Cuadernillo de Matemáticas_5to 2011
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2011 CUADERNILLO DE MATEMATICAS 5to Año Profesores de cursos paralelos
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2011
CUADERNILLO DE MATEMATICAS5to AñoProfesores de cursos paralelos
NÚMEROS REALES
1) Dígase qué representa cada uno de los símbolos que se dan a continuación y en el caso de que representen un conjunto, grafique e indique dos elementos que pertenezcan al conjunto y tres elementos que no pertenecen al mismo:
a) [-1, 2] c) (0, -1) e) {2, 3}b) (0, 2) d) [0, √2) f) (-∞, -1)
2) ¿Cuántos números hay en el intervalo [-5, -1] que sean:
a) naturales? c) racionales? e) reales?
b) enteros? d) irracionales?
En los casos en que haya una cantidad finita muéstrenlos a todos; si son infinitos, muestren cuatro de ellos.
3) Representar gráficamente los intervalos A= [3, 7] y B= (2, 5) y expresar los conjuntos A∩B, A∪B, A-B
y como intervalos, semirrectas, o uniones de intervalos y semirrectas.
4) Graficar cada conjunto:
a) A= {𝓍 ∈ / ℝ 𝓍 ≥ 0} d) (-2, 0) ∪ (-1, 1)
b) B= {𝓍 ∈ / ℝ 𝓍 < 1} e) [-4, 6] ∩ [0, 8)
c) C= {𝓍 ∈ / 0 ≤ ℝ 𝓍 < 1} f) (-∞, -4) ∪ (4, ∞)
5) Resuelve:
a) Una pieza de alambre de 4m de longitud se corta en dos trozos de modo que la longitud de uno de ellos es igual a dos terceras partes la del otro. Calcula la longitud de cada trozo.
b) El precio de una casa rodante se redujo en 11% para alcanzar el valor de $48.950. ¿Cuál es el precio original?
c) El segundo ángulo de un triángulo mide 3 veces lo que el primero y el tercer ángulo mide 12 grados menos que dos veces el primero. Calcula la medida de los ángulos.
Clasifica el triángulo según sus ángulos.
d) Encuentra 3 enteros impares consecutivos tales que la suma del primero mas dos veces el segundo más tres veces el tercero sea 82.
e) Sobre la esquina de un terreno rectangular que tiene 50m más de fondo que de frente, se construye una casa de 15m por 30m. Si queda libre una superficie de 4550 m2, calculen la medida del frente del terreno.
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f) Los precios de un viaje aéreo, incluido el alojamiento a las Cataratas del Iguazú, son $400 para una sola persona y $700 para una pareja en habitación doble. En uno de los vuelos, se recaudaron $22.400 y viajaron 62 personas en total. ¿Cuántas parejas y cuántas personas solas viajaron?
6) Indicar si el valor de 𝓍 que verifica la ecuación:
pertenece al intervalo [5, √32)
7) Expresar como intervalo de números reales el conjunto solución de las siguientes inecuaciones:
a) c) e) | 𝓍-3 | < 4 g)
b) d) f) | 𝓍 -6 | ≥ 1 h)
8) Escribir como intervalo o unión de intervalos el conjunto:
a) A= b) c)
9) Hallar a∈ℝ de manera que A= {𝓍∈ℝ /3𝓍 – a < 8} = (-∞, 6)10) Calcular los siguientes logaritmos aplicando la definición.
a) = f) k)
b) = g) l)
c) log 0,1= h) ll)
d) 27= i) m)
e) 36= j) n) log 0,001=
ñ) r) v)
o) s) w)
3
p) t) x)
q) u) y) 4 =
11) Determinar el valor de 𝓍:
a) d) g)
b) e) h)
c) f) i)
12) Aplicando las propiedades del logaritmo, calcular:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
13) Sabiendo que y . Calcular:
a) d) g)
b) e) h)
c) f)
14) Resuelve las siguientes operaciones aplicando la definición de logaritmo:
a) c)
4
b) d)
15) Si el logaritmo de un número en base 5 es .¿Cuál es el logaritmo de ese mismo número en base 0,04?
16) ¿Cuál es el número cuyo logaritmo en base K es 2 y en base es 3?17) Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:
a) l)
b) ll)
c) m)
d) n)
e) ñ)
f) o)
g) p)
h) q)
i) r)
j) s)
18) La mitosis es un proceso de duplicación celular. Una de las bacterias de más rápido crecimiento es la escherichia coli, pues en determinadas condiciones puede duplicarse cada 20 minutos.
La expresión da el número de células al cabo de horas por cada célula inicial.
a) ¿Cuál es el número de células al cabo de 7 horas?
b) ¿Al cabo de cuánto tiempo el número de células es 32768?
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19) Cuando se administró cierto fármaco a un paciente, el número de miligramos que permanecen en el
torrente sanguíneo del paciente después de horas se modela mediante:
¿Cuántos miligramos del fármaco permanecen en el torrente sanguíneo del paciente después de tres horas?
20) Una sustancia radioactiva se desintegra de tal manera que la cantidad de masa que permanece
después de días se expresa mediante la función: donde se mide en kilogramos.
a) Encuentre la masa en el tiempo
b) ¿Cuánta masa permanece después de 45 días?
21) Las poblaciones animales no pueden crecer sin restricción debido a la limitación de hábitat y suministros de alimento. En tales condiciones la población sigue un modelo de crecimiento logístico
donde c,d, y k son constantes positivas. Para cierta población de peces, en un pequeño
estando , , y se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en
el tiempo .
a) ¿Cuántos peces se colocaron originalmente en el estanque?
b) Calcule la población después de 10, 20 y 30 años.
c) Evalúe para valores grandes de . ¿A qué valor tiende la población cuando tiende a ∞?
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SUCESIONES
1) Escriban los siguientes cuatro términos de cada sucesión.
a) 1; 13 ;
15 ; … c)
23 ;
45 ;
67 ; …
b) √2 ; 2; 2√2 ; … d) -2; 4; -8; …
2) Escribe cinco términos más de la sucesión 12 ;
13 ;
14 ; … ¿Cuál es su término número 30?
3) Escribe el término 200 de la sucesión 1, 2, 3, 1, 2, 3, ….
4) Escribe cinco términos más de la sucesión √1 , √2 , √3 ,√4 , … ¿Cuál es su término número 64?
5) Escribe cinco términos más de la sucesión 12 ;
23 ;
34 ;
45 ; … ¿Cuál es su término centésimo?
6) Escribe los cinco primeros términos de an =
4 n2−2n+3n+1
7) Determine los primeros cuatro términos y el centésimo término de la sucesión
a) an = n + 1 e) an =nn
b) an =
1n+1 f) an =
1n2
c) an = 2n + 3 g) an = 3
d) an = n2
+1 h) an = 1 +(−1)n
8) Calcule los primeros cinco términos de la sucesión definida recursivamente.
a) an = 2 (an−1−2) y a1=3
c) an = 2an−1+1
y a1=1
b) an =
an−1
2 y a1=−8
d) an = an−1+an−2 y
a1=1; a1=2
9) Grafique los diez primeros términos de la sucesión:
a) an = 4n + 3 b) an =
12n c) an =
1an−1 y
a1=2
10) Determine el n-ésimo término de la sucesión cuyos primeros términos se proporcionan:
a) 1, 4, 7, 10, … b) 1,
34 ,
59 ,
716 ,
925 , … c) 0, 2, 0, 2, 0, 2, …
11) Averigua si los números que se indican son términos de la sucesión dada en cada caso, y halla el lugar que ocupa en la sucesión:
7
a) Números: 3;
4129 ; 1,44 Sucesión: an =
3n2n+5
b) Números: 8; 10; 16; 3√4 Sucesión: an = 2
n3
c) Números: 9;
643 Sucesión: an =
n2
2n−5
d) Números: 2; 4 Sucesión: an = 2(−1)n
12) Para cada una de las siguientes sucesiones encuentra s1 , s2 , s3 y s4
a)
13,
16,
112,
124,
148 , … b) 4, 7, 10, 13, 16, … c) -3, 9, -27, -81, -243, …
13) Reescribe y evalúa cada una de las siguientes sumas:
a) ∑n=1
51
2n c) ∑n=7
10
log n
b) ∑n=4
7
√2n−1d)
∑n=0
4
π .n
14) Escribe cada una de las siguientes sumas en notación sigma:
a)
12+ 2
3+ 3
4+ 4
5+ 5
6+ 6
7 b) 3+ 6+ 9+ 12+ 15 c) 4- 9 + 16- 25+ ….
15) Escribe los 8 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones aritméticas:
a) a1=4 y an=60
b) a3=4 y a7=52
16) Calcula y responde
a) ¿Cuál es la suma de los números naturales del 1 al 100?b) ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 21 y 95?c) ¿Cuál es la suma de los 30 primeros múltiplos naturales de 7?
