Crecimiento Poblaciones

3.3 Crecimiento de poblaciones 131

8. El uranio se desintegra a una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante. SiM1 y M2 gramos están presentes en los instantes t1 y t2, respectivamente, mostrar que la vida mediadel uranio es

tm D.t2 � t1/.ln 2/lnM1 � lnM2

:

3.3 Crecimiento de poblaciones

En esta sección veremos dos modelos de ED que sirven para representar la forma en que evoluciona elnúmero P.t/ de habitantes de una determinada población conforme pasa el tiempo t � 0. Es evidenteque dicho número P.t/ varía con el tiempo, pues en todas las poblaciones se cumple el ciclo biológiconacimiento-crecimiento-reproducción-muerte, sin importar la especie que observemos (pueden ser bac-terias, hongos, conejos, animales en peligro de extinción, poblaciones humanas de lugares de todo elmundo...). Lo que más afecta a P.t/ son los nacimientos y las muertes, aunque otros fenómenos comola migración (que no consideraremos aquí) también lo afectan.Vale la pena aclarar que P.t/ es un número entero, pues representa la cantidad de habitantes (que denomi-namos población), pero en los casos que estudiaremos a continuación se considera como una función realde variable real, ya que sólo así podemos hacer un modelo con ED.

3.3.1 Modelo de Malthus

Fue al parecer Euler quien desarrolló los primeros modelos de población, pero comúnmente se atribuye aMalthus 1 el desarrollo y análisis del primer modelo de evolución de P.t/, según el cual

P 0.t/ D kP.t/: (3.5)

Es decir, en cada instante la rapidez de cambio de la población es proporcional al total de la poblaciónpresente. Por ejemplo, si P.t/ > 0 y P.t/ creciente, esto implica que k > 0.Resolvemos la ecuación diferencial (3.5):

dP

dtD kP ) dP

PD k dt :

Integrando se tiene:∫

dP

PD∫

k dt ) lnP D kt CC1 ) P D ektCC1 D ekteC1 D ektC )

) P.t/ D Cekt :

Ésta es la solución general de la ecuación diferencial (3.5).Es común conocer la población inicial, P.0/ D P0. Con esto podemos calcular la constante C :

P.0/ D P0 D Cek�0 D C ) C D P0 )) P.t/ D P0e

kt :

Para calcular k es necesario conocer la cantidad de población existente en un tiempo t1 > t0, digamosP.t1/ D P1:

P.t1/ D P1 D P0ekt1 ) P1

P0

D ekt1 ) ln�P1

P0

�D kt1 )

) k D lnP1 � lnP0

t1:

1. Thomas Malthus .1776�1834/ fue un economista inglés, considerado el fundador de la demografía. Es muy famoso por su publi-cación Ensayo sobre el principio de la población .1798/ en la cual concluía que la población humana crece de manera exponencial, mientrasque la producción total de alimentos crece en forma lineal, pronosticando un futuro sombrío para la población. Afortunadamente supredicción no se ha cumplido. Sus ideas tuvieron alguna influencia en la teoría de la evolución de Darwin.

132 Ecuaciones diferenciales

Observaciones:

1. Si td es el tiempo en el que la población se duplica, P.td / D 2P0; entonces tenemos, de acuerdo con laecuación previa:

P.td / D 2��P0 D��P0ektd ) 2 D ektd ) ln 2 D ktd :

Y ahora:

k D ln 2td

& td Dln 2k: (3.6)

Lo anterior indica que el tiempo para que una población se duplique no depende de la cantidad inicialde la misma.

2. Si se proporcionan P.t1/ D P1 & P.t2/ D P2 para dos tiempos t1 < t2, obtenemos los siguientesresultados:

P.t1/ D P1 D Cekt1; (3.7)

P.t2/ D P2 D Cekt2:

Para resolver este sistema de dos ecuaciones con dos incognitas, C y k, dividimos la segunda ecuaciónentre la primera y obtenemos:

P2

P1

D Cekt2

Cekt1D ekt2

ekt1D ek.t2�t1/:

Entonces:

ln�P2

P1

�D k.t2 � t1/:

De donde:

k D lnP2 � lnP1

t2 � t1: (3.8)

Tenemos también, usando (3.7) que C D P1e�kt1. Como P.t/ D Cekt :

P.t/ D P1ek.t�t1/I

con k dado por (3.8).

3. Hemos mencionado que la derivadadP

dtes la rapidez de cambio de la población P.t/. A esta derivada

también se le denomina tasa de cambio de la población. De aquí surge una expresión frecuentementeusada en los problemas de población: tasa de crecimiento.

