Criterio General de Divisibilidad By Grimaldo Oleas

Thales Pitágoras Euclides Diofanto Hipatia Descartes Fermat Euler Hilbert Cantor Gauss

¡Oh matemáticas severas!, yo no os he olvidado desde que vuestras sabias lecciones, más dulces que la miel, se infiltraron en mi corazón como una onda refrescante... Había en mi espíritu algo vago, un no sé qué espeso como el humo; pero supe franquear religiosamente las gradas que conducen a vuestro altar, y vosotras habéis disipado ese velo oscuro, como el viento disipa a la niebla. Vosotras habéis puesto, en su lugar, una frialdad excesiva, una prudencia consumada y una lógica implacable.

Conde de Lautréamont “Los cantos de Maldoror”


CONSTRUCCIÓN DE UN CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD

Profesor: Grimaldo Oleas Liñán

2015

[email protected] grimaldo.oleas@udea


JUSTIFICACIÓN: • Usualmente enunciamos y aplicamos criterios de divisibilidad, sin

reflexionar acerca de su justificación en la Teoría Elemental de Números

• En los textos de Aritmética, es escasa la información acerca del tema • El estudio de los números primos se complementa con un criterio

teórico, que permita determinar si un número primo es factor de un número natural dado.

TEMAS: Presentación, con su respectiva prueba, de los criterios de

divisibilidad comúnmente usados (Por 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 11) Construcción de un criterio de divisibilidad aplicable a cualquier

número primo.


ELEMENTOS TEÓRICOS

Nuestro universo de referencia es el conjunto de los números enteros:

𝒁 = … , −𝟑, −𝟐, −𝟏, 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … ,

con sus dos operaciones básicas: ADICIÓN y MULTIPLICACIÓN,

y sus propiedades.

Un subconjunto importante de 𝒁 es el conjunto de los números naturales:

𝑵 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …


Definición Sean a, b enteros, con 𝒂 ≠ 𝟎. Se dice que a divide a b, si existe

al menos un entero 𝒄 , tal que 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒄 Expresiones equivalentes para “a divide a b ” son: a es divisor de b b es múltiplo de a b es divisible por a Notación: 𝒂 𝒃 denota: a divide a b (b es divisible por a) a ∤ b denota: a no divide a b (b no es divisible por a)


Propiedades iniciales: • 𝟎 es divisible por cualquier número natural • Todo número entero es divisible por 𝟏 y por −𝟏 • Si 𝒃 es divisible por 𝒂, entonces: 𝒃 es divisible por −𝒂 −𝒃 es divisible por 𝒂 y por −𝒂 • Todo entero no nulo, es divisible por sí mismo y por su

inverso aditivo


Teorema 1 (Algoritmo de la división para números naturales)

Para a, b naturales, existen enteros no negativos únicos 𝒒, 𝒓, tales que: 𝒃 = 𝒒 ∙ 𝒂 + 𝒓,

con 𝒒 ≥ 𝟎 y 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒂

𝒃: dividendo 𝒂: divisor

𝒒: cociente 𝒓: residuo


Teorema 2 (Propiedades básicas de la divisibilidad)

Para 𝒂, 𝒃𝟏, 𝒃𝟐, … , 𝒃𝒌 enteros, si 𝒂𝒃𝟏, 𝒂𝒃𝟐, … , 𝒂𝒃𝒌, entonces 𝒂 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 + ⋯ + 𝒃𝒌

Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 enteros, si 𝒂𝒃, entonces: 𝒂 𝒃 + 𝒄 si y sólo si 𝒂𝒄

Para 𝒂, 𝒃, 𝒎 enteros, 𝒎 ≠ 𝟎, 𝒂𝒃 si y sólo si 𝒎 ∙ 𝒂𝒎 ∙ 𝒃

Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 enteros, si 𝒂𝒃 y 𝒃𝒄, entonces 𝒂𝒄

(Lema de Euclides) Para 𝒂, 𝒃, 𝒄 enteros, si 𝒂 𝒃 ∙ 𝒄 y 𝒎. 𝒄. 𝒅 𝒂, 𝒃 = 𝟏, entonces 𝒂𝒄


Teorema 3 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟗) Para todo 𝒏 entero no negativo, 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟗

Teorema 4 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟏𝟏) Para todo 𝒏 entero no negativo: • Si 𝒏 es par, entonces 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏 • Si 𝒏 es impar, entonces 𝟏𝟎𝒏 + 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏

Estos dos teoremas se prueban fácilmente, utilizando el principio de inducción matemática


ILUSTRACIÓN:

𝟏𝟎𝟒 − 𝟏 = 𝟗𝟗𝟗𝟗

𝟏𝟎𝟒 − 𝟏 es divisible por 𝟗 y por 𝟏𝟏

𝟏𝟎𝟓 + 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏

𝟏𝟎𝟓 + 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏


ACERCA DE LOS NÚMEROS PRIMOS Definición:

Un número natural es PRIMO, si tiene exactamente dos divisores naturales: EL NÚMERO Y LA UNIDAD

Ilustración: • 𝟏 no es primo: Tiene sólo un divisor natural: él mismo • 𝟐 es primo: Tiene exactamente dos divisores naturales: 𝟏, 𝟐 • 𝟕 es primo: Tiene exactamente dos divisores naturales: 𝟏, 𝟕 • 𝟗 no es primo: Tiene tres divisores naturales: 𝟏, 𝟑, 𝟗


Los números primos se utilizan en criptografía: en la codificación o cifrado de mensajes. Son muy útiles para imprimir seguridad a las transacciones monetarias que se hacen vía internet. Los números naturales mayores que 1, y que no son primos, se denominan compuestos. El número 1 es el único natural que no es primo ni compuesto. El conjunto 𝑵, de los números naturales, es la unión de tres conjuntos disjuntos:

𝑵 = 𝟏 ∪ 𝑛 ∈ 𝑵: 𝑛 𝑒𝑠 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐 ∪ 𝑛 ∈ 𝑵: 𝑛 𝑒𝑠 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐


La primera mención de los números primos la hizo Euclides en su obra ELEMENTOS. Euclides definió los números primos y demostró dos teoremas fundamentales: El conjunto de los números primos es infinito Todo número natural superior a 1, es primo, o se puede

descomponer, de manera única, como producto de potencias de números primos .

Este último es el teorema fundamental de la Aritmética


TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA Si 𝒏 es un natural compuesto, entonces existen: • primos únicos 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, … , 𝒑𝒌, con 𝒑𝟏 < 𝒑𝟐< ⋯ < 𝒑𝒌

• naturales únicos 𝒏𝟏, 𝒏𝟐, … , 𝒏𝒌

tales que:

𝒏 = 𝒑𝟏𝒏𝟏 ∙ 𝒑𝟐

𝒏𝟐 ⋯ 𝒑𝒏𝒏𝒌


¿EXISTE UNA FÓRMULA PARA GENERAR NÚMEROS PRIMOS?

Intentos:

Los números de Fermat

Los números de Mersenne


LOS NÚMEROS DE FERMAT

Pierre de Fermat, jurista y matemático francés, fue junto con René Descartes, uno de los principales matemáticos de la primera mitad del siglo XVII. En Teoría de Números, ideó una fórmula (los números de Fermat):

𝑭𝒏 = 𝟐𝟐𝒏+ 𝟏; para 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, …


Fermat encontró:

𝑭𝟎 = 𝟐𝟐𝟎+ 𝟏 = 𝟑

𝑭𝟏 = 𝟐𝟐𝟏+ 𝟏 = 𝟓

𝑭𝟐 = 𝟐𝟐𝟐+ 𝟏 = 𝟏𝟕

𝑭𝟑 = 𝟐𝟐𝟑+ 𝟏 = 𝟐𝟓𝟕

𝑭𝟒 = 𝟐𝟐𝟒+ 𝟏 = 𝟔𝟓𝟓𝟑𝟕


Estos primeros cinco números de Fermat son primos. Aparentemente estos resultados indujeron a Fermat a

conjeturar que todos los números de Fermat son primos Transcurridos cerca de 66 años de la muerte de Fermat, Leonhard Euler refutó la conjetura. Encontró:

𝑭𝟓 = 𝟐𝟐𝟓+ 𝟏 = 𝟒. 𝟐𝟗𝟒. 𝟗𝟔𝟕. 𝟐𝟗𝟕 = 𝟔𝟒𝟏 × 𝟔𝟕𝟎𝟎𝟒𝟏𝟕

¡𝑭𝟓 no es primo! No obstante, los números de Fermat tienen otras propiedades interesantes.

