Cuadernillo de álgebra

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE

CHIHUAHUA

CECyT 8, CUAUHTÉMOC

ÁLGEBRA

Guía y cuadernillo de trabajo

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS

Esta Guía fue elaborada por:

Ing. Eduardo García Mendoza

2

PROPÓSITO DEL CURSOQue el estudiante desarrolle el razonamiento matemático, haga uso del lenguaje algebraico, a partir de la resolución de problemas de la vida cotidiana, dentro y fuera del contexto matemático, representados en modelos donde se aplican conocimientos y conceptos algebraicos.

MAPA DEL CURSO

Á L G E B R A

Lenguaje algebraico Ecuaciones

Expresión algebraica

- Suma, resta, multiplicación y división- Leyes de los exponentes y radicales- Productos notables- Factorización

Ecuaciones

cuadráticas

Operaciones

fundamentalesEcuaciones lineales

- Notación-Representaciones algebraicas de expresiones en lenguaje común.- interpretación de expresiones algebraicas.- Evaluación numérica de expresiones algebraicas

Con una incógnita

Con dos y tres incógnitas

- Métodos desolución

Resolución y evaluación de ecuaciones

- sistemas de ecuaciones

- Métodos de solución

El Álgebra es un lenguaje universal, ya que en todo el mundo su simbología es la misma y cualquiera puede comprenderla.

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ÍNDICE

Propósito del curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mapa del curso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Evaluación Diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

PARTE I. Lenguaje algebraico

Unidad I. Expresión algebraica

1.1. Notación algebraica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Evaluación numérica de expresiones algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Unidad II. Operaciones fundamentales

2.1. Operaciones fundamentales Aritméticas (Leyes de los signos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Leyes de los exponentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Operaciones fundamentales algebraicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Suma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Resta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Multiplicación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 División. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4. Productos notables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5. Factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

PARTE II. Ecuaciones

Unidad III. Ecuaciones Lineales

3.1. Ecuaciones lineales con una incógnita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. Ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Método de reducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Método de igualación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Método de sustitución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Con tres incógnitas. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Unidad IV. Ecuaciones Cuadráticas

4.1. Clasificación de ecuaciones cuadráticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Métodos de solución. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Fórmula general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Factorización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Método gráfico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Anexos

Autoevaluación 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Autoevaluación 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Autoevaluación 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

INSTRUCCIONES: EN EQUIPOS DE 5 PERSONAS CONTESTAR EL SIGUIENTE CUESTIONARIO

1.- EXPLICA PORQUE EL ÁLGEBRA ES UN LENGUAJE UNIVERSAL

2.- DEFINE ÁLGEBRA CON TUS PROPIAS PALABRAS

3.- ¿QUÉ SÍMBOLOS SE UTILIZAN EN ÁLGEBRA PARA REPRESENTAR CANTIDADES?

4.- ¿QUÉ ES UN COEFICIENTE?

5.- MENCIONA LOS SIGNOS DE OPERACIÓN QUE SE UTILIZAN EN ÁLGEBRA?

6.- MENCIONA LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN

7.- DEFINE TÉRMINO

8.- QUE ES UN MONOMIO Y QUE ES UN POLINOMIO

9.-LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ESTAN EN LENGUAJE COMÚN, EXPRESALAS EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

a) UN NÚMERO

b) UN NÚMERO AUMENTADO EN DOS

c) LA CUARTA PARTE DE UN NÚMERO

d) EL TRIPLE DE UN NÚMERO

e) CINCO VECES LA SUMA DE UN NÚMERO Y CUATRO UNIDADES

10.- ESCRIBE EN LENGUAJE COMÚN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

a) 4 a

b) x/5

c) 3b2

d) 1/2x = ¾

e) a = l2

11.- DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES:

a) 3 a + 7 = SI a = 3

b) 4m/2 + 2n = SI m = 2 y n = 7

5

PARTE ILENGUAJE ALGEBRAICO

6

UNIDAD IEXPRESIÓN ALGEBRAICA

COMPETENCIAS A DESARROLLAR

GENÉRICA 5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo que cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.DISCIPLINAR Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

ÁLGEBRA

Es la parte de las matemáticas que generaliza, sustituye y simplifica todas las operaciones que intervienen en el cálculo numérico y la geometría.

Para generalizar, el álgebra, utiliza letras que pueden representar todos los valores. El ejemplo más funcional de las aplicaciones prácticas del álgebra esta en el uso de las fórmulas geométricas empleadas para calcular áreas y perímetros; mientras que en física, las leyes debidamente comprobadas se interpretan por medio de fórmulas.

1.1. NOTACIÓN ALGEBRAICA

Para representar cantidades en álgebra se utilizan números, que son cantidades conocidas y, letras para cantidades conocidas y desconocidas.

Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e...

Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...

Variable Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:

Dada la función y= 3x, si asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiará conforme "Varia" el valor de “x", por ejemplo:

Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3

y = 3(1) y = 3(2) y = 3(3)

y = 3 y = 6 y = 9

7

ConstanteEs cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO:

Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetroExpresiones algebraicasSe conoce como expresión algebraica a cualquier literal sola, así como al grupo de números y literales compuestas de signos operacionales de suma, resta, multiplicación, etc.EJEMPLOS:

x, 6x, 7ab2, x – 4y, 2x3 + 4x2y – 5xy2 + y3

Término algebraicoEs cada una de las partes de una expresión algebraica separada por un signo de (+) o de (-).Todo término algebraico consta de un factor numérico llamado coeficiente y de una parte literal.

El coeficiente es el valor numérico, que multiplica a los otros factores que forman la parte literal. Cuando el coeficiente es la unidad (1), éste no se escribe. En ocasiones una letra puede hacer las veces de coeficiente: en ax2y el coeficiente es “a”.

La parte literal esta integrada por las letras con sus respectivos exponentes.

El exponente es el número que indica cuantas veces la base se multiplica por si misma.

EJEMPLOS:

TÉRMINO COEFICIENTE PARTE LITERAL

x 1 x

2b 2 b

3x2y 3 x2y

5(x2 – y3) 5 (x2 – y3)

x3y4z2 1 x3y4z2

axy2 a xy2

EJERCICIO 1.1.1Completa la siguiente tabla escribiendo los coeficientes o la parte literal faltante.

TÉRMINO COEFICIENTE PARTE LITERAL

y

5ab3

3x3

ax5y2

-6 a2b4c7

8

-x2y4z

9(a + b3)

-2 m2n

½ x4y2z4

x3y2z

-2xy2

3

Clasificación de expresiones algebraicasLas expresiones algebraicas se clasifican generalmente en monomios y polinomios:

El monomio es una expresión algebraica que consta de un solo término.El polinomio es una expresión algebraica que consta de dos o más términos. Algunos polinomios reciben nombres especiales; el polinomio de dos términos se denomina binomio y el de tres términos trinomio.

