1+senx

≡1−senxcosx

•1+senx1+senx

cosx1+senx

≡1−sen2 x

cosx(1+senx)

cosx1+senx

≡cos2 x

cosx(1+senx)

cosx1+senx

≡cosx

1+senx

7.- cosx

1−senx−tangx≡secx

cosx1−senx

− senxcosx

≡secx

cos2 x−senx (1−senx )(1−senx )(cosx )

≡secx

cos2 x−senx−sen2 x(1−senx ) cosx

≡secx

1−senx(1−senx ) cosx

≡secx

1cosx

≡secx

secx≡secx

8.-Ctg α+cscαctgα

• cosα≡2

cosαsenα

+ 1senα

∙ cosα

cosαsenα

≡2

2•ctgαctgα

≡2

2≡2

9.- sen4x-cos4x≡sen2x-cos2x

Sen2x•sen2x-cos2x•cos2x≡sen2x-cos2x

(sen2x-cos2x)(sen2x+cos2x)≡sen2x•cos2x

(sen2x-cos2x)(1)≡ sen2x-cos2x

sen2x-cos2x≡ sen2x-cos2x

10.- sen4α+2sen2α•cos2α+cos4α≡1

(sen2α+cos2α)2≡1

1≡1

11.- 1

1−cosγ+ 1

1+cosγ≡2csc2 γ

1+cosγ+1−cosγ(1−cosγ )(1+cosγ )

≡2csc2 γ

2

1+cosγ−cosγ−cos2 γ ¿¿≡2csc2 γ

2

1−cos2 γ≡2csc2 γ

2

sen2 γ≡2• csc2 γ

2•1

senα≡2• csc2 γ

2 •csc2 γ ≡2• csc2 γ

Sen6x+cos6x≡1-3sen2x•cos2x

(sen2x)3+(cos2x)3≡1-3sen2x•cos2x

(sen2x+cos2x)(sen4x-sen2x•cos2x+cos4x)≡1-3sen2x•cosx

1(sen4x-sen2x•cos2x+cos4x) ≡1-3sen2x•cosx

Sen4x+2sen2x•cos4x+cos4x-3sen2x•cos2x≡1-3sen2x•cosx

(Sen2x+cos2x)2-3sen2x•cos2x≡1-3sen2x•cos2x

(1)2-3sen2x•cos2x≡1-3sen2•cos2x

1-3sen2x•cos2x≡1-3sen2•cos2x

1+senx1−senx

−1−senx1+senx

≡4 tangx• secx

(1+senx ) (1+senx )−(1−senx )(1−senx)(1−senx )(1+senx)

≡4 tangx • secx

(1+senx)2−¿¿

1+2 senx+sen2 x−1(1−2 senx+sen2 x )cos2 x

≡4 tangx •secx

4 senx

cos2 x≡4 tangx • secx

4•senxcosx

•1

cosx≡4 tangx • secx

4 tangx • secx≡4 tangx • secx

cosx •ctgxctgx−cosx

≡ctg x+cosxcosx • ctgx

cosx •cosxsenx

cosxsenx

• cosx≡

cosxsenx

+cosx

cosx •cosxsenx

cos2 xsenx

cosx−cosx • senxsenx

≡

cosx+cosx • senxsenx

cos2 xsenx

cos2 xcosx−cosx• senx

≡cosx+cosx • senx

cos2 x

cos2 x • cosxcosx(1−senx)

≡cosx(1+senx)

cos2 x

cosx1−senx

≡1+senx

cosx (1+senx)(1−senx)(1−senx)

≡1+senx

cosx(1+senx)(1−sen2 x)

≡1+senxcosx

cosx(1+senx)cos2 x

≡1+senxcosx

1+senxcosx

≡1+senxcosx

ctgy+ seny1+cosy

≡cscy

cosyseny

+ seny1+cosy

≡cscy

(cosy )(1−cosy)(seny )(1+cosy)

≡cscy

cosy+cos2 y+sen2 yseny(1+cosy)

≡cscy

cosy+1seny (1+cosy)

≡cscy

1seny

≡cscy

cscy≡cscy

¿+(a senx+bcosx)2≡a2+b2

(a2 cosx2- 2(acosx)(bsenx)+b2senx2+a2senx+2asenx•bcosx+b2cosx2≡a2+b2

a2cosx2+b2senx+a2senx+b2cosx2≡a2+b2

(a2cosx2+a2senx)+(b2senx+b2cosx2) ≡a2+b2

a2(cosx2+senx)+b2(senx+cosx2) ≡a2+b2

a2(1)+b2(1) ≡a2+b2

a2+b2≡a2+b2

csc4x-ctg4x≡ctg2x+csc2x

(Csc2x-ctg2x)(csc2x+ctg2x)≡ctg2x+csc2x

1(csc2x+cotg2x) ≡ctg2x+csc2x

ctg2x+csc2x≡ctg2x+csc2x

cos4∝+¿1 - sen4∝0≡2 cos2∝

(cos4∝−sen4∝ )+1≡2 cos2∝

(cos2∝−2∝ )(cos2∝+sen2∝)+1≡2 cos2∝

(cos2∝−sen2∝ )(1)+1≡2cos2∝

(cos∝−sen∝ )+sen2∝+cos2∝≡2cos2∝

cos∝−sen∝+sen2∝+cos2≡2 cos2∝

2 cos∝≡2cos2∝

Identidades Trigonométricas de ángulos múltiples

1) sen (∝± β )=sen∝∗cos β± sen β∗cos∝

2) cos (∝± β )=cos∝∗cos β ± sen∝∗cos β

3) tan (∝± β )=tan∝± tan β

1 ±∗tan∝∗tan β

4) sen (2∝) = sen (∝+∝)

= sen∝∗cos∝+sen∝∗cos∝

= 2 * sen∝∗cos∝

5) cos (2∝ )=cos (∝+∝)

¿cos∝∗cos∝−sen∝∗cos∝

¿cos2∝−sen2∝

cos (2∝ )=1−sen2∝−sen2∝

¿1−2 sen2∝

cos (2∝ )=cos2∝−1+cos2∝

¿2 cos2∝−1

tan2∝=2 tan∝

¿1−tan2∝

sen (3θ )=sen(2θ+θ)

¿ sen (2θ )∗cosθ+senθ∗¿cos2θ¿

¿2 senθ∗cosθ∗cos θ+sen θ(1−2 sen2θ)

¿2 sen∗cos2θ+senθ−2 sen3θ

¿2 senθ (1−sen2θ )+senθ∗2 sen3θ

¿2 senθ−2 sen3θ+senθ−2 sen3θ

¿3 senθ−4 sen3θ

cos (3θ )=cos (2θ+θ )

¿cos (2θ )∗cosθ+sen2θ∗¿ senθ ¿

¿(2cos2θ−1)¿

¿2 cos3θ∗cosθ−2(sen2θ∗cos θ)

¿2 cos3θ−cosθ−2 (1−cos2θ )+cosθ

¿2 cos3θ−cosθ−2cos θ−2 cos3θ

¿3 cos3θ∗3 cosθ

sen(∝2 )=±√ 1−cos∝2

cos (∝2 )=±√ 1+cos∝2

t an(∝2 )=√ 1−cos∝∗1−cos∝1+cos∝∗1−cos∝

¿√¿¿¿

¿ 1−cos∝sen∝

tan(∝2 )=√ 1−cos∝∗1+cos∝1+cos∝∗1+cos∝

¿ √ sen2∝

√(1+cos)2

¿ sen∝1+cos∝

Ejercicios.-

Demuestre cada una de las siguientes identidades trigonométricas.

1¿ tan x∗sen (2 x )=2 sen2 x

sen xcos x

∗(2 senx∗cosx )

2 sen2 x ≡2 sen2 x

2¿ctg x∗sen (2 x )=1+cos 2x

cos xsenx

∙2 ( senx ∙cosx )≡1+cos(2 x )

2 cos2x≡ 1+cos(2x)

2 cos2x≡ 1+2 cos2x -1

2 cos2x≡2 cos2x

3¿1−sen (2 x)

cos (2x )≡

1−tgx1+tgx

≡1− senx

cosx

1+senxcosx

≡

cosx−senxcosx

cosx+senxcosx

≡cosx−senxcosx+senx

∙cosx−senxcosx−senx

≡(cos2 x−sen2 x )cos2 x−sen2 x

≡cos2 x−2cosx senx+sen2 x

cos (2x )

≡1−2 sen(2 x)

cos (2 x)

4)(senx+cosx¿2≡1+sen(2 x )

(sen2 x+2 senx cosx+co s2 x¿≡1+sen (2 x)

(sen2 x+cos2 x)+sen(2x) ≡ 1+senx

1+sen(2x) ≡ 1+sen(2x)

5¿cos (2 x)≡ 1−tang2 xsec2 x

cos (2 x)≡1− sen2 x

co s2 x1

cos2 x

≡

cos2 sen2 xcos2 x

1cos2 x

Cos (2x) ≡cos2 x−sen2 x

cos (2x) ≡ cos (2x)

6¿1+cos (2x )sen (2x )

≡1tgx

1+2cos2 x−12 senx cosx

≡1

senxcosx

2cos2 x2 senx cosx

≡cosxsenx

cosxsenx

≡cosxsenx

7¿cosx≡2 cos2( x2 )−1

cosx≡2(√ 1+cosx2 )

2

−1

cosx≡2(1+cosx )

2−1

Cosx ≡ 1+cosx-1

Cosx ≡ cosx

8¿ senx≡2 sen( x2 )∗cos ( x2 )senx≡2∗√ 1−cosx

2∗√ 1+cosx

2

senx≡2∗√ (1−cosx ) (1+cosx )4

senx≡√12−cosx2

senx≡√sen2 x

senx≡senx

9) 2csc (2x )≡secx∗cscx

21

sen (2 x )≡

1senx∗cosx

2 •1

2 senx∗cosx≡

1senx∗cosx

1senx∗cox

≡1

senx∗cosx

10¿ sec (2 x )≡ csc2 xcsc2 x−2

sec (2 x )≡

1

sen2 x1

sen2 x−2

sec (2 x )≡

1

sen2 x1−2 sen2 x

sen2 x

sec (2 x )≡ 1

1−2 sen2 x

sec (2 x )≡sec (2x )

11¿ctg(A+45)≡1−sen (2 A )

cos (2 A )

1tang (A+45)

≡

1tang A+tang 45°

1−tang A ∙ tang45 °

≡

1tang A+11−tang A

1sen Acos A

+1

1−sen Acos A

≡

1sen A+cosa

cosAcos A−sen A

cosA

≡

11

sen A+cosAcos A−sen A

≡

cos A−sen Acos A+¿ sen A ∙¿¿¿

cos2 A−2cosA sen A+sen2 Acos2 A−sen2 A

≡

1−2 sen A ∙cos Acos2 A

≡

1−sen(2 A)

cos(2 A¿)≡1−sen(2 A)cos (2 A ¿)¿

¿

12¿1−senx≡(sen x2−cos

x2 )

2

≡(√ 1−cosx2

−√ 1+cosx2 )

2

≡((√ 1−cosx2 )

2

−2(√ 1−cosx2 )(√ 1+cosx

2 )+(√ 1+cosx2 )

2)

≡1−cosx

2−2(√ 1−cos2 x

4 )+1+cosx2

≡1−cosx

2−senx+ 1+cosx

2

≡1−cosx−2 senx+1+cosx

2

≡2−2 senx

2

≡2(1−senx)

2

1-senx≡1-senx

13¿ctg y−tgy≡2ctg (2 y )+ 1tg(2 y )

cos ysen y

− sen ycos y

≡2 ∙cos82 y¿ ¿sen (2 y)

cos2 y−sen2 yseny cosy

≡2 cos (2 y )

2 senY cos y

cos (2 x)seny cosy

≡cos (2 x)seny cosy

14¿1+sen(2 x)1−sen(2 x)

≡( tgx+1tgx−1 )

2

≡(sen xcosx

+1

senxcosx

−1 )2

≡(senx+cosx

cosxsenx−cosx

cosx)

≡( senx+cosxsenx−cosx )

2

≡sen2 x+2 senx cosx+co s2 xsen2 x−2 senx cosx+co s2 x

≡1+sen(2 x )1−sen(2x )

15¿cos2 x≡2−se c2 xsec2 x

cos2 x≡

2− 1

cos2 x1

cos2 x

cos2 x≡

2co s2 x−1cos2 x

1cos2 x

cos2 x≡2 cos2 x−1

1

cos2 x≡2cos2 x-1

2 cos2 x−1≡ cos2 x

cos2 x≡ cos2 x

16¿ tangx≡ sen2x1+cos2 x

tangx≡2 ∙ senx ∙ cosx

1+cos2 x−sen2 x

tangx≡2 ∙ senx ∙ cosx

se n2 x+cos2 x+cos2 x−sen2 x

tangx≡2 ∙ senx∙ cosx

2cos2 x

tangx≡senxcosx

tangx≡tangx

17¿ct gx ≡ sen2 x1−cos2 x

≡2∙ senx∙ cosx

1−cos2 x−se n2 x

≡2 senx cosx

sen2 x+cos2 x−(cos2 x−sen2 x )

≡2 senx cosx

sen2 x+cos2 x−cos2 x+sen2 x

≡2 senx cosx

2 sen2 x

≡cosxsenx

ctgx≡ctgx

Ecuaciones Trigonometricas

Definicion.- Una ecuacion trigonometrica es una ecuacion que contiene expresiones trigonometricas.

Sugerencias para resolver una ecuacion trigonometricas.

1) Exprese todas las funciones trigonometricas que entren en la ecuacion en terminos de funciones de un mismo angulo, aprovechando las identidades conocidas: angulos, simples, triples, medios, etc.

2) Exprese todas las funcines en terminos de la misma funcion3) Resuelva algebraicamente (Factorizando) o de cualquier otra forma considerando como incognita la

unica funcion de la ecuacion.4) Para el resultado considerar la ley de los sigons de las funciones trigonometricas (expresar el

resultado en radianes).

