Cuadernillo 4ºA ESO. Catalán

________________________________ INS_______________________________

INS _______________________

QUADERN Núm. 1 NOM: __________________________ DATA: / /

Els nombres enters i racionals - 1 -

Els nombres enters i racionals

Continguts

1. Nombres enters Representació i ordre Operacions Problemes

2. Fraccions i decimals

Fraccions equivalents Expressió decimal. Classificació

3. Nombres racionals

Representació i ordre Suma i resta Multiplicació i divisió Potències d’exponent enter Operacions amb potències Problemes

4. Notació científica

Definició Operacions

Objectius

• Representar i ordenar nombres enters.

• Operar amb nombres enters.

• Aplicar els conceptes relatius als nombres enters en problemes reals.

• Reconèixer i representar nombres racionals.

• Operar amb nombres racionals.

• Expressar nombres en notació científica i operar amb ells.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga Sota llicència Versió en català: Francesc Cassasas Canals Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Realitza la següent activitat. T’ajudarà a entendre el joc proposat en l’escena… Omple els requadres en blanc amb nombres de l’1 al 9, de manera que cada fila o columna sumin els valors donats en blanc i no es puguin repetir a la mateixa fila o columna.

Un consell…

Començar, primer, pels quadrats én que només és possible posar un nombre. Observa, quants quadrats verifiquen aquesta condició? Un cop omplerts, busca aquells que tenen l’opció d’inserir dues caselles. Alerta!, que no són només el 8 i el 7. Has observat què tenen en comú aquests dos nombres? Busca una combinació que tingui en comú un nombre. Finalment, només falta provar amb les opcions obtingudes de realitzar la diferència entre el que tens i el que et demanen per aconseguir que es compleixi el quadrat.

Repeteix el procés amb cada nou cas que es proposa en l’escena i resol els següents:

Pots clicar el botó

per repassar les operacions amb fraccions.

Prem per anar a la següent pàgina.

Abans de començar

INS _______________________



1. Nombres enters 1.a. Representació i ordre Llegeix el text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Quins nombres representa el conjunt Z? Què passa si a un nombre li apliquem l’oposat i després el valor absolut?

En l’escena entra en l’opció de representació, oposat, valor absolut i ordre, i observa els exemples proposats. Després fes els exercicis.

Clica en el botó

per fer els exercicis.

EXERCICI. Completa la següent taula:

Nombre -3 -5 6 0 -2 12 7

Valor absolut

Oposat

Els nombres proposats estan ordenats? En cas negatiu, ordena’ls.


1.b. Operacions amb nombres enters Llegeix en la pantalla les normes de les operacions amb nombres enters que ja has estudiat en d’altres cursos. COMPLETA AQUESTES FRASES: RESPOSTES

En la suma o resta de nombres enters, a ± b, el signe que resulta de l’operació és el del que té major ____________________________.

El signe del dividend i el residu d’una divisió de dos nombres enters és _____________ ________________________________________________________________________.

Observa els exemples que pots veure en l’escena. EXERCICI. Escull l’opció correcta de les operacions proposades en la següent taula:

Operació a b c Operació a b c 3 + 4 +7 -14 7 14 (-3) · (-2) · (-6) -11 -30 -36 -3 + 4 - 7 -6 0 14

(+3) · (-2) · (-6) -1 0 36 -3 – 4 + 7 -8 0 8 (-3) · (-4) · (+6) -72 -42 72

Clica en el botó


Copia 4 exercicis dels que surten en l’escena en els requadres de la següent pàgina i els fas. Després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

INS _______________________



Calcula: Calcula:

Calcula: Calcula:


1.c. Aplicacions dels nombres enters en problemes de la vida

quotidiana.

A la vida quotidiana apareixen situacions on és necessari treballar amb nombres enters, i on apareixen els conceptes de màxim comú divisor i mínim comú múltiple que ja has estudiat en cursos anteriors.

EXERCICI 1. Completa els següents textos:

El màxim comú divisor, abreujat _________, representa el nombre _________ dels

divisors comuns de dos o més nombres. S’obté seleccionant els factores ____________

elevats al ___________ exponent.

El mínim comú múltiple, abreujat _________, representa el nombre _________ dels

múltiples comuns de dos o més nombres. S’obté seleccionant els factors

_________________________ elevats al ___________ exponent.

EXERCICIO 2. Escriu en aquest requadre com es calcula el màxim comú divisor i el mínim comú múltiple de 60 i 54.

MÀXIM COMÚ DIVISOR MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE

60 = 54 = 60 = 54 =

mcd(60, 54) = mcm(60, 54) =

INS _______________________



En l’escena de la dreta pots veure problemes de tres tipus:

mcm mcd Divisibilitat

Clica sobre mcm i continua amb per veure com es fa.

Si vols tornar al menú clica“< tornar”... ...Per veure exemples del mateix tipus:

a) Copia un exemple complet del tipus mcm tal com apareix en la pantalla:

1r Comprendre l’enunciat

Completa l’enunciat: Tots els pastissos que hem fabricat avui, els hem posat en caixes de ____ i _____ pastissos i no n’ha sobrat cap. Quants pastissos com a mínim hem fabricat avui?

2n Analitzar el problema

3r Calcular el mcm

4t Donar la solució

Prem < tornar

Clica sobre mcd i continua amb per veure com es fa.

a) Copia un exemple completo del tipus mcd tal com apareix en la pantalla:

1r Comprendre l’enunciat

Completa l’enunciat:

El passadís d’una casa té _________ de llargada per ______ d’amplada. Es volen posar rajoles quadrades de la major grandària possible. Troba les dimensions que han de tenir les rajoles si no volem tallar-ne cap.


3r Calcular el mcd


Prem < tornar

INS _______________________



Clica en el botó

per practicar el càlcul del mcm i del mcd de dos nombres.

EXERCICI 3. Existeix una propietat interessant del màxim comú múltiple i del mínim comú divisor. Completa la següent taula i descobreix-la completant el text.

Nombres Producte dels

nombres mcd mcm

Producte mcm i mcd

21 28

162 61 236

24 216

El producte del màxim comú divisor i ______________________ és ________________ que el producte dels dos nombres.

EXERCICI 4. Llegeix les següents afirmacions i determina si són verdaderes o falses.

VERDADER FALS

El mcm o mcd només el fem servir per fer problemes.

El mcm de 24 i 28 és 168.

Si volem que el nombre 2X8 sigui divisible per 3 el valor de la xifra X ha de ser 2, 5 o 9.

El mcd de 6 i 7 no existeix.


PROBLEMES 7. Tots els pastissos que hem fabricat avui els hem posat en caixes de 75 i 189 pastissos

i no n’ha sobrat cap. Quants pastissos com a mínim hem fabricat avui?

8. El passadís d’una casa té 1024 cm de llargada per 192 cm d’amplada. Es volen posar rajoles quadrades de la major grandària possible. Troba les dimensions que han de tenir les rajoles si no volem tallar-ne cap.

9. Quant ha de valer x per tal que el nombre 9x7 sigui divisible per 3?.

10. Escriu un nombre més gran que 200 i més petit que 250 que sigui múltiple de 30.

EXERCICIS 1. Calcula el valor absolut de -3, 5, 0

2. Ordena de major a menor: -78, -12, -35

3. Calcula l’oposat de -3, 7, 0

4. Calcula: 4(1 9) 1 8(1 2)− − + +

5. Calcula: 8(7 3): ( 8)− + −

6. Troba el mcm(882,168)

INS _______________________



2. Fraccions i decimals 2.a. Fraccions equivalents Llegeix l’explicació de la pantalla sobre fraccions irreductibles i fraccions equivalents, observa els exemples de totes dues desplegant l’opció de l’escena.

CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Com podem saber que una fracció no es pot reduir? Que ha de passar per tal que dues fraccions siguin equivalents, si la primera és a/b i la segona c/d?

Completa:

El conjunt dels nombres racionals Q, està format per

______________________________________________

______________________________________________

Clica en el botó

per fer exercicis.

Completa l’enunciat de 6 exercicis dels que apareixen en l’escena en els següents requadres (busca’n dos de cada tipus per completar els enunciats). Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

Escriu la fracció irreductible de: Escriu la fracció irreductible de:

Raona si les fraccions i són

equivalents.

Raona si les fraccions i són

equivalents.

Troba x per tal que les fraccions i

siguin equivalents.

Troba x per tal que les fraccions i

siguin equivalents.


INS _______________________



2.b. Expressió decimal. Classificació Llegeix l’explicació de la pantalla i practica amb l’escena el pas de fracció a decimal, de decimal a fracció i la identificació del tipus d’expressió decimal. EXERCICI 1. Contesta les següents qüestions:

Quins tipus de decimals podem obtenir?

En què es diferencien?

Si els divisors d’un numerador són el 2 i el 5 que tipus de nombre decimal és?

EXERCICI 2. Completa el següent quadre:

Tipus Característiques Divisors del denominador Regla de pas a fracció

Decimal exacte

Els únics divisors del denominador són el 2 o el 5.

S’escriu el nombre sense la coma se li resta la part entera i es divideix per tants 9 com xifres té el període. Si és possible es simplifica.

La part decimal està formada per una part que no es repeteix seguida del període.

INS _______________________



Clica en el botó

per fer exercicis.

Completa l’enunciat de dos exercicis de cada tipus. Els resols i després comprova en l’escena si l’has fet correctament.

Indica quin tipus de nombre decimal és sense

dividir:

Indica quin tipus de nombre decimal és sense

dividir:

Escriu la fracció generatriu de: Escriu la fracció generatriu de:

Escriu l’expressió decimal de Escriu l’expressió decimal de


EXERCICIS 11. Escriu la fracció irreductible de:

a) 160800

b) 128256

c) 14448

12. Troba el valor de x per tal que les fraccions siguin equivalents:

a) 2775

ix25

b) x75

i3225

c) 3688

i18x

13. Escriu l’expressió decimal de les següents fraccions:

a) 889

b) 33199

c) 113

14. Escriu la fracció generatriu de:

a) 3,332 b) 7,68 c) 5,80

INS _______________________



3. Nombres racionals 3.a. Representació i ordre Llegeix l’explicació de la pantalla sobre la representació i l’ordre de les fraccions, observa els exemples de totes dues desplegant l’opció de l’escena.


Com s’anomena el conjunt de nombres que tenen denominadors?

Què és el primer que cal fer abans de representar una fracció en la recta numèrica?

Què cal fer per ordenar dos nombres fraccionaris?

Clica en el botó

per fer exercicis de representació i d’ordenació.

Completa l’enunciat de dos exercicis de cada tipus. Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

Ordena de _____ a _______ les fraccions:

i

Ordena de _____ a _______ les fraccions:

i

Representa la fracció: Representa la fracció:

EXERCICI. Representa en una recta numèrica els següents nombres racionals: 59

,317

,45 −


INS _______________________



3.b. Suma i resta

Observa la simulació d’aquesta pantalla, després llegeix i observa els exemples que surten en l’escena de la dreta desplegant cada una de les opcions.

Completa:

Per sumar o restar dos nombres racionals _________________

_____________________________________________________

Clica en el botó

per fer uns exercicis.

Completa l’enunciat de tres exercicis de cada tipus. Els resols i després comprova en l’escena si els has fet correctament.

Sumes i restes de fraccions Sumes i restes de nombres racionals (en els que surten fraccions i decimals)

Calcular: Calcular:

Calcular: Calcular:

Calcular: Calcular:

EXERCICI. Resol la següent operació: 31

3,5-24,53 ++

⌢


INS _______________________



3.c. Multiplicació i divisió

Llegeix l’explicació dels mètodes per multiplicar i dividir nombres racionals.

Completa:

• El producte de dos nombres racionals és _________________________________

___________________________________________________________________.

• Per dividir dos nombres racionals ______________________________________

___________________________________________________________________.

=⋅dc

ba

=⋅=ba

dc

:ba

En l’escena de la dreta pots desplegar les opcions per veure exemples de multiplicacions i divisions de nombres racionals en el cas en que venen donats mitjançant fraccions o en els que apareixen nombres periòdics.

Clica en el botó


Completa l’enunciat de tres exercicis de cada tipus. Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

Productes i divisions de fraccions Productes i divisions on apareixen nombres periòdics.

Calcular: Calcular:

Calcular: Calcular:

Calcular: Calcular:

INS _______________________



EXERCICI. Resol la següent operació: 31

:3,5-24,53 ⌢

⋅


3.d. Potències d’exponent enter

Llegeix en la pantalla i completa:

Si a és un nombre enter i n un nombre natural, aleshores:

na =

na− =

A més per a qualsevol valor de a diferent de 0, s’acompleix:

0a = 1a = 1a− =

Per elevar una fracció a una potència ________________________________________.

En l’escena de la dreta pots desplegar les opcions per veure exemples de potències d’exponent enter i base un enter o una fracció.

Clica en el botó


Completa l’enunciat de dos exercicis de cada tipus. Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

Expressar una fracció en forma de potència

Calcular potències amb exponent positiu

Calcular potències amb exponent negatiu

Expressa la fracció com a potència d’exponent enter:

Calcula

Calcula

Expressa la fracció com potència d’exponent enter:

Calcula

Calcula

INS _______________________



EXERCICI. Completa: Escrivim amb exponent…

Potència Base Exponent Resultat positiu negatiu

2

31

−

( ) 37 −

2

52

Clica en el botó

per fer com a mínim 10 exercicis.


3.e. Operacions amb potències

A la pantalla hi ha quatre de les propietats que has de saber per fer operacions amb potències. En l’escena de la dreta pots escollir una de les propietats i veure’n un exemple. EXERCICI. Completa les fórmules i un exemple de cada una: Exemples (fes servir l’escena)

Propietat Fórmula Enunciat Desenvolu-

pament Resultat

Producte amb la mateixa base. ap · aq = ap+q 24 · 23 24+3 = 27

Quocient amb la mateixa base.

Potència d’una potència.

Potència negativa d’un nombre fraccionari.

Producte de potències del mateix exponent.

Quocient de potències del mateix exponent.

Potència de nombres negatius.

Clica en el botó


Completa l’enunciat de com a mínim 10 exercicis en els requadres de la següent pàgina. Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

INS _______________________



1) 6)

2) 7)

3) 8)

4) 9)

5) 10)

Clica en el botó

per fer com a mínim 10 exercicis.


3.f. Problemes amb fraccions

EXERCICI. Completa:

Per resoldre problemes amb fraccions has de seguir les mateixes __________ que amb altres tipus de problemes.

• Llegeix _________________ l’enunciat.

• _________ sobre la situació que proposa el problema, què et demana, quines dades tens, ...

• Organitza la _______________ que tens, fes un ____________, un _________,...

• Un cop tinguis la solució _________________.

En l’escena de la dreta pots veure problemes de tres tipus:

Alimentació Compra Herències

Clica sobre Alimentació i continua amb per veure com es fa.

Per tornar al menú prem “< tornar” . Per altres exemples del mateix tipus:

a) Copia un exemple complet del tipus Alimentació tal com surt a la pantalla:

1r Entendre l’enunciat

Completa l’enunciat: La Sònia beu diàriament ____________. Si la llet es ven en ampolles de _____________, quantes ampolles ha de comprar per ____ dies?

INS _______________________




El nombre de litres que necessitem és de ________________

3r Calcular el nombre d’ampolles

Per calcular el nombre d’ampolles ______________________________________________


Les ampolles necessàries són: _____ Prem < tornar

Clica sobre Compra i continua amb per veure com es fa.

a) Copia un exemplo completo del tipus Compra tal com surt en la pantalla:


Completa l’enunciat: Si _____________ de ____________ costen ______, quant costaran ______________?


El preu del quilo de _____________ s’obté __________________________________ __________________________________________________________________________ Preu d’un Kg:

3r Calcular el preu del producte

El preu de ______________ serà:


El preu de ______________ de ______________ és: _____ Prem < tornar

Clica sobre Herències i continua amb per veure com es fa.

a) Copia un exemple completo del tipus Herències tal com apareix en la pantalla:


Completa l’enunciat: En morir, en Joan deixa una fortuna de __________. Segons el testament a la seva dona li toca ____________ i la resta als seus fills __________________. Quant li toca a cadascun?


Calculem primer el que li queda a la dona:

INS _______________________



3r Trobar el que els queda als fills

Calculem el que queda pels fills: A cada fill li queda ___ de ___________ =


A la dona li queda ______________ i als fills __________ a cadascun. Prem < tornar

Quan acabis pots passar al següent apartat. Prem per anar a la següent pàgina.

EXERCICIS 15. Ordena de major a menor:

a) 231

i556

b) 233

i3

10 −−

16. Calcula donant el resultat en forma de fracció irreductible:

a)

+−⋅−65

13

1021

4

b) 3:54

32

41

725

31 −

−⋅−⋅

c)

34

:51

23

52

41

343

−

−⋅−

17. Calcula donant el resultat en forma decimal:

a) 2,98+ 4,6⌢

b) 6,541 ⌢

− c) 0,1 – 0,24

18. Calcula donant el resultat en forma decimal:

a) 1/2 : 2,7 b) 4,6 · 5/3 c) 6,15 : 0,5

19. Calcula les següents potències:

a) 32− c) ( ) 43 −−

b) 2

53

−

d) 3

21

−

−

20. Calcula:

a) 3

2 14 ·

8

−−

c) 7

5

49

343

b) 34

23

:32

−

d) (x3)5·(x4)-3

INS _______________________



4. Notació científica 4.a. Definició Llegeix el que surt a la pantalla i completa:

Per escriure nombres molt grans o molt petits s’utilitza l’anomenada ___________________

Un nombre escrit en notació científica és de la forma

con 1 ≤ a < 10 i k un nombre enter, que s’anomena _______ _________________ del nombre.

La notació científica permet _________ fàcilment nombres ______________________ o amb ___________________, es suficient amb comparar __________________________.

• Si k>0 el nombre de xifres enteres és _____

• Si k<0 el nombre de xifres decimals és igual a _________________________________.

CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Donat el nombre 3·106

Quin és l’ordre de magnitud? Quantes xifres enteres té?

És correcte escriure el diàmetre de la galàxia d’Andròmeda como 94,608·1016? Raona-ho.

Clica en el botó


Completa l’enunciat de dos exercicis de cada tipus en els següents requadres. Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

Escriu en notació científica __________ Escriu en notació científica __________

Escriu l’expressió decimal __________ Escriu l’expressió decimal __________

Quantes xifres decimals té el nombre _____________?

Quantes xifres decimals té el nombre _____________?

Quantes xifres enteres té el nombre _____________?

Quantes xifres enters té el nombre _____________?

INS _______________________



EXERCICI. Escriu en la notació que s’indica:

Notació decimal Notació científica Notació científica Notació decimal

0,828 7,54 · 103

0,000000000932 9,3 ·10-3

98000 3,6 ·10-5

92 5,8 ·10-5

258,7 6,7 · 10-4

Quan acabis pots passar al següent apartat. Prem per anar a la següent pàgina.

4.b. Operacions Llegeix l’explicació dels mètodes per fer operacions amb nombres decimals expressats en notació científica i completa.

• Suma i resta

Si els sumands són del mateix ordre de magnitud _____________________________

_______________________________________________________________________.

Si els sumands no són del mateix ordre de magnitud __________________________

_______________________________________________________________________.

• Multiplicació i divisió

Per multiplicar o dividir dos nombres en notació científica, _______________________

______________________________________________________________________.

En tots els casos el resultat s’expressa en ____________________.

En l’escena de la dreta pots desplegar les opcions per veure exemples de sumes, restes, multiplicacions i divisions de nombres donats en notació científica.

Clica en el botó


Completa l’enunciat de dos exercicis de cada operació. Els resols i després comprova en l’escena si ho has fet correctament.

Calcular i donar el resultat en notació científica

Sumar: Sumar:

INS _______________________



Restar: Restar:

Multiplicar: Multiplicar:

Dividir: Dividir:

EXERCICI. Fes les següents operacions:

Operació Resultat Operació Resultat

4,8 ·10-5 + 7,86 ·10-7 2,5 ·105 + 7,86 ·104

7,54 · 107 – 1,8 ·106 3,5 · 10-4 – 9,1 ·10-5

9,1 ·10-3 · 2,6 ·10-4 6,7 · 104 · 7,5 ·105

3,65 ·105 : 2,5 ·107 5,8 ·10-6: 2,9 ·10-7

EXERCICIS 21. Escriu en notació científica:

a) 0’0000038

b) 1230000000

22. Escriu l’expressió decimal de:

a) 8’44 · 108

b) 2’1 · 10–4

23. Quantes xifres decimals té el nombre:

a) 3’2 · 10–9

b) 7’27 · 10–19

24. Quantes xifres enteres té el nombre:

a) 3’2 · 1023

b) 1’234 · 1054

25. Fes les següents operacions:

a) 3’2 · 1023 + 1’5 · 1022

b) 4’1 · 10–12 – 1’5 · 10–11

c) 4’1 · 1012 · 2 · 1032

d) 22

23

102

102'6−⋅

⋅

e) (3’2 · 1023)2

INS _______________________



Recorda el més important – RESUM

Nombres enters Nombres enters positius: __________________ ,... Nombres enters negatius: _________________ ,... El nombre _____

Valor absolut: | +a | = | –a | = | 0 | =

Oposat de a: Op (+a ) = Op (–a ) =

Potència positiva d’un nombre enter:

an = _______________

Potència negativa d’un nombre enter:

a –n =

Notació científica: N = _______ __ ≤ | a | < ___

Nombres racionals Són els que ______________________________________

Nombres enters:

• _____________

• _____________

• ________

Nombres decimals:

• _____________

• _____________

o ________

o __________

Potència positiva d’una fracció:

=

n

ba

Potència negativa d’una fracció:

=

−n

ba


INS _______________________



Per practicar

Ara practicaràs resolent diferents exercicis a la teva llibreta. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

Operacions amb nombres enters i racionals. Potències, notació científica i problemes.

En els següents EXERCICIS d’operacions amb nombres enters i racionas escriu l’enunciat que surt en el teu ordinador que compleixi la condició proposada i els resols en el requadre de la dreta. Després comprova la solució en l’ordinador. Fes-ne com a mínim dos de cada tipus. Escull en el menú l’opció: Enters

1. Ordena de menor a major…

a)

b)

2. Calcula el valor absolut de…

a)

b)

3. Ordena de major a menor…

a)

b)

4. Calcula l’oposat de…

a)

b)

Operacions amb nombres enters

5. Operació tipus: b ± c · (d ± e)

a)

b)

6. Operació tipus: a : b ± c · (d ± e)

a)

b)

INS _______________________



Fraccions

7. Ordena de menor a major…

a)

b)

8. Ordena de major a menor…

a)

b)

Expressió decimal

9. Escriu la fracció generatriu de decimal exacte…

a)

b)

10. Escriu la fracció generatriu de decimal periòdic…

a)

b)

11. Escriu la fracció generatriu de decimal periòdic mixt…

a)

b)

12. Escriu l’expressió decimal de…

a)

b)

INS _______________________



Operacions amb fraccions

13. Operació tipus: a ± b · (c ± d)

a)

b)

14. Operació tipus: ed

c

b

a

+±

a)

b)

Operacions amb nombres periòdics

15. Operació tipus: a + b

a)

b)

16. Operació tipus: a – b

a)

b)

17. Operació tipus: a · b

a)

b)

18. Operació tipus: a : b

a)

b)


INS _______________________



En els següents EXERCICIS de potències, notació científica i problemes escriu l’enunciat que surt en el teu ordinador que compleixi la condició proposada i els resols en el requadre de la dreta. Després comprova la solució en l’ordinador. Notació científica

19. Quantes xifres enteres té el nombre…?

a)

b)

20. Escriu l’expressió decimal de…

a)

b)

21. Quantes xifres decimals té el nombre…?

a)

b)

22. Escriu en notació científica…

a)

b)

Operacions en notació científica

23. Calcula i expressa en notació científica, operacions tipus: a + b

a)

b)

INS _______________________



24. Calcula i expressa en notació científica, operacions tipus: a – b

a)

b)

25. Calcula i expressa en notació científica, operacions tipus: a · b

a)

b)

26. Calcula i expressa en notació científica, operacions tipus: a : b

a)

b)

Potències

27. Expressa la fracció com potència d’exponent enter

a)

b)

28. Calcula operacions tipus: an

a)

b)

29. Calcula operacions tipus: a–n

a)

b)

INS _______________________



30. Calcula operacions tipus: n

ba

a)

b)

31. Calcula operacions tipus: n

ba

−

a)

b)

Operacions amb potències

32. Calcula operacions tipus: ap · bq

a)

b)

33. Calcula operacions tipus: ap : bq

a)

b)

PROBLEMES. Un embassament…

34. Un ________________ que abasteix una població té ___________d’aigua. Si, per terme mig, una persona gasta ________ litres d’aigua anualment, quanta població podrà abastir durant un any?

35. Un ________________ que abasteix una població té ___________d’aigua. Si, per terme mig, una persona gasta ________ litres d’aigua anualment, quanta població podrà abastir durant un any?

INS _______________________



Un microorganisme…

36. Un _________________ mesura ___________ micres. Sabent que una micra és la ____________ part d’1 metre, expressa en _______ i en notació científica la longitud de _____ milions de microorganismes posats en fila.

37. Un _________________ mesura ___________ micres. Sabent que una micra és la ____________ part de 1 metre, expressa en _______ i en notació científica la longitud de _____ milions de microorganismes posats en fila.

En un laboratori…

38. En un _________________ s’ha observat que la població de certs _______________ es multiplica per ______ cada ______. Si el nombre inicial era de ____________ bacteris, quants bacteris hi haurà després de ___ hores?

39. En un _________________ s’ha observat que la població de certs _______________ es multiplica per ______ cada ______. Si el nombre inicial era de ____________ bacteris, quants bacteris hi haurà després de ___ hores?


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van sortint en l’ordinador i els resols, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Calcular:

Quin és el valor més gran que pot tenir x per tal que el nombre _________ sigui divisible per 3?

Troba el valor de _____ per tal que les

fraccions i siguin equivalents.

Troba el ____________ de la fracció

.

Escriu en forma de fracció irreductible el nombre ________________

Calcular:

Calcular:

Quantes ______________ de _______ de litre es poden omplir amb _______ litres de _____________?

Calcular:

Calcular:

INS _______________________

QUADERN Núm. 2 NOM: _______________________________ DATA: / /

Els nombres reals - 1 -

Els nombres reals

Continguts

1. Els nombres reals Nombres irracionals Nombres reals Aproximacions Representació gràfica Valor absolut Intervals

2. Radicals Forma exponencial Radicals equivalents

3. Propietats de les arrels

Ordenació de nombres reals Valor absolut i distàncies Intervals i semirectes

4. Operacions amb arrels Introduir i extraure factors Calcular arrels Sumes i restes Productes Quocients

Objectius

• Classificar els nombres reals en racionals i irracionals. • Aproximar nombres reals per truncament i arrodoniment. • Representar gràficament nombres reals. • Comparar nombres reals. • Realitzar operacions senzilles amb radicals.

Autor: Agustí Estévez Andreu Sota llicència Versió en català: Ramon Codorniu Torà Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Observa la animació que hi ha en aquesta pàgina i respon a les següents preguntes: a) De las quantitats 3'14, 3'1416, 3'141592, quin és el valor real de pi?

b) Quina és o quina podria ser l’última xifra decimal del nombre pi?_____________________

c) Quantes xifres decimals té el nombre pi? _________

Clica per anar a la pàgina següent.

1. Els nombres reals

1.a. Nombres irracionals • Llegeix el text de la pantalla. a) A què anomenem nombre irracional? ___________________________________________

b) Quants decimals té un nombre irracional?____________

c) Per què un nombre irracional no es pot escriure en forma de fracció? _______________ _________________________________________________________________________

d) Un decimal periòdic també té infinites xifres decimals, quina és, llavors, la diferència amb un nombre irracional? _____________________________________________________

e) Hi ha nombres irracionals que es poden representar de forma exacta. Escriu quatre nombres d’aquest tipus: _______________________________________

Clica el botó de l’escena i observa com es calcula la longitud d’una circumferència. Segueix les indicacions que apareixen. Quin tipus de nombre és la longitud de la circumferència si el diàmetre és un nombre irracional? ___________________________

Clica el botó

per entendre per què 2 no és un nombre racional.


Abans de començar

INS _______________________



1.b. Nombres reals Llegeix el text de la pantalla. Copia l’esquema sobre la classificació dels nombres reals:

Clica el botó fins aconseguir 3 nombres de cada conjunt:

Irracional


1.c. Aproximacions

Llegeix el text de la pantalla.

a) Els següents valors són aproximacions del nombre pi. Especifica si es tracta de

aproximacions per defecte, per excés, per arrodoniment o per trencament:

3,14

3,13

3,16

3,1416

3,141592

b) Al truncar un nombre sempre tenim una aproximació per _______________. c) A l’arrodonir un nombre obtenim una aproximació per defecte si la xifra següent a l’última

que s’aproxima és ____________________ i una aproximació per excés si la xifra següent a l’última que s’aproxima és ___________________________.

INS _______________________



Clica el botó de l’escena de la dreta, a la vegada que llegeixes el text que va apareixent.

a) Completa la graella amb les següents aproximacions per defecte i per excés de l’arrel

quadrada de 2:

Fins la xifra 1a 2a 4a 6a

Per defecte

Per excés

b) Aproxima per defecte fins la 3a xifra decimal l’arrel quadrada de 2: __________. Hi ha

algun altre nombre racional comprés entre l’arrel i l’aproximació? c) Aproxima per excés fins la 3a xifra decimal l’arrel quadrada de 2: __________. Hi ha

algun altre nombre racional comprés entre l’arrel i l’aproximació? d) Les aproximacions d’un nombre real, a quin conjunt, dels vistos a l’apartat anterior,

pertanyen? _____________________________________

Clica el botó

per fer els exercicis que se’t proposen.

El radi d’una circumferència és de 3,96 metres. Utilitzant el valor de pi que et dona la calculadora determina:

1. La longitud de la circumferència, truncant el resultat als centímetres.

2. La longitud de la circumferència, arrodonint el resultat als centímetres.

3. L’àrea del cercle, truncant el resultat als centímetres quadrats.

4. L’àrea del cercle, arrodonint el resultat als centímetres quadrats.


INS _______________________



1.d. Representació gràfica Agafa regle i compàs i seguint l’exemple de l’escena fes la: Representació gràfica de 2 .

Clica per passar al següent exemple.

Representació gràfica de 3 .

Representació gràfica de 17 .

Ves clicant per veure la representació del nombre pi.

a) De manera semblant a la que es mostra en el procés per acotar el nombre pi, acota 2

per un interval de longitud 0,0001: ____________________________

b) Acota 3 per un interval de longitud 0,001: ____________________________


INS _______________________



1.e. Valor absolut

Llegeix el text de la pantalla i visualitza l’escena de la dreta.

a) Anota les dues definicions de valor absolut. Posa algun exemple.

b) A partir de la definició que has llegit, el valor absolut de un nombre, és positiu o negatiu? __________________.

c) Si x és un nombre negatiu, quin serà el valor de |x|? ____________. d) Si la operació a-b dona un resultat negatiu, quin serà el valor de |a-b|? __________. e) Si la operació a+b-c dona un resultat negatiu, quin serà el valor de |a+b-c|? _________

Clica el botó per fer els exercicis que se’t proposen.

Distància entre dos nombres reals.

Calcula el valor absolut dels nombres a i b que apareixen a l’exercici proposat i calcula la seva distància. Després comprova el resultat.

Exercici | a | | b | distància Exercici | a | | b | Distància

1 2

3 4

Valor absolut i operacions.

Calcula el valor absolut de la suma, resta, producte i quocient dels nombres a i b. Després comprova el resultat.

Exercici | a | | b | | a + b | | b | | a · b | | a / b |

1

2

3

4


INS _______________________



1.f. Intervals: segments i semirectes Llegeix la definició d’interval i segueix les anotacions de l’escena. a) Un interval d’extrems a i b, on a és menor que b, és un conjunto de __________.

compresos entre a i b.

b) Un interval tancat d’extrems 3 i 5 es representa per __________ o per __________.

c) Un interval obert d’extrems -2 i 4 es representa per __________ o per __________.

d) Un interval d’extrems 1 i 7 on 1 no està inclòs, però 7 sí, és un interval _______________ i es representa per ___________ o per ____________.

e) Un interval d’extrems -4 i 5 on -4 està inclòs, però 5 no, és un interval _______________ i es representa per ___________ o per ____________.

f) Els nombres més grans que 3 es representen mitjançant un interval ____________ de la següent manera __________ o també com ___________.

g) A què anomenem longitud d’un interval? _____________________________________.

h) Un entorn simètric d’un punt és un interval ________________________________.

i) Escriu un entorn simètric del nombre 3 de manera que l’interval sigui de longitud 0,01: ____________.

Clica el botó per fer els exercicis que se’t proposen.

Valors e intervals

Determina si els nombres proposats pertanyen a l’interval donat. Comprova-ho introduint a la casella corresponent de cada valor, el 0 si no està a l’interval i un 1 si està a l’interval.

Pertany (sí o no) Exercici Interval Nombre 1 Nombre 2 Nombre 3

1 2 3

1

2

3

4

Distàncies i intervals

Determina si els nombres proposats disten del punt donat menys que la distància r també donada. Comprova-ho introduint a la casella corresponent de cada valor, el 0 si no està a l’interval i un 1 si està a l’interval.

Exercici a r | x–a |< r Nombre 1 Nombre 2 Nombre 3

1

2

3

4

INS _______________________



Semirectes i intervals

Determina si els nombres proposats pertanyen a la semirecta donada. Comprova-ho introduint a la casella corresponent de cada valor, el 0 si no pertany a la semirecta i un 1 si pertany a la semirecta.

Pertany (sí o no) Exercici Semirecta Nombre 1 Nombre 2 Nombre 3

1 2 3

1

2

3

4

EXERCICIS DE REFORÇ

A. Decideix si els següents nombres són racionals (R) o irracionals (I):

-5 4 π/2 16 7/3 2,313131…

15 1,01001000100001…

-4/5 4,65

B. Indica a quin conjunt pertanyen els nombres de l’exercici anterior:

Irracional

C. Representa 13

D. El radi d’una circumferència és de 5 m. Utilitzant la calculadora i el valor de π que dona, calcula:

a) La longitud de la circumferència truncant el resultat a cm.

b) La longitud de la circumferència arrodonint el resultat a cm

c) L’àrea del cercle truncant a cm2

d) L’àrea del cercle arrodonint a cm2

INS _______________________





E. Calcula:

|5|= |-3|=

| 21 − |= 23 − =

F. Escriu en forma d’interval els següents conjunts numèrics:

- Del 3 al 7, incloent els extrems:

- Els nombres mes grans que -2:

- Els nombres menors o iguals que 1:

- Del -1 al 5, incloent el -1 i excloent el 5:

- 3x1 <≤ :

- 4x > : G. Escriu un entorn simètric de 5 de longitud 0,0001.

H. Escriu un entorn simètric de -3 de longitud 0,1

EXERCICIS

1. Indicar el menor dels conjunts numèrics al qual pertanyen els nombres:

16)f5)e26

)d32

)c310,6)b...97509,5)a −⌢

2. El radi d’una circumferència és de 4 m. Calcula la seva longitud

2.1. Truncant el resultat primer a cm i després a m.

2.2. Arrodonint el resultat primer a cm i després a m

3. Calcula el valor absolut dels nombres a=-3 i b=5, i la distància entre ells.

4. Calcula |a+b| |a-b| |a·b| i |a/b|

5. Indica quins punts pertanyen a l’interval en cada cas:

5.1. Interval (-74,-52]. Punts: a) –53 b) –74 c) 11

5.2. Interval (-∞,75]. Punts: a) 32 b) 75 c) 76

INS _______________________



2. Radicals

2.a. Forma exponencial

Llegeix del text la definició d’arrel i de com un radical es pot escriure en forma d’una potència.

Observa en l’escena diferents exemples d’aquestes dues definicions.

a) Escriu la definició d’arrel n-èsima d’un nombre a _____________________________

b) Escriu la equivalència entre radical i potència d’exponent fraccionari _____________

c) Si a un radical no apareix l’índex, és que aquest és igual a _____ i rep el nom d’arrel ____________.

d) Les arrels d’índex 3 s’anomenen arrels __________.

e) L’arrel quadrada de 9 és igual a 3, però també igual a _____.

f) L’arrel cúbica de 8 és igual a 2. Explica per què no és igual a -2: __________________ _____________________________________________________________________

g) Els radicals d’índex parell sempre tenen dues arrels, que entre elles són __________.

h) Quantes arrels tenen els radicals d’índex senar? _______.

i) Quines són les arrels de 0 ? ________.

j) Quin tipus de nombre és l’arrel quadrada d’un nombre negatiu? ________________.

k) Amb quins altres radicals passa el mateix que a l’apartat anterior? _______________ _______________________________________________.

Clica el botó


Escriu en forma de radical o en forma de potència d’exponent fraccionari

Escriu vuit exercicis proposats en aquest apartat. Comprova el resultat a l’escena.

Exercici Potència o radical

proposat Valor a Valor b Valor c

Radical o potència resultant

1

2

3

4

5

6

7

8

INS _______________________




2.b. Radicals equivalents Llegeix el text de la pantalla i segueix les anotacions de l’escena de la dreta.

a) Escriu la definició de radicals equivalents i posa algun exemple: __________________

________________________________________________________________________

b) A més de la definició anterior, dos radicals són equivalents si les seves arrels són_______.

c) En el moment d’escriure en forma exponencial dos radicals equivalents, els seus exponents poden no ser iguals, però sí __________________.

d) Per a amplificar un radical, __________________ l’índex i l’exponent del radicand per un mateix nombre.

e) Per a simplificar un radical, __________________ __________________ l’índex i l’exponent del radicand per un mateix nombre.

f) Si a partir d’un radical n’obtenim un altre amplificant o simplificant, aquests seran _____ ____________.

g) Per a convertir un radical en irreductible, es tenen que ____________ l’índex i l’exponent del radicand per el ________________________________ dels dos.

Clica el botó



A. Escriu en forma de radical i exponencial:

Índex 2 3 4 7 9 12

Radicand 3 -8 3 43 25 32

Forma radical

Forma exponencial

B. Escriu en forma de radical les següents potències:

31/2= 52/3= (42)1/3=

INS _______________________



Escriu un radical equivalent

Escriu sis exercicis proposats en aquest apartat. Comprova el resultat a l’escena.

Exercici Radical

proposat Radical equivalent

Radical equivalent irreductible

1

2

3

4

5

6


EXERCICIS PER PRACTICAR

6. Escriu en forma exponencial els següents radicals:

35 = 3 7 = 4 53 =

7. Escriu en forma de radical les següents potències:

31/2= 52/3= (42)1/3=

8. Amplifica els següents radicals fent que l’índex sigui igual a 12:

35 = 3 7 = 4 53 =

9. Transforma els següents radicals en irreductibles:

a) 6 49 b) 35 28x

INS _______________________



3. Propietats de les arrels 3.a. Arrel d’un producte Llegeix el text de la pantalla i observa els exemples que proporciona l’escena.

a) Escriu la propietat que explica com calcular l’arrel d’un producte ____________________ ________________________________________________________________________

b) Aplica la propietat anterior per a calcular les següents arrels:

169 ⋅ = 3 63 yx ⋅ =

c) Raona per què és incorrecte el següent càlcul: de l’operació 25 x⋅ se simplifica el radical d’índex 2 amb el quadrat de la x i s’obté com a resultat 5x _________________________

________________________________________________________________________

d) Investiga si aquesta propietat també serveix per a l’arrel d’una suma i comenta les teves conclusions posant algun exemple:

Clica el botó


Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat on intervinguin variables. Comprova el teu resultat a l’escena.

Exercici Enunciat Procediment Resultat

1

2

3

4

5

INS _______________________



Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat on intervinguin nombres. Comprova el teu resultat a l’escena.


1

2

3

4

5


3.b. Arrel d’un quocient Llegeix el text de la pantalla i observa els exemples que proporciona l’escena.

a) Escriu la propietat que explica com calcular l’arrel d’un quocient


16

9=

36

3

y

x=

INS _______________________



Clica el botó


Calcula



1

2

3

4

5

Calcula



1

2

3

4

5


INS _______________________



3.c. Arrel d’una potència Llegeix el text de la pantalla i observa els exemples que proporciona l’escena.

a) Escriu la propietat que explica com calcular l’arrel d’una potència


516 =

( )3 43x =

c) Raona per què és incorrecte el següent càlcul: ( ) 12 204

3 5 22 =

Clica el botó


Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat. Comprova el teu resultat a l’escena.