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d) Sabiendo que el décimo séptimo término de una sucesión aritmética es -40 y el vigésimo
octavo es -73. Encuentra a1 y r . Construye la sucesión.
e) Inserta 4 medias aritméticas entre 8 y 23.f) Inserta suficientes medias aritméticas entre 1 y 50 para que la suma de la serie aritmética
que resulte de ellos sea igual a 459.17) Determine si la sucesión es geométrica. Si es así, calcule la razón común:
a) 2, 4, 8, 16, … c)
12,13,
14,15 , …
b) 3,
32,
34,38, … d) 1; 1,1; 1,21; 1,331; …
18) Calcule el n-ésimo término de una sucesión geométrica dados el primer término y la razón común ¿Cuál es el cuarto término?
a) a = 3 y r = 5 b) a = √3 y r = √3
19) Se proporciona el n-ésimo término de una sucesión geométrica:a) Encuentre los primeros cinco términos de la sucesiónb) ¿Cuál es la razón común?c) Grafique los términos obtenidos
a) an=5 (2)n−1b) an=
52
(−12)n−1
20) Calcula la suma de una sucesión geométrica:
a) 1+ 3+ 9+ … + 2187 b) ∑n=0
10
3 ( 12)n
c) 1+
13+ 1
9+ 1
27+
…
21) Un concurso literario reparte para los cinco primeros puestos la suma de $ 8000, de forma tal que exista una diferencia de $ 400 entre cada uno de los premios. Calcula el valor de cada premio.
22) Una persona ha decidido dejar de fumar y ahorrar el equivalente del costo del paquete de cigarrillos. Si fumaba un paquete diario y su costo era de $ 7,50 ¿Cuánto ahorró al cabo de un año?
23) Una pelota de tenis se arroja desde un balcón y cada vez que rebota alcanza dos quintos de la altura anterior. En el cuarto rebote alcanzó una altura de 0,512 metros.
a) ¿Desde qué altura fue arrojada la pelota?b) ¿Qué distancia recorrió la pelota en estos cincos rebotes?
24) Para un acto escolar se ha armado un escenario en el patio de un colegio. Por la forma del mismo se deben colocar las sillas de manera tal que la primera fila tenga 15, la segunda 17, y así sucesivamente. Se sabe que concurrirán 680 personas y se quiere calcular la cantidad de filas que deben colocarse.
25) El valor de la compra de una computadora de oficina es 12.500 dólares. Su depreciación anual es 1.875 dólares. Encuentra el valor de la computadora después de 6 años.
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26) Un autocinema tiene un espacio para 20 automóviles en la primera fila de estacionamiento, para 22 en la segunda, para 24 en la tercera, y así sucesivamente. Si hay 21 filas en el autocinema, calcule la cantidad de automóviles que pueden estacionarse.
27) Un arquitecto diseña un teatro con 15 asientos en la primera fila, 18 en la segunda, 21 en la tercera, y así sucesivamente. Si el teatro va a tener una capacidad de 870. ¿Cuántas filas debe considerar el arquitecto en su diseño?
28) Una persona tiene 2 padres, 4 abuelos, 8 bisabuelos, y así sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tiene una persona que pertenece a la décimo quinta generación?
29) Una constructora compra una pala mecánica por 160.000 dólares. El valor de la pala se deprecia cada 20% de su valor del año anterior. Sea Vn el valor de la pala mecánica en el n-ésimo año. (Sea n=1 el año en que se compró la pala)
a) Determine la fórmula para Vn
b) ¿En qué año el valor de la pala mecánica será menor de 100.000 dólares?
30) Una persona escribe un mensaje, lo envía por e-mail a dos de sus amigas y les pide que lo reenvíen al día siguiente a dos personas más que cada una, y así sucesivamente, armando una cadena. ¿Cuántos días pasarán hasta que se hayan comunicado un total de 8.388.607 personas?
31) Un auto cero kilómetro se compró a $ 123.793,75; al pasar unos años se vendió a las dos terceras partes de su precio. Luego se volvió a vender a las dos terceras partes de su precio y así sucesivamente hasta llegar al quinto comprador. ¿Cuánto pagó este último por el auto?
32) Alicia ha decidido ahorrar durante un año 50 centavos diarios. ¿Cuál será el valor de su ahorro?
33) Una bodega ordena los vinos en pilas de igual cantidad de botellas. En la base de cada una de ellas hay 50 botellas, en la siguiente fila hay 49, en la siguiente 48 y así sucesivamente hasta una última fila de 20 botellas. ¿Cuántas filas hay en cada pila y cuál es el número total de botellas que tiene la bodega si hay 15 pilas?
34) Una sucesión es armónica si los recíprocos de los términos de la sucesión forman una sucesión
aritmética. Determine si la siguiente sucesión es armónica: 1,
35,
37,13,…
35) La media armónica de dos números es el recíproco del promedio de los recíprocos de dos números. Encuentre la media armónica de 3 y 5
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FUNCIONES
1) El siguiente gráfico representa la variación de la temperatura en un observatorio a lo largo de un día de invierno.
a) ¿Cuáles son en este caso las variables independiente y dependiente?b) ¿Entre qué valores está comprendida la variable independiente? ¿Y la dependiente?
c) ¿En qué períodos de horas la temperatura fue en aumento?
d) ¿Cuáles fueron los intervalos de horas en que la temperatura disminuyó?
e) ¿Cuál fue la temperatura más alta y cuándo se produjo? ¿Y la más baja?
f) ¿En qué intervalo de horas la temperatura fue negativa?. ¿Y positiva?
2) El agua del mar en un puerto tiene diferentes alturas según varía la hora del día, debido a las mareas. El registro de la altura que alcanza el nivel del mar a cada hora del día se encuentra en la siguiente tabla.
Hora del día Altura (cm)
0 180
2 170
4 160
6 140
8 135
10 130
11
12 125
14 140
16 160
18 165
20 168
22 160
a) Representar gráficamente los valores de la tabla.
b) ¿Tiene sentido unir los puntos de la gráfica?
c) Determinar entre qué valores la función crece y entre qué valores decrece.
d) ¿A qué hora del día se alcanza la altura máxima y cuál es? ¿Y la mínima?
3) Determinar si las siguientes tablas definen funciones:
a)
-1 0 1 2
2 4 6 8
b)
1 3 5 7 9
2 0 1 0 2
c)
1 2 3 4 5
1 2 1 3 1
12
4) Determinar cuáles de los siguientes gráficos corresponden a funciones:
5) Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los con juntos dominio e imagen de cada una de ellas:
13
6) Para las funciones representadas, estimar, a partir de su gráfico, los valores que se indican: a) f(1) ; f (2) ; f (2,5) ; f (4) ; f(5)
b) Los valores de x tales que f(x) = 0
c) g(-1,5) ; g(-0,5) ; g(0) ; g(0,5) ; g(4)
e) Los valores de x tales que g(x) = 2
f) Los valores de x tales que g(x) = -2
7) Calcular el máximo dominio de las funciones dadas por:
a) f(x) = 3 x – 1 b) f(x) = √2x−1 c) f(x) =
2 xx+2
d) f(x) = x √ x d) f(x) = √ x2+5 e) f(x) =
3x−4
8) En cada caso, calcular, si es posible, f(0), f(- 0,8), f (-1), f(-4,25), f(4,25), f(1)y decir cuál es el dominio de la función f :
a) f (x) = - 3 x + 2 b) f (x) = - 4 c) f (x) = x2 + 2 x – 5
d) f (x) = - x3 + x2 – 2 x + 4 e) f (x) =
5x f) f (x) =
3x−4
9) Consideren las funciones de fórmula f (x) = 3 x – 1 y g (x) = 3 x2 – 1a) Hallar cuando sea posible:
I. x / f (x) = 4II. x / g (x) = 11III. x / g (x) = -2
14
b) Para cada uno de los items anteriores, indicar si pudieron encontrar un valor único de x.
10) Observar la gráfica de la función f .
a) ¿Cuál es la preimagen de 4 a través de f ? ¿Y la de 6?
b) ¿Cuál es la imagen de 2? ¿Y la de –2?
11) Clasificar las siguientes funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas:
15
12) Completar la tabla de valores y trazar el gráfico de cada una de las siguientes funciones:
13) Hallar la fórmula de la función inversa de:
a) f (x) = 2 x – 2
b) g (x) = (2 – x) : 5
c) h (x) = x5 + 1
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d) j (x) =
12 x + 3
e) k (x) = (x -3)3 + 8
14) Para cada función, indicar los intervalos de crecimiento (C), decrecimiento (C), positividad (C +), negatividad (C -) y ceros (C0).
