cuadernillo+de+ejercicios+8º (1)

Texto de revisión

y práctica

Básico

María Teresa DiTTborn baeza

Profesora de Estado en Matemáticas, Educación Media, Pontifica Universidad Católica de Chile.

MagDalena golDenberg Cánepa

Profesora de Estado en Matemáticas, Educación Media, Pontifica Universidad Católica de Chile.

agnes gaTiCa Jofré

Profesora de Estado en Matemáticas, Universidad de Chile.

VeróniCa araneDa aranDa

Profesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile. Magíster en Educación. Universidad Internacional SEK.

Carolina Henríquez riVas

Profesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile. Magíster en Didáctica de la Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.

El Texto de revisión y práctica Matemática 8º básico, es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

CoorDinaCión De proyeCTo: Eugenia Águila Garay

CoorDinaCión área MaTeMáTiCa: Viviana López Fuster

eDiCión: Javiera Setz Mena Felipe Márquez Salinas María Andrea Canals Cifuentes Alejandro Sepúlveda Peñaloza Carmen Muñoz CorreaauToras: María Teresa Dittborn Baeza Magdalena Goldenberg Cánepa Agnes Gatica Jofré Verónica Araneda Aranda Carolina Henríquez RivasCorreCCión De esTilo: Lara Hübner GonzálezDoCuMenTaCión: Paulina Novoa Venturino Cristián Bustos Chavarría

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la coordinación de:

Xenia Venegas Zevallos

Jefa De Diseño área MaTeMáTiCa: Mariela Pineda GálvezDiagraMaCión: Mariela Pineda Gálvez María Elena Nieto FloresproDuCCión: Germán Urrutia Garín

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización es-crita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones

establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cual quier medio o procedimiento, com-

prendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o

préstamo público.

© 2012, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones

Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILE

Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A.

ISBN: xxx-xxx-xx-xxxx-x

Inscripción N°: xxx.xxx

Se terminó de imprimir esta 1a edición de xxx.xxx ejemplares, en el mes de _________ del año 2012.

www.santillana.cl

Índi

ce

Índice 3

Índice

Unidad 3: Geometría ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••78Ángulos opuestos por el vértice y entre paralelas cortadas por una transversal ••••••••••••••••••• 80Ángulos en polígonos •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 82Triángulos y sus elementos •••••••••••••••••••••••••••••••• 84Ángulos y segmentos ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 86Transformaciones, reflexiones y rotaciones ••••••••••••• 88Teselaciones ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 90Áreas de triángulos y paralelogramos ••••••••••••••••••• 92

Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 94Teorema de Pitágoras y su recíproco ••••••••••••••••••••• 96Área y volumen de prismas rectos •••••••••••••••••••••••• 98Área y volumen de pirámides ••••••••••••••••••••••••••• 100Longitud de la circunferencia y área del círculo ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 102Área y volumen de cilindros y de conos ••••••••••••••• 104Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 106Evaluación de síntesis de la unidad 3 ••••••••••••••••• 108

Unidad 2: Números y álgebra •••••••••••••••••••••••••••42Concepto de potencia •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 44Descomposición de números utilizando potencias de 10 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 46Multiplicación y división por potencias de 10 •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 48Potencias de 10 con exponente entero ••••••••••••••••• 50Multiplicación y división de potencias de igual base o de igual exponente •••••••••••••••••••••• 52Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 54Potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural •••••••••••••••••••••••••••••• 56Multiplicación y división de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural ••••••••••••••••• 58

Potencias de base entera y exponente natural ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 60Raíces cuadradas y teorema de Pitágoras ••••••••••••••• 62Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 64Generalización de propiedades y valor numérico de expresiones algebraicas ••••••••••••••••••• 66Reconocimiento y reducción de expresionescon términos semejantes •••••••••••••••••••••••••••••••••• 68Traducción de expresiones del lenguaje natural al simbólico •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 70Ecuaciones de primer grado ••••••••••••••••••••••••••••••• 72Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 74Evaluación de síntesis de la unidad 2 ••••••••••••••••••• 76

Unidad 1: Números ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 6Números naturales ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 8Descomposición en factores primos, múltiplos y divisores ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 10Operaciones con números naturales •••••••••••••••••••• 12Fracciones ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14Adición y sustracción de fracciones •••••••••••••••••••••• 16Multiplicación y división de fracciones •••••••••••••••••• 18Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20Números decimales ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 22Operaciones con números decimales ••••••••••••••••••• 24

Operaciones con fracciones y números decimales ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 26Razones y porcentajes como una fracción o un número decimal ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 28Cálculo de porcentajes y variaciones porcentuales ••••••••••••••••••••••••••••••••• 30Proporciones •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 32Números enteros ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 34Operaciones con números enteros ••••••••••••••••••••••• 36Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 38Evaluación de síntesis de la unidad 1 •••••••••••••••••••40

Unidad 4: Datos y azar •••••••••••••••••••••••••••••••••• 110Gráficos de líneas y barras múltiples ••••••••••••••••••• 112Gráficos circulares •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 114Análisis e interpretación de gráficos ••••••••••••••••••• 116Tablas de frecuencias •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 118Medidas de tendencia central ••••••••••••••••••••••••••• 120Poblaciones y muestras ••••••••••••••••••••••••••••••••••• 122Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 124

Espacios muestrales y sucesos •••••••••••••••••••••••••• 126Probabilidad teórica de un suceso ••••••••••••••••••••• 128Sucesos seguros, probables e imposibles •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 130Probabilidades a partir de datos empíricos •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 132Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 134Evaluación de síntesis de la unidad 4 ••••••••••••••••• 136

Unidad 5: Álgebra •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 138Relación entre dos variables ••••••••••••••••••••••••••••• 140Funciones, variables dependientes e independientes •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 142

Relación de proporcionalidad directa •••••••••••••••••• 144Relación de proporcionalidad inversa ••••••••••••••••• 146Preparando el SIMCE ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 148Evaluación de síntesis de la unidad 5 ••••••••••••••••• 150

Solucionario ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 152

Estructura del Texto4

Estructura del Texto

Páginas de inicioAl comienzo de cada unidad encontrarás dos páginas que incluyen un esquema que te ayudará a organizar los contenidos que revisarás y practicarás.

HabilidadesEn esta sección podrás conocer las habilidades que desarrollarás con los ejercicios y problemas propuestos.

Para recordarEn esta sección te presentamos un resumen de los principales contenidos de la unidad.

Páginas de desarrollo

Ejercicios resueltosCada página de desarrollo comienza por ejercicios resueltos paso a paso, que te servirán para recordar lo que sabes y podrás usarlos como modelo para desarrollar los ejercicios y problemas propuestos.

Ejercicios y problemas propuestosPodrás encontrar una variedad de ejercicios y problemas que te permitirán revisar lo que sabes y practicarlo.

Cada vez que encuentres este recuadro en un ejercicio o problema, te indicará que es un desafío.

Unidad 4 – Datos y azar 113

3. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de personas que respondieron la pregunta: “¿Ha consumido alcohol o tabaco el último mes?”, en los años 2000 a 2008.

2000 2002 2004 2006 2008

Alcohol 54,4 59,6 57,9 58,1 49,8

Tabaco 44 43,6 43,6 42,4 41,2

Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011. En www.conace.cl.

a. Realiza un gráfico de líneas que represente esta información.

b. Realiza un gráfico de barras múltiples que represente esta información.

c. En general, ¿más personas consumen tabaco o alcohol?

d. ¿Qué tendencia se observa en el consumo de tabaco a lo largo de los años?

e. ¿En qué años aumentó el porcentaje de personas que consumió alcohol el último mes?

Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no se puede obtener de la tabla anterior?

A. El consumo de alcohol presentó una mayor disminución que el consumo de tabaco.

B. Más personas consumen alcohol que tabaco.C. El consumo de alcohol aumentó el año 2002.D. El año 2004 disminuyeron los porcentajes de

personas que consumieron tabaco y alcohol.

5. En el gráfico se muestran las ventas realizadas en una casa comercial, durante los seis primeros meses del año 2011. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A. Las ventas mejoraron en febrero.B. Las ventas comenzaron a subir en marzo.C. Las ventas serán mejores en agosto.D. En febrero no hubo ventas.

6. El saldo migratorio es la diferencia entre las inmigraciones y las emigraciones en una región determinada. En el siguiente gráfico se muestran los valores del saldo migratorio de algunas regiones de Chile. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no se puede deducir del gráfico?

Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultado en junio de 2011. En www.ine.cl

A. En la Quinta región de Valparaíso se registraron más inmigraciones que emigraciones.

B. En la Undécima región de Aysén del General Carlos Ibáñez del Campo la cantidad de inmi-graciones fue similar a la de emigraciones.

C. En la Décima región de Los Lagos inmigraron más hombres que mujeres.

D. En la Tercera región de Atacama fueron más las mujeres que emigraron que las que inmigraron.

7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de 8º básico con notas bajo 4 en Matemática.

Nº de alumnos con notas bajo 4 8º A 8º B

1 3 1

2 0 1

3 0 1

4 1 2

5 2 0

a. Realiza un gráfico de barras múltiples que represente esta información usando una planilla de cálculo.

b. ¿En qué curso hay más alumnos con notas bajo 4?

c. Si en el 8º A hay 36 alumnos y en el 8º B hay 29, ¿en qué curso es mayor el porcentaje de alumnos con notas bajo 4?

d. ¿En qué curso hay más alumnos con más de dos notas bajo 4?

Uni

dad

4

800 000

Ventas del primer semestre

700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 000

0

Enero

Febrero

Marzo

AbrilMay

oJu

nioJu

lio

15 000

III V X XI

HombresMujeres

5 000

0

–5 000

–10 000

–15 000

10 000

VIII

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Estructura del Texto 5

Páginas de cierre

Preparando el SIMCEIncluimos algunas preguntas de tipo SIMCE, que te ayudarán a ejercitar más y prepararte mejor.

Evaluación de síntesis de la unidadEn cada unidad encontrarás estas páginas en las que podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en cada unidad, a través de diversos tipos de ejercicios y problemas.

SolucionarioAl final de tu texto encontrarás el solucionario que te permitirá revisar si tus respuestas son correctas.

Unidad 1 – Números6

1Unidad

Números

Habilidades• Leer y escribir números enteros, fracciones positivas y números decimales positivos.• Interpretar y comunicar información relativa a números enteros, fracciones positivas, números decimales

positivos, razones y porcentajes, en contextos diversos.• Formular, verificar conjeturas y resolver problemas que implican descomposición en factores primos y

cálculo de múltiplos, factores y divisores de números naturales.• Comparar y ordenar números enteros, fracciones positivas y números decimales positivos, y ubicarlos en la

recta numérica.• Formular y utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y con herramientas tecnológicas con números

enteros, fracciones positivas y números decimales positivos.• Resolver problemas que involucran la operatoria con números enteros, fracciones positivas y números

decimales positivos.• Utilizar las razones para comparar cantidades, calcular porcentajes y variaciones porcentuales en diversos

contextos y usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional.• Realizar transformaciones entre fracciones positivas, decimales positivos y porcentajes.• Analizar si un problema tiene solución en el conjunto de los números naturales.• Establecer estrategias para resolver divisiones de números enteros, determinar y verificar la relación

entre los elementos de una división y extender el algoritmo de la división de los números naturales a los números enteros.

Números

Resolución de problemas Descomposición en

factores primos

Múltiplos y divisores

Lectura y escritura

Operaciones

Porcentaje Variaciones porcentuales

mcm y mcd

Divisibilidad

Proporciones

Números naturales

Fracciones y números decimales

Relaciones de orden y representación en

la recta numérica

Números enteros

Razones

• Los números sirven para expresar distinto tipo de información y pueden usarse para identificar, ordenar o cuantificar.

• El conjunto de los números naturales tiene un número infinito de elementos. Se simboliza por N y se representa por: N = {1, 2, 3, 4, … }.

• El conjunto de los números enteros está compuesto por los números naturales, el cero y los números negativos. Se simboliza por Z y se representa por: Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3… }.

P ara recordar

Unidad 1 – Números 7

• En la recta numérica, un número natural, entero, fracción o decimal, es mayor que todos los números que están a su izquierda y es menor que cualquier número que esté a su derecha.

• Cuando se multiplica un número natural por cada uno de los números naturales, se obtienen los múltiplos del número.

• Los divisores de un número natural son aquellos que lo dividen en forma exacta. Aquellos núme-ros mayores que 1 que tienen solo 2 divisores y distintos entre sí, el 1 y el mismo número, se llaman números primos. Los que tienen más de dos divisores se llaman números compuestos.

• Todo número compuesto se puede escribir como multiplicación de dos o más números primos, esta se llama descomposición en factores primos.

• El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de los múltiplos comunes entre dos o más números.

• El máximo común divisor (mcd) es el mayor de los divisores comunes entre dos o más números.

• Para ordenar fracciones, se puede utilizar la

relación ab < c

d si y solo si ad < bc.

• Para sumar o restar fracciones se pueden amplificar o simplificar para obtener fracciones equivalentes que tengan igual denominador. Luego se suman o restan los numeradores, según corresponda, y se conserva el denominador.

• El producto de dos o más fracciones es una fracción cuyo denominador corresponde al producto entre sus denominadores, y el numerador es el producto entre sus numeradores.

• Para dividir una fracción por otra fracción, se multiplica la primera fracción por el recíproco de la segunda.

• Toda fracción se puede transformar en un número decimal, calculando la división entre su numerador y su denominador.

• Para ordenar números decimales se compara primero la parte entera de cada número decimal y después uno a uno los dígitos decimales correspondientes a cada posición, en la parte decimal, comenzando por la de mayor valor (décimos), hasta que una de ellas sea menor o mayor que la otra.

• Para sumar y restar números decimales, se ordenan de manera que la coma decimal quede en la misma posición. Luego, se suman o restan como si fueran números naturales, escribiendo

posteriormente la coma donde corresponda en el resultado.

• Para multiplicar números decimales, se deben multiplicar como si fueran números naturales y en el producto escribir la coma según la can-tidad de cifras decimales que tengan en total ambos factores.

• En la división de números decimales se puede multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia de 10, de modo que se obtenga una división equivalente a la original, la que tendrá el mismo cociente.

• Se llama razón a la comparación por cociente entre dos cantidades a y b cualesquiera. La razón entre a y b se puede expresar como a : b o bien

ab y se lee “a es a b”, donde a es el antecedente

y b, el consecuente.• El valor de la razón es el cociente entre las

cantidades. • El porcentaje es una comparación por cociente en

que se compara con 100, por lo que se representa con una fracción cuyo denominador es 100.

• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades a, b, c y

d se puede expresar a : b = c : d, o bien, ab = c

d y se lee “a es a b como c es a d”.

• En toda proporción se cumple que: ab = c

d si y solo si a · d = b · c.

• Para sumar números enteros de igual signo, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo. Si son de distinto signo, restamos sus valores absolutos y, al resultado, le asignamos el signo del número de mayor valor absoluto.

• Para restar dos números enteros, se suma al mi-nuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo: –4 – (–1) = –4 + (+1) = –3.

• Para multiplicar o dividir números enteros, se deben multiplicar o dividir sus valores absolutos y al resultado anteponer el signo + si los facto-res tienen el mismo signo, o el signo – si tienen distinto signo.

• Si la división entre dos números enteros es inexacta se procede según el algoritmo de la división: el dividendo es igual al divisor por el cociente más el resto o residuo. El resto es mayor que cero y menor que el valor absoluto del divisor.


Números naturales

1. Escribe con palabras los siguientes números.

a. 1 256 879b. 3 709 023c. 12 578 900d. 134 612 004e. 645 876 245f. 2 502 003 603g. 24 657 120 032h. 176 890 116 754

2. Escribe el número que corresponda en cada caso.

a. Siete millones trescientos cincuenta y cuatro mil doscientos nueve.

b. Nueve millones doscientos cuatro mil seis.c. Ochocientos ochenta millones ochocientos

treinta mil quinientos noventa y seis.d. Tres mil cuatrocientos noventa y cuatro

millones siete.e. Mil veintinueve millones setecientos sesenta

y dos mil novecientos treinta y cinco.f. Sesenta y tres mil doscientos ocho millones

cuatrocientos setenta y dos mil ochenta y siete.g. Quinientos setenta y cinco mil trescientos

doce millones ciento sesenta y ocho mil cuatrocientos cincuenta.

3. Identifica el valor que representa el dígito 1 en cada uno de los siguientes números.

a. 231 567 d. 83 457 914b. 1 006 435 e. 13 296 703c. 4 456 781 f. 215 369 802

4. ¿Cuál es el número cuya descomposición es: 3 UMi + 5 UM + 6 C + 4 D + 3 U? Marca la opción correcta.

A. 3 050 643 C. 3 005 643B. 3 500 643 D. 3 056 043

5. Escribe el número correspondiente a cada una de las siguientes descomposiciones.

a. 1 UMi + 6 CM + 4 DM + 6 C + 3 Ub. 3 UMi + 5 CM + 7 DM + 9 UM c. 8 UMi + 7 CM + 5 DM + 9 UM + 4 C + 2 Ud. 9 DMi + 7 UMi + 8 DM + 4 UM + 3 D + 1 Ue. 4 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 3 · 1 000 + 2 · 100f. 7 · 1 000 000 + 9 · 10 000 + 3 · 100 + 4 · 1

6. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 4 690 730? Marca la opción correcta.

A. 4 096 740 C. 4 609 780B. 4 690 703 D. 4 906 700

Ejercicios resueltos

1. El total recaudado en la Teletón del año 2008 fue $ 22 533 294 849. ¿Cómo se lee el número anterior?

El número se puede descomponer de la siguiente manera:

22 533 000 000 se lee veintidós mil quinientos treinta y tres millones.

294 000 se lee doscientos noventa y cuatro mil.

849 se lee ochocientos cuarenta y nueve.

Por lo tanto, el número 22 533 294 849 se lee veintidós mil quinientos treinta y tres millones doscientos noventa y cuatro mil ochocientos cuarenta y nueve.

2. Escribe el número que corresponde a la siguiente descomposición:

8 UMi + 2 CM + 9 DM + 1 UM + 9 D + 5 U

Si escribimos el valor de cada número, según su posición, obtenemos:

8 000 000 + 200 000 + 90 000 + 1 000 + 90 + 5 = 8 291 095

3. Los radios aproximados de algunos planetas del sistema solar son: Tierra, 6 371 000 m; Venus, 6 051 800 m; Mercurio, 2 439 700 m y Marte, 3 389 500 m. Ordena los planetas mencionados del más pequeño al más grande.

Si comparamos los números considerando el dígito de la unidad de millón, nos damos cuenta de que el número más pequeño corresponde al radio de Mercurio, seguido de Marte, Venus y la Tierra.

Ejercicios y problemas propuestos

Unidad 1 – Números

Uni

dad

1

9

7. Compara los números y completa usando los signos >, < o =, según corresponda:

a. 134 987 123 988b. 2 347 098 3 247 098c. 4 546 781 4 456 799d. 546 908 213 54 698 213e. 502 547 020 547 502 020f. 1 024 684 213 1 024 684 213g. 23 798 607 321 23 798 670 321h. 156 847 820 001 156 847 001 820

8. Construye en cada caso una recta numérica y ubica en ella los siguientes grupos de números.

a. 1 000 000 – 5 000 000 – 7 000 000b. 2 100 000 – 2 300 000 – 2 400 000c. 41 250 000 – 41 500 000 – 41 650 000d. 14 600 000 – 15 000 000 – 15 100 000

9. Utilizando los dígitos 0, 1, 3, 4, 6, 7 y 9, sin repetirlos, determina:

a. el número mayor que se puede formar.b. el número menor que se puede formar.c. el número menor de siete cifras que se

puede formar.d. ¿Coinciden los resultados que obtuviste en

las preguntas b y c?, ¿por qué?

10.Utilizando los diez dígitos y sin repetirlos determina el número mayor que se puede formar. Luego, responde.

a. ¿Cómo se escribe el número que formaste, usando cifras?

b. ¿Cómo se escribe con palabras el número que formaste?

c. ¿Qué valor representa el dígito 5 en este número?

d. ¿Qué dígito ocupa la posición de la unidad de millón?

11.Utilizando los diez dígitos y sin repetirlos, determina el menor número de diez cifras que se puede formar. Luego, responde.

a. ¿Cómo se escribe el número que formaste, usando cifras?

b. ¿Cómo se escribe con palabras el número que formaste?

c. ¿Qué valor representa el dígito 8?d. ¿Qué dígito ocupa la posición de la centena

de millón?e. ¿Qué dígito ocupa la posición de la UMMi?

12.En una campaña de solidaridad, el colegio Santa Teresa logró recaudar $ 3 567 231, mientras que el colegio Los Alerces reunió $ 3 675 123.

a. ¿En qué colegio se reunió más dinero?b. ¿Qué valor representa el dígito 6 en los

números anteriores?

13.La siguiente tabla muestra la superficie de algunos países latinoamericanos.

País Superficie (km2)

Perú 1 285 215

Argentina 2 780 400

Bolivia 1 098 581

a. Construye una recta numérica donde se representen los números de la tabla, redondeados a la centena de mil.

b. ¿Cuál de los tres países tiene la mayor superficie?, ¿cómo lo supiste?

14.La siguiente tabla muestra la distancia entre algunos planetas y el Sol.

Planeta Distancia del Sol (km)

Tierra 149 598 262

Mercurio 57 909 227

Marte 227 943 824

Júpiter 778 340 821

Venus 108 209 475

Fuente: NASA, en: http://solarsystem.nasa.gov/index.cfm.

Consultado en julio de 2011.

a. ¿Cuál es el planeta más lejano al Sol?, ¿y el más cercano?

b. Ordena los nombres de los planetas de acuerdo a su distancia del Sol, del más cercano al más lejano.

15.Un número capicúa es aquel que se lee igual de derecha a izquierda que de izquierda a derecha. Por ejemplo, el 23 632 es un número capicúa.

a. Escribe 5 números capicúas de 7 cifras.b. Joaquín piensa en un número capicúa de

7 cifras, menor que 2 000 000 y que cumple las siguientes características: el dígito de las cente-nas es el triple que el de las decenas, el dígito de las decenas es el doble que el de la unidad de millón y el dígito de la unidad de mil es el cuádruple que el de la centena de mil. ¿Cuál es el número pensado por Joaquín?



1. ¿Cuál de los siguientes números no es divisor de 84? Marca la opción correcta.

A. 14 C. 21B. 16 D. 28

2. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de 13? Marca la opción correcta.

A. 42 C. 75B. 91 D. 69

3. Escribe, de todas las formas posibles, el número 144 como el producto de dos factores.

4. Determina los siete primeros múltiplos de los siguientes números.

a. 3 d. 12b. 8 e. 14c. 9 f. 17

5. Determina todos los divisores de cada uno de los siguientes números.

a. 33 d. 65b. 27 e. 54c. 32 f. 72


1. Determina el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) entre los números 12, 18 y 30.

Una estrategia es descomponer los números en sus factores primos:

Luego, la descomposición en factores primos de los números 12, 18 y 30 es:

12 = 2 · 2 · 3 18 = 2 · 3 · 3 30 = 2 · 3 · 5

Para calcular el mcm entre los números 12, 18 y 30 consideramos todos los factores primos que estén en alguna de las descomposiciones, en este caso el 2, el 3 y el 5. Además, nos fijamos en cuál descomposición se repite la mayor cantidad de veces cada factor. En el ejercicio planteado, el 2 se repite dos veces, el 3 se repite dos veces y el 5 se repite una vez. Lo que significa que: mcm(12, 18, 30) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.

Para calcular el mcd entre los números 12, 18 y 30 consideramos los factores primos que estén en todas las descomposiciones, en este caso el 2 y el 3. Además, nos fijamos en cuál descomposición se repite la menor cantidad de veces cada factor. En este caso, el 2 se repite una vez y el 3 se repite una vez. Lo que signifca que: mcd(12, 18, 30) = 2 · 3 = 6.

2. Un comerciante debe viajar a una ciudad cada 6 días, otro lo hace cada 8 días y un tercer comerciante, cada 12 días. Si hoy los tres coincidieron en el terminal de buses, ¿dentro de cuántos días volverán a viajar los tres a la misma ciudad?

Este problema equivale a hallar el mínimo común múltiplo entre los números 6, 8 y 12. Representamos los múltiplos de dichas cantidades de la siguiente manera.

Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …

Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …

Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60,…

Observa que el múltiplo de menor valor que es común a 6, 8 y 12 es el 24, lo que significa que en 24 días más los tres comerciantes volverán a viajar a la misma ciudad.

Descomposición en factores primos, múltiplos y divisores

12 2

6 2

3 3

1

18 2

9 3

3 3

1

30 2

15 3

5 5

1


Uni

dad

1

6. Escribe, de todas las formas posibles, el número 64 como el producto de dos factores distintos.

7. Escribe, de todas las formas posibles, el número 210 como el producto de tres factores, distintos de 1.

8. En la siguiente tabla marca con una X si los números de la primera columna son divisibles por 2, 5 o 9, según corresponda.

2 5 9

49

75

864

180

315

3 780

26 876

157 902

9. ¿Cuál de los siguientes números es primo? Marca la opción correcta.

A. 15 C. 21B. 17 D. 26

10.Escribe todos los números primos entre 20 y 40.

11.Escribe el número 14 como la suma de tres números primos.

12.A excepción del 2, ¿por qué no existen otros núme-ros primos que sean pares? Justifica tu respuesta.

13.Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números.

a. 12 e. 428b. 85 f. 720c. 200 g. 981d. 584 h. 1 200

14.Determina el máximo común divisor entre los siguientes números.

a. 9 y 33 e. 15, 40 y 65b. 18 y 27 f. 24, 30 y 54c. 16, 32 y 72 g. 16, 18, 20 y 36d. 12, 24 y 42 h. 9, 12, 24 y 36

15.Determina el mínimo común múltiplo entre los siguientes números.

a. 4 y 6 d. 8, 18 y 36b. 8 y 12 e. 12, 15 y 18c. 12, 16 y 24 f. 8, 10, 15 y 20

16.Un número se dice “perfecto” si la suma de todos sus divisores es igual al doble de dicho número. Por ejemplo, el número 6 es perfecto, pues 1 + 2 + 3 + 6 = 12. ¿Cuál de los siguientes números es perfecto? Marca la opción correcta.

A. 24 C. 36B. 28 D. 48

17.Laura tiene 8 rosas, 12 tulipanes y 36 claveles. Si desea hacer arreglos florales idénticos:

a. ¿cuál es el máximo número de arreglos que Laura puede hacer, usando todas las flores?

b. ¿cuántas flores de cada tipo puede poner Laura en cada arreglo?

18.Resuelve los siguientes problemas.

a. Daniel piensa embaldosar el piso de su cocina que mide 250 cm por 350 cm. Para esto, decide comprar baldosas cuadradas. ¿Cuál es el área máxima de cada baldosa de modo que se pueda cubrir totalmente el piso de la cocina sin tener que cortar ninguna?

b. Los buses a Valparaíso salen de la estación cada 15 minutos; los buses a Zapallar, cada 40 minutos, y los buses a La Calera, cada 20 minutos. Si los tres buses salen a las 21:00 h, ¿volverán a salir durante ese día los tres buses a la misma hora? Justifica tu respuesta.

c. Maribel tiene dos tipos de perfumes: uno en un frasco de 32 mL y el otro, en uno de 24 mL, ambos llenos. Si decide combinar ambos perfumes, vertiendo la misma cantidad de cada uno en diferentes frascos, ¿en cuántos frascos, como máximo, podría combinar los perfumes?

19.El máximo común divisor de dos números diferentes es 43. ¿Qué números son, si ambos tienen dos cifras?

20.Determina dos números de tres cifras cuyo producto es igual a 555 555.

21.¿Cuántos números positivos menores que 100 tienen solo tres divisores?, ¿cuáles son esos números?, ¿qué tienen en común?



1. Calcula en forma mental los siguientes ejercicios.

a. 1 500 000 + 2 300 000 =b. 2 350 000 + 13 700 000 =c. 6 850 000 – 2 150 000 =d. 12 560 000 – 6 110 000 =e. 1 500 ∙ 100 =f. 2 400 000 · 60 =g. 12 000 000 : 500 =h. 7 200 000 : 20 =

2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.

a. 378 654 + 1 789 341 =b. 23 574 560 + 3 670 234 =c. 6 113 027 – 569 974 =d. 7 219 989 – 5 639 946 =e. 4 113 650 + 483 722 – 3 493 751 =f. 2 942 652 – 1 009 450 + 496 005 =

3. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones.

a. 233 008 ∙ 15 =b. 121 ∙ 2 100 =c. 7 120 472 ∙ 381 =d. 6 720 560 : 40 =e. 8 775 000 : 450 =f. 2 122 230 : 654 =g. 2 000 · 45 : 25 =h. 123 · 65 : 5 =i. 23 211 : 9 · 4 =

4. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. (672 + 15) ∙ 200 = b. 536 341 – 265 · 14 =c. 12 · 64 + 388 : 4 =d. 32 · (326 – 121) + 5 865 =e. 12 487 + 15 543 ∙ 300 – 900 : 300 =f. 10 001 ∙ 200 – 600 ∙ 303 + 92 894 =g. 2 500 : 500 + 704 ∙ 100 – 10 000 : 100 =

5. ¿Qué número es cuatro unidades de millón mayor que 450 050 400? Marca la opción correcta.

A. 450 050 408B. 450 054 400C. 454 050 400D. 850 050 400

6. Si en una adición uno de los sumandos es 64 876 210 y la suma es 184 710 227, ¿cuál es el valor del otro sumando? Marca la opción correcta.

A. 119 834 017 C. 249 586 347B. 119 834 117 D. 249 586 437

7. Si en una adición la suma es 6 987 456 y uno de los sumandos es 1 667 892, ¿cuál es el otro sumando?

8. Si en una sustracción la diferencia es 3 567 612 y el sustraendo, 8 091 254, ¿cuál es el minuendo?


1. Fernanda compró un departamento por $ 12 580 600. Si dio un pie de $ 3 850 000 y el resto lo pagará en 50 cuotas iguales, sin interés, ¿cuál será el valor de cada cuota?

Calculamos el total que Fernanda tendrá que pagar después de haber cancelado el pie:

12 580 600 – 3 850 000 = 8 730 600

Entonces, Fernanda deberá cancelar $ 8 730 600, en 50 cuotas iguales. Luego, el valor de cada cuota será:

8 730 600 : 50 = 174 612

Por lo tanto, cada cuota será de $ 174 612.

2. Según el último censo realizado en nuestro país, la Región de Valparaíso tenía 321 710 habitantes menos que la del Biobío. Si la población total de la Región del Biobío era de 1 861 562 habitantes, ¿cuántas personas vivían en la Región de Valparaíso?

Para calcular la cantidad de habitantes que vivía en la Región de Valparaíso calculamos:

1 861 562 – 321 710 = 1 539 852

Luego, en la Región de Valparaíso vivían 1 539 852 personas.

Operaciones con números naturales


Uni

dad

1

9. Si en una sustracción el minuendo es 7 329 897 y la diferencia, 3 189 675, ¿cuál es el sustraendo?

10.Resuelve las siguientes situaciones, utilizando una calculadora.

a. Si en una multiplicación el producto es 128 773 120 y uno de los factores es 1 024, ¿cuál es el otro factor?

b. Si en una división exacta el cociente es 1 907 y el divisor 2 806, ¿cuál es el dividendo?

c. Si en una división exacta el cociente es 2 011 y el dividendo, 1 693 262, ¿cuál es el divisor?

11.Si el cociente de la división a : b es c y su resto es d, ¿cuál de las siguientes igualdades es correcta? Marca la opción correcta.

A. a = bc + dB. a = cd + bC. b = ad + cD. b = ac + d

12.Si en una división el cociente es 290, el divisor es 38 y el resto es 24, ¿cuál es el dividendo?

13.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. En una división inexacta el resto siempre es distinto de cero.

B. El divisor es igual al producto entre el dividendo y el cociente, más el resto.

C. Si el dividendo es mayor que el divisor, el resto siempre es distinto de cero.

D. El dividendo es igual al producto entre el divisor con el cociente, menos el resto.

14.¿Cuál de las siguientes expresiones tiene el mismo resultado que: 365 214 · (214 874 + 2 654 875)?

A. 365 214 · 214 874 + 2 654 875B. 365 214 · 2 654 875 + 214 874C. 365 214 · 214 874 + 365 214 · 2 654 875D. 365 214 + 214 874 · 2 654 875

15.¿Qué propiedad se puede utilizar para responder la pregunta anterior sin hacer ningún cálculo?

A. Conmutativa de la adición.B. Asociativa de la multiplicación.C. Distributiva de la multiplicación respecto

de la adición.D. Elemento neutro de la multiplicación.

16.Si en una multiplicación uno de los factores es igual al producto, ¿cuál es el otro factor?

17.En la Teletón del año 2008 se reunió en total $ 22 533 294 849, de los cuales $ 17 314 939 820 fueron aportes públicos y el resto, de empresas. Usando tu calculadora, determina cuánto dinero en total donaron las empresas.

18.En una empresa, 52 800 manzanas son almacena-das en cajas de 44 unidades.

a. ¿Cuántas cajas se necesitan para almacenar todas las manzanas?

b. Si cada caja se vende a $ 1 200, ¿cuánto dinero se obtiene al vender todas las cajas?

19.Don Raúl tiene un vehículo que gasta, en promedio, 1 L de combustible cada 12 km recorridos. Si un día recorrió 60 km en su vehículo:

a. ¿cuántos litros de combustible utilizó?b. ¿cuánto dinero aproximadamente gastó

en bencina, sabiendo que el valor del litro es $ 702?


a. Felipe dice que el resultado de la expresión 4 500 + 500 ∙ 500 es 2 500 000. Laura dice que es 254 500. ¿Quién dice lo correcto? Explica.

b. María es capaz de leer 420 palabras por minuto. Si un día leyó durante media hora en la mañana y tres cuartos de hora en la tarde, ¿cuántas palabras pudo leer, en total, ese día?

c. En un almacén, 1 kg de pan cuesta $ 790 y 1 L de leche, $ 510. Si Ana compró 5 kg de pan y 3 L de leche, ¿cuánto dinero gastó, aproximadamente?

d. Si una máquina imprime 6 páginas por minuto, ¿cuántas horas se demoraría en imprimir 720 páginas?

e. Sara compró varias bebidas a $ 350 cada una. Si pagó con un billete de $ 5 000 y recibió $ 1 150 de vuelto, ¿cuántas bebidas compró?

f. Para atraer más clientes, una automotora hace un descuento de $ 1 250 000 por cada camioneta que se cancele al contado. ¿Cuál es el precio que cancelaría Jorge si quisiera comprar una camioneta de $ 8 230 650 al contado?

g. Para comprar un auto, Martín debe pagar un pie de $ 3 555 800 y el resto, cancelarlo en 36 cuotas de $ 149 000. ¿Cuánto tiene que pagar en total por el auto?


1. Escribe con palabras las siguientes fracciones.

a. 13

e. 12100

b. 57

f. 1 69

c. 810

g. 5 3542

d. 1312

h. 3 1819

2. ¿Cómo se escribe la fracción “doce séptimos”? Marca la opción correcta.

A. 1 27

C. 127

B. 12 17

D. 1217

3. Representa las siguientes fracciones en su forma numérica.

a. Tres octavos.b. Siete sextos.c. Doce séptimos.d. Quince décimos.e. Veintinueve diecinueveavos.f. Tres enteros un cuarto.g. Siete enteros quince dieciochoavos.h. Dos enteros trece milésimos.

4. Observa la figura y responde.

a. ¿Qué fracción del total de globos son azules? Represéntalo con cifras.

b. ¿Qué fracción del total de globos son verdes? Escríbelo con palabras.

5. Representa los siguientes números mixtos como fracciones impropias.

a. 4 37

c. 13 14

b. 2 79

d. 7 1819

6. En cada caso, determina 3 fracciones equivalentes a cada fracción dada.

a. 59

c. 1832

b. 1421

d. 3 315



1. ¿Qué fracción del total de letras del abecedario son vocales?, ¿qué fracción son consonantes?

Consideramos las 27 letras del abecedario: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z. Del total de letras, solo 5 son vocales (A, E, I, O, U).

Por lo tanto, un 527

del abecedario son vocales.

Si hay 5 vocales, entonces hay 22 consonantes. Esto significa que un 2227

del abecedario son consonantes.

2. Anita estudió para su prueba 1 12

h el día lunes, 1 34

h el martes y 1 58

h el miércoles. ¿Qué día estudió la mayor cantidad de horas?

Para solucionar el problema necesitamos comparar las fracciones dadas. Una estrategia consiste en convertir cada número mixto a fracción impropia, a continuación, buscar fracciones equivalentes a las dadas de modo que todas queden con el mismo denominador y, finalmente, comparar los numeradores.

Al transformar los números mixtos 1 12

, 1 34

y 1 58

a fracción impropia se obtienen, respectivamente: 32

, 74

y

138

. Luego, podemos amplificar la primera fracción por 4 y la segunda, por 2. Así nos queda: 128

, 148

y 138

.

En consecuencia, el día que Anita estudió la mayor cantidad de horas fue el martes.

Fracciones


Uni

dad

1

7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreductible? Marca la opción correcta.

A. 7354

C. 37111

B. 11523

D. 18717

8. En cada caso, simplifica hasta obtener una fracción irreductible.

a. 412

d. 5649

b. 1824

e. 11527

c. 7254

f. 2 315

9. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor

que 56

? Marca la opción correcta.

A. 12

C. 78

B. 34

D. 1012

10.Compara las siguientes fracciones, utilizando los signos >, < o =, según corresponda.

a. 16

56

g. 2 12

83

b. 47

37

h. 76

1 16

c. 43

49

i. 812

1 48

d. 18

17

j. 1 15

2 13

e. 34

43

k. 3 57

3 911

f. 114

156

l. 7 38

7 616

Marca la opción correcta en los ítems 11 y 12.

11.¿Qué fracción está representada por el punto P?

2 3

P

A. 34

C. 2 38

B. 78

D. 114

12.¿Cuál de las siguientes fracciones se encuentra ubicada entre 2 y 3, en la recta numérica?

A. 2517

C. 3511

B. 158

D. 135

13.En cada caso, representa en una recta numérica las fracciones dadas.

a. 38

, 58

y 78

b. 35

, 1 15

, 1 35

y 15

c. 23

, 56

, 53

y 16

d. 1 14

, 78

, 34

y 1 18

e. 13

, 34

, 56

y 712


a. Mónica y Eduardo fueron al almacén a

comprar una bebida. Mónica compró una

botella de 2 12

L y Eduardo, una de 2 14

L.

¿Quién compró más bebida?, ¿por qué?

b. Florencia ha completado los 27

de su experi-

mento del laboratorio. Por otra parte, Sofía ha

completado 15

del mismo experimento.

¿A cuál de las dos le falta más para terminar

el experimento?

c. Mariana y Emilio caminan por la misma calle

para ir a la escuela. Si comenzaron en el mismo

punto y a Emilio le falta 14

del camino y a

Mariana, 15

, ¿a quién le falta menos para

llegar a la escuela?

d. La familia Rosales consume, en una semana,

1 12

kg de manzanas, 53

kg de plátanos,

1 15

kg de peras y 52

kg de naranjas.

¿Cuál es la fruta que más consumen?,

¿cómo lo supiste?

15.¿Qué fracción de los números enteros positivos menores que 30 son primos?

16.¿Qué fracción de los números enteros positivos menores que 2 011 son divisibles por 2?

17.La fracción de los números enteros positivos

menores que 2 012 que son divisibles por 5,

¿es mayor o menor que 15

? Justifica.


1. Calcula mentalmente las siguientes adiciones y sustracciones y escribe el resultado.

a. 15

+ 35

=

b. 37

– 27

=

c. 713

+ 913

+ 113

=

d. 57

– 27

+ 47

=

e. 35

+ 810

=

f. 129

– 13

=

g. 1 – 34

=

h. 233

– 2 =

2. Resuelve las siguientes adiciones.

a. 47

+ 35

=

b. 76

+ 32

=

c. 13

+ 14

+ 5 =

d. 73

+ 89

+ 512

=

e. 2 67

+ 512

=

f. 3 28

+ 4 12

+ 123

+ 2 =

3. Resuelve las siguientes sustracciones.

a. 2 – 59

=

b. 94

– 13

=

c. 185

– 23

– 210

=

d. 12

– 13

– 16

=

e. 3 712

– 1 56

=

f. 1 14

– 16

– 518

=

4. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.

a. ( 52

– 53 ) + 1

3 =

b. 37

+ 3 – 54

=

c. 116

+ 716

+ 1 12

=

d. 1 – ( 35

– 14 ) =

e. 1 14

– ( 58

+ 14 ) =

f. ( 23

– 12 ) + ( 1

4 + 1

6 ) =g. 3 1

5 + 2 4

10 – 4 – 1

3 =

h. 3 67

+ 5 12

– 2 38

+ 1 =



1. Resuelve: 74

+ 96

– 15

.

Calculamos el mcm entre los denominadores y obtenemos: mcm(4, 6, 5) = 60.

Amplificamos cada fracción de modo que, en cada caso, se obtenga una fracción equivalente. Luego, nos queda:7 · 154 · 15

+ 9 · 106 · 10

– 1 · 125 · 12

= 10560

+ 9060

– 1260

= 18360

= 6120

2. Un periódico dedica 25

de su contenido a información, 38

a artículos de opinión y el resto a publicidad.

¿Qué fracción corresponde a publicidad?

Calculamos la fracción del diario dedicada a información y artículos de opinión:

25

+ 38

= 2 · 85 · 8

+ 3 · 58 · 5

= 1640

+ 1540

= 3140

Luego, la fracción del diario dedicada a publicidad corresponde a la diferencia entre la unidad y 3140

, es decir:

1 – 3140

= 4040

– 3140

= 940

Por lo tanto, un 940

del periódico está dedicado a publicidad.

Adición y sustracción de fracciones


Uni

dad

1


5. Si en una adición uno de los sumandos es 95

y la

suma es 136

, ¿cuál es el valor del otro sumando?

A. 930

C. 10930

B. 1130

D. 11930

6. Si en una sustracción el sustraendo es 12

y la

diferencia es 116

, ¿cuál es el valor del minuendo?

A. 0 C. 716

B. 218

D. 916

7. Diego tomó 14

L de leche en la mañana, 37

L en

la tarde, y por la noche tomó 12

L. ¿Cuánta leche

tomó en total durante ese día?

A. Menos que 12

L.

B. Entre 12

L y 1 L.

C. Entre 1 L y 1 12

L.

D. Más que 1 12

L.

8. Del total de flores que hay en un jardín, 16

son

rosas, 23

son claveles y el resto, lilas. ¿Cuál de las

siguientes afirmaciones es verdadera?

A. La tercera parte de las flores son lilas.B. Hay más rosas que claveles.C. Hay más lilas que claveles.D. Hay igual cantidad de lilas que de rosas.

9. Si con tres vasos de 15

L y dos de 14

L se llena una

botella hasta la mitad, ¿cuál es la capacidad de

la botella?

A. 59

L C. 115

L

B. 109

L D. 1110

L

10.Al sumar dos fracciones propias, el resultado:

A. es una fracción propia.B. es una fracción impropia.C. es un número natural.D. no se puede inferir.

11.Verónica distribuye su horario de trabajo de la

siguiente manera: el lunes trabaja 6 14

h, el martes

trabaja 5 12

h, el miércoles, 4 34

h, el jueves, 3 13

h

y el viernes trabaja 4 h.

a. ¿Cuál es el día en que Verónica trabaja más horas?

b. ¿Cuántas horas trabaja Verónica a la semana?c. ¿Cuántas horas más trabaja el miércoles que

el jueves?


a. Un CD tiene grabada una canción que dura

2 12

minutos, otra que dura 3 34

minutos, otra

de 4 16

minutos, y otra de 4 23

minutos. ¿Cuántos

minutos de música hay grabados en total en

el CD?

b. Sofía se demora 1 13

h en estudiar Matemática

y 34

h en hacer su tarea de Lenguaje.

Si comenzó a las 16:00 h, ¿habrá terminado

de hacer sus deberes a las 18:00 h?, ¿por qué?

c. Ana María llega a su casa y lee durante 34

h,

utiliza 23

h en realizar su tarea de Matemática y

dedica 12

h a escribir. ¿Cuánto tiempo empleó

en total?

d. Soledad recorre caminando 4 79

km el día

lunes y 2 38

km el martes. ¿Cuántos kilómetros

más recorrió el lunes que el martes?

e. En el interior de una bolsa hay 3 12

kg de peras,

2 14

kg de naranjas y 1 34

kg de duraznos. Si la

masa de la bolsa es de 112

kg, ¿cuál es la masa

total de la bolsa y las frutas?

f. En un programa de radio se ocupa 23

del

tiempo para transmitir música, 14

en la lectura

de noticias, 118

en llamados del público y el

resto en comerciales. ¿Qué fracción del tiempo

se usa en comerciales?



1. Responde las siguientes preguntas, realizando los cálculos en forma mental.

a. ¿Cuánto es 25

de 30?

b. ¿Cuánto es 112

de 36?

c. ¿Cuánto es 56

de 42?

d. ¿Cuánto es la tercera parte de 13

?

e. ¿Cuánto es la mitad de 35

?

f. ¿Cuánto es el cuádruple de 73

?

g. ¿Cuánto es el doble de 194

?

2. ¿Cuánto es el triple de 527


A. 159

C. 59

B. 1581

D. 527

3. ¿Cuánto es la cuarta parte de 87

?

4. Resuelve cada multiplicación y escribe el resultado como una fracción irreductible.

a. 4 · 67

= h. 54

· 47

· 815

· 72

=

b. 25

· 52

= i. 2 12

· 110

· 3 =

c. 116

· 104

= j. 712

· 1 15

· 1528

· 6 =

d. 18

· 47

= k. 148

· 8 · 1 15

=

e. 25

· 106

· 38

= l. 3 17

· 2 38

· 1419

=

f. 3 13

· 45

· 1516

= m. 1 112

· 1 113

· 7891

=

g. 2 · 13

· 3 · 12

= n. 1447

· 1 812

· 1024

=

Multiplicación y división de fracciones


1. La distancia aproximada entre Santiago y Puerto Montt es 1 025 km. Si Pedro ha recorrido las 35

partes de ese trayecto, ¿cuántos kilómetros le faltan para llegar?

Una estrategia para determinar la cantidad de kilómetros que faltan es calcular cuántos kilómetros ha avanzado y luego restar ese valor al total. Observa.

Pedro ha recorrido 35

de 1 025, es decir: 35

· 1 025 = 3 · 1 0255

= 3 0755

= 615.

Lleva recorridos 615 km, por lo tanto le faltan 1 025 – 615 = 410.

A Pedro le faltan 410 km para llegar.

Otra estrategia para resolver el mismo problema consiste en determinar la fracción del camino que a Pedro le falta por recorrer y luego calcular ese valor en kilómetros. Observa.

Pedro ha recorrido 35

del camino, lo que significa que aún le quedan 25

del camino por recorrer, o sea:

25

· 1 025 = 2 · 1 0255

= 2 0505

= 410

Luego, a Pedro le faltan 410 km para llegar.

2. ¿Cuántos vasos de 15

L de capacidad se pueden llenar completamente con 2 12

L de agua?

El número de vasos se puede calcular fácilmente dividiendo la cantidad de litros de agua por la capacidad de los vasos. De este modo tenemos:

2 12

: 15

Transformamos el número mixto a fracción impropia.

52

: 15

Multiplicamos por el recíproco del segundo factor.

52

· 51

= 252

= 12 12

En consecuencia, se pueden llenar completamente 12 vasos y otro vaso quedaría con agua hasta la mitad.


Uni

dad

1

5. Si para el cumpleaños de José compraron 5 bebidas

de 1 12

L, ¿cuántos litros de bebida se compraron

en total? Marca la opción correcta.

A. 152

L C. 5 L

B. 112

L D. 6 L

6. Resuelve las siguientes divisiones y escribe el resultado como una fracción irreductible.

a. 2 : 12

=

b. 35

: 3 =

c. 411

: 38

=

d. 57

: 2521

=

e. 1 712

: 9 12

=

f. 3 27

: 4621

=

7. ¿A qué fracción corresponde la mitad de 65


A. 25

C. 310

B. 125

D. 610

8. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.

a. ( 34

– 13 ) : (1 + 1

2 ) =b. (2 + 1

5 ) · (1 + 23 )

c. ( 12

– 14 ) · (1 1

2 – 1

5 ) =

d. 4 + 27

: 67

=

e. 911

· (2 37

– 1 59 ) =

f. 136

· 2239

+ 513

=

9. Claudio se comió 13

de una pizza y le dará a

su hermana la mitad de lo que le sobró. ¿Qué

fracción de la pizza se comerá la hermana

de Claudio? Marca la opción correcta.

A. 13

C. 16

B. 12

D. 56

10.¿Cuántos minutos corresponden a 14

h más 35

h? Marca la opción correcta.

A. 41 minutos.B. 51 minutos.C. 56 minutos.D. 33 minutos.

11.Martín debe leer un libro de 360 páginas. Si ya ha

leído 49

del libro:

a. ¿cuántas páginas ha leído?b. ¿cuántas páginas le faltan por leer?

12.Pamela se comió el día lunes 14

del total de galletas

que tenía y el martes se comió 12

de lo que le

quedaba en la caja.

a. ¿Qué fracción de las galletas que tenía inicialmente se comió Pamela el martes?

b. ¿Qué fracción de las galletas que tenía inicialmente se comió en ambos días?

c. Si Pamela tenía inicialmente 32 galletas, ¿cuántas le quedan después del martes?

13.La capacidad total del estanque de combustible del automóvil de Alejandro es de 35 L. Si solo tiene 2

5

del estanque lleno y decide cargar combustible:

a. ¿cuántos litros de bencina debe cargar para llenar el estanque?

b. Si el litro de bencina está a $ 724, ¿cuánto deberá pagar Alejandro?


a. Luis reparte 20 kg de harina en bolsas de 25

kg cada una. ¿Cuántas bolsas logra llenar?

b. Si 23

kg de pan valen $ 510, ¿cuánto cuestan 3 kg?

c. Miguel tiene una tabla de madera de 5 12

m

de largo y necesita cortar trozos de 1 34

m.

¿Cuántos trozos de esa medida puede cortar como máximo?

d. Antonia gana $ 64 500 semanales, deposita

en el banco 14

del total, la tercera parte de su

sueldo lo ocupa para pagar cuentas y el resto

lo deja para gastar. ¿Cuánto dinero le queda

disponible para gastar?


Preparando el SIMCE


1. ¿Qué número representa nueve millones trescientos seis mil ochocientos nueve?

A. 9 360 809B. 9 306 809C. 9 306 890D. 9 036 809

2. El número 6 040 602 escrito en palabras es:

A. seis millones cuatrocientos mil seiscientos dos.B. seis millones cuarenta mil seiscientos veinte.C. seis millones cuarenta mil seiscientos dos.D. seiscientos millones cuarenta mil seiscientos dos.

3. 7 CM + 5 DM + 2 C + 4 D + 7 U equivale a:

A. 750 247B. 75 247C. 7 500 247D. 752 470

4. 108 354 279 aumentado en 5 UMi es igual a:

A. 108 354 284B. 108 359 279C. 113 354 279D. 158 354 279

5. ¿Cuáles son todos los divisores de 8?

A. 1, 8B. 2, 4C. 1, 2, 4, 8D. 2, 4, 8

6. ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 40?

A. 0 C. 2B. 1 D. 3

7. ¿Qué número es divisible por 3, por 6 y por 9 a la vez?

A. 27 C. 54B. 39 D. 45

8. La descomposición prima del número 108 es:

A. 2 · 3 · 3 · 3 C. 4 · 3 · 3 · 3B. 2 · 2 · 3 · 3 · 3 D. 3 · 4 · 9

9. Si un dólar se puede cambiar por $ 550, ¿cuántos dólares se pueden comprar con $ 100 000?

A. Menos de 100 dólares.B. Entre 100 y 200 dólares.C. Entre 200 y 300 dólares.D. Más de 300 dólares.

10.Andrés quiere comprarse la camiseta de fútbol de su equipo preferido. Si la camiseta cuesta $ 16 080 y él ahorra $ 2 770 por semana, ¿en cuántas semanas podrá comprarse la camiseta?

A. En 5 semanas.B. En 6 semanas.C. En 7 semanas.D. En 9 semanas.

11.En un colegio deciden construir un gimnasio cuyo costo es $ 15 396 200. La dirección del colegio solo cuenta con $ 7 450 324. Si para financiar el resto deciden hacer un bingo, ¿cuánto dinero necesitan recaudar?

A. $ 7 945 876B. $ 7 945 924C. $ 8 946 876D. $ 8 946 924

12.En una campaña de solidaridad el 8º A logra recaudar $ 1 125 012, el 8º B reúne $ 1 649 003 y el 8º C, $ 987 524. ¿Cuánto dinero recaudaron los tres cursos?

A. $ 2 112 536B. $ 2 774 015C. $ 3 761 539D. $ 4 761 539

13.Dos canales de televisión comienzan a transmitir el noticiero a las 21:00 h. Ambos canales transmiten comerciales. Un canal lo hace cada 12 minutos y el otro, cada 18 minutos. ¿A qué hora ambos canales pasan a comerciales al mismo tiempo?

A. A las 21:36 hB. A las 21:12 hC. A las 21:18 hD. A las 21:24 h

14.¿Cómo se representa la fracción dieciocho novenos?

A. 189

C. 1 89

B. 918

D. 18 19

15.¿Cuál de las siguientes fracciones es la menor?

A. 37

C. 923

B. 617

D. 817


Uni

dad

1

16.Si p = 59

, q = 23

y r = 45

, ¿cuál o cuáles de las

afirmaciones son verdaderas?

I. r > pII. r · p < q

III. pq

> r

A. I y II C. II y IIIB. I y III D. I, II y III

17. Si el precio de 34

kg de almendras es $ 930,

el precio de un kilogramo es:

A. $ 310 C. $ 1 240B. $ 698 D. $ 1 400

18.Sandra tiene $ 18 000. Si gasta $ 3 000, ¿qué parte de su dinero gastó?

A. 16

C. 56

B. 19

D. 89

19.El estanque de bencina de un automóvil tiene

capacidad para 50 L y está completamente lleno.

Si en un viaje se gastó 15

del estanque, ¿cuántos

litros de combustible le quedan?

A. 10 L C. 30 LB. 20 L D. 40 L

20.Una torta es repartida de la siguiente manera: 14

para María y 12

para Sofía. ¿Qué parte de la

torta no ha sido repartida?

A. 14

C. 34

B. 12

D. 89

21.Ana compró 3 12

L de aceite y 2 12

kg de pan.

El litro de aceite cuesta $ 650 y el kilogramo de

pan, $ 580. Si pagó su compra con un billete de

$ 5 000, ¿cuánto dinero recibió de vuelto?

A. $ 1 230 C. $ 3 770B. $ 1 275 D. $ 3 725

22.Marcela gastó 34

de su dinero en comprar pan.

Si le quedan $ 650, ¿cuánto dinero tenía?

A. $ 2 600 C. $ 1 300B. $ 1 950 D. $ 867

23.En un curso, 57

de los estudiantes obtuvo nota

sobre 5,0 en la prueba de Matemática y 114

obtuvo

nota sobre 6,5. ¿Qué fracción del curso obtuvo

una nota mayor que 5,0 y menor o igual a 6,5?

A. 47

C. 914

B. 621

D. 1114

24.¿Entre qué números se encuentra el producto de dos fracciones propias?

A. Entre 0 y 1.B. Entre 1 y 10.C. Entre 10 y 100.D. Depende de las fracciones.

25.Carlos realizó 59

de un trabajo y Andrés, 315

de

lo que hizo Carlos. ¿Qué parte del trabajo

realizó Andrés?

A. 1524

C. 15

B. 3445

D. 19

26.¿Cuál es el perímetro y el área de un cuadrado de

lado igual a 87

cm?

A. 327

cm y 647

cm2

B. 327

cm y 6449

cm2

C. 167

cm y 647

cm2

D. 167

cm y 6449

cm2

27.Eduardo se compró un automóvil que cuesta $ 5 270 000. Para pagarlo, debe cancelar un pie de $ 2 100 000 y 48 cuotas de $ 72 000.

a. ¿Cuánto debe pagar Eduardo por el automóvil, en total?

b. ¿Cuánto es el interés que debe pagar?

28.Mario distribuyó su sueldo de la siguiente manera:

usó 14

para pagar las cuentas, 25

para locomo-

ción y alimentación, guardó 210

en el banco y el

resto lo dejó para gastar. Si le quedaron $ 32 100

para gastar, ¿cuál fue el sueldo de Mario?



1. Escribe con palabras cada uno de los siguientes números decimales.

a. 0,2 e. 1,035b. 0,06 f. 13,7c. 0,24 g. 168,9d. 1,6 h. 15,354

2. Representa los siguientes números decimales en su forma numérica.

a. Seis décimos.b. Ocho centésimos.c. Dos enteros cinco milésimos.d. Trece enteros siete centésimos.e. Diecinueve milésimos.f. Tres enteros catorce centésimos.g. Cinco enteros trescientos veinticuatro milésimos.


3. ¿Cómo se escribe el número decimal tres décimos?

A. 3,10 C. 0,3B. 10,3 D. 0,03

4. ¿Cuál de los siguientes números decimales es menor que 1,09?

A. 1,9 C. 9,01B. 9,1 D. 0,19

5. ¿Cuál de los siguientes números decimales se ubica entre 3,4 y 3,63?

A. 3,12 C. 3,49B. 3,36 D. 3,76


1. En la siguiente tabla se muestra la estatura de 5 estudiantes de un curso.

Nombre Josefa Agustín Tomás Ana Carmen

Estatura (en metros) 1,61 1,73 1,67 1,7 1,68

Si la profesora forma en una fila a los niños de menor a mayor estatura, ¿en qué orden deben ir?

Para ordenar números decimales lo hacemos comparando la parte entera de los números entre sí y luego las cifras decimales según su posición de izquierda a derecha.

En este caso, la parte entera de todos los números decimales es 1, por lo que debemos comparar los dígitos de las posiciones decimales.

Si comparamos el dígito de las décimas, notamos que Agustín y Ana tienen estaturas mayores que Josefa, Agustín y Carmen.

Al comparar el dígito de las centésimas advertimos que Agustín es más alto que Ana, Carmen es más alta que Tomás y este último es más alto que Josefa.

Luego, el orden de los niños de menor a mayor estatura es: Josefa, Tomás, Carmen, Ana y Agustín.

2. Graneros se encuentra a 12,53 km de Rancagua, Machalí a 8 770 m y Olivar Alto, a 12,08 km. ¿Cuál de las comunas anteriores está más cerca de Rancagua?, ¿cuál está más lejos?

Debemos considerar que la distancia entre Rancagua y Machalí está expresada en metros, mientras que en los otros casos, en kilómetros. Luego, la distancia entre Rancagua y Machalí es igual a 8,77 km.

Si comparamos la parte entera de los números decimales nos damos cuenta de que la de menor valor es la correspondiente a 8,77, es decir, la comuna más cercana a Rancagua es Machalí.

Por otra parte, los números decimales correspondientes a las distancias entre Rancagua y Graneros y entre Ranca-gua y Olivar Alto, tienen igual parte entera, en este caso el 12, por lo que debemos comparar los dígitos de su parte decimal, partiendo por el de las décimas. En este caso observamos que el dígito de las décimas es mayor en el número 12,53. Por consiguiente, la comuna de Graneros es la que se encuentra más lejos de Rancagua.

Números decimales


Uni

dad

1

6. ¿Cuál de los siguientes números decimales es el mayor?

A. 1,025 C. 1,205B. 1,25 D. 1,052

7. Compara los siguientes números decimales, y escribe el signo >, < o =, según corresponda.

a. 0,2 0,6

b. 0,05 0,8

c. 0,0003 0,003

d. 1,23 0,24

e. 3,56 3,560

f. 5,12 5,21

g. 29,735 297,35

h. 90,901 90,9

i. 2 031,265 2 031,625

8. ¿Qué número decimal está representado por el punto L? Marca la opción correcta.

12 L 14

A. 12,7 C. 13,4B. 13,2 D. 13,7

9. En cada caso, representa en una recta numérica los grupos de números dados.

a. 0,1 – 0,3 – 0,4 – 0,7b. 3,2 – 3,6 – 2,7 – 2,3c. 1,02 – 1,06 – 1,1 – 1,03d. 5,5 – 10 – 8,5 – 6

10.Ordena los siguientes grupos de números decimales de menor a mayor.

a. 0,25 – 2,205 – 1,52b. 1,578 – 5,187 – 8,175c. 0,1 – 0,001 – 0,01d. 1,994 – 1,94 – 1,949 – 1,499e. 0,251 – 0,2512 – 0,2509 – 0,25115f. 0,196 – 0,169 – 0,691 – 0,916 – 0,961

11.Determina el número que se obtiene al aproximar el número decimal 2,34579:

a. por truncamiento a la centésima.b. redondeando a la centésima.c. redondeando a la décima.d. por truncamiento a la milésima.e. redondeando a la diezmilésima.

12.Redondea cada número decimal según el nivel de aproximación dado.

a. 0,358 a la décima.b. 12,5874 a la milésima.c. 132,00685 a la centésima.d. 3 257,951 a la décima.e. 23 748,0991 a la milésima.

13.Pablo midió a sus amigos y registró en la siguiente tabla los valores obtenidos.

Nombre Estatura (en metros)

Iván 1,51

Adriana 1,43

Marcelo 1,49

Luciana 1,39

a. ¿Quién es el más alto?, ¿y el más bajo?b. Ordena los nombres de los niños y niñas de

acuerdo a su estatura, de mayor a menor.c. Si los valores de la tabla se aproximan, redon-

deando a la décima, ¿quién tendrá la misma estatura que Adriana?

d. Si los valores de la tabla se aproximan por truncamiento a la décima, ¿quién tendrá la misma estatura que Adriana?

e. Si Pablo mide 1,45 m, ¿es más alto o más bajo que Marcelo? Justifica.

14.En una prueba de Matemática, Marcela se sacó un 5,8, Roberto obtuvo un 6,3, Liliana, un 6,6 y Martín un 5,7. ¿Quién obtuvo la nota más alta?

15.La siguiente tabla muestra las temperaturas máximas registradas en algunas ciudades de Chile un día de julio.

Ciudad Temperatura (ºC)

Curicó 6,7

Chillán 6,4

Punta Arenas 4,8

Osorno 8,4

a. ¿En qué ciudad se registró la temperatura más alta?, ¿y la más baja?

b. Ordena los nombres de las ciudades de acuerdo a su temperatura, de la más baja a la más alta.

c. Representa en una recta numérica los números de la tabla.



1. Calcula mentalmente las siguientes operaciones con números decimales.

a. 32,5 + 54,5 = e. 1 000 · 3,452 =b. 120,8 – 73,4 = f. 2,213 : 10 =c. 1 235 · 0,1 = g. 120 · 0,5 + 60 : 0,5 =d. 36 874 : 0,01 = h. 0,1 · 4,5 + 100 · 4,51 =

2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de números decimales.

a. 14,25 + 6,091 =b. 0,3 + 0,8 + 3 =c. 4 – 0,56 =d. 1 – 0,999 =e. 52,4 – 21,875 – 14,02 =f. 20,04 + 250,7 – 6,048 =g. 32,15 – 0,008 + 6,11 =h. 37,1 – (15,473 + 8,01) =i. (18,1 + 0,05) – (0,002 – 0,00065) =

3. ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra el valor de 0,4 · 0,004?

A. 0,016 B. 0,0016 C. 0,00016D. 0,000016

4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números decimales.

a. 3 · 1,28 =b. 0,03 ∙ 1,2 =c. 2,4 : 2 =d. 6,27 : 0,3 =e. 1,256 · 35,1f. 0,0032 : 0,16 =g. 2,7 ∙ 0,9 : 0,03 =h. 37,1 · (0,34 : 1,36) =i. (0,136 · 2) : (1 : 0,25) =j. (0,003 : 0,0005) · 0,46 =k. 27,81 : 3 · 5,1 =


1. Resuelve: 1,51 + 31,2 + 2,654 + 187.

Una estrategia para sumar números decimales consiste en escribir los números hacia abajo, alineándolos según la coma decimal y luego sumar. Observa.