1

2

3

4

5


INS _______________________



3.d. Arrel d’una arrel Llegeix el text de la pantalla i observa els exemples que proporciona l’escena. d) Escriu la propietat que explica com calcular l’arrel d’una arrel

a) Aplica la propietat anterior para calcular les següents arrels:

3 5 =

3 5 4 2 =

b) Raona per què és incorrecte el següent càlcul: 85 3 22 =

Clica el botó


Calcula



1

2

3

4

5

INS _______________________



Calcula



1

2

3

4

5



A. Aplica la propietat que correspon en cada cas per a calcular les arrels següents:

22 yx ⋅ = 3 827 ⋅ =

94

= 36

3

y

x=

( )3 232 = 64 =

3 3 = 5 3 152 =

B. Aplica les propietats necessàries per demostrar les igualtats següents

4644 3 =⋅ ( ) 1x

xx2

3 23

=⋅

EXERCICIS

10. Escriu amb una sola arrel:

a) 5 3 b) 47 X x


a) 44 3· 27 b) 5 25 x· x


a) 3

3

16

2 b)

5 4

5 3

x

x

INS _______________________



4. Operacions amb arrels

4.a. Introduir i extraure factors d’un radical Llegeix el text de la pantalla i observa què passa a l’animació inferior. Manipula l’escena de la dreta i contesta a les preguntes.

a) Recorda la definició de factor:

b) Com s’introdueix un factor en un radical d’índex n?

c) I, quina condició s’ha de complir per poder extreure un factor d’un radical d’índex n?

d) Si un factor compleix la condició per poder ser extret del radical, explica com s’extreu mitjançant el següent exemple:

7 182

e) Explica per què no es compleix la condició per extreure factors en el següent exemple. Factoritza al màxim el radicand i comprova que llavors sí que es podran extreure factors del radical:

5 49

f) Explica per què en el radical 6 427 235 +⋅ no es poden extreure els factors de 57, encara que l’exponent sigui més gran que l’índex:

INS _______________________



Clica el botó


Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat en els quals introdueixis variables dins del radical. Comprova el resultat a l’escena.


1

2

3

4

5

Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat en els quals introdueixis nombres dins del radical. Comprova el resultat a l’escena.


1

2

3

4

5

INS _______________________



Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat en els quals extreguis variables de dins del radical. Comprova el resultat a l’escena.


1

2

3

4

5

Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat en els quals extreguis nombres de dins del radical. Comprova el resultat a l’escena.


1

2

3

4

5


INS _______________________



4.b. Calcular arrels Llegeix el text de la pantalla i observa l’escena de la dreta.

a) Per a calcular arrels d’un nombre, en primer lloc s’ha de ______________ i després extreure tots els ______________ que sigui possible.

b) Com un nombre primer no es pot factoritzar, la seva arrel n-èsima és sempre un nombre _____________.

c) Calcula:

3 216000=

Clica el botó


Calcula

Escriu cinc exercicis proposats en aquest apartat. Comprova el resultat a l’escena.


1

2

3

4

5


INS _______________________



4.c. Sumes i restes Llegeix el text de la pantalla.

a) Dos radicals que tenen el mateix índex i radicand són _______________.

b) Dos radicals només es poden sumar o restar si son ________________.

A l’escena, clica l’opció “Sumes i restes de radicals semblants” i observa alguns exemples. Si cal, hauràs de repassar les sumes i restes de fraccions.

a) Explica per què és incorrecte el càlcul 1075453 =+

b) Quan se sumen o resten radicals, en realitat se sumen o resten els seus ______________, però no els seus _________________.

c) Calcula el resultat de la següent operació, expressant el seu resultat amb un sol radical:

27

2252

3

1 −+

A l’escena, clica l’opció “Sumes i restes complexes”i observa alguns exemples.

a) Explica per què, encara que no ho sembli, 2 i 8 són radicals semblants:

b) D’acord amb el que has vist a l’escena, per a intentar sumar o restar radicals que, en principi, no són semblants s’haurà de _____________ i extreure _____________ del radical.

c) Calcula el resultat de la següent operació, expressant el resultat amb un sol radical:

187

2258

3

1 −+


INS _______________________



4.d. Productes Llegeix el text de la pantalla i manipula l’escena de la dreta.

a) Dos radicals només es poden multiplicar si tenen el mateix ________________, si no, primer s’hauran de buscar radicals ________________.

b) Al multiplicar dos radicals es multipliquen tant els ________________ com els ______________ de tots dos.


2563

1 ⋅


4.e. Quocients Llegeix el text de la pantalla i manipula l’escena de la dreta.

a) Dos radicals només es poden dividir si tenen el mateix ________________, si no, primer s’hauran de buscar radicals ________________.

b) Al dividir dos radicals se divideixen tant els ________________ com els ______________ de tots dos.


125

757

2

=

d) Simplificar una fracció perquè no apareguin radicals en el denominador s’anomena ____________________. En el caso de radicals quadràtics, això s’aconsegueix multiplicant el _________________ i el ________________ pel radical del ___________________. Realitza aquest càlcul amb la següent fracció:

35

23=

INS _______________________




B. Extreu tots els factors que sigui possible dels radicals següents:

35 = 3 7 = 4 343=

C. Introdueix tots els factors dins dels radicals:

4 35⋅ =

534 ⋅ =

232 ⋅+ =

D. Extreu tots els factors dels radicals i calcula:

85 = 3 64 = 4 162=

E. Quins dels següents radicals es semblant a 3 2 ? Justifica la resposta.

3 16 6 22

2

F. Calcula expressant el resultat amb un sol radical:

553

453 +− =

272

112532 −+ =

G. Calcula i simplifica:

( )15·253 −⋅⋅ =

222 3 ⋅⋅ =

322

86

⋅⋅

=

3

4

52

35

⋅⋅

INS _______________________




EXERCICIS

13. Introdueix els factors dins del radical:

a) 4 3·2

b) 7 32 xx

14. Extreu els factors del radical:

a) 4 128

b) 7 30x

15. Calcula les següents arrels:

a) 5 1024

b) 7 84x

16. Indica quins radicals són semblants:

a) 4 43;5 3

b) 34 x; x

17. Calcula les sumes:

a) 40 90+

b) 2 32 8−

18. Calcula els productes:

a)

−⋅

252

37

1476

b) ( )45217535 −⋅

−

19. Calcula els quocients:

1084

2429

INS _______________________




Els nombres irracionals són els decimals _________________. Els nombres reals estan formats pels nombres _______________ i els _____________. L’expressió decimal d’un nombre irracional és _____________________________. Un nombre irracional no es pot escriure com una ___________. Quina diferència hi ha entre una aproximació per defecte i una per excés? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________. Què és arrodonir? ________________________________________________________. Què és truncar? __________________________________________________________. El valor absolut d’un nombre ens dona la distància del punt que representa aquest nombre a la recta real al _____ i sempre té signe ____________. Un interval obert d’extrems a i b s’indica com ___________ i gràficament es representa: Un interval tancat d’extrems a i b s’indica com ___________ i gràficament es representa: Un interval semiobert a l’esquerra d’extrems a i b s’indica com ___________ i gràficament es representa: Un interval semiobert a la dreta d’extrems a i b s’indica com ___________ i gràficament es representa: “L’arrel n-èsima d’un nombre a és igual a b” s’escriu ____________. En aquest cas es compleix que “b elevat a n és igual al número a”, cosa que s’escriu com ____________. Un radical es pot escriure com una potència. Escriu com es pot fer: Escriu com es calcula l’arrel del producte, del quocient, d’una potència i d’una arrel: Quina condició s’ha de complir per poder extreure factors d’una arrel n-èsima? Explica què vol dir que dos radicals siguin semblants: Dos radicals es poden sumar o restar si són ________________. També ho podran ser si s’extreuen _____________ del radical. Dos radicals es poden multiplicar o dividir si tenen el mateix _____________ i el mateix _______________. Si no és així, es transformen en radicals _______________.


INS _______________________



Per a practicar

Practica ara resolent diferents exercicis. En les següents pàgines trobaràs exercicis de: Aproximacions Intervals i semirectes Radicals Operacions amb radicals

Procura fer-ne al menys un de cada classe i un cop resolt comprova'n la solució. Completa l’enunciat amb les dades que t’apareixen a la pantalla de cada exercici i després resol l’exercici. después resuélvelo. És important que primer el resolguis i després comprovis a l’ordinador si las fet bé o no.

Exercicis d’aproximacions

1. Considerant ______________ com el valor exacte de ______ escriu les aproximacions per defecte, per excés i per arrodoniment d’ordre primer, segon, tercer, quart i cinquè.

Les aproximacions de ________ ordre (fins les dècimes) tenen un error de ± 0,1.

Las aproximacions de segon ordre (fins les _______________) tenen un error de ± 0,01.

Las aproximacions de __________ ordre (fins les ____________) tenen un error de ± 0,001.

Las aproximacions de __________ ordre (fins les ____________) tenen un error de ± 0,0001.

Las aproximacions de quinto ordre (fins les ____________) tenen un error de ± 0,00001.

Defecte

Excés 1º

Arrodoniment

Defecte

Excés 2º

Arrodoniment

Defecte

Excés 3º

Arrodoniment

Defecte

Excés 4º

Arrodoniment

Defecte 5º

Excés

2. La cinta mètrica que apareix a sota té divisions fins mig cm. La utilitzem per mesurar una vareta i obtenim el valor adjunt. Entre quins valors exactes es troba la longitud real, suposant que aquest valor és: a) per defecte; b) per excés; c) per arrodoniment a cm.

Escriu la longitud: _______ cm

a)

b)

c)

INS _______________________



3. Ens diuen que la població d’una ciutat és de __________ habitants i que les 4 primeres xifres d’aquesta quantitat són significatives. Entre quins valors es troba realment la població de la ciutat?


Exercicis de intervals i semirectes

4. Determina el conjunt A∩B essent A i B els següents intervals:

A= __________

B= __________

5. Determina el conjunt AUB essent A i B els següents intervals:

A= __________

B= __________

6. Determina el conjunt A-B essent A i B els següents intervals:

A= __________

B= __________

7. Determina el conjunt –A essent A el següent interval:

A= __________


INS _______________________



Radicals

8. Escriu en forma d’exponent fraccionari el radical ____________

9. Troba el valor del següent radical __________

10. Redueix a índex comú els radicals ________ i _________

11. Extreu els factors del radical __________

12. Introdueix els coeficients en el radical ___________


INS _______________________



Operacions amb radicals

13. (Sumes i restes) Calcular: ___________

14. (Sumes i restes) Calcular: ___________

15. (Productes)Calcular: ___________

16. (Productes) Calcular: ___________

17. (Quocients) Calcular: ___________

18. (Quocients) Calcular: ___________


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Indica el menor conjunt numèric al que pertany el nombre _________.

La milla anglesa mesura 1609,34 m, arrodoneix a km ______ milles.

Amb la calculadora escriu l’arrodoniment i el truncament a les mil·lèsimes de ________.

Indica l’interval que representa el segment de la figura:

Calcula el valor de l’arrel __________

Escriu en forma d’exponent fraccionari __________?

Introdueix el factor en el radical __________

Extreu factors del radical: ___________

Calcula ______________

Calcula i simplifica _______________

INS _______________________



Per a practicar més

1. Considerant 7,4833147735.... com el valor exacte de 56 , escriu les aproximacions per defecte, per excés i per arrodoniment d’ordre primer i segon (dècimes i centèsimes, respectivament).

2. La cinta mètrica que apareix a sota té divisions fins mig cm. La utilitzem per mesurar una vareta i obtenim el valor que es mostra. Entre quins valors exactes es troba la longitud real, suposant que aquest valor és: a) per defecte; b) per excés; c) per arrodoniment a cm.

Les aproximacions es poden utilitzar també amb nombres enters. Per a generalitzar aquesta idea farem servir el concepte de xifres significatives: “Si un nombre N és un valor aproximat d’un altre nombre P, direm que N té n xifres significatives si las primeres n xifres de N coincideixen amb les n primeres xifres de P. (No es consideren xifres significatives els zeros que tenen com a única finalitat situar la coma decimal)”. La definició anterior és prou intuïtiva però no sempre és correcta del tot, per això la precisem un poc més: “Direm que N té n xifres significatives si el nombre format amb les n primeres xifres de N difereix del nombre format amb les n primeres xifres de P (eliminant les comes decimals si n’hi haguessin) en menys de 0,5”.

3. Ens diuen que la població d’una ciutat és de 1579000 habitants i que les 4 primeres xifres d’aquesta quantitat són significatives. Entre quins valors es troba realment la seva població?

4. Determina els conjunts A∩B, AUB, A-B i -A en els casos següents:

1. A = [-11,-9] B = (-1,6)

2. A = [-5,5] B = (3,4)

3. A = [-2,7] B = (-2,6)

5. Escriu com potència de exponent

fraccionari:

a) 5 b) 3 2x c) 3a d) 5 3a

6. Escriu com un radical:

a) 123 b)

325 c)

15x d)

53x

7. Extreu tots els factors possibles dels següents radicals:

a) 18 b) 316

c) 39a d) 3 5 798a b c

8. Introduir dins del radicals tots els factors que es trobin fora d’ells:

a) 3· 5 b) 2· a

c) 23a· 2a d) 32 2ab a b

9. Suma els següents radicals:

a) 45 125 20− −

b) 1267514775 −+−

c) 175 63 2 28+ −

d) 1

20 45 2 1253

+ +

10. Fes les següents operacions:

a) ( )2 3 · 2−

b) 32)3557( ⋅+

c) 24)25532( ⋅−+

d) )35()35( −⋅+

11. Divideix els següents radicals:

a) 6x

3x b)

2 375x y

5 3xy

INS _____________________

QUADERN Núm. 3 NOM: _________________________ DATA: / /

Problemes aritmètics - 1 -

Problemes aritmètics

Continguts

1. Proporcionalitat directa i inversa Proporcionalitat directa Proporcionalitat inversa Repartiments proporcionals Proporcionalitat composta

2. Percentatges Percentatges Augments i disminucions Percentatges successius

3. Interès simple i compost Interès simple Interès compost Taxa anual equivalent (TAE) Capitalització Amortització

Objectius

• Recordar i aprofundir sobre proporcionalitat directa i inversa, proporcionalitat composta i repartiments proporcionals.

• Recordar i aprofundir sobre percentatges i variacions percentuals.

• Distingir entre interès simple i interès compost.

• Conèixer el significat de la Taxa anual equivalent en productes financers.

• Calcular el capital final que s'obté si dipositem periòdicament diners en alguns productes de capitalització i la quota periòdica que cal pagar per amortitzar uns préstecs.

• Utilitzar el full de càlcul per resoldre problemes. Autor: Agustí Estévez Andreu Sota llicència

Creative Commons Si no s'indica el contrari.

INS _____________________



Investiga Utilitza les fletxes de direcció per veure algunes de les aplicacions sobre problemes aritmètics.

En les operacions bancàries, els bancs i les caixes d'estalvi ofereixen un interès segons uns índexs de referència.

Quins són alguns d'aquests índexs?

Quin és el més utilitzat?

A l'escena clica

Pots veure enunciats de diversos problemes que aprendràs a resoldre en aquest tema. El primer és de proporcionalitat directa: preparar diferents quantitats de dissolució. EXERCICI: A la taula següent hi ha l'enunciat de diferents problemes. Cerca'ls a l'escena i digues de quin tipus és cadascun d'ells (com en el primer exemple) Exemple Tipus de problema

Preparar diferents quantitats de dissolució Proporcionalitat directa

Acabar un treball augmentant el nombre de treballadors/es

Repartir les despeses d'un viatge

Saber el temps que pot durar el menjar segons el nombre d'animals i el que menja cadascun

Repartir beneficis entre tots els socis d'una empresa

Expressar la relació entre el nombre d'aprovats i el nombre d'alumnes d'un institut

La pujada d'un preu d'un any per l'altre

Les rebaixes que s'apliquen en els comerços

El que pots obtenir posant els teus diners al banc durant un temps determinat

Els diners que una persona pot tenir quan es jubili si cada cert temps estalvia una quantitat

Per repassar els continguts de 2n d'ESO relacionats amb aquest tema, clica

Fes clic

per anar a la pàgina següent.

Abans de començar

INS _____________________



1. Proporcionalitat directa i inversa

1.a. Proporcionalitat directa •••• Llegeix el text de la pantalla i completa:

a) Dues magnituds són directament proporcionals si al multiplicar una d'elles per un nombre, l'altra queda _____________________ per aquest mateix nombre.

b) Dues magnituds són directament proporcionals si al dividir una d'elles per un nombre, l'altra queda ________________ per aquest mateix nombre.

c) El resultat de dividir un valor de la segona magnitud entre un valor de la primera s'anomena ___________________________________________.

•••• Quins mètodes es poden utilitzar per resoldre un exercici de proporcionalitat directa?

• _____________________________________. • ___________________________________. • ___________________________________.

•••• Observa l'escena de la dreta.

a) Completa la taula que apareix a l'escena:

Magnitud 1 1 2 3 4 5 6

Magnitud 2

Per què les següents magnituds són directament proporcionals?

Són directament proporcionals perquè _____________________________________ ______________________________________________________________________ b) Calcula la raó de proporcionalitat directa de la magnitud 2 sobre la magnitud 1: r=____

c) Prem successivament els botons: , i i observa com s'apliquen els diferents mètodes per resoldre problemes de proporcionalitat directa. Completa l'enunciat que apareix a l'escena i copia el nom del mètode i la resolució del problema en els següents requadres:

Problema: He comprat ___ llapis per _____ €. Quant costaran __ llapis?

Procediment:

INS _____________________



Procediment:

Procediment:

Clica el botó

per fer exercicis.

Clica


1.b. Proporcionalitat inversa •••• Llegeix el text de la pantalla i completa:

a) Dues magnituds són inversament proporcionals si al multiplicar una d'elles per un nombre, l'altra queda ________________ per aquest mateix nombre.

b) Dues magnituds són inversament proporcionals si al dividir una d'elles per un nombre, l'altra queda ________________ per aquest mateix nombre.

c) El resultat de dividir un valor de la segona magnitud entre un valor de la primera s'anomena ___________________________________________.

•••• Quins mètodes es poden utilitzar per resoldre un exercici de proporcionalitat directa?

* ___________________ * __________________ * _________________ •••• Observa l'escena de la dreta i completa la taula que apareix a l'escena:

Magnitud 1 1 2 3 4 5 6

Magnitud 2

Les magnituds són inversament proporcionals perquè __________________ _____________________________________________________________________.

d) Calcula la raó de proporcionalitat inversa: r=____

INS _____________________



•••• Prem successivament els botons: , i i observa com s'apliquen els diferents mètodes per resoldre problemes de proporcionalitat inversa. Completa l'enunciat que apareix a l'escena i copia el nom del mètode i la resolució del problema en els següents requadres: Problema:

Un grup de __ alumnes ha guanyat un premi per un treball realitzat i han rebut _______ € cadascun. Quant rebrien si haguessin participat ___ alumnes?

Procediment:

Procediment:

Procediment:

Clica el botó

per fer exercicis.

Clica


EXERCICIS

1. Un automòbil gasta 56 litres de gasolina per fer 800 quilòmetres, quants litres de gasolina gastarà per fer 500 quilòmetres?

Regla de tres directa Reducció a la unitat

2. Un rectangle té 25 cm de base i 18 cm d'altura. Quina altura haurà de tenir un rectangle de 15 cm. de base perquè tingui la mateixa superfície?

Regla de tres directa Reducció a la unitat

3. Completar les taules següents segons siguin les magnituds:

Directament proporcionals Inversament proporcionals

5 b 12 16 d 4 6 9 15 20

a 56 96 c 184 e f g 24 h

INS _____________________



1.c. Repartiments proporcionals

•••• Llegeix el text i respon:

a) Un repartiment és equitatiu quan _____________________________________________.

b) Si el repartiment s'ha de fer segons unes quantitats inicials diferents per a cada persona, el repartiment és __________________, que pot ser directe si ________________________

____________________________________________________ o invers si ___________

____________________________________________________.

•••• Observa l'escena de la dreta en què es proposen diversos tipus de problemes de repartiment proporcional a unes quantitats inicials, els quals es poden resoldre de dues maneres diferents.

En els requadres següents completa l'enunciat i la resolució, que pots veure clicant la

flecha que apareix a l'escena.

Un pare reparteix entres els seus dos fills ___ llaminadures de forma directament proporcional a les seves edats, que són __ i __ anys. Quantes en donarà a cadascú?

Un pare reparteix entres els seus dos fills ___ llaminadures de forma inversament proporcional a les seves edats, que són __ i __ anys. Quantes en donarà a cadascú?

Un pare reparteix entres els seus tres fills ____ euros de forma directament proporcional al nombre de matèries aprovades, que han estat __, __ i ___ respectivament. Quants euros donarà a cadascú?

Un pare reparteix entres els seus tres fills ____ euros de forma inversament proporcional al nombre de matèries suspeses, que han estat __, __ i ___ respectivament. Quants euros donarà a cadascú?

Clica el botó

per fer exercicis.

INS _____________________



Clica


1.d. Proporcionalitat composta

•••• Llegeix el text i contesta:

a) La proporcionalitat composta s'utilitza per resoldre problemes en què apareixen més de _______ magnituds proporcionals.

b) Els problemes de proporcionalitat composta es poden resoldre pel mètode de reducció a la ___________ o també mitjançant la regla _____________________.

•••• A l'escena de la dreta apareixen quatre tipus de problemes de proporcionalitat composta.

Completa l'enunciat de cadascun i resol-lo seguint cadascun dels procediments.

En una cadena de producció, __ persones treballant __ hores diàries, fabriquen ___ peces. Quantes peces fabricaran __ persones treballant __ hores diàries?

Procediment: Reducció a la unitat Magnituds que intervenen:

1a: _________________ 2a: _________________ 3a: _________________

Relació entre elles: La 1a i la 3a són: __________________ La 2a i la 3a són __________________

Pas 1:

Pas 2:

Pas 3:

Pas 4:

Pas 5:

EXERCICIS

4. Un pare reparteix entres els seus tres fills 2166 euros de forma directament proporcional al nombre de matèries aprovades, que han estat 4, 6 i 9 respectivament. Quants euros donarà a cadascú?

5. Un pare reparteix entres els seus tres fills 1020 euros de forma inversament proporcional al nombre de matèries suspeses, que han estat 4, 3 y 8 respectivament. Quants euros donarà a cadascú?

6. Quatre socis han creat un negoci aportant 3000 €, 5000 €, 9000 € i 12000 € respectivament. El primer any obtenen 5800 € de benefici, Com s'han de repartir els diners?

7. Quatre amics es reparteixen 35 pastissos de forma inversament proporcional als seus pesos, que són respectivament 60 kg, 80 kg, 90 kg i 120 kg. Quants pastissos corresponen a cadascú?

INS _____________________



Procediment: Regla de tres composta Relació entre elles: La 1a i la 3a són:

__________________

La 2a i la 3a són: __________________

Per tancar un terreny, ___ persones construeixen un mur de ____ m2 en ___ dies.

Quants dies trigaran ___ persones en construir un mur de ____ m2?

Procediment: Reducció a la unitat

Magnituds que intervenen: 1a: __________ 2a: ____________ 3a: _____________

Relació entre elles: 1a i 3a són: ____________ 2a i 3a són: ________________

Pas 1:

Pas 2:

Pas 3:

Pas 4:

Pas 5:

Procediment: Regla de tres composta Relació entre elles: La 1a i la 3a són:

__________________

La 2a i la 3a són:

__________________

INS _____________________



Per imprimir uns fulletons publicitaris, ___ impressores han funcionat ___ hores al dia i han trigat ___ dies. Quants dies trigaran __ impressores funcionant __ hores diàries?




Pas 1:

Pas 2:

Pas 3:

Pas 4:

Pas 5:

Procediment: Regla de tres composta Relació entre elles: La 1a i 3a són:

__________________

La 2a i 3a són:

__________________

Una piscina de _____ m3 s'omple amb ___ aixetes en ___ hores.

Quantes hores es trigarà en omplir una piscina de ____ m3 amb __ aixetes?




Pas 1:

Pas 2:

Pas 3:

Pas 4:

Pas 5:

INS _____________________



Procediment: Regla de tres composta

Relació entre elles: La 1a i la 3a són:

__________________

La 2a i la 3a són:

__________________

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


EXERCICIS 8. En una cadena de producció, 3 persones treballant 4 hores diàries, fabriquen 240

peces. Quantes peces fabricaran 9 persones treballant 5 hores diàries? La primera i la tercera magnitud són _______________ proporcionals. La segona i la tercera magnitud són ________________ proporcionals.

Reducció a la unitat

1a magnitud 2a magnitud 3a magnitud persones hores peces

Regla de tres composta

9. Per imprimir uns fulletons publicitaris, 12 impressores han funcionat 6 hores al dia i han trigat 7 dies. Quants dies trigaran 3 impressores funcionant 8 hores diàries?

La primera i la tercera magnitud són _______________ proporcionals. La segona i la tercera magnitud són ________________ proporcionals.

Reducció a la unitat

1a magnitud 2a magnitud 3a magnitud impressores hores dies

Regla de tres composta

INS _____________________



2. Percentatges

2.a. Percentatges •••• Llegeix el text i completa: En calcular un percentatge r% d'una quantitat C s'obté com a resultat el nombre P, mitjançant la fórmula:

a) El càlcul de percentatges equival a un problema amb magnituds ___________________

proporcionals. •••• A l'escena de la dreta hi ha tres problemes de càlcul de percentatges, en què s'ha de

calcular P, C o r. Completa l'enunciat i la resolució en els requadres següents:

Un dipòsit té una capacitat de _____ litres, però ara té el ___% del total. Quants litres d'aigua conté?

Un dipòsit té una capacitat de _____ litres, però ara té _____ litres.

Quin percentatge d'aigua conté?

Un dipòsit conté _____ litres, que representa el ___%. Quina és la seva capacitat?

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


EXERCICIS 10. a) Calcular el 27 % de 450.

b) Calcular el 85 % de 2360.

11. a) Quin percentatge representa 15 d'un total de 120? b) Quin percentatge representa 3120 d'un total de 8000?

12. a) El 64 % d'una quantitat és 112. Calcular aquesta quantitat. b) El 3,5 % d'una quantitat és 63. Calcular aquesta quantitat.

13. Durant les vacances de Nadal un hotel ha tingut una ocupació d'un 96%. Si l'hotel té 175 habitacions, quantes habitacions ocupades hi ha?

14. A la meva classe hi ha 30 alumnes. N'hi ha 18 que vénen a l'institut des d'una altra localitat utilitzant el transport. Quin percentatge del total dels alumnes utilitzen transport?

15. El 4,2% dels habitants del meu poble són joves entre 14 i 18 anys. Si hi ha 756 persones en aquest interval d'edat, quants habitants té el meu poble?

INS _____________________



2.b. Augments i disminucions percentuals •••• Llegeix el text i completa:

a) Escriu les fórmules que s'utilitzen per augmentar o disminuir una quantitat inicial CI en un percentatge r:

Per augmentar en un r% Per disminuir en un r%

b) ¿A què s'anomena índex de variació?

•••• A l'escena de la dreta trobaràs diferents exercicis d'augments i disminucions percentuals. Completa els enunciats i la resolució en els requadres següents:

La meva mare cobrava al mes _____ € i enguany li han apujat el sou un __%. Quant cobrarà ara?

Procediment 1r: Es calcula la pujada del sou:

Es suma al sou inicial: Procediment 2n: Es calcula l'índex de variació:

S'aplica la fórmula: __________

Els meus germans i jo hem comprat un regal als meus pares que costava ____ €. En pagar ens han fet un descompte del __%. Quant ens ha costat?

Procediment 1r: Es calcula el descompte del preu:

Es resta al preu inicial el descompte: Procediment 2n: Es calcula l'índex de variació:

S'aplica la fórmula: __________

Després de l'augment d'enguany d'un ___%, el sou del meu pare és ara de _____ €. Quant cobrava abans?

Es calcula _______________________ Es coneix __________________ i ___________________. Cal calcular _______________________.

Després de fer-nos un descompte d'un ___% en la compra d'un regal, hem pagat _____ €. Quin era el preu inicial?

Es calcula _______________________ Es coneix __________________ i ___________________. Cal calcular _______________________.

INS _____________________



El meu pare cobrava al mes _____ € i després de la pujada d'enguany ara cobra _____ €. Quin % li han apujat?

Es coneix __________________ i ___________________. Cal calcular _______________________.

Hem comprat un regal que costava ____ €, però després de fer-nos un descompte hem pagat _______ €. Quin percentatge ens han descomptat?

Es coneix __________________ i ___________________. Cal calcular _______________________.

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


2.c. Percentatges successius • Llegeix el text i observa els exemples de l'escena de la dreta. 1. Descriu els dos mètodes que has vist per aplicar percentatges successius a una quantitat

inicial CI:

Aplicant cada variació per separat

Amb els índex de variació

• A l'escena de la dreta trobaràs diferents exercicis de percentatges successius. Completa els

enunciats i la resolució en els requadres següents:

El preu d'un objecte en una botiga de regals és de ____ €. Primer s'augmenta el preu un ___% i després es torna a augmentar un ___%. Quin és el preu final?

Procediment 1r: Calculant cada variació per separat Primera variació: Segona variació:

Preu final:

Procediment 2n: Directament amb els índexs de variació

Primer índex de variació: Segon índex de variació: Preu final:

INS _____________________



El preu d'un objecte en una botiga de regals és de ____ €. Primer s'augmenta el preu un ___% i després es rebaixa un ___%. Quin és el preu final?


Preu final:

Procediment 2n: Directament amb els índexs de variació Primer índex de variació: Segon índex de variació: Preu final:

El preu d'un objecte en una botiga de regals és de ____ €. Primer es redueix el preu un ___% i després s'augmenta un ___%. Quin és el preu final


Preu final:


El preu d'un objecte en una botiga de regals és de ____ €. Primer es rebaixa el preu un ___% i després es torna a rebaixar un ___%. Quin és el preu final?


Preu final:


Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


EXERCICIS 16. Després de l'augment d'enguany d'un 14%, el sou de la meva mare és ara de

1938 euros. Quant cobrava abans?

17. El meu pare cobrava al mes 1600 euros i després de la pujada d'enguany ara cobra 1792 euros. Quin tant per cent li han apujat?

18. Després de fer-nos un 8% de descompte en comprar un regal, hem pagat 156,40 euros. Quin era el preu inicial?

19. Hem comprat un regal que costava 80 euros però, després de fer-nos un descompte, hem pagat 71,20 euros. Quin percentatge ens han descomptat?

20. El preu d'un objecte en una botiga de regals és de 208 euros. Primer augmenta el preu un 45% i després torna a augmentar un 66%. Quin és el preu final?

21. El preu d'un objecte en una botiga de regals és de 180 euros. Primer es redueix el preu un 12% i després augmenta un 27%. Quin és el preu final?

INS _____________________



3. Interès simple i compost

3.a. Interès simple • Llegeix el text de la pàgina i completa:

a) Si dipositem un capital C en un banc durant un any, el banc ens donarà una quantitat I, anomenada ___________, que s'obté aplicant un percentatge r%, anomenat _________, a la quantitat C.

b) Si dipositem el capital durant un temps t, que pot ser en anys, mesos o dies, l'interès es calcularà amb alguna de les següents fórmules:

t en anys t en mesos t en dies

c) I és ___________________ proporcional a les variables C, r i t.

•••• A l'escena de la dreta hi ha tres botons: , i A cadascun d'ells hi trobaràs 4 problemes diferents que podràs veure clicant UN EXEMPLE MÉS.

Completa l'enunciat que apareix a l'escena i la resolució de cada problema en els següents requadres:

Temps “t” en anys

1.1. Dades: C, r, t. Incògnita: I Calcular l'interès que produeix un capital de _______ € col·locat a un interès simple del _____ % durant ___ anys.

Clica UN EXEMPLE MÉS

1.2. Dades: I, r, t. Incògnita: C Calcular el capital que cal col·locar durant ___ anys a un rèdit del ____ % per produir un interès de _______ €.


1.3. Dades: I, C, r. Incògnita: t Quants anys cal tenir un capital de _______ € al ____ % d'interès simple per produir un interès de _______ €?


INS _____________________



1.4. Dades: I, C, t. Incògnita: r Calcular el rèdit al que cal col·locar un capital de _______ € durant ___ anys per produir un interès de _______ €.

Temps “t” en mesos

2.1. Dades: C, r, t. Incògnita: I Calcular l'interès que produeix un capital de _______ € col·locat a un interès simple del _____ % durant ___ mesos.


2.2. Dades: I, r, t. Incògnita: C Calcular el capital que cal col·locar durant ___ mesos a un rèdit del ____ % per produir un interès de _______ €.


2.3. Dades: I, C, r. Incògnita: t Quants mesos cal tenir un capital de _______ € al ____ % d'interès simple per produir un interès de _______ €?


2.4. Dades: I, C, t. Incògnita: r Calcular el rèdit al que cal col·locar un capital de _______ € durant ___ mesos per produir un interès de _______ €.

Temps “t” en dies

3.1. Dades: C, r, t. Incògnita: I Calcular l'interès que produeix un capital de _______ € col·locat a un interès simple del _____ % durant ___ dies.

INS _____________________




3.2. Dades: I, r, t. Incògnita: C Calcular el capital que cal col·locar durant ___ dies a un rèdit del ____ % per produir un interès de _______ €.


3.3. Dades: I, C, r. Incògnita: t Quants dies cal tenir un capital de _______ € al ____ % d'interès simple per produir un interès de _______€?


3.4. Dades: I, C, t. Incògnita: r Calcular el rèdit al que cal col·locar un capital de _______ € durant ___ dies per produir un interès de _______ €.

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica

per anar a la pàgina següent

EXERCICIS 22. Calcular el capital que cal col·locar durant 3 anys a un rèdit del 4% per produir un

interès de 5640 euros.

23. Calcular el rèdit al que cal col·locar un capital de 28500 euros durant 2 anys per produir un interès de 5150 euros.

24. Quants anys cal tenir un capital de 8500 euros a un rèdit del 3,75% d'interès simple per produir un interès de 2868,75 euros?

25. Calcular el capital que cal col·locar durant 10 mesos a un rèdit del 5% per produir un interès de 2956 euros.

26. Calcular el rèdit al que cal col·locar un capital de 29500 euros durant 8 mesos per produir un interès de 1710 euros.

27. Calcular l'interès que produeix un capital de 10400 euros col·locat a un interès simple de l'1,5% durant 163 dies.

28. Quants dies cal tenir un capital de 40950 euros a un rèdit del 2% per produir un interès de 182 euros?

INS _____________________



3.b. Interès compost. • Llegeix el text d'aquesta pàgina i les diferents pantalles de l'escena. Completa:

a) Un altre tipus d' interès és l'anomenat interès compost, en què cada cert temps, anomenat ______________________________, els interessos generats pel capital inicial _______________________________________________.

b) Escriu les fórmules que calculen el capital final (CF) si s'ha dipositat un capital inicial (CI) a

un rèdit r% durant t anys, segons el període de capitalització:

Anual Semestral Trimestral Mensual

•••• A l'escena de la dreta hi ha tres botons: , i A cadascun d'ells hi trobaràs diferents problemes que podràs veure clicant UN EXEMPLE MÉS. Completa l'enunciat que apareix a l'escena i la resolució de cada problema en els següents requadres:

Es diposita un capital de _________ € a un interès compost del _____ % durant ___ anys. Calcula el capital final si el període de capitalització és anual.

Es diposita un capital de ________ € a un interès del ___ %. Compara el capital final obtingut des d'1 fins a 5 anys diferenciant els tipus d'interès simple i compost. Anys Interès simple Interès compost Diferència

1

2

3

4

5

Diferents períodes de capitalització

3.1. Es diposita un capital de _________ € a un interès compost del _____ % durant ___ anys. Calcula el capital final si el període de capitalització és semestral.


INS _____________________



3.2. Es diposita un capital de _________ € a un interès compost del _____ % durant ___ anys. Calcula el capital final si el període de capitalització és trimestral.


3.3. Es diposita un capital de _________ € a un interès compost del _____ % durant ___ anys. Calcula el capital final si el període de capitalització és mensual.

• Completa les frases següents:

a) Perquè s'obtingui el mateix capital final a interès simple i compost, de quant de temps ha de ser la inversió? ________________

b) Explica perquè per a una inversió a diversos anys el capital final a interès compost és major que a interès simple __________________________________________________ ________________________________________________________________________

c) Com més gran sigui el període de capitalització, _____ interessos es reben en el mateix temps, perquè __________________________________________________________

• Resol el problema següent:

1. Calcula el capital final que obtindries en dipositar un capital inicial de 2450 € durant 5 anys a un rèdit del 6,3% si el període de capitalització és anual, semestral, trimestral i mensual:

Anual Semestral Trimestral Mensual

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


3.c. Taxa anual equivalent (TAE)

• Llegeix el text d'aquesta pàgina i l'escena de la dreta:

a) Escriu la fórmula que cal utilitzar per calcular la taxa anual equivalent (que indica el % de creixement real del capital durant un any). Explica què significa la k:

b) A mesura que la k augmenta, què passa amb la TAE? ______________________________

c) Quan coincideix la TAE amb el rèdit r%? ______________________________________

d) Explica per què no és el mateix un rèdit del 12% anual que un de l'1% mensual _____ ________________________________________________________________________.

INS _____________________



• Mira les altres escenes prement els nombres de la part inferior del 2 al 5. Per al mateix percentatge: ____ % calcula la TAE corresponent per als diferents tipus de capitalització:

Mensual

Bimensual

Trimestral

Semestral

• Resol el problema següent:

1. Calcula amb quina de les següents opcions obtindries més interessos, amb un rèdit del 12% amb capitalització semestral o amb un del 6% semestral:

Clica el botó

per fer exercicis.

Clica


EXERCICIS 29. Es diposita un capital de 8200 euros a un interès compost del 5,5% durant 6 anys.

Calcular el capital final si el període de capitalització és anual.

30. Es diposita un capital de 29000 euros a un interès compost de l'1,75% durant 7

anys. Calcular el capital final si el període de capitalització és trimestral.

Si la capitalització és trimestral, en un any hi haurà 4 períodes de capitalització.

31. Es diposita un capital de 17600 euros a un interès compost del 4,5% durant 5 anys.

Calcular el capital final si el període de capitalització és semestral.

Si la capitalització és semestral, en un any hi haurà 2 períodes de capitalització.

32. Es col·loca un capital de 1000 euros a un interès de l'1%. Calcular el capital final

obtingut des d'1 fins a 5 anys distingint els tipus d'interès simple i compost.

Anys Interès

simple

Interès

compost Diferència

1

2

3

4

5

33. Calcular la taxa anual equivalent (TAE) corresponent a un 2,5% anual amb

capitalització mensual.

34. Calcular la taxa anual equivalent (TAE) corresponent a un 4,75% anual amb

capitalització trimestral.

INS _____________________



3.d. Capitalització • Llegeix el text d'aquesta pàgina:

a) Explica la diferència entre les operacions de capitalització i les d'interès compost:

b) Escriu la fórmula que calcula el capital final CF que s'obté quan ingressem una quantitat c, durant t períodes, a un interès del r% en cada període

• A l'escena de la dreta trobaràs diferents exercicis. Completa els enunciats i la resolució de

cada problema en els següents requadres:

Una persona obre un pla de pensions quan té ___ anys. Cada any ingressa ______ €. El banc li dóna un interès del ____ % anual. Quina quantitat tindrà quan tingui ___ anys?

Una persona obre un pla de pensions quan té ___ anys. Cada mes ingressa ______ €. El banc li dóna un interès del ____ % anual. Quina quantitat tindrà quan tingui ___ anys?

Una persona obre un compte d'estalvi d'habitatge durant ____ anys, amb una quota anual de ______ € i un interès del ____ % anual. Quina quantitat tindrà quan retiri els diners?

Una persona obre un compte d'estalvi d'habitatge durant ____ anys, amb una quota mensual de ______ € i un interès del ____ % anual. Quina quantitat tindrà quan retiri els diners?

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


INS _____________________



3.e. Amortització • Llegeix el text d'aquesta pàgina:

a) Explica la diferència entre les operacions d'amortització i les de capitalització:

a) Escriu la fórmula que calcula l'anualitat C que cal per tornar un préstec CI durant t períodes a un interès del r% en cada període

• A l'escena de la dreta trobaràs diferents exercicis. Completa i resol:

Una persona té un préstec hipotecari de ________ € a un interès del ___ % anual i a tornar en ____ anys. Quina quantitat haurà de pagar cada any?