1.2. TRADUCCIÓN DEL LENGUAJE COMÚN AL LENGUAJE ALGEBRAICO

En el lenguaje común o verbal se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos. Ejemplos:

LENGUAJE COMÚN LENGUAJE ALGEBRAICO

Un número cualquiera x

La suma de dos números a + b

El producto de dos números xy

El triple de un número 3b

La mitad de un número ½ x o x/2

La diferencia del doble de un número menossiete 2x – 7

La raíz cúbica de un número 3√ x

El cubo de un número x3

La suma de los cuadrados de dos números x2 + y2

El doble producto de la diferencia de dos números 2(x + y)

La semisuma de dos números a + b 2

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EJERCICIO 1.2.1Expresar las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común:

1.- El doble de un número ___________________________________________________

2.- La diferencia de los cuadrados de dos números ________________________________

3.- El cociente de dos números _______________________________________________

4.- La mitad del cuadrado de un número ________________________________________

5.- El triple de un número disminuido en 12 ______________________________________

6.- La raíz cuadrada del producto de dos números ________________________________

7.- El triple producto de la suma de dos números _________________________________

8.- El triple producto del cuadrado de un número por otro número ____________________

9.- La semidiferencia de dos números __________________________________________

10.- El producto del cuadrado de un número por la suma de otros dos ________________

EJERCICIO 1.2.2Traducir las siguientes expresiones algebraicas al lenguaje común o verbal:

1.- x ___________________________________________________________________

2.- 5x __________________________________________________________________

3.- xy2 _________________________________________________________________

4.- m + n _______________________________________________________________

5.- 3(x – y) ______________________________________________________________

6.- 1/3 x2 _______________________________________________________________

7.- √ x ________________________________________________________________

8.- x/y _________________________________________________________________

9.- 3x – 4 _______________________________________________________________

10.- x3 + y3 ______________________________________________________________

11.- x + y 2 _______________________________________________________________

12.- (x + y)2 ______________________________________________________________

13.- x + y u – v _______________________________________________________________

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1.3. EVALUACIÓN NUMÉRICA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Dado el valor numérico de la(s) variable(s) de una expresión algebraica, puede determinarse su valor con solo realizar la sustitución de dichos valores. EJEMPLO:

Si x = 7 en la expresión 3x + 2 =Entonces 3(7) + 2 = sustituyendo x 21 + 2 = al multiplicar 3(7) 21 + 2 = 23 realizando la suma.

Por lo tanto 3x + 2 = 23 cuando x = 7

Otras sugerencias para realizar la evaluación:

2x2 – x + 5 = x = 3

-2x3 + 4x2 – 8x + 3 =x = -3

x2 – 4xy + y2 =x = 2 y = 3

EJERCICIO 1.3.1Encuentra el valor numérico para las siguientes expresiones algebraicas.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA SUSTITUCIÓN RESULTADO

4x – 3 =

X = -3

4x – 3 =

4(-3) – 3 =

-12 – 3 = -154x – 3 = -15

7x – 9 =

x = 2

3x2 – x + 4 =

x = 5

-x2 – 5x + 7 =

x = -2

11

-5x2 – 6x – 8 =

x = 10

- 4x3 + 6x2 + x – 2 =

x = 9

6x2 – 3y =

x = 2 y = -3

7x2 – 2y2 – 4 =

x = -5 y = 4

x3 + x2 + 5x – 9 =

x = 4

x2 + 2xy – y2 =

x = 3 y = -2

-x3 + x2 – x + 1 =

x = -1

-2x3 + x2y2 – 3y3 =

x = - 4 y = 3

½ x4 – 2x3 + 2/3 x2 - 3x +1 =

x = - 5

12

UNIDAD IIOPERACIONES FUNDAMENTALES



2.1. OPERACIONES FUNDAMENTALES ARITMÉTICAS (LEYES DE LOS SIGNOS)

Suma y resta1.- Para sumar expresiones con cantidades del mismo signo, dichas cantidades se suman conservando el signo. 2.- Para sumar expresiones con cantidades de signo distinto, dichas cantidades se restan anteponiendo a dicho resultado el signo de la cantidad mayor.

EJERCICIO 2.1.1Efectúa las siguientes operaciones:

1) 8 + 3 = 15) – 6 – 5 + (- 2) +3 = 2) -5 – 3 =

3) – 4 + 5 = 16) 8 – (- 4) + (- 5) – (- 5) =

4) – 7 + 2 =

5) 7 – 3 = 17) – (- 6) + (- 3) – 5 + (- 4) =

6) 3 – 9 =

7) – 2 – 4 + 5 = 18) – (- 3) – (- 9) – (- 2) + (- 2) =

8) 2 – 5 – 7 =

9) - 3 + 4 – 8 = 19) 1 - 3 + 2 = 3 2 510) – 4 - 9 + 1 + 12 =

11) 2 – 5 + 4 – 3 +1 =

20) 3 + 4 – 2 = 4 3 5

12) 15 – 12 + 10 + 5 – 18 = 21) -5 – 3 + 6 + 2 =

13

6 2 4 3

13) - 14 + 12 – 16 + 4 – 5 =

14) 5 + (- 8) – (- 2) + 1 =

EJERCICIO 2. 1. 2Resuelve los siguientes problemas de la misma manera que el ejemplo propuesto.

1.- Juan gana $350 a la semana en la tienda de su tío y $250 en un taller. ¿Cuánto gana en total?DATOS OPERACIONES RESULTADO

$ 350 TIENDA$ 250 TALLER 350 + 250 = $600 EN TOTAL

2.- Si debo a un amigo $70 y a otro le debo $30. ¿Cómo expreso mi estado de cuenta?Nota: los adeudos deben llevar signo negativo.DATOS OPERACIONES RESULTADO

3.- Gané en la semana $530 en mi trabajo, pero pagué una cuenta de $135. ¿Con cuanto dinero cuento? DATOS OPERACIONES RESULTADO

4.- De mis ahorros en el banco he realizado las siguientes operaciones: depósito $325, retiro $15, depósito $140, depósito 650, retiro 400 y depósito $150; ¿Cuál es mi estado de cuenta actual?DATOS OPERACIONES RESULTADO

5.- Una ciudad con una población de 15000 habitantes disminuye en 800 individuos por año. ¿Cuál es la población al cabo de 3 años?DATOS OPERACIONES RESULTADO

Multiplicación y división

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1.- Cuando se multiplican o dividen cantidades del mismo signo, el resultado es un número positivo. 2.- Cuando se multiplican o dividen cantidades de distinto signo, el resultado es un número negativo.

EJERCICIO 2.1.3Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones:

1) (2)(5) = 13) (-45) / (-5) =2) - 4 : 5 = 14) (-4)(2)(-3)(2) =

3) (-12)(3) = 15) - 12 : (-3) =4) -8 / - 2 = 16) (-3)(-5)(3)(-1)(2) =

5) (10)(-6) = 17) (- 90) / (3) =6) (6) : 2 = 18) 60 : (-12) =

7) (-7)(-8) = 19) _ 1 * 3 = 5 2

8) 28 / (- 7) =

9) (-2)(8)(-5) = 20) _ 2 : 4 = 7 3

10) 125 : 25 =

11) (6)(-5)(3) = 21) _ 4 * _ 1 = 3 6

12) (-4)(2)(-3)(2) =

22) 5 : _ 3 =4 8

EJERCICIO 2. 1. 4Resuelve los siguientes problemas.

