Correcion Algebra 2do IV

8/6/2019 Correcion Algebra 2do IV

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IEP Los Peregrinos ALGEBRA 2 Ao

donde:m;n

N

De aqu se deduce el siguienteartificio:

m n a

=n m a

donde se pueden permutar elorden de los ndices y la igualdadno se alteran.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

1)n ma

=kn kma

.

Si en un radical multiplicamos el ndice yel exponente del radicando por un mismonumero natural diferente de cero, elnuevo radical es equivalente al primero.

Ejemplo:

a)

3 4x

=2.3 24x

=6 8x

b)

m

=

5.2 51m

=n ma

=

kn kma

2)kn kmn m aa =

No cambia de valor el radical al dividir elexponente o exponentes del subradical yel ndice del radical por una mismacantidad.

Ejemplo:

a)nx4

=26 24 x

=3 2x

b)

18 96yx

=

318 3936 yx

=

6 32yx

3) Cuando el exponente del subradical y elndice del radical son nmeros primos entre

si se dice que el radical ha quedadoreducido a su mnima expresin (Losexponentes de los subradicales deben sermenores que los ndices.

Ejemplo:

7 3x

;

5 2)(xy

,

3 25 yx

10.2 CLASIFICACION DE LOSRADICALES

a) Radicales Equivalentes: Son aquellasradicales diferentes que representan a unmismo numero real.Ejemplo:

3

27

y

9

son radicales equivalentes

porque representan al numero 3.

b) Radicales Homogneas.Son aquellos radicales que tienen el mismondice.Ejemplo:

a)3 5

;3 2

;3 3

b)3

x5

; 7

z8

c) Radicales Semejantes.-Aquellos que adems de tener el mismondice, poseen la misma cantidadsubradical, solo se diferencian por loscoeficientes.

Ejemplos:

104


3/24


a)33 4

;-23 7

; 0,73 2

b)x2

24b

; 2x24b

; -

2

2

42

1

b

Nota: Hay radicales que aparentementeno son semejantes, pero si hacemos unasencilla transformacin veremos que si loson:Ejemplo:

50

=

225

= 2

5

72

=

236

= 6

2

luego

5

y

72

son

semejantes.

10.3 TRANSFORMACIN DE LOSRADICALES

a) Extraer factores fuera del SignoRadical.-Cada exponente se descompone ( si es

posible ) en el producto de otras dos unade las cuales tiene por exponente elmayor mltiplo del ndice contenido en elexponente inicial y se extrae el factor delradical con exponente igual al cociente dedividir dicho exponente entre el ndice.

Ejemplo:a)

4 38 zyx

=x2

4 3zy

b)8

3 416 yx

=

3 2633 22 yyxx

=2xy2

3 22xy

c)

3

2

33243 ba

=

3

2

baba 2233

=

abab 333

2 2

=6ab

ab3

d)3 33 5427 caba

=

( )3 3 227 cba

=3a3 2cb

NOTA:Si hay nmeros dentro la raz se

descomponen en sus factores primos, y se

extrae el factor que tiene como exponentea un mltiplo del ndice de la raz.

b) Introduccin de Factores dentro delSigno Radical.-

Se eleva el factor a introducir a unapotencia igual al ndice.Ejemplos:a)2

3 5

=3 325

=3 40

b)

3 22 23

2xyyx

=

( )3 23

2 23

2xyyx

=

3

57

27

16 yx

104


4/24


c)2

( )( )

( )

( )

( )( ) 214

1

2

1

21

=

aa

a

a

aa

=

( ) ( )124 aa

c) Transformacin de Radicales a unndice Comn (Homogenizacin deRadicales)

Procedemos:Hallar el mcm de los ndices de losradicales dados(ser el ndice comn)

Aplicamos una de las propiedades de los

radicales.

( ( kn kmn m aa =

de tal manera que todos los radicalestengan el ndice comn.

Ejemplo:

1)Homogenizar los siguientes radicales.

5 33 23 ;; zyx

Solucin:m.c.m de 2,3,5=30Luego 30se divide entre el ndice propiode cada radical, este resultado semultiplica por el ndice y por elexponente del subradical.