Funciones trigonometricas

Cuadrantes

I II III IV

Sen αCsc α

+ + - -

Cos αSec α

+ - - +

Tang αCotg α

+ - + -

Ejercicios.-

Resolver las siguientes ecuaciones trigonometricas

1.−sen2 x=14

√sen2 x=±√ 14

sen x=±12

senx=12

x=sen−1( 12 )X1=30° •

π rad180 °

=π6rad

x2=180º- 30º

x2=150 ° ∙π

180°= π

6

sen x=−12

x=sen−1(−12 )

x3=180 °+30 °=210 ° ∙π rad180°

=76π rad

x4=360°−30 °=330 ° ∙π

180 °=11

6π rad

2.−tang2 x−3=0

tang2 x=3

√ tang2 x=±√3

tangx=±√3

x=tang−1+√3

x=60 °

IC

x1=60 ° ∙π rad180°

= π3rad

III

x2=180 °+60 °=240 ° ∙π rad180°

=43π rad

tgx=−√3

II

x3=180 °−60 °=120 ° ∙π rad180 °

=23πrad

IV

x4=360°−60 °=300 ° ∙π rad180 °

=53π rad

3. cos (2 x ) ∙ cscx+cscx+ctgx=0

(cos2 x−sen2 x ∙1

senx )+ 1senx

+ cosxsenx

=0

cos2 x−sen2 x+1+cosxsenx

=0

cos2 x−sen2 x+1+cosx=0

cos2 x−1 (1−cos2 x )+1+cosx=0

cos2 x−1+cos2 x+1+cosx=0

2 cos2 x+cosx=0

cosx (2cosx+1 )=0

cosx=0

x=cos−1(0)

x=90 °

x1=90 ° ∙π rad180 °

=12π rad

x2=360 °−90 °

x2=270 ° ∙π rad180°

=32πrad

2cosx+1=0

cosx=−12

cosx=−60 °

x3=180 °−60 °

x3=120 ° ∙π rad180°

=23π rad

x4=180°+60 °

x4=240° ∙π rad180 °

=23π rad

¿

¿

cos α=1

α=0

α 1=0

α 2=360 °=2 π rad=¿

senα+1=0

senα=−1

α=sen−1(−1)

α=90 °

α 3=180 °+90 °

α 3=270 °=32π rad

α 4=90 °

2 sen2 x+3cosx=0

2 (1−cos2 x )+3cosx=0

2−2cos2 x+3cosx=0

(−1 )−2cos2 x+3cosx+2=0

2 cos2 x−3cosx−2=0

cosx=−b±√b2−4 ac2a

cosx=−(−3)±√(−3)2−4 (2 )(−2)

2 (2)

cosx=3±√9+164

cosx=3+54

cosx=84

cosx=2

x=cos−1(2)

x=no existe

cos x=3−54

cosx=−12

x=cos−1(−12 )

x=60 °

x1=180 °−60 °

x1=120 ° ∙π rad180 °

x1=¿ 23π rad

x2=180+60 °

x2=240 ° ∙π rad180°

x2=43πrad

4 sec2 y−7 tang2 y=3

4 ( 1cos2 y )−7( sen2 y

cos2 y )−3=0

4−7 sen2 y−3 cos2 ycos2 y

=0

4−7 (1−cos¿¿2 y)−3 cos2 y=0¿

4−7+7 cos2 y−3 cos2 y=0

4 cos2 y−3=0

4 cos2 y=3

√cos2 y=±√ 34

cosy=± √32

y=cos−1+ √32

y=30 °

y1=30 °

y1=30 ° ∙π rad180 °

y1=16π rad

y2=360 °−30 °

y2=330 ° ∙π rad180 °

y2=116

π rad

y=cos−1−√32

y3=180 °−30 °

y3=330 ° ∙π rad180 °

y3=116

π rad

y4=180 °+30°

y4=210 ° ∙π rad180 °

y4=76π rad

senx+cos x=0

¿

sen2 x=cos2 x

1−cos2 x=cos2 x

1−cos2 x−cos2 x=0

1−2cos2 x=0

1=2cos2x

12=cos2 x

±√ 12=√cos2 x

±√ 12=cosx

cos−1±√ 12=x

45 °=x

x1=45 °

x1=45 ° ∙π rad180 °

=14π rad

x2=360 °−45°

x2=315 °

x2=315 ° ∙π rad180°

=7 π rad

cos−1−√ 12= x

x3=180 °−45°

x3=135 °

x3=135 ° ∙π rad180°

=34π rad

x4=180°+45 °

x4=225°

x4=225° ∙π rad180 °

=54π rad

cos (2 x)=cosx

2 cos2 x−1=0

2 cos2−cosx−1=0

cos x=−b±√b2−4ac2a

cos x=−(−1)±√(−1)2−4 (2 )(−1)

2(2)

cos x=1±√1+84

cos x=1±√94

cos x=1+34

cos x= 44

x=cos−1(1)

x1=0 °

x2=360 °−0 °

x2=360 °=2 πrad

cosx=1−34

cosx=−24

x=cos−1(−12 )

x=60 °

x3=180 °−60 °=120 °

x3=120 ° ∙π rad180°

=43π rad

x4=180°+60 °=240°

x4=240° ∙π rad180 °

=43π rad

2 sen3 x+2 sen2 x−2 senx−1=0

(2 sen3+2 sen2 x )− (2 senx+1 )=0

2 sen2 x (2 senx+1 )− (2 senx+1 )=0

(2 senx+1 ) ( sen2 x−1 )=0

2 senx+1=0

2 senx=−1

senx=−12

x=sen−1(−12 )

x=30 °

x1=180 °+30 °=210 °

x2=360 °−30 °=330 °

sen2 x−1=0

√sen2 x=±√1

senx=±1

x=sen−1(1)

x3=90 °

x3=12π rad

x4=180°−90 °=90 °

x4=12π rad

x5=180 °+90 °=27 0 °

x5=32π rad

x6=360 °−90°=270 °

x6=32π rad

sen( x2 )+cosx=1

(√ 1−cosx2 )

2

=(1−cosx )2

1−cosx2

=(1−2cosx+cos2 x )

1−cosx=2−4 cosx+2cos2 x

2−4cosx=2−4cosx+2 cos2 x=0

2 cos2 x−3cosx+1=0

cos x=−b±√b2−4ac2a

cosx=3+14

cosx=44

x=cos−1(1)

x1=0 °

cosx=3−14

cosx=24

x=cos−1( 12 )

x2=60 °

x2=60 ° ∙π rad180°

=13π rad

x3=360 °−60 °=300 °

x3=300 ° ∙π rad180°

=53π rad

senx+sen2 x+sen 3x=0

senx+2 senx cosx−4 sen3 x=¿0

senx+2 senx cosx−4 sen3 x=0

senx ( 4+2cosx−4 sen2 x )=0

senx=0

x=sen−1(0)

x1=0 °

x2=180 °=π rad

4+2cosx−4 (1−cos2 x )=¿0

4+2cosx−4+4cos2 x=0

4 cos2 x+2cosx=0

cosx (4 cosx+2)=0

cosx=0

x=cos−1(0)

x3=90 °

x3=12πrad

x4=360°−90 °=270 °

x4=32π rad

4 cosx+2=0

cosx=−24

=−12

x=cos−1(−12 )

x=60 °

x5=180 °−60 °=120 °

x5=23π rad

x6=180 °+60 °=240 °

x6=43π

Geometria

Rectas.- Una linea recta es un conjunto de puntos alineados en una sola direccion.

Tipos de rectas.

a) Recta perpendicular.- Es cuando su interseccion forma 4 angulos recto. Dados dos rectas ℓ1 y ℓ2, se denota ℓ ┴ ℓ2

b) Rectas paralelas.- Es cuando se mantienen equidistando (a la misma distancia) y no se encuentran.

Dados dos rectas ℓ1 y ℓ2, se denota ℓ1 ╨ ℓ2.

paralelo

ℓ1

ℓ2

c) Rectas oblicuas.- Es cuando no son paralelas nio perpendiculares.

ℓ1

ℓ2

d) Recta secante.- Recta que pasa por uno o más puntos diferentes de un lugar geométrico. Así por ejemplo 2 rectas perpendiculares y 2 oblicuas son secantes.

A ℓ1 ℓ2

B ℓ3

l3 es una recta secante porque corta a l1 y l2 en los puntos A y B

Ángulos formados por la intersección de rectas:

a) Ángulos opuestos por el vértice: Dadas las rectas oblicuas ℓ1 y ℓ2, se forman 4 ángulos iguales de 2 en 2.

ℓ1

∅∝βθ

ℓ2

∝ es opuesto a β

θ es opuesto a ∅

Además se cumple:

m (∝ ) = m (β )

m (θ ) = m (∅ )

b) Ángulos alternos internos, ángulos externos y ángulos correspondientes: Dadas las rectas ℓ1 y ℓ2, si dichas rectas son cortadas por una recta secante ℓ3; se forman 8 ángulos que cumplen ciertas propiedades.

Los ángulos 1, 2, 7,8 se llaman ángulos externos puesto que se encuentran en el exterior de la región formada por la recta ℓ1 y ℓ2

Los ángulos 3, 4,5 ,6 se llaman ángulos internos puesto que se encuentran en el interior puesto que se encuentran en el interior de la región formada por las rectas ℓ1 y ℓ2

Las parejas de los ángulos 3, 6 y 4, 5 se llaman ángulos alternos internos dado que se encuentran a diferentes lados de la secante en el interior de la región formada por ℓ1 y ℓ2

Las parejas de ángulos 1 y 8 ; 2 y 7 se llamaran ángulos alternos externos dado que se encuentran a diferentes lados de la secante en el exterior de la región formada por ℓ1 y ℓ2

Las parejas de ángulos 1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8 se llamaran ángulos correspondientes puesto que se encuentran al mismo lado de la secante, es decir uno es interior y otro es exterior.

m∢∅=180o-145o=35o

m ω=35º∢m∢∅=35 °m β´=145∢ o

m ϴ=145º∢m α=35∢ 0

m β=145º∢m ε=35º∢

m γ=145º∢

∢ alternos externos

(β;ϴ)(α; ω)∢ alternos internos(γ;β´)

(ε;∅ )Correspondientes(β;β´)(ε;ω)(α;∅ )

(γ;ϴ)

Busque la medida de Z y de Y del siguiente gráficoAC=AD

m∢Z=180º-70º=110º

Por ángulos correspondientes m∢C=m∢Y

m∢Y=55º

Por ángulos correspondientes m∢B=m∢Y

m∢Y=50º

m∢ X=180º-60º-m∢Y

m∢X=70º

TRIÁNGULOS

Porción del plano limitado por tres lados que se interceptan dos lados en tres puntos llamados vértices formando tres ángulos interioresNota: congruencia de segmentos

Dos segmentos AB y A´ B´ son congruentes si tienen las mismas medidas de longitud y se escribe AB≅ A´ B´

Clasificación de triángulos según sus ladosTriángulo isósceles: tiene dos lados y dos ángulos internos congruentes

Triángulo equilátero: tiene 3 lados y tres ángulos internos congruentes

AB≅BC≅AC∢A≅∢B≅∢C

Triángulo escaleno: tiene sus 3 lados y sus 3 ángulos internos no congruentes

AB≇BC≇AC∢A≇∢B≇∢CClasificación de los triángulos según sus ángulos

Triángulo rectángulo: Es el que tiene un ángulo interior de 90º

Triángulo oblicuángulo: sus 3 ángulos internos son agudos (entre 0º y 90º)

0º<m(∢α)<90°0º<m(∢β)<90º

0º<m(∢γ)<180°Triángulo obtusángulo: tiene dos ángulo agudos y un obtuso (mayor de 90º entre 180º y 90º)

0º<m(∢B)<90º

0º<m(∢C)<90º

90º<m(∢A)<180º

Suma de los ángulo interiores de un triánguloTEOREMA:La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º

Ejemplos

AC=BC

m(∢A)=m(∢B)

m(∢A)+m(∢B)+m(∢C)=180º

m(∢A)+m(∢B)+40º=180º

2m(∢A)+40º=180º

2m(∢A)=180º-40º

2m(∢A)=140º

m(∢ A)=140 °2

m(∢A)=70º

m(∢B)=70º

m(∢A)+m(∢B)+m(∢C)=180º70º+70º+40º=180º180º=180º

Dado el triángulo MNO encuentre la medida del ángulo ϴ

Α=35° porque es anugulo aterno interno de 35°m(∢α)+m(∢ϴ)+m(∢N)=180°35°+m(∢ϴ)+95O=180Om(∢ϴ)=180°-35°-95°m(∢ϴ)=50°m(∢α)+m(∢ϴ)+35O=180O35O+50O+95O=180O180O=180O

ANGULOS EXTERNOS DE UN TRIÁNGULO

TEOREMAEn todo triangulo la suma de las medidas de lo ángulos exteriores es igual a 360º EjercicioHalle de los ángulos α y β del siguiente gráfico

a) m(∢β)+115º+130º=360º

m(∢β)=3960º-115º-130º

m(∢β)=115º

b)m(∢α)+130º=180º

m(∢α)=180º-130º

m(∢α)=50º

Halle de los ángulos ∅ y ϴ del siguiente gráfico

m(∢ϴ)+2m(∢∅)+30°=180°3m(∢ϴ)+30º=180ª

3m(∢ϴ)=150º

m(∢ϴ)=150º/3

m(∢ϴ)=50º

m(∢ϴ)+m(∢β)=180º

m(∢ϴ)=180º+50º

m(∢ϴ)=130º

Encuentre la medida de los ángulos de los siguientes gráficos

m( ϴ)+130º=180º∢m( ϴ)=180º-130º∢m( ϴ)=50º∢

m( ϴ)+m( φ)+40º=180º∢ ∢m( φ)=180º-m( ϴ)-40º∢ ∢m( φ)=180º-50º-40º∢m( φ)=90º∢

m( α)+20∢ °+120°=180O

m( α)=180∢ O-20O-120O

m( α)=40∢ O

m( β)=180º-40º∢m( β)=140º∢

m(∢φ)+150o=180o

m(∢φ)=180o-150o

m(∢φ)=30o

m( γ)+m( H)+m( φ)180∢ ∢ ∢ o

m( γ)=180∢ o- m( H)+m( φ)∢ ∢m( γ)=180∢ o-90o-30o

m( γ)=60∢ o

m( α)=180∢ °-m( γ)∢m( α)=180∢ °-60°m( α)=120∢ o

CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño pero no ocupan el mismo lugar en el espacio y por eso no son iguales.Dos triángulos ABC y A´B´C´ son congruentes entre sí

A) Los lados correspondientes son congruentes como segmentos (iguales medidas)AB≅A´ B´BC≅B ´C ´AC≅A´C ´

B) lo ángulos correspondientes son congruentes∢A≅∢A´∢B≅∢B´∢C≅∢C´CRITERIOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS1.- lado, lado, lado (L, L, L)Dos triángulos son congruentes si los tres lados son congruentes 2 a 2 como segmento.

