CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL … · INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ...
Transcript of CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL … · INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ...
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
186 [email protected], [email protected], [email protected].
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EL ANÁLISIS Y GRÁFICAS DE FUNCIONES.
Concavidad y Criterio de la Segunda Derivada. El concepto de concavidad es útil para describir la gráfica de una función derivable
ƒ. Si ƒ’( c ) existe, entonces la gráfica de ƒ tiene una recta tangente l con pendiente ƒ’( c ) en el punto P ( c , ƒ( c ) ).
Para describir el tipo de concavidad se usa la siguiente terminología. Definición . Sea ƒ una función que es derivable en un número c.
a) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia arriba (∪) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por encima de la recta tangente en P.
b) La gráfica de ƒ tiene concavidad hacia abajo (∩) en el punto P (c , ƒ ( c ) ) si existe un intervalo abierto ( a , b ) que contiene a c , tal que en ( a , b ) la gráfica de ƒ está por debajo de la recta tangente en P.
Teorema: (Prueba de concavidad) Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, tal que ƒ’’(c) existe. a) Si ƒ’’ (c) > 0, la gráfica tiene concavidad hacia arriba en P (c, ƒ(c)) b) Si ƒ’’(c) < 0, la gráfica tiene concavidad hacia abajo en P (c, ƒ (c))
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
187 [email protected], [email protected], [email protected].
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa.
En algunos casos se utiliza los siguientes términos: Función convexa y función
cóncava. Convexa significa que las rectas tangentes a la función, están por encima de ella. Cóncava significa que las rectas tangentes a la función, están por debajo de ella
Si la segunda derivada ƒ’’ (x) cambia de signo cuando x aumenta y pasa por un
número c, entonces la concavidad cambia de ser hacia arriba a ser hacia abajo, o bien de ser hacia abajo a ser hacia arriba. El punto (c, ƒ(c)) se llama punto de inflexión de acuerdo con la siguiente definición.
Definición Un punto P (c, ƒ(c)) en la gráfica de una función ƒ es un punto de inflexión si ƒ’’ existe en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c y ƒ’’ cambia de signo en c.
Punto de inflexión es aquel donde la función cambia de concavidad, es decir, la recta tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte por encima y otra por debajo.
En un punto de inflexión, la tangente a la curva recibe el nombre de tangente de inflexión.
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
188 [email protected], [email protected], [email protected].
Como se puede suponer, los puntos en los que ƒ’’(x) = 0 o donde ƒ’’(x) no existe son llamados posibles puntos de inflexión. Llamamos posible punto de inflexión debido a que puede fallar en ser un punto de inflexión, sin embargo, al investigar puntos de inflexión comenzamos por identificar aquellos en los que ƒ’’(x) = 0 y en los que ƒ’’(x) no existe.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo.
Criterio de la segunda derivada para máximos locales y mínimos locales. Teorema: Sea ƒ una función derivable en un intervalo abierto que contiene a c, y
tal que ƒ’(c) = 0. a) Si ƒ’’(c) < 0, entonces ƒ tiene un máximo local en c. b) Si ƒ’’(c) > 0, entonces ƒ tiene un mínimo local en c. Nota: El criterio de la segunda derivada no se puede aplicar cuando ƒ’’(c ) = 0 . En tales casos se debe usar el criterio de la Primera Derivada.
Guía práctica para aplicar el criterio de la segunda derivada en el análisis y gráficas de funciones.
a.‐ Dada la función ƒ, determinamos el dominio, calculamos la primera derivada la
igualamos a cero y buscamos los valores críticos.
b.‐ Determinamos la segunda derivada, luego sustituimos los valores críticos
encontrados en la segunda derivada ƒ’’(c), y aplicamos el teorema respectivo.
Si ƒ’’(c) > 0, entonces en c, existe un mínimo.
Si ƒ’’(c) < 0, entonces en c, existe máximo.
c.‐ Calculamos los posibles puntos de inflexión (P.P.I.), (donde ƒ’’(x) = 0 y donde
ƒ’’(x) no existe).
d.‐ Analizamos la segunda derivada, en los intervalos formados por los posibles
puntos de inflexión, y se aplica el criterio para la concavidad.
ƒ’’(x) > 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia arriba.
ƒ’’(x) < 0, para cierto intervalo, entonces la función es cóncava hacia abajo.
y si ƒ’’(k) cambia de signo, entonces k es un punto de inflexión.
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
189 [email protected], [email protected], [email protected].
e.‐ Para graficar, sustituimos los valores críticos en la función ƒ, para localizar en el
plano donde está el máximo y donde está el mínimo, luego buscamos los cortes con los
ejes y el resto de la gráfica la completamos con el análisis.
Analizar y graficar las siguientes funciones utilizando el criterio de la segunda derivada.
3 2
2
12
( ) :( ) 6 6 ( ) 6 (1 )
: '( ) 0 6 (1 ) 0 0 ( . .); 1( . .)( ) 12 6 ( ) 6( 2 1); : ( ) 0 6( 2 1) 0 ( . . .)
. . ( ) (
1) ( ) 2
0) 6 0 0 (
3 Domf xf x x x f x x xsi f x x x x v c x v cf x x f x x si f x x x p p isust v c en f x f en
f
x mín
x x x ⇒
′ ′= − + ⇒ = −= ⇒ − = ⇒ = =
′′ ′′ ′′= − + ⇒ = − + = ⇒ − + = ⇒ =′′ ′
= −
′⇒ = > ⇒ = ∃
+
)(1) 6 0 1 ( )
. .(0) 0 (0,0); (1) 0 (1,1
( ))
mín máx
imo relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f p
f x′′ = < ⇒ = ∃
= ⇒ = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, + P. inflexión , ∞ ‐ Cortes con los ejes: 0 ; 0; 0 0
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
190 [email protected], [email protected], [email protected].
2
13
23
2
13
3 ( ) :( ) 3 4 1 ( ) (3 1)( 1): '( ) 0 (3 1)( 1) 0 1 ( . .); ( . .)( ) 6 4 ( ) 2(3 2); : ( ) 0 2(3 2) 0 ( . . .)
. . ( ) ( ) 2<
) (
0
2 ) 2 1 Domf xf x x x f x x xsi f x x x x v c x v cf x x f x x si f x x x p p isust v c en f x f e
x x
n
f x x ⇒
′ ′= − + ⇒ = − −= ⇒ − − = ⇒ = =
′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ =′′ ′′⇒ = −
= − +
⇒
+
13
31 311 13 27 3 27
( )(1) 2> 0 1 ( )
. .( ) ( , ); (1) 0 (1 1)
( ),máx mín
x máximo relf en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f p
f x
= ∃′′ = ⇒ = ∃
= ⇒ = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, ‐ P. inflexión , ∞ + Cortes con los ejes: 0 1
3 2
2
2 2 2 313
2
3
4 ( ) :( ) 4 4 ( ) 4 (1 ): '( ) 0 4 (1 ) 0 0 ( . .); 1( . .)
( ) 4 12 ( ) 4(1 3 ); : ( ) 0 4(
3)
1 3 ) 0 ( . . .)
. . ( ) (0) 4 > 0
( ) 12 2 Domf xf x x x f x x xsi f x x x x v c x v c
f x x f x x si f x x x p p i
sust v c en f x f
f x x x ⇒
′ ′= − ⇒ = −
= ⇒ − = ⇒ = = ±
′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ =± = ±
′′ ′′⇒ = ⇒
= + −
0 ( )( 1) 8< 0 1 ( )(1) 8< 0 1 ( )
. .( 1) 13 ( 1,13); (0) 12 (0,12); (1) 13 (1,13
( ))máx mín máx
en x mínimo relf en x máximo relf en x máximo relPara localizar los extre fmos relativos sust v c enf
xp f p f p
= ∃′′ − = − ⇒ =− ∃′′ = − ⇒ = ∃
− = ⇒ − = ⇒ = ⇒
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
191 [email protected], [email protected], [email protected].