1,51

31,2

2,654

+ 187,0

222,364

2. Si el cabello de una persona crece alrededor de 1,25 cm en un mes, ¿cuánto crece en un año?

Si en un mes el cabello crece 1,25 cm, entonces, en un año crece: 1,25 · 12 = 15.

Luego, en un año el cabello crece 15 cm.

3. Si 1 kg de pan cuesta $ 890 y 1 kg de queso tiene un valor de $ 3 000, ¿cuánto pagó Javier si compró 1,5 kg de pan y 0,75 kg de queso?

Si el kilogramo de pan cuesta $ 890 y Javier compró 1,5 kg, entonces pagó en total: 890 · 1,5 = 1 335.

Por el pan pagó $ 1 335.

A su vez, el kilogramo de queso cuesta $ 3 000 y Javier compró 0,75 kg, entonces, en total pagó:

3 000 · 0,75 = 2 250

Por el queso pagó $ 2 250.

Finalmente, para saber cuánto dinero gastó Javier, basta con sumar el dinero pagado por el queso y el pan: 1 335 + 2 250 = 3 585

Luego, Javier gastó $ 3 585 en total.

Operaciones con números decimales


Uni

dad

1

5. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran operaciones combinadas.

a. (2 + 0,75) : 0,5 =b. 2,7 ∙ 9 : 0,03 =c. (3,6 ∙ 0,01) : (0,2 ∙ 0,3) =d. 1 – 0,08 : 0,2 =e. (2 ∙ 0,04 + 6) : 4 =f. 32,5 · 2,1 – 4,352 : 2,56 =


6. ¿Cuánto es el triple de 2,42?

A. 5,42 C. 6,26B. 6,42 D. 7,26

7. Sin hacer ningún cálculo, determina qué expresión es igual a 2,3 · 5,2 + 2,3 · 3,6.

A. (2,3 + 5,2) · 3,6B. (5,2 + 3,6) · 2,3C. 2,3 · 5,2 · 3,6D. 2,3 · 2,3 + 5,2 + 3,6

8. Si el producto de dos números es 0,2 y uno de sus factores es 10, ¿cuál es el otro factor?

A. 200 C. 0,02B. 20 D. 0,2

9. Si una cuerda de 8,44 m se corta en 4 trozos de igual medida, ¿cuánto mide cada trozo?

A. 2,10 m C. 2,15 mB. 2,11 m D. 2,16 m

10.Francisca se demora, en promedio, 2,6 minutos en realizar un ejercicio de Matemática y Salvador tarda 2,9 minutos.

a. ¿Cuánto se demora Francisca en responder una prueba de 24 ejercicios?

b. ¿Cuánto se demora Salvador en responder una prueba de 18 ejercicios?

c. Si un día Francisca se demoró 41,6 minutos en responder una prueba, ¿cuántas preguntas tenía?

d. Si un día Salvador se demoró 52,2 minutos en responder una prueba, ¿cuántas preguntas tenía?

e. Otro día, Francisca y Salvador dieron un examen de 20 preguntas. ¿Cuál fue la diferencia, en minutos, entre lo que se demoró Francisca y lo que tardó Salvador?

11.Si Valeria mide 1,67 m y José, 172 cm:

a. ¿quién es más alto?b. ¿cuántos metros de diferencia tienen?

12.El ancho de un cabello humano mide aproxima-damente 0,08 mm.

a. ¿Cuántos cabellos se necesitan para, que al ponerlos uno al lado de otro, se ocupe un ancho de 1 cm?

b. Si una persona tiene en su cabeza alrededor de 200 000 cabellos, ¿qué ancho ocuparían si se ponen todos uno al lado del otro? Expresa tu respuesta en metros.


a. El estanque de una estufa de parafina tiene una capacidad de 5,75 L. Si después de llenarlo se consumieron 2,5 L, ¿cuántos litros de parafi-na quedaron en el estanque?

b. ¿Cuál es el promedio de notas del primer semestre que obtendrá José en Matemática si sus notas son: 6,5; 6,8; 5,3; 6,4; 4,8; 6,2 y 7,0?

c. Una resma de papel mide 8 cm de alto. Si la resma contiene 500 hojas, ¿cuál es el grosor de cada hoja?

d. ¿Cuántas veces hay que sumarle 1,5 al número 0,04 para obtener 6,04?

e. Doña Anita tiene 14,9 kg de azúcar. Si usa 4,4 kg y el resto lo envasa en bolsas de 0,5 kg, ¿cuántas bolsas necesita?

f. Determina el perímetro y el área de un rectán-gulo de 3,5 cm de ancho y 7,26 cm de largo.

g. Si una pulgada es igual a 0,0254 m, ¿cuáles son las dimensiones, en pulgadas, de un arco de fútbol de 7,32 m de largo por 2,44 m de ancho?

h. El promedio de notas de Agustín en Matemática, el primer semestre, fue un 6,3. ¿Qué nota se sacó en la última prueba si sus tres notas anteriores eran: 6,7, 6,8 y 5,5?

i. Un médico recetó a su paciente una dosis de medicamento de un comprimido de 3,1 mg, 4 veces al día, durante 5 días. ¿Qué cantidad de medicamento tomará el paciente en total?

j. Alejandra recorre diariamente 1,5 km desde su casa al colegio, 1,9 km desde el colegio a la casa de su abuela y 0,7 km desde la casa de su abuela a la suya. ¿Cuántos kilómetros recorre de lunes a viernes?

k. Si 8 panes tienen una masa de 0,86 kg, ¿qué masa tienen 12 panes y medio?

l. El perímetro de una piscina rectangular es igual a 38,28 m. Si su largo es 12,6 m, ¿cuál es su ancho?




1. ¿A qué número decimal equivale la fracción 35

?

A. 3,5 C. 0,35B. 0,6 D. 0,06

2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?

A. 1110

= 0,11 C. 58

= 0,625

B. 75

= 1,4 D. 912

= 0,75

3. En cada caso, escribe las siguientes fracciones en notación decimal.

a. 15

e. 136

b. 38

f. 277

c. 710

g. 1912

d. 1225

h. 3 16

4. Representa los siguientes números decimales como una fracción irreductible.

a. 0,2 f. 1,37

b. 0,45 g. 0,12

c. 1,9 h. 0,438

d. 0,3 i. 1,16

e. 0,18 j. 23,674

5. Remplaza los valores de x e y, realiza los cálculos y, luego, completa la tabla.

x y x + y x – y x · y

0,715

1,2138

0,6 35


1. Escribe la fracción 1725

en notación decimal.

Para escribir la fracción como un número decimal basta con dividir el numerador con el denominador. El cocien-te de esta división corresponde al número decimal buscado. En este caso:

17 : 25 = 0,68 – 0

170– 150

200 – 200 0

Luego, la fracción 1725

escrita como número decimal es 0,68.

2. Escribe los números decimales 0,45 y 4,215 como una fracción irreductible.

En el primer caso, dado que el número decimal es finito, este se puede representar como una fracción cuyo

numerador es el número decimal, sin la coma, y cuyo denominador es un 1 seguido de tantos ceros como cifras

decimales tenga el número decimal. En este caso, el número 0,45 tiene 2 cifras decimales, de modo que en el

denominador debe ir el 100. Por lo tanto: 0,45 = 45100

. Simplificando la fracción por 5, nos queda: 0,45 = 920

.

En el segundo caso, el número decimal es infinito periódico. Luego, este se puede representar como una fracción cuyo numerador es la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y la parte entera del número; y cuyo denominador es el número formado con tantos nueves como cifras tenga el período. En este caso, nos queda:

4,215 = 4 215 – 4999

= 4 211999

Operaciones con fracciones y números decimales


Uni

dad

1

6. ¿Cuál es el valor de la expresión: 1 15

+ 0,5 · 925


A. 75

C. 565

B. 710

D. 7111 125

7. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran operaciones combinadas.

a. 13

– 0,25 + 1 =

b. 0,14 + 23

: 64

=

c. 0,7 + 4,3 – 125

=

d. 45

– 0,8 · 0,2 + 34

=

e. 5 – 1 12

+ 2,6 =

f. 23

+ 1,5 : 0,3 =

8. En una carrera, Jorge se demoró 9,76 minutos en

llegar a la meta, Andrés se demoró 9 34

minutos,

Carolina, 9 2830

minutos y Mariela, 9,72 minutos.

a. ¿Quién llegó primero a la meta?b. ¿Quién llegó último a la meta?c. Ordena los nombres de los niños de acuerdo a

su orden de llegada, del primer al último lugar.d. ¿Cómo se representa el tiempo que se demoró

Jorge usando una fracción irreductible?e. ¿Cómo se representa el tiempo que se demoró

Carolina, usando números decimales?f. ¿Cuántos minutos más tarde llegó Jorge

que Andrés?g. ¿Cuántos minutos antes llegó Mariela

que Andrés?h. ¿Cuántos minutos de diferencia hubo entre la

persona que llegó primero y la última?

9. Responde las siguientes preguntas. Utiliza una calculadora para realizar los cálculos.

a. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra el resultado de 0,9999 · 0,99999?

b. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra el resultado de 1,00001 · 1,00001?

c. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra el producto de dos números decimales positivos menores que la unidad?

d. El producto de dos números decimales mayores que la unidad, ¿siempre es mayor que 1? Justifica tu respuesta.

10.Realiza las siguientes actividades.

a. Usando tu calculadora, realiza los cálculos y completa la siguiente tabla.

Cociente

2,5 : 100

2,5 : 10

2,5 : 110

2,5 : 1100

b. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado

de 2,5 : 11 000 000

?

c. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado de 2,5 : 100 000 000?

d. Usando tu calculadora, realiza los cálculos y completa la siguiente tabla.

Producto

8,63 · 100

8,63 · 10

8,63 · 110

8,63 · 1100

e. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado de 8,63 · 1 000 000?

f. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado

de 8,63 · 1100 000 000

?

11.De acuerdo con lo observado en la pregunta anterior, completa las siguientes afirmaciones.

a. Dividir un número por 10 000 es lo mismo que

multiplicarlo por la fracción .

b. Dividir un número por 11 000

es lo mismo que

multiplicarlo por .

c. Multiplicar un número por 11 000

es lo mismo

que dividirlo por .

d. Multiplicar un número por 1 000 es lo mismo

que dividirlo por la fracción .


1. En una razón, si el consecuente es 20 y el valor de la razón es 8, ¿cuál es el antecedente? Marca la opción correcta.

A. 0,4 C. 20B. 2,5 D. 160

2. En una razón, si el antecedente es 37

y el valor de

la razón es 611

, ¿cuál es el consecuente?

3. En un canasto de frutas hay 3 plátanos, 2 manza-nas, 6 naranjas y 1 pera.a. ¿Cuáleslarazónentreelnúmerodemanzanas

yeltotaldefrutas?b. ¿Quésignificadoledasalarazónanterior?c. ¿Cuáleslarazónentreelnúmerodeplátanosy

eldenaranjas?d. ¿Quésignificadoledasalarazónanterior?e. Encuentraunarazóncuyovalorseaigualaldela

razónentrelacantidaddeperasyladeplátanos.

4. Se organizó una fiesta en la que se ofrecieron tres ambientes distintos: salsa, pop y rock. Los asistentes se distribuyeron como se muestra en la siguiente tabla:

Preferencia Mujeres Hombres

Salsa 55 43

Pop 34 45

Rock 25 37

Observa la tabla y escribe la razón entre:

a. elnúmerodehombresquegustandelasalsayeltotaldeasistentes.

b. elnúmerodepersonasquegustandelrockyloshombresquegustandelpop.

c. elnúmerodemujeresquegustandelpopyloshombresquegustandelrockodelpop.


1. Un maestro cocinero utiliza 2 tazas de arroz y 3 tazas de agua para preparar su receta de arroz graneado. ¿Cuál es la razón entre el agua y el arroz?, ¿cuál es el significado de la razón que escribiste?

Comoelnúmeroasociadoalaguaes3yeldelarrozes2,larazónsolicitadaes3:2.Estosignificaqueenlarecetadearrozgraneadoseutilizan3partesdeaguapor2partesdearroz.

2. En una bolsa hay 9 fichas rojas, 4 fichas azules, 3 blancas y 2 amarillas. ¿Cuál es la razón entre las fichas blancas y el total de fichas?Entotalhay9+4+3+2=18fichas.Luego,larazónentrelasfichasblancasyeltotales3:18,obien,1:6.

3. Transforma a porcentaje las fracciones 26 , 3

6 y 56 .

Pararealizarestecálculopodemosmultiplicarcadafracciónpor100ycalcularelcociente:

26

·100= 2006

≈33,33% 36

·100= 3006

=50% 56

·100= 5006

≈83,33%

Enresumen,tenemos:

Razones y porcentajes como una fracción o un número decimal


Fracción Decimal Porcentaje

26

= 13

0,3 33,33%

36

= 12

0,5 50%

56

0,83 83,33%


Uni

dad

1

5. En una prueba de 40 preguntas, Marcelo respondió 36 y tuvo 16 correctas. Determina la razón entre:

a. el número de preguntas de la prueba y las contestadas.

b. el número de preguntas de la prueba y las correctas.

c. el número de preguntas correctas y las incorrectas.

d. el número de preguntas contestadas y las no contestadas.

e. el número de preguntas no contestadas y las incorrectas.

6. Representa como porcentaje cada fracción.

a. 14

c. 57

b. 38

d. 46

7. Representa como porcentaje cada número decimal.

a. 0,02 d. 0,28b. 0,9 e. 0,4c. 0,356 f. 2,0

8. Representa como un número decimal cada uno de los siguientes porcentajes.

a. 75 % d. 130 %b. 13 % e. 2 %c. 5 % f. 5,3 %

9. Convierte a fracción irreductible cada porcentaje.

a. 55 % d. 17 %b. 45 % e. 87 %c. 12 % f. 110 %


10.¿Cuál es el porcentaje equivalente a la fracción 58 ?

A. 625 % C. 62,5 %B. 6,25 % D. 0,625 %

11.¿Cuál de las alternativas muestra al número decimal que corresponde al 35 %?

A. 35,0 C. 0,35B. 0,035 D. 0,0035

12.¿Qué fracción irreductible es equivalente al 46 %?

A. 2350

C. 5023

B. 4650

D. 10046

13.¿Cuál es el número decimal correspondiente al 0,2 %?

A. 0,2 C. 0,0002B. 0,002 D. 2,0

14.¿Qué número decimal representa el 28 %?

15.Fabiola gana $ 400 000 al mes, y destina 25 de

su sueldo a pagar el arriendo de su casa.

a. ¿Qué porcentaje del sueldo lo utiliza en el arriendo?

b. ¿Cuánto dinero le queda después de pagar el arriendo?

c. ¿Qué número decimal representa la parte del sueldo que le queda a Fabiola después de pagar el arriendo?

16.Javier gana $ 250 000 al mes. Si ha decidido ahorrar el 14 % de su sueldo, ¿qué fracción de su sueldo ahorra?

17.Para comprar un departamento, se debe cancelar como pie el 5 % del valor total. Sergio paga un pie de $ 1 250 000.

a. ¿Cuál es la fracción del valor del departamento que se ha cancelado?

b. ¿Qué parte queda por pagar? Exprésala como un número decimal.

18.El número de árboles en una ciudad el 2009 era 18 504. El año 2010, para prevenir caídas de árboles viejos, se cortó el 2 % de los árboles y el 2011 se quemó en un incendio el 5 % de lo que quedaba.

a. ¿Qué fracción de árboles que había inicialmente queda en esta ciudad a fines de 2011?

b. ¿En qué porcentaje disminuyó el número de árboles del 2009 a 2011? Represéntalo como número decimal.

19.En una liquidación se descuenta 110 del precio

en todos los productos si se cancela en efectivo.

En caso contrario, el descuento es de un 0,03 del

valor inicial.

a. ¿Qué porcentaje de descuento tiene, si se cancela en efectivo?

b. ¿Qué porcentaje de descuento tiene, si se utiliza otro medio de pago?



1. Piensa y responde.

a. ¿Cuál es el 12 % de 125?b. ¿Cuál es el 8 % de 45?c. ¿Cuál es el 40 % de 500?d. ¿Cuál es la cantidad total sabiendo que su 17 %

es 1 235?


2. ¿Cuál es el 2,4 % de 134?

A. 3,216B. 32,16C. 321D. 321,6

3. ¿Qué número es el 120 % de 36?

A. 43,2B. 432C. 43 200D. 432 000

4. ¿Cuál es el 135 % de 162 400?

A. 120 296B. 122 456C. 219 240D. 381 640

5. Calcula qué porcentaje es:

a. 67 de 450.b. 30 de 980.c. 20 de 4 000.d. 25 de 1 000.

6. Ana ahorró $ 34 000 que le alcanzaba exactamente para comprarse un par de botas. Si al llegar a la tienda había un descuento del 23 %, ¿cuánto gastó finalmente Ana en sus botas?

7. En el último mes, el precio de un litro de leche ha subido $ 120. Si el precio del mes anterior era $ 550, representa el alza del precio de la leche como un porcentaje.

8. Arturo compró un automóvil nuevo y pagó $ 5 500 000. Él sabe que el automóvil se devalúa un 4,5 % anual.

a. ¿Cuánto se devalúa en un año el precio del automóvil?

b. Al finalizar el primer año, ¿cuál es su precio?

9. A principios de un mes el precio de la gasolina de 95 octanos era de $ 755 el litro. Si aumentó en un 23 % el día 12 y luego disminuyó un 5 % el día 26, ¿cuál es el precio a fin de mes?

10.Una bicicleta se ofrece, con un descuento de un 13 %, al precio final de $ 85 000. ¿Cuánto era el valor inicial de la bicicleta?

11.Aumenta cada uno de los siguientes valores un 22 %.

a. 700 e. 25 600b. 35 f. 4c. 270 g. 1 245d. 1 500 h. 135 789

Cálculo de porcentajes y variaciones porcentuales


1. En un establecimiento educacional hay 6 478 alumnos de los cuales 1 560 son aficionados al tenis. ¿Cuál es el porcentaje de alumnos aficionados al tenis?

Para obtener el porcentaje de alumnos aficionados al tenis calculamos:1 5606 478

= 0,2408 = 24,08100

= 24,08

Es decir, el 24,08 % de los alumnos son aficionados al tenis.

2. Francisco vio un reloj que deseaba regalar a su padre, cuyo precio era $ 25 000. Cuando fue a comprarlo, su precio era $ 27 000. ¿En qué porcentaje aumentó el precio del reloj?

La variación en el precio es $ 2 000, pues 27 000 – 25 000 = 2 000.

Entonces, para determinar qué porcentaje es 2 000 de 25 000, escribimos la razón 2 00025 000

y luego la transformamos

a porcentaje: 2 00025 000

· 100 = 200 00025 000

= 20025

= 8.

Luego, el reloj aumentó en un 8 % respecto del precio inicial.


Uni

dad

1

12.Disminuye en un 8 % los siguientes números.

a. 45 f. 450 000b. 990 g. 34 679c. 256 h. 524 645d. 678 i. 852 420e. 3 450 j. 1 247 567

13.La variación del precio de un artículo fue la siguiente: en abril aumentó un 28 %, en mayo disminuyó un 40 % y, finalmente, en junio aumentó un 15 %. ¿En qué porcentaje varió el precio de este artículo en los tres meses? Marca la opción correcta.

A. 11,68 % B. 3 % C. 84 %D. 30 %

14.Si Luis compra un automóvil en $ 2 500 000 para venderlo con un 25 % de ganancia, ¿cuál sería el precio de venta?

15.Sara quiere comprarse unos zapatos cuyo precio es de $ 15 000, pero solo tiene $ 10 000. ¿Qué por-centaje del total representa el dinero que le falta?

16.El promedio de notas de Mabel el año pasado fue de 5,5 y este año es de 6,5.

a. ¿Cuál es el porcentaje que representa el aumento en el promedio de Mabel?

b. ¿Cuál es la fracción que representa esta variación porcentual?

c. ¿Cuál es el número decimal que equivale a la fracción anterior?

17.Si el lado de un cuadrado aumentó al triple, ¿su área aumentó al triple?, ¿en qué porcentaje lo hizo?

18.Un par de lentes cuesta $ 35 000. Luego, se rebaja su precio en un 25 %.

a. ¿Cuál es el precio actual de los lentes?b. Si se vuelven a rebajar en un 5 % cuando se

paga en efectivo, ¿cuál será su precio?c. Si una persona pagó $ 30 000 por los lentes,

¿en qué porcentaje disminuyó su valor respecto del precio inicial?

19.Irene repartió algunos de sus 50 dulces entre sus primos. A Gerardo le dio el 30 % del total y a María, el 80 % del resto.

a. ¿Con cuántos dulces se quedó Irene? b. ¿Cuál es la variación, en porcentaje, entre lo

que tenía y lo que se quedó?c. ¿Qué porcentaje representa la cantidad de

dulces que tiene finalmente Irene respecto de la cantidad inicial?

20.En una ciudad, la población en el año 2008 era de 65 342 habitantes y se estima que en los tres años siguientes su población creció un 14 %. ¿Cuántos habitantes tendría la ciudad el 2011?

21.El precio de una bicicleta era de $ 55 000 en enero y de $ 67 000 en diciembre del mismo año. ¿En qué porcentaje aumentó su precio?

22.El bambú es la planta que crece más rápido; algunas especies tienen una tasa de crecimiento de hasta 1,2 m diarios.

a. Si la longitud inicial de un bambú es de 12 m, ¿cuál es la variación porcentual en la longitud de un bambú diariamente?

b. Si han pasado 5 días desde la última vez que se midió la longitud del bambú, ¿cuánto pudo haber crecido?, ¿cuál es la variación porcentual en la longitud en los últimos 5 días?

23.En un año, el precio del arroz aumentó un 25 % en febrero, volvió a aumentar un 15 % en agosto y bajó un 5 % en noviembre. Ese año, ¿en qué porcentaje varió el precio del arroz?

24.En una ciudad, el costo del pasaje de bus subió un 5 % en marzo y un 14 % en junio. ¿En qué porcentaje subió el precio del pasaje de bus entre febrero y julio?

25.Un rectángulo mide 10 cm de base y 7 cm de altura. Si la base aumenta un 5 % y la altura disminuye 2 %, ¿en qué porcentaje varía su área?

26.Si el a % de a es igual a 9, ¿cuál es el valor de a?

27.Si el a % de b es c , ¿cuánto es el 1 % de b, expresado en términos de a y c?



1. ¿Para qué valor de x las razones 36x y 24

8 forman una proporción?

Para que 36x y 24

8 formen una proporción, el valor de las razones debe ser el mismo número, es decir:

36x = 24

8

Además, la igualdad anterior se cumple si y solo si:

x · 24 = 36 · 8 Despejamos x y calculamos su valor.

x = 36 · 824

= 28824

= 12

Por lo tanto, si x = 12, las razones 36x y 24

8 forman una proporción.

2. Dos números están en la razón 3 : 5 y suman 96. ¿Cuáles son los números?Sean a y b los números que buscamos. En tal caso, se cumple que a + b = 96 y, además, a

b = 3

5. Si aplicamos

propiedades de proporciones, nos queda:a + b

b = 3 + 55

Remplazamos a + b y sumamos.

96b = 8

5 Despejamos b y calculamos su valor.

b = 5 · 968

= 60 Utilizamos el valor de b para calcular a.

a = 96 – 60 = 36

Por lo tanto, los números buscados son 36 y 60.


1. Determina en cada caso si las razones forman una proporción. Explica cómo lo supiste.

a. 34

y 3612

c. 78

y 1416

b. 57

y 68

d. 317

y 951

2. ¿Cuánto debe valer x para que 302 y x20 formen

una proporción?

3. Encuentra el valor de x, en cada caso, para que las siguientes razones formen una proporción.

a. 52

y x40

c. 143

y 42x

b. 7x

y 39

d. x12

y 1590

4. ¿Cuánto debe valer x para que 20,5 y 20

x formen

una proporción? Marca la opción correcta.

A. 80 C. 5B. 20 D. 2,5

5. ¿Cuánto debe valer x para que

2534

y

45x formen

una proporción?

6. La edad de una madre y su hijo están en la razón 8 : 3. Si el hijo tiene 12 años, ¿cuántos años tiene la madre? Marca la opción correcta.

A. 45 años.B. 26 años.C. 24 años.D. 32 años.

7. La suma de dos números es 81 y están en la razón 4 : 5. Calcula el valor de cada uno de los números.

8. Pedro y Pablo acordaron repartirse el total de $ 312 000, de modo que las partes estén a razón 8 : 12. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?

9. Pamela y Carlos reunieron $ 130 000. La cantidad que aportó cada uno están en razón 7 : 3, respec-tivamente. ¿Cuánto aportó cada uno?

10.El perímetro de un rectángulo es 78 cm y la razón entre las medidas de sus lados es 7 : 6. Calcula su área.

11.Tres números están en la razón 2 : 5 : 3 y suman 80. ¿Cuáles son los números?

Proporciones


Uni

dad

1

12.Tres amigos se reparten $ 74 800 en la razón 2 : 4 : 5. ¿Cuánto recibe cada uno?

13.Las edades de cuatro primos: Camila, Javier, Luis y Ana, están en la razón 2 : 4 : 5 : 6 y sus edades suman 85 años. ¿Cuál es la edad de Ana? Marca la opción correcta.

A. 20 años.B. 25 años.C. 30 años.D. 32 años.

14.Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo están en la razón 4 : 18 : 14.

a. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del triángulo?

b. ¿Qué tipo de triángulo es, según la medida de sus ángulos?

c. ¿Qué tipo de triángulo es, según la medida de sus lados?

15.Las medidas de los lados de un triángulo rectángulo están en la razón 3 : 4 : 5. Si su perímetro es 60 cm:

a. ¿cuáles son las medidas de los lados del triángulo?

b. ¿cuál es el área del triángulo?

16.Un mapa se ha dibujado de tal manera que 20 km en la realidad equivalen a 10 cm en el mapa.

a. Si la distancia entre dos estaciones de metro es 1 km, ¿a qué distancia están en el mapa?

b. Si en el mapa, dos ciudades están a 26 cm, ¿a que distancia se encuentran en realidad?

17.En una feria se vende una reproducción a escala de una pintura en forma rectangular cuyas dimensiones son 0,75 m de ancho y 1,2 m de largo. El ancho de la reproducción mide 0,2 m.

a. ¿Cuánto mide el largo de la reproducción?b. ¿En qué porcentaje se disminuyeron las

dimensiones de la pintura?c. ¿Cuál es la razón entre el área de la pintura

original y la reproducción?

18.Un automóvil posee un rendimiento de 22,6 km/L. ¿Cuántos litros de bencina consumirá en 450 km?

19.Si 5 trabajadores cavan una zanja de 10 m en 3 horas, ¿cuántos metros cavarán en el mismo tiempo 15 trabajadores si lo hacen al mismo ritmo?

20.Si 10 ingenieros en informática en 8 días de trabajo producen 3 programas de animación, ¿cuántos ingenieros se necesitan para producir en 4 días los mismos 3 programas de animación, si trabajan al mismo ritmo?

21.Si 7 trabajadores construyen una máquina en 30 días, ¿cuántos trabajadores se necesitarían para construir esta máquina en 10 días, si trabajan al mismo ritmo? Marca la opción correcta.

A. 43 C. 3B. 21 D. 89

22.Si después de un recital se demora 3 días en limpiar el estadio, con 60 personas trabajando, ¿cuántas personas habría que contratar para que se demoren solo un día, si trabajan al mismo ritmo?

23.Un barra de metal de 34,5 cm de alto proyecta una sombra de 22,5 cm. ¿Qué altura tiene un edificio que en ese mismo minuto proyecta una sombra de 13,4 m?

24.La razón entre la masa de Pedro y la de Juan es de 5 : 3, y la diferencia entre sus masas es de 40 kg. ¿Cuál es la masa de Pedro?

25.Marcelo ha calculado que 10 caballos consumen 820 costales de alfalfa en 180 días. Si ahora debe alimentar a 25 caballos en 60 días, ¿cuántos costales de alfalfa requiere?

26.En una fábrica de tejidos, 12 operarias confeccionan 160 chalecos durante 25 días. Si para un pedido se requiere confeccionar 320 chalecos en 15 días, ¿cuántas operarias más se necesitan?

27.Una modista cose 10 camisas en 8 h. ¿Cuántas horas tardarán 4 modistas en coser 20 camisas?

28.Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3 000 al mes, estando encendidas 6 h diarias, ¿qué gasto originarían 20 ampolletas durante 10 h diarias?

29.Para llenar un estanque de 6 000 L en 4 h se abren 5 llaves iguales.

a. ¿En cuántas horas llenarán un estanque de 9 000 L con 6 llaves en iguales condiciones?

b. ¿Cuántas llaves se necesitan para llenar ese mismo estanque en 2 h?



1. Ordena de mayor a menor los siguientes números: 4, –12, 40, –101, –98, 1, 2, 23, –68.

2. Ubica en una recta numérica todos los números enteros mayores que –10 y menores que 7.

3. ¿Cuál es el inverso aditivo de –20?

4. ¿Cuál es el inverso aditivo de 1 020?

5. ¿Todo número entero negativo es siempre mayor que cero? Justifica.

6. ¿El cero es siempre menor que todo número entero positivo? Justifica.


7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. En la recta numérica, es mayor el número ubicado más a la derecha.

B. En la recta numérica, los números más cercanos a cero son menores que los más lejanos.

C. El inverso aditivo de un número entero x es aquel que sumado con cero resulta el mismo x.

D. En la recta numérica, los números positivos están a la izquierda de los negativos.

8. ¿Qué números enteros se encuentran entre –14 y –7?

A. –13, –12, –11, –10, –9, –8B. 8, 9, 10, 11, 12, 13C. –6, –5, –4, –3, –2, –1D. –15, –16, –17, –18, –19, –20

9. Si x, y, z son tres números enteros tales que x < y, y > z y x > z, el orden de menor a mayor es:

A. x, y, z C. z, x, yB. z, y, x D. y, x, z

10.¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en los números naturales?

A. 1 – x = 3 C. 3 – x = 1B. 3 – 2x = 1 D. 1 + 2x = 3

11.¿Cuál es el inverso aditivo del número entero ubicado entre –5 y –3?

A. –6 C. 6B. –4 D. 4

12.¿Cuál de los siguientes números no es mayor que –11?

A. 0 C. –37

B. –1 D. 54

Ejercicio resuelto

1. Roberto registró las temperaturas mínimas de una semana de julio en su ciudad.

Día de la semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Temperatura mínima (ºC) 0 –3 –1 –6 –2 4 1

Observa los valores de la tabla, luego, ordénalos de menor a mayor y ubica estos números en una recta numérica. Además, determina el inverso aditivo de cada número.

Los números, ordenados de menor a mayor son: –6, –3, –2, –1, 0, 1, 4.

Se representan en la recta numérica de la siguiente manera:

El inverso aditivo de cada número se muestra en la siguiente tabla:

Número 0 –3 –1 –6 –2 4 1

Inverso aditivo 0 3 1 6 2 –4 –1

Números enteros

–6 –4 –3 –2 –1 0 1 4


Uni

dad

1

13.Observa la información y luego responde.

a. Representa cada uno de los números de la tabla, utilizando números enteros.

b. Ubica en la recta numérica los números de los carteles anteriores.

c. ¿Cuál es la diferencia de altitud entre estos dos lugares? Utiliza la recta numérica anterior para responder.

14.En un concurso Manuel obtuvo –12 puntos, Josefa, 2 puntos, Mario, –19 puntos y Agustín, 12 puntos.

a. ¿Quién obtuvo el puntaje más alto?b. ¿Quién obtuvo el puntaje más bajo?c. Representa los puntajes de todos los niños

y niñas en una recta numérica.

15.En El Salvador (Chile), la temperatura máxima en un día de junio fue de 21 ºC. Ese día la amplitud térmica fue de 24 ºC.

a. ¿Cuál fue la temperatura mínima que se registró? Justifica.

b. Si a las 10:30 h la temperatura había aumentado 7 ºC respecto de la temperatura mínima, ¿cuán-tos grados Celsius se registraron a esa hora?

c. Si a las 22:00 h la temperatura había descendido 15 ºC respecto de la máxima, ¿cuál fue la temperatura a esa hora?

16.Romina tenía una deuda de $ 68 500 con su hermana. Ya le pagó $ 33 500 y después le pagó $ 14 000.

a. ¿Cuánto le falta para cancelar el total de su deuda?

b. Si decidiera cancelar el resto en tres cuotas iguales, ¿cuánto pagaría en cada cuota?

17.Un buzo que realiza actividades de investigación se encuentra a 75 m bajo el nivel del mar, luego asciende 20 m y vuelve a descender 15 m.

a. ¿A qué profundidad se encuentra ahora?b. Si finalmente remonta a la superficie, subiendo a

10 m/min, ¿cuánto tarda en llegar a la superficie?c. Representa en la recta numérica la posición

inicial, los descensos y ascensos del buzo.

18.El pronóstico de la temperatura para Cochrane, el día 11 de junio de 2011, según la Dirección Meteorológica de Chile, se muestra en la siguiente tabla.

a. Según la información de la tabla, ¿qué día se pronosticó la temperatura más baja?, ¿y la más alta?

b. ¿En qué día se pronosticó la mayor amplitud térmica?

c. Ordena de mayor a menor los números correspondientes a las temperaturas pronostica-das para Cochrane.

d. Ubica en una recta numérica los números de la tabla.

19.Un termómetro marca –7 ºC a las 7 de la mañana. Luego, la temperatura aumenta 3 ºC cada 45 minutos.

a. Completa la siguiente tabla, en que se muestra la temperatura registrada por el termómetro a la hora indicada.

Hora Temperatura (ºC)

7:45

8:30

9:15

10:00

10:45

b. ¿Qué temperatura había a las 12:15 h?c. Si la temperatura máxima de ese día fue 26 ºC,

¿a qué hora se registró?d. Si la temperatura mínima se registró a las

7 de la mañana, ¿cuál fue la amplitud térmica de ese día?

La ciudad de Calama se encuentra aproximada-mente a 2 300 m por sobre el nivel del mar.

El mar Muerto se encuentra aproximadamente a 400 m bajo el nivel del mar. Domingo 12

mín. 0 ºCmáx. 2 ºC

Lunes 13mín. –1 ºCmáx. 4 ºC

Martes 14mín. 0 ºCmáx. 3 ºC

Miércoles 15mín. 0 ºCmáx. 3 ºC

Jueves 16mín. –5 ºCmáx. 0 ºC



1. Calcula el valor de –7 + –2 : 2 – –8 – –9 – 5 · –1.

2. Calcula el inverso aditivo de la expresión:

–[–2 – (–3 + (–1 – (–1) + 2) – 1) – 3]

3. Remplaza los valores de x e y, realiza los cálculos y, luego, completa la tabla.

x y x – y (x – y) · (–3) x : 2 + y · –3

–2 7

12 –8

–6 –2

–14 –3

–8 –2

4. ¿Qué número multiplicado por el doble de –5 da como resultado 20?


5. ¿Cuál es el resto de la división entre –9 y 5?

A. –4 C. 1B. –1 D. 4

6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

I. (–8) · (–2) = 16

II. (–18) : 9 > –1

III. (–10) – (–2) · 3 < –2

A. Solo I C. I y IIB. Solo II D. I y III


1. Calcula el resultado de (–3) · 6 + 5 – (–20) : [2 · (–4) + 3]

Para resolver este tipo de ejercicios debemos operar respetando la prioridad en las operaciones: resolvemos las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y luego, las adiciones y sustracciones de izquierda a derecha. Si hay paréntesis, resolvemos primero las operaciones encerradas en ellas. Luego:

(–3) · 6 + 5 – (–20) : [2 · (–4) + 3] Resolvemos lo que está dentro de los corchetes, respetando la prioridad en las operaciones.

(–3) · 6 + 5 – (–20) : [–8 + 3]

(–3) · 6 + 5 – (–20) : [–5] Resolvemos multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

–18 + 5 – (+4) Resolvemos adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.

–13 – (+4)

–17

2. Si la suma de tres números enteros consecutivos es –12, determina cuáles son los números y cuál es el mayor de ellos.

Si representamos el primer número como x, podemos representar el segundo como: x + 1 y el tercer número como: x + 2, ya que son números consecutivos.

Luego, la ecuación que representa la situación es:

x + (x + 1) + (x + 2) = –12

3x + 3 = –12 Sumamos –3.

3x = –15 Dividimos por 3.

x = –5

Entonces, los números son: –5, –4 y –3, ya que: x + 1 = –5 + 1 = –4 y x + 2 = –5 + 2 = –3.

El mayor de los números es –3, pues es el que está más a la derecha en la recta numérica.

Operaciones con números enteros


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1

7. Si al número –6 se le resta el doble de –5 y al resultado se le suma el triple de 3, se obtiene:

A. 13 C. –7B. –13 D. 7

8. Si la suma de tres números enteros consecutivos es cero, ¿cuál es el mayor de los números?

A. –1 C. 2B. 0 D. 1

9. Aplicando el algoritmo de la división, completa la siguiente tabla.

Dividendo Divisor Cociente Resto

–20 12

36 –7

–24 –5

–102 20

10.El valor de las acciones de una empresa disminuyó $ 60 diarios durante dos semanas. Inicialmente tenían un valor de $ 1 650 cada una.

a. ¿Cuánto costó cada acción al final de la primera semana?

b. ¿Cuánto costó cada una al final de la segunda semana?

11.En un diario mural rectangular de medidas 24 cm y 42 cm, se desean pegar fotografías cuadradas de igual tamaño, de manera que se cubra completamente.

a. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener el lado de cada fotografía para que cumpla con esta condición?

b. ¿Con cuántas fotografías de este tamaño se cubre todo el diario mural?

12.La tabla muestra las temperaturas mínimas regis-tradas durante algunos días de julio en una ciudad.

Lunes –4 ºC

Martes 0 ºC

Miércoles –2 ºC

Jueves –5 ºC

Viernes 1 ºC

¿Cuál fue el promedio de las temperaturas mínimas registradas esos días?

13.En los cuadrados mágicos, la suma de los números de cada fila, de cada columna y de cada diagonal es la misma. Completa los siguientes cuadrados mágicos y, luego, responde considerando ambos resultados.

9 5

–3

–11

a. ¿Cuál es el mayor de los números presentes en los cuadrados mágicos?b. ¿Cuál es el menor de ellos?c. ¿Cuál es el mayor de los números negativos

que se observa en los cuadrados mágicos?d. ¿Cuál es la suma de todos los números que

aparecen en el cuadrado mágico de la izquierda?e. ¿Cuál es el producto de todos los números que

aparecen en el cuadrado mágico de la derecha?

14.En un juego de conocimientos se asignan 20 puntos si la respuesta es correcta y se quitan 10 puntos si es incorrecta.

a. Si un participante respondió correctamente 7 preguntas y falló en 4, ¿qué puntaje obtuvo?

b. Carlos y Mónica están participando en el juego. Si Carlos consiguió 3 respuestas correctas y 6 incorrectas; y Mónica, 2 respuestas correctas y 5 incorrectas, ¿quién obtuvo más puntos?

c. Si Samuel consiguió 6 respuestas correctas y sacó un puntaje final de –30 puntos, ¿cuántas respuestas incorrectas tuvo?

d. Si Elena se equivocó en 8 respuestas y sacó un puntaje final de 60 puntos, ¿cuántas respuestas correctas tuvo?

15.¿Cuál es la suma de todos los números enteros ubicados entre –2 012 y 2 012?, ¿cómo lo supiste?

16.¿Cuál es el producto de todos los números enteros ubicados entre –2 012 y 2 012?, ¿cómo lo supiste?

17.Observa la siguiente multiplicación.

1 · (–2) · 3 · (–4) · … · 2 011 · (–2 012)

El resultado de la multiplicación anterior, ¿es mayor o menor que 0?, ¿qué estrategia utilizaste para resolverla?

2 –6

0

6 –4


Preparando el SIMCE


1. El precio de una camisa es $ 8 900. Si se aumenta en un 20 %, ¿cuál será el nuevo valor?

A. $ 12 800 C. $ 10 680B. $ 1 780 D. $ 7 120

2. Al resolver [(–14) : 2 – (–6) · (–3)] · (–2) se obtiene:

A. –50 C. 50B. 22 D. –11

3. El resultado de –[–2 + (–4 – 3) – 1] es:

A. –9 C. –4B. 10 D. –10

4. ¿En cuál de los siguientes grupos los números están ordenados en forma decreciente?

A. 13, 8, 1, –2, –6, –7, –11B. 13, 8, 1, –11, –7, –6, –2C. –11, –7, –6, –2, 1, 8, 13D. 1, 8, 13, –2, –6, –7, –11

5. ¿Cuál es el 30 % de 900?

A. 300 C. 30B. 270 D. 27

6. La fracción 34 expresada como porcentaje es:

A. 75 % C. 0,75 %B. 25 % D. 2,5 %

7. Carlos compra 2 12 kg de carne para un asado.

Si gasta $ 11 400 en esta compra, ¿cuánto costará

0,75 kg de la misma carne?

A. $ 5 700 C. $ 8 550B. $ 4 275 D. $ 3 420

8. Don Ramiro recibió $ 297 000 por un trabajo realizado en 18 días. ¿Cuánto recibiría en total si trabajara en las mismas condiciones 50 días?

A. $ 165 000B. $ 1 480 000C. $ 1 122 000D. $ 825 000

9. Loreto invitó a 50 personas a su fiesta. Si asiste el 58 % de sus invitados, ¿cuántas personas no asistieron a la fiesta?

A. 8 C. 21B. 20 D. 29

10.En un supermercado se ofrecen tres paquetes de tallarines por $ 1 140. ¿Cuánto cuestan 8 paquetes?

A. $ 2 900B. $ 3 040C. $ 3 840D. $ 9 120

11.Un kilogramo de peras cuesta $ 435. ¿Con cuál de las siguientes expresiones se puede calcular el valor de n kg de peras?

A. 435 + n C. 435 · nB. 435

n D. n

435

12.En la expresión –28 : x = –4, ¿cuál es el valor de x?

A. 7 C. 4B. –7 D. –112

13.Leandro y Camila se reparten un total de 92 láminas en la razón 1 : 3. ¿Cuántas láminas le corresponden a Camila?

A. 23 C. 72B. 31 D. 69

14.En la siguiente recta numérica están marcados los números –8 y –2.

Si todos los intervalos tienen igual tamaño, entonces P y R corresponden, respectivamente, a los números:

A. –4 y –6B. –6 y –4C. 6 y –4D. 6 y 4

15.El número decimal 0,8 expresado como porcentaje es:

A. 8 % B. 80 % C. 0,8 %D. 20 %

16.De un libro de 540 páginas, Laura ha leído 189. ¿Qué porcentaje del libro le queda por leer?

A. 35 % B. 70 % C. 30 %D. 65 %

–8 P R –2

Uni

dad

1


17.En la siguiente tabla se muestra el pronóstico de la temperatura para la Península Antártica, según la Dirección Meteorológica de Chile, informado el domingo 12 de junio de 2011.

Según la información anterior, ¿qué día tendría la temperatura más baja?

A. Lunes. C. Miércoles.B. Martes. D. Jueves.

18.En la proporción 2p : 4 = p : x, ¿cuál es el valor de x?

A. 2 C. 2p

B. 0,5 D. 12

p

19.¿Cómo se escribe el número decimal 2,04?

A. Dos enteros cuatro décimos.B. Dos enteros cuatro centésimos.C. Dos enteros cuatro milésimos.D. Dos enteros cuarenta centésimos.

20.¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a un número decimal infinito semiperiódico?

A. 827

C. 736

B. 425

D. 5515

21.Multiplicar un número por 0,025 es igual que:

A. dividirlo por 25.B. dividirlo por 40.C. dividirlo por 125D. dividirlo por 400.

22.La cuarta parte de 4,52 es:

A. 1,12 C. 1,23B. 1,13 D. 1,42

23.Si Jaime redondeó el decimal 7,019 y obtuvo 7,02, ¿qué nivel de aproximación utilizó?

A. A la décima.B. A la centésima.C. A la milésima.D. A la diezmilésima.

24.Si 1,5 kg de pan cuesta $ 1 320, ¿cuánto cuestan 5,5 kg?

A. $ 4 400 C. $ 6 600B. $ 4 840 D. $ 7 260

25.Si se deja abierta completamente una llave por 23

h, se llena un recipiente de 18,5 L. ¿Cuántos litros

entrarían en el recipiente si se deja abierta la llave

por 5 minutos?

A. 2,31 L C. 12,3 LB. 6,17 L D. 30,83 L

26.Si las notas de Martina son 6,5; 6,2; 5,6 y 5,8, ¿cuál es su promedio?

A. 5,9 C. 6,1B. 6,0 D. 6,2

27.Camilo rindió una prueba de 42 preguntas. A cada respuesta correcta se le asignaban 3 puntos; a cada incorrecta, –1 punto; y 0 puntos a cada omitida. Si Camilo contestó 25 preguntas correctamente y obtuvo 66 puntos en total:

a. ¿Cuántas respuestas incorrectas tuvo?b. ¿Cuántos puntos le asignaron en total por las

respuestas que tuvo incorrectas?c. ¿Cuántas preguntas omitió?

28.En un cuadrado cuya área es 64 cm2, la longitud de un par de lados paralelos disminuye en un 60 %, ¿cuál es el área de esta nueva figura?

Para resolver este problema, Francisco dibuja lo siguiente:

4,8 cm

8 cm

Luego, calcula: 8 · 4,8 = 38,4. Entonces, el área del rectángulo es 38,4 cm2.

¿Estás de acuerdo con el procedimiento realizado por Francisco?, ¿por qué?

Lunes 13mín. –9 ºCmáx. –5 ºC

Martes 14mín. –11 ºCmáx. –9 ºC

Miércoles 15mín. –12 ºCmáx. –11 ºC

Jueves 16mín. –13 ºCmáx. –12 ºC


Evaluación de síntesis de la unidad 1


1. ¿Cómo se escribe el número tres millones seiscientos setenta y dos mil noventa y tres?

A. 3 762 093 C. 3 672 093B. 3 672 903 D. 3 762 903

2. En el número 25 648 310, ¿qué valor representa el dígito 2?

A. 20 000 000 C. 20 000B. 2 000 000 D. 20

3. ¿Cuál de los siguientes números no es primo?

A. 143 C. 163B. 113 D. 181

4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. 9 368 412 es divisible por 6.B. 1 578 321 es divisible por 9.C. 5 739 064 es divisible por 4.D. 25 610 063 es divisible por 3.

5. Para su cumpleaños, Felipe compró 60 vasos plásticos a $ 35 cada uno y 70 platos de torta a $ 51 cada uno. Si pagó con un billete de $ 10 000, ¿cuánto vuelto recibió?

A. $ 4 230 C. $ 5 670B. $ 4 330 D. $ 5 760

6. El pozo a repartir en un juego de azar fue de $ 20 374 512. Si hubo 3 ganadores y todos recibie-ron la misma cantidad de dinero, ¿cuánto dinero se ganó cada uno?

A. $ 679 154 C. $ 6 791 504B. $ 6 790 504 D. $ 6 790 154

7. Un curso tiene 18 niñas y 27 niños. ¿Qué fracción del curso son mujeres?

A. 35

C. 23

B. 53

D. 25

8. Carla se comió los 25

de los chocolates de una

caja. Si quedan 15 chocolates en la caja, ¿cuántos

había inicialmente?

A. 25 chocolates. C. 50 chocolates.B. 30 chocolates. D. 20 chocolates.

9. La suma de 2 89

y 23

es:

A. 2109

C. 2 1012

B. 3 59

D. 2 69

10.¿Cuál de los siguientes números decimales es mayor que 32,7623?

A. 31,7622 C. 32,763B. 23,77 D. 32,76229

11.Si 1 pulgada equivale a 2,54 cm, aproximadamente, ¿cuántos centímetros mide una barra de 15,24 pulgadas?

A. 6,0 cm C. 17,78 cmB. 12,7 cm D. 38,7 cm

12.Si cinco de cada nueve personas tiene Internet en su casa, ¿cuál es la razón entre las personas que tienen este servicio y las que no lo tienen?

A. 5 : 9 C. 4 : 5B. 4 : 9 D. 5 : 4

13.De un álbum con 360 láminas, Roberto ha completado el 45 %. ¿Cuántas láminas le faltan para completar el álbum?

A. 45 láminas. C. 198 láminas.B. 162 láminas. D. 315 láminas.

14.Si x : y = 2 : 3 y x + y = 40, ¿cuánto es y – x?

A. 8 C. 24B. 16 D. 32

15.¿Cuál es el valor de (–6) · 5 – (–4)?

A. –34 C. 26B. –26 D. 34

16.Si a > 0 y b < 0, ¿cuál de las siguientes relaciones siempre es correcta?

A. a + b > 0 B. a – b > 0 C. a · b > 0D. a : b > 0

17.¿Cuál es el inverso aditivo de –3?

A. –3 C. 1B. 0 D. 3

18.Respecto del algoritmo de la división, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. En cualquier división el resto es menor que el valor absoluto del divisor.

B. En cualquier división el resto siempre es un número positivo.

C. Si el dividendo es un número negativo, enton-ces el resto es menor que 0.

D. En cualquier división el dividendo es igual al divisor por el cociente.

Uni

dad

1


19.Observa los números de las tarjetas y realiza las siguientes actividades.

2 7 9 0 6 8 1

a. Usando los números de las tarjetas, y sin repetirlos, escribe tres números mayores que 8 500 000.

b. Usando los números de las tarjetas, y sin repetirlos, escribe tres números de siete cifras menores que 1 400 000.

c. Ordena de menor a mayor los números que escribiste en a y b.

d. Representa en la recta numérica los números que escribiste en a y b, redondeados a la unidad de millón.

e. ¿Cuál es el número mayor que se puede formar, utilizando todas las tarjetas y sin repetirlas? Escríbelo con cifras.

f. ¿Qué dígito ocupa la posición de la CM en el número anterior?

g. ¿Cuál es el número menor de siete cifras que se puede formar, utilizando todas las tarjetas y sin repetirlas? Escríbelo con palabras.

h. ¿Qué valor representa el dígito 6 en el número anterior?

20.Obtén la descomposición prima de cada número.

a. 162 = c. 2 560 =b. 360 = d. 18 900 =

21.Luis tiene 100 bolitas, Diego tiene las 25

partes

de las bolitas que tiene Luis y Juan tiene los 34

de

lo que tiene Diego.

a. ¿Cuántas bolitas tiene Diego?b. ¿Cuántas bolitas tiene Juan?c. ¿Cuántas bolitas más tiene Luis que Juan?d. ¿Cuántas bolitas tienen entre los tres?

22.Un granjero decide cercar un potrero rectangular que mide 53,60 m de largo por 42,80 m de ancho, con una corrida de alambre.

a. ¿Cuántos metros de alambre necesita?b. Si tenía 456,7 m de alambre, ¿cuánto le sobró

después de cercar el potrero?

23.¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de 2,31 cm

de largo y 195

cm de ancho?

24.Un curso tiene 24 estudiantes, de los cuales un 75 % son mujeres.

a. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de mujeres y la de hombres del curso?

b. ¿Cuántas mujeres más que hombres hay en el curso?

c. Si el año pasado el curso tenía 14 mujeres y 6 hombres, ¿en qué porcentaje aumentó el número de estudiantes del curso este año respecto del anterior?

25.El precio de un libro es de $ 8 600. En una oferta se rebajó su precio en un 16 %.

a. ¿Cuál es el precio del libro con la rebaja?b. Si Eliseo compró el libro en oferta y pagó con

un billete de $ 10 000, ¿cuánto vuelto recibió?c. Un comerciante compró 12 libros en oferta

para luego venderlos en otro lado. Si des-pués vendió cada libro a $ 7 500, ¿cuánta ganancia obtuvo?

26.Las edades de Luis y Edgar están en la razón 7 : 2. Si Luis tiene 28 años, ¿qué edad tendrá Edgar en 3 años más?

27.En cada caso, determina el valor de x de modo que las razones formen una proporción.

a. 612

y x5

c. 64

y 18x

b. x8

y 756

d. 6x y 33

121

28.En el fútbol, la diferencia de goles corresponde al valor obtenido al restar la cantidad de los goles convertidos y los recibidos. Si en una temporada un equipo convirtió 23 y recibió 41, ¿cuál fue su diferencia de goles?

29.El refrigerador de Sebastián tenía una tempera-tura constante de 18 ºC bajo cero. Luego de un corte de energía, la temperatura comenzó a subir a razón de 3 ºC cada 20 minutos.

a. ¿Qué temperatura había en el refrigerador después de 1 h del corte de energía?

b. ¿Cuántos minutos después del corte, la temperatura del refrigerador era 0 ºC?

c. ¿Después de cuánto rato la variación en la temperatura fue de 27 ºC?

2Unidad

Unidad 2 – Números y álgebra42

Números y álgebra

Habilidades• Comprender el concepto de potencia y aplicarlo en diversas situaciones.• Identificar regularidades en la multiplicación y división de potencias.• Verificar procedimientos para multiplicar y dividir potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva

y exponente natural.• Estimar mentalmente el valor de algunas potencias.• Interpretar información expresada en potencias.• Conjeturar, argumentar, verificar y aplicar propiedades de las potencias.• Establecer relaciones entre potencias y raíces cuadradas.• Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial, y potencias de base entera,

fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.• Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros.• Verificar las soluciones de una ecuación de primer grado con una incógnita.• Plantear ecuaciones de primer grado con una incógnita que representan distintas situaciones.• Representar, mediante expresiones algebraicas, situaciones numéricas y geométricas.

• Una potencia es la multiplicación de un factor repetidas veces por sí mismo. Al factor que se repite le llamamos base, y al número de veces que se repite dicho factor, exponente.

an

• El valor de la potencia es el producto total que se obtiene al multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente. Por convención, el valor de una potencia de base

distinta de cero y exponente cero es igual a 1. Es decir, si a ≠ 0: a0 = 1. Además, se cumple que:

1n = 1; a1 = a (con a ≠ 0).• Si la base de la potencia es 10 y el exponente es

positivo, el valor de la potencia queda expresado con la cantidad de ceros que indica el exponente. Si la base es 10 y el exponente es negativo, el valor de la potencia queda expresado con tantas cifras decimales como indica el valor absoluto del exponente. Por ejemplo: 108 = 100 000 000, 10–8 = 0,00000001.

P ara recordar

Números y álgebra

Potencias

Base

Exponente

Valor de la potencia

Crecimiento exponencial

Decrecimiento exponencial

Coeficiente

Variable

Expresión algebraica

Planteo

Resolución

Términos semejantes

Ecuación de primer grado

Término algebraico

Exponente

Base

Unidad 2 – Números y álgebra 43

• Esto nos permite expresar grandes cantidades como un producto de un número natural y una potencia de diez.

• Para multiplicar una potencia de base 10 y expo-nente natural:– por un número natural, se agrega a la derecha

del número tantos ceros como indique el exponente de la potencia.

– por un número decimal, se desplaza la coma tantos lugares a la derecha como indique el exponente de la potencia. Si no hay cifras suficientes, se agregan ceros.

• Para calcular la raíz cuadrada de un número positivo a, puedo buscar un número x cuyo cuadrado sea a. Es decir, x2 = a, entonces x = √a .

• Para calcular el valor de una potencia cuya base es una fracción, se puede calcular el valor de la potencia del numerador y del denominador.

En general: ( ab )n

= an

bn .

• Para multiplicar potencias de igual base, se puede conservar la base y sumar los exponentes. En general: an · am = an + m.

• Para multiplicar potencias con igual exponente, se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente. En general: an · bn = (a · b)n.

• En una potencia que tiene como base un número entero positivo y como exponente un número natural, el resultado es siempre positivo. Ejemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8.

• En una potencia que tiene como base un número entero negativo, el resultado es:– positivo, si el exponente es un número

natural par. Ejemplo: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4.– negativo, si el exponente es un número

natural impar. Ejemplo: (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8.

• Para calcular el valor de la potencia de una potencia, basta con mantener la base y multiplicar los exponentes. En general, si a es un número entero, n y m son números naturales, entonces: (an)m = an · m.

• Un término algebraico es una expresión matemática que tiene dos componentes: el coeficiente (o factor numérico) y el factor literal, compuesto por una o más letras con sus respectivos exponentes. Es decir, corresponde a un producto o cociente de números y letras.

• Una expresión algebraica es un conjunto de uno o más términos algebraicos unidos mediante operaciones de suma o resta.

• Los términos semejantes de una expresión algebraica son todos los que tienen el mismo factor literal, es decir, tienen las mismas letras y además, cuando incluyen potencias, el mismo exponente para cada una.

• Para reducir los términos semejantes de una expresión algebraica, se asocian los términos que son semejantes y luego se suman o restan, según corresponda.

• En el lenguaje algebraico, cuando se usa una letra para representar una variable, significa que esta puede tomar distintos valores numéricos. Se debe usar la misma letra cada vez que se refiere a esa variable.

• Valorizar una expresión algebraica significa remplazar las variables por valores numéricos y luego calcular su resultado.

• Si a los dos lados de una igualdad se suma o resta un mismo número, la igualdad se mantiene. Lo mismo ocurre si se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero.

• Una ecuación es una igualdad que contiene un valor desconocido llamado incógnita. Esta incógnita se puede representar mediante una letra.

• La solución de una ecuación es el valor que debe tomar la incógnita para que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar este valor.

• Para facilitar la resolución de ecuaciones con coeficientes fraccionarios, conviene amplificar cada término de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones presentes en la ecuación, y luego, resolverla.

• Cuando los coeficientes son números decimales, conviene amplificar cada término de la ecuación por la potencia de 10 que transforme en número natural al decimal con más cifras decimales, y resolverla.



1. En un restaurante se ofrecen desayunos a elección. Las opciones son:

Para beber Pan Dulce

Leche

Té

Café

Jamón

Queso

Huevo

Torta

Kuchen

Galletas

¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?, ¿qué expresión matemática permite calcularlo? ¿De qué otra forma se podrían determinar todas las posibilidades de menús?Como para beber se tienen 3 opciones, para el pan 3 opciones y para el dulce 3 opciones, entonces la expresión matemática que permite calcular todas las posibilidades es 3 · 3 · 3, que escrito como potencia es 33 = 27. Por lo tanto, existen 27 posibles menús.

Se podrían determinar mediante un diagrama de árbol. En la figura, se muestra el diagrama de árbol, en el cual se pueden representar las 27 posibilidades de menús.

2. ¿Se obtiene el mismo resultado al calcular 34 y (3 · 4)? Justifica tu respuesta.

No, pues al calcular la potencia, resulta 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.

Luego, (3 · 4), que también se puede escribir como (3 + 3 + 3 + 3), resulta 12.

Por lo tanto, 34 ≠ 3 · 4.

Concepto de potencia

1. Escribe cada potencia como multiplicación de factores iguales y, luego, calcula su valor.

a. 82 = h. 27 =b. 63 = i. 35 =c. 45 = j. 47 = d. 114 = k. 65 =e. 203 = l. 84 =f. 1006 = m. 503 =g. 25 = n. 104 =

2. Escribe las siguientes expresiones utilizando una potencia o una multiplicación y, luego, calcula su valor.

a. 2 · 2 · 2 = e. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 =b. 5 + 5 + 5 + 5 = f. 10 + 10 + 10 + 10 =c. 10 · 10 · 10 · 10 = g. 5 · 5 · 5 · 5 =d. 3 + 3 = h. 2 + 2 + 2 + 2 =


3. La potencia 26 tiene el mismo valor que:

I. 43

II. 23 · 82

III. 82

A. Solo II C. I y IIIB. Solo III D. I, II y III

4. El área de un cuadrado de lado 24 cm es:

A. 48 cm2 C. 216 cm2

B. 28 cm2 D. 416 cm2

5. La arista de un cubo cuyo volumen es 36 cm3 mide:

A. 3 cm C. 33 cmB. 32 cm D. 34 cm



Uni

dad

2

6. El valor de la potencia xn es igual a 1 si:

I. n = 1

II. x = 1

III. n = 0, con x ≠ 0.

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. II y III

7. Carolina envió a tres compañeras de curso un correo solidario, en el cual les pidió que cada uno se lo mande a otras tres personas y cada una de estas, a otras tres y así sucesivamente. Si todas cumplieron y las últimas personas que recibieron el correo fueron 6 561, ¿cómo repre-sentarías esta situación utilizando potencias? Justifica tu respuesta.

8. En un supermercado se venden tres marcas de alimentos para perros. Estos además, pueden ser a base de verduras, carne o pollo, y para cachorros, perros juveniles y adultos.

a. ¿Cuántas variedades de alimentos para perros ofrece el supermercado? Explica.

b. ¿Cuál es la potencia que representa la situación anterior?

c. Muestra en un diagrama de árbol todas las posibilidades.

9. Bernardo va a asistir a una fiesta y no sabe cómo vestirse. Tiene dos pantalones, uno negro y uno azul, dos tipos de calzado, zapatillas y zapatos, dos poleras, una blanca y una gris, y dos tipos de chalecos, uno con y otro sin botones.

a. ¿De cuántas maneras se podría vestir Bernardo? Utiliza potencias para resolver.

b. Muestra en un diagrama de árbol todas las posibilidades.

10.Una huerta de forma cuadrada, cuyos lados miden 16 metros, se ha dividido en cuatro partes iguales de forma cuadrada y, estos sectores a su vez, se han subdividido de la misma manera. ¿Cuál es el área de los sectores más pequeños? Muestra cómo lo calculaste.

11.Una caja contiene 9 rollos de género, cada uno con 9 metros de género. Expresa la cantidad de metros de género que hay en 9 cajas.

12.Una villa está formada por 12 manzanas y cada manzana tiene 12 casas. ¿Cuántas casas hay en 12 villas como la descrita?

13.La señora Mónica hace almuerzos caseros para oficinas. Para entregarlos, ella cuenta con cuatro repartidores que llevan cuatro cajas cada uno, dentro de las cuales van cuatro almuerzos. Para cumplir con los pedidos, diariamente cada repartidor debe realizar cuatro viajes. ¿Cuántos almuerzos debe enviar diariamente la señora Mónica?

14.Don Omar ahorra de tal forma que el primer mes ahorra $ 5 y luego cada mes ahorra 5 veces lo ahorrado el mes anterior. ¿Cuánto ahorra el séptimo mes?

15.Una tienda está liquidando sus productos por el cierre de local, de forma que cada semana se vende la mitad del stock, sin reponer ningún artículo. ¿Cuántas semanas transcurren hasta que se agotan todos los productos, si en un principio había 512 artículos?

16.Si el crecimiento diario de cierta bacteria es en base dos: es decir el día 0 hay 20 = 1 bacteria, el día 1 hay 21 = 2 bacterias y el día 2 hay 22 = 4, como lo muestra el siguiente diagrama.

a. ¿Cuántas bacterias hay después de 7 días?b. ¿Cuántas bacterias hay después de 10 días?c. ¿Cuál es la expresión matemática para conocer

el número de bacterias después de n días?

17.Un tipo de bacterias se duplica cada media hora. Si a las 8:30 h hay una bacteria, ¿cuántas bacterias habrá a las 14:00 h del mismo día?, ¿y a las 23:30 h? Utiliza potencias para resolver.


1. Escribe los siguientes números como un número natural multiplicado por una potencia de 10.

a. 247 000b. 6 900 000c. 16 800 000d. 48 000 000 000e. 7 420 000 000 000f. 364 000 000 000 000

2. Si la descomposición de un número es 7 · 107, ¿cuál es el número? Marca la opción correcta.

A. 7 000 000 C. 700 000B. 70 000 000 D. 700 000 000

3. Descompón los siguientes números utilizando potencias de 10.

a. 354 g. 5 608 122b. 1 560 h. 1 200 500c. 78 099 i. 17 630 043d. 99 410 j. 223 505 600e. 111 111 k. 8 000 000 450f. 236 870 l. 8 360 004 001

4. ¿Cuál es la descomposición en potencias de base 10 del número 12 004? Marca la opción correcta.