La tasa de crecimiento de una población en cierto tiempo t se define como la razónP 0.t/P.t/

y se da

comúnmente en términos porcentuales anuales. Es decir, la tasa de crecimiento de una población es

precisamente la constante de proporcionalidad k D P 0.t/P.t/

: Recuérdese que P 0.t/ D kP.t/.

4. Así como P.t/ D P0ekt nos sirve para calcular la población creciente de una comunidad, es posible

utilizarla para calcular una población que disminuye al paso del tiempo. Sólo debemos tener presenteque:

a. Si la población P.t/ aumenta, entoncesd

dtP.t/ D kP.t/ con k > 0.

b. Si la población P.t/ disminuye, entoncesd

dtP.t/ D kP.t/ con k < 0.


Ejemplo 3.3.1 En un cultivo de bacterias, se estimó que inicialmente había 150 bacterias y 200 después de unahora (h). Suponiendo una rapidez de crecimiento proporcional a la cantidad de bacterias presente, determinar:

1. La cantidad de bacterias después de t horas.

2. La cantidad de bacterias depués de 2 h.

3. El tiempo que debe transcurrir para que la población se triplique.

H

1. Si P.t/ es la cantidad de bacterias presentes después de t horas, entonces P.0/ D P0 D 150 yP.1/ D P1 D 200. Luego, P.t/ está dada por la solución del PVI:

P 0.t/ D kP.t/; con P.0/ D 150 y además P.1/ D 200:Puesto que P.t/ D Cekt , se tiene:

P.0/ D 150 ) Ce0 D 150 ) C D 150 ) P.t/ D 150ekt:

P.1/ D 200 ) 150ek D 200 ) ek D 200

150D 4

3) k D ln

�4

3

�� 0:2877 )

) P.t/ D 150e0:2877t;

que es la solución del PVI y es la cantidad de bacterias depués de t horas.

2. La cantidad de bacterias después de 2 h es

P.2/ D 150e.0:2877/.2/ � 266:6666IP.2/ � 267 bacterias.

3. Para que la población se triplique:

P.t/ D 3P0 ) ��150e0:2877t D 3.��150/ ) e0:2877t D 3 ) 0:287682t D ln.3/ )

) t D ln.3/0:2877

� 3:8186 h ) t � 3 horas, 49 minutos, 7 segundos.

�

Ejemplo 3.3.2 Cierta población de bacterias tiene una rapidez de cambio proporcional a sí misma. Si en una 1 h tuvoun crecimiento del 50 por ciento:

1. ¿Cuál es la población después de t horas?

2. ¿En cuánto tiempo se duplicará la población?

3. ¿Cuánto habrá aumentado la población en 10 h?

H

1. SeaP.t/ la población total de bacterias después de t h. Como no se dice la población inicial, suponemosque ésta es P0 y, debido a que la población creció un 50% en 1 h, entonces:

P.1/ D P0 C 0:5P0 D 1:5P0:

Por lo tanto, P.t/ está dada por la solución del PVI:

P 0.t/ D kP.t/; con P.0/ D P0 y además P.1/ D 1:5P0:

Sabemos que P.t/ D P0ekt , entonces:

P.1/ D 1:5P0 )��P0ek D 1:5��P0 ) ek D 1:5 ) k D ln.1:5/ � 0:4055 )

) P.t/ D P0e0:4055t :

que es la solución del PVI que da la población de bacterias después de t horas.


2. Para conocer cuándo se duplica la población:

P.t/ D 2P0 ) ��P0e0:4055t D 2��P0 ) e0:4055t D 2 )

) 0:4055t D ln.2/ ) t D ln.2/0:4055

� 1:7094 h :

Hallamos que la población se duplicará en

t � 1 hora, 42 minutos, 33 segundos.

3. La población después de 10 h es

P.10/ D P0e.0:4055/.10/ D P0e

4:054 D 57:685P0:

Por lo tanto, en 10 h la población habrá aumentado a 57:685 veces la población inicial.

�

Ejemplo 3.3.3 Si la población de cierta comunidad crece al 2% anual ¿Cuántos años deben transcurrir para que lapoblación se duplique?

H Aquí, el 2% anual mencionado es precisamente la tasa de crecimiento de población. Se tiene entoncesque k D 2% D 0:02. Además, por la primera observación, el tiempo para que una población se dupliqueestá dado por:

td Dln 2k:

Luego,

td Dln 2kD ln 20:02

� 34:6574 años ) td � 34 años, 240 días.