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √ ‐
√ P. inflexión
√ ,
√ +
√ P. inflexión
√ , ∞ ‐
Cortes con los ejes:
2 4 2 2
21 2
0 0 =12 2 . 12 2 0
2,61; 4 ,61 y = x = 4,61 2, 14. 2,61, .
y x x cambio de v y x y y
x x x xEl valor x no se toma en cuenta ya que no existe la raiz cuadrada de ese número
= ⇒ + − ⇒ ⇒ = ⇒ + − =
= − = ⇒ ⇒ ⇒ = ±= −
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
192 [email protected], [email protected], [email protected].
4
5
2 2 2
2 2
3 2 2
63
3
2 2
( ) :( ) 5 15 ( ) 5 ( 3)
: '( ) 0 5 ( 3) 0 0 ( . .); 3( . .)( ) 20 30 ( ) 10 (2 3); : ( ) 0 10 (2 3
4) (
) 0
0 ( . . .); ( . . .)
.
) 5
.
Domf xf x x x f x x x
si f x x x x v c x v cf x x x f x x x si f x x x
x p p i x
f x x x
p p i x
sust v c en f
⇒
′ ′= − ⇒ = −
= ⇒ − = ⇒ = = ±
′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒
= =
=
⇒ =
−
±
′′( ) (0) 0 0
( 3) 30 3< 0 3 ( )
( 3) 30 3> 0 3 ( )(1) 8< 0 1 ( )
. .
( 3 ) 6 3 ( 3 ,6 3); ( 3 )
( )
máx
x f en x extremo rel
f en x máximo rel
f en x mínimo relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en
f p f
f x
′′⇒ = ⇒ = ∃
′′ − = − ⇒ =− ∃
′′ = ⇒ = ∃′′ = − ⇒ = ∃
− = ⇒ − = 6 3 ( 3 , 6 3)mínp− ⇒ −
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √ ‐
√ √ P. inflexión
√ , 0 +
0 0 P. inflexión
0, √ ‐
√ √ P. inflexión
√ , ∞ +
Cortes con los ejes. 0 0; 0 √5
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
193 [email protected], [email protected], [email protected].
3 2 2
2
2
23
4 3 ( ):( ) 12 12 ( ) 12 ( 1): '( ) 0 12 ( 1) 0 0 ( . .); 1( . .
5) ( ) 3 4
)( ) 36 24 ( ) 12 (3 2); : ( ) 0 12 (3 2) 00 ( . . .); ( . . .)
. . (
6
)
Domf xf x x x f x x xsi f x x x x vc x vcf x x x
f x x x
f x x x si f x x xx p pi x p pisust vc en f x
⇒
′ ′= − ⇒ = −
= ⇒ − = ⇒ = =
′′ ′′ ′′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒= =
′′
= − +
⇒ (0) 0 0(1) 5 0 1 ( )
. .(1) 5 (1
( ),5)mín
f enx extremo relf enx mínimo relPara localizar los extremos relativos sus f xt vc enf p
′′ = ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃
= ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.∞, 0 +
0 0 P. inflexión
0 , ‐
5.41 P. inflexión
, ∞ +
Cortes con los ejes. 0 0; 0 √5
Cortes con los ejes. 0 6
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
194 [email protected], [email protected], [email protected].
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2 22 2
2
2 2
2 4
( ) :
( 1) (2 ) 1 2 1( ) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 1)
1: '( ) 0 0 1( . .)( 1)
( 2 )( 1) ( 1) 2(1 )( 2 )( 1) (1 )2( 1)(2 )( ) ( )( 1)
6) ( )1
Domf x
x x x x x xf x f x f xx x x
xsi f x x v cx
x x x xx x x
x
x x
f
f
xx
x f xx
⇒
+ − + − −′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =+ + +
−= ⇒ = ⇒ = ±
+
− + + + −− + − − +′′ ′′= ⇒ =+
=+
2 4
2 2
2 3 2 3
2
2 3
12
( 1)
( 2 ) (3 ) (2 ) ( 3)( ) ( )
( 1) ( 1)
(2 ) ( 3): ( ) 0 0 0 ( . . .); 3 ( . . .)
( 1)
. . ( ) (0) 0 0( 1) 0 1 (
x
x x x xf x f x
x x
x xsi f x x p p i x p p i
x
sust v c en f x f en x extremo relf en x mínimo
⎡ ⎤⎣ ⎦+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦′′ ′′= ⇒ =+ +
⎡ ⎤−⎣ ⎦′′ = ⇒ = ⇒ = = ±+
′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃′′ − = > ⇒ = − ∃
12
1 1 1 12 2 2 2
)(1) < 0 1 ( )
. .( 1 ) ( 1, ); (1 ) (1,
()
)
mín máx
relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f
f xp
′′ = − ⇒ = ∃
− = − ⇒ − − = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √3 ‐
√3 0.43 P. inflexión
√3 , 0 + 0 0 P. inflexión
0, √3 ‐
√3 0.43 P. inflexión
√3 , ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
195 [email protected], [email protected], [email protected].
( ) ( )4 15 5
2 4 2 45 5
2 2 245
2 2 952 4
5 2
5
2
( ) :2 2( ) : '( ) 0 0 0( . .); 1( . .) ( )
5 ( 1) 5 ( 1)
( 1) ( )( 1) (2 )2 2(3 5)( ) ( )5 25 ( 1)( 1)
2(3 5): )
( 1
(
7) )
0
Domf xx xf x si f x x v c x v c f x
x x
x x x x xf x f xxx
xsi f
x
x
f x
−
⇒
′ ′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ± ∃− −
⎡ ⎤− − −⎢ ⎥ +⎛ ⎞′′ ′′= ⇒ = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ −−⎢ ⎥
⎣ ⎦+′′ = ⇒
=
−
−
( )2 950 1( . . .) ( )
25 ( 1)
. . ( ) (0) 0 0 ( ). .
(0) 1 (( )
0, 1,)mín
x p p i f xx
sust v c en f x f en x mínimo relPara localizar los extremos relativo fs sust v c enf p
x
′′= ⇒ = ± ∃−
′′ ′′⇒ > ⇒ = ⇒∃
= − ⇒ −
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.∞, 1 ‐
1 0 P. inflexión 1 , 1 +
1 0 P. inflexión1, ∞ ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
196 [email protected], [email protected], [email protected].
2 4 2 2 2 2 32
3 2 3
3
4
5 ( ) :
( ) 30 20 ( ) 10 (3 2 ); : '( ) 0 10 (3 2 ) 0 0( . .); ( . .)
( ) 60 80 ; : ( ) 0 20 (3 4 ) 0 0 ( . . .); ( . . .)
. . (
8) ( ) 10
( )
4
) 0 0
Domf x
f x x x f x x x si f x x x x v c x v c
f x x x si f x x x x p p i x p p i
sust v c en f x f en
f x x x ⇒
′ ′= − ⇒ = − = ⇒ − = ⇒ = = ±
′′ ′′= − = ⇒ − = ⇒ = = ±
′′ ′′⇒ =
=
⇒
−
3 32 2
3 32 2
3 3 3 312 2 2 2 2
0
( ) 30 6 0 ( )
( ) 30 6< 0 ( ). .
( ) 3 6 ( , 3 6); ( ) 3 6 ( ,3 6)
( )
mín máx
x extremo rel
f en x mínimorel
f en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust fv c en
f p f p
x
= ∃
′′ − = > ⇒ =− ∃
′′ = − ⇒ = ∃
− = − = − ⇒ − − = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √ +
√ √ P. inflexión
√ , 0 ‐
0 0 P. inflexión
0, √ +
√ √ P. inflexión
√ , ∞ ‐
Cortes con los ejes. 0 0; 0 √
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
197 [email protected], [email protected], [email protected].