△ABC≅△A´B´C´

2.- lado, ángulo, lado (L, A, L)Dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes.

△ABC≅△A´B´C´

3.- ángulo, lado, ángulo: dos triángulos son congruentes si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos son congruentes

△ABC≅△A´B´C´

PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS LONGITUDES DE SEGMENTOS

Proporción: Es una expresión que establece la igualdad de razonesSe a:b=c:da y b son proporcionales ac y adab= c

dEjemplos: 8:4 verificar si es proporcional a 4:28:4=4:

84=4

22=2PROPIEDADES DE LA PROPORCIÓN

1.-dado una proporción se cumple que el producto de los medios es igual al producto de los extremosa:b=c:d

ab= c

d⇒ ad=bc

Ejemplo25= 4

10⟹2∙10=5 ∙4⇒ 20=20

10 :3=20:6⇒ 3∙20=60=60

2.-En toda proporción puede intercambiarse los términos medios y obtener otra proporción valida a:b=c:d⟹a:c=b:dEjemplo1:2=3:6⟹1:3=2:6⟹6=6

2:7=6:21⟹2:6=7:21⟹2∙21⟹6∙7⟹42=423.-En toda proporción se pueden invertir las razonesa;b=c:d⟹b:a=d:cab= c

d⇒ b

a=d

c

Ejemplo

3 :4=6 : 8⇒ 34=6

8⇒ 4

3=8

64.- Si los numeradores son iguales y diferentes de cero, entonces sus denominadores son iguales.a:b=a:c⟹b=cEjemploSi 3:4=3:e⟹4=e5.-Si 3 de los términos de la proporción son iguales a sus correspondientes en otra proporción entonces los términos restantes son iguales

ab= c

y⋀ a

b= c

z⇒ y=z

32=15

10⋀ 3

2=15

x⇒ x=10

16= 6

36⋀ 1

z= 6

36⇒ z=6

6.-Si a los antecedentes de las razones se les suma o resta sus respectivos consecuentes, la proporción no se altera.

ab= c

d⇒ a+b

b= c+d

d

54=30

24⇒ 5+4

4=30+24

24⟹ 9

4=54

24

Teorema de tales Al trazar 3 rectas paralelas que son cortadas por las rectas transversales 𝓁1y 𝓁2

Notación: en r1 tenemos dos segmentos: AC y CE En r2 tenemos dos segmentos; BD y DF

Se obtiene: ACCE

=BDDF

Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos rectas transversales r1 y r2, los segmentos que determinan dichas paralelas en la recta r1 son proporcionales a los segmentos que determinan en la recta r2

EjemplosCalcule el valor de x en el siguiente grafico

ABBC

=DEEF

x12

= 416

⇒ 312

= 416

x ∙16=12∙4

x=12∙416

x=3Calcule los segmentos PR y ST del siguiente gráfico

PQQR

= STTU

x8= x+5

12x ∙12=8 ( x+5 )12 x=8 x+4012 x−7 x=404 x=40

x=404

x=10PQ=10PR=10+8

PR=18

ST=x+5

ST=10+5

ST=15Comprobación

108

=10+512

108

=1512

10*12=8*15120=120

Halle x conociendo que 𝓁1es paralelo a 𝓁2 y 𝓁2 es paralelo a 𝓁3

ABBC

= A ´ BB ´ C ´

182x

=4214

18 x ∙14=2x ∙42252=84 x25284

=x

3=x6=2xComprobación186

=4214

18 ∙14=6 ∙42252=252

DEEF

=GHHJ

12

x+12

= 834x

12( 34 ) x=8(x+ 1

2 )

3 (3 x )=8( 2 x+12 )

9x=4(2x+1)9x=8x+49x-8x=4x=4Comprobación

12

x+12

= 834x

12

4+12

= 834

(4 )

128+1

2

= 8124

1292

=83

249

=83

83=8

3

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

La semejanza implica una idea de correspondencia entre la figura inicial y su imagen conservando la característica propia de la figura que es su forma aunque el tamaño no sea el mismoLos triángulos son semejantes si sus ángulos son congruentes y sus lados son proporcionales.El símbolo de semejanza es: ≅ que se lee “es semejante a”. Es decir si el △ABC es semejante es semejante

al △ DEF, entonces el △ABC ≅△DEF.Criterios de semejanza de triángulos1.- dos triángulos son semejantes si sus 3 lados correspondientes son proporcionales (𝓁, 𝓁, 𝓁)

CBC´ B ´

= CAC´ A ´

= ABA ´ B ´

⇒ entonceses△ ABC ≅ A ´ B ´ C ´

2.-Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos respectivamente congruentes (A,𝓁,A)

∢A≅A⋀∢´C≅C´⟹△ABC≅△A´B´C´3.-dos triángulos son semejantes si tienen 2 lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ello es de la misma medida.

ABA ´ B ´

= ACA´C ´

⋀∢ A≅∢ A ´⇒△ ABC∿ A´ B ´ C ´

4.-Si trazamos una paralela a uno de los lados de un triángulo se forma otro triángulo semejante al 1º

Si BC ╨ ED ⟹△ABC∿△ADE

5.-Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son paralelos

Si MN ╨ PQ ⋀NO ╨ QR ⋀ MO ╨ PR⟹△MNO∿△PQREjerciciosComprobar que lo triángulos son semejantes y escriba el criterio al que corresponde

ABA ´ B ´

= BCB´C ´

= ACA´C ´

103

=63=8

4⇒K=2

∴△ ABC∿ A ´ B´ C ´ (l , l , l)Dados los △ semejantes △ABC y △ A´B´C´. Hallar el lado A´C ´=?

ACA ´C ´

= ABA ´ B ´

69x

=6045

x= 646045

x=48

∴ A ´C ´=48(l , A ,l)

Halle el valor de x en la siguiente figura

DFGF

= DEGH

20x

=156

x=20∗615

x=8Halle el valor de y de la siguiente figura

GHGJ

= FHIJ

1010− y

=64

10*4=6 (10-y)40=60-6y40-60= -6y-20= -6y−20−6

= y

3.33=yHalle el valor de x

UVSV

=UWRS

158

=12x

x∗158

=12

x= 12158

x=6.4SEMEJANZA EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

1.- Determine el segmento NP de la siguiente figura

NPON

= MNMO

NP= MNMO

∙ON

NP=1620

∙12

NP=485

NP=9.62.-Determine el valor de x de la siguiente figura

ABAC

=BCCD

5533

=44x

x=33∗4455

x=1325

x=26.4PERIMETROS Y AREAS

El perímetro de un trapecio isósceles es de 150mt las bases miden 40m y 30m. Calcule la longitud de los lados no paralelos y el área de su superficie.DatosP=150md=40mb=30m𝓁=?A=?

h=√(40m)2−(5)2

h=√1600−25h=40mab=150m-30m-40mab=80m

a=202

a=40

b=802

b=40

A=( a+b2 )h

A=( 40m+30m2 )40m

A=1400m2

La base de un rectángulo mide 5m y la h la mitad de la base calcule la área de dio rectángulo

Datosa=5mb=2.5mA=?

A=a*bA=5m*2.5mA=12.5mP=2(a+b)P=2(5+2.5)P=2(7.5)P=15Halle el P y A de un ventanal formado por un rectángulo y un triángulo isósceles tal como se muestra en la figura

A1=a*bA1=3m*2mA1=6m2

c=√(1m )2+ (1.5m)2

c=1.80m

A2=c ∙h2

A2=3∗1

2

A2=1.5m2

A1+A2=7.5m2

P=3m+2m+1.80m+1.80m+2mP=10.6mSe requiere calcular el área de un terreno en forma de un triángulo isósceles. Se tiene que la medida de los lados congruentes es de 15m y la de tercero es de 24m.

h=√ (15 m)2− (12m )2

h=9m

A= c ∙h2

A=24 m∙9m2

A=108m2 Se requiere cercar un solar con forma de trapecio rectángulo, tal como se muestra en la figura siguiente, si al construir cada mt de cerca cuesta 15dolares aproximadamente el costo total de la cerca.

x=√ (2m )2+(10m )2

X=10.19mP=10m+12m+10.19m+14+P=46.19mCosto de la cerca=46.19m*15 dolaresCosto de la cerca=693 dolares

Sea el polígono ABCD, donde se conoce que el segmento AC=93m, DH=52m, BK=24m, determine.

A1=AC ∙DH

2

A1=93m ∙52m

2A1=2418m2

A2=AC ∙BK

2

A2=93m ∙24 m

2A2=1116m2 AT=A1+A2

AT=3534m2

Determine el area de la siguiente figura: ABCDE

AD=AC= 17cm; CD= 16 cm; EG= 6 cm BF= 4cm

h= √172−82 ∆ACD=16 x15

2 ∆CBA=

17 x42

∆ADE= 17 x6

2

h= 15 cm ∆ACD= 120 cm² ∆CBA= 34 cm² ∆ADE= 51 cm²

∆T= ACD +CBA + ADE

∆T= 120 cm²+34 cm²+ 51 cm²

∆T= 205 cm²

Encuentre el area de cada uno de las siguientes regiones sombreadas

A□= 12 x 12

A□= 144 m²

A=π r2

A= 113.09 m²

AT= 144 m² - 131.09 m²

AT= 30.90 m²

A□= a²

A●=π [( 12 ) (a ) ²] A●=

a ²4

AT= a²-π14

a² AT= 0.21 a²

A□= 4 x 12 A□= 48 u²

1.-A=12π r2

A=12π 62

A= 56.54 u²

2.- A=12π r2

A=12π 42

A= 25.13 u²

AT= 48 + 25.13 + 56.54

AT= 129.67 u²

AT= 2 ²+πr ²

AT= 7.14 m²

La rueda de un camión tiene 90 cm de radio cuanto a recorrido el camión cuando la rueda a dado 100 vueltas la respuesta expresada en metros.

L= 2 . π 90 L= 565.48

100 vueltas| 565.481vuelta| = 56548.66 cm |1x 10¯ ²

1cm | = 565.48 metros

Sobre los lados de un triangulo rectángulo de longitud de lados 6,8,10 centímetros se construyen 3 semicircunferencias respectivamente determine el perímetro del contorno de la figura obtenido.

S₆= πd2

S₆= π62

S₆= 9.42 cm

S₈= π82

S₈= 12.66 cm

S₁₀= π102

S₁₀= 15.70 cm

ST= 9.42 + 12.66 + 15.70

ST= 37.78 cm

Determine el perímetro y área de la región limitada por dos semicírculos tal como se muestra en la figura.

A=π . r ²

2 A=

25π2

A= 8π m²

S₀= π .r S₀= π .5 S₀= 5π

CALCULO PROPOSICIONAL

Proposiciones.- son expresiones de lenguaje que puede clasificarse como verdaderos o falsos.

Las proposiciones se diferencian de las preguntas de las órdenes y de las exclamaciones.

Ejemplos:

39 es un numero primo (proposición)

¿Cuántas mariposas hay? (No es proposición)

¡Hola! (No es proposición)

¿Qué edad tiene Pedro? (No es proposición)

Colon descubrió América (proposición)

El rombo es un cuadrilátero (proposición)

Carlos es hermano de María (proposición)

Proposición siempre es aquella que se forma sin utilizar términos de enlace y se puede clasificar como verdadera o falsa.

Ejemplos:

La luna es un planeta (F)

4 y 25 son cuadrados perfectos (V)

5 es divisor de 15 (V)

Quito es la capital del Ecuador (V)

30 es múltiplo de 4 (F)

√4 Es un número irracional (F)

Representación de proposiciones simples.- se representan con letras minúsculas por ejemplo p, q, r, s.

Ejemplos:

P: 5 es divisor de 5

Q: 30 es múltiplo de 7

R: 8 es divisor de 4

Proposiciones compuestas.- Son aquellas que están constituidas por dos o más proposiciones simples y unidos por partículas de enlace llamados conectivos lógicos, los conectivos lógicos son:

“y” ⋀“o” ⋁Si… entonces ⟹…Si y solo si ⟺Negación ∿; ┐

Ejemplos:

Escriba el conectivo lógico que se utiliza en cada proposición

Este lápiz es mío y este borrador también “y” ⋀ Este rosal no tiene rosas negación ∿ Salgo a pasear o hago la tarea “o” ⋁

Veremos la película si y solo si conseguimos las entradas ⟺ Si 17 es mayor de 12 entonces 12 es menor que 17 ⟹

Conjunción.- Al enlazar dos o más proposiciones simples mediante el conectivo lógico “y” se obtiene una tercera proposición llamado conjunción.

Valor de verdad de la Conjunción.- es verdadero únicamente si la proposición p es verdadero y la posición q es verdadero en los demás casos es falso.

Tabla de verdad

p Q p ∧ qV V VV F FF V FF F F

Disyunción.- es una proposición compuesta formada por dos o más proposiciones simples relacionados con el conectivo lógico “o”.