30 45152 1533 XXX ==

30 20103 1023 2 YYY ==

5 3Z

=30 1865 63 ZZ =

luego:

30 1830 2030 45 ;; zyx

son respectivamente equivalentes a:

5 33 23 ;; zyx

10.4 OPERACIONES CON RADICALES

ADICION Y SUSTRACCIN.-Si los radicales no son semejantes laoperacin se deja indicada ; si lofueran, se separa al radical comofactor comn de todos los trminos yse opera con los coeficientes.Ejemplos:

1)Efectuar:83 a

+43 a

-2

a

+5

a

Resolucin12

+3 a

3

a

2)Efectuar:3

+5 x

y

5 x

275 x

Resolucin

( )zyx 235 +

MULTIPLICACIN Y DIVISINSi se trata de radicales homogneos;se toma la raz del mismo ndice alproducto o divisin de radicandos. Sitienen diferente ndice se procedepreviamente a la homogenizacin.Ejemplos:

1)Efectuar:

33 2 25 xyyx

104


5/24


Solucin

( )( )3 2 25 xyyx

=

3 2310 yx

2)Efectuar:

mmm yxyx 3 223 53 2

Solucin

mm yxyxyx 3 743 2252 =

3) Efectuar:

63 323

Solucin:

Homogenizando ndices se tendr:

= 623 2132 31

32366 26 3 323

=6 23

323

=6 324

4)Efectuar:

5 35 13 xx =

25 1053

13

xxx

x===

POTENCIA DE UN RADICAL

Basta con elevar la cantidad subradical oradicando al exponente al cual estaelevado el radical.

( ) n mmn aa =

Ejemplos:1)

( ) ( )6 356

75

7

6 5 aaa ==2)

( ) 7 151057 32 yxyx =

RAIZ DE UN RADICALEn estos casos, se escribe la mismacantidad subradical afectada de un solo

radical, cuyo ndice ser igual al productode los ndices de los radicales.

m n mn aa =

Ejemplos:1)hallar la raz sptima de:

3 2x

Se pide:21 237 27 3 2 xxx ==

2)Efectu:

15 453 43 5 4 xxx ==

3)Efectuar:

60 5265 55 6 2 222 babaab ==

PROBLEMAS

NIVEL I

A) Reducir los siguientes radicales:1)

8

2)

45

103


6/24


7/24


11)

( ) ( )4 baba

12)

( )( )

31

baba

++

13) x2y

57

2

x

y

14)

( )

( )

( )

( )3

216

24

2

12

++

++

x

x

x

x

15)

( )221 yxyx

16)

( ) ( )3 221 yxyxyx

17)

( )4

8

24

2

2 yx

yx

+

+

18)2a3 3ab

19)

( ) abx 4+

20)

2

3

2ab

3 2x

NIVEL II

A) Efectuar:1)

333 5,035 mmm +

2)

yyyy + 1085

3)5 35 35 3

3,17,0 xxx ++

4)333 842 mmm +

5)

ppp 2/13/14/1 +

6)

nnn 24,05,2 +

7)8 44 252 xxx +

104


8/24


8)12 66 3 865 xxx +

9)9 1515 253 5

4,18.05,0 xxx +

10)42 1821 97 3 5,03/14/1 xxx +

11)12 5498 36 2,18,03,8 mmm ++

12)

5 2355 223310 46 84,04,3 yxyxyx +

13)

5176 xx

xxx +

14)

753 235 xx

xxx +

15)252 432 yxxyxyx +

16)

5

2

332

312

148 x

xx

xx +

17)yxxyyyxx 533 223 ++

18)

yxx

yxy

xyx 7335

3252 +

19)33 278259 xxxx +

20)3 423 42 81542429 xxxx ++

B) Efectuar:

1)12 612 312 3 xxx

2)

15 41015 6315 52 yxyxyx

3)16 216 816 6 562 mmm

4)

5 25 335 2 442 yzxzxyyzx

5)9 5123 2 xxx

6)3 456 7 mmm

104


9/24


7)

124 54 3 mmmm

8)

363 x

9)33 24 x

10)