3 2
2 2 3 2
2 125
2 2
( ) :( ) 15 ( 4) 5 (2)( 4) ( ) 5 ( 4)(5 12): '( ) 0 5 ( 4)(5 12) 0 0( . .); ( . .); 4( . .)
( ) 20 (5 24 24); : ( ) 0 20
9
(5 24 2
)
4)
( ) 5 ( 4)
0 0 ( . . .
Domf xf x x x x x f x x x xsi f x x x x x v c
f x x x
x v c x v c
f x x x x si f x x x x x p p i
⇒
′ ′= − + − ⇒ = − −
= ⇒ − − = ⇒ = = =
′′ ′′= − + = ⇒ − + = ⇒
−
=
=
2 6 2 612 125 5 5 5
115212 125 5 5
);
( . . .); ( . . .). . ( ) (0) 0 0
( ) < 0 ( )(4) 640 0 4 ( )
. .(4 )
( )
x p p i x p p isust v c en f x f en x extremo relf en x máximo relf en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf
f x
−
= − = +′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃
′′ = ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃
12 125 50 (4,0); ( ) 176.9 ( ,176.9)mín máxp f p= =⇒ ≈ ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 0 ‐
0 0 P. inflexión
0, √ +
√ 95.32 P. inflexión
√ ,
√ ‐
√ 74.25 P. inflexión
√ , ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
198 [email protected], [email protected], [email protected].
4 2 4
5 3
2
2 2
3 2
2
( ) :( ) 5 15 4 : '( ) 0 5 15 4 0
5 15 4 0 0, 296; 2.704 0.544; 1.644( . .)( ) 20 30 ( )
10) ( ) 5 4
10 (2 3)
: ( ) 0 10 (2 3) 0
Domf xf x x x si f x x x cambio deVariabley x y y y y x x v cf x x
f x
x f x x x
si f x x x
x x x ⇒
′ = − + ⇒ = ⇒ − + = ⇒
= ⇒ − + = ⇒ = = ⇒ = ± = ±
′′ ′′= − ⇒ = −
′′ =
= −
−
+
⇒ = 632 20( . . .); ( . . .)
. . ( ) ( 0.544) 13.1 0 0.544 ( )(0.544) 13.1< 0 0.544 ( )( 1,644) 39.6< 0 1.644 ( )(1, 644) 39.6 0 1.64
x p p i x p p isust v c en f x f en x mínimo relf en x máximo relf en x máximo relf en x
⇒ = = ± = ±
′′ ′′⇒ − = > ⇒ =− ∃′′ = − ⇒ = ∃′′ − = − ⇒ =− ∃′′ = > ⇒ = 4 ( )
. .( 0.54) 1.42 ( 0.54, 1.42); ( 0.54) 1.42 (0.54,1.42)( 1, 644) 3.63 ( 1.64,3.63); (1, 644) 3.63 (1.
(
64, 3.63)
)
mín máx
máx mín
mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p f pf p
f
p
x
f
∃
− = − =⇒ − − = =⇒− = ⇒ − = − ⇒ −
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √ ‐
√ √ P. inflexión
√ , 0 +
0 0 P. inflexión
0, √ ‐
√ √ P. inflexión
√ , ∞ +
Cortes con los ejes: 0; 2; 2; 1; 1; 0
0 0
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
199 [email protected], [email protected], [email protected].
3
2 4 3 3 2 3
2 3
2
4
57
2
( ) :( ) 3( 2) ( 1) 4( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) (7 5): '( ) 0 ( 2) ( 1) (7 5) 0 2( . .); ( . .); 1( . .)
( ) ( 2)( 1) (7 10 1); :
11) ( ) ( 2)
( )
( 1)
0 ( 2)(
Domf xf x x x x x f x x x xsi f x x x x x v c x v c x v c
f x x x x x si f
f x
x
x x
x x
⇒
′ ′= − + + − + ⇒ = − + −
= ⇒ − + − = ⇒ = = = −
′′ ′′= − + − + ⇒
+
−
= −
= 2 2
3 2 3 25 57 7 7 7
57
1) (7 10 1) 0
2( . . .); ( . . .); ( . . .); 1( . . .). . ( ) ( 1) 0 1
(2) 0 2( ) 58.29 0 4 ( )
x x
x p p i x p p i x p p i x p p isust v c en f x f en x extremo relf en x extremo relf en x mínimo relPara localizar los extrem
+ − + =
= = − = + = −′′ ′′⇒ − = ⇒ =− ∃
′′ = ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃
5 57 7
. .( ) 18.35 ( , 18.35)
( )
mín
os relativos sust v c enf p
f x= − =⇒ −
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 1 ‐
1 0 P. inflexión
1, √ ‐
√ 10.21 P. inflexión
√ ,
√ +
√ 9.1 P. inflexión
√ ,2 ‐
2 0 P. inflexión 2, ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
200 [email protected], [email protected], [email protected].
2 2 3
2
35
2
2
2
2
3 ( ) :( ) 30 ( 1) 10 [2( 1)] ( ) 10 ( 1)[ 3( 1) 2 ]( ) 10 ( 1)(5 3); '( ) 0 10 ( 1)(5 3) 0
0 ( . .); 1( . .); ( . .)
12) ( ) 10 (
( ) 20 (10 12
1)
3)
Domf xf x x x x x f x x x x xf x x x x si f x x x xx v c x v c x v c
f x x x x f
f x x x ⇒
′ ′= − + − ⇒ = − − +
′ = − −
= −
= ⇒ − − == = =
′′ ′′= − + ⇒ 2
6 63 35 10 5 10
3 36 35 5 5
( ) 0 20 (10 12 3) 0
( . . .); ( . . .); 0( . . .). . ( ) (0) 0
( ) 0 ; (1) 20 0 1
x x x x
x p p i x p p i x p p isust v c en f x f extremo relf en x máximo rel f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sus
−
= ⇒ − + =
= − = + =′′ ′′⇒ = ⇒ ∃
′′ ′′= < ⇒ = ∃ = > ⇒ = ∃
3 35 5
. .( ) 0.345 ( ,0.345);
( )(1) 0 (1,0)máx mín
t v c enf p f p
f x= ⇒ = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, 0 ‐
0 0 P. inflexión
0, √ +
√ 0.186 P. inflexión
√ ,
√ ‐
√ 0.145 P. inflexión
√ , ∞ +
Cortes con los ejes: 0; 0; 1; 0 0
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
201 [email protected], [email protected], [email protected].
3 2
2
2
2
2 6
2
3
( ) :( ) 8 4 ( ) 4 (2 )
: '( ) 0 4 (2 ) 0 0( . .); 2( . .)
( ) 4(2 3 ) ( ) 0 4(2 3 )0 ( . . .). . ( ) (0) 8 0 0
13
(
) ( ) (4
2) 16 0
) Domf xf x x x f x x x
si f x x x x vc x vc
f x x f x x x p pisust v c en f x f x mínimo r
x x
e
f
l
x
f
⇒
′ ′= − ⇒ = −
= ⇒ − = ⇒ = =±
′′ ′′= − ⇒ = ⇒= − ⇒ =±′′ ′′⇒ = >
= −
⇒ = ∃
′′ − = − < 2 ; ( 2) 16 0 2. .
( 2) 4 ( 2,4); ( 2) 4 ( 2,4); (0) 0 (0,0)
( )
máx máx mín
en x máximo rel f en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en
f p f p f p
f x′′⇒ = − ∃ = − < ⇒ = ∃
− = ⇒ − = ⇒ = ⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN
∞, √ ‐
√ P. inflexión
√ , √ +
√ P. inflexión
√ , ∞ ‐
Cortes con los ejes: 0 2 ; 2; 0
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
202 [email protected], [email protected], [email protected].