Valor de verdad de la disyunción.- es verdadero cuando por lo menos una de las proposiciones es verdadera y la disyunción es falso únicamente si p y q son falsos.

Tabla de verdad

p Q p ∨ qV V VV F VF V VF F F

Implicación o Condicional.- Una proposición compuesta es condicional cuando la proposiciones que la forman está relacionado con el conectivo lógico si…entonces… en este caso la primera proposición se llama antecedente y la segunda se llama consecuente.

Valor de verdad de la Implicación.- es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos es verdadero.

Tabla de verdad

p Q p⟹qV V VV F FF V VF F V

Equivalencia o Bicondicional.- una proposición compuesta es bicondicional cuando cada proposición simple implica a la otra dichos proposiciones están relacionado con el conectivo lógico…si y solo si… llamado equivalencia.

Valor de verdad.- es verdadera cuando ambos proporciones son verdaderos o ambas proposiciones son falsos.

Tabla de verdad

p Q p⟺qV V VV F FF V FF F V

Negación.- Es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.

p ┐pV FF V

Ejercicios:

Halle el valor de verdad de cada proposición compuesta

a.-( p⟹q )˅∨ [ ( p˄∧q ) ]

p Q p⟹q p∧q ( p˄∧q ) ( p⟹q )∨˅ [ ( p∧˄q ) ]V V V V F VV F F F V VF V V F V VF F V F V V

b.-[ ( p˄∧q )˅∨q ]⟹ p

p q (p∧q)

( p˄∧q ) [ ( p˄∧q )∨˅q ][ ( p˄q )˅q ]⟹ p

V V V F V VV F F V V VF V F V V FF F F V V F

Halle el valor de verdad de cada proposición compuesta y escriba el valor de verdad del resultado

1.-( p⟹q )˅∨ [ ( p˄∧q ) ]

.( p∨˅q )⟹ p

p Q ( p∨˅q ) ( p∨˅q )→pV V V VV F V VF V V F F F F V

Contingencia

2.-[ ( p⟹q )∧˄ (q⟹ r ) ]⟹ ( p⟹ r )

p q r ( p⟹q ) ( p⟹ r ) [ ( p⟹q )˄∧ (q⟹ r ) ]( p⟹ r ) [ ( p⟹q )˄∧ (q⟹ r ) ]⟹ ( p⟹ r )V V V V V V V V

V V F V F F F VV F V F V F V V

V F F F V F F VF V V V V V V V

F V F V F F V VF F V V V V V V

F F F V V V V V

3.-[ ( p˅∨q )⟹ (p∧˄r ) ]⟺ r

p q r ( p∨˅q ) ( p˄∧r ) [ ( p∨˅q )⟹ (p˄∧ r ) ] [ ( p˅∨q )⟹ (p˄∧ r ) ]⟺ r

V V V V V V VV V F V F F VV F V V V V VV F F V F F VF V V V F F FF V F V F F VF F V F F V VF F F F F V F

PROPIEDADES DE LAS PROPOSICIONES

NOMBRE PROPIEDADEquivalencia p⟺qIdempotencia p˄∧ p⟺ p; p˅∨ p⟺PAsociativa p∧˄ (q∧˄r )⟺ ( p˄∧q )˄∧ r

p∨˅ (q˅∨r )⟺ ( p˅∨q )˅∨ rConmutativa p˄∧q⟺q∧˄ p; p˅∨q⟺q∨˅ pDistributiva p˄∧ (q∨˅r )⟺ ( p∧˄q )∨˅ (p∧˄r )

p˅∨ (q∧r )⟺ ( p∨˅q )˄∧ ( p˅∨ r )

Identidad p˄∧V ⟺ p; p∧˄F⟺ Fp∨˅V ⟺V ; p˅∨F⟺ P

Complemento p˄∧ ( p )⟺ F; p∨˅ ( p )⟺V( p )⟺P; V ⟺ F; F⟺V

De Morgan ( p˄∧q )⟺ p˅ q( p˅q )↔ p˄∨ q

Absorción p˄∧ ( p∨˅q )⟺ pp˅∨ ( p∧˄q )⟺ p

p∧˄ ( p∨˅q )⟺ p∧˄qp˅∨ ( p˄∧q )⟺ p∨˅q

Condicional p⟶q⟺ ( p )˅∨qBicondicional p⟷q⟺ ( p⟹q )˄∧ (q⟹ p )Conjunción Negativa p↓q↔ ( p )˄⋀ ( q )Disyunción Exclusiva p⩡⊻q⟺ ( p˅∨q )∧˄ (q˄∧ p )

Ejercicios:

Demuestre que:

1.-( p˄∧ p )˅∨q⟺q˅∨ p

(p∧q)∨ q ⟺p∨q Idempotencia

↔q∨p Conmutativa

2.- ( p˄∧ q )⟺ p∨˅q

. ( p∧˄ q )⟺ ( p )˅∨ ( q ) De Morgan

⟺p∨q Complemento

3.- p∨˅q⟺ (p˄∧ q )

. p˅∨q⟺ (p )∨ ( q ) De Morgan

⟺ p˅∨q Complemento

4.- [ ( p˅∨q )˄∧ ( p ) ]⟺ ( p⟹q )

.[ ( p∨˅q )˄ ( p ) ]⟺ [ ( p )˄∧ ( p˅∨q ) ] Conmutativa

⟺( p˄∧ p )∨˅ ( p˄∧q ) Distributiva

⟺F∨˅ ( p∧˄q ) Complemento

⟺ p˄∧q Identidad

⟺ ( p˅∨ q ) De Morgan

⟺ ( q˅∨ p ) Conmutativa

⟺ (q→ p ) Condicional

5.- ( p˅∨q )˄∧ ( p∨˅ q )⟺ p

.( p˅∨q )˄∧ ( p˅∨ q )⟺ p˅∨ ( p∧˄ q ) Distributiva

⟺p∨F Complemento

↔p

6.- ( p→r )∧ (q→r )⟺ ( p˅∧q )→r

.( p→r )∧ (q→r )⟺ ( p∨˅r )∧ ( q˅∨ r ) Condicional

⟺(r ˅∨ p )˄∧ (r ˅∨ q ) Conmutativa

⟺r ˅∨ ( p∧˄ q ) Distributiva

⟺( p∧˄ q )˅r Conmutativa

⟺ ( p˅∨q )˅r De Morgan

⟺( p˅∨q )→r Condicional

7.- [ p→ (q→r ) ]⟺ [ ( p˄∧q )→r ]

.[ p→ (q→r ) ]⟺ [ p∨˅ (q→r ) ] Condicional

⟺[ p˅∨ ( q ˅∨r ) ] Condicional

⟺[ ( p˅∨ q )˅∨r ] Asociativa

⟺ ( p˄∧q )˅∨r De Morgan

⟺( p∧˄q )→r Condicional

8.- ( p→q )⟺ ( q→ p )

.( q→ p)⟺ ( q˅∨ p ) Condicional

⟺q˅∨ p Complemento

⟺ p˅∧q Conmutativa

⟺( p→q ) Condicional

Simplifique

1. {[ ( p˅∨ q ) ]˅∨ ( q ) } p ⟺ ∧ q⟺ {( p )˅∨ [ ( q )∨˅ ( q ) ] } Asociativa

⟺ [ ( p )˅∨ ( q ) ] Idempotencia

⟺∿ (∿p)∧∿(∿q) de Morgan

⟺p∧q Complemento

2.( p )∨˅q˅∨ ( q )˅∨ ( p )

⟺( p˅∨ p )∨ (q ˅∨ q ) Asociativa

⟺ ( p∧˄ p )∨˅V Idempotencia, Complemento

⟺ p˅∨V Complemento

⟺V Identidad

Demuestre que

.( p→q )↔p⟺ p∧˄q

.[ ( p→q )→p ]˄∧ [ p→ (p→q ) ] Bicondicional

.[ ( p∨˅q )→p ]∧˄ [ p→ ( p˅∨q ) ] Condicional

.[ ( p˅∨q )˅ p ]∧˄ [ p˅∨ ( p∨˅q ) ] Condicional

.[ ( p∧˄ q )˅∨ p ]˄∧ [ ( p∨˅ q )˅∨q ] Conmutativa, Asociativa

.[ p∨˅ ( p˄∧ q ) ]˄∧ [ p∨˅q ] Idempotencia

.p˄∧ ( p˅∨q ) Absorcion

.( p∧˄ p )∨˅ (p∧˄q ) Distributiva

.F˅∨ ( p˄∧q ) Complemento

p∧q Identidad

( p⟶q)⟷ p⟺ p∨q

⟺ [(p⟶q)⟶ p ]∧[ p⟶( p⟶q)] Bicondicional

⟺ [∿(p⟶q)∧ p]∿ [∿ p∨( p⟶q)] Condicional

⟺ [∿(∿ p∨q)∨ p]∧[∿ p∨(∿ p∨q)] Condicional

⟺ [¿∧¿∨q] De Morgan, complemento, asociativa

⟺ [ p∨(p∧∿q)]∧[∿ p∨q ] Conmutativa, idempotencia

⟺ p∧(∿ p∨q) Absorción

⟺ ( p∧∿ p )∨( p∨q) Distributiva

⟺ F∨( p∧q) Complemento

⟺ p∧q Identidad

SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS

Componentes de un circuito electrico

Fuente de energia y los conductores interruptor y una lampara que se enciende cuando por el circuito circula corriente electrica.

Notación del Circuito en base al cálculo proposicional

A= Interruptor

F L= Hilos conductores, circulación de corriente

Y consideramos que la fuente esta siempre funcionando

Notación

Si A esta cerrado circula electricidad en FL y la lámpara se enciende (estado V).

Si A esta abierto no circula electricidad en KL y la lámpara no se enciende (estado F).

Circuito en serie

Consideramos un circuito con 2 interruptores A y B y una lámpara que puede estar prendida o apagada.

L≡ A˄∧B

Casos Relacionados con la tabla de verdad

1.

A B L

V V V

2.

A B L

V F F

3.

A B L

F V F

4.

A B L

F F F

Formamos una sola tabla de verdad de los 4 casos

A B LV V VV F FF V FF F F

.L≡ A˄B

Circuito Paralelo

Consideremos 2 interruptores AyB una lámpara que puede estar encendida o apagada.

Casos que se relacionan con las tablas de verdad

1.

A B LV V V

2.

A B LV F V

3.

A B LF V V

4.

A B L

F F F

Formando una sola tabla

A B LV V VV F VF V VF F F

.L≡ A˅∨B

Circuito complementario

A A´V FF V

EJERCICIOS

Dibuje un circuito que cumpla la condición

1.- L≡ A˄∧ (B∨˅ A ´ )

2.- L≡ ( A∧˄B´ )˅ [ ( A∨´ ˅C )∧˄B ]

3.- L≡ A˄∧ (B∨˅ A ´ )˄∧C

4.- Determine el valor del siguiente circuito

L≡ {[ ( A∨˅B )∧˄C ]˅∨ A ´ }˄B

5.-Construir un circuito para cada uno de los siguientes valores

a)

L≡ A∧ ( A∨B )

b)

L≡ ( A˅∨B )∧˄ (A ´˅∨B ´ )

c)

L≡C∨ (A∧B )∨(A´∧D)

L≡ [B∧˄ ( A˅∨C ) ]∨˅ (A∧ ´ ˄C ´ )

Construir un circuito para cada uno de los siguientes valores

L≡ A∨˅ (B˄∨C )

L≡A˄∧ (B∨˅C )

c)L≡ ( A˅∨B )˄∧ (C∨˅D )

d) L≡ ( A˄∧B )˅∨ (C˄∧D )

e)L≡ ( A˅∨B )∧˄ [A´˅∨ (C˄∧B´ ) ]

f) L≡ [ ( A˄∧B )˅∨C ]∧˄ [D∨˅ (A∧´ ˄B ) ]

Reducción de circuitos.- en algunos casos es posible reducir el número de interruptores de ciretos circuitos usando las propiedades de las proposiciones

Reducir el circuito

.L≡ A∧˄ (A∧˅B ) p∧( p∨q)⟺ p

.L≡ A Absorsion

b)

.L≡ ( A∨˅B )˅∨ [A˅∨ (B˄∧C ) ]

.L≡ ( A˅∨B )˅ [ ( A˅∨B )˄∧ ( A∨˅C ) ] Distributiva

.L≡ ( A˅∨B ) Absorcion

c)

.L≡ [P∧˄ (P∨˅Q )˄∧Q ] [R∧˄ (R˅∨Q )∧˄ P ]

.[ (P˄∧Q )˅]∨[ (R˄∧P )] Absorcion

[ p∧q ]∨ [ p∧r ]c onmuttativ a

.P∧˄ (Q∨˅ R ) Distributiva

TEORIA DE CONJUNTOS

Definición.- Un conjunto es una lista, o lección o clases de objetos bien definidos, los objetos pueden ser números, personas u otros, etc. Cada uno de estos objetos se denomina elementos.

Notación.- A un conjunto se le representa con letras mayúsculas y a los elementos con letras o con números; y los elementos van entre llaves.

Ejemplos:

A:{2,4,6,8 }

B:{a , e ,i , o , u }

Determinación de un Conjunto.- Un conjunto se puede determinar por extensión o por comprensión:

Por extensión: Consiste en enunciar cada uno de los elementos que componen el conjunto.

Ejemplos:

Forme por extensión los siguientes conjuntos

El conjunto de los números impares menores que 10

A:{1,3,5,7,9 }

El conjunto de los números primos menores que 20

B:{1,2,3,5,7,11,13,17,19 }

Por comprensión: Consiste en precisar las propiedades particulares que permiten determinar los elementos que pertenecen al conjunto.