1.- Es el producto de 5 veces -6. DATOS OPERACIONES RESULTADO

2.- Es el cociente de dividir -450 entre 5. DATOS OPERACIONES RESULTADO

3.- El alquiler de un automóvil es de $350 por día, más $15 por kilómetro recorrido. Si un cliente lo utilizo por 4 días DATOS OPERACIONES RESULTADO

15

4.- La suma de los ángulos de un triángulo es de 180°. Si los ángulos son iguales, calcule cuanto mide cada ángulo.DATOS OPERACIONES RESULTADO

5.- En un supermercado se redujo el precio de las computadoras en un 15%. Sí el precio original era de $8500. ¿Cuál ee el precio actual?DATOS OPERACIONES RESULTADO

6.- El renta mensual de un teléfono más el internet es de $395. ¿Cuánto se paga diariamente?DATOS OPERACIONES RESULTADO

7.- Iván recibe un salario semanal de $360 más 10% de comisión por el total de ventas realizadas. ¿Cuánto ganó éste mes si las ventas ascendieron a $2800?DATOS OPERACIONES RESULTADO

8.- La base de un triángulo es 1/3 de su altura. Sí mide 168 cm. de altura. ¿Cuánto mide de base?DATOS OPERACIONES RESULTADO

2.2. LEYES DE LOS EXPONENTES

ExponenteEs el número que indica cuantas veces la base se multiplica por sí misma.

16

Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes de los exponentes enteros y positivos, las cuales son:

1.- Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman.

( x2 ) ( x3 ) = x2+3 entonces ( x2 ) ( x3 ) = x5

2.- Cuando dos potencias de la misma base se dividen, sus exponentes se restan.

x5 = x5-3 entonces x5 = x2

x3 x3

x2 = x2-5 entonces x2 = x-3 que es igual a 1x5 x5 x3

x2 = x2-2 entonces x2 = x0 que es igual a 1x2 x2

3.- Cuando una potencia base se eleva a otra potencia, los exponentes se multiplican.

( x3 )5 = x(3)(5) entonces ( x3 )5 = x15

4.- Cuando un producto de uno o más factores se elevan a la vez a una potencia, cada factor

estará elevado a dicha potencia.

( xy )3 = x3y3

5.- Cuando un cociente se eleva a una potencia, tanto el dividendo como el divisor estarán

elevados a dicha potencia.

( x/y )4 = x4/y4

EJERCICIO 2.2.1Efectúa las siguientes operaciones con potencias:

1. (x2)(x)(x3) = 5. x2 / x4 = 9. (x/y2)3 =

2. y3 / y = 6. (4x3)(3x)(2x4) = 10. (x2/y5)2 =

3. (x)(x) = 7. x3/x3 = 11. y5/y4 =

4. (4x)(2x2) = 8. 12y3/3y2 = 12. 6x/2x3 =2.3. OPERACIONES FUNDAMENTALES ALGEBRAICAS

Términos semejantesSon dos o más términos que tienen la misma parte literal afectada por los mismos exponentes.

17

De los términos: x2y, 4x3y2, -5x2y, 3x3y, -x3y2, 2x3yx2y, -5x2y Son términos semejantes.4x3y2, -x3y2 Son términos semejantes.3x3y, 2x3y Son términos semejantes.

EJERCICIO 2.3.1Elije y escribe del rectángulo los términos que sean semejantes a los escritos al inicio de cada renglón:

x2y ____________________________________________________________________

xy2 _____________________________________________________________________

m3n _____________________________________________________________________

x2y2 _____________________________________________________________________

mn3 _____________________________________________________________________

m2n2 ____________________________________________________________________

Reducción de términos semejantes (Suma y resta de monomios)Operación por medio de la cual se obtiene un solo término, a partir de dos o más términos que son semejantes.

EJERCICIO 2.3.2.Reducir términos semejantes:

1. x + 3x = ______________________ 7. – 4x4y3 – 2x3y4 + x4y3 - 7 x3y4 = __________

2. – 5y – 2y = ____________________ 8. 9x – x2 + 7 – 2x2 – 6x + 7 = _____________

3. 4x2 + 3x2 – x = _________________ 9. – x3 – 3y3 + 4x3 – 3 + 3y3 – 5 = ___________

4. 5x3 – 4x2 – 4x3 + 3x2 = ___________ 10. ½ x + ¾ x3 + 2/3 x – 5/4 x3 = ____________

5. x2y – 2xy2 – 2x2y – xy2 = _________ 11. 2xy2 – ½ x2y + 7/3 xy2 + 3/7x2y = _________

6. 3x – 2 – 6x2 – 7x2 – 3x = __________ 12. – 2/3 y2 – 5/2 x2 + 3/7 y2 + ¼ x2 = ________

SUMA DE POLINOMIOSLa suma de polinomios comúnmente se escribe incluyendo a los sumandos entre paréntesis o separados por comas. Para resolver, se escriben los polinomios unos debajo de los otros, procurando que los términos semejantes queden en columna, y se realiza la reducción.

-x2y 7m3n -2x2y2 4xy2 -mn3 4x2y 6xy2 -5m2n2 8m3n-4x2y2 3mn3 9m2n2 3xy2 -2m2n2 5x2y 3m3n -2mn3 -9xy2

7m2n2 -1/3mn3 x2y2 5m3n 3xy2 6m2n2 2x2y 3/2mn3 -m3n

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EJERCICIO 2.3.3. OperacionesSumar:

1. (x–y) + (2x-z +3y) + (5y-4x) = _________________________________

2. –x+4x2-3, -5-6x2, 2x–x2+1 = __________________________________

3. (-7x2+xy-y2) + (-x2+xy-4y2) + (-2xy+3x2+4y2) + (3x2-2y2+5) = ________

4. 5x3+4x-3x2, -9x2+3-2x, x3+5x2-7+2x = __________________________

5. (x6-6x4+2x2-x-7) + (3x4+x-4x2-7x6-3) + (x6+3x4-9x2-2) = ______________

6. -x2+5xy-y2, -3x2-xy-4-y2, -xy-4x2+y2, x2-6y2+5 = __________________

RESTA DE POLINOMIOSPara realizar la resta de polinomios, se cambia el signo a todos los términos del sustraendo y se concluye la operación como en el apartado anterior. (Suma de polinomios).

19

EJERCICIO 2.3.4. Operaciones Resuelve correctamente:

1. De 2x-3y Restar -x+y = ___________________________________

2. (x2-3xy+y2) - (-4xy-y2+3x2) = ___________________________________

3. De x2-3x Restar -5x+6 = ___________________________________

4. (y2+6y3-7-y) - (2y4-3y-5y2-7y3) = _________________________________

5. De -x4+x2-3x-1 Restar 2x4-2x2+4x-1 = _________________________

6. (x-y+2z) - (-x+2y-3z) = _________________________________________

7. De 3/7x2+1/3xy-3/5y2 Restar 5/14x2+1/2xy–1/6 = _______________

8. (1/2x2-3/4y2+2/3z2) - (-5+x2-z2+y2) = _______________________________

MULTIPLICACIÓNRecuerda que:

1.- Cuando dos potencias de la misma base se multiplican, sus exponentes se suman. EJEMPLO:( x2 ) ( x3 ) = x2+3 entonces ( x2 ) ( x3 ) = x5

20

Multiplicación de monomiosPara efectuar la operación, se multiplican los coeficientes y a continuación se escriben las letras en orden alfabético con la suma de sus exponentes.