33 2 104 yxy

11)4 34 6 86 aa

12)3 293 aa

13)

( xxyx 3+

14)

( yxxy 31421

15)

( xxyx 15105

16)

22 ++ xx

17)

xxyx +

3 23 2 xx

18)4 24 3 273 aa

19)5 45 284aa

20)4 342 aa

C) Efectuar:

1)

yxx 223

2)3285 yxx

3)

3 753 57 464 baba

4)

4

2714

2

34

32 aa

aa

5)

3 223 2 210 xyyyxx

105


10/24


6)

6 25 8 yxx

7)4 327 5 baba

8)6 53 2 62 mm

9)6 434 2 42 yxyx

10)

3

2242

3

2

5

3

5

38

x

y

y

x

y

xx

11)

3 573 810 525 yxyx

12)

( ) 7 327 437 66 332 bababa

13)9 29 539 34 21,02,0 qpqpqp

14)7 287 915 981 baba

15)

3 225 64 pqpq

16)3 54 48 mm

17)

( 124 33 5 mmm

18)

3 25 532 333756 yxyyyx

19)

xx51

85

32

21 8

20)

aaxaa2

12

8

2 22

D) Efectuar

1)

( )315 65mp

2)

( )23 86mq

3)

( )63 63nm

4)

( 23

x

106


11/24


5)

( )472xm

6)

( )2

25nm

7)

( )34 322 zxy

8)

( )463yx

9)

( )35ab

10)

( )5

3 962 yx

11)

( )33 275 nmp

12)

( )55 434 cab

13)

( )23 753 zyx

14)

3 2 975 zyx

15)

( )33 1045 sr

16)

( )2

3 27/8

17)

( )35 32/1

18)

( )3632 74 xba

19)2

2

3

2

4

3

xyba

20)( )223 zx

E) Efectuar:

1)5 31732 nm

2)

3 2228 zyx

3)4 44681 nba

104


12/24


4)

6 861464 ynm

5)

3 1236216 srq

6)

3 12183512 zyx

7)

3 2x

8)

3 3 526 ba

9)

7535 nmp

10)

5 327 ba

11)

5 3 843 yx

12)

5 4 43bca

13)

mpm37

14)

3 2 975 zyx

15)

4 5 24 tsr

16)

3 12664 yx

17)

3 3661264/1 zyx

18)

5 3 251545 cba

19)

748256 pnm

20)

5 3 25154 yx

10.5. RADICALES DOBLES

CONCEPTO:

Son aquellos que en su interioraparecen otros radicales ligado entre sipor las operaciones de suma o resta.Ejemplos:

dcbaba +++++ ;;53 3

105


13/24


CONVERSIN DE RADICALESDOBLES A SIMPLES:No todo radical doble, podrtransformarse en radicales simplespodr hacerse ello solo con aquellosque cumplen ciertas condiciones o

requisitos.

ESTUDIO DE LA FORMA:

BA

(donde A y B deben ser racionales)Si:

yxBA =

Se cumplir solo si existe unnumero o expresin:

C=

= BA2raz exacta

Entonces:

22

CACABA

+=

Ejemplo:Transformar

206 +

Resolucin:A=6; B=20

C=

4162062 ==

152

46

2

46206 +=

+

+=+

Ejemplo:

Transformar

12528 +

Resolucin:Aqu, previamente se introduce el 5 en elinterior del segundo radical:

,30028125282 +=+

entonces: A=28 ; B=300Luego:

22484

300784300282

==

==C

Entonces:

35325

2

2228

2

222812528

+=+=

+

+=+

Forma Prctica:Consiste en buscar(o lograr) un trinomiocuadrado perfecto en el radicando. As:

( )

BA

BAABBA

=

=+2

2

* Transformar.-

206 +

Resolucin.

15526

546206

+=+=

+=+

5+1 5.1

103


14/24


* Transformar

12528

+

Resolucin:

Aqu hay que hacer una dobletransformacin, es decir introduciremos el5 pero del 12 extraemos el factor 4.

35325

752282528

+=+=

+=+

10.6 RACIONALIZACIN

CONCEPTO:

Es el proceso que consiste entransformar un de nominadorirracional en otro racional.