C = C = C =
C = C = C =
C + = C + = C + =
C - = C - = C - =
C0 = C0 = C0 =
15) Representar las siguientes funciones y completar el cuadro:
f(x) = -
2x
g(x) = 4 – 3 x h(x) = x2 - 3 j(x) = (x + 7)2
Dominio (Df)
Imagen (If)
Ceros (C0)
Crecimiento
(C)
Decrecimiento
(C)
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Positividad
(C +)
Negatividad
(C -)
Función Inversa
16) Construir la gráfica aproximada de una función que cumpla con las siguientes características:
a) f : RR / C0 = {-2; 0; 3} ; C + = (-; -2)¿ (-2; 0) ; C - = (0;3) ¿ (3; +) ; 3 es máximo local y –4 es mínimo local.
b) f : R → R tiene tres raíces: -1 ; 1 y 3 para x < - 1 todas las imágenes son positivas. Para – 1 < x < 1 todas las imágenes son positivas Para 1 < x < 3 todas las imágenes son negativas Para x > 3 todas las imágenes son negativas f(0) = 3
FUNCIÓN LINEAL
1) Tres amigos estudiaron cuál es la temperatura T (en grados centígrados) en función de la altura h, respecto del nivel del mar (en metros) en el Valle de la Luna. Después de distintas mediciones para alturas de entre 0 y 15000 m, han podido determinar la fórmula que vincula a estas dos variables
T (h) = 20 –
1150 h
a) Representar la funciónb) ¿A qué clase de funciones pertenece T(h)?c) ¿Cuál es la variable independiente y qué representa? ¿Y la variable dependiente?d) ¿Qué dominio fue utilizado para esta función? e) ¿Cual es la temperatura a 240 m sobre el nivel del mar? ¿Y a los 600 m?f) ¿Es cierto que a los 1500 m de altura se espera tener una temperatura de 11ºC? ¿Por
qué?g) ¿A qué altura le corresponde una temperatura de 1º C bajo cero?h) ¿Entre qué alturas se encuentran las temperaturas bajo y sobre cero?i) ¿A cuántos metros la temperatura es de 0° C?j) ¿Cuál es la imagen de esta función?
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2) Indicar si las siguientes fórmulas corresponden a funciones lineales:a) y = 3 x + 2
b) y = 4
5xc) 7 x = 2
d) y = 15
x
e) 12 y = 4 + xf) 8 y + 3 = -2g) y = 5 x2
h) y = 4 x3 – 9
3) Completar la siguiente tabla correspondiente a funciones lineales:
Funciones Pendiente Ordenada al origen
y = 2 x – 1
5 -3
y = 8 x…. 7
4 x + y = 6
3 y – 2 = 4 x
2 x + 4 y = 8
4) Considerar la ecuación de la recta P: y =
32 x + 1
a) Indicar tres puntos que pertenezcan a P.
b) Indicar tres puntos que no pertenezcan a P.
c) Verificar gráficamente las respuestas anteriores.
5) Escribir las ecuaciones de las rectas que están graficadas.
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x
y
0
P
Q
R
S
Representar en el gráfico las rectas cuyas ecuaciones son:
N: x = -
12 M: y = - 1 T: x = - 3
6) Determinar si las siguientes rectas son crecientes o decrecientes:
a) y = 4 x – 3 creciente:…………. decreciente:………….
b) y = -
12 x + 4 creciente:………… decreciente:………….
c) 3 x – 2 y = 7 creciente:………… decreciente:………….
d)
13 x + y = 5 creciente:………… decreciente:………….
7) Hallar la ecuación de la recta:
a) de igual ordenada al origen que y = 6 x + 4 y pendiente 5.
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b) de pendiente -2 y pasa por el origen de coordenadas.
c) de pendiente 4 y pasa por el punto (-1; 2)
d) que pasa por el punto (3; 5) y tiene pendiente 9.
e) que pasa por los puntos (-1; 2) y (3; -2).
8) Si f(x) =
15 x – 3 encontrar el valor de:
a) f(-3)b) calcular el valor de x si f(x) = - 2.
9) ¿A qué función pertenece el punto (3;-1)?. Justificar la respuesta
a) f(x) = 3 x + 2 b) f(x) =
13 x –2 c) f(x) = 3 x – 1.
10) Indicar la respuesta correcta y justificar.
La función f (x) =
12 x +3 corta al “eje x” en el punto:
a) (0; - 6) b) (- 6; 0) c) (6; 0)
11) Si f(x) =
12 x - 1; decir ¿cuál de los siguientes puntos pertenece a la función? Justificar la
respuesta. a) (-1; 3) b) (2; 0) c) (- 2; - 2)
12) Si f(x) = 2x –1 , el intervalo de positividad es :
a) (-∞;
12 ) b) (
12 ; +∞) c) (-∞;-
12 )
13) Hallar las fórmulas de las funciones lineales representadas en el gráfico:
21
x
y
0
f
g
h
14) Hallar la fórmula de la función lineal cuyas características se describen en cada caso:
a) Tiene ordenada al origen y = 3 y su cero es x = -2
b) Tiene ordenada al origen y = 4 y forma un ángulo de 45º con el semieje positivo de las abscisas.
15) Encontrar pares de rectas paralelas y pares de rectas perpendiculares entre las siguientes funciones lineales:
a(x) = - x + 4 b(x) = 4 x – 2 c(x) = -
13 x + 9
d(x) =
32 x + 5 e(x) = -
23 x + 4 f(x) = - x
g(x) = - 0,25 x – 6 h(x) =
13 x -
12
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16) Escribir la ecuación de la recta:
a) paralela a y = 3 x + 2, y ordenada al origen 1.
b) paralela a y = - 5 x, y ordenada al origen 3.
c) perpendicular a y = - 4 x + 3, y ordenada al origen 7.
d) paralela a y = - 2 x + 3, y pasa por el punto (0; 4).
e) paralela a y =
12 x + 5, y pasa por el punto (2;-3).
f) perpendicular a la recta 2 x – 4 y + 1 = 0 y pasa por el punto (-2; 4).
17) ¿Para qué valor de a, la recta y =
a3 x – 5 es paralela a la recta 6 x – 3 y + 4 = 0?
18) Demostrar que el triángulo abc, donde las coordenadas de sus vértices son a = (-2; 4); b = (2; 8) y c = (4, -2), es un triángulo rectángulo.
19) Hallar la distancia entre los siguientes puntos y verificar gráficamente:
a) A = (5 ; -1) y B = (2 ; 3)
b) P = (-1 ; -2) y Q = (1 ; 2)
20) Calcular el perímetro del cuadrilátero MNPQ siendo:
M = (3 ; 2) N = (6 ; 3) P = (5 ; 0) Q = (2 ; -1)
21) Considerar el cuadrilátero PQRS cuyos vértices son P = (2 ; 1) , Q = (2 ; 5) , R = (8 ; 5) y S = (8 ; 1).
a) Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los lados.b) Clasificar el cuadrilátero.c) Calcular en forma exacta su perímetro y su área.
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1) Resolver los siguientes sistemas en forma analítica y gráfica:
a) 2 x - y = 5 b) 2 x - 3 y = 4 c) 3 x + y = 4 x - 2 y = - 2 x + y = 7 x + y = 0
2) Plantear los siguientes problemas y resolverlos:
a) Hallar dos números cuya suma es 14 y cuya diferencia es 8.
b) Un hotel tiene habitaciones dobles (con dos camas) y simples (con una sola cama). Dispone en total de 37 habitaciones y 62 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo?
c) El perímetro de un campo rectangular es de 18 km, y uno de sus lados es 5 km mayor que el otro. ¿Cuáles son las dimensiones del campo?
d) Se sabe que 6 bolsas de trigo y 5 bolsas de maíz, pesan 970 kg, y que 5 bolsas de trigo y 6 bolsas de maíz pesan 955 kg. ¿Cuánto pesa cada bolsa de trigo y cada bolsa de maíz?
e) En una pecera hay 20 ejemplares de la especie A, y 35 ejemplares de la especie B. Estos peces consumen en total, 32 kg de alimento por día. Se decide agregar dos ejemplares de cada especie, y se observa que el alimento consumido es de 34 kg por día. ¿Cuántos gramos de alimento consume diariamente un ejemplar de la especie A y cuántos uno de la especie B?
f) Hace un año, la edad de un padre era 3 veces mayor que la de su hija, pero dentro de 13 años no tendrá más que el doble. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?
3) Encontrar el punto de intersección de las rectas:
a) y = - 3 x + 2 ; y = 2 x + 5
b) y = 7 x ; y = - 53
x
4) Clasificar los siguientes sistemas y determinar cuántas soluciones tiene.