Ejemplos:

C:{x ¿esnumeromultiplode3menores que20 } comprension

C:{3,6,9,12,15,18 } Extension

D:{x ¿esunaciudad de Americadel Sur }

E:{x ¿ ²−3 x+2=0 }

TIPOS DE CONJUNTOS

1.- Conjunto Vacio.- Es aquel que carece de elementos y se le llama conjunto vacion o conjunto nulo y se lo representa

A={} =Ф

Ejemplos:

A:{x ¿ ²=4 ; x es impar }

A={}=∅

Ejercicios:

Determine cual de las siguientes conjuntos son vacios.

A={x ¿esuna letraanterior a laletra aenel Alfabeto } {}

B={x ¿ ²=9 y 2 x=4 } ⟹ ∅

C={x ¿≠ x } c=∅

D={x ¿+8=8 } D= {0 }

2.- Conjunto Unitario.- Es aquel que esta formado por un solo elemento.

A={x ¿+8=8 } A={0 }

B={x ¿esel septimodia de la semana } B={domingo }

3.- Conjunto Universo.- Es la que está formado por la totalidad de elementos en estudio y se le representa con la letra U.

Conjunto Universo: U

Ejemplo:

A={x ¿∈,3≺ x≺10 }

4.- Conjunto Finito.- Es aquel que se puede contar todos sus elementos

Ejemplos:

A={x ¿dia sde la semana }

B={x ¿ sonlas vocales }

5.- Conjunto Infinito.- Es cuando el proceso de contar sus elementos no terminan.

Ejemplos:

A={x ¿esnumeros pares }

A={2,4,6,8……… }

EJERCICIOS

Determine cuál de los siguientes conjuntos son finitos o infinitos.

1.- Los meses del año Finito

2.- A={1,2,3 ,……100 } Finito

3.- Las personas que viven en la tierra Infinito

4.- A={x ¿esunnumero par positivo } Infinito

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

Unión.- la unión de dos conjuntos A y B está formado por los elementos del conjunto A mas los elementos del conjunto B y se los representa.

A={x ¿EA˅ XEB }

Notación:

Ejemplos:

Sean A={a ,b , c , d } A={ f ,b ,d , g }

Hallar A U B

AUB={a ,b , c , d , f , g }

AUB

Sean A={1,2,3,4 } B={2,4,6,8 } C={3,4,5,6 }

Hallar

a.- AUB

b.- BUC

c.- AUC

d.- AUA

Desarrollo:

AUB={1,2,3,4 , } u {2,4,6,8 }

AUB={1,2,3,4,6,8 }

BUC={2,4,6,8 } u {3,4,5,6 }

BUC={2,4,6,8,5,3 }

BUC={2,3,4,5,6,8 }

AUC={1,2,3,4 , } u {3,4,5,6 }

AUC={1,2,3,4,5,6 }

Intersección.- la intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto formado por aquellos elementos que pertenecen a A y B

A={x ¿EA˄ XEB }

Notación:

Ejemplos:

A={a ,b , c , d } B={ f ,b ,d , g }

Hallar A∩B

.A∩B= {b ,d }

Ejercicios:

Sean A={1,2,3,4 } B={2,4,6,8 } C={3,4,5,6 }

Hallar a) A∩B b) B∩C c) A∩ A

A) A∩B={1,2,3,4 } {2,4,6,8 }A∩B={2,4 }

B) B∩C={4,6 } C) A∩C={3,4 } D) A∩ A={1,2,3,4 }

Diferencia.- Es el conjunto de los elementos que pertenecen a A pero no a B

A−B={x¿∈ A ˄X∉B }

Notación:

Ejemplos:

Sean A={a ,b , c , d } B={ f ,b ,d , g }

Hallar A-B y B-A

A−B={a , c }

.B−A {f , g }

Ejercicios:

Sean A={1,2,3,4 } B={2,4,6,8 } C={3,4,5,6 }

Hallar a) A-B b) B-C c) A-C d) A-A

A-B=

{1,3 }

B-C={2,8 }

A-C={1,2 }

A-A={}

Complemento.- Elcomplemento de un conjunto A en el conjunto Universo es el conjunto de elementos que no pertenecen a A es decir diferencia del onjnto universo y A y se lo representa

A´={x¿∈U ˄ X∈ A }

Ejemplo:

Sea U={1,2,3 ,………9 } A={1,2,3,4 } B={2,4,6,8 } C={3,4,5,6 }

Hallar a) A´ b) B´ c) ( A∩C )´ d) ( A∪B )´ e) ( A´ ) ´

A´={5,6,7,8,9 }

B´={1,3,5,7,9 }

A∩C ={3,4 }

( A∩C )´ ={1,2,5,6,7,8,9 }

.A∪B={1,2,3,4,6,8 }

( A∪B )´ ={5,7,9 }

A´={5,6,7,8,9 }

.( A´ ) ´={1,2,3,4 , }

Diferencia Simetrica

.A∆ B=x∈ ( A∪B )− (A∩B )

(A-B)∪ (B-A)

Sean A={ j , u , g ,o , d , e } B={m ,a ,n ,g ,o }

Encontrar A∆ B

.A∆ B=( A∪B )−( A∪B )

.A∆ B={ j , u , g ,o , d , e }∪ {m,a ,n ,g , o }−[ { j , u , g , o ,d , e }∪ {m,a ,n , g , o } ]

.A∆ B={ j , u , g ,o , d , e ,m ,a ,n }− {g ,o }

.A∆ B={ j , u , g ,o , d , e ,m ,a ,n }

A-B={ j , u , d ,e }

B-A={m ,a ,n }

.( A−B )∪ (B−A )= { j , u , d ,e ,m,a ,n }

Sean: C= {h , i , j , k } ; D= {i , j }

C Δ D= (CU D )- (C∩D )

C Δ D= {h , i , j , k } - {i , j }

C Δ D= {h , k }

EJERCICIOS

En el siguiente diagrama de Venn sombrear:

a) A b) B c) A´ d) B´ e) AUB

f) A∩B g) A-B h) B-A i) (A-B)´

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

En el diagrama de Venn qué sigue sombrear:

a) A∩B b) A∩C c) B∩C d) A∩B∩C e) (A∩B∩C)´

f) AUB g) AUC h) BUC i) AUBUC j) (AUBUC)´

k) A-B l) A-C m) B-C n) B-A o) C-A

p) C-B q) (C-B)´ r) (A-B)U(B-C)U(C-A) s) (A-B)∩(C-B) t) [(A-B)∩(C-B)]

APLICACIÓN A LA TEORIA DE CONJUNTOS

EJERCICIOS

En una clase de 50 alumnos, hay 30 hinchas de Liga y 25 de Aucas, además 21 son hinchas de ambos equipos. ¿Cuántos no son hinchas de ninguno de estos 2 equipos?

50−2129−920−416

Rpta: 16 alumnos no son hinchas de ningún equipo de fútbol.

30 alumnos están inscritos en una, al menos, de 2 asignaturas: Matemáticas y Física. El número de inscritos en las 2 asignaturas es 7 y Física tiene 12 alumnos. Determine:

a) Cuántos alumnos están inscritos en Matemáticas.b) Cuántos alumnos están inscritos solo en Matemáticas.

c) Cuántos alumnos están inscritos solo en Física.

30−1218

Rpta:

a) 25 alumnos inscritos en Matemáticas.b) 18 alumnos inscritos solo en Matemáticas.c) 5 alumnos inscritos solo en Física.

De 40 estudiantes entrevistados 15 leen revistas A y B, 27 leen la revista B, 3 leen únicamente la revista A. Con esta información determine:

a) Cuántos estudiantes no leen ninguna de estas 2 revistas.b) Cuántos estudiantes leen la revista A.c) Cuántos estudiantes leen únicamente la revista B.d) Cuántos estudiantes leen únicamente una sola de estas revistas.

Rpta:

a) 10 estudiantes no leen ninguna de las 2 revistas.b) 18 estudiantes leen solo la revista A.c) 12 estudiantes leen solo la revista B.d) 15 estudiantes leen únicamente una sola de estas revistas.

En un colegio de 100 alumnos al realizarse una encuesta se obtuvo los siguientes resultados, 24 alumnos seguían el idioma Inglés, 31 Francés, 29 Alemán, 11 Inglés y Francés, 4 Inglés y Alemán, 5 Francés y Alemán, 3 Inglés, Francés y Alemán. Determine:

a) Cuántos alumnos no reciben idioma alguno.b) Cuántos alumnos reciben ingles como único idioma.

100−397−295−194−886

−2363

−1845

−1233

Rpta:

a) 33 estudiantes no reciben idioma alguno.b) 12 estudiantes reciben ingles como único idioma.

De 150 soldados que participan en una batalla 80 perdieron un ojo, 70 un brazo, 50 una pierna, 20 un ojo y un brazo, 25 perdieron un ojo y una pierna, 30 perdieron un brazo y una pierna, 10 perdieron un ojo, un brazo y una pierna. ¿Cuántos escaparon ilesos?

150−10140−20120−15105−1095−590

−3060

−4515

Rpta: 15 soldados escaparon ilesos.

El diagrama representa un grupo de estudiantes que fueron encuestados ya los cuales se les pidió su opinión de los temas A, B y C.

Al respecto se desea saber:

a) Número de estudiantes de la muestra. Rpta: 64 estudiantes.

b) Número de estudiantes que opinaron el tema B o C. Rpta: 51 estudiantes opinaron el tema B o C.

c) Cuántos no opinaron. Rpta: 0 estudiantes no opinaron.

d) Cuántos estudiantes que habían opinado sobre el tema B opinaron sobre los temas A o C. Rpta: 12 estudiantes opinaron sobre los temas A o C.

e) Número de estudiantes que opinaron los temas A y B. Rpta: 7 estudiantes opinaron los temas A y B.

f) Cuántos estudiantes dieron su opinión solo de referente del tema A. Rpta: 13 estudiantes opinaron solo del tema A.

g) Cuántos estudiantes manifestaron su opinión sobre los 3 temas. Rpta: 3 estudiantes manifestaron su opinión sobre los 3 temas.

h) Cuántos estudiantes opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B. Rpta: 12 estudiantes opinaron sobre el tema C pero no sobre el tema B.

En un grupo de 165 estudiantes 8 toman calculo, psicología e informática, 33 toman calculo e informática, 20 toman calculo y psicología, 24 toman psicología e informática, 79 están en caculo, 83 están en psicología y 63 toman informática. Determinar:

a) Cuántos estudiantes toman psicología. b) Cuántos estudiantes toman solo 2 materias.c) Cuántos estudiantes toman cálculo e informática.d) Cuántos estudiantes toman al menos una de las 3 materias.e) Cuántos estudiantes no toman estas asignaturas.

a) Rpta: 47 estudiantes toman psicología.b) Rpta: 53 estudiantes toman solo 2 materias.c) Rpta: 33 estudiantes toman cálculo e informática.d) Rpta: 156 estudiantes toman al menos una de las 3 materias.e) Rpta: 9 estudiantes no toman estas asignaturas.

Un profesor tiene 2 docenas de libros a la introducción de la computadora y está interesado de la forma que trata los temas: Compiladores (A), Estructura de átomos (B), Redes (C), los siguientes dato representa la cantidad de libros que contienen material relativo a estos temas.

lAl= 8 ; lBl= 13 ; lCl=13 ; lA∩Bl= 5 ; lA∩Cl= 3 ; lB∩Cl= 6 ; lA∩B∩Cl= 2 ; Determinar:

a) Cuántos libros incluyen el material de exactamente uno de estos temas.b) Cuántos no tratan ninguno de estos temas.c) Cuántos no tienen material sobre compiladores.d) Cuántos no tienen material sobre estructuras del átomo.

e) Cuántos libros tienen al menos 2 de estos temas en su página.

f) Cuántos de ellos tienen a lo sumo 2 de los temas tratados.

24−222−418−117−314−68

−44

−22

Rpta:

a) 12 libros incluidos en el material.b) 2 Universo.c) 16 libros no tienen material sobre compiladores.d) 11 libros no tienen material sobre estructuras del átomo.e) 10 libros tienen al menos 2 de estos temas en su página.f) 20 libros tienen a lo sumo 2 de los temas tratados.

NUMEROS COMPLEJOS

Definición.- Se llama número complejo a todo par (a , b) de números reales tomados en cierto orden.

Los números reales (a , b) se llaman componentes del número complejo.

El número real (a) se llama primer componente y el número (b) segundo componente.

EJEMPLOS:

(3 , -7) (0 , 25) (√3 , 7,2)

Los números complejos cuyas segundas componentes son nulos se consideran equivalentes a los números reales y se les nota. (a , 0)= a (4 , 0)= 4

Los números imaginarios cuya primera componente es nulo se llaman imaginarios puros.

EJEMPLO:

(0 , 4)

El número imaginario puro (0,1) se le llama unidad imaginaria y se lo representa con la letra i.

EJEMPLO:

(0 , 1)= i

En el sistema de los números complejos hay 2 unidades que considerar.

La unidad real: 1= (1 , 0)La unidad imaginaria: i= (0 , 1)

IGUALDAD DE NUMEROS COMPLEJOSSe dice que los números complejos (a , b) y (c , d) son iguales si:

(a , b) = (c , d)a= c ∧ b=d

EJEMPLO:Verificar si son iguales los siguientes números complejos.

(3³ , √4)= (27 , 2)

3³= 27 → 27=27

√4=¿2 → 2=2

SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS(a , b) + (c , d)= (a + c , b + d)

EJEMPLOS:(3 , 5) + (2 , -7)= (3 + 2 , 5 - 7)

= (5 , -2)

(4 , 1) + (3 , -1)= (4 + 3 , 1-1) = (7 , 0) = 7

MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS Se llama producto de 2 números complejos (a,b) y (c,d) al nuevo número complejo.

(a , b)(c , d)= (ac – bd , ad +bc)Halle el producto de los siguientes números complejos.

(2 , 5)(3 , 4)= (2.3 – 5.4 , 2.4 + 5.3) = (6 – 20 , 8 + 15) = (-14 , 23)

(5 , 0)(2 , 0)= 107(a , b)= (7a , 7b)5,i= 5(0 , 1) = (0 , 5)

FORMA BINOMICA DE UN NÚMERO COMPLEJOLa forma binomica de un número complejo se representa:

(a , b)= a + biExprese en forma binomica los siguientes números complejos.