Una persona té un préstec hipotecari de ________ € a un interès del ___ % anual i a tornar en ____ anys. Quina quantitat haurà de pagar cada mes?

Una persona té un préstec hipotecari de ________ € a un interès del ___ % anual i a tornar en ____ anys. Quina quantitat haurà pagar cada trimestre?

Clica el botó

Per fer exercicis.

Clica


EXERCICIS 35. Una persona obre un pla de pensions als 22 anys. Cada any ingressa 1000 €. El banc

li dóna un interès del 5,25% anual. Quina quantitat tindrà als 65 anys? Quina quantitat de diners correspon a les seves quotes?

36. Una persona té un compte d'estalvi d'habitatge durant 8 anys, amb una quota mensual de 150 euros i un interès del 2,5% anual De quina quantitat disposarà quan retiri els diners?

37. Una persona diposita cada trimestre en un banc 400 euros, durant 10 anys. El banc li dóna un interès del 5%. Quina quantitat de diners tindrà al cap de 5 anys?

38. Una persona té un préstec personal de 120000 € a un interès del 5% anual i a tornar en 20 anys. Quina quantitat haurà de pagar cada any? Quant pagarà en total?

39. Una persona té un préstec hipotecari de 70000 € a un interès del 4,5% anual i a tornar en 15 anys. Quina quantitat haurà de pagar cada mes? Quina quantitat de diners pagarà en total?

INS _____________________




Proporcionalitat directa i inversa: Magnituds directament proporcionals. Si es multiplica o divideix una d'elles per un nombre, l'altra queda ________________ o ________________ pel mateix nombre.

Magnituds inversament proporcionals. Si es multiplica o divideix una d'elles per un nombre, l'altra queda _________________ o _________________ pel mateix nombre. La proporcionalitat composta consisteix en relacionar tres o més ______________. Proporcionalitat composta Quan resolem una activitat de proporcionalitat _____________ es relacionen les magnituds de dos en dos i es mantenen constants les altres. També es poden resoldre mitjançant una ________________________________ Repartiments proporcionals Repartiment directament proporcional: repartir una quantitat entre diverses parts de forma que cadascuna d'elles rebi una quantitat __________________ a un valor inicial de cada part. Repartiment inversament proporcional: es fa el repartiment de forma directament proporcional als _____________ dels valors inicials de cadascuna de les parts. Percentatges Fórmula per aplicar un percentatge r% a una quantitat C: Augments o disminucions percentuals S'anomena índex de variació a la variació que experimenta una unitat.

Per a un augment: Per a una disminució: Interès simple. Si dipositem un capital C en un banc, durant un temps t a un rèdit r%, s'obté un interès I donat per les fórmules següents,

segons t s'expressi en anys, mesos o dies. Interès compost. Si cada cert període de temps, els interessos generats s'afegeixen al capital, aquests produiran més interès. Aquests períodes de temps (anys, mesos, …) s'anomenen _________________________. Si k és el nombre de períodes de _________________ que hi ha en un any, el capital final és igual a:

o Taxa anual equivalent (TAE). Expressa el _______________ d'un capital durant un any. Es calcula amb la fórmula, essent k el nombre de períodes de capitalització. Fórmula:

Capitalització. El capital final que s'obté en ingressar una quantitat c, durant t períodes a un interès del r% en cada període és:

Amortització. Si tenim un préstec d'una quantitat CI, a un interès del r%, a tornar en t quotes periòdiques, cada quota és igual a:

amb

INS _____________________



Per practicar

Practica ara resolent diferents EXERCICIS. En les pàgines següents trobaràs EXERCICIS de

Proporcionalitat directa i inversa Percentatges Interès simple i compost

Procura fer-ne almenys un de cada classe, i un cop resolt comprova la solució.

Completa l’enunciat amb les dades dels que t’apareixen a cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé.

Clica


Proporcionalitat directa i inversa Dissolucions

1. Una dissolució conté ___ grams d'un compost químic per cada ___ litres d'aigua. Si s'han utilitzat ___ litres d'aigua, quants grams del compost químic caldrà afegir?

Construcción

2. Si ___ paletes fan una construcció en ___ dies, quants se'n necessitaran per acabar el treball en ___ dies?

Viatge d'estudis

3. Un grup de ____ alumnes fan un viatge d'estudis. Han de pagar l'autocar entre tots, pagant cadascun d'ells ____ €. D'altra banda les despeses totals d'allotjament són _______ €. Quin seria el preu total i el preu individual si fossin ___ persones?

INS _____________________



Animals de granja

4. Clica sobre la imatge de cada animal:

a. Per alimentar a ___ pollastres durant ___ dies fan falta ___ quilos de pinso. Quants quilos de pinso caldran per alimentar ___ pollastres en ___ dies?

b. Amb ____ quilos de pinso en ___ dies mengen ___ conills. Quants conills podran menjar amb _____ quilos de pinso durant ____ dies

c. Si ___ porcs mengen ____ quilos de pinso durant ___ dies. Quants dies trigaran ___ porcs en menjar-se _____ quilos de pinso?

Feina a dojo

5. Clica sobre la imatge

a. Si __ obrers treballant ___ hores diàries triguen en fer un treball ___ dies, quants dies trigaran en fer el mateix treball ___ obrers treballant ___ hores diàries?

b. Si __ obrers treballant ___ hores diàries posen ____ metres quadrats de rajoles, quants metres quadrats de rajoles posaran ___ paletes treballant ___ hores diàries?

INS _____________________



Repartiment de beneficis

6. _____ socis obren un negoci aportant ______, ______ i _______ € respectivament. En acabar l'any obtenen uns beneficis de ______ €. Com s'han de repartir aquests beneficis?

Propines

7. Tres cambrers d'un bar discuteixen sobre la millor manera de repartir els ____ € de les propines del mes. Decideixen fer-ho de manera inversament proporcional als dies que han faltat a la feina. Quants euros tocaran a cada cambrer si han faltat ___, ___ i ___ dies respectivament?

Qualificacions

8. Dos germans arriben a casa amb les notes del primer trimestre. Un té ___ matèries aprovades i ___ suspeses. L'altre té ___ aprovats i ___ suspesos. El pare els dóna ______ euros per repartir de forma directament proporcional al nombre d'aprovats o bé de forma inversament proporcional al número de matèries suspeses. Quin repartiment interessa més a cadascun dels germans?

Clica


INS _____________________



Percentatges Alumnes

9. En un institut hi ha ____ estudiants. El nombre de les alumnes representa el ___% del total. Quantes alumnes hi ha?

Aprovats i suspesos

10. El ___ % de l'alumnat d'un institut ha aprovat totes les matèries. Sabent que ho han aprovat tot ___ persones. Quin és el nombre total d'alumnes de l'institut?

4t ESO

11. En un institut hi ha ____ estudiants. A 4t d'ESO n'hi ha ____. Quin percentatge del total representa l'alumnat de 4t d'ESO?

Pressupostos

12. El pressupost d'enguany de l'Ajuntament d'una població és de __________ €. Per al proper any s'augmentarà un ____ %. Quin serà el nou pressupost?

La factura del llum

13. La factura del llum s'ha incrementat aquest any en un ____ %. Si aquest mes he pagat ______€. Quant hauria pagat si no s'hagués apujat el preu?

INS _____________________



Població estiuenca

14. La població d'una localitat de la costa ha passat a l'estiu de ________ a ________ habitants. Quin % ha augmentat?

Incendi forestal

15. Un bosc té _______ arbres. En un incendi s'han cremat el ____ % dels arbres. Quants arbres queden?

Repartidor de llet

16. Després de repartir el ___ % de les ampolles que portava, un lleter torna al seu magatzem amb ___ ampolles. Quantes en portava en sortir?

Clica


Interès simple i compost Interessos diferents

17. Dos germans col·loquen un mateix capital de _______ € a un rèdit del ___% durant ___ anys. Un d'ells ho fa a interès simple i l'altre a interès compost amb capitalització anual. Quina diferència hi ha entre els interessos que reben cadascun d'ells?

INS _____________________



Temps diferents

18. Una persona col·loca un capital de _______ € durant ___ anys a un interès compost del ____% amb capitalització mensual. Quant de temps hauria de tenir el mateix capital a un interès simple amb el mateix rèdit per obtenir els mateixos interessos?

Períodes de capitalització

19. Una persona col·loca un capital de _______ € durant ___ anys a un interès compost del ____%. Quin període de capitalització interessa més: anual, semestral, bimestral o mensual?

Comprovar la TAE

20. Una persona col·loca un capital de _______ € durant ___ anys a un interès compost del ____% amb capitalització mensual. Calcula la TAE que correspon i calcula el capital que s'obtindria amb les mateixes dades a un interès simple igual a la TAE.

Pla de pensions

21. Una persona obre un pla de pensions a l'edat de ___ anys. Cada mes ingressa ____ €. El banc li dóna un interès del ____ %. Quina quantitat de diners ingressa durant la vigència del pla? Quants diners tindrà quan es jubili als ___ anys?

INS _____________________



Compte d'estalvi habitatge

22. Una parella obre un compte d'estalvi habitatge durant ___ anys. Cada trimestre ingressa ____ €. El banc li dóna un interès del ____ %. Quina quantitat de diners ingressa en el compte habitatge? Quants diners tindrà quan acabi el termini?

Préstec hipotecari

23. Hem sol·licitat un préstec hipotecari de _________ € a pagar en ___ anys i a un interès del ___ % anual. Quant haurem de pagar cada mes? Quin serà l'import total del préstec?

Préstec personal

24. Un comerciant sol·licita un préstec personal de _________ € a pagar en quotes semestrals, en ___ anys i a un interès del ___ % anual. Quant haurà de pagar cada semestre? Quin serà l'import total del préstec?

Clica


INS _____________________



Autoavaluació

Copia aquí cadascun dels enunciats que proposa l'ordinador i resol, introdueix el resultat per comprovar si la solució és la correcta.

INS _____________________



Per practicar més

1. Una dissolució conté 176 grams d'un compost químic per cada 0,8 litres d'aigua. Si s'han utilitzat 0,5 litres d'aigua, quants grams del compost químic s'hi haurà d'afegir?

2. Si 10 paletes fan una obra en 30 dies, quants se'n necessitaran per acabar l'obra en 25 dies?

3. Un grup de 43 alumnes fan un viatge d'estudis. Han de pagar l'autocar entre tots, pagant cadascú 90 €. D'altra banda les despeses totals d'allotjament són 12427 €. Quin seria el preu total i el preu individual si fossin 46 persones?

4. Per a alimentar 11 pollastres durant 16 dies fan falta 88 quilos de pinso. Quants quilos de pinso faran falta per a alimentar 18 pollastres en 8 dies?

5. Si 10 obrers treballant 9 hores diàries triguen a fer una feina 7 dies, quants dies trigaran a fer la mateixa feina 5 obrers treballant 6 hores diàries?

6. Tres socis obren un negoci aportant 20000, 35000 i 50000 € respectivament. En acabar l'any obtenen uns beneficis de 4200 €. Com se'ls han de repartir?

7. Tres cambrers d'un bar es reparteixen 238 € de les propines d'un mes de forma inversament proporcional al nombre de dies que han faltat, que han estat 1, 4 i 6 dies respectivament. Quant correspon a cadascú?

8. En un institut hi ha 450 estudiants. El nombre de les alumnes representa el 52% del total. Quantes alumnes hi ha?

9. El 28 % dels alumnes d'un institut ha aprovat totes les assignatures. Sabent que han aprovat 196 persones. Quants alumnes hi ha a l'institut?

10. Enguany el pressupost d'una localitat ha estat de 1868500 €. Per al proper any s'incrementarà un 1,7 %. Quin serà aquest pressupost?

11. La població d'una localitat de la costa ha passat de 44500 a 61410 habitants. ¿Quin % ha augmentat?

12. Un bosc té 30900 arbres. En un incendi s'han cremat el 18 % dels arbres. Quants arbres queden?

13. Després de repartir el 90 % de les ampolles que portava, un lleter torna al seu magatzem amb 27 botelles. Amb quantes ampolles va sortir?

14. Dos germans col·loquen un mateix capital de 22100 € a un rèdit del 9% durant 6 anys. L'un el col·loca a interès simple i l'altre a interès compost amb capitalització anual. Quina diferència hi ha entre els interessos que reben cadascun d'ells?

15. Una persona col·loca un capital de 18000 € durant 1 any a un interès compost del 4,2% amb capitalització mensual. Calcula la TAE que correspon i calcula el capital que s'obtindria amb les mateixes dades a un interès simple igual a la TAE.

16. Una persona obre un pla de pensions a l'edat de 28 anys. Cada mes ingressa 120 €. El banc li dóna un interès de l'1,5 %. Quants diners tindrà quan es jubili als 67 anys? Quants diners haurà ingressat durant la vigència del pla?

17. Hem sol·licitat un préstec hipotecari de 148000 € a pagar en 18 anys i a un interès del 9,1 % anual. Quina quantitat haurem de pagar cada mes? Quin serà l'import total del préstec?

INS _______________________


Polinomis - 1 -

Polinomis

Continguts

1. Expressions algebraiques Dels enunciats a les expressions Valor numèric Expressió en coeficients

2. Divisió de polinomis

Divisió Divisió amb coeficients Regla de Ruffini Teorema del residu

3. Descomposició factorial

Factor xn Polinomis de 2n grau Regla de Ruffini reiterada Identitats notables

Objectius

• Treballar amb expressions literals per obtenir valors concrets en fórmules i equacions en diferents contextos.

• La Regla de Ruffini.

• Teorema del residu.

• Reconèixer els polinomis amb coeficients reals irreductibles.

• Factoritzar polinomis amb arrels enteres.

Autor: Emilio José Pedrazuela Colliga Sota llicència Versió en català: Francesc Cassasas Canals Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________


Polinomis - 2 -

Una forma de dividir gràficament un polinomi entre un binomi, consisteix en dibuixar quadrats de costat x (àrea x2 u2), rectangles de costats x i 1 (àrea x u2) i quadrats de costat 1 (àrea

1 u2) en funció del polinomi.

Observa en l’escena com es pot fer una divisió de polinomis. Amb què coincideix la quantitat de quadrats o rectangles que apareixen dibuixats? ________________________. A la dreta apareix un segmento que correspon al divisor (en aquest caso 2x+2). Sobre ella intenta construir un rectangle el més alt possible utilitzant les peces que apareixen a l’esquerra, que corresponen al polinomi (en aquest cas 2x2+4x+4 ) 2 de mida x2, 4 de mida x i unes altres 4 de mida la unitat) Quan ho aconsegueixis apareixerà el resultat de la divisió i a la dreta la comprovació de que efectivament està correctament resolta.

Amb què coincideix l’altura del rectangle obtingut? ______________________________.

I amb què els elements que sobren? ___________________________.

EXERCICI: Repeteix el procés amb cada nou cas que es proposa en l’escena i representa dos dels que hagis resolt:

Dividir _________________ entre ________ Col·loca les peces:

Base _________________________

Dividir _________________ entre ________ Col·loca les peces:

Base _________________________

Dividend: Dividend:

Divisor: Divisor:

Quocient: Quocient:

Residu: Residu:

Pots clicar el botó

per repassar conceptes que et seran útils en aquest tema.


Abans de començar empezar

INS _______________________


Polinomis - 3 -

1. Expressions algebraiques 1.a. Transformar enunciats en expressions Llegeix el text de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QUESTIONS: RESPOSTES

Quina característica tenen els monomis?

Què s’obté si sumem o restem diversos monomis?

En la escena es proposen deu exercicis per transformar enunciats en expressions algebraiques. Contesta els següents exercicis i comprova el resultat.

Calcula l’expressió algebraica que ens dóna el nombre de quadradets del rectangle: (Fes primer el dibuix)

Expressió Grau Coeficients

Quin monomi ens dóna l’àrea d’un rectangle de base x i altura y?


Quin monomi ens dóna el volum d’un cub d’aresta x?


Quin monomi ens dóna l’espai recorregut a una velocitat constant de x km/h durant t hores?


Quin polinomi ens dóna la longitud del segment marró?


INS _______________________


Polinomis - 4 -

Quin polinomi ens dóna la mitjana aritmètica de dos nombres?


Quin polinomi ens dóna el triple d’un nombre menys cinc?


Quin polinomi ens dóna la suma dels quadrats de dos nombres?


Quina expressió ens defineix la diagonal d’un quadrat?


Quina expressió ens defineix la diagonal d’un rectangle de base x i altura y?


Prem

per fer un qüestionari. Escriu en el requadre la nota obtinguda: �


INS _______________________


Polinomis - 5 -

1.b. Valor numèric Llegeix en la pantalla la definició de valor numèric i les normes que has de tenir en compte per calcular-lo. A continuació completa el següent paràgraf:

El resultat de ______________ les variables per nombres en una expressió

______________ és un nombre, que anomenarem valor ________________.

Cal aplicar la prioritat de ____________ realitzant primer les _____________, després

els productes i ______________, i, finalment, les _______________ i restes.

En l’escena es proposen cinc exercicis per trobar el valor numèric d’una expressió algebraica. Resol cada un dels exercicis arrossegant l’etiqueta taronja que conté el nombre per substituir-la per la variable de l’expressió i seguint pas a pas el desenvolupament per trobar el valor numèric. Fes les operacions en la següent taula:

Valor numèric

Enunciat Desenvolupament Resultat

1. L’expressió _________________ té com valor numèric en x = ___

2. L’expressió _________________ té com valor numèric en x = __ /__

3. L’expressió _________________ té com valor numèric en x = ____

4. L’expressió _________________ té com valor numèric en x=___ i y=___

5. L’expressió _________________ té com valor numèric en x=___ i y=___

Clica en el botó


Apareixen dues sèries d’exercicis. La primera és del tipus guiat i conté dos exemples que pots observar. La segona, del tipus escriure, consisteix en resoldre 10 exercicis escrivint pas a pas els resultats de les operacions, tal como s’indica a la dreta de l’escena.


INS _______________________


Polinomis - 6 -

1.c. Polinomis. Expressió en coeficients Llegeix el text de la pantalla. EXERCICI 1: CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

En quines parts podem subdividir un polinomi?

On podem trobar fraccions, nombres negatius o arrels?

Es molt convenient que recordis la manera d’expressar un polinomi amb els seus coeficients, per aconseguir-ho fixa’t en l’escena de la dreta i explica a continuació un exemple. EXERCICI 2. Completa un dels exemples de l’escena:

En aquest polinomi _______________________ hi ha alguns coeficients i exponents amagats.

1r Completem el polinomi

2n Veure l’expressió en coeficients del polinomi

Clica en el botó


Apareix un polinomi. Escriu el seu grau en el requadre corresponent i prem Intro. Apareixen uns altres requadres en els que has d’escriure els coeficients del polinomi. Fes uns quants exercicis fins que en tinguis com a mínim dos de seguits correctament resolts. EXERCICI 3: CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és el grau d’un polinomi?

Quants coeficients cal posar si el grau d’un polinomi és n?

INS _______________________


Polinomis - 7 -

EXERCICIS 1. Determina l’expressió dels següents enunciats:

Enunciat Expressió

Quin monomi ens dóna l’àrea d’un rectangle de base 3x i altura 2y?

Quin monomi ens dóna el volum d’un cub d’aresta x?

Quin polinomi ens dóna l’espai recorregut a una velocitat constant de x km/h durant (t+1) hores?

Quin polinomi ens dóna el triple de la suma d’un nombre menys cinc, i el doble d’aquest nombre?

Quina expressió ens defineix la diagonal d’un rectangle de base x i altura 2y?

2. Escull l’expressió algebraica en cada cas:

Expressió Enunciat

A B C D

1. El triple d’un nombre més sis. 36 +x 63 +x )6(3 +x 6

3+x

2. La cinquena part d’un nombre més deu.

105

+x

5

10+x 510 +x 105 +x

3. Un quart de la suma d’un nombre més set. 4

7+x 7

4+x

4

714 + x+

4

7

4. La semisuma de dos nombres. 2

xy

2

yx + y

x +2

2

yx −

5. La meitat del producte de dos nombres.

yx

2

22

yx

2

yx −

2

7x

6. L’arrel quadrada de la suma de dos quadrats.

yx + 22 yx + 22 yx +

22 yx +

7. El 40 % d’un nombre. x4,0 100

40x x

10

40

40

100x

8. El quadrat de la suma de dos nombres.

2)( yz + 22 yx + 2yx + 2)12( y+

9. El quadrat de la semisuma de dos nombres. 4

22 yx +

2

2yx +

4

)( 2yx +

2

)( 2yx +

10. La mitjana aritmètica de tres nombres.

zyx 5,05,05,0 ++

2/2

++z

yx

3

zyx ++

2

zyx ++

INS _______________________


Polinomis - 8 -


EXERCICIS

3. Troba els valors numèrics indicats en cada cas:

Enunciat Desenvolupament Resultat

)2(72 5 −− enx

+3

253 3 enx

933 3 enxx −

3;243

5

=−=+ yxeny

x

4;414

5

==+ yxeny

x

4. Valor numèric en -3 de P(x) = 2x2 +5x + 6.

5. Valor numèric en 0,1 de P(x) = 3x2 +7x + 2.

6. Donats els polinomis, contesta les preguntes.

X3 + 4x - 2 X4 - 2x3 -x2 -2x

Grau del polinomi? Grau del polinomi?

Escriu els coeficients en els requadres Escriu els coeficients en els requadres

INS _______________________


Polinomis - 9 -

2. Divisió de polinomis 2.a. Divisió Llegeix en la pantalla l’explicació sobre la divisió de polinomis, observa varis exercicis proposats en l’escena i realitza les activitats proposades. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quina és la fórmula que relaciona els termes d’una divisió?

Quan es compleix la fórmula anterior?

En l’escena es proposen exemples de divisió de polinomis. Completa un dels exemples pas a pas.

_____________________________ : ___________

(Fes aquí la divisió pas a pas)

Dividim els monomis de major grau.

Multipliquem l’últim monomi escrit en el quocient pel divisor i el canviem de signe.

Sumem.

Repetim el procés fins arribar al terme independent del quocient.

Determinem el quocient i el residu.

Clica en el botó


Realitza dos exercicis proposats. Divideix en l’espai reservat P(x) entre Q(x) i introdueix els coeficients del quocient i del residu en els quadrats de l’escena, prem intro per comprovar el resultat.

P(x) = Exercici 1.

Q(x) =

Quocient = Realitza la divisió:

Residu=

INS _______________________


Polinomis - 10 -

P(x) = Exercici 2.

Q(x) =

Quocient = Realitza la divisió:

Residu=


2.b. Divisió amb coeficients Llegeix en la pantalla l’explicació sobre un altre mètode per realitzar la divisió de polinomis, en aquest cas fent servir els coeficients. En l’escena es proposen exemples de divisió de polinomis utilitzant el mètode amb coeficients.

Desenvolupa un exemple de cada una de las tres opcions i prem el botó per veure pas a pas la divisió.

P(x) =

Q(x) =

S’escriuen els coeficients del dividend i del divisor.

Obtenim el primer valor de la divisió dividint les primeres xifres. Multipliquem pel divisor i es resta al dividend.

Repetim el procés tantes vegades com sigui necessari.


P(x) =

Q(x) =



Repetim el procés tantes vegades como sigui necessari.


INS _______________________


Polinomis - 11 -

P(x) =

Q(x) =



Repetim el procés tantes vegades com sigui necessari.



2.c. Regla de Ruffini. Divisió entre x - a Llegeix l’explicació del mètode, determinat pel metge i matemàtic italià Ruffini, per resoldre divisions en que el divisor és un binomi de grau 1, x – a. En l’escena observa detingudament una animació en la que s’explica el procés a seguir. En la part de dalt veuràs la divisió resolta a partir dels coeficients, tal i com has aprés en l’apartat anterior, i a sota pots veure la forma de fer-ho fent servir el mètode de Ruffini.

Clica en el botó

per fer exercicis.

Realitza com a mínim dos exercicis proposats. Per fer-los has d’escriure pas a pas els coeficients i els resultats de les operacions en los requadres corresponents. En acabar prem intro per comprovar el resultat.

Resol aquí dos exemples:

P(x) = P(x) =

1 Q(x) =

2 Q(x) =

Quocient: Quocient:

Residu: Residu:


INS _______________________


Polinomis - 12 -

2.d. Teorema del residu Llegeix el tex de la pantalla. EXJERCICI 1. Contesta aquestes qüestions: RESPOSTES Al dividir un polinomi P(x) per (x-a)...

Quin és el grau del residu?

Si anomenem C(x) al quocient… Quina és la fórmula que relaciona els termes

que intervenen en la divisió?

EXERCICI 2. Completa:

En la fórmula: P(x)=(x-a)·C(x)+residu Si substituïm ara la x per a, tenim: P(a) = __________________ Així arribem al: Valor numèric de P en a = _____ Aquest resultat es coneix com _______________________

Observa l’escena de la dreta. Està dividida en dues partes. En la de dalt apareix un polinomi P(x) i un valor numèric a calcular: P(a) =… En la part de sota apareix la divisió pel mètode de Ruffini d’aquest mateix polinomi P(x) entre (x–a). Resol pas a pas dos exemples calculant P(a) i fent la divisió. Pots fer-ho tu mateix si cliques o indicar la manera automàtica en Completa dos exemples en els següents requadres:

EXERCICI 3. Contesta aquestes qüestions: Si el valor numèric de P(x) en a és: P(a) = 0 RESPOSTES

Quant val el residu de la divisió de P(x) entre (x–a)

Quina relació hi ha entre P(x) i (x–a) ?

Què és “a” del polinomi P(x)?

INS _______________________


Polinomis - 13 -

EXERCICI 4. Completa la fórmula que apareix en el requadre groc:

Clica en el botó


En obrir l’escena et trobes en la part superior amb els següents botons:

El primer que veus és l’ Exercici 1, per veure el següent clica en (>) En total hi ha 10 exercicis en la Sèrie 1 Al ser de la manera: escriure, guiat, significa que has d’anar escrivint en la finestra, substituint la lletra x pel nombre donat i realitzant pas a pas les operacions, però seguint les indicacions que apareixen a la dreta. Escriu en aquests requadres els resultats dels exercicis 1, 4 i 8 d’aquesta sèrie:

Exercici 1 Calcula el residu de la divisió del polinomi P(x) =__________________ per ______



Per passar a la Sèrie 2, clica en (>>): Observa que han canviat les instruccions del requadre blau i verd per les següents:

En aquesta sèrie hi ha 5 exercicis que has de resoldre d’igual manera que els anteriors. Escriu en els requadres següents els resultats dels exercicis 1 i 3 d’aquesta sèrie:

INS _______________________


Polinomis - 14 -

Exercici 1 Troba m perquè el polinomi P(x) =__________________ sigui divisible per ______

Exercici 3 Troba m perquè el polinomi P(x) =__________________ sigui divisible per ______


EXERCICIS

7. Troba el quocient i el residu de la divisió de P(x) entre Q(x) en cada cas

a) P(x)=3x2-11x-13 Q(x)=x2-3x-4

b) P(x)=-9x3-15x2+8x+16 Q(x)=3x+4

8. Aplica la regla de Ruffini per dividir

P(x)=x3+5x2-2x+1

Q(x)=2x4-5 entre x-3

R(x)=x3-4x+3x2

9. Aplica la regla de Ruffini per dividir

P(x)=x3+3x2-2x+1

Q(x)=x4-2 entre x+1

R(x)=x3-4x2-x

10. Si el valor numèric d’un polinomi en 2 és igual a 3 i el quocient de dividir-lo entre x-2 és x. Saps de quin polinomi es tracta?

11. Troba m perquè mx2+2x-3 sigui divisible entre x+1

12. Aplica el Teorema del residu i la regla de Ruffini per trobar el valor numèric de P(x)=x3-15x2+24x-3 en x=13

13. Existeix algun valor de m perquè el polinomi x3+mx2-2mx+5 sigui divisible per x–2?

INS _______________________


Polinomis - 15 -

3. Descomposició factorial 3.a. Treure factor comú una potència de x EXERCICI 1:


Com podem determinar on comença i on acaba un sumand d’una expressió algebraica?

Quants sumands té l’expressió: 4x3 + 2x2 -6x·2x2 - 9?

EXERCICI 2:


Què és el primer que hem d’observar per descompondre un polinomi en factors?

Quan això serà possible?

Observa l’animació i després omple la següent taula amb dos exemples dels que surten en l’escena de la dreta. Introdueix primer el factor comú, escrivint el coeficient i l’exponent de x, i si està bé, al prémer Intro, et sortirà a sota el text:

Prem treure el factor Exemple 1: Exemple 2:

Clica en el botó

per fer exercicis.

Realitza quatre exercicis proposats i escriu els resultats en la següent taula:

Polinomi Factorització

P(x) = P(x) =

P(x) = P(x) =

P(x) = P(x) =

P(x) = P(x) =


INS _______________________


Polinomis - 16 -

3.b. Polinomis de 2n grau

Recordem la resolució d’equacions de segon grau: EXERCICI 1:


A què anomenem discriminant?

Per a què serveix el discriminant?

Per cada una de les tres següents equacions de 2n grau, observa el valor del discriminant (fixa’t en el seu signe) i el valor de les arrels de l’equació. Escriu després la descomposició factorial del polinomi de 2n grau del primer membre. EXERCICIO 2. Completa la següent taula: Equació Discriminant Signe Arrels Factorizació

2x2-8x+6 =0 ∆ = b2–4ac = 16 Positiu x = 1 ; x = 3 2x2-8x+6 = 2(x–1)(x–3)

3x2+6x+3 =0

2x2+6 = 0

Observa l’escena de la dreta i completa la següent taula amb tres dels exemples que en ella hi surten, procurant que n’hi hagi un de cada tipus (Discriminant positiu, negatiu i nul):

Passos Equació 1 Equació 2 Equació 3

Identificar a, b i c.

Aplicar la fórmula.

Estudiar el nombre de solucions.

Descomposició.

Clica en el botó

per conèixer les fórmules de Cardano.

En l’escena pots observar l’explicació i varis exemples d’aquestes fórmules:

Si l’equació de 2n grau és de la forma: x2 + bx + c = 0 I si X1 i X2 són les seves solucions, es compleixen les fórmules de

Cardano:

=⋅=+

21

21

X XX X

Clic el botó per practicar amb aquestes fórmules… En acabar…


INS _______________________


Polinomis - 17 -

3.c. Regla de Ruffini reiterada Llegeix l’explicació de la pantalla i completa la conclusió a la que s’arriba respecte de la relació entre les arrels d’un polinomi i el terme de menor grau en el següent requadre:

Clica en el botó

per copiar un exemple.

Anem a descompondre en factors el polinomi P(x) = x4 -15x2 +10x +24

Determinem les possibles arrels enteres(els divisors del terme independent: 24)

1 0 -15 10 24

1 )

Provem amb 1 No és arrel (el residu és diferent de zero). Ja no cal tornar-lo a provar després.

1 0 -15 10 24

–1 )

Provem amb –1 Si és arrel (el residu és zero).

Obtenim un polinomi de grau menor, en

aquest cas de grau 3. �

2 )

3 )

Seguim provant. Ara amb 2

I finalment amb 3

Obtenim la factorització:

P(x) =

En l’escena de la dreta pots resoldre tants exemples com et facin falta per entendre bé el procediment. Copia dos d’aquests exemples en els següents requadres: Exemple 1: Exemple 2:


INS _______________________


Polinomis - 18 -

3.d. Identitats notables Observa l’animació per veure com s’obtenen les identitats notables clicant en Fes les operacions algebraiques en els següents requadres per obtenir cada una de les identitats notables:

Quadrat d’una suma Quadrat d’una diferència Suma per diferència

= = =


Quantes identitats notables hi ha?

A què és igual el quadrat de la suma? Quants sumands apareixen?

Quina diferència existeix entre el quadrat d’una suma i el d’una diferència?

Enuncia la igualtat notable que ens falta

En l’escena de la dreta pots observar com podem deduir aquestes fórmules a partir d’una sèrie de gràfics. Observa-ho i desenvolupa cada una d’elles en el següent espai:

Quadrat d’una suma Quadrat d’una diferència Suma per diferència

Prem

per realitzar un qüestionari. Escriu en el requadre la nota obtinguda: �

INS _______________________


Polinomis - 19 -


EXERCICIS 14. Treu factor comú una potència de x en cada un dels següents polinomis:

P(x)=2x3+3x

Q(x)= x4+2x6-3x5

R(x)=2x6+6x5+8x3

15. Troba la descomposició factorial de x3-7x2+4x+12

16. Factoritza:

2x2-8x+6

-x2+3x+4

x2+2x+3

x2+6x+9

17. Troba la descomposició factorial de x7-x6-4x4

18. Troba la descomposició factorial de x4-4

19. Troba la descomposició factorial de x4+x3-x2-2x-2

INS _______________________


Polinomis - 20 -


Expressió en coeficients Polinomi: 6x4 + 5x2 - 6x + 3, Coeficients:______________________

Regla de Ruffini. Teorema del residu

Relació entre arrel i divisor:

Arrel = -3 Factor o divisor: ___________

Arrel = _____ Divisor o factor: (x - 6)

Igualtats notables:

1)

2)

3)

Descomposició factorial. Mètodes:

1)

2)

3)

Descomposició factorial. Exemple:

P(x) = 2x4 +10 x3 + 2x2 – 42x – 36


INS _______________________


Polinomis - 21 -

Per practicar

Ara pots practicar resolent diferents exercicis a la teva llibreta. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

Operacions amb polinomis Descomposició factorial

En els següents EXERCICIS d’operacions amb polinomis escriu l’enunciat que surt en el teu ordinador que compleixi la condició proposada i els resols en el requadre de la dreta. Després comprova la solució en l’ordinador. Fes-ne com a mínim dos de cada tipus. Escull en el menú l’opció: Nombres

1. Troba l’expressió algebraica d’un nombre de __ xifres si la xifra de les unitats és __________ la xifra de les desenes.

2. Troba l’expressió algebraica d’un nombre de __ xifres si la xifra de les unitats és ___________la xifra de les desenes.

Coeficients

3. Quin és el grau del polinomi: _______________________?

Quin és el seu coeficient de grau ____?

I el de grau ____?

Calcula el valor numèric per a x = ____

4. Quin és el grau del polinomi: ______________________?

Quin és el seu coeficient de grau ____?

I el de grau ____?

Calcula el valor numèric per a x = ____

Suma i resta

5. Troba els coeficients de __________

P(x) = ___________________

Q(x) = ___________________

6. Troba els coeficients de __________

P(x) = ___________________

Q(x) = ___________________

INS _______________________


Polinomis - 22 -

Multiplica.

7. Troba els coeficients de _________

P(x) = ___________________

Q(x) = ___________________

8. Troba els coeficients de _________

P(x) = ___________________

Q(x) = ___________________

Divideix

9. Troba el quocient i el residu de la divisió de P(x) entre Q(x)

P(x) = ___________________

Q(x) = ___________________

10. Troba el quocient i el residu de la divisió de P(x) entre Q(x)

P(x) = ___________________

Q(x) = ___________________

Regla de Ruffini

11. Fes la divisió de P(x) entre _________ aplicant la Regla de Ruffini

P(x) = _____________________

12. Fes la divisió de P(x) entre _________ aplicant la Regla de Ruffini

P(x) = _____________________

INS _______________________


Polinomis - 23 -

Divisor x –a residu?

13. Troba, aplicant el teorema del residu, el residu de la divisió de P(x) entre _________

P(x) = _____________________

14. Troba, aplicant el teorema del residu, el residu de la divisió de P(x) entre _________

P(x) = ____________________

Troba m

15. Troba m, aplicant el teorema del residu, perquè P(x) sigui divisible entre _________

P(x) = _____________________

16. Troba m, aplicant el teorema del residu, perquè P(x) sigui divisible entre _________

P(x) = _____________________


En els següents EXERCICIS de descomposició factorial escriu l’enunciat que apareix en el teu ordinador que compleixi la condició proposada i els resols en el requadre de la dreta. Després comprova la solució en l’ordinador. Treu factor comú

17. Treu factor comú en el polinomi P(x) [Fes un mínim de quatre exercicis]

a)

b)

c)

d)

a)

b)

c)

d)

Arrels enteres

18. Descompondre el següent polinomi en factors primers __________________________

On ___ és factor comú en tots els monomis.

INS _______________________


Polinomis - 24 -

19. Descompondre el següent polinomi en factors primers __________________________

On ____ és factor comú en tots els monomis

Aplicar identitats (Hi ha dos tipus d’exercicis. Fes-ne un mínim de dos de cada tipus)

20. Descompondre, aplicant les identitats notables, el següent polinomi

_________________________


_________________________


_________________________


_________________________

Conegudes las arrels

24. Troba la descomposició d’un polinomi de grau 3 que té per arrels _______ _______________ i el seu valor numèric en __________ és igual a __________

25. Troba la descomposició d’un polinomi de grau 3 que té per arrels ________ ____________ i el seu valor numèric en _____ és igual a ______

Efectua el quadrat (Hi ha dos tipus d’exercicis. Fes-ne com a mínim dos de cada tipus)

26. Efectua la potència ______________


INS _______________________


Polinomis - 25 -



Càlcul mental

30. Calcula mentalment _____________

31. Calcula mentalment _____________

Simplificar fraccions (Hi ha tres tipus d’exercicis. Fes-ne com a mínim un de cada tipus)

32. Aplicant les identitats notables, simplifica la fracció:




INS _______________________


Polinomis - 26 -

Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van surtin en l’ordinador i els resols, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Calcula P(x)·Q(x)+ P(x)·R(x) i escriu els coeficients del resultat.

P(x) =

Q(x)=

R(x)=

Escriu els coeficients del quocient i del residu de la divisió de P(x) entre Q(x).

P(x) =

Q(x)=

Calcula el valor numèric de __________________ per a x= _______.

És certa la igualtat?

________________________________

Calcula m perquè el residu de la divisió de ______________________ entre ____________ sigui _____.

Si P(x)=ax2+bx+____ i a·62+b·6=____, Quin és el residu de la divisió de P(x) entre x-6?

INS _______________________


Polinomis - 27 -

Calcula una arrel entera del polinomi ___________________

Troba la descomposició factorial de __________________

El polinomi ____________________ té per arrels ____ i ____, calcula l’altra?

Les arrels d’un polinomi de grau 3 són ____, ______ i ______; el seu coeficient de grau 3 és ______. Calcula el seu valor numèric en _______.

I.E.S. _______________________

CUADERNO Nº 4 NOMBRE: FECHA: / /

Polinomios - 28 -

Per practicar més

1. Troba l’expressió algebraica d’un nombre de tres xifres si la xifra de les unitats és 4 vegades la xifra de les desenes.

2. Quin és el grau de 2x5-x3+3x2? El seu coeficient de grau 3? I el de grau 2? Calcula el seu valor numèric en x=2

3. Troba P(x)-3·Q(x), on P(x)=4x2+4x i Q(x)=6x2+2x.

4. Multiplica els polinomis

P(x)=-3x3+4x2-x-2 i Q(x)=-x2+7.

5. Troba el quocient i el residu de la divisió de x3+2x2+5x-7 entre –x2+x-1.

6. Fes la divisió de x3+4x2+2x-3 entre x–2 amb la regla de Ruffini.

7. Aplica el teorema del residu per calcular el residu de la divisió de 2x3-2x2+x-7 entre x-5.

8. a) Troba m de manera que x3+mx2-2mx+6 sigui divisible per x+2

b) Troba m de manera que x3+mx2-8mx+4 sigui divisible per x-1.

9. Efectua les potències

a) (3x+2)2

b) (2x-4)2

c) (x-5)2

10. Descompon, aplicant les identitats notables, els polinomis:

a) x4-72x2+362

b) x4-16

11. Descompon els següents polinomis, si és possible, aplicant l’equació de segon grau.

a) 3x2-10x+3

b) x2-4x+5

12. Simplifica les següents fraccions algebraiques

a) 2x 8x 163x 12+ +

+

b) 2

2

3x 12x 4x 4

−− +

c) 2

2

4x 4x 112x 3

+ +−

13. Treu factor comú en 12x12+24x10

14. Troba la descomposició en factors primers dels següents polinomis

a) 3x8-39x7+162x6-216x5

b) 3x9+12x8+15x7+6x6

15. Un polinomi de grau 3 té por arrels –5, 7 i 1. Troba la seva descomposició factorial sabent que el seu valor en 2 és 128.