( )
( )
12
12
2 2 2 2
2
22 2
2
23 2
22
2 ( ) :[ 3,3]2'( ) (9 ) ( ) '( ) (9 ) 9
2 (9 )
9 2'( ) (9 ) 9 2 '( )
(9 )
9 2: '( ) 0 0 (
14) ( ) (9 )
. .); 3 '( ) ( . .)(9 )
(
Domf xxf x x x f x x x xx
xf x x x f x
x
xsi f x x v c x f x v c
x
f x
x
x x
f
−
−
⇒ −
− ⎡ ⎤= − + ⇒ = − − − ⇒⎣ ⎦−
−⎡ ⎤= − − ⇒ =⎣ ⎦ −
−= ⇒ = ⇒ = ± = ±
=
−
′′
−
∃∴
( ) ( )2 23 6
22 3 2 3
3 2 3 22 2
3 22
2 27 2 27) ( ) 0 0 , ( )
(9 ) (9 )3 ( ) ; 0( . . .)
. . ( ) ( ) 4 0
( ) 4 0 4
x x x xf x x perono están en el Domf x
x xx f x x p p i
sust v c en f x f en x máximo rel
f x mínimo relPara localizar los extremos relati
− −′′= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ±
− −′′= ± ∃ =
′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃
′′ − = > ⇒ = ∃
3 2 3 2 3 2 3 29 9 9 92 2 2 2 2 2 2 2
. .
( ) ( ,
( )
); ( ) ( , )
mín máx
vos sust v c en f x
f p f p− −− = ⇒ − = ⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN
3 0 3, 0 +
0 0 P. inflexión 0, 3 ‐
x 3 0
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
203 [email protected], [email protected], [email protected].
3 3
3 3 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
3 2 3 22 27 7 7 7
( ) :( ) ( 1) (2 ) 3 ( 1) (2 ) 3 ( 1) (2 )( ) ( 1) ( 2) (7 4 2) : '( ) 0 ( 1) ( 2) (7 4 2) 0
2( . .); ( . .); 1( . .); ( . .
15) ( ) ( 1
)
(
) (2 )
)
Domf xf x x x x x x x x xf x x x x x s
f x x x x
i f x x x x x
x v c x v c x v c x v c
f x
⇒
′ = + − + + − + + −
′ = − + − − − = ⇒ + − − − =
= = − = − = +
′′
+
=
= −
3 2 3 26( 1)(2 )(7 8 4 2); : ( ) 0 6( 1)(2 )(7 8 4 2) 02( . . .); 0.6( . . .); 0.33( . . .); 1.4( . . .) 1( . . .)
. . ( ) ( 1) 0 1(2) 0 2
x x x x x si f x x x x x xx p p i x p p i x p p i x p p i x p p isust v c en f x f en x extremo relf en x extremo re
′′+ − − − + = ⇒ + − − − + == = − = = = −
′′ ′′⇒ − = ⇒ =− ∃′′ = ⇒ = ∃
3 2 3 22 27 7 7 7
3 2 3 22 27 7 7 7
3 2 3 2 3 2 3 22 2 2 27 7 7 7 7 7 7 7
( ) 21,1 0 ( )
( ) 37,3 0 ( ). .
( ) 1.25 ( , 1.25); ( ) 8.21 (
( )
,8.2mín máx
l
f en x mínimo rel
f en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en
f p f p
f x
′′ − = > ⇒ = − ∃
′′ + = − < ⇒ = + ∃
− = − =⇒ − − + = =⇒ + 1)
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 1 +
1 0 P. inflexión 1, 0.6 ‐
0.6 0.67 P. inflexión 0.6, 0.33 +
0.33 3.61 P. inflexión 0.33, 1.4 ‐
1.4 4.18 P. inflexión 1.4, 2 +
2 0 P. inflexión 2, ∞ ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
204 [email protected], [email protected], [email protected].
1 4 13 3 3
13
4 43 3
3
33
3 4
27
3 2
( ) :
'( ) (8 ) ( 1) '( ) (8 )
32 7 (32 7 ) '(
1
) '( )3 3
(32 7 ): '( ) 0 0 ( . .); 03
4(8 7
6) ( ) (8
)( ) ;
)
:9
Domf x
f x x x x f x x x x
x x xf x x f x
x xsi f x x v c x
xf x si
f x x
x
x ⇒
= − + − ⇒ = − − ⇒⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤− −⎡ ⎤= ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤−= ⇒ = ⇒ = =⎢ ⎥
⎣ ⎦−′′ ′=
= −
783 2
32 327 7
32 327 7
4(8 7 )( ) 0 0 ( . . .); 0 ( ) ( . . .)9
. . ( ) ( ) 3.87 0 ( ). .
( ) 26(
( ,26))
máx
xf x x p p i x f x p p ix
sust v c en f x f en x máximo relPara localizar los extremos relati f xvos sust v c enf p
−′ ′′= ⇒ = ⇒ = = ∃
′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃
=⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN ∞, 0 0 +
0 P. inflexión
0, 0 +
x P. inflexión
, ∞ 0 ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
205 [email protected], [email protected], [email protected].
2
2
2 2 3
192 3
2 21
32 5 2 5
2( ) :
18(9 1) ( 1)2 (9 1) 9 1'( ) '( )
(9 1) (9 1)9 1: '( ) 0 0 ( . .)
(9 1)
9(18 3 1) 9(18 3 1)( ) ( ) 0 0 ( . .(
117) (
9 1) (9 1)
)(9 1)
Domf x
xx xx xf x f x
x xxsi f x x v cx
x x x xf x
xf x
x
x
f x p px x
−
−
⇒
+ − −+ +
= ⇒ = ⇒+ +
+= ⇒ = ⇒ =
+
+ − + −′′ ′′= − ⇒ = ⇒− = ⇒ =
−
+
+ +
=
16
1 19 9
10 101 19 3 9 3
.); ( . . .)
. . ( ) ( ) 7.68 0. .
( )
( )
( , )mín
i x p p i
sust v c en f x f x mínimo relPara l focalizar los extremos relativos sust v c en
f p
x
− −
− −− −
=
′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃
= ⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN
∞, ‐
0.94 P. inflexión
, +
x 1.05 P. inflexión
, ∞ ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
206 [email protected], [email protected], [email protected].
233 3
753
32
2
3
3
3
2
( ) :2( 1) 5 7'( ) ( 3) '( )
3 ( 3) 3 ( 3)5 7: '( ) 0 0 ( . .); 3, '( ) ( . .)
3 ( 3)15(3( ( 3)) 3(5 7)
3 ( 3) 15( 3) (5 7
18) ( ) ( 3
( ) ( )
) ( 1)
9 ( 3)
Domf xx xf x x f xx x
xsi f x x v c
f x x
x f x v cx
x xx x xf x f x
x
x
⇒
+ −= + − ⇒ = ⇒
− −
−= ⇒ = ⇒ = = ∃∴
−
− − −− − − −′′ ′′= =
−
= − +
⇒4 43 3
19543
7 75 5
75
) 2(5 19)( )9 ( 3) 9 ( 3)
2(5 19): ( ) 0 0 ( . . .); 3 ( )( . . .)9 ( 3)
. . ( ) ( ) 6.16 0 ( ). . ( )
( )
xf xx x
xsi f x x p p i x f x p p ix
sust v c en f x f en x máximorelPara localizar los extremos relati f xvos sust v c enf
−′′⇒ =− −
−′′ ′′= ⇒ = ⇒ = = ∃−
′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃
753.3 ( ,3.3)máxp=⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN ∞, 3 ‐
3 0 P. inflexión
3,195
+
x195
4.13 P. inflexión
195 ∞
‐
Cortes con los ejes: 0 1 ; 3; 0 2
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
207 [email protected], [email protected], [email protected].