�

Ejercicios 3.3.1 Modelo de Malthus. Soluciones en la página 463

1. La población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a sí misma. Si la poblacióninicial es de 2 000 y aumenta en un 10% en 5 años:

a. ¿Cuál será la población en t años?

b. ¿Qué porcentaje habrá aumentado en 10 años?

c. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la población sea de 20 000 personas?

2. La población de una comunidad aumenta con una rapidez proporcional a sí misma. Si la poblaciónse duplicó en 20 años, ¿en cuántos años se triplicará?

3. La población de cierta especie de animales aumenta al 5% anual. ¿En cuánto tiempo se duplica lapoblación?

4. La población de cierta especie de animales aumenta al 10% anual. ¿En cuánto tiempo se triplica lapoblación ?

5. Experimentalmente se sabe que la población de cierta bacteria se duplica cada 30 h. ¿Cuál es la tasade crecimiento por día?


3.3.2 Modelo logístico

El modelo de Malthus tiene muchas limitaciones. Por ejemplo, predice que una población crecerá exponen-cialmente con el tiempo, que no ocurre en la realidad. Si la especie considerada dispone de todos los mediospara vivir, como espacio, aire, alimento, entonces su crecimiento será de tipo exponencial; pero si los recur-sos escasean, entonces habrá competencia para acceder a ellos (peleas, guerras a veces, supervivencia de losmás fuertes...) y la razón de crecimiento no será la misma. Por esta razón al modelo de Malthus se le llamade crecimiento irrestricto, mientras que el modelo presentado a continuación se les denomina modelo decrecimiento con restricciones.El modelo llamado de crecimiento logístico, fue introducido por Pierre François Verhulst en 1838 y suponeque la razón de crecimiento es proporcional conjuntamente tanto a la población misma como a la cantidadfaltante para llegar a la máxima población sustentable. Escribiremos dicho modelo como

dP

dtD rP

(

1 � PK

)

: (3.9)

En este modelo el número r se conoce como la razón de crecimiento intrínseco, y K es la capacidad sus-tentable que es el máximo valor que puede tener P . El valor de r depende sólo de la especie considerada,mientras que K depende tanto de la especie como del ambiente en donde se desarrolla ésta y es el máximovalor posible en ese ambiente.

Advierta que si el valor de P es muy pequeño comparado con K, entonces 1 � PK

es � 1 y la ED (3.9) es

semejante a la de Malthus. Por otro lado, si P se aproxima aK entonces 1� PK� 0 y esto haría que

dP

dt� 0;

en consecuencia la población P.t/ sería casi constante.Resolvamos la ED. Observemos que es separable:

dP

dtD rP

(

1 � PK

)

) dP

P

(

1 � PK

) D rdt )∫

dP

P

(

1 � PK

) D rt C C:

La integral del primer miembro se resuelve mediante fracciones parciales:

1

P

(

1 � PK

) D A

PC B

1 � PK

) A

(

1 � PK

)

C BP D 1 )(

B � AK

)

P C A D 1 )

) A D 1 & B � A

KD 0 ) A D 1 & B D 1

K:

Luego,

∫

dP

P

(

1 � PK

) D∫

1

PC

1

K

1 � PK

dP D lnP C 1

K

∫

dP

1 � PK

D lnP � ln jK � P j :

Ahora, si se toma en consideración que P < K, se tiene que jK � P j D K � P , por lo cual:

ln(

P

K � P

)

D rt C C ) P

K � P D Cert :

Antes de despejar P , usemos la condición inicial P.0/ D P0, para determinar C :

P0

K � P0

D Ce0 D C ) P

K � P DP0

K � P0

ert :


Ahora despejamosP , denotando por comodidadP0

K � P0

D C :

P

K � P D Cert ) P D .K � P /Cert D KCert � PCert )

) P C PCert D KCert ) P D KCert

1C Cert:

Para simplificar esta fórmula, dividimos numerador y denominador entre Cert para obtener finalmente:

P.t/ D K

1

CertC 1D K

1C(

K � P0

P0

)

e�rt

: (3.10)

Ejemplo 3.3.4 Utilizando un modelo logístico con capacidad sustentable K D 100 � 109, una población mundial(humana) de 5� 109 en 1986 y una razón de crecimiento de 2 % anual, hacer una predicción de la población mundialpara el año 2010. ¿Cuándo será esta población de 32 � 109? Los datos provistos son aproximaciones de los datosobservados en la realidad.