16. Com fas mentalment el càlcul de 232-222?

INS _______________________

QUADERN Núm. 5 NOM: ___________________________ DATA: / /

Equacions i inequacions - 1 -

Equacions i inequacions

Continguts

1. Equacions Elements d’una equació Solució d’una equació

2. Equacions de primer grau

Solució Aplicacions. Resolució de problemes

3. Equacions de segon grau

Solució Incompletes Discriminant. Nombre de solucions Aplicacions. Problemes

4. Altres tipus d’equacions

Biquadrades Tipus (x-a)·(x-b)·...=0 Mètode d’assaig-error. Bisecció

5. Inequacions amb una incògnita Definició. Solucions i propietats Inequacions de primer grau Inequacions de segon grau

Objectius • Resoldre equacions de primer i segon grau.

• Resoldre equacions biquadrades i factoritzades.

• Identificar i resoldre inequacions de primer i segon grau amb una incògnita.

• Aplicar les equacions i inequacions a la resolució de problemes de la vida real.

Autor: José Luis Alcón Camas Sota llicència

Versió en català: Zoila Pena i Terrén Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________

QUADERN Núm. 5 NOM: _____________________________ DATA: / /


Pensa... (Completa l’enunciat del problema que apareix a l’escena de la dreta i tracta de resoldre’l. Comprova la solució en l’escena):

Troba un nombre tal que el ____ d’aquest nombre més ___ sigui igual a _____ vegades el mateix nombre.

Clica


1. Equacions 1.a. Elements d’una equació Llegeix el text en què s’expliquen alguns conceptes relatius a les equacions. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és una incògnita en una equació?

Què és un membre d’una equació?

Què és un terme d’una equació?

Quin és el grau d’una equació?

Distingeix els elements d’aquesta equació:

________________ = _______________

Incògnita:

Primer membre:

Segon membre:

Termes:

Grau

Clica sobre el botó

per resoldre uns quants exercicis.

Quan hagis comprés aquests conceptes… Clica


Abans de començar

INS _______________________



1.b. Solució d’una equació Llegeix el text que apareix en aquesta pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és una solució d’una equació?

Quan és compatible una equació?

Quan és incompatible una equació?

Quan diem que dues equacions són equivalents?

Exemples Observa diversos exemples dels que apareixen a l’escena de la dreta i completa segons el cas.



S’obre una finestra amb una escena en què es proposa un exercici. Introdueix la teva solució en els requadres que hi ha destinats i clica la fletxa “Solució” per comprovar si ho has fet bé.

Quan hagis comprés aquests conceptes… Clica


EXERCICIS de Reforç A. Escriu una equació de la forma ax = c que sigui equivalent a 5x+7=27

B. Escriu una equació de la forma x ± b = c que sigui equivalent a 3x – 21 = –42

C. Escriu una equació de la forma ax+b=c que tingui per solució x = 7

D. Comprova si x = –5 és solució de l’equació 7(9x–2) –2x = –8x + 55

INS _______________________



2. Equacions de primer grau 2.a. Solució Llegeix el text de pantalla i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPUESTAS

Quina és la forma general de les equacions de primer grau?

Escriu la fórmula general de la solució d’una equació de primer grau:

Exemples: Observa diversos exemples dels que apareixen a l’escena de la dreta i completa un sense i un altre amb denominadors.

Equació de primer grau sense denominadors

Equació de primer grau amb denominadors



INS _______________________



Resol, al menys, 4 equacions de les que es proposen. Copia l’enunciat de cada equació i resol-la en els requadres següents. Es molt important que primer les resolguis a la llibreta i després comprovis la solució per veure si l’has entès bé.

Exercici 1: Exercici 2:

Resol l’equació

Resol l’equació


Resol l’equació

Resol l’equació

Clica


2.b. Aplicacions. Resolució de problemes Llegeix detingudament el procés que has de seguir per resoldre problemes mitjançant equacions. COMPLETA:

Comença per ____________________________ fins que estiguis segur que comprens bé el que s’ha de calcular i les dades que et dóna l’enunciat.

______________________________________ les condicions de l’enunciat i després ___________________________________.

Una vegada resolta l’equació ____________________________.

INS _______________________



A l’escena de la dreta apareixen exemples de tres tipus de problemes (GEOMETRIA, MESCLES i NOMBRES). Exemples

Clica sobre

i continua amb per veure com es fa.

I “< tornar” per tornar al menú. Per altres exemples del mateix tipus:

El perímetre d’un triangle isòsceles és ______. Cada un dels dos costats iguals mesura _______ més que la meitat del que mesura el costat desigual. Calcula la longitud dels tres costats del triangle.

Resolució:

Dos tipus de cafè (natural i torrefacte) es mesclen per obtenir un sac de _____ . Si 1 kg de cafè natural val ____ , 1 kg de cafè torrefacte _____, i la mescla _____ el kg, quants quilograms de cada tipus de cafè conté la mescla?

Resolució:

Hi ha tres nombres enters consecutius la suma dels quals sigui _______ ?

Resolució:

INS _______________________





Resol, al menys, 8 problemes dels que es proposen (en total hi ha 11 enunciats diferents). A l’escena apareix un enunciat que has de buscar en els requadres següents i completar-lo. Després l’has de resoldre i, finalment, comprovar la solució per veure si l’has resolt correctament.

Problema 1: Problema 2:

Tenim ___ pedres i volem fer dues piles, de manera que una tingui el triple de pedres que l’altra. Quantes pedres tindrà cada pila?

En Joan té ___ cromos més que en Pere. Si en Joan li dóna ___ dels seus cromos al Pere, en Pere tindrà quatre vegades més cromos que en Joan. Quants cromos té cadascú?


Un ciclista surt d’una ciutat a una velocitat de ___ km/h i, ___ hores més tard, surt un cotxe de la mateixa ciutat a __ km/h. Quant temps trigarà el cotxe en atrapar el ciclista?

Una parcel·la de forma rectangular té un perímetre de ___ m. Si d’amplada mesura ___ m més que de llargada, quines són les dimensions de la parcel·la?

Problema 5: Problema 6: En Miquel té ___anys és que en Joan i dintre de ___ anys, entre els dos sumaran ___ anys. Quina és la seva edat actual?

Quina és la meva edat si fa ___ anys tenia la tercera part de l’edat que tindré dintre de ___ anys?


INS _______________________



El preu d’un anell i el seu estoig és de _____€ i l’anell val _____ € més que l’estoig. Quin és el preu de cada article?

La suma de dos nombres és ___ . Si un nombre és la meitat de l’altre, quins nombres són?

Clica


EXERCICIS 1. Resol les següents equacions:

a) 7x 5 9x 7

17 8

− + −+ = −

b) 2x (x 1) 5x 2

4 6

− + +=

c) 3x 7(x 1) 2x 1

26 3

− + −= −

d) 2x 5 2x 8

x3 7

− − +− =

e) 6x (x 8) 2x 17

x6 3

− − − −= +

2. L’edat d’un pare és el triple que la del seu fill. Si entre els dos sumen 56 anys, quina és l’edat de cadascun?

3. Quants litres de vi de 5€ el litre s’han de mesclar amb vi de 3€ el litre per obtenir 50 litres de vi el preu del qual sigui de 4€ el litre?

INS _______________________



3. Equacions de segon grau 3.a. Solució Llegeix el text de pantalla i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quina és la forma general de les equacions de segon grau?

Escriu la fórmula general per resoldre equacions de segon grau: =x

Exemple: Completa a continuació un dels que apareixen a l’escena de la dreta:



Resol, al menys, 2 equacions de les que es proposen. Copia l’enunciat de cada equació i resol-la en els requadres següents. Primer les resols, i després comprova la solució per veure si l’has entès bé.


Resol l’equació Resol l’equació

Clica


INS _______________________



3.b. Incompletes Llegeix el text de pantalla i COMPLETA: L’equació de segon grau del tipus ax2+bx=0, es resol _____________________ __________________________________________________________________________

L’equació de segon grau del tipus ax2+c=0, es resol _____________________ __________________________________________________________________________

Exemples: A continuació completa un de cada tipus dels que apareixen a l’escena de la dreta:



Resol, al menys, 2 equacions de les que es proposen (una de cada tipus). Copia l’enunciat de cada equació i resol-la en els requadres següents. Primer resols l’equació, i després comprova la solució per veure si l’has entès bé.



Clica


INS _______________________



3.c. Discriminant. Números de solucions Llegeix el text de pantalla i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quin és el discriminant d’una equació de segon grau?

Completa la següent taula amb el nombre de solucions en funció del signe del discriminant:

Discriminant Nre de solucions

Exemples: Completa a continuació dos dels que apareixen a l’escena de la dreta:

Equació:

Equació:



Resol, al menys, 2 dels exercicis proposats. Copia l’enunciat de cada equació i resol-la en els requadres següents. Primer la resols, i després comprova la solució per veure si l’has fet bé.


Indica, sense resoldre-la, el nombre d’arrels diferents que té l’equació:

Indica, sense resoldre-la, el nombre d’arrels diferents que té l’equació:

Clica


INS _______________________



3.d. Aplicacions. Problemes Llegeix detingudament el procés que has de seguir per resoldre problemes miitjançant equacions. COMPLETA:

Comença per ____________________________ fins que estiguis segur que comprens bé el que s’ha de calcular i les dades que et donen.

______________________________________ les condicions de l’enunciat i després ___________________________________.

Una vegada resolta l’equació ____________________________.

Pot passar que _______________________________.

A l’escena de la dreta hi ha exemples de tres tipus de problemes (CAMINS, GEOMETRIA i NOMBRES). Exemples

Clica sobre


I “< tornar” per tornar al menú. Per altres exemples del mateix tipus:

En un parc nacional hi ha casetes forestals unides totes per camins. Si el nombre de camins és ______ , quantes casetes forestals hi ha?

Resolució:

Per construir una capsa cúbica s’han fet servir ________ de cartró. Determina la longitud de les arestes de la capsa.

Resolució:

INS _______________________



Descompon ___ en la suma de dos nombres, de manera que el producte d’aquests dos nombres sigui ____ .

Resolució:



Resol els següents 6 problemes que es proposen. A l’escena apareix un enunciat que has de buscar en els requadres següents i completar-lo. Després l’has de resoldre i, finalment, comprovar la solució per veure si l’has resolt correctament.


El producte d’un nombre positiu pel ________ d’aquest mateix nombre és ____. Quin nombre és?

La ________ del quadrat d’un nombre amb _______________ d’aquest mateix nombre és ___. Quin nombre és?


______ té el ______ d’edat que ______. Si multipliquem les edats obtenim el nombre ___. Quina és l’edat de cadascun d’ells??

El producte de les edats de ________ i del seu germà que té ______ anys ______ que ____ és ____. Quants anys tenen aquests germans?

INS _______________________



Problema 5: Problema 6: Per posar la tanca d’una finca rectangular de _____ m² s’utilitzen __________ m de tanca. Calcula les dimensions de la finca.

La diagonal d’un rectangle mesura ___ cm. Troba les seves dimensions si un catet mesura _____ cm _____ que l’altre.

Clica


EXERCICIS

4. Resol les següents equacions de segon grau completes:

a) 2x 7x 10 0− + =

b) 23x 17x 20 0+ + =

c) 23x 5x 4 0+ + =

5. Resol les següents equacions de segon grau incompletes:

a) 2x 6x 0− =

b) 2x 27x 0+ =

c) 23x 5x 0+ =

6. Resol les següents equacions de segon grau incompletes:

a) 2x 36 0− =

b) 24x 9 0− =

c) 2x 9 0+ =

7. Indica sense resoldre l’equació quantes solucions té l’equació: 2x 7x 11 0+ − =

8. Per construir una capsa cúbica s’han fet servir 96 cm2 de cartró. Determina la longitud de les arestes de la capsa.

INS _______________________



4. Altres tipus d’equacions 4.a. Biquadrades Llegeix el text de pantalla i COMPLETA:

Una equació biquadrada és una _______________que es pot expressar de la

forma _____________________, amb a, b i c nombres reals, i a≠0.

Llegeix detingudament el mètode que s’ha de seguir per resoldre aquest tipus d’equacions i observa exemples a l’escena de la dreta

Exemple: A continuació completa un dels que apareixen a l’escena:



Resol, al menys, 2 equacions de les que es proposen. Copia l’enunciat de cada equació i resol-la en els requadres següents. Després comprova la solució.



Clica


INS _______________________



4.b. Tipus (x-a)·(x-b)·....=0 Llegeix el text de pantalla i COMPLETA: Per calcular la solució d’aquest tipus d’equacions _________________________________ ________________________________________________________________________

(x–a)·(x–b)·(x–c)=0

�

�

�

Exemple: A continuació completa dos dels que apareixen a l’escena de la dreta:



Resol, al menys, 2 equacions de les que es proposen. Copia l’enunciat de cada equació i resol-la en els requadres següents. Després comprova la solució.



Clica


INS _______________________



4.c. Mètode d’assaig-error. Bisecció Llegeix el text i intenta comprendre’l. Ajuda’t de l’exemple per completar el text:

Pas 1: __________________________________________________________________ .

Pas 2: __________________________________________________________________ .

Pas 3: __________________________________________________________________ .

Pas 4: __________________________________________________________________ .

Exemple: A continuació completa un dels que apareixen a l’escena:



Clica


EXERCICIS 9. Resol les equacions:

a) x4 - 25x2 + 144 = 0 b) x4 + 9x2 – 162 = 0 c) x4 - 8x2 + 15 = 0 d) x4 + 9x2 + 14 = 0

10. Resol les següents equacions: a) (x 2)(x 3) 0− + =

b) (3x 1)(x 5) 0− − =

c) (3x 2)(x 6) 0− + =

d) (3x 1)(7x 5) 0+ − =

11. Resol la següent equació pel mètode de bisecció: 3x 2x 1 0+ + =

INS _______________________



5. Inequacions amb una incògnita 5.a. Definició. Solució i propietats Llegeix el text de pantalla. Per comprendre millor els conceptes de desigualtat, inequació, solució, propietats de les desigualtats,… has de llegir pas a pas el contingut de l’escena de la dreta. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és una desigualtat?

Quins són els símbols que s’utilitzen en les desigualtats?

Clica en l’escena per seguir llegint les explicacions, i segueix responent…

Com poden ser les desigualtats?

Com són aquestes desigualtats?

2 < 3 2 > 3 x < 5

A què anomenem membres d’una desigualtat?

Clica … i segueix responent…

Què és una inequació?

Què és una inequació polinòmica?

Posa un exemple d’inequació polinòmica de primer grau:

Posa un exemple d’inequació polinòmica de segon grau:

Clica … i segueix responent…

Què és resoldre una inequació?

Quantes solucions acostuma a tenir una inequació?

Clica Escriu les propietats i un exemple de cada una…

1.-

2.-

3.-

Clica


INS _______________________



5.b. Inequacions de primer grau Llegeix el text de pantalla i COMPLETA: Per resoldre una inequació de primer grau,_____________________________________ ________________________________________________________________________:

Inequació Solució

�

�

�

�

Exemples: A continuació completa dos dels que apareixen a l’escena de la dreta.



Resol, al menys, 2 inequacions de les que es proposen. Copia l’enunciat de cada inequació i resol-la en els requadres següents. Després comprova la solució.


Resol la inequació Resol la inequació

Clica


INS _______________________



5.c. Inequacions de segon grau Llegeix el text de pantalla i COMPLETA:

Una inequació de segon grau amb una incògnita és ________________________ que es

pot expressar en la forma ________________, amb a≠0, i a, b, c nombres reals.

Per resoldre-la, __________________________________. La solució, si en té, serà algun o

alguns dels intervals __________________________________ amb x1< x2

Per saber si un interval és de la solució, _______________________________________

_________________________________________________________________________

Exemples: A continuació completa dos de les que apareixen a l’escena de la dreta.



Resol, al menys, 2 inequacions de les que es proposen. Copia l’enunciat de cada inequació i resol-la en els requadres següents. Després comprova la solució.


Resol la inequació Resol la inequació

Clica


INS _______________________




Equacions

Una equació és Cada part al costat de l’igual

Anomenem termes a

Incògnita és

I el grau és

Equacions de primer grau i segon grau completes

La solució d’una equació de primer grau

El discriminant és

∆ =

Hi ha dues solucions quan

Hi ha una solució quan

No hi ha solució quan

Les solucions d’una equació de segon grau venen donades per:

Equacions de segon grau incompletes i biquadrades

Les incompletes de tipus 1 es resolen

Les incompletes de tipus 2 es resolen

L’equació biquadrada se soluciona

Inequacions

Les solucions en una inequació de primer grau venen donades per:

Clica


INS _______________________



Per practicar Ara vas a practicar resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

• Equacions de primer grau. Problemes • Equacions de segon grau. Problemes • Inequacions

Completa l’enunciat amb les dades amb què apareix cada EXERCICI a la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis en l’ordinador si ho has fet bé. Els següents EXERCICIS són d’Equacions de primer grau. Problemes.

Equacions

1. Resoldre l’equació



INS _______________________



Problemes Apareix l’enunciat d’un problema. Copia’l en el primer requadre i resol-lo en l’espai reservat per fer-ho. Després comprova en l’ordinador si l’has fet bé.

Clicant sobre “ Un altre exercici” apareixeran altres enunciats. Resol un mínim de vuit problemes procurant que els enunciats siguin diferents (en total n’hi ha 12 enunciats diferents).

4.

5.

6.

7.

INS _______________________



8.

9.

10.

11.

Clica


INS _______________________



Els següents EXERCICIS són d’Equacions de segon grau. Problemes.

Equacions







INS _______________________



Problemes

Clicant sobre “ Un altre exercici” apareixeran altres enunciats. Resol un mínim de quatre problemes procurant que els enunciats siguin diferents.

18.

19.

20.

21.

Clica


INS _______________________



Els següents EXERCICIS són d’Inequacions. Primer grau

22. Resoldre la inequació



Segon grau




Clica


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució es correcta.

Resol la inequació:

Resol l’equació:

Troba un nombre sabent que si a aquest nombre li sumo ___________ el consecutiu, el resultat és igual a __________ .

Troba dos nombres naturals consecutius, de manera que el seu producte sigui _______ .

Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol l’equació:

Resol, fent servir el mètode de bisecció, l’equació _________________________

(Dóna la solució amb una xifra decimal exacta)

Resol sense aplicar la fórmula general:

INS _______________________



Per practicar més

1. Troba la solució de les següents equacions:

a) x 1 x 3

12 3

− +− =

b) x 3

3(x 2) 202

− − + = −

c) 2 2(x 3) x 4

32 4

− − +− =

d) 4(x 1) x 3

x 5 3(x 2)2 3

+ ++ − = + −

2. Resol les equacions:

a) -6x2 – 7x + 155 = -8x

b) 3x2 + 8x + 14 = -5x

c) (x-6)(x-10)=60

d) (x+10)(x-9)=-78


a) x4 – 24x2 + 144 = 0

b) x4 + 14x2 – 72 = 0

c) x4 – 81 = 0

d) (x2 – 8)(x2 – 1) = 8


a) (x 3)(2x 5) 0+ − =

b) (5x 3)(2x 8) 0+ − =

c) (x–2)(2–3x)(4+x) = 0

d) x(x+3)(2x+1) = 0

5. Resol les inequacions:

a) 3(x–1)+2x < x+1

b) 2 – 2(x–3) ≥ 3(x–3) – 8

c) 2(x+3)+3(x+1) > 24

d) 3x≤ 12 – 2(x+1)

6. Resol les inequacions:

a) x2 – 5x + 6 < 0

b) –2x2 + 18x – 36 > 0

c) x2 + 2x – 8 ≥ 0

d) 3x2 – 18x + 15 ≤ 0

7. Troba dos nombres consecutius que sumin 71.

8. Troba un nombre tal que sumant amb el seu triple sigui igual a 100.

9. Quina edat tinc ara si d’aquí a 12 anys tindré el triple de l’edat que tenia fa 8 anys?

10. En Joan té 12 anys menys que la Maria, d’aquí a 4 anys la Maria tindrà el triple de l’edat d’en Joan. Quants anys té ara?

11. Per posar una tanca a una finca rectangular de 240 m2 es fan servir 62 m de tanca. Quines dimensions té la finca?

12. La diferència dels quadrats de dos nombres naturals consecutius és 25. Quins nombres són?.

13. Quan sumem una fracció amb denominador 3 amb la seva inversa obtenim 109/30. Quina és aquesta fracció?

14. El quadrat d’un nombre més 6 és igual a 5 vegades el mateix nombre, ¿quin nombre és?

15. Busca un nombre positiu tal que 6 vegades la seva quarta potència més 7 vegades el seu quadrat sigui igual a 124.

16. Troba m perquè x2 – mx + 121 = 0 tingui una solució doble.

INS _______________________


Sistemes d’equacions - 1 -

Sistemes d’equacions

Continguts

1. Sistemes d’equacions lineals Equació lineal amb dues incògnites Sistemes d’equacions lineals Classificació de sistemes

2. Mètodes de resolució

Reducció Substitució Igualació

3. Aplicacions pràctiques

Resolució de problemes

4. Sistemes d’inequacions amb una incògnita Resolució

Objectius

• Resoldre un sistema d'equacions lineals amb dues incògnites pels diferents mètodes.

• Identificar el nombre de solucions d'un sistema d'equacions lineals amb dues incògnites.

• Utilitzar els sistemes d'equacions per plantejar i resoldre problemes.

• Resoldre sistemes d'inequacions amb una incògnita. Autor: Xosé Eixo Blanco Sota llicència

Versió en català: Zoila Pena i Terrén Creative Commons Si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Llegeix el text de l’escena i tracta de plantejar les equacions i buscar la solució.

Els sistemes d’equacions lineals ja van ser resolts pels babilonis, els quals anomenaven a les incògnites amb paraules como longitud, amplada, àrea, o volum, sense que tinguessin relació amb problemes de mesura.

Un exemple que hi ha en una tauleta babilònica planteja la resolució de un sistema d’equacions en els següents termes:

(Escriu aquí la teva solució)

Clica Solució … i comprova si l’has fet bé.


1. Sistemes d’equacions lineals

1.a. Equació lineal amb dues incògnites Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI. Contesta: Respostes Quin és el grau de les equacions lineals? Quina és l’expressió general d’una equació lineal amb dues incògnites? Què és una solució d’una equació lineal amb dues incògnites? Quantes solucions té una equació lineal amb dues incògnites? Quin tipus de línia formen les solucions d’una equació lineal amb dues incògnites si les representem gràficament?

Copia quatre dels exemples que apareixen a l’escena en els següents requadres i fes la gràfica de la recta que formen les solucions de cada una de les equacions:

1/4 amplada + longitud = 7 mans longitud + amplada = 10 mans

Abans de començar

Equació:

x y

Equació:

x y

INS _______________________



Quan hagis comprés bé el concepte … Clica sobre

per fer exercicis.

EXERCICI: Completa a continuació tres dels enunciats que apareixen en aquesta escena d’exercicis i resol-los. Després comprova la solució en l’escena: Solucions

Troba una solució (x, y) de l’equació __________ sabent que _______

Raona si x = , y = és una solució de l’equació: __________

Quant val “c” si x = , y = és una solució de l’equació:__________

Resol més exercicis fins que hagis comprés bé el concepte de solució d’una equació lineal amb dues incògnites.

Quan acabis … clica per anar a la pàgina següent.

1.b. Sistemes d’equacions lineals Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. EXERCICI. Completa: Un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites____________________________ __________________________________________________________________________

Fórmula general d’un sistema de dues equacions

Una solució d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites és _____________ __________________________________________________________________________

Copia dos exemples dels que apareixen a l’escena i fes la gràfica de les rectes que corresponen a cada una de les equacions, i indica quina és la solució del sistema:

Equació:

x y

Equació:

x y

INS _______________________




per fer exercicis.

Completa a continuació tres dels enunciats que apareixen en aquesta escena d’exercicis i resol-los. Després comprova la solució en l’escena: Solucions

Escriu un sistema de dues equacions amb dues incògnites que tingui per solució: x = , y =

Raona si x = , y = és una solució del sistema:

x Fes una taula de valors i dóna la solució del sistema:

y

Resol més exercicis fins que hagis comprés bé el concepte de solució d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites.


Sistema:

Eq. 1: y =

Eq. 2: y =

x y x y

Gràfica

Solució del sistema

( , )

Sistema:

Eq. 1:

y =

Eq. 2:

y =

x y x y

Gràfica

Solució del sistema

( , )

INS _______________________



1.c. Classificació de sistemes Llegeix en la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat. Aprèn com s’anomenen els sistemes depenent del nombre de solucions que tenen i com són en cada cas les rectes que formen les solucions corresponents a cada una de les equacions que el formen. EXERCICI. Contesta: Respostes Com s’anomena un sistema que té una única solució?

Com són les rectes que el formen? Com s’anomena un sistema que té infinites solucions?

Com són les rectes que el formen? Com s’anomena un sistema que no té solució?

Com són les rectes que el formen?

A l’escena de la dreta tria l’opció:


Sistema:

Eq. 1:

=

Eq. 2:

=

x y x y

Gràfica

Les rectes són: Quantes solucions té el sistema?

Sistema:

Eq. 1:

=

Eq. 2:

=

x y x y

Gràfica


INS _______________________





per fer exercicis.

Completa a continuació tres dels enunciats que apareixen en aquesta escena d’exercicis i resol-los. Després comprova la solució en l’escena: Solucions

Calcula a i b per tal que el sistema

sigui Compatible Determinat

a =

b =


sigui Compatible Indeterminat

a =

b =


sigui Incompatible a =

b =

Resol més exercicis fins que hagis comprés bé la relació entre el nombre de solucions d’un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites i la seva classificació.


EXERCICIS

1. Donat el sistema:3x 2y 17

5x y 11

+ = − =

, raona si els següents parells de valors són solució:

a) x=3 , y=4 b) x=5 , y=1 c) x=3 , y=1

2. Escriu un sistema de dues equacions que tingui per solució: a) x=1 , y=2 b) x=3 , y=1 c) x=2 , y=3

3. Fes una taula de valors i dóna la solució del sistema: 3x 2y 8

5x y 9

+ = − =

4. Escriu una equació per completar amb l’equació x – y = 1, un sistema que sigui: a) Compatible determinat b) Incompatible c) Compatible indeterminat

Sistema:

Eq. 1:

=

Eq. 2:

=

x y x y

Gràfica


INS _______________________



2. Mètodes de resolució

2.a. Reducció Llegeix en la pantalla en què consisteix el mètode de reducció. EXERCICI. Completa: Resoldre un sistema pel mètode de reducció consisteix en trobar un altre sistema, ______

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

A l’escena pots veure com es resol un sistema pel mètode de reducció pas a pas. Completa en aquest requadre l’exemple que apareix a l’escena.

Observa que pots canviar la lletra que es redueix i que pots utilitzar qualsevol de les dues equacions a l’hora de substituir per trobar el valor de l’altra incògnita. Practica amb aquesta escena fins que hagis comprés bé el mètode.

Resoldre el sistema:

Pas 1: Multiplicar la primera equació per

Multiplicar la segona equació per

Sumar les dues equacions per eliminar la lletra

Pas 2: Substituir en la equació

Pas 3: Aïllar la

Pas 4: Donar la solució

INS _______________________



Després... clica sobre

per fer exercicis.

Apareix una escena amb un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites. Resol-lo en aquest requadre. Després clica

Següent pas per comprovar la solució.

Un cop comprovat, clica UN EXEMPLE MÉS I resol-lo de la mateixa manera: Primer a la llibreta i després comprova la solució.

Fes uns quants exemples. Quan acabis … clica per anar a la pàgina següent.

Resoldre el sistema per reducció:

Multiplicar la primera equació per



Substituir el valor de en l’equació

x =

y =

Resoldre el sistema per reducció:

Multiplicar la primera equació per



Substituir el valor de en l’equació

x =

y =

INS _______________________



2.b. Substitució Llegeix en la pantalla en què consisteix el mètode de substitució. EXERCICI. Completa: Per resoldre un sistema pel mètode de substitució _______________________________

__________________________________________________________________________

A l’escena pots veure com es resol un sistema pel mètode de substitució pas a pas. Completa en aquest requadre l’exemple que apareix a l’escena.

Observa que podries començar aïllant la mateixa lletra en l’altra equació o l’altra lletra en qualsevol de les equacions i sempre obtindries el mateix resultat. Practica amb aquesta escena fins que hagis comprés bé el mètode.

Després … clica sobre

per fer exercicis.



Fes uns quants exemples. Quan acabis … clica per anar a la pàgina següent.

Resoldre el sistema per substitució:

S’aïlla la en la equació …

Solució: x =

y =


Pas 1: Aïllar la lletra en Pas 2: Substituir la lletra en la equació la equació

Pas 3: Resoldre l’equació d’una incògnita que resulta

Pas 4: Calcular la substituint en l’equació aïllada Pas 5: Donar la solució

INS _______________________



2.c. Igualació Llegeix en la pantalla en què consisteix el mètode d’igualació. EXERCICI. Completa: Per resoldre un sistema pel mètode d’igualació _______________________________

__________________________________________________________________________

A l’escena pots veure com es resol un sistema pel mètode d’igualació pas a pas. Completa en aquest requadre l’exemple que apareix a l’escena.

Observa que podries començar aïllant l’altra lletra en les dues equacions i obtindries el mateix resultat. Practica amb aquesta escena fins que hagis comprés bé el mètode.


per fer exercicis.



Resoldre el sistema per igualació:

S’aïlla la en les dues equacions…

Solució: x =

y =


Pas 1: Aïllar la lletra en Pas 2: Igualar les dues equacions les dues equacions aïllades

Pas 3: Resoldre l’equació d’una incògnita que resulta

Pas 4: Calcular la substituint en l’equació aïllada Pas 5: Donar la solució

INS _______________________




EXERCICIS de Reforç Resol els sistemes següents pel mètode que consideris més adequat en cada cas:

a)

=+=−11yx3

0y3x2 d)

−=+=−

12y5x2

1y2x3

b)

−=+−=−

19y7x2

11y5x e)

=−−=+9y3x4

2y5x2

c)

=+=+−17y5x4

2yx2 f)

=+=+

4y9x2

3y3x4

EXERCICIS 5. Resol per substitució:

a)

=−−−=+

5y5x10

25y4x

b)

−=−−=+

43yx4

45y5x3

6. Resol per igualació:

a)

=−=+−

0y9x6

20yx4

b)

=−=−−11y9x5

31y4x3

7. Resol per reducció:

a)

=+=−

4y2x8

25y10x5

b)

=+=+

37y8x7

21y3x5

8. Resol

=−

=−

28y7x7

15

22

5

y

3

x

INS _______________________



3. Aplicacions pràctiques

3.a. Resolució de problemes Llegeix el text de pantalla: “Per resoldre alguns problemes...” Exemples. A l’escena pots veure alguns exemples de tres tipus:

Clica sobre


I “< tornar” per tornar al menú.

Per fer més exemples del mateix tipus:

a) Copia un exemple complet tal i com apareix a la pantalla tipus EDATS.

b) Copia un exemple complet tal i com apareix a la pantalla tipus GEOMETRIA.

c) Copia un exemple complet tal i com apareix a la pantalla tipus MÒBILS.

INS _______________________




per fer exercicis.

A l’escena aniran apareixent diferents problemes. Busca sis enunciats que comencin amb les frases que s’indiquen a continuació. Completa’ls i resol-los (utilitza el mètode que consideris més adequat en cada un d’ells). Després comprova si l’has fet bé.

Exemple 1: Exemple 2:

Trobar dos nombres sabent que __________ ____________________________________________________________________________________________________________

En Francesc té en el seu moneder _________ ____________________________________________________________________________________________________________

Solució: x = y = Solució: x = y =


En dividir un nombre entre un altre _______ ____________________________________________________________________________________________________________

La base d’un rectangle mesura ___________ ____________________________________________________________________________________________________________


INS _______________________




En una classe _________________________ ____________________________________________________________________________________________________________

En Salvador ha fet un examen que ________ ____________________________________________________________________________________________________________


EXERCICIS

10. En Jordi té a la seva cartera bitllets de 10€ i 20€, en total té 20 bitllets i 440€. Quants bitllets té de cada tipus?

11. En un examen de 100 preguntes, l’Anna n’ha deixat sense respondre 9, i ha obtingut 574 punts. Si per cada resposta correcta se sumen 10 punts i per cada resposta incorrecta es resten 2 punts, quantes n’ha contestat bé i quantes malament?

12. En un curs hi ha 70 alumnes matriculats. En l’últim examen de Matemàtiques han aprovat 39 alumnes, el 70% de les noies i el 50% dels nois. Quants nois i quantes noies hi ha en el curs?

13. En dividir un nombre entre un altre, el quocient és 2 i el residu és 2. Si la diferència entre el dividend i el divisor és 54, de quins nombres es tracta?

INS _______________________



4. Sistemes d’inequacions amb una incògnita

4.a. Resolució Llegeix el text de pantalla i COMPLETA:

Per resoldre un sistema d’inequacions amb una incògnita __________________________

_________________________________________________________________________.

Observa l’exemple. A l’escena de la dreta apareixen més exemples de resolució de sistemes de dues inequacions amb una incògnita. Copia un d’aquests exemples en el següent requadre:



Resol, al menys, 2 sistemes dels que es proposen.


EXERCICIS 14. Resol:

≥+<−

x520x15

x199x16

15. Resol:

≥+−<−

x1642x14

28x3x11

16. Resol:

−≤<+

18x16x13

x)5x2(3

INS _______________________




Equació de primer grau amb dues incògnites: ____________

Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.

Mètodes de resolució:

•

•

•

Mètode de substitució:

Mètode d’igualació:

Mètode de reducció:

Sistemes d’inequacions:


INS _______________________



Per practicar

Ara vas a practicar resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

• Sistemes d’equacions. Problemes • Sistemes d’inequacions. Problemes

Completa l’enunciat amb les dades amb les que apareix cada EXERCICI a la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis en l’ordinador si l’has fet bé. Els següents EXERCICIS són de Sistemes d’equacions. Problemes.

Resol dos sistemes dels que apareixen en aquesta pàgina d’exercicis, per cada mètode:

Per SUBSTITUCIÓ

1.

2.

Per IGUALACIÓ

3.

INS _______________________



4.

Per REDUCCIÓ

5.

6.

RESOLDRE PROBLEMES AMB SISTEMES Apareix l’enunciat d’un problema. Copia’l en el primer requadre i resol-lo en l’espai reservat per fer-ho. Després comprova en l’ordinador si l’has fet bé.

Clicant sobre “ Un altre exercici” apareixeran altres enunciats. Resol un mínim de cinc problemes procurant que els enunciats siguin diferents (en total n’hi ha 11 enunciats diferents).

7.

Resolució:

INS _______________________



8.

Resolució:

9.

Resolució:

10.

Resolució:

INS _______________________



11.

Resolució:


Els següents EXERCICIS són de Sistemes d’inequacions. Problemes. Resol un mínim de quatre sistemes d’inequacions dels quals, al menys, dos tinguin alguna inequació de 2n grau i al menys un estigui format per tres inequacions:

12.

13.

14.

INS _______________________



15.

Resoldre problemes amb sistemes d’inequacions

Clicant sobre “ Un altre exercici” apareixeran altres enunciats. Resol un mínim de tres problemes procurant que els enunciats siguin diferents.

16.

Resolució:

17.

Resolució:

18.

Resolució:


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent en l’ordinador i resol-lo. Després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que tingui per solució x= __, y=___

Troba el valor de a pel qual el sistema següent sigui compatible indeterminat.

Resol el sistema d’inequacions:

Escriu una solució de l’equació: ___________

Resol per reducció:

Resol per substitució:

Resol per igualació:

Troba dos nombres, _________________ sigui ___ i ______________ sigui ____ .

Indica, sense resoldre, de quin tipus és el sistema:

Troba les dimensions d’un rectangle de perímetre ______, sabent______________

___________________________________.

INS _______________________



Per practicar més

1. Calcula el valor de c per a què la solució de l'equació, x 7y c+ = sigui:

a) x 1 , y 2= =

b) x 3 , y 3= = −

c) x 5 , y 0= =

d) x 2 , y 3= − =

2. Troba una solució (x, y) de l'equació 4x y 17− + = sabent que:

a) x 1=

b) y 7= −

3. Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que tinguin solució:

a) x 4 , y 3= = −

b) x 1 , y 2= = −

c) x 0 , y 5= =

d) x 1 , y 1= =

4. Escriu un sistema de dues equacions lineals amb dues incògnites que:

a) tingui infinites solucions

b) tingui una única solució

c) no tingui solució

5. Raona si el punt (x, y) és solució del sistema:

a) 2x 3y 18

x 3 , y 43x 4y 24

+ == = →

+ =

b) 5x 3y 1

x 1 , y 23x 4y 11

− = −= = →

+ =

6. Resol gràficament els següents sistemes:

a) x y 6

2x 2y 12

+ =+ =

b) x y 8

x y 2

+ =− =

7. Resol per reducció:

a) 2x y 15

x 2y 15

+ =− = −

b) 7x 6y 29

x 3y 8

− + = −+ =

8. Resol per substitució:

a) x 12y 1

4x 9y 15

− =− − =

b) x 6y 3

9x 2y 83

+ =− + = −

9. Resol per igualació:

a) x 2y 17

7x 6y 47

− =− =

b) x 4y 32

x 3y 17

− =− = −

c) x 2y 14

x 4y 4

− = −+ =

10. Resol els següents sistemes pel mètode que consideris més adequat:

a)

=−

−=−

12y2x4

5

3

4

y

5

x

b)

=+

−=−

33y5x8

8

3

8

y

4

x

c)

=+

=+

34y3x7

3

8

3

y

2

x

d)

=−

=−

20y7x5

9

4

2

y

9

x

INS _______________________


Sistemes d’equacions -24 -

11. Troba dos nombres sabent que el major més sis vegades el menor és igual a 62 i el menor més cinc vegades el major és igual a 78.

12. Dos nombres sumen 241 i la seva diferència és 99. Quins nombres són?

13. En Pere té 335 € en bitllets de 5€ i de 10€; si en total té 52 bitllets, quants en té de cada classe?

14. En un hotel hi ha 67 habitacions entre dobles i senzilles. Si el nombre total de llits és 92, quantes habitacions hi ha de cada tipus?

15. Es vol mesclar vi de 1 €/litre amb vi de 3 €/litre per obtenir una mescla de 1,20 €/litre. Quants litres haurem de posar de cada preu per obtenir 2000 litres de mescla?

16. En un magatzem hi ha dos tipus de llums, les del tipus A que utilitzen 2 bombetes i les del tipus B que utilitzen 7 bombetes. Si en total al magatzem hi ha 25 llums i 160 bombetes, quants llums hi ha de cada tipus?

17. En un parc d'atraccions pujar a la nòria costa 1€ i pujar a la muntanya russa 4€. L'Anna puja un total de 13 vegades i gasta 16€. Quantes vegades ha de pujar a cada atracció?

18. En un corral hi ha ovelles i gallines, en total 77 i si contem les potes obtenim 274 en total. Quantes ovelles i quantes gallines hi ha?

19. Troba un nombre de dues xifres sabent que la suma de d'aquestes és 7 i la diferència entre el nombre i el que resulta quan les intercanviem és 27.

20. La suma de les edats de la Lluïsa i d'en Miquel és 32 anys. D'aquí 8 anys l'edat d'en Miquel serà dues vegades l'edat de la Lluïsa. Quines edats tenen tots dos?

21. La Maria ha comprat uns pantalons i un jersei. Els preus d'aquestes peces sumen 77€, però li han fet un descompte del 10% en els pantalons i un 20% en el jersei, pagant en total 63,60€. Quin és el preu sense rebaixar de cada peça?

22. Troba dos nombres tals que si es divideixen el primer per 3 i el segon per 4, la suma dels quocients és 15, a la vegada que si es multiplica el primer per 2 i el segon per 5 la suma dels productes és 188.

23. Resol els sistemes d'inequacions:

a)

−≤−−+−<−

x531x16

)8x6(2x3 b)

<+−≥−x2)5x(6

28x12x9

c)

<−≤−

x1156x2

0x3x2

d)

≤+−≥−

<−

x2)7x2(6

15x12x4

x539x16

24. La Rosa vol comprar globus i serpentines per adornar la festa de final de curs. Vol comprar doble nombre de paquets de globus que de serpentines i no vol comprar menys de 30 paquets de globus. Si el paquet de serpentines val 4€ i el de globus 3€, i a més no vol gastar més de 248€, quants paquets de serpentines pot comprar?