3
2
23
3 2 3 3
2
3 3
43 3 3
3 3
3 3
( ) : ( 1, )
332 1'( ) '( )
(1 ) 2 (1 )
3: '( ) 0 0 0( . .); 1, '( ) ( . .)2 (1 )
92 (1 ) (1 ) 4 (1 )3 32( ) ( )2 (1 ) 4
119) ( )1
Domf x
xxxf x f x
x x
xsi f x x v c x f x v c
f
x
xx x x x xf x f x
x
x
x⇒ − ∞
−−+= ⇒ = ⇒
+ +
−= ⇒ = ⇒ = = − ∃∴
+
⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥ +′′ ′′= − ⇒ = −⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
=+
4 3
3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 5 3 5
3
3 5
9 (1 )(1 )
(1 ) 4(1 ) 9 4 5 3 5 43 3( ) ( ) ( )4 (1 ) 4 (1 ) 4 (1 )
3 5 4: ( ) 0 0 0.93( . . .);
4 (1 )
x xx
x x x x x x x xf x f x f x
x x x
x xsi f x x p p i
x
⎡ ⎤− +⎢ ⎥
+⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥′′ ′′ ′′⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ⇒ = − ⇒ =+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤⎡ ⎤−⎣ ⎦′′ ⎢ ⎥= ⇒ = ⇒⎢ ⎥+⎣ ⎦
0( . . .); 1 ( )( . . .)
. . ( ) (0) 0 0 ( )
x p p i x f x p p i
sust v c en f x f en x extremo rel
′′= = − ∃
′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN 1, 0 +
0 1 P. inflexión 0, 0.93 ‐
x 0.93 0.74 P. inflexión 0.93, ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
208 [email protected], [email protected], [email protected].
[ ]
23
2
2 2 2 4 2 43 3 3
3 3
23
2 23 3
3 ( ) : ( 3)
( 3) 2 ( 3) ( 3) 3 2 ( 3)( 1)'( ) '( ) '( ) 3 ( ( 3) ) 3 (
20)
3) ( 3)( 3)( 1) ( 1)'( ) '( ) ( 3) ( 3) ( 3)
: (
(
'
( ) 3) Domf x x x
x x x x x x x xf x f x f xx x x x x x
x x xf x f xx x x x x
i
x
s f
x
x
f x= ⇒ ⇒= +
⎡ ⎤+ + + + + + + +⎣ ⎦= ⇒ = ⇒
+
=+ + +
+ + += ⇒ =
+ + +
3 2 3
3 35 4 5 43 3
( 1)) 0 0 1( . .); 3, 0 '( ) ( . .)( 3)
2 2( ) : ( ) 0 0( 3) ( 3)
3, 0; ( ) ( . . .). . ( ) ( 1) 0.79 0 1 ( )
x x v c x x f x v cx x
f x si f xx x x x
x x f x p p isust v c en f x f en x máximorelPara localizar los extremo
+= ⇒ = ⇒ = − = − = ∃∴
+
′′ ′′= − ⇒ = ⇒− =+ +′′⇒ = − = ∃
′′ ′′⇒ − = − < ⇒ =− ∃. .
( 1) 1.58 ( 1,1.58)( )
máx
s relativos sust v c enf
xp
f− =⇒ −
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X) RESUMEN ∞, 3 +
3 0 P. inflexión 3, 0 +
x 0 0 P. inflexión 0, ∞ ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
209 [email protected], [email protected], [email protected].
2
2
2 2 3
142 3
22
2 5
2
32
3 2
( ) :
( 1)(8 )4 14 12 4 1'( ) '( )
4 1 (4 1)4 1: '( ) 0 0 ( . .)
(4
121
1)
3(4 1) 4 1(8 )4 (4 1) (8 3 1)2( ) ( )(4 1) (4 1)
) ( )4 1
Domf x
x xxxxf x f x
x xxsi f x x v cx
x x xx x xf x f xx x
si
xf xx
−
⇒
−+ −++= ⇒ = ⇒
+ +
+= ⇒ = ⇒ =
+
+ ++ − ⎡ ⎤+ −′′ ′′= ⇒ = −⎢ ⎥
+ ⎢ + ⎥⎣ ⎦
−=
+
241 413 3
16 16 16 162 5
1 14 4
(8 3 1): ( ) 0 0 ( . . .); ( . . .)(4 1)
. . ( ) ( ) 2.86>0 ( )
x xf x x p p i x p p ix
sust v c en f x f en x mínimo rel
−
− −
+ −′′ = ⇒ − = ⇒ = − = −+
′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √ ‐
√ 1.03 P. inflexión
√ ,
√ +
√ 0.72 P. inflexión
√ , ∞ ‐
Cortes con los ejes: 0 1 ; 0 1
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
210 [email protected], [email protected], [email protected].
2 2 2 2 2 2
2 4 2 3
2
2 3
2 2
2
3
2
3 2 2
2 ( ) :
8 ( 4) 16 (4 )( 4) 8 ( 12)'( ) '
4(4 )22
( ) ( 4) ( 4)
8 ( 12): '( ) 0 0 2 3( . .); 0( . .)( 4)
(24 96)( 4) 3(8 96 )( 4
) ( )( 4)
) (2 )( )(
Domf x
x x x x x x xf x f xx x
x xsi f x x v c x v cx
x x x x x xx
xx
x
f
f
x⇒
− + − − + −= ⇒ = ⇒
+ +
−= ⇒ = ⇒ = ± =
+
− + − − +′
=+
′ =
−
4 2
2 6 2 4
4 2
2 4
364
364
24( 24 16)( )4) ( 4)
24( 24 16): ( ) 0 0 2 2 2 ( . . .); 2 2 2 ( . . .)( 4)
2 2 2 ( . . .); 2 2 2 ( . . .)
. . ( ) ( 2 3) >0 2 3 ( )
(2 3) >0
x xf xx
x xsi f x x p p i x p p ix
x p p i x p p i
sust v c en f x f en x mínimo rel
f en
− − +′′⇒ =+ +
− − +′′ = ⇒ = ⇒ = − − = −+
= − = +
′′ ′′⇒ − = ⇒ = − ∃
′′ = ⇒-32
1 1 1 18 8 8 8
2 3 ( )(0) <0 0 ( )
. .
( 2 3 ) ( 2 3, ); ( 2 3) (2 3, ); ( 0) 1 (0, )
( )
1mín mín máx
x mínimo relf en x máximo relPara localizar los extremos relativos sust v c en
f p f p p
f x
f− − − −
= ∃′′ = ⇒ = ∃
− = ⇒ − = ⇒ = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, 2√2 2 ‐
2√2 2 0.10 P. inflexión
2√2 2 , 2 2√2 +
2 2√2 0.60 P. inflexión
2 2√2 ,2√2 2 ‐
2√2 2 0.60 P. inflexión
2√2 2, 2√2 2 +
2√2 2 0.10 P. inflexión
2√2 2, ∞ ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
211 [email protected], [email protected], [email protected].
( )3
4
2 4
2
32 2
2 4 41 1
4 3 4
4 2 4 2
1
4
4 2
( ) :
2 2'( ) '( ) '( ) ; '( ) 0 0 0( . .)1 ( ) 1 1
2
23) ( )
( 1) 2 (4 ) 2(3 1)( ) ( )( 1) ( 1)
2(3 1): ( ) 0 0( 1)
x xx
x
x
x
Domf x
x xf x f x f x si f x x vcx x
x x x xf x f xx x
xsi f
f x ar g
x
t
xx
c− −
+
⇒
− −= ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =
+ + +
− + + −′′ ′′= ⇒ =+ +
−′′ = ⇒ = ⇒ −+
=
=
2 2
0.759( . . .); 0.759( . . .)