24
a) {x+5 y=−1 ¿¿¿¿
b) {x+2 y=−1 ¿¿¿¿
c) {x− y=−1¿ ¿¿¿
d) {3 x−6 y=5 ¿ ¿¿¿
e) {x−6 y=8 ¿¿¿¿
f) {7 x−3 y=3 ¿ ¿¿¿
5) Las ecuaciones de las cuatro rectas que contienen a los lados de un cuadrilátero son:
Lado AB : y = 4 – x Lado BC : y =
53 x – 4
Lado BC : y = - 2 x – 4 Lado AD : y = x + 2
a) Graficar las rectas en un plano cartesiano.
b) ¿Se puede afirmar que se trata de un trapecio rectángulo?. Justificar la respuesta.
c) Hallar las coordenadas de los cuatro vértices del cuadrilátero, y calcular su perímetro (redondear a los centésimos cuando sea necesario)
25
FUNCIÓN MÓDULO O VALOR ABSOLUTO
1) Graficar la función f(x) = │x│ y calcular:
a) analíticamente las coordenadas de los puntos de intersección con los ejes cartesianos.b) intervalos de crecimiento, decrecimiento, positividad y negatividad.c) cerosd) coordenadas del vértice.
2) Representar en un mismo sistema de ejes cartesianos:
a) f(x) = │x│ g(x) = │x│+ 3 h(x) = │x│- 2 m(x) =│x│- 4
b) f(x) = -│x│ g(x) = -│x│+ 3 h(x) = -│x │ - 2 m(x) = -│x │- 4
c) f(x) = │x │ g(x) = │x + 1 │ h(x) = │x - 1 │ m(x) = │x + 2 │
d) f(x) = - │x │ g(x) = -│x + 1 │ h(x) = - │x – 1│ m(x) = -│x + 2 │
3) Dadas las siguientes funciones, graficar y realizar un estudio completo:
a) f(x) = │x – 2 │+ 1
b) g(x) =│x + 1 │- 4
c) h(x) = - │x + 2 │ + 3
d) m(x) = - │x – 5 │ + 2
e) p(x) = │ x – 3 │ + 4
26
FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS LINEALES
1) Graficar las siguientes funciones:
f (x) =
g (x) =
h(x) =
2) Observar las gráficas de las siguientes funciones definidas por tramos y escribir su expresión simbólica
27
x + 3 - x – 3 si x < 0
x si x < -2
2 si – 2 < x < 1
3 si x < -3
- x si – 3 < x < 3
FUNCIÓN POLINÓMICA DE SEGUNDO GRADO
1. Representa sobre un mismo sistema de coordenadas, las siguientes parábolas, utilizando colores diferentes.
a) y = x2
b) y=2x2 c) y=3x2
d) y=
12x2
e) y=
14x2
Conclusiones.
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
28
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2. Analiza los casos en que a ¿0 , utilizando las parábolas:
a) y= –x2
b) y= -2x2 c) y= -3x2
d) y= -
12 x2
e) y= -
14 x2
Conclusiones:
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3. Analicemos la función Y = x2 + k
Representa sobre un mismo sistema de coordenadas las siguientes parábolas:
a) y= x2
b) y= x2+1c) y= x2+2d) y= x2-1e) y= x2-2
Conclusiones:
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. Analicemos el comportamiento de la función: y = -x2 +k
Representa sobre un mismo sistema de coordenadas las siguientes parábolas:
a) y= –x2
b) y= –x2+1c) y= –x2+2d) y= –x2-1
29
e) y= –x2-2
Conclusiones:
………………………………………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………………………..
5. Dada a función y =
23( x−2)2−1
¿Qué valores toman en este caso a, h y k?
¿Cómo influye cada uno de ellos en la gráfica de la función dada?
a= ………………………..→ ………………………………………………..
h=…………………………→ ……………………………………………….
K=………………………..→ ………………………………………………..
6. Describe las gráficas de las siguientes funciones:
a) Y = -2(x+1)2 + 3
b) Y= -
13( x− 1
4)2+1
c) y= -(x+5)2 -
12
7. Dada las siguientes funciones:
a) f(x) = x2+3x+2b) f(x)= -x2-2c) f(x)2x2-8xd) f(x)=x2-9
e) f(x) = -
12 x2+3x-
52
f) f(x) = 3x2 +30x+75g) f(x) = x2-2x + 5h) f(x) = x2 +3x – 4
Calcular para cada una de ellas:
coordenadas del vértice y ecuación del eje de simetría los ceros o raíces de la función intersección con el eje y dominio e imagen
30
si presenta máximo o mínimo si es función par conjunto de positividad y negatividad intervalos de crecimiento y decrecimiento graficar
8. Analicemos ahora la función Y = (x – h)2
Representa sobre un mismo sistema de coordenadas las siguientes parábolas:
a) y=x2
b) y= (x – 1)2
c) y=(x – 2)2
d) Y= x + 1)2
e) y= (x + 2)2
¿Cuál es el valor de h en cada una de las expresiones anteriores?
x X2 (x-1)2 (x-2)2 (x+1)2 (2x+2)2
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
Conclusiones
La parábola se ha desplazado horizontalmente hacia la…………………… si a = 1 y h ¿0
La parábola se ha desplazado hacia la……………………………………. si a = 1 y h ¿0
9. Analicemos el comportamiento de la función y = -(x-h)2 para los siguientes casos:
a) y= –x2
b) y= –(x-1)2
c) y= –(x-2)2
d) y= –(x+1)2
31
e) y= –(x+2)2
Conclusión:
Si a = -1 y h > 0, se corre hacia la………………………………
Si a = -1 y h < 0, se corre hacia la………………………………
10. Analicemos la función Y = x2 + k
En la función correspondiente a la parábola matriz el valor de k = 0
Representa sobre un mismo sistema de coordenadas las siguientes parábolas:
a) y= x2
b) y= x2+1c) y= x2+2d) y= x2-1e) y= x2-2
Conclusiones:
Las parábolas se han desplazado hacia arriba y hacia abajo
Existe una relación entre el desplazamiento de cada parábola y el valor de k.
K es el número de unidades que se desplaza, hacia arriba o abajo.
Las parábolas obtenidas son iguales a la parábola matriz.
Si a = 1 y k ¿0 , se desplaza k unidades hacia………………………..
Si a = 1 y k < 0, se desplaza k unidades hacia…………………………
11. Analicemos el comportamiento de la función: y = -x2 +k
Representa los siguientes casos:
a) y= –x2
b) y= –x2+1c) y= –x2+2d) y= –x2-1e) y= –x2-2
Conclusiones:
Si a = -1 y k ¿0 , se desplaza hacia…………………………… en k unidades.
32
Si a = -1 y k < 0, se desplaza hacia………………………………. en k unidades.
12. Dada a función y =
23( x−2)2−1
¿Qué valores toman en este caso a, h y k?
¿Cómo influye cada uno de ellos en la gráfica de la función dada?
a=………………………..→ ………………………………………………..
h=…………………………→ ……………………………………………….
K=………………………..→ ………………………………………………..
13. Describe las gráficas de las siguientes funcione:.
a) Y = -2(x+1)2 + 3
b) Y= -
13( x− 1
4)2+1
c) y= -(x+5)2 -
12
14. Dada las siguientes funciones:
a) f(x) = x2+3x+2b) f(x)= -x2-2c) f(x)2x2-8xd) f(x)=x2-9
e) f(x) = -
12 x2+3x-
52
f) f(x) = 3x2 +30x+75g) f(x) = x2-2x + 5h) f(x) = x2 +3x – 4
Calcular para cada una de ellas:
coordenadas del vértice y ecuación del eje de simetría los ceros o raíces de la función intersección con el eje y dominio e imagen si presenta máximo o mínimo si es función par conjunto de positividad y negatividad intervalos de crecimiento y decrecimiento graficar
33
15. Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a)34x2−5
8=0
b) (2 x+3 )2−12x=0c) 3x2=5 x−9 x2
d) x2+15=0e) 50 = 2 x2
f) -8x2 + 135x =0g) 13x2 -117x +104 =0h) 30x2 -18x -12=0i) (2t-1).(t-3) = t-3j) 9x2 -6x = 2k) 3x2 = x2 +12x – xl) X.(x+3) = 2.(x+1)m) 2x2 –x – 10 = 0n) 5x2 -10x -5=0
o) X + 1x
= 2
p)x+2
x2−1= 2
2 x−3
q) X = 2x+3
−1
r)1x−1
=12+x
INECUACIONES CUADRÁTICAS
1. Resolver las siguientes inecuaciones analítica y gráficamente:a. X2 -20 > -3x + 20b. 3x2 -5 ≤ 20-6x2
c. X2 + 5 ≤ 7x – 5d. -3x2 -3x+4 ≤ 2x-4e.