25. La piscina de l'edifici A és un quadrat i la de l'edifici B un rectangle, un dels costats mesura el mateix que el del quadrat i l'altre 6m. Per a quines mesures del costat del quadrat el perímetre de la piscina de l'edifici A és major que el de la piscina de l'edifici B?

26. En Pere té 87€ per comprar tots els discs del seu cantant preferit. Si cada disc costés 23€ no tindria suficients diners, però si en costés 15€ llavors li en sobrarien. Quants discs té el cantant?

INS _______________________


Semblança i trigonometria - 1 -

Semblança i trigonometria

Continguts

1. Semblança. Teorema de Tales. Triangles semblants. Teorema de Pitàgores. Càlcul de distàncies inaccessibles.

2. Raons trigonomètriques.

Definició. Relacions fonamentals.

3. Resolució de triangles rectangles.

Coneguts dos costats del triangle. Coneguts un catet i un angle agut. Coneguts la hipotenusa i un angle agut.

Objectius

• Reconèixer triangles semblants.

• Calcular distàncies inaccessibles aplicant la semblança de triangles.

• Nocions bàsiques de trigonometria.

• Calcular la longitud de tots els costats i l'amplitud dels angles d'un triangle rectangle a partir de dues dades.

Autora: Montserrat Gelis Bosch Sota llicència

Creative Commons Si no s'indica el contrari.

INS _______________________



Clica la imatge de la dreta de la pantalla per veure uns quants vídeos, d'uns tres minuts cadascun, on podràs veure algunes de les aplicacions de la trigonometria i la semblança.

“Els misteris de la vida” amb Tim i Moby

Com fem a escala una cosa que volem dibuixar?

Taller de geometria de l'IES Jaume I de Sagunto: “Tales”

Tales va mesurar l'altura d'una piràmide amb l'ombra d'una estaca.

Taller de geometria de l'IES Jaume I de Sagunto: “Euclides”

Amb un mirall es mesura l'altura de la cistella.

Congres ICM06. TVE

A la natura hi ha ordre i autosemblança, un pètal o una branca és igual a totes les altres.

Univers Matemàtic. TVE. “Pitàgores”

Una corda amb 12 nusos era una eina per traçar perpendiculars.

Univers Matemàtic. TVE. “Trigonometria”

Amb càlculs de trigonometria es va demostrar que la Terra és aplatada en els pols.

Carl Sagan. “Eratòstenes”

Mesurant ombres i angles Eratòstenes va calcular el Radi de la Terra fa 2200 anys.

El billar

La semblança és la clau per fer carambola. Pots clicar a la imatge per simular el joc.

Segueix les instruccions i prova les teves habilitats.

Clica


Abans de començar

INS _______________________



1. Semblança

1.a. Teorema de Tales Llegeix amb atenció el text de pantalla. Completa l'enunciat del teorema de Tales:

Quan es tallen dues ___________________________ amb dues rectes _______________,

els segments que s'obtenen en cada semirecta guarden la mateixa ____________________.

A l'escena de la dreta de la pantalla, mou els punts i comprova que quan les rectes blaves són paral·leles, els segments que s'obtenen són proporcionals.

A partir de la següent proporció:

Comprova que també es compleix:

Clica el botó

Per fer exercicis.

Realitza diversos exercicis aplicant el teorema de Tales. A cada exercici escriu els valors de la proporció, realitza la divisió i comprova el resultat prement el botó solució.

EXERCICI:

Troba en els cassos a) i b) les proporcions

i comprova el

resultat a l'ordinador.

Clica


INS _______________________



1.b. Triangles semblants Llegeix a la pantalla les condicions que han de complir dues figures semblants. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Com han de ser els angles de dos polígons semblants? Si dos triangles tenen tots els angles iguals, podem afirmar que són semblants?

Si dos quadrilàters tenen tots els angles iguals, quina altra condició han de complir perquè siguin semblants?

Triangles semblants Escriu els criteris de semblança per a dos triangles:

1.

2.

3.

A l'escena de la dreta de la pantalla es proposen diversos exercicis de semblança. Resol-los i comprova la solució a l'ordinador.

TEST SOBRE FIGURES SEMBLANTS

a) Són semblants?

b) Un triangle amb un angle de 30º i un altre de 40º, és forçosament semblant a un triangle amb un angle de 30º i un altre de 110º?

c) Un triangle de costats 3, 6 i 7 cm, és semblant a un altre de costats 9, 36 i 49 cm?

INS _______________________



d) Un quadrilàter de costats 3, 4, 5 i 6 cm, és necessàriament semblant a un altre de

costats 6, 8, 10 i 12 cm?

e) Un triangle amb un angle C=20º i els costats a=6cm i b=15cm i un altre amb un angle

C=20º i els costats a=4cm i b=10cm. Són semblants?

f) Un triangle amb un angle C=50º i els costats a=3cm i b=5cm i un altre amb un angle

C=100º i els costats a=6cm i b=10cm. Són necessàriament semblants?

g) Dos polígons regulars amb el mateix nombre de costats, són semblants?

h) Els costats de dos triangles mesuren 3, 6 i 7cm, en un, i 18 , 2

12 y 27 en l'altre. Són

semblants?

Els triangles de la figura són semblants, completa l'enunciat i troba la mesura del costat x.

a)

b)

En el mateix lloc i a la mateixa hora, altures i ombres defineixen triangles semblants. Completa els enunciats i resol.

Troba l'altura de l'arbre.

INS _______________________



Troba l'altura del passejant.

Calcula l'ombra del passejant.

Calcula l'ombra de l'arbre.

Clica


1.c. Teorema de Pitàgores

El teorema de Pitàgores diu que en un triangle rectangle, de catets a i b, i d'hipotenusa c, es compleix que

Hi ha moltes demostracions d'aquest teorema. A la pantalla pots veure una demostració gràfica del teorema de Pitàgores.

A l'escena de la dreta pots veure uns exemples en què s'aplica aquest teorema.

Pots triar entre diverses opcions. Per a cada opció, observa primer l'exemple per veure com es resol. Movent els punts podràs canviar les dimensions de les figures.

INS _______________________



Hipotenusa?

Observa primer l'exemple per veure com es resol. Movent els punts taronja podràs modificar el triangle.

Clica el botó

i completa les dimensions dels catets.

Resol l'exercici i després comprova a l'escena si l'has fet correctament.

Catet?

Observa primer l'exemple per veure com es resol. Movent els punts taronja podràs modificar el triangle.

Clica el botó

i completa les dimensions de la hipotenusa i del altre catet.


Distància entre dos punts

Observa primer l'exemple per veure com es resol. Movent els punts taronja podràs canviar la posició dels dos punts.

Clica el botó

i escriu les coordenades dels dos punts.


INS _______________________



Equació de la circumferència

Observa primer l'exemple per veure com es resol. Pots modificar el centre i el radi.

Clica el botó

i escriu el radi i les coordenades del centre.


Clica


1.d. Càlcul de distàncies inaccessibles

En la vida quotidiana apareixen moltes situacions en què cal calcular distàncies inaccessibles.

A l'escena de la dreta de la pantalla podràs veure quatre exemples d'aquestes situacions.

Clica per veure en cada cas com es dibuixen els triangles. Resol-los i comprova el

resultat a l'ordinador.

Per calcular la distància des de la platja a un vaixell s'han pres les mides que veus a la figura. Calcula la distància al vaixell.

INS _______________________



Calcula la distància entre els arbres A i B

Calcula la profunditat del pou.

Troba la longitud x de la llinya que no està a l'aigua.

Clica


INS _______________________



2. Raons trigonomètriques 2.a. Definició Llegeix a la pantalla l'explicació sobre raons trigonomètriques. Observa, clicant sobre la imatge

, que dos triangles rectangles els catets dels quals mantenen la mateixa

proporció són semblants. Completa:

Anomenem raons trigonomètriques a les raons entre ___________________ d'un triangle ________________.

Raons trigonomètriques sinus cosinus tangent

Abreviatures sin cos tg

sin α =

cos α =

tg α =

� El sinus és el quocient entre el ______________________ i ____________________.

� El cosinus és el quocient entre el ______________________ i ____________________.

� La tangent és el quocient entre el ______________________ i ____________________.

Dibuixa els dos triangles de l'escena de la dreta de la pantalla. Tria una raó i observa com s'obtenen per semblança les fórmules de les raons trigonomètriques. Pots modificar les dimensions del triangle i el valor de l'angle agut, observa que es segueix complint la mateixa proporció.

Clica el botó

per fer exercicis.

INS _______________________



Fes els vuit exercicis proposats aplicant els conceptes estudiats en el capítol. A l'exercici 8 utilitza la teva calculadora per calcular les raons trigonomètriques d'un angle donat i també per trobar un angle a partir de les raons trigonomètriques.

Clica


2.b. Relacions fonamentals Llegeix a la pantalla l'explicació i practica a les escenes l'obtenció de les relacions fonamentals de la trigonometria. Abans de començar llegeix atentament les indicacions clicant el botó

Clica el botó per veure el triangle bàsic amb hipotenusa=1

Completa:

=αtg

Per a la seva demostració apliquem ______________________

1=+

Per a la seva demostració apliquem ______________________

Clica el botó

Per calcular les raons de 30º, 45º i 60º.

Tria un angle i observa clicant el procediment a seguir per trobar el valor de les seves

Raons trigonomètriques. Practica completant els requadres següents.

60º

Aplica el teorema de Pitàgores per trobar el valor de x (catet oposat):

Triangle equilàter de costat 1

Hipotenusa = 1 Catet oposat = x Catet adjacent = 1/2

sin60º = cos60º = tg60º =

INS _______________________



30º

Aplica el teorema de Pitàgores per trobar el valor de x (catet adjacent):

Triangle equilàter de costat 1

Hipotenusa = 1 Catet oposat = 1/2 Catet adjacent = x


45º

Aplica el teorema de Pitàgores per trobar el valor de x (hipotenusa):

Quadrat de costat 1

Hipotenusa = x Catet oposat = 1 Catet adjacent = 1


Clica el botó

per repassar les relacions fonamentals.

Arrossega les raons trigonomètriques i els nombres que apareixen a l'escena perquè resultin les dues relacions fonamentals.

Ha arribat el moment de comprovar tot el que has aprés. Realitza cadascun dels següents exercicis.

EXERCICIS 1. En el triangle de la figura calcula:

3

4

5

αααα

a) sin α b) cos α c) tg α

d) sin β e) cos β f) tg β

2. Calcula amb la calculadora:

a) sin 30º

b) cos 60º

c) tg 45º

INS _______________________



Clica


3. Amb la calculadora, calcula els angles aguts α i β d'un triangle rectangle de catets 9 i 12 centímetres.

4. Decideix quines raons de l'angle α corresponen als costats a, b i c

5. En el triangle següent calcula el sin α , cos α i tg α

6. Comprova a l'angle α del triangle de la figura que es compleixen les relacions fonamentals.

3

4

5

αααα

7. Calcula el cosinus i la tangent d'un angle agut α tal que sin α=0,3

8. Comprova que es compleix la relació: 1+ tg2 α=sec2 α

Recorda el triangle:

tg αααα sec αααα

1αααα

17

α

15

INS _______________________



3. Resolució de triangles rectangles 3.a. Coneguts dos costats del triangle Resoldre un triangle significa conèixer els tres costats i els tres angles. Llegeix a la pantalla l'explicació per resoldre un triangle rectangle coneguts dos costats. Completa:

Per trobar l'altre costat del triangle s'aplicarà ________________________________, i

l'angle es determinarà com ________________________________ és adjacentcatet

oposatcatet o

també com _____________________________ és hipotenusa

oposatcatet depenent de les dades

inicials. Per calcular l'altre angle només cal restar de _____________.

A l'escena de la dreta de la pantalla es mostra una situació en què es vol resoldre un triangle rectangle coneguts els dos catets. Pots modificar les dimensions dels catets arrossegant el

vèrtex taronja. Clica el botó Per veure els càlculs que cal fer per trobar la hipotenusa i

els angles. Resol els següents exercicis i comprova el resultat a l'ordinador.

EXERCICI 1:

En un triangle rectangle de catets 5 i 10 cm calcula la mesura de la seva hipotenusa i dels seus angles.

Hipotenusa:

Angles:

EXERCICI 2:

Resol un triangle rectangle sabent que la seva hipotenusa mesura 10 cm i un dels seus catets mesura 6 cm.

Catet:

Angles:

INS _______________________



Clica el botó

per fer un exercici.

Completa l'enunciat i resol. Quan l'hagis resolt, comprova el resultat a l'ordinador. Calcula les polsades i el format d'una pantalla si la base mesura ________ cm i l'altura ______ cm

Clica


3.b. Coneguts un catet i un angle agut Llegeix a la pantalla l'explicació per resoldre un triangle rectangle coneguts un catet i un angle

agut. Observa clicant sobre la imatge

com es resol un triangle que té un angle de 75º

i el catet adjacent de 3 cm.

Resol el següent triangle sabent que té un angle α de 27º i el catet adjacent de 12 cm.

A l'escena de la dreta de la pantalla pots veure una situació en la qual es vol conèixer un catet d'un triangle rectangle però només es pot mesurar un angle i el catet no buscat.

Clica el botó I segueix les indicacions.

c

c ·

tg

αα αα

90º α

INS _______________________



Clica el botó


Resol l'exercici proposat a l'escena i comprova el resultat.

Clica


3.c. Coneguts la hipotenusa i un angle agut Llegeix a la pantalla l'explicació per resoldre un triangle rectangle coneguts la hipotenusa i un

Angle agut. Observa clicant sobre la imatge

com es resol un triangle que té un angle

de 75º i la hipotenusa de 3 cm.

Resol el següent triangle sabent que té un angle α de 55º i la hipotenusa de 21 cm.

A l'escena de la dreta de la pantalla pots veure una situació en la qual es vol conèixer un catet d'un triangle rectangle però només es pot mesurar un angle i la hipotenusa.

Clica el botó i segueix les indicacions.

Clica el botó

Per fer un exercici.

Completa l'enunciat i resol l'exercici proposat a l'escena. En acabar comprova el resultat. Del triangle rectangle de la figura es coneixen un angle, ______, i la hipotenusa, ______ cm. Troba els catets en funció de les raons trigonomètriques de l'angle donat.

Clica


INS _______________________



Ha arribat el moment de comprovar tot el que has après. Fes cadascun dels següents exercicis.

En acabar pots passar al següent apartat. Clica


EXERCICIS 9. En el triangle rectangle següent calcula la mesura dels seus costats i dels seus angles.

10. Calcula la mesura dels costats i dels angles del triangle següent:

11. Resol el triangle de la figura.

12. Calcula la hipotenusa i els tres angles del triangle de la figura:

INS _______________________




Llegeix atentament la informació del quadre resum i completa.

Teorema de Tales. Triangles semblants.

Les rectes r i s són __________________ Relació de proporcionalitat:

Teorema de Pitàgores.

____ + ____ = ____

Criteris: 1. _______________________________________ 2. _______________________________________ 3. _______________________________________

Raons trigonomètriques.

sin αααα = cos αααα = tg αααα =

Relacions fonamentals: ________ + ________ = 1 tg α =α =α =α =

30º 45º 60º

sinus

cosinus

Resolució de triangles rectangles.

Clica


INS _______________________



Per practicar

Practica ara resolent diferents EXERCICIS. En les pàgines següents trobaràs EXERCICIS de

Semblança. Raons trigonomètriques. Triangles rectangles. En els següents EXERCICIS de semblança i teorema de Pitàgores tria opció, completa l'enunciat amb les dades que apareixen en teu ordinador i resol en el requadre de la dreta. Després comprova la solució a l'ordinador. Tria en el menú l'opció: T. Tales. Calcula x.

1. Calcula x…

2. Calcula x…

Quadrilàters semblants.

3. Les longituds de tres costats homòlegs de dos quadrilàters semblants són

____ cm, x cm, ____ cm

____ cm, ____ cm, y cm, troba x i y

INS _______________________



Extensió de la base

4. La base de la muntanya s'observa, com indica el cartell, a una distància de _______ km. Es mou una regleta de ____ cm fins que tapa la base de la muntanya. En aquest moment, la distància del regle a l'ull de l'observador és de _____ m. Calcula l'amplada de la base de la muntanya.

Amplada del riu

5. Calcula, en metres, l'amplada x del riu, a partir de les dades del dibuix.

Profunditat del pou

6. Calcula la profunditat del pou. L'amplada del pou és de _____ m, l'altura de l'observador és de _____ m, la longitud de la vareta negra és de _____ m i la distància de l'ull de l'observador a la vareta és de ______ m. S'ha fet coincidir en la visual, la vareta amb el fons del pou.

Per on tallo?

7. Per on s'ha de tallar el full, per tal que la part esquerra sigui semblant al full sencer.

INS _______________________



Triangles semblants?

8. Dibuixa un triangle amb un angle de ______ i el quocient dels costats que el formen igual a _____. Són semblants els triangles que acompleixen aquestes condicions?

9. Dibuixa un triangle amb un angle de ______ i un dels costats que el formen de ______ cm. Són semblants els triangles que acompleixen aquestes condicions?

Piràmides

10. Calcula l'altura de la piràmide, sabent que la seva base és un polígon regular inscrit en una circumferència de radi _______ cm i la seva aresta lateral és de ________ cm.

11. Calcula el costat de la base de la piràmide regular sabent que la seva aresta lateral és de _______ cm i l'altura de cadascuna de les seves cares laterals és de ________ cm.

INS _______________________



12. Calcula l'altura de la piràmide regular sabent que la seva base és un polígon regular d'apotema _______ cm i l'altura de cadascuna de les seves cares laterals és de ________ cm

Distàncies en coordenades

13. Trobar la distància entre els punts de coordenades

(___, ___) i (___, ____)

Equació de la circumferència

14. Els punts (x,y) d'una circumferència disten del centre un radi. Si el centre és (___, ___) i el radi _____ Sabries expressar aquesta condició amb una equació?, és a dir, es demana aplicar el T. de Pitàgores en el triangle de la figura.

Calcula el costat c

15. Aplica el teorema generalitzat de Pitàgores per calcular la longitud del costat c en el triangle de la figura.

Clica


INS _______________________



En els següents EXERCICIS de raons trigonomètriques tria la raó coneguda i la raó que s'ha de calcular, completa l'enunciat amb les dades que apareixen en el teu ordinador i resol en el requadre de la dreta. Després comprova la solució a l'ordinador.

Raó coneguda: sinus

16. Si α és un angle agut (<90º) i

sin αααα =------- Calcula el cosinus.


sin αααα =------- Calcula la tangent.

Raó coneguda: cosinus


cos αααα =------- Calcula el sinus.


cos αααα =------- Calcula la tangent.

Raó coneguda: tangent


tg αααα =------- Calcula el sinus.


tg αααα =------- Calcula el cosinus.

Clica


INS _______________________



En els següents EXERCICIS de Triangles rectangles tria opció, completa l'enunciat amb les dades que apareixen en el teu ordinador i resol en el requadre de la dreta. Després comprova la solució a l'ordinador.

El costat d'un polígon

22. La longitud de l'apotema d'un polígon regular de _____ costats és de _______ cm. Calcula el costat.

23. La longitud del radi d'un polígon regular de ______ costats és de __________ cm. Calcula el costat.

L'apotema d'un polígon

24. La longitud del radi d'un polígon regular de ______ costats és de __________ cm. Calcula l'apotema.

25. La longitud del costat d'un polígon regular de ______ costats és de __________ cm. Calcula l'apotema.

El radi d'un polígon

26. La longitud de l'apotema d'un polígon regular de _____ costats és de _______ cm. Calcula el radi.

INS _______________________



27. Calcula el radi de la circumferència inscrita en un polígon regular de _____ costats si el costat mesura ______ cm.

28. La longitud del costat d'un polígon regular de _____ costats és de _______ cm. Calcula el radi.

L'altura d'un arbre

29. Determina l'altura d'un arbre si des d'un punt situat a ________ metres de la seva base s'observa el punt més alt sota un angle de ______ graus.

L'altura d'un estel

30. La longitud del cordill que subjecta un estel és de ________ m. Si l'angle d'elevació de l'estel és de ______, a quina altura s'alçarà l'estel?

INS _______________________



L'altura d'un edifici

31. Per determinar l'altura d'un edifici es mesuren els angles d'elevació des de dos punts situats a una distància de _______ m. Quina és l'altura de l'edifici, si els angles són _____ i _____?

32. Per determinar l'altura d'un edifici es mesuren els angles d'elevació des de dos punts. Si l'altura és de _________ m i els angles són _______ i ______. Quina és la distància entre els punts?

L'altura d'un avió

33. Dues persones separades _______ m veuen un avió que vola sobre elles amb angles d'elevació de _____ i _____. A quina altura vola l'avió?

34. Dues persones veuen un avió que vola sobre elles a una altura de _______ m, amb angles d'elevació de _____ i _____. A quina distància es troben les dues persones?

INS _______________________



L'altura d'una muntanya

35. Per calcular l'altura d'una muntanya es mesuren els angles d'elevació des de dos punts situats a una distància de ___________ m i a una altitud de ___________ m sobre el nivell del mar. Quina és l'altura de la muntanya, si els angles són ________ i ________?

36. Els angles d'elevació des de dos punts situats a una altitud de _________ m sobre el nivell del mar són _____ i _____. Si l'altura de la muntanya és de __________ m Quina és la distància entre els dos punts?

Compàs-radi

37. Amb un compàs de braços que mesuren _______ cm, tracem una circumferència. Si l'angle que formen els braços és de ________. Quin és el radi de la circumferència?

Compàs-braços

38. Amb un compàs tracem una circumferència de ______ cm de radi. Si l'angle que formen els seus braços és de ________. Quina és la longitud dels braços del compàs?

Clica


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que va proposant l’ordinador i resol, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Aplica la semblança per calcular el valor de x.

Sabent que els angles interiors d’un quadrilàter sumen 360º, calcula el valor de X.

Aquests dos polígons, són semblants?

Como la finestra de la casa de davant és igual que la meva, puc saber la seva altura, i amb la visual d’una vareta, es pot calcular l’amplada del carrer. Calcula-la.

La generatriu d’un con recte mesura _____ cm i el radi de la base ______ cm. Troba l’altura del con semblant a aquest, però a escala 1:____ (cada mesura multiplicada per 4)

Calcula el valor de tg A en el triangle ABC de la figura.

Calcula l’àrea del triangle de la figura.

Si sin α = ______, i α és un angle agut, calcula la tg α.

L’altura de Torre Espanya és de 231 m. Quina és la mesura de la seva ombra quan la inclinació dels rajos del sol és de _______?

Calcula l’àrea del polígon de la figura.

INS _______________________


Problemes geomètrics - 1 -

Problemes geomètrics

Continguts

1. Figures planes Triangles Paral·lelograms Trapezis Trapezoides Polígons regulars Cercles, sectors i segments

2. Cossos geomètrics Prismes Piràmides Troncs de piràmides Cilindres Cons Troncs de cons Esferes

Objectius

• Aplicar les raons trigonomètriques per estudiar les relacions que hi ha entre els angles i els costats de les figures planes.

• Calcular el perímetre i l’àrea de les figures planes aplicant les fórmules conegudes i les raons trigonomètriques quan calgui.

• Aplicar les raons trigonomètriques per estudiar les relacions que existeixen entre les arestes i els angles dels cossos geomètrics.

• Calcular l’àrea lateral, l’àrea total i el volum dels cossos geomètrics aplicant les fórmules conegudes i les raons trigonomètriques quan calgui.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Sota llicència Creative Commons si no es diu res en contra.

INS _______________________



Per resoldre els exercicis i problemes d’aquesta quinzena, hauràs de fer operacions amb la calculadora. A l’escena de la dreta, apareixen diferents exemples que demostren la conveniència de guardar en la memòria els valors de nombres irracionals tal como els dóna la calculadora i aplicar-los en efectuar les operacions que calgui, arrodonint només al final de l’exercici.

Clica al botó per accedir als diferents exemples.

Llegeix-los atentament i practica amb la teva calculadora…

O amb la que apareix a la pàgina de Quan acabis... clica per anar a la pàgina següent.

1. Figures planes. 1.a. Triangles. Llegeix el text de pantalla. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Quant val la suma dels tres angles d’un triangle? Què és el perímetre d’un triangle?

A què és igual l’àrea d’un triangle?

A l’escena, pots veure les diferents formes de calcular l’àrea d’un triangle.

Clica el botó

per accedir-hi, i completa la taula següent:

L’àrea del triangle és igual a ______________________ ______________________________________________

L’àrea del triangle és igual a ______________________ ______________________________________________

FÓRMULA D’HERON

Clica els botons a per veure diferents exemples resolts. En la taula següent,

completa les dades i copia’n un de cada tipus. Col·loca també les dades en el dibuix. En cada nombre, es resol l’exemple per diferents procediments: examina’ls tots

clicant a i copia en l’espai corresponent el mètode que s’indica.

Abans de començar

INS _______________________



Calcular l’àrea d’un triangle equilàter de _______ cm de costat.

(Aplica la 1ª fórmula)

El costat desigual d’un triangle isòsceles fa _______ cm i els costats iguals fan ______ cm cadascun . Calcular el perímetre, l’àrea i els angles.

(Aplica la fórmula d’Heron)

El costat desigual d’un triangle isòsceles fa ______ cm i l’angle diferent fa _____ . Calcular els angles, els costats, l’altura, el perímetre i l’àrea.

(Utilitza les raons trigonomètriques)

Els angles d’un triangle escalè fan ____, ____ i ____. El costat menor fa _____ cm. Calcular els altres costats, l’altura, el perímetre i l’àrea.

(Utilitza les raons trigonomètriques)

Els costats d’un triangle escalè fan ____ , ____ i ____ cm. Calcular el perímetre i l’àrea. Es pot calcular l’altura? Es poden calcular els angles?

(Aplica la fórmula d’Heron)

INS _______________________



Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de quatre exercicis. Copia l’enunciat i fes el dibuix. En primer lloc, resol l’exercici fent els càlculs amb la calculadora, de la forma més exacta possible i després, introdueix la solució amb dos decimals en el requadre i clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:



EXERCICIS 1. Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 5,9 centímetres de costat.

2. El costat desigual d’un triangle isòsceles fa 3,6 cm i l’angle diferent fa 46º. Calcula el perímetre i l’àrea.

3. Els angles d’un triangle escalè fan 45º, 64º i 71º i el costat més petit fa 9,7 cm. Calcula el perímetre.

INS _______________________



1.b. Paral·lelograms. Llegeix el text “Un paral·lelogram és ..... “. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què és un paral·lelogram ?

Quant val la suma dels quatre angles d’un paral·lelogram?

Què és el perímetre d’un paral·lelogram?

A l’escena, pots veure les àrees dels diferents paral·lelograms.

Clica al botó per accedir-hi, i completa la taula següent escrivint el nom

de cadascun, fes-ne un dibuix i escriu la fórmula per calcular la seva àrea. Nom

Dibuix

Àrea

RESPON AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES En què queda dividit un rombe si en dibuixem les diagonals? Quina figura es forma si tracem l’altura en un romboide?

Clica als botons a per veure diferents exemples resolts. En la taula següent,

completa les dades i copia’n un de cada tipus.

a) Calcular l’àrea d’un quadrat de costat ______ cm. b) Calcular el perímetre d’un quadrat d’àrea ___________ cm2

a) Calcular l’àrea d’un rectangle de _____ cm de base i ______ cm d’altura. b) Calcular la base d’un rectangle de ______ cm2 d’àrea i ______ cm d’altura.

INS _______________________



Calcular l’àrea d’un rombe de ______ cm de costat si l’angle més petit que formen els seus costats fa ____.

Calcula el costat i els angles d’un rombe de diagonals ____ cm i ____ cm

Calcular l’àrea del romboide de la figura si els seus costats fan ______ cm i _____ cm , i l’angle menor fa ____.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de quatre exercicis. Un de cada tipus de paral·lelogram. Copia l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i després, introdueix la solució amb dos decimals en el requadre i clica intro. A continuació, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:

INS _______________________





1.c. Trapezis. Llegeix el text de la esquerra i observa l’escena de la dreta. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què és un trapezi?

Quant val la suma dels quatre angles d’un trapezi?

Què és el perímetre d’un trapezi?

Quina és la fórmula per calcular l’àrea d’un trapezi?

Quina figura es forma en dibuixar l’altura per qualsevol dels vèrtexs?

EXERCICIS 4. a) Calcula l’àrea d’un quadrat de 17,2 cm de costat.

b) Calcula el perímetre d’un quadrat de 5975,29 cm2 d’àrea.

5. a) Calcula l’àrea d’un rectangle de 45,6 cm de base i 32,5 cm d’altura. b) Calcula la base d’un rectangle de de 364,5 cm2 d’àrea i 24,3 cm d’altura.

6. Calcula el costat i els angles d’un rombe de diagonals 12,7 i 19,6 cm.

7. Calcula l’àrea del romboide de la figura si els seus costats fan 60,4 i 48,9 cm i l’angle menor que formen els seus costats fa 50º.

INS _______________________



A l’escena, si mous algun dels vèrtexs del trapezi, apareixen els diferents tipus de trapezis. Fes-ho i observa el nom i la característica de cada cas particular de trapezi, i després completa la taula:

FIGURA NOM TÉ...

Clica els botons a per veure diferents exemples resolts. En la taula següent,

completa les dades i copia’n un de cada tipus.

Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi isòsceles si les seves bases fan _____ i _______ cm, i els costats no paral·lels _______ cm

Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi isòsceles si les seves bases fan ___ i ____ cm, i l’angle que formen els costats no paral·lels amb la base major fa ____.

INS _______________________



Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi rectangle si les seves bases fan _____ i _______ cm, i el costat oblic, _______ cm

Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi isòsceles si les seves bases fan _____ i _______ cm, i l’angle que forma el costat oblic amb la base major fa ____.

Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi si les seves bases fan _____ i _____ cm, i els angles que formen els costats no paral·lels amb la base major fan ____ i ____.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de quatre exercicis. Copia l’enunciat, fes el dibuix i resol-lo. Després, introdueix la solució amb dos decimals en el requadre i comprova si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:

INS _______________________





1.d. Trapezoides Llegeix a la pantalla l’explicació sobre trapezoides. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què és un trapezoide?

Quant val la suma dels quatre angles d’un trapezoide?

A què és igual el perímetre d’un trapezoide?

Com es calcula l’àrea d’un trapezoide?

A l’escena de la dreta, clica

per accedir als exemples d’aplicació.

Llegeix-los fins a entendre bé el procediment seguit. Després, copia un d’aquests exemples: fes també el dibuix. EXEMPLE. Calcula el perímetre i l’àrea del quadrilàter amb les dades que s’indiquen.

INS _______________________



Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de dos exercicis. Copia l’enunciat, fes el dibuix i resol-lo. Després, introdueix la solució amb dos decimals en el requadre i comprova si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:


1.e. Polígons regulars Llegeix en pantalla l’explicació i observa l’escena. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què és un polígon regular?

Què és el perímetre d’un polígon?

Què és l’apotema d’un polígon regular?

Quina és la fórmula per calcular l’àrea d’un polígon regular?

En quin altre polígon es pot dividir qualsevol polígon regular?

EXERCICIS 8. Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi isòsceles si les seves bases fan 25,6 i 108,5

cm i els costats no paral·lels 70,5 cm.

9. Calcula el perímetre i l’àrea d’un trapezi rectangle si les seves bases fan 42,2 i 113,8 cm i l’angle que forma el costat oblic amb la base major fa 38º.

10. Calcula el perímetre i l’àrea del trapezoide amb les dades que s’indiquen: AB=12,6cm., BC=14,82 cm., CD=19,8 cm., DA=19,74 cm., DB=21,24 cm.

INS _______________________



Clica els botons a per veure diferents exemples resolts. En la taula següent, completa les dades i copia’n un de cada tipus.

Calcular l’àrea d’un pentàgon regular de ______ cm de costat.

Calcular l’àrea d’un hexàgon regular de ______ cm de costat.

Calcular l’àrea d’un octògon regular de ______ cm de costat.

Calcular l’àrea d’un pentàgon regular inscrit en una circumferència de ______ cm de radi.

Calcular l’àrea d’un hexàgon regular inscrit en una circumferència de ______ cm de radi.

INS _______________________



Calcular l’àrea d’un octògon regular inscrit en una circumferència de ______ cm de radi.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de quatre exercicis. Copia l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:



EXERCICIS 11. Calcula el perímetre i l’àrea d’un pentàgon regular de 2,5 cm de costat.

12. Calcula el perímetre i l’àrea d’un hexàgon regular de 4,3 cm de costat.

13. Calcula el perímetre i l’àrea d’un octògon regular inscrit en una circumferència de 8,3 cm de radi.

INS _______________________



1.f. Cercles, sectors i segments Llegeix en la pantalla les definicions de sector circular i de segment circular. A l’escena de la dreta, pots veure les fórmules per calcular longitud i àrea d’aquestes figures. RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què és un sector circular? Què és un segment circular?

FÓRMULES PER CALCULAR LONGITUDS I ÀREES CIRCUMFERÈNCIA SECTOR CIRCULAR SEGMENT CIRCULAR

L = S = L = S =

Clica els controls

a per veure exemples d’aplicació d’aquestes fórmules.

En , clica per veure els diferents passos de la resolució.

Pots clicar en UN ALTRE EXEMPLE per veure més exemples en cada nombre. Llegeix-los fins a entendre bé el procediment seguit, i després copia un exemple de cada tipus en la taula següent, completant les dades que falten, tant a l’enunciat com en el dibuix:

Calcular la longitud i l’àrea d’un cercle de radi ______ cm.

Calcular la longitud d’arc i l’àrea d’un sector circular de ______ º comprès en un cercle de ______ cm de radi.

INS _______________________



Calcular l’àrea d’un segment circular d’un cercle de radi ______ cm, si l’angle que formen els radis que passen pels seus extrems fa _____.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de dos exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2: Calcular la longitud d’arc d’un sector circular de _____ comprès en un cercle de radi ______ cm.

Calcular l’àrea d’un segment circular d’un cercle de radi _____ cm, si l’angle que formen els radis que passen pels seus extrems fa ____.


EXERCICIS

14. Calcula la longitud i l’àrea d’un cercle 10,6 cm de radi.

15. Calcula la longitud d’arc i l’àrea d’un sector circular de 144º comprès en un cercle de 2,4 cm de radi.

16. Calcula l’àrea d’un segment circular d’un cercle de 9,1 cm, si l’angle que formen els radis que passen pels seus extrems fa 112º.

INS _______________________



2. Cossos geomètrics. 2.a. Prismes. Llegeix en pantalla l’explicació, observa l’escena i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què són les bases d’un prisma?

Què són les cares laterals d’un prisma?

A què és igual l’àrea d’un prisma?

A què és igual l’àrea lateral d’un prisma?

A què és igual l’àrea total d’un prisma?

A què és igual el volum d’un prisma?

A l’escena de la dreta, pots clicar els controls “Nombre de cares”, “Aresta de la base” i “Altura” per veure el dibuix i el nom de diferents prismes. Després, clica en els controls

a per calcular àrees i volum d’alguns d’ells. Completa l’enunciat d’un exemple de cada tipus amb les dades de cada exemple, fes el dibuix i copia la resolució.

Un ortoedre és un prisma rectangular recte. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un ortoedre de ____ cm d’alt, ____ cm d’ample i ____ cm de llarg.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’aquest prisma, de ____ cm d’alt i _____ cm d’aresta de la base.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’aquest prisma, de _____ cm d’alt i ______ cm d’aresta de la base.

INS _______________________





Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de dos exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:

Calcula l’àrea total d’un ortoedre de ____ cm de llarg, ______ cm d’ample i ____ cm d’alt.

Calcula el volum d’un ortoedre de ____ cm de llarg, ____ cm d’ample i ____ cm d’alt.


Calcula l’àrea total del prisma si l’aresta de la base fa _____ cm i l’altura _____ cm.

Calcula el volum del prisma si l’aresta de la base fa _____ cm i l’altura _____ cm.

INS _______________________




2.b. Piràmides. Llegeix en pantalla l’explicació, observa l’escena i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què son les bases d’una piràmide?

Què son les cares laterals d’una piràmide?

A què és igual l’àrea d’una piràmide?

A què és igual l’àrea lateral d’una piràmide?

A què és igual l’àrea total d’una piràmide?

A què és igual el volum d’una piràmide?

A l’escena de la dreta, pots clicar els controls “Nombre de cares”, “Aresta de la base” i “Altura” per veure el dibuix i nom de diferents piràmides.

Fes servir els controls i per conèixer algunes propietats de les piràmides que

s’aplicaran en la resolució d’exercicis. Clica ara els controls a per calcular àrees i volums de piràmides. Completa l’enunciat d’un exemple de cada tipus amb les dades de cada exemple, fes el dibuix i copia la resolució.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’aquesta piràmide de _____ cm d’aresta lateral i _____ cm d’aresta de la base.

EXERCICIS 17. Calcula l’àrea total i el volum d’un ortoedre de 4,8 cm d’alt, 2,5 cm d’ample i 7,6

cm de llarg.

18. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un prisma triangular de 7,9 cm d’alt i 1,5 cm d’aresta de la base.

19. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un prisma pentagonal de 4,3 cm d’alt i 5,1 cm d’aresta de la base.

INS _______________________






Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de dos exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2:

Calcula l’àrea lateral de la piràmide si l’aresta de la base fa _____ cm i l’aresta lateral ______ cm.

Calcula l’àrea total de la piràmide si l’aresta de la base fa _____ cm i l’aresta lateral ______ cm.

INS _______________________




Calcula el volum de la piràmide si l’aresta de la base fa _____ cm i l’aresta lateral ______ cm.

Calcula el volum de la piràmide si l’aresta de la base fa _____ cm i l’aresta lateral ______ cm.


2.c. Troncs de piràmide. Llegeix en pantalla l’explicació, observa l’escena i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Què son les bases d’un tronc de piràmide?

Què son les cares laterals d’un tronc de piràmide?

Si les bases són polígons regulars, què són las cares laterals?

A què és igual l’àrea d’un tronc de piràmide?

A què és igual l’àrea lateral d’un tronc de piràmide?

A què és igual l’àrea total d’un tronc de piràmide?

A què és igual el volum d’un tronc de piràmide?

A l’escena de la dreta, pots clicar els controls “Costat de la base menor”, “Costat de la base major”, “Altura” i “Nombre de cares” per veure el dibuix de diferents troncs de piràmide. Pots girar el tronc de piràmide amb el ratolí per observar-lo millor. Utilitza els controls

i

per conèixer algunes propietats dels troncs de

piràmide que s’aplicaran en la resolució d’exercicis. Fixa’t en la manera d’obtenir trapezis rectangles a partir de diferents elements d’un tronc de piràmide. Clica ara els controls a per calcular àrees i volums de troncs de piràmide. Completa l’enunciat d’un exemple de cada tipus amb les dades de cada exemple, fes el dibuix i copia la resolució en els següents requadres:

INS _______________________



Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de piràmide triangular de _____ cm de costat de la base menor, _____ cm de costat de la base major i _____ cm d’aresta lateral.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de piràmide quadrangular de _____ cm de costat de la base menor, _____ cm de costat de la base major i _____ cm d’aresta lateral.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de piràmide pentagonal de _____ cm de costat de la base menor, _____ cm de costat de la base major i _____ cm d’aresta lateral.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de piràmide hexagonal de _____ cm de costat de la base menor, _____ cm de costat de la base major i _____ cm d’aresta lateral.

Clica el botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de dos exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta.

INS _______________________



Exercici 1: Exercici 2: Calcula l’àrea total d’un tronc de piràmide de _____ cm de costat de la base menor, ______ cm de costat de la base major i ______ cm aresta lateral.

Calcula el volum d’un tronc de piràmide de _____ cm de costat de la base menor, ______ cm de costat de la base major i ______ cm aresta lateral.


2.d. Cilindres. Llegeix en pantalla l’explicació, observa l’escena i RESPON AQUESTES QÜESTIONS: Quines figures formen el desenvolupament d’un cilindre?

A què és igual l’àrea lateral de cilindre?

A què és igual l’àrea total d’un cilindre?

A què és igual el volum d’un cilindre?

A l’escena de la dreta, si cliques a apareixen exemples del càlcul d’àrees i volums de cilindres.

EXERCICIS 20. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’una piràmide quadrangular de 9,3 cm

d’aresta lateral i 6,5 cm d’aresta de la base.

21. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’una piràmide hexagonal de 11,6 cm d’aresta lateral i 7,4 cm d’aresta de la base.

22. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de piràmide decagonal de 1,5 cm de costat de la base menor, 5,2 cm de costat de la base major i 9,2 cm d’aresta lateral.