. . ( ) (0) 2 0 0 ( ). (.
(0) (0, ))
máx
p pi x p pi
sust vc en f x f enx máximo relPara localizar los extremos relativos s f xust vc enf pπ π
=
′′ ′′⇒ =− < ⇒ = ∃
= ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 0.759 ‐
0.759 1.047 P. inflexión 0.759 , 0.759 +
0.759 1.047 P. inflexión 0.759 , ∞ ‐
( )
2 2 4 2 4 2
4 2 3 4 2
4 2 2 4 2 2
4 2
4
2 ( ) :
2 2 2'( ) '( ) '( ) 0 0 0( . .)1 ( 1) 2 2 2 2
2( 2 2) 2 (4 4 ) 2(3 2 2)( ) ( )( 2 2) ( 2 2)
2
24) (
(3 2 2)
) 1
: ( ) 0(
Domf x
x x xf x f x si f x x vcx x x x x
x x x x x x xf x f xx x x x
x xsi f x
f x a g
x
rct x ⇒
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =+ − − + − +
− + + − − −′′ ′′= ⇒ =−− + − +
− −′′ = ⇒−
= −
7 13 32 2
4 4
0 ( . . .)2 2)
. . ( ) (0) 1 0 1 ( ). .
(0) (0,( )
)máx
x p p ix
sust v c en f x f enx mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf p
f xπ π
= ⇒ =± +− +
′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃
= ⇒
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
212 [email protected], [email protected], [email protected].
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 1.10 ‐
1.10 0.212 P. inflexión 1.10 , 1.10 +
1.10 0.212 P. inflexión 1.10 , ∞ ‐
( )
2 2 4 3 2
524 3 2
4 3 2
3
2
3 2
4 2
( ) :
2 5 2 5'( ) '( )1 ( 5 6) 10 37 60 37
2 5'( ) 0 0 ( . .)10 37 60 37
2( 10 37 60 37) (2 5)(4 30 74 60)( )
25) ( ) 5 6
( 10 37
Domf x
x xf x f xx x x x x x
xs
f x arctg x x
i f x x v cx x x x
x x x x x x x xf xx x x
⇒
− −= ⇒ =
+ − + − + − +−
= ⇒ = ⇒ =− + − +
− + − + + − − + −′′ =− +
= − +
2
4 3 2
4 3 2 2
4 3 2
4 3 2 2
5 32 52 17 2
60 37)2(3 30 112 185 113)( )
( 10 37 60 37)2(3 30 112 185 113): ( ) 0 0 1.67( . . .); 3.32( . . .)
( 10 37 60 37). . ( ) ( ) 0 (
xx x x xf xx x x x
x x x xsi f x x p p i x p p ix x x x
sust v c en f x f en x mí
− +
− + − +′′ = −− + − +
− + − +′′ = ⇒ − = ⇒ = =− + − +
′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃
5 52 2
). .
( ) 0244 ( ,0.244)( )
máx
nimo relPara localizar los extremos relativos sust v c en
pf x
f ≈ − ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. ∞, 1.67 ‐
1.10 0.41 P. inflexión 1.67 , 3.32 +
3.32 0.41 P. inflexión 3.32 , ∞ ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
213 [email protected], [email protected], [email protected].
[ ]
32 2
'( ) ( ) '( ) 0 ( ) 0 ,( 0, 1, 2,....): 0 0;( . .); :
26) ( ) cos
1 ( . .); : 2 2 ( . .)( ) cos( ); : ( ) 0 cos( ) 0 ( . . .)
( );
; ( . . .)
0,2f x sen x si f x sen x x n nPara n x v c Para n x v c Para n x v cf x x si f x x x p p i x p p isu
f x x
s
π π
ππ π
π= − ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ± ±= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
′′ ′′= − = ⇒− = =
=
= ⇒
son valores de frontera del i
. . ( ) (0) 1 0 0 ( )( ) 1 0 ( )
ntervalo; (2 ) 1 0
dado2 ( )
:0 2. (.
( ))
t v c en f x f en x máximo relf en x mínimorel f en x máximo relpero yPara localizar los extremos relativos sust v c en f xf
π π π ππ
π
′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃′′ ′′= > ⇒ = ∃ = − < ⇒ = ∃
= 1 ( , 1)mínp π− ⇒ −
INTERVALO ƒ( X ) ƒ’’( X ) RESUMEN 0 1
0, ) ‐ ∩ x 0 P. inflexión
, ) + ∪
0 P. inflexión
, 2π ‐ ∩
2 ‐ 1
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
214 [email protected], [email protected], [email protected].
[ ]'( ) 1 cos( ) '( ) 0 1 cos( ) 0 cos( ) 1 0( . .); 2 ( . .)( ) ( ); : ( ) 0 ( ) 0 0( . . .); ( . . .)
. . ( )
27) ( ) ( ); ,
pero:±(0) 0
20 ( )
π
f x x si f x x x x v c x v cf x sen x si f x sen x x p p i x p p isust v c en f x f en x extrem
f x x s
r
en x
o el
ππ
π π= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ = ⇒ = = ±
′′ ′′= = ⇒ = ⇒ = = ±′′ ′′⇒ = ⇒ =
= − −
∃noestán en domf(x) y ±π son valores de frontera del intervalo dado
INTERVALO ƒ( X ) ƒ’’( X ) RESUMEN π
π, 0 ‐ 0 0 P. inflexión
0, + π
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
215 [email protected], [email protected], [email protected].
54 4 4
34
3 74 4
'( ) cos( ) ( ) '( ) 0 cos( ) ( ) 0( . ); ( . .)
( ) cos( ) ( ); : ( ) 0 cos( ) ( ) 0 ( . .
28) ( ) ( ) cos( ); (0,
.)( . . .)
. . (
2 )f x x sen x si f x x sen xx v c x v cf x x sen x si f x x sen x x p p ix x p p i
sust v c en
f se x
f
x n x
π π π
π
π π
π
π
π
= − ⇒ = ⇒ − == = + =′′ ′′= − − = ⇒ − − = ⇒ =
= + ⇒ =
′′
= +
4 4
5 54 4
5 54 4 4 4
) ( ) 2 0 ( )
( ) 2 0 ( ). .
( ) 2 ( , 2); ( ) 2 ( , 2
( )
)máx mín
x f en x máximo rel
f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c en
f p f p
f x
π π
π π
π π π π
′′⇒ = − < ⇒ = ∃
′′ = > ⇒ = ∃
= ⇒ = − ⇒ −
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN
0, ‐
0 P. inflexión
, +
0 P. inflexión
, 2 ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
216 [email protected], [email protected], [email protected].
( )
4 4 43 3 3
43
'( ) 4cos( ) 3 ( ) '( ) 0 4cos( ) 3 ( ) 04cos 3 ( ) ( ) 2.21( . )
2 ( ) 5.35( . .)( ) 3cos( ) 4
29) ( ) 4 ( ) 3cos(
( ); :
); 0,2f x x sen x si f x x sen x
x sen x tg x x arc tg x arc tg v cx arc tg v cf x x sen x
f x sen x x
si
π
ππ
− − −
−
= + ⇒ = ⇒ + == − ⇒ = ⇒ = ⇒ = + ≈
= + ≈′′ = −
= −
3 3 34 4 4
( ) 0 3cos( ) 4 ( ) 0 ( ) 0.64( . . .); ( ) 3.78( . . .)