2. Hallar K para que la ecuación cuadrática: 2x2 -6x-(3-k) = 0, no tenga raíces reales3. Hallar k para que la siguiente ecuación cuadrática tenga una raíz doble. 8x2 –(k2 -1)x +k2-7=0
4. Hallar k para que la siguiente ecuación cuadrática tenga raíces distintas: x2 –(2k)x+k2-3k+2=0
FUNCIÓN POLINÓMICA
34
1) Una empresa necesita envasar un producto en recipientes de lata cilíndricos, de manera tal que el diámetro de la base sea la mitad de la altura:
a) ¿Con que dimensiones construyen la lata si esta debe tener una capacidad de 350 ?
b) Encontrar una formula que permita calcular el volumen de la lata en función de la altura.
2) Graficar las siguientes funciones y analizar su paridad e imagen :
a) b) c) d) e)
3) Indicar intervalos de crecimiento y de decrecimiento para las siguientes funciones con dominio en R:
a) b)j(x)= c) d) e)
4) Cesar quiere construir una caja en forma de prisma sin tapa. Para ello cuenta con un cartón rectangular de 60 cm de largo por 45 cm de ancho, al que le corta un cuadrado en cada esquina:
a) Encontrar una expresión que sirva para calcular el volumen de la caja armada en función de la medida del lado de cada cuadrado cortado.
b) Indicar cual es el dominio, en esta situación, de la función polinómica asociada a dicha expresión.
5) Factoricen los siguientes polinomios, indiquen sus raíces y el grado de multiplicidad de cada una.
a) b)
c) d)
6) Completar la siguiente tabla:
35
Polinomio factorizado grado del polinomio raíces reales del polinomio Multiplicidad
7) Utilizando los puntos de contacto con los ejes y los intervalos de positividad y negatividad, realizar un grafico aproximado de las siguientes funciones:
a) b) c)
d) e) f)
8) Inventar una función polinómica de grado 4 que atraviese el eje x únicamente en 2 y -8. ¿Cuántas hay?
9) La grafica corresponde a una funcion polinomica de grado 3.
Completar:
a) Sus raices son:
….. …….
la expresión factorizada de la funcion es:
b) Calcular el valor de a.
10) Averiguar cual de las funciones corresponde a cada grafico:
I. II. III. IV.
FUNCIÓN RACIONAL
1) Un club de barrio dispone de $50.000 mensuales para el sueldo de sus empleados.
36
a) Si el club tiene 20 empleados y todos cobran lo mismo.¿Cuanto cobra cada uno?b) Encontrar una formula que permita calcular lo que cobra cada uno en función de la cantidad de
empleadosc) ¿Qué pasa si el número de empleados aumenta?d)2) Realizar el grafico de las siguientes funciones de proporcionalidad inversa. Encontrar el dominio,
la imagen, asintotas y los conjuntos de positividad y negatividad.
a) b) c) d)
3) Indicar el dominio de cada funcioy, si es posible, simplifiquen sus formulas para que sean irreducibles.
a) b) c) d)
4)a) Indicar ,si existe, el punto de intersección del grafico de cada una de las siguientes funciones con el eje y; b) Hallar los ceros en los casos que existan.
I. II. III.
5) Encontrar las formulas de las funciones representadas en los siguientes gráficos
37
6) Encontrar posibles valores de los numeros reales a, b, c y d para que la función , tenga
a) asintotas en x= 3 e y= 2; b) asintota vertical en x= -3 y 2 sea raíz; c) asintota horizontal en y= 4 ,
ordenada al origen en 0 y su grafica pase por
7) Con las expresiones racionales:
Calcular: a) b) c)
8) Calcular:
a) b) c)
9) Con las expresiones:
a) b) c)
10) Resolver las ecuaciones, decir que valor no puede tomar la x:
a) b) c)
FUNCIÓN EXPONENCIAL
Se denomina función exponencial a f: R →R+¿ ¿ / f(x) = ax donde a es una constante real tal que a>0 y
a ≠ 1 . “a” es la base de la función exponencial. La función exponencial no tiene ceros o raíces.
38
Entonces: si a>0 y a≠ 1, para toda “x” perteneciente a los reales, ax > 0 Por lo tanto la función
exponencial no tiene ceros. Su imagen esta por encima del eje de las x. La imagen son los reales positivos.
Ejemplo:
F: R →R+¿⋰f ( x )=2x ¿ (2>1)
G: R →R+¿⋰f ( x ) ¿= 12
x
(0<12
<1)
El gráfico está por encima del eje de las x porque la función es positiva y no presenta ceros o raíces.
Corta el eje y en el punto (0,1) porque a0 = 1
Si “a” > 1 , la función es creciente. Si 0< a < 1, f es estrictamente decreciente. Si “a” > 1, cuando f tiende a + ∞, la función tiende a + ∞ . Si 0< a < 1, cuando x tiende a + ∞, f tiende a 0 y cuando x tiende a - ∞, f tiende a + ∞. La recta de ecuación y = 0 es la asíntota horizontal. No tiene asíntota vertical.
Represente gráficamente:
G:R→R+ / G(x)= 3-x
U:R→R+ / U(x)= 2x
S: R→R+ / G(x)= 4x
39
Propiedades de la potencia que usaremos en algunos ejercicios:
1. ab+c = ab . ac
2. ab-c = ac
ab
3. a-x = 1
ax
4. a2x = (ax )2
f(X) = K . AX+B + C
C es la asíntota horizontal
Si a >1 la función tiene asíntota horizontal cuando x tiende a -∞ y si 0<a<1 la función tiene asíntota horizontal cuando x tiende a + ∞
ANÁLISIS COMPLETO Y GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
F(X) = 3. 2X+1 – 6 → asíntota horizontal y = -6
1. cálculo de ceros o raíces: 3. 2X+1 – 6 = 0 (igualamos a cero ) 3. 2X+1 = 6
2X+1 = 63
2X+1= 21
Como las bases son iguales → los exponentes también
40
Planteamos x+1 = 1 X = 1-1 X = 0
2. intersección con el eje “y” : y= 3.20+1 – 6 y= 6-6 y=0
3. Dominio: R4. Imagen: (-6; +∞)5. Positividad. (0,+∞)6. Negatividad (-∞; 0)
EJERCICIOS
ANALIZAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES EXPONENCIALES Y GRAFICAR
1. Y= 4x-2 -42. Y=5x-3 –5
41
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Llamamos Función logarítmica de base “a” a la función inversa de la función exponencial de base “a”.La función logarítmica: R+ → R / f(x)= loga x
Loga x = y ↔ ay = x
X pertenece a los R+
Y pertenece a los R
Vamos a obtener las imágenes de algunos números positivos:Log3 1 =0 ↔ 30 = 1Log3 3 = 1 ↔31 = 3
Log3
13
= -1 ↔ 3-1 = 13
Log3√3 = 12
↔ 312 = √3
Obtener las siguientes imágenes:log 1
3 1=
log 13
13
=
log 13
3 =
log 13
√3 =
Representación gráfica de la función logarítmicaF(X) = Log3 x
G(x) = log 13 X
42
Cuando la base de un logaritmo es mayor que 1 la función logarítmica tiene asíntota vertical hacia las “y” negativas, cuando la x está entre 0 y 1.Cuando la base es menor que 1 la función logarítmica tiene asíntota vertical hacia las “y” positivas cuando x está entre 0 y 1.
Grafique las funciones que se indican en cada caso, determine dominio, imagen y asíntota vertical:
a) y= -log2x
b) y= –log(1/2)x
c) y= Log2(x-1)
d) y= Log(1/2) (x-1)
e) y= Log2(x+1)
f) y= Log(1/2)(x+1)
g) y= Log2 x + 1
h) y= Log(1/2) x + 1
43
ELIPSE
1) En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre el centro, los focos y los vértices de cada elipse. Trazar la gráfica correspondiente.
a) (x−3 )2
4 +
( y+1 )2
9 = 1
b) (x+5 )2 + 4 ( y−4 )2 = 16
c) 9(x−3 )2 + ( y+2 )2 = 18
d) x2+3 y2 - 12y + 9 = 0
e) x2+4 x+4 y2- 8y +4 = 0
f) 9x2+18x+4 y2 - 8y – 23 = 0
g) 4x2−8 x+ y2 - 6y = -9
h) x2−2 x+1+25 y2 = 25
i) x2+9 y2+6 x−18 y=−9
2. a) Encuentren la ecuación de la elipse con focos en (-1/2; 0) y (1/2; 0)
b) Indiquen 2 puntos de ésta elipse que se encuentren en el 3º cuadrante
c) ¿Cuántas elipses cumplen esa condición?
3) Encuentren la ecuación de la elipse que tiene centro en el origen de coordenadas, su semidiámetro en el eje x es igual a 4 y su semidiámetro en el eje y es igual a 2
4) Encuentren los focos de la elipse de ecuación x2
24 + y2
15 = 1
5) ¿Cuál es el punto de abscisa 712
de la elipse de ecuación x2
169 + y2
144 = 1 ?