INS _______________________



Completa l’enunciat d’un exemple de cada tipus amb les dades de cada exemple i copia la resolució:

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un cilindre de ______ cm d’alt i ______ cm de radi de la base.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de dos exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta. Exercici 1: Exercici 2: Calcula l’àrea total d’un cilindre de _______ cm de radi i ______ cm d’altura. Calcula el volum d’un cilindre de _______

cm de radi i ______ cm d’altura.


EXERCICIS 23. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un cilindre de 8,1 cm d’alt i 2,4 cm de

radi de la base.

INS _______________________



2.e. Cons Llegeix el text de l’esquerra, en el qual apareixen definicions relacionades amb els cons. A l’escena de la dreta, apareix un con. Pots modificar-ne el radi de la base i l’altura

amb els controls . També pots girar el con amb el ratolí per observar-lo

millor. Clica per accedir a l’obtenció de la fórmula per l’àrea lateral d’un

con. Clica un altre cop per conèixer la relació que existeix entre la generatriu

d’un con, la seva altura i el radi de la base. Ahora, amb tota aquesta informació, RESPON AQUESTES QÜESTIONS:

Quines figuras formen el desenvolupament d’un con?

A què és igual l’àrea total d’un con?

A què és igual l’àrea lateral d’un con?

A què és igual el volum d’un con?

En un con, quina relació hi ha entre la generatriu, l’altura i el radi de la base? Quin teorema s’aplica per obtenir-la?

Clica els controls a de l’escena per veure exemples de càlcul d’àrees i

volums en cons. Llegeix atentament cada exemple i clica per veure la solució. Completa un exemple de cada tipus en els requadres següents :

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de _____ cm d’altura i ______ cm de radi de la base.

INS _______________________



Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de _____ cm de generatriu i ______ cm de radi de la base.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de _____ cm de generatriu i ______ cm d’altura.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de _____ cm de generatriu, si l’angle que forma la generatriu amb l’altura fa _____º

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de _____ cm de radi, si l’angle que forma la generatriu amb la base fa _____º

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de quatre exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta.

INS _______________________




Calcula l’àrea total d’un con de _______ cm de radi i ______ cm d’altura.

Calcula el volum d’un con de _______ cm de radi i ______ cm de generatriu.

Exercici 3: Exercici 4: Calcula l’àrea total d’un con de _______ cm d’altura i ______ cm de generatriu.

Calcula l’àrea lateral d’un con de _____ cm de radi si l’angle que formen l’altura i la generatriu fa ____.


2.f. Troncs de con. Llegeix el text de l’esquerra i l’escena de la dreta per aprendre els conceptes relacionats amb els troncs de con. RESPON AQUESTES QÜESTIONS:

Quines figures formen el desenvolupament d’un tronc de con?

A què és igual l’àrea lateral d’un tronc de con?

EXERCICIS 24. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de 4,6 cm d’alt i 7,2 cm de

radi de la base. Calcula l’angle que forma la generatriu amb el radi.

25. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un con de 7,5 cm de generatriu si l’angle que formen l’altura i la generatriu fa 26º.

INS _______________________



Quina relació existeix entre la generatriu, l’altura i els radis de les bases? Quin teorema s’aplica per obtenir-la?

Com es pot calcular el volum d’un tronc de con?

Clica els controls a de l’escena per veure exemples de càlcul d’àrees i volums.

Llegeix atentament cada exemple i clica per veure la solució. Completa un exemple de cada tipus en els següents requadres:

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de con de _____ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major i ______ cm d’altura.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de con de _____ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major i ______ cm de generatriu.

Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de con de _____ cm de radi de la base menor i ______ cm de radi de la base major, si a més sabem que la generatriu i l’altura formen un angle de ____.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de sis exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta.

INS _______________________



Exercici 1: Exercici 2: Calcula l’àrea lateral d’un tronc de con de _______ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major i ______ cm de generatriu.

Calcula l’àrea lateral d’un tronc de con de _______ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major i ______ cm d’altura.

Exercici 3: Exercici 4: Calcula l’àrea total d’un tronc de con de _______ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major i ______ cm de generatriu.

Calcula el volum d’un tronc de con de _______ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major i ______ cm d’altura.

Exercici 5: Exercici 6: Calcula l’àrea total d’un tronc de con de _______ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major, si l’angle que formen la generatriu i l’altura fa _____º.

Calcula el volum d’un tronc de con de _______ cm de radi de la base menor, ______ cm de radi de la base major, si l’angle que formen la generatriu i l’altura fa _____º.


INS _______________________



2.g. Esferes. Llegeix en la pantalla les fórmules per al càlcul de l’àrea i el volum de la esfera i completa:

Àrea de l’esfera: A = Volum de l’esfera: V = Clica els controls a de l’escena per veure exemples de càlcul d’àrees i volums. Llegeix atentament cada exemple i clica per veure la solució. Completa un exemple de cada tipus en els següents requadres:

Calcula l’àrea i el volum d’una esfera de _____ cm de radi.

Calcula el radi d’una esfera d’àrea ______ cm2 .

Calcula el radi d’una esfera de volum ______ cm3.

Clica al botó

per fer exercicis.

Fes un mínim de quatre exercicis. Completa l’enunciat i fes el dibuix. Resol l’exercici i introdueix la solució amb dos decimals en el requadre. Després, clica COMPROVAR per veure si la resposta és la correcta.

INS _______________________




Calcula l’àrea d’una esfera de _______ cm de radi.

Calcula el volum d’una esfera de _______ cm de radi.


Calcula el radi d’una esfera d’àrea ______ cm2 .

Calcula el radi d’una esfera de volum ______ cm3 .


EXERCICIS

26. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de con de 6,6 cm d’altura, 2,2 cm de radi de la base menor i 4,3 cm de radi de la base major.

27. Calcula l’àrea lateral, l’àrea total i el volum d’un tronc de con de 6,4 cm de radi de la base menor i 12,6 cm de radi de la base major, si sabem, a més, que la generatriu i l’altura formen un angle de 42º.

28. Calcular l’àrea i el volum d’una esfera de 5,6 cm de radi.

29. Calcular el radi d’una esfera de volum 3261,76 cm3.

INS _______________________




PERÍMETRE I ÀREA DE FIGURES PLANES Completa:

ÀREES i VOLUMS DE COSSOS GEOMÈTRICS Completa:

INS _______________________



RELACIONS ENTRE ELS ELEMENTS DE FIGURES PLANES I COSSOS GEOMÈTRICS Completa: Per calcular els costats, angles, altures i arestes de figures i cossos, cal buscar __________________________en els quals es puguin aplicar el teorema de _________ i la definició de _______________________. Escriu quins elements de cada figura o cos formen triangles rectangles:


INS _______________________



Per practicar

Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les pàgines següents trobaràs EXERCICIS de:

• Figures planes • Cossos geomètrics

Completa l’enunciat amb les dades que apareixen a cada EXERCICI en la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Els següents EXERCICIS són de Figures planes. Senyales de trànsit (Un exercici sobre cadascuna)

1. Calcula el perímetre i l’àrea d’aquest senyal de trànsit si la seva altura és de _____ mil.límetres.

De quin tipus és?

Què indica?


De quin tipus és?

Què indica?


De quin tipus és?

Què indica?

INS _______________________




De quin tipus és?

Què indica?

Les abelles

5. Quins polígons regulars permeten cobrir el pla sense deixar buits? (Fes un dibuix per cadascun dels polígons)

Si tots tenen de perímetre ____ cm,quin té la superfície més gran? (Fes el càlcul de la superfície de cadascun els requadres següents)

La cabra

6. Una cabra està lligada a una cantonada d’una caseta quadrada de _______ metres de costat amb una corda de _______ metres. Calcula l’àrea de la regió en què pot moure’s la cabra per pasturar.

Vidrieres

7. Un hotel té _____ habitacions. Cadascuna té dues finestres amb forma de rombe. El costat fa ______ m i l’angle superior, _____º. S’han de col.locar vidrieres en cada finestra, que s’hauran de tallar de plaques rectangulars. Quina quantitat de vidre s’ha de comprar?

INS _______________________



Construcció

8. L’entrada a una fortalesa té forma de trapezi isòsceles. La base major fa ______m, la base menor ________ m i els costats iguals _______ fan m. Quin angle formen els costats iguals amb la base inferior?


Els següents EXERCICIS soón de Cossos geomètrics. Tetrabrik

9. Les dimensions d’un tetrabrik són _____ cm d’alt, ______ cm de llarg i _____ cm d’ample. Quina és la seva capacitat? Quina quantitat de material es necessita per a la seva construcció?

Llauna de conserves

10. Una llauna de conserves té _______ cm d’altura i ______ cm de radi de la base. Quina és la seva capacitat? Quina quantitat de metall es necessita per a la seva construcció? Quina quantitat de paper es necessita per a l’etiqueta?

Llapis

11. Un llapis té forma de prisma hexagonal i té en el seu interior una mina amb forma cilíndrica. Si el llapis té ____ mm de llarg i _____ mm de costat de la base i la mina té _____ mm d’ample, quin és el volum de la part del llapis que no està ocupada per la mina?

Tetraedre

12. El tetraedre és un poliedre regular format per quatre triangles equilàters. Es també una piràmide triangular. Calcular l’àrea total i el volum d’un tetraedre de _____ cm d’aresta.

INS _______________________



Fanals

13. Els fanals d’una ciutat tenen aquesta forma. Els vidres de la part superior tenen ______ cm d’aresta superior, _____ cm d’aresta inferior i ______ cm d’aresta lateral. Els vidres de la part inferior tenen ______ cm d’aresta superior, _____ cm d’aresta inferior i ______ cm d’aresta lateral. Quina quantitat de vidre té cada fanal?

Penitents

14. Una confraria ha de fabricar caputxes per a la seva processó de Setmana Santa. Les caputxes han de mesurar ______ cm d’alt i han de tenir ______ cm de radi de la circumferència. Quina quantitat de cartró necessita per a cadascun? Quines mesures ha de tenir el cartró que necessita tallar per fabricar-los?

Gelateria

15. En una gelateria, una terrina de gelat de ______ cm de diàmetre superior, ______ cm de diàmetre inferior i _____ cm d’altura es ven per ______ euros. Quin serà el preu d’una altra terrina de ______ cm de diàmetre superior, ______ cm de diàmetre inferior i _____ cm d’altura?

La Terra

16. Si el radi de la Terra és de 6370 km, calcula la superfície i el volum del nostre planeta aplicant diferents aproximacions del nombre π :

a) 3 b) 3.14 c) 3.1416 d) π


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resulta per comprovar si la solució és correcta.

Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de ______ cm de costat.

Calcula l’àrea d’un rombe de ______ cm de costat si el menor dels angles que formen els seus costats fa _____º.

Calcula l’àrea d’un octògon regular inscrit en una circumferència de _______ metres de radi.

Calcula el volum d’un prisma pentagonal de ______ metres d’altura i _____ metres d’aresta de la base.

Calcula l’àrea total d’una piràmide hexagonal de _____ metres d’aresta lateral i ______ metres d’aresta de la base.

Calcula l’àrea lateral d’un tronc de piràmide quadrangular si les arestes de les bases fan respectivament ______ i ______ metres i l’aresta lateral fa _______ metres.

Calcula l’àrea total d’un cilindre de _____ metres d’altura i _____ metres de radi de la base.

Calcula el volum d’un con si la generatriu fa _____ metres i l’angle que forma la generatriu amb l’altura fa _____º.

Calcula l’àrea lateral d’un tronc de con si l’ altura fa _____ metres i els radis de les bases fan respectivament _____ i _____ metres.

Una esfera de _____ metres de radi s’ introdueix en un cub de ______ metres d’aresta. Calcular el volum de l’espai que queda lliure en el cub.

INS _______________________


Funcions i gràfiques - 1 -

Funcions i gràfiques Continguts

1. Funcions

Concepte Taules i gràfiques Domini i recorregut

2. Propietats

Continuïtat Simetries Periodicitat Tendència

3. Monotonia

Taxa de variació mitjana Creixement y decreixement Màxims i mínims

Objectius

• Conèixer e interpretar les funcions i les diferents formes de representar-les.

• Reconèixer el domini i el recorregut d’una funció.

• Determinar si una funció es contínua o discontínua.

• Trobar la taxa de variació i la taxa de variació mitjana d’una funció en un interval.

• Determinar el creixement o decreixement d’una funció i trobar els seus màxims i mínims.

• Investigar el comportament a llarg termini d’una funció.

• Comprovar la simetria d’algunes funcions respecte l’origen i l’eix OY.

• Reconèixer si una funció és periòdica. Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Sota llicència Versió en català: Ramon Codorniu Torà Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________



Investiga Imagina que puges a una roda de fira que té un radi de 30 m i a més per arribar a la cabina has de pujar 5 m des del terra. La roda comença a girar. Dibuixa aquí les gràfiques corresponents

Com és la gràfica de la funció que representa l’altura a la que et trobes en relació a l’angle de gir?

Tu vas dintre la cabina taronja i uns amics dintre la verda, com serà la seva gràfica?

El llenguatge de les gràfiques De les diferents formes en què pot representar-se una funció, mitjançant un enunciat, una taula, una expressió algèbrica o una gràfica, aquesta última és la que ens permet veure d’una sola ullada el seu comportament global, d’aquí la seva importància. En aquest tema aprendràs a reconèixer e interpretar les seves característiques principals.

Clica per veure un vídeo sobre el tema


Abans de començar

angle

altura

angle

altura

INS _______________________



1. Funcions 1.a. Concepte de funció

Llegeix i completa el text:

Una funció es una ____________________ entre dos conjunts numèrics, de tal forma que a cada element del conjunt inicial li correspon ____________________________ del conjunt final.

Se relacionen així dues variables numèriques que solen anomenar-se x i y.

F: x →→→→ y=f(x)

� x és la variable ____________________________

� y és la variable ____________________________

A l’escena pots veure representada una funció extreta d’una informació gràfica.

El gràfic descriu el recorregut de la 9a Etapa de la Vuelta Ciclista 2007, indicant els Km totals i l’altitud en els punts quilomètrics principals.

Clica per continuar i obtenir una versió més simplificada de la gràfica.

A l’esquerra apareix la gràfica anterior traçada sobre uns eixos cartesians, per a simplificar-la s’han unit els punts principals mitjançant segments. Es tracta d’una funció que dóna l’altitud segons els Km recorreguts.

Observa els valors que pren i completa la taula de valors (pots arrossegar el punt vermell de l’escena per saber l’altura a cada punt).

Km 0 24 34 87 113 121 153 160

alt 740 1290 1020 1130 1882

CONTESTA RESPOSTA

Perquè una gràfica sigui d’una funció, quants valors de y li poden correspondre a cada valor de x?

Comprova-ho fent un exercici. Clica el botó


INS _______________________



1.b. Taules i gràfiques Per veure el comportament d’una funció, f: x → y, estudiem la seva representació gràfica sobre els eixos cartesians, a l’eix d’abscisses (OX) la variable _______________________ i a l’eix d’ordenades (OY) la variable _______________________; essent les coordenades de cada punt de la gràfica: (___, f(__)). A l’escena està representada la funció:

f(x)= –0,5x2+3x+3,5 Segueix els passos clicant a les fletxes i Comença per fer una taula de valors

x

f(x)

Hi ha uns punts que tenen especial interès, són els que la gràfica talla als eixos de coordenades. Per calcular-los:

� Tall amb l’eix OY: Els punts de l’eix d’ordenades tenen abscissa 0, n’hi ha prou en posar x=0 a la fórmula de la funció.

� Tall amb l’eix OX: Els punts de l’eix d’abscisses tenen y=0. Es resol l’equació f(x)=0 En el nostre exemple són:

x=0

f(x)=0

Es representen els punts obtinguts, x a l’eix d’abscisses (OX), f(x) a l’eix d’ordenades (OY). Una vegada representats els punts, com que x pot prendre qualsevol valor real, els unim.

Clica el botó


INS _______________________



En cada cas fes una taula de valors i representa els punts sobre els eixos de coordenades, seguint les instruccions de l’escena:

=)x(f

x f(x)

=)x(f

x f(x)

=)x(f

x f(x)


INS _______________________



1.c. Domini i recorregut Donada una funció f: x → y

� S’anomena domini de f __________________________________________________ S’ indica com Dom f. El domini està format per tant, pels valors de x per als quals existeix la funció, és a dir, per als quals hi ha un f(x).

� El recorregut és ________________________________________________________ això és el conjunt de les imatges. Es representa com Im f.

A l’escena de la dreta es veuen uns quants exemples de com calcular el domini d’algunes funcions, amb la seva ajuda completa:

Domini de f: _____________________________________

________________________________________________

Recorregut de f: ___________________________________

_________________________________________________

Domini de f: _____________________________________

________________________________________________

Recorregut de f: ___________________________________

_________________________________________________

Domini de f: _____________________________________

________________________________________________

Recorregut de f: ___________________________________

_________________________________________________

Domini de f: _____________________________________

________________________________________________

Recorregut de f: ___________________________________

_________________________________________________

INS _______________________



Resumeix els diferents casos que es poden presentar a l’hora de calcular el domini, atenent a la forma de l’expressió algebraica:

Expressió analítica Domini

Un polinomi

Un quocient

Una arrel quadrada

Clica el botó


Copia a continuació dos exercicis de cada tipus:


INS _______________________



EXERCICIS

1. De les següents gràfiques indica les que corresponen a una funció i les que no.

2. Fes una taula de valors, dibuixa els punts obtinguts i representa la funció.

a) f(x)=2x-3 b) f(x)=-x2+4x

x f(x)

c) 1x

x4)x(f

2 +=

x f(x)

x f(x)

•RECORDA Per fer una taula de valors, a partir de l’expressió d’una funció, substitueix a la fórmula la x pels valors desitjats, opera i calcula els corresponents de y=f(x). En general procura alternar valors positius i negatius. Dibuixa els punts (x,y) obtinguts, i uneix-los.

INS _______________________



EXERCICIS 3. Calcula el domini de les següents funcions.

a) b)

c) f(x)= x3-2x2+5x

d) f(x)=2x

x−

e) f(x)= 5x −

f) f(x)= x5 −

g) f(x)=4x

3

+

h) f(x)=x2

1

−


INS _______________________



2. Propietats de les funcions 2.a. Continuïtat

Intuïtivament una funció és contínua si es pot representar d'un sol traç sense aixecar el llapis del paper.

Quan una funció no es continua en un punto es diu que presenta una ________________ Amb l’ajuda de l’escena de la dreta completa la taula i dibuixa un exemple de cadascun dels casos:

Raons per les quals una funció no és continua en un punt:

Exemple Exemple

Exemple Exemple

Una funció y=f(x) és contínua en x=a si: • ______________________________________________

______________________________________________ • ______________________________________________

______________________________________________

INS _______________________



Clica el botó


La imatge adjunta representa el rellotge d’aigua del Museu dels Nens a Indianàpolis (Estats Units). El seu funcionament és el següent: a la columna de la dreta hi ha 60 boles que es van omplint d’aigua a poc a poc. Quan s’omple la que ocupa el pis 60 es buida de cop tota la columna i s’omple una de les boles de la columna de l’esquerra que té 12 boles. Com es pot suposar la columna de l’esquerra indica les hores i la de la dreta els minuts.

Indica si la funció que relaciona l’altura

de l’aigua a la columna de la dreta amb el temps transcorregut és contínua o no, i fes un esbós de l’aspecte que té la seva gràfica. (Analitza la situació només en l’interval de temps que transcorre des de que està buida fins que s’omple)

Indica si la funció que relaciona l’altura

de l’aigua a la columna de l’esquerra amb el temps transcorregut és contínua o no, i fes un esbós de l’aspecte que té la seva gràfica.

INS _______________________



En Joan té avui una excursió de l’escola. Com viu lluny normalment va amb bicicleta.

Només arribar a l’escola surten tots els alumnes caminant cap a l’estació de trens i allí esperen una estona a què arribi el tren. Pugen al tren i per fi arriben a la seva destinació. A sota pots veure dues gràfiques: una representa la distància que va recorrent en Joan des de casa seva respecte al temps transcorregut, i l’altra representa la velocitat a la que es desplaça, també respecte al temps transcorregut. Indica raonadament quina gràfica correspon a cadascuna de les dues situacions e indica en cada cas si la funció representada és contínua o no.

Indica si les gràfiques següents corresponen a una funció contínua o discontínua.


INS _______________________



2.b. Simetries La gràfica d’algunes funcions pot presentar algun tipus de simetria que si s’estudia prèviament facilita el seu dibuix.

� Una funció és simètrica respecte l’eix OY, si f(-x)= ____________ En aquest cas la funció s’anomena ____________.

� Una funció es simètrica respecte l’origen de coordenades quan f(-x)= ______ En aquest cas la funció s’anomena ____________.

Observa i manipula l’escena per reconèixer les gràfiques corresponents a cada tipus.

Clica el botó

per dibuixar unes gràfiques de funcions simètriques.

Funcions PARELLS: Funcions SENARS:


INS _______________________



2.c. Funcions periòdiques A la natura i en el teu entorn habitual hi ha fenòmens que es repeteixen a intervals regulars, com el cas de les marees, els pèndols i ressorts, el so... Les funcions que descriuen aquest tipus de fenòmens s'anomenen periòdiques.

A l’escena de la dreta tens un exemple de funció periòdica.

Un dipòsit s’omple i buida automàticament expulsant 6 litres d’aigua cada 5 minuts, seguint el ritme de la gràfica. Quan el dipòsit està buit comença a omplir-se, tarda un minut en fer-ho. Es manté ple 3,5 minuts i es buida en 0,5 minuts. Aquest procés es repeteix periòdicament.

CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Per conèixer el volum d’aigua que hi ha en el dipòsit a cada instant, quant temps necessitem observar el dipòsit?

Quina és la quantitat d’aigua al cap de 14 minuts?

Escriu l’expressió de f(x)

Regula tu mateix el dispositiu variant la quantitat d’aigua i el temps.

Clica el botó

per veure uns exercicis resolts de funcions periòdiques.

La funció de la imatge es periòdica. Calcula el seu període i el valor aproximat de la funció per a x= 146


Una funció és periòdica quan _________________________________

_____________________________________________________________

El període és ___________________________

f(x+període)=f(___)

INS _______________________



2.d. Tendència d’una funció De vegades allò que ens interessa d'una funció és el seu comportament a llarg termini, és a dir, els valors que pren la funció quan la x es fa cada cop més gran. Quan aquest comportament és clarament definit diem que la funció té una determinada tendència. A l'apartat anterior hem vist que algunes funcions presenten un comportament periòdic: repeteixen els seus valors a intervals regulars. Aquí anem a veure altres tipus de tendències. Observa l’escena de la dreta, tens un exemple d’una funció no periòdica. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quan diem que una funció té una asímptota horitzontal?

Quan diem que una funció té tendència lineal?

Quan diem que una funció té tendència quadràtica?

Com s’anomena la corba a la que es sembla?

Clica el botó


Indica a quin valor tendeix la funció de la gràfica quan x tendeix a infinit.

Indica a quin valor tendeix la funció de la gràfica quan x tendeix a infinit.


INS _______________________



3. Monotonia 3.a. Taxa de variació mitjana La taxa de variació o increment d’una funció és __________________________________ ___________________________________________________________________________

Més útil resulta calcular l’anomenada taxa de variació mitjana, que ens indica ___________________________________________________________________________

A l’escena de la dreta podem veure una gràfica que representa la distància en Km recorreguda per un ciclista en funció del temps transcorregut, en minuts. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES La taxa de variació entre dos instants és

TV[5, 12]=

TV[12, 15]=

TV[15, 21]=

TV[22, 30]=

Velocitat mitjana [15, 21]

Velocitat mitjana [22, 30]

Com és la gràfica en els intervals [5, 12], [19, 22] y [22, 30]?, Per què?

Si traslladem a qualsevol funció la idea de velocitat mitjana d’aquesta gràfica, què obtenim?

Clica el botó


Quan la gràfica de la funció és una recta, la TVM es constant. Escriu a continuació quatre exercicis i comprova la solució a l’escena.

TVM [ ____ , ____ ]= TVM [ ____ , ____ ]= F(x)=

TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]=

TVM [ ____ , ____ ]= TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]= f(x)=

TVM [ ____ , ____ ]=


TVM[x1,x2]=----------------------

TV[x1,x2]=

INS _______________________



3.b. Creixement i decreixement Una característica de les funcions que es pot visualitzar fàcilment en les gràfiques és la monotonia. Si quan augmentem el valor de x augmenta el valor de y=f(x), la gràfica “puja” i es diu que la funció és _________________________. Si pel contrari quan augmentem x disminueix y, la gràfica “baixa”, i la funció _____________.

A l’escena de la dreta tenim una funció que presenta diferents situacions.

Segueix els passos clicant a les fletxes i


Com és la funció si x<10?

Com és es la funció si x>15 ?

Com és la funció si 10<x<15 ?

Si la funció és creixent, com és la TVM?

Si la funció és decreixent, com és la TVM?

Clica el botó


Les gràfiques representen com es van omplint els diferents recipients, quina gràfica correspon a cadascun?


Donats dos punts qualssevol d’un interval:

• Si x1<x2 aleshores f(x1) < f(x2), la funció és ____________________

• Si x1<x2 aleshores f(x1) > f(x2), la funció és ____________________

INS _______________________



3.c. Màxims i mínims

Donada una funció contínua en un punt x=a, es diu que presenta un màxim relatiu, si a l'esquerra d'aquest punt la funció és ____________ i a la dreta la funció és _________________. Es parla de màxim absolut en x=a si _____________________________________ __________________________________________________________________________

Si, pel contrari, la funció és ______________ a l'esquerra i ________________ a la dreta hi ha un mínim relatiu. Es parla de mínim absolut en x=a si _____________________________________ __________________________________________________________________________

L’escena de la dreta il·lustra aquests conceptes. Segueix els passos clicant a les fletxes i


On creix la funció?

On decreix la funció?

On s’assoleix un màxim relatiu?

On s’assoleix un mínim relatiu?

Com és f(x) al voltant de x=6? Per què?

Com és f(x) al voltant de x=20? Per què?

Clica el botó

per veure un exercici resolt.


Mínim absolut

Màxim absolut

INS _______________________




Funcions, domini i recorregut

Una funció és El domini d’una funció és

El recorregut d’una funció és

x és la variable y és la variable

La gràfica d’una funció és

Continuïtat

Una funció és contínua És discontínua en un punt si

Una funció és periòdica si

En aquest cas es compleix que f(x)=

Simetries

Una funció és parell si és simètrica respecte a

Es compleix que f(-x)=

Una funció és senar si és simètrica respecte a

Es compleix que f(-x)=

Taxa de variació

La taxa de variació d’una funció entre dos punts és

La taxa de variació mitjana en un interval és

Monotonia

Una funció és creixent en un interval, quan donats dos punts qualssevol del mateix

•

Una funció és decreixent en un interval, quan donats dos punts qualssevol del mateix

•

Extrems relatius

Una funció contínua en un punt x=a, presenta un màxim relatiu, si a l’esquerra d’aquest punt és i a la dreta és

Una funció contínua en un punt x=a, presenta un mínim relatiu, si a l’esquerra d’aquest punt és i a la dreta és

Tendència

Una funció presenta tendència lineal si Una funció presenta tendència quadràtica si


INS _______________________



Per practicar

Practica ara resolent diferents EXERCICIS. A les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

Característiques i propietats de les funcions Interpretació de gràfiques

Completa l’enunciat de cada EXERCICI amb les dades del que t’apareix per pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si l’has fet bé. Característiques i propietats de les funcions Escriu la fórmula (Fes al menys tres exercicis diferents) 1. Considera la funció que _________________

_____________________________________. Escriu la seva expressió analítica i calcula les imatges de __, __ i __. Calcula també els punts de tall amb els eixos.

2. Considera la funció que _________________ _____________________________________. Escriu la seva expressió analítica i calcula les imatges de __, __ i __. Calcula també els punts de tall amb els eixos.

3. Considera la funció que _________________ _____________________________________. Escriu la seva expressió analítica i calcula les imatges de __, __ i __. Calcula també els punts de tall amb els eixos.

Calcular dominis 4. Calcula el domini de les funcions de las imatges:

INS _______________________



Continuïtat 5. Estudia la continuïtat de les funcions de las imatges:

Parell o senar? 6. Estudia la simetria de les funcions de las imatges:

INS _______________________



Funcions periòdiques (Fes tres exercicis diferents)

7. A cada cas la gràfica representa un tram o període d’una funció periòdica, dibuixa uns altres trams, troba el període i calcula la imatge del punt d’abscissa que s’indica:

Període = f( ) = Període = f( ) = Període = f( ) =

Taxa de variació (Fes dos exercicis diferents, un amb rectes i l’altre amb corbes)

8. Calcula les TVM de les funcions corresponents a les gràfiques en els intervals [0,4] y [2,4].

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =

TVM [0,4] =

TVM [2,4] =


INS _______________________



Interpretació de gràfiques Viatge per l’autovia 9. El gràfic mostra com varia la benzina que hi ha

al meu cotxe durant un viatge de 520 Km per una autovia.

a) Quanta benzina hi havia després de 240

Km? En el dipòsit caben 40 litres, quan hi havia més de mig dipòsit?

b) A quantes benzineres em vaig aturar? En quina benzinera vaig posar més benzina? Si no hagués parat a cap, on m’hauria quedat sense benzina?

c) Quanta benzina vaig gastar en els primers 200 Km? Quanta en tot el viatge? Quanta benzina consumeix el cotxe cada 100 Km en aquesta autovia?

Comparant el creixement 10. La Maria i en Jordi són dues persones més o

menys normals. A la gràfica pots comparar com ha variat el seu pes en els seus primers 20 anys.

a) Què pesava en Jordi als 8 anys?, i la Maria

als 12? Quan va superar en Jordi els 45 Kg?

b) A quina edat pesaven tots dos igual? Quan pesava més en Jordi que la Maria? I la Maria més que en Jordi?

c) Quina va ser la mitjana en Kg/any d’augment de pes dels dos entre els 11 i 15 anys? En quin període creix cadascun més ràpidament?

INS _______________________



Dos cotxes 11. El gràfic dóna l’espai recorregut per dos cotxes

que realitzen el mateix trajecte.

a) Quina és la distància recorreguda? Si el

primer cotxe va sortir a les 10:00, a quina hora va sortir el segon? Quant temps li ha costat a cada cotxe fer el recorregut?

b) Quant temps i on va estar parat cada cotxe? En quin Km el segon cotxe avança al primer? I el primer al segon?

c) Quina va ser la velocitat mitjana de cada cotxe en el total del trajecte? En quin interval de temps fou més gran la velocitat de cada cotxe?

Les marees 12. El gràfic representa l’altura del nivell del mar al

port de A Corunya durant el dia 17 de gener de 2008.

a) A quina hora s’assoleixen els màxims?, i els

mínims? Quina altura assoleix el nivell del mar en cada cas?

b) En quins intervals del dia la funció és creixent, és a dir puja la marea? Entre quines hores el nivell del mar es manté per sobre dels 300 cm? I per sota dels 150 cm?

c) Quant temps passa entre dues marees altes seguides? I entre dues marees baixes seguides? A quina hora del dia següent es produirà la següent plenamar?

INS _______________________



Tren de rodalies 13. Vila Baixa i Vila Alta disten 100 Km, el tren que

uneix les dues ciutats realitza el trajecte en 1h 15 min, incloses les parades en els pobles Vint, Seixanta i Vuitanta, situats a aquests Km respectivament de Vila Baixa.

a) D’acord amb el gràfic, fes un quadre horari.

b) A la temporada turística es pretén ampliar el servei amb més sortides des de Vila Baixa a totes les hores en punt i de forma que l’últim tren surti de Vila Alta a les 15:30. Quant trens seran necessaris per aconseguir-ho? Fes un gràfic dels trajectes.

c) Com només hi ha una via, en ampliar el servei, a quina distància de Vila Baixa la companyia de ferrocarrils ha de preveure el creuament del tren que va amb el que torna? Quin serà ara l’horari?

Gràfica i fórmula 14. La gràfica següent correspon a la funció:

f(x)=x3-6x2+9x

Calcula : a) El domini. b) Els punts de tall amb els eixos.

c) Els valors de x per als quals la funció és positiva i negativa.

d) Els intervals de creixement i

decreixement. e) Els màxims i mínims. f) Quants punts d’inflexió hi ha? g) Els intervals de concavitat i

convexitat.

INS _______________________



15. La gràfica següent correspon a la funció:

f(x)= x

1x2 +−

Calcula : a) El domini. b) Els punts de tall amb els eixos.




convexitat.

16. La gràfica següent correspon a la funció:

f(x)= 1x

x82 +

Calcula : a) El domini. b) Els punts de tall amb els eixos




convexitat.


INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cadascun dels enunciats que va proposant l’ordinador i resol, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Calcula la imatge de x = ____ en la funció de

la imatge:

Calcula el domini de la funció de la imatge:

Quin dels punts següents: ( , ) ( , )

( , ) no pertany a la gràfica de la funció

f(x)= ________________ ?

Calcula els punts de tall amb els eixos de

coordenades de la recta y= _____________

Si y = f(x) és una funció _____ i f( )= __,

quant val f(___)?

La gràfica mostra el primer tram d’una funció

periòdica de període ____ i expressió

f(x)= ________ (si __≤x<__).

Calcula f(___).

INS _______________________



Modificant el control a de la figura aconsegueix que la funció que apareix en aquesta sigui contínua. Quan ho hagis aconseguit escriu el valor que té a en aquest moment.

Calcula la TVM[ , ] de la funció

f(x) =

Determina l’interval en què la funció de la

gràfica és ____________.

Un ciclista surt d’un punt A fins un altre B

distant _____ a una velocitat constant de

__________. A la vegada una altre ciclista

surt de B cap a A, a ________. A quants Km

del punt A es creuen a la carretera?

(Arrodoneix fins a les dècimes)

INS _______________________


Funcions elementals - 1 -

Funcions elementals

Continguts

1. Funcions polinòmiques Funció de proporcionalitat directa Funcions afins Funcions quadràtiques

2. Altres funcions

Funció de proporcionalitat inversa Funció exponencial Funcions definides a trossos Funció valor absolut

Objectius

• Reconèixer i distingir algunes de les funcions més habituals.

• Utilitzar algunes funcions no lineals: quadràtica, de proporcionalitat inversa i exponencial.

• Reconèixer les característiques més importants d’aquests tipus de funcions.

• Representar i interpretar funcions "definides a trossos".

• Buscar i interpretar funcions de tots aquests tipus en situacions reals. Autor: Joan Carles Fiol Colomar Sota llicència Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________

QUADERN Núm. 10 NOM: ______________________________ DATA: / /


Llegeix i observa atentament l’escena inicial i després …

Clica el botó

per realitzar unes activitats preparatòries

Hauràs vist tres tipus de funcions i les seves respectives gràfiques. Escriu el nom a sota de cada una de les següents:

Funció Funció Funció


1. Funcions polinòmiques 1.a. Funció de proporcionalitat directa

Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica d’aquest apartat: CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Quin altre nom rep la funció de proporcionalitat directa?

Què és la constant de proporcionalitat?

L’expressió d’aquestes funcions és de la forma:

I la seva representació gràfica?

La constant de proporcionalitat, també s’anomena …

Com influeix m sobre la gràfica de la funció?

Després de llegir detingudament i practicar amb l’escena de Les rebaixes, completa de la mateixa forma la taula següent i representa la corresponent funció:

Abans de començar

INS _______________________



Rebaixes 40%

Preu inicial x

Preu final y y/x

100,00 €

95,50 €

45,00 €

115,25 €

33,51 €

y=

Clica el botó per fer uns exercicis.

Se’t proposen dos tipus d’exercicis: en el primer, has de determinar si una funció és lineal o no, i en el segon, has de trobar l’equació d’una funció lineal a partir de la seva gràfica. Completa’n aquí dos de cada tipus:

Tipus

Tipus

m= _____ y=

m= _____ y=


INS _______________________



1.b. Funcions afins Llegeix detingudament el text de la pantalla i també l’exemple de l’escena i després completa: Una funció afí és com una funció _________ a la qual se li han aplicat certes ___________ ___________, encara que _____ representa a dues magnituds ____________ proporcionals.

L’equació de la funció afí és:

La seva gràfica és una __________________ que talla l’eix OY en el punt de coordenades _______. El coeficient n s’anomena _____________________________.

El coeficient m s’anomena ______________ i ens indica la inclinació de la recta, essent creixent si _______ i decreixent si _______.

Què passa quan m=0? __________________________________________________

Clica el botó


Se’t proposen dos tipus d’exercicis: en el primer, has de resoldre un problema sobre funcions afins, i en el segon, has de trobar l’equació d’una funció afí a partir de la seva gràfica. Completa aquí els següents:

EXERCICI Una agència de lloguer de cotxes cobra per un determinat model _____€ al contractar i ____€ per km recorregut. En una altra agència cobren ____€ al contractar i ____€ per km recorregut. Analitza en funció dels km recorreguts quina agència és més avantatjosa.

EXERCICI

Determina el pendent i l’equació de les funcions afins:

m= _____ n= y=

m= _____ n= y=


INS _______________________



1.c. Funcions quadràtiques Llegeix el text i completa: Una funció quadràtica és la que ve donada per un ______________________________, la seva gràfica s’anomena _____________ i la seva expressió algebraica és:

Per entendre el significat de cada un dels coeficients de la funció quadràtica, segueix els passos de l’escena de la dreta i, després de practicar amb ella, completa la taula següent amb les dades i gràfiques corresponents:

Cas y=a x2 És una funció que sempre passa per __________ i és una funció ____________ respecte l’eix ___________ La seva forma depèn del signe de a:

a<0

a=0

a>0

La seva obertura també depèn de a:

a>0 i |a| petit a>0 i |a| gran a<0 i |a| petit a<0 i |a| gran

Diem que l’origen és el _________ de la paràbola, el qual, si a<0 representa un __________ i si a>0 representa un ____________ de la funció.

Cas y=a x2+c El vèrtex és el punt _______ Els punts de tall amb l’eix X depenen del signe de a i de c:

a>0 i c>0 a>0 i c<0 a<0 i c>0 a<0 i c<0

En resum, el significat del coeficient a és el mateix del primer cas i el coeficient c provoca sobre la gràfica de la funció un desplaçament vertical cap amunt si ______ i cap avall si ______.

INS _______________________



Cas y=a x2 + b x + c La informació del coeficient a és la mateixa. El coeficient c només ens informa del _______________________________________. El coeficient b és una mesura del desplaçament ____________ de la paràbola, i permet conèixer l’abscissa del vèrtex: x= _____

y=___x2+___x+___

eix de simetria: x=

y=___x2+___x+___

eix de simetria: x=

Clica el botó


Després de practicar, resol aquests quatre exercicis: (Els dos primers són els que apareixen amb els nombres 2 i 3).

Dibuixa la gràfica de la funció y=_____________

Passa pel punt: Talla l’eix X a: El vèrtex és:

Dibuixa la gràfica de la funció y=_____________

Passa pel punt: Talla l’eix X a: El vèrtex és:

(Els dos següents exercicis són similars al núm. 4 de l’escena.)

Associa cada gràfica amb la seva equació: y=-2 x2 - 6 y= x2 + 2 y= 0,5 x2 - 6

y= 2 x2 + 2 x - 6 y=-0,5 x2 +x + 2 y=- x2 + x

INS _______________________




EXERCICIS 1. Esbrina si les funcions definides per les dades de les taules adjuntes són o no són

funcions lineals. En cas afirmatiu, calcula el seu pendent i dibuixa la seva gràfica:

a)

b)

2. Determina el pendent i l’equació de cada funció la gràfica de la qual és:

a)

b)

3. Una agència de lloguer de cotxes cobra per un determinat model 15€ al contractar i 0,50€ per km recorregut. En una altra agència cobren 30€ al contractar i 0,25€ per km recorregut. Analitza, en funció dels km recorreguts, quina agència és més avantatjosa.

4. Determina l’equació de cada una de les funcions corresponents a les gràfiques:

a)

b)

5. Dibuixa les gràfiques de les funcions:

a) 2

61

xy−= b) 5

72 2 += xy c) 1582 ++= xxy

INS _______________________



2. Altres funcions 2.a. Funció de proporcionalitat inversa Llegeix a la pantalla l’explicació i practica amb l’escena, després contesta a les qüestions: CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES

Què és la constant de proporcionalitat?

L’expressió d’aquestes funcions és de la forma:

La seva representació gràfica, és una corba anomenada:

La funció de proporcionalitat inversa és discontínua, en quin punt i per què?