Se desconoce si hay más números primos de Fermat.


LOS NÚMEROS DE MERSENNE

Marin Mersenne, monje francés del siglo XVII, contemporáneo de Fermat, estudió diversos campos de

la Teología, la Matemática y la Música

Un número de Mersenne es un número natural de la forma:

𝑴𝒏 = 𝟐𝒏 − 𝟏; para 𝒏 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, …

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo


Los primos de Mersenne, son números primos para los cuales, al sumarles la unidad (1), se

obtiene una potencia de dos (2)

Poco antes de 1950, se encontró que para 𝒏 ≤ 𝟐𝟓𝟖, sólo hay 12 primos de Mersenne. Para:

𝒏 𝝐 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗, 𝟑𝟏, 𝟔𝟏, 𝟖𝟗, 𝟏𝟎𝟕, 𝟏𝟐𝟕


En 1996 nació el proyecto GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), que provee un software para hallar primos de Mersenne y ofrece premios para quienes vayan descubriendo nuevos de estos primos. Hasta enero de 2013, el mayor primo de Mersenne encontrado (el primo número 48) es:

𝑴𝟓𝟕.𝟖𝟖𝟓.𝟏𝟔𝟏 = 𝟐𝟓𝟕.𝟖𝟖𝟓.𝟏𝟔𝟏 − 𝟏 Este número, de gran tamaño, tiene ¡ 𝟏𝟕. 𝟒𝟐𝟓. 𝟏𝟕𝟎 dígitos!

Se desconoce hasta ahora, si el conjunto de los primos de Mersenne es infinito


CONJETURAS DE GOLDBACH Christian Goldbach, hijo de un pastor, fue un matemático prusiano del siglo XIX. Estudió leyes, idiomas y matemáticas. En diversos viajes a través de Europa, conoció a matemáticos famosos, como: Leibniz, Euler y Bernoulli. Goldbach enunció, en 1742, dos conjeturas:

Conjetura fuerte: Todo número par, mayor que 2, puede expresarse como la suma de dos números primos. Conjetura débil: Todo número impar, mayor que 5, se puede expresar como la suma de tres números primos.


¡DEMOSTRADA UNA DE LAS CONJETURAS DE GOLDBACH! En mayo de 2013 (¡más de 270 años después de enunciada la conjetura!), el matemático peruano Harald Helfgott, nacido en Lima en noviembre de 1977, concluyó, después de seis años de trabajo constante, la prueba de la Conjetura débil de Goldbach. La prueba de Helfgott debió pasar por dos años de revisiones y reescrituras hasta el envío, de su parte, del documento final. Hace poco, en mayo de 2015, recibió de Annals of Mathematics Studies, revista prestigiosa de la Universidad de Princeton, la validación de su prueba de la conjetura.


PREMIOS: • La Cátedra Humboldt le concede a Harald

Helfgott, tres millones y medio de euros para crear y liderar un equipo de teóricos de la matemática que exploren en teoría de grupos y teoría de números en los próximos cinco años

• La Unión Europea le ha concedido un millón

trescientos mil euros para investigar.


¿CÓMO HALLAR LOS NÚMEROS PRIMOS QUE NO SUPEREN UN NATURAL DADO?

LA CRIBA DE ERATÓSTENES


ERATÓSTENES (284 A. C. – 192 A. C.)

Astrónomo, geógrafo, matemático y filósofo griego. Una de las figuras más eminentes del gran siglo de la ciencia griega: el de

Euclides, Arquímedes, Apolonio

Fue el primero en calcular, con bastante aproximación, la longitud de la circunferencia de la Tierra

Ideó un algoritmo para encontrar los números primos

inferiores o iguales a un número natural dado: La criba de Eratóstenes


Algoritmo:

Dado un número natural 𝑵, se forma una tabla con todos los números naturales comprendidos entre 𝟏 y 𝑵. A continuación:

• Se tacha el número 1 (Por ser el primer natural no primo) • Se tachan todos los múltiplos de 𝟐 mayores que 𝟐. El primero

es 𝟐𝟐 • Se observa cuál es primer entero superior a 𝟐 que no ha sido

tachado (𝟑) y se tachan sus múltiplos mayores que él. El primero es 𝟑𝟐

• Se repite el proceso, el cual finaliza cuando el cuadrado del mayor número confirmado como primo es mayor que 𝑵

Los números que no resulten tachados, son los primos buscados

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

59

2 3 5 7

11 13 19 17

23 29

31 37

41 43 47

53 59

61 67

71 73

83

79

89

97


NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100:

𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟏𝟏 𝟏𝟑, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗, 𝟐𝟑, 𝟐𝟗 𝟑𝟏, 𝟑𝟕, 𝟒𝟏, 𝟒𝟑, 𝟒𝟕 𝟓𝟑, 𝟓𝟗, 𝟔𝟏, 𝟔𝟕, 𝟕𝟏 𝟕𝟑, 𝟕𝟗, 𝟖𝟑, 𝟖𝟗, 𝟗𝟕


CRITERIOS BÁSICOS DE DIVISIBILIDAD

Un número natural 𝑵 de 𝒏 + 𝟏 dígitos (por supuesto, con 𝒏 natural) tiene la siguiente forma:

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1)

Teniendo en cuenta el valor posicional de los dígitos en base 𝟏𝟎: 𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒏 +𝟏𝟎𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 𝒂𝟐 +𝟏𝟎𝟏 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 (2)


ILUSTRACIÓN:

𝟑𝟖𝟒𝟗𝟕𝟔𝟖 = 𝟑 × 𝟏𝟎𝟔 + 𝟖 × 𝟏𝟎𝟓 + 𝟒 × 𝟏𝟎𝟒 + 𝟗 × 𝟏𝟎𝟑 + 𝟕 × 𝟏𝟎𝟐 + 𝟔 × 𝟏𝟎𝟏 + 𝟖

𝟑𝟖𝟒𝟗𝟕𝟔𝟖𝟓 = 𝟑 × 𝟏𝟎𝟕 + 𝟖 × 𝟏𝟎𝟔 + 𝟒 × 𝟏𝟎𝟓 + 𝟗 × 𝟏𝟎𝟒 + 𝟕 × 𝟏𝟎𝟑 + 𝟔 × 𝟏𝟎𝟐 + 𝟖 × 𝟏𝟎𝟏 + 𝟓


𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1) Denotemos:

𝑫 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 (3) 𝑫 se obtiene de 𝑵, al suprimir el dígito de las unidades.