FACTOR RACIONALIZANTE (FR).-Es la expresin por la que semultiplica el numerador y eldenominador, permitiendo que esteultimo se transforme en unaexpresin racional.

3

32

3

3

3

2

3

2==

factor racionalizante

CASOS QUE SE PRESENTAN:

A) Cuando el Denominador tiene unSolo Trmino:

n ka

A

En estos casos el factor racionalizanteestar expresado por otro radical que tengael mismo ndice , cuyos exponentes delradicando estarn expresados por ladiferencia existente entre el ndice originalde la raz y los exponentes que afectan asus letras.

FR=

n kna

Ejemplo:Racionalizar:

7 4

1

a

Solucin:El F.R. ser:

7 3a

a

a

a

a

a

a

aa

7 3

7 7

7 3

7 3

7 3

7 47 4

11===

B) Denominadores de La Forma:

nn

ba

A22

En estos casos se multiplica numerador ydenominador por la conjugada de esteultimo que se empleara tantas veces hastaque el denominador quede transformado enuna expresin racional.

Racionalizar:

35

2

+

Solucin:

103


15/24


Multiplicando numerador y denominadorpor la conjugada de este ltimo es decir:

35 +

( )( ) ( )

( )

( )35

2

352

35

352

35

352

35

35

35

2

35

2

22

=

=

=

=

+

=+

EJERCICIOS

NIVEL I

A) Descomponer en radicalessimples:

(1)

608+

(2)

14035

(3)

22016 +

(4)

137 +

(5)

1910

(6)728 +

(7)

42213

(8)

324

(9)

1429 +

(10)

30217

(11)

xx 21++

(12)

xyyx 525 +

(13)

xyxy 1213 ++

(14)

nmnm 33 4++

(15)

abccab 2++

(16)

abcbca 2+

(17)

bacabc ++2

(18)

1222 ++ xx

104


16/24


(19)

13222222 ++ xxx

(20)

16815282

aaa

B) Racionalizar:

(1)

57

3

(2)

232

(3)

52

4

(4)

52

2

(5)

5 316

5

x

(6)

21

22

+

(7)

3 29

6

x

(8)

yx +1

(9)

yx +7

(10)

1

24 +x

a

(11)

xy

yx

+

(12)

xyx

222

(13)

1

3

xx

(14)3

134 +x

x

(15)

1

1

m

m

(16)

31

2

m

m

+

(17)

12

123 +

x

x

(18)

3

3

1

1

x

x

+

104


17/24


(19)

15

153

x

x

(20)

36

633

x

x

NIVEL II

A) Efectuar y marcar la respuestacorrecta.

1.-Racionalizar:

4 54

3

a)

2

545

b)

6

545

c)

2

5434

d)5 723

e)N.A.

2)Racionalizar:

3 28

7

a)

2

2843

b)

2

983

c)

2

5435

d)5 723

e)N.A.

3.-Racionalizar:

4 675

30

a)4 752

b)4 67530

c)

15

754

d)

15

6754

e)N.A.

4.-Simplificar:

33 3

6

9

15+

a)33 36915 +

b)33 9235 +

c)3 321

d)3 93

e)N.A.

5.-Racionalizar.-

3 18

4

a)

3

1223

b)

2

1833

c)3 123

d)3 184

e)N.A.

6.-Racionalizar:

4 200

100

105


18/24


a)4 2510

b)

3

100104

c)4 5010

d)4 255

e)N.A.

7.-Simplificar:

3223

23

a)

6

b)

6

3

c)

3

2

d)

6

6

e)

3

8.-Racionalizar:

5 7273

ba

a)

ba

ab2

5 493

b)

ab

ba5 4393

c)

abba

39

5 43

d)

baba2

5 43

9

e)N.A.