H En este ejemplo tenemos K D 100; P0 D 5 (en miles de millones de habitantes del planeta) en 1986

y r D 0:02. La solución de la ecuación logísticadP

dtD rP

(

1 � PK

)

es, de acuerdo con la ecuación (3.10),

como sigue:

P.t/ D K

1C(

K � P0

P0

)

e�rt

D 100

1C(

100� 55

)

e�0:02t

D 100

1C 19e�0:02t;

en miles de millones de habitantes.

t

P

K D 100

P0 D 5

En el año 2010 tendremos t D 24; entonces:

P.24/ D 100

1C 19e�.0:02/.24/D 100

1C 19e�0:48� 7 838 904 588 habitantes.

La población será de 32 � 109 en el tiempo t1 que determinamos, como sigue:

P.t1/ D100

1C 19e�0:02t1D 32 ) 100D 32C 608e�0:02t1 ) 608e�0:02t1 D 68 )

) e�0:02t1 D 68

608) �0:02t1 D ln

(

68

608

)

) t1 Dln(

68

608

)

�0:02 � 109:5334 años:

Esto es, a mediados del año 2 095. Esto, claro está, si las tendencias se mantienen; afortunadamente, la razónde crecimiento r D 0:02 no es una constante y, con el tiempo, en muchos países ha estado disminuyendo;entre otros aspectos gracias a la planificación familiar.

�


Ejemplo 3.3.5 Las reservas pesqueras del halibut (especie de gran tamaño, parecida al lenguado) en el Pacífico semodelan con la ED logística con capacidad sustentable de 80:5� 106, medida en kg (biomasa), y razón de crecimientointrínseco de 0:71 por año. Si la biomasa inicial es la cuarta parte de la capacidad sustentable, encontrar la biomasadespués de un año y el tiempo que debe pasar para que la biomasa inicial se duplique, es decir, que llegue a la mitad dela capacidad sustentable.

H El PVI por resolver es

dP

dtD rP

(

1 � PK

)

; con r D 0:71; K D 80:5 � 106kg de biomasa, P0 DK

4:

Observe que ahora P.t/ no es el número de habitantes de la población sino la biomasa al tiempo t , es decir,la masa total de los peces de la especie halibut en el Pacífico. No repetiremos el proceso de resolución de laED, sino que escribiremos directamente su solución (3.10):

P.t/ D K

1C(

K � P0

P0

)

e�rt

D K

1C(

K �K=4K=4

)

e�rt

D K

1C 3e�rtD 80:5 � 106

1C 3e�0:71t:

Al cabo de un año la biomasa será

P.1/ D 80:5 � 106

1C 3e�0:71D 32 526 138:39 kg.

El tiempo necesario para duplicar la biomasa inicial se determina de la siguiente manera:

P.td / D��K

1C 3e�0:71tD 1

2��K ) 1

1C 3e�0:71tdD 1

2) 1C 3e�0:71td D 2 )

) 3e�0:71td D 1 ) �0:71td D ln(

1

3

)

) td Dln(

1

3

)

�0:71 � 1:54734 años,

o sea, 1 año, 6 meses y 17 días aproximadamente.�

Finalizamos esta sección con algunas observaciones sobre la solución de la ecuación logística. Primerohay que subrayar que en las situaciones de interés se tiene P0 < K, pues no es muy realista suponerque la población inicial sea mayor que la capacidad sustentable. En el caso extremo P0 > K, se tiene

quedP

dtD rP

(

1 � PK

)

es negativa, es decir la población decrece hasta llegar (asintóticamente), según el

modelo, a K.

t

P

K

P0 �

En la situación más común en que P0 < K, la derivadadP

dtD rP

(

1 � PK

)

es positiva, o sea que la función

P.t/ será siempre creciente y tenderá asintóticamente hacia K cuando t !1:


t

P

K

P0

La forma típica de la curva solución, llamada curva logística, es la de una letra S alargada, como se ilustra enla figura de arriba. Es interesante observar que hay un cambio en la curvatura de P.t/, que es justamente un

punto de inflexión. Demostraremos a continuación que la inflexión ocurre precisamente cuando P.t/ D K

2.