Com influeix el valor de k sobre la gràfica?

Quin signe té la constant de proporcionalitat k en cada una de les gràfiques?

Què caracteritza les asímptotes? Marca les asímptotes en una de les dues gràfiques anteriors.

Clica el botó


Després de practicar, completa aquests sis exercicis: Determina l’equació de les gràfiques:

x·y = x·y = x·y =

INS _______________________



Dibuixa les gràfiques de les funcions:

x·y=10 x·y= -12 x·y=5


2.b. Funció exponencial

Llegeix a la pantalla l’explicació teòrica i completa la taula amb verdader o fals i, en aquest cas, escriu l’expressió verdadera:

V-F En una funció exponencial, la variable està a l’exponent.

La base de la funció pot ser qualsevol nombre real.

La seva equació és de la forma y=k·ax

La constant k allunya o apropa la gràfica l’eix Y.

L’eix de abscisses és una asímptota.

La gràfica de la funció exponencial mai talla els eixos de coordenades.

A sota de cada gràfica d’aquestes funcions exponencials, indica si la constant k és més gran o més petita que zero i si la base a és major o menor que 1:


INS _______________________



2.c. Funcions definides a trossos Funcions definides a trossos són funcions que venen definides per _____________ expressions algebraiques segons els valors de x. A l’escena es poden veure exemples d’aquest tipus de funcions. Practica amb alguns exemples fins que entenguis el concepte. Ara completa la taula de valors de la funció següent:

x f(x) -5 -4 1 3 5

5

Clica el botó


Per cada funció, escriu les fórmules, calcula les imatges dels valors indicats a les escenes i representa-les:

=)x(f

x f(x)

=)x(f

x f(x)


INS _______________________



2.d. Funció valor absolut Llegeix el text de pantalla i de l’escena i després completa: El valor absolut d’un nombre representa la seva distància ____________ i la funció valor absolut és la que assigna a cada nombre aquesta ___________. El valor absolut d’un número és ell mateix si aquest és ___________ i el seu ___________ si és negatiu. És un tipus de funció ______________________. Ve representada per dues ______________ de pendents ____ i ____, que s’uneixen a _____________________.

Escriu aquí la seva equació i la seva representació gràfica: y=

Clica el botó


Dibuixa la gràfica de quatre funcions i la del seu valor absolut:

f(x)= f(x)=

f(x)= f(x)=

INS _______________________




EXERCICIS

6. Esbrina si la base i l’altura de tots els rectangles la superfície dels quals mesura 1200m2 són magnituds inversament proporcionals. En cas afirmatiu, escriu l’equació de la funció que les relaciona i dibuixa la seva gràfica.

7. Determina l’equació de la funció la gràfica de la qual és:

a)

b)

8. Representa la gràfica de les funcions: a) x · y = 6 b) x · y = -5

9. Representa la gràfica de les funcions definides a trossos:

a)

≥−<≤−+−−≤+

=2x si ,

si si ,

)(250

221

2250

xxx

xxxf

b)

>−≤≤−−

−<−−=

3x si si si ,

)(2

323

2150

xx

xxxf

10. Dibuixa la gràfica que correspon al valor absolut de cada una de les funcions:

f(x)=-2x+3 f(x)=x2-9 x · y=4

INS _______________________




Funcions lineals Funcions afins Equació: y= Equació: y=

La gràfica és una __________ que: - passa per __________ - creix si ______ i decreix si ______ - és horitzontal si ______

La gràfica és una __________ que: - passa pel punt ________ - creix si ______ i decreix si ______ - és horitzontal si _______

m és el ____________ que coincideix amb el _________ entre __________ i __________ de qualsevol punt de la recta. És una funció que sempre relaciona dues magnituds ______________ ____________

m és el ____________ que coincideix amb el __________ entre la diferència de les ___________ i la diferència de les ___________ de dos punts qualssevol de la recta.

Funcions quadràtiques Funció de proporcionalitat inversa Equació: y= Equació: y= o

La gràfica és una __________ que: - passa pel punt _______ - és oberta cap amunt si ____ i cap avall si ____ - més tancada com més _______ és a en __________

La gràfica s’anomena ______________.

Les seves branques estan en els quadrants 1r i 3r si _______ i en els quadrants 2n i 4t si _______.

El seu eix de simetria és x=

Els punts de ______ amb l’eix X, s’obtenen igualant l’equació a _____.

Té dues ________________. És _________ respecte al __________ de les seves asímptotes. A més, en aquest mateix punt la funció és _______________.

Funcions exponencials Funcions definides a trossos Equació: y= Equació:

Només està definida per valors de a més grans que _____ i diferents de ____. La constant k no pot ser ______. La funció exponencial és:

Són funcions que estan __________ per __________ equacions en diferents zones del seu ____________.

creixent si __________________ decreixent si ___________________

Talla l’eix Y en el punt _______ i té una ______________.

Són utilitzades per explicar les _____________ de les funcions i per ___________ situacions en què certa __________ canvia bruscament la forma de comportar-se.

Funció valor absolut

Equació: y= =

És un exemple de funció ________________________


INS _______________________



Per practicar

Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de:

Reconèixer funcions i els seus elements (f. polinòmiques) Reconèixer funcions i els seus elements (altres funcions) Problemes pràctics amb funcions polinòmiques Problemes pràctics amb altres funcions

Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després el resols. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Reconèixer funcions i els seus elements (f. polinòmiques) Equació a partir de la gràfica

1. Determina l’equació de la funció de la gràfica, indicant si es tracta d’una funció lineal o afí.

Dibuixar rectes

2. Dibuixa la gràfica de la funció l’equació de la qual és

y =

Punt de tall

3. Troba les coordenades del punt de tall de les gràfiques de les funcions les equacions de les quals són:

f: y=

g: y=

Després dibuixa-les per comprovar-ho.

INS _______________________



Rectes paral·leles

4. Troba l’equació de la funció la gràfica de la qual és paral·lela a la funció

y=

i passa pel punt P( , )

Equació amb dos punts

5. Troba l’equació de la funció la gràfica de la qual passa pels punts

P( , ) i Q( , )

Dibuixar paràboles

6. Dibuixa la gràfica de la funció:

y=

Associar paràboles

7. Associa cada gràfica amb la seva equació:

y=

y=

y=

INS _______________________



Reconèixer funcions i els seus elements (altres funcions) Associar hipèrboles


x · y=

x · y=

x · y=

Inversament proporcionals

9. Els nombres de la taula adjunta corresponen a quantitats de dues magnituds inversament proporcionals. Emplena els forats que queden i escriu l’equació de la funció que relaciona aquestes dues magnituds.

x y

Associar exponencials


y=

y=

y=

Dibuixar a trossos

11. Dibuixa la gràfica de la funció

y=

INS _______________________



Valor absolut

12. La gràfica de la imatge correspon a una funció y=f(x). Dibuixa la gràfica de la funció y=|f(x)|.

Problemes pràctics amb funcions polinòmiques Proporcionalitat directa

13. En una gasolinera el preu d’un litre és de _____€. Un dia decideixen apujar el preu un ____%. Uns dies després decideixen incrementar el preu un altre ____% sobre el preu anterior. Calcula el preu final i el percentatge d’augment sobre el preu inicial.

14. El preu de cert article en un centre comercial és de _____€. En les rebaixes de gener decideixen aplicar-li un descompte del ___%. En arribar febrer encara queden existències, i decideixen aplicar-li un nou descompte del ____% sobre el preu que tenia al gener. Calcula el preu final i el percentatge de descompte sobre el preu inicial.

Problemes telefònics

15. En Joan vol instal·lar el telèfon a casa i està estudiant les ofertes de dues companyies A i B. La companyia A li ofereix un contracte amb una quota mensual fixa de ___€ més una tarifa de _____€ per minut. La companyia B li ofereix un contracte sense quota fixa i una tarifa de _____€ per minut. Ajuda’l a decidir-se.

INS _______________________



16. Si una companyia de telèfons cobra _______€ per parlar durant ___ minuts i _______€ per parlar durant ___ minuts, calcula la quota fixa mensual que cobra, així com el cost per minut. Troba també el cost d’una trucada de ____ minuts.

Punt de no retorn

17. Una avioneta té combustible suficient per 4 hores, viatjant a una velocitat constant de _____ km/h. En enlairar-se, el pilot observa que hi ha un vent a favor que permet volar a _____ km/h amb la mateixa despesa, però ha de tenir en compte que a la tornada només podrà anar a _____ km/h. Quina és la distància màxima a la que pot allunyar-se?

Àrea màxima

18. Calcula les dimensiones del rectangle d’àrea màxima el perímetre del qual és igual a ______ metres.

INS _______________________



Problemes pràctics amb altres funcions Velocitat-temps

19. Un mòbil recorre un trajecte de _____ km a velocitat constant. Escriu l’equació de la funció que relaciona la velocitat del trajecte en funció del temps emprat. Després calcula el temps invertit en recórrer el trajecte si la velocitat és de _____ km/h i la velocitat a la que es viatja si el temps invertit és de ___ hores.

Omplint un dipòsit

20. Una aixeta amb un cabal de ____ litres per minut tarda ____ minuts en omplir un dipòsit. Troba l’equació de la funció que relaciona el temps que tarda en omplir-se el dipòsit amb el cabal de l’aixeta. Dibuixa la seva gràfica i calcula el temps que tardaria en omplir-se si el cabal fos de ____ litres per minut.

La inflació

21. L’IPC (Índex de Preus al Consum) és una mesura percentual de la variació mitjana dels preus d’un any a l’altre. Si l’IPC es manté constantment igual a _____% durant ___ anys, un producte que inicialment valia _____ €, quin preu mitjà tindrà al cap d’aquests anys?

INS _______________________



Segona mà

22. Hem comprat un cotxe per ________ €. Si el preu de venda en el mercat de segona mà es deprecia un ___ % anual, calcula el valor del cotxe al cap de ___ anys.

Escalfant aigua

23. Llegeix atentament la situació que es descriu a sota i troba l’equació de la funció que la descriu. Després dibuixa la seva gràfica i troba: 1) quant es tarda en aconseguir una temperatura de ___ºC 2) quina temperatura s’aconsegueix al cap de ____ minuts.

Tenim un bloc de gel a ____ºC de temperatura. El posem a escalfar en un recipient i tarda ____ minuts en aconseguir els 0ºC. Es manté ____ minuts a aquesta temperatura fins que es liqua totalment. Després tarda ____ minuts a aconseguir l’ebullició a 100ºC i altres 10 minuts en evaporar-se completament, temps durant el qual es manté la temperatura a 100ºC.

Paquets per correu

24. La gràfica adjunta descriu el cost d’enviar un paquet per correu en funció del pes d’aquest paquet. Escriu la funció corresponent a aquesta gràfica. Esbrina quant costa enviar un paquet de ____ kg.

INS _______________________



Autoavaluació

Completa aquí cada un dels enunciats que van apareixent a l’ordinador i resol-lo, després introdueix el resultat per comprovar si la solució és correcta.

Quin és el pendent de la recta de la gràfica?

Calcula l’equació de la recta paral·lela a la recta y = que passa pel punt ( , ).

Quina és l’equació de la recta que passa pels punts A( , ) i B( , )?

Calcula les coordenades del punt de tall de les rectes:

r: y= s: y=

Calcula el vèrtex de la paràbola

y =

INS _______________________



Calcula els punts en què la paràbola

y =

talla els eixos de coordenades.

Troba l’equació de la funció de proporcionalitat inversa la gràfica de la qual passa pel punt P( , ). Dibuixa també la gràfica.

Troba l’equació de la funció exponencial de la figura amb ajuda del punt que està marcat.

Posem un capital de ____________€ a un interès compost del ____%. A quant arribarà al cap de ___ anys?

(Arrodoneix a euros)

Si f(x)=

Calcula |f( )|.

INS _______________________



Per practicar més

1. Determina l’equació de la funció de la gràfica adjunta, indicant si es tracta d’una funció lineal o afí.

2. Dibuixa la gràfica de la funció

y=-2x+5

3. Troba les coordenades del punt de tall de les rectes d’equacions:

y=x + 9 i y=3 x + 13

4. Troba l’equació de la funció la gràfica de la qual és paral·lela a la de la funció y=4 x–2 i passa pel punt P(-1,4).

5. Troba l’equació de la funció la gràfica de la qual passa pels punts

P(-2,7) i Q(-1,4)

6. Dibuixa la gràfica de la funció y=x2-1.


a) y=-0.2x2+2x+2

b) y=-3x2-6

c) y=x2+2

8. Els nombres de la taula adjunta corresponen a quantitats de dues magnituds inversament proporcionals. Emplena els forats que queden i escriu l’equació de la funció que relaciona aquestes dues magnituds.


a) x·y=-60

b) x·y=-30

c) x·y= 5


a) y = -10x

b) y = 0,5x

c) y = 5x

11. Dibuixa la gràfica de la funció:

−>−≤−−

=1

15

xxx

y si 4 si

12. La gràfica adjunta correspon a una funció y=f(x). Dibuixa la gràfica de la funció y=|f(x)|

13. En una gasolinera el preu d’un litre de gasolina és de 1,24€. Un dia decideixen apujar el preu un 1,66%. Uns dies després decideixen incrementar el preu un altre 3,18% sobre el preu anterior. Calcula el preu final i el percentatge d’augment sobre el preu inicial.

INS _______________________



14. El preu de cert article en un centre comercial és de 601€. En les rebaixes de gener decideixen aplicar-li un descompte del 13%. En arribar febrer encara queden existències i decideixen aplicar-li un nou descompte del 11% sobre el preu que tenia al gener. Calcula el preu final i el percentatge de descompte sobre el preu inicial.

15. Si una companya de telèfons cobra 12,14€ per parlar durant 2 minuts i 12,70€ per parlar durant 10 minuts, calcula la quota fixa mensual que cobra, així com el cost per minut. Troba també el cost d’una trucada de 22 minuts.

16. Una avioneta té combustible suficient per 4 hores, viatjant a una velocitat constant de 270 km/h. En enlairar-se, el pilot observa que hi ha un vent a favor que permet volar a 318 km/h amb la mateixa despesa, però ha de tenir en compte que a la tornada només podrà anar a 222 km/h. Quina és la distància màxima que pot allunyar-se?

17. Calcula les dimensiones del rectangle d’àrea màxima el perímetre del qual és igual a 436 metres.

18. Un mòbil recorre un trajecte de 265 km a velocitat constant. Escriu l’equació de la funció que relaciona la velocitat del trajecte en funció del temps emprat. Després calcula el temps invertit en recórrer el trajecte si la velocitat és de 50 km/h i la velocitat a la que es viatja si el temps invertit és de 8 hores.

19. Una aixeta amb un cabal de 7 litres per minut tarda 15 minuts en omplir un dipòsit. Troba l’equació de la funció que relaciona el temps que tarda en omplir-se el dipòsit amb el cabal de l’aixeta. Dibuixa la seva gràfica i calcula el temps que tardaria en omplir-se si el cabal fos de 14 litres per minut.

20. L’IPC (Índex de Preus al Consum) és una mesura percentual de la variació mitjana dels preus d’un any a l’altre. Si l’IPC es manté constantment igual a 1,9% durant 5 anys, un producte que inicialment valia 655€, quin preu tindrà al cap d’aquests anys?

21. Hem comprat un cotxe per 17739€. Si el preu de venda en el mercat de segona mà es deprecia un 14% anual, calcula el valor del cotxe al cap de 11 anys.

22. Tenim un bloc de gel a -24ºC de temperatura. El posem a escalfar en un recipient i tarda 10 minuts en aconseguir els 0ºC. Es manté 6 minuts a aquesta temperatura fins que es liqua totalment. Després tarda 7 minuts en aconseguir l’ebullició a 100ºC i altres 10 minuts en evaporar-se completament, temps durant el qual es manté la temperatura constant a 100ºC. Troba l’equació que relaciona la temperatura de l’aigua en el recipient amb el temps transcorregut i dibuixa la seva gràfica. Després calcula quant es tarda en aconseguir una temperatura de 25ºC i quina temperatura s’aconsegueix al cap de 25 minuts.

23. La gràfica adjunta descriu el cost d’enviar un paquet per correu en funció del pes d’aquest paquet. Escriu la funció corresponent a aquesta gràfica i esbrina el preu d’enviar un paquet de 17 kg.

INS _______________________


Estadística - 1 -

Estadística

Continguts

1. Estadística descriptiva Població i mostra Variables estadístiques Gràfics variables qualitatives Gràfics variables quantitatives discretes Gràfics variables quantitatives contínues

2. Mesures de centralització

Mitjana, moda i mediana Evolució de la mitjana Evolució de la mediana Mitjana i mediana comparades

3. Mesures de posició

Quartils i percentils Diagrames de caixa i bigotis

4. Mesures de Dispersió

Desviació típica i recorregut Calcula les mesures de dispersió La mitjana i la desviació típica

5. Representativitat de les mostres

Mostreig estratificat Mostreig aleatori

Objectius • Distingir els conceptes de població i mostra.

• Diferenciar els tres tipus de variables estadístiques.

• Fer recomptes i gràfics.

• Calcular i interpretar les mesures estadístiques de centralització i de posició.

• Calcular les principals mesures de dispersió.

• Entendre la importància de l’elecció de la mostra per a què sigui representativa.

Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Sota llicència

Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________


Estadística - 2 -

Un joc per començar Ves clicant les peces adossades al forat per desplaçar-les i així desfer el puzle. Després el reconstrueixes.

També pots veure un vídeo clicant a la icona

Clica


1. Estadística descriptiva 1.a. Població i mostra.

Població és ___________________________________________________ sobre el qual és fa un estudi estadístic.

La mostra és_______________________________________________________________, per això la propietat més important de les mostres és la seva ________________________.

El procés seguit en l’extracció de la mostra s’anomena ___________________.

En l’escena adjunta tenim 625 petits quadrats que representen als alumnes d’un institut fictici. Si vas fent clic en els quadradets, aniràs seleccionant part dels alumnes. Contesta:

a. Quina és la població? ____________________________________________________ b. Quina és la mostra? _____________________________________________________ c. Com s’anomena el procés en el qual es pregunta a tota la població? ______________

Clica


1.b. Variables estadístiques. La característica que s’estudia en una població és la variable estadística. Completa la taula següent amb les característiques dels diferents tipus de variables:

Tipus de variables estadístiques

Qualitatives

Discretes Contínues

Quantitatives

A l’escena de la dreta tens exemples de cada tipus de variable estadística.

Clica en el botó


Completa la taula amb els exemples: Qualitatives Quantitatives Discretes Quantitatives Contínues


Abans de començar

INS _______________________


Estadística - 3 -

1.c. Gràfics en variables qualitatives El diagrama de sectors és el més indicat per aquest tipus d’informació. El percentatge de dades de cada valor en una mostra es correspon amb el mateix percentatge de sector d’un cercle.

Així, per exemple, si les dades són A, A, A, A, A, B, B, B, C, C, completa la taula amb les dades corresponents:

xi Freqüència Percentatge Angle

A

B

C

Amb l’ajuda de l’escena de la dreta pots fer un exercici sobre representació gràfica de variables estadístiques qualitatives. L’exercici simula que tenim una població de 30 alumnes i cada un d’ells tria un color. Clicant a Genera tindrem els 30 colors escollits aleatòriament, clica ajuda i llegeix com l’escena et facilita el recompte i completa la taula, comprovant que és correcte el teu recompte. A continuació clica el botó de diagrames per veure els gràfics, i dibuixa’ls en el lloc corresponent.

Colori Freqüència D. de columnes D. de sectors

Vermell

Verd

Blau

Groc

Turquesa

Clica en el botó


Clica


INS _______________________


Estadística - 4 -

1.d. Gràfics en variables quantitatives discretes Diagrama de barres. N’hi haurà prou que observis exemples fets a l’escena de la dreta per comprendre com es fan i el seu significat. Aquest és el gràfic més indicat per les variables quantitatives discretes.

Pots llegir un article de l’Institut Nacional d’Estadística, sobre el comportament o actuacions del nostre país amb el medi ambient i les energies renovables, en el qual es mostren diversos tipus de diagrames. Amb l’ajuda de l’escena de la dreta pots fer uns exercicis sobre representació gràfica de variables estadístiques quantitatives discretes. A la taula següent copia’n un d’ells.

L’exercici simula que tenim una població de 30 alumnes i cada un d’ells ens diu el nombre de germans que té. Clicant a Genera tindrem les 30 dades generades aleatòriament, clica ajuda i llegeix com l’escena et facilita el recompte i completa la taula, comprovant que és correcte el teu recompte. A continuació clica el botó de diagrames per veure els gràfics, i dibuixa’ls en el lloc corresponent.

Variable Freqüència D. de columnes D. de sectors

0

1

2

3

4

Clica


INS _______________________


Estadística - 5 -

1.e. Gràfics en variables quantitatives contínues Histograma. Llegeix l’explicació d’aquest tipus de gràfic estadístic.


Quina figura s’utilitza per representar les dades?

Si tots els intervals són de la mateixa amplitud, què ens indica l’altura?

Si els intervals no són de la mateixa amplitud, quina magnitud és proporcional a la freqüència?

Clica a l’enllaç: Exemple. Fixa’t en l’exemple resolt que apareix. Polígon de freqüències. Unirem els centres de la part superior de tots els rectangles per obtenir-lo. També es pot dibuixar l’histograma de les freqüències acumulades: En cada dada s’acumula la freqüència de les dades anteriors. Amb l’ajuda de l’escena de la dreta pots fer uns exercicis sobre representació gràfica de variables estadístiques quantitatives contínues. En la taula següent copia’n un d’ells:

L’exercici simula que tenim una població de 30 alumnes i mesurem l’altura de cada un d’ells. Clicant a Clica per començar tindrem les 30 dades generades aleatòriament, clica ajuda i llegeix com l’escena et facilita el recompte i completa la taula, comprovant que és correcte el teu recompte. A continuació clica el botó de diagrames per veure els gràfics, i dibuixa’ls en el lloc corresponent.

Interval Freqüència Histograma D. de freq. acumulades

[150, 160)

[160, 170)

[170, 180)

[180, 190)

[190, 200)

INS _______________________


Estadística - 6 -

Clica


EXERCICIS 1. Classifica els següents exemples de variables estadístiques: longitud d’un camió,

càrrega màxima, nre. de rodes, nre. d’eixos, tipus de camió, marques de neumàtics, tipus de tapisseria, nre. de portes, altura màxima.

Qualitatives:

Q. discretes:

Q. contínues:

2. Calcula els graus que corresponen a cada valor en un gràfic de sectors fet a partir de

les dades: R, R , V , V , V , V , V , A, A, A

3. Agrupa les dades següents i fes un diagrama de barres adequat.

Dades = { 0 1 0 2 3 4 1 2 2 1 2 2 3 4 3 2 1 3 }

Valor Freqüència Diagrama

0

1

2

3

4

4. Classifica les dades en intervals i dibuixa un histograma adequat.

Interval Freqüència Histograma

[150, ]

[ , ]

[ , ]

[ , ]

[ , 200 ]

INS _______________________


Estadística - 7 -

2. Mesures de centralització 2.a. Mitjana, mediana i moda Un conjunt N d’observacions, N nombres, pot ser que per si sol no ens digui res. En canvi, si a més ens diuen que estan situats al voltant d’un o diversos valors centrals, ja tenim una referència que sintetitza la informació. Per això, es defineixen els següents paràmetres de centralització (perquè ens indiquen el centre de la distribució) Mitjana. ________________________________________________________

Moda. _________________________________________________________ En el cas de variable contínua, considerarem com a moda _____________________________ ____________________________________________________________. També pot passar que hi hagi dues modes o que no n’hi hagi cap que destaqui. Mediana._______________________________________________________ A l’escena de la dreta veiem exemples de com calcular aquests paràmetres. Copia’n un a continuació:

Dades Mitjana Moda Mediana

Clica en el botó


Diagrama de freqüències relatives. Diagrama de freqüències relatives

acumulades. En aquest diagrama es veu clarament la moda, assenyala-la.

Sabries indicar en aquest diagrama la mediana i la mitjana?

Clica Solució per veure aquestes mesures en el diagrama.

Clica


INS _______________________


Estadística - 8 -

2.b Evolució de la mitjana. 1 Per les dades 5 i 5 la mitjana és ___.

Si afegim un 5 ___________________. Si afegim un 8 _______________________.

2 Si tenim 9 dades amb mitjana 5,

necessitem afegir un 6 perquè la mitjana passi a ser ____ Si tenim 19 dades amb mitjana 5, necessitem una dada de valor 7 perquè la mitjana pugi a ____

3 Per un conjunt de dades amb mitjana 5,

si n’afegim un altre amb mitjana 5, per exemple 6 i 4, _________________________________________

A l’escena de la dreta pots comprovar com es modifica la mitjana en diversos exemples.

Tria el número de l’exemple:

A continuació pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant els polsadors

i observa com varia en cada cas la mitjana.

Clica en el botó


En aquests exercicis has de calcular la mitjana, pots triar si la variable és discreta o contínua. El recompte ja surt fet. Fes-ne uns quants i a continuació copia un exercici de cada tipus a la taula següent:

Variable quantitativa discreta Variable quantitativa contínua

Marca Freqüència Marca Freqüència

xi fi xi.fi xi fi xi.fi

Total Total

Mitjana x Mitjana x

Clica


INS _______________________


Estadística - 9 -

2.c Evolució de la mediana 1 La mediana, per les dades 2, 3 i 4 és Me= ___.

Si canviem el 4 per 5 o per 6 o per qualsevol altre valor més gran ______________________

2 Si afegim una altra dada i tenim 2,3 4 i 4, per exemple,

la Me=_____ I si afegim un cinquè valor, un 4 o un 5 o un 6 o qualsevol altre major que 4, la mediana en 2,3, 4, 4 i ?? passa a ser ___ Tan si val que el valor ?? sigui 5, 10 o 25.

A l’escena de la dreta tens exemples on la mediana canvia i on no. A més, tu mateix pots variar el valor o valors que vulguis per observar com evoluciona. A la mateixa escena, també tens la possibilitat de realitzar exercicis de càlcul de la mediana. Clicant en els botons Nombre parell de dades i Nombre senar de dades obtens exemples de dades i de com calcular la mediana. Si cliques canviar pots veure com calcular la mediana:


A continuació pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant els polsadors

i observar com varia en cada cas la mediana.

Clica en el botó


En aquests exercicis has de calcular la mediana. Pots triar si la variable és discreta o contínua i ja apareix fet el recompte. Fes-ne uns quants i a continuació copia un exercici de cada tipus. Pots consultar l’ajuda per resoldre’ls.


Marca Freqüència Marca Freqüència

xi fi Fi acumulada xi fi Fi acumulada

Clica


INS _______________________


Estadística - 10 -

2.d Mitjana i mediana comparades Llegeix el text i completa els valores de la mitjana i la mediana en cada cas: Dades Mitjana Mediana

4, 6 4, 6, 8

4, 6, 11

Els valors 8 i 11 es consideren observacions _____________.

Si les dades estiguessin repartides _______________ respecte a un valor, aquest valor seria _____________________________. Si els valors a un costat de la mediana n’estan més allunyats que els de l’altre costat, la mitjana __________________________ ________________________________. Hi ha una ___________.

Juga amb l’escena de la dreta. Hi ha tres grups d’exemples: simètrics, asimètrics i atípics. Pots observar l’evolució de la mediana i la mitjana.


Pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant sobre

Clica


EXERCICIS

5. Calcula la mitjana en cada cas:

a) 4, 6, 8 b) 4, 6, 8, 6 c) 100, 120, 180, 200

6. Calcula la mitjana en cada cas:

a) Marca Fr b) Marca Fr

10 2 100 2

20 4 200 4

30 3 300 3

40 2 400 2

a)

b)

7. Determina la moda i la mediana

a) 5,6,6 b) 1,1,2,3 c) 1,2,3,4,2

8. Calcula la moda i la mediana en cada cas:

a) Marca Fr b) Marca Fr

10 2 100 2 20 4 200 3 30 3 300 4

40 2 400 1

a)

b)

9. S’han mesurat les altures en cm d’un grup de 30 persones i hem obtingut les dades següents:

Altura en cm fi (150,160] 7 (160,170] 9 (170,180] 10 (180,190] 3

(190,200] 1

Calcula la mitjana, la moda i la mediana.

INS _______________________


Estadística - 11 -

3. Mesures de posició 3.a Mediana, quartils i percentils Donat un conjunt de dades numèriques si les ordenem de forma creixent i considerem:

• el primer valor que supera (o iguala) al 50% és la ________________________ Me • el primer valor que supera al 25% és el ________________________ Q1 • el primer valor que supera al 75% és el ________________________ Q3 • Per altres valors com el 10% o el 80% parlem de ________________ P10 i P80 .

A l’escena de la dreta tens un exemple resolt, si cliques la fletxa i a sobre del botó genera pots obtenir molts exemples resolts, triant si vols que la variable sigui discreta o contínua.

Clica en el botó

per practicar el càlcul de les mesures de posició .

Clicant el botó Genera obtens noves dades, i amb el botó Discreta/Contínua canvies el tipus de dades. Copia dos exercicis a la taula següent:


Marca Freqüència Mediana Marca Freqüència Mediana

xi fi xi fi

Quartil Q1 Quartil Q1

Quartil Q3 Quartil Q3

Percentil Percentil

Total Total

Clica


3.b Diagrames de caixa i bigotis A partir del valor de la mediana i els quartils es poden representar les distribucions estadístiques mitjançant els anomenats diagrames de caixa i bigotis. Observa en l’animació com es fa i després fes-ne un seguint els passos de l’escena de la dreta. Escriu també aquí l’exercici de l’escena. La taula mostra el consum diari d’aigua, en ml, dels 20 alumnes d’una classe. Clica Pas 1 i ordena en forma ascendent les dades de la taula:

Un cop ordenades, clica Pas2 i situa la mediana movent el punt vermell sobre l’eix horitzontal. Clica Pas 3 i situa el màxim i el mínim movent els punts turquesa sobre l’eix horitzontal. Clica Pas 4 i situa els quartils movent els punts magenta sobre l’eix horitzontal. Clica Pas 5 i dibuixa el diagrama utilitzant els punts calculats per marcar les línees verticals.

INS _______________________


Estadística - 12 -

Clica en el botó

per fer un exercici .

A l’escena tens dos tipus d’exercicis; passa d’un tipus a l’altre clicant els botons corresponents.

Analitza el següent diagrama de caixa Analitza el següent diagrama de caixa i

i bigotis. Utilitza el punt vermell per identificar els valors que corresponen a la mediana, els quartils, el mínim i el màxim. Introdueix els valors en les caselles respectives i verifica que les teves respostes són correctes. Clica altres dades per fer un altre exercici. Copia’n un a continuació.

bigotis. Mostra els minuts que tarda en fer efecte un medicament en una població. Utilitza el punt vermell per guiar-te sobre la gràfica, interpreta la informació que presenta i respon a la pregunta plantejada. Clica Altra pregunta per canviar-la. Copia’n quatre a continuació.

Q1= Me= Q3= mín= màx=

- A quin percentatge de la població li va fer efecte el medicament en menys de ___ min? ____ % - Quants minuts transcorregueren per què el medicament fes efecte al ____ % de la població? _______ min - Quants minuts tardà el medicament en començar a fer efecte a la població? _____ min - A quin percentatge de la població li va fer efecte el medicament en ___ min o menys? _____ %

Clica


EXERCICIS

10. Calcula a mediana, cuartís primeiro e 3º, e o percentil 30, 60 e 90 dos datos:

4 1 3 3 2 3 1 3 3 4 0 0 0 4 4 3 0 3 0 3 2 1 0 0 4 3 0 1

11. Analitza el següent diagrama de caixa i bigotis i calcula els valors màxim i mínim, la mediana i els quartils.

12. Analitza el següent diagrama de caixa i bigotis. Mostra els minuts que tarda en fer efecte un medicament en una població. Interpreta la informació que presenta i respon a les preguntes.

a) A quin percentatge de la població havia fet efecte després de 30 minuts?

b) Després de quants minuts havia fet efecte al 50 % de la població? c) Quants minuts tardà en fer efecte al 100% de la població? d) A quin percentatge havia fet efecte als 55 minuts? e) A partir de quin minut va fer efecte a les tres quartes parts de la població?

INS _______________________


Estadística - 13 -

4. Mesures de dispersió 4.a Desviació típica i recorregut “L’estadística és una ciència segons la qual, si jo em menjo un pollastre i tu no te’n menges cap, de mitjana, ens hem menjat mig pollastre cada un”. L’estadística ens dirà que tots mengen el mateix quan les mesures de dispersió siguin totes nul·les. Rang: L’interval definit per ___________________________________. També s’anomena rang a _____________________________________. Variància: La mitjana aritmètica dels ______________________________________________________ __________________________________________________________________________ Escriu la fórmula:

Desviació típica: __________________________________________________________________________ Com més grans són la variància o la desviació típica, les dades es separen més de la mitjana, és a dir, hi ha més dispersió. A l’escena de la dreta tens diferents exemples de les mesures de dispersió i del seu significat, llegeix-los amb atenció.

Clica en el botó

per comparar distribucions amb mesures de centralització iguals,

en les quals canvia la desviació típica. Copia’n a continuació dues d’elles:

Clica


INS _______________________


Estadística - 14 -

4.b Càlcul de les mesures de dispersió.

Recorregut Clicant en el botó Genera obtens noves dades, i amb el botó Discreta/Contínua canvies el tipus de dades. Copia aquí un exercici de cada tipus:

Variable estatística discreta Variable estatística contínua

Màxim Mínim Màxim Mínim

Recorregut Recorregut

Desviació típica Si cliques en Recorda les fórmules s’obre una finestra amb les fórmules del càlcul de la desviació típica i amb exemples d’aplicació. A l’escena de la dreta pots generar unes dades, calcular la desviació típica i veure el diagrama de columnes. Copia a continuació dos exercicis:

Interval Marca Freqüència

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅

Total

Mitjana Desviació típica

Mínim Màxim Recorregut

Clica en el botó

per fer uns exercicis .

Clicant en el botó Genera obtens noves dades, i amb el botó Discreta/Contínua canvies el tipus de dades. Copia aquí dos exercicis de cada tipus:

Variable discreta Variable continua

Marca Freqüència Interval Marca Freqüència

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi2

xi fi xi.fi ( )2ii xxf −⋅ fi.xi2

Total Total

Mitjana Desv. típica Mitjana Desv.típica Clica


INS _______________________


Estadística - 15 -

4.c Mitjana i desviació típica. Per a mostres unimodals (una sola moda) i gairebé simètriques al voltant de la mitjana, podem considerar un interval que contingui la majoria de les dades. Per exemple, per a una mostra amb mitjana 100 i desviació típica 10, la major part de les dades estaran entre 90 i 110, aproximadament el 68%; entre 80 i 120 hi estaran el 95% aproximadament. I gairebé totes entre 70 i 130. Hi ha una forma de distribució de dades anomenada normal que compleix amb l’anterior, i que, de tota manera, de totes les poblacions grans es poden extreure dades que s’hi ajusten. En cursos superiors veuràs la importància d’aquestes distribucions. A l’escena de la dreta tens uns exemples on apareix la mitjana i unes franges de color al seu

voltant. Tria el número de l’exemple:

A continuació pots modificar el nombre de vegades que apareix una dada clicant sobre

i observa com varia en cada cas la mitjana i les franges del seu voltant.

Clica en el botó

per fer uns exercicis .

Clicant en el botó Genera obtens noves dades. A continuació, fes-ne a les taules dos d’ells, i després comprova el resultat a l’escena:

Marca Freqüència

xi fi xi.fi fi.( x -xi)2 fi.xi

2 Mitjana

Desviació típica

[ x +σ, x -σ] = [ , ]

Nre. de dades

[ x +2σ, x -2σ] = [ , ]

Nre. de dades

Total

Marca Freqüència

xi fi xi.fi fi.( x -xi)2 fi.xi

2 Mitjana

Desviació típica

[ x +σ, x -σ] = [ , ]

Nre. de dades

[ x +2σ, x -2σ] = [ , ]

Nre. de dades

Total

Clica


INS _______________________


Estadística - 16 -

5. Representativitat 5.a Mostreig aleatori Una mostra és representativa de la població quan _______________________________

___________________________________________________________________________

De què depèn que l’estudi d’una població sigui o no representatiu? _____________________

___________________________________________________________________________

Quan diem que la mostra està esbiaixada? ______________________________________ ___________________________________________________________________________ Explica en què consisteix un mostreig aleatori total: _________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________ A l’escena pots animar una elecció totalment aleatòria o realitzar mostrejos simulant enquestes fent diferents clics.

EXERCICIS 13. Calcula la mitjana i la desviació típica de:

a) 200, 250 b) 175, 275 c) 250, 250

14. Calcula la mitjana i la desviació típica de: a) 7, 5 , 3, 2, 4, 5 b) 20, 25, 20, 22, 21

15. Organitza les dades següents en intervals de 10 cm des de 150 a 200. Amplia la taula amb dues columnes, una pel producte de las marques amb les freqüències i l’altra pel producte de les freqüències amb els quadrats de les diferències amb la mitjana. Calcula la mitjana i la desviació típica.


xi fi xi.fi fi.( x -xi)2

Mitjana=

Desviació típica=

Total

INS _______________________


Estadística - 17 -


4.b Mostreig estratificat

Un mostreig estratificat és _________________________________________________

A l’escena tens 625 quadrats que representen als alumnes d’un institut fictici. Seguint les instruccions pots observar la diferència entre un mostreig representatiu i un altre que no.

Si comparem els gràfics en ambdós exemples de mostra, en quin tipus de mostra s’assemblen més a les dades de la població total? ______________________________________________ Per què? ____________________________________________________________________

Clica en el botó

per fer un exercici sobre representativitat.

Copia en aquest quadern un exercici i comprova-ho després a l’escena. D’una població volem extreure una mostra de mida ______. Si procedeixen de 5 àrees diferents, A, B, C, D i E amb percentatges del total de la població de ____%, ____%, ____%, ____% i ____% A quants de cada zona s’han d’entrevistar? A= _____, B= _____, C= _____, D= _____ i E= ______

EXERCICI

16. Una gran empresa té treballadors en quatre àrees: Operaris, Representants, Administració i Direcció. Les condicions de treball són força diferents en cada àrea, per la qual cosa, el grau de satisfacció no és igual en cada una d’elles. Per esbrinar-ho, s’hi ha 1000, 500, 300 i 200 treballadors en les àrees d’operaris, representants, administratius i directius, quants se n’han de seleccionar de cada àrea per una mostra de mida ...?

a) 200 b) 100 c) 300

INS _______________________


Estadística - 18 -


Població. Mostra

Variables estadístiques

Tipus

Tipus de gràfics

Mitjana, moda i desviació típica

Mitjana Moda Desviació típica

=X Mo= =σ

Quartil, mediana, percentil

Quartils Mediana Percentils

Q1=

Q3= Me= Pi=

Mitjana i desviació típica: Observa l’exemple

[ x +σ, x -σ] = [ , ]

% de dades

[ x +2σ, x -2σ] = [ , ]

% de dades

Representativitat

Una mostra és representativa de la població quan __________________________________

___________________________________________________________________________

Clica


INS _______________________


Estadística - 19 -

Per practicar

Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. A les següents pàgines trobaràs EXERCICIS de: Mesures de centralització i dispersió. Representativitat Interpretació de gràfics de l’INE

Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Mesures de centralització i dispersió. Representativitat. 1. Tipus de variable (fes dos exercicis) Classifica les següents variables:

nre. de fills � flor preferida � pes � temperatura mitjana � sabor � altura �

Velocitat � Acceleració� nre. de vàlvules � nre. de places � tipus de vehicle � nre. de rodes � carga neta � tipus de tapisseria �

Classifica les següents variables estadístiques d’un partit de futbol:

nre. d’espectadors en el camp �

jugador preferit �

nre. de gols �

temps transcorregut �

2. Recompte de dades (fes dos exercicis) Fes un recompte de les dades en una taula.

Fes un recompte de les dades en una taula

3. Diagrama de sectors Fes un diagrama de sectors per a les dades del color preferit de la taula

Marca Freqüència

xi fi

Total

INS _______________________


Estadística - 20 -

4. Diagrama de barres Fes un diagrama de barres per a les dades de la taula.

Marca Freqüència

xi fi

Total

5. Histograma Amb les dades de la taula fes un histograma


xi fi Total

6. Moda Quina és la moda en cada grup?

A={vermell, blau, verd, blau} B= {blanc, negre, blau} C= {vermell, verd, groc, vermell, blau, vermell, blau, blau}

A �

B �

C �

Quina és la moda en cada grup? A={1, 2, 3, 4, 1, 1, 2, 3} B= {1, 1, 2, 2, 3, 4, 4} C= {1, 2, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 4l}

A �

B �

C �

7. Mediana Quina és la mediana en cada cas?

A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {1, 2, 3, 4} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6} D= {1, 2, 3, 3} E= {1, 2, 3, 3, 3}

A �

B �

C �

D �

E �

Quina és la mediana en cada cas? A= {1, 2, 7, 10} B= {3, 6, 7} C= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 1}

A �

B �

C �

8. Igual mitjana Quina és la mediana en cada cas?

A= { , } ; B= { , } ; C= { , } A � B � C �

9. Concepte de mitjana Calcula la mitjana per a les dades:

x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 =

INS _______________________


Estadística - 21 -

10. Càlcul de la mitjana Calcula la mitjana: Distribució discreta

Marca Freqüència

xi fi

Total

Calcula la mitjana: Distribució contínua Interval Marca Freqüència

xi fi Total

11. Cas simple de desviació típica Quina és la desviació típica en cada cas?

A= { , } ; B= { , } ; C= { , } A � B � C �

12. Concepte de desviació típica Calcula la desviació típica per a les dades:

x1 = f1 = x2 = f2 = x3 = f3 =

13. Càlcul de desviació típica Calcula la desviació típica: Distribució discreta

Marca Freqüència

xi fi

Total

Calcula la desviació típica: Distribució contínua Interval Marca Freqüència

xi fi Total

14. Representativitat Prenem una mostra de mida 2000 d’una població on l’edat influeix en la característica de l’estudi. El __% de la població és major, el __% jove i el __% mitjana. A quants entrevistaré de cada grup d’edat?