EJERCICIO 2.3.5.Multiplicar:

1. (3x2) (-2x) = _________ 5. (-4x3) (x2) = _________ 9. (4ax4) (5xy3) = _________

2. (-4x2y) (-2xy2) = ______ 6. (9x5y2) (-yx2) = ______ 10. (-x3y2) (3xy2) = ________

3. (7x3yz2) (xyz5) = ______ 7. (-x2y2z) (-6x2z2) =_____ 11. (5m2n) (-3m2n3) = _____

4. (-8xy3) (7xy) = _______ 8. (1/2x2) (3/4xy2) = ____ 12. (-2/3y3) (-1/4y) = ______

Multiplicación de monomio por polinomioPara encontrar el producto de la multiplicación, se multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio. Los exponentes deben escribirse en forma decreciente para una literal.

EJERCICIO 2.3.6.Multiplicar:

Orden descendente con relación a PRODUCTO una misma letra (Solo si es necesario)

1. (3x) (4x5-2x3+7x) = ____________________________ = _________________________

2. (-y) (3y+5-4y3) = _____________________________ = _________________________

3. (-m2n) (-m2-5mn+n2) = _________________________ = _________________________

4. (6x3) (4-3x-8x2) = ________________________________ = _________________________

5. (2x2) (-5x+3x2+7) = ____________________________ = __________________________

6. (4y2) (6y2-3y+5) = _____________________________ = __________________________

7. (5m3) (6m7-10m5+9m3) = ________________________ = _________________________

8. (x) (-3-5x+7x2) = _______________________________ = _________________________ 9. (1/3x4) (3/2x3-1/4x2+2/3x) = ______________________ = ________________________

10. (-3/4y) (-1/2-2/3y2-1/4y) = _______________________ = ________________________

Multiplicación de polinomio por polinomio

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Para encontrar el producto, se multiplican cada uno de los términos del multiplicando por cada uno de los términos del multiplicador; no olvidar reducir términos semejantes y escribir los exponentes en forma decreciente para una literal.

EJERCICIO 2.3.7.Multiplicar:1. (x-5) (x-4) = __________________________ 2. (-x+2) (-x+5) = ________________________

3. (y+1) (3+y2-3y-y3) = ____________________ 4. (x-y) (x2+xy+y2) = ______________________

5. (x2+y2-2xy) (x-y) = _____________________ 6. (x3-x+x2) (x-1) = ________________________

22

7. (3x3+5-6x) (x2+2) = ____________________ 8. (4m-5n) (3m2-5mn+2n2) = ________________

9. (x4-3x2+4) (3x3-2x+1) = _________________ 10. (1/2x-2/5y) (5/6y+1/3x) = ________________

23

DIVISIÓNRecuerda que:

División de monomiosPara encontrar el cociente de la división, se dividen el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y luego se escriben las letras en orden alfabético con el exponente resultante de la diferencia, de acuerdo a la ley de los exponentes ejemplificada en el recuadro.

EJERCICIO 2.3.8.Dividir:

1. 14x3y4 : ( -2xy2) = _____ 5. (-5y2) : (-y) = _________ 9. (-8x2y3) : (-8x2y3) = ______

2. 5x4y5 / 6x4y = ________ 6. 9x5y2 : ( -yx2) = _______ 10. (-x3y2) : 3xy3 = ________

3. 8x3yz2 : 2xyz5 = _______ 7. (-12x4y3z7) :(-4x2z2) =___ 11. (5m4n5) : (-3m2n3) = ____

4. -10xy / 5xy = _________ 8. (2/3x2y5)/(1/5xy2) = ____ 12. (2/3y3) : (-1/4y2) = _____

División de polinomio entre monomioEl cociente se obtiene dividiendo cada uno de los términos del dividendo entre el monomio divisor. Los términos del polinomio deben ordenarse en caso de ser necesario.


Orden descendente con relación a COCIENTE una misma letra (Solo si es necesario)

1. (x2-xy) / (x) = __________________________________ = ________________________

2. (4x6-10x5-5x4) : (-2x3) = __________________________ = ________________________

3. (6x3-8x2y+20xy2) / (-2x) = _________________________ = ________________________

4. (-10x2+x4-5x3+15x) : (-5x) = _________________________ = ________________________

5. (6x4y3-5x2y4) / (-3x2y) = __________________________ = ________________________

6. (9x8y3-3x6y6-6x2y9) : (3x2y3) = _______________________ = _______________________

2.- Cuando dos potencias de la misma base se dividen, sus exponentes se restan.

x5 = x5-3 entonces x5 = x2

x3 x3

x2 = x2-5 entonces x2 = x-3 que es igual a 1x5 x5 x3

x2 = x2-2 entonces x2 = x0 que es igual a 1x2 x2

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7. (5x5-10x7+15x3-20x4) / (5x3) = _____________________ = ________________________

8. (12y4-16y3+4y2-8y) : (4y) = _______________________ = ________________________ 9. (3/2x3-1/4x2+2/3x) / (1/2x) = ______________________ = ________________________

10. (-1/2y2-2/3y3-1/4y) : (-3/4y) : = _____________________ = ________________________

División de polinomio entre polinomioPara encontrar el cociente sigue muy atentamente la explicación de tu profesor, no olvides ordenar los términos con base a la primera literal.


1. (x2+2x -3) / (x+3) = ______________________ 2. (y2-20+y) : (y+5) = ______________________

3. (6+x2+5x) : (x+2) = _______________________ 4. (-15x2+22xy-8y2) / (-3x+2y) = _____________

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5. (14y2-12+22y) / (7y-3) = ___________________ 6. (32y2-54x2+12xy) : (9x-8y) = ______________

7. (x4-x2-2x-1) : (x2+x+1) = ____________________ 8. (y5+12y2-5y) / (y2-2y+5) = ________________

26

2.4. PRODUCTOS NOTABLES

Se denominan productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y puede escribirse su resultado en base a las mismas.

Binomio al cuadradoEl resultado del binomio al cuadrado se llama Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP) y su forma general es a2 +2ab +b2.

EJERCICIO 2.4.1.Determinar el TCP correcto siguiendo la regla general:

1. ( x – y )2 = ___________________________ 11. ( 6x2y + z2 )2 = ________________________

2. ( x + y )2 = ___________________________ 12. ( 7y3 – 2 )2 = __________________________

3. ( 2x - y )2 = __________________________ 13. ( x3 + 4y3 )2 = _________________________

4. ( 3x + 2y )2 = _________________________ 14. ( 13x3y2 – 9z3 )2 = ______________________

5. ( 4x2 – 5y3 )2 = ________________________ 15. ( 5x3y5 + 8z4 )2 = _______________________

6. ( 10x3 + y2 )2 = ________________________ 16. ( y – 12z3 )2 = _________________________

7. ( 6x4 – 8y5 )2 = ________________________ 17. ( 10x3y4z2 + 6 )2 = ______________________

8. ( x2 + 9y6 )2 = _________________________ 18. ( 7x3y3z2 - 9 )2 = _______________________

9. ( 7x – 11y4 )2 = ________________________ 19. ( 3x4 – 8y3 )2 = ________________________

10. ( 12x2 – 1 )2 = ___________________________ 20. ( 11x6y3 + 12z5 )2 = _____________________

Binomios conjugadosSe llaman binomios conjugados a aquellos que tienen dos términos iguales y dos simétricos; en (a+b) y (a-b), los términos “a” son iguales y los términos +b y –b son simétricos. (uno es positivo y otro negativo).Al producto de dos binomios conjugados se le denomina diferencia de cuadrados y su forma general es a 2 - b 2 .