Para ello, sólo tenemos que encontrar la segunda derivada e igualar a cero:

d 2P

dt2D d

dt

[

rP

(

1 � PK

)]

D rP 0(

1 � PK

)

� r

KP 0P D rP 0 � rP 0P

K� r

KP 0P D

D rP 0 � 2rP 0PKD rP 0

(

1 � 2PK

)

D 0 ) rP 0 D 0 o bien 1 � 2PKD 0I

pero rP 0 D 0 no puede ser, pues ya hemos visto que P 0 D dP

dt> 0 siempre, así que debe darse la segunda

opción: 1 � 2PKD 0 ) 2P

KD 1 ) P D K

2. El tiempo t1 en que ocurre el punto de inflexión dependerá

de los parámetros P0 y r , pero la coordenada vertical es siempre la mismaK

2.

t

P

K

K=2

P0

t1

�

Se puede comprobar también que, en el punto de inflexión, la razón de crecimientodP

dtes máxima (ver los

ejercicios).Los modelos presentados y discutidos en esta sección son los que han demostrado ser de mayor utilidadpor dar predicciones con una aproximación bastante razonable en la práctica. Sin embargo es pertinenteaclarar que las predicciones obtenidas con ellos pueden contener errores por no tomar en cuenta todas lasvariables que afectan al proceso. Así sucedió con Malthus, quien, con el modelo de crecimiento exponencial,predijo en 1798 una catástrofe que en realidad nunca sucedió, pues él no tomó en cuenta los adelantos enla tecnología agropecuaria y alimenticia que han permitido a la población humana seguir viviendo, sinproblemas, casi dos siglos más de lo que predijo.

Ejercicios 3.3.2 Modelo logístico. Soluciones en la página 463

1. Supongamos que una población satisface a un modelo logístico con K D 500, que la población iniciales 100 y que a los 10 años llegó a 200. Determine la razón de crecimiento intrínseco r .

2. La población mundial en 1939 era aproximadamente 2:3 � 109 habitantes y, en 2009, se estimó en6:7 � 109 habitantes. Algunos especialistas consideran que la capacidad sustentable del planeta es de

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton 139

11 � 109 habitantes, en condiciones de bienestar (es decir, sin desnutrición ni padecimientos por faltade recursos). Considere t D 0 en 1939, P.0/ D 2:3� 109 y una capacidad sustentable de 11 � 109.

Encuentre una fórmula para P.t/ con t � 0, determine P en el año 2020 y el tiempo t1 en el que habrá10 � 109 habitantes.

a. Suponiendo que la población crece a una razón de cambio proporcional a la diferencia entre lapoblación límite máxima L y la población al tiempo t .

b. Suponiendo un crecimiento logístico de la población.

3. Compruebe que, para una población que satisface al modelo logístico, la máxima razón de crecimiento

de la población esrK

4, y se alcanza cuando el tamaño de la población es

K

2.

4. Para una población que cumple el modelo logístico con r; P0 y K dados, encuentre el tiempo t1 parael cual P.t/ tiene un punto de inflexión.

3.4 Ley de Enfriamiento de Newton

Si un cuerpo u objeto que tiene una temperatura T0 es depositado en un medio ambiente que se mantiene auna temperatura Ta constante, con Ta ¤ T0, la experiencia nos dice que, al paso del tiempo, la temperaturadel cuerpo tiende a ser igual a la del medio circundante. Es decir, si T .t/ es la temperatura del cuerpo en eltiempo t , entonces T .t/! Ta cuando t crece. Es posible representar esto en un diagrama como sigue:

En t D 0

Ta

T0

En t > 0

Ta

T .t/

En t D periodo largo

Ta

T .t/ � Ta

Para modelar la temperatura del objeto utilizamos la ley de Enfriamiento de Newton; ésta afirma que larapidez de cambio de la temperatura de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de tempera-turas entre el cuerpo y el medio circundante. Esto es,

T 0.t/ D kŒT .t/ � Ta�I

donde k es la constante de proporcionalidad.Notemos aquí dos situaciones:

1. Cuando T0 > Ta , y por lo mismo T .t/ > Ta , en el cuerpo ocurre un enfriamiento y se tiene que T .t/

decrece y que T .t/�Ta > 0, es decir,d

dtT .t/ < 0 y T .t/�Ta > 0, por lo que

d

dtT .t/ D kŒT .t/�Ta� )

k < 0.

2. Cuando T0 < Ta, y por lo mismo T .t/ < Ta, en el cuerpo ocurre un calentamiento y se tiene que T .t/

crece y que T .t/ � Ta < 0, es decir,d

dtT .t/ > 0 y T .t/ � Ta < 0, por lo que

d

dtT .t/ D kŒT .t/ � Ta� )

k < 0.

Concretando: sea enfriamiento o calentamiento, la ecuación diferenciald

dtT .t/ D kŒT .t/�Ta� tiene sentido

siempre y cuando k sea negativa (k < 0).

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