Matematicas - 1o ESO 1

Criterios de divisibilidad, (2, 3, 5, 7 y 11)

Existen unos procedimientos, algunos muy sencillos, para determinar si un numero es divisor deotros o no.

Estudiamos aquı los criterios de divisibilidad para algunos de los primeros numeros.

• Divisibilidad por 2

Todo numero par, (terminado en 0, 2, 4, 6 u 8), es divisible por 2.

Ejemplos: 18 y 542 son divisibles por 2, (terminan en 8 y 2, pares). 13 y 27 no son divisiblespor 2, (terminan en cifras impares).

• Divisibilidad por 3

Un numero es divisible por 3 si la suma de sus dıgitos es divisible por 3.

Ejemplos: 1275 es divisible por 3, ya que 1+2+7+5=15, divisible por 3. 1327 no es divisiblepor 3, ya que 1+3+2+7=19, que no es divisible por 3.

• Divisibilidad por 5

Un numero es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.

Ejemplos: 1275 es divisible por 5, ya que termina en 5. 1327 no es divisible por 5, ya que notermina ni en 0 ni en 5.

• Divisibilidad por 7

Un numero es divisible por 7 si la diferencia entre dicho numero sin las unidades y el doblede las unidades es 0 o multiplo de 7.

Ejemplos:

– 119 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el numero sin las unidades, (11), y eldoble de las unidades, (9 · 2 = 18), es 18-11=7, multiplo de 7.

– 126 es divisible por 7, ya que la diferencia entre el numero sin las unidades, (12), y eldoble de las unidades, (6 · 2 = 12), es 0, (12-12=0).

– 76 no es divisible por 7, ya que la diferencia entre el numero sin las unidades, (7), y eldoble de las unidades, (6 · 2 = 12), es 12-6=6, que no es ni 0 ni multiplo de 7.

Si el numero es grande, puede aplicarse varias veces el metodo.

Ejemplo: 2625 sera divisible entre 7 si 262 − 5 · 2 = 262 − 10 = 252 es divisible entre 7. 252es divisible entre 7, ya que 25 − 2 · 2 = 25 − 4 = 21 es divisible entre 7. Por tanto, 2625 esdivisible entre 7.

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Matematicas - 1o ESO 2

• Divisibilidad por 11

Un numero es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de sus dıgitos pares y la suma desus dıgitos impares es cero o multiplo de 11. Al igual que en el criterio para el 7, es posibleque el metodo deba aplicarse varias veces.

Ejemplos:

– 12914 es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dıgitos impares,(1+9+4=14) menos la suma de sus dıgitos pares, (2+1=3), es (14-3=11) multiplo de 11.

– 37697 es divisible por 11, ya que la diferencia entre la suma de sus dıgitos impares,(3+6+7=16) menos la suma de sus dıgitos pares, (7+9=16), es cero, (16-16=0).

– 126 no es divisible por 11,, ya que la diferencia entre la suma de sus dıgitos impares,(1+6=7) menos la suma de sus dıgitos pares, (2), es 1, (7-2=5), que no es ni 0 ni multiplode 11.

Criterios de divisibilidad, (4, 6, 8, 9 y 10)

Los criterios de divisibilidad que hemos visto anteriormente corresponden a los primerosnumeros primos, (concepto que ampliaremos en siguientes apartados), y son basicos en ma-tematicas.

Pero tambien es util conocer los criterios para otros numeros.

Expondremos a continuacion los criterios para los numeros que nos faltan hasta el 10.

• Divisibilidad por 4

Un numero es divisible por 4 si sus 2 ultimas cifras son 00, o multiplo de 4. Ademas,para ser divisible por 4 tiene que ser divisible por 2, con los que todos los imparesquedan descartados.

Ejemplos:

– 48300 es divisible por 4, ya que termina en 00.

– 6792 es divisible por 4, ya que 92 = 23 · 4 es divisible por 4.

– 1263 no es divisible por 4, ya que es impar.

• Divisibilidad por 6

Un numero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3.

Ejemplos:

– 6792 es divisible por 6, ya que es par, (divisible por 2) y sus dıgitos suman6+7+9+2=24, multiplo de 3.

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Matematicas - 1o ESO 3

– 1262 no es divisible por 6, ya que aunque es par, la suma de sus dıgitos, (1+2+6+2=11),no es multiplo de 3.

• Divisibilidad por 8

Un numero es divisible por 8 si sus tres ultimos dıgitos son 000, o multiplos de 8.Ademas tiene que ser multiplo de 2, con lo que los impares quedan descartados.

Ejemplos:

– 882000 es divisible entre 8, ya que termina en 000.

– 9872 es divisible por 8, ya que 872 = 109 · 8.

– 126122 no es divisible por 8, ya que 122:8=15, con resto 2.

• Divisibilidad por 9

Un numero es divisible por 9 si la suma de sus dıgitos es divisible entre 9.

Ejemplos:

– 156312 es divisible por 9, ya que 1 + 5 + 6 + 3 + 1 + 2 = 18, divisible entre 9.

– 12612 no es divisible por 9, ya que 1+2+6+1+2=12, que no es divisible entre 9.

• Divisibilidad por 10

Un numero es divisible por 10 si acaba en 0.

Ejemplo: 56310 es divisible por 10, ya que acaba en 0.

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