La regla general para obtener el Trinomio cuadrado perfecto es:

1.- El cuadrado del primer término2.- Signo del segundo término3.- El doble producto del primero por el segundo4.- Signo positivo siempre5.- El cuadrado del segundo término

La regla general para obtener la diferencia de cuadrados es:

1.- Se escribe la diferencia de cuadrados de ambos términos2.- Se escribe el signo negativo al término que proviene de los términos simétricos.

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EJERCICIO 2.4.2.Determinar la diferencia de cuadrados correcta siguiendo la regla general:

1. ( x – y ) ( x + y ) = ____________________ 11. ( 6x2y + z2 ) ( 6x2y - z2 ) = ______________________

2. ( 2x - y ) ( 2x + y ) = _________________ 12. ( x3 + 4y3 ) ( x3 - 4y3 ) = ________________________

3. ( x2 + y ) ( x2 - y ) = ___________________ 13. ( 7y3 – 2 ) ( 7y3 + 2 ) = ________________________

4. ( 6x4 – 8y5 ) ( 6x4 + 8y5 ) = _____________ 14. ( 10x3y4z2 + 6 ) ( 10x3y4z2 - 6 ) = _________________

5. ( 10x3 + y2 ) ( 10x3 - y2 ) = _____________ 15. (- y + 12z3 ) ( y + 12z3 ) = ______________________

6. ( 12x2 – 1 ) ( 12x2 + 1 ) = _______________ 16. ( 11x6y3 + 12z5 ) ( 11x6y3 - 12z5 ) = _______________

7. ( x2 + 9y6 ) ( x2 - 9y6 ) = _______________ 17. ( 7x3y3z2 - 9 ) ( 7x3y3z2 + 9 ) = ___________________

8. ( 4x2 – 5y3 ) ( 4x2 + 5y3 ) = _____________ 18. (- 5x3y5 + 8z4 ) ( 5x3y5 + 8z4 ) = __________________

9. ( 7x – 11y4 ) ( 7x + 11y4 ) = ____________ 19. ( 3x4 – 8y3 ) ( 3x4 + 8y3 ) = ______________________

10. ( 3x + 2y ) ( 3x - 2y ) = _______________ 20. ( -13x3y2 + 9z3 ) ( 13x3y2 + 9z3 ) = ________________

Binomios con un término común.Para dos binomios como (x+a) (x-b), “x” es el término común ya que esta presente en ambos binomios, a los términos “a” y “b” se les llama términos no comunes. El producto de de dos binomios con un término común es un trinomio de la forma x 2 + bx + c.

EJERCICIO 2.4.3.Determinar el trinomio de la forma x2+bx+c correcto siguiendo la regla general:

1. ( x + 1 ) ( x + 2 ) = ___________________ 11. ( m - 11 ) ( m + 10 ) = _________________________

2. ( y + 4 ) ( y + 2 ) = ___________________ 12. ( y + 10 ) ( y - 19 ) = __________________________

3. ( x + 5 ) ( x - 2 ) = ____________________ 13. ( x2 - 7 ) (x2 - 1 ) = ___________________________

4. ( m – 5 ) ( m - 6 ) = __________________ 14. ( x3 - 6 ) (x3 + 7 ) = ____________________________

5. ( x - 3 ) ( x + 7 ) = ____________________ 15. ( m3 - 6 ) ( m3 + 3 ) = __________________________

6. ( y + 2 ) ( y - 1 ) = ____________________ 16. ( y5 - 2 ) (y5 + 7 ) = ____________________________

7. ( x - 1 ) ( x - 3 ) = ____________________ 17. ( x4 + 8 ) (x4 - 1 ) = ____________________________

8. ( m - 5 ) ( m + 4 ) = ___________________ 18. ( n6 + 7 ) (n6 - 9 ) = ___________________________

La regla general para obtener el trinomio x2+bx+c es:

1.- Se obtiene el producto del término común 2.- La suma algebraica de los términos no comunes por el común3.- El producto de los no comunes

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9. ( x2 + 5 ) (x2 + 9 ) = ___________________ 19. ( xy + 5 ) ( xy - 8 ) = ___________________________

10. ( m2 + 20 ) (m2 - 1 ) = _______________ 20. ( xy2 - 11 ) (xy2 - 9 ) = __________________________Cubo de un binomioAl producto del cubo de un binomio se le denomina polinomio cubo perfecto y su forma general es a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

Nota: Si los dos términos del binomio son positivos, todos los términos del polinomio son positivos. Si el segundo término del binomio es negativo los signos del polinomio se alternan. ( +, -, +, - ). Ejemplificar.

EJERCICIO 2.4.4.Determinar el polinomio cubo perfecto correcto siguiendo la regla general:

1. ( 2x – y )3 = ______________________________________ = _________________________

2. ( x + 3y )3 = ______________________________________ = _________________________

3. ( 2x - 3y )3 = _____________________________________ = _________________________

4. ( 3x2 + 2y )3 = _____________________________________ = _________________________

5. ( 4x2 – 3 )3 = ______________________________________ = _________________________

6. ( x3 + 4y2 )3 = ______________________________________ = _________________________

7. ( 3x4 – 5 )3 = ______________________________________ = _________________________

8. ( 2x2 + 4y6 )3 = _____________________________________ = _________________________

9. ( 5x4 – 6y4 )3 = _____________________________________ = _________________________

10. ( 7x2 – 1 )3 = ______________________________________ = _________________________

2.5. FACTORIZACIÓN

Factorizar o factorar es descomponer un producto en los factores que le dieron origen.

Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)Un TCP es el producto de un binomio al cuadrado. Para factorizarlo, primero se identifica que efectivamente se trate de un TCP:

Dado el trinomio 10x2y3 + x4 + 25y6

a) Ordenar el trinomio con respecto a “x”: x4 + 10x2y3 + 25y6

b) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos. Los cuales son x2 y 5y3

c) se obtiene el producto de esas raíces por 2: 2(x2)(5y3) = 10x2y3

d) Se compara el resultado obtenido con el segundo término del trinomio, sí son iguales, se puede decir que es un TCP.

Una vez que se verifica que el trinomio es un TCP se aplica:

La regla general para obtener el polinomio cubo perfecto es:

1.- El cubo del primer término2.- El triple producto del primero término al cuadrado por el segundo3.- El triple producto del primer término por el cuadrado del segundo4.- El cubo del segundo término.