. . ( ) (2. 21) 5 0 2. 21 ( )(5. 35) 5 0 5. 35 ( )
f x x sen xtg x x arc tg x p p i x arc tg x p p isust v c en f x f en x máximo relf en x mínimorelPara localizar los
π′′ = ⇒ − = ⇒
= ⇒ = ⇒ ≈ = + ⇒ ≈′′ ′′⇒ = − < ⇒ = ∃
′′ = > ⇒ = ∃. .
( 2.21) 5 (2.21,5); (5.(
35) 5 (5. ))
35, 5máx mín
extremos relativos sust v c enf p f p
f x= ⇒ = − ⇒ −
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 0, 0.64 +
0.64 0 P. inflexión 0.64 , 3.78 ‐
3.78 0 P. inflexión 3.78 , 2 +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
217 [email protected], [email protected], [email protected].
( )[ ]
[ ]
12
2 412 3 3
'( ) (2 ) ( ) '( ) 2 ( ) cos( ) ( ) '( ) ( ) 2cos( ) 1
'( ) 0 ( ) 2
30) ( ) cos(2
cos( ) 1 0 0 0( . .); ( . )
cos( ) ( ) ( . .); ( . )
(
) cos( ); 0, 2
f x sen x sen x f x sen x x sen x f x sen x x
si f x sen x xsen x x v c x v c
x
f x x x
x v c x v c
f
π π
π
π
−
= − − ⇒ = − − ⇒ = − +
= ⇒ − + =
= ⇒ = ==
+
⇒ = =
′′
=
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
) 2cos(2 ) cos( ) ( ) 2(cos ( ) ) cos( )( ) 2cos ( ) 2 ) cos( ) ( ) 2cos ( ) 2(1 cos ) cos( )( ) 2cos ( ) 2 2cos ) cos( ) ( ) 4cos ( ) cos 2: ( ) 0 4cos ( ) cos
x x x f x x sen x xf x x sen x x f x x x xf x x x x f x x xsi f x x x
′′= − − ⇒ = − − −
′′ ′′= − + − ⇒ = − + − −
′′ ′′= − + − − ⇒ = − − +
′′ = ⇒ − −
2 3 23 2 3
2 0 2 :cos( ) 0.843 2.57( . . .); 3.71( . . .)cos( ) 0.593 0.94( . . .); 5.35( . . .)
. . ( ) (0) 0 0 ( )( ) 1 0 ( )( ) 0
doEc de gradox x p p i x p p ix x p p i x p p i
sust v c en f x f en x extremo relf en x máximo relf en xπ π
π π
+ = ⇒= − ⇒ = == ⇒ = =
′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃′′ = − < ⇒ = ∃′′ = > ⇒ = ∃ 4 3 2
3 2 3
2 3 2 3 4 3 4 31 12 2 3 4 3 4 3 4 3 4
( ); ( ) 0 ( ). .
( ) ( , ); ( ) ( , ); (() ( , )
)
máx mín mín
mínimo rel f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust fv c en
f p px
f p f
π π
π π π ππ π − − − −− −
′′ = > ⇒ = ∃
= ⇒ = ⇒ = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN. 0, 0.94 ‐
0.94 0.44 P. inflexión 0.94, 2.57 +
2.57 0.63 P. inflexión 2.57, 3.71 ‐
3.71 0.63 P. inflexión 3.71, 5.35 +
5.35 0.45 P. inflexión 5.35, 2 ‐
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
218 [email protected], [email protected], [email protected].
( )
1 12 2
2
2
( )12
'( ) 2 ( ) '( ) 2 ( ) '( ) (2 ( ) 1)
'( ) 0 (2 ( ) 1) 0 0( . .)
2 ( ) 1 0 ( ) ( . .)( ) 2 (
31) ( ) ( ); (
) 3; : (
) :
)
,
( )
0
Ln x
no está en d
xf x xLn x f x xLn x x f x x Ln xx
si f x x Ln x x v c
Ln x Ln x e
f x x Ln x Dom
o
f x
e x e v cf x Ln x
mf
i
x
s f x
− −−
= + ⇒ = + ⇒ = +
= ⇒ + = ⇒ =
+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =′
∞
′ ′′= +
=
=3 3
2 2
1 12 2
1 12 2
( )32
0 2 ( ) 3 0
( ) ( . . .)
. . ( ) ( ) 2 0 ( ). .
( ) 0
(
.18
)
( , 0.18)
Ln x
mín
Ln x
Ln x e e x e p p i
sust v c en f x f e en x e mínimo relPara localizar los extremos relativos sust fv c en
f e e
x
p
− −
− −
− −
−
⇒ + = ⇒
= ⇒ = ⇒ =
′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃
= − ⇒ −
INTERVALO ƒ( X ) ƒ’’( X ) RESUMEN 0, 0.22 ‐
0.22 0.075 P. inflexión 0.22, ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
219 [email protected], [email protected], [email protected].
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2
2
2 2
2 2'( ) ; '( ) 0 0 0( . .)1 1
2( 1) 2 (2 ) 2 2 4 2(1 )( ) ( ) (
32) ( ) (
)( 1) ( 1) ( 1)
2(
1); (
1 ): ( ) 0 0 1( . . .)( 1)
. . ( )
) :x xf x si f x x v c
x xx x x x x xf x f x f x
x x xxs
f x Ln x
i f x x p p ix
sus
Dom
t
f
v en f x
x
c
= = ⇒
= +
= ⇒ =+ ++ − + − −′′ ′′ ′′= ⇒ = ⇒ =
+ + +
−′′ = ⇒ = ⇒ = ±+
′′ (0) 2 0 0 (( )
). .
( 0) 0 (0, 0)mín
f en x mínimo relPara localizar los extremos relativos sust v c enf
xp
f′′⇒ = > ⇒ = ∃
= ⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN
∞, 1 ‐ 1 2 P. inflexión
1 , 1 + 1 2 P. inflexión
1 , ∞ ‐
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2'( ) ; '(
33) (
) 0 0 0( . .); 1;1 1
2( 1) 2 (2 ) 2 2 4 2(1 )( ) ( ) ( )( 1) ( 1) (
) (
1)
1); ( ) : ( ,
2(1 ): ( ) 0
1) (1,
)
(
(
)
no están en el domx xf x si f x x v c xx x
x x x x x xf x f
f
x f xx x x
xsi f x
f x Ln x Domf
x
x
= = ⇒ = ⇒ = = ±− −− − − − − +′′ ′′ ′′= ⇒ = ⇒ =
− + +
+′
= − −∞
′ =
−
⇒
∞∪
2 2 0 1( . . .) ( )1)
x p p i no están en el domf xx
= ⇒ = ±−
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
220 [email protected], [email protected], [email protected].
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 1 ‐ 1 , ∞ ‐
Cortes con los ejes: 0 1.41
2
( ) 0
( ) 2 2
2
'( ) 2( ) 4( ) '( ) 2( )( 2)'( ) 0 2( )( 2) 0 ( ) 0 1( . .)
( ) 2 0 ( .
34) ( ) 2 ( )
.)4( ) 4 4( 1)( ) ( ) ; : (
( ) : (0, )
)
Ln x
Ln x
f x Lnx Lnx f x Lnx Lnxsi f x Lnx Lnx Ln x e e x v cLn x e e x e v c
Lnx Lnxf x f x si f xx x x
f x x Lnx Domf x
− −
= + ⇒ = +
= ⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
+ = ⇒ = ⇒
=
=+′′ ′′ ′′⇒ =
∞
= + 1
2 2 2
2 2 2 2
4( 1)0 0 ( . . .)
. . ( ) (1) 4 0 1 ( )( ) 4 < 0 ( )
. .( ) 8 ( ,8 ); (1) 0 (1, )
( )0máx mín
Lnx x e p p ix
sust v c en f x f en x mínimo relf e e en x e m
fáximo rel
Para localizar los extremos relativos sust v c enf
xe e p e e f p
−
− − −
− − − −
+= ⇒ = ⇒ =
′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃
′′ = − ⇒ = ∃
= ⇒ = ⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 0, 0.36 ‐
0.36 0.73 P. inflexión 0.36 , ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
221 [email protected], [email protected], [email protected].