𝑫 es el número de decenas contenidas en 𝑵

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 (4) Ejemplo:

𝑵 = 𝟑𝟕𝟖𝟔

𝑫 = 𝟑𝟕𝟖

𝑵 = 𝟏𝟎 × 𝟑𝟕𝟖 + 𝟔


Divisibilidad por 2, 5, 10

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎

Claramente: 𝟏𝟎 𝑫 es múltiplo de 𝟏𝟎. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es divisible por 𝟏𝟎 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟏𝟎. Pero, el único dígito divisible por 10 es cero (0). En consecuencia:

Un número natural es divisible por 10, sii su dígito de las unidades es cero (0)


Retomemos: 𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 (4)

Evidentemente: 𝟏𝟎 𝑫 es múltiplo de 𝟓. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es divisible por 𝟓 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟓. Pero, los únicos dígitos divisibles por 5 son: cero (0) y cinco (5). Por tanto:

Un número natural es divisible por 5, sii su dígito de las unidades es cero (0) o cinco (5)


Volvamos a: 𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 (4)

Es claro que: 𝟏𝟎 𝑫 es múltiplo de 𝟐. Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es divisible por 𝟐 si y sólo si 𝒂𝟎 es divisible por 𝟐. Pero, los únicos dígitos divisibles por 2 son: cero (0), dos (2), cuatro (4), seis (6), ocho (8). Luego:

Un número natural es divisible por 2, sii su dígito de las unidades es par


Divisibilidad por : 3, 9

𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒏 +𝟏𝟎𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟏 +𝟏𝟎𝒏−𝟐 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 𝒂𝟐 +𝟏𝟎𝟏 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 (2)

La expresión (2) puede transformarse en:

𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 − 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 − 𝟏 𝒂𝟏

Denotemos:

𝑹 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 − 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 − 𝟏 𝒂𝟏

𝑺 = 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎

𝑵 = 𝑹 + 𝑺

𝑺 es la suma de los dígitos de 𝑵 (llamada suma transversal de 𝑵)

+ 𝒂𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎


Por el teorema 3: Cada sumando de 𝑹 es múltiplo de 𝟗. Luego (Teorema 2): 𝑹 es divisible por 𝟗.

Además, por el teorema 2: 𝑹 es divisible por 𝟑.

En consecuencia:

• Un número natural es divisible por 9, sii su suma transversal (S) es múltiplo de 9

• Un número natural es divisible por 3, sii su suma

transversal (S) es múltiplo de 3


ILUSTRACIÓN 1:

𝟏𝟕𝟗𝟖𝟓

Suma transversal: 𝟏 + 𝟕 + 𝟗 + 𝟖 + 𝟓 = 𝟑𝟎

𝟑 + 𝟎 = 𝟑

𝟑 es divisible por 𝟑, mas no por 𝟗

Conclusión:

𝟏𝟕𝟗𝟖𝟓 es divisible por 𝟑, pero no lo es por 𝟗


ILUSTRACIÓN 2:

𝟏𝟕𝟗𝟖𝟐

Suma transversal:

𝟏 + 𝟕 + 𝟗 + 𝟖 + 𝟐 = 𝟐𝟕

𝟐 + 𝟕 = 𝟗

𝟏𝟕𝟗𝟖𝟐 es divisible por 𝟑 y por 𝟗


ILUSTRACIÓN 3:

𝟑𝟕𝟗𝟖𝟐

Suma transversal:

𝟑 + 𝟕 + 𝟗 + 𝟖 + 𝟐 = 𝟐𝟗

𝟐 + 𝟗 = 𝟏𝟏 1 + 𝟏 = 𝟐

3𝟕𝟗𝟖𝟐 no es divisible por 𝟑 ni por 𝟗


Divisibilidad por 6

Teniendo en cuenta que la descomposición en factores primos de 𝟔 es: 𝟔 = 𝟐 × 𝟑:

Un número natural es divisible por 𝟔, sii es divisible por

dos (𝟐) y por tres 𝟑)

De otro modo:

Un número natural es divisible por 𝟔, sii es par y su suma transversal es múltiplo de tres (3)


Divisibilidad por 4

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1)

Denotemos: 𝑪 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐

𝑺 = 𝒂𝟏𝒂𝟎

• 𝑪 es el número obtenido al suprimir en 𝑵 los dos últimos dígitos

• 𝑪 es el número de centenas contenidas en 𝑵

• 𝑺 es el número formado por los dos últimos dígitos de 𝑵

𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 𝑪 + 𝑺


ILUSTRACIÓN:

42𝟕𝟗𝟖𝟓

𝑪 = 𝟒𝟐𝟕𝟗

𝑺 = 𝟖𝟓

𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟒𝟐𝟕𝟗 + 𝟖𝟓


Divisibilidad por 4

𝑵 = 𝟏𝟎𝟎 𝑪 + 𝑺

Es claro que 𝟏𝟎𝟎 𝑪 es múltiplo de cuatro (4). Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es múltiplo de cuatro, si y sólo si 𝑺 es múltiplo de cuatro (4). Luego:

Un número natural es divisible por 4, sii el número formado por sus dos últimos dígitos es múltiplo de cuatro (4)


ILUSTRACIÓN:

𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟒

𝟖𝟒 = 𝟒 × 𝟐𝟏

𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟒 es divisible por 𝟒

𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟒 = 𝟒 × 𝟖𝟗𝟒𝟐𝟏


Divisibilidad por 8

Denotemos: 𝑴 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟑

𝑼 = 𝒂𝟐𝒂𝟏𝒂𝟎

• 𝑴 es el número obtenido al suprimir en 𝑵 los tres últimos dígitos • 𝑴 es el número de unidades de mil contenidas en 𝑵 • 𝑼 es el número formado por los tres últimos dígitos de 𝑵

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎

𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑴 + 𝑼


ILUSTRACIÓN:

N = 42𝟕𝟗𝟖𝟓

𝑴 = 𝟒𝟐𝟕

𝑼 = 𝟗𝟖𝟓

𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 × 𝟒𝟐𝟕 + 𝟗𝟖𝟓


Divisibilidad por 8

𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑴 + 𝑼 𝑵 = 𝟖 × 𝟏𝟐𝟓 𝑴 + 𝑼

𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑴 es múltiplo de ocho (8). Por tanto (Teorema 2), 𝑵 es múltiplo de ocho, si y sólo si 𝑼 es múltiplo de ocho (8). Luego:

Un número natural es divisible por 8, sii el número formado por sus tres últimos dígitos es múltiplo de ocho (8)


ILUSTRACIÓN:

𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟖

𝟔𝟖𝟖 = 𝟖 × 𝟖𝟔

𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟖 es divisible por 𝟖

𝟑𝟓𝟕𝟔𝟖𝟖 = 𝟖 × 𝟒𝟒𝟕𝟏𝟏


Divisibilidad por 11

Volvamos a las expresiones (1) y (2): 𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1)

𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 𝒂𝒏 +𝟏𝟎𝒏−𝟏 𝒂𝒏−𝟏 +𝟏𝟎𝒏−𝟐 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 𝒂𝟐 +𝟏𝟎𝟏 𝒂𝟏 + 𝒂𝟎 (2)

Consideremos dos casos en cuanto a la paridad del exponente 𝒏 en 𝟏𝟎𝒏:

Caso 1: 𝒏 es par

Caso 2: 𝒏 es impar


Caso 1: n es par

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎

Convención: El dígito de las unidades, 𝒂𝟎, ocupa el lugar CERO. De este modo: • Los dígitos 𝒂𝒏, 𝒂𝒏−𝟐 , … , 𝒂𝟐, 𝒂𝟎 ocupan lugares de orden PAR

• Los dígitos 𝒂𝒏−𝟏, 𝒂𝒏−𝟑 , … , 𝒂𝟑, 𝒂𝟏 ocupan lugares de orden

IMPAR


ILUSTRACIÓN:

𝑵 = 𝟑𝟖𝟒𝟗𝟕𝟔𝟖 El número de cifras de 𝑵 es:

𝒏 + 𝟏 = 𝟕 𝒏 = 𝟔

Los lugares de orden par son ocupados así:

Lugar 0: 8 Lugar 2: 7 Lugar 4: 4 Lugar 6: 3


Retomemos el Teorema 4: Teorema 4 (Potencias de 𝟏𝟎 y divisibilidad por 𝟏𝟏) Para todo 𝒏 entero no negativo: • Si 𝒏 es par, entonces 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏 • Si 𝒏 es impar, entonces 𝟏𝟎𝒏 + 𝟏 es divisible por 𝟏𝟏