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EJERCICIO 2.5.1.Determinar el binomio al cuadrado correcto siguiendo la regla general:

1. x2 – 2xy + y2 = ___________________ 11. 4x2 -12xy + 9y2 = ___________________

2. x2 + 2xy + y2 = ___________________ 12 25x4 - 40x2y + 16y2 = _______________

3 x4 + 2x2 + 1 = ____________________ 13. 49x2 + 42xy + 9y2 = _________________

4. y2 – 2y + 1 = _____________________ 14. 64x6 - 144x3y2 + 81y4 = ______________

5. x2 – 12x + 25 = ___________________ 15. 9x2 + 18xy + 9y2 = __________________

6. 9 - 6x + x2 = _____________________ 16. 16x4 - 8x2y3 + y6 = __________________

7. x8 + 18x4 + 81 = __________________ 17. x2 +12xy + 36y2 = __________________

8. 1 + 49x2 – 14x = __________________ 18. 25x2 - 100xy + 100y2 = ______________

9. 16 + 40x2 + 25x4 = ________________ 19. 81y6 - 90y3 + 25 = __________________

10. y4 – 12y2 + 36 = _________________ 20. 4x10 y2 - 56x5yz4 + 49z2 = ____________

Factorización de una Diferencia de CuadradosLa diferencia de cuadrados es el producto de dos binomios conjugados. Para identificarla solo hay que considerar que se trate de un binomio en el que un término sea positivo y el otro negativo.

EJERCICIO 2.5.2.Determinar los binomios conjugados correctos siguiendo la regla general:

1. x2 – y2 = ________________________ 11. 4x2 - 9y2 = ________________________

La regla general para factorizar un TCP es:

1.- Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos2.- Se escriben ambos resultados como una suma elevada al cuadrado si el segundo término del trinomio es positivo y como una diferencia al cuadrado si el segundo término del trinomio es negativo

La regla general para factorizar una diferencia de cuadrados es:

1.- Se escriben un par de paréntesis en el que se anotarán los binomios conjugados.2.- Se busca la raíz cuadrada de los dos términos y se anota en ambos paréntesis.3.- En medio de los dos términos de cada paréntesis se escribe un “+” en uno y un “-“ en el otro.

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2. x4 – y6 = ________________________ 12 25x4 – 16y2z6 = ____________________

3 x2 - 25 = ________________________ 13. 49x2 - 9y2 = _______________________

4. y6 – 1 = ________________________ 14. 64x6 - 81y4 = ______________________

5. 1 - 49x2y2 = _____________________ 15. 9x2y4 - 1 = ________________________

6. 4m2 - 9 = _______________________ 16. 16x4 - y6 = _______________________

7. 16x2 – 81y4 = ____________________ 17. 25x10 - 36y2z8 = ____________________

8. 25m2 - 1 = ______________________ 18. 25x2 - 100y4 = _____________________

9. a2b8 – c6 = ______________________ 19. 81y6 - 25 =________________________

10. x2y6 - 100 = ____________________ 20. 4x10 y12 - 49z8 = ____________________

Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx +cUn trinomio de la forma x2 + bx +c es el producto de dos binomios con un término común.

EJERCICIO 2.5.3.Determinar los binomios con un término común correctos siguiendo la regla general:

1. x2 + 5x + 6 = _____________________ 13. x2 + 15x + 56 = ____________________

2. x2 – 5x + 6 = _____________________ 14 x10 + x5 - 20 = _____________________

3 x2 + 7x +10 = ____________________ 15. y2 – 5y - 36 = ______________________

4. y2 + 3y - 10 = ____________________ 16. x4 + 5x + 4 = ______________________

5. x2 + x - 2 = ______________________ 17. m2 – 14m + 33 = ___________________

6. x2 – 9x + 20 = ____________________ 18. x2 + 8x - 180 = _____________________

7. x4 – 10x2 + 16 = __________________ 19. m2 – 2m -168 = ____________________

La regla general para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx +c es:

1.- Se escriben un par de paréntesis en el que se anotarán los binomios con un término común.2.- Se busca la raíz cuadrada del primer término y se anota en ambos paréntesis.3.- Se buscan dos números que sumados algebraicamente sean igual al segundo término del trinomio y multiplicados igual al tercero. (Debes poner mucha atención para que los signos sean los correctos)

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8. 12 – 8m +m2= ____________________ 20. y2 + 24y + 135 = ___________________

9. y6 + 6y3 - 7 = ____________________ 21. x2 + 6x - 216 = _____________________

10. x8 – 12x4 + 11 = _________________ 22. n2 – 2n - 528 = ____________________

11. 28 + x2 – 11x = __________________ 23. x2 – 4x - 320 = _____________________

12. m2 – 6m - 40 = __________________ 24 y2 - 8y - 1008 = ____________________

PARTE IIECUACIONES

32

UNIDAD IIIECUACIONES LINEALES



IGUALDAD

Expresión en la que dos cantidades o expresiones algebraicas tienen el mismo valor. EJEMPLO: 3+12 = 15, c2 = a2 + b2, 3x - 8 = 2x.

ECUACIÓN

Es una igualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que solo es verdadera para ciertos valores de las incógnitas. Consta de dos miembros cada uno de los cuales tienen uno o más términos.

RAIZ O SOLUCIÓN

Son los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación.

3.1. ECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA Una ecuación lineal se caracteriza porque el máximo exponente de la variable es un uno (recuerda que éste exponente no se escribe). Su lugar geométrico o gráfica es una recta.

Resolución de ecuaciones linealesPara resolver ecuaciones lineales debe despejarse la variable o incógnita y para hacer más simple el despeje debes considerar que:

Un número que esta sumando pasa al otro miembro de la ecuación restando.

Un número que esta restando pasa al otro miembro de la ecuación sumando.

Un número que esta multiplicando pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo.

(Con su mismo signo).

Un número que esta dividiendo pasa al otro miembro de la ecuación multiplicando.


33

Además, en el proceso del despeje, es importante que primero trabajes sobre los números que

están sumando o restando y luego los que multiplican o dividen.

EJERCICIO 3.1.1.Resuelve las siguientes ecuaciones lineales encontrando el valor correcto para la incógnita:

x – 2 = 4 m – 3 = 7 4 + x = 6 -4x = -32 -5 + x = 7

y + 7 = -3 -5x = - 15 6m = - 72 -x – 4 = -2 7y = 14

-3 – x = -7 5x = - 4 -6 = 18 2x = 8 -8 = -24 x x


6x + 2 = 14 4x + 5 = 9 -5y – 3 = 17 7x + 6 = 28 5x + 3 = 23

-4x + 5 = 1 9m + 4 = 22 4y + 3 = -21 -6x + 2 = -10 -12n - 5 = -65

Un número que esta sumando pasa al otro miembro de la ecuación restando.

Un número que esta restando pasa al otro miembro de la ecuación sumando.

Un número que esta multiplicando pasa al otro miembro de la ecuación dividiendo.


Un número que esta dividiendo pasa al otro miembro de la ecuación multiplicando.


