Ningún sistema de ecuaciones covariantes puede determinar el campo exterior a sus fuentes.

A. Einstein (1913)

Las leyes generales de la naturaleza se enuncian mediante ecuaciones que sonválidas en cualquier sistema de coordenadas.

A. Einstein (1916)

El postulado de relatividad ha convertido las coordenadas espacio-temporales en parámetros sin significación física

A. Einstein (1915)

Covariancia General

Habiendo escogido un sistema de coordenadas conveniente como es el sistema de coordenadas harmónicas deberemos expresar los resultados en términos de coordenadas de posición, velocidades y aceleraciones. Así podremos visualizar las trayectorias de las partículas como si estuvieran en el espacio Euclideo de Newton y sus velocidades y aceleraciones serán función de un tiempo absoluto. Esta interpretación es la más satisfactoria desde un punto de vista conceptual y es además la más conveniente para comparar los resultados teóricos con las observaciones.

L. Blanchet (2001)

Principio de equivalencia

…supondremos la completa equivalencia física entre un campo de gravitación y la aceleración correspondiente del sistema de referencia.

A. Einstein (1907)

¿Significa esto que los efectos de un campo de gravitación son indistinguibles de los efectos de la aceleración de un observador? Entonces es falso. Porque en la teoría de Einstein hay un campo de gravitación o no según que el tensor de Riemann no sea nulo o si.

J. L. Synge (1960)

Lo que ahora entendemos como Principio de equivalencia débil dice:La línea de universo de una partícula de prueba sin spin depende de su

posición y velocidad iniciales pero no de su masa ni composición.Newton hubiera podido decir lo mismo. ¿Qué ha pasado con la equivalencia

de la gravitación y la aceleración?E.Schucking - E. J. Surowitz (2007)

Relatividad General

2,44

1,

,

( ),, ,2g g gV g C

R R R

g

2

2

12

,( ) d xd

dx dxR T Tgd d

Ingredientes

Ecuaciones de campo y Ecuaciones de movimiento

Especificación de las fuentes, Condiciones en los limites, Implementación de Simetrías particulares, Sistemas de referencia globales y locales.

Sistemas de referencia

2 1

2 2

, 0, , 0 :

(1) 0, (2) ( ) 0 :

u

L g L g u u k

1,2

dx dpp p p u p pd d

Concepto de reposo relativo

Sincronizaciones corodésicas (Tiempo distribuido)

Coordenadas adaptadas 0 1, 0i

Solución de Schwarzschild

12 2 2 2 22 21 1m mds dt dr r d

r r

22 2 2 22 22r r mds dt dr r m d

r m r

22 2 2 2r m r mds dt dr r m dr m r m

Schwarzschild (1916)

Fock (1960

Brillouin (1923)

Droste-Hilbert (1917)

2 21

3 3 3

124

2 3 3 234 1

3 3 3 33 3

21( (2 ) )

21 ( (2 ) )( (2 ) ) ( (2 ) )

mds dtr m

r m dr r m dr m r m

2 2 22 2 2 2 21 1 1 ( )

2 2 2m m mds dt dr r dr r r

Isotrópicas

De Droste a ..

2 2 2 2 22 4 21 1m m mds dt dtdr dr r dr r r

2 2 2 221 2mds dt dtdr r dr

Whitehead (1922), Kerr-Schild (1963)

Eddington-Finkelstein

22 ln2mt m t

r m

2 ln 12rt r m tm

Perihelio de Mercurio (Fock y Droste)

2 23 23 2 4

2 2 2 22 2

2 2 2

22 22

2

22 2 2

2 2

1 , , ( )

1 2

12 (

6(2 1) 1

1 cos( ) 1,

(1 ) 6, 1

1

,

2 1)

1

m

r m dt du r mr r m d d

du m mu ud

e du eu up d p p

m

m u

mmp p

m

p

u

e

6 mp

p: semi-latus rectum

2 22 3

2 2

1 2 2du m u u mud

, ,

1ur m r umu

81 cos( ) 1 cos( ) , 1 , 2.5 10(1 cos( )e e m mu p p

p m e p p p

Última orbita circular

22 21 1 1

002 20

1 1, ,2

d r dt C dAF F F B Fd d A A dr AB C

2 2 2 2 22 , , , , ( )ds Adt Bdr Cdrdt r Dd A B C D r

Fuerza estática

Orbitas circulares2 2 2 2

2 1 100 221 , 0dt d dt dA Dr

d d d d

2 1

2 2min0,d dA d dAA Dr Dr R r

d dr dr dr

Ejemplo 21 , 1: 3 0mA D r mr

3IC=- ( )9

Brillouin 1/3Fock 2/3Droste 1Kerr-Schild 1

F R RÍndice Coordinado

Pioneer y GPS

2 2

2

2

2 11 , ( )

1 2ln , ( ) 1 2ln

2( ) 2 1

, , ( ), ( )

1 1 21 2 1

2ln

l

p p

e

e a

a e

dr m r tdt r R

r r r rt T r R m T t r R mR R R R

r rT T r R mR

dr dv mv r t v tdt d

mds m dt drr R r

dr dt

t

T

r

vd d

R

22

2

2

2

2

2

2 2

112

2 1, , 1 2

1 2 , 2 1 3

1

,

2,32

e e e e

a a

aa

e

ee

e

a

e

dv m dt dt v v m vT dT r dT dT r R

dT d

dTz T TdT

d T z fd

T mv vdT dT r

r R

mr RT

m

Aproximación Lineal y Covariancia restringida

, ( ) ,g h x S x x h h S S

1, ( )2

1 ( )2

F h h R F F

R h h h h

( ),F F S S S S F F

[ ] 0, 2 ,F H S H F F F

Rotacional y Bi-rotacional (Tensor de Riemann)

Coordinación restringida

Ecuaciones de Campo

* *1 1,64 32

T H F F H T S F

Tensor de impulsión -energía

12

du F u ud

Ecuaciones de movimiento

0 1 2 3 0 1 2, 2ˆ

ˆˆ ˆ , ,ˆ

mh A u u A A l u l u A l l A A Ar

x xr u x x lr

0 1 2 3

4 2 0 04 0 2 24 4 2 20 0 0 2

A A A A

Fock

0 0 1 1 2 2 3 3

: 0

, , ,

S kl l l

A A A k A A A k A A k

BrillouinWhitehead

Droste

0 1 2 1 30 2( ) 0, 0 0 0R A A A R R y A A

Schwarzschild -Whitehead

Invariantes: 0 1 3 2 3, 2,A A A A A p

Whitehead-Schwarzschild

2

4

1 2 2 3

(2 2( ) ),32

( )(2 )

KmT l l l u l ur

K A A A A

2

2

2

2

4 2

4 2 ( )

( ( )

m mF u l u l u l l

m mF u l u l l u lr

r r

u lr

2 ( )du m l ud r

TT

iippoo I II

: :

K=4 K=0

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 20

22 2

0 2

Miln e

Minkowski

Acel

(1 ) ( sinh( ) )2 (cosh ( ) 1)

1 ˆ(cosh( ( )) cosh( )

e

), sinh ( (

rado

ds dT dR R d

ds dT pT dR p pR dp pds d a T dR dRd r da a

pr pR a T pR ds aa a

2 20

2 21 1

0200

))

, sinh( ( ))sinh( ( ))

T r d

d R a pF F F a T adT p a T a

Cosmología Cinemática

0

0

0 0

1 2

2 1

2 1

(i) ( )

(ii) ( )

(iii)

a

a

a a

z e p R R

z e p R R

z e pR e pR

0R