(2 , 5)= 2 + 5i

(-3 , √2)= -3 + √2 i

CUADRO DE LA UNIDAD IMAGINARIAi²= i . i i³= i² . 1 i⁴= i² . i² i⁵= i³ . i²= (0 , 1)(o , 1) = (-1)(i) = (-1)(-1) = (-i)(-1)= (0 – 1 , 0 + 0) i³= -i i⁴= 1 i⁵= i= (-1 , 0)i²= -1

i⁶= i⁴ . i² i⁷= i⁵ . i² i⁸= i⁶ . i² i = i⁷ . i²⁹= (1)(-1) = (i)(-1) = (-1)(-1) = (-i)(-1)i⁶= -1 i⁷= -i i⁸= 1 i = i⁹

i¹⁰= i⁸ . i² = (1)(-1)i¹⁰= -1

MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA BINOMICA(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd

= (ac - bd) + (ad + bc)i

a+bic+diac+bciadi−bd

ac+bci+adi−bd

(ac - bd) + (bc +ad)iEfectuar los productos siguientes: (2 + 3i)(7 - i) = 14 – 2i + 21i + 3

= 17 + 19i

(2 - i)(-2 + 3i) = -4 + 6i + 2i +3 = -1 + 8i

(4 + 3i) ² = 16 + 24i - 9 = 7 + 24i

(6 + 5i)(-2 + 4i) = -12 + 24i -10i -20 = -32 + 14i

DIVISIÓN DE NUMEROS COMPLEJOS

(a . b) : (c . d) =( ac+bdc ²+d ²

;bc−adc ²+d ² )

EN SU FORMA BINOMICAa+b₁c+di

∗c−d₁

c−d₁ =

(a+b₁ )(c−di)(c+d₁ )(c−d ₁)

= ac – adi+bci+bdi ²

c ²−d ₁²

= ac – adi+bci+bd

c ²+d ²

= (ac+bd )+(bc−ad) i

c ²+d ²

= ac+bcc ²+d

+ bc−adc ²+d ²

Efectuar las siguientes operaciones de números complejos.

(8 , 1) : (1 , 2) = 8+21+4

:1−161+4

= (2 ; -3)

(9 , 2)(4 , -1) = 36−216+1

:8−916+1

= (2 ; −117 )

(5+15 i)(7+i)

= 5+15 i(7+i)

.(7−i)(7−i)

= 35−5 i+10 i+15 i ²

49−i ²

= 35−5 i+10 i+15

49+1

= 5050

+ 10050 → (1 + 2i)

POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO A° =1

EJERCICIOS

1. (3 + 2i)² = (3 + 2i)(3 + 2i) = 9 + 2(3)(2)i + (2i)² = 9 + 12i – 4 i²= -1 = 5 + 12i

2. (1 – 2i)³= (1)³ - 3(1)² (2i) + 3(1) (2i)² - (2i)³= 1 – 6i – 12 + 8i= -11 + 2i

3. (1 – i)¯² = 1

(1−i) ² =

11²−2 i+1

= 1

1−2 i−1

= 1

−2 i∗i

i

= i2

(2 + i)⁵ =

(2 + i)⁵= 2⁵ + 5(2)⁴ (i) + 10(2)³ (i)² + 10 (2)² (i)³ + 5(2) (1)⁴ + i⁵ = 25 + 80i + = - 38 + 41i

FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOSEl conjunto de los números complejos puede representarse con el conjunto de sistemas de coordenadas cartesianas. En este tipo de representación, al este horizontal se le llama eje real y al eje vertical se le denomina eje imaginario.La representación geométrica del número complejo (a + bi) es el punto P= (a , b) del plano complejo y al punto se le considera como la representación grafica del número.GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO

EJERCICIOS:Represente los siguientes números complejos en un sistema coordenado cartesiano.

a) 3 + 5ib) -3 + 5ic) -3 – 5id) 3 – 5ie) if) -2ig) -6

MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El modulo a valor absoluto de un número complejo (a + bi) denota por |a+bi| esta dado por |a+bi| =

√a ²+b ²EJERCICIOS:

a) |6−i| = √6 ²+(−1)² c)|−4−3 i| = √(−4) ²+(−3)² = √36+1 = √16+9 = √37 = √25 → 5

b) |−3+2i| = √(−3) ²+(2)² d)|5 i| = √0 ²+(5)²

= √9+4 = √25 = √13 = 5

FORMA POLAR DEL NUMERO COMPLEJO (a + bi)a + bi = r (cos Ɵ + i sen Ɵ)

cos Ɵ = ar sen Ɵ =

br

EJERCICIOS:

1) Exprese en forma polar el número √3 + i

r= √¿¿r =√3+1r= √4r= 2

cos Ɵ = ar sen Ɵ =

br

cos Ɵ = √32 sen Ɵ =

12

Ɵ = cos¯¹ (√32 ) Ɵ = sen¯¹ ( 1

2 )Ɵ = 30° Ɵ = 30°

Ɵ = 30° x π rad180°

= π6rad √3 + i = 2(cos

π6+ i sen

π6 )

2) -3 + 3i en forma polar.

r= √(−3) ²+3 ²r =√9+9r= √18r= 3 √2

cos Ɵ = ar sen Ɵ =

br

cos Ɵ = −33√2 sen Ɵ =

33√2

Ɵ = cos¯¹ (−1

√2 ) Ɵ = sen¯¹ ( 1

√2 )

Ɵ = 135° x π rad180°

=34π rad -3 + 3i = 3 √2(cos

34π+i sen 3

4π )

3) 4 - 4√3 i

r= √ (4 )2+(−4√3 i) ²r =√16+48r= √64r= 8

cos Ɵ = ar sen Ɵ =

br

cos Ɵ = 48 sen Ɵ =

−4 √3 i8

Ɵ = cos¯¹ ( 12 ) Ɵ = sen¯¹ (√2

2 )Ɵ= 60° Ɵ= 60° Ɵ= 300°

Ɵ = 300° x π rad180°

=53π rad 4 - 4√3 i= 8(cos

53π+i sen 5

3π )

Teorema.Para obtener el producto y el cociente de 2 números complejos cuando los números están expresados en forma polar aplicamos:Z₁= r₁ (cos Ɵ₁ + i sen Ɵ₁)Z₂= r₂ (cos Ɵ₂ + i sen Ɵ₂)Entonces:

1) Z₁ . Z₂= [cos (Ɵ₁+Ɵ ₂)+ i sen(Ɵ ₁+Ɵ₂)]

2)Z ₁Z ₂

= r₁r₂

[cos (Ɵ₁−Ɵ₂)+i sen(Ɵ₁−Ɵ₂)]

EJERCICIOS:

Sean Z₁= -3√3 - 3i y Z₂= 4 - 4√3 i

Encontrar:

a) Z₁ . Z₂

b)Z ₁Z ₂

Para Z₁

r= √ (−3√3 )2+(−3 i)²r =√27+9r= √36r= 6

cos Ɵ = ar

cos Ɵ = −3√36

Ɵ = cos¯¹ (−√32 )

Ɵ= 30° Ɵ= 210°

Ɵ = 210° x π rad180°

=76π rad -3√3 - 3i= 6(cos

76π+i sen 7

6π )

Para Z₂

r= √ (4 )2+(−4√3 i) ²r =√16+48r= √64r= 8

cos Ɵ = ar

cos Ɵ = 48

Ɵ = cos¯¹ ( 12 )

Ɵ= 60° Ɵ= 300°

Ɵ = 300° x π rad180°

=53π rad 4 - 4√3 i= 8(cos

53π+i sen 5

3π )

a) Z₁ . Z₂= 6 . 8 [cos( 76π+5

3π )+i sen ( 7

6π+ 5

3π )]

= 48 [cos( 176

π )+i sen( 176

π )] → 176

π∗180π

→ 510°

= 48 (cos 510° + i sen 510°)

= 48 (−√32

+ 12i)

Z₁ . Z₂= -24 √3 + 24i

b) Z ₁Z ₂

= 68

[cos( 76π−5

3π )+ i sen( 7

6π−5

3π)]

= 34

[cos(−12

π )+i sen (−12

π )] → −π

2∗180

π → -90°

= 34

[cos (-90°) + i sen (-90°)]

= 34 [0 + i (-1)]

= 34 (0 – 1i)

Z ₁Z ₂

= −34

i

TEOREMA DE MOIVRESi k es un entero cualquiera, entonces:

[r (cos Ɵ + i sen Ɵ)]ᵏ = rᵏ (cos k Ɵ + I sen k Ɵ)

Use el teorema de moivre para obtener lo siguiente:(1 + i)⁵r= √1 ²+1 ² r= √2

cos Ɵ = ar

cos Ɵ = 1

√2

Ɵ = cos¯¹ ( 1

√2 )Ɵ= 45°

Ɵ = 45° x π rad180°

= π4rad (1 + i) = √2(cos

π4+i sen π

4 )

(1 + i)⁵ = (√2 ) ⁵ [cos5( π4 )+i sen5( π4 )] → 5( π4∗180°

π ) → 225°

= 4√2 (cos 225° + i sen 225°)

= 4√2 [−√22

+i(−√22 )]

(1 + i)⁵ = -4 – 4iECUACIONESUna variable en el enunciado x es una variable en el que se dice que 2 expresiones de x son iguales; a la variable se le denomina variable o incógnita.ECUACIÓN LINEAL.- Una ecuación de la forma (ax + b = 0) donde a y b son números reales y a≠ 0 o cualquier ecuación equivalente a una de esta forma, se llama Ecuación Lineal.PROCESO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES.ax + b = 0ax + b + (-b) = 0 + (-b)

( 1a ) ax = -b ( 1

a ) X =

−ba

EJERCICIOSResolver las ecuaciones lineales y realice la comprobación.

1) 7x + 4 = 25 Comprobación

7x + 4 + (-4) = 25 + (-4) 7 (3) + 4 = 25

( 17 ) 7x = 21 ( 1

7 ) 21 + 4 = 25

X = 3 25 = 25

2) 5x – 5 = 2x + 7 Comprobación

5x – 5 + (5 – 2x) = 2x + 7 + (5 – 2x) 5 (4) – 5 = 2 (4) + 75x – 2x = 7 + 5 20 – 5 = 8 + 7

( 13 ) 3x = 12 ( 1

3 ) 15 = 15

X = 4

3) 1 – 3(2x -4) = 4(6 - x) – 8 Comprobación

1 – 6x +12 = 24 – 4x – 8 1 – 3(-3 - 4) = 4(6+ 32 ) - 8

-6x + 13 = 16 – 4x 1 + 21= 4( 152 ) - 8

-6x + 13 + (-13 + 4x) = 16 – 4x + (-13 + 4x) 22 = 30 - 8

-6x + 4x = 16 – 13 22 = 22

(−12 ) -2x = 3 (−1

2 )X = (−3

2 )

4)3

x+4 =

23x−2

MCD = (x + 4)(3x - 2) Comprobación

3(3x – 2) = 2(x + 4)3

2+4 =

23(2)−2

9x – 6 = 2x + 836

= 26−2

9x – 6 + (6 – 2x) = 2x + 8 + (6 – 2x)12

= 12

9x – 2x = 8 + 6

( 17 ) 7x = 14 ( 1

7 ) X = 2

5)4

25x ²−1 +

35x−1

= 25 x+1

MCD = 25x2 – 1 Comprobación

4 + 3(5x + 1) = 2 (5x – 1)4

81−1 + 3

−10= 2

−8

4 + 15x + 3 = 10x – 24

80 - 3

10=−1

4

15x + 7 = 10x – 21

20 + 3

10=−1

4

15x + 7 + (-7 – 10x) = 10x – 2 + (-7 – 10x)1−620

=−14

15x – 10x = -2 – 7−14

=−14

( 15 ) 5x = -9 ( 1

5 ) X = (−9

5 )

6)3

x ²−9 -

7x−3

= −4x−3

MCD = x2 – 9 Comprobación

3 – 7(x + 3) = -4(x + 3)3

(−2) ²−9 -

7(−2)−3

= −4(−2 )−3

3 – 7x - 21 = -4x – 123

4−9 - 7

−5=−4

−5

-7x – 18 = -4x – 123

−5 + 7

5=4

5

-7x – 18 + (18 – 4x) = -4x – 12 + (18 – 4x)45=4

5-7x – 4x = 18 – 12

(−13 ) -3x = 6 (−1

3 ) X = -2

7)1b+ bx+b

= x+bbx

MCD = bx(x + b)

x(x + b) + b2x = (x + b)2

x2 + xb + b2x = x2 + 2xb + b2

x2 + xb + b2x + (-x2 - 2xb) = x2 + 2xb + b2 + (-x2 - 2xb)b2x – xb = b2

( 1b ²−b ) x(b² - b) = b² ( 1

b ²−b )x = ( b ²

b ²−b )x = ( b ²

b(b)−b )x = ( b

b−1 )

ECUACIONES CUADRATICASDefinición.- Una ecuación que puede expresarse en forma ax2 + bx + c = 0 con a,b,c ∈ IR ᴧ a ǂ 0 se llama ecuación de segundo grado.Pueden presentarse los siguientes casos: EJEMPLO:

a) ax² + bx + c = 0 a ǂ 0 ; a,b,c ∈ IR 12x² + 7x – 10 = 0b) ax² + c = 0 a ǂ 0 , b = 0 , c ǂ 0 4x² - 16 = 0c) ax² + bx = 0 a ǂ 0 , c = 0 2x² + x = 0d) ax² = 0 a ǂ 0 , b = 0 , c = 0 9x² = 0

CASOS PARA RESOLVER ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.Solución mediante factorización.- Este método se basa en el producto de 2 o más factores es 0 si cualquiera de los factores es 0: a . b = 0 → a = 0 b = 0EJERCICIOS:Resolver las siguientes ecuaciones por descomposición de factores.