34

2y + 6 = -18 -3 = 6x - 9 5y – 9 = 11 4 = -3x + 8 4x + 6 = -18


3m – 8 = 2m x + 8 – 2 = 2x 9y + 12 = 3y + 48

3n + 2 = 2n + 10 3x + 4 = -2x + 6 4y – 3y + 5 = 11

3x – 2 + 5x – 4 = 3 – 2 + x m + 4 – 3m = -2m – 3 + 5m -1 16 +7y – 5 + y = 11y -3 – y

35

8y – 4 + 3y = 7y + y + 14 5x + 6x – 81 = 7x + 102 + 65x 8y + 9 – 12y = 4y – 13 – 5y


3(4m – 5) – 6 = - (6m – 8) + 7 2(8y + 4) – 5(3y -1) = 10 8 – 6(4n -9) = -7(-3n -3) +6

15y – 10 = 6y – (y+2) + (-y+3) m – (2m+1) = 8 – (3m+3) y – [5+3y – { 5y – (6+y)}] = -3

12 – 9(4x – 8) = -7(-3x-3) + 6 3(3m-9) – 2(5m-8) = -24 2y +[-5y –(-2y +{-y+4})] = 8

36

Resolución de ecuaciones lineales por el método gráfico

Ejemplificar:1. 2x – 4 = 12. 2x + 5 = x + 33. -5x + 4 = -16

EJERCICIO 3.1.5.Resuelve en tu cuaderno de notas las siguientes ecuaciones lineales mediante el método gráfico encontrando el valor correcto para la incógnita:

1. -3x + 1 = -12. 3x – 5 = x + 33. 5x – 2 = 4x + 14. 7x - 5x + 3 = -65. –x + 5 = 26. 6 – x = 5 + 4x7. f(x) = -2x + 58. f(x) = -x – 3

3.2. ECUACIONES LINEALES CON DOS Y TRES INCÓGNITAS

a) Método de reducción (suma o resta)Para resolver sistemas de ecuaciones lineales por éste método:1. Igualar los coeficientes de alguna de las variables buscando que sean simétricos (de signo contrario)2. Se realiza la suma algebraica de las ecuaciones resultantes3. Se resuelve la ecuación lineal resultante 4. El valor de la variable obtenido se sustituye en alguna de las ecuaciones iniciales para determinar el valor de la otra variable.

Ejemplificar:

3x + 2y = 11 2x – y = 4 4x + 2y = 16 5x – 2y = 13 5x – 3y = 12 x + 2y = -3 -3x + 5y = -25 x + 3y = 6

EJERCICIO 3.2.1.Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de reducción:

5x + 6y = 20 7x – 15y = 1

Para resolver ecuaciones lineales por el método gráfico:

1.- Reducir la ecuación original e igualar a cero.2.- Asociar la ecuación resultante a una función3. Tabular la función (incluyendo siempre dentro de los valores de “X” al cero)4.- El punto de intersección de la gráfica con el eje de las “X” es el resultado de la ecuación.

37

4x – 3y = -23 -x – 6y = 8

2x + 5y = -4 8x – 9y = -7710x – 3y = 36 3x + 4y = 8

x – 5y = 8 6x – 5y = - 9 -7x + 8y = 25 4x + 3y = 13

38

b) Método de igualaciónPara resolver ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones por éste método:1. Se despeja una de las dos variables (la misma en las dos ecuaciones)2. Se igualan entre si los valores obtenidos3. Resolver la ecuación a una variable resultante4. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones

Ejemplificar:

7x + 4y = 13 7x – 3y = 9 14x - 11y = -29 5x – 2y = 13 5x – 2y = 19 x + 6y = 27 -8x + 13y = 30 x + 3y = 6

EJERCICIO 3.2.2.Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación:

7x - 4y = 5 7x – 15y = 19x + 8y = 13 -x – 6y = 8

9x + 16y = 7 15x – 11y = -874y – 3y = 0 -12x -5y = -27

7x +9y = 42 6x – 5y = - 9

39

12x + 10y = -4 4x + 3y = 13

c) Método de sustituciónPara resolver ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones por éste método:1. Se despeja una de las dos variables de una ecuación2. la ecuación despejada se sustituye en la otra ecuación3. Resolver la ecuación a una variable resultante4. Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones

Ejemplificar:

7x + 4y = 13 7x – 3y = 9 14x - 11y = -29 5x – 2y = 13 5x – 2y = 19 x + 6y = 27 -8x + 13y = 30 x + 3y = 6

EJERCICIO 3.2.3.Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución:

5x + 6y = 20 7x – 15y = 14x – 3y = -23 -x – 6y = 8

2x + 5y = -4 8x – 9y = -7710x – 3y = 36 3x + 4y = 8

40

9x + 16y = 7 15x – 11y = -874y – 3y = 0 -12x -5y = -27

d) Ecuaciones simultaneas con tres incógnitasPara resolver ecuaciones simultáneas o sistemas de ecuaciones por éste método sigue atentamente las instrucciones de tu maestro.

Ejemplificar:

x + 4y – z = 6 2x + y – 3z = -1 6x + 3y + 2z = 122x + 5y – 7z = -9 x – 3y – 2z = -12 9x – y + 4z = 373x – 2y + z = 2 3x – 2y – z = - 5 10x + 5y + 3z = 21

EJERCICIO 3.2.4.Determinar las raíces de los siguientes sistemas de ecuaciones en tu cuaderno de notas:

41

x + y + z =12 5x – 2y + z = 24 x – y + z = 22x – y + z = 7 2x + 5y – 2z = -14 x + y + z = 4x + 2y – z = 6 x – 4y + 3z = 26 2x + 2y – z = - 4

x + y + z = 6 2x + 3y + z = 1 2x + 4y + 3z = 3x – y + 2z = 5 6x – 2y – z = -14 10x – 8y – 9z = 0x – y – 3z = -10 3x + y – z = 1 4x + 4y – 3z = 2

UNIDAD IVECUACIONES CUADRÁTICAS



4.1. CLASIFICACIÓN

LA ECUACIÓN CUADRÁTICA es cualquier ecuación que, una vez simplificada, tiene como máximo exponente de la variable un dos. Se acostumbra representarla con la expresión:

ax2 + bx + c = 0

De donde: ax2 es el término cuadrático ( de segundo grado )bx es el término lineal ( de primer grado )c es el término independiente ( de cero grado )

De acuerdo a los términos que se encuentren presentes en la ecuación, se consideran tres casos de ecuaciones cuadráticas:

42

a) Cuadrática completa,- Ecuación que contiene los tres términos: cuadrático, lineal e independiente.

ax2 + bx + c = 0

b) Cuadrática incompleta mixta.- Ecuación que no contiene al término independiente, se denomina mixta por contener un término lineal y uno cuadrático.

ax2 + bx = 0

c) Cuadrática incompleta pura.- Ecuación que no contiene al término lineal, por lo cual se denomina pura.

ax2 + c = 0

EJERCICIO 4.1.1.Analiza cada una de las expresiones siguientes (de ser necesario iguala a cero y reduce) para determinar los valores a, b y c; si es o no cuadrática y, en caso de serlo, escribe de que tipo.

a b c 2x2 – 72 = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .( 2 ) ( 0 ) ( -72 ) CUADRÁTICA INCOMPLETA PURA

3x2 – 6x – 9 = 0. . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________

4x2 – 3x = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________

14x -2x2 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________

4x = 30 -2x2. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________

x2 + 10 = – 6 + 3x . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________

x2 – 16 = 20. . . . . . . . . . . . . . . . . . ( ) ( ) ( ) _________________________________

-x2 + 9 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________

x3 – x2 = – 5 + x2 + x3 . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________

x2 + 3 - 2x2 = 4x – x2. . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________

( x + 4 )2 = 0. . .. . . . . . . . . . . . . . . .( ) ( ) ( ) _________________________________

4.2. MÉTODOS DE SOLUCIÓN

a) Método analítico (Fórmula General)

Para resolver por éste método:1.- Reducir la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 02.- Determinar los valores de las constantes a, b y c.