A. 1 · 105 + 2 · 104 + 4 · 100

B. 1 · 104 + 2 · 103 + 4 · 101

C. 1 · 105 + 2 · 104 + 0 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100

D. 1 · 104 + 2 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100

5. Escribe el número correspondiente a cada descomposición.

a. 3 · 103 + 5 · 102 + 2 · 100

b. 4 · 106 + 3 · 105 + 6 · 101

c. 5 · 104 + 5 · 102 + 5 · 100

d. 9 · 106 + 8 · 105 + 1 · 101

e. 6 · 109 + 1 · 102 + 2 · 100

f. 7 · 106 + 3 · 104 + 6 · 103 + 5 · 102 + 2 · 100

g. 3 · 109 + 2 · 107 + 5 · 105 + 1 · 102 + 8 · 100

h. 7 · 1010 + 5 · 108 + 6 · 104 + 1 · 102

i. 1 · 104 + 3 · 103 + 9 · 102 + 7 · 101 + 9 · 100

j. 3 · 105 + 3 · 104 + 2 · 103 + 1 · 102 + 1 · 100

k. 8 · 107 + 5 · 105 + 6 · 104 + 1 · 102 + 9 · 100

l. 8 · 107 + 5 · 106 + 3 · 105 + 3 · 102 + 1 · 101

m. 9 · 107 + 4 · 106 + 1 · 103 + 7 · 102 + 6 · 100

n. 1 · 108 + 9 · 106 + 9 · 105 + 9 · 102 + 9 · 100


1. Joaquín dice que su pueblo tiene un terreno cuya área es de 1 250 000 m2. Expresa su área utilizando una potencia de diez.

Para expresar el área del pueblo de Joaquín podemos hacer la siguiente descomposición:

1 250 000 = 125 · 10 000 = 125 · 104

Por lo tanto, el área se puede expresar como 125 · 104 m2.

2. Iván ha comprado en el supermercado Cuentas Claras algunos productos. Si Iván va a pagar con billetes de $ 10 000 y de $ 1 000, y monedas de $ 100, $ 10 y $ 1 utilizando la menor cantidad de billetes y monedas, ¿cómo debería cancelar para no recibir vuelto? Expresa este resultado utilizando potencias de base 10.

Para determinar exactamente con cuántos billetes y cuántas monedas debe cancelar, vamos a descomponer el número 25 723 en términos de 10 000, 1 000, 100, 10 y 1. Entonces, se obtiene:

25 723 = 20 000 + 5 000 + 700 + 20 + 3

= 2 · 10 000 + 5 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1

Expresado con potencias de 10 es:

25 723 = 2 · 104 + 5 · 103 + 7 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100

Luego, para no recibir vuelto, Iván debe cancelar con: 2 billetes de $ 10 000, 5 billetes de $ 1 000, 7 monedas de $ 100, 2 monedas de $ 10 y 3 monedas de $ 1.

Descomposición de números utilizando potencias de 10


Supermercado Cuentas Claras

Boleta Nº 2 3458 de agosto de 2011

18:36 h

5 · leche entera $ 2 9903 · pasta dental $ 1 2001 · detergente $ 4 5604 · fideos $ 14 2002 · salsa de tomates $ 9047 · sémola con leche $ 2 3171 · detergente 10 kg $ 12 332

TOTAL $ 25 723


Uni

dad

2

6. Descompón los siguientes números utilizando potencias de 10.

a. Tres millones doscientos mil.b. Quinientos cuarenta y cinco mil nueve.c. Quince millones trescientos cuarenta y tres mil

doscientos cuatro.d. Novecientos millones.e. Cuarenta y seis mil quinientos ochenta y siete.f. Ochenta millones.

7. Si a = 5 000, b = 100 y c = 60 000, calcula el valor de las siguientes expresiones y escríbelo usando potencias de 10.

a. a + b + cb. a · b + cc. a · b – cd. (a · b) + (c : b)e. c – a + bf. b · b + c + a + (c : b)

8. La población de Chile es aproximadamente 17 000 000 de habitantes.

a. Expresa la cantidad de habitantes de Chile con potencias de 10.

b. Si la población mundial es aproximadamente 400 veces más grande, escríbela usando potencias de 10.

9. Las estrellas son enormes bolas de plasma brillantes y muy calientes. La estrella roja Próxima Centauri se encuentra a unos 40 billones de kiló-metros de la Tierra aproximadamente. ¿Cómo se expresa esta distancia usando potencias de 10?


10.¿Qué número equivale a la descomposición 2 · 105 + 5 · 106 + 1 · 103 + 1 · 104 + 9 · 101?

A. 5 211 090B. 2 511 009C. 5 211 009D. 5 121 090

11.¿Cuál es el dígito que está en la posición de las centenas en 5 · 105 + 8 · 10 4 + 6 · 103 + 2 · 100?

A. 2 C. 6B. 8 D. 0

12.¿Cuál es el dígito de la decena de mil en la descom-posición 3 · 106 + 6 · 105 + 1 · 104 + 1 · 102 + 8 · 100?

A. 3 C. 0B. 6 D. 1

13.Compara y completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a. 12 · 104 12 567 b. 38 · 1014 38 · 1012 c. 98 000 000 000 98 · 106 d. 525 · 1015 5 250 · 1016

e. 423 · 1012 4 · 1015

f. 67 · 1022 6 700 · 1019

14.La superficie de Bolivia es aproximadamente 11 · 105 km2 y la de Perú es 1,3 · 106 km2.

a. Compara las superficies de Perú y Bolivia. ¿Cuál es mayor?

b. Escribe los números correspondientes a cada superficie.

15.Averigua cuál es el área de la Luna (en km2) y, luego, expresa este número como una descomposición utilizando potencias de 10.

16.La masa de la Tierra es aproximadamente 6 cuatrillones de kilogramos, es decir, 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos. Expresa esta cantidad utilizando potencias de 10.

17.La distancia que nos separa de la galaxia Andrómeda es 24 000 000 000 000 000 000 km, aproximadamente. Expresa esta distancia utilizando potencias de 10.

18.La distancia a los confines observables del universo es aproximadamente 460 000 000 000 000 000 000 000 km. Expresa esta distancia utilizando potencias de 10.

19.Al ordenar de menor a mayor los números 4 · 103, 3 · 104, 4 · 102, 402, 30 212, se obtiene:

A. 402, 4 · 102, 30 212, 4 · 103, 3 · 104.B. 4 · 102, 402, 3 · 104, 30 212, 4 · 103.C. 4 · 102, 402, 4 · 103, 3 · 104, 30 212.D. 402, 4 · 102, 4 · 103, 3 · 104, 30 212.

20.En al año 2010 la fundación Teletón organizó el evento “Chile ayuda a Chile” para construir veinte mil viviendas de emergencia e ir en ayuda de la gente afectada por el terremoto del 27 de febrero de ese mismo año. La meta era reunir quince mil millones de pesos. Escribe, usando potencias de 10, la cantidad de viviendas que se querían construir y la meta de dinero a reunir.



1. ¿Cuál es el resultado de (2,53 · 104) : 107?

Primero, debemos resolver el paréntesis, es decir, (2,53 · 104). En este caso, debemos desplazar la coma 4 lugares a la derecha del número 2,53 (pues el exponente de la potencia es 4) y añadir los ceros que falten. Con esto se obtiene:

(2,53 · 104) = 25 300

Luego, debemos dividir 25 300 por 107, entonces desplazamos la coma 7 lugares a la izquierda, pues el exponente de la potencia es 7. Esto resulta:

25 300 : 107 = 0,00253

Finalmente, (2,53 · 104) : 107 = 0,00253.

2. La rapidez de la luz es aproximadamente 300 000 km/s. Escribe en notación científica la distancia que recorre la luz en una hora.Primero calculamos cuántos segundos tiene una hora.

1 h = 60 min = 60 · 60 s = 3 600 s

Hacemos una proporción para calcular los kilómetros que recorre en 3 600 s.x

3 600 = 300 000

1 = 300 000

x = 3 600 · 300 000 = 3,6 · 103 · 3 · 105 = 1,08 · 109

Por lo tanto, la luz recorre 1,08 · 109 km en una hora.

1. Calcula los productos o cocientes.

a. 10 · 109 k. 5 : 101

b. 85 · 106 l. 10 : 103

c. 100 · 103 m. 784 : 102

d. 294 · 102 n. 2 366 : 102

e. 354 · 104 ñ. 35 498,456 : 103

f. 4 562 · 108 o. 0,9 : 105

g. 0,003 · 104 p. 0,5 : 108

h. 0,0025 · 1010 q. 35,87 : 103

i. 1,26 · 107 r. 456,1 : 103

j. 32,45 · 104 s. 0,00059 : 106

2. Compara los resultados en cada caso y completa con los signos <, > o =, según corresponda.

a. 0,55 · 104 55 000 : 102

b. 2,5 · 102 0,002 · 105

c. 0,0047 · 103 4 : 101

d. 88 000 : 104 0,88 · 101

e. 0,2 · 105 2 000 : 105

f. 999 : 106 0,0098 · 109

3. Calcula y ordena los productos de mayor a menor.

a. 2 · 103; 25 · 102; 0,2 · 105

b. 1 · 106; 0,01 · 104; 0,0001 · 108

c. 0,25 · 104; 0,26 · 103; 25 · 101

d. 0,536 · 106; 0,526 · 106; 536 · 106

e. 3 · 105; 3,5 · 105; 0,3 · 107

f. 0,999 · 105; 999 · 101; 9,99 · 102

4. Resuelve las siguientes operaciones.

a. (65 · 103) : 105 d. (62 000 : 103) : 102

b. (8,5 · 106) : 102 e. (2 · 102) · (3,5 · 104)c. (1 200 : 102) · 106 f. (3,6 · 105) : (0,2 · 102)


5. El resultado de (2,8 · 106) : (0,7 · 103) es igual a:

I. 4 · 102

II. 0,4 · 103

III. 0,04 · 105

A. Solo I C. Solo II y IIIB. Solo III D. I, II y III

6. ¿Cuál es el dígito de la unidad de mil al calcular (0,2356 · 103) · 105?

A. 0 C. 5B. 6 D. 2

7. Para realizar una cirugía, un médico necesita una aguja de 0,3 mm de diámetro. Esta medida escrita en metros es:

A. 0,3 · 103 m C. 0,3 : 103 mB. 0,3 · 104 m D. 0,3 : 104 m

Multiplicación y división por potencias de 10



Uni

dad

2

8. El volumen de una piscina es 30 000 L. Si 1 L = 1 000 cm3, entonces el volumen de la piscina escrito en centímetros cúbicos es:

A. 3 · 104 cm3 C. 3 · 106 cm3

B. 3 · 105 cm3 D. 3 · 107 cm3

9. El valor de la expresión (1 · 10m) : (0,1 · 10n) es igual a 1 si:

I. m = 4, n = 5II. m = 3, n = 1

III. m = 6, n = 5

A. Solo I C. Solo IIIB. Solo II D. I y III

10.¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que 0,02 : 103?

A. 4 : 105

B. 70 : 106

C. 6 : 106

D. 0,5 : 103

11.Al dividir 3,6 · 1024 por 108, se obtiene:

A. 3,6 · 103 B. 3,6 · 1016 C. 3,6 · 1032 D. 3,6 · 1012

12.Rodrigo quiere saber la cantidad de hojas que hay en un tipo de árbol. Si por cada rama hay 102 hojas y el árbol tiene alrededor de 102 ramas:

a. ¿cuántas hojas hay en el árbol?b. Nicolás, el hermano de Rodrigo, dice que en

otro tipo de árbol hay en total 105 hojas y 103 ramas, ¿cuántas hojas tiene cada rama?

c. Si en la plaza donde juegan Rodrigo y Nicolás hay 10 árboles de cada tipo con una cantidad de hojas similares, ¿cuántas hojas de árbol habría en la plaza?

13.Las ganancias que una empresa recibió en el 2009 ascienden a $ 2,5 · 107.

a. Si el año 2010 las ganancias fueron de un 15 % más que el año 2009, ¿cuánto dinero obtuvieron de ganancias entre el 2009 y 2010? Expresa el resultado como un número natural.

b. Si el año 2011 la empresa obtuvo ganancias correspondientes al 90 % de lo recibido en el 2010, ¿cuánto dinero obtuvo de utilidad la empresa ese año? Expresa el resultado utilizando potencias de 10.

14.Se estima que cada habitante produce en promedio 0,5 kg de basura al día. Si se estima que los habitantes en Chile en el año 2012 son 1,75 · 107, calcula:

a. ¿cuántos kilogramos de basura producen los habitantes chilenos en un día?

b. ¿cuántos kilogramos de basura producen en un mes (30 días) los chilenos?

c. ¿cuántos kilogramos de basura producirán los chilenos en el 2012?

15.Dado un cubo de 20 cm de arista, calcula:

a. su área total y expresa el resultado utilizando potencias de diez.

b. su volumen y expresa el resultado utilizando potencias de diez.

16.Lucía observa un prisma recto de base cuadrada. Si su arista basal mide 100 cm y su altura mide 500 cm, calcula:

a. el área total del prisma y expresa el resultado utilizando números naturales y potencias de 10.

b. el volumen del prisma y expresa el resultado utilizando números naturales y potencias de 10.

17.Las hormigas son insectos pequeños que habitan en casi todo tipo de medioambiente. Se estima que su número es 10 000 billones viviendo sobre la Tierra. Además, su tamaño varía entre 0,75 y 52 mm.

a. Expresa el número estimado de hormigas usando números naturales y potencias de 10.

b. Expresa el menor tamaño que pueden tener las hormigas usando números naturales y potencias de 10.

18.Ignacia compró 650 m de cordón rojo, 820 m de cordón verde y 940 m de cordón amarillo. El cordón rojo lo cortó en 10 trozos iguales, el verde en 100 trozos iguales y el amarillo en 1 000 trozos iguales.

a. ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón rojo, de cordón verde y de cordón amarillo?

b. Si quisiera cortar el cordón amarillo en 105 trozos iguales, ¿cuánto mediría cada trozo?

c. ¿Cómo dividirías rápidamente un número por una potencia de base 10?


Potencias de 10 con exponente entero

1. Calcula los siguientes productos o cocientes.

a. 25 · 10–4 m. 33 · 103

b. 82 · 10–3 n. 100 · 10–2

c. 92 · 10–7 ñ. 504 · 10–3

d. 605 · 10–6 o. 951 · 10–3

e. 132 · 105 p. 1 354 · 10–5

f. 122

105 q. 856 324 · 10–6

g. 503

103 r. 82

10–5

h. 42

104 s. 74

10–3

i. 603

10–4 t. 802

10–5

j. 152

10–5 u. 322

10–4

k. 7002

10–6 v. 6003

10–2

l. 8002

10–5 w. 1002

10–3

2. Representa los siguientes números como el producto de un número natural por una potencia de 10.

a. 2,5 k. 123,4 b. 4,123 l. 324,25 c. 5,58 m. 455,70 d. 65,23 n. 860,45 e. 0,5 ñ. 1 000,456 f. 0,8 o. 1 235,147 g. 0,01 p. 2 652,3254 h. 0,002 q. 5 354,3654 i. 0,000001 r. 23 654,628 j. 0,00009 s. 123 895,6584

3. Remplaza los valores de a y b, realiza los cálculos y, luego, completa la tabla.

a b a ∙ b a : b 64 10–3

9 10–6

162 10–2

303 10–7

602 10–4

204 10–5


1. Calcula la expresión (2 ∙ 10–3) : (4 ∙ 104) y luego expresa el resultado como un producto de un número natural por una potencia de 10.

Primero resolvemos (2 · 10–3) = 2 · 1103

= 2 : 103 = 0,002.

Luego, (4 · 104) = 4 · 10 000 = 40 000.

Entonces, 0,002 : 40 000 = 0,00000005.

Finalmente, el resultado expresado como producto de un número natural por una potencia de 10 es:

0,00000005 = 5 · 10–8

2. Un micrómetro equivale a una millonésima parte de un metro, o sea, 1 μm = 10–6 m. Si una bacteria mide 1 μm, ¿cuántas bacterias podemos alinear en un centímetro? Escribe el resultado, usando potencias de 10.

Para encontrar la cantidad de bacterias que se pueden alinear en un centímetro, debemos dividir un centímetro en micrómetros. Para esto expresamos ambas unidades en metros de la siguiente manera:

1 μm = 10–6 m

1 cm = 10–2 m

Realizamos la división10–2

10–6 = 0,01 : 0,000001 = 10 000 = 104

Por lo tanto, podemos alinear 10 000 bacterias en un centímetro.



Uni

dad

2

4. Calcula y expresa el resultado como producto de un número natural por una potencia de 10.

a. 52

10–4

b. 33 · 10–3 c. 122 · 10–5 d. (1 · 104) · (4 · 10–2) e. (8 · 10–2) : (2 · 10–3)f. (25 · 10–4) : (2 · 10–2)

g. (4 · 103) · (6 · 10–6)8 · 10–3

5. En el triángulo EFG, rectángulo en F, que se observa en la figura, sus catetos miden 30 cm y 40 cm. Calcula, expresando los resultados como producto de un número natural por una potencia de 10.

a. El área del triángulo EFG.b. Expresa el área en m2.c. El perímetro del triángulo EFG.d. Expresa el perímetro en m.

6. La distancia aproximada desde Puerto Montt a Iquique es de 2 814 km. ¿Cómo se expresa esta distancia en centímetros? Expresa el resultado como producto de un número natural por una potencia de 10.


7. La potencia 23 tiene el mismo valor que la o las expresiones:

I. 23

10–1

II. (23 · 102) · 10–2

III. 80 · 10–1


8. El número decimal 0,0000007 es igual a:

A. 7 · 10–7

B. 7 · 107

C. 7 · 10–6

D. 710–7

9. ( 82

10–3) =A. 64 · 102

B. 64 · 10–3

C. 64 · 103

D. 64 · 106

10.Si a = 2 · 10–1 y b = 3 · 10–2, se puede afirmar que:

I. a + b = 0,23

II. a – b = 0,17

III. a + b = 23 · 10–2

A. Solo IB. Solo IIC. I y IIID. I, II y III

11.Observa y, luego, responde:

1 km = 1 000 m, 1 m = 100 cm

a. ¿Cuál es la potencia de base 10 que permite convertir de kilómetros a metros?, ¿cómo lo harías?

b. ¿Cuál es la potencia de base 10 que permite convertir de centímetros a kilómetros?, ¿cómo lo harías?

12.El lado del cuadrado EFGH mide 3,5 m. Si la medida del lado del cuadrado ABCD es el doble que la del más pequeño, responde:

D C

A B

H

E

G

F

a. ¿Cuánto mide el área sombreada? Expresa el resultado utilizando potencias de 10.

b. Si expresaras las medidas en cm2, ¿qué poten-cia de 10 permite realizar el procedimiento? Muestra cómo quedaría el resultado que obtuviste en a en cm2.

13.Una bacteria de 1 μm de longitud se reproduce dividiéndose en diez cada diez horas. ¿Cuántas horas deben pasar para tener una cantidad de bacterias que puedan alinearse en 1 cm?

E

F G


1. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a. 34 · 3 =b. 46 · 42 =c. 65 · 62 =d. 135 : 134 =e. 68 : 38 =f. 87 : 27 =g. 453 : 153 =

2. Completa la siguiente tabla.

a b a2 b2 a2 · b2 (a · b)2

3 2

5 9

3 11

2 5

3. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y escribe el resultado.

a. 24 · 2 =b. 52 : 5 =c. 33 · 32 =d. 133 : 13 =e. 26 · 36 =f. 53 : 53 =g. 44 · 44 =h. 1010 : 107 =

4. Escribe las siguientes expresiones utilizando una sola potencia.

a. (56 : 52) · 5 =b. 46 : 42 =c. 74 · 73 =d. (86 : 83) · 82 =e. (32 : 33) · 39 =

5. Compara los resultados en cada caso y completa con el signo <, > o =, según corresponda.

a. 100 · 10 50 · 52 b. 22 : 2 22 · 2c. 43 : 42 64 : 24

d. 300 1e. 175 : 174 172

f. 55 · 5 3 125

6. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. (23)2 =b. (32)2 =c. (52)3 =d. (123)2 =e. (76)1 =

7. ¿A qué potencia equivale la expresión: 23 + 53 + 62? Marca la opción correcta.

A. 132

B. 135

C. 138

D. 605


1. Rosario tiene 8 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatos. ¿De cuántas formas diferentes se puede vestir?

Si lo expresamos como potencias, Rosario tiene 23 poleras, 22 pantalones y 21 pares de zapatos. Para calcular todas las combinaciones posibles, podemos multiplicar 23 · 22 · 21 y obtenemos 23 + 2 + 1 = 26.

Luego, Rosario tiene 26 formas diferentes para vestirse, que corresponde a 64 tenidas distintas.

2. Nicolás construyó una maqueta para presentar su proyecto y le explica a su profesor que 1 cm en la maque-ta corresponde a 22 m en la construcción. Si en su maqueta hay un cubo cuya arista mide 49 cm, ¿cuál sería el volumen del edificio representado por este cubo?

La arista del cubo en la maqueta mide 49 cm, lo que se puede representar como 72 cm.

Si cada centímetro en la maqueta corresponde a 22 m en la construcción, entonces la arista en el edificio se puede calcular multiplicando 72 · 22, obteniendo: (7 · 2)2 = 142. Lo que significa que mide 142 m.

Para calcular el volumen del edificio se puede multiplicar 142 · 142 · 142 = 146, entonces el volumen es 146 m3.

Multiplicación y división de potencias de igual base o de igual exponente


Uni

dad

2


8. Para multiplicar 6 · 4 · 24, se puede descomponer cada factor en factores primos. Así, queda (3 · 2) · (22) · (23 · 3) y, utilizando las propiedades de potencias, obtienes 26 · 32 = 64 · 9 = 576. Usando este procedimiento, calcula:

a. 100 · 25 · 16 = c. 18 · 72 · 6 =b. 15 · 75 · 27 = d. 21 · 49 · 28 · 9 =

9. Resuelve utilizando potencias. Guíate por el ejemplo. 16 · 25 · 9 = 42 · 52 · 32 = (4 · 5 · 3)2 = 602 = 3 600

a. 49 · 25 · 4 = c. 32 · 243 =b. 216 · 125 = d. 27 · 8 · 64 =

10.Si la arista de un cubo mide 33 cm, expresa como potencia:

a. el área de cada cara del cubo.b. el área total del cubo.c. el volumen del cubo.


11.¿A qué expresión es equivalente el producto de 3 · 2 · 81 · 4?

A. 23 · 35 C. 23 · 34

B. 24 · 35 D. 2 · 35

12.¿Cuál de las siguientes expresiones no es equivalente a 604?

A. 3602 C. (62 · 100)2

B. (4 · 3 · 5)4 D. 12 960 000

13.La piscina de un estadio tiene 2 m de profun-didad, 50 m de largo y 21 m de ancho. Si Felipe tiene una piscina de 3 m de ancho, 10 m de largo y 2 m de profundidad, ¿cuántas veces más grande es la piscina del estadio que la de Felipe?

14.Emiliano puede tomar dos caminos distintos para llegar al colegio. Después de su jornada escolar tiene cuatro rutas diferentes para llegar al depar-tamento de su tía Catalina. En la noche, puede escoger entre ocho caminos para volver a su casa. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el recorrido completo del día? Usa las potencias para resolver.

15.El casino de una empresa ofrece para la hora de almuerzo 3 platos distintos, con 3 opciones de postre y 9 sabores de jugos. ¿De cuántas maneras puedes pedir tu almuerzo en este casino? Usa las potencias para resolver.

16.Calcula el área de un cuadrado de lado 24 cm. Luego multiplica por 23 cada lado. ¿Cuánto mide el área de este nuevo cuadrado? Expresa el resultado utilizando potencias de base 2.

17.El lado de un triángulo equilátero mide 3 cm. Si cada lado aumenta 33 veces, ¿cuánto mide el perímetro de este nuevo triángulo en potencias de base 3?

18.El equipo de gimnasia rítmica de un colegio debe elegir su uniforme deportivo para el próximo año. Como propuesta llegaron 2 tipos de zapatillas, 8 mallas y 4 faldas. ¿Cuántas combinaciones de ropa pueden formar? Usa las potencias para resolver.

19.Calcula el volumen de un prisma de base rectangular de altura 43 cm, ancho 27 cm y largo 48 cm.

20.La arista de un cubo mide 25 cm. Si se quintuplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado en potencias de 5?

21.El largo de un un prisma de base rectangular mide 43 cm, el alto 42 cm y el ancho 4 cm.

a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma expresado en potencias de 4?

b. ¿Cuánto aumenta el volumen del prisma, si cada una de sus aristas aumenta cuatro veces?

c. ¿Cuánto disminuye el volumen del prisma si cada arista se divide en 4?

22.En un restaurante de comida saludable el menú consta de 3 tipos diferentes de entradas, 9 tipos de platos de fondo y un número desconocido de postres. Si en total se pueden formar 81 diferentes menús, ¿cuántos diferentes postres existen en el menú? Utiliza potencias para resolver.

23.Responde y observa lo que sucede al multiplicar sucesivamente 2.

a. Calcula 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.b. Observa el dígito que se ubica en la posición

de las unidades, ¿qué puedes concluir?c. Explica cómo puedes calcular el dígito que se

encuentra en la posición de las unidades de 217.d. Calcula el dígito de las unidades de los números

219, 221, 230 y 232.


Preparando el SIMCE


1. El valor de la potencia 26 es igual a:

I. 62

II. 43

III. 82

A. Solo IIIB. I y IIC. II y IIID. I, II y III

2. 32 + 23 – 40 – 52 + 22 =

A. –5B. 45C. 5D. –8

3. La expresión 210 : 27 se puede expresar como:

A. 217

B. 23

C. 270

D. 43

4. La expresión 32 + 33 es igual a:

A. 35

B. 65

C. 62

D. 151

5. El resultado de (2 500 : 102) : (0,05 · 102) es:

A. 25B. 5C. 50D. 125

6. El valor de (0,7)3 es:

A. 0,00343B. 0,343C. 343D. 0,0343

7. El producto de (45 000 : 102) por 105 es:

A. 45 · 107

B. 45 · 103

C. 45 · 106

D. 45 · 105

8. El valor de x en la expresión (0,001)x = 1 es:

A. 0B. 1C. 2D. 3

9. El área del cuadrado de la figura es:

A. 26 cm2

B. 29 cm2

C. 46 cm2

D. 62 cm2

10.¿A qué número corresponde la descomposición 4 · 107 + 2 · 106 + 4 · 103 + 2 · 104 + 2 · 102?

A. 42 240 200B. 42 024 200C. 42 024 020D. 42 204 200

11.¿Cuál es el largo de un rectángulo si su área es 25 cm2 y su ancho es 22 cm?

A. 27 cmB. 22 cmC. 23 cmD. 210 cm

12.¿Cuál es el área de una región rectangular si su largo es 35 cm y su ancho corresponde a un tercio de la medida anterior?

A. 34 cm2

B. 310 cm2

C. 38 cm2

D. 39 cm2

13.¿Cuál es el dígito de las centenas en la descom-posición 3 · 107 + 4 · 104 + 1 · 105 + 2 · 103 + 7 · 101?

A. 2B. 0C. 7D. 4

14.Una bacteria se reproduce dividiéndose en 2. Si la división se produce cada 1 hora e inicialmente había una sola bacteria, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de bacterias al término de 6 horas?

A. 2 · 12B. 2 · 6C. 26

D. 212

A B23 cm

CD

Uni

dad

2


15.El ancho y largo de un envase de jugo con forma de prisma de base rectangular mide 9 cm y su alto es 16 cm. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la capacidad total del envase?

A. (3 · 3 · 4)2

cm3

B. (9 · 9 · 16)2 cm3

C. (92 · 92 · 162) cm3

D. (3 · 3 · 4)3 cm3

16.Un tipo de bacteria se duplica cada 6 minutos. ¿Cuántas habrá luego de una hora si en un comienzo había 3 bacterias?

A. 512B. 1 024C. 1 536D. 3 072

17.Para hacer su árbol familiar, Lucas parte por él, luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos y tatarabuelos. ¿Qué potencia representa la cantidad de tatarabuelos de Lucas?

A. 24 B. 25 C. 44

D. 23

18.La expresión 32 · 42 · 52 es equivalente a:

A. 6 · 8 · 10B. 3 · 4 · 5 · 2C. (3 · 4 · 5)2

D. (3 + 4 + 5)2

19.El valor de la potencia 28 es:

A. 16B. 64C. 128D. 256

20.El volumen de un cubo, cuya arista mide 128 cm, es:

A. 27 cm3

B. 214 cm3

C. 218 cm3

D. 221 cm3

21.¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo mide 44 cm y su ancho es 24 cm?

A. 27 cm2 B. 88 cm2 C. 212 cm2

D. 64 cm2

22.El número 124 es:

A. Menor que 100.B. Mayor que 100 y menor que 1 000.C. Mayor que 1 000 y menor que 10 000.D. Mayor que 10 000.

23.La relación incorrecta es:

A. (a : b)n = (an : bn)B. an · bn = (a · b)n

C. an + bn = (a + b)n

D. an · am = a(n + m)

24.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. El valor de una potencia de base 10 y cuyo exponente es un número natural, es siempre mayor que 1.

B. Para multiplicar potencias con igual exponente, se pueden multiplicar las bases y conservar el exponente.

C. En una potencia de base 10 con exponente negativo, el exponente indica la cantidad de ceros que acompañan a la unidad.

D. Para calcular la potencia de una potencia, se puede conservar la base y multiplicar los exponentes.

25.La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como potencia de base 3?

A. 36 cm3

B. 39 cm3

C. 310 cm3

D. 312 cm3

26.Una compañía vende cajas de lápices de colores con 6 unidades. Las cajas vienen agrupadas en bolsas de 6. En las repisas donde se guardan, se pueden almacenar 36 bolsas.

a. ¿Qué potencia expresa la cantidad de lápices que hay en una repisa? ¿Cuántos lápices hay?

b. Si en una ciudad hay 216 repisas de la com-pañía que almacenan la misma cantidad de bolsas, ¿cuántos lápices hay en la ciudad?

c. Si en el país hay 6 ciudades, con 216 repisas cada una que almacenan lápices de colores, ¿cuántos lápices hay en el país?



1. Calcula el valor de ( 47 )6

.

( 47 )6

= 47

· 47

· 47

· 47

· 47

· 47

= 4 096117 649

2. Un grupo de investigación determinó que una clase de bambú crecía, en metros, según la función f(n) = ( 54 )n,

donde n representa los días trascurridos. Si han pasado 3 días, ¿cuántos metros mide el bambú? Si han pasado

5 días, ¿cuántos metros aproximadamente mide el bambú?

Si han pasado tres días entonces f (3) = ( 54 )3

= 54

· 54

· 54

= 1,953125. Lo que significa que el bambú mide 1,95 m aproximadamente.Si han pasado 5 días entonces f (5) = ( 5

4 )5 = 5

4 · 5

4 · 5

4 · 5

4 · 5

4 = 3,051758. Lo que significa que el bambú mide

3,05 m aproximadamente.

Potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. 23

· 23

· 23

· 23

· 23

=

b. 75

· 75

· 75

· 75

=

c. 29

· 29

· 29

· 29

· 29

=

d. 133

· 133

· 133

· 133

· 133

=

e. 4,3 · 4,3 · 4,3 · 4,3 · 4,3 =

f. 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 =

g. 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 =

h. 4,94 =

i. ( 67 )5

=

j. 7,46 =

k. ( 52 )3

=

2. Completa la siguiente tabla, escribiendo el resultado en cada casillero como una sola potencia.

a b a · b a : b

0,125 0,5

0,0625 0,25

0,04 0,2

(0,5)5 (0,25)2

3. Calcula las siguientes potencias.

a. 15

· 15

· 15

· 15

=

b. 37

· 37

· 37

· 37

· 37

=

c. 25

· 25

· 25

· 25

=

4. Calcula las siguientes potencias.

a. ( 12 )2

= f. (0,7)2 =

b. ( 23 )3

= g. (0,8)6 =

c. (0,1)5 = h. (0,8)2 =

d. (0,5)2 = i. (0,4)3 =

e. (0,3)3 = j. ( 12 )5

=

5. ¿Cómo se representa el valor de la expresión 0,5 · 0,25 · 0,0625 escrita como una sola potencia? Marca la opción correcta.

A. (0,5)7 B. (0,5)6

C. 56

D. (0,25)7

6. Si el diámetro de un átomo de hidrógeno mide 0,0000000106 cm, ¿cuántos metros mide su radio? Exprésalo como una multiplicación entre un número natural y una potencia de 10.



Uni

dad

2

7. Compara y completa con el signo <, > o =, según corresponda.

a. ( 19 )0

(1,5)0

b. (3,2)2 ( 23 )2

c. (4,5)3 ( 92 )3

d. (5,3)1 (2,3)2

e. ( 17 )5

( 17 )2

f. (2,1)4 (1,9)3

8. En un experimento, se pudo observar que una

población de bacterias (P) después de aplicar

el antídoto decrecía según la expresión

P = ( 14 )n· M, donde M es la población inicial y

n representa los días transcurridos desde que se

aplicó el antídoto. ¿Cuántos días deberían pasar

para que la población llegue a ser 0,0625M?

9. La arista de un cubo mide 53

cm. Si las aristas

aumentan ( 53 )2

veces, ¿cuál es el volumen del nuevo

cubo expresado en una potencia de base 53

?

10.En un prisma de base rectangular, el largo mide 1,23 m, el alto mide 1,22 m y el ancho, 1,2 m.

a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma expresado en una potencia de base 1,2?

b. ¿Cuánto mide el área total del prisma expresado en una potencia de base 1,2?

c. ¿Cuánto aumenta el volumen del prisma, si cada una de sus aristas aumenta cuatro veces?

d. ¿Qué sucede con el volumen del prisma si cada arista se divide por 0,2?

e. ¿Qué sucede con el volumen del prisma si cada arista se divide por 0,4?


11.¿Cuál de las siguientes expresiones no es

equivalente a ( 310 )4

?

A. 0,0081

B. 8110 000

C. 811 000

D. ( 9100)2

12.¿Cuál es el valor de la potencia (2,22)3?

A. 6,66B. 8,88C. 4,9284D. 10,941048

13.La cuarta parte de la cuarta parte de la cuarta parte de 40 es:

A. 2,5B. 0,25C. 0,625D. 0,015625

14.En una tienda se necesita calcular el 50 % del 50 % del 50 % del 50 % de $ 20 000.

a. Escribe una expresión en la cual uses fracciones para realizar el cálculo.

b. Escribe una expresión en la cual uses decimales para realizar el cálculo.

c. ¿Cuál es el resultado buscado?

15.A una fiesta asisten 125 personas, de las cuales el 60 % son mujeres. Del total de las mujeres, tres quintos usa zapatillas y de estas el 60 % baila.

a. Escribe una expresión con decimales que te permita calcular la cantidad de mujeres que está bailando. ¿Cuántas son?

b. Si de los hombres que hay en la fiesta, la mitad tiene el pelo ondulado, y de estos solo el 20 % está sentado, ¿cuántos hombres de pelo ondulado están de pie?

16.Observa la siguiente secuencia y responde.

( 35 )1

, ( 35 )2

, ( 35 )3

, ( 35 )4

, ...

a. ¿Cuál es el sexto término de la secuencia? Escríbelo como potencia.

b. Calcula el valor del quinto término de la secuencia.

c. Escribe como números decimales los cinco primeros términos de la secuencia.

d. ¿En qué término el número de la secuencia es menor que 0,05?

e. ¿Qué pasará si sigues haciendo este proceso sucesivamente? Usa una calculadora para obtener más términos de la secuencia.

f. Inventa otra secuencia donde ocurra la mismo.g. ¿En qué te fijaste para crear otra secuencia?



1. En un experimento Francisco observó que al dejar caer una pelota de tenis desde una altura de 100 m,

cada rebote alcanzaba una altura aproximada de H = ( 14 )n · 100 metros, donde n representa el número

de rebote, ¿cuántos metros de altura alcanza el tercer rebote?

Debemos evaluar la expresión para n = 3, es decir, ( 14 )3 · 100 = 1,5625. Lo que significa que el tercer rebote tiene

1,5625 m de altura.

2. Simplifica de dos maneras distintas la siguiente expresión:

( 23 )3

· ( 12 )3

· ( 32 )4

· ( 13 )4

Podemos aplicar la propiedad de potencias de igual exponente:

( 23 )3 · ( 1

2 )3 · ( 32 )4 · ( 1

3 )4 = ( 23

· 12

)3 · ( 3

2 · 1

3 )4

= ( 13 )3 · ( 1

2 )4 = 127

· 116

= 1432

Otra manera de calcular el resultado es aplicando la propiedad de división de potencias:

( 23 )3 · ( 1

2 )3 · ( 32 )4 · ( 1

3 )4 = 23

33 · 1

23 · 34

24 · 1

34

= 23 · 1 · 34 · 133 · 23 · 24 · 34

= 124 · 33

= 116 · 27

= 1432

Multiplicación y división de potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural

1. Escribe como multiplicación o división de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a. ( 25 )3

· 25

= e. 0,39 : 0,35 =

b. ( 57 )2

· ( 56 )3

= f. 0,68 : 0,38 =

c. ( 43 )2

· ( 43 )6

= g. 0,87 : 0,27 =

d. 0,53 · 0,53 = h. 0,93 : 0,33 =

2. Calcula y completa la siguiente tabla.

a b a 2 b2 a 2 · b2 (a · b)2

0,3 2,4

7,3 5,2

24

46

52

34

3. Calcula el valor de cada potencia, resuelve las operaciones y escribe el resultado.

a. (0,1)4 · 0,1 =

b. (5,3)2 : 5,3 =

c. ( 34 )3

· ( 34 )2

=

d. 13,23 : 13,2 =

e. ( 410)6

· ( 52 )6

=

f. (0,8)7 : (0,2)7 =

g. [( 35 )3]2 =

h. [( 47 )2]4 =

4. Escribe cada expresión como una sola potencia y calcula su valor.

a. ( 25 )3

· 8125

=

b. ( 68 )4

: (6436)3

=

c. [( 45 )3]3 =



Uni

dad

2


a. 10,30 · 5,2 (5,2)0 · (56,2)2

b. 2,25 : 2,2 2,28 · 2,2

c. (0,4)5 : (0,4)4 (0,6)5 : (0,3)4

d. 30,30 1

e. ( 35 )5

: ( 35 )4

(17,4)2

f. (0,5)3 · (0,5) 0,0625

6. Calcula el valor de cada potencia de una potencia:

a. [( 27 )3]3 =

b. ((0,8)2)5 =

c. [( 34 )3]2 =

d. ([0,2]5)1 =

e. [( 27 )6]1 =

f. [( 47 )3]2 =

7. Resuelve las siguientes operaciones.

a. ( 72 )2

· ( 72 )3

=

b. ( 13 )3

: ( 13 )3

=

c. ( 37 )9

: ( 37 )6

=

d. ( 25 )7

: ( 25 )5

=

e. (0,4)2 : (0,4) =

f. (0,6)2 : 0,6 =


8. La expresión (1,1)2 · 102 es igual a:

A. 11 C. 10B. 121 D. 100

9. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones no es

equivalente a ( 0,62 · 33 · 10102 · 27 )?

I. 62

103

II. 0,62

103

III. 0,62 · 0,1

A. Solo I C. II y IIIB. Solo II D. I y III

10.En un triángulo equilátero cada lado mide ( 13 )2

m.

a. Si cada lado se multiplica por 13

, ¿cuánto mide

el perímetro del nuevo triangulo en potencias

de base 13

?

b. Si cada lado se multiplica por ( 13 )3

, ¿cuánto

mide el perímetro del nuevo triángulo en

potencias de base 13

?

c. Si cada lado se multiplica por ( 13 )5

, ¿cuánto

mide el perímetro del nuevo triángulo en

potencias de base 13

?

11.En un programa de erradicación de pulgones se utilizan chinitas, por ser su depredador natural. Si inicialmente había 1 000 pulgones y cada día sobrevive el 90 %, ¿cuántos pulgones hay en el día 3, desde que se comenzó la erradicación?

12.Marcela ahorra dinero en el banco y el primer mes depositó $ 30 000. Durante 5 meses el banco aumentó, mensualmente, el 10 % de lo que había en la cuenta.

a. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado Marcela al término del primer mes.

b. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado Marcela al término del segundo mes.

c. ¿Cuánto dinero tiene Marcela en su cuenta al término de los 5 meses?

13.Calcula el volumen de un prisma de base rectan-gular cuya altura mide 0,93 cm, su ancho 0,92 cm y su largo 0,812 cm.

14.¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente

a ( 13 )3

· ( 310)3

· ( 57 )3


A. (1570)3

C. ( 321)3

B. ( 114)3

D. ( 15210)27

15.La arista de un cubo mide 1,2 cm. Si aumenta 1,44 veces, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado en potencia de 1,2?


1. Calcula el valor de cada potencia.

a. 68 =b. 153 =c. (−4)6 =d. (−8)7 =e. (−13)5 =f. 45 =g. −34 =

2. Completa la siguiente tabla.

a b a 2 b 2 a 2 · b 2 (a · b)2

2 –1

4 –3

–6 7

9 –1


a. 24 =b. 53 =c. 133 =d. (−3)3 =e. (−5)2 =f. (−13)3 =


a. 43 24

b. 175 172

c. (−30)0 1d. 100 (−10)0

e. −2 22

f. (−5)5 3 125

5. Calcula el valor de cada potencia de una potencia.

a. (23)2 =b. ((−3)2)2 =c. [(−5)2]3 =d. ([−1]2)25 =e. ([−7]6)1 =

6. Javier tiene ahorros que llamaremos $ x, pero desea conseguir un crédito para comprar un automóvil. Él calcula que cada día tiene que pagar su deuda en potencias de 2, es decir el día inicial cancela 21 = $ 2, el segundo día 22 = $ 4, el tercer día 23 = $ 8 y así sucesivamente. Si el cálculo lo lleva a darse cuenta de que el día 22 ya no tendría ahorros, ¿cuál es una aproximación de los ahorros de Javier?


1. Calcula las siguientes potencias 30, 33, (–3)3, –33, 34, (–3)4, –34.

30 = 1

33 = 3 · 3 · 3 = 27

(–3)3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27

–33 = – 3 · 3 · 3 = –27

34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81

(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81

–34 = – 3 · 3 · 3 · 3 = –81

2. Calcula el valor de la expresión ( 34 )2

· (–7)3

( 322)3

· 14.

Aplicamos la propiedad de división de potencias y calculamos.

( 34 )2

· (–7)3

( 322)3

· 14 = 32 · (–7)3 · 26

42 · 33 · 14

= 32 · –73 · 26

24 · 33 · 2 · 7 = –72 · 2

3

= –49 · 23

= –983

Potencias de base entera y exponente natural



Uni

dad

2

7. La arista de un cubo mide 9 cm. Si se triplica, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado como una potencia de base 3?

8. Escribe como multiplicación de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a. −54 · −5 =b. (−4)2 · (−2)2 =c. (−4)5 · (−4)2 =d. (9)5 : 35 =e. (−6)8 : (−3)8 =f. (−8)7 : 27 =g. 454 : 154 =


a. 24 · 25 =b. (−3)3 · (−3)2 =c. (−13)3 : (−13) =d. 53 : 53 =e. (−5)2 : (−5) =f. 133 : 13 =

10.Compara los resultados en cada caso y completa con el signo <, > o =, según corresponda.

a. 70 · (−7) (−8)0 · 10

b. −22 : (−2) 22 · 2

c. 43 : 42 64 : 24

d. (−30)0 1

e. 175 : 174 172

f. (−25)5 · (−5) 3 125

11.Calcula el valor de las siguientes expresiones.

a. (23)2 : 4 =b. 93 : ((−3)2)2 =c. [252] · [(−5)2]3 =d. ([−1]2)25 : (−1)12 =e. (−75) · ([−7]6)1 =

12.Escribe las siguientes expresiones como una sola potencia.

a. (56) · 56 =b. ((2)3)2 =c. (62) : 6 =d. (−5)16 · (−5)4 =e. (−4)6 : (−4)2 =f. (−7)2 · (−73) =

13.El directorio de un equipo de fútbol desea construir un estante para presentar sus premios, pero tienen solo un espacio cuyo volumen es de 8 388 608 cm3 para instalar el estante. Si la altura de este estante es de 256 cm y el ancho mide 64 cm, ¿cuánto mide el largo? Realiza los cálculos utilizando potencias.

14.La depreciación anual de un computador es de 1

10 de su valor. Si el precio inicial del computador

es de $ 300 000, determina su valor al cabo de

4 años.


15.En la secuencia 30, −31, 32, −33, 34… el valor del octavo término es:

A. −35

B. (−3)7

C. 38

D. 36

16.¿Cuál es el valor de [(−12)3 : 43] ∙ (−3)2?

A. (−3)2

B. −30

C. 3D. (−3)5

17.¿Cuál es el resultado de la expresión: 24 · 22

23 : 2?

A. 2B. 4C. 16D. 32

18.¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 1?

I. 32

3 · 3II. 10 · 10 · 10 · 10–3

III. (–5)3 · 554

A. Solo IB. Solo IIC. Solo I y IID. I, II y III


1. Calcula mentalmente las siguientes raíces cuadradas y escribe el resultado.

a. √1 =b. √4 =c. √9 =d. √25 =e. √49 =f. √81 =g. √121 =h. √144 =i. √400 =j. √900 =k. √1 000 000 =l. √10 000 =

2. Si a, b y c son tres números naturales tales que a 2 + b 2 = c 2, determina el número x que falta para que se cumpla la igualdad.

a. a = 30, b = 40, c = xb. a = 60, b = x, c = 100 c. a = x, b = 12, c = 15 d. a = 9, b = x, c = 15 e. a = 25, b = 60, c = x f. a = 15, b = 36, c = x g. a = 12, b = x, c = 20 h. a = 27, b = 36, c = xi. a = 50, b = 120, c = xj. a = x, b = 72, c = 78


1. Calcula √16 y justifica.

Buscamos un número positivo que elevado a 2 sea 16. Como 42 = 4 · 4 = 16, entonces √16 = 4.

2. Calcula la medida de la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro es 4 cm. Utiliza una calculadora.

Como el perímetro mide 4 cm, entonces la medida de sus lados es 1 cm, pues 4 : 4 = 1. Para calcular su diagonal, usamos el teorema de Pitágoras, es decir, en un triángulo de catetos a y b e hipotenusa c, se cumple que a2 + b2 = c2. En este caso tenemos que:

12 + 12 = x 2

1 + 1 = x 2

2 = x 2

√2 = x x ≈ 1,41

Por lo tanto, la diagonal x mide aproximadamente 1,41 cm.

3. Calcula la hipotenusa x del triángulo rectángulo dibujado.

Como el triángulo ABC es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, es decir:

(BC)2 = (AC)2 + (AB)2

x 2 = 62 + 82

x 2 = 36 + 64

x 2 = 100

x = √100

x = 10

BC = 10 cm

Raíces cuadradas y teorema de Pitágoras


x

x

B

A C

1 cm

8 cm

6 cm

1 cm


Uni

dad

2

3. Al calcular √16x

el resultado es 1 si:

I. x = 1

II. x = 4

III. x = √16


4. Usando calculadora, determina el valor aproximado a las centésimas por redondeo de las siguientes raíces cuadradas.

a. √5b. √10c. √42d. √12e. √7f. √30

5. El largo de un rectángulo es el doble del ancho y su perímetro mide 24 cm. ¿Cuánto mide su diagonal? Utiliza calculadora para responder.

6. Don Sergio está diseñando el portón rectangular de una parcela. Para su construcción necesita 6 tablones de madera, como se muestra en el dibujo. Si los tablones verticales están a una distancia de 4 metros, ¿cuánto deben medir los tablones diagonales?

3 metros 3 metros

7. Si el lado de un cuadrado mide 2 cm, ¿cuánto mide su diagonal? Utiliza calculadora.

8. En un rectángulo de ancho 12 cm y diagonal 20 cm, calcula:

a. la longitud del largo.b. el perímetro.c. el área.

9. Utilizando calculadora, responde: ¿resulta lo mismo calcular √50 y 5√2 ?, ¿por qué crees que ocurrirá?

10.Sin utilizar calculadora, responde: ¿es cierto que √6 es un número entre 2 y 3? Justifica.

11.Considera que √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24 y calcula.

a. √2 · √3 · √5b. 2 · √2 + 3 · √3 + 5 · √5c. √2 + √3 + √2 + 3d. √5 – 2 – √5 – 3 + √5 + √3

12.Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica cada caso, realizando la operación correspondiente.

a. √2 + √3 = √2 + 3b. √9 + 16 = √9 + √16c. √169 – 144 = √169 – √144d. √4 · √9 = √4 · 9e. √81 · √121 = √81 · 121

f. √256√64

= √ 25664

g. √4 · √4 = √4 · 4 = √42

13.A partir de la pregunta anterior, ¿qué propiedad puedes concluir?

14.Leonardo y Joaquín se encuentran en las esquinas opuestas de una plaza rectangular. El ancho de la plaza mide 8 m y el largo, 15 m. Si Joaquín quiere ir a saludar a Leonardo, ¿cuánto mide el camino más corto que puede tomar para ir a saludarlo? Marca la opción correcta.

A. 8 mB. 15 mC. 17 mD. 23 m

15.Paulina quiere poner cerámicas en su pieza rectan-gular. El largo de la pieza mide 3 m y el ancho, 2 m.

a. Calcula el área de la pieza de Paulina.b. En el lugar donde Paulina quiere comprar las

cerámicas, solo venden baldosas cuadradas. ¿Cuántas cerámicas necesita Paulina si compra cerámicas para cubrir 2 500 cm2 de área?

c. ¿Cuánto mide el lado de cada cerámica del ejercicio anterior?

d. Si finalmente Paulina decide comprar 96 cerámicas iguales, las cuales cubren exactamente toda el área de la pieza, ¿cuántos centímetros miden los lados de estas cerámicas?

Joaquín

Leonardo


Preparando el SIMCE


1. El número decimal 0,00009 es igual a:

A. 9 · 105

B. 9 · 10–5

C. 9 · 10–4

D. 9 · 10–6

2. (–2)3 – 22 + 33 – (–4)2 =

A. 1B. 7C. –1D. 39

3. ( 23 )2

· ( 23 )5

=

A. 32243

B. 827

C. 1 02459 049

D. 1282 187

4. Al calcular la expresión 902

10–3 se obtiene:

A. 81 · 105

B. 8,1 · 105

C. 81 · 10–5

D. 81 · 10–1

5. 27 – 23 es equivalente a:

A. 12 · 10–1

B. 12 · 101

C. 1,6 · 101

D. 3,2 · 101

6. (–10)3 · (–10)4 =

A. 10 000 000B. –10C. 1 000 000 000 000D. –10 000 000

7. (0,2)2 · (0,2)2 · 0,2 =

A. 0,0032B. 0,00032C. 0,0016D. 0,000064

8. (–5)17

(–5)14 =

A. 125B. 1C. –1 250D. –125

9. Al calcular la expresión 122 · 10–3 se obtiene:

A. 144B. 1,44C. 0,144D. 14,4

10.√169 · √16 =

A. 7,2B. 52C. 17D. 208

11.Si en un triángulo rectángulo, uno de los catetos mide 10 cm y la hipotenusa mide 26 cm, entonces el perímetro del triángulo es:

A. 60 cmB. 24 cmC. 6 240 cmD. 64 cm

12.En un terreno de forma rectangular, el largo mide 1,255 m y el ancho mide 1,252 m. ¿Cuál es el área del terreno?

A. 1,253 m2

B. 1,2510 m2

C. 1,257 m2

D. 1,252 m2

13.Para convertir 2 cm en kilómetros se debe calcular:

A. 2 · 105

B. 2 · 10–3

C. 2 · 10–5

D. 2 · 10–2

14.Para convertir 2 m2 en centímetros cuadrados se debe calcular:

A. 2 · 104

B. 2 · 102

C. 2 · 10–4

D. 2 · 10–2


Uni

dad

2

15.En una selva, un tipo de planta crece 1,2 mm diariamente. ¿Cuánto crece al cabo de 10 días?

A. 1,210 mmB. 1,2 · 10 mmC. 2 · 1,210 mmD. 1,2 + 10 mm

16.¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide 23 cm?

A. 26 cm3

B. 49 cm3

C. 46 cm3

D. 29 cm3

A partir de la siguiente situación, responde los ítems 17 al 20.

Un trozo de cordel de 5 m se dividió en 2 trozos iguales. Cada trozo se dividió en 2, luego cada trozo se dividió nuevamente en 2 y cada uno de estos en 2.

17.¿Cuál expresión indica la cantidad de trozos en que se dividió el cordel?

A. 24

B. 25

C. 5 · 24

D. 2 · 54

18.¿En cuántas partes se dividió el trozo de cordel?

A. 4B. 5C. 8D. 16

19.Si todos los trozos del cordel obtenidos son de igual tamaño, ¿cuál es la expresión que indica la longitud de cada trozo?

A. 125

B. 124

C. 154

D. 524

20.¿Cuál es la longitud de cada trozo de cordel?

A. 132

m

B. 116

m

C. 516

m

D. 2625

m

A partir de la siguiente situación, responde los ítems 21 al 23.

Un cuadrado de 16 cm2 es dividido en 16 partes iguales. En el primer cuadrado se pone una lenteja, en el segundo dos lentejas, en el tercero cuatro lentejas, y así sucesivamente.

21.¿Cuál es la medida del área de cada cuadradito?

A. 1 cmB. 1 cm2

C. 4 cm2

D. 16 cm

22.¿Cuántas lentejas se deberían poner en el sexto cuadrado?

A. 6 lentejas.B. 12 lentejas.C. 32 lentejas.D. 64 lentejas.

23.¿Qué expresión indica la cantidad de lentejas que se deberían poner en el último cuadrado?

A. 2 · 4B. 2 · 15C. 24

D. 215

24.En un centro de investigación, se estudió el rebote de una pelota y, concluyeron que la altura del rebote decrecía según potencias de 0,9, es decir, el primer rebote medía 0,9 m de alto, el segundo medía (0,9)2 m, y así sucesivamente. Responde.

a. Calcula la medida de la altura que alcanzó la pelota en el tercer rebote.

b. ¿Cuántos rebotes debe dar la pelota para que la altura que alcanza sea menor que 0,5 m?

c. Calcula la altura que alcanza la pelota en el cuarto rebote. Escribe tu resultado en centímetros y en milímetros.

d. Escribe los resultados obtenidos en c usando notación científica.


1. Completa las siguientes tablas y determina, en cada caso, la propiedad que se muestra en ella.

a.

a b a · b b · a3 5

2 10

a · b = muestra la propiedad .

b.

a b a + b b + a3 5

3 10

a + b = muestra la propiedad .

c.

a b c a + (b + c) (a + b) + c3 5 7

1 10 2

a + (b + c) = muestra la propiedad .

d.

a b c a · (b · c) (a · b) · c3 5 7

6 10 2

a · (b · c) = muestra la propiedad .

e.

a b c a · (b + c) a · b + a · c3 5 7

4 10 2

a · b + a · c = muestra la propiedad .

2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición? Marca la opción correcta.

A. (a · b) + (c · b) = (c · b) + (a · b)B. a + (b · c) = (c · b) + aC. a + (b · c) = (a · b) + (c · b)D. a · (b + c) = ab + ac


1. Calcula el valor de la expresión 2x2 + 3y sabiendo que x = 0,3 e y = 14

.

Remplazamos los valores en las variables:

2 · (0,3)2 + 3 · 14

Calculamos.

2 · 0,09 + 34

= 0,18 + 34

Expresamos todos los números usando una misma forma, en este caso, en números decimales: 0,18 + 0,75 = 0,93. Concluimos que el valor de la expresión 2x2 + 3y cuando x = 0,3 e y = 1

4 es 0,93.

2. Calcula el valor de la expresión x2 – 3y sabiendo que x = –4 e y = –8.

Remplazamos los valores en las variables:

(–4)2 – 3 · (–8) Calculamos. 16 – –24 = 16 + 24 = 40Concluimos que el valor de la expresión x2 – 3y cuando x = –4 e y = –8 es 40.

Generalización de propiedades y valor numérico de expresiones algebraicas



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3. Calcula, completa y responde. a.

a b a + b b + a 3 1

0 10

1 5

8 0

¿Por qué el 0 es el elemento neutro de la adición?

b.

a b a · b b · a 3 1

1 10

0 2

8 0

¿Por qué el 1 es el elemento neutro de la multiplicación?

c. ¿Por qué el 0 es el elemento absorbente de la multiplicación?


4. El elemento neutro de la adición es el:

A. 0 C. aB. 1 D. n

5. Si a + b = 0 podemos afirmar que:

A. a y b son negativos.B. a y b son opuestos.C. a y b son positivos.D. a y b son números primos.

6. Si calculamos 3 · 53 como 3 · 50 + 3 · 3 = 159, estamos aplicando:

A. La propiedad conmutativa de la multiplicación.B. La propiedad conmutativa de la adición.C. La propiedad distributiva de la multiplicación

respecto de la adición.D. La propiedad asociativa de la multiplicación

y de la división.

7. Calcula las siguientes expresiones y determina qué propiedad puedes ocupar para llegar al mismo resultado.

a. 4 + 100 d. (3 · 9) · 10b. 3 · 45 e. 45 · (2 + 3)c. (32 + 45) + 45 f. 150 · 4 + 150 · 5

8. Calcula el valor de las siguientes multiplicaciones aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición. Guíate por el ejemplo.

23 · 5 = (20 + 3) · 5 = 20 · 5 + 3 · 5 = 80 + 15 = 95

a. 4 · 63b. 58 · 6c. 18 · 7d. 120 · 5e. 71 · 8

9. Calcula el valor de las siguientes expresiones algebraicas, si a = 5, b = 3 y c = 12.

a. b + 1 j. c2 : 4b. c + 15 k. 3 : bc. 6 + a l. 5c : bd. a + b m. 3a + 8e. c + a n. 12 – 3af. 4c ñ. a2 + 7bg. ba o. 5a – 3b + 5h. 2ac p. 12 – 4c + 2ai. 5b3 q. 3a + b – abc

10.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si a = –2, b = –1 y c = 4.

11.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si a = 1 2

3, b = 1

2 y c = 2

5.

12.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si a = 0,2, b = 1,3 y c = 2,2.

13.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si a = 2,3, b = 3

4 y c = 2.

14.Evalúa la expresión a2 + 2ab + b2 con los valores que se indican.

a. a = 1, b = 2 d. a = –4, b = 2b. a = 2, b = 3 e. a = 10, b = –6c. a = –2, b = 4 f. a = 12, b = –9

15.Evalúa la expresión (a + b)2 con los valores de la pregunta anterior.

16.A partir de las preguntas 14 y 15, ¿qué propiedad podrías conjeturar?


1. Calcula el valor de las siguientes expresiones, considerando el valor que se asigna a la variable:

a. 5a y a + a + a + a + a, si a = 35

b. 2m + 3n y m + m + n + n + n, si m = 4 y n = 2

c. ab 2 + ab 2 + a + a + a + a y 2ab 2 + 4a, si a = 1 y b = 0,3

d. a – b – b y a – 2b, si a = 6 y b = 3

e. c 4 y c · c · c · c, si c = –2

f. 4ab y ab + ab + ab + ab, si a = 2 y b = 5

2. Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones:

a. d + d + d + d + d + d =b. b + b + b + b + b =c. x + x + x + x – x – x – x = d. ab + ab + ab + ab =e. cd – cd – cd =f. xyz + xyz =g. 5a + 6a =h. 7b – 2b – b =i. 12x + 5x + 9x – 2x =j. y + 3y – 3y =k. 3f + 12f – 7f + 16f =l. 15h – 10h – 5h =

3. Desarrolla cada expresión algebraica. Guíate por el ejemplo.

4a + a = a + a + a + a + aa. 5s – s =b. 2d – 3d = c. 4x + 2y =d. 3h – 4j =e. 3a – 2c + a =

4. Elimina los paréntesis de las siguientes expresio-nes algebraicas.

a. –(x + y) = g. a (m + n) =

b. –(x – y) = h. 34

(a + 5) =

c. –2(x + y) = i. a (3a – 2b + c) =

d. –2(x – y) = j. –12 (t – 2s) =e. 6 – 2(x + y) = k. –4 (4x + 3y) =

f. 6 – 2(x – y) = l. –5(2s – 3k) =

5. Identifica los términos que son semejantes en cada caso (si existen).

a. 2x, 5y, 5x, y, 5 d. a3, a2, 3a, 3b. 4xy, 7yx, 6xy e. a, 2a2, 2a, a4

c. 3ab, 2a2, 4ba, 3b f. tr, t2r, tr2, rt


1. Reduce la siguiente expresión: 3a – 5a + 2a + a – 2

Para reducir los términos semejantes, asociamos los términos que tienen el mismo factor literal. En este caso, todos los que tienen a, obteniendo:3a – 5a + 2a + a – 2 = (3a – 5a + 2a + a) – 2 = a – 2

2. Escribe una expresión equivalente a: –2a (3 + a), sin utilizar paréntesis:

Aplicamos la distributividad de la multiplicación respecto de la adición, teniendo especial cuidado con los signos:

(–2a) · 3 + (–2a) · a Efectuamos las multiplicaciones.

–6a + –2a2

–6a – 2a2

Recuerda que siempre que multipliques una adición o sustracción por un número negativo, los signos de cada uno de los términos de estas operaciones cambiarán.

Reconocimiento y reducción de expresiones con términos semejantes



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6. Verifica, remplazando a por 12 y b por 2, si las siguientes expresiones son o no equivalentes:

a. 10b

y 10 : b

b. 3ab

y 3a : b

c. b + 42

y b + 4 : 2

d. b + 42

y (b + 4) : 2

e. (b – 5) · 4 y b – 5 · 4

f. (b – 5) · 4 y 4 · b – 4 · 5

g. (b – 5) · 4 y 4 · (b – 5)

h. 30 – 2a y 28ai. 30 – 2a y 30 – a – aj. 30 – 2a y 30 – a + a

k. 4a – a y 4

l. 4a – a y 3a

7. Indica en cada caso si los términos se pueden reducir a uno solo (sin realizar transformación de unidades).

a. 4 cm2 y 2 cmb. 0,5 mm2 y 2 mm2

c. 17 m2 y 3 m2

d. 4 cm2 y 2 mm2

e. 2 km2 y 1 000 km2

8. Describe qué cambio le harías al primer término (si lo requiere) para que sea semejante al segundo.

a. –3a y 4ab 2

b. 11 12x 4y y xy

c. 7abc y –abc2

d. 5ts2 y –4t2se. 0,32x 5y y 2yx 5

9. Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas.

a. 3a + 3a + 4b =b. 12d – 6d + 18b =c. 4h + 5h – 3t + h – 8 =

d. b + 3b + 2b 2 =

e. 15a2 + 2a + 7a + 12a2 =

f. h 5 + 15h + 5h =

g. a + 2b – b + 6a + 4b =

h. 6s – s + 7t – 3s + 12t =

i. 2ab + 7ab – 2ab + 2 =

j. 4xy – 2yx + 3x + y =

k. 6ab 2 + 3ab – 2a2b =

l. c3b + 3c3 + b 3c – c3 =

m. 12

a – 0,5a + 2b – 45

a =

n. 8h + 2h2 – 3h + 4h2 =

ñ. 2,5ab 2 – 3a2b + 7b 2a =

o. df + 0,7 + 5fd + 2 =

p. 25

x – 2y + 2 =

q. k – 1 – 13

k – 3h =

10.Escribe una expresión equivalente en cada caso.

a. 3a + 9a = b. 4z – 8 = c. 2a + 2b – 2c = d. st + sr + sv =


11.¿Cuál de los siguientes términos es semejante a –3x2y?

A. –3xy B. –xy 2 C. x 2yD. y 2x

12.Al reducir la expresión 5a2 – a 2 se obtiene:

A. 5B. 5aC. 4D. 4a2

13.Una expresión equivalente a 5x – 3x2 – (5x – 3x2) es:

A. 0B. –6x 2

C. 10xD. 10x – 6x 2

14.Al reducir la siguiente expresión 4a – 5b – 7a + 5, se obtiene:

A. –3a – bB. –3a2 – 5b + 5C. –3a2 – bD. –3a – 5b + 5



1. Determina la expresión algebraica que se describe: el doble de un número aumentado en quince veces la suma del mismo con otro número es igual a la tercera parte de la diferencia de los dos números.

“El doble de un número” lo denotamos por 2x.

Cuando se dice “aumentado” lo relacionamos con una adición (+).

“Quince veces”, quiere decir que hay que multiplicar por 15.

“La suma del mismo número con otro”, la escribimos x + y.

“Quince veces la suma del mismo con otro número” lo escribimos como 15 · (x + y).

“La diferencia entre los dos números” la escribimos como x – y.

“La tercera parte de la diferencia entre dos números” la escribimos como x – y3

.