1) x² + 5x – 6 = 0 Comprobación

(x + 6)(x - 1) (-6)² + 5(-6) – 6 = 0 (1)² + 5(1) – 6 = 0x + 6 = 0 x – 1 = 0 36 – 30 – 6 = 0 1 + 5 – 6 = 0x + 6 + (-6) = -6 x – 1 + (1) = 1 0 = 0 0 = 0x = -6 x = 1

2) 4x² + 8x – 3 = 0

(4 x+6 )(4 x+2)4

=0

2 (2 x+3 ) 2(2x+1)2 .2

=0

(2x + 3)(2x + 1) = 02x + 3 = 0 2x + 1 = 02x + 3 + (-3) = -3 2x + 1 + (-1) = -1

( 12 ) 2x = -3 ( 1

2 ) → x = (−32 ) ( 1

2 ) 2x = -1 ( 12 ) → x = (−1

2 )3) 2p²x² + pqx – 15q² = 0

(2 px−6 q )(2 px−5q)2

=0

2 ( px−3q )(2 px−5 q)2

=0

px + 3q = 0 2px – 5q= 0px + 3q + (-3q) = -3q 2px – 5q + (5q) = 5q

( 1p ) px = -3q ( 1

p ) ( 12 p ) 2px = 5q ( 1

2 p ) x = (−3q

p ) x = ( 5q2 p )

4) x² + 4x = 0 Comprobación

x(x + 4) = 0 0² + 4(0) = 0 (-4)² + 4(-4) = 0x = 0 x + 4 = 0 0 = 0 16 -16 = 0

x + 4 + (-4) = -4 0 = 0x = -4

5) 6x² - 24 = 0 Comprobación

( 16 ) (6x² - 24) = 0 ( 1

6 ) 6(-2)² - 24 = 0 6(2)² - 24 = 0

x² - 4 = 0 24 – 24 = 0 24 – 24 = 0(x + 2)(x - 2) = 0 0 = 0 0 = 0

x + 2 = 0 x – 2 = 0x + 2 + (-2) = -2 x – 2 + (2) = 2x = -2 x = 2

6) y² + 36 = 0 Comprobación i2 = -1

y² + 36 + (-36) = -36 (6i)2 + 36 = 0 (-6i)2 + 36 = 0

√ y ² = ±√−36 -36 + 36 = 0 -36 + 36 = 0

y = ±6 i 0 = 0 0 = 0y1 = 6i y2 = -6i

7) x−5√ x+6=0

u = √ xu² = x²u² - 5u + 6 = 0(u - 3)(u - 2) = 0u – 3 = 0 u – 2 = 0u – 3 + (3) = 3 u – 2 + (2) = 2u1 = 3 u2 = 2x1 = u2

1 x2 = u22

x1 = (3)2 x2 = (2)2

x1 = 9 x2 = 4

Comprobación

9 - 5√9 + 6 = 0 4 - 5√4 + 6 = 0

9 – 15 + 6 = 0 4 – 10 + 6 = 00 = 0 0 = 0

COMPLETANDO CUADRADOS PERFECTOS.

1) x² - 6x -18 = 0 Comprobación

x² - 6x -18 + (18) = 18 (3+3√3 )² - 6(3+3√3 ) - 18 = 0

x² - 6x = 18 → ( b2 )² = ( 62 )² = 9 0 = 0

x² - 6x + 9 = 18 + 9

√(x−3¿)² ¿ = √27 (3−3√3 )² - 6(3−3√3 ) - 18 = 0

x – 3 = ±3√3 0 = 0

x – 3 + (3) = 3 ±3√3x = 3 ±3√3x1 = 3 +3√3 x2 = 3 −3√3

2) 2x² - x – 3 = 0

( 12 ) (2x² - x – 3) = 0 ( 1

2 )x ²−1

2x−3

2=0

x ²−12x−3

2+( 3

2 )=0+( 32 )

x ²−12x=3

2 → ( b2 )² = ( −1

2∗2 ) ² = 1

16

x ²−12x+ 1

16=3

2+ 1

16

√(x− 14 ) ² = ±√ 25

16

x−14

= ±54

x−14

+ ( 14 ) =

14

±54

x = 14

±54

x1 = 14

+54

→ x1 = 32

x2 = 14

−54

→ x2 = -1

APLICANDO LA FORMULA CUADRATICAax² + bx + c = 0

x ²+ bax+ c

a=0

x ²+ bax+ c

a+(−c

a )=0+(−ca )

x ²+ bax=−c

a

x2+ bax+ b2

4a2=−ca

+ b2

4a2

(x+ b2a ) ² =

b2

4 a2 −ca

√(x+ b2a ) ² = ±√ b ²−4ac

4 a ²

(x+ b2a ) = ±

√b ²−4ac4 a ²

x+ b2a + (−b

2a ) = (−b2a ) ± √b ²−4ac

4 a ²

x=−b±√b2−4ac2a

FORMULA GENERAL

Resolver por la Formula General.

1) 5x² - x – 18 = 0

x=−b±√b2−4ac2a

x=1±√(4)2−4 (5 )(−18)

2 (5)

x=1±√36110

x=1±1910

x=1+1910 → x1 = 10

x=1−1910 → x2 =

−95

2) 2x-2 = x-1 + 3

2x-2 + (-x-1 – 3) = x-1 + 3 + (-x-1 – 3)2x-2 - x-1 – 3 = 02(x-1)2 - x-1 – 3 = 0u = x-1

2u² - u – 3 = 0

u=1±√(−1)2−4 (2 )(−3)

2(2)

u=1±√254

u=1±54

u=1+54 → u₁=3

2

u=1−54 → u₂=−1

u1 = x-1 u2 = x-1

32 = x-1 -1 = x-1

(x) 32

= 1x (x) (-x)(-1) =

1x (-x)

( 23 ) ( 3

2x ) = 1 ( 2

3 ) x = -1

X1 = 23

3)24

10+m+1= 24

10−m MCD = (10 + m)(10 – m)

24(10 – m) + (10 + m)(10 – m) = 24(10 + m)240 – 24m + 100 + m² = 240 + 24m-m² - 24m + 340 + (-240 – 24m) = 240 + 24m + (-240 – 24m)(-1) –m² - 48m + 100= 0

m² + 48m - 100= 0

m=−48±√(48)2−4 (1 )(100)

2(1)

m=−48±√27042

m=−48±522

m=−48+522 → m1 = 2

m=−48−522 → m2 = -50

Ecuaciones divisibles a la forma cuadrática

1. 4 x4−13 x2+3=0

4 ¿

U=x2

(4 U−12 ) (4 U−1 )

4 (4U−3 ) (4U−1 )

(U−3 )=0 4U−1=0

U−3+3=3 4U+1−1=1

U 1=3 ( 14 )4U=1( 1

4 )U 2=

14

U 1= x2

√3=√x2 √ 14=√x2

±√3=x±12=x

x1=3 x3=12

x2=−√3 x4=12

2. ( x+2x−1 )

2

−5 ( x+2x−1 )−6=0

U= x+2x−1

U 2−5U−6=0

(U−6 ) (U+1 )=0

U−6+6=6U+1−1=−1

U=6U=−1

x+2x+1

=6x+2x−1

=−1 MCD (x−1)

x+2=6 ( x−1 ) x+2=−1(x−1)

x+2=6 x−6x+2=−x+1

6 x−6+ (−x+6 )=x+2+(−x+6 ) ( x+2 )+( x−2 )= (−x+1 )+( x−1 )

15

5 x=8( 15 ) 1

2(2 x )=−1

2

x1=85x2=

−12

Carácter de las raíces

DiscriminanteLas raíces de una ecuación cuadrática se pueden clasificar de acuerdo con el siguiente criterio:

1. Real o imaginaria2. Real o irracional3. Igual o desigual

x=−b±√b2−4ac2a

Discriminante

b2−4 ac Se llama discriminante de la ecuación y permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones, podemos distinguir 3 casos.

b2−4 ac>0Real distinta

La ecuación tiene dos soluciones que son dos números reales distintos.

x2−5 x+6=0

x=5±√(−5)2−4 (1 )(6)

2(1)=

5±√25−242

=5±1

2→x1=

62=3 ; x2=

42=2

b2−4 ac=0Iguales

La ecuación tiene una solución doble.

x2−2 x+1=0

x=2±√(−2)2−4 (1 )(1)

2(1)=

2±√4−42

=2±√0

2→x=

22=1

b2−4 ac<0Imaginario

La ecuación no tiene solución real.

x2+ x+1=0

x=−1±√ (1 )2−4 (1 ) (1 )

2 (1 )=−1±√1−4

2=−1±√−3

2→x=∄

Ecuación Discriminante∆=b2−4 ac

Carácter de las raíces Raíces

3 x2−2x−5=0 ∆=(−2 )2−4 (3 ) (−5 )∆=64>0

Reales y desigualesx1=

53; x2=−1

x2−6 x+9=0 ∆=(−6 )2−4 (1 ) (9 )∆=0

Reales e iguales x1=x2=3

x2−4 x+13=0 ∆=(−4 )2−4 (1 ) (13 )∆=−36

Imaginaria x1=2+3 i ; x2=2−3i

Construir una ecuación de segundo grado si sus raíces son:

1. x1=−23

x2=32

x2−5 x+P=0

S= x1+x2P=x1×x2

( 23 )

2

−56+(−1

2 )x2−7

6x−1=0 MCD 6

6 x2−7 x−6=0

2. x1=−3+√7

2x2=

−3−√72

S=−3+√32

+ 3−√72

P=(−3+√72 )(−3−√7

2 )S=−3+√7−3−√7

2P=9−7−3√7−7

2

S=−62

P=12

S=−3

x2+3x+ 12=0

2 x2−6 x+1=0

3. x1=4+i x2=4−i

S= (4+ i)+( 4−i )P=(4+ i )(4−i)

S=8P=(16−i2)P= (16+1 )P=17 x2−8 x+17=0

Ecuaciones con radicales

1. √4 x2+2 x+7+4 x=5

(√4 x2+2 x+7 )2=(5−4 x )2

4 x2+2 x+7=25−40x+16 x2

16 x2−40 x+25=4 x2+2 x+7

16 x2−40 x+25+(−4 x2−2 x−7 )=( 4 x2+2 x+7 )(−4 x2−2 x−7)

( 16 )12 x2−42 x+18=0( 1

6 )2 x2−7 x+3=0

(2x2−1 ) (2 x−6 )2

=0

(2x2−1 ) 2 ( x−3 )2

=0

(2 x−1 ) (x−3 )

2 x−1=0 x−3=0

x1=12x2=3

COMPROBACION

Para x1 Parax2

√36+6+7+12=5√1+1+7+12=57+12=5 3+2=519≠55=5

2. √2x+3−√ x+1=1

√2x+3−√ x+1+√x+1=1+√ x+1

(√2 x+3 )2=(1+√ x+1 )2

2 x+3=1+2√x+1+x+1

2 x+3=2+2√x+1+x

2 x+3+ (−2−x )=2+2√ x+1+ x+(−2−x )

2 x+3−2−x=2√x+1

( x+1 )2=(2√ x+1 )2

x2+2x+1=4 ( x+1 )

x2+2x+1=4 x+4

x2+2x+1+¿

x2+2x+1−4 x−4=0

x2−2 x−3=0

( x−3 ) ( x+1 )=0

x−3=0 x+1=0

x1=3 x2=−1

COMPROBACION

Para x1 Parax2

√9−√4=1√1−√0=13−2=11−0=11=11=1

COMPROBACION

Por factorización

1. 2 x2+15 x=82. 6 x2+5x=4

Completando el cuadrado

3. 2 y2−6 y+3=04. y2−10 y−3=0

Por formula cuadrática

5. 2 (2x+1 )=x2

6. (3m+2 )2=−4

7.2

x−2= 4

x−3− 1

x+1

8.3

x−1− 2

x+3= 4

x−2

INTERVALOS

Clases de intervalos Notación en intervalo Notación en conjuntos Notación en la recta numérica

Abierto (a;b )I={x∈ R

a<x<b}

Cerrado [a;b ] I={x∈ R/a≤ x≤b }

Semi abiertos ¿ I={x∈ R/a< x≤b }

Intervalos al (a;+∞) I={x∈ R/ x>a }

infinito

(−∞;a) I={x∈ Rx<a }

¿ I={x∈ R/ x≥a }

¿ I={x∈ R/ x≤a }

EjerciciosCompletar la siguiente tabla

Intervalo Notación en conjunto Notación en la recta numérica

(3 ;5 ) I={x∈ R/3<x<5 }I={ 4 }

[−2 ;5 ] I={x∈ R/−2≤x ≤5 }I={−2 ,−1,0,1,2,3,4,5 }

¿ I={x∈ R/−3<x ≤2 }I={−2 ,−1,0,1,2,3 }

(−∞;5) I={x∈ R/ x≤5 }I={…… .,0,1,2,3,4,5 }

¿ I={x∈ R/3≤x<8 }I={3,4,5,6,7 }

(2 ;∞) I={x∈ Rx>2 }I={3,4,5,6,7 ,…… }

DESIGUALDADES: el dominio de una variable es una desigualdad es el conjunto de números reales para los que se definen los miembros de la desigualdad.Ejemplos:

a¿3 x−8<7b¿ x−74

≤ xc ¿2<4 x+6≤14

Propiedades:Si a, b, c son números reales tenemos:1. Si a<b a+c<b+c (propiedad de la suma)

2<5 2+3<5+3 5<8

2. Si a<b 2-3<5-3 -1<2

3. Si a<b y c>a axc<bxc (propiedad de la multiplicación)-5<3 y 2<0 (-5) (2<3(2)-10<6

4. Si a<b y c<a axc>bxc (propiedad de la multiplicación)-5<3 y (-4) <0 (-5) (-4)> (3) (-4)

Ejercicios: Resolver las siguientes desigualdades y exprese el resultado en forma de intervalo, conjuntos y en la recta de los números reales.1. 3 x−8<7 Para x=0