2
2 2 2 2
(1 ) (1 )2 2(1 )'( ) '( ) ; '( ) 0 0 1 ( )
1 ( 1)(1 ) ( 1)(1 )14 4( ) ; : ( ) 0 0 0( . . .)
135) ( ) : ( 1
( 1) (1 ) ( 1)
)
(1
,1
)
1x x
xf x f x si f x x domf xx x x x xx
x xf
x
x si f x x p pix x x
f x Ln
x
x− + +
−= ⇒ = = ⇒ = ⇒ =± ∉+ + − + −⎛ ⎞
⎜ ⎟−⎝ ⎠
′′ ′′= ⇒ = ⇒ =
+⎛ ⎞= −⎜ ⎟−⎝ ⎠
⇒ =+ − + −
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 1,0 ‐
0 0 P. inflexión 0 , 1 +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
222 [email protected], [email protected], [email protected].
2
2
2 2
2 2
2 2 2
'( ) 2 (1 ) '( ) (2 1 ); '( ) 0 (2 1 ) 0
0; 2 1 0 ( 1) 0 1( ) (2 1 ) (2 2) ( ) (2 1 2 2) ( ) ( 4 3): ( )
36) ( ) (1 ) , ( ) :x x x x
x
x x x
x
x
f x xe x e f x e x x si f x e x xe x x x x
f x e x x e x f x e x x x
f x x
f x e x xsi f x
e Domf x= + + ⇒ = + + = ⇒ + + =
⇒ ≠ + + = ⇒ + = ⇒ = −
′′ ′′ ′′= + + + + ⇒ = + + + + ⇒ = + +
′′
= +
= 2 20 ( 4 3) 0 0; 2 1 0 1( . . .); 3( . . .). . ( ) ( 1) 0 1 ( )
x xe x x e x x x p p i x p p isust v c en f x f en x extremorel
⇒ + + = ⇒ ≠ + + = ⇒ = − = −′′ ′′⇒ − = ⇒ = − ∃
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 3 +
3 0.49 P. inflexión 3 , 1 ‐
1 0.74 P. inflexión 1 , ∞ +
2
'( ) ; '( ) 0 02 2
0 ( ) '( ) 0 ( ) ( )
( ) : ( ) 0 0
37) ( ) , (
0 1 0 0( . . .2 2
)2
)
:
x x x x
x x
x x x x
x
x x x
x
e e e ef x si f x
e e extremorel y f x f x es monotoma crecientee e e ef x si f x e e e x p p
e ef x Domf x
i
− −
−
−
−
−−
+ += = ⇒ =
⇒ + ≠ ⇒ ∃ > ⇒
− −′′ ′′= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
−=
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
223 [email protected], [email protected], [email protected].
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 0 ‐
0 0 P. inflexión 0 , ∞ +
2
2 2
2
2 '( ) 2 '( ) (2 ); '( ) 0 (2 ) 0
0; 0( . .); 2( . .)( ) 2 2 2 ( ) ( 4 2)
: ( ) 0 ( 4 2) 0 0; 2
38) ( ) , ( ) :
2( .
x x x x
x
x x x x x
x x
x
f x xe x e f x xe x si f x xe xe x v c x v c
f x e xe x e x e
f x x e D
f x e x x
si f x e x x e
om
p
f x
x p
−
−
− − −
−
− − − − −
− −
= + ⇒ = − = ⇒ − =
⇒ ≠ = =
′′ ′′= − + + − ⇒ = − +
′′ = ⇒ − + = ⇒ ≠ = ±
=
. .). . ( ) (0) 2 0 0 ( )
(2) 0.27 2 ( ). .
(0) 0 (0,0); (2) 0.54 (2,0.5(
4)
)mín máx
isust v c en f x f en x mínimorelf en x máximorelPara localizar los extremos relativos sust v c enf p
fp
xf
′′ ′′⇒ = > ⇒ = ∃′′ = − ⇒ = ∃
= ⇒ = ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, 2 √2 +
2 √2 P. inflexión
2 √2 , 2 2√2 ‐
2 √2 P. inflexión
2 √2, ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
224 [email protected], [email protected], [email protected].
2 2 2
2 2
2
2
2 2
2
2 22
'( ) 2 ; '( ) 0 2 0 0; 0( . .)
( ) 2 2 (2 )
39) ( ) , ( )
( ) (4 2)
: ( ) 0 (4 2) 0 0; ( . . .). . ( ) (0) 2 0
:
0
x x x
x x x
x x
x
f x xe si f x xe e x v c
f x e xe x f x e x
si f x e x e x p
f x e D
p isust v c e
om f x
n f x f en x
− − −
− − −
−
− −
= − ⇒ = ⇒ − = ⇒ ≠ =
′′ ′′= − + ⇒ = −
′′ = ⇒ − = ⇒ ≠ = ±′′ ′′⇒ = − < ⇒
=
= ( ). .
(0) 1 (0,1)( )
m áx
m áximo relPara localizar los extrem os relativos sust v c enf p
f x∃
= ⇒
INTERVALOS ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN.
∞, √ +
√ 1.64 P. inflexión
√ , √ ‐
√ 1.64 P. inflexión
√ , ∞ +
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
225 [email protected], [email protected], [email protected].
'( ) (1 ) '( ) ; '( ) 0 0 0; 0( . .)
( ) ( ) ( 1); : ( ) 0 ( 1) 0 0;
40) ( )
1( . . .). . ( ) (0) 1 0
(1 )
0 (
, ( ) :x x x x x
x x x x
x
x
f x e x e f x xe si f x xe e x vcf x e xe f x e x si f x e x e x p p isust v c en f x f en x má
f x x e Dom x
i
f
x
= − + − ⇒ =− = ⇒− = ⇒ ≠ =
′′ ′′ ′′= − − ⇒ =− + = ⇒− + = ⇒ ≠ = −′′ ′′⇒ = ⇒ = ∃
=
<
−
−( )
). .
(0) 1 (0,1)máx
morelPara localizar los extremos relativos sust v c enf p
f x= ⇒
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN ∞, 1 +
1 0.74 P. inflexión 1 , ∞ ‐
3 54 4 4
'( ) ( ) cos( ) '( ) ( ( ) cos( ))
'( ) 0 ( ( ) cos( )) 0 0; ( . .); ; ( ( ))
41)
( ) ( ( ) cos( )) (cos( ) ( )) ( ) 2 c
( ) ( )
o
;
s(
(0, )x
x x x
x x
x x x
f xf x e sen x e x f x e sen x xsi f x e sen x x e x v c x x domf x
f
e s
x e sen x x e
en
x sen x f x e x
x
π π π
π
− −
= + ⇒ = +
= ⇒ + = ⇒ ≠ = = = ∉
′′ ′′= + + − ⇒ =
=
32 2 2
3 34 4
3 34 4
): ( ) 0 2 cos( ) 0 0; ( . . .); ; ( ( ))
. . ( ) ( ) 14.9 0 ( ). .
( ) 7.46 ( ,7.4)
)(
6
x x
máx
si f x e x e x p p i x x domf xsust v c en f x f en x máximorelPara localizar los extremos relativos sust v c enf
f xp
π π π
π π
π π
−′′ = ⇒ = ⇒ ≠ = = = ∉′′ ′′⇒ ≈− < ⇒ = ∃
≈ ⇒
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA “JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
226 [email protected], [email protected], [email protected].
DÁMASO ROJAS ENERO 2008
INTERVALO ƒ ( X ) ƒ’´( X ) RESUMEN 0, +
4.81 P. inflexión
, ‐