1 CLCULO 1 (MA 262) Clase Prctica sobre Tasas Relacionadas Sesin 5.1 Ciclo 2011 - 02 1.Un canal mide 10 pies de largoy sus extremos tienen la forma de tringulos issceles que miden 3 pies de ancho en la parte superiory tienen una altura de 1pie. Si el canal estsiendollenadoconaguaaraznde12min /3pies ,conquvelocidadest subiendoelniveldelaguacuandoelaguatiene6pulgadasdeprofundidad?(pg260, 27) Solucin: Variables: V: volumen de agua en el canal( )3pies . h: altura de la columna de agua (pies) x: semiamplituddel espejo de agua a una alturah (pies) min / 123piesdtdV= Relacionando variables y operando: El volumen de agua es: , 10 1022xhh xV = =por semejanza de tringulos:h xxh5 , 15 , 11= = , por lo tanto: , 152h V =luego derivamos con respecto a t . 30dtdhhdtdV=Ahora remplazamos los datos y obtenemos: dtdh=2130 12 , de donde . min / 8 , 0 piesdtdh= Respuesta completa: El nivel del agua sube con una velocidad de 0,8pies/min. 10 pies 3pies 1pie 2 2.Una persona se aleja de un edificio de 25 metros de altura con una velocidad de 2 m/s, conquvelocidadvaraelnguloqueformaelsegmentoquevadelospiesdela persona a la parte superior del edificio con el piso cuando la persona est a 15 metros de la base del edificio? Solucin: 3.La altura de un tringulo disminuye a razn de 4 cm/s mientras que su base aumenta a raznde6cm/s,aqu velocidadcambiaelreadeltringulocuandosualturaesde 22 cm y su base de 24 cm? Solucin: 3 4.Dosladosdeuntringulomiden4my5myelnguloentreellosaumentaconuna velocidad de 0,06 rad/s. Calcule la velocidad con que el rea y la altura del tringulo se incrementan cuando el ngulo entre los lados es de 1 radian. Solucin: 5.Un globo est a 100 metros sobre el suelo y se eleva verticalmente a razn de 4 m/s. Un automvilpasapordebajoviajandoconunavelocidadde60m/s,conquvelocidad cambia la distancia entre el globo y el automvil medio segundo despus?Solucin: 4 6.Elvolumen 343rV= deungloboesfricocambiadeacuerdoconsuradio,aqu velocidad cambia el volumen con respecto al radio cuandom 2 = r ? Solucin: Problemas propuestos: 7.Seproduceunahondacircularenelaguaaldejarcaerunapiedradesdeciertaaltura, esta onda viaja hacia afuera con una velocidad de 60 cm/s, determine la velocidad a la que aumenta el rea del crculo despus de 4 segundos. 8.Cada lado de un cuadrado est aumentando a razn de 6 cm/s. Con qu velocidad est aumentando el rea del cuadrado cuando sta es 16 cm2?(pg260, 3) 9.Si 2 2 2y x z + = ,2 = dt dx y3 = dt dy , encuentredt dzcuando5 = xy12 = y . (pg260, 9) 10. Dos lados de un tringulo tienen longitudes de 12 m y 15 m. El ngulo entre ellos est aumentandoaraznde2/min.Conquvelocidadestaumentandolalongituddel tercer lado cuando el ngulo entre los lados de longitud fija es de 60? (pg261, 32) 11. Unaruedadelafortunade10metrosderadioestgirandoaunavueltacada2 minutos. Con qu velocidad asciende un pasajero cuando su asiento est a 16 m sobre el nivel del suelo? (pg262, 40) 12. Uncorredorsedesplazaalrededordeunapistacircularde100mderadioauna velocidad constante de 7 m/s. el amigo del corredor est de pie a una distancia de 200 m del centro de la pista. Con qu velocidad est cambiando la distancia entre los amigoscuando la distancia entre ellos es de 200 m? (pg262, 43). Monterrico, septiembre del 2011 5 SOLUCIONARIO 1. Variables: V: volumen de agua en el canal( )3pies . h: altura de la columna de agua (pies) x: semiamplituddel espejo de agua auna alturah (pies) min / 123piesdtdV=Relacionando variables y operando:El volumen de agua es: , 10 1022xhh xV = =por semejanza de tringulos: h xxh5 , 15 , 11= = , por lo tanto:, 152h V =luego derivamos con respecto a t . 30dtdhhdtdV=Ahora remplazamos los datos y obtenemos: dtdh=2130 12 , de donde. min / 8 , 0 piesdtdh=Respuesta completa: El nivel del agua sube con una velocidad de 0,8pies/min. 2.Variables: x: distancia recorrida por la persona en un tiempo t (m) : ngulo que forma la horizontal con el segmento que va de los pies de lapersona a la parte superior del edificio (rad) s mdtdx/ 2 = Relacionando variables y operando:Del grafico y teniendo en cuenta que el edificio tiene 25m de altura, x25tan = ,derivando con respecto a t, se tiene: dtdxx dtd2225sec = . Reemplazandolosvalorestendremosqueparax=15, 351525tan = = ( ) . / 06 , 03492255034322550cos225502sec11525222 2s raddtd = = = = Respuesta completa: El ngulo disminuye a una velocidad de aproximadamente 0,06rad/s, cuando la persona est a 15m de la base del edificio. 