3 x−8+8<7+8 3 (0 )−8<7

( 13 )3 x<15( 1

3 )−8<7(V )

x<153

x<5Para x=4

(3 ) (4 )−8<4

12−8<7

4<7 (V )

I={x∈ Rx<5 }

I={……. ,−3 ,−2 ,−1,0,1,2,3,4 }

2.x−7

4≤ x

4( x−7 )

4≤4 x

x−7≤4 x

x−7+ (−4 x+7 )≤4 x+7¿

x ( 13 )−3 x ≤7 ( 1

3 )x≥−7

3

I={−73

;∞}I={x∈ R

x≥−7

3 }I={−7

3,−2,−1,0,1,2}

3. 3<4 x+7≤15

3+7<4 x+7+ (−7 )≤15

−4<4 x≤8

( 14 )4<4 x ( 1

4 )≤8( 14 )

−1<x ≤2

I=(−1 ;2 ]

I={x∈ R/−1<x ≤2 }

I={0,1,2 }

3<4 x+7 4 x+7≤15

3+(−7 )<4 x+7+ (−7 ) 4 x+7+ (−7 )≤15+(−7)

( 14 ) (−4 )<4 x( 1

4 )( 14 )(4 x )≤8( 1

4 )−1<x x ≤2

Desigualdades polinomiales y racionales

a x2+bx+c>0¿≤≥

Ejercicios:

1. x2−8<2 x

x2−8+(−2x )<2 x+ (−2x )

x2−2 x−8<0

( x−4 ) ( x+2 )<0

x1=4 x2=−2 −∞ -2 4

x−4 −¿ −¿ +x+2 −¿ + +

( x−4 )(x+2) + −¿ +

2. x2+2x ≥15

x2+2x−15≥15−15

x2+2x−15≥0

( x+5 ) ( x−3 )

x1=−5 x2=3−∞−53∞

(x+5) −¿ +¿ +¿(x−3) −¿ −¿ +¿

( x+5 )(x−3) +¿ −¿ +¿

I=(−∞ ;−5 ]U [ 3 ;∞ )

3. ( x+1 ) ( 2x2−5 x+2 )>0

x −22x −1

2 x2 2

– x−4 x5 x

( x+1 ) (x−2 ) (2 x−1 )>0

x1=−1 x2=2x3=12

−∞−112

2∞

(x+1) −¿ +¿ +¿(x−2) −¿ −¿ −¿(2 x−1) −¿ −¿ +¿

−¿ +¿ −¿

I=(−1;12 )U (2 ;∞ )

4. 5 xx−1

<4 MCD= (x−1 )

5 xx−1

+(−4 )<4+ (−4 )

5x−4 ( x−1 )x−1

x+4x−1

<0

x1=−4 x2=1

I=(−4 ;1 )

I={x∈ R−4

<x≤1}I={−3 ,−2,−1 }

5. x2>9

x2−9>−9+9 x2−9>0

( x−3 ) ( x+3 )>0

x1=3 x2=−3

VALOR ABSOLUTO

si{a≥0 si {−a<0

1. |2 x−3|=|7−3 x|

2 x−3=7−3 x

2 x−3=− (7−3 x )

2 x−3+(3 x+3 )=7−3 x+ (3x+3 )

( 15 )5 x=10( 1

5 )x1=2 x2=4

Propiedades de las desigualdades1. |x|<b−b<x<b

|x|>b x>bV x<−b

Ejemplos

1. |x|<3−3<x<3

S= {x∈R−3<x<3 }

S= {−2 ,−1,0,1,2 }

2. |x|>3 x>3V x<−3

I=(3 ;∞ )V (−∞;−3 )

I=(−∞ ;−3 )U (3 ;∞)

3. |2 x−7|<9

−9<2x−7<9

−9+7<2 x−7+(7 )<9+(7 )

−2<2 x<16

( 12 ) (−2 )<( 1

2 ) (2 x )<( 12 ) (16 )

−1<x<8

I=(−1 ;8 )

I={x∈ R/−1<x<8 }

4. |23x|−5≥3

23x−5≥3

23x−5≤−3

23x−5+5≥5+3

23x−5+5≤5−3

( 32 ) 2

3x≥8( 3

2 )(32 )( 2

3 ) x≤2( 32 )

x1≥12x2≤3

Ejercicios: Resuelva las siguientes desigualdades y muestre su resultado en intervalo, conjunto y en la recta.

1. 2 x+1>x−4

2 x+1+ (−x−1 )>x−4+(−x−1 )

x>−5

I=(−5 ;∞ )

I={x∈ Rx>−5 }

I={−4 ,−3 ,−2 ,−1,0,1……}

2.2x−5

3<x+1CD=3

2 x−5<3 ( x+1 )

2 x−5<3 x+3

2 x−5+(−3 x−3 )<3 x+3+(−3 x−3 )

x (−1 )−x−8<0 (−1 )

x+8>0

x+8+(−8 )>0+(−8 )

x>−8

I=(−8 ;∞ )

I={x∈ Rx

>−8}I={−7 ,−6 ,−5 ,−4 ,−3 ,−2,−1….. }

3.x−5

4≤ x

x−5≤4 x

x−5+(−4 x )≤4 x+ (−4 x )

−3 x−5≤0

−3 x−5+(5 )≤0+(5 )

(−13 )−3 x ≤5 (−1

3 )x≤−5

3

I=(−∞ ;−53 ]

I={x∈ Rx≤−5

3 }I={… .. ,−5

3,−1,0,2}

4.1<4 x−1

3<5

(3 [ 1<4 x−1<53 ])

3<4 x−1<153+1<4 x−1+1<15+1

( 14 )4<4 x<16

1<x<4

5.x2+6 x+8≥0

( x+2 ) (x+4 )

I=(−∞ ;−2 ]U ¿

MATRICES

Definición: Se llama matriz a todo conjunto rectangular de elementos aij, dispuestos de m líneas horizontales (filas) y m líneas verticales (columnas) de la forma.

Filas A:(a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

… … a1n⋯ ⋯ a2n⋯ ⋯ a3n)

Columnas

Las matrices se denotaran con letras mayúsculas y los elementos con letras minúsculas o valores numéricos.

Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero a las filas y el segundo a las columnas.Ejemplos:

a32 3 representa la fila 2 representa la columna

Ejercicios:m=filasn= columnasConstruir matrices de orden 2x3; 3x3; 3x1; 1x4; 2x2

A=(1 0 43 2 −5)B=( 4 0 4

−5 3 9−2 2 8)C=(2

46)

D= (1 3 5 7 )E=(2 57 9)

CLASES DE MATRICES Matriz columna: es una matriz que tiene una columna es decir, n=1 por lo tanto el orden :

mx1

C=(abc )3 x 1

Matriz fila: es una matriz que tiene una fila es decir n=1 y por lo tanto el orden: 1xn

D= (d e f g )1 x 4

Matriz cuadrada: es la que tiene el mismo número de filas que el de columnas, m=n

B=( 4 0 −2−2 0 41 3 9 )3x 3

Matriz transpuesta: se representa por At . Se obtiene la matriz transpuesta cambiando las

filas por las columnas.

A=(an ⋯ a1n⋮ ¿ ¿

⋯¿amn¿) At=(an ⋯ am 1⋮ ¿ ¿

⋯¿amn¿)

Ejercicios: Dada la matriz A=(1 2 34 5 6)2 x3encuentra At

At=(123

456)3 x2

Matriz simétrica: una matriz cuadrada A es simétrica si A=At

Ejemplo: Verifique si las siguientes matrices son simétricas

A=(2 11 −1)2 x2 At=(2 1

1 −1)∴ A=At y Aes simetrica

B=( 1 −1 3−1 2 43 4 7 )3 x3 Bt=( 1 −1 3

−1 2 43 4 7)

∴B=Bt y Bes simetrica

Matriz anti simétrica: una matriz cuadrada es anti simétrica si A=−At .

Ejemplos: Verifique si las siguientes matrices son anti simétricas.

A=(0 −33 0 )2x 2 A t=( 0 3

−3 0)−A t=(0 −33 0 )

∴ Aes antisimetrica

B=( 0 2 5−2 0 −4−5 4 0 )3 x 3Bt=(0 −2 −5

2 0 45 −4 0 )−Bt=( 0 2 5

−2 0 −4−5 4 0 )

∴Bes antisimestrica

Matriz nula: una matriz es nula cuando todos sus elementos son cero y se representa por 0.

0=(0 00 00 0)3 x2

Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

A=(7 00 2)2x 2B=(2 0 0

0 −1 00 0 −3)

Matriz escalar: es una matriz diagonal con todos los elementos de las diagonales iguales.

A=(4 04 0)2 x 2B=(2 0 0

0 2 00 0 2)3 x3

Matriz unidad o identidad: es una matriz en la cual todas sus diagonales principales deben tener el numero 1 y se lo representa con la letra I.

I=(1 00 1)2 x2 I=(1 0 0

0 1 00 0 1)3x 3

Matriz triangular: es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal y las matrices triangulares se clasifican en dos matrices: superior e inferior.Ejemplos:

A=( 1 0 03 3 0

−1 0 2)inferior B=(1 0 −20 3 10 0 2 )superior

OPERACIONES CON MATRICES1. Suma y diferencia de matrices: la suma y diferencia de matrices del mismo orden, en

otra matriz del mismo orden. Por lo tanto, para poder sumar y restar dos matrices estas deben ser de las mismas dimensiones, la suma de las matrices se denota: A+B, A-B

Ejercicios:

A=(1 23 −1)B=(1 −1

4 0 )hallar A+B y A−B

A+B=(2 17 −1)A−B=( 0 3

−7 −7)

Sean: A=(−1 2 42 7 6)B=(5 2 0

0 −3 −1)C=(5 −1 31 1 2)

Encontrar: a) A+B b) B-C c) A+B+C d) A-C e) A-B+C

A+B=(2 4 42 4 5 )B−C=(−2 3 −3

−1 −4 −3)

A+B+C=(7 3 73 5 4)A−C=(−6 3 1

1 6 4)

A−B+C=(1 −1 73 11 9)

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES1. Propiedad asociativa (A+B)+C= A+(B+C)2. Propiedad conmutativa (A+B) = B+A3. Propiedad matriz nula A+0=0+A=A4. Matriz opuesta A+(-A)=0

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZB=kxA→matriz

escalarEjercicios:

Sea: K=2 y A=(−2 9 −34 5 1 )halle KxA

KxA=2(−2 9 −34 5 1 )KxA=(−4 29 −6

8 10 2 )

PRODUCTO DE MATRICESDadas 2 matrices A y B su producto es otra matriz P, cuyos elementos de obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B.Para multiplicar 2 matrices, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B.

Dados: A=(r st u)B=(a1 a2 a3

b1 b2 b3)halle AxB

AxB=(r st u) x (a1 a2 a3

b1 b2 b3)

AxB=(ra1+sb1 ra2+sb2 ra3+sb 3ta1+ub1 ta 2+ub2 ta3+ub3)

Obtener: C=AxB A=(−32

2 1 45 3 −2)B=(1 −4 1

1 1 23 2 1)

C=(0+2+2+12 12−4+0+8 −3+2+2+40+5+6−6 −8−10+0−4 2+5+6−2 )

C=(16 16 55 −22 11)

A=( 12

−1)3x 1B=(2 −1 02 5 3)2 x3noes igual

Ejercicios:

A=(−1 4 22 0 33 −2 −1)B=( 1 0 4

1 0 −3−2 2 −5)C=(5 1 4

5 −2 33 −3 −4)

Obtener:

a)A−B+C=(3 5 26 −2 98 −7 0)

b¿2 A−3 B+4C=(21 12 3227 −8 912 −10 −33)

c ¿A t+Bt−C=(−1 2 34 0 −22 3 −1)+(1 1 −2

0 0 24 −3 5 )+(5 5 3

1 −2 −34 3 −4 )

Matriz adjunta( A¿ ) A¿=( | 0 3−2 −1||2 3

3 −1||2 03 −2|

−+−¿| 4 2−2 −1||−1 2

3 −1||−1 43 −2|

+−+¿|4 20 3||−1 2

2 3||−1 42 0| )

A¿=( 6 11 −40 −5 2012 7 −8)

ECUACIONES LINEALES CUADRATICAS

INECUACIONESSistema de ecuaciones lineales por matricesPor Gauss Jordan

1. { x−2 y=13x+4 x=−5

(1 −2 13 4 5) (1 −2 1

0 10 −8) (1 −2 1

0 1−46 ) (1 0

−35

0 1−45

)∴{x=−35

y=−45

−3 F1+F2>F21

10F2−1F2 2F2+F1→F1

Comprobación:

−35

−2( 45 )=1

1=1

2. { 2x−3 y=2−3 x+ y=−5

( 2 −3 2−3 1 −5) ( 1

−32

1

−3 1 −5) (1−32

1

0−72

−2) (1−32

1

0−72

−2) (1 0137

0 147

)12F1→F13 F

1+¿ F2→F 2−27F2→F 2

32F2+F 1→F 1¿

Solución:{x=137

y=47

Comprobación:

En1: 2( 137 )−3( 4

7 )=→267

−127

=2→2=2

En2:−3( 137 )+ 4

7=−5→−39

7+ 4

7=−5→−5=−5

3. { x−2 y+ z=1−x+3 y−2 z=23x−4 y+z=−4

( 1 −2 1−1 3 −23 −4 1

124)1 F1+F2→F1−3F1+F3→F3

(1 −2 10 1 −10 2 −2

13

−7)−2 F2+F3→F3

(1 −2 10 1 −10 0 0

13

−13)no tiene solucion

4. { x+ y+z=112x− y+ z=5

3x+2 y+z=24

¿ −3 F1+F3→F3

¿

¿

¿

¿

¿

¿

¿

x=4y=5z=2