Ahora escribimos todo en una sola expresión algebraica: 2x + 15(x + y) = x – y3

.

2. Plantea en forma algebraica el siguiente problema: una herencia es dividida entre tres hijos; el mayor recibió la tercera parte de la herencia; el segundo hijo, la cuarta parte; el menor, la quinta parte; y el resto de la heren-cia, que son $ 100 000, lo recibió una institución de caridad.

Podemos llamar h a la herencia, la tercera parte de la herencia la escribimos como h3

, la cuarta parte como h4

y la

quinta parte como h5

. Como las partes en que se dividió la herencia deben sumar el total de la herencia, escribimos

algebraicamente: h = h3

+ h4

+ h5

+ 100 000.

1. Expresa en lenguaje algebraico cada oración.

a. a disminuido en el triple de 5. b. El doble de la suma de a y 8.c. Un número aumentado en 17. d. Un número disminuido en su cuarta parte.e. El doble de un número.f. El triple de un número.g. El doble de un número aumentado en 10.h. El triple de un número disminuido en 4.i. La quinta parte del triple del número.j. La cuarta parte de la suma entre el doble

de x y 80.k. La diferencia entre la suma del triple de

x y 15, y el doble de x.

2. El doble de un número, disminuido en 4, se puede representar como:

A. 2x + 4B. 2x – 4C. 2 · (x + 4)D. 2 · (x – 4)

3. Gabriel compró cuatro helados iguales para compartir con sus primos. Además, llevó un paquete de galletas para la once por $ 480. Llevaba $ 2 000 y recibió $ 200 de vuelto.

a. Escribe una ecuación que te permita calcular cuánto costaba un helado.

b. ¿Qué representa la incógnita de esta ecuación?

4. En una caja hay 51 duraznos distribuidos en 3 bolsas. La primera tiene 9 duraznos más que la tercera, y la segunda bolsa tiene 6 menos que la tercera.

a. Si la tercera bolsa tiene x duraznos, ¿cómo representarías los duraznos que hay en la primera bolsa?, ¿y los de la segunda?

b. ¿Qué ecuación te permitiría calcular cuántos duraznos hay en la tercera bolsa?

5. La oración: “la diferencia entre un número aumentado en quince y su doble es 10” se puede expresar como:

A. x – 15 – 2x = 10 C. x + 15 + 2x = 10B. x + 15 – 2x = 10 D. 2x – 15 – x = 10

Traducción de expresiones del lenguaje natural al simbólico



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6. Escribe, usando el lenguaje algebraico, los siguientes enunciados.

a. El doble de un número aumentado en la tercera parte del mismo número es igual a diez.

b. Un número aumentado en seis es igual a siete veces otro número.

c. Cuatro veces un número disminuido en la quinta parte del mismo número disminuido en 3 es igual a la cuarta parte de la suma del número y cuatro.

d. El cociente de mil con un número es igual al cociente del número con siete.

7. Si al quíntuplo de un número se resta el doble del mismo número, se obtiene 105. ¿Qué expresión algebraica representa el problema?

8. Laura hace 8 años tenía x años. En 6 años más tendrá:

A. x – 8 + 6 C. 8 + 6 – xB. x + 8 + 6 D. 8 – x – 6

9. Escribe el perímetro de las siguientes figuras usando lenguaje algebraico.

a.

b.

10.Observa la siguiente secuencia.

1

2

3

a. Dibuja dos figuras más de la secuencia.b. Completa la siguiente tabla.

11.Plantea una ecuación que permita resolver cada situación.

a. Ximena fue a comprar 12

kg de pan y 14

kg de

jamón. Gastó en total $ 1 190. Si el kilogramo

de pan cuesta $ 820, ¿cuánto cuesta 1 kg

de jamón?b. En un supermercado se ofrece el choclo

congelado en dos paquetes de distintas masas. El de 0,5 kg cuesta $ 599 y el de 1,5 kg $ 1 399. Patricia revisó los precios y decidió que si escogía llevar los paquetes grandes se ahorraba $ 796 respecto de lo que gastaría llevando los paquetes chicos. ¿Cuántos kilogramos de choclo congelado llevó?

c. Marcelo le da a su hermano Nicolás la mitad de las naranjas que tiene y media naranja más. Luego, le da a su hermana Paula la mitad de las naranjas que le quedan y media naranja más. Si él se queda con una sola naranja, ¿cuántas naranjas tenía?

d. En un rectángulo, la medida del ancho dis-minuido en 5 cm es igual a la mitad del largo disminuido en 3 cm. Si el largo mide 12 cm, ¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?

e. El doble de la cantidad de dinero que tiene Pablo disminuida en $ 1 500 es igual a la misma cantidad de dinero aumentada en $ 1 000. ¿Cuánto dinero tiene Pablo?

f. El veterinario Miguel está a cargo de gatos y perros. Debe darles vitaminas todos los días: dos tabletas a cada gato y tres a cada perro. Si reparte en total veintiuna tabletas de vitaminas y tiene el doble de gatos que de perros, ¿cuántos perros tiene a cargo Miguel?

g. Andrea, Alejandra y Francisca son tres herma-nas. Andrea tiene 3 años más que Alejandra, y Alejandra tiene 1 año más que Francisca. Si la suma de las edades de las tres hermanas es 100, ¿cuántos años tiene Andrea?

a

b

cx

x

y y

y y

d

Figura 1 2 3 4 5

Cantidad de segmentos 7 12 17

Fórmula 7 7 + 5 7 + 10


1. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones es una ecuación, y determina la cantidad de incógnitas que tiene.

a. 2x – 3 + 4x d. 3(y – 2x) + 8b. x = 3 + 4 e. 2x + 4x – 3 = 21 – xc. 7 = 2 · 8 – 9 f. x + y = 38 + 2y

2. Para cada una de las siguientes ecuaciones determina su grado e identifica la incógnita.

a. x 2 + 3 = 11 d. x 2

2 – 5 = 3

b. 2z + 3 = 11 e. 26 = 20 + 3j

c. 12

y 4 – 5 = 3 – y f. 2j + 3j = 25 + 10j

3. Encuentra el valor de a en cada una de las siguientes ecuaciones.

a. 2a = 0 d. t + 2a = tb. 4 + a = 4 e. 5 – 3a = 5c. a – 7 = 0 f. a + b = b

4. Calcula mentalmente el valor de la incógnita de cada ecuación. Verifica si tu respuesta es correcta.

a. t + 5 = 45 e. 5 – t = 45

b. 5t = 45 f. t5

= 45

c. –t = 45 + 5 g. 5t = 0

d. 45 + 5 = t h. 5t = 5

5. Determina si cada valor es solución de la ecuación que se indica a su derecha.

a. x = –0,3 1 – x = 0,7

b. x = 5 3x – 78

= 2x – 9

c. x = –2 12 – x + 7x = 8 + 4x

d. x = 12 2 + x6

= 7

e. x = 32

4(x – 3) = 2x

f. x = 1 6 – (x + 1) = 3x – 1


1. Resuelve la siguiente ecuación y luego comprueba si es correcta la solución encontrada.

5x – 12 = 18

Aplicando propiedades de las operaciones, podemos obtener el valor de x aplicando una misma operación a ambos lados de la igualdad.

5x – 12 = 18 / + 12 Sumamos 12 a ambos lados de la igualdad.

5x = 30 / : 5 Dividimos por 5 a ambos lados de la igualdad.x = 6Comprobamos:5 · 6 – 12 = 18

2. Resuelve la siguiente ecuación y luego comprueba si el valor encontrado es la solución.

6 – (x + 2) = 2(x + 1)

6 – x – 2 = 2x + 2 Eliminamos paréntesis.

6 – x – 2 = 2x + 2 / + –2x – 6 + 2 De este modo, todos los términos que contienen incógnitas quedan al mismo lado de la igualdad.– x – 2x = 2 – 4

–3x = –2 / : 3 Dividimos por 3 a ambos lados de la igualdad.x = 2

3Comprobamos:

6 – ( 23

+ 2) = 183

– ( 23

+ 63 ) = 10

3

2 ( 23

+ 1) = 43

+ 63

= 103

Ecuaciones de primer grado



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6. Completa la ecuación 2x – 4 = para que su solución sea la indicada en cada caso.

a. x = 8 d. x = 0,5b. x = –8 e. x = 0

c. x = –1 f. x = 52

7. Resuelve las siguientes ecuaciones.

a. x – 8 = 12b. 7 + t = 22c. 30 = 12 + hd. 2 – x = 48e. 100 = 5 – hf. 6x = 72g. 24 = 2xh. 0 = 5xi. x – 2x = 58j. 4x – 6x + 7 = 33k. 50 = 44x – 85 + xl. h – 20 = 6h – 50 – 2hm. 3 + 5(5 + x) = 43n. 4(d – 7) + 2d = 32ñ. 40 = 6(12 – 4r) + 2(r – 3)

o. 38 – (x + 7) = 17p. 10 = 26 – 2(p + 8) q. – 4(5 – y) = 0r. 2x + (x + 1) = (12 + x) – 1s. 2(d – 6) = 4(4 – 2d)t. 5 – (x + 4) = 2 – (x + 1)u. 3 + 2x – (x + 7) = x + 2(x – 7)v. 2 + (p – 4) = 5p – (10 + 2p)w. –(x + 4) + 2(x – 5) = 3(x – 6)

8. Escribe en lenguaje algebraico los siguientes enunciados y calcula el valor desconocido en cada caso.

a. Un número aumentado en su mitad menos su doble aumentado en 8, es igual a 0.

b. El doble de un número menos su mitad es igual a nueve sextos.

c. Un número aumentado en su tercera parte más su doble aumentado en su quinta parte es igual a 0.

d. El triple de un número aumentado en cinco veces el mismo número y disminuido dos veces el número es igual a veinticuatro.

e. Un número natural aumentado en su sucesor es igual a treinta y cinco.

9. Resuelve los siguientes problemas.

a. Para colgar afiches, la profesora calcula el número de chinches que necesita según la expresión: T = 4a, donde a es el número de afiches que va a colgar. ¿Cuántos chinches necesita para colgar 120 afiches?

b. Para calcular el precio del pan el vendedor utiliza la siguiente fórmula T = 980P, siendo P la masa del pan (kilogramos) y T el precio que se paga por él. ¿Cuánto debe pagar una persona que compra 1,5 kg de pan?

c. Sabemos que el área de un triángulo se calcula

A = b · h2

, donde A es el área, b la base y h la

altura. Calcula el área de un triángulo de base 4,5 cm y altura 6,2 cm.

d. Si el área de un círculo se calcula según la siguiente expresión: A = 3,14r2, donde A es el área y r el radio del círculo, calcula el área de un círculo de radio 28 cm.

e. A una reunión asistieron 42 personas. Si el número de mujeres era el doble que el de hombres y el número de niños, el triple que el de hombres, ¿cuántas mujeres, hombres y niños había?

f. En dos salas de reunión se encuentran en total 74 personas. De la primera sala salen once personas que entran a la segunda. Ahora, en la segunda sala hay dos personas más que en la primera. ¿Cuántas personas había al principio en cada sala?


10.La solución de la ecuación 3x + 6 – 3x + 4 · (2x – 1) = 10 es:A. 0 C. 2B. 1 D. 4

11.Se tiene la ecuación 4x + 8 = 20. Entonces, el valor de 2x – 6 es:

A. 0 C. 8B. 2 D. 20

12.Al resolver la ecuación x + 4 = 2(x – 13) + 1 se obtiene el valor de x:

A. 912

C. 29

B. 232

D. 31


Preparando el SIMCE


1. Si a = –3, ¿qué valor toma la expresión a – 3?

A. 0 B. 6 C. –6D. 9

2. Si a · b · c = 0, ¿qué valor tiene b cuando a = –1 y c = 1?

A. –1 B. 0 C. 1D. 2

3. ¿Qué valor tiene a si se cumple que 4a = 0,12?

A. 0,003 B. 0,03 C. 0,3D. 3

4. Si a = 0,2 y b = –2, ¿cuánto es a 2 + b 2?

A. 4,4 B. 4,04 C. –3,6D. –3,06

5. ¿Cuál de los siguientes términos es semejante a 5x2y?

A. 5xy 2 B. 2x 5y C. 2x 2yD. 2xy 5

6. Una expresión equivalente a 2ab – 2 es:

A. abB. ab + ab – 2C. 2a + b – 2D. 2 – ab

7. Al reducir la expresión 3xy – 2xy + 2y se obtiene:

A. xy + 2y B. xy – 2y C. 3xy – xD. 3xy + x

8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a: –2a – (3b – 7)?

A. 2a – 3b + 7B. 2a – 3b – 7C. –2a – 3b + 7D. –2a – 3b – 7

9. El costo de un paquete de cabritas es $ p y el costo de una bebida es $ c. ¿Cuánto se debe pagar por comprar 6 paquetes de cabritas y 5 bebidas?

A. c + p B. 6(p + 5c) C. 5c + pD. 6p + 5c

10.En un estacionamiento cobran $ a por cada 15 minutos o fracción. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa lo que pagará una persona cuyo vehículo estuvo 4 horas estacionado?

A. 4a B. 8a C. 15aD. 16a

11.Vicente es 4 años menor que Samuel. Si Samuel tiene x años, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la edad de Vicente hace 4 años?

A. x B. x + 4 C. x – 4D. x – 8

12.Una secuencia se forma restando 5 al doble del número anterior. Si uno de sus términos es 3, el término siguiente es:

A. –5 B. 1 C. 4D. 6

13.El cuadrado de la figura se ha dividido en 4 cuadrados iguales. Si el área del cuadrado grande mide 4a2 cm2, entonces el lado del cuadrado pequeño mide:

A. 2a cm B. a

2 cm

C. a cm

D. a4

cm

14.¿Cuál de las siguientes expresiones representa el área del triángulo de la figura?

A. 5x 2 B. 6x 2

C. 7x 2

D. 12x 2

2x

6x


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15.Un cuaderno que contiene n páginas se dividirá en 4 secciones de igual número de páginas cada una. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el número de páginas que contendrá cada sección?

A. n4

B. (n – 4) C. n + n + n + nD. n + 4

16.Considerando que ¥ es una operación matemática, que a es distinto de 0 y de 1 y que e es el elemento neutro de la operación ¥, ¿cuál de las siguientes expresiones es verdadera?

A. a ¥ e = 0 B. e ¥ a = 1 C. e ¥ a = aD. e ¥ a = e

17.Si el lado de un cuadrado se triplica, entonces el área del cuadrado mayor es:

A. tres veces el área del cuadrado menor.B. seis veces el área del cuadrado menor.C. nueve veces el área del cuadrado menor.D. doce veces el área del cuadrado menor.

18.Si ab lápices cuestan $ x, ¿cuánto cuesta un lápiz del mismo tipo?

A. x – ab C. ab · xB. a b

x D. xa b

19.Si n = 8, el antecesor de (n – 6) es:

A. 0 C. 2B. 1 D. 14

20.Si 2x = 10, entonces 3x – 5 es igual a:

A. 5 C. 15B. 10 D. 20

21.Si a es la edad de Alejandra, su edad hace 8 años era:

A. 8a C. a + 8B. 8 – a D. a – 8

22.La diferencia entre el doble de un número y 1 es 19. ¿Cuál es el número?

A. 20 C. 10

B. 212

D. 9

23.¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como solución x = 2?

A. 2x – 4 = 0 C. 5x + 5 = 5B. 2x + 4 = 0 D. 5x – 5 = 0

24.Si se resta 20 al triple de un número se obtiene 7. ¿Cuál es el número?

A. 73 C. 9B. 6 D. 27

25.En dos salas de un cine ingresan 155 personas. Las que entran a la primera sala corresponden a cinco más dos tercios de las que entran a la segunda sala. Una ecuación que nos permite seber cuántas personas entraron a la segunda sala es:

A. 23

x + x = 5

B. 23

x + 5 + x = 155

C. 5 + 23

x = 155

D. 5 + 23

+ x = 155

26. La frase “La diferencia entre un número aumentado en quince y su doble es 10” se puede expresar como:

A. x – 15 – 2x = 10 C. x + 15 + 2x = 10

B. x + 15 – 2x = 10 D. 2x – 15 – x = 10

27.La medida del largo de un rectángulo es el doble de la medida de su ancho. Si su perímetro es 120 cm, ¿cuánto mide el largo del rectángulo?

A. 10 cm C. 40 cm

B. 20 cm D. 60 cm

28.Un cuaderno cuesta $ 690 y una caja de lápices $ 1 100. ¿Cuánto cuestan ocho cuadernos y dos cajas de lápices?

A. $ 5 520 C. $ 7 720B. $ 8 800 D. $ 10 180

29.La siguiente expresión representa el valor de X: la diferencia entre la tercera parte de 3n + 3 y la mitad de 2n + 2.

a. ¿Cuál es la expresión en términos de potencias que representa a X?

b. ¿Cuál es el valor numérico de X para n = 1, n = 2 y n = 3?Fundamenta tus respuestas mostrando todos los pasos y cálculos realizados.



1. (3,7)6 =

A. 36

76 C. 376

106

B. 376

706 D. 22,2

2. El casino de una empresa ofrece para la hora de almuerzo 2 platos distintos, con 4 opciones de agregado, 2 opciones de postre y 4 tipos distintos de jugos. ¿De cuántas maneras se puede pedir el almuerzo en este casino?

A. 23

B. 24

C. 25

D. 26

3. Al descomponer el número 202 202 con potencias de 10 se obtiene:

A. 2 · 105 + 2 · 104 + 2 · 103 + 2 · 102

B. 2 · 105 + 2 · 103 + 2 · 101 + 2 · 100

C. 2 · 105 + 2 · 103 + 2 · 102 + 2 · 100

D. 2 · 106 + 2 · 104 + 2 · 103 + 2 · 100

A partir de la siguiente situación responde los ítems 4 y 5.

Macarena observa un prisma recto de base cuadrada. Su arista basal mide 500 cm y su altura mide 800 cm.

4. El área total del prisma, expresando el resultado con números naturales y potencias de 10, es:

A. 4 · 104 cm2

B. 5 · 105 cm2

C. 16 · 105 cm2

D. 21 · 105 cm2

5. El volumen del prisma, expresando el resultado con números naturales y potencias de 10, es:

A. 2 · 107 cm3

B. 32 · 107 cm3

C. 2 · 108 cm3

D. 32 · 108 cm3

6. Si 1 micrómetro es igual a 10–6 m, 3 m es igual a:

A. 3 · 106 micrómetros.B. 3 · 105 micrómetros.C. 3 · 10–5 micrómetros.D. 3 · 10–6 micrómetros.

7. Al calcular (4,9)3 : (0,7)3 se obtiene:

A. 343 C. 0,343

B. 1343

D. 3,43

8. El valor de √16 + √36 – √81 + √169 – 144 es igual a:

A. 1 C. 5B. 2 D. 6

9. Si x = 4 e y = 15

, entonces el valor de la

expresión x + x – y – y – y – y – y es:

A. 9 C. 7

B. 8 D. 215

10.Al reducir la expresión cb 4 + 3c 4 + b 4c – c 4, se obtiene:

A. cb 4 + 3c4 + b 4c – c 4

B. 2cb 4 + 2c 4

C. 4cb 4 + 4c 4

D. 2cb 4 + 4c 4

11.La expresión algebraica que representa “el doble de un número aumentado en su quinta parte es igual a 35” es:

A. 2x + x5

= 35

B. 2(x + x5 ) = 35

C. 2x + x5

= 35

D. 2x5

+ x = 35

12.Álvaro comió 100 galletas en cinco días. Cada día comió 6 más que el día anterior. ¿Cuántas galletas comió el segundo día?

A. 26B. 20C. 14D. 8

13.Dos hermanos tienen un negocio y reparten las ganancias de la siguiente manera: el mayor recibe un 40 %, el menor recibe la cuarta parte y el resto de la ganancia, que corresponden a $ 35 000, se vuelve a invertir en el negocio. ¿Cuánto dinero recibe el hermano menor?

A. $ 25 000B. $ 40 000C. $ 80 000D. $ 100 000


Uni

dad

2


14.Calcula el valor de cada potencia.

a. (2,3)3 = c. (5,4)4 =

b. ( 45 )4

= d. ( 53 )5

=

15.Escribe el número correspondiente a cada descomposición.

a. 8 · 104 + 6 · 103 + 4 · 101

b. 7 · 105 + 5 · 104 + 2 · 103

c. 3 · 106 + 4 · 105 + 1 · 103 + 6 · 102 + 8 · 100

d. 2 · 105 + 8 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 100

16.Descompón los siguientes números utilizando potencias de 10.

a. 57 830 c. 903 472b. 6 120 080 d. 1 003 785

17.Resuelve los siguientes ejercicios.

a. (82 · 104) : 103 c. (3 400 : 103) · 105

b. (7,2 · 106) : 104 d. (25 000 : 102) : 103

18.Representa los siguientes números como el producto de un número natural por una potencia de 10.

a. 1,25 d. 0,04b. 5,823 e. 0,00034c. 0,0007 f. 0,000009

19.Escribe como multiplicación o división de factores iguales cada potencia y calcula su valor.

a. ( 67 )3

· 67

= d. (0,8)9 : (0,8)5 =

b. ( 25 )6

· ( 25 )3

= e. (1,6)8 : (0,4)8 =

c. ( 49 )2

· ( 49 )5

= f. (2,7)7 : (0,3)7 =

20.Eva compró 10 paquetes de caramelos de anís, 100 paquetes de caramelos de miel y 1 000 paquetes de caramelos de frutas. Cada paquete de caramelos cuesta $ 234. También compró 10 bolsas de 0,25 kg de coco rallado, 100 sobres de 0,125 kg de chocolate en polvo y 1 000 sobres de 0,015 kg de canela molida.

a. ¿Cuánto debe pagar por los caramelos de anís?, ¿cuánto por los de miel?, ¿y por los de frutas?

b. En total, ¿cuántos kilogramos de coco rallado obtiene?, ¿cuántos kilogramos de chocolate en polvo?, ¿y cuántos de canela molida?

21.Si a, b, c, son tres números naturales tales que a 2 + b 2 = c2, determina el número que falta x para que se cumpla la igualdad.

a. a = 5, b = 12, c = xb. a = 15, b = x, c = 25c. a = x, b = 24, c = 30d. a = 6, b = x, c = 10

22.Beatriz compró una planta cuando solo había crecido el tallo. Al año siguiente, del tallo brotaron tres ramitas, cada una con una flor. Un año después, de cada ramita brotaron otras tres ramitas, cada una con una flor, y así siguió cada año. ¿Cuántas flores brotaron al séptimo año?

23.Completa cada una de las siguientes oraciones:

a. El valor de 5a2 es , si sabemos que a = 8.

b. Si sabemos que 5m = 0, entonces el valor de m es .

c. Al sumar 5z y 8z obtenemos la expresión .

d. Al aplicar la propiedad distributiva a la expresión 5(m + 5 – 3) obtenemos .

e. Al escribir 5d como una adición de sumandos iguales obtenemos

f. Al escribir d 4 como una multiplicación de factores iguales obtenemos

24.Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones algebraicas.

a. 3a + 4a + 4b b. 7d – 3d + 8b c. 6h + 3h – 7t + 2h – 5 d. 6b + 4b 2 + 5b 2

e. 10a2 + 4a + 3a + 2a2

f. 6xy – 3yx + 6x + 3y

25.Plantea una ecuación que permita resolver cada situación. Resuélvela y verifica el resultado obtenido.

a. En una caja hay el doble de caramelos de menta que de miel. Si en total hay 48 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor?

b. La suma de tres números consecutivos es 75. ¿Cuáles son los números?

3Unidad

Unidad 3 – Geometría78

Geometría

Habilidades• Calcular áreas de triángulos, cuadriláteros y otras figuras compuestas por estas.• Utilizar y elaborar estrategias para resolver problemas que involucren áreas. • Resolver problemas relativos a cálculo de ángulos en polígonos.• Resolver problemas relativos a ángulos entre paralelas cortadas por una transversal. • Efectuar construcciones de triángulos según lados y ángulos dados.• Caracterizar los elementos lineales de triángulos.• Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras y su recíproco.• Construir transformaciones isométricas.• Realizar teselaciones.• Comprender el número π.• Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos.• Calcular la longitud de la circunferencia.• Utilizar estrategias para calcular volúmenes de prismas rectos, pirámides, cilindros y conos.• Calcular área del círculo y de la superficie de prismas, conos, cilindros y pirámides.

Opuestos por el vértice

Paralelas

Perpendiculares

Triángulos

Teselaciones

PerímetroElementos

secundarios

Teorema de Pitágoras

Elementos

Ángulos

Polígonos

Transformaciones isométricas

En rectas paralelas cortadas por una transversal

Rectas

Cuerpos

Longitud

Geometría

Volumen

El número π

Círculo

Circunferencia

Área

Unidad 3 – Geometría 79

• Cuando una recta transversal corta dos rectas paralelas se forman ángulos congruentes, marcados con el mismo color en la figura.

L1 L2

L3

• El área de una figura es la medida de su superfi-

cie. El área de un cuadrado de lado a es A = a2,

de un rectángulo de lados a y b es A = a · b, y de

un triángulo de base b y altura h es A = b · h2 .

• El área de un paralelogramo de altura h y base b es: A = b · h.

• Se puede construir un único triángulo si se conocen las medidas de: sus tres lados (LLL), o un lado y los ángulos contiguos a él (ALA), o bien, dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

• Las alturas de un triángulo son segmentos perpendiculares trazados desde un vértice al lado opuesto o a una prolongación de este. Las tres alturas (o sus prolongaciones) se intersecan en un punto llamado ortocentro (H).

• Las bisectrices dividen cada ángulo interior del triángulo en dos ángulos de igual medida. Estas se intersecan en un punto llamado incentro (I).

• Las simetrales de un triángulo son rectas per-pendiculares a los lados del triángulo que pasan por el punto medio del lado. Se intersecan en un punto llamado circuncentro (C).

• Las transversales de gravedad son segmentos que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Se cortan en un punto llamado centro de gravedad o baricentro (G).

• El teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos es igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado”.

• El recíproco del teorema de Pitágoras dice: “si en un triángulo la suma de los cuadrados de dos de los lados es igual al cuadrado del tercero, enton-ces el triángulo es rectángulo”.

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo, llamado centro.

• El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al centro es menor o igual que la longitud del radio.

• El número π es la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primeras cifras decimales es 3,1415926535.

• La longitud de una circunferencia, de radio r, es: l = 2 · π · r.

• El área de un círculo de radio r es: A = π · r 2.• Si r es el radio de la base y h la altura, el área de

un cilindro está dada por: Acilindro = 2 · π · r · h + 2 · π · r 2.

• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área del cono es: Acono = π · r 2 + π · r · g.

• El volumen de un cilindro, de altura h y radio r, es Vcilindro = π · r2 · h.

• El volumen del cono, de altura h y radio r, es:

Vcono = π · r 2 · h3 .

• El volumen del prisma recto, de altura h y área de la base b, es: Vprisma = b · h.

• El volumen de la pirámide, de altura h y área de

la base b, es: Vprisma = b · h3 .

• Una transformación isométrica, aplicada a una figura u objeto, modifica su posición sin alterar su tamaño ni su forma.

• En una traslación se desplazan todos los puntos de la figura, en la misma magnitud, dirección y sentido.

• En una reflexión se asocia a cada punto de una figura otro que está a la misma distancia del eje de simetría.

• En una rotación se mueven todos los puntos de una figura en un ángulo dado, respecto de un punto fijo, llamado centro de rotación.

• Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana y que cumple con dos requisitos: que no queden espacios y que no se sobrepongan o traslapen las figuras. En esta unidad, en las teselaciones regulares y semirregulares, los polígonos utilizados son todos regulares, y coincide la medida de sus lados.

P ararecordar


Ejerciciosresueltos

1. Encuentra la medida del ánguloα,de la figura 1, si se sabe que el triángulo es equilátero y CF // AB.

Podemos prolongar uno de los lados del triángulo convirtiendo la figura 1 en la figura 2.

• El ángulo α está formado por los ángulos ECD y el ángulo DCF.

• El ángulo ECD mide 60º porque es opuesto por el vértice del ángulo ACB.

• El ángulo DCF mide 60º porque es correspondiente entre paralelas al ángulo CAB.

• Por lo tanto, la medida del ángulo α es 120º.

2. Encuentra las medidas de los ángulosα,βyγ de la figura, considerando que L1 // L2 // L3.

El triángulo de la figura es rectángulo porque la suma de los otros dos ángulos del triángulo es 90º.

• La suma de las medidas α y β es 90º porque es suplementario a un ángulo recto.

• La medida del ángulo β es 40º por ser correspondiente a un ángulo de esa medida.

• La medida de α es 50º por ser complementario a β. • La medida de γ es 40º por ser un ángulo alterno interno de β.

La respuesta del problema es: α = 50º, β = 40º y γ = 40º.

Ángulosopuestosporelvérticeyentreparalelascortadasporunatransversal

Figura 1

α

A B

CF

Figura 2

A B

FC

DE

L1

L2

L3

40º 50º

αβγ

1. Usando la figura responde.

α

ε

β

σγ

τ λ

δ

a. Nombra 2 pares de ángulos que tengan igual medida.

b. Nombra 2 pares de ángulos que sean opuestos por el vértice.

c. Los ángulos α y ε, ¿miden lo mismo?, ¿cómo se llaman?

d. Si α = 110º, ¿cuánto mide λ?e. Nombra otro ángulo que mida 110º.f. Considera ahora que el ángulo β mide la

mitad de la medida del ángulo δ. ¿Cuánto mide cada uno?

2. Encuentra la medida de los ángulos indicados en cada caso.a. El triángulo de la figura es isósceles.

b.

x85º

70º

c. x

y

40º

Ejerciciosyproblemaspropuestos

L1 // L

2

L1

L1

L2

L2

L2L

1

L1 L

3L2

L4

L1 // L

2

L1 // L

2

L3 // L

4

α

β

95º

L1 // L

2

Uni

dad

3


β

65º

α

55º

45º

βα

50º

α

40º

150º

L4

L1

L1

L1

L3

L4

L2

L2

L3

L1 // L

2

L1 // L

2

L1 // L

2

L1 // L

2

L1 // L

2

L2

β α

50º

L2 L

3

L4

L1

L1

α35º

125º

L1

L2

L2

L1 // L

2

L3 // L

4

L1 // L

2

L3 // L

4

L1 // L

2

L3 // L

4

3. Resuelve los siguientes ejercicios.

a.

b.

c.

d.

e.

f.


4. ¿Cuál es la medida del ángulo α de la figura?

A. 29ºB. 65ºC. 66ºD. 144º

5. ¿Cuál es el valor de x según la figura?

A. 27ºB. 45ºC. 90ºD. 270º


a. Encuentra la medida de los ángulos β y δ, sabiendo que: )ED // )CB .

b. Determina la medida del ángulo α.

c. Encuentra la medida de los ángulos marcados en la figura.

d. ¿Qué tipo de triángulo muestra la figura?

e. Una persona que está mirando al oeste gira en un ángulo de 82º para observar un edificio. Si sigue girando en el mismo sentido, ¿cuánto debe girar para mirar directamente al este?

f. Pedro camina por la calle Los Abetos, dobla por Los Pinos, con un ángulo de giro de 50º, camina por Los Pinos hasta que llega a la esquina de Los Sauces, que es perpendicular a Los Abetos, ¿con qué ángulo de giro debe doblar ahora para seguir por Los Sauces?

g. Don Julio dice que construirá una reja con cuatro fierros, formando un paralelogramo. Si con dos de ellos forma un ángulo de 72º y el siguiente fierro lo pone formando un ángulo de 85º con el anterior, ¿está don Julio haciendo bien su reja? Justifica tu respuesta.

α 85º

29º L3

L4

L1

L2L

1 // L

2

L3 // L

4

L1 // L

2

C

E

Dδ

Bβ

115º

85º

4x – 50º

3x – 40º

2x x

α 2x + 60º

x + 70º

L1

L2

3x – 40º

x L1

L2

45º

135º

L2

L1


1. Encuentra la medida de los ángulos marcados con letras. Verifica tus resultados con un transportador. a.

b.

c.

d.

2. En la figura, BE y CD son bisectrices. La medida del ángulo x es:A. 25ºB. 30ºC. 65ºD. 125º


a. ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores de un hexágono?

b. ¿Cuánto mide un ángulo interior de un octágono regular?

c. Si un ángulo interior de un polígono regular mide 140º, ¿cuántos lados tiene ese polígono?

d. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1 800º, ¿cuántos lados tiene ese polígono?

e. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular si la suma de todos sus ángulos interiores es 1 980º?

f. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un pentágono regular?

Ejerciciosresueltos

1. En la figura, AE es bisectriz del BCAB. Además, DE // AB. Encuentra la medida del BDEA.

• La medida del ángulo CAB es 80º, por la suma de ángulos interiores del triángulo.

• La medida del ángulo EAB es 40º, ya que AE es bisectriz. Como los ángulos EAB y DEA son alternos internos, la medida del BDEA es 40º.

2. En el triángulo ABC, ED es simetral del lado BC. Encuentra la medida del ángulo α.

Recuerda que la simetral es perpendicular al lado, por lo tanto, el ángulo EDB es un ángulo recto.

• Así se sabe que el BDEB mide 45º (suma de ángulos internos del triángulo).• Luego, la medida de α es 135º (el ángulo α es suplementario con el BDEB).

Ángulosenpolígonos


α50º

130º

120º

α

βγ

εδ

110º

135º 120º

25º

30º

βα

50º

60º

AB // DCAD // BC

α β γ

50º60º

85º

CD

BA

C

D

E

A

x

B70º 25º

C

D

EAα B45º

CD

EF G

A

B

28º

72º

Uni

dad

3


4. En cada uno de los siguientes problemas encuentra el valor de x. a.

b.

c.

d.

5. Resuelve los siguientes problemas que involucran ángulos exteriores de un polígono.

a. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 900º, ¿cuánto mide cada ángulo exterior?

b. Según la información del dibujo, ¿cuál es el valor de x?

c. Con la información del problema anterior, encuentra la medida de cada ángulo exterior del cuadrilátero.

6. Si un ángulo exterior de un polígono regular mide 45º, ¿cuántos lados tiene el polígono? Marca la opción correcta.

A. 3 C. 6B. 4 D. 8

7. Paula dice que dibujó un polígono regular de tal manera que la suma de las medidas de los ángulos interiores es 450º.

a. ¿Es eso posible? Justifica tu respuesta.b. ¿Qué polígono tiene la suma de sus ángulos

interiores más cercana a 450º?


a. Eugenio está construyendo una repisa con el modelo que muestra la figura, donde AB // CD. Si las medidas de BDCB y BADC son iguales, encuentra las medidas de todos los ángulos de la repisa.

b. Javiera quiere construir el modelo de un polígono regular, para ello clava dos trozos de madera iguales formando un ángulo de 108º. ¿Cuántos trozos más de madera necesita?

c. Don Juan está diseñando una ventana, quiere que sea un paralelogramo pero no rectangular. Si dibujó uno de los ángulos con una medida de 75º, ¿cuánto miden los otros ángulos?

d. Se tiene un triángulo isósceles con ángulos basales de 80º. ¿Cuánto mide el ángulo formado por la prolongación de un lado del triángulo y la altura trazada a la base del triángulo?

e. Al trazar dos alturas en un triángulo acutángulo, una de las figuras que se forma dentro del triángulo es un cuadrilátero. Dibuja la situación y determina una posible medida de los dos ángulos que no son rectos en el cuadrilátero.

f. Julio quiere construir un triángulo isósceles, de base SR, que cumpla la siguiente condición. La medida del ángulo β debe ser tres veces la medida del ángulo α. ¿Cuánto deben medir α y β?

140º – x

x

4x6x + 30º

x + 50º

x

2x 2x2x2x

4x 4x

5x 5x

6x 6x

3x + 90ºx + 50º

x + 30º x + 70º

T

S Rαβ

36º

CD

A B125º


Ejerciciosresueltos

1. Construye un triángulo con dos lados dados de manera que el ángulo comprendido entre ellos mida 45º.

• A los extremos de los segmentos dados se los llama A, B, C y D.• Se mide con el compás el segmento AB y se prolonga en la misma medi-

da, el otro extremo se llamará E. Ahora se tiene un segmento EB, sobre ese segmento se construye una simetral, de manera que se tendrá una perpendicular que pasa por A.

• Se biseca el ángulo recto que construiste, y se tiene un ángulo de 45º con vértice en A.

• Sobre el rayo del ángulo de 45º se copia el segmento CD, de tal manera que el punto D coincida con el punto A.

• Se une el punto C con el punto B. Con este último paso se tiene el triángulo ABC construido.

2. En el triángulo construido en el ejercicio 1, construye la altura desde el vértice C al lado AB.

• Con el compás se dibuja un círculo con centro en C que corte el lado AB en los puntos A’ y B’.

• Con el compás y vértice en A’ se traza un círculo de manera que pase por C. Se repite este paso pero ahora con el compás en B’.

• Se dibuja un segmento desde C hasta el otro punto donde se intersecaron los círculos. Ese segmento cortará el lado AB en un punto, D. El segmento CD es la altura pedida.

Triángulosysuselementos

1. Construye los siguientes triángulos con las condiciones dadas en cada caso.

a. Construye un triángulo con estos tres segmentos que serán sus lados.

b. Construye un triángulo equilátero. Elige tú la longitud de los lados.

c. Construye un triángulo isósceles con los lados congruentes de 3,5 cm cada uno y la base de 5 cm.

d. Dados estos tres segmentos, ¿puedes construir un triángulo? Justifica tu respuesta.

e. ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplir tres segmentos, para que se pueda construir un triángulo con ellos?

f. Describe tres segmentos con los que no se pueda construir un triángulo. Explica por qué no se puede.


a. En el ejercicio 1 a construiste un triángulo con los tres lados dados, ¿puedes construir otro triángulo, con los mismos lados? Justifica tu respuesta.

b. Con un transportador construye un triángulo cuyos ángulos midan 30º, 70º y 80º.

c. ¿Es posible construir un triángulo diferente al construido en b pero con los mismos ángulos?, ¿por qué?

d. Escribe una conclusión respecto de la cantidad de triángulos que es posible construir dados tres lados y dados tres ángulos.

e. Construye un triángulo copiando el lado y los ángulos contiguos a él, dados a continuación.

f. Construye un triángulo copiando los dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, que se muestran en las siguientes figuras.


30º 50º2 cm

30º2 cm

4 cm

AE B

C

45º

A B

C

A’ B’D

Uni

dad

3


3. Construye los siguientes triángulos con los elementos secundarios indicados.

a. Dibuja un triángulo acutángulo y construye las bisectrices de los tres ángulos interiores. ¿Qué propiedad tiene el punto donde se cortan las bisectrices de un triángulo? Aplica esa propiedad en este dibujo.

b. Construye un triángulo ABC con lados que midan 4 cm, 5 cm y 6 cm y luego construye las alturas desde cada vértice. ¿Cómo se llama el punto donde se cortaron las tres alturas del triángulo?

c. Construye un triángulo obtusángulo y dos de sus alturas. Con respecto al triángulo, ¿dónde está ubicado el punto en que se intersecan las alturas?

d. Dibuja un triángulo ABC acutángulo escaleno y construye las simetrales de los tres lados. ¿Qué particularidad tiene el punto donde se cortaron las tres simetrales? Compruébalo con tu compás.

e. Dibuja un triángulo acutángulo escaleno y construye sus tres transversales de gravedad. ¿Cómo se llama el punto donde cortaron las tres transversales de gravedad?

4. Construye un triángulo equilátero cuyos lados midan 8 cm y realiza los siguientes pasos.

a. Construye dos bisectrices, dos alturas y dos simetrales. Describe qué ocurrió.

b. Si dibujas dos transversales de gravedad en el mismo triángulo, ¿qué crees que sucede? Compruébalo construyéndolas.

c. Construye un triángulo isósceles y además la altura, bisectriz, transversal de gravedad y simetral correspondientes a la base y al ángulo opuesto. ¿Qué sucede? ¿Crees que sucede lo mismo con los otros lados? Compruébalo.

5. Dibuja un triángulo escaleno.

a. Usando el procedimiento de división de trazos, divide el lado mayor en 3 partes iguales y une los puntos en que quedó dividido ese lado con el vértice opuesto.

b. ¿Cuántos triángulos tiene tu figura en total?

6. Marca la opción que muestra las medidas de 3 segmentos con los que no se puede construir un triángulo.

A. 8 cm, 10 cm y 13 cmB. 5 cm, 7 cm y 9 cmC. 3 cm, 4 cm y 5 cmD. 1 cm, 3 cm y 5 cm

7. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde al nombre del punto donde se intersecan las bisectrices de un triángulo?

A. Incentro. B. Baricentro.C. Ortocentro.D. Circuncentro.


a. Si se considera la ubicación de tres poblados como puntos en un mapa, estos forman un triángulo. ¿En qué punto se debe construir un hospital para que quede exactamente a la misma distancia de los tres poblados?

b. Raúl recortó un cartón en forma triangular. ¿En qué punto exacto del triángulo debe colocar la punta de un palillo para equilibrarlo?

c. Las ciudades A, B y C están unidas por los caminos a, b y c, como se muestra en la figura. Se quiere construir un museo de tal manera que los caminos que vayan desde él a los otros caminos sean lo más cortos posible. ¿Qué punto cumple esa condición?

C

A

a

c

b

B


EjercicioresueltoPara este ejercicio y los siguientes necesitas regla, compás y transportador.

1. Dado un segmento L, construye la simetral.

• En el segmento rotula los puntos A y B.• Abre el compás con la medida de A hasta B y con esta abertura dibuja

arcos con vértice en A, por sobre y por debajo del segmento.• Con la misma abertura del compás pero con centro en B, repite el

paso anterior, determinando los puntos C y D.• Une con una recta los puntos C y D. Esa es la simetral, lo puedes

comprobar con un transportador.

A BL

C

D

Ángulosysegmentos

1. Realiza las siguientes construcciones que involucran ángulos.

a. Dibuja un ángulo de 50º usando un transportador, luego, cópialo usando regla y compás.

b. Con el transportador dibuja un ángulo de 108º, copiando este ángulo y con segmentos que midan 5 cm cada uno construye un pentágono regular.

c. Dibuja un ángulo agudo y construye su bisectriz. Comprueba con la ayuda de un transportador que los dos ángulos midan lo mismo.

d. Construye un ángulo de 90º y a partir de ese ángulo construye uno de 45º.

e. Construye un ángulo de 135º usando regla y compás.

f. Copiando el ángulo de 135º construye un polígono regular. ¿Cuántos lados tiene?

g. ¿Cómo podrías construir un ángulo de 22,5º? Construye un ángulo con esa medida.

h. Construye un cuadrilátero cuyos ángulos contiguos midan 135º y 45º.

i. Construye un triángulo isósceles cuyos ángulos basales midan 22,5º cada uno. ¿Cuánto mide el tercer ángulo?

j. Construye un triángulo rectángulo isósceles. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

k. Construye un cuadrilátero, utilizando un ángulo de 135º y segmentos de 4 cm. ¿Qué tipo de cuadrilátero es?

2. Realiza las siguientes construcciones que involucran rectas.

a. Dibuja una recta que esté orientada en forma oblicua y construye una recta que sea perpendicular a ella en cualquier punto que no sea el punto medio.

b. Dada una recta cualquiera, construye una recta que sea paralela a esta recta. Escribe los pasos a seguir.

c. Dada una recta cualquiera, construye una paralela a ella que esté a 4 cm de distancia.

d. Dibuja un trazo de 10 cm y divídelo en cinco trazos iguales. Comprueba con la regla que los trazos midan lo mismo.

e. Dibuja un trazo de 8 cm y luego construye la simetral de ese trazo.

f. Dibuja un par de rectas paralelas y luego un par de rectas perpendiculares a las primeras. ¿Qué figura obtuviste?

g. Sobre una recta construye, con una distancia de 5 cm, un ángulo de 45º y otro de 135º, ambos en sentido antihorario, y luego una recta paralela a la primera. ¿Qué figura obtuviste?

h. Dibuja un rectángulo de 8 cm de largo y 4 cm de ancho. Sobre uno de los segmentos de 8 cm construye la simetral. ¿Qué figuras obtuviste?

i. Dibuja un segmento, divídelo en tres segmentos congruentes y sobre los puntos determinados construye rectas paralelas que sean perpendiculares al primer segmento.


Uni

dad

3


3. Con lo practicado hasta ahora construye las siguientes figuras.

a. Construye un paralelogramo que tenga dos lados de 2 cm y dos lados de 5 cm.

b. Construye un paralelogramo que tenga dos ángulos contiguos de 40º y 140º y el lado común a ellos de 5 cm.

c. Construye un paralelogramo sabiendo que sus diagonales miden 8 cm y 5 cm respectivamente y que forman un ángulo de 40º entre ellas.

d. Construye un rombo cuyos lados midan 5 cm cada uno y dos de sus ángulos sean de 40º. ¿Cuál es la medida de los otros dos ángulos?

e. Construye un cuadrado sabiendo que sus diagonales miden 10 cm cada una.

f. Construye un rombo cuyas diagonales midan 8 cm y 6 cm respectivamente.

g. Construye un trapecio isósceles cuya altura sea 3 cm y la base de mayor longitud mida 5 cm.

h. Construye un paralelogramo que tenga lados contiguos de 3 cm y 4 cm y el ángulo entre ellos sea de 60º.

i. Construye un trapecio rectángulo cuyas bases midan 5 cm y 2 cm y cuya altura sea 4,5 cm.

j. Construye un trapecio de tal manera que una de sus bases mida la mitad de la otra.

k. ¿Podrías construir un paralelogramo cuyos ángulos contiguos midan 40º y 80º? Justifica tu respuesta.

l. ¿Cómo puedes construir un ángulo de 60º sin usar transportador? Constrúyelo y utilízalo para construir un hexágono regular de lado 5 cm.

m. Construye un paralelogramo cuyos ángulos sean 60º y 120º, su largo sea 8 cm y su altura 4 cm.

n. Construye un triángulo equilátero de lado 6 cm, luego construye una paralela a uno de los lados que se interseque con los otros dos lados en su punto medio. ¿Qué figuras obtuviste?

ñ. Construye un cuadrado de lado 3 cm. Sobre la base de este cuadrado, construye otro cuyo lado mida 6 cm. Compara sus perímetros y sus áreas.

4. En la antigua Grecia había tres construcciones que no pudieron realizar solo con regla y compás.

a. Averigua cuáles eran esas construcciones.b. Averigua si se han podido realizar en

la actualidad.c. Comparte con tus compañeros la información

que obtuviste y compárala con la de ellos.


a. Silvia quiere hacer un poncho con cuatro cuadrados de tela, cuyos lados midan 60 cm, pero no sabe cómo dibujar en la tela el cuadrado para poder cortarlo. Indica los pasos que debe realizar.

b. El alcalde de un pueblo quiere construir una piscina para la comunidad, que tenga forma de rombo de 15 m de lado y en que la distancia de un vértice al opuesto sea de 18 m. ¿Cómo podría hacer el dibujo para entregárselo a los constructores?

c. Felipe tiene un terreno rectangular que destinará para hacer una chacra. Sin tener que medir su largo, lo quiere dividir en tres partes de igual longitud. Explica los pasos que puede seguir para realizar la tarea.

d. Con lo que has practicado en esta sección, ¿podrías explicar cómo construir un triángulo isósceles? Escribe todos los pasos.

e. Don Fernando es un mueblista al que le han encargado una mesa cuya cubierta es un hexágono regular. Explica los pasos que debe seguir para construirla.

f. Un jardinero quiere diseñar espacios en su jardín, que tengan forma de paralelogramos, para poder poner flores. Explica cómo lo puede hacer.

g. Tomás es un artesano que tiene unas láminas de cobre, y quiere recortar triángulos equiláteros y cuadrados para hacer aros, como muestra la figura. Explica cómo puede hacer el molde.


Ejercicioresuelto

1. Aplica una reflexión, respecto del eje de simetría destacado con color rojo, a la figura que se muestra a continuación.

Paso 1: utilizando la escuadra, traza una recta perpendicular al eje de simetría, de manera que pase por el vértice que vas a reflejar.

Paso 2: con el compás, copia la distancia entre el vértice y el eje, en la recta trazada, pero al otro lado del eje, y obtén así la imagen del vértice.

Paso 3: repite los pasos 1 y 2 para cada vértice de la figura.

Paso 4: une las imágenes de los vértices para formar la imagen de la figura inicial.

Transformaciones,reflexionesyrotaciones

C

D

AB

1. Copia estas figuras en papel y, usando regla y compás, traslada cada figura según el vector dado para cada una.

a.

b.

2. Copia las figuras en papel y, usando regla y compás, aplica la reflexión según el eje de simetría dado.

a.

b.

3. Aplica las transformaciones isométricas.

a. Dibuja un triángulo ABC y un punto O, ubicado fuera del triángulo. Usando el punto O como centro, aplica una rotación con un ángulo de 60º en sentido antihorario.

b. Dibuja un rectángulo ABCD y un punto P fuera de él. Usando el punto P como centro de rotación, gira el rectángulo ABCD en un ángulo de 90º en sentido horario.

c. Construye un triángulo que tenga dos lados de medidas 4 cm y 7 cm y que el ángulo formado por ellos mida 36º. Luego aplícale una reflexión, usando regla y compás, respecto del lado cuya medida es 7 cm.

Marca la opción correcta en los ítems 4 a 7.

4. Si el centro de rotación coincide con uno de los vértices de una figura, ¿qué ocurre al aplicar una rotación en 180º?

A. Ningún punto de la figura queda fijo.B. Un punto de la figura queda fijo.C. Los vértices de la figura cambian de posición.D. Todos los puntos de la figura cambian

de posición.

5. La imagen de una circunferencia coincide exactamente con la circunferencia original al aplicar:

A. una traslación cuyo vector de traslación tiene la misma magnitud que el radio de la circunferencia.

B. una rotación cuyo centro de rotación coincida con el centro de la circunferencia.

C. una reflexión cuyo eje de simetría no pase por el centro de la circunferencia.

D. todas las anteriores.


Uni

dad

3


6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta respecto de una traslación?

A. Se desplazan todos los puntos de una figura respecto de un eje de simetría.

B. Cambia la posición y forma de la figura inicial.C. Se desplazan todos los puntos de una figura

según un vector de traslación.D. Se mueven todos los puntos de una figura en

un ángulo determinado.

7. La imagen de una figura coincide exactamente con la figura original, si se rotó en:

A. 90º, en sentido horario.B. 180º, en sentido antihorario.C. 360º, en sentido horario.D. 540º, en sentido antihorario.

8. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica las falsas.

a. Para reflejar una figura, es necesario conocer el vector que determina la reflexión.

b. Para rotar un triángulo, solo es necesario conocer el ángulo de rotación.

c. Al aplicar una transformación isométrica a una figura, puede cambiar el tamaño de la figura, pero no su forma.

d. Para trasladar una figura, es necesario conocer el vector de traslación.

e. Rotar una figura en 180º en sentido antihorario es equivalente a rotar la misma figura en 180º en sentido horario.

f. La distancia desde cualquier punto de una figura al eje de simetría es igual a la distancia desde cualquier punto de su imagen al eje.


a. Dibuja un triángulo ABC, aplícale una rotación de 180º en sentido horario, con centro en el vértice A, y luego una reflexión cuyo eje de simetría coincida con el lado B’C’.

b. El triángulo ABC se refleja sobre un eje, resul-tando que el punto A’ permanece en la misma posición que A. ¿Cómo se interpreta eso de acuerdo a la ubicación del eje de simetría?

c. El triángulo ABC se refleja sobre un eje L1 y

su imagen, el triángulo A’B’C’, se refleja nue-vamente, ahora sobre un eje L

2 resultando el

triángulo A’’B’’C’’. Si L1 y L

2 son líneas paralelas,

¿qué transformación convierte directamente el triángulo ABC en el triángulo A’’B’’C’’?

d. A un cuadrilátero se le aplica una rotación, en sentido horario, de 45º. A la imagen obtenida se le aplica una rotación en 60º, utilizando el mismo centro en sentido antihorario. ¿Qué transformación tiene el mismo efecto sobre el cuadrilátero?

10.En cada uno de los siguientes ejercicios, determina el tipo de transformación efectuada.

a.

b.

c.

11.Resuelve el siguiente problema.

a. Construye un triángulo cualquiera ABC y trasládalo según el vector de traslación que se muestra a continuación, obteniendo el triángulo A’B’C’.

b. Copia el triángulo obtenido en el ejercicio anterior y trasládalo nuevamente según el vector dado, obteniendo el triángulo A’’B’’C’’.

c. ¿Qué transformación lleva al triángulo ABC al triángulo A’’B’’C’’, sin necesidad del paso por el triángulo A’B’C’? Si tu respuesta es una traslación, dibuja el vector correspondiente.

C

A B

C'

A' B'

A

C

B

C'

A'B'

C

A B

C'

A'

B'


Teselaciones

Ejerciciosresueltos

1. Diseña una figura que sirva como una base para generar una teselación.

• Como un rectángulo puede ser base para una teselación, puedes comenzar con un rectángulo cualquiera.

• Copia una semicircunferencia de diámetro igual al ancho del rectángulo a ambos lados del rectángulo.

• Traza dos segmentos en uno de los lados largos del rectángulo y copia los trazos en el lado opuesto.

• De esta manera, obtienes una figura irregular que también sirve como base para generar una teselación.

2. ¿Se puede realizar una teselación semirregular con un triángulo equilátero y un hexágono regular?

• Cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60º.• Cada ángulo interior de un hexágono regular mide 120º.• Si yuxtaponemos el hexágono y el triángulo, los ángulos suman 180º, si los reflejamos sobre un eje horizontal

se reproduce la figura sumando 360º, por lo tanto, se puede teselar el plano.

1. Decide si es posible realizar una teselación con cada una de las siguientes figuras. Justifica tu respuesta.

a. c.

b. d.

2. ¿Con cuál de estos polígonos regulares no se puede teselar un plano, usando solo uno de ellos a la vez? Marca la opción correcta.

A. Triángulo. B. Cuadrado. C. Pentágono.D. Hexágono.

3. Pedro dice que usando dos octágonos regulares y un cuadrado puede teselar el plano.

a. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.b. Si ahora deja el mismo octágono, pero el

cuadrado lo remplaza por un rectángulo, ¿puede teselar el plano? Justifica tu respuesta.

4. Se ha teselado un plano con triángulos y hexá-gonos. Describe cómo se genera la teselación utilizando las trasformaciones dadas, partiendo del hexágono y del triángulo pintado.

a. Reflexiones y traslaciones.b. Rotaciones y traslaciones.c. Rotaciones y reflexiones.


Uni

dad

3


5. Determina el tipo de teselación en cada caso.

a. b.

6. La siguiente figura está formada por un hexágono regular, un triángulo equilátero y dos cuadrados. ¿Se puede utilizar esta figura como base para teselar el plano? Justifica tu respuesta.

7. En la casa de Tomás están embaldosando una terraza como muestra la figura.

a. Si en el ancho de la terraza se pueden poner 7 de las baldosas verdes, ¿cuántas baldosas grises se necesitan?

b. Si se ocuparon 22 baldosas grises, ¿cuántas baldosas verdes se usaron?

c. Si en el ancho se ocupan x baldosas verdes, ¿cuántas baldosas grises se necesitan?

8. Marca la opción que nombra una figura que no puede teselar el plano cuando se la combina con triángulos.

A. Cuadrados. B. Dodecágonos regulares.C. Hexágonos regulares.D. Octágonos regulares.

9. Resuelve los siguientes problemas que involucran teselaciones.

a. Paula quiere formar una teselación semirregular con dodecágonos regulares, cuadrados y un tercer tipo de figura. ¿Cuál puede ser esa figura?

b. ¿Cuántas teselaciones puedes formar con triángulos y cuadrados? Dibújalas.

c. Luisa quiere embaldosar la cocina de su casa usando baldosas en forma de pentágonos regulares. ¿Puede hacerlo? Justifica tu respuesta.

d. Determina las medidas de los ángulos interiores de un cuadrado, de un hexágono regular y de un dodecágono. ¿Se puede teselar el plano combinando esos tres polígonos? Justifica tu respuesta.

e. Felipe dijo que utilizó estos pentágonos no regulares, que tienen cuatro lados de igual medida y con ángulos cuyas medidas están indicadas y que logró teselar el plano. ¿Está en lo correcto? Justifica tu respuesta.

f. Lucía quiere empapelar una de las murallas de su pieza combinando los dos cuadriláteros que se muestran a continuación. ¿Lo puede hacer? Justifica tu respuesta.

144º

108º108º

90º90º

144º144º

72º 72º36º

36º

72º 72º



1. Encuentra el área de la figura. Las medidas son: AC = 8 cm, BF = 8 cm, DC = 6 cm, ED = 2 cm y HG = 2 cm.

En la figura podemos distinguir un triángulo sobre un rectángulo.

• Área del rectángulo: 8 · 6 = 48 cm2

• Área del triángulo, base: 8 – 2 – 2 = 4 cm y altura: 8 – 6 = 2 cm

Área del triángulo: 4 · 22

= 4 cm2

• Área total: 48 + 4 = 52 cm2

2. Encuentra una expresión que represente el área pintada del rectángulo.

Una posible estrategia es encontrar una expresión del área del rectángulo mayor, otra para el rectángulo menor y luego encontrar la diferencia entre ellas.

• Área del rectángulo mayor: 9x · 5 = 45x• Área del rectángulo menor: (9x – 6x) · x = 3x 2

• Área pintada: 45x – 3x 2

Áreas de triángulos y paralelogramos

6x

9x

5

x

1. Encuentra el área de un rectángulo cuyo largo es 12,5 cm y su ancho es 6 cm.

2. Completa, considerando que l es el largo, a es el ancho y A el área de un rectángulo.

a. l = 8 cm; a = ; A = 72 cm2

b. l = 0,8 m; a = 2,4 m; A = c. l = ; a = 9 cm; A = 36 cm2

3. Calcula el área de los siguientes cuadriláteros.

a. Rectángulo de lado 5 cm y altura 2,4 cm. b. Rombo de lado 12 cm y altura igual a un tercio

de la base. c. Paralelogramo de base 6 cm y altura 3,6 cm. d. Trapecio de bases 11,8 cm y 15,2 cm y altura

6,5 cm.

4. Sobre la base de un cuadrado de lado 3 cm, se construye otro más grande. Los lados del primer y segundo cuadrado están en la razón 2 : 5.

a. ¿Cuál es el área de cada cuadrado?b. ¿En qué razón están sus áreas? c. ¿Cómo se relacionan la razón entre los lados y

la razón entre las áreas?


a. Si el largo de un rectángulo es 18 cm y su área es 225 cm2, ¿cuál es su ancho?

b. Dibuja un rectángulo y un paralelogramo que tengan bases y altura de igual medida. ¿Qué puedes decir de sus áreas?

c. Dibuja un rectángulo y un triángulo que tengan bases y alturas de igual medidas. ¿Qué puedes decir de sus áreas?

d. Si un rectángulo tiene el doble del área que otro, y ambos tienen el mismo ancho, ¿qué sucede con los largos de ambos rectángulos?

e. El lado de un cuadrado mide el doble que el lado de otro cuadrado. Encuentra la razón entre sus áreas.

f. ¿Cuáles podrían ser las longitudes de las bases de un trapecio, si se sabe que la altura mide 20 cm y su área es 220 cm2?

g. ¿Cuáles podrían ser las medidas de las diagonales de un rombo si se sabe que su área mide 18 cm2?


F

E

A B C

GH D

Uni

dad

3


6. Encuentra el área de las siguientes figuras.

a. b.

c. La figura exterior es un rombo de lado 7,5 cm, los trapecios son congruentes y de altura 1 cm. El rombo interior tiene lados que miden 5 cm y altura 4 cm. ¿Cuál es el área del rombo más grande?

7. Encuentra la expresión que representa el área de estas figuras.

a. b.

8. ¿Cuál es el área total de la figura formada por los dos romboides y dos trapecios isósceles idénticos que se muestran en la imagen? Marca la opción correcta.

A. 84 cm2

B. 96 cm2

C. 168 cm2

D. 104 cm2

9. Encuentra el área del hexágono sombreado que es parte del rectángulo de la figura.

10.¿Cuál es el área sombreada de la figura? Marca la opción correcta.

A. 108 cm2

B. 238 cm2

C. 538 cm2

D. 700 cm2


a. Un terreno rectangular tiene un perímetro de 70 m. Si el largo del terreno es de 15 m, ¿cuál es su área?

b. Una alfombra que mide 2,8 m de largo por 1,5 m de ancho está puesta en una pieza de 3,5 m de largo por 2 m de ancho. ¿Qué área de la pieza no queda cubierta por la alfombra?

c. ¿Cuántas cartulinas de 80 cm por 40 cm cubren un diario mural de 1,2 m por 80 cm?

d. Se quiere construir una muralla de ladrillos que mida 6,3 m de largo y que tenga 15 ladrillos de altura. Si cada ladrillo mide 18 cm de largo, ¿cuántos ladrillos se necesitan?

12.Si ABCD es un rectángulo cuyo largo y ancho miden 15 cm y 10 cm, respectivamente, determina el área de la región pintada.

13.Un pedazo de alambre de 384 cm de largo se corta en trozos iguales y con cada trozo se hace un cuadrado de 4 cm de lado.

a. ¿Cuántos cuadrados se pueden hacer como máximo?

b. ¿Qué área cubren todos estos cuadrados si se ponen uno al lado de otro?

14.Con un trozo de cordel de 20 cm se construyen diferentes paralelogramos.

a. Uno de esos paralelogramos es un cuadrado, ¿cuánto mide su lado?, ¿y su área?

b. Nombra dos rectángulos cuyo ancho sea menor al lado del cuadrado del ejercicio anterior y cuyo perímetro sea el dado. Calcula sus áreas y compáralas con el área del cuadrado.

20 cm

35 cm

4 cm

3 cm

6 cm

2 cm

15x

13x

74

x

8x

12 cm

5 cm

8 cm

3 cm

1 cm2 cm

3 cm

3 cm 7 cm

9 cm

6x

3 cm

5 cm

5 cm

7 cm

2 cm

2 cm

2 cm

18 cm

A B

D C


PreparandoelSIMCE


1. ¿Cuál es la medida del ángulo x?

A. 52ºB. 62ºC. 128ºD. 138º

2. ¿Cuál es la medida del ángulo ECD?

A. 50ºB. 85ºC. 90ºD. 95º

3. La figura muestra un trapecio. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos α y β?

A. α = 37º, β = 20ºB. α = 53º, β = 70ºC. α = 123º, β = 57ºD. α = 127º, β = 110º

4. En la figura, MNQS es un trapecio isósceles y PQSR es un cuadrado. ¿Cuánto mide el ángulo MSQ?

A. 125ºB. 135ºC. 145ºD. 155º

5. La medida del ángulo interior de un polígono regular es 11 veces la medida del ángulo exterior. ¿Cuántos lados tiene el polígono?

A. 10B. 11C. 12D. 15

6. Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo son tres números consecutivos. ¿Cuáles son esas tres medidas?

A. 60º, 61º, 62ºB. 62º, 63º, 64ºC. 58º, 60º, 61ºD. 59º, 60º, 61º

7. ¿Qué transformación isométrica o combinación de ellas convierten la figura A en la figura B?

A. Una rotación.B. Dos reflexiones.C. Una traslación y una reflexión.D. Una rotación y una traslación.

8. El área de un triángulo es 15,5 cm2. ¿Cuál es el área de otro triángulo si tiene la misma base y el doble de la altura del triángulo anterior?

A. 7,25 cm2

B. 15,5 cm2 C. 31 cm2

D. 62 cm2

9. ¿Qué se obtiene al aplicar una transformación isométrica a una figura?

A. Una figura cuya posición es similar a la figura original.

B. Una figura que mantiene el tamaño original y varía su forma y posición.

C. Una figura que mantiene la forma, tamaño y posición original.

D. Una figura cuya forma y tamaño son idénticos al original, solo varía su posición.

10.¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?

A. El eje de simetría es una recta perpendicular a los trazos que unen cada par de puntos correspondientes.

B. Al aplicar una rotación, todos los puntos de la figura se mueven en torno a un punto fijo.

C. No es posible teselar una superficie plana utilizando un romboide.

D. Al aplicar una traslación, todos los puntos de la figura se mueven según un vector.

11.Se tiene un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm. ¿Cuál es el área del rombo?