6) ¿ Cuáles son los puntos donde la elipse que tiene focos en (5; 0) y (-5; 0) y constante 15 cruza con los ejes coordenados?
7) Encuentren la ecuación de la elipse de focos (4; 0) y (-4; 0) tal que la suma de sus distancias sea 14. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices de la elipse?
44
8) ¿Cuál es la ecuación de la elipse centrada en el origen, si un foco está en (-2; 0) y tiene un vértice en (6; 0)?
9) ¿Cómo queda determinada la elipse donde los focos se superponen?
45
HIPÉRBOLA
1) En cada uno de los siguientes ejercicios encuentre el centro, los focos, los vértices y las ecuaciones delas asíntotas de cada hipérbola. Trace el gráfico correspondiente:
a) (x−3 )2
4 −( y+1 )2
9 = 1 f) 3 y2−x2−12 y+9=0
b) (x+ 4 )2
9 –
( y+2 ) 2
4=1 g) 9 x2+18x−4 y2−8 y−23=0
c) (x+5 )2−4 ( y−4 ) 2=16 h) y2−4 x2−8 x−6 y=9
d) 9 (x−3 ) 2−( y+2 )2=18 i) x2−2 x+1−25 y2=25
e) x2+4 x−4 y2−8 y+4=0 j) x2−9 y2+6 x−18 y=−9
2) Encuentren las ecuaciones de las siguientes hipérbolas, las coordenadas de los vértices y las ecuaciones de las asíntotas:
a) focos (-1/3; 0) y (1/3; 0) y constante 5.
b) focos (-5/3; 0) y (5/3; 0) y uno de los vértices en (1/2; 0)
3) Encuentren los focos de la hipérbola de ecuación: x2
30− y2
6=1
4) ¿Cuáles son las asíntotas de la hipérbola de foco (-5; 0) y que pasa por el punto¿?
5) En una hipérbola equilátera es a=3u:
a) escriban la ecuación
b) calculen la distancia focal
6) Dados a=3 y b= 4 , calculen para la hipérbola:
a) la distancia focal
b) la excentricidad
c) escriban la ecuación
46
Semejanza
Semejanza su símbolo ~
Proporcionalidad
Se dice que Thales provocó la admiración de los egipcios al calcular la altura de una de las pirámides.
Lo logró, midiendo, según parece, las sombras que producían a una cierta hora, la pirámide y un bastón del cual conocía la altura.
Esto se realiza aplicando la propiedad de Thales.
Qué dice esta propiedad?
Mirar en Youtube: les luthiers teorema de thales… (y de paso escuchar todo lo que encuentren de Les luthiers)
La propiedad dice…. Si tres o más paralelas son cortadas por dos transversales los segmentos correspondientes son proporcionales
Segmentos correspondientes: son los que se forman en las transversales y quedan enfrentados entre las paralelas… uno le corresponde al otro.
Son proporcionales:…. Quiere decir que si divido la medida de uno por el otro, la división, que se llama razón , da el mismo resultado , que si lo hago con otro par de segmentos…
Este número llamado razón es el que confirma que existe proporcionalidad
Por otro lado escuchamos la palabra semejanza.
En la vida cotidiana nos escuchamos decir más de una vez, esta actitud se asemeja a esta otra. Esta persona es semejante a esta otra…
47
los ángulos son congruentes (iguales pero no son el mismo)
y
los lados homólogos son proporcionales
abcd:
ab = cd = 8 cm
bc = ad= 4 cm
mnpq:
mn = pq = 6 cm
np = mq = 3 cm
En nuestra área geométrica se dice que existe semejanza entre figuras cuando
Homólogos: En las figuras semejantes se observa que cada elemento de una figura se corresponde con uno de la otra. A estas parejas de elementos se las denomina homólogos
Por ejemplo cuando ponés la lupa en algún dibujo que realizás en la compu Estás generando figuras semejantes… los mapas son semejantes a la realidad y la proporción se denomina escala
Ejercicios:
1 - Elije la respuesta correcta. Justifica
En un mapa a escala 1:1000000 el camino entre 2 puntos tiene 5,2 cm de longitud. Cuál es la distancia real del camino? a) 52m b) 52km c) 520m d) 5,2km
2 - la distancia entre dos puntos A y B en un dibujo es 5 cm. Y la distancia en la realidad es de 45 m Cuál es la escala utilizada?
Figuras semejantes
Dados 2 rectángulos abcd y mnpq
Completar el siguiente cuadro
48
abcd mnpq razón
Largo Ancho
Perímetro Area
Sabemos que los ángulos son iguales, porque son todos ángulos rectos además se comprueban las siguientes propiedades en las figuras semejantes
1- Los lados homólogos tienen siempre la misma razón de proporcionalidad k
2- El perímetro de las figuras semejantes está en la misma proporción que sus lados: k
3- El área de las figuras semejantes está en proporción k2 que sus lados.
Apliquemos estos conceptos en ejercicios…
3- dados 2 triángulos abc y a’b’c’ cuyos perímetros miden ….. perím(abc) = 24 cm perím(a’b’c’) = 60 cm
Calcula la razón de las áreas entre abc y a’b’c’
4- El cuadrado pequeño es de 12 cm de lado.A) Calcula la razón entre el perímetro del cuadrado pequeño y el cuadrado grandeB) Calcula la razón entre sus áreas
Sugerencia: aplicá extracción de factores del radical para que te de un lindo resultado!!!
5- abcd y a’b’c’d’ son cuadrados la razón entre sus áreas es 4/9
si el área de abcd =36m2
Cuál es el perímetro de a’b’c’d’?Hablemos un poco de los triángulos
49
Para ellos tenemos ciertos criterios para comprobar que son semejantes, no hace falta comparar todos sus ángulos ni realizar la división entre todos sus lados homólogos .
Entonces que hace falta?
Puedo usar según los datos que tengo cualquiera de estos tres:
El triángulo abc ~ a’b’c’, si: ( el símbolo ~ se lee es semejante a)
1- sus lados homólogos son proporcionales
2- si dos lados homólogos son proporcionales y el ángulo comprendido es igual
3- si tiene dos ángulos respectivamente iguales
Mucho más fácil. Apliquemos estos criterios al resolver los siguientes ejercicios
6- Mostrar que el triángulo gris es semejante al rayado
7- Escribe verdadero o falso según corresponda:a) todos los triángulos rectángulos son semejantesb) todos los triángulos isósceles son semejantesc) todos los triángulos rectángulos son semejantesd) si dos triángulos rectángulos tiene un par de ángulos correspondientes agudos congruentes
son semejantes 8- Cuáles de los siguientes pares de triángulos son semejantes?
a) ab= 6 cm a’b’ = 3 cm bc= 2 cm b’c’ = 1 cm ac=5cm a’c’ = 2,5 cm
b) ab= 8 cm a’b’ = 16 cm bc= 4 cm b’c’ = 8 cm abc=30º a’b’c’ = 60º c) bc= 3 cm b’c’ = 9 cm ca= 1 cm c’a’ = 3 cm abc=45º a’b’c’ = 45º
50
Probabilidad
1. En un mazo de 40 cartas españolas, ¿cuál es la probabilidad de obtener: a) una carta de copas, b)
un siete, c) un seis de oro, d) una figura, e) una figura de bastos?
2. En una bolsa hay 12 bolas de billar, rojas y negras, marcadas como muestra la figura.
¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola que:
a) Sea negra. b) Sea blanca.
c) Tenga en número 1. d) Sea esférica.
e) Tenga el número 5.
Construye en cada caso el diagrama de Venn.
3. a) Cuatro niños se forman en hilera ordenándose al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que hayan quedado ordenados de menor a mayor?
b) ¿Y si fueran 10 niños?
4. Con tela blanca, azul, verde, roja y negra se confeccionan vestidos de baile con la blusa de un color
y la pollera de un color diferente. No hay dos vestidos iguales y están todas las variaciones que se
pueden lograr con esos colores. ¿Cuál es la probabilidad de que a una bailarina le toque el vestido
de blusa blanca y pollera azul si los vestidos se reparten al azar entre las integrantes del cuerpo de
baile?
5. En un concurso de T.V. se presenta el siguiente juego: Para ganar un departamento una persona
tiene que abrir una puerta con 2 cerraduras que simula la entrada al departamento. Tiene sobre una
mesa 5 llaves, 2 de las cuales corresponden a las cerraduras de esa puerta, pero no están
identificadas. Debe tomar 2 llaves al azar. Si consigue abrir la puerta obtiene el 1º premio. ¿Cuál es
la probabilidad de que obtenga el premio?
