Covariograma y Correlograma

7/18/2019 Covariograma y Correlograma

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2014-1

[COVARIOGRAMA Y

CORRELOGRAMA]

ALUMNO : PAZ SALAZAR LUIS ANGEL

SECCION : “R”

PROFESOR : TEVES ROJAS, AUGUSTO



Trabajo Nº4

1

Variograma vs. Covariograma.

Según se suponga que el proceso aleatorio {Z(s): s ∈ D} D⊂ Rd

es estacionario de segundo orden o intrínsecamente estacionario, la estructura dedependencia del proceso estocástico quedará especificada por el covariograma opor el variograma en el primer caso y por el variograma en el segundo caso.

En los siguientes apartados se mostrarán propiedades generales que debencumplir ambas medidas de la estructura de la dependencia.

Propiedades del Variograma.

El variograma para procesos intrínsecamente estacionarios cumplen con lassiguientes propiedades:

• 2 γ(h) = 2 γ(−h)

• 2 γ(0) = 0

El comportamiento del variograma en una vecindad del origen es muy informativo

acerca de las propiedades de continuidad del proceso aleatorio )( Z ⋅ .Los tipos más comunes fueron categorizados por Matheron(1971) segúnCressie(1991) como:

• Si 2γ (⋅) es continua en el origen, entonces Z (⋅) es L2 continua

• Si 2γ (

⋅) no se aproxima a 0 cuando h se aproxima al origen, entonces Z(

⋅) no es

L2 continua y es altamente irregular.

Esta discontinuidad de 2γ (⋅) en el origen es lo que Matheron denominó efectonugget. Más precisamente si 2γ(h)→ 2c0 > 0, c0 es el efecto nugget (pepita). Estoes porque pensó que la variación en microescala (pequeñas pepitas) eran lascausantes de la discontinuidad en el origen.

MARCO TEÓRICO



Trabajo Nº4

2

Nótese que la continuidad L2 de Z(⋅) no significa que las realizaciones son

seguramente continuas.

El variograma debe satisfacer una propiedad llamada condicional definida

negativa. Esto es:∑ ∑ ≤ 0 para cualquier número finito de ubicaciones espaciales

{ si: i = 1,2, ..., m } y números reales { a i : i = 1, ... ,m } que satisfacen que

.

• El variograma debe crecer más lentamente que ‖‖. Esto es que:

‖‖ ‖‖

Observación:

Algunos autores definen erróneamente el variograma como E(Z(s1 ) − Z(s2))2 Esta

definición coincide con la definición 2γ(h)= Var (Z(s1 ) − Z(s2)) con h = s1 − s2 si el

proceso Z (⋅) es intrínsecamente estacionario, pero si el proceso Z(⋅) esrepresentado por:

Z(s ) = µ(s) + δ(s )

Donde δ(s) es un proceso estocástico intrínsecamente estacionario convariograma 2γ(⋅) y la media µ(s) no es constante, entonces

E (Z(s1 ) − Z(s2))2 = 2γ(s1 − s2) + (µ(s1 ) −µ (s2))

2

Que no es en general una función de s1 − s2. Ni necesariamente satisfará la últimapropiedad citada anteriormente que todos los variogramas deben satisfacer.

Covariograma y Correlograma.

El covariograma o función de covarianza estacionaria es relativa al proceso

estocástico Z ⋅)( estacionario de segundo orden.El covariograma tiene las siguientes propiedades:

• C(h) = C(−h)

• C(0) = Var[Z(s)] ≥ 0 ∀ s∈ D ⊂ Rd



Trabajo Nº4

3

•||≤ C(0) (Desigualdad de Cauchy-Schwarz)

• C(h) debe ser definida positiva.

Es también verdadero que cualquier función definida positiva corresponde alcovariograma de un proceso estocástico estacionario de segundo orden. Esteresultado es una consecuencia de la teoría espectral.

• En el apartado 3.3 se probó la relación existente entre el variograma y elcovariograma cuando el proceso es estacionario:

2γ(h) = 2{C(0) − C(h)}

Además del variograma y el covariograma se podrían definir el correlograma,Si C(0) > 0 se define como correlograma a

Además se obtiene que:

Es fácil verificar que ρ(h) = ρ(-h) y ρ(0) = 1.

En series de tiempo, estimaciones del correlograma tradicionalmente son usadaspor los analistas para diagnosticar la no estacionariedad, la determinación del tipode dependencia estacionaria, el ajuste del modelo, etc.. En geoestadística noconstituye un instrumento más importante que el covariograma o el variogramasegún corresponda.

Anteriormente se vió que el variograma está definido en algunos casos donde elcovariograma no lo está, en aquellos casos cuando, en base a los datos se estimeésta última función, se estimaría un parámetro inexistente. Cressie(1991) aporta

justificativos teóricos de la preferencia de la estimación del variograma a la del

covariograma.

Teniendo en cuenta que las funciones aleatorias intrínsecas son más generalesque las estacionarias sumado a los resultados citados en el párrafo anterior hablana favor del uso en Geoestadística del variograma (semivariograma) en lugar delcovariograma, aunque la razón principal es la costumbre entre los quehabitualmente recurren a las herramientas geoestadísticas para enfocar susproblemas.



Trabajo Nº4

4

Covariograma [C(h)] Correlograma [

Para h=1

1 2 3 4 6 5

(x) 1 2 3 4 6 -(x+h) - 2 3 4 6 5

̅

̅

√

√

C(h)

EJERCICIO



Trabajo Nº4

5

Para h=2

1 2 3 4 6 5(x) 1 2 3 4 - -

(x+h) - - 3 4 6 5

̅

̅

√

√

C(h)

Para h=3

1 2 3 4 6 5(x) 1 2 3 - - -

(x+h) - - - 4 6 5

̅

̅



Trabajo Nº4

6

C(h)

Para h=4

1 2 3 4 6 5

(x) 1 2 - - - -

(x+h) - - - - 6 5

̅

̅

√

√

C(h)



Trabajo Nº4

7

Hallando variogramas



Trabajo Nº4

8

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Covariograma

Variograma

Covariograma

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 1 2 3 4 5 6

Variograma



Trabajo Nº4

9

Correlograma

http://editorial.unsa.edu.ar/tesis/funes_hector/tesisfinal.pdf

http://www.reddeagriculturaprecision.unal.edu.co/doc/Publicaciones/LIBRO _%20DE%20_GEOESTADISTICA-R%20Giraldo.pdf

http://www.tdx.cat/bitstream/handle/10803/101202/CEMM_TESIS.pdf?sequence=1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5

Correlograma

BIBLIOGRAFIA



http://www.reddeagriculturaprecision.unal.edu.co/doc/Publicaciones/LIBRO_%20DE%20_GEOESTADISTICA-R%20Giraldo.pdf






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