A. 20 cm2

B. 24 cm2

C. 40 cm2

D. 48 cm2

A B

x38º

A B

C

D E

35º 130º

α β

53º 70º

M S

R

P

N Q

Uni

dad

3


12.¿Cuál es el área del trapecio isósceles dibujado?

A. 130 cm2

B. 200 cm2

C. 300 cm2

D. 400 cm2

13.El largo de un rectángulo es 5 cm más que el ancho. Si su perímetro es 26 cm, ¿cuál es su área?

A. 4 cm2

B. 9 cm2

C. 13 cm2

D. 36 cm2

14.En el dibujo, si L1 // L2, ¿cuál es la medida del ángulo α?

A. 50º B. 55ºC. 60º D. 65º

15.¿Cuál es el área de un rectángulo si su largo es 60 cm y su ancho es un tercio del largo?

A. 80 cm2

B. 180 cm2

C. 1 200 cm2

D. 3 600 cm2

16.La figura ABCD es un rectángulo cuyo largo AB mide 20 cm y su ancho AD mide 16 cm. Los puntos P y Q se ubican en la mitad de cada lado. El área del trapecio escaleno PQBD mide:

A. 80 cm2 B. 100 cm2

C. 120 cm2

D. 1 600 cm2

17.El lado del cuadrado mide 3 cm. Además se cumple que los segmentos DE, EF, GH, JK y KC miden lo mismo. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

A. 4 cm2 B. 5 cm2

C. 6 cm2

D. 9 cm2

18.Las bases de un trapecio miden 18 cm y 24 cm y su área es 4,2 cm2. ¿Cuánto mide su altura?

A. 0,1 cmB. 0,2 cmC. 1 cmD. 2 cm

19.¿Cuál es el área del rombo de la figura?

A. 7,5 cm2 B. 15 cm2

C. 27 cm2

D. 54 cm2

20.El ancho y el largo de un rectángulo miden 8x y 12x y se sabe que x = 3 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?

A. 60 cm2

B. 96 cm2

C. 288 cm2

D. 864 cm2

21.Observa la figura y responde.

a. ¿De qué figuras está compuesta esta teselación?b. ¿Esta teselación es regular?, ¿es semirregular?

Justifica tu respuesta.c. ¿Es simétrica? Entonces, ¿cuál o cuáles serían

sus ejes de simetría?d. ¿Tiene simetría rotacional? Si es así, identifica

cuál sería el centro y el menor ángulo de la rotación.

10 cm

10 cm

30 cm

α115º

130º

L1

L2

A

D P

Q

B

C

A

D

E F KJ

G H B

C

6 cm

9 cm


1. Completa las medidas de la hipotenusa (h) o cateto (c) en los siguientes triángulos rectángulos. Las medidas están en metros.

a. c1 = 3; c

2 = 4

b. c1 = 7; c

2 = 12

c. h = 5; c2 = 2

d. h = 5; c2 = 1

e. c1 = 3; c

2 = 5

f. h = 10; c2 = 8

g. c1 = 5; c

2 = 12

h. h = 8; c2 = 4

2. Comprueba si los triángulos, cuyas medidas se entregan en metros, son rectángulos.

a. 9, 12 y 15b. 7, 24 y 25c. 17, 19 y 26d. 10, 24 y 36e. 4,5; 6 y 7,5f. 1,5; 2 y 2,5g. 1,8; 2,4 y 3h. 12,6; 16,8 y 21

3. Un cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo miden 8 m y 10 m, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo?


a. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 5 cm?

b. Los lados de un rectángulo son 12 cm y 15 cm, ¿cuánto mide la diagonal?

c. Los lados de un triángulo isósceles miden 8 cm y la base 10 cm. ¿Cuánto mide la altura correspondiente a la base del triángulo?

d. El perímetro de un cuadrado mide 20 cm. ¿Cuánto mide su diagonal?

e. En un triángulo rectángulo la razón entre sus lados es 3 : 4 : 5, y la hipotenusa mide 20 cm, ¿cuál es la medida del perímetro?

5. Marca la opción que muestra la medida, en centímetros, de los lados de un triángulo rectángulo.

A. 1, 2 y 3B. 9, 16 y 25C. 2, 4 y 16D. 9, 12 y 15

Ejerciciosresueltos

1. Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es su área?

Se sabe que las diagonales del rombo son perpendiculares y se dimidian (cada una es la simetral de la otra).

• Como se muestra en la imagen, se forman 4 triángulos rectángulos cuyos catetos miden 3 cm y 4 cm.

• Para obtener el área de cada triángulo, calculamos: (3 · 4) : 2 = 6. Esto significa que el área de cada uno es 6 cm2.

• El área total del rombo será 24 cm2.• En general, el área de un rombo es el semiproducto de sus diagonales.

2. Calcula el perímetro del mismo rombo del problema 1.

Como se vio en el problema anterior, el rombo se ha dividido en cuatro triángulos rectángulos congruentes. Para calcular el perímetro necesitamos calcular la hipotenusa (h) de uno de esos triángulos.

• Por el teorema de Pitágoras sabemos que h2 = 32 + 42.• Entonces h2 = 25, extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad: h = 5.• Por lo tanto, el perímetro es cuatro veces la hipotenusa que se encontró, es decir:

P = 4 · 5 = 20. Luego, el perímetro del rombo es de 20 cm.

TeoremadePitágorasysurecíproco


Uni

dad

3


6. Resuelve los siguientes problemas. Utiliza una calculadora para realizar los cálculos.

a. Un potrero mide 100 m de largo por 50 m de ancho. Pedro recorre el ancho y el largo y Juan cruza por la diagonal. Aproximadamente, ¿cuántos metros de caminata se ahorra Juan?

b. Un auto A se dirigió 80 km al norte de un pueblo. Desde el mismo pueblo otro auto B avanzó 60 km al este. ¿A qué distancia quedaron los autos entre sí?

c. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de lado 6 cm? Deja tu resultado con raíces y luego generaliza tu resultado a un triángulo equilátero de lado a.

d. Una escalera de 6 m de largo se apoya en una muralla a una altura de 5 m desde el suelo. ¿A qué distancia desde la base de la muralla se encuentra el pie de la escalera?

e. Un poste de 10 m de altura se afirmará mediante cables desde la parte más alta hasta dos puntos ubicados en el suelo, a 3 m y 4 m del poste. Aproximadamente, ¿cuánto cable se necesita?

f. Para tejer chales a telar, Eugenia está construyendo un bastidor de madera, en forma de triángulo isósceles. Si la base debe medir 120 cm y la altura 80 cm, ¿cuánta madera necesita para hacer el triángulo?

g. Juan dice que el cateto de un triángulo rectángulo mide 10 cm y que el otro mide 4 cm menos que la hipotenusa. María dice que eso es imposible. ¿Quién tiene razón? Justifica tu respuesta.

7. El frente de una carpa tiene forma de triángulo isósceles, cuya altura es de 1,5 m y su base de 2 m. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se necesitan para cubrir el frente de la carpa? Marca la opción correcta.

A. 3 m2

B. 1,5 m2

C. 15 m2

D. 7,5 m2

8. ¿Qué polígono regular se puede dividir en triángulos equiláteros? Si el lado de ese polígono mide 5 cm, ¿cuál es su área?

9. Calcula el área de las siguientes figuras.

a. c.

b. d.


a. Determina el área del siguiente triángulo.

b. Calcula el perímetro del siguiente rectángulo.

c. Determina el perímetro de la siguiente figura formada por un cuadrado y un triángulo rectángulo isósceles.

d. Si cada lado de un hexágono regular mide 2 cm, calcula su área. Considera que √3 ≈ 1,73.

4 cm

6 cm

2 cm

2 cm

1 cm

24 cm

18 cm

24 cm 12 cm

6 cm

5 cm

3 cm

1 cm

1 cm

3 m 3 m

5 m2 m

1 m2 m 2 m

1 cm

20 cm29 cm

12 cm

17 cm8 cm

3 cm



a. La base de un prisma es un pentágono de área 90 cm2 y la altura mide 15 cm. ¿Cuál es el volumen del prisma?

b. El volumen de un prisma de base rectangular es 24 m3. Si el largo de la base es 4 m y su ancho es 3 m, ¿cuál es la altura del prisma?

c. Un cubo cuya arista mide 1 m tiene un volumen de 1 m3. ¿Cuál es su volumen expresado en cm3?

d. ¿Cuántos cubitos de 1 cm de lado caben en un prisma de base cuadrada, si la arista de la base mide 5 cm y la altura mide 10 cm?

e. Las dimensiones de un prisma de base rectangular son 3 m, 6 m y 5 m. ¿Cuál es su volumen?

f. La altura de un prisma mide 10 cm y su base es un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 5 cm y 8 cm. ¿Cuál es su volumen?

2. ¿Qué opción muestra la equivalencia de un centímetro cúbico?

A. 10 mm3 B. 100 mm3 C. 1 000 mm3

D. 10 000 mm3

3. Una caja de 20 cm de altura tiene como base un pentágono regular, como el que se muestra en la figura.

a. Calcula el área del pentágono.b. Calcula el volumen de la caja. c. La caja se llena de chocolates logrando

ocupar el 90 % del espacio interior. ¿Cuál es el volumen de los chocolates?

d. Si 1 cm3 de los chocolates tiene una masa de 3,5 g, ¿cuál es la masa total de los chocolates que están en la caja?

e. Si la caja está forrada en papel de regalo, ¿cuál es la cantidad mínima de papel que se necesita para forrarla?

Ejerciciosresueltos

1. Encuentra el volumen de un prisma recto de base rectangular que tiene 15 cm de largo, 9,6 cm de ancho y 4 cm de alto.

El volumen de un prisma siempre se puede calcular multiplicando el área de la base por la altura.

• En este caso, el área de la base es: 15 · 9,6 = 144 cm2.• Luego multiplicamos el área obtenida por la altura: 144 · 4 = 576 cm3.• El volumen del prisma es 576 cm3.

2. Un prisma tiene por base un triángulo equilátero cuyo lado mide 7,44 cm, y la altura del prisma mide 10 cm. ¿Cuál es el área total del prisma?

La superficie total se calcula sumando las áreas de todas las caras del prisma.

• Primero calculamos el área del triángulo, como es equilátero es: (7,442 )2

· √3 ≈ 24 cm2.

• Luego calculamos el área de una de las caras rectangulares: 7,44 · 10 = 74,4 cm2.

• Como son 2 caras triangulares y 3 caras rectangulares, tenemos: 2 · 24 + 3 · 74,4 = 271,2.

• La superficie total del prisma mide 271,2 cm2.

Áreayvolumendeprismasrectos

5,5 cm

8 cm


Uni

dad

3


4. Resuelve los siguientes problemas que involucran volúmenes de prismas.

a. Uno de los primeros computadores electrónicos medía 15 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de alto. Actualmente, un notebook puede medir 30 cm de largo, 20 cm de ancho y 2 cm de alto. ¿Cuántas veces mayor es el volumen del antiguo computador respecto del notebook actual?

b. Alejandro debe construir un estanque con forma de prisma rectangular para que contenga 48 m3 de agua. Ha destinado para ello un espacio de 6 m de largo por 2 m de ancho. ¿Qué altura debería tener el estanque?

c. Un carpintero necesita cortar dados de madera de 3 cm de arista y dispone de una pieza de madera de 12 cm de largo, 9 cm de ancho y 15 cm de alto. ¿Cuántos de esos dados puede obtener como máximo?

d. Una sala de un hospital mide 8 m de largo, 5 m de ancho y 4 m de alto. Si se le cambia el aire cada 15 minutos, ¿cuántos metros cúbicos de aire se mueven en una hora?

5. Un cubo tiene un volumen de 64 cm3. ¿Cuál es el área del cubo? Marca la opción correcta.

A. 4 cm2 B. 10,7 cm2 C. 16 cm2

D. 96 cm2

6. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran área y volumen de prismas.

a. Un prisma de base rectangular mide 3 cm de ancho, 5 cm de largo y su altura mide 10 cm. ¿Cuál es su área total?

b. La base de un prisma es un triángulo rectángulo, de catetos 3 cm y 4 cm y la altura del prisma es el doble de la hipotenusa del triángulo basal. ¿Cuál es su área total?

c. ¿Cuál es la área total de un prisma de altura 5 cm y cuya base es un hexágono de lado 4 cm y apotema aproximado de 3,5 cm?

d. El volumen de un prisma de base rectangular es 28 m3. Si su altura mide 5 m, ¿cuál es el área de su base?

e. Un prisma tiene una altura de 8 cm y una base cuadrada de lado x cm. Si su volumen es de 288 cm3, ¿cuál es el valor de x?


a. ¿Cuál es la área total de un dormitorio de 3 m de largo, 1,5 m de ancho y altura 2 m?

b. El rendimiento de un frasco de pintura corresponde a una superficie de 2 m2. Si se van a pintar cubos cuya arista es de 6 cm, ¿cuántos cubos se alcanzan a pintar con un solo frasco de pintura?

c. Laura quiere forrar una caja de zapatos con papel, sin la tapa, donde guarda sus materiales. Si las dimensiones de la caja son 20 cm de ancho, 10 cm de alto y 30 cm de largo, ¿cuál es el área de papel que Laura necesita?

d. Un prisma de base cuadrada, cuyas dimensiones son 9 cm de arista basal y 15 cm de altura, se corta de tal manera que se obtienen dos prismas idénticos de base triangular. ¿Cuál es el volumen de cada uno de los prismas nuevos?

e. Con el mínimo de papel que se necesita para envolver una caja de 10 cm por 8 cm por 4 cm, ¿se puede envolver un cubo de arista 9 cm? Calcula cuánto falta o cuánto sobra.

f. Jorge está construyendo un modelo de cubo con láminas de acrílico, el cubo tiene aristas de 15 cm. La lámina de acrílico mide 1 m de largo y 50 cm de ancho. ¿Cuánto acrílico le sobra?

g. Las dimensiones de un pliego de papel que cuesta $ 600 son 1 m y 60 cm. Si los pliegos de papel solo se venden completos, ¿cuánto se gasta en envolver 12 cubos de 20 cm de arista?

h. Una pequeña piscina tiene una superficie basal de 0,6 m2; cuando se sumerge una pelota, la altura del agua sube 2 cm. ¿Cuál es el volumen de la pelota?

i. La figura muestra el corte transversal y las dimensiones de un abrevadero para animales. Si su largo es 5 m y su profundidad es 80 cm, ¿cuántos litros de agua puede contener?

j. Si la arista de cada cubo mide 3 cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se muestra en la figura?, ¿y cuál su área?

1 m

60 cm


1. Calcula el volumen de cada pirámide.

a. Base cuadrada de lado 6 cm y altura 4 cm.b. Base hexagonal de área 30 cm2 y altura de la

pirámide 1 m.c. Base en forma de triángulo equilátero de lado

6 m y altura de la pirámide 8 m. d. Base en forma de pentágono regular de lado

8 cm, apotema de 5,5 cm y altura 10 cm.e. Base en forma de triángulo rectángulo, cuyos

catetos miden 6 cm y 8 cm, y altura 10 cm.

2. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada de 6 cm de lado y altura de 10 cm? Marca la opción correcta.

A. 40 cm3

B. 120 cm3

C. 360 cm3

D. 600 cm3

3. La pirámide de Keops, en Egipto, tiene 145 m de altura, su base es cuadrada con arista basal de 231 m y su apotema lateral mide 186 m.

a. Calcula el volumen de la pirámide.b. Calcula el área de la pirámide.

4. La red, que se muestra en la figura siguiente, corresponde a una pirámide de base cuadrada. Cada lado del cuadrado mide 24 cm y los lados de los triángulos isósceles que no coinciden con los del cuadrado miden 36 cm.

a. Calcula la altura que tendrá la pirámide una vez que esté construida.

b. Encuentra el volumen de la pirámide.c. Encuentra el área total de la pirámide.

5. Una pirámide de base cuadrada tiene un volumen de 120 cm3. Si su altura mide 10 cm, ¿cuánto mide la arista basal?

Ejercicioresuelto

1. Calcula el volumen de una pirámide que está construida sobre una base hexagonal con altura de 7 cm, como se muestra en la figura.

• El hexágono está formado por 6 triángulos de base 4 cm y altura 3,46 cm. El área de cada triángulo es: (4 · 3,46

2 ) = 6,92 y el área total del hexágono basal es: 41,52 cm2.

• Luego, multiplicamos el área obtenida por la altura: 41,52 · 7 = 290,64, dividimos este valor por 3 y obtenemos: 96,88 cm3 que corresponde al volumen de la pirámide.

2. Calcula el área total de la pirámide del problema anterior.

• El área del hexágono es 41,52 cm2, que ya se calculó en el problema anterior.• Cada cara es un triángulo isósceles de base 4 cm y altura 8,53 cm. Luego

el área de cada cara sería: ( 4 · 8,532 ) = 17,06 cm2.

• Multiplicamos por 6 para obtener el área de todas las caras laterales, de este modo obtenemos: 102,36 cm2.

• Una vez que sumamos el área del hexágono, obtenemos que el área total es 143,88 cm2.

Áreayvolumendepirámides

3,46 cm

7 cm 8,53 cm

4 cm


Uni

dad

3



a. Una pirámide tiene 16 cm2 como área de la base y su volumen es de 32 cm3. Determina su altura.

b. La base de una pirámide es un triángulo equilátero de lado 4 cm y de altura 3,5 cm, y su volumen es 21 cm3. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

c. ¿Cuál es el área total de la siguiente pirámide de base cuadrada? Puedes usar calculadora.

d. Si la altura de la pirámide de la figura es de 10 cm, ¿cuál es su volumen?

e. El volumen de un cubo es 64 cm3. ¿Cuál debe ser la altura de una pirámide de igual base e igual volumen?

7. Dos pirámides A y B tienen base cuadrada. Las medidas de la base y la altura de la pirámide B son el doble de las correspondientes medidas de la pirámide A. ¿Cuál es la relación entre el volumen de la pirámide B y el de la pirámide A? Marca la opción correcta.

A. Es el doble.B. Es el triple.C. Es cuatro veces mayor.D. Es ocho veces mayor.


a. Un pisapapeles, hecho de bronce, tiene forma de pirámide de base cuadrada, de 5 cm de lado, y su altura es 6 cm. Si cada centímetro cúbico de bronce tiene 8,9 g de masa, ¿cuál es la masa del pisapapeles?

b. ¿Cuánto papel se necesita para cubrir una pirámide de 10 cm de apotema, cuya base es un cuadrado de 8 cm de lado?

c. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada de lado 16 cm y apotema lateral 10 cm?

d. Un cubo metálico de arista 6 cm se funde y con todo el material se construye una pirámide de base cuadrada de 9 cm. ¿Cuál es la altura de la pirámide?

e. Juan está haciendo una escultura de cobre, que consiste en un cubo de 50 cm de arista, sobre el cual se soldará una pirámide de base igual a una cara del cubo y altura 20 cm. ¿Cuánto cobre necesita Juan?

f. Si la pirámide A tiene la misma base que la pirámide B, pero tiene el triple de su altura, ¿qué puedes decir del volumen de la pirámide A respecto del volumen de la pirámide B?

g. Ema guarda su plasticina formando un cubo de 6 cm de arista, y ahora quiere moldear pirámides de base cuadrada, de modo que la arista basal y la altura de cada pirámide midan 3 cm. ¿Cuántas pirámides puede moldear con la plasticina del cubo?

h. Se quiere transportar una pirámide de vidrio, de base cuadrada de lado 18 cm y altura de 25 cm, en una caja de igual base y altura. El espacio entre la caja y la pirámide se llenará de algodón. ¿Qué volumen de algodón se necesita?

i. Camila quiere construir una pirámide con alambres y luego forrarla con papel de volantín. Si la base es un cuadrado de lado 12 cm y la altura de cada cara es de 8 cm, ¿cuánto alambre necesita?, ¿y cuánto papel?

5 cm

14 cm

6 cm

5,2 cm


1. En una parcela, una cabra está amarrada a un árbol con una cuerda de modo que puede alcanzar, como máximo, 4 metros a su alrededor.

a. Si la cabra camina alrededor del árbol con la cuerda siempre tensa, ¿qué forma tiene el camino que recorre?

b. ¿Qué nombre geométrico recibe la región que dispone la cabra para comer?

2. ¿Cuál es el nombre del segmento que une dos puntos de la circunferencia? Marca la opción correcta.

A. Radio.B. Secante.C. Cuerda.D. Tangente.

3. Observa la siguiente figura y da un ejemplo para cada elemento que se indica.

a. Cuerda.b. Diámetro.c. Radio.d. Arco.e. Tangente a la circunferencia.f. Secante a la circunferencia.

4. El número π se define como la razón:

A. entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.

B. entre la longitud de una circunferencia y su radio.

C. entre el diámetro de una circunferencia y su longitud.

D. entre el radio de una circunferencia y su diámetro.

5. Calcula la longitud de la circunferencia en cada caso. Usa π aproximado a 3,14.

a. Radio: 6 cmb. Diámetro: 20 cm

6. Considera un círculo de radio r.

a. ¿Cómo varía su perímetro si su radio aumenta al doble?

b. ¿Cómo varía su perímetro si su radio disminuye a la mitad?

7. En la siguiente figura, los cuatro sectores circulares son idénticos y los centros de las circunferencias son vértices de un cuadrado de lado 8 cm. Calcula el área de la figura.

Longituddelacircunferenciayáreadelcírculo

Ejerciciosresueltos

1. Encuentra el perímetro de un semicírculo de diámetro 40 cm.

• El radio del círculo mide 20 cm, utilizando π ≈ 3,14, se obtiene P = π · 2 · 20 ≈ 125,6 cm. • Como se refiere al semicírculo, se divide por 2, 125,6 : 2 = 62,8 cm, y, para completar el perímetro hay que su-

marle el diámetro de 40 cm.• El perímetro total es 62,8 + 40 = 102,8 cm.

2. Encuentra el área de un sector circular cuyo ángulo del centro mide 60º y su radio mide 6 cm.

• El área del círculo completo es A = π · r2, en este caso se obtendría A ≈ 113 cm2.• Como el ángulo del centro es de 60º, ya que es la sexta parte de 360º, el sector circular pedido es la sexta

parte del área del círculo. Luego, el área final es A = 1136 ≈ 18,83 cm2.


CF E

DG

H IO

B

A

Uni

dad

3


8. Calcula la longitud de los arcos correspondientes a los siguientes ángulos del centro, si el radio de la circunferencia mide 6 m. Usa π aproximado a 3,14.

a. 270ºb. 120ºc. 45º

9. Encuentra el área aproximada de cada círculo. Usa π aproximado a 3,14.

a. Radio: 5 cm.b. Diámetro: 30 m.c. Radio: 3,8 cm.d. Diámetro: 14 m.

10.Responde las siguientes preguntas.

a. Si el diámetro de un círculo aumenta al doble, ¿en cuánto aumenta su área?

b. Si el radio de un círculo aumenta al triple, ¿en cuánto aumenta su área?

11.Encuentra el radio aproximado de cada circunferencia, dada el área que encierra cada una. Usa π aproximado a 3,14. Puedes usar calculadora.

a. 80 cm2

b. 2 m2

c. 201 cm2

d. 4,5 m2

12.En cada caso, calcula el área que se encuentra entre las dos figuras. Usa π aproximado a 3,14.

a.

b.

c.

13.¿Cuál es el área de la siguiente figura formada por un triángulo isósceles y un semicírculo? Usa π ≈ 3 y marca la opción correcta.

A. 238,5 cm2

B. 355,5 cm2

C. 360 cm2

D. 477 cm2

14.Resuelve los siguientes problemas. Usa π ≈ 3.

a. En una pizzería se fabrican pizzas redondas chicas y grandes, de igual espesor. La superficie de la pizza grande es el doble de la chica. Si el diámetro de la pizza chica es de 24 cm, ¿cuál es el diámetro de la pizza grande?

b. La cubierta de una mesa redonda tiene un área aproximada de 2 m2. La señora Teresa quiere tejer un mantel circular que sobresalga 20 cm del borde de la mesa. ¿Cuánto debe medir el diámetro de este mantel, aproximado al centímetro?

c. Un abanico está formado solo por palitos en los primeros 15 cm (desde el centro) y en los siguientes 10 cm los palitos sostienen una tela de encaje. Si el abanico se abre en 120º, ¿cuál es el área de la tela?

d. Un regador está fijo en la tierra y esparce agua en el círculo que lo rodea en un radio de 4,6 m. ¿Cuál es el área que riega?

e. Calcula el área sombreada de la figura que está entre dos arcos de circunferencia cuyos centros son vértices opuestos de un cuadrado de lado 10 cm.

f. La longitud de una circunferencia aumentó de 40π cm a 80π cm. ¿En cuántos centímetros aumentó su radio?

g. Un cuadrado cuyo perímetro es 16 cm tiene sus cuatro vértices en una circunferencia. ¿Cuál es el área encerrada por esa circunferencia?

8 cm

4 cm

13 cm

18 cm

60 m 70 m

100 m

190 m

8 cm 10 cm

16 cm


1. Calcula el resultado de los siguientes ejercicios. Usa π ≈ 3,14.

a. Si el radio del cilindro A tiene el doble de la medida del radio del cilindro B, ¿en qué razón están sus volúmenes si tienen igual altura?

b. Encuentra el volumen aproximado del cuerpo representado en la siguiente figura.

c. El radio de la base de un cono mide 4 cm y la altura del cono es 3 cm. Calcula su área total.

d. ¿Cuál es el volumen de un cono si su generatriz mide 13 cm y su altura, 12 cm?

2. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su radio basal mide a y su altura, el doble de su radio basal? Marca la opción correcta.

A. πa3

B. 2πa3

C. 4πa3

D. 8πa3

3. El volumen de una esfera de radio 3 cm es 113 cm3, aproximadamente. Tres de estas esferas se ponen dentro de un cilindro de diámetro basal 6 cm y altura 18 cm. Usa π ≈ 3, 14 y responde.

a. Calcula el volumen del cilindro. b. ¿Cuál es el volumen que queda sin ocupar por

las esferas dentro del cilindro?c. En ese espacio, ¿cabría otra esfera si esta se

pudiera derretir?


a. Las siguientes figuras representan las caras de un cilindro. ¿Cuánto mide el largo del rectángulo?

b. Un cilindro de metal de 40 cm de diámetro y 10 cm de altura se funde para hacer un cono del mismo diámetro basal. ¿Cuál será la altura del cono?

c. Una torta de novios tiene tres pisos, cada uno en forma de cilindro. El primer cilindro tiene 40 cm de diámetro, el segundo, 30 cm y el tercero, 20 cm. Todos tienen una altura de 12 cm. Encuentra el volumen total de la torta. Usa π ≈ 3,14.

d. ¿Cuánto mide la generatriz de un cono que tiene radio basal 5 cm y volumen 300π cm3?

e. ¿Cuántos vasos cilíndricos de 12 cm de alto y diámetro interno de 6 cm se pueden llenar con 3,5 litros de agua? Usa π ≈ 3,14.

5. Cuando se saca la etiqueta que cubre la cara curva de un tarro de conservas y se estira, se obtiene un rectángulo. Si la altura del tarro es h y su radio basal es r, escribe la relación que hay entre:

a. el largo del rectángulo y el radio de la base.b. el ancho del rectángulo y la altura del tarro.

Ejerciciosresueltos

1. Calcula el volumen de un cilindro de diámetro basal 4 cm y altura 6 cm.

• El radio de la base mide 2 cm, luego, el área basal es: π · 22 ≈ 3,14 · 22 = 12,56 cm2.• Se multiplica el área basal por la altura: 12,56 · 6 = 75,36. Es decir, el volumen pedido es 75,36 cm3.

2. Calcula el volumen de un cono de radio basal 6 m y altura igual al doble del diámetro basal.

• En este caso, la altura es igual a 24 m, porque es el doble del diámetro.• El área basal es: π · 62 ≈ 3,14 · 62 = 113,04 m2.• El producto del área basal por la altura es: 113,04 · 24 = 2 712,96 y al dividir por 3, ya que se trata de un cono,

se obtiene: 904,32. Es decir, el volumen del cono es 904,32 m3.

Áreayvolumendecilindrosydeconos


18 cm

10 cm

4 cm

20 cm

8 cm 8 cm

Uni

dad

3


6. ¿Cuánto mide el radio basal de un cilindro, si su volumen es 80π cm3 y su altura es 5 cm? Marca la opción correcta.

A. 4 cmB. 8 cmC. 16 cmD. 20 cm

7. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. La superficie de un cono es un tercio de la superficie del cilindro que tiene igual base y altura.

b. Se llama generatriz a la altura del cono.c. Un cilindro puede contener el volumen de

tres conos de igual base y altura.d. El largo del manto de un cilindro es igual al

diámetro de la base.e. El manto de un cono es un triángulo isósceles

de lado igual a la generatriz.f. Si la altura de un cono diminuye a la mitad,

su volumen también disminuye a la mitad.g. Si el radio basal de un cilindro aumenta al

doble, su volumen también aumenta al doble.

8. Completa la información requerida para cada cono. Aproxima π a 3.

a. El radio mide 4 cm, la altura 3 cm. Encuentra la medida de la generatriz, área del manto, área total y volumen.

b. El radio mide 7 cm, la generatriz 25 cm. Encuentra la altura, área del manto, área total y volumen.

c. La altura mide 15 cm, la generatriz mide 18 cm. Encuentra el radio, área del manto, área total y volumen.

d. El radio mide 5 cm y el volumen es de 300 cm3. Encuentra la altura, generatriz, área del manto y área total.

e. El radio mide 8 cm, la altura 6 cm. Encuentra la generatriz, área del manto, área total y volumen.

f. La altura mide 2 cm, la generatriz 6 cm. Encuentra el radio, área del manto, área total y volumen.

9. Resuelve los siguientes problemas. Aproxima π a 3,14.

a. Se necesita poner etiquetas en la cara curva de tarros de conserva de 8 cm de diámetro y 15 cm de altura. Se debe disponer de 2 cm de largo extra para poder pegar cada etiqueta. ¿Cuántos cm2 de papel se necesita para cada etiqueta?

b. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar por fuera todas las caras de un estanque cilíndrico de 10 m de diámetro y 15 m de altura, si cada litro de pintura cubre 4,5 m2?

c. En una amasandería, al cernir harina sobre el mesón se formó un cono de 1,8 m de diámetro y 65 cm de altura. ¿Cuál es el volumen de la harina cernida?

d. Si 1 m3 puede contener 850 kg de harina, ¿cuántos kilogramos de harina hay en el cono del problema anterior?

e. Rosa y Luisa fabrican velas de cera. Rosa usa un molde cilíndrico de 5 cm de radio y 20 cm de altura y Luisa usa un molde con forma de prisma de base cuadrada de 10 cm por lado y 20 cm de altura. ¿Quién usa menos cera para cada vela? ¿Cuánto menos?

f. Una pirámide de base cuadrada de 4 cm de arista basal está inscrita dentro de un cono de 6 cm de altura, tal como se muestra en la figura. Calcula el volumen del cono.

g. Un fabricante de conservas necesita decidir qué envase cilíndrico es mejor para su producto. Si un cilindro es el doble de ancho que el otro pero la mitad del alto, ¿cuál de los dos envases tiene mayor capacidad? Explica.



1. La figura está hecha con tres sectores circulares, cada uno igual a un cuarto de círculo. ¿Cuál es el área de la figura, si se aproxima a un decimal? Usa π ≈ 3,14.

A. 78,5 cm2

B. 157,5 cm2

C. 235,5 cm2

D. 314,5 cm2

2. La siguiente figura está formada por un semicírculo de 21 cm de radio y un triángulo equilátero. ¿Cuál es el perímetro de la figura? Usa π ≈ 22

7.

A. 108 cmB. 132 cmC. 140 cmD. 150 cm

3. ¿Cuál es el área total de este cilindro? Usa π ≈ 3.

A. 4 500 cm2

B. 6 660 cm2

C. 13 140 cm2

D. 52 020 cm2

4. Se tienen 8 cubitos de 3 cm de arista. ¿Cuántos cubitos más se necesitan para formar un cubo de 9 cm de arista?

A. 8B. 18C. 19D. 27

5. A un cubo de 6 cm de arista se le cortó, desde un vértice, un cubito, de modo que el volumen del cuerpo es de 189 cm3. ¿Cuánto mide la arista del cubito?


6. La figura está compuesta por dos cuartos de círculo, de 14 cm de radio y otro cuarto de círculo de 21 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro de figura? Usa π ≈ 22

7.

A. 60,5 cmB. 77 cmC. 102,5 cmD. 119 cm

7. ¿Cuál es el volumen de esta figura, compuesta por un cilindro y un cono, ambos de 20 cm de diámetro y de 10 cm de altura? Usa π ≈ 3.

A. 2 000 cm3

B. 3 000 cm3

C. 4 000 cm3

D. 16 000 cm3

8. Un estanque de base cuadrada de 20 cm de arista basal tiene agua. Si se agregan 4,2 L, el agua llega a una altura de 12 cm en el estanque. ¿Cuánta agua había antes?

A. 350 mLB. 600 mLC. 3 800 mLD. 4 800 mL

9. La razón entre los volúmenes de los cubos A y B es 27 : 8. El volumen del cubo B es 64 cm3. ¿Cuánto mide la arista del cubo A?

A. 6 cmB. 8 cmC. 72 cmD. 243 cm

10.Un octágono regular tiene 96 cm de perímetro. Si la apotema mide 14,5 cm, ¿cuál es el área del octágono?

A. 696 cm2

B. 348 cm2

C. 174 cm2

D. 87 cm2

PreparandoelSIMCE

12 cm

119 cm

10 cm

Uni

dad

3


11.¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada? Usa π ≈ 3,14.

A. 31,4 cmB. 62,8 cmC. 78,5 cmD. 125,6 cm

12.Si un cuadrado mide 400 cm de perímetro, ¿cuál es su área?

A. 1 000 cm2

B. 1 600 cm2

C. 10 000 cm2

D. 16 000 cm2

13.Se recortó un cartón rectangular según se muestra en la figura. ¿Qué área se le recortó al cartón? Usa π ≈ 3,14.

A. 122,5 cm2 B. 299 cm2

C. 269,5 cm2 D. 322 cm2

14.¿Cuál es el volumen de una pirámide de base cuadrada de 12 cm de arista basal y 7 cm de altura?

A. 222 cm3

B. 228 cm3

C. 336 cm3

D. 344 cm3

15.¿Cuál es el área de un círculo si su diámetro mide 12 cm? Usa π ≈ 3,14.

A. 28,3 cm2

B. 113,04 cm2

C. 37,7 cm2

D. 452 cm2

16.¿Cuál es el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 7 cm? Usa π ≈ 3,14.

A. 126 cm3

B. 147 cm3 C. 198 cm3

D. 252 cm3

17.Dado el cubo de 4 cm de arista, de la figura, ¿cuánto mide AC, aproximado al centímetro?


18.¿Cuál es el área de la región pintada?

A. 16π cm2 B. 2π cm2

C. 4π cm2

D. 8π cm2

19.¿Cuál es el área de la figura, si cada arco es un cuarto de circunferencia? Usa π ≈ 3,14.

A. 0,785 cm2

B. 1 cm2

C. 3,14 cm2

D. 6,28 cm2

20.¿Qué largo debe tener un estanque con forma de prisma de base rectangular, cuyas dimensiones son 3 m de ancho y 1,5 m de alto, para que pueda contener 45 000 L?

A. 1 m C. 100 mB. 10 m D. 1 000 m

21.La figura representa un poste (CD) sujeto por dos cables, AD y DB. Con la información entregada, responde las siguientes preguntas.

a. Aproximadamente, ¿a qué distancia se encuentran los extremos inferiores de los cables?

b. ¿Cuánto cable se utilizó para sujetar el poste?

20 cm

28 cm

14 cm

A

C

1 cm

2 cm

45º8 cm

D

BCA

8,49 m6 m

8 m



1. La figura consta de cuatro cuartos de círculo, de radio 5 cm. ¿Cuál es la expresión que representa el perímetro de la figura, en función de π?

A. (10 π + 5) cmB. (10 π + 10) cmC. (20 π + 5) cmD. (20 π + 10) cm

2. La siguiente figura está delimitada por cuatro cuartos de círculos idénticos, cuyo radio es 8 cm. ¿Cuál es el área sombreada? Usa π ≈ 3.

A. 32 cm2 B. 64 cm2

C. 128 cm2

D. 196 cm2

3. Los arcos de la figura son dos cuartos de circunferencia idénticos. ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada? Usa π ≈ 22

7.

A. 44 cmB. 72 cmC. 88 cmD. 154 cm

4. ¿Cuánto mide la base x del trapecio isósceles de la figura?

A. 12 cmB. 18 cmC. 20 cmD. 28 cm

5. El perímetro de un rombo es 40 cm y una de sus diagonales mide 12 cm. ¿Cuál es la medida de la otra diagonal?


6. El largo de un rectángulo es 2 cm más que el ancho. La diagonal del rectángulo mide 10 cm. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

A. 22 cmB. 28 cmC. 36 cmD. 44 cm

7. ¿Cuál es el volumen de un cono si el diámetro basal mide 18 cm y su altura 25 cm? Usa π ≈ 3,14.

A. 236 cm3

B. 1 413 cm3

C. 2 120 cm3

D. 8 478 cm3

8. ¿Cuál de estas figuras no tiene simetría rotacional?

A. Un triángulo equilátero.B. Un eneágono regular.C. Un trapecio isósceles.D. Un pentágono regular.

9. Al aplicar una traslación, se puede hacer que coincida exactamente sobre el original si se aplica a:

A. una circunferencia.B. un triángulo equilátero.C. una recta.D. un pentágono.

10.Resuelve los siguientes ejercicios.

a. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 12 cm y 16 cm, ¿cuánto mide la hipotenusa?

b. Calcula el área sombreada en el siguiente rectángulo, al que se le recortó un paralelogramo.

c. Encuentra las medidas de los ángulos α y β en el siguiente triángulo.

Evaluacióndesíntesisdelaunidad3

10 cm

15 cm12 cm

x

7,5 cm

8 cm

15 cm4 cm

50º

80º

α

β

14 cm

Uni

dad

3


d. Si la siguiente figura corresponde a un paralelogramo, ¿cuál es la medida de los ángulos α y β?

e. Determina el valor de los cuatro ángulos, utilizando la información de la figura.

f. El radio de una circunferencia es 5 cm. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo correspondiente, si se aproxima π a 3,14.

g. Una pirámide tiene una base cuadrada cuya arista mide 12 cm y su altura es 8 cm, ¿cuál es su volumen?

h. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si el diámetro de su base es 4 cm y su altura 10 cm? Usa π ≈ 3,14.

i. Un prisma tiene por base un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 cm y su altura 6 cm. Calcula el área total.


a. Juanita está entrenándose para correr en patines en una pista circular de 20 m de diámetro. Si ella dio 20 vueltas a la pista, ¿qué distancia recorrió? Usa π ≈ 3,14

b. Un cono de metal de radio 4 cm y altura 12 cm, se fundió para hacer un cilindro del mismo radio, usando todo el metal. ¿Cuál es la altura del cilindro?

c. Las medidas de una pecera con forma de prisma de base rectangular son: 80 cm de largo, 60 cm de ancho y 30 cm de alto. ¿En cuánto tiempo se llena de agua, si el caudal de la llave es 5,5 L por minuto?

d. El dibujo muestra las calles A1, A

2 y A

3

paralelas, y las calles B1 y B

2 también paralelas.

Si Pedro va por B1 y dobla por A

3, el ángulo en

que dobla mide 110º. ¿Cuál es la medida del ángulo de giro desde A

2 a B

2?

e. Con 8 listones de madera, todos de igual longitud, se quiere hacer un marco octogonal. ¿Cuánto debe medir el ángulo entre dos listones contiguos?

f. Se dispone de una escalera para alcanzar una ventana de un edificio que está a 6 m del suelo. ¿A qué distancia del edificio, en el suelo, debo ubicar la escalera que mide 6,5 m?

g. En un casino, usan un dispensador de jugo

con forma de prisma de base rectangular

que mide 30 cm de largo y 20 cm de ancho,

el que ahora está a 45

de su capacidad total.

Para limpiarlo, decidieron trasladar el jugo a

otro dispensador, de 40 cm de largo, 20 cm de

ancho y 15 cm de alto, que quedó lleno hasta el

borde. ¿Cuál es la altura del primer dispensador?

h. Para poner la bandera en el patio del colegio, se utilizará un cubo de cemento de 20 cm de arista al que se extrae un cilindro de radio 4 cm y una altura de 12 cm, para poner el mástil en él. ¿Cuál es el volumen de hormigón que se necesita?

i. Un CD mide 12 cm de diámetro y el diámetro de la zona transparente es de 5 cm, ¿cuál es el área de la zona no transparente?

x – 20

78º

β

50 – x A1

A2

A3

B2

B1

α

Unidad 4 – Datos y azar110

4Unidad

Datos y azar

Habilidades• Extraer información de datos organizados en tablas, gráficos de barras múltiples, gráficos de líneas

y gráficos circulares.• Representar un conjunto de datos con tablas o gráficos.• Resolver problemas utilizando datos organizados en tablas o en gráficos de distinto tipo.• Construir distintos tipos de gráficos, en forma manual y con herramientas tecnológicas.• Comparar información proveniente de distintos tipos de gráficos.• Construir tablas de frecuencia con datos no agrupados y agrupados en intervalos.• Resolver problemas interpretando información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados

en intervalos.• Analizar las características de distintas muestras para inferir las características de una población.• Calcular medidas de tendencia central en forma manual y con herramientas tecnológicas, obtenidas

a partir de datos no agrupados y agrupados en intervalos, e interpretar sus valores.• Identificar el espacio muestral de experimentos aleatorios simples, y encontrar su tamaño.• Utilizar el principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de distintos sucesos.• Asignar en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento utilizando la regla de Laplace.• Obtener probabilidades de sucesos a partir de datos empíricos.

• El gráfico de barras múltiples nos permite relacionar y comparar las frecuencias de dos o más categorías de datos similares.

• El gráfico de líneas se utiliza para mostrar la tendencia de una variable en un determinado período de tiempo.

• Un gráfico circular consiste en un círculo dividido en sectores que representan el porcentaje de cada categoría de una variable.

• La frecuencia absoluta (f i) representa el número de veces que se repite el i-ésimo valor, o i-ésimo intervalo, de la variable en estudio.

P ara recordar

Datos y azar

Análisis de datos

Obtención de información

Gráficos

Espacio muestral

Tablas de frecuencia

Sucesos

Teóricas

Empíricas

Medidas de tendencia central

Muestreo

Experimentos aleatorios

Probabilidades


• La frecuencia absoluta acumulada (Fi) es la suma de las frecuencias absolutas observadas hasta el i-ésimo valor de la variable, o hasta el intervalo i.

• La frecuencia relativa (hi) del i-ésimo valor de la variable, o del i-ésimo intervalo, corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total de datos de la muestra (n). La frecuencia relativa porcentual es la frecuencia relativa expresada en porcentaje.

• La frecuencia relativa acumulada (Hi) se obtiene calculando la suma de las frecuencias relativas observadas hasta el i-ésimo valor de la variable, o hasta el intervalo i.

• La marca de clase corresponde al promedio de los extremos del intervalo.

• La media aritmética para datos agrupados se puede calcular de la siguiente forma:

x = suma (marca de clase por la frecuencia absoluta)n

• La moda (Mo) corresponde al valor que tiene una mayor frecuencia absoluta.

Para datos agrupados:

Mo = Li + fi – fi – 1

( fi – fi – 1) + ( fi – fi + 1) · t

Li: extremo inferior del intervalo modal (intervalo que tiene la mayor frecuencia absoluta).fi: frecuencia absoluta del intervalo modal.fi – 1: frecuencia absoluta del intervalo anterior al modal.fi + 1: frecuencia absoluta del intervalo posterior al modal.t: amplitud de los intervalos.

• La mediana (Me) de un grupo de datos corres-ponde al valor bajo el cual se encuentra el 50 % de los datos. Con los datos ordenados de forma creciente o decreciente, si el total de datos es impar, la mediana será el valor central de los datos, mientras que si el total de datos es par, la mediana será el promedio de los dos valores centrales.Para datos agrupados:

Me = Li + n2 – Fi – 1

fi

· t

Li: extremo inferior del intervalo mediano (primer intervalo en el cual la frecuencia

absoluta acumulada es mayor a n2 ).

fi: frecuencia absoluta del intervalo mediano.

Fi – 1: frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano.

• Población es el conjunto de todos los individuos, objetos u observaciones que poseen al menos una característica en común.

• Una muestra es un subconjunto de la población. Si los individuos que componen la población son muy distintos entre ellos se debe tomar una muestra de tamaño más grande que en el caso de que los individuos que componen la pobla-ción sean similares.

• La representatividad de una muestra se refiere a la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.

• El Censo es un estudio en el que se incluye a toda la población y que permite conocer la cantidad de habitantes y sus características.

• El conjunto formado por todos los posibles resultados de un experimento se llama espacio muestral (Ω).

• La cardinalidad del espacio muestral corresponde a la cantidad de elementos contenidos en él.

• Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral. Si ocurre siempre, se dice que es un suceso seguro, mientras que si no ocurre nunca, se dice que es un suceso imposible. Se dice pro-bable o posible, cuando existe la probabilidad de que ocurra.

• La probabilidad de un suceso o evento se refiere a la posibilidad de que este ocurra.

• Si en un experimento todos los sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrencia, se dice que los sucesos son equiprobables.

• Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio los sucesos son equiprobables, la probabilidad de un suceso A se calcula de la forma siguiente:

P(A) = número de casos favorables al suceso Anúmero de casos totales

• El principio multiplicativo señala que si un evento A puede ocurrir de m maneras distintas y un evento B de n maneras distintas, entonces hay m · n maneras de que ocurra A y a continuación B.

• La frecuencia relativa de un evento es la razón entre el número de veces que ocurrió y el número de veces que se realizó el experimento. A medida que aumenta el número de repeticiones del experimento, la frecuencia relativa de un evento se aproxima al valor de su probabilidad.


1. Observa el siguiente gráfico:

a. ¿Cuántos hombres practican básquetbol?b. ¿Cuántas mujeres no practican ningún deporte?c. ¿Cuál es el deporte que más practican las

mujeres de este colegio?d. ¿Cuál es el que menos practican los hombres?e. ¿Hay más hombres o mujeres que practican

deportes en este colegio?f. ¿Tienen los hombres y mujeres encuestados

preferencias similares acerca de los deportes?

2. En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de alumnos de 5º a 8º básico de un colegio, que realizan algún deporte.

a. ¿Qué ocurrió en los años 2003 y 2004 en relación con los hombres?

b. ¿Qué ocurrió entre los años 2001 y 2002 en relación con las mujeres?

c. ¿Cuál ha sido la tendencia a lo largo de los años en ambos sexos?

d. ¿Quiénes son más constantes en la práctica de algún deporte?

e. ¿Qué tipo de información puedes obtener de este gráfico?


El siguiente gráfico muestra el número de hijos que tienen las familias de los estudiantes de 5º y de 7º básico de un colegio. Responde a partir de la información del gráfico.

1. ¿En qué curso no hay familias con 6 hijos?

Las barras de color anaranjado corresponden a los estudiantes de 5º básico, y como no hay barra de este color en el caso de los 6 hijos, entonces no hay familias con 6 hijos en los estudiantes de 5º básico.

2. ¿Cuál es el total de familias encuestadas en 7º básico?

Sumando el número de familias de 7º básico correspondiente a cada barra se obtiene:

6 + 3 + 8 + 5 + 4 + 3 = 29. Luego, el total de familias encuestadas en 7º básico es 29.

3. ¿Qué cantidad de hijos fue la que más se obtuvo como respuesta a la encuesta?

Para obtener el total de familias por cada cantidad de hijos, se deben sumar las familias de 5º y las de 7º.

Luego se obtiene:

Cantidad de hijos 1 2 3 4 5 6

Familias 8 + 6 = 14 5 + 3 = 8 3 + 8 = 11 5 + 5 = 10 4 + 4 = 8 3

Finalmente, la cantidad de hijos con mayor frecuencia fue 1. Es decir, 14 familias tienen solo un hijo.

Gráficos de líneas y barras múltiples

10

8

6

4

2

01 2 3 4 5 6

5º básico7º básico

Nº de hijos

Número de hijos

Nº d

e fa

mili

as

Deportes que practican los alumnos en el colegio

Fútb

ol

Voleibol

Básquetb

ol

Tenis

Ninguno

5101520253035404550

Hombres

Mujeres

Alumnos que realizan deporte

Año

Niños

Niñas

300350

0

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2010

50100

250200150

2009



3. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes de personas que respondieron la pregunta: “¿Ha consumido alcohol o tabaco el último mes?”, en los años 2000 a 2008.

2000 2002 2004 2006 2008

Alcohol 54,4 59,6 57,9 58,1 49,8

Tabaco 44 43,6 43,6 42,4 41,2

Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011. En www.conace.cl.

a. Realiza un gráfico de líneas que represente esta información.

b. Realiza un gráfico de barras múltiples que represente esta información.

c. En general, ¿más personas consumen tabaco o alcohol?

d. ¿Qué tendencia se observa en el consumo de tabaco a lo largo de los años?

e. ¿En qué años aumentó el porcentaje de personas que consumió alcohol el último mes?


4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no se puede obtener de la tabla anterior?

A. El consumo de alcohol presentó una mayor disminución que el consumo de tabaco.

B. Más personas consumen alcohol que tabaco.C. El consumo de alcohol aumentó el año 2002.D. El año 2004 disminuyeron los porcentajes de

personas que consumieron tabaco y alcohol.

5. En el gráfico se muestran las ventas realizadas en una casa comercial, durante los seis primeros meses del año 2011. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A. Las ventas mejoraron en febrero.B. Las ventas comenzaron a subir en marzo.C. Las ventas serán mejores en agosto.D. En febrero no hubo ventas.

6. El saldo migratorio es la diferencia entre las inmigraciones y las emigraciones en una región determinada. En el siguiente gráfico se muestran los valores del saldo migratorio de algunas regiones de Chile. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no se puede deducir del gráfico?


A. En la Quinta región de Valparaíso se registraron más inmigraciones que emigraciones.

B. En la Undécima región de Aysén del General Carlos Ibáñez del Campo la cantidad de inmi-graciones fue similar a la de emigraciones.

C. En la Décima región de Los Lagos inmigraron más hombres que mujeres.

D. En la Tercera región de Atacama fueron más las mujeres que emigraron que las que inmigraron.

7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de 8º básico con notas bajo 4 en Matemática.

Nº de alumnos con notas bajo 4 8º A 8º B

1 3 1

2 0 1

3 0 1

4 1 2

5 2 0

a. Realiza un gráfico de barras múltiples que represente esta información usando una planilla de cálculo.

b. ¿En qué curso hay más alumnos con notas bajo 4?

c. Si en el 8º A hay 36 alumnos y en el 8º B hay 29, ¿en qué curso es mayor el porcentaje de alumnos con notas bajo 4?

d. ¿En qué curso hay más alumnos con más de dos notas bajo 4?

Uni

dad

4800 000

Ventas del primer semestre

700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 000

0

Enero

Febrero

Marzo

AbrilMay

oJu

nioJu

lio

15 000

III V X XI

HombresMujeres

5 000

0

–5 000

–10 000

–15 000

10 000

VIII


1. En el siguiente gráfico se muestran los resultados de una prueba de Inglés. Observa y responde las preguntas.

a. ¿Cuántos alumnos y alumnas rindieron la prueba de Inglés?

b. ¿Cuántos alumnos y alumnas reprobaron la prueba de Inglés?

c. ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó la prueba de Inglés?

d. ¿Qué porcentaje de estudiantes reprobó?e. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector que

corresponde a los reprobados?

2. De acuerdo con el siguiente gráfico, responde las preguntas.

a. ¿Qué partido ganó?b. Considera un total de votantes de 600 personas

y completa los datos de la tabla.

Partido Nº de votos Porcentaje Grados

A

B

C

D

Ejercicio resuelto

En un examen de Lenguaje, 110 estudiantes aprobaron el ramo y 10 lo reprobaron. Representa estos resultados en un gráfico circular, indicando los porcentajes correspondientes.

Para encontrar el ángulo del sector circular correspondiente a los que aprobaron, construimos una proporción comparando el total de estudiantes con el ángulo del centro de la circunferencia completa (360º), y el total de estudiantes que aprobaron con su respectivo ángulo x.

Luego 110 120

= x

360 . De aquí se obtiene que x =

(110 · 360)120

= 330.

Entonces el ángulo correspondiente a los que aprobaron mide 330º y el correspondiente a los que reprobaron mide (360º – 330º) = 30º. Luego se construye una circunferencia y se determinan los sectores circulares correspondientes a los ángulos encontrados, con la ayuda de un transportador.

Ahora, para obtener los porcentajes correspondientes a los estudiantes que aprobaron y a los que reprobaron, construimos una proporción comparando el total de estudiantes con el 100 % y el total de estudiantes que aprobaron con x %.

Esto es, 110 120

= x

100 . De aquí se obtiene que

x = (110 · 100)

120 . 91,7, por lo tanto el porcentaje

de estudiantes que aprobó el ramo es 91,7 % y el porcentaje que reprobó es de (100 – 91,7) = 8,3 %.

Gráficos circulares

8,3 %

91,7 %Alumnos que aprobaron

Alumnos que reprobaron

25Aprobados

Resultados prueba de Inglés 8º básico

Reprobados

95

23 %Partido A

Resultados de la votación

Partido B

Partido C

Partido D12 %

35 %

30 %



Uni

dad

4

3. En un colegio se realizó una encuesta respecto del tipo de comida que consumen los jóvenes de 7º básico a 4º medio.

a. Completa la siguiente tabla.

Tipo de comida Porcentaje Ángulo

Rápida 49 %

Vegetariana 23 %

Casera 28 %

b. Realiza un gráfico circular para representar la información anterior.

4. El último censo, realizado el año 2002, arrojó los siguientes resultados respecto de la población por grupos de edad:

Grupo de edad Porcentaje Ángulo

0 – 14 años 25,7 %

15 – 59 años 62,9 %

60 años y más 11,4 %


a. Completa la tabla anterior.b. En una planilla de cálculo copia los datos

obtenidos y realiza un gráfico circular.

5. En el siguiente gráfico se muestra la aprobación de los estudiantes al uso del uniforme escolar. ¿Cuál es el total de encuestados?

A. 36 C. 177B. 141 D. 100

6. Respecto del gráfico anterior, el porcentaje de alumnos que desaprueba el uniforme escolar es:

A. 100 % C. 79,66 %B. 36 % D. 20,34 %

7. Realiza una encuesta en tu curso acerca del medio de transporte utilizado para llegar al colegio.

a. Completa la siguiente tabla.

Medio de transporte Total estudiantes

Público

Automóvil

Caminando

Transporte escolar

Otros

b. Construye un gráfico circular que represente los resultados que obtuviste.

c. ¿Qué medio de transporte es el más utilizado?d. ¿Qué medio de transporte es el menos utilizado?

8. En la tabla se muestran los deportes que practican los alumnos y alumnas de los octavos básicos de un colegio.

Mujeres Hombres

Fútbol 10 47

Voleibol 20 38

Básquetbol 11 30

Tenis 8 18

Ninguno 23 10

a. Realiza un gráfico circular que represente la relación que existe entre las mujeres y hombres que no practican ningún deporte.

b. Realiza un gráfico circular que represente la relación entre mujeres y hombres que practican fútbol.

c. ¿Puedes representar en un solo gráfico circular la tendencia que existe para cada deporte en hombres y mujeres? Justifica tu respuesta.

d. ¿Qué tipo de gráfico sería el más apropiado para representar la información de la tabla?

e. ¿Qué otras relaciones entre las variables de este gráfico se pueden representar en un gráfico circular?

f. Realiza un gráfico que represente los porcentajes de mujeres y hombres en los octavos básicos.

141

Aprueban

Desaprueban

36



1. Los alumnos de 8º básico han votado para elegir el color del polerón de curso que mandarán a hacer. Un 50 % votó por el color azul, un 30 % por el rojo y un 20 % por el verde. ¿Qué gráfico elegirías para representar los resultados de esta votación?

Como en esta situación lo que se busca es comparar los porcentajes de preferencia de cada color, sería adecua-do utilizar un gráfico circular.

2. Indica las variables y las relaciones que se analizan en cada gráfico.

En el primer gráfico se observan dos variables: el sexo (hombres, mujeres) y el grado de sobrepeso de la persona (sobrepeso, obesidad y obesidad mórbida). Es decir, se analiza la relación entre el sexo y el grado de sobrepeso comparando los porcentajes de hombres y mujeres para cada categoría de sobrepeso.

En el segundo gráfico se observan 2 variables: las semanas, y los casos de virus respiratorio sincicial. Por lo tanto, se busca analizar si existe una relación entre la semana del año y el número de personas afectadas por el virus.

1. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas máximas y mínimas de un día en 6 ciudades.

Ciudad Tº máxima Tº mínima

Iquique 21,4 ºC 16,2 ºC

Antofagasta 18,2 ºC 14,9 ºC

La Serena 17 ºC 7,9 ºC

Valparaíso 18 ºC 10,1 ºC

Concepción 15,6 ºC 2,7 ºC

Punta Arenas 7,7 ºC 2 ºC

a. ¿Qué tipo de gráfico utilizarías para representar de la mejor forma la información de la tabla?, ¿por qué?

b. ¿Qué variables se desean representar?c. ¿Cuáles son las variables independientes y

cuáles las dependientes?

d. ¿Qué se desea comparar entre estas variables?e. En una planilla de cálculo construye el gráfico

que elegiste.f. ¿Podrías utilizar un gráfico circular para repre-

sentar la temperatura máxima y mínima de las seis ciudades? Justifica tu respuesta.

g. ¿En qué ciudad se registró la temperatura más baja?

h. ¿En qué ciudad se registró la temperatura más alta?

i. ¿En qué ciudad existe una mayor variación en la temperatura?

j. ¿En qué ciudad existe una menor variación en la temperatura?

k. Escribe tres conclusiones que se puedan obte-ner de la información representada en la tabla y en el gráfico que realizaste.

l. Realiza un gráfico que represente la variación de temperaturas en cada una de las ciudades. ¿Qué gráfico elegiste?, ¿por qué?

Análisis e interpretación de gráficos

Obesidad en jóvenes mayores de 15 años

Número de casos de virus respiratorio sincicial detectados por semana

0 0

100

50

Sobrepeso 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Obesidad

Obesidad

mórb

ida

10 %

20 %

30 %

40 %

50 %

Hombres

Mujeres



Uni

dad

4

Unidad 4 – Datos y azar


2. Pedro, Juan y Diego están en un tratamiento por sobrepeso. ¿Cuál de las siguientes alternativas representaría mejor la variación del peso de cada uno en los seis meses de tratamiento?

A. Gráfico de barras.B. Gráfico de barras agrupadas.C. Gráfico de líneas.D. Gráfico circular.

3. Carolina tiene una tienda de artesanías. Si quiere graficar las ventas realizadas en los últimos 6 meses del año, ¿qué tipo de gráfico sería más adecuado?


4. La profesora de un curso decide realizar un gráfico con el porcentaje de estudiantes que tienen su promedio de notas en distintos intervalos. ¿Qué tipo de gráfico sería más adecuado?


5. La profesora de un curso registró el número de inasistencias de sus alumnos y alumnas durante el primer semestre.

Mes Marzo Abril Mayo Junio Julio

Inasistencias 7 12 16 19 24

a. ¿Qué relación crees que quiere analizar la profesora con estos datos?

b. ¿Qué gráfico crees que es el más adecuado para analizar estos datos?

c. Construye el gráfico que elegiste en b.d. ¿Qué podrías concluir a partir de los datos y del

gráfico que construiste?e. ¿A qué crees que se debe la tendencia que se

presenta en los datos?f. ¿Cuántas inasistencias hubo entre marzo

y julio?g. Si en el segundo semestre la cantidad de

inasistencias fue la mitad que las del primer semestre, ¿cuántas inasistencias hubo el segundo semestre?

6. ¿Para cuál de los siguientes datos no es el gráfico de línea el más apropiado? Marca la opción correcta.

A. Cantidad de alumnos que se inscriben cada mes del año en un curso de manejo.

B. Número de personas que mueren por cierta enfermedad entre los años 2003 y 2011.

C. Porcentaje de alumnos con y sin promedio bajo 5 en un curso.

D. Cantidad de accidentes de tránsito por mes del año.

7. Observa los siguientes gráficos.

a. ¿Qué variables se observan en los gráficos?b. ¿En la mayoría de los cursos hay más hombres

o mujeres?c. ¿Cuál de los gráficos no representa la misma

información que los otros dos?d. ¿Cuál de los tres gráficos representa mejor la

información que se quiere mostrar?e. Si en el 3º básico hay 36 estudiantes, ¿cuántas

mujeres hay?, ¿cuántos hombres?f. Si en el 4º básico hay 40 estudiantes, ¿cuántos

hombres hay en el curso?, ¿y cuántas mujeres?

HombresMujeres

45 %

55 %

Alumnos y alumnas de 4º básico

0 %3º 4º 5º 6º 7º 8º

20 %

40 %

80 %

60 %

HombresMujeres

Alumnos y alumnas por curso

0 %

20 %

40 %

80 %

60 %

HombresMujeres

3º 4º 5º 6º 7º 8º

Alumnos y alumnas por curso


Tablas de frecuencias

1. En el cuadro se muestra la cantidad de mascotas que tienen 14 compañeros de curso.

2 2 3 4 1 4 1

1 2 2 4 4 4 4

a. Construye una tabla de frecuencias que incluya frecuencia absoluta, frecuencia absoluta acumulada, frecuencia relativa y frecuencia relativa acumulada.

b. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantes tiene 2 mascotas?

c. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantes tiene más de 2 mascotas?

d. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantes tiene a lo más 3 mascotas?

e. ¿Cuál es el promedio de mascotas de este grupo de compañeros y compañeras?

f. ¿Cuál valor se repite más en las respuestas de los 14 niños y niñas?

2. En la siguiente tabla se muestra el recuento de las inasistencias de los estudiantes de un curso.

Inasistencias 1 2 3 4 5 6

Estudiantes 0 2 3 10 12 5

a. De los estudiantes que han faltado a clases, ¿cuántos tienen menos de cuatro inasistencias?

b. ¿Cuántos estudiantes tienen cinco inasistencias o más?

c. ¿Cuántos alumnos y alumnas han faltado a clases seis veces o más?

d. ¿Cuántos estudiantes han faltado a clases?e. ¿Cuál es la frecuencia relativa que corresponde

a 4 inasistencias?f. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada que

corresponde a 5 inasistencias?g. Si en el curso hay 36 estudiantes, ¿cuántos

nunca han faltado a clases?h. Si la frecuencia relativa acumulada

correspondiente a 3 inasistencias es 0,16, ¿cómo interpretarías este valor?

Ejercicio resuelto

Los siguientes datos corresponden a las edades de un grupo de personas. Construye una tabla de frecuencias con 5 intervalos a partir de los datos.

4 16 10 32 15 48 41 38 22 47 27 39 37 34 32 35 28 26 31 44

36 39 7 17 25 29 34 36 38 43 42 35 33 28 24 34 39 45 48 34

Como las edades van desde los 4 hasta los 48 años, podemos tomar 5 intervalos de tamaño 10, partiendo desde los 0 años hasta los 50. La marca de clase de cada intervalo corresponde al promedio entre el límite inferior y el superior de cada intervalo.

Para calcular la frecuencia absoluta se cuentan los datos que se encuentran en cada intervalo, y luego se suman las de cada intervalo y anteriores para calcular la frecuencia absoluta acumulada.

Las frecuencias relativas corresponden al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de datos, en cada caso, y luego se suman las de cada intervalo y anteriores para calcular la frecuencia relativa acumulada.

Edad Marca de clase F. absoluta F. absoluta acumulada F. relativa F. relativa acumulada

[0, 10) 5 2 2 0,05 0,05

[10, 20) 15 4 6 0,1 0,15

[20, 30) 25 8 14 0,2 0,35

[30, 40) 35 18 32 0,45 0,8

[40, 50) 45 8 40 0,2 1



Uni

dad

4

3. En la siguiente tabla de frecuencias se presentan los promedios de notas de los estudiantes de 8º básico de un colegio.