Reorganicemos 𝑵 así:

𝑵 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 + 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏 𝒂𝟏

+ 𝒂𝟎 +𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 − 𝒂𝟏 +𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏

Denotemos:

𝑳 = 𝟏𝟎𝒏 − 𝟏 𝒂𝒏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟏 + 𝟏 𝒂𝒏−𝟏 + 𝟏𝟎𝒏−𝟐−𝟏 𝒂𝒏−𝟐 + ⋯

+ 𝟏𝟎𝟐 − 𝟏 𝒂𝟐 + 𝟏𝟎𝟏 + 𝟏 𝒂𝟏

𝑫 = 𝒂𝟎 +𝒂𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒏 − 𝒂𝟏 +𝒂𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏−𝟏


𝑵 = 𝑳 + 𝑫

𝑫 es la diferencia entre: La suma de los dígitos de 𝑵 que ocupan los lugares de orden par y la suma de los dígitos de 𝑵 que ocupan los lugares de orden impar. Claramente (Teorema 4), cada sumando de 𝑳 es múltiplo de 11. Por tanto, 𝑳 es múltiplo de 11. En consecuencia (Teorema 2): 𝑵 es múltiplo de 11, si y sólo si 𝑫 es múltiplo de 11. Resultado similar puede obtenerse en el caso 2 (𝒏 impar). Esto permite enunciar:

Un número natural es divisible por 11, sii la diferencia entre la suma de los

dígitos que ocupan los lugares de orden impar y la suma de los dígitos que ocupan

los lugares de orden par, es un múltiplo de 11


ILUSTRACIÓN:

𝟏𝟎𝟗𝟖𝟔𝟎𝟒𝟕𝟔 Suma de los dígitos que ocupan lugares de orden par:

𝟔 + 𝟒 + 𝟔 + 𝟗 + 𝟏 = 𝟐𝟔

Suma de los dígitos que ocupan lugares de orden impar: 7+𝟎 + 𝟖 + 𝟎 = 𝟏𝟓

Diferencia entre las dos sumas: 𝟐𝟔 − 𝟏𝟓 = 𝟏𝟏(múltiplo de 𝟏𝟏) 𝟏𝟎𝟗𝟖𝟔𝟎𝟒𝟕𝟔 es múltiplo de 𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟗𝟖𝟔𝟎𝟒𝟕𝟔 = 𝟗𝟗𝟖𝟕𝟑𝟏𝟔 × 𝟏𝟏



Dado que 𝟏𝟐 = 𝟑 × 𝟒 , podemos enunciar: Un número natural es divisible por 12, sii es divisible por

tres (3) y por cuatro (4) De otro modo: Un número natural es divisible por 12, sii su suma transversal es divisible

por 3, y el número formado por sus dos últimos dígitos es divisible por 4


ILUSTRACIÓN:

𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐 Al aplicar separadamente los criterios de divisibilidad por cuatro (4) y por tres (𝟑), se obtiene: El número es divisible por 𝟒: 𝟕𝟐 es divisible por 𝟒 El número es divisible por 𝟑. Su suma transversal es divisible por 𝟑: 𝟏 + 𝟓 + 𝟕 + 𝟐 = 𝟏𝟓

𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐 es divisible por 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟓𝟎𝟕𝟐 = 𝟏𝟐 × 𝟖𝟕𝟓𝟔


De la importancia de la descomposición de un número natural en sus factores primos, se desprende la siguiente pregunta:

¿Existe un criterio general para determinar si un

número natural es divisible por un número primo dado?

A continuación daremos respuesta a este interrogante.


UN CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 7

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1)

𝑫 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 (3)

𝑫 se obtiene de 𝑵, al suprimir el dígito de las unidades. 𝑫 es el número de decenas contenidas en 𝑵.

Ahora: 𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 (4)


𝟑 × 𝟕 = 𝟐𝟏

𝟐𝟏 es el menor múltiplo de 7 que difiere en una unidad con un múltiplo de 𝟏𝟎

𝟐𝟏 = 𝟐 × 𝟏𝟎 + 𝟏

Definamos: 𝑺 = 𝑫 − 𝟐 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 − 𝟐𝟏 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝑵 − 𝟐𝟏 ∙ 𝒂𝟎

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑺 + 𝟐𝟏 ∙ 𝒂𝟎


𝑵 = 𝟏𝟎 𝑺 + 𝟐𝟏 ∙ 𝒂𝟎

𝟐𝟏 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 7

Por tanto (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 7 si y sólo si 𝟏𝟎 𝑺 es divisible por 7. Pero:

𝒎. 𝒄. 𝒅. 𝟏𝟎, 𝟕 = 𝟏 Luego (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 7 si y sólo si 𝑺 es divisible por 7


Un número natural es divisible por 7, si y sólo si al suprimir en

el número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle dos

veces dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de 7

Criterio:

Un número natural es divisible por 7, si y sólo si al restar al

número de decenas contenidas en él, dos veces el dígito de las

unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 7

En forma equivalente:


ILUSTRACIÓN:

𝟒𝟎𝟏𝟕𝟑

𝟒𝟎𝟏𝟕 − 𝟐 × 𝟑 = 𝟒𝟎𝟏𝟏

𝟒𝟎𝟏 − 𝟐 = 𝟑𝟗𝟗

𝟑𝟗 − 𝟏𝟖 = 𝟐𝟏

𝟐𝟏 es múltiplo de 𝟕

𝟒𝟎𝟏𝟕𝟑 es divisible por 𝟕

𝟒𝟎𝟏𝟕𝟑 = 𝟕 × 𝟓𝟕𝟑𝟗


UN CRITERIO DE DIVISIBILIDAD POR 13

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1)

𝑫 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 (3)

𝑫 se obtiene de 𝑵, al suprimir el dígito de las unidades. 𝑫 es el número de decenas contenidas en 𝑵.

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 (4)


𝟑 × 𝟏𝟑 = 𝟑𝟗 39 es el menor múltiplo de 13 que difiere en una unidad

con un múltiplo de 𝟏𝟎 39 = 𝟒 × 𝟏𝟎 − 𝟏

Definamos: 𝑺 = 𝑫 + 𝟒 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝟒𝟎 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 + 𝟑𝟗 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝑵 + 𝟑𝟗 ∙ 𝒂𝟎

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑺 − 𝟑𝟗 ∙ 𝒂𝟎


𝑵 = 𝟏𝟎 𝑺 − 𝟑𝟗 ∙ 𝒂𝟎 𝟑𝟗 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 13

Por tanto (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 13 si y sólo si 𝟏𝟎 𝑺 es divisible por 13. Pero:

𝒎. 𝒄. 𝒅. 𝟏𝟎, 𝟏𝟑 = 𝟏 Luego (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 13 si y sólo si 𝑺 es divisible por 13


Un número natural es divisible por 13, si y sólo si al suprimir en

el número, el dígito de las unidades, y al resultado sumarle

cuatro veces dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de 13

Criterio:

En forma equivalente:

Un número natural es divisible por 13, si y sólo al sumar al

número de decenas contenidas en él, cuatro veces el dígito de

las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 13


ILUSTRACIÓN:

𝟖𝟗𝟗𝟔

𝟖𝟗𝟗 + 𝟒 × 𝟔 = 𝟗𝟐𝟑

𝟗𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟎𝟒

𝟏𝟎 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟔

𝟐𝟔 es múltiplo de 𝟏𝟑

𝟖𝟗𝟗𝟔 es divisible por 𝟏𝟑

𝟖𝟗𝟗𝟔 = 𝟏𝟑 × 𝟔𝟗𝟐


Orientados por los dos casos anteriores (divisibilidad por 7 y divisibilidad por 13),

construyamos un

CRITERIO GENERAL DE DIVISIBILIDAD


Sean: 𝒒 un número primo dado; 𝑵 un número natural. ¿Bajo qué condiciones es 𝑵 divisible por 𝒒?