3 pies 10 pies 1pie 6 3.Variables: A: rea del tringulo ( )2cmx: base del tringulo (cm) h: altura del tringulo (cm). t:tiempo en segundos. s cmdtdh/ 4 = y s cmdtdx/ 6 =Relacionando variables y operando:Como:,21xh A =derivando con respecto a t. + =dtdhx hdtdxdtdA21, reemplazando los datos tenemos:( ) ( ) 18 4 24 22 621= + =dtdA Respuesta completa: El rea del tringulo aumenta a una velocidad des cm / 182, cuando la altura es 22cmy la base es de 24cm. 4.Variables: : ngulo entre lados conocidos en t (rad) h: altura del triangulo en el instante t (m) A: rea del tringulo en el instante t( )2ms raddtd/ 06 , 0 = Relacionando variables y operando:Como el rea del tringulo es: 25hA = y sen h 4 = , entonces sen A 10 = , derivando con respecto a t, ( )( ) 32 , 0 06 , 0 1 cos 10 cos 10 = =dtddtdA ( )( ) 13 , 0 06 , 0 1 cos 4 cos 4 = =dtddtdh Respuesta completa: La velocidad con que aumenta el rea es aproximadamentes m / 32 , 02 y la altura aumenta con una velocidad de aproximadamente 0,13 m/s. sen A 10 =7 5. Variables: x: distancia recorrida por el globo en t (m) y: distancia recorrida por el auto en t (m) z: distancia entre el auto y el globo en el tiempo t (m) t: tiempo en segundos. Relacionando variables y operando:PorteoremadePitgoras,( )2 2 2100 y x z + + = , derivandoconrespectoat, ( )dtdyydtdxxdtdzz 2 100 2 2 + + = .Ahorareemplazamos t=1/2,x=2yy=30.yobtenemos:314 6 30 1022 2= + = z , por lo tanto:( ) ( ), 60 30 4 102 314 6 + =dtdz 8 , 20314 62208 =dtdz Respuesta completa: Ladistanciaentreelautoyelglobocambiaconunarapidezde20,8m/s aproximadamente. 6. Variables: V: volumen de la esfera( )3mr: radio de la esfera( ) mRelacionando variables y operando:,343r V = derivandoconrespectoarsetiene:( )2334rdrdV = . Por lo tanto para r=2, obtenemos 16 =drdV Respuesta completa: El volumen del globo cambia a razn de. / 163m m 7. Variables: A: rea del crculo( )2cmr: radio del crculo (cm) t: tiempo en segundos. s cmdtdr/ 60 =Relacionando variables y operando:El rea del crculo es:,2r A =derivando con respecto a t se tiene:, 2dtdrrdtdA =luego como para t=4s . 240 4 60 cm r = = Entonces( )( ) . / 90478 60 240 22s cmdtdA = Respuesta completa: El rea del crculo aumenta con una velocidad de aproximadamente.. / 904782s cm8 8. Variables: x: lado del cuadrado (cm). A: rea del cuadrado( )2cm . t: tiempo en segundos. s cmdtdx/ 6 = Relacionando variables y operando:El rea del cuadrado es:,2x A =derivando con respecto a t se tiene: dtdxxdtdA2 = . Luego de los datos, para A=16 , obtenemos que el lado del cuadrado es x=4. Por lo tantos cmdtdA/ 482= . Respuesta completa: El rea est aumentando con una velocidad des cm / 482. 9. De la relacin 2 2 2y x z + = , derivamos con respecto a t y obtenemos: dtdyydtdxxdtdzz 2 2 2 + = , reemplazando los datos. 54 , 31346 =dtdz Respuesta completa: La velocidad cuando cambia z es aproximadamente de 3,54. 10. Variables: x: lado desconocido del tringulo (m). : ngulo entre los lados conocidos (rad). t: tiempo en minutos. min /90min / 2 raddtdo = =Relacionando variables y operando:Porlaleydecosenos: ( )( ) , cos 15 12 2 15 122 2 2 + = x luegoderivandoconrespectoatsetiene: dtdsendtdxx 360 2 =y reemplazando los valores3 =y21 3 = x , obtenemos: ( )min / 4 , 021 390 / 60 180msendtdx= Respuesta completa: La longitud del tercer lado est aumentando a una velocidad aproximada de 0,4m/min, cuando el ngulo es de. 60o 9 11. Variables: y: altura a la que se encuentra el pasajero del suelo (m). : ngulo de giro en radianes min min 22min 21 rad rad vueltadtd = = =Relacionando variables y operando:Del grfico, 10 10 sen y + =derivando con respecto a t se tiene: dtddtdy cos 10 = , tambinse obtiene del grfico: 54cos53= = y sen . Por lo tanto13 , 255410 = dtdym/min. Respuesta completa: El pasajero asciende a razn de 25,13m/min aproximadamente cuando se encuentra a 16m del suelo. 12. Variables: y: distancia entre el corredory su amigo en un tiempo t (m) x: distanciarecorrida por el corredor (m) t: tiempo en segundos. . / 7 s mdtdx=Relacionando variables y operando:Porley de cosenos: ( )( ) , cos 200 100 2 200 1002 2 2 + = yderivando con respecto a t ( )( ) . 200 100 2 2dtdsendtdyy = La longitud de arco:, 100 = = r xnuevamente derivamos con respecto de t y obtenemos:.1007100 = =dtddtddtdx Reemplazando , 200 = yentonces 41cos = . Por lo tanto,100741520000 200 =dtdy as . / 78 , 6 s mdtdy Respuesta completa: La distancia entre los amigos est cambiando a una velocidad aproximada de 6,78m/s, cuando estn a 200mde distancia.