Joves �

Mitjans �

Majors �

Clica


INS _______________________


Estadística - 22 -

Interpretació de gràfics de l’INE. (En cada apartat apareix una imatge i, en el text, preguntes sobre ella. Clicant en UN ALTRE EXERCICI apareixen més preguntes sobre la mateixa imatge)

1. Què fem? Observa el gràfic de sectors de l’INE i respon a les preguntes: Quina és la variable estudiada? I la freqüència? A quin grup d’activitats dediquem més temps els espanyols? Quina és la moda? Calcula quant temps dediquem a la llar i la família. Quants graus ocupa aquest sector en el diagrama?

2. Quant passegem? En el gràfic és fàcil veure que som els europeus que més passegem. En quins països passegen més les dones que els homes? Calcula el temps mitjà que es dedica a cada país a passejar. Quin país hi ha en el percentil 50?

3. Cura personal. Observa el gràfic i respon a les preguntes: Creus que el son s’ha comptat com a activitat de cura personal? A les 15:00 hi ha un màxim local en la gràfica, quina és la causa? A l’hora del dinar, el 38% de les persones es dedica a la cura personal. Significa això que un 62% de les persones no menja?

4. Vida social. Observa el gràfic i respon a les preguntes: Quines són les comunitats en les quals es dedica menys temps a la vida social i a la diversió? Quant temps dediquen a la diversió o a la vida social la major part de les comunitats? Quin és el temps mitjà que es dedica a Espanya a aquesta activitat?

Clica


INS _______________________


Estadística - 23 -

Autoavaluació


Quants graus corresponen, en el diagrama de sectors, al valor de freqüència______?

La mediana és:

Quina és la moda?

Quin és el percentatge de la mostra que correspon a les dues primeres marques?

Quin és el percentil més petit que deixa per sota els valors menors a 3?

Quina és la mitjana?

Calcula la desviació típica

Quina és la mitjana?

Calcula la desviació típica

Quin percentil deixa per sota als individus de menys de 170 cm?

INS _______________________


Probabilitat - 1 -

Probabilitat

Continguts

1. Experiments aleatoris Espai mostral i esdeveniments Operacions amb esdeveniments Esdeveniments compatibles i incompatibles

2. Probabilitat d’un esdeveniment

La regla de Laplace Freqüència i probabilitat Propietats de la probabilitat

3. Experiments compostos

Regla de la multiplicació Extraccions amb i sense devolució Probabilitat condicionada Probabilitat amb diagrames d’arbre

Objectius • Trobar els esdeveniments d’un experiment aleatori i realitzar operacions amb ells.

• Calcular la probabilitat d’un esdeveniment aplicant la regla de Laplace.

• Conèixer les propietats de la probabilitat.

• Trobar la probabilitat d’un esdeveniment en un experiment compost.

• Trobar probabilitats d’esdeveniments dependents i independents.

• Aplicar la probabilitat a situacions de la vida quotidiana. Autora: Mª Isabel Hermida Rodríguez Sota llicència

Versió en català: Joan Carles Fiol Colomar Creative Commons si no s’indica el contrari.

INS _______________________


Probabilitat - 2 -

Investiga

Imagina’t que estàs en un concurs de televisió en el qual t’ofereixen tres portes i n’has de triar una. Darrera d’una de les portes hi ha un cotxe i darrera de cada una de les altres, un burro. Tries una porta, però abans d’obrir-la, el presentador, que sap el que hi ha darrera de cada porta, n’obre una de les dues que no has triat, darrera la qual, per suposat hi ha un burro i, aleshores, et dóna l’oportunitat de canviar la teva tria.

Naturalment vols emportar-te el cotxe: què faries, canviar o no canviar de porta? Abans de decidir, anem a experimentar jugant. Pots jugar tu o bé fer que jugui l’ordinador automàticament; després de diferents intents escriu els resultats:

Manual Canviant Mantenint Total

Intents Cotxes % encerts

Automàtic Canviant Mantenint Total

Intents Cotxes % encerts

CONTESTA RESPOSTA

Quan tries tu, com aconsegueixes més cotxes, canviant o mantenint?

Quan es tria automàticament, com s’aconsegueixen més cotxes, canviant o mantenint?

Després de lo vist, si vols emportar-te el cotxe, què faries, canviar de porta o no canviar?

Si fas una aposta a la Bonoloto, quina probabilitat tens d’encertar els 6 nombres?

______________________________________

I tres?________________________________


Abans de començar

INS _______________________


Probabilitat - 3 -

1. Experiments aleatoris 1.a. Espai mostral i esdeveniments Llegeix les definicions de la pantalla i completa:

Són experiments aleatoris, aquells en els quals ____________________________________

S’anomena espai mostral ______________________________________________________

Un esdeveniment elemental és ________________________________________________

Un esdeveniment és _________________________________________________________

Hi ha un esdeveniment que es verifica sempre, ___________________________ i coincideix

amb el ______________________________

Fixa’t en l’escena. Podem extreure de forma aleatòria una carta de la baralla. Apareixen diversos esdeveniments, i si mous el ratolí per sobre d’ells, apareixen els esdeveniments elementals que els formen. Amb l’ajuda de l’escena, completa aquesta taula: ESDEVENIMENT ESDEVENIMENTS ELEMENTALS

Treure el rei d’oros

Treure oros o rei

Treure una figura


1.b. Operacions amb esdeveniments Llegeix les definicions de la pantalla i completa: Amb els esdeveniments d’un experiment aleatori es poden realitzar diferents operacions. Donats dos esdeveniments A i B: • La unió de A i B, AUB, és l’esdeveniment format per _____________________________

_______________________ Ocorre quan _______________________________________ • La intersecció, A∩B, és l’esdeveniment format pels ______________________________

__________________________ Ocorre quan ____________________________________ • La diferència de A i B, A\B, és l’esdeveniment format per _________________________

________________________ Ocorre quan ______________________________________ • L’esdeveniment contrari a un de donat A, Ā, és l’esdeveniment format per __________

__________________________ Ocorre quan ____________________________________ • L’esdeveniment contrari del segur és l’esdeveniment _______________, que no es verifica

mai, i que s’indica amb Ø. A l’escena pots veure un exemple de diferents esdeveniments i els seus contraris: En una urna hi ha 12 boles numerades del 1 al 12. Es treu una bola i es mira el nombre, i considerem els esdeveniments: A= ”sortir parell” i B= ”sortir múltiple de 3”. Escriu a continuació els esdeveniments elementals que formen els esdeveniments indicats a la taula:

A A

B B

AUB BA ∪

A∩B BA ∩

A\B B\A

B\A A\B


INS _______________________


Probabilitat - 4 -

1.c. Esdeveniments compatibles i incompatibles

Llegeix les definicions de la pantalla i completa:

En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que poden verificar alhora i d’altres que no.

• Dos esdeveniments es diuen compatibles si ____________________________________ _________. En aquest cas, A∩B≠Ø: _________________ verificar alhora.

• Dos esdeveniments es diuen incompatibles si no ________________________________ _________, en aquest cas, A∩B=Ø, _________________ verificar alhora.

Un esdeveniment i el seu contrari són sempre ____________________, però dos esdeveniments incompatibles no sempre són ___________________. Donat l’espai mostral={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}, i els esdeveniments: Vermell={1, 4, 7, 10}, Verd={1, 2, 3}, Blau={3, 6, 9, 12}, Gris={7, 8, 9} i Taronja={3, 5, 7}, amb l’ajuda de l’escena digués si són compatibles o no els esdeveniments:

ESDEVENIMENTS COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

ESDEVENIMENTS COMPATIBLES /INCOMPATIBLES

Verd i vermell Vermell i blau

Verd i blau Verd i groc

Blau i gris Vermell i groc

Verd i gris Groc i gris

Vermell i gris Groc i blau

Representar els esdeveniments i les operacions mitjançant un diagrama, ajuda a entendre’ls millor.

Clica el botó


Clica sobre dos interrogants de diferent color per aparellar una operació entre esdeveniments i el diagrama corresponent. Completa els resultats en aquesta taula:


INS _______________________


Probabilitat - 5 -


EXERCICIS 1. En una bossa tenim tres boles numerades: 1, 2 i 3. Considerem l’experiment d’extreure

una bola i anotar-ne el número. Escriu tots els esdeveniments possibles. Indica quins d’ells són els elementals.

2. En una baralla, sota l’experiment d’extreure una carta, considera els esdeveniments a)

parell, b) oros, c) parell i oros, d) parell o oros, e) parell menys oros, f) oros menys parell i g) no parell. Escriu els esdeveniments elementals que els formen.

3. En tirar un dau considerem els esdeveniments: A={parell}, B={més gran que 3} i C={imparell}. Dels tres parells d’esdeveniments possibles AB, AC i BC, indica quins són compatibles i/o incompatibles.

INS _______________________


Probabilitat - 6 -

2. Probabilitat d’un esdeveniment 2.a. La regla de Laplace Llegeix les definicions de la pantalla. CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Quan diem que un experiment aleatori és regular?

Què significa que els esdeveniments elementals són equiprobables?

Donat un esdeveniment A, a què anomenem casos favorables? I casos possibles?

Podem aplicar sempre la regla de Laplace? Si la resposta és negativa, indica quan es pot aplicar.

A continuació escriu la fórmula de la Regla de Laplace

nre. casos P(A)

nre. casos =

Amb l’ajuda de l’escena de la dreta, calcula les probabilitats següents:

ESDEVENIMENTS PROBABILITAT

Que sigui d’un coll determinat

Que sigui d’un nombre determinat

Que sigui un as o un basto

Que sigui un as i un basto

Extraiem una carta d’una baralla de 40

Que no sigui ni as ni basto

Clica el botó


Considerant l’experiment “tirar un dau” o “extreure una carta de la baralla espanyola”, calcula les probabilitats següents:

P(parell)= P(senar)= P(oros o copes)= P(3 de bastos)=

P(>4)= P(2 o 6)= P(oros)= P(bastos)=

P(3)= P(>2 i <5)= P(rei)= P(bastos o copes)=

P(<5 i parell)= P(>2 o <5)= P(rei d’oros)= P(figura)=

P(3 o parell)= P(>3 i <5)= P(un 3)= P(figura d’oros)=


INS _______________________


Probabilitat - 7 -

2.b. Freqüència i probabilitat Llegeix les definicions de la pantalla i completa:

La freqüència absoluta d’un esdeveniment és ____________________________________ ______________. La freqüència relativa és ______________________________________

___________________________________________________________________________.

La llei dels grans nombres diu que quan repetim un experiment _____________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Com a conseqüència de la llei dels grans nombres, tenim una nova definició de probabilitat d’un esdeveniment com _______________________________________________________

___________________________________________________________________________

A l’escena de la dreta es simula el llançament de tres monedes; a partir dels resultats dels llançaments, compara les probabilitats i les freqüències dels esdeveniments:

Nre. de llançaments >100 >200 >500 >1000

fr(0 cares)= P(0 cares)=




CONTESTA AQUESTES QÜESTIONS: RESPOSTES Com és la probabilitat d’obtenir zero cares, major o menor que la seva freqüència?

Com és la probabilitat d’obtenir dues cares, major o menor que la seva freqüència?

Quan s’assemblen més les freqüències, amb 100 llançaments o amb més de 1000? Per què?

Clica el botó


Practica amb l’escena i escriu a continuació un exercici: En una urna hi ha ___ boles blaves i vermelles, no sabem quantes de cada color. Per esbrinar-ho extraiem una bola, en mirem el color i la retornem a l’urna abans de treure’n una altra. Repeteix l’experiment moltes vegades i observa la tendència de les freqüències relatives. Després d’extreure més de 3000 boles contesta: Quantes boles de cada color estimes que hi ha a l’urna?

Blaves Vermelles Clica per anar a la pàgina següent.

INS _______________________


Probabilitat - 8 -

2.c. Propietats de la probabilitat Vista la relació entre freqüència relativa i probabilitat, es verifica que:

• La probabilitat d’un esdeveniment és un nombre ____________________.

• La probabilitat de l’esdeveniment segur és ______ i la de l’esdeveniment impossible és _______.

• La probabilitat de la unió de dos esdeveniments incompatibles és ______________

I a més, d’aquestes propietats es dedueix que:

• La probabilitat de l’esdeveniment contrari és p(Ā)= ________________

• La probabilitat de la unió de dos esdeveniments compatibles és __________________

A l’escena de la dreta hi ha un exemple resolt: En una urna hi ha 10 boles numerades del 1 al 10. Es treu una bola i es mira el nombre. Considerem els esdeveniments: A= {1, 2, 3, 4} i B={4, 5, 6, 7, 8}. Amb ajuda de l’escena escriu la probabilitat dels esdeveniments de la taula:

p(A) p(A∩B)

p( A ) p( BA ∩ )

p(B) p(A\B)

p(B ) p( B\A )

p(AUB) p(B\A)

p( BA ∪ ) p( A\B )

Clica el botó


Llegeix l’exemple resolt i a continuació fes tu un exercici de cada tipus:

En un grup el ___% parla francès, i el ___% parla anglès. Si el ___% parla els dos idiomes, quin percentatge parla algun dels dos, francès o anglès?

En una classe el ___% aprova Llengua i el ___% aprova Matemàtiques. Si el __% ha aprovat alguna de les dues, quin percentatge ha aprovat les dues assignatures?

En un institut, el ___% dels estudiants de 4t d’ESO han triat Física i el ___% Tecnologia. Si el ___% ha triat totes dues, quin percentatge no cursa cap de les dues assignatures?


INS _______________________


Probabilitat - 9 -

.


EXERCICIS

4. Tenim un dau de 20 cares {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6} perfectament equilibrat:

a) Quina és la probabilitat d’obtenir cada un dels resultats possibles?

b) P(parell)=

c) P(més gran que 3)=

d) P(parell i més gran que 3)=

e) P(parell o més gran que 3)=

5. En una bossa tenim 7 boles vermelles, 9 boles blaves i 4 verdes. Extraiem una bola. Calcula la probabilitat que:

a) No sigui vermella

b) Sigui vermella o blava

6. En una urna hi ha 40 boles vermelles i blaves, no sabem quantes de cada color. Per esbrinar-ho, extraiem una bola, mirem el color i la retornem a l’urna abans de treure’n una altra. Repetim l’experiment 1000 vegades i obtenim 807 boles vermelles i 193 boles blaves. Quantes boles de cada color estimes que hi ha a l’urna?

7. En un grup, el 40% juga a bàsquet i el 60% a futbol, sabent que el 85% practica algun dels dos esports, quin percentatge juga a tots dos?

8. En una classe el 68% aprova Llengua i el 66% Matemàtiques, si el 43% ha aprovat

les dues assignatures, quin percentatge no aprova cap de les dues?.

INS _______________________


Probabilitat - 10 -

3. Experiments compostos 3.a. Regla de la multiplicació Un experiment compost és el que ___________________________________________ ___________________________________________________________________________ Per calcular l’espai mostral d’un experiment compost convé, en molts casos, fer un diagrama d’arbre que representi totes les opcions. Cada resultat ve donat por un camí del diagrama. La probabilitat d’un esdeveniment en un experiment compost és el ___________________ de les probabilitats dels esdeveniments simples que el formen. Observa a l’escena com es construeix el diagrama d’arbre de l’exemple i com s’utilitza per calcular la probabilitat de cada esdeveniment.

Clica el botó

per fer un exercici

Es fa girar una ruleta un cop, segons el color que surti, es segueix un camí o l’altre. Cada camí porta a una altra ruleta. Per calcular la probabilitat de cada color final n’hi ha prou amb multiplicar l’obtinguda a la primera ruleta per la de la segona. Clica sobre ALTRES RULETES per començar; fes diferents exemples i a continuació copia’n un.

P(A)= P(V)=

P(N)= P(R)=

Tenim dues urnes, A i B, amb boles vermelles, verdes i blaves. Tirem un dau, si surt 1 o 2 traiem una bola de A, i si surt 3, 4, 5 o 6 de B

p(A i Vermell)= =. p(A i Verd)= =. p(A i Blau)= =.

p(B i Vermell)= =. p(B i Verd)= =. p(B i Blau)= =.


INS _______________________


Probabilitat - 11 -

3.b. Extraccions amb i sense devolució Un exemple d’experiment compost el trobem en l’extracció successiva de cartes o de boles d’una urna, ...: en aquests casos s’ha de considerar si es retorna la carta, bola, etc. abans de treure la següent o no. A la pàgina hi ha una escena amb un exemple d’extracció de cartes d’una baralla espanyola; practica amb ella abans de fer l’exercici.

Clica el botó


En una urna hi ha 6 boles blanques i 4 negres. Traiem dues boles, una rere l’altra. Fes el diagrama d’arbre en cada cas:

Amb devolució Sense devolució

Calcula les següents probabilitats: Amb devolució Sense devolució

quina és la probabilitat que les dues siguin blanques?

quina és la probabilitat que la 1a sigui blanca i la 2a negra?

quina és la probabilitat que les dues siguin negres?


3.c. Probabilitat condicionada Quan es realitzen observacions de diferents esdeveniments, pot passar que uns depenguin d’altres. S’anomena probabilitat condicionada, de B a A, i s’expressa p(B/A) a la probabilitat que ___________________________________________________________________________

=)/( ABP

Si cliques l’enllaç Per què? veuràs la demostració d’aquesta fórmula. Donats dos esdeveniments, es diu que són independents si ___________________________ ___________________________________________________________________________. Donats dos esdeveniments, es diu que són dependents si ____________________________ ___________________________________________________________________________.

• A i B independents: P(B/A)=_____________

• A i B independents: P(A∩B)=_____________ A l’escena de la dreta tens un exemple d’esdeveniments dependents; segueix les instruccions per veure l’explicació.

INS _______________________


Probabilitat - 12 -

Primer fes tu els càlculs i comprova-ho a l’escena després: Fixa’t bé en les boles numerades que conté l’urna. Anem a extreure una bola, i volem esbrinar si tindràs premi. Segueix les instruccions de l’escena per veure la teva probabilitat de premi.

Nombre Vermella Blava

p(1)= p(1/vermella)= p(1/blava)=

p(2)= p(2/vermella)= p(2/blava)=

p(3)= p(3/vermella)= p(3/ blava)= Explica a continuació quins esdeveniments són independents i per què:

Explica a continuació quins esdeveniments són dependents i per què:

Clica el botó

per fer un exercici

En una urna hi ha ___ boles de colors i buides, algunes de les quals tenen un premi a l’interior. La distribució de les boles segons colors i AMB PREMI o SENSE PREMI és a la taula. Completa la taula:

TOTAL AMB PREMI

SENSE PREMI TOTAL

Aquest tipus de taules s’anomenen TAULES DE CONTINGÈNCIA i es caracteritzen per _____ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Extraiem una bola a l’atzar, calcula les probabilitats demanades:

probabilitat que tingui premi p (premi) =

probabilitat que sigui verda p(verda) =

probabilitat que sigui verda i tingui premi p(verda premi) =∩

si la bola és verda, la probabilitat que tingui premi p(verda / premi) =

Com són els esdeveniments sortir bola verda i sortir bola amb premi?


INS _______________________


Probabilitat - 13 -

3.d. Probabilitat amb diagrames d’arbre Com has pogut veure, en els experiments compostos es pot fer un diagrama d’arbre, i cada resultat ve donat per un camí d’aquest arbre.

Per calcular una probabilitat només s’ha de dibuixar el camí corresponent, i el producte de les probabilitats de totes les branques que el formen serà el valor que busquem.

• Si passa A i després B: P(A i B)=________________

• La suma de les probabilitats de tots els camins és igual a ______

• La probabilitat d’un esdeveniment compost per diferents camins, es calcula _____________ la dels camins respectius.

A l’exemple de l’escena de la dreta pots comprovar aquest darrer resultat. Juga i observa la suma total.

Clica el botó

per fer un exercici

A l’esquerra tens una ruleta que determina quin camí triem entre dos, i una ruleta en cada camí per triar el color; cada cop que cliques Noves ruletes, tens un exercici diferent, i després d’introduir els resultats, clica Comprovar per saber si ho has fet bé. Fes a continuació dos exercicis, calculant les probabilitats que s’indiquen en cada cas:


INS _______________________


Probabilitat - 14 -

EXERCICIS 9. Amb les ruletes de la figura adjunta, calcula la probabilitat de cada

un dels camins.

P(blau) = P(taronja)=

P(verd) = P(vermell) =

10. Tirem un dau de 4 cares {1,2,3,4} i un altre de 10 cares {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4}.

Quina és la probabilitat d’obtenir dos 3? I dos 4?

11. Tirem un dau, si surt 1 o 2, traiem una bola

de la urna A i si no, de la B. Quina és la probabilitat de treure la bola blava?

12. En una bossa tenim 5 boles numerades del 1 al 5. Extraiem dues boles,

a) quina és la probabilitat d’obtenir un 2 i un 3 si no retornem les boles tretes?

b) i quina si les retornem?

13. En una capsa hi ha 6 boles blanques i 4 boles negres, quina probabilitat hi ha de que

extraient dues boles siguin les dues blanques? Fes-ho amb i sense devolució. 14. En una capsa hi ha 12 boles de tres colors:

vermelles, verdes i blaves. Estan buides i en algunes hi ha premi i en d’altres no. La distribució de premis i colors és la que s’indica a la taula. Calcula la probabilitat dels successos “premi” i cada “color” i indica si són dependents o independents en cada cas.

15. Calcula la probabilitat d’obtenir vermell en les ruletes de la figura.

16. Llancem una moneda, si surt cara traiem una bola d’una urna

amb 2 boles verdes i 3 boles negres, i si surt creu, la traiem d’una altra urna amb 3 boles verdes i 2 boles negres. Calcula la probabilitat que la bola extreta sigui verda.

INS _______________________


Probabilitat - 15 -


Experiments aleatoris Un experiment aleatori és aquell en el qual _______________________________________ ______________________________ el resultat per molt que es repeteixi.

Espai mostral _______________________________________________________________

Direm esdeveniment __________________ ____________________________________ Esdeveniments elementals: _____________ ____________________________________ Un esdeveniment A: ____________________ ____________________________________

Esdeveniment segur: _________________ ___________________________________ Esdeveniment impossible: _____________ ___________________________________ Esdeveniment contrari a un esdeveniment A: _________________________________

Dos esdeveniments són compatibles si ____ ______________________________________

Dos esdeveniments són incompatibles si __ ______________________________________

Operacions amb esdeveniments Unión A U B : es verifica quan

Intersecció A ∩ B : es verifica quan

Diferència A–B: es verifica quan

Regla de Laplace

Es pot aplicar només quan els esdeveniments elementals són ______________________ casosNre

casosNrep

.

.=

Propietats de la probabilitat A i B són incompatibles A i B són compatibles p(E. segur) = P(E) = ______

p(E. impossible) = P(Ø) = _____

_____ ≤P(esdeveniment)≤ _____

p(Ā)= 1- p(____) p(A U B) =__________ p(A U B) =___________

Probabilitat condicionada En esdeveniments consecutius poden produir-se dues situacions: Independents Dependents

Probabilitat condicionada p(B/ A) =

Experiments compostos

La probabilitat d’un camí P(A i després B)=_______________


INS _______________________


Probabilitat - 16 -

Per practicar

Ara practicaràs resolent diferents EXERCICIS. En les pàgines següents trobaràs EXERCICIS de:

Esdeveniments i probabilitat senzills Esdeveniments compostos i probabilitat condicionada.

Completa l’enunciat amb les dades de cada EXERCICI de la pantalla i després resol-lo. És important que primer el resolguis tu i després comprovis a l’ordinador si ho has fet bé. Esdeveniments i probabilitat senzills 1 Esdeveniments (4 tipus d’exercicis)

1.1. Triem una fitxa de dòmino a l’atzar, descriu els esdeveniments:

A= La suma dels punts és més gran que ___ B= La suma dels punts és un múltiple de ___

Escriu A∩B i A∩B

1.2. Amb un diagrama d’arbre construeix l’espai mostral de l’experiment de tirar 4 monedes. Considera els esdeveniments

A= sortir una _____ B= sortir almenys dues _______ Escriu AUB, A∩B i l’esdeveniment contrari de B

1.3. Tirem un dau de 12 cares i anotem el nombre de la cara superior. Descriu els esdeveniments

A=treure un nre. parell B=treure un nre. més gran que ___ C=treure un nre. menor que ___ D=treure un múltiple de ____ Indica quins parells d’aquests esdeveniments són incompatibles.

INS _______________________


Probabilitat - 17 -

1.4. En l’experiment de treure una carta de la baralla espanyola, considera els esdeveniments:

A= treure una figura B= treure ______________

Escriu els esdeveniments A ∩B i A∩B

2 Regla de Laplace (6 tipus d’exercicis)

2.1. Dins d’una capsa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles verdes i ___ boles blaves.

A una altra capsa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles verdes i ___ boles blaves.

En quina capsa és més gran la probabilitat de treure una bola __________?

2.2. Damunt la taula tenim les dues cartes de la baralla espanyola que apareixen a la imatge; traiem una altra carta. Calcula la probabilitat que sigui _____________.

2.3. Traiem totes les fitxes dobles d’un joc de dòmino i després triem una fitxa a l’atzar. Calcula la probabilitat que la suma dels punts sigui un múltiple de ____.

INS _______________________


Probabilitat - 18 -

2.4. Formem tots els nombres de tres xifres possibles amb el ___, el ___ i el ___. En triem un a l’atzar. Calcula la probabilitat que acabi en ____.

2.5. Es tria a l’atzar un nombre entre els ____ primers nombres naturals (a partir del 1). Calcula la probabilitat dels esdeveniments:

A= sortir un nre. més gran que ___ i més petit que ___

B= sortir un múltiple de _____

2.6. Un professor benèvol ha decidit corregir un examen de probabilitat de la forma següent:

Tira dos daus i es fixa en la més gran de les puntuacions obtingudes, si aquesta és menor que ___ posa Insuficient i en els altres casos, Suficient. Amb aquest mètode, quina probabilitat té un estudiant de __________?

3 Propietats de la probabilitat (5 tipus d’exercicis)

3.1. Un dau està trucat de forma que les cares són un nombre _______ tenen __________ probabilitat de sortir que les que no ho són. Calcula la probabilitat de cadascuna de les cares i la de treure un nombre _______.

INS _______________________


Probabilitat - 19 -

3.2. Considera dos esdeveniments A i B d’un experiment aleatori. Si P(A)= _____, P(AUB)= _____ i P(A∩B)= _____; calcula la probabilitat de A\B i de B\A.

3.3. La probabilitat d’un esdeveniment A és p(A)= ____ i la d’un altre B és p(B)= ____. Si la probabilitat que passin els dos a la vegada és p(A∩B)= _____; calcula la probabilitat que no passi cap dels dos.

3.4. La probabilitat d’un esdeveniment A és ______. Calcula la probabilitat de l’esdeveniment contrari.

3.5. Dins una urna hi ha boles blanques, vermelles i negres, però no sabem quantes ni en quina proporció. En 1000 extraccions (amb reposició) hem obtingut bola blanca ____ vegades, vermella ____ vegades i negra ____ vegades. En fer una nova extracció, quina probabilitat hi ha de treure una bola ______? Si a l’urna hi ha ___ boles, quantes estimes que hi haurà de cada color?


INS _______________________


Probabilitat - 20 -

Esdeveniments compostos i probabilitat condicionada. 4. Boles de l’urna (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

4.1. En una capsa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ____ boles negres. S’extreuen successivament i amb reposició dues boles. Calcula la probabilitat que totes dues siguin del mateix color.

4.2. En una capsa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ____ boles negres. S’extreuen successivament i sense reposició dues boles. Calcula la probabilitat que totes dues siguin del mateix color.

5. Una de cada (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

5.1. En una capsa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ___ boles negres. En una altra hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ___ boles negres. S’extreu una bola de cada capsa, calcula la probabilitat que totes dues siguin del mateix color.

5.2. En una capsa hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ___ boles negres. En una altra hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ___ boles negres. S’extreu una bola de cada capsa, calcula la probabilitat que totes dues siguin del mateix color.

6. Primer el dau (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

6.1. En una urna, A, hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ____ boles negres. En una urna, B, hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ____ boles negres. Tirem un dau, si surt un nombre més gran que ___ es treu una bola de l’urna A i si no, de la B. Calcula la probabilitat que la bola sigui __________.

INS _______________________


Probabilitat - 21 -

6.2. En una urna, A, hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ____ boles negres. En una urna, B, hi ha ___ boles vermelles, ___ boles blanques i ____ boles negres. Tirem un dau, si surt un nombre més gran que ___ es treu una bola de l’urna A i si no, de la B. Calcula la probabilitat que la bola sigui __________.

7. De la baralla (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

7.1. S’extreuen dues cartes d’una baralla espanyola sense reposició. Calcula la probabilitat que: a) totes dues siguin del mateix coll b) una sigui de ______ i l’altra de _______

7.2. S’extreuen dues cartes d’una baralla espanyola amb reposició. Calcula la probabilitat que: a) totes dues siguin del mateix coll b) una sigui de ______ i l’altra de _______

8. Amb ulleres o sense (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

8.1. En un institut hi ha _____ estudiants, _____ dels quals són nois i la resta noies. El ___% dels nois i el ___% de les noies porten ulleres. Si triem un estudiant a l’atzar, calcula la probabilitat que no porti ulleres?

amb ulleres

sense ulleres

H

D

8.2. En un institut hi ha _____ estudiants, _____ dels quals són nois i la resta noies. El ___% dels nois i el ___% de les noies porten ulleres. Si triem un estudiant a l’atzar, calcula la probabilitat que porti ulleres?

amb ulleres

sense ulleres

H

D

INS _______________________


Probabilitat - 22 -

9. Fumadors i no fumadors (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

9.1. En una empresa treballen ____ homes i ____ dones. Hi ha ___ homes i ___ dones que són fumadors. Si triem una persona d’aquesta empresa a l’atzar, calcula la probabilitat que: a) sigui una dona fumadora b) sigui una dona si sabem que fuma.

F NF

H

D

9.2. En una empresa treballen ____ homes i ____ dones. Hi ha ___ homes i ___ dones que són fumadors. Si triem una persona d’aquesta empresa a l’atzar, calcula la probabilitat que: a) sigui una dona no fumadora b) sigui una dona si sabem que no fuma.

F NF

H

D

10. Monedes a la butxaca (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

10.1. A una butxaca porto _____ monedes de 10 cèntims, _____ de 20 cèntims i ______ de 1 €. Trec dues monedes a l’atzar. Calcula probabilitat que: a) les dues siguin de ___________

b) tregui __________________.

10.2. A una butxaca porto _____ monedes de 10 cèntims, _____ de 20 cèntims i ______ de 1 €. Trec dues monedes a l’atzar. Calcula probabilitat que: a) les dues siguin de ___________

b) tregui __________________.

11. Tirant a bàsquet (Fes almenys dos exercicis sense canviar d’opció)

11.1. Un jugador de bàsquet acostuma a encertar el ____% dels seus tirs des del punt de llançament de personals. Si tira tres vegades, calcula la probabilitat que: a) faci bàsquet _______ cops b) no faci cap bàsquet

11.2. Un jugador de bàsquet acostuma a encertar el ____% dels seus tirs des del punt de llançament de personals. Si tira tres vegades, calcula la probabilitat que: a) faci bàsquet _______ cops b) no faci cap bàsquet


INS _______________________


Probabilitat - 23 -

Autoavaluació


Escrivim cadascuna de les lletres de la paraula __________ en un paper i en traiem una a l’atzar. Escriu l’esdeveniment “sortir vocal”

Una moneda està trucada de manera que la probabilitat de sortir ______ és ___ vegades la probabilitat de sortir ______. Calcula la probabilitat de sortir ______?

En una bossa hi ha 100 boles numerades del 0 al 99. S’extreu una bola. Calcula la probabilitat que entre les seves xifres no hi hagi el ___.

Es tria una fitxa de dòmino, considera els esdeveniments: A=”sortir una fitxa doble”, B=”la suma dels punts és múltiple de ___”. Quina és la probabilitat de AUB?

Si A i B són dos esdeveniments tals que P(A)=_____, P(B)=_____ i P(A∩B)=____. Calcula la probabilitat que no passi ni A ni B.

Llancem una moneda i un dau. Calcula la probabilitat que surti “______” i “nombre ________”.

Tenim dues urnes amb boles vermelles, verdes i blaves. Traiem una bola de cada urna. Calcula la probabilitat que les dues boles siguin __________.

Els resultats d’un examen fet per dos grups de 4t d’ESO es mostren a la taula adjunta. Es tria un estudiant a l’atzar. Calcula la probabilitat que sigui del grup __ si ha ________.

Dins un calaix, tinc ___ mitjons de color blanc i ___ de color negre. Si agafo dos mitjons sense mirar, quina probabilitat hi ha que siguin del mateix color?

Es treuen dues cartes d’un joc de 40, una rere l’altra. Si l’extracció es fa ______ reposició, calcula la probabilitat que _________________________________.

INS _______________________


Probabilitat - 24 -

Per practicar més

1. Llancem un dau de dotze cares i anotem el nombre de la cara superior. Descriu els esdeveniments: A=”Treure un nombre parell” B=”Treure un nombre més gran que 6” C=”Treure un nombre més petit que 3” D=”Treure un múltiple de 3” Indica quin d’aquests esdeveniments són incompatibles.

2. Triem una fitxa de dòmino a l’atzar, descriu els esdeveniments: A=”La suma dels punts és més gran que 7”; B=”La suma dels punts és múltiple de 5”.

Escriu A∩B i BA∩ .

3. En el experiment de treure una carta d’una baralla espanyola, considera els esdeveniments: A=”Treure una figura”, B=”Treure copes”

Escriu els esdeveniments: A∩B i BA∩ .

4. A l’escola municipal d’un poble hi ha classes per esports d’equip de bàsquet, futbol i voleibol. Hi ha 100 inscrits en esports d’equip, 70 van a classes de futbol, 60 de bàsquet i 40 a futbol i bàsquet. Quants van només a voleibol?

5. Amb un diagrama d’arbre, construeix l’espai mostral de l’experiment de llançar 4 monedes. Considera els esdeveniments:

A=”Sortir una cara” B=”Sortir almenys dues creus” Escriu AUB, A∩B i l’esdeveniment contrari de B.

6. D’un joc de dòmino traiem totes les fitxes dobles. Si triem una fitxa a l’atzar, calcula la probabilitat que la suma dels punts sigui múltiple de 5.

7. Formem tots els nombres possibles de tres xifres amb el 3, el 5 i el 6, repetides o no. Triem un d’aquests nombres a l’atzar. Calcula la probabilitat que acabi en 5.

8. En una capsa hi ha 3 boles vermelles, 3 boles verdes i 2 de blaves; en una altra capsa hi ha 2 boles vermelles, 3 de verdes i 2 de blaves. Quina capsa té la probabilitat d’extreure una bola blava més gran?

9. Es tria a l’atzar un nombre del 1 al 30. Calcula la probabilitat que surti: a) un nombre més gran que 3 i més petit que 17. b) un múltiple de 3.

10. Damunt de la taula tenim les dues cartes que apareixen a sota; traiem una altra carta. Calcula la probabilitat que sigui d’oros?

11. Per corregir un examen de probabilitat, un professor benèvol ha decidit fer-ho de la següent manera: Tira dos daus i es fixa en la més gran de les puntuacions obtingudes, i si es menor que 4 posa Insuficient i en els altres casos, Suficient. Amb aquest mètode, quina probabilitat hi ha d’aprovar?

INS _______________________


Probabilitat - 25 -

12. La probabilitat d’un esdeveniment A és 0,15. Quina és la probabilitat de l’esdeveniment contrari?

13. Un dau està trucat de forma que les cares amb un nombre senar tenen triple probabilitat de sortir que les cares amb nombre parell. Calcula la probabilitat de cada una de les cares i la de treure nombre senar.

14. La probabilitat d’un esdeveniment A és 0,14 i la d’un altre B és 0,39. Si la probabilitat que passin els dos alhora és 0,13. Calcula la probabilitat que no passi cap dels dos.

15. Considera dos esdeveniments A i B d’un experiment aleatori amb P(A)=0,16 i P(AUB)=0,65; P(A∩B)=0,02; calcula la probabilitat de A-B i de B-A.

16. En una urna hi ha boles blanques, vermelles i negres, però no sabem quantes ni amb quina proporció. En 1000 extraccions, retornant la bola cada vegada, ha sortit bola blanca 223 cops, vermella 320 i negra 457. En fer una nova extracció, quina probabilitat hi ha de treure una bola vermella? Si en l’urna hi ha 23 boles, quantes boles estimes que hi haurà de cada color?

17. En una capsa hi ha 3 boles vermelles, 2 boles blanques i 2 boles negres. Si s’extreuen dues boles, calcula la probabilitat que les dues siguin del mateix color si l’extracció es fa:

a) amb devolució b) sense devolució.

18. En una capsa, A, hi ha 3 boles vermelles, 2 boles blanques i 2 negres; en una altra capsa, B, hi ha 2 boles de cada color. S’extreu una bola de la capsa A i es posa a la B, després es treu una bola de B. Calcula la probabilitat que aquesta bola sigui negra.

19. En una capsa, A, hi ha 2 boles vermelles, 3 boles blanques i 3 de negres; en una altra capsa, B, hi ha 2 boles de cada color, vermell, blanc i negre. Es tira un dau, si surt un nombre més gran que 4, es treu una bola de la capsa A, i si no de la B. Calcula la probabilitat que la bola sigui vermella.

20. D’una baralla espanyola de 40 cartes, s’extreuen dues cartes sense devolució, calcula la probabilitat que:

a) les dues siguin del mateix coll, b) una sigui d’oros i l’altra de copes.

21. En un institut hi ha 450 estudiants, dels quals 290 són nois i la resta noies. El 20% dels nois i el 10% de les noies porten ulleres. Si triem un estudiant a l’atzar, quina és la probabilitat que no porti ulleres?

22. Porto en una butxaca 6 monedes de 10 cèntims, 2 de 20 cèntims i 2 de 1 €. Trec dues monedes a l’atzar. Quina és probabilitat que:

a) les dues siguin de 1 euro b) tregui 1,10 euros?

23. En una empresa treballen 190 homes i 130 dones. Hi ha 19 homes i 26 dones que són fumadors. Si triem una persona d’aquesta empresa a l’atzar, calcula la probabilitat que: a) sigui una dona fumadora b) sigui una dona sabent que fuma. AJUDA: Completa la taula

24. Un jugador de bàsquet sol encistellar el 80% dels seus tirs des del punt de llançament de personals. Si tira tres vegades, calcula la probabilitat que: a) encistelli dos cops b) no encistelli cap vegada.

FUMA NO FUMA

HOMES 19 190

DONES 26 130

TOTAL

Cuadernillo 4ºA ESO. Catalán

Documents

Transcript of Cuadernillo 4ºA ESO. Catalán