Sea 𝒌 ∙ 𝒒 (𝒌 natural), el menor múltiplo de 𝒒 que difiere en uno (1) con algún múltiplo de 𝟏𝟎.

Sea 𝟏𝟎 𝒄 (𝒄 natural) ese múltiplo de 𝟏𝟎 Nótese que 𝟐 y 𝟓 son los únicos números primos para los

cuales ello no es posible.

Existen dos posibilidades: 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 + 𝟏 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 − 𝟏


Recordemos las expresiones:

𝑵 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏𝒂𝟎 (1)

𝑫 = 𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏𝒂𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝟐 𝒂𝟏 (3)

Analicemos cada uno de los dos casos:

• 𝑫 es el número resultante de suprimir en 𝑵 , el

dígito de las unidades • 𝑫 es el número de decenas contenidas en 𝑵

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎


Caso 1: 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 + 𝟏

Definamos:

𝑺 = 𝑫 − 𝒄 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 − 𝟏𝟎 𝒄 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 − 𝟏𝟎 𝒄 + 𝟏 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝑵 − 𝒌 ∙ 𝒒 𝒂𝟎

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑺 + 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒

Es evidente que 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒 es divisible por 𝒒 . Luego: 𝑵 es divisible por 𝒒, si y sólo si 𝟏𝟎 𝑺 es divisible por 𝒒.

Pero, 𝒎. 𝒄. 𝒅. 𝟏𝟎, 𝒒 = 𝟏 (¿?). Por tanto (Teorema 2):

𝑵 es divisible por 𝒒, si y sólo si 𝑺 es divisible por 𝒒.


Caso 2: 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 − 𝟏

Definamos:

𝑺 = 𝑫 + 𝒄 ∙ 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝟏𝟎 𝒄 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎 𝑫 + 𝒂𝟎 + 𝟏𝟎 𝒄 − 𝟏 𝒂𝟎

𝟏𝟎 𝑺 = 𝑵 + 𝒌 ∙ 𝒒 𝒂𝟎

𝑵 = 𝟏𝟎 𝑺 − 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒

Claramente, 𝒌 ∙ 𝒂𝟎 𝒒 es divisible por 𝒒 . Luego (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 𝒒, si y sólo si 𝟏𝟎 𝑺 es divisible por 𝒒.

Pero, 𝒎. 𝒄. 𝒅. 𝟏𝟎, 𝒒 = 𝟏 . Luego (Teorema 2):

𝑵 es divisible por 𝒒, sólo si 𝑺 es divisible por 𝒒


Teorema 5 (Criterio general de divisibilidad por números primos) Consideremos: un número primo 𝒒 y un número natural 𝑵. Sea 𝒌 ∙ 𝒒 (𝒌 natural), el menor múltiplo de 𝒒 que difiere en uno (𝟏) con algún múltiplo de 𝟏𝟎. Sea 𝟏𝟎 𝒄 (𝒄 natural) ese múltiplo de 𝟏𝟎. Denotemos 𝑫𝑵, el número que resulta de suprimir en 𝑵 el dígito de las unidades 𝒂𝟎. 𝑫𝑵 es el número de decenas contenidas en 𝑵.

• Si 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 + 𝟏 , entonces: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑫𝑵 − 𝒄 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 𝒒

• Si 𝒌 ∙ 𝒒 = 𝟏𝟎 𝒄 − 𝟏 , entonces: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑫𝑵 + 𝒄 ∙ 𝒂𝟎 es divisible por 𝒒


CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD, PARA ALGUNOS PRIMOS PARTICULARES

El Teorema 5, permite obtener, para cualquier

número primo mayor que cinco (5), un criterio de divisibilidad.

He aquí algunos casos:


Divisibilidad por 7

𝟑 × 𝟕 = 𝟐𝟏 𝟑 × 𝟕 = 𝟐 × 𝟏𝟎 + 𝟏

𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟐 Estamos ante el primer caso del Criterio General de Divisibilidad (CGD). Luego:

Un número natural es divisible por siete (7), sii al suprimir en

el número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle dos

veces dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de siete



𝟏 × 𝟏𝟏 = 𝟏𝟎 + 𝟏 1× 𝟏𝟏 = 𝟏 × 𝟏𝟎 + 𝟏

𝒌 = 𝟏; 𝒄 = 𝟏 Se da el primer caso del CGD. Por tanto:

Un número natural es divisible por 11, sii al suprimir en el

número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle dicho

dígito, el número obtenido es múltiplo de 11


ILUSTRACIÓN:

𝟗𝟖𝟑𝟗𝟓

𝟗𝟖𝟑𝟗 − 𝟓 = 𝟗𝟖𝟑𝟒 𝟗𝟖𝟑 − 𝟒 = 𝟗𝟕𝟗

𝟗𝟕 − 𝟗 = 𝟖𝟖

𝟖𝟖 es múltiplo de 𝟏𝟏

𝟗𝟖𝟑𝟗𝟓 es divisible por 𝟏𝟏 𝟗𝟖𝟑𝟗𝟓 = 𝟏𝟏 × 𝟖𝟗𝟒𝟓

Es evidente que el primer criterio de divisibilidad por 𝟏𝟏 es más sencillo de aplicar, no obstante la complejidad de su deducción



𝟑 × 𝟏𝟑 = 𝟑𝟗 𝟑 × 𝟏𝟑 = 𝟒 × 𝟏𝟎 − 𝟏

𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟒 Estamos ante el segundo caso del CGD . En consecuencia:


número, el dígito de las unidades, y al resultado sumarle cuatro




𝟑 × 𝟏𝟕 = 𝟓𝟏 𝟑 × 𝟏𝟕 = 𝟓 × 𝟏𝟎 + 𝟏

𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟓 Ahora se configura el primer caso del CGD. Esto implica:


número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle cinco



ILUSTRACIÓN:

𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒

𝟗𝟕𝟒𝟒 − (𝟓 × 𝟒) = 𝟗𝟕𝟐𝟒

𝟗𝟕𝟐 − 𝟐𝟎 = 𝟗𝟓𝟐

𝟗𝟓 − 𝟏𝟎 = 𝟖𝟓

𝟖 − 𝟐𝟓 = −𝟏𝟕

−𝟏𝟕 es múltiplo de 𝟏𝟕

𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒 es divisible por 𝟏𝟕 𝟗𝟕𝟒𝟒𝟒 = 𝟏𝟕 × 𝟓𝟕𝟑𝟐



𝟏 × 𝟏𝟗 = 𝟏𝟗 𝟏 × 𝟏𝟗 = 𝟐 × 𝟏𝟎 − 𝟏

𝒌 = 𝟏; 𝒄 = 𝟐 Estamos ante el segundo caso del CGD. Luego:


número, el dígito de las unidades, y al resultado sumarle dos



ILUSTRACIÓN:

𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎𝟖

𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎 + 𝟐 × 𝟖 = 𝟏𝟑𝟗𝟒𝟔

𝟏𝟑𝟗𝟒 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟒𝟎𝟔

𝟏𝟒𝟎 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟓𝟐

𝟏𝟓 + 𝟒 = 𝟏𝟗

𝟏𝟗 es múltiplo de 𝟏𝟗

𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎𝟖 es divisible por 𝟏𝟗 𝟏𝟑𝟗𝟑𝟎𝟖 = 𝟏𝟗 × 𝟕𝟑𝟑𝟐



𝟑 × 𝟐𝟑 = 𝟔𝟗 𝟑 × 𝟐𝟑 = 𝟕 × 𝟏𝟎 − 𝟏

𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟕 Se dan las condiciones para el segundo caso del CGD. En consecuencia:


número, el dígito de las unidades, y al resultado sumarle siete



ILUSTRACIÓN:

𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒𝟒

𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒 + 𝟕 × 𝟒 = 𝟏𝟎𝟗𝟎𝟐

𝟏𝟎𝟗𝟎 + 𝟏𝟒 = 𝟏𝟏𝟎𝟒

𝟏𝟏𝟎 + 𝟐𝟖 = 𝟏𝟑𝟖

𝟏𝟑 + 𝟓𝟔 = 𝟔𝟗

𝟔𝟗 es múltiplo de 𝟐𝟑

𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒𝟒 es divisible por 𝟐𝟑 𝟏𝟎𝟖𝟕𝟒𝟒 = 𝟐𝟑 × 𝟒𝟕𝟐𝟖



𝟏 × 𝟑𝟏 = 𝟑𝟏 𝟏 × 𝟑𝟏 = 𝟑 × 𝟏𝟎 + 𝟏

𝒌 = 𝟏; 𝒄 = 𝟑 Estamos ante el primer caso del CGD . Por tanto: Un número natural es divisible por 31, sii al suprimir en el

número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle

tres veces dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de 31


ILUSTRACIÓN: 𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕𝟔

𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕 − 𝟑 × 𝟔 = 𝟏𝟖𝟐𝟓𝟗

𝟏𝟖𝟐𝟓 − 𝟐𝟕 = 𝟏𝟕𝟗𝟖

𝟏𝟕𝟗 − 𝟐𝟒 = 𝟏𝟓𝟓

𝟏𝟓 − 𝟏𝟓 = 𝟎

𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕𝟔 es divisible por 𝟑1

𝟏𝟖𝟐𝟕𝟕𝟔 = 𝟑𝟏 × 𝟓𝟖𝟗𝟔



𝟑 × 𝟑𝟕 = 𝟏𝟏𝟏 𝟑 × 𝟑𝟕 = 𝟏𝟏 × 𝟏𝟎 + 𝟏

𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟏𝟏 Estamos ante el primer caso del CGD. Luego: Un número natural es divisible por 37, sii al suprimir en el

número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle 11



ILUSTRACIÓN: 𝟓𝟖𝟕𝟗𝟑

5𝟖𝟕𝟗 − 𝟑 × 𝟏𝟏 = 𝟓𝟖𝟒𝟔

5𝟖𝟒 − 𝟔𝟔 = 𝟓𝟏𝟖

51−𝟖𝟖 = −𝟑𝟕

−𝟑𝟕 es divisible por 𝟑𝟕

𝟓𝟖𝟕𝟗𝟑 es divisible por 𝟑7

𝟓𝟖𝟕𝟗𝟑 = 𝟑𝟕 × 𝟏𝟓𝟖𝟗



3 × 𝟗𝟕 = 𝟐𝟗𝟏 3 × 𝟗𝟕 = 𝟐𝟗 × 𝟏𝟎 + 𝟏

𝒌 = 𝟑; 𝒄 = 𝟐𝟗

Se da nuevamente el primer caso del CGD . En consecuencia:


número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle 29



ILUSTRACIÓN:

𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑𝟖

𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑 − 𝟐𝟗 × 𝟖 = 𝟐𝟐𝟔𝟎𝟏

𝟐𝟐𝟔𝟎 − 𝟐𝟗 = 𝟐𝟐𝟑𝟏

𝟐𝟐𝟑 − 𝟐𝟗 = 𝟏𝟗𝟒

𝟏𝟗 − 𝟏𝟏𝟔 = −𝟗𝟕

−𝟗𝟕 es múltiplo de 𝟗𝟕

𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑𝟖 es divisible por 𝟗𝟕 𝟐𝟐𝟖𝟑𝟑𝟖 = 𝟗𝟕 × 𝟐𝟑𝟓𝟒


DISCRIMINANTE PARA DIVISIBILIDAD

Con base en el enunciado del Criterio General de Divisibilidad, para cada número primo 𝒒 (distinto de 2 y de 5) y cada número natural 𝑵, podemos definir un discriminante para divisibilidad, al que denotaremos 𝑺𝑵 𝒒 , aplicable a la luz del enunciado del teorema:

• Caso 1: 𝑺𝑵 𝒒 = 𝑫𝑵 − 𝒄 . 𝒂𝟎

• Caso 2: 𝑺𝑵 𝒒 = 𝑫𝑵 + 𝒄 . 𝒂𝟎

Aplicación: 𝑵 es divisible por 𝒒 sii 𝑺𝑵 𝒒 es divisible por 𝒒


LISTADO DE DISCRIMINANTES DE

DIVISIBILIDAD, PARA LOS NÚMEROS PRIMOS

SUPERIORES A 𝟓 E INFERIORES A 𝟏𝟎𝟎


Primo

(𝒒)

Discriminante

𝐒𝑵 𝒒

Primo

(𝒒)

Discriminante

𝑺𝑵 𝒒

7 𝑫𝑵 − 𝟐 𝒂𝟎 47 𝑫𝑵 − 𝟏𝟒 𝒂𝟎

11 𝑫𝑵 − 𝒂𝟎 53 𝑫𝑵 + 𝟏𝟔 𝒂𝟎

13 𝑫𝑵 + 𝟒 𝒂𝟎 59 𝑫𝑵 + 𝟔 𝒂𝟎

17 𝑫𝑵 − 𝟓 𝒂𝟎 61 𝑫𝑵 − 𝟔 𝒂𝟎

19 𝑫𝑵 + 𝟐 𝒂𝟎 67 𝑫𝑵 − 𝟐𝟎 𝒂𝟎

23 𝑫𝑵 + 𝟕 𝒂𝟎 71 𝑫𝑵 − 𝟕 𝒂𝟎

29 𝑫𝑵 + 𝟑 𝒂𝟎 73 𝑫𝑵 + 𝟐𝟐 𝒂𝟎

31 𝑫𝑵 − 𝟑 𝒂𝟎 79 𝑫𝑵 + 𝟖 𝒂𝟎

37 𝑫𝑵 − 𝟏𝟏 𝒂𝟎 83 𝑫𝑵 + 𝟐𝟓 𝒂𝟎

41 𝑫𝑵 − 𝟒 𝒂𝟎 89 𝑫𝑵 + 𝟗 𝒂𝟎

43 𝑫𝑵 + 𝟏𝟑 𝐚𝟎 97 𝑫𝑵 − 𝟐𝟗 𝒂𝟎


PROBLEMAS RESUELTOS


Un problema de divisibilidad por 36 Encuentre todos los números de cinco cifras, de la forma 𝟑𝟒𝒙𝟓𝒚 , divisibles por 36.


SOLUCIÓN: Aplicando el Teorema Fundamental de la Aritmética:

𝟑𝟔 = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟐 𝟑𝟔 = 𝟒 × 𝟗

Debemos tener en cuenta los criterios de divisibilidad por 4 y por 9: • Un número es divisible por 4, si el número formado

por sus dos últimos dígitos es múltiplo de 4 • Un número es divisible por 9, si su suma transversal

(la suma de sus dígitos) es múltiplo de 9


𝟑𝟒𝒙𝟓𝒚 Por el primer criterio, el número 5y debe ser múltiplo de 4. Los únicos números de esta forma que son múltiplos de 4 son:

𝟓𝟐 4 × 13 ; 𝟓𝟔 4 × 14 En el primer caso, 𝒚 = 𝟐. Ahora el número es de la forma: 𝟑𝟒𝒙𝟓𝒚 Por el criterio de divisibilidad por 9: 𝟑 + 𝟒 + 𝒙 + 𝟓 + 𝟐 = 𝒙 + 𝟏𝟒, debe ser múltiplo de 9. El único dígito que satisface esta condición es: 𝒙 = 𝟒. Se obtiene así que uno de los números buscados es: 𝟑𝟒𝟒𝟓𝟐.