43

3.- Sustituir en la fórmula general y realizar las operaciones.

x=−b±√b2−4ac2a

Ejemplificar:

a) x2 – 4 = 0

b) 3x2 = -2x

c) x2 – x – 20 = 0

d) 2x2 - 5x + 4 = 1

e) -x2 + 9 = 0

f) 7x2 + 8 = 48 – 3x2

EJERCICIO 4.2.1.Encuentra las raíces correctas de las siguientes ecuaciones mediante la fórmula general.

a) 4x2 – 36 = 0b) 2x2 + 3x = 0c) 4x2 – 5x = 2x2

d) x2 – x – 30 = 0e) 8x2 – 6x = 16x – 5f) 2x = 5x2 g) x2 – 20 = 2x + 4h) 4x2 = 64i) x2 = 10 – 3xj) x2 – 6x = 0

b) Factorización

Para las ecuaciones incompletas mixtas:1.- Reducir la ecuación a la forma ax2 + bx = 0 (igualar a cero)2.- Factorizar el primer miembro, por factor común monomio.3.- Resolver por separado ambos factores despejando la “x”

Ejemplificar:

2x2 = 8x2y2 – 10y = 10y(x + 2) (x – 2) = 3x – 4

EJERCICIO 4.2.2.Encuentra las raíces correctas de las siguientes ecuaciones.

a) 5x2 = xb) 2x2 + 3x = 0c) 5x2 – 2 = 2( x – 1 )d) x2 – 7x = 0

44

e) (2x + 3) (x – 1) = -3f) 3x2 – 2x = 0g) 4x2 – 5x = 2x2

h) (4x + 3)(4x – 3) = 5x – 9

Para las ecuaciones completas:1.- Reducir la ecuación a la forma ax2 + bx + c = 0 (igualar a cero)2.- Se factoriza el trinomio del primer miembro.3.- Se determinan los valores de “x” de cada factor igualado a cero.

Ejemplificar:

x2 – x – 30 = 0x2 + 5x – 24 = 03x2 + 9x + 6 = 0

EJERCICIO 4.2.3.Encuentra las raíces correctas de las siguientes ecuaciones.

x2 – 9x + 18 = 0x2 – 11x + 24 = 0x2 – 20 = 2x + 4x2 – 2x – 3 = 0( x + 3 )2 = 2x + 214x – 3 = x2

x2 = 10 – 3x( x + 5 ) ( x – 5 ) = 2x + 1

c) Método gráfico1.- Convertir la ecuación en una función f(x)2.- Tabular con un mínimo de 5 valores3.- Trazar la gráfica. Las raíces de la ecuación son los puntos en los que la curva ( parábola ) se intersecta con el eje de las “x”.

Nota.- En el cálculo gráfico las soluciones, en la mayoría de los casos, son aproximadas. Ejemplificar:

3x2 + 9x + 6 = 0f(x) = 3x2 + 10 x2 = 3x

EJERCICIO 4.2.4.Encuentra las raíces de las siguientes ecuaciones.

y = x2 + x – 20f(x) = x2 + 2x - 8 y = 6x2 + 6x – 36f(x) = x2 – 1y = - x2 + 9

45

f(x) = -2x2 + 3x

AUTOEVALUACIÓN 1

1.- ¿QUÉ SÍMBOLOS SE UTILIZAN EN ÁLGEBRA PARA REPRESENTAR CANTIDADES?

2.- DEFINE COEFICIENTE

3.- DEFINE TÉRMINO

4.- ESCRIBA LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLINOMIOS

5.-LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ESTAN EN LENGUAJE COMÚN, EXPRESALAS EN LENGUAJE ALGEBRAICO:

a) UN NÚMERO

b) UN NÚMERO DISMINUIDO EN TRES

c) LA TERCERA PARTE DE UN NÚMERO

d) EL DOBLE DE UN NÚMERO

e) CUATRO VECES LA SUMA DE UN NÚMERO Y CINCO UNIDADES

6.- ESCRIBE EN LENGUAJE COMÚN LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

a) 4X

b) x/2

c) 3x2

d) 1/5x = ¾

e) a = l2

7.- DETERMINAR EL VALOR NUMÉRICO DE LAS EXPRESIONES:

a) 3 a + 7 = SI a = -2

b) 4m/2 + 2n = SI m = 4 y n = -3

46

8.-RESOLVER DE MANERA CORRECTA

a) -5a 2 + 6ab +2b2 – a2 = __________________________

b) ( ½ a2 ) ( 4/3 a3b ) =______________________________

c) ( 5x – 4y ) + ( -7x + 2y ) = __________________________

d) ( -4x ) ( 8x2 - xy + 9y2 ) = __________________________

e) ( 3x - 4xy – y2 ) – ( -2y2 -9xy + x2 ) = ___________________

f) 4x2y3z2 ( -5x2 – 7xyz + y2z3 ) = _______________________

g) ( 5x – y + z ) + ( -y – z - 7x ) + ( 4y + x – 8z ) = ____________________

AUTOEVALUACIÓN 2

RESUELVE DE MANERA CORRECTA LAS SIGUIENTES OPERACIONES ALGEBRAICAS, PRODUCTOS NOTABLES

Y FACTORIZACIONES:

PRODUCTOS NOTABLES:

(8x4 + 5) (8x4 - 5) =

( 7x4 – 9 )2 =

( 2x3 – 4y4 )3 =

( x2 + 5 ) ( x2 – 11 ) =

MULTIPLICAR:

( 5x2 – 7 ) (3x2 + 6 ) =

( 8x3 – 3x2 ) ( 3x3 + 2x2 ) =

DIVIDIR:

X3 – 4x2 + x / x =

14x2 – 12 + 22x : 7x – 3 =

47

FACTORIZAR:

X2 – 5x – 36 =

64x4 – 9y6 =

64x2y4 – 16xy2 + 1 =

m2 – 30m – 675 =

AUTOEVALUACIÓN 3

RESUELVE DE MANERA CORRECTA LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES:

ECUACIONES LINEALES CON UN A INCÓGNITA:

7y = 14

-3 – x = -7

-12n - 5 = -65

3x + 4 = -2x + 6

8 – 6(4n -9) = -7(-3n -3) +6

RESOLVER POR EL MÉTODO GRÁFICO

–x + 5 = 2

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES:

RESOLVER POR REDUCCIÓN E IGUALACIÓN

3x + 2y = 11

5x – 3y = 12

48

ECUACIONES CUADRÁTICAS:

RESOLVER POR FÓRMULA GENERAL

a) x2 – 4 = 0b) 3x2 = -2xc) x2 – x – 20 = 0

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