NotaFrecuencia

absolutaF. absoluta acumulada

Frecuencia relativa

F. relativa acumulada

[1, 2) 1

[2, 3) 5

[3, 4) 21

[4, 5) 33

[5, 6) 25

[6, 7] 12

a. Completa la tabla de frecuencias.b. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio menor

que 4?c. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio menor

que 5?d. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio mayor

o igual a 6?e. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene promedio

bajo 6?f. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene

promedio mayor o igual a 4?g. Hay tres octavos básicos en el colegio. El 8º A

y el 8º B tienen igual cantidad de estudiantes, y el 8º C tiene un alumno más que el 8º A. ¿Cuántos estudiantes tiene cada curso?


4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. Los intervalos de una tabla de frecuencias deben tener la misma marca de clase.

II. Los intervalos de una tabla de frecuencias deben tener la misma amplitud.

III. El valor de la frecuencia absoluta de cada intervalo es mayor que la frecuencia absoluta del intervalo anterior.

IV. La frecuencia relativa del último intervalo es siempre igual a 1 o a 100 %.

A. Solo II B. II y IV C. III y IVD. I y II

5. Una tabla de frecuencias con datos agrupados representa:

A. todos los datos en forma ordenada de mayor a menor.

B. un gran número de datos que se encuentran en intervalos de la misma amplitud.

C. todos los datos en forma aleatoria.D. las frecuencias de los distintos intervalos de

valores que toma una variable.

6. Se realizó una encuesta a un grupo de personas y se les preguntó cuánto calzaban. Las respuestas fueron las siguientes:

34 35 37 35 37

32 38 38 36 39

32 33 39 35 35

a. Calcula el promedio de estos datos.b. Agrupa estos datos en intervalos de igual

amplitud, considerando que el primer intervalo es [31, 34), y construye una tabla de frecuencias con estos datos.

c. ¿Cuántas personas calzan menos de 37?d. ¿Cuántas personas calzan 37 o más?e. ¿Qué porcentaje de estas personas calza 35?f. ¿Qué porcentaje de estas personas calza

38 o menos?

7. Los siguientes datos indican la estatura, en centímetros, de un grupo de estudiantes.

149 152 160 158 160 158 162 156

155 156 154 158 152 152 157 157

143 147 150 152 155 155 149 154

150 146 159 152 152 144 158 158

a. Organiza estos datos en una tabla de frecuencias, en intervalos de tamaño 5. Considera el primer intervalo [143, 148).

b. ¿Qué intervalo tiene mayor frecuencia?c. ¿Cuántos estudiantes miden de 153 a

157 centímetros?d. ¿Cuántos alumnos y alumnas miden hasta

152 centímetros?e. ¿Qué porcentaje de los estudiantes mide

de 143 a 147 centímetros?f. ¿Qué porcentaje de los alumnos y alumnas

mide de 148 a 157 centímetros?


1. El tiempo en minutos que demoraron en dar 3 vueltas a la cancha 28 estudiantes se registró en el siguiente cuadro.

8 12 6 20 15 17 19

6 14 17 19 16 10 11

11 8 9 8 13 15 12

7 8 14 13 11 10 10

a. ¿Cuál es la moda de estos datos?b. ¿Cuál es la mediana de estos datos?c. ¿Cuál es la media de estos datos?d. Escribe estos datos en la columna A de una

planilla Excel y calcula la media, escribiendo en una celda “=promedio(a1:a28)”.

e. Calcula la mediana, escribiendo en una celda “=mediana(a1:a28)”.

f. Calcula la moda, escribiendo en una celda “=moda(a1:a28)”.

2. En una competencia de básquetbol, en que se jugaron 7 partidos, el entrenador registró cada vez que encestaron Jorge y Raúl. La siguiente tabla muestra estos datos.

Partido 1 2 3 4 5 6 7

Jorge 3 4 4 3 4 5 12

Raúl 5 4 6 11 5 4 6

a. ¿Cuántas veces, en promedio, encesta Jorge por partido?

b. ¿Cuántas veces encesta Raúl por partido, en promedio?

c. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de veces que encesta Jorge por partido?

d. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de veces que encesta Raúl por partido?

e. Si queremos decidir quién es mejor jugador, ¿qué medida es la más adecuada; la media, la moda, o la mediana?, ¿por qué?

f. ¿Quién crees tú que es el mejor jugador?


1. En la siguiente tabla se muestra el tiempo en minutos que seis alumnos han utilizado Internet durante tres días de la semana.

Alumnos Julio Felipe Mario Carlos Antonio Tomás

Lunes 60 50 20 45 30 55

Miércoles 45 30 50 50 45 50

Viernes 15 10 15 25 30 20

¿Cuál es la moda del día miércoles?

El día miércoles, la cantidad de minutos que más se observa es 50, por lo tanto esta es la moda.

2. Encuentra la mediana de la cantidad de minutos que ocuparon los alumnos entre el lunes y el miércoles e interprétala.

Para calcular la mediana, primero se deben ordenar todos los datos. Se obtiene:

10 15 15 20 20 25 30 30 30

45 45 45 50 50 50 50 55 60

Luego, como el total de datos es par, la mediana corresponderá al promedio entre los dos valores centrales, es

decir, entre 30 y 45. Luego nos queda: 30 + 45

2 = 37,5. Finalmente, la mediana de la cantidad de minutos es 37,5.

Es decir, el 50 % de las veces que los alumnos se conectaron a Internet ocuparon un tiempo menor a 37,5 minutos.

Medidas de tendencia central



Uni

dad

4

3. Los siguientes datos son los resultados de la PSU de los estudiantes de un colegio.

751 660 570 760 714 793 815

800 670 790 490 530 670 660

750 751 560 560 800 830 760

751 760 450 470 455 540 750

660 650 550 655 800 750 670

a. Calcula la media de estos datos.b. Determina la mediana de los datos.c. Encuentra la moda de estos datos. d. Construye una tabla de frecuencias con los

siguientes intervalos: (400, 500], (500, 600], (600, 700], (700, 800] y (800, 900].

e. Calcula la media del puntaje en la PSU con los datos de la tabla de frecuencias.

f. Calcula la mediana de los puntajes en la PSU con los datos de la tabla de frecuencias.

g. Calcula la moda de los puntajes en la PSU con los datos de la tabla de frecuencias.

4. A partir de una encuesta realizada a un grupo de alumnos y alumnas acerca del mes de su nacimiento, se obtuvieron los siguientes datos.

Mes Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun.

Hombres 5 8 4 9 10 2

Mujeres 13 8 8 2 5 13

Mes Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Hombres 7 12 11 17 13 7

Mujeres 11 7 9 5 3 2

a. ¿Cuántos hombres fueron entrevistados?b. ¿Cuántas mujeres fueron entrevistadas?c. ¿Cuál es el promedio de mujeres nacidas

cada mes?d. ¿Cuál es el promedio de hombres nacidos

cada mes?e. ¿Cuál es la mediana de personas nacidas

por mes?f. Construye una tabla de frecuencias para el

total de personas nacidas por mes, con los intervalos: [8, 11), [11, 14), [14, 17), [17, 20) y [20, 23).

5. Bruno tiene 5 notas en Matemática, y su promedio es 5,8. Si obtiene un 4,8 y un 6,8:

a. ¿cuál es el promedio de este nuevo conjunto de notas?

b. ¿existe diferencia entre este nuevo promedio y el anterior?, ¿a qué crees que se debe?

6. El promedio de notas de un examen de Lenguaje de un grupo de 15 alumnos fue 5,8, pero faltaron 3 estudiantes. Luego ellos rindieron este examen y el promedio de todos los alumnos subió a 6.

a. ¿Qué nota, en promedio, obtuvieron los estudiantes que faltaron?

b. ¿Qué nota debe haber recibido cada uno de los 3 estudiantes para que el promedio entre los tres sea el que obtuviste en a?

7. En el gráfico se muestran las edades de un grupo de personas. Construye la tabla de frecuencias correspondiente a la información presentada en el gráfico.

A partir de la información del gráfico y de la tabla de frecuencias que construiste, marca la opción correcta en los ítems 8 al 10.

8. ¿Cuál es la media de estas edades?

A. 16,5 C. 17,5B. 27,4 D. 26,9

9. ¿Cuál es la mediana de las edades?

A. 25 C. 29,3B. 29,2 D. 29,6

10.¿Cuál es la moda de las edades del grupo de personas?

A. 38,2 C. 31,7B. 36,4 D. 33,6

0[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)

2

4

6

8

10

12

14Frecuencia

Edad


1. Para las siguientes situaciones indica si se debe considerar a toda la población o solo una muestra.

a. Se quiere estudiar el uso de cierto bloqueador solar en la población chilena.

b. En un 8º básico se quiere saber cuáles son las asignaturas favoritas de los estudiantes.

c. Para elegir al presidente de un país, se quiere saber qué candidato es preferido por cada uno de los habitantes.

d. Los alumnos de un curso realizarán una votación para elegir el regalo de cumpleaños para su profesora jefe.

2. Para las siguientes situaciones indica si se ha considerado una población o una muestra.

a. Se realiza una encuesta telefónica acerca de las marcas favoritas de pasta de dientes.

b. Se encuesta a todos los estudiantes de un colegio para saber si prefieren al candidato A o B como presidente del centro de alumnos.

c. Se encuesta a un grupo de personas de distintas regiones del país para saber qué marcas de chocolate prefieren.

d. Se realiza una votación en un curso para elegir al presidente o presidenta de curso.

e. Se encuesta a un grupo de personas de una ciudad para saber qué medio de locomoción pública prefieren.

f. Se realiza una encuesta telefónica acerca del lugar preferido para vacacionar.

3. A partir de las siguientes muestras indica cuáles serían las causas por las que no son representativas para un estudio.

a. Una encuesta telefónica el sábado en la mañana para saber qué canal de televisión es el favorito.

b. Una encuesta en una estación de trenes para saber qué medio de transporte interurbano es el más utilizado.

c. Una encuesta a los estudiantes de 8º básico de un colegio para conocer la aprobación de los alumnos y alumnas respecto de la gestión del director.

d. Una encuesta a 20 mujeres chilenas para conocer cuáles son los equipos de fútbol favoritos de los chilenos.

e. Una encuesta a niños, niñas y jóvenes hasta 18 años para conocer la opinión de los chilenos y chilenas acerca de distintas marcas de automóviles.

f. Una encuesta a niños y niñas hasta 12 años para conocer las preferencias laborales de los chilenos.

4. Indica una muestra representativa para las siguientes situaciones.

a. Se quiere saber la opinión de los alumnos acerca del nuevo himno del colegio.

b. Se quiere estimar el porcentaje de la población chilena que utiliza el transporte público.


Para cada una de las siguientes situaciones, indica si se debe considerar una población o una muestra.

1. Se realiza una investigación para encontrar el número de personas infectadas con cierto virus en Valdivia.

Como en este caso se quiere encontrar el número exacto de personas infectadas con el virus, será necesario considerar a toda la población, ya que en el caso de tomar una muestra podrían existir personas infectadas que queden fuera de ella.

2. Se realiza una investigación sobre los equipos de fútbol que tienen más aceptación entre las mujeres de 15 a 50 años en Chile.

Para esta investigación basta con tomar una muestra aleatoria y representativa de todas las mujeres de 15 a 50 años de la población chilena, para luego hacer una estimación a partir de los resultados obtenidos en la muestra.

Estudios como este, en que la población que se quiere investigar es muy extensa, resultan muy costosos y tomaría mucho tiempo acceder a todas las personas de la población. Es por esto que se debe seleccionar una muestra que represente de la mejor manera posible a la población.

Poblaciones y muestras



Uni

dad

4

5. De un curso de 20 alumnos se obtuvieron los siguientes datos.

Nombre Estatura(cm)

Masa(kg)

Nombre Estatura(cm)

Masa(kg)

Carla 148 55 Esteban 167 69

Marcela 152 68 Pedro 168 66

Eva 155 52 Gonzalo 168 67

María 155 60 Mateo 168 84

Valeria 157 62 Jorge 170 75

Mónica 158 52 Manuel 172 72

Emilia 160 58 Ricardo 175 75

Javiera 160 65 José 178 78

Irene 164 70 Roberto 178 70

Isidora 167 66 Rubén 180 90

a. Calcula la media de la masa de los alumnos y alumnas del curso.

b. Calcula la media de la estatura de los alumnos y alumnas del curso.

c. Calcula la mediana de la masa de los alumnos y alumnas del curso.

d. Calcula la mediana de la estatura de los alumnos y alumnas del curso.

6. Considera ahora la muestra que corresponde a todos los estudiantes en posiciones impares en la tabla.

a. Encuentra el promedio de la masa de los alumnos y alumnas de la muestra.

b. ¿Se parece el promedio de la muestra al promedio del curso completo? ¿Crees que es una muestra representativa?, ¿por qué?

7. Considera la muestra que corresponde solo a las mujeres del curso.

a. Encuentra el promedio de la estatura de las alumnas de la muestra.

b. ¿Se parece el promedio de la muestra al promedio del curso completo? ¿Crees que es una muestra representativa?, ¿por qué?

8. Considera la muestra que incluye solo a Carla y Esteban.

a. Encuentra el promedio de la estatura de los estudiantes de la muestra.

b. Encuentra el promedio de la masa de los estudiantes de la muestra.

c. ¿Se parecen los promedios de la muestra a los del curso completo? ¿Crees que es una muestra representativa?, ¿por qué?

9. Considera ahora la muestra que incluye solo a Isidora y Rubén.

a. Encuentra el promedio de la estatura de los estudiantes de la muestra.

b. Encuentra el promedio de la masa de los estudiantes de la muestra.

c. ¿Se parecen los promedios de la muestra a los del curso completo? ¿Crees que es una muestra representativa?, ¿por qué?

d. ¿Crees que importa el tamaño de la muestra a la hora de inferir acerca de una población? Justifica tu respuesta.


10.¿Cuál de las siguientes alternativas es la más indicada para recolectar información acerca del consumo de drogas en Chile, en jóvenes de 15 a 25 años?

A. Una encuesta a todos los alumnos de un colegio en Santiago.

B. Seleccionar una muestra aleatoria de jóvenes de 15 a 25 años de toda la población chilena.

C. Una encuesta a toda la población chilena.D. Una muestra aleatoria de todos los habitantes

de Chile.

11.¿En cuál de los casos siguientes se requiere considerar la población para realizar la investigación solicitada?

A. Una investigación sobre el auto más vendido en Santiago.

B. Una investigación sobre el canal de televisión favorito de los habitantes de Valparaíso.

C. Una investigación sobre la aceptación que tiene el entrenador de la selección chilena.

D. Se quiere conocer la cantidad de estudiantes de los octavos básicos de un colegio, que tienen dos promedios insuficientes.


Preparando el SIMCE


Responde los ítems 1 al 3 a partir de la siguiente tabla.

Porcentaje de la población por sexo según estado civil o situación conyugal actual.

Censo 2002.

Estado civil o situación conyugal

Total Hombres Mujeres

Casado(a) 46,2 47,5 44,8

Conviviente 8,9 9,0 8,8

Soltero(a) 34,6 37,1 32,2

Anulado(a) 0,4 0,3 0,6

Separado(a) 4,7 3,9 5,5

Viudo(a) 5,2 2,2 8,1

Total 100,0 100,0 100,0


1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. Existe un mayor porcentaje de mujeres solteras que de hombres solteros.

B. El 46,2 % de los hombres está casado.C. El 47,5 % de las personas casadas son hombres.D. El 55,2 % de las mujeres no está casada.

2. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no se puede obtener de la tabla?

A. El 4,7 % de la población es separada.B. El 9 % de los hombres son convivientes.C. El 32,2 % de las mujeres están solteras.D. El 3,9 % de las personas separadas son hombres.

3. ¿Qué porcentaje de mujeres no están separadas?

A. 5,5 % C. 95,3 %B. 94,5 % D. 96,1 %

4. Si se quiere representar la mortalidad infantil de los años 2005 a 2010, ¿qué tipo de gráfico es el más adecuado?

A. Gráfico de barras.B. Gráfico circular.C. Gráfico de líneas.D. Gráfico de barras agrupadas.

5. Observa el gráfico en el que se muestra la relación entre la hora y la temperatura en Santiago un día de otoño.

¿Cuál de las siguientes conclusiones no se puede obtener del gráfico?

A. La temperatura más baja se presentó a las 7:00 horas.

B. Durante el día la temperatura presentó una amplitud térmica de 15 grados.

C. La temperatura fue aumentando con cada hora del día.

D. El mayor cambio de temperatura se observó entre las 9 y las 10, y entre las 18 y las 19 horas.

6. Consuelo recuerda que su promedio de notas es 5,1 y que tiene: 3,3; 4,0; 6,0; 5,5 y 5,8. Sabe que le falta recordar una nota, ¿qué nota es?

A. 5,6 C. 6,5B. 5,4 D. 6,0

Responde los ítems 7 al 9 a partir de la tabla.

Notas [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7]

fi 5 15 20 6 4

7. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la frecuencia relativa acumulada del intervalo [5, 6)?

A. 0,12 C. 0,92B. 0,8 D. 1

8. ¿Cuál es el promedio de notas?

A. 5 C. 3,78B. 4,28 D. 4,73

0

7:00

8:00

9:00

10:0

0

11:0

0

12:0

0

13:0

0

14:0

0

15:0

0

16:0

0

17:0

0

18:0

0

19:0

0

5

10

15

20

25Temperatura


Uni

dad

4

9. La frecuencia absoluta acumulada correspondiente al intervalo [3, 4):

A. representa la cantidad de alumnos con notas entre 3 y 4.

B. es 0,3.C. es 0,04.D. representa la cantidad de alumnos con notas

menores a 4.

10.Dos estudiantes quieren investigar sobre la relación entre el número de calzado de una persona y su estatura. Si deciden recolectar información en su curso, ¿cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A. La muestra que ellos quieren tomar no es suficiente para su investigación.

B. La muestra no es suficiente ni aleatoria para esta investigación.

C. La muestra es aleatoria.D. La muestra no es suficiente pero es aleatoria.

Responde los ítems 11 al 15 a partir de la siguiente tabla, que representa la cantidad de pan que compra diariamente un grupo de familias.

Pan (kg) [1, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6)

fi 10 15 6 3 1

11.¿Cuál es la frecuencia absoluta acumulada del intervalo [4, 5)?

A. 3 C. 31B. 34 D. 4

12.¿Cuál es la media de la cantidad de pan?

A. 1,5 kg C. 2,36 kgB. 1,85 kg D. 2,64 kg

13.¿Cuál es la mediana de la cantidad de pan?

A. 2,5 kg C. 2,71 kgB. 2,17 kg D. 2,36 kg

14.¿Cuál es la moda de la cantidad de pan?

A. 2,5 kg C. 2,6 kgB. 2,64 kg D. 2,36 kg

15.¿Qué representa la frecuencia relativa acumulada de [3, 4)?

A. El total de familias que compra menos de 4 kg.B. El total de familias que compra 3 kg.C. El porcentaje de familias que compra menos

de 4 kg.D. El porcentaje de familias que compra 3 kg.

16.El bibliotecario de un colegio registró el número de libros prestados a 30 personas que visitaron la biblioteca.

0 0 2 4 5 3 2 2 2 0

3 1 6 1 1 1 1 2 3 4

5 0 0 0 2 2 1 1 2 7

¿Cuál es el promedio de libros prestados por persona que visita la biblioteca?

A. 2,625 C. 2,1B. 2 D. 3

Responde los ítems 17 al 19 a partir de los datos del problema anterior.

17.¿Cuál es el promedio de libros prestados por persona, considerando solo a las personas que sí piden libros prestados?

A. 2,625 C. 2,1B. 2 D. 3

18.¿Cuál es la moda de libros prestados?

A. 0 C. 2B. 1 D. 3

19.¿Cuál es la mediana de libros prestados?

A. 2 C. 3B. 2,5 D. 3,5

20.Esteban anotó en la siguiente tabla las edades de un grupo de personas.

Intervalo de edades Frecuencia absoluta

[0, 10) 8

[10, 20) 11

[20, 30) 7

[30, 40) 3

[40, 50) 1

a. Completa la tabla de frecuencias.b. ¿Cuál es la moda de las edades?c. ¿Cuál es la mediana de las edades?d. ¿Cuál es el promedio de las edades?e. Construye un gráfico de barras que represente

las frecuencias de cada intervalo de edad.f. Construye un gráfico circular que represente

las frecuencias de cada intervalo de edad.


1. Describe el espacio muestral de los siguientes experimentos y encuentra su cardinalidad.

a. Se lanzan dos monedas.b. A partir de los dígitos 2, 5 y 8 se forman todos

los números de dos dígitos posibles.c. Se debe elegir entre los colores rojo, verde,

amarillo y azul, para combinarlos con el blanco o el negro.

d. Para un menú se forman todas las combinacio-nes de carne, pescado y cerdo con los acompañamientos: arroz, puré, tallarines o papas fritas.

e. De una caja con bolitas azules, blancas y rojas se extraen dos bolitas con reposición.

f. Se lanza un dado y una moneda.

2. Determina los elementos de cada suceso.

a. Experimento: lanzamiento de 2 dados.Suceso: la suma de los valores es par.

b. Experimento: lanzamiento de un dado y una moneda.Suceso: se obtiene una cara y un número impar, respectivamente.

c. Experimento: se extraen dos bolitas de una caja con 7 bolitas azules, 4 verdes, 5 blancas y 1 roja.Suceso: la segunda bolita es roja.

d. Experimento: se eligen al azar una consonante y una vocal del abecedario.Suceso: se extrae la letra P.

e. Experimento: se lanzan 3 monedas.Suceso: sale al menos un sello.

f. Experimento: se eligen al azar dos números del 1 al 10, con reposición.Suceso: los números suman 6.

3. Al tirar una moneda y un dado se obtienen los siguientes resultados:

1 2 3 4 5 6

Sello (S, 1) (S, 2) (S, 3) (S, 4) (S, 5) (S, 6)

Cara (C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6)

a. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral?b. Escribe los elementos del suceso “obtener una

cara y un número par”.c. Escribe los elementos del suceso “obtener un

sello y un número menor que 4”.d. Escribe los elementos del suceso “obtener un

número mayor que 2”.e. Describe un suceso que tenga un elemento.f. Describe un suceso seguro.g. Describe un suceso imposible.


1. En una heladería hay 3 tipos de helados: de manjar, frutilla y vainilla. Además, se pueden combinar con una de las 5 siguientes frutas: piña, plátano, durazno, mango y frambuesa. Si se quiere elegir un helado con frutas, ¿cuántas posibilidades existen?

Se tienen 3 posibles sabores de helado para elegir y 5 frutas. Para obtener el total de posibilidades multiplicamos 3 · 5 = 15. En total hay 15 posibilidades de elección.

2. Ricardo, Isidora, Martín, Esteban y Natalia van a una fiesta. ¿Cuántas parejas de baile, de un niño con una niña, se pueden formar entre ellos? Describe el espacio muestral.

Con un diagrama de árbol podemos representar las posibles parejas.

Como hay 2 mujeres y 3 hombres, calculamos la cantidad de parejas posibles multiplicando 2 · 3. Finalmente, son 6 las posibles parejas que se pueden formar para bailar.

Espacios muestrales y sucesos

Isidora

Martín EstebanRicardo

Natalia

Martín EstebanRicardo



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4

4. En el casino de un colegio los alumnos pueden elegir ensalada de tomate, de zanahoria o lechuga, carne de vacuno, pescado o pollo y, de acompañamiento, arroz o puré.

a. Si se debe elegir una de las carnes, una de las ensaladas y un acompañamiento, ¿cuál es la cardinalidad del espacio muestral?

b. Escribe los elementos del suceso A: se elige ensalada de zanahoria.

c. Escribe los elementos del suceso B: se elige ensalada de zanahoria y pescado.

d. Escribe todos los elementos del suceso “ocurre A o B”.

e. Escribe todos los elementos del suceso “ocurre A y B”.

f. Escribe todos los elementos del suceso “no ocurre ni A ni B”.

g. Escribe los elementos del suceso C: se elige pescado o pollo.

5. Considera el experimento de lanzar dos dados simultáneamente. Escribe el espacio muestral correspondiente en cada caso.

a. Interesa la suma de los valores obtenidos.b. Interesa el producto de los valores obtenidos.c. Interesa si la suma de los valores es par o impar.


6. Para un experimento con espacio muestral Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se define el suceso A = {2, 4, 6, 8, 9}. ¿Cuáles son los elementos del suceso “no ocurre A”?

A. {2, 4, 6, 8, 9}B. {0, 1, 3, 5, 7}C. {0, 1, 3, 5, 7, 9}D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

7. Considera el experimento del problema anterior. ¿Cuáles son los elementos del suceso “ocurre A o no ocurre A”?

A. {2, 4, 6, 8, 9}B. {0, 1, 3, 5, 7}C. {0, 1, 3, 5, 7, 9}D. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

8. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar con los dígitos 4, 7, 9, 2 y 3 si se pueden repetir?

A. 5 C. 10B. 25 D. 16

9. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden formar con los números del 0 al 6, si no se pueden repetir?

A. 42 C. 49B. 36 D. 30

10.Se extraen al azar 2 cartas de una baraja de naipe inglés. Indica en cuál de las siguientes situaciones el espacio muestral del experimento es: Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A}

A. Interesa la pinta de ambas cartas.B. Interesa el número o figura que aparece en

cada carta.C. Interesa si sale o no una figura en cada carta.D. Interesa si la carta es o no un rey.

11.Un grupo de 3 mujeres (Javiera, Consuelo y Constanza) y 2 hombres (Gabriel y Santiago) quieren ser los delegados de pastoral del curso. Si se debe elegir a dos estudiantes al azar:

a. ¿cuál es el tamaño del espacio muestral del experimento?

b. ¿cuáles son los elementos del espacio muestral del experimento?

c. ¿cuáles son los elementos del suceso “Constanza es elegida delegada de pastoral”?

d. ¿cuáles son los elementos del evento “ni Constanza ni Gabriel son elegidos delegados de pastoral”?

e. ¿a qué evento corresponde el conjunto {(Gabriel, Santiago)}?

f. ¿a qué evento corresponde el conjunto {(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago)}?

12.Considera la situación del ejercicio anterior. Si se debe elegir a un hombre y a una mujer al azar como delegados de pastoral:

a. ¿cuál es el tamaño del espacio muestral del experimento?

b. escribe los elementos del espacio muestral.c. ¿cuáles son los elementos del evento “Gabriel

es elegido delegado de pastoral”?d. ¿cuáles son los elementos del suceso “Javiera

no es elegida delegada de pastoral”?e. ¿a qué evento corresponde el conjunto {(Javiera,

Santiago), (Constanza, Santiago), (Consuelo, Santiago)}?

f. ¿a qué evento corresponde el conjunto {(Consuelo, Santiago), (Consuelo, Gabriel)?


1. Se realiza el experimento de lanzar dos dados de forma simultánea.

a. ¿De cuántas formas se puede obtener un 2 y un 4? ¿Cuál es la probabilidad de que este suceso ocurra?

b. Se define el suceso A: la suma de los valores es 5. ¿Cuáles son los elementos de A?, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra?

c. Se define el suceso B: la suma de los valores es menor que 7. ¿Cuáles son los elementos de B?, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra?

d. Se define el suceso C: la suma de los valores es impar. ¿Cuáles son los elementos de C?, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra?

e. Se define el suceso D: la suma de los valores es mayor que 3. ¿Cuáles son los elementos de D?, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra?

f. Se define el suceso E: el producto de los valo-res obtenidos es múltiplo de 3. ¿Cuáles son los elementos de E?, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra?

2. Considera el experimento de lanzar 4 monedas de forma simultánea.

a. Si interesa la sucesión de caras y sellos obtenida, ¿cuál es el espacio muestral de este experimento?

b. Calcula la probabilidad de cada elemento del espacio muestral.

c. ¿Este espacio muestral es equiprobable?, ¿por qué?

d. Si interesa la cantidad de sellos obtenidos, ¿cuál es el espacio muestral del experimento?

e. Calcula la probabilidad de cada elemento de este nuevo espacio muestral.

f. ¿Este nuevo espacio muestral es equiprobable?, ¿por qué?

g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de un sello?

h. ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de tres sellos?

3. En una caja hay igual cantidad de bolitas blancas, negras, verdes y azules. Se realiza el experimento de extraer una bolita, devolverla a la caja y luego extraer una segunda bolita.

a. Representa en un diagrama de árbol el espacio muestral de este experimento.

b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer primero una bolita azul y luego una verde?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera bolita sea negra?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitas extraídas sean del mismo color?


1. Si hacemos girar la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga en el color rojo?

El círculo de la imagen está dividido en 8 sectores de igual tamaño, de los cuales solo uno está pintado de color rojo.

Luego la probabilidad de que salga rojo es:18 = 0,125 = 12,5 %

2. Si se lanza un dado de 8 caras con los números del 1 al 8 en sus caras, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número primo?

Los números primos que se encuentran entre el 1 y el 8 son: 2, 3, 5, 7. En total son 4 números, es decir, tenemos 4 casos favorables.

Al lanzar el dado tenemos 8 posibles resultados, es decir, los casos totales son 8.

Luego, la probabilidad de que salga un número primo es: 48 = 0,5 = 50 %.

Probabilidad teórica de un suceso



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dad

4

4. Se extraen dos cartas de una baraja de naipe inglés, con reposición.

a. Si interesa la pinta de la carta extraída, ¿cuál es el espacio muestral de este experimento? Represéntalo en un diagrama de árbol.

b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 cartas de trébol?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo una carta de corazones?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera carta sea de diamantes?

5. Camila tiene 5 poleras y 4 pantalones, todos de distinto color y 2 pares de zapatillas, unas verdes y otras negras.

a. ¿Cuántas opciones de vestimenta tiene?b. Si una de las poleras es roja, ¿cuál es la

probabilidad de que elija la polera roja y las zapatillas verdes?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que no elija la polera roja?

6. Teresa tiene en una bolsa 7 bolitas blancas y 13 negras, y Jorge tiene en otra bolsa 8 bolitas blancas y 14 negras. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. La probabilidad de extraer una bolita negra

de la bolsa de Teresa es 7

20.

B. La probabilidad de obtener una bolita negra

de la bolsa de Jorge es 8

22.

C. Es más probable obtener una bolita negra de la bolsa de Teresa que de la de Jorge.

D. Es más probable obtener una bolita blanca de la bolsa de Teresa que de la de Jorge.

7. En una caja se tienen bolitas con los números del 0 al 9. Si se extrae al azar una bolita y sin devolverla se extrae otra, ¿cuál es la probabilidad de que con los números de las bolitas se forme un número par y múltiplo de 9?

8. Si sacamos una ficha de una bolsa que contiene los números del 1 al 20, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 9?

A.9

20 C. 25

B.1120 D. 3

5

9. Pedro tiene 15 pares de calcetines en su cajón, de los cuales 8 son azules y 3 negros. Si saca del cajón un par de calcetines sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que no sea negro?

A.815 C.

1215

B. 45

D. 1115

10.Angélica tiene 10 cartas enumeradas del 1 al 10. Si la primera carta que saca sin mirar es un 6 y sin devolverla saca otra, ¿cuál es la probabilidad de que la siguiente carta sea mayor que 6?

A.410 C. 5

9

B. 49

D. 510

11.En un curso de 36 alumnos y alumnas, 25 de ellos tienen 13 años y el resto 14. Además, hay 19 mujeres, de las cuales 9 tienen 14 años. Si se elige un estudiante al azar:

a. ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga 14 años?c. ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre

de 13 años?d. ¿cuál es la probabilidad de que no sea una

mujer de 13 años?e. ¿cuál es la probabilidad de que no sea un

hombre de 14 años?

12.Carolina, Marcela, Diego, Bernardo, Javier y Romina preparan una fiesta sorpresa para un amigo, y deciden elegir al azar a 2 personas para que compren las cosas para comer.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que Marcela y Javier sean elegidos?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que Romina sea elegida?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que Diego no sea elegido?

d. Si se eligen una mujer y un hombre al azar, ¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?

e. Si se eligen una mujer y un hombre al azar, ¿cuál es la probabilidad de que Bernardo sea elegido?

f. Si se eligen dos hombres al azar, ¿cuál es la probabilidad de que Javier no sea elegido?


1. Describe las siguientes situaciones utilizando las palabras “seguro”, “probable” e “imposible”.

a. Habrá un feriado el 25 de diciembre.b. Camila da 5 vueltas a la cancha en

media hora.c. Una persona no puede vivir 200 años.d. Juan se saca un 7 en la prueba de Matemática.e. Las vacaciones serán en enero y febrero.

2. Indica si los siguientes sucesos son seguros, probables o imposibles.

a. Sale un 3 al lanzar un dado.b. Se lanzan dos dados y la suma de los valores

obtenidos es 15.c. Se lanza una moneda y sale cara.d. Se saca una bolita negra de una bolsa que

tiene 49 bolitas blancas y 1 negra.e. Se saca una bolita roja de una bolsa que tiene

10 bolitas rojas.f. Se lanza un dado y una moneda y salen

dos caras.g. Se extrae una carta de naipe inglés y sale

una carta de trébol roja.

3. Nombra 2 ejemplos de sucesos seguros.

4. Nombra 2 ejemplos de sucesos probables.

5. Nombra 2 ejemplos de sucesos imposibles.

6. Para cada una de las siguientes situaciones define un suceso seguro, uno probable y uno imposible.

a. Camila va al colegio y rinde una prueba de Matemática.

b. Se lanza un dado no cargado.c. Se lanza una moneda.d. Se lanzan dos dados no cargados.e. Se lanzan tres monedas.f. De una caja con 10 bolitas, de las cuales 1

es negra, 2 son blancas, 3 son verdes y 4 son rojas, se extrae una bolita al azar.

g. Se lanzan dos dados y una moneda.h. De un grupo de 5 personas, de las cuales

3 son mujeres, se eligen 3 al azar.i. Se elige uno de los 3 colores primarios.j. Se eligen dos letras del abecedario al azar

y sin reposición.k. Se lanzan dos dados de 6 caras, con los

números 2, 2, 4, 6, 8 y 9 en sus caras.

7. María tiene 5 cartas de corazón con números entre 5 y 9 (ambos incluidos) boca abajo sobre una mesa. Luego toma una de estas cartas al azar sin mirarla. Indica si los siguientes sucesos son segu-ros, probables o imposibles.

a. María saca una carta menor que 10.b. María extrae una carta con un número par.c. María saca una carta con el número 10.d. María extrae una carta con un número menor

que 9.e. María extrae una carta con un número menor

que 5.


1. Para el experimento aleatorio de lanzar un dado y una moneda, define un suceso seguro, un suceso probable y un suceso imposible.Sean los eventos A: “se obtiene un 7 y una cara”, B: “se obtiene un número par y un sello” y C: “se obtiene un número menor que 10”.

El evento A no puede ocurrir, ya que en el dado no aparece el número 7, por lo tanto, su probabilidad es 0 y es un suceso imposible.

El evento B sí puede ocurrir, ya que el dado incluye números pares y en la moneda sí aparece un sello. Es decir, es un suceso probable.

El evento C siempre ocurre, ya que todos los valores que aparecen en un dado son menores que 10. Por lo tanto, es un suceso seguro y su probabilidad es 1.

2. Se tienen en una bolsa cinco papeles con las vocales escritas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer la vocal E?

Como tenemos cinco vocales y una sola vocal E en la bolsa, la probabilidad es 15 = 0,2.

Sucesos seguros, probables e imposibles



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dad

4

8. Indica si los siguientes sucesos son imposibles,

poco probables, probables, muy probables o

seguros. Considera como poco probable a un

suceso con probabilidad menor a 14 , y como

muy probable a un suceso con probabilidad

mayor a 34 .

a. Al lanzar dos dados la suma de los valores obtenidos es par.

b. Se extrae al azar una letra del abecedario y sale una vocal.

c. De una bolsa con 40 bolitas negras se extrae una bolita roja.

d. De una caja con 20 fichas negras y 4 blancas se extrae una ficha blanca.

e. De una bolsa con 10 fichas verdes y 10 rojas se extrae una ficha verde.

f. Se lanzan tres monedas y se obtiene al menos una cara.

g. De un estuche con cinco lápices azules, uno rojo y uno verde, se extrae al azar un lápiz verde.

h. De un curso de 33 estudiantes de los cuales 17 son hombres, se elige al azar a un encargado de pastoral que es una mujer.

i. Se lanzan dos dados y la suma de los valores es menor que 14.

9. Para el experimento de lanzar 4 monedas al azar, indica cuál de los siguientes sucesos es más probable que ocurra. Marca la opción correcta.

A. Salen 4 caras. C. Salen 4 sellos.B. Salen 3 sellos. D. Salen 2 caras.

10.Cristina tiene en su bolsillo cinco monedas de $ 100, tres de $ 500 y dos de $ 50. Determina qué tipo de suceso es el que corresponde a elegir una moneda de $ 100.

A. Imposible. C. Seguro.B. Probable. D. Poco probable.

11. Indica qué tipo de suceso es el que corresponde a elegir una moneda de $ 10 del bolsillo de Cristina.


12.Considerando la situación anterior, ¿qué tipo de suceso es el que corresponde a extraer 3 monedas que sumen $ 150?


13.En el siguiente gráfico se representan las edades de un grupo de personas.

Si se elige una persona al azar, indica la proba-bilidad de cada situación utilizando la misma clasificación que en el ejercicio 8.

a. La persona elegida tiene menos de 10 años.b. La persona elegida tiene más de 10 años.c. La persona elegida tiene 45 años.d. La persona elegida tiene una edad menor o

igual a 30, pero mayor que 20.e. La persona elegida tiene más de 40 años.

14.En una caja de 40 bombones, un cuarto son de chocolate amargo y el resto de chocolate dulce. De los dulces hay igual cantidad con relleno de frutilla, manjar y menta. En total, hay 16 rellenos de manjar y 2 bombones de chocolate amargo con relleno de menta.

a. Construye una tabla de doble entrada que represente la situación.

b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombón de chocolate amargo relleno de manjar?

c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombón con relleno sabor a frutilla?

d. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombón de chocolate dulce relleno de manjar?

15.A partir de la situación anterior, ¿cuál de los siguientes sucesos es más probable?

A. Extraer un bombón con relleno de frutilla.B. Extraer un bombón amargo con relleno

de menta.C. Extraer un bombón dulce con relleno

de menta.D. Extraer un bombón de chocolate dulce.

(0, 10](10, 20](20, 30](30, 40](40, 50](50, 60]

13 %0 %

22 %

33 %

30 %2 %


1. Indica si los elementos de cada espacio muestral son o no equiprobables.

a. Lanzamiento de una moneda.b. Lanzamiento de dos dados. Interesa si la suma

de los valores obtenidos en los dados es par o impar.

c. Se extrae una carta de un naipe inglés de 52 cartas. Interesa si la carta es o no de trébol.

d. Se extrae una bolita al azar de una bolsa con 10 bolitas amarillas y 5 verdes. Interesa el color de la bolita extraída.

e. Se elige una carta de naipe inglés. Interesa si la carta es o no una figura.

f. Lanzamiento de 3 monedas. Interesa la canti-dad de sellos obtenida.

g. De un curso con 38 estudiantes, de los cuales 19 son hombres, se elige uno al azar. Interesa saber si la persona elegida es hombre o mujer.

2. Lanza un dado la cantidad de veces que indica la tabla y completa con la cantidad de veces que se obtuvo cada resultado.

1 2 3 4 5 6

10 veces

20 veces

40 veces

50 veces

a. ¿Para qué cantidad de lanzamientos las frecuencias relativas de cada valor son más parecidas?

b. A partir de los resultados de los 10 lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 3?

c. A partir de los resultados de los 50 lanzamientos, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número menor que 5?


1. Al tirar dos dados 300 veces, uno rojo y el otro azul, se obtuvieron los siguientes resultados. ¿Cuál es la probabilidad de que en un próximo lanzamiento la suma de los valores obtenidos sea 5?

Los posibles resultados en los que se obtiene una suma igual a 5 son: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).

Los casos favorables serán la cantidad de veces que se obtuvieron estos resultados, es decir:

6 + 13 + 16 + 9 = 44

Los casos totales son la cantidad de lanzamientos realizados, es decir, 300. Luego, la probabilidad de que en el próximo lanzamiento la suma de los valores sea 5 es: 44

300 = 0,147 = 14,7 %

2. Emilia le ha pedido a 20 amigos y amigas que elijan un color entre el rojo, azul, verde y amarillo. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo amigo al que le pregunte prefiera el color rojo?

Ingresa los siguientes datos en una planilla de cálculo.

Escribe en A7 “=contar.si(A1:D5;”Rojo”)” y aparecerá en la celda el total de veces que se obtuvo el color rojo.

Luego en la celda A8 escribe “=A7/20” y presiona enter. El resultado será 5

20 = 0,25.

Probabilidades a partir de datos empíricos

1 2 3 4 5 6

1 5 8 10 6 3 9

2 5 4 13 13 5 8

3 8 16 9 9 7 12

4 9 5 7 11 4 11

5 10 8 15 6 5 5

6 12 6 11 9 8 8



Uni

dad

4

3. A partir de los resultados que obtuviste al realizar 50 lanzamientos de un dado, completa la siguiente tabla. Luego, responde.

ResultadoFrecuencia

relativaFrecuencia relativa

acumulada

1

2

3

4

5

6

a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 al lanzar este mismo dado?

b. Si vuelves a lanzar el mismo dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 6? ¿Qué valor de la tabla te entrega esta probabilidad?

c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor menor que 4? ¿Qué valor de la tabla te entrega esta probabilidad?

d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor menor o igual a 4? ¿Qué valor de la tabla te entrega esta probabilidad?

e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor que 1 y menor que 5?

f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor mayor que 2?

4. Simula 30 lanzamientos de un dado en una planilla de cálculo de la siguiente forma:

Escribe en la celda A1 “=aleatorio.entre(1;6)” y copia la instrucción en toda la columna hasta la celda A30. Los números que aparezcan en las celdas serán los resultados obtenidos por el dado.

a. Calcula la probabilidad de obtener un 6, usando la planilla de cálculo, escribiendo en la celda B1 “contar.si(A1:A30;6)” y luego dividiendo este valor por el total de datos.

b. Calcula de esta misma forma la probabilidad de obtener un 4.

c. Calcula de esta misma forma la probabilidad de obtener un 1.

d. Calcula la probabilidad de sacar un número menor que 3 de la siguiente forma: en las celdas B6 y B7 obtén la cantidad de veces que salió un 1 y un 2, luego en la celda B8 escribe “=suma(B6;B7)” y divide la cantidad obtenida por el total de datos.

5. Ignacio tiene 50 dulces en una bolsa y saca uno sin mirar. Luego anota en una tabla el tipo de dulce que sacó y lo vuelve a poner en la bolsa. Él repite esto 100 veces y obtiene la siguiente tabla.

Menta 40

Frambuesa 23

Limón 23

Naranja 14

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?

A. Hay 40 dulces de menta en la bolsa.B. Es probable que haya menos dulces de naranja

en la bolsa que de los otros sabores.C. Solo hay cuatro tipos de dulces dentro de

la bolsa.D. La cantidad de dulces de limón que hay en la

bolsa es la misma que la cantidad de dulces de frambuesa.

6. Si Juan ha lanzado una moneda 50 veces y ha salido sello 22 veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga cara? Marca la opción correcta.

A. 0,22 C. 0,56B. 0,5 D. 0,44

7. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de nacimientos de un país en un año, según la edad de la madre y el sexo del recién nacido.

Edad de la madre

Hombres Mujeres

< 15 510 600

15 - 19 24 001 23 419

20 - 24 32 519 30 956

25 - 29 33 219 35 007

30 - 34 23 419 24 312

35 - 39 15 619 16 998

40 - 44 5 015 5 120

45 - 49 207 207

a. ¿Cuál es la probabilidad de que la madre del próximo niño o niña que nazca en este país tenga menos de 15 años?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo recién nacido sea mujer?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que la madre del próximo recién nacido hombre tenga más de 39 años?


Preparando el SIMCE


1. ¿Cuál de los siguientes es un evento seguro?

A. Al lanzar un dado sale un número menor que 6.

B. Al lanzar una moneda sale una cara.C. Al lanzar dos dados el producto de los valores

es menor que 30.D. Al lanzar dos dados la suma de los valores es

mayor que 1.

2. ¿Cuál de los siguientes es un evento imposible?

A. Al lanzar dos dados la suma de los valores obtenidos es mayor o igual a 12.

B. Al lanzar dos monedas salen 2 caras.C. Al lanzar dos dados el producto de los valores

obtenidos es 27.D. Al lanzar dos dados el producto de los valores

obtenidos es 18.

3. Se lanzan 3 dados. Si interesa la cantidad de números pares obtenidos, ¿cuál es el espacio muestral del experimento?

A. Ω = {0, 1, 2, 3}B. Ω = {2, 4, 6}C. Ω = {222, 224, 226, 242, 244, 246, 262, 264, 266,

444, 442, 446, 424, 424, 426, 462, 464, 466, 666, 662, 664, 622, 624, 626, 642, 644, 646}

D. Ω = {1, 2, 3}

4. Se lanzan 2 monedas. ¿Para cuál de las siguientes situaciones el espacio muestral es Ω = {0, 1, 2}?

A. Interesa la sucesión de caras y sellos.B. Interesa el total de sellos obtenidos.C. Interesa si la cantidad de sellos es o no igual a

la de caras.D. Interesa si el total de caras es o no mayor

que 2.

5. Si la probabilidad de que un evento ocurra es 0,38, ¿cuál es la probabilidad de que este evento no ocurra?

A. 38 % C. 72 %B. 62 % D. 50 %

6. En un ramo hay 14 flores: 4 rojas, 8 amarillas y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar una flor roja?

A. 28,6 % C. 57,1 %B. 40 % D. 71,4 %

7. Se extrajo 20 veces una bolita de una bolsa con bolitas rojas y verdes. Los siguientes son los resultados:

R R V V R V R R R R V V R R R V V V V R

¿Cuál es la probabilidad empírica de que la próxima bolita sea verde?

A.1120 C.

920

B.919 D.

1119

8. Si en una caja hay 5 cubos negros, 3 blancos y 2 verdes, ¿cuál es la probabilidad de que al extraer uno al azar no sea verde?

A. 80 % C. 8 %B. 20 % D. 70 %

9. Joaquín y Sergio juegan a las cartas. Si Sergio gana 12 veces, pierde 25 y empata 13, ¿cuál es la probabilidad de que gane el próximo juego?

A. 12 % C. 25 %B. 24 % D. 75 %

10.Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que al sumar los puntos se obtenga un número primo?

A.49 C.

736

B.512 D.

1136

11.Entre los estudiantes de un curso se sortea un libro de astronomía. Si en este curso hay 19 niñas y 21 niños, ¿cuál es la probabilidad de que se lo gane una niña?

A. 0,525 C. 0,21B. 0,19 D. 0,475

12.Si elegimos al azar un número del 1 al 20, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número par menor que 12?

A.49 C.

1120

B.310 D.

14

13.¿Cuántos números pares de 3 dígitos, con repetición, se pueden formar con los números 6, 7, 2, 4 y 1?

A. 15 C. 125B. 75 D. 36


Uni

dad

4

14.Se tienen varios cubos en una caja y se extraen 30 cubos, de a uno, con reposición. Se obtuvieron los siguientes resultados.

Azul Amarillo Verde Rojo Naranjo

7 3 11 4 5

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A. Hay solo 11 cubos verdes en la caja.B. Es imposible que haya cubos negros en la caja.C. No se sabe si hay cubos blancos en la caja.D. Es muy probable que haya más cubos

amarillos que verdes en la caja.

15.En una bolsa hay fichas con todas las vocales y en otra bolsa hay fichas con los números del 1 al 15. Si se saca una ficha de cada bolsa, ¿cuál es el tamaño muestral del experimento?

A. 20 B. 75 C. 15D. 35

16.En el experimento anterior, la probabilidad de sacar la vocal E y un número par es:

A. 9 % B. 29 % C. 20 %D. 7 %

17.¿Cuántos elementos tiene el suceso del ejercicio anterior?

A. 9 B. 15 C. 7D. 5

18.En el experimento del ítem 15, ¿cuál es la probabilidad de extraer una A o una E y un número primo?

A. 0,133 B. 0,187 C. 0,16D. 0,213

19.¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados el producto de los valores sea múltiplo de 4?

A. 0,194 B. 0,306 C. 0,417D. 0,333

20.¿En cuál de las siguientes cajas existe mayor probabilidad de sacar al azar una bola roja?

A. Caja A C. Caja CB. Caja B D. Caja D

21.Alejandro puede elegir entre los autobuses A, B y C para ir desde el colegio a la casa de Paulina. Para ir desde la casa de Paulina hasta su casa, puede elegir entre D, E, F y G. Si un día Alejandro decide ir a la casa de Paulina después de clases y luego volver a su casa:

a. ¿de cuántas formas puede hacerlo?b. ¿cuál es la probabilidad de que tome el

autobús B o el C?c. ¿cuál es la probabilidad de que tome el

autobús B y el F?d. ¿cuál es la probabilidad de que no tome el

autobús E?e. ¿cuál es la probabilidad de que no tome el

autobús C ni el E?

22.Andrea clasificó sus películas en la siguiente tabla. Si elige una de sus películas al azar:

Drama Comedia Terror Acción

DVD 10 15 17 6

VHS 3 7 5 1

a. ¿cuál es la probabilidad de que sea en VHS?b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de terror?c. ¿cuál es la probabilidad de que sea de comedia

y esté en VHS?d. ¿cuál es la probabilidad de que no sea de

acción ni esté en VHS?e. ¿cuál es la probabilidad de que no sea ni de

drama ni de acción?f. ¿cuál es la probabilidad de que no sea un DVD

de comedia?

Caja A Caja C

Caja B Caja D



1. En el siguiente gráfico se muestran los medios de transporte que utilizan los estudiantes para ir al colegio. ¿Cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A. El porcentaje de estudiantes que no utilizan la bicicleta para ir al colegio es de un 60 %.

B. La mayoría de los alumnos y alumnas llegan al colegio a pie.

C. Un 20 % de los estudiantes se va en bicicleta al colegio.

D. Más de la mitad de los alumnos y alumnas se van al colegio en automóvil o en bus.

2. Isidora quiere representar en un gráfico la relación que existe entre la cantidad de hombres y mujeres que visitan el museo Bellas Artes cada día de la semana. ¿Cuál de los siguientes gráficos representaría mejor los datos de Isidora?

A. Gráfico circular.B. Gráfico de línea.C. Gráfico de barras múltiples. D. Gráfico de barras.

3. Dada la siguiente tabla de datos agrupados, ¿cuál es la moda de los datos?

Notas [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7]

fi 7 12 13 9 15

A. 6,5 C. 6,8B. 6 D. 6,29

4. ¿Cuál es la mediana de los datos de la tabla anterior?

A. 4,5 C. 5,38B. 4,69 D. 4,28

5. Si la mediana de las edades de un grupo de personas es 32, ¿cuál de las siguientes alternativas es correcta?

A. El promedio de las edades es 32 años.B. La persona de mayor edad en el grupo tiene

32 años.C. El 50 % de las personas del grupo tienen

32 años o menos.D. La edad que más se repite es 32 años.

6. Se requiere hacer un estudio para averiguar cuál es el automóvil más vendido en Chile. ¿Cuál es la mejor alternativa para obtener la información necesaria?

A. Una encuesta a las distribuidoras de automóvi-les de la I, III y X región.

B. Una encuesta a una muestra aleatoria de distri-buidoras de automóviles de todas las regiones de Chile.

C. Una encuesta a toda la población de Chile.D. Una encuesta telefónica a habitantes

de Santiago.

7. Si se extrae una carta de una baraja de naipe inglés de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una reina?

A.4

52 C. 4852

B.1352 D.

12

8. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento de lanzar dos dados y una moneda?

A. 14 C. 24B. 72 D. 36

9. ¿Cuál de los siguientes datos es apropiado representar en un gráfico de barras múltiples?

A. Relación que existe entre el peso y la estatura de los jóvenes entre 20 y 25 años.

B. Cantidad de partidos ganados por los tres mejores tenistas en Chile.

C. Mortalidad por enfermedades infecciosas en Chile de los años 2005 a 2010.

D. Porcentajes de alumnos que prefieren las asignaturas de Matemática, Lenguaje, Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Arte u otra, en 3 cursos distintos.


Bus

Auto

A pieBicicleta

Transporte al colegio

40 %

30 %

10 %

20 %

Uni

dad

4


10.En el siguiente gráfico se muestra la opinión de los chilenos sobre exhibir los partidos de cam-peonato nacional de fútbol solo por un canal de señal abierta.

Fuente: CERC. Consultado en junio de 2011. En www.cerc.cl

a. ¿Qué opina la mayoría de las personas en Chile?

b. ¿A quiénes crees tú que se hizo la encuesta? ¿A toda la población o solo a una muestra?, ¿por qué?

11.Para investigar sobre la relación que existe entre el peso y la estatura de jóvenes de 18 a 29 años en Chile, ¿cómo obtendrías la información?

12.La siguiente tabla muestra las masas de un grupo de mujeres de 20 a 30 años.

Masa (kg) [40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90)

Frecuencia absoluta

4 16 32 8 3

a. Construye una tabla con las frecuencias absolutas acumuladas, frecuencias relativas y frecuencias relativas acumuladas.

b. ¿Cuántas mujeres pesan 70 kilogramos o más?c. ¿Cuántas mujeres participaron en la encuesta?d. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa de 50 a

60 kilogramos?e. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa menos de

70 kilogramos?f. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa de 50 a

80 kilogramos?g. Calcula el promedio de la masa de estas mujeres.h. Calcula la moda de la masa de este grupo

de mujeres.i. Calcula la mediana de la masa de las mujeres.

13.Para cada experimento indica un evento seguro y uno imposible.

a. De una bolsa con bolitas rojas, azules y verdes, se extrae una al azar.

b. Se extraen dos cartas de un naipe inglés sin reposición.

c. De una caja con bolitas numeradas del 1 al 20, se extraen dos al azar, con reposición.

14.En una bolsa hay 7 bolitas verdes y 4 amarillas. ¿Cuántas bolitas amarillas debemos agregar para que la probabilidad de sacar una bolita amarilla sea el doble que la de sacar una bolita verde?

15.Se van a marcar los libros de una biblioteca utilizando una de las 10 primeras letras del abecedario seguida de uno de los números del 12 al 50.

a. Si cada libro se marca con un código distinto, ¿cuántos libros se pueden marcar?

b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un libro de la biblioteca que tenga la letra B y un número par?

c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un libro con el número 23 y una vocal?

16.José lanza dos dados 150 veces y obtiene los siguientes resultados:

Suma de los valores

[2, 4) [4, 6) [6, 8) [8, 10) [10, 12]

Frecuencia 37 37 20 18 38

a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento de lanzar 2 dados y calcular la suma de los valores?

b. ¿Cuál es el tamaño muestral del experimento?c. ¿De qué posibles resultados se obtiene una

suma perteneciente al primer intervalo de la tabla?

d. Si José vuelve a lanzar los mismos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea mayor o igual 8?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos sea menor que 10?

f. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos no sea mayor o igual que 6 y menor que 8?

g. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea mayor o igual que 4?

Acuerdo

Desacuerdo

No sabe

55 %

33 %

12 %

Unidad 5 – Álgebra138

5Unidad

Álgebra

Habilidades• Identificar situaciones de variación proporcional y no proporcional.• Usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional.• Discriminar entre las relaciones proporcionales directas e inversas.• Resolver problemas que involucran variación proporcional directa.• Resolver problemas que involucran variación proporcional inversa.• Reconocer funciones en diversos contextos.• Identificar dominio y recorrido de funciones en diversos contextos.• Resolver problemas que involucran funciones en diversos contextos.

• Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad que contiene un valor desco-nocido. Su solución corresponde al valor de la incógnita para que la igualdad sea verdadera. Resolver una ecuación es encontrar este valor.

• Para determinar si la solución de una ecuación es correcta se remplaza ese número por la incógnita, todas las veces que esté en la ecuación. Si se obtiene una igualdad, la solución es correcta; pero se debe verificar si es pertinente al contexto del problema.

• Una ecuación de primer grado con dos incóg-nitas se puede interpretar como una relación entre dos variables.

• Una variable es un elemento que puede tomar cualquier valor de los comprendidos en un con-junto. Se utilizan letras distintas para representar variables distintas.

• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una igualdad tal que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende del valor de x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.

• Podemos analizar el comportamiento entre dos variables por medio de diversos registros, como una tabla o un gráfico.

P ara recordar

Funciones

Dominio

Recorrido

Variables independientes

Variaciones no proporcionales

Variaciones proporcionales

Proporcionalidad directa y = kx

y = kx

Proporcionalidad inversa

Variables dependientes

Unidad 5 – Álgebra 139

• Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corres-ponde un único valor de y.

• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con una ecuación, una tabla de valores o un gráfico.

• Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente se representan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependiente se representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.

• La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.

• Se llama dominio de una función al conjunto de valores que la variable independiente x puede tomar en la función f. Se expresa por Dom(f ).

• Se llama recorrido de una función al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar los valores del dominio en la función f. Se expresa por Rec(f ).

• Un valor constante es una cantidad que tiene un valor fijo, que no se modifica en una situación dada.

• Una razón es una comparación entre dos can-tidades que se realiza por medio de una división.

• El valor de la razón es el cociente entre las canti-dades. Dos razones son equivalentes si su valor es el mismo.

• Una proporción es una igualdad entre dos o más

razones. La proporción entre las cantidades a, b,

c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien ab = c

d

y se lee “a es a b, como c es a d”.

• En toda proporción se cumple que ab = c

d , si y solo si a · d = b · c.

• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, a %, y se lee “a por ciento”. El porcentaje es una razón cuyo consecuente es 100.

• Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variables son proporcionales.

• Dos variables, una independiente x y la otra

dependiente y, son directamente proporcionales si

el valor de la razón yx es constante, es decir, y

x = k,

donde k es la constante de proporcionalidad.

• Una relación de proporcionalidad directa se pue-de representar como una función de la forma y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que pertenecen a una misma recta que pasa por el origen en un sistema de coorde-nadas cartesianas. Por ejemplo, el gráfico de la función y = x es:

• En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra también aumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuye en un mismo factor.

• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son inversamente proporcionales si el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x · y = k, donde k es la constante de proporcionalidad.

• Una relación de proporcionalidad inversa se

puede representar como una función de la

forma y = kx . La representación gráfica de

esta función son puntos que forman una curva

llamada hipérbola. Por ejemplo, el gráfico de la

función y = 1x es:

• En una relación de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.



1. Pablo camina desde su casa al colegio y avanza 2 cuadras cada 5 minutos. Si el colegio queda a 8 cuadras y Pablo camina manteniendo el mismo ritmo, ¿cuánto demora en llegar?

Podemos hacer una tabla que relacione las cuadras (c) que avanza y el tiempo (t) que demora en llegar a su colegio.

En la tabla observamos que Pablo tarda 15 minutos en llegar.

2. En la pregunta anterior, escribe una ecuación que relacione las variables.

Como Pablo avanza 2 cuadras en 5 minutos, tarda 2,5 minutos en caminar 1 cuadra. Si llamamos c a las cuadras y t al tiempo, la ecuación que relaciona las cuadras que recorre Pablo y el tiempo que tarda es t = 2,5c.

3. En la ecuación 3x + 2y = 4, encuentra los valores de x cuando y vale 1 y 2, y los valores de y cuando x vale 0 y 1. Realiza una tabla que registre los valores que obtuviste.

Si y = 1, remplazamos 3x + 2 · 1 = 4. Luego, despejamos x:

3x = 4 – 2 = 2, entonces x = 23

.

Si y = 2, remplazamos 3x + 2 · 2 = 4. Luego, despejamos x:

3x = 4 – 4 = 0, entonces x = 0.

Si x = 0, remplazamos 3 · 0 + 2y = 4. Luego, despejamos y:

2y = 4, entonces y = 42

= 2.

Si x = 1, remplazamos 3 · 1 + 2y = 4. Luego, despejamos y:

2y = 4 – 3 = 1, entonces y = 12

.

Relación entre dos variables

1. Cada una de las siguientes tablas muestra la relación entre dos variables. Identifica cuáles son esas variables y determina la unidad en la que se encuentran definidas, si corresponde.

a. c.

b. d.

2. Si a = 2b:a. completa la tabla. b. despeja b en la ecuación.c. inventa una relación entre dos

variables que pueda cumplir con la ecuación a = 2b.

3. Si y = x – 3:

a. elabora una tabla donde x tome los valores {2, 4, 7, 10}

b. despeja x en la ecuación.c. encuentra el valor de x si y = 12.

4. Encuentra cada uno de los valores señalados en las siguientes ecuaciones con dos variables.

a. 5y = 3x• Si x = 0,2 encuentra el valor de y.

• Si y = 15 encuentra el valor de x.

b. 3x – 2 = y• Si x = –8 encuentra el valor de y.

• Si y = 27 encuentra el valor de x.


c t

2 5

4 10

8 15

x y

23

1

0 2

0 2

1 12

a b–8

0,5

13

7

X Y2 –5

3 4

7 2

Tiempo(h)

Velocidad(km/h)

5 100

6 120

12 50

Días de marzo

Ventas($)

1 412 000

2 320 000

3 120 000

Pan(kg)

Dinero($)

1 5 000

2 8 200

3 5 600


Uni

dad

5

5. Si 4x + 2y = 17, el valor de y si x = 14

es:

A. y = 4 C. y = 9B. y = 8 D. y = 10

6. Despeja en las ecuaciones la variable indicada.

a. Despeja y en x = –2y.

b. Despeja x en y = 7 + x.

c. Despeja x en y = 12 – x.

d. Despeja y en 2x = 3y.

e. Despeja y en x = y2

.

f. Despeja x en x8

= y3

.

g. Despeja x en x + 5 – y = 0.

7. Al despejar la variable x en la ecuación 5x + 2y = 2, se obtiene:

A. x = 2 + 2y 5

C. x = 2 – 2y 5

B. x = 7 – 2y D. x = 2y – 25

8. La edad de Alejandro (a) y la edad de su hermano Andrés (h) se relacionan mediante la ecuación a – h = 1,5.

a. ¿Cómo interpretas esta ecuación?b. Realiza una tabla con las edades de los

hermanos en cuatro años distintos.

9. Si Andrea es 3 años mayor que Javier, ¿cuál es la ecuación que relaciona sus edades? Marca la opción correcta.

A. a – j = 3 C. 3a – j = 1,5B. a – j = 4,5 D. a – 3j = 1,5

10.La relación que se da entre los asistentes (a) a una obra de teatro y los ingresos de dinero (i) es i = 3 500a.

a. Calcula los ingresos si asisten 280 espectadores a la obra.

b. Calcula cuántos espectadores asistieron si los ingresos fueron $ 770 000.

c. ¿Qué significa el número 3 500 en la ecuación?

11.En la pregunta anterior, si el precio de las entradas baja un 50 %, los ingresos que se obtienen si asisten 280 personas son:

A. $ 350 000 C. $ 420 000B. $ 490 000 D. $ 500 000

12.El perímetro de un cuadrado se calcula a partir de la fórmula P = 4a, donde P es el perímetro y a la medida del lado.a. Despeja el valor de a.b. Calcula el perímetro de un cuadrado cuyo

lado mide 7 cm.c. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado

cuyo perímetro es 36 cm?

13.La cantidad de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados se calcula restando 3 al número de lados del polígono.

a. Completa la afirmación: El número de lados de un polígono se puede

calcular sumando 3 al .

b. Escribe una ecuación que te permita calcular el número de diagonales (d ) por vértice, cono-ciendo el número (n) de lados de un polígono.

c. Escribe una ecuación que te permita calcular el número de lados de un polígono, conociendo las diagonales que se pueden trazar desde un vértice.

14.¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un vértice, en un polígono de 7 lados?

A. 7 diagonales. C. 10 diagonales.B. 4 diagonales. D. 9 diagonales.

15.En la sala de clases de 8º básico se realiza una prueba. Hay 3 profesores de pie cuidando y en cada banco se sientan 2 alumnos.

a. Si hay 11 bancos ocupados completamente, ¿cuántas personas hay en la sala de clases?

b. Realiza una tabla que relacione la cantidad de bancos que están ocupados completamente en la sala si hay 7, 9 y 11 personas en la sala.

c. Escribe una ecuación que relacione la canti-dad de personas (p) que hay en la sala con el número de bancos (b).