En el segundo caso, 𝒚 = 𝟔. Por el criterio de divisibilidad por 9: 𝟑 + 𝟒 + 𝒙 + 𝟓 + 𝟔 = 𝒙 + 𝟏𝟖, debe ser múltiplo de 9. Hay dos dígitos que satisfacen esta condición: 𝒙 = 𝟎; 𝒙 = 𝟗. Tenemos así, dos nuevos números que satisfacen lo exigido en el enunciado:

𝟑𝟒𝟎𝟓𝟔; 𝟑𝟒𝟗𝟓𝟔. El problema tiene tres soluciones:

𝟑𝟒𝟒𝟓𝟐; 𝟑𝟒𝟎𝟓𝟔; 𝟑𝟒𝟗𝟓𝟔


Un problema de divisibilidad por 8 Al dividir por 𝟖 el número 𝟑𝟒𝟓𝟔𝒙𝟕 , se obtiene un residuo de 𝟓 . Encuentre los posibles valores de 𝒙.


SOLUCIÓN: De acuerdo con el criterio de divisibilidad por 𝟖, es necesario y suficiente que el número 𝟔𝒙𝟕 − 𝟓, es decir, 𝟔𝒙𝟐 , sea divisible por 𝟖. Denotemos 𝑵 este número.

𝑵 = 𝟔𝟎𝟎 + 𝟏𝟎 𝒙 + 𝟐 Pero 𝟔𝟎𝟎 es divisible por 𝟖. Por tanto (Teorema 2): 𝑵 es divisible por 𝟖 si y sólo si 𝟏𝟎 𝒙 + 𝟐 es divisible por 𝟖. Este número es de la forma 𝒙𝟐 . Los números de dos cifras terminados en 𝟐, son: 12, 22, 𝟑𝟐, 42, 52, 62, 𝟕𝟐, 82, 92. Los valores de 𝒙 que satisfacen la condición, son: 𝟑, 𝟕. Los números son:

𝟑𝟒𝟓𝟔𝟑𝟕, 𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟕


PROBLEMAS PROPUESTOS


Problema 1 • Enuncie un criterio de divisibilidad por 𝟏𝟎𝟏 • Demuestre que todo número natural de la forma

abab, es divisible por 𝟏𝟎𝟏.


Problema 2 En la calculadora de Julia, una de las teclas del 𝟏 al 𝟗 funciona mal: al pulsarla, aparece en pantalla un dígito entre 𝟏 y 𝟗 que no es el que corresponde. Cuando trató de escribir el número 𝟗𝟖𝟕𝟔𝟓𝟒𝟑𝟐𝟏, apareció en la pantalla un número divisible por 𝟏𝟏 y que deja resto 𝟑 al dividirlo por 𝟗. ¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿Cuál es el número que apareció en la pantalla?


Problema 3 Números de cifras iguales El criterio de divisibilidad por 𝟑𝟕 permite deducir que todo número de tres dígitos, todos iguales, es divisible por 𝟑𝟕. Este resultado puede generalizarse así: Si un número natural tiene todos sus dígitos iguales y el número de sus dígitos es múltiplo de tres, entonces dicho natural es divisible por 37 Demuéstrelo. Ilustración: 𝟓𝟓𝟓, 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑𝟑, 𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕𝟕 son divisibles por 37


Problema 4 Más sobre divisibilidad por 𝟑𝟕

Una rotación de un número natural, es el número que se obtiene al trasladar el dígito de las unidades

al primer lugar. Ejemplo:

𝑵 = 𝟏𝟒𝟖 𝑵𝟏 = 𝟖𝟏𝟒 𝑵𝟐 = 𝟒𝟖𝟏

𝑵𝟏 y 𝑵𝟐 son rotaciones de 𝑵


Al aplicar a 𝟏𝟒𝟖 el criterio de divisibilidad por 𝟑𝟕, se obtiene:

𝟏𝟒 − 𝟏𝟏 × 𝟖 = −𝟕𝟒 −𝟕𝟒 es múltiplo de 𝟑𝟕

Luego, 𝟏𝟒𝟖 es divisible por 𝟑𝟕

Lo mismo ocurre con sus rotaciones: 𝑵𝟏 y 𝑵𝟐


Otro caso: 𝑵 = 𝟖𝟓𝟏

𝑵𝟏 = 𝟏𝟖𝟓 𝑵𝟐 = 𝟓𝟏𝟖

𝑵 y sus dos rotaciones: 𝑵𝟏 y 𝑵𝟐 son divisibles por 𝟑𝟕 Conjetura:

Si un número natural de tres (3) dígitos, es divisible por 𝟑𝟕, entonces sus rotaciones son, también, divisibles por 𝟑𝟕

Demuestre o refute esta conjetura.


Problema 5 Consideremos los siguientes números:

𝟐𝟓𝟓𝟑 4995 6882

Apliquemos a cada uno, el criterio de divisibilidad por 37


número, el dígito de las unidades, y al resultado restarle

11 veces dicho dígito, el número obtenido es múltiplo de 37


2𝟓𝟓𝟑

2𝟓𝟓 − 𝟏𝟏 × 𝟑 = 𝟐𝟐𝟐 𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 × 𝟐 = 𝟎

2𝟓𝟓𝟑 es divisible por 37

4995 499 −𝟏𝟏 × 𝟓 = 𝟒𝟒𝟒

𝟒𝟒 − 𝟏𝟏 × 𝟒 = 𝟎

4995 es divisible por 37


6882

688 −𝟏𝟏 × 𝟐 = 𝟔𝟔𝟔 𝟔𝟔 − 𝟏𝟏 × 𝟔 = 𝟎

6882 es divisible por 37


Observación: Coincidencias en los tres números: • Tienen cuatro cifras • La cifra de las centenas y la de las decenas son iguales • La suma de la cifra de las unidades y la de las unidades de

mil, es igual a la cifra de las decenas • Son divisibles por 37


Conjetura: Todo número de cuatro cifras, de la forma 𝒂𝒃𝒃𝒄, con 𝒂 + 𝒄 = 𝒃, es divisible por 37. Pruebe o refute esta conjetura.


Problema 6 Números palíndromos y divisibilidad por 11 Un número es palíndromo (capicúa), si al invertir el orden de sus dígitos, su valor no se altera. Ejemplos: 𝟑𝟑, 𝟒𝟓𝟓𝟒, 𝟕𝟓𝟖𝟖𝟓𝟕 son palíndromos y divisibles por 11. 𝟑𝟏𝟑, 𝟒𝟓𝟔𝟓𝟒, 𝟕𝟓𝟖𝟗𝟖𝟕𝟓 son palíndromos, pero no divisibles por 11. ¿A qué se debe la diferencia? ¿Puede hacer una conjetura? ¿Puede demostrarla?


Problema 7 Encuentre un número de cuatro cifras, cuadrado perfecto, de modo que la cifra de las centenas y la de las unidades de mil, sean iguales, así como la cifra de las unidades y la de las decenas.


Problema 8 Entre los papeles de la abuela se encontró una nota que dice: Por 72 charoles, se pagaron 𝟔𝟕𝟗 pesos (el primer y el último dígito se borraron). ¿Cuál fue el total pagado por los charoles?


Problema 9 La escalera del castillo Para subir al viejo castillo, hay que subir una escalera larga, muy larga…. Tres amigos quieren llegar al castillo. Pedro sube los escalones, despacio y de uno en uno. María, de dos en dos. Pablo, veloz, salta los escalones de tres en tres. Pedro empieza a subir en el primer escalón. María, en el segundo escalón y Pablo en el tercero. ¿Cuáles son los escalones a los que sólo pisan dos personas?


Problema 10 La escalera de la casa de Julia Benilda fue a visitar a su amiga Julia. Al llegar, subió las escaleras saltando los escalones de forma variada: de uno en uno o de dos en dos, según se le ocurriera. Julia salió a su encuentro, bajando los escalones de tres en tres. Las dos amigas se encontraron en el octavo escalón (contando desde abajo), después de haber hecho, las dos, el mismo número de saltos. ¿Cuántos escalones puede tener la escalera de entrada a la casa de Julia?