6. Considerando nuevamente la bolsa con bolas de billar del Ej. 2.
Construye el diagrama de Venn para cada caso y determina la probabilidad de que, al extraer una
bola se cumpla las siguientes condiciones:
I. a) Que sea roja y esté marcada con 2.
b) Que sea roja ó esté marcada con 2.
II. a) Que sea negra y esté marcada con 5.
b) Que sea negra ó esté marcada con 5.
III. a) Que sea roja y esté marcada con 5.
b) Que sea roja ó esté marcada con 5.
IV. a) Que sea roja y negra.
b) Que sea roja ó negra.
7. Se toma un mazo de 40 cartas españolas y se extrae una carta al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea “oro” y “As”?
51
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea “oro” ó “As”?
c) ¿Cuál es la posibilidad de que sea “figura” y “copa”?
d) ¿Cuál es la posibilidad de que sea “figura” ó “copa”?
8. En un cajón de cubiertos hay 12 tenedores, 12 cucharas, 12 cuchillos, 12 cucharitas de té y 6
cucharitas de café.
Se saca un cubierto al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cucharita de té?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cucharita de café?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una cucharita de té ó de café?
9. En una bolsa hay varias bolillas rojas, azules y blancas. Te informan que la probabilidad de obtener
una bolilla roja es ½ y la probabilidad de obtener una azul es 1/6.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolilla roja ó azul?
b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolilla blanca?
10. Sobre una mesa de Pool quedan 6 bolas rojas, 5 amarillas, una blanca y una negra.
Tres de las bolas amarillas tienen marcada una cruz. Las bolas rojas y la negra no tienen marca.
Se tira al azar la bola blanca.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer choque se produzca contra una bola amarilla y marcada
con la cruz?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer choque se produzca contra una bola amarilla ó contra
una bola marcada con una cruz?
11. En cada uno de los ítems marcados con números romanos indica si se trata de algún caso particular
y aplica la formula correspondiente.
En una ruleta ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número:
I. a) De la primera y tercera columna.
b) De la primera ó tercera columna.
II. a) De la primera comuna y primera docena.
b) De la primera comuna ó primera docena.
III. a) Menor y de la primera docena.
b) Menor ó de la primera docena.
IV. a) Mayor y de la primera docena.
b) Mayor ó de la primera docena.
V. a) Par e impar. (En la ruleta el “cero” no es par ni impar)
b) Par ó impar.
VI. a) Que sea colorado.
b) ¿A que propiedad corresponde la probabilidad contraria?
12. a) Considerando el caso I. (probabilidad condicionada). Obtén las siguientes probabilidades
condicionadas.
52
P(V/V) = P(V/R) = P (R/V) = P (R/R)
b) Considera ahora el caso II. y calcula
P(V/V) = P(V/R) = P (R/V) = P (R/R)
13. De un mazo de 40 cartas españolas se extrae primero una carta y luego otra.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una carta de copas en la primera extracción?
b) Consideramos ahora los siguientes casos:
I) Antes de retirar la segunda carta, la primera se reintegra al mazo y éste vuelve a mezclarse.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una copa en la segunda extracción sabiendo que en
la primera se obtuvo un 7 de copas?
II) Se extrae la primera carta, se observa que es un 7 de copas y se la deja a un lado.
Se extrae una segunda carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea de copas?
c) ¿En cuáles de los dos casos los sucesos son independientes y en cuáles dependientes?
14. Se tiran 2 dados en forma consecutiva.
a) En el primer tiro sale 3. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 3 en el 2º tiro?
b) En el primer tiro no sale 3. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 3 en el 2º tiro?
c) ¿La probabilidad de obtener 3 en el 2º tiro depende de lo que se ha obtenido en el primero?
¿Cómo son entre si estos 2 sucesos?
15. Considera un mazo que contienen las siguientes cartas españolas:
E = {1 esp, 2 oro, 5 esp, 1 copa, 1 oro, 7 copa, 3 basto, 7 esp, 4 esp, 2 esp}
a) Al extraer una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea espada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea “1”?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea “1” sabiendo que la carta extraída es de espada?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de espada sabiendo que la carta extraída es un As?
16. En un bolillero de examen hay 10 bolillas numeradas del 1 al 10.
a) Pasa el primer alumno. ¿Cuál es la probabilidad de que obtenga la bolilla “1”?
b) El primer alumno obtuvo la bolilla “1” y la volvió a colocar en el bolillero. ¿Cuál es la
probabilidad de que el segundo alumno obtenga también la bolilla “1”?
c) ¿Cuál hubiera sido, para el segundo alumno, la probabilidad de obtener la bolilla “1”
suponiendo que el primer alumno no la hubiera obtenido?
d) Compara los resultados de los puntos b) y c) y justifica.
17. Considera el conjunto de 8 bolillas dado en el ejemplo de la teoría
Construye el diagrama de Venn y calcula la probabilidad condicionada para cada uno de los
siguientes casos:
a) P (V/X) b) P (R/ ) c) P ( /V)
18. Un mazo contiene 12 cartas españolas.
E = {1 copa, 2 copa, 4 copa, 5 copa, 6 copa, 7 copa, 1 oro, 3 oro, 4 oro, 3 esp, 4 esp, 3 basto}
a) En un diagrama de Venn representa los siguientes conjuntos.
53
C = {copas} P = {pares}
b) Calcula: # C; # P; ; # E; ;
c) Calcula la probabilidad como razón entre los cardinales de los conjuntos para los siguientes casos:
I. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta de copas?
II. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta par?
III. Se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea par sabiendo que es de copa?
IV. Se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad que sea de copas sabiendo que es par?
Estadística
Ejercicio 1
Escriban cuál es la población, la variable y la muestra en cada uno de los siguientes casos.
Se preguntó a todos los socios de un club cuántos hermanos tenía cada uno.
1. ¿Cuál es la población
analizada?............................................................................................................
2. ¿Cuál es la variable estadística? ………………………………………………………………………
3. ¿Qué tipo de variable
es?........................................................................................................................
Se realizó una encuesta entre alumnos de un colegio primario para averiguar los lugares de veraneo más
elegidos por sus familias. Como el colegio tenía 1000 alumnos, se encuestó a 5 alumnos de cada uno de
los 28 cursos.
1. Población:..........................................................................................................................................
.....
2. Variable:………………………………………………………………………………………………..
3. Muestra:.............................................................................................................................................
.....
Se hizo una encuesta a los habitantes de Capital Federal para averiguar la cantidad de hijos que había
por familia. Para ello, se encuestaron los barrios de Saavedra, Flores, Devoto, La Boca, Constitución y
Retiro.
54
# C P # P # C P
1. Población:..........................................................................................................................................
.....
2. Variable:………………………………………………………………………………………………..
3. Muestra:.............................................................................................................................................
.....
Se confeccionó una encuesta entre los espectadores de los cines que se encuentran en los shoppings
para averiguar los géneros preferidos de películas. Las encuestas se realizaron en shoppings de
Avellaneda, Martínez, Munro y Palermo.
1. Población:..........................................................................................................................................
.....
2. Variable:………………………………………………………………………………………………..
3. Muestra:.............................................................................................................................................
.....
Se quiere conocer la cantidad de habitantes extranjeros en algunas provincias limítrofes de nuestro país.
La encuesta se realizará entre los habitantes de las provincias de Santa Cruz, Chubut, Río Negro,
Mendoza, Catamarca, La Rioja, Salta, Formosa, Misiones y Entre Ríos.
1. Población:..........................................................................................................................................
.....
2. Variable:………………………………………………………………………………………………..
3. Muestra:.............................................................................................................................................
.....
Ejercicio 2
Clasifiquen las variables de la siguiente tabla en: cualitativas, cuantitativas discretas o
cuantitativas continuas.
Nombre Edad Estatura
(en m)
Peso
(en kg)
Color
de ojos
Color
de tez
Hobbies Deportes
Natalia 20 1,69 60,00 Miel Blanca Ninguno Handball
Mailén 18 1,73 62,10 Azules Blanca Nadar Voley
Mariela 18 1,72 62,00 Celestes Morena Leer Ninguno
55
Variables
Ejercicio 3
Completen la siguiente tabla referida a un curso de 30 alumnos en el cual 5 usan lentes.
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
(en fracción) (en decimales)
Porcentaje de
la variable
Ejercicio 4
Completen la tabla con la información del siguiente texto.
El Servicio Meteorológico dio la siguiente información sobre el estado del tiempo en la ciudad de
Buenos Aires, durante el primer semestre del año 2007.
Enero: 10 días nublados, 5 días de lluvia y el resto de sol.
Febrero: 12 días nublados, 3 días de lluvia y el resto de sol.
Marzo: 20 días de sol, 3 días nublados y el resto de lluvia.
Abril: 12 días de sol, 15 días nublados y el resto de lluvia.
Mayo: 11 días de lluvia, 12 días de sol y el resto nublados.