16.Si en la situación anterior se cambia a 4 el número de personas sentadas en cada banco, la ecuación que relaciona la cantidad de personas (p) con el número de bancos (b) es:

A. p = 4b + 3 C. p = 2b + 7B. p = 2b + 4 D. b = 4p + 3


1. Considera la ecuación a = –2b + 1 y responde:

a. ¿Cuántas variables tiene?, ¿cuáles son?b. ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿por qué? c. ¿Cuál es la variable que está descrita en

función de otra?

2. Considera la función de la tabla y responde.

a. ¿Cuáles son los elementos que forman el dominio de esta función?

b. ¿Cuáles son los elementos que forman el recorrido de esta función?

c. ¿Cuál es la imagen de 3?d. ¿Hay algún elemento en el dominio que tenga

dos imágenes?, ¿cuál?

3. Determina si las siguientes relaciones son o no funciones.

a. b.

4. Relaciona y completa. Guíate por el ejemplo.

Si a = 2b + 7 decimos que a está en función de b. En símbolos: a = f (b), o f (b) = 2b + 7

a. Si c = d – 21 decimos que está en función de . En símbolos: = f ( ) o f ( ) = .

b. Si x = 3y – 15 decimos que está en función de . En símbolos: = f ( ) o f ( ) = .

c. Si z = 9v decimos que está en función de . En símbolos: = f ( ) o f ( ) = .


1. Paulina quiere contratar un plan para su teléfono celular. Con el plan que le interesa puede hablar 90 minutos por un cargo fijo de $ 12 990. Además, por cada minuto adicional se cobra un valor de $ 150. Realiza una tabla con lo que tiene que pagar Paulina si habla 1, 2, 3, 4, 5 y 6 minutos adicionales.

Minutos 1 2 3 4 5 6

Total a pagar 13 140 13 290 13 440 13 590 13 740 13 890

2. En el problema anterior, ¿cuál es la variable independiente y cuál, la dependiente?

Como el total a pagar cambia según los minutos adicionales que se hablen, los minutos corresponden a la variable independiente y el total a pagar a la variable dependiente.

3. Escribe una función que exprese el dinero que debe pagar Paulina según los minutos adicionales que hable.

Primero designamos variables. A los minutos adicionales que hable los llamaremos m y al total que debe pagar lo designamos por p. Como p es la variable dependiente y m la independiente, escribimos p (m).

p(1) = 13 140 = 12 990 + 150 · 1 p(4) = 13 590 = 12 990 + 150 · 4p(2) = 13 290 = 13 990 + 150 · 2 p(5) = 13 740 = 12 990 + 150 · 5p(3) = 13 440 = 12 990 + 150 · 3 p(6) = 13 890 = 12 990 + 150 · 6

Podemos deducir que la función buscada es p(m) = 12 990 + 150 · m

Funciones, variables dependientes e independientes


x y1 3

2 5

3 7

4 5

x y2 3

2 4

3 5

4 6

x y1 2

2 3

3 3

4 5


Uni

dad

5

5. Escribe en notación de funciones cada una de las siguientes expresiones con dos variables.

a. r = 2t – 5 d. 3m = 5(n – 1)b. v = 3(x + 8) e. 4x + 5y = 2y – 2c. z = 5 – w f. 4 + a = 2b + 5

6. Sobre la expresión y = 5x + 2, ¿cuál es la afirmación falsa? Marca la opción correcta.

A. Esta relación no es función.B. La variable dependiente es y.C. La variable independiente es x.D. y está en función de x.

7. Determina si las siguientes relaciones son o no funciones.

a. El volumen de un cubo y la longitud de una de sus aristas.

b. Un número y su antecesor.c. La edad que cumple una persona en cierto año.d. El tamaño del ser humano y su edad.

8. Determina el recorrido de las siguientes funciones, sabiendo que su dominio es el conjunto {0, 1 ,3 ,7 ,9}.

a. f (x) = 7x c. f (x) = 8b. f (x) = –2x + 3 d. f (x) = 3(x – 5)

9. Andrea tiene para vender 70 chocolates. La ganancia que obtiene se puede calcular mediante la función g(c) = 150c – 300, donde c representa la cantidad de chocolates vendidos.

a. ¿Cuál es el dominio de la función?b. ¿Cuál es el recorrido de la función?c. ¿Cuántos chocolates debe vender Andrea

como mínimo para obtener ganancias?d. ¿Qué puede significar el número 300 en la

función que representa la ganancia?

10.En la pregunta anterior, si Andrea vende todos los chocolates, ¿cuánto dinero gana? Marca la opción correcta.

A. $ 45 000 C. $ 10 500B. $ 21 000 D. $ 10 200

11.Determina el recorrido de cada función.

a. El recorrido de la función f (x) = x + 8, sabiendo que su dominio son los números pares mayo-res que 5 y menores que 15.

b. El recorrido de la función f (x) = x + 63

, sabiendo

que el dominio está formado por los múltiplos

de 3 menores que 30 y mayores o iguales que 15.

12.¿Cuál de las siguientes funciones puede tener como dominio el conjunto {0, 1, 2 , 3, 4} y como recorrido el conjunto {3, 5, 7 , 9, 11}?

A. f (x) = 2x + 3 C. f (x) = 11 – x

B. f (x) = x2

– 32

D. f (x) = – x2

+ 112

13.En una piscina hay 36 000 L de agua y se empieza a vaciar a razón de 10 litros por minuto.

a. Escribe una función que relacione la cantidad (c) de agua que se evacua y el tiempo (t) que se demora en hacerlo.

b. ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función?

14.Con la información del problema anterior, ¿cuántos litros se vaciaron en 15 horas?

A. 9 000 litros. C. 900 litros.B. 150 litros. D. 1 500 litros.

15.A partir de los datos del problema 13, ¿cuánto tiempo debe pasar para que quede la mitad de agua en la piscina?

A. 1 200 minutos. C. 3 600 minutos.B. 1 800 minutos. D. 4 800 minutos.

16.Una secuencia de números se forma considerando la relación N = 2P + 7, donde P es la posición que tiene el número en la secuencia y N es el número.

a. ¿Cuál es el número que se encuentra en el lugar 12?

b. ¿En qué posición de la secuencia se encuentra el número 43?

c. Escribe los primeros 5 números de la sucesión.

17.A partir del ejercicio anterior, ¿cuál es la expresión que representa a los números que se encuentran en las posiciones pares de la secuencia?

A. 2N = 2P + 7 C. N = 2P + 9B. N = 4P + 7 D. N = 4P + 9

18.En la asignatura de Matemática, el profesor divide un trabajo en dos partes: una prueba y una tarea grupal. La nota que va al libro se calcula con el promedio de la nota de la prueba y la tarea grupal.

a. ¿Cuántas variables puedes ver en esta situación? Identifica y escribe las variables, indi-cando si son dependientes o independientes.

b. Escribe una función que permita calcular la nota que puede obtener un alumno en el trabajo de Matemática.

c. ¿Qué puedes concluir respecto de la cantidad de variables en una función?



1. Si x e y varían en forma directamente proporcional y x = 3 cuando y = 8, encuentra el valor de y si x = 9.

Podemos calcular la constante de proporcionalidad:

k = 83

Escribimos la función de proporcionalidad directa.

y = 83

x Remplazamos el valor de x y simplificamos.

y = 8 · 93

= 24

Otra manera de resolverlo es igualando las razones:yx

= 83

= y9

Usamos la propiedad fundamental de las proporciones.

3y = 8 · 9 Despejamos el valor de y.

y = 8 · 93

Simplificamos.

y = 24

2. En un pueblo hay 3 hombres por cada 4 mujeres. Escribe la función que permite determinar la cantidad de hombres en función de la cantidad de mujeres.

El dato del problema indica que la razón entre hombres y mujeres es 3 : 4, por lo tanto, podemos usar una función de proporcionalidad directa para saber la cantidad de hombres (y) en función de la cantidad de mujeres (x).

Sabemos que yx

= 34

, entonces y (x) = 34

x es la función buscada.

1. Cristián tiene $ 400 y su hermana Belén, $ 200. Su madre empieza a darles $ 200 mensuales a cada uno.

a. Completa la tabla con la cantidad de dinero que llevan ahorrado Cristián y Belén.

Mes 1 2 3 4 5

Cristián 600 800

Belén 400

b. La cantidad de dinero que tiene Cristián, ¿es proporcional a la que tiene Belén? Justifica.

2. ¿Qué situación no corresponde a una relación de proporcionalidad directa? Marca la opción correcta.

A. La distancia que recorre un auto en un cierto tiempo cuando va a 60 km/h.

B. La diferencia de edad de dos hermanos es cinco años.

C. Para preparar una taza de arroz se necesitan tres tazas de agua.

D. Realizar la maqueta de una casa, usando medidas a escala.

3. Si y es 12 cuando x es 6 y x es directamente proporcional a y, ¿cuál es el valor de x si y es 6? Marca la opción correcta.

A. 24 C. 4B. 12 D. 3

4. Si y = 4 calcula el valor de x en cada caso.

a. xy

= 53

d. 11549

= xy

b. x4

= y9

e. 16478

= yx

c. y8

= x6

f. 76y

= yx

5. Si x varía de manera directamente proporcional a y, calcula los valores pedidos, considerando que si y es 15 entonces x es 6.

a. Calcula x si y es 5. e. Calcula y si x es 4.b. Calcula y si x es 3. f. Calcula x si y es 20.c. Calcula x si y es 15. g. Calcula y si x es 30.d. Calcula y si x es 1. h. Calcula x si y es 69.

Relación de proporcionalidad directa



Uni

dad

5

6. En un establo, 3 caballos comen 5 fardos de alfalfa. Si cada caballo come la misma cantidad, ¿cuántos fardos de alfalfa comerán 45 caballos? Marca la opción correcta.

A. 75 fardos. C. 9 fardos.B. 27 fardos. D. 3 fardos.

7. Escribe una función que relacione las variables en cada caso.

a. a varía directamente con b. Cuando a es 4, b es 5.

b. z es directamente proporcional a x. Cuando z es 18, x es igual a 12.

c. r y s son directamente proporcionales y el valor de su razón es 36.

8. En un estudio se obtuvo que 1 de cada 3 niños es obeso, una función de proporcionalidad que relaciona la cantidad de niños (n) con la cantidad de niños obesos (o) es:

A. n = o C. n = o3

B. o = 3n D. o = n3

9. Don Pedro vende huevos a $ 110 cada uno y a $ 600 la caja de 6. Sigue los pasos para graficar, usando un computador, la función que modela la ganancia (g) que tiene don Pedro al vender una cantidad (n) de huevos.

1º En un computador, abre una planilla de cálculo y en la celda “A1” escribe “ganancia”.

2º En la primera columna, bajo la celda “ganancia”, escribe los valores correspondientes a la venta de los huevos. Esto se puede realizar fácilmen-te, escribiendo 110 en la celda “A2”, el número 220 en la celda “A3”; luego, selecciona ambas celdas y con el cursor en la esquina inferior de-recha de la celda “A3” lo arrastras hasta llegar a la celda “A61”.

3º Selecciona las celdas escritas y ubica la pestaña “Insertar”, opción gráfico. En las opciones de gráficos, busca “Línea”.

a. Sigue los mismos pasos para realizar un gráfico a partir de la venta de 10 cajas de 6 huevos (60 huevos). Para ello calcula el valor de cada huevo al vender una caja de 6 huevos.

b. Compara la inclinación de ambos gráficos y relaciónala con las ganancias que se obtienen.

10.El rendimiento de cierto auto en carretera es 11 km por litro, lo que se refleja en la siguiente tabla.

a. Identifica las variables de la situación.b. Determina cuál es la variable independiente

y cuál es la dependiente.c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?d. Escribe una función que relacione las variables

del problema.e. Calcula la distancia que puede recorrer

el auto con 2, 11, 30 y 50 litros de bencina.f. Calcula cuántos litros de bencina necesita

para recorrer:• 11 km • 220 km• 1 km • 7 km

11.En la pregunta anterior, si el litro de bencina cuesta $ 700, ¿qué costo en bencina tiene viajar 154 km? Marca la opción correcta.

A. $ 9 600 C. $ 10 000B. $ 9 800 D. $ 10 700

12.A partir de las preguntas anteriores, ¿cuál es el costo aproximado de viajar desde Osorno hasta Puerto Montt si la distancia entre estas ciudades es de 109 km? Marca la opción correcta.

A. $ 4 900 C. $ 7 000B. $ 6 300 D. $ 7 700

13.Juan vende helados y gana $ 150 por cada helado que vende.

a. Completa la siguiente tabla:

b. Escribe la función de proporcionalidad correspondiente a la situación.

c. Calcula el valor de la constante de proporcio-nalidad k.

d. Interpreta el significado de la constante k.e. Si Juan ganó $ 24 000, ¿cuántos helados vendió?

Helados vendidos Ganancia ($)

10

15

20

30

b (L) d (km)

1 11

5 55

10 110


Relación de proporcionalidad inversa

1. ¿Cuál de las siguientes situaciones corresponde a una relación de proporcionalidad inversa?

A. La diferencia de estatura de dos amigos al ir creciendo.

B. Comer dos frutas al día.C. Mientras más rápido camino de mi casa al

colegio, menos tiempo me demoro.D. La cantidad de partes de una torta que se

obtiene al dividirla por la mitad, luego, cada pedazo por la mitad, y así sucesivamente.

2. Si x varía de manera inversamente proporcional a y, calcula los valores pedidos, utilizando alguna estrategia aprendida. Considera que si y es 12 entonces x es 6.

a. Calcula x si y es 5. e. Calcula x si y es 20.b. Calcula y si x es 3. f. Calcula y si x es 75.c. Calcula x si y es 15. g. Calcula x si y es 90.d. Calcula y si x es 1. h. Calcula y si x es 1 035.

3. Dos variables son inversamente proporcionales si:

A. su cociente es constante.B. su diferencia es constante.C. su producto es constante.D. su suma es constante.

4. Si x = 7 calcula el valor de y en cada caso.

a. x · y = 8 c. 3y = 49x

b. 3x = 4y

d. 81 = 9xy

5. Calcula mentalmente cada valor, sabiendo que v es inversamente proporcional a t, y que v es 22 cuando t es 10.

a. Calcula t si v es 11. d. Calcula v si t es 20.b. Calcula v si t es 24. e. Calcula t si v es 55.c. Calcula t si v es 2,2. f. Calcula v si t es 110.


1. Si x e y varían en forma inversamente proporcional y x = 3 cuando y = 8, encuentra el valor de y si x = 9.

Podemos calcular la constante de proporcionalidad:

k = 8 · 3 = 24 Remplazamos en la función de proporcionalidad.

y = 24x Remplazamos x = 9 y simplificamos.

y = 249

= 83

Otra manera de resolverlo es igualando los productos:

9 · y = 8 · 3 Calculamos.

9y = 24 Despejamos y y simplificamos.

y = 249

= 83

2. Don Fermín quiere hacer una huerta rectangular de 720 m2. Escribe tres posibles dimensiones de la huerta de don Fermín.

Como la huerta debe ser rectangular y su área será de 720 m2, el producto de las medidas

del largo (l ) por el ancho (a) debe ser igual a 720, o sea, l · a = 720, lo que podemos

escribir como la función l(a) = 720a . Para encontrar 3 posibles dimensiones, podemos

dar valores del ancho, que permitirán encontrar valores del largo. Por ejemplo:

Si a = 1, entonces l = 720.



Finalmente, podemos registrar los valores en una tabla.


a (m) l (m)

1 720

2 360

3 240


Uni

dad

5

6. Dos caballos tardan 3 horas en comer unos fardos de alfalfa. Si llegara otro caballo y se les diera de comer la misma cantidad de alfalfa, ¿cuánto tiempo demorarán los caballos si todos comen lo mismo? Marca la opción correcta.

A. 1 h C. 3 hB. 2 h D. 4 h

7. Escribe la función que relaciona las variables en cada caso.

a. Si a varía inversamente respecto de b, y a = 4 cuando b = 5.

b. Si z es inversamente proporcional a x, y x = 12 cuando z = 18.

c. Si y es inversamente proporcional a x, y su constante de proporcionalidad es 100.

d. Si m y n son inversamente proporcionales y su constante de proporcionalidad es 36.

8. Completa la tabla sabiendo que las variables x e

y son inversamente proporcionales, y su constan-

te de proporcionalidad es 23

.

x 4 8 32

y 7 15

9. Considera que la cantidad de baldosas (b) para cubrir el piso de un casino depende del tamaño de las baldosas, es decir, del área (a) que cubre cada una de ellas.

a. Completa la siguiente tabla:

b. Escribe una función que relacione las variables del problema.

c. ¿Cuántas baldosas cuadradas de lado 20 cm se requieren para cubrir el casino?

d. Si se utiliza un tipo de baldosa que cubre 0,16 m2 y cuyo costo unitario es de $ 300, ¿cuánto habrá que pagar por las baldosas necesarias para cubrir el casino?

10.Un auto de carrera demora 3 horas en recorrer 600 km. Si su velocidad disminuye a la cuarta parte, ¿cuánto demora en recorrer la misma distancia? Marca la opción correcta.

A. 150 h C. 12 hB. 200 h D. 14 h

11.Se requiere organizar 600 sillas en un salón de eventos.

a. Si se forman 20 filas con igual cantidad de sillas cada una, ¿cuántas sillas hay en cada fila?

b. Si las filas tienen 12 sillas cada una, ¿cuántas filas se pueden formar?

c. Escribe la función que relaciona la cantidad de sillas por filas y la cantidad de filas.

12.Gabriel, Daniela y Alejandro trabajan cortando el pasto. Cada uno realiza la misma cantidad de tra-bajo. Los tres juntos demoran 4 horas en el jardín de doña Alicia. Si cierto día Alejandro se ausenta, ¿cuánto demoran Daniela y Gabriel en cortar el pasto del jardín de doña Alicia?

13.Escribe dos ejemplos de variables que se relacionen de manera:

a. directamente proporcional.b. inversamente proporcional.c. no proporcional.

14.Enrique tiene que envasar su producción de jugo

de manzana. Si lo hace en envases de 12

litro

necesita 120 envases.

a. ¿Cómo varía la cantidad de envases que necesitará si varía la capacidad de ellos?

b. Completa la siguiente tabla.

c. Calcula el valor de la constante k.d. Interpreta el significado del valor de la

constante k.e. ¿Cuántos envases de 100 cm3 necesitará

Enrique para envasar su producción?f. Si la producción se distribuyó en 50 envases

iguales, ¿cuál es su capacidad?

Capacidad del envase (cm3)

Cantidad de envases

120

250 240

300

b a (m2)

1 600 0,25

0,1

1

2


Preparando el SIMCE


1. En la ecuación x + 3y = 8, ¿cuál es el valor de x si y = 2?

A. 2 C. 5B. 4 D. 6

2. Pedro relaciona la cantidad (x) de páginas que lee de un libro durante una cantidad (y) de minutos, mediante la expresión x = 3y + 2. ¿Qué tabla cumple con esta relación?

A. C.

B. D.

3. Juan tiene ahorrado $ 2 500 pesos y cada mes su madre le regala $ 500. Si m representa la cantidad de meses que su madre le ha dado dinero y a representa el dinero que tiene ahorrado Juan, entonces la ecuación que relaciona m y a es:

A. m = 2 500a C. m = 2 500 + 500aB. m = 500a D. a = 2 500 + 500m

4. La fórmula para calcular la longitud de una circunferencia está dada por P = 2πr. Si el radio de la circunferencia es 8 cm, ¿cuál de los siguientes valores representa su longitud considerando π = 3?

A. 96 cm C. 24 cmB. 48 cm D. 6 cm

A partir de la siguiente situación responde los ítems 5 al 7.

Para una exhibición de cine hay 3 500 entradas disponibles y cada una vale $ 2 500.

5. La función que entrega las ganancias (g) por número (x) de entradas vendidas es:

A. g(x) = 3 500x C. g(x) = 6 000xB. g(x) = 2 500x D. g(x) = x

6. El dominio de la función anterior es el conjunto de los números enteros que están entre:

A. 0 y 2 500 C. 0 y 6 000B. 0 y 3 500 D. 0 y 1 000

7. El recorrido de la función de las ganancias son números enteros que están entre:

A. 0 y 2 500 C. 0 y 6 000B. 0 y 3 500 D. 0 y 8 750 000

8. Considerando que una impresora imprime 12 páginas por minuto, entonces se puede afirmar que en una hora imprimirá:

A. 600 páginas. C. 100 páginas.B. 720 páginas. D. 120 páginas.

9. En promedio, el corazón de un adulto palpita 8 veces en 6 segundos. La expresión que permite calcular la cantidad de palpitaciones de un adulto en m segundos es:

A. 8m6

C. 68m

B. 6m8

D. 86m

A partir de la siguiente situación, responde los ítems 10 y 11.

Para regular el calor, una estufa dispone de los tres niveles de consumo de gas que se muestran en la tabla.

Máximo Mediano Mínimo

300 g/h 220 g/h 130 g/h

10.¿Cuánto tiempo puede estar encendida la estufa con 500 g de gas en el máximo nivel?

A. Entre 40 y 50 minutos.B. Entre 50 y 70 minutos.C. Entre 70 y 90 minutos.D. Entre 90 y 110 minutos.

11.¿Cuántos gramos de gas consume la estufa encendida en el nivel mínimo durante 8 horas?

A. Entre 700 y 800 gramos.B. Entre 800 y 900 gramos.C. Entre 900 y 1 000 gramos.D. Entre 1 000 y 1 100 gramos.

x y

0 2

1 5

2 8

x y

2 0

5 1

8 2

x y

8 2

11 3

4 4

x y

5 1

8 2

10 3


Uni

dad

5

12.Fabiola tiene 300 dulces para regalar. ¿Qué función determina la cantidad (c) de dulces que le quedan a Fabiola si regala 2 a cada niño (n) que encuentra?

A. c = n – 2 C. c = 300 – 2nB. c = 300 – n D. c = 2 + 300n

13.Si la cantidad de arroz que consume una familia al mes es proporcional al número de sus integrantes, ¿cuánto consume una familia de 5 personas al mes, si una de 3 personas consume 1,5 kg?

A. 5 kg C. 3,5 kgB. 4 kg D. 2,5 kg

14.El gráfico muestra cómo varían dos magnitudes x e y. ¿En cuál de los tramos se produce una variación directamente proporcional entre las variables?

A. Entre 0 y 1. C. Entre 2 y 3.B. Entre 1 y 2. D. Entre 3 y 4.

15.Cinco albañiles construyen una obra en 30 días. ¿Cuánto hubiera demorado la construcción de la misma obra con dos albañiles menos, al mismo ritmo de trabajo?

A. 50 días. C. 14 días.B. 12 días. D. 18 días.

16.Con $ p se compran 8 volantines. ¿Qué expresión permite calcular la cantidad de volantines que se pueden comprar con $ r?

A. rp

· 8 C. r8

B. pr

· 8 D. p8

17.¿Qué nombre recibe la gráfica que se relaciona con una proporcionalidad inversa?

A. Parábola. C. Recta.B. Hipérbola. D. Catenaria.

18.Si los lados de un rectángulo aumentan proporcionalmente en un factor k, ¿en qué factor aumenta el área del rectángulo?

A. k C. 2kB. k2 D. k

2

19.¿Cómo se mantiene constante el área de un triángulo rectángulo si la medida de uno de sus catetos disminuye un 50 %?

A. Aumentando el otro cateto en un 50 %.B. Aumentando el otro cateto en un 100 %.C. Aumentando el otro cateto en un 150 %.D. Aumentando el otro cateto en un 200 %.

20.Dos variables son inversamente proporcionales y su producto es 5. Si una variable toma el valor 8, la otra toma el valor:

A. 58

C. 40

B. 85

D. No se puede determinar.

21.Dos variables son directamente proporcionales y su cociente es 10. Si la primera toma el valor 4, la segunda toma el valor:

A. 104

C. 40

B. 410

D. No se puede determinar.

22.En el siguiente gráfico se muestra la variación de las medidas de los lados de un rectángulo, considerando que su área permanece constante.

a. Si el largo del rectángulo es 12 cm, ¿cuál es la medida de su ancho?

b. ¿Qué tipo de proporcionalidad se da entre estas variables?

c. Calcula la constante de proporcionalidad y explica su significado en la situación.



1. Se relaciona el perímetro de un triángulo equilátero con la medida de uno de sus lados, mediante la ecuación P = 3a, donde P es el perímetro del triángulo y a la medida del lado. ¿Cuánto mide el lado del triángulo si su perímetro es 54 cm?

A. 18 m C. 18 cmB. 162 m D. 162 cm

2. En la función y = f (x) = 4x + 1, la afirmación correcta es:

A. La variable dependiente es x.B. La variable independiente es y.C. y está en función de x.D. f es la variable independiente.

3. Si el dominio de la función g(x) = 2x – 1es {3, 5, 6, 9}, su recorrido es:

A. {1, 3, 5, 7} C. {5, 9, 11, 17}B. {3, 5, 7, 9} D. {7, 9, 11, 13}

4. Fabián es 5 años mayor que su hermano José. Si denotamos por f la edad de Fabián y por j la de José, la relación de las edades de los hermanos se puede escribir como:

A. 5f = j C. f = j + 5B. f = 5j D. j = f + 5

5. ¿Cuál de las siguientes relaciones, cuyo dominio es el conjunto de los números naturales, corresponde a una función?

A. A cada número del dominio se le asocian dos números mayores que él.

B. A cada número del dominio se le asocian todos los números menores que él.

C. A cada número del dominio se le asocian su antecesor y sucesor.

D. A cada número del dominio se le asocia su sucesor.

6. La tabla muestra una relación entre dos variables. ¿De qué tipo es?

A. Directamente proporcional.B. Inversamente proporcional.C. No proporcional.D. Decrecimiento exponencial.

7. Felipe mandó a imprimir un dibujo de 30 cm de ancho y 80 cm de largo. ¿Cuál de las siguientes medidas corresponde a una reducción proporcio-nal del dibujo?

A. 20 cm de ancho y 70 cm de largo.B. 60 cm de ancho y 160 cm de largo.C. 15 cm de ancho y 40 cm de largo.D. 6 cm de largo y 16 cm de ancho.

8. Mauricio come dos manzanas cada día. ¿Cuántas manzanas come en 9 días?

A. 16 manzanas. C. 18 manzanas.B. 17 manzanas. D. 19 manzanas.

9. Una bandeja de huevos dura 20 días si comen 3 personas diariamente la misma cantidad cada uno. ¿Cuántos días dura la bandeja si comen 6 personas la misma cantidad de huevos?

A. 3 días. C. 10 días.B. 6 días. D. 15 días.

10.Una fábrica produce juguetes en serie. Si cada 4 horas elabora 7 juguetes, ¿cuántos juguetes puede producir en 12 horas?

A. 28 juguetes.B. 21 juguetes.C. Aproximadamente 20 juguetes.D. 14 juguetes.

11.En la pregunta anterior, si llamamos h a las horas y j a los juguetes, la ecuación que modela la situación es:

A. h = 74

j C. 4h = 7j

B. 28 = j · h D. 4j = 7h

12.La expresión x · y = 3 indica que:

A. x e y no son proporcionales.B. x es directamente proporcional a y.C. y es directamente proporcional a x.D. x e y son inversamente proporcionales.

13.¿Qué tipo de relación muestra el gráfico?

A. Directamente proporcional.

B. Inversamente proporcional.

C. No proporcional.D. De crecimiento

exponencial.


r s

2 1

4 2

8 4

Uni

dad

5


14.Completa las siguientes igualdades considerando los valores de la tabla:

a. f (3) = b. f ( ) = 9c. f (21) = d. f ( ) = 6

15.A partir de la pregunta anterior, determina:

a. El dominio de la función f (s).b. El recorrido de la función f (s).

16.Considera la siguiente secuencia: 22, 24, 26, 28, 30, 32… La tabla muestra la relación entre un término de la secuencia y el lugar que ocupa.

Ubicación en la secuencia (n) 1 2 3 4 5

Término (t) 22 24 26

a. ¿Por qué esta relación es una función?b. Determina la variable independiente y la

variable dependiente.c. Completa la tabla.d. Encuentra los números de las posiciones 15,

25 y x, considerando que f (n) = 20 + 2n.

17.¿Cuál es el dominio de la función f (x) = 5x + 1, sabiendo que su recorrido es el conjunto {1, 11, 21, 31}?

18.Determina para cada caso si la afirmación es verdadera o falsa. Justifica las falsas.

a. El tiempo que me demoro en digitar un trabajo es inversamente proporcional a la cantidad de páginas que se requiere digitar.

b. El monto de la cuenta de luz es inver-samente proporcional a la cantidad de energía que se consume.

c. El tiempo que demora un bus en hacer su recorrido es inversamente proporcional a la cantidad de pasajeros que transporta.

d. La distancia que recorre un auto, a una velocidad constante, es directamente propor-cional al tiempo que se demora en recorrerla.

19.En la siguiente tabla, los valores de p y q son inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor de a + b?

p 10 5 bq 4 a 10

20.Determina en cada caso si las variables son inversamente proporcionales, directamente proporcionales o si no son proporcionales.

a. c.

b. d.

21.Escribe, en cada caso, la ecuación que representa la relación entre las variables. Da un ejemplo donde podrías ocupar esta función.

a. Si a varía inversamente con b, y a = 7 cuando b = 49.

b. Si z es directamente proporcional a x, y z = 14 cuando x = 16.

c. Si x varía inversamente con z, y x = 181 cuando z = 9.

22.Considera que x e y son magnitudes directamente proporcionales y responde.

a. Respecto de la tabla de valores siguiente, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

x 2 6 18

y 4 12 36

b. Ahora, respecto de la siguiente tabla de valores, ¿cuáles son los valores de r y q?

x 20 45 q

y r 7 2

s f (s)

3 4

8 6

0,2 9

21 1

x y2 4

4 16

6 36

8 64

x y2 3

4 5

6 7

8 9

x y2 18

4 16

6 14

8 12

x y2 12

4 6

6 4

8 3

Solucionario152

Unidad 1 Números

Páginas 8 y 91. a. Unmillóndoscientoscincuentayseismil

ochocientossetentaynueve.b. Tresmillonessetecientosnuevemilveintitrés.c. Docemillonesquinientossetentayochomil

novecientos.d. Cientotreintaycuatromillonesseiscientos

docemilcuatro.e. Seiscientoscuarentaycincomillones

ochocientossetentayseismildoscientoscuarentaycinco.

f. Dosmilquinientosdosmillonestresmilseiscientostres.

g. Veinticuatromilseiscientoscincuentaysietemillonescientoveintemiltreintaydos.

h. Cientosetentayseismilochocientosnoventamillonescientodieciséismilsetecientoscincuentaycuatro.

2. a. 7354209 e. 1029762935b. 9204006 f. 63208472087c. 880830596 g. 575312168450d. 3494000007

3. a. 1000 d. 10b. 1000000 e. 10000000c. 1 f. 10000000

4. C5. a. 1640603 d. 97084031

b. 3579000 e. 4503200c. 8759402 f. 7090304

6. D7. a. > e. <

b. < f. =c. > g. <d. > h. >

8. a.

b.2100000

2000000 2300000

2400000

2500000

c.

41200000 41500000

41250000

41650000

d.

9. a. 9764310b. 0134679c. 1034679d. No,elresultadoendesunnúmerode7cifras

mientrasqueeldecesde6.10.a. 9876543210

b. Nuevemilochocientossetentayseismillonesquinientoscuarentaytresmildoscientosdiez.

c. 500000d. El6.

11.a. 1023456789b. Milveintitrésmillonescuatrocientoscincuenta

yseismilsetecientosochentaynueve.c. 80d. El0.e. El1.

12.a. EnelColegioLosAlerces.b. Enelprimernúmerorepresenta60000yenel

segundo,600000.13.a.

b. Argentinatienelamayorsuperficieyaquealcompararlascifrasdelaunidaddemillóntieneelvalormásalto.

14.a. Delosplanetasmencionadoselmáslejanoal SolesJúpiteryelmáscercanoesMercurio.b. Mercurio,Venus,Tierra,Marte,Júpiter.

15.a. Porejemplo:1675761,3804083,5976795, 7104017y9856589.b. ElnúmeropensadoporJoaquínesel1268621.

Páginas 10 y 111. B2. B3. 1·144,2·72,3·48,4·36,6·24,8·18,9·16,12·124. a. 3,6,9,12,15,18,21

b. 8,16,24,32,40,48,56c. 9,18,27,36,45,54,63d. 12,24,36,48,60,72,84e. 14,28,42,56,70,84,98f. 17,34,51,68,85,102,119

5. a. 1,3,11y33b. 1,3,9y27c. 1,2,4,8,16y32d. 1,5,13y65e. 1,2,3,6,9,18,27y54f. 1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36y72

6. 1·64,2·32,4·16

Solucionario

14500000 15000000

14600000

15200000

15100000

1100000

28000001300000

0 5000000

1000000

8000000

7000000

Solucionario 153

Solu

cion

ario

7. 2·3·35,2·5·21,2·7·15,3·5·14,3·7·10,5·7·68.

2 5 9

49

75 X

864 X X

180 X X X

315 X X

3780 X X X

26876 X

157902 X

9. B10.23,29,31,3711.14=2+5+712.Porquetodoslosnúmerosparessondivisibles

por2,porlotanto,nopuedensernúmerosprimos.13.a. 2·2·3 e. 2·2·107

b. 5·17 f. 2·2·2·2·3·3·5c. 2·2·2·5·5 g. 3·3·109d. 2·2·2·73 h. 2·2·2·2·3·5·5

14.a. 3 e. 5b. 9 f. 6c. 8 g. 2d. 6 h. 3

15.a. 12 d. 72b. 24 e. 180c. 48 f. 120

16.B17.a. 4arreglosflorales.

b. 2rosas,3tulipanesy9claveles.18.a. Eláreamáximadecadabaldosaes2500cm2.

b. Sí,volveránasalirtresbusessimultáneamentealas23:00h.

c. 8frascos.19.43y8620.715y77721.Cuatronúmerosmenoresque100tienentresdivi-

sores,estosson:4,9,25y49.Todosestosnúmerossoncuadradosdenúmerosprimos.

Páginas 12 y 131. a. 3800000 e. 150000

b. 16050000 f. 144000000c. 4700000 g. 24000d. 6450000 h. 360000

2. a. 2167995 d. 1580043b. 27244794 e. 1103621c. 5543053 f. 2429207

3. a. 3495120 f. 3245b. 254100 g. 3600c. 2712899832 h. 1599d. 168014 i. 10316e. 19500

4. a. 137400 e. 4675384b. 532631 f. 1911294c. 865 g. 70305d. 12425

5. C6. A7. 53195648. 116588669. 414022210.a. 125755

b. 5351042c. 842

11.A12.1104413.A14.C15.C16.117.Lasempresasaportaron$5218355029.18.a. 1200cajas.

b. $144000019.a. Consumió5Ldecombustible.

b. Gastó$3510encombustible.20.a. Lauratienelarazónyaquealconsiderarla

prioridadenlasoperaciones,seobtieneel valordichoporella.b. Leyó31500palabras.c. Aproximandoalacentena,gastó$5500.d. 2horas.e. Compró11bebidas.f. $6980650g. Debepagar$8919800.

Páginas 14 y 151. a. Untercio.

b. Cincoséptimos.c. Ochodécimos.d. Trecedoceavos.e. Docecentésimos.f. Unenteroseisnovenos.g. Cincoenterostreintaycincocuarentaidosavos.h. Tresenterosdieciochodiecinueveavos.

2. C

Solucionario154

Solucionario

3. a. 38

e. 2919

b. 76

f. 3 14

c. 127

g. 7 1518

d. 1510

h. 2 131000

4. a. 38

b. Dosoctavos.

5. a. 317

c. 534

b. 259

d. 15119

6. a. Porejemplo:1018

,1527

y2036

.

b. Porejemplo:2842

,4263

y5684

.

c. Porejemplo:3664

,5496

y 72128

.

d. Porejemplo:9630

,14445

y19260

.

7. A8. a. 1

3 c. 4

3 e. 14

9

b. 34

d. 87

f. 115

9. C10.a. < e. < i. <

b. > f. > j. <c. > g. < k. <d. < h. = l. =

11.D12.D13.a.

0 38

158

78

b.

0 35

21 15

1 35

15

c.

0 23

153

16

56

d.

0 34

21 14

1 18

78

e.

0 13

134

56

712

14.a. Mónicacomprómásporquelafracción2 12

esmayorque2 14

.

b. ASofíalefaltamás.c. AMarianalefaltamenos.

d. Consumenmásnaranjaspueslafracción 52

es

mayorquelasotras.15.El10

29delosnúmerossonnúmerosprimos.

16.El 12

delosnúmerossondivisiblespor2.

17.El 4022011

delosnúmerossondivisiblespor5.Esta

fracciónesmenorque 15

.

Páginas 16 y 171. a. 4

5 e. 7

5

b. 17

f. 1

c. 1713

g. 14

d. 1 h. 173

2. a. 4135

d. 13136

b. 83

e. 27584

c. 6712

f. 554

3. a. 139

d. 0

b. 2312

e. 74

c. 4115

f. 2936

4. a. 76

e. 38

b. 6128

f. 712

c. 2 g. 1915

d. 1320

h. 44756

5. B6. D7. C8. D9. C10.D11.a. Ellunes.

b. Entotaltrabaja23 56

h.

Solucionario 155

Solu

cion

ario

c. Verónicatrabaja1712

hmáselmiércolesqueeljueves.

12.a. Hay15 112

minutosgrabados.

b. No,porquesedemoraentotal2 112

h,quees

mayorque2h.

c. Entotalsedemoró11112

h.

d. Recorrió2 2972

kmmásellunesqueelmartes.

e. Lamasadelabolsaylasfrutases7 712

kg.

f. Seusa 136

deltiempoencomerciales.

Páginas 18 y 191. a. 12 e. 3

10

b. 3 f. 283

c. 35 g. 192

d. 19

2. C3. 2

74. a. 24

7 h. 4

3

b. 1 i. 34

c. 5512

j. 94

d. 114

k. 15

e. 14

l. 112

f. 52

m. 1

g. 1 n. 1007

5. A6. a. 4 d. 3

5

b. 15

e. 16

c. 3233

f. 1 12

7. D8. a. 5

18 d. 13

3

b. 113

e. 57

c. 1340

f. 188117

9. A10.B11.a. Haleído160páginas.

b. Lefaltan200páginas.

12.a. 38

b. 58

c. Lequedan12galletas.13.a. Debeponer21Lparallenarelestanque.

b. Deberápagar$15204.14.a. 50bolsas.

b. Treskilogramosdepancuestan$2295.c. Puedecortartrestrozoscomomáximo.d. Lequedan$26875paragastar.

Páginas 20 y 21

1. B2. C3. A4. C5. C6. C7. C

8. B9. B10.B11.A12.C13.A14.A

15.B16.D17.C18.A19.D20.A21.B

22.A23.C24.A25.D26.B

27.a. Debepagar$5556000.b. Debepagar$286000deinterés.

28.ElsueldodeMariofue$214000.

Páginas 22 y 231. a Dosdécimos.

b. Seiscentésimos.c. Veinticuatrocentésimos.d. Unenteroseisdécimos.e. Unenterotreintacincomilésimos.f. Treceenterossietedécimos.g. Cientosesentayochoenterosnuevedécimos.h. Quinceenterostrescientoscincuentaycuatro

milésimos.2. a. 0,6 e. 0,019

b. 0,08 f. 3,14c. 2,005 g. 5,324d. 13,07

3. C4. D5. C6. B7. a. < f. <

b. < g. <c. < h. >d. > i. <e. =

8. C

Solucionario156

Solucionario

9. a.

0 0,1 0,3 0,4 0,5 0,6 0,70,2

b.

c.

d.

5,5 6 8,5 10

10.a. 0,25<1,52<2,205b. 1,578<5,187<8,175c. 0,001<0,01<0,1d. 1,499<1,94<1,949<1,994e. 0,2509<0,251<0,25115<0,2512f. 0,169<0,196<0,691<0,916<0,961

11.a. 2,34 d. 2,345b. 2,35 e. 2,3458c. 2,3

12.a. 0,4 d. 3258,0b. 12,587 e. 23748,099c. 132,01

13.a. ElmásaltoesIván,ylamásbaja,Luciana.b. Iván,Marcelo,AdrianayLuciana.c. Luciana.d. Marcelo.e. Pabloesmásbajo,yaquelapartedecimalde

Pabloes0,45queesmenorque0,49.14.Lilianaobtuvolanotamásalta.15.a. LamayortemperaturaseregistróenOsornoy

lamásbajafueenPuntaArenas.b. PuntaArenas,Chillán,Curicó,Osorno.c.

4,5

4,8

6,7

6,4 8,4

8,5

Páginas 24 y 251. a. 87 e. 3452

b. 47,4 f. 0,2213c. 123,5 g. 180d. 3687400 h. 451,45

2. a. 20,341 f. 264,692b. 4,1 g. 38,252c. 3,44 h. 13,617d. 0,001 i. 18,14865e. 16,505

3. B4. a. 3,84 g. 81

b. 0,036 h. 9,275c. 1,2 i. 0,068d. 20,9 j. 2,76e. 44,0856 k. 47,277f. 0,02

5. a. 5,5 c. 0,6 e. 1,52b. 810 d. 0,6 f. 66,55

6. D7. B8. C9. B10.a 62,4minutos. d. 18preguntas.

b. 52,2minutos. e. 6minutos.c. 16preguntas.

11.a. Joséesmásalto. b. 0,05m12.a. 125cabellos. b. 16m13.a. Quedaron3,25L.

b. Elpromedioserá6,1.c. Elgrosordecadahojaesde0,016cm.d. 4veces.e. Necesita21bolsas.f. Elperímetroes21,52cmyeláreaes25,41cm2.g. Aproximadamente288,2pulgadasdelargopor

96,1pulgadasdeancho.h. Sisesacaun6,2obtienecomopromedioun

6,3,perosilasnotasseredondeanaladécimatambiénpodríasacarseun6,0;6,1;6,3o6,4.

i. Tomará62mgdemedicamento.j. Recorre20,5km.k. 1,34375kgl. 6,54m

Páginas 26 y 271. B2. A3. a. 0,2 e. 2,16

b. 0,375 f. 3,857142c. 0,7 g. 1,583d. 0,48 h. 3,16

4. a. 15

f. 13699

b. 920

g. 433

c. 1910

h. 217495

d. 13

i. 76

e. 211

j. 11719495

2,3 2,7 3 3,2 3,6

1 1,02 1,03 1,06 1,1

Solucionario 157

Solu

cion

ario

5.

x+y x–y x· y

0,9 0,5 0,14

1,585 0,835 0,45375

1,26 0,06 0,4

6. A7. a. 1,083 d. 1,39

b. 0,58 e. 6,1c. 2,67 f. 5,3

8. a. Mariela.b. Carolina.c. Mariela,Andrés,Jorge,Carolina.

d. 24425

e. 9,93f. Jorgellegó0,01minutosmástardequeAndrés.g. Marielallegó0,03minutosantesqueAndrés.h. Hubo0,213minutosdediferencia.

9. a. Entre0y1. c. Entre0y1.b. Entre1y2. d. Sí.

10.a.

Cociente

0,025

0,25

25

250

b. 2500000c. 0,000000025d.

Producto

863

86,3

0,863

0,0863

e. 8630000f. 0,0000000863

11.a. 110000

c. 1000

b. 1000 d. 11000

Páginas 28 y 29

1. D

2. 1114

3. a. 1:6b. Porcada6frutasenelcanastohay1manzana.c. 1:2d. Porcada2naranjasenelcanastohay

1plátano.e. Larazónentrelasmanzanasynaranjas.

4. a. 43:239b. 62:45c. 17:41

5. a. 10:9 d. 9:1b. 5:2 e. 1:5c. 4:5

6. a. 25%b. 37,5%c. Aproximadamente71,4%.d. Aproximadamente66,7%.

7. a. 2% d. 28%b. 90% e. 40%c. 35,6% f. 200%

8. a. 0,75 d. 1,3b. 0,13 e. 0,02c. 0,05 f. 0,053

9. a. 1120

d. 17100

b. 920

e. 87100

c. 325

f. 1110

10.C11.C12.A13.B14.0,2815.a. 40%

b. $240000c. 0,6

16. 750

17.a. 120

b. 0,95

18.a. 9311000

b. 0,069

19.a. 10%b. 3%

Solucionario158

Solucionario

Páginas 30 y 311. a. 15

b. 3,6c. 200d. Aproximadamente7265.

2. A3. A4. C5. a. Aproximadamente14,9%.

b. Aproximadamente3,06%.c. 0,5%d. 2,5%

6. $261807. Aproximadamente21,8%.8. a. $247500

b. $52525009. Aproximadamente$882.10.Aproximadamente$97701.11.a. 854 e. 31232

b. 42,7 f. 4,88c. 329,4 g. 1518,9d. 1830 h. 165662,58

12.a. 41,4 f. 414000b. 910,8 g. 31904,68c. 235,52 h. 482673,4d. 623,76 i. 784226,4e. 3174 j. 1147761,64

13.A14.$312500015.33,3%16.a. 18,18%

b. 211

c. 0,1817.No,aumenta9veces,esdecir,un900%.18.a. $26250

b. $24938c. Aproximadamentedisminuyóun14,3%.

19.a. 7dulces.b. 86%c. 14%

20.Tenía74490habitantes.21.Aproximadamente21,8%.22.a. 10%

b. Creció6m;aumentóun50%.23.Aproximadamenteaumentóun36,56%.24.19,7%25.Aumentaun2,9%.26.3027. c

a

Páginas 32 y 331. a. No,losproductoscruzadosnosoniguales.

b. No,losproductoscruzadosnosoniguales.c. Sí,losproductoscruzadossoniguales.d. Sí,losproductoscruzadossoniguales.

2. x=300

3. a. x=100 c. x=9b. x=21 d. x=2

4. C

5. x= 32

6. D7. 36y458. $124800y$1872009. Pamelaaportó$91000yCarlos,$39000.10.378cm2

11.16,40y2412.$13600,$27200y$3400013.C14.a. 20º,90º,70º

b. Triángulorectángulo.c. Triánguloescaleno.

15.a. 15cm,20cmy25cmb. 150cm2

16.a. 0,5cmb. 52km

17.a. 32cmb. Aproximadamente73%.

c. 22516

18.Aproximadamente19,9L.19.30m20.20ingenieros.21.B22.180personas.23.Aproximadamente20,55m.24.100kg25.684costales.26.Senecesitan28operariasmás.27.4horas.28.$400029.a. 5h

b. 10llaves.

Páginas 34 y 35

1. 40,23,4,2,1,–12,–68,–98,–1012.

–4 50–1–3–9 –8 –7 –6 –5 –2 1 2 43 6

3. 20

Solucionario 159

Solu

cion

ario

4. –10205. No,todonúmeronegativoesmenorquecero.6. Verdadero,estáalaizquierdadetodosellosenla

rectanumérica.7. A8. A9. C10.A11.D12.C13.a. Enelprimercasoes2300,yenelsegundo–400.

b.

2000–500 0 500 15001000 2500

–400 2300

c. 2700m14.a. Agustín.

b. Mario.c.

–20 –12

–19

0

2 12

15.a. –3ºCb. 4ºCc. 6ºC

16.a. $21000b. $7000

17.a. 70mbajoelniveldelmar.b. 7minutos.c.

18.a. Eljueves16sepronosticólatemperaturamás bajayellunes13,lamásalta.b. Lunesyjueves.c. 4,3,2,0,–1,–5d.

3 4–5 –1 0 2

19.a.

Hora Temperatura (ºC)

7:45 –4

8:30 –1

9:15 2

10:00 5

10:45 8

b. Alas12:15hlatemperaturaera14ºC.c. Latemperaturamáximaseregistróalas15:15h.d. Laamplitudtérmicafuede33ºC.

Páginas 36 y 371. 142. –33.

x y x –y (x –y)· (–3) x : 2 + y· – 3

–2 –9 7 –21 26

12 –8 20 –60 30

–6 –4 –2 6 9

–14 –3 –11 33 2

–8 –2 –6 18 2

4. El–2.5. C6. D7. A8. D9.

Dividendo Divisor Cociente Resto

–20 12 –2 4

36 –7 –5 1

–24 –5 5 1

–102 20 –6 18

10.a. Alfinaldelaprimerasemanacadaacción costó$1230.b. Luegodedossemanas,elvalordecadaacción

fuede$810.11.a. Cadafotografíacuadradadebetener6cm

delado.b. Eldiariomuralsecubrecompletamentecon

28fotografías.12.Elpromediodetemperaturasfuede–2ºC.13.

9 5 –23

–35 –3 29

17 –11 –15

a. Elnúmeromayoresel29.b. Elnúmeromenoresel–35.c. Elmayornúmeronegativoesel–2.d. Lasumadelosnúmerosdelcuadradomágico

delaizquierdaes–27.e. Elproductodelosnúmerosdelcuadrado

mágicodeladerechaes0.14.a. Obtuvo100puntos.

b. Carlos.c. Tuvo15respuestasincorrectas.d. Tuvo7respuestascorrectas.

2 4 –6

–8 0 8

6 –4 –2

–75 –70 –60–65 –55 –50 –45 –40

Solucionario160

Solucionario

15.Lasumaes0,sepuederesolversumandocadanúmeroconsuinversoaditivohastael2012.

16.Elproductodelosnúmeroses0,puesel0seencuentraentre–2012y2012ytodonúmeromultiplicadopor0,dacomoresultado0.

17.Elresultadoesmayorque0.Unaestrategiaparare-solverelproblemaconsisteenagruparlosfactoresengruposde4númerosconsecutivos,partiendoporel1.Elproductodeestos4valoresespositivopuesencadagrupohay2númerosnegativosy2positivos.Además,secumplequeelúltimonúmerodecadagrupoesunmúltiplode4.Deestemodopodemosafirmarque2012eselúltimonúmerodeungrupo,pues2012esmúltiplode4.Luego,almultiplicarlosnúmerosdecadagrupoquedanúnicamentenúmerospositivos.Porloqueelproductofinalespositivo.

Páginas 38 y 39

1. C2. C3. B4. A5. B6. A7. D8. D9. C

10.B11.C12.A13.D14.B15.B16.D17.D18.A

19.B20.C21.B22.B23.B24.B25.A26.B

27.a. Tuvo9respuestasincorrectas.b. Obtuvoentotal–9puntosdebidoa

respuestasincorrectas.c. Omitió8preguntas.

28.Franciscorespondióincorrectamentepuesal

disminuirlamedidadellado,lohizoenun40%.

Paradisminuirenun60%debeconsiderarquela

longitudfinaldelladoestádadapor:8– 60100

·8,

queesiguala3,2.Luego,lamedidadelladodismi-

nuidoes3,2cmyeláreadelrectánguloes:

3,2cm·8cm=25,6cm2.

Páginas 40 y 41

1. C2. A3. A4. D5. B6. C

7. D8. A9. B10.C11.D12.D

13.C14.A15.B16.B17.D18.A

19.a. Porejemplo:8610972,9721068y9061872.b. Porejemplo:1207986,1079268,1276809.c. Enelprimercasosería:8610972<9061872

<9721068. Enelsegundocasosería:1079268<1207986

<1276809.d. Porejemplo:

e. 9876210f. El8.g. Unmillónveintiséismilsetecientosochenta

ynueve.h. Representael6000.

20.a. 2·3·3·3·3b. 2·2·2·3·3·5c. 2·2·2·2·2·2·2·2·2·5d. 2·2·3·3·3·5·5·7

21.a. Diegotiene40bolitas.b. Juantiene30bolitas.c. Luistiene70bolitasmásqueJuan.d. Entrelostressuman170bolitas.

22.a. Necesita192,8mdealambre.b. Lesobró263,9mdealambre.

23.Elperímetrodelrectánguloes12,22cm.24.a. Larazónentremujeresyhombreses3:1.

b. Hay12mujeresmásquehombresenelcurso.c. Elnúmerodeestudiantesaumentóenun20%

respectodelañoanterior.25.a. Elpreciodellibroenofertaes$7224.

b. Recibió$2776devuelto.c. Sugananciaesde$3312.

26.Edgartendrá11años.27.a. 5

2 b. 1 c. 12 d. 22

28.Ladiferenciadegolesfuede–18.29.a. Luegode1h,latemperaturaera–9ºC.

b. Luegode120minutos,latemperaturaera0ºC.c. Luegode3h,lavariaciónfuede27ºC.

Unidad 2 Números y álgebra

Páginas 44 y 451. a. 8·8=64

b. 6·6·6=216c. 4·4·4·4·4=1024d. 11·11·11·11=14641e. 20·20·20=8000f. 100·100·100·100·100·100=1000000000000g. 2·2·2·2·2=32

0 1000000 9000000

10000000

Solucionario 161

Solu

cion

ario

h. 2·2·2·2·2·2·2=128i. 3·3·3·3·3=243j. 4·4·4·4·4·4·4=16384k. 6·6·6·6·6=7776l. 8·8·8·8=4096m. 50·50·50=125000n. 10·10·10·10=10000

2. a. 23=8 e. 35=243b. 4·5=20 f. 4·10=40c. 104=10000 g. 54=625d. 2·3=6 h. 4·2=8

3. C4. B5. B6. D7. 30+31+32+33+34+35+36+37+38+398. a. 27

b. 33

c.

C=Carne,P=Pollo,V=Verduras,A=Adultos,J=Juveniles,C=Cachorros

Marca1

A

J

CA

J

CA

J

C

V

C

P

Marca2

A

J

CA

J

CA

J

C

V

C

P

Marca3

A

J

CA

J

CA

J

C

V

C

P

9. a. De24maneras,esdecir,de16maneras.b.

Pa=Pantalónazul,Pn=Pantalónnegro,Zp=Zapatillas,Z=Zapatos,Pb=Polerablanca,Pg=Poleragris,Cb=Chalecoconbotones,Cs=Chalecosinbotones.

Cs

Cb

Cs

Cb

Cs

Cb

Cs

Cb

Pa

Pb

Pg

Pb

Pg

Zp

Z

Cs

Cb

Cs

Cb

Cs

Cb

Cs

Cb

Pn

Pb

Pg

Pb

Pg

Zp

Z

10.42=16m2

11.93=72912.1728casas.13.256almuerzos.14.$7812515.Transcurren10semanas.16.a. 128bacterias. c. 2n

b. 1024bacterias.17.2048,alas14:00hy1073741824alas23:30h.

Páginas 46 y 471. a. 247·103 d. 48·109

b. 69·105 e. 742·1010

c. 168·105 f. 364·1012

2. B3. a. 3·102+5·101+4·100

b. 1·103+5·102+6·101

c. 7·104+8·103+9·101+9·100

d. 9·104+9·103+4·102+1·101

e. 1·105+1·104+1·103+1·102+1·101+1·100

f. 2·105+3·104+6·103+8·102+7·101

g. 5·106+6·105+8·103+1·102+2·101+2·100

h. 1·106+2·105+5·102

i. 1·107+7·106+6·105+3·104+4·101+3·100

j. 2·108+2·107+3·106+5·105+5·103+6·102

k. 8·109+4·102+5·101

l. 8·109+3·108+6·107+4·103+1·100

4. D

Solucionario162

Solucionario

5. a. 3502 h. 70500060100b. 4300060 i. 13979c. 50505 j. 332101d. 9800010 k. 80560109e. 6000000102 l. 85300310f. 7036502 m. 94001706g. 3020500108 n. 109900909

6. a. 3·106+2·105

b. 5·105+4·104+5·103+9·100

c. 1·107+5·106+3·105+4·104+3·103+2·102+4·100

d. 9·108

e. 4·104+6·103+5·102+8·101+7·100

f. 8·107

7. a. 6·104+5·103+1·102

b. 5·105+6·104

c. 4·105+4·104

d. 5·105+6·102

e. 5·104+5·103+1·102

f. 7·104+5·103+6·102

8. a. 1·107+7·106

b. 6·109+8·108

9. 4·1013

10.A11.D12.D13.a. > c. > e. <

b. > d. < f. >14.a. LadePerú.

b. 1100000,1300000.15.Aproximadamente3·107+7·106+9·105+3·104

+6·103+6·102+9·101+5·100km2.16.6·1024

17.24·1018

18.46·1022

19.C20.2·104y15·109,respectivamente.

Páginas 48 y 49

1. a. 10000000000 k. 0,5b. 85000000 l. 0,01c. 100000 m. 7,84d. 29400 n. 23,66e. 3540000 ñ. 35,498456f. 456200000000 o. 0,000009g. 30 p. 0,000000005h. 25000000 q. 0,03587i. 12600000 r. 0,4561j. 324500 s. 0,00000000059

2. a. > c. > e. >b. > d. = f. <

3. a. 20000>2500>2000b. 1000000>10000>100c. 2500>260>250d. 536000000>536000>526000e. 3000000>350000>300000f. 99900>9990>999

4. a. 0,65 d. 0,62b. 85000 e. 7000000c. 12000000 f. 18000

5. B6. A7. C8. D9. A10.C11.B12.a. 10000

b. 100c. 100000delprimertipodeárboly1000000

delsegundo.Entotalhay1100000hojas.13.a. $53750000

b. 2·107+5·106+8·105+7·104+5·103

14.a. 8750000kgb. 262500000kgc. 3202500000kg,yaque2012esunañobisiesto.

15.a. 2·103+4·102cm2=2400cm2

b. 8·103cm3=8000cm3

16.a. (2·105+2·104)cm2=220000cm2

b. 5·106cm3=5000000cm3

17.a. 1·1016=10000000000000000hormigas.b. 75:102=0,75mm

18.a. Lostrozosdecordónrojomiden65m,losdecor- dónverde8,2m,ylosdecordónamarillo0,94m.b. 0,0094mc. Setrasladalacomaalaizquierdalacantidad

devecesqueindicaelexponentedelapotenciade10.

Páginas 50 y 51

1. a. 0,0032 m. 33000b. 0,064 n. 1c. 0,0000092 ñ. 0,504d. 0,000605 o. 0,951e. 13200000 p. 0,01354f. 0,00144 q. 0,856324g. 125 r. 6400000h. 0,0016 s. 2401000i. 2160000000 t. 640000000j. 22500000 u. 10240000k. 490000000000 v. 21600000000l. 64000000000 w. 10000000

Solucionario 163

Solu

cion

ario

2. a. 25·10–1 k. 1234·10–1

b. 4123·10–3 l. 32425·10–2

c. 558·10–2 m. 4557·10–1

d. 6523·10–2 n. 86045·10–2

e. 5·10–1 ñ. 1000456·10–3

f. 8·10–1 o. 1235147·10–3

g. 1·10–2 p. 26523254·10–4

h. 2·10–3 q. 53543654·10–4

i. 1·10–6 r. 23654628·10–3

j. 9·10–5 s. 1238956584·10–4

3.

a b a·b a:b

64 10–3 0,064 64000

9 10–6 0,000009 9000000

162 10–2 2,56 25600

303 10–7 0,0027 270000000000

602 10–4 0,36 36000000

204 10–5 1,6 16000000000

4. a. 25·104 e. 4·101

b. 27·10–3 f. 125·10–3

c. 144·10–5 g. 3·100

d. 4·102

5. a. 6·102cm2 c. 12·101cmb. 6·10–2m2 d. 12·10–1m

6. 2814·105cm7. D8. A9. C10.D11.a. Paraconvertirkilómetrosametrossemultiplica

eltotaldekilómetrospor103.b. Paraconvertircentímetrosakilómetrosse

multiplicaeltotaldecentímetrospor10–5.12.a. 3675·10–2m2

b. 104,elresultadoquedaríacomo3675·102cm2.13.40horas.

Páginas 52 y 531. a. 35=243 e. 28=256

b. 48=65536 f. 47=16384c. 67=279936 g. 33=27d. 131=13

2.

a b a2 b2 a2·b2 (a·b)2

3 2 9 4 36 36

5 9 25 81 2025 2025

3 11 9 121 1089 1089

2 5 4 25 100 100

3. a. 32 c. 243 e. 46656 g. 65536b. 5 d. 169 f. 1 h. 1000

4. a. 55 c. 77 e. 38

b. 44 d. 85

5. a. < c. < e. <b. < d. = f. >

6. a. 64 c. 15625 e. 117649b. 81 d. 2985984

7. A8. a. 40000 c. 7776

b. 30375 d. 2593089. a. 4900 c. 7776

b. 27000 d. 1382410.a. 36cm2

b. 6·36cm2

c. 39cm3

11.A12.A13.35veces.14.De26maneras,esdecir,de64maneras.15.De34maneras,esdecir,de81maneras.16.214cm2

17.35cm18.26combinaciones,esdecir,64combinaciones.19.229=536870912cm3

20.59cm3

21.a. 4096cm3=46cm3

b. Aumenta43veces.c. Disminuye43veces..

22.323.a. 21es2,22es4,23es8,24es16,25es32,26es64,

27es128y28es256.b. Serepitelasecuencia2,4,8,6paralosdígitos

delasunidades.c. Eldígitodelasunidadesde217es2,porque17

es4·4+1,asíque217tieneelmismodígitodelasunidadesque21.

d. Launidadde219es8.Launidadde221es2.Launidadde230es4.Launidadde232es6.

Solucionario164

Solucionario

Páginas 54 y 55

1. C2. A3. B4. C5. B6. B7. C

8. A9. A10.B11.C12.D13.B14.C

15.A16.D17.A18.C19.D20.D21.C

22.D23.C24.C25.D

26.a. 64=1296lápices.b. 67=279936lápices.c. 68=1679616lápices.

Páginas 56 y 57

1. a. 32243

g. 2,48832

b. 2401625

h. 576,4801

c. 3259049

i. 777616807

d. 371293243

j. 164206,4902

e. 1470,08443 k. 1258

f. 457679,4457

2.

a b a · b a : b

0,125 0,5 0,54 0,52

0,0625 0,25 0,253 0,251

0,04 0,2 0,23 0,21

(0,5)5 (0,25)2 0,59 0,51

3. a. 1625

b. 24316807

c. 16625

4. a. 14

e. 0,027 i. 0,064

b. 827

f. 0,49 j. 132

c. 0,00001 g. 0,262144d. 0,25 h. 0,64

5. A6. 53·10–12m7. a. = c. = e. <

b. > d. > f. >8. 2días.

9. ( 53 )9

cm3

10.a. 1,26m3

b. 2·1,24+2·1,25+2·1,23m2c. Aumenta64veces.

d. Aumenta125veces.e. Aumenta15,625veces.

11.C12.D13.C14.a. ( 1

2 )4·20000 c. $1250

b. (0,5)4·2000015.a. (0,6)3·125=27mujeres.

b. 20hombres.

16.a. ( 35 )

6

b. 0,07776c. 0,6,0,36,0,216,0,1296,0,07776d. Enelsextotérmino.e. Losnúmerosseguirándisminuyendo.

f. Porejemplo:( 23 )

1,( 2

3 )2,( 2

3 )3,( 2

3 )4,( 2

3 )5...

g. Quelabasedelaspotenciasfueramenorque1.

Páginas 58 y 59

1. a. ( 25 )4

= 16625

e. 0,34=0,0081

b. 55

72·63= 3125

10584 f. 28=256

c. ( 43 )8

=655366561

g. 47=16384

d. 0,56=0,015625 h. 33=272.

a b a2 b2 a2 ·b2 (a·b)2

0,3 2,4 0,09 5,76 0,5184 0,5184

7,3 5,2 53,29 27,04 1440,9616 1440,9616

24

46

14

49

19

19

52

34

254

916

22564

22564

3. a. 0,00001 d. 174,24 g. 72915625

b. 5,3 e. 1 h. 655365764801

c. 2431024

f. 16384

4. a. ( 25 )6

= 6415625

c. ( 45 )9

= 2621441953125

b. ( 34 )10

= 590491048576

5. a. < c. < e. <b. < d. = f. =

6. a. 51240353607

c. 7294096

e. 64117649

b. 0,107 d. 0,00032 f. 4096117649

Solucionario 165

Solu

cion

ario

7. a. 1680732

c. 27343

e. 0,4

b. 1 d. 425

f. 0,68. B9. B10.a. ( 1

3 )2cm b. ( 1

3 )4cm c. ( 1

3 )6cm

11.Quedan729pulgones.12.a. Tiene$33000.

b. Tiene$36300.c. Tiene$48315.