Problema 11 El saco de canicas Cuatro amigos, Francisco, Iván, Luis y Marcos, quieren descubrir el número de canicas que contiene un saco. Para lograrlo, tienen las siguientes informaciones: • El saco tiene entre 1300 y 1500 canicas • Francisco, que las ha agrupado de dos en dos, comenta que le sobró una • Iván, que las agrupó de tres en tres, dijo que no le sobró ninguna • Luis, que intentó formar grupos de cinco canicas, aseguró que le faltaron

dos canicas • Por fin Marcos, que formó grupos de siete en siete, dijo que al final le

sobraron cuatro canicas. ¿Cuál es el número exacto de canicas en el saco?


PROBLEMA 12 Recordemos el criterio de divisibilidad por 𝟕: Un número natural es divisible por 7 si y sólo si al restar al número de decenas contenidas en él, dos veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 7

𝑵 = 𝟏𝟔𝟒𝟓

𝟏𝟔𝟒 − 𝟐 × 𝟓 = 𝟏𝟓𝟒

𝟏𝟓 − 𝟐 × 𝟒 = 𝟕

𝑵 es múltiplo de 7


Ahora, en lugar de restar a las decenas, dos veces el dígito de las unidades, sumemos cinco veces dicho dígito:

𝑵 = 𝟏𝟔𝟒𝟓

𝟏𝟔𝟒 + 𝟓 × 𝟓 = 𝟏𝟖𝟗

𝟏𝟖 + 𝟓 × 𝟗 = 𝟔𝟑

𝟔𝟑 es múltiplo de 7


Recordemos el criterio de divisibilidad por 13: Un número natural N es divisible por 13 si y sólo si al sumar al número de decenas contenidas en él, cuatro veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 13

𝑵 = 𝟑𝟑𝟐𝟖

𝟑𝟑𝟐 + 𝟒 × 𝟖 = 𝟑𝟔𝟒

𝟑𝟔 + 𝟒 × 𝟒 = 𝟓𝟐

𝟓 + 𝟒 × 𝟐 = 𝟏𝟑

𝑵 es múltiplo de 13


Ahora, en lugar de sumar a las decenas, cuatro veces el dígito de las unidades, restemos nueve veces dicho dígito:

𝑵 = 𝟑𝟑𝟐𝟖

𝟑𝟑𝟐 − 𝟗 × 𝟖 = 𝟐𝟔𝟎

𝟐𝟔 es múltiplo de 13


Ensaye con otros números primos. • ¿Qué observa? • ¿Puede conjeturarse que, para cada uno de los

criterios de divisibilidad derivados del Teorema General de Divisibilidad, existe un nuevo criterio que podría llamarse dual del primero?

• ¿Cuál sería su enunciado? • ¿Podría probarse dicha conjetura? • ¿Cómo?


PROBLEMA 13 Al comienzo del estudio del tema de divisibilidad, se enunció un criterio de divisibilidad por 3 y uno de divisibilidad por 9. En ambos, se recurre a la suma transversal del número del cual se averigua si es divisible por 3 o si lo es por 9. Recurriendo al Teorema 5 (Criterio general de divisibilidad), enuncie: • Un nuevo criterio de divisibilidad por 3 • Un nuevo criterio de divisibilidad por 9 (no obstante que 9

no es primo) Nótese que, como en el caso de la suma transversal, los nuevos criterios de divisibilidad por 3 y por 9, están emparentados.


PROBLEMA 14 En alguna página de internet se lee: Criterio de divisibilidad por 3: Un número natural N es divisible por 3 si y sólo si al restar al número de decenas contenidas en él, dos veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 3 Criterio de divisibilidad por 9: Un número natural N es divisible por 9 si y sólo si al restar al número de decenas contenidas en él, ocho veces el dígito de las unidades del mismo, el resultado es múltiplo de 9


Al constatar con varios números, se observa que los dos criterios funcionan.

Pero, ¿podrán demostrarse?

Una tarea interesante consiste en, para

cada enunciado, refutarlo o demostrarlo.


PROBLEMA 15 • Aplique la Criba de Eratóstenes para encontrar los

números primos mayores que 100 y menores que 200 • Aplique el CRITERIO GENARAL DE DIVISISIBILIDAD,

para hallar el discriminante de divisibilidad para cada uno de estos números primos

• Complete la tabla de discriminantes para divisibilidad que se da a continuación


Primo

(𝒒)

Discriminante

𝐒𝑵 𝒒

Primo

(𝒒)

Discriminante

𝑺𝑵 𝒒

101 𝑫𝑵 157 𝑫𝑵

103 𝑫𝑵 163 𝑫𝑵

107 𝑫𝑵 167 𝑫𝑵

109 𝑫𝑵 173 𝑫𝑵

113 𝑫𝑵 179 𝑫𝑵

127 𝑫𝑵 181 𝑫𝑵

131 𝑫𝑵 191 𝑫𝑵

137 𝑫𝑵 193 𝑫𝑵

139 𝑫𝑵 197 𝑫𝑵

149 𝑫𝑵 199 𝑫𝑵

151 𝑫𝑵


PREGUNTAS ABIERTAS

1. Dado cualquier número natural m (no necesariamente primo): • ¿Existe un criterio de divisibilidad por m, si el dígito de las unidades

de m es 𝟏? • ¿Y si el dígito de las unidades es 𝟑? • ¿Y si es 𝟕? • ¿Y si es 𝟗?

2. Dado cualquier número natural m, ¿existe un criterio general de divisibilidad por m, si el dígito de las unidades de m es 𝟓 o un número par?

3. ¿Qué conjetura puede hacerse acerca de la divisibilidad por 𝟏𝟏de las rotaciones de los números palíndromos múltiplos de 𝟏𝟏? ¿Puede demostrarla?


REFERENCIAS: • Jiménez B. Luis R, et al: Teoría de números para principiantes (U. Nal., Bogotá) • Un criterio de divisibilidad por cualquier entero terminado en 1. En: http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_02.html • Pascal y la teoría de los números. En: http://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/044043.pdf • Divisibilidad. En: http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad • Criterios de divisibilidad. En:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/CriterDivisib.htm • Ejemplos de divisibilidad. En:

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/Divisibilidad.htm

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_02.html

http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/curiosidad_02.html

http://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/044043.pdf

http://www.acta.es/medios/articulos/matematicas/044043.pdf

http://es.wikipedia.org/wiki/Divisibilidad

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http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/CriterDivisib.htm

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/CriterDivisib.htm

http://www.matematicasypoesia.com.es/matematicas/Divisibilidad.htm


• Apuntes de Matemática Discreta (Universidad de Cádiz). En: http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion10.pdf • Divisibilidad en Z. En: http://imerl.fing.edu.uy/matdisc2/divisibilidad_1.pdf • Murray-Lasso, Marco: Sobre la deducción de los criterios de divisibilidad. En:

Revista de Ingeniería; UNAM; Vol. 67, No.3. • Euclides: Elementos. En:

http://www.ict.edu.mx/acervo_ciencias_mate_Euclides%201%20Elementos-I-IV%20-.pdf

• Juegos y Matemáticas. En: https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2013/12/30/historias-de-divisibilidad-multiplos-y-divisores/

• 100 PROBLEMAS QUE TODO BACHILLER DEBE ENTENDER Y RESOLVER. Red Matemática Antioquia. Medellín, 2015

http://www2.uca.es/matematicas/Docencia/ESI/1711003/Apuntes/Leccion10.pdf

http://imerl.fing.edu.uy/matdisc2/divisibilidad_1.pdf

http://www.ict.edu.mx/acervo_ciencias_mate_Euclides 1 Elementos-I-IV -.pdf







https://anagarciaazcarate.wordpress.com/2013/12/30/historias-de-divisibilidad-multiplos-y-divisores/












Criterio General de Divisibilidad By Grimaldo Oleas

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