Junio: 17 días de lluvia, 11 días de sol y el resto nublados.
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
(en fracción) (en decimales)
Porcentaje de la
variable
Días de lluvia
56
Días de sol
Días nublados
Total
Ejercicio 5
Completen la siguiente tabla referida a 25 modelos de una agencia.
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
(en fracción) (en decimales)
Porcentaje de la
variable
Cabello
Castaño claro
Cabello
Castaño oscuro
0,08
Cabello
Pelirrojo
Cabello
Rubio dorado
4 %
Cabello
Rubio ceniza
Cabello Negro 0,2
Total 25
Ejercicio 6
Gasto en el supermercado en una semana: $ 120; $ 200; $ 150; $ 200; $180.
Hallen la media, la mediana y la moda del gasto.
57
Media: Mediana: Moda:
Ejercicio 7
Estas son las temperaturas máximas registradas en Tandil del 25 de junio al 4 de julio del 2010.
8ºC 9ºC 8ºC 3ºC 11ºC 12ºC 10ºC 8ºC 10ºC 11ºC
Respondan:
¿Cuál es la variable? ................................................................................................................
¿Qué tipo de variable es? ……………………………………………………………………
Calculen
La media:………………….
La mediana: ………………..
La moda: ……………………..
Ejercicio 8
En una excursión a la isla Martín García, se realizó una encuesta para saber las edades de las
personas que participaban de la excursión, y se obtuvieron los siguientes datos: 15; 5; 10; 60; 30; 22; 11;
22; 39; 32; 56; 47; 22; 24, 30; 28; 12; 16; 15; 24.
Ordenen las edades de menor a mayor:
........................................................................................................................................................
Calculen
La media:………………….
La mediana: ………………..
La moda: ……………………..
El porcentaje de la moda: ……………
Ejercicio 9
Cinco chicos se inscribieron en un torneo de ajedrez. El mayor de ellos tiene 19 años. El promedio
de sus edades es 16 años. La mediana de sus edades es 15 y la moda 14 años.
Calculen:
La edad de cada uno de los chicos:
……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………..
Ejercicio 10
58
En Villa de la Paz se realizó una maratón. Se confeccionó una tabla con los datos de los
participantes y el tiempo que tardaron en llegar a la meta.
Participante
Nº
Edad Profesión Sexo Tiempo
1 15 Estudiante F 15 min
2 21 Estudiante F 20 min
3 32 Comerciante M 18 min
4 45 Comerciante M 26 min
5 33 Operario M 31 min
6 32 Operario M 16 min
7 20 Estudiante M 18 min
8 21 Empleado F 25 min
9 15 Estudiante F 24 min
10 15 Estudiante M 31 min
11 32 Empleado M 15 min
12 20 Operario M 31 min
13 32 Comerciante F 25 min
14 32 Comerciante M 30 min
Calculen
La moda de las edades, profesiones, sexo y tiempo:
………………………………………………………………………………………………………..
……………….
La mediana de la edades y del tiempo:
59
……………………………………………………………………………………………………….
………………..
La media de las edades y del tiempo:
………………………………………………………………………………………………….
……………………..
Ejercicio 11
Observen la siguiente tabla
“Longitudes de los mayores puentes”
Tipo Nombre País Longitud
(en m)
Puente suspendido Akashi-Kaykyo Japón 1.750
Puente suspendido Humber Inglaterra 1.410
Puente suspendido Verrazano
Narrows
EE.UU. (Nueva York) 1.298
Puente suspendido Goleen Gate EE.UU. (California) 1.280
Puente suspendido Mackinac EE.UU. (Michigan) 1.158
Puente con arco de
acero
Fayetteville EE.UU. (Virginia) 518
Puente con arco de
acero
Bayote EE.UU. (Nueva
Jersey)
504
Puente con arco de
acero
Sydney Australia 503
Calculen
La moda de los tipos de puentes y países.
………………………………………………………………………………………………………..
……………….
60
La longitud promedio de los puentes.
……………………………………………………………………………………………………….
………………..
La mediana de la longitud de los puentes.
………………………………………………………………………………………………….
……………………..
Ejercicio 12
Completen los promedios de cada materia y los generales en el siguiente boletín
Matemáti
ca
Lengu
a
Ciencias
sociales
Ciencias
naturales
Plástica
Inglés
Computación
Educ.
Física
Promedio
General
1º trim. 9 6 8 7 8,50 6 9 7,50
2º trim. 7 6,50 8 7 7 5 8,50 7,50
3º trim. 7 7,50 7,50 7 7,50 5 10 8
Promedi
o
Ejercicio 13
Completen el siguiente cuadro referido a la bebida que ingieren en su desayuno 60
personas.
Frecuenciaabsoluta
Frecuenciarelativa
Porcentaje dela variable
Ángulo centralcorrespondiente
Mate 18
Té 12
Té con
leche
8
Café 15
61
Café con
leche
7
TOTAL 60
Confeccionen el gráfico de torta correspondiente.
Ejercicio 14
En una muestra de 20 monedas se registraron los siguientes pesos:
1g 1,6g 3g 2,2g 0,9g 3,1g 2,8g 2,4g 1,7g 3,5g
4,2g 2,5g 1,8g 1,9g 2g 3,4g 4g 4,1g 4,3g 2,7g
Completen la siguiente tabla.
Frecuencia
absoluta
Frecuencia
relativa
Total
Ejercicio 15
La siguiente tabla muestra las edades, distribuidas por categorías, de los socios de un club que
concurren a la colonia de vacaciones.
Construyan el histograma correspondiente.
62
Frecuencia
Absoluta
25
30
50
45
40
20
Respondan.
¿Cuántos chicos concurren a la colonia?………………………..
¿Cuántos tienen menos de 9 años?………………………………
¿Cuántos tienen 12 años o más?…………………………………
Ejercicio 16
En una fábrica de pilas, se hizo una prueba con las pilas alcalinas. Para ello, se pusieron a funcionar
20 juguetes iguales que llevaban una pila cada uno.
Los tiempos de duración (en minutos) de cada una de las pilas fueron los siguientes:
65 62 70 61 66 62 66 71 75 65
68 64 63 65 71 65 67 68 71 70
Ordenen los datos en forma creciente.
……………………………………………………………………………………………………………………
………………...
Respondan.
¿Cuál es la moda? ¿Cuál es la media? ¿Cuál es la mediana?
63
…………………………………
…
………………………………………
…………………………………………
.
Completen la siguiente tabla. Construyan el histograma correspondiente..
Ejercicio 17
El Servicio Meteorológico registró las temperaturas mínimas y máximas de todo el mes de enero de
2000 en la ciudad de Córdoba. Las temperaturas están expresadas en grados centígrados (ºC).
Enero/2011
Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
1 20-30
2 25-32 3 21-28 4 19-28 5 18-26 6 22-29 7 16-24 8 23-33
9 23-33 10 25-32 11 25-36 12 26-35 13 22-30 14 21-29 15 23-33
16 23-36 17 22-31 18 22-34 19 18-26 20 21-29 21 22-29 22 18-26
23 23-33 24 18-26 25 22-34 26 24-28 27 22-30 28 21-29 29 22-34
30 18-26 31 19-28
Ordenen todas las temperaturas mínimas en forma creciente.
64
Tiempo
(en minutos)
Frecuencia
Absoluta
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………
Ordenen todas las temperaturas máximas en forma creciente.
…………………………………………………………………………………………………………………………
…………
Completen las siguientes tablas y hallen la media, mediana y moda para cada una de ellas.
Temperaturas mínimas Temperaturas máximas
Media: ………………….. Media: ………………………..
Mediana: ……………….. Mediana: ……………………..
Moda: …………………… Moda: ………………………..
65
Temperatura
(en ºC)
Frecuencia
Absoluta
INDICE
NÚMEROS REALES..............................................................................................................................2
SUCESIONES.......................................................................................................................................7
FUNCIONES......................................................................................................................................11
FUNCIÓN LINEAL..............................................................................................................................18
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES...............................................................................................24
FUNCIÓN MÓDULO O VALOR ABSOLUTO........................................................................................26
FUNCIONES DEFINIDAS POR TRAMOS LINEALES..............................................................................27
FUNCIÓN POLINÓMICA DE SEGUNDO GRADO.................................................................................28
FUNCIÓN POLINÓMICA....................................................................................................................34
FUNCIÓN RACIONAL.........................................................................................................................36
FUNCIÓN EXPONENCIAL..................................................................................................................38
FUNCIÓN LOGARÍTMICA..................................................................................................................41
ELIPSE...............................................................................................................................................43
HIPÉRBOLA.......................................................................................................................................44
Semejanza........................................................................................................................................45
Probabilidad.....................................................................................................................................49
Estadística........................................................................................................................................52
66