13.0,99c0,387cm3

14.B15.1,29cm3

Páginas 60 y 611. a. 1679616 d. –2097152 f. 1024

b. 3375 e. –371293 g. –81c. 4096

2.

a b a2 b2 a2 · b2 (a·b)2

2 –1 4 1 4 4

4 –3 16 9 144 144

–6 7 36 49 1764 1764

9 –1 81 1 81 81

3. a. 16 c. 2197 e. 25b. 125 d. –27 f. –2197

4. a. > c. = e. <b. > d. = f. <

5. a. 64 c. 15625 e. 117649b. 81 d. 1

6. $83886067. 39cm3

8. a. 55=3125 e. 28=256b. 26=64 f. –214=–16384c. (–4)7=–16384 g. 34=81d. 35=243

9. a. 512 d. 1b. –243 e. –5c. 169 f. 169

10.a. < c. < e. <b. < d. = f. >

11.a. 16 d. 1b. 9 e. –1977326743c. 9765625

12.a. 512 c. 61 e. (–4)4

b. 26 d. (–5)20 f. (–7)5

13.29cm14.$19683015.B

16.D17.C18.C

Páginas 62 y 631. a. 1 e. 7 i. 20

b. 2 f. 9 j. 30c. 3 g. 11 k. 1000d. 5 h. 12 l. 100

2. a. 50 e. 65 i. 130b. 80 f. 39 j. 30c. 9 g. 16d. 12 h. 45

3. D4. a. 2,24 c. 6,48 e. 2,65

b. 3,16 d. 3,46 f. 5,485. Aproximadamente8,94cm.6. 5mcadauno.7. 2,82cm8. a. 16cm c. 192cm2

b. 56cm9. Sí,enamboscasoselresultadoesiguala7,071,

aproximadamente.10.Sí,como4<6<9,setieneque:√4<√6<√9,

luego2<√6<3.11.a. 5,464 c. 5,38

b. 19,21 d. 4,2912.a. F d. V f. V

b. F e. V g. Vc. F

13.√a · b =√a ·√b14.C15.a. Área6m2

b. Necesita24cerámicas.c. Cadacerámicatiene50cmdelado.d. Miden25cm.

Páginas 64 y 65

1. B2. C3. D4. A5. B

6. D7. B8. D9. C10.B

11.A12.C13.C14.A15.B

16.D17.A18.D19.D20.C

21.B22.C23.D

24.a. Alcanzó(0,9)3m.b. 7saltos.Enelséptimosaltolaalturadelrebote

es0,97=0,478m.c. Alcanza65,61cm,esdecir656,1mm.d. 6,551·101cm 6,561·102mm

Solucionario166

Solucionario

Páginas 66 y 671. a.

a b a · b b · a3 5 15 15

2 10 20 20

b · a,conmutativadelamultiplicación.b.

a b a + b b + a3 5 8 8

3 10 13 13

b + a,conmutativadelaadición.c.

a b c a + (b + c) (a +b) + c3 5 7 15 15

1 10 2 13 13

(a +b) + c,asociativadelaadición.

d.

a b c a · (b · c) (a ·b) · c3 5 7 105 105

6 10 2 120 120

(a ·b) · c,asociativadelamultiplicación.e.

a b c a · (b+ c) a ·b + a · c3 5 7 36 36

4 10 2 48 48

a · (b+ c),distributivadelamultiplicaciónrespectodelaadición.

2. D3. a.

a b a + b b + a3 1 4 4

0 10 10 10

1 5 6 6

8 0 8 8

Porquealsumar0aunnúmeroseobtieneelmismonúmero.b.

a b a · b b · a3 1 3 3

1 10 10 10

0 2 0 0

8 0 0 0

Porquealmultiplicarunnúmeropor1seobtieneelmismonúmero.

c. Porquealmultiplicarunnúmeropor0seobtiene0.

4. A5. B6. C7. a. 104,propiedadconmutativadelaadición.

b. 135,propiedadconmutativadelamultiplicación.c. 122,propiedadasociativadelaadición.d. 270,propiedadasociativadelamultiplicación.e. 225,propiedaddistributivadelamultiplicación

respectodelaadición.f. 1350,propiedaddistributivadelamultiplicación

respectodelaadición.8. a. 4·(60+3)=4·60+4·3=240+12=252

b. (50+8)·6=50·6+8·6=300+48=348c. (10+8)·7=10·7+8·7=70+56=126d. (100+20)·5=100·5+20·5=500+100=600e. (70+1)·8=70·8+1·8=560+8=568

9. a. 4 g. 15 m. 23b. 27 h. 120 n. –3c. 11 i. 135 ñ. 46d. 8 j. 36 o. 21e. 17 k. 1 p. –26f. 48 l. 20 q –162

10.a. 0 g. 2 m. 2b. 19 h. –16 n. 18c. 4 i. –5 ñ. –3d. –3 j. 4 o. –2e. 2 k. –3 p. –8f. 16 l. –20 q. –15

11.a. 32

g. 56

m. 13

b. 775

h. 43

n. 7

c. 233

i. 58

ñ. 11318

d. 136

j. 125

o. 716

e. 3115

k. 6 p. 20615

f. 85

l. 4 q. 316

12.a. 2,3 g. 0,26 m. 8,6b. 17,2 h. 0,88 n. 11,4c. 6,2 i. 10,985 ñ. 9,14d. 1,5 j. 1,21 o. 2,1e. 2,4 k. 2,308 p. 3,6f. 8,8 l. 8,462 q. 1,328

Solucionario 167

Solu

cion

ario

13.a. 1,75 g. 1,725 m. 14,9b. 17 h. 9,2 n. 5,1c. 8,3 i. 2,109375 ñ. 10,54d. 3,05 j. 1 o. 14,25e. 4,3 k. 4 p. 8,6f. 8 l. 13,3 q. 4,2

14.a. 9 c. 4 e. 16b. 25 d. 4 f. 9

15.Seobtienenlosmismosresultadosqueenelejercicio14.

16.(a+b)2=a2+2ab+b2

Páginas 68 y 691. a. 3 c. 4,18 e. 16

b. 14 d. 0 f. 402. a. 6d e. –cd i. 24x

b. 5b f. 2xyz j. yc. x g. 11a k. 24fd. 4ab h. 4b l. 0

3. a. s + s + s + s + s – s b. d + d – d – d – d c. x + x + x + x + y + yd. h + h + h – j – j – j – je. a + a + a – c – c + a

4. a. –x–y g. am+anb. –x+y h. 3a

4+15

4c. –2x – 2y i. 3a2–2ab+acd. –2x+2y j. –12t+24se. 6–2x–2y k. –16x–12yf. 6–2x+2y l. –10s+15k

5. a. 2x,5y,5x,y,5 d. a3,a2,3a,3b. 4xy,7yx,6xy e. a ,2a2,2a ,a 4

c. 3ab,2a2,4ba,3b f. tr,t2r,tr2,rt6. a. Sonequivalentes. g. Sonequivalentes.

b. Sonequivalentes. h. Nosonequivalentes.c. Nosonequivalentes. i. Sonequivalentes.d. Sonequivalentes. j. Nosonequivalentes.e. Nosonequivalentes. k. Nosonequivalentes.f. Sonequivalentes. l. Sonequivalentes.

7. a. Nosepuede. d. Nosepuede.b. Sepuede. e. Sepuede.c. Sepuede.

8. a. Multiplicarloporb2.b. Multiplicarloporx 5y2.c. Multiplicarloporc.

d. Multiplicarlopor ts

.

e. Noesnecesariohacerleningúncambio.

9. a. 6a+4b j. 2xy+3x+yb. 6d+18b k. 6ab 2+3ab–2a2bc. 10h–3t –8 l. c3b+2c3+b 3cd. 4b+2b 2 m. 2b–4a

5e. 27a2+9a n. –2,2h+6h2

f. h5+20h ñ. 9,5ab 2–3a2bg. 7a+5b o. 6df–2,7

h. 2s+19t p. –2x5

–2y+2

i. 7ab +2 q. 2k3

–3h–1

10.a. Porejemplo:12a. c. Porejemplo:2(a + b – c).b. Porejemplo:4(z – 2). d. Porejemplo:s(t + r + v).

11.C12.D13.A14.D

Páginas 70 y 711. a. a–3·5 e. 2x i. 3x

5

b. 2(a+8) f. 3x j. 2x+804

c. x+17 g. 2x+10 k. (3x+15)–2xd. x– x

4 h. 3x–4

2. B3. a. 4x+480+200=2000

b. Elpreciodeunhelado.4. a. x+9,x–6.

b. x+9+x–6+x=515. B6. a. 2x+ x

3=10

b. x+6=7yc. 4x– x–3

5= x+4

4

d. 1000x

= x7

7. 5x–2x=1058. B9. a. a+b+c+d b. 2x+4y10.a.

Solucionario168

Solucionario

b.

Figura 1 2 3 4 5

Cantidad de segmentos

7 12 17 22 27

Fórmula 7 7+5 7+10 7+15 7+20

11.a. x4

+ 8202

=1190

b. 599x0,5

= 1399x1,5

+796

c. n2

+ 12

+ 12

(n–( n2

+ 12 ))+ 1

2+1=n

d. a–5=122

–3

e. 2p–1500=p+1000f. g=2p,21=2g+3p(obien21=4p+3p)g. a+(a–3)+(a–3–1)=100

Páginas 72 y 731. a. Noesunaecuación.

b. Esunaecuaciónytieneunaincógnita.c. Noesunaecuación.d. Noesunaecuación.e. Esunaecuaciónytieneunaincógnita.f. Esunaecuaciónytienedosincógnitas.

2. a. Grado:2,incógnita:x.b. Grado:1,incógnita:z.c. Grado:4,incógnita: y.d. Grado:2,incógnita:x.e. Grado:1,incógnita:j.f. Grado:1,incógnita:j.

3. a. 0 c. 7 e. 0b. 0 d. 0 f. 0

4. a. 40 d. 50 g. 0b. 9 e. –40 h. 1c. –50 f. 225

5. a. Noessolución. d. Noessolución.b. Essolución. e. Noessolución.c. Essolución. f. Noessolución.

6. a. 12 c. –6 e. –4b. –20 d. –3 f. 1

7. a. 20 m. 3b. 15 n. 10c. 18 ñ. 13

11d. –46 o. 14e. –95 p. 0f. 12 q. 5g. 12 r. 5

h. 0 s. 145

i. –58 t. Secumplepara cualquiervalordex.j. –13 u. 5k. 3 v. 4l. –70

3 w. 2

8. a. x+ x2

–(2x+8)=0 d. 3x +5x–2x=24

x=–16 x=4b. 2x– x

2= 9

6 e. n +n+1=35

x=1 n=17c. x+ x

3–(2x+ 1

5 )=0

x=–310

9. a. 480b. $1470c. 13,95cm2

d. 2461,76cm2

e. 14mujeres,7hombresy21niños.f. Enlaprimerasalahabía47personasyenla

segunda,27.10.B11.A12.C

Páginas 74 y 751. C2. B3. B4. B5. C6. B

7. A8. C9. D10.D11.D12.B

13.C14.B15.A16.C17.C18.D

19.B20.B21.D22.C23.A24.C

25.B26.B27.C28.C

29.a. 3n +2–2n +1

b. 23,73,227

Páginas 76 y 77

1. C2. D3. C

4. D5. C6. A

7. A8. D9. C

10.B11.A12.C

13.A

14.a. 12,167 c. 850,3056

b. 256625

d. 3125243

15.a. 86040 c. 3401608b. 752000 d. 283104

16.a. 5·104+7·103+8·102+3·101

b. 6·106+1·105+2·104+8·101

c. 9·105+3·103+4·102+7·101+2·100

d. 1·106+3·103+7·102+8·101+5·100

17.a. 820 c. 340000b. 720 d. 0,25

Solucionario 169

Solu

cion

ario

18.a. 125·10–2 c. 7·10–4 e. 34·10–5

b. 5823·10–3 d. 4·10–2 f. 9·10–6

19.a. 64

74= 1296

2401 d. 0,84=0,4096

b. 29

59= 512

1953125 e. 48=65536

c. 47

97= 16384

4782969 f. 97=4782979

20.a. Porloscaramelosdeanísdebepagar$2340, $23400porlosdemiely$234000porlos defruta.b. Obtiene2,5kgdecocorallado,12,5kgde

chocolatey15kgdecanelamolida.21.a. c=13 c. a=18

b. b=20 d. b=822.Hubo37flores,osea,2187.23.a. 320 d. 5m+25–15

b. 0 e. d+d+d+d+dc. 13z f. d·d·d·d

24.a. 7a+4b d. 6b+9b 2

b. 4d+8b e. 12a 2+7ac. 11h–7t–5 f. 3xy+6x+3y

25.a. Hay16caramelosdemiely32dementa.b. Losnúmerosson24,25y26.

Unidad 3 Geometría

Páginas 80 y 811. a. Porejemplo: αyλ; βyγ.

b. Porejemplo: αyλ; εyδ.c. Sí,sonánguloscorrespondientesentreparalelas.d. λ=110ºe. Porejemplo:δf. β =60ºyδ =120º

2. a. α=β =42,5ºb. x=25ºc. x=y =140º

3. a. β=115º d. α=40º;β=140ºb. α =135º e. α=90ºc. α =50º;β=40º f. α=70º

4. C5. B6. a. β= δ=30º

b. α=100ºc. 55ºy125ºd. Rectánguloisósceles.e. 98ºf. 40ºo140ºg. Noescorrecto,el2ºángulodebemedir108º.

Páginas 82 y 831. a. α=60º

b. α=35º;β=130º;γ=85º

c. α=γ=б=35º;β=25º;ε=155ºd. α=40º;β=80º

2. D3. a. 720º c. 9lados. e. 13lados.

b. 135º d. 12lados. f. 108º4. a. x=70º c. x=60º

b. x=20º d. x=24º5. a. Aproximadamente51,4º.

b. 20ºc. 50º,70º,90ºy150º

6. D7. a. No,porquenoresultaunnúmeroenteropara

elnúmerodelados.b. Uncuadriláteroounpentágono.

8. a. Losángulossuperioresmiden125ºylos inferiores55º.b. Trestrozosmás.c. 105º,105ºy75ºd. 170ºe. Unodelosángulosesdeltriánguloyelotro,su

suplemento,porejemplo:50ºy130º.

f. α=18º,β=54º


3cm 4cm

5cm

b.

c.

5cm

3,5cm 3,5cm

Solucionario170

Solucionario

d. No,porqueparapoderconstruiruntriángulolasumadelaslongitudesdelosladosmenoresdebesermayoralladodemayorlongitudyesonosecumpleconlossegmentosdados.

e. Lasumadelaslongitudesdedosdelosseg-mentosdebesersiempremayoralalongituddeltercero.

f. 2cm,3cmy5cm,nosepuedeporqueeltriángulonotendríasuperficie.

2. a. No,conesossegmentossolosepuededibujar untriángulo.b.

80º

70º 30º

c. Sí,porejemplounoquetengalosmismosángulosperolosladosmáspequeños.

80º

70º 30º

d. Contresladosdadossepuedeconstruirunsolotriángulooninguno,contresángulosdados,quesumen180º,sepuedenconstruirinfinitostriángulos.

e. 2cm30º 50ºA

B

C

f.2cm

4cm30ºA B

C

3. a. Elpuntodeinterseccióneselcentrodela circunferenciainscritaeneltriángulo.

A B

C

I

b. Elpuntodeinterseccióndelasalturassellamaortocentro.

6cm

4cm5cm

A B

C

H

c. Elpuntodeintersecciónseencuentrafueradeltriángulo.

H

A

C

B

d. Elpuntodeinterseccióneselcentrodelacircunferenciacircunscritaaltriángulo.

A B

O

C

e. Elpuntodeinterseccióndelastransversalesdegravedadsellamabaricentro.

C

BA

G

Solucionario 171

Solu

cion

ario

4. a.yb.Enuntriánguloequiláterotodossus elementossecundarioscoinciden.

C

A B

c. Enelprimercasoloselementossecundarioscoinciden,perosiseusanlosotrosladosloselementosnocoinciden.

5. a.

C

BA

b. 6triángulos.6. D7. A

8. a. Enelpuntodeinterseccióndelassimetrales deltriángulo,cuyosvérticessonlospoblados.b. Enelpuntodeinterseccióndelastransversales

degravedaddeltriángulo.c. Elpuntodeinterseccióndelasbisectrices

deltriángulo.

Páginas 86 y 87

1. a.

50º

O A

B

A’O’

B’

b.

108ºO A

B

5cm

c.

d.45º

e.135º

f. 8lados.

135º

BA

O

g. Bisecandoprimerounángulode90ºyluegounodelosde45º.

22,5º

A’O’

B’

Solucionario172

Solucionario

h.

135º45ºA B

CD

i. 135º

22,5º 22,5ºA B

C

j. 45º A

B C

45º

45º

k. Esunrombo.

4cm

4cm

4cm

4cm

135º

2. a.

A

B

b. Dadaunarectacualquiera,sedibujanlospuntosAyB,unopertenecientealarectayelotrono.Luego,conelcompáscentradoenA,setrazaunarcodecircunferenciaqueconten-gaaB.LaintersecciónentreelarcoylarectacorrespondealpuntoC.Finalmente,setrazan

arcosconcentroenByC,yradioABparadeterminarelpuntoD.LarectaquecontieneaByDesparalelaaladada.

B D

A C

c. Igualalaconstrucciónanterior,peroelpuntoBdebeestara4cmdelarectaquepasaporelpuntoA.

d.

e.

A

B

4cm

4cm

f. Seobtieneunrectángulo.

g. Seobtieneuntrapecio.

45º135º5cm

h. Doscuadradosdelado4cm.

D E C

A F B

Solucionario 173

Solu

cion

ario

i.

A B C D

3. a. Porejemplo:

5cm

A B

D E

2cm

b.

A B

CD

40º 140º5cmA

c. 5cm

8cm

A

B

C

D 40º

d. Losotrosángulosmiden140º.

A B

CD

40º5cm

40º

e.

A

B

C

D

10cm

f.

A

B

C

D

8cm

6cm

g. Porejemplo.

D C

A BAB=5cm

3cm

h.

60º4cm

3cm

i.

D

C

A

B 2cm

AD=5cm

4,5cm

j. Porejemplo.

D

C

A

B 2,5cm

5cm

k. No,paraqueseaunparalelogramosus ánguloscontiguosdebensumar180º.

Solucionario174

Solucionario

l. Podríaserconstruyendoun triánguloequilátero.

60º 60º

60º

m.

60º

D

A B

C

AB=8cm

ED=4cm

120ºE

n. Otrotriánguloequilátero,delado3cmyuntrapecioisósceles.

60º 60º

60º

6cm

ñ. Elperímetroaumentaaldobleyeláreaaumentaalcuádruple.

3cm

6cm

4. a. Lacuadraturadelcírculo,laduplicacióndel cuboylatriseccióndeunángulo.b. Estámatemáticamentedemostradoqueno

puedenconstruirseconreglaycompás.5. a. Primerotrazaunsegmentode60cm.Luego,

enunextremodibujaunaperpendicular, puedeusaruncompásdepizarra,sobreella copialos60cm.Repiteestospasosalotro extremodelsegmento.

b. Podríadibujarunsegmentoquerepresentelos18myconstruirlasimetral,quedeterminarádospuntos,unosobreyunobajoelsegmentoyalamismadistanciadeél,puntosquerepre-sentanlosotrosvérticesdelrombo.

c. TrazarelsegmentoAC,formandounánguloagudoconAB,quecorrespondeallargodelterreno.Luego,enelsegmentoACrealizartresdivisionesiguales,conunalongitudarbitraria.DeestemodoseformanlospuntosD,EyF.UnirelpuntoFconelextremoBdellargodelterrenoy,apartirdelsegmentoFB,trazardosrectasparalelasquecontenganaDyE.Lainterseccióndeestasparalelasconellargo(lospuntosGyH)formanpuntosquedividenellargoentrespartesiguales.

A

D

G H

EF

B

C

d. Sedibujaunsegmentoysusimetral.SeescogeunpuntoCenlasimetralysetrazanrectasdesdelosextremosdelsegmentohastaelpuntoC.

e. Construyendoseistriángulosequilateroscongruentes.

f. Conuncompáshechoconuncordelpuedeconstruirdosparesdesegmentosparalelos,formandounparalelogramo.

g. Laconstruccióndeltriánguloyelcuadradosemuestraenlasiguientefigura:


A B

C

DE

F

5cm

Solucionario 175

Solu

cion

ario

b.

2. a.

b.

3. a. O

A

A’

B’

C’

B

C

b.

A

PA’

B’

D’

C’

D

B

C

c.

4cm

7cm36º

4. B5. B6. C

7. C8. a. Falso,serequiereunejedesimetría.

b. Falso,serequiereconocertambiénelcentroderotación.

c. Falso,semantieneformaytamaño.d. Verdadero.e. Verdadero.f. Falso.Ladistanciadesdecualquierpuntodeuna

figuraalejedesimetríaesigualaladistanciadesdelaimagendeesepuntoaleje.

9. a.C

BA

C’

A’

B’

b. ElejedesimetríaesunarectaquecontienealpuntoA.

c. UnatraslacióncuyovectoresperpendicularalasrectasL

1yL

2ycuyotamañoeseldoble

queladistanciaentreL1yL

2.

d. Unarotaciónen15ºensentidoantihorarioconelmismocentro.

10.a. Unareflexión.b. Unarotación.c. Unatraslación.

11.a.

A' B'

C'

AB

C

b.

A’B’

C’

AB

C

A’’B’’

C’’

Solucionario176

Solucionario

c. Unatraslación.

Páginas 90 y 911. Lasfigurasa.yc.nopuedenteselarelplanoporque

quedanespaciossincubrir.Enelcasodelasfigurasb.yd.,utilizandotransformacionesisométricas,sepuedenformanfigurasqueteselan.

2. C3. a. Sí,porquecadaángulointeriordeloctágono

mide135ºdemodoquecon2octágonosy uncuadradoqueconcurranaunvérticese obtienen360º.b. No,porquenosepodríaconstruirunoctágono

regularquecombinaraconlosladosdelrectángulo.

4. a. Lafigurapintadaserefleja,considerando comoejedesimetríaunarectahorizontalque contengaalvérticeinferiordeltriángulo. Luego,laimagenresultantesetrasladahaciala derechayhaciaabajo,cubriendoelplano.b. Lafigurapintadaserotaen60º,ensentido

horarioconsiderandocomocentroderotaciónelcentrodelhexágono.Luego,laimagenresultantesetrasladahacialaderechayhaciaabajo,cubriendoelplano.

c. Lafigurapintadaserotaen180ºyconcentroderotaciónenelvérticederechodelhexágono.Luego,sereflejatomandocomoejelarectaverticalquepasaporelcentrodelhexágono.Finalmenteserefleja,tomandocomoejedesimetríaelladoinferiordecadahexágono,cubriendoasíelplano.

5. a. Semirregular.b. Regular.

6. Sí,sisetrasladalafigura,lasumadelosángulosqueconcurrenaunvérticees360º.

7. a. 30baldosasgrises.b. 5baldosasverdes.c. Senecesitan4x +2baldosasgrises.

8. D9. a. Unhexágonoregular.

b. Dos.

c. No,porquesusángulosinterioresnosondivisoresde360º.

d. Sí,porquealyuxtaponerloslasumadelosángulosqueconcurrenaunvérticees360º.

e. Sí,lateselaciónqueseformaeslasiguiente.

f. Sí,porqueconlasdosfigurassepuedeformarunromboideyconélsepuedeteselarelplano.

A’B’

A B

C

72º 108º

Páginas 92 y 931. 75cm2

2. a. a=9cmb. A=1,92m2

c. l=4cm3. a. 12cm2 c. 21,6cm2

b. 48cm2 d. 87,75cm2

4. a. 9cm2y56,25cm2

b. 1:6,25c. Larazónentrelasáreaseselcuadradodela

razónentreloslados.5. a. 12,5cm

b. Lasáreassoniguales.C C’

B B’A A’

D D’

c. Eláreadeltriánguloeslamitaddeláreadelrectángulo.

C

BA

R

P Q

D

Solucionario 177

Solu

cion

ario

d. Ellargodelrectángulodemayoráreaeseldoblequeellargodelotro.

e. Lasáreasentreelcuadradomenorymayorestánenlarazón1:4.

f. Cualquierpardenúmerospositivostalesquesusumasea22,porejemplo:10cmy12cm.

g. Cualquierpardenúmerospositivostalesquesuproductosea36,porejemplo:9cmy4cm.

6. a. 18cm2 c. 45cm2

b. 28cm2

7. a. 114,5x2 b. 5,5x8. B9. 44cm2

10.C11.a. 300m2 c. 3cartulinas.

b. 2,8m2 d. 525ladrillos.12.75cm2

13.a. 24cuadrados.b. 384cm2

14.a. Suladomide5cmysuárea,25cm2.b. Porejemplo:unode3cmdeanchoy7cm

delargo.Suáreaes21cm2,yotrode4cmdeanchoy6cmdelargo.Suáreaes24cm2.Lasáreasdelosrectángulossonmenoresqueladelcuadrado.

Páginas 94 y 951. A2. D3. D4. B5. D

6. D7. C8. C9. D10.C

11. D12.B13.D14.D15.C

16.C17.B18.B19.D20.D

21.a. Dodecaedrosregulares,hexágonosregulares ycuadrados.b. Semirregular,porqueestácompuestapormás

deunpolígonoregular.c. Sí,lafiguramuestraaquellosejesdesimetría

representativos.

d. Sí,porejemplo,elcentrodeldodecaedro comocentroderotaciónyunángulode60º.

Páginas 96 y 971. a. h=5m e. h=√34 m

b. h=√193m f. c1=6m

c. c1=√21m g. h=13m

d. c1=√24m h. c

1=√48 m

2. a. Sí e. Síb. Sí f. Síc. No g. Síd. No h. Sí

3. A=24m2

4. a. √50cm d. √50 cmb. √369cm e. 48cmc. √39cm

5. D6. a. Caminaaproximadamente38mmenos.

b. A100km.c. A=3·√27cm;A= a

2·√3·a2

4cm

d. Aproximadamentea3,3m.e. Aproximadamente21,2m.f. 320cmg. Juantienerazónsielotrocatetomide10,5cm.

7. B8. Elhexágonoregular.Suáreaseríade 75

2√3cm2.

9. a. 486cm2 c. 22m2

b. 9cm2 d. 21cm2

10.a. 330cm2

b. 46cmc. 12+√18 cmd. Aproximadamente10,38cm2.

Páginas 98 y 991. a. 1350cm3

b. 2mc. 1000000cm3

d. 250cubos.e. 90m3

f. 200cm3

2. C3. a. 110cm2 d. 6930g

b. 2200cm3 e. 1020cm2

c. 1980cm3

4. a. 150000veces. c. 60dados.b. 4m d. 640m3

5. D6. a. 190cm2 d. 5,6m2

b. 132cm2 e. 6cmc. 204cm2

7. a. 27m2

b. 92cubos.

Solucionario178

Solucionario

c. 1600cm2

d. 607,5cm3

e. No,faltan182cm2.

f. 3650cm2

g. $3000h. 12000cm3

i. 3200Lj. V=351cm3,A=414cm2

Páginas 100 y 1011. a. 48cm3

b. 1000cm3

c. Aproximadamente41,6m3.d. Aproximadamente366,7cm3.e. 80cm3

2. B3. a. 2579115m3

b. 139293m2

4. a. Aproximadamente32cm.b. Aproximadamente6144cm3.c. Aproximadamente2208cm2.

5. 6cm6. a. 6cm

b. 9cm

c. Aproximadamente167,2cm2.d. 52cm3

e. 12cm7. D8. a. 200g

b. 224cm2

c. 512cm3

d. 8cme. Aproximadamente141667cm3.f. Eseltriple.g. 24pirámides.h. 5400cm3

i. 88cmdealambrey336cm2depapel.

Páginas 102 y 1031. a. Unacircunferencia.

b. Círculo.2. C3. a. ElsegmentoGF. d. ElarcoFG

=.

b. ElsegmentoHI. e. LarectaCD.c. ElsegmentoEO. f. LarectaAB.

4. A5. a. 37,68cm b. 62,8cm6. a. Aumentaaldoble.

b. Disminuyealamitad.7. 214,72cm2

8. a. 28,26m c. 4,71mb. 12,56m

9. a. 78,5cm2 c. 45,3416cm2

b. 706,5m2 d. 153,86m2

10.a. Es4vecesmayor.b. Es9vecesmayor.

11.a. Aproximadamente5,05cm.b. Aproximadamente0,798m.c. Aproximadamente8cm.d. Aproximadamente1,2m.

12.a. 109,76cm2 c. 3420,5m2

b. 150,72cm2

13.A14.a. Aproximadamente34cm.

b. Aproximadamente200cm.c. 418,7cm2

d. 66,4424m2

e. 57cm2

f. 20cmg. Aproximadamente25,12cm2.

Páginas 104 y 1051. a. Losvolúmenesestánenlarazón4:1.

b. 636,4cm3

c. 113,04cm2

d. 314cm3

2. B3. a. 508,68cm3 c. Sí,una.

b. 169,68cm3

4. a. 16πcmb. 30cmc. Aproximadamente27318cm3.d. Aproximadamente36,3cm.e. 10vasos.

5. a. largo=2πr b. ancho=h6. A7. a. Falso,estarelaciónsecumpleparaelvolumen

delcono.b. Falso,lageneratrizeselradiodelmanto.c. Verdadero.d. Falso,esigualalongituddela

circunferenciabasal.e. Falso,esunsectorcircularcuyoradioes

lageneratriz.f. Verdadero.g. Falso,secuadriplica.

8. a. generatriz=5cm,áreadelmanto=60cm2, áreatotal=108cm2yvolumen=48cm3.b. altura=24cm,áreadelmanto=525cm2,

áreatotal=672cm2yvolumen=1176cm3.

Solucionario 179

Solu

cion

ario

c. radio=√99cm,áreadelmanto=54·√99cm2,áreatotal=297+54√99cm2yvolumen=1485cm3.

d. altura=12cm,generatriz=13cm,áreadelmanto=195cm2yáreatotal=270cm2.

e. generatriz=10cm,áreadelmanto=240cm2,áreatotal=432cm2yvolumen=384cm3.

f. radio=√32cm,áreadelmanto=18·√32cm2,áreatotal=96+18·√32cm2yvolumen=64cm3.

9. a. Aproximadamente406,8cm2.b. Senecesitan140litrosdepintura.c. 0,55107m3

d. Aproximadamente468,4kg.e. Rosausa430cm3menosdecera.f. 50,24cm3

g. Elquetieneeldobledelancho.

Páginas 106 y 1071. C2. D3. A4. C5. B6. D7. C8. B

9. A10.A11.B12.C13.A14.C15.B16.C

17.B18.D19.B20.B

21.a. 14m b. 18,49m

Páginas 108 y 109

1. B2. C3. B

4. D5. D6. B

7. C8. C9. C

10.a. 20cm f. 31,4cm,78,5cm2

b. 90cm2 g. 384cm3

c. α=80ºyβ=50º h. 125,6cm3

d. α=102ºyβ=78º i. 72+8·√3 cm2

e. Losángulosson15º,15º,165ºy165º.

11.a. 1256m f. 2,5mb. 4cm g. 25cmc. .26minutos h. 7397cm3

d. 70ºo110º i. 93,4cm2

e. 135º

Unidad 4 Datos y azar

Páginas 112 y 1131. a. 30

b. 25c. Voleibol.

d. Tenis.e. Hombres.f. No,loshombresprefierenelfútbolmientras

quelasmujeresprefierenelvoleibol.2. a. Disminuyólacantidaddehombresque

realizandeporte.b. Aumentólacantidaddemujeresque

realizandeporte.

c. Haaumentadolacantidaddemujeresydehombresquerealizandeporte.

d. Lasmujeres.e. Seobservalatendenciadelacantidadde

hombresydemujeresquerealizandeportealolargodelosaños.

3. a.

70,0%60,0%50,0%40,0%30,0%20,0%10,0%

2000 2002 2004 2006 2008

Alcohol

Tabaco

Consumo de alcohol y tabaco el último mes

Año

b.

Consumo de alcohol y tabaco el último mes

Alcohol

Tabaco

80,0%

60,0%

40,0%

20,0%

2000 2002 2004 2006 2008Año

c. Alcohol.d. Hadisminuidoelporcentajedepersonas

queconsumentabaco.e. Entreelaño2000y2002,yentreel2004

y2006.4. D5. B6. C

Solucionario180

Solucionario

7. a.

Cant

idad

de

alum

nos

8ºA

8ºB

4

3

2

1

01 2 3 4 5

Notas bajo 4 en los cursos 8º A y 8º B

Notas bajo 4

b. Enel8°A.

c. Enel8°B.d. Enamboscursoshayigualcantidadde

alumnosconmásdedosnotasbajo4.

Páginas 114 y 1151. a. 120

b. 25c. 79,17%d. 20,83%e. 75°

2. a. ElpartidoB.b.

Partido Votos Porcentaje Grados

A 180 30% 108°

B 210 35% 126°

C 72 12% 43,2°

D 138 23% 82,8°

3. a.

Tipo de comida Porcentaje Ángulo

Rápida 49% 176,4°

Vegetariana 23% 82,8°

Casera 28% 100,8°

b.

Rápida

Vegetariana

Casera

28%

23%

49%

Preferencias de comida

4. a.

Grupo de edad Porcentaje Ángulo

0–14años 25,7% 92,52°

15–59años 62,9% 226,44°

60añosymás 11,4% 41,04°

b.

0-14años

15-59años

60añosymás

62,90%

11,40%25,70%

Población por grupos de edad, Censo 2002

5. C6. D7. a. Porejemplo:

Medio de transporte Total estudiantes

Público 11

Automóvil 14

Caminando 4

Transporteescolar 2

Otros 1

Solucionario 181

Solu

cion

ario

b.

Público

Automóvil

Transporte escolar

Caminando

Otros

Transporte utilizado por los estudiantes

44 %

6 %3 %

13 %

34 %

c. Automóvil.d. Transporte escolar.

8. a.

Hombres

Mujeres30 %

70 %

Estudiantes que no realizan deporte

b.

Mujeres

Hombres82 %

18 %

Estudiantes que practican fútbol

c. No, porque el gráfico circular solo permite graficar los porcentajes de las categorías de una variable, y en este caso se quieren graficar dos; las preferencias de los hombres y las preferencias de las mujeres.

d. Un gráfico de barras múltiples.e. Los estudiantes que realizan básquetbol, tenis,

voleibol, etc.

f.

Mujeres

Hombres67 %

33 %

Alumnos y alumnas de 8º básico

Páginas 116 y 1171. a. Un gráfico de barras múltiples, porque se

podrían representar las temperaturas máximas y mínimas a la vez, para cada ciudad.b. La temperatura máxima, la temperatura

mínima y la ciudad.c. La variable independiente es la ciudad y las

variables dependientes son la temperatura máxima y la temperatura mínima.

d. Se quiere observar la relación entre las temperaturas máximas y mínimas, y la ciudad.

e.

Temperaturas máximas y mínimas registradas en distintas ciudades

Tº máxima

Tº mínima

15

ºC

20

25

10

5

0

Iquique

Antofag

asta

La Serena

Valpara

íso

Concepció

n

Punta Arenas

f. No, porque un grafico circular se utiliza para representar los porcentajes correspondientes a las distintas categorías de una variable, y en este caso hay más de una.

g. En Punta Arenas.h. En Iquique.i. En Concepción.j. En Antofagasta.k. Por ejemplo: en Concepción y Punta Arenas se

registró una temperatura mínima menor a 5 °C. Solo en Iquique se registró una temperatura

superior a los 20 °C. La temperatura mínima registrada en La Serena

es superior a la temperatura máxima registrada en Punta Arenas.

Solucionario182

Solucionario

l. Ungráficodelíneas,porquepermiteanalizarcómocambialatemperaturaenlasdistintasciudades.

Variación de temperatura

8101214

º C

6420

Iquique

Antofag

asta

LaSerena

Valpara

íso

Concepció

n

PuntaArenas

2. B3. C4. D5. a. Quiereanalizarcómocambialacantidadde

inasistenciassegúnelmesdelaño.b. Ungráficodelíneas.c.

Inasistencias del primer semestre

20

25

30

Cant

idad

de

inas

iste

ncia

s

15

10

50

Marzo Abril Mayo Junio Julio

d. Amedidaqueavanzaelsemestreseproducenmásinasistencias.

e. Porejemplo,aqueenelinviernosedanenfermedadesrespiratoriasquegeneralmenteafectanmásalosniños,yporestarazónpodríanproducirsemásinasistencias.

f. 78g. 39

6. C7. a. Elsexoyelcurso.

b. Mujeres.c. Eltercergráfico.d. Elgráficodebarrasmúltiples.e. Hay18mujeresy18hombres.f. Hay22hombresy18mujeres.


Cantidad de mascotas

Frecuencia absoluta

F. absoluta acumulada

Frecuencia relativa


1 3 3 0,214 0,214

2 4 7 0,286 0,5

3 1 8 0,071 0,571

4 6 14 0,429 1

b. 28,6%c. 50%d. 57,1%e. 2,71f. 4

2. a. 5b. 17c. 5d. 32e. 0,3125f. 0,8438g. 4h. El16%delosalumnosquefaltaronaclases

tuvieronalomás3inasistencias.3. a.

NotaFrecuencia


Frecuencia relativa


[1,2) 1 1 0,010 0,010

[2,3) 5 6 0,052 0,062

[3,4) 21 27 0,216 0,278

[4,5) 33 60 0,340 0,618

[5,6) 25 85 0,258 0,876

[6,7] 12 97 0,124 1

b. 27c. 60d. 12e. 87,6%f. 72,16%g. EL8ºAyel8ºBtienen32alumnos,yel8ºC

tiene33.4. A5. D6. a. 35,7

Solucionario 183

Solu

cion

ario

b.

Nº de calzado

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa


[31,34) 3 3 0,2 0,2

[34,37) 6 9 0,4 0,6

[37,40) 6 15 0,4 1

c. 9 e. 26,7%d. 6 f. 86,7%

7. a.

AlturaFrecuencia


Frecuencia relativa


[143,148) 4 4 0,125 0,125

[148,153) 10 14 0,313 0,438

[153,158) 9 23 0,281 0,719

[158,163) 9 32 0,281 1

b. [148,153) e. 12,5%c. 9 f. 59,4%d. 14

Páginas 120 y 121

1. a. 8 d. 12,1b. 11,5 e. 11,5c. 12,1 f. 8

2. a. 5b. 5,86c. 4d. 5e. Lamediana,yaqueelpromediosevemuy

afectadoporvaloresextremos,yenelcasodeJorgeseobservaqueundíaencestó12veces,mientrasqueelrestodelosdíasnoencestómásde5veces.

f. Raúl,porqueJorgeencestó4vecesomenosel50%delasveces,mientrasqueRaúlencestóhasta5vecesel50%delasveces.Además,elpromediodevecesqueencestóRaúlfue5,86,mientrasqueelpromediodevecesqueences-tóJorgefue5.

3. a. 674,14b. 670c. 751

d.

Puntaje PSU

Marca de clase

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa


(400,500] 450 4 4 0,114 0,114

(500,600] 550 6 10 0,171 0,285

(600,700] 650 8 18 0,229 0,514

(700,800] 750 15 33 0,429 0,943

(800,900] 850 2 35 0,057 1

e. 664,29f. 693,75g. 735

4. a. 105b. 86c. 7,17d. 8,75e. Porejemplo:

Personas nacidas por mes

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa


[8,11) 1 1 0,083 0,083

[11,14) 2 3 0,167 0,25

[14,17) 4 7 0,333 0,583

[17,20) 3 10 0,25 0,833

[20,23) 2 12 0,167 1

f. 165. a. 5,8

b. No,sedebeaqueelpromediodelasdosnotasnuevastambiénes5,8.

6. a. 7b. 7

7.

EdadMarca

de claseFrecuencia


Frecuencia relativa


[0,10) 5 3 3 0,097 0,097

[10,20) 15 6 9 0,194 0,291

[20,30) 25 7 16 0,225 0,516

[30,40) 35 12 28 0,387 0,903

[40,50) 45 3 31 0,097 1

8. D9. C10.D

Solucionario184

Solucionario

Páginas 122 y 1231. a. Muestra. c. Población.

b. Población. d. Población.2. a. Muestra. d. Población.

b. Población. e. Muestra.c. Muestra. f. Muestra.

3. a. Lahoradelallamadanoeslamásadecuada, yaqueseperderíainformacióndelaspersonas quenocontestenelteléfono.b. Lamuestranoesrepresentativayaquela

mayoríadelaspersonasqueseencuentranenlaestacióndetrenesprobablementeusanesetransporteconmayorfrecuencia.

c. Lamuestranoesrepresentativayaquesede-bieranconsideraralumnosdetodosloscursos.

d. Lamuestranoesrepresentativayaquetambiénsedebieranconsiderarhombresenlamuestra.

e. Sedebieranconsiderarpersonasdeedadesmayoresyaquelamayoríadelosjóvenesnotienenmuchoconocimientodeautomóviles.

f. Sedebieraconsiderarunamuestradepersonasdemayoredad,yaquelamayoríadelosniñosnosabeenquélegustaríatrabajarenelfuturo.

4. a. Enlamuestrasedebieranconsiderarlas mismascantidadesdeestudiantesdecada cursodelcolegio.b. Lamuestradebieraincluirapersonasde

ambossexos,detodaslasedadesydetodaslasregionesdelpaís.

5. a. 67,7kg c. 67,5kgb. 165cm d. 167cm

6. a. 65,3kgb. Sí,escercanoalpromediodelcursocompleto.

Esrepresentativalamuestrayaqueincluyeahombresymujeres,dedistintasmasasyestaturas.

7. a. 157,6cmb. No,noseparecealpromediodelcursocom-

pleto.Lamuestranoesrepresentativayaquenoincluyehombres,ylaestaturacambiaentrehombresymujeres.

8. a. 157,5cmb. 62kgc. Noseparecenalospromediosdelcurso

completo.Lamuestranoesrepresentativayaqueincluyealhombreyalamujerconmenorestaturadelcurso,porloqueelpromedioserámuchomenorqueeldelcursoentero.

9. a. 173,5cmb. 78kg

c. Noseparecenalospromediosdelcursocompleto.Lamuestranoesrepresentativayaqueincluyealhombreyalamujerconmayorestaturadelcurso,porloqueelpromedioserámuchomayorqueeldelcursoentero.

d. Síimporta.Sieltamañodelamuestraesmuypequeñoespocoprobablequecontengaaindividuoscontodaslascaracterísticasqueincluyelapoblación.Porejemplo,enestasitua-ciónunamuestramuypequeñapuedequenoincluyaatodaslasmasasyestaturasquehayenelcurso.

10.B11.D

Páginas 124 y 125

1. D2. D3. B4. C5. C

6. D7. C8. B9. D10.B

11.B12.D13.A14.D15.C

16.C17.A18.C19.A

20.a.

Intervalo de edades

Marca de clase

Frecuencia absoluta


Frecuencia relativa


[0,10) 5 8 8 0,267 0,267

[10,20) 15 11 19 0,367 0,634

[20,30) 25 7 26 0,233 0,867

[30,40) 35 3 29 0,1 0,967

[40,50) 45 1 30 0,033 1

b. 14,29c. 16,36d. 17,7e.

Cantidad de personas por grupo de edad

8

10

12

Frec

uenc

ia a

bsol

uta

Edad

6

4

2

0[0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50)

Solucionario 185

Solu

cion

ario

f.

[0,10)

[10,20)

[30,40)

[20,30)

[40,50)

36,7%

10,0%

23,3%26,7%

3,3%

Porcentajes de personas según grupos de edad

Páginas 126 y 1271. a. Ω={CC,CS,SC,SS}

#Ω=4b. Ω={22,25,28,52,55,58,82,85,88}

#Ω=9c. Ω={(blanco,rojo),(blanco,verde),(blanco,

amarillo),(blanco,azul),(negro,rojo),(negro,verde),(negro,amarillo),(negro,azul)}

#Ω=8d. Ω={(carne,arroz),(carne,puré),(carne,tallarines),

(carne,papasfritas),(pescado,arroz),(pescado,puré),(pescado,tallarines),(pescado,papasfri-tas),(cerdo,arroz),(cerdo,puré),(cerdo,tallarines),(cerdo,papasfritas)}

#Ω=12e. Ω={(azul,azul),(azul,blanca),(azul,roja),(blanca,

azul),(blanca,blanca),(blanca,roja),(roja,azul),(roja,blanca),(roja,roja)}

#Ω=9f. Ω={(1,C),(2,C),(3,C),(4,C),(5,C),(6,C),(1,S),

(2,S),(3,S),(4,S),(5,S),(6,S)} #Ω=12

2. a. {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3), (3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2), (6,4),(6,6)}b. {(C,1),(C,3),(C,5)}c. {(azul,roja),(verde,roja),(blanca,roja)}d. {(p,a),(p,e),(p,i),(p,o),(p,u)}e. {(S,S,S),(S,S,C),(S,C,S),(C,S,S),(S,C,C),

(C,S,C),(C,C,S)}f. {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}

3. a. 12b. {(C,2),(C,4),(C,6)}c. {(S,1),(S,2),(S,3)}d. {(C,3),(C,4),(C,5),(C,6),(S,3),(S,4),(S,5),(S,6)}

e. Obtenerunselloyunnúmeromenorque2.f. Obtenerunnúmeromenorque7.g. Obtener2sellos.

4. a. 18b. {(zanahoria,carnedevacuno,arroz),(zanaho-

ria,pescado,arroz),(zanahoria,pollo,arroz),(zanahoria,carnedevacuno,puré),(zanahoria,pescado,puré),(zanahoria,pollo,puré)}

c. {(zanahoria,pescado,arroz),(zanahoria,pescado,puré)}

d. {(zanahoria,carnedevacuno,arroz),(zanaho-ria,pescado,arroz),(zanahoria,pollo,arroz),(zanahoria,carnedevacuno,puré),(zanahoria,pescado,puré),(zanahoria,pollo,puré)}

e. {(zanahoria,pescado,arroz),(zanahoria,pescado,puré)}

f. {(tomate,carnedevacuno,arroz),(tomate,pescado,arroz),(tomate,pollo,arroz),(tomate,carnedevacuno,puré),(tomate,pescado,puré),(tomate,pollo,puré),(lechuga,carnedevacuno,arroz),(lechuga,pescado,arroz),(lechuga,pollo,arroz),(lechuga,carnedevacuno,puré),(lechuga,pescado,puré),(lechuga,pollo,puré)}

g. {(tomate,pescado,arroz),(tomate,pollo,arroz),(tomate,pescado,puré),(tomate,pollo,puré),(lechuga,pescado,arroz),(lechuga,pollo,arroz),(lechuga,pescado,puré),(lechuga,pollo,puré),(zanahoria,pescado,arroz),(zanahoria,pollo,arroz),(zanahoria,pescado,puré),(zanahoria,pollo,puré)}

5. a. {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}b. {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,

36}c. {par,impar}

6. B7. D8. B9. B10.B11.a. 10

b. {(Javiera,Consuelo),(Javiera,Constanza),(Javiera,Gabriel),(Javiera,Santiago),(Consuelo,Constanza),(Consuelo,Gabriel),(Consuelo,Santiago),(Constanza,Gabriel),(Constanza,Santiago),(Gabriel,Santiago)}

c. {(Javiera,Constanza),(Consuelo,Constanza),(Constanza,Santiago),(Constanza,Gabriel)}

d. {(Javiera,Consuelo),(Javiera,Santiago),(Consuelo,Santiago)}

Solucionario186

Solucionario

e. Losdelegadoselegidossonhombres.f. SalenelegidosJavierayunhombre.

12.a. 6b. {(Javiera,Gabriel),(Javiera,Santiago),

(Consuelo,Gabriel),(Consuelo,Santiago),(Constanza,Gabriel),(Constanza,Santiago)}

c. {(Javiera,Gabriel),(Consuelo,Gabriel),(Constanza,Gabriel)}

d. {(Consuelo,Gabriel),(Consuelo,Santiago),(Constanza,Gabriel),(Constanza,Santiago)}

e. Santiagoeselegidodelegadodepastoral.f. Consueloeselegidadelegadadepastoral.

Páginas 128 y 1291. a. Dedosformas;(2,4)y(4,2).Suprobabilidad

es0,06.b. {(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} 0,11c. {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1)} 0,417d. {(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),

(3,6),(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)}

0,5e. {(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}0,917

f. {(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

0,5562. a. Ω={CCCC,CCCS,CCSC,CSCC,SCCC,CCSS,

CSCS,CSSC,SCSC,SCCS,SSCC,CSSS,SCSS, SSCS,SSSC,SSSS}b. 0,0625c. Sí,porquetodosloselementostienenigual

probabilidad.d. Ω={0,1,2,3,4}e. P (0)=0,0625,P (1)=0,25,P (2)=0,375,

P (3)=0,25,P (4)=0,0625.f. No,porqueloselementostienendistintas

probabilidades.g. 0,6875h. 0,6875

3. a. Blanca

VerdeNegra AzulBlanca

Verde


Negra


Azul


b. 0,0625c. 0,25d. 0,25

4. a.Picas

DiamantesCorazones TrébolesPicas

Diamantes


Corazones


Tréboles


b. 0,0625 d. 0,23c. 0,375

5. a. 40 c. 0,8b. 0,1

6. C7. 0,0558. C9. C10.B11.a. 0,47 c. 0,417 e. 0,944

b. 0,306 d. 0,72212.a. 0,07 d. 9

b. 0,33 e. 0,33c. 0,67 f. 0,33

Páginas 130 y 1311. a. Seguro.

b. Probable.c. Seguro.d. Probable.e. Probable.

2. a. Probable. e. Seguro.b. Imposible. f. Imposible.c. Probable. g. Imposible.d. Probable.

3. Porejemplo:enellanzamientodeunamoneda,salenmenosdedoscaras.Enellanzamientodeundadosaleunnúmeromayorque0.

Solucionario 187

Solu

cion

ario

4. Porejemplo:enellanzamientodeunamoneda,saleunsello.Enellanzamientodeundadosaleunnúmeromayorque2.

5. Porejemplo:enellanzamientodeunamoneda,salentrescaras.Enellanzamientodeundadosaleunnúmeromayorque17.

6. a. Porejemplo:sucesoseguro:Camilaobtiene unanotainferiora8. Sucesoprobable:Camilaobtienemásde

4enlaprueba. Sucesoimposible:Camilaobtieneunanota

negativa.b. Porejemplo:sucesoseguro:seobtieneun

númerodeundígito.Sucesoprobable:seobtieneun2.Sucesoimposible:seobtieneun27.

c. Porejemplo:sucesoseguro:seobtieneunacaraounsello.Sucesoprobable:seobtieneunacara.Sucesoimposible:seobtienen3sellos.

d. Porejemplo:sucesoseguro:lasumadelosvaloresobtenidosesmayorque1.

Sucesoprobable:lasumadelosvaloresobtenidoses2.

Sucesoimposible:elproductodelosvaloresobtenidoses32.

e. Porejemplo:sucesoseguro:seobtienenmenosde4caras.Sucesoprobable:seobtienen2caras.Sucesoimposible:seobtienenmásde4sellos.

f. Porejemplo:sucesoseguro:noseextraeunabolitaamarilla.Sucesoprobable:noseextraeunabolitaverde.Sucesoimposible:seextraeunabolitaazul.

g. Porejemplo:sucesoseguro:seobtienealomásunsello.Sucesoprobable:seobtieneun3yunsello.Sucesoimposible:seobtienen2sellos.

h. Porejemplo:sucesoseguro:seeligealmenosunamujer.

Sucesoprobable:seeligen2mujeresyunhombre.Sucesoimposible:seeligen3hombres.

i. Porejemplo:sucesoseguro:noseeligeelnegro.Sucesoprobable:seeligeelrojo.Sucesoimposible:seeligeelverde.

j. Porejemplo:sucesoseguro:noseeligen2letrasiguales.Sucesoprobable:seeligeunaLyunaO.Sucesoimposible:seeligen2letrasS.

k. Porejemplo:sucesoseguro:lasumadelosvaloresobtenidosesmayorque3.

Sucesoprobable:lasumadelosvaloresobtenidoses11.

Sucesoimposible:lasumadelosvaloresobtenidoses7.

7. a. Seguro. d. Probable.b. Probable. e. Imposible.c. Imposible.

8. a. Probable. f. Muyprobable.b. Pocoprobable. g. Pocoprobable.c. Imposible. h. Probable.d. Pocoprobable. i. Seguro.e. Probable.

9. D10.B11.A12.A13.a. Pocoprobable. d. Probable.

b. Muyprobable. e. Pocoprobable.c. Imposible.

14.a.

Relleno de manjar

Relleno de frutilla

Relleno de menta

Total

Chocolate amargo

6 2 2 10

Chocolate dulce

10 10 10 30

Total 16 12 12 40

b. 0,15c. 0,3d. 0,25

15.D

Páginas 132 y 133

1. a. Equiprobables.b. Equiprobables.c. Noequiprobables.d. Noequiprobables.e. Noequiprobables.f. Noequiprobables.g. Equiprobables.

Solucionario188

Solucionario

2. Porejemplo:

1 2 3 4 5 6

10veces 2 2 1 1 1 3

20veces 3 2 2 4 5 4

40veces 8 6 6 7 5 8

50veces 9 8 9 7 8 9

a. Paralos50lanzamientos.b. 0,1c. 0,66

3. Apartirdelasolucióndelejercicioanterior:

ResultadoFrecuencia

relativaFrecuencia relativa

acumulada

1 0,18 0,18

2 0,16 0,34

3 0,18 0,52

4 0,14 0,66

5 0,16 0,82

6 0,18 1

a. 0,14b. 0,18,lafrecuenciarelativadelresultado6.c. 0,52,lafrecuenciarelativaacumuladadel

resultado3.d. 0,66,lafrecuenciarelativaacumuladadel

resultado4.e. 0,48f. 0,66

4. Porejemplo:a. 0,1 c. 0,1b. 0,33 d. 0,2

5. B6. C7. a. 0,00409

b. 0,50389c. 0,03882

Páginas 134 y 135

1. D2. C3. A4. B5. B6. D7. C8. A

9. B10.B11.D12.D13.B14.C15.B16.A

17.C18.C19.C20.D

21.a. 12 d. 0,75b. 0,667 e. 0,5c. 0,083

22.a. 0,25 d. 0,656b. 0,344 e. 0,688c. 0,109 f. 0,766

Páginas 136 y 137

1. A2. C3. D

4. B5. C6. B

7. A8. B9. D

10.a. Lamayoríaestáendesacuerdoconquelos partidosdelcampeonatonacionalsetransmitan porunsolocanaldeseñalabierta.b. Asolounamuestradelapoblación,yaquees

muycostosoaccederatodaslaspersonasdeunpaís.

11.Obtendríaunamuestradejóvenesconedadesentre18y29años,detodaslasregionesdeChile.

12.a.

MasaMarca

de claseFrecuencia


Frecuencia relativa


[40,50) 45 4 4 0,0635 0,0635

[50,60) 55 16 20 0,2540 0,3175

[60,70) 65 32 52 0,5079 0,8254

[70,80) 75 8 60 0,1270 0,9524

[80,90) 85 3 63 0,0476 1

b. 11 f. 88,89%c. 63 g. 63,4kgd. 25,4% h. 64kge. 82,54% i. 63,59kg

13.a. Porejemplo: Seguro:noseextraeunabolitanegra.

Imposible:seextraeunabolitaamarilla.b. Porejemplo:

Seguro:noseextraeunacartadetrébolroja. Imposible:seextraendosreyesdecorazones.c. Porejemplo:seguro:lasumadelosvaloresde

lasbolitasesmenorque41. Imposible:lasumadelosvaloresdelasbolitas

es53.14.10bolitasamarillas.15.a. 390 c. 0,0077

b. 0,051

Solucionario 189

Solu

cion

ario

16.a. Ω={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}b. 11c. (1,1),(1,2),(2,1).d. 0,3733e. 0,7467f. 0,8667g. 0,7533

Unidad 5 Álgebra

Páginas 140 y 1411. a. Variables:díasdemarzoyventas.Susunidades

sonlosdíasypesos,respectivamente.b. Variables:tiempoyvelocidad.Susunidades

sonlashoras(h)ykilómetrosporhora(km/h),respectivamente.

c. Variables:panydinero.Susunidadessonloskilogramos(kg)ylospesos($),respectivamente.

d. Variables:XeY.2. a.

a b–8 –4

0,5 0,25

13 6,5

14 7

b. b= a2

c. Porejemplo,sepuederelacionarlosladosdeunacanchadejuegos,dondeunladomidalamitaddelotro.

3. a.

x y

2 –1

4 1

7 4

10 7

b. x=y+3c. x=15

4. a. • y= 325

• x=25b. • y=–26

• x=293

5. B

6. a. y=– x2

e. y=2x

b. x =y–7 f. x=8y3

c. x=12–y g. x=y–5

d. y=2x3

7. C8. a. QueAlejandrotieneunañoymediomásde

edadqueAndrés.b. Porejemplo:

a h

25 23,5

30,5 29

42,5 41

50 48,5

9. A10.a. Losingresosson$980000.

b. Asistieron220espectadores.c. Elpreciodelaentradaalaobradeteatro.

11.B12.a. a= P

4 c. 9cm

b. 28cm.13.a. Númerodediagonales.

b. d=n–3c. n=d+3

14.B15.a. 25personas.

b.

Personas Bancos

7 2

9 3

11 4

c. p=3+2b16.A

Páginas 142 y 1431. a. Dos;ayb.

b. aeslavariabledependiente,yaquesuvalorcambiasegúnelvalorquetomeb.

c. Lavariableaestáenfuncióndelavariableb.2. a. Losvaloresdex,esdecir:1,2,3y4.

b. Losvaloresdey,esdecir:3,5y7.c. 7d. No.

Solucionario190

Solucionario

3. a. Noesfunción.b. Síesfunción.

4. a. Sic=d–21decimosquecestáenfunciónde d,ensímbolosc=f (d)of (d)=d–21.b. Six=3y–15decimosquexestáenfunción

dey,ensímbolosx=f (y)of (y)=3y–15.c. Siz=9vdecimosquezestáenfuncióndev,

ensímbolosz=f (v)of (v)=9v.

5. a. r=f (t)=2t–5

b. v=f (x)=3x+24

c. z=f (w)=5–w

d. m=f (n)=5(n–1)3

e. x=f (y)=–3y–24

f. a=f (b)=2b+16. A7. a. Esfunción. c. Noesfunción.

b. Esfunción. d. Noesfunción.8. a. {0,7,21,49,63} c. {8}

b. {3,1,–3,–11,–15} d. {–15,–12,–6,6,12}9. a. Elconjuntodelosnúmerosenterosentre

0y70,ambosincluidos.b. {–300,–150,0,150,300,...,10200}c. 3chocolates.d. EldineroquegastóAndreaenhacerlos

chocolates.10.D11.a. {14,16,18,20,22}

b. {7,8,9,10,11}12.A13.a. c=f (t)=10t

b. Eldominioeselconjuntodelosnúmerosqueestánentre0y3600,ambosincluidos.

Elrecorridoeselconjuntodelosnúmerosqueestánentre0y36000,ambosincluidos.

14.A

15.B16.a. 31

b. 18c. 9,11,13,15,17

17.B18.a. Haytresvariables:lasvariablesindependientes

sonlasnotasenlaprueba(np)yenlatarea grupal(nt),ylavariabledependienteeslanota final(nf ).

b. nf= np+nt2


Mes 1 2 3 4 5

Cristián 600 800 1000 1200 1400

Belén 400 600 800 1000 1200

b. No,porquelarazónentreeldineroquellevancadamesnoesconstante.

2. B3. D4. a. 20

3 d. 460

49

b. 169

e. 7841

c. 3 f. 419

5. a. 2 e. 10b. 7,5 f. 8c. 6 g. 75

d. 2,5 h. 1385

6. A7. a. Sepuedeescribira= 4

5bob= 5

4a.

b. Sepuedeescribirz= 32

xox= 23

z.

c. Sepuedeescribirr=36sos= 136

r.

8. D9.

Ganancias de don Pedro por huevos a $ 110

Cantidad de huevos

Peso

s

50006000

7000

4000300020001000

0

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

Ganancias de don Pedro por huevos a $ 100

Cantidad de huevos

Peso

s 5000

6000

7000

4000

3000

2000

1000

01 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

Solucionario 191

Solu

cion

ario

b. Seobtienenmásgananciasalvenderloshue-Seobtienenmásgananciasalvenderloshue-vosde$110,porende,lainclinaciónesmayor.

10.a. Lasvariablessonloslitrosdebencinayladistancia.b. Lavariableindependienteeslabencina(b)yla

variabledependienteesladistancia(d).c. Laconstantees11.d. d=11be. 22km,121km,330kmy550km,

respectivamente.f. • 1L • 20L

• 111

L • 711

L

11.B12.C13.a.

Helados vendidos Ganancia

10 1500

15 2250

20 3000

30 4500

b. Sidenotamosporgalasgananciasyporhalosheladosobtenemoslafuncióng=150h.

c. 150d. keselpreciodecadahelado.

e. Juanvendió160helados.

Páginas 146 y 1471. C2. a. 72

5 e. 3,6

b. 24 f. 0,96

c. 245

g. 0,8

d. 72 h. 8115

3. C4. a. 8

7 c. 7

3

b. 421

d. 163

5. a. 20 d. 11

b. 556

e. 4

c. 100 f. 2

6. B

7. a. a= 20b ob= 20

a

b. z= 216x ox= 216

z

c. y = 100x ox= 100

y

d. m = 36n on= 36

m

8.

x 4 221

8 245

32

y 16

7 112

15 148

9. a.

b t(m2)

1600 0,25

4000 0,1

400 1

200 2

b. b=400

tc. 10000baldosas.d. $750000

10.C11.a. 30sillas.

b. 50filas.c. Sillamamossalacantidaddesillasencada

filayfalacantidaddefilas,unafunciónque

relacionalasvariablesess= 600f .

12.6horas.13.a. Porejemplo,kilómetrosrecorridosyhoras

manejando,aunarapidezconstante.b. Porejemplo,cantidaddeobrerosyhorasque

sedemoranenterminarunmismotrabajo.c. Porejemplo,lamasadeunapersonay

suedad.14.a. Varíademanerainversamenteproporcional.

b.

Capacidad del envase (cm3)

Cantidad de envases

50 1200

500 120

250 240

10 6000

Solucionario192

Solucionario

c. 60000d. ksonloslitrosdejugodemanzanaquese

produjeron.e. 600envases.f. 1200cm3

Páginas 148 y 149

1. A2. C3. D4. B5. B6. B7. D

8. B9. A10.D11.D12.C13.D14.A

15.A16.A17.B18.B19.B20.A21.B

22.a. 2cmb. Proporcionalidadinversa.c. Laconstantees24yserefierealárea

delrectángulo.

Páginas 150 y 151

1. C2. C3. C4. C5. D

6. A7. C8. C9. C10.B

11.D12.D13.A

14.a. 4 c. 1b. 0,2 d. 8

15.a. {0,2,3,8,21}b. {1,4,6,9}

16.a. Porquecadaelementodeldominiotieneuna solaimagen.b. Lavariabledependienteest,ylaindependiente

esn.c.

Ubicación en la secuencia (n)

1 2 3 4 5 6

Término (t) 22 24 26 28 30 32

d. f (15)=50,f (25)=70,f (x)=20+2x.

17. {0,2,4,6}18.a. F,esdirectamenteproporcional,yaque

mientrasmáspáginashayaquedigitar,más tiempotomaráhacerlo.b. F,esdirectamenteproporcional,yaquemientras

másenergíaseconsuma,máscaraserálacuenta.

c. F,estarelaciónnoesproporcionalyaquelacantidaddepasajerosnodebieraafectaraltiempoquesedemoreelrecorrido.

d. V19.1220.a. Noproporcional.

b. Noproporcional.c. Noproporcional.d. Inversamenteproporcional.

21.a. a·b=343.Porejemplo:Siunapersonaquiere repartir343frutas,sepuederelacionarla cantidaddepersonasalasqueselerepartela frutaycantidaddefrutaqueletocaa cadapersona.

b. 14x =16z.Porejemplo:Sisenecesitan 78

kgde

harinaparahacerunpastel,sepuederelacionar

lacantidaddeharinaquesenecesitapara

hacerunaciertacantidaddepasteles.c. xz=1629.Porejemplo,sepuedenrelacionar

lasmedidasdelosladosdeunrectángulodeáreaiguala1629cm2.

22.a. 12

b. r=289

,q=907

cuadernillo+de+ejercicios+8º (1)

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