9.-Racionalizar:

xx

xx

+++

1

a)1 b)

2

2

1 xx

xx

+++

c)

2

2

1 xx

xx

++

d)

xx

xx

+++

2

21

e)

( ) 22

1++

x

xx

10. Racionalizar:

11

11

+++

xx

xx

a)

xx 12b)

21 xx +

c)

12

xx

d)

12 xxx

e) x-1

11. Racionalizar:

25

3

a)

25

+

b)

453

+c)

( 253 b) 3

( 25 +e) 1

12. Racionalizar:

26

2

104


19/24


a)

2

b)

2

2

c)

4

2

d)1

13.-Racionalizar:

32

4

28

2+

a)

2

b)

22

c) 2

2

d)

4

2

e) 1

14.-Racionalizar:

2333

1

3223

4

3223

2

+

++

a)

243

b)

3

3229

c)1 d)0

e)

33

210

15.-Simplificar:

baba 62

1

62

1

++

a) 2a b)

ba

a

3

2

c)

ba

b

3

6

d)

ba

a

3

2

+

e)

ba

b

3

6

+

16.-Racionalizar:

33

1

yx

yx

yxa

+ 33 2

)

yx

yxb

+ 33

)

yx

yxyxc

++ 3 233 2

)

yx

yxyxd

+++3 22

)

yx

yxyxe

++ 3 233 2

)

17.-Racionalizar:

104

52

a) 1/2 b) 29/7 c) 2

2

d)

6

27

e)

7

26

104


20/24


18.-Simplificar:

yxyx ++

11

a)

yx

x

b)

yx

x

2

c)

yx

y

d)

yx

y

2

e)1

19.-Cul es el radical doble que ha dadoorigen a los radicales simples

11 ++a

a)

221 +++ aa

b)

aa 221++

c)

442 +++ aa

d)

aa 22 ++

e) N.A.

20.-Expresar como un solo radical doble.

32154 +

a)

56

b)

523

c)

526

d)

53

e)N.A.

NIVEL III

1.-Hallar el equivalente de la expresin:

xxxx 21++++

a)

11 ++x

b)

1+x

c)

xx ++1

d)

xx +1

e)N.A.

RESOLVER Y MARCAR LA RESPUESTACORRECTA:

2)Simplificar:

33 16

24

2

18+

a)3 415

b)30 c)3 215

d)3 218

e)N.A.

3.-Reducir:

5 42

5 627

8

3

yzx

zyx

a)

3

853xyz

b)

8

352zxyx

c)

2

125 24yzx

d)

4

35 xyyz

e)N.A.

104


21/24


4.-Reducir:

5 2

5 567

24

3

bca

cba

a)

5 242

cab

b)

5 4

8

1

2c

ab

c)

5 422

cab

d)

5 442

cab

e)

5 42178 cba

5.-Racionalizar:

25

102

a)

3

4102 +

b)

524 +

c)

102

d)

3

102

e)

3

4102

6.-Simplificar:

125

200

25

3+

+

a)

( )259 +b)

258 +

c)2355 +

d)529 +

e)

259 +

7.-Simplificar:

2332

32

a)

6

b)

2

3

c)

3

2

d)

66

e)N.A.

8.-El valor de : y=

32

32

32

32

+

++

a)6 b)-5 c)-6

d)-1 e)4

9.-Racionalizar:

yxyx

yx

+

a)

2

22 yxx +

b)

y

yxyx

2

22 +

c)

x

yx

2

22

d)

y

yx

2

22

e)N.A.

10.-Racionalizar:

325

12

+

104


22/24


a)

322330 +

b)

332230 +

c)

( 5323 +

d)

( )5326 +

e)N.A.

11.-Racionalizar:

x22

a)

( )

x

xx

+

2

222

b)

( )

x

xx

+

4

222

c)

x

x

2

22

d)

x

x

+

4

22

e)N.A.

12.-Simplificar:

( ) ( ) 21

21

21

21

aba

b

bba

a

++

++

a)

ba +

b)

ab

c)

ba

d)

ab2

e)N.A.

13.-Sea:

( ) xx

xxf ++=

3

.Hallar.

( )3f

a)

33+

b)

33

c)

2

33+

d)

2

33

e) N.A.

14.-Al hacer racional el denominador de lafraccin:

4

1

nm

Cul de las siguientes expresiones es eldenominador?

a)2nm

b)

mn 2c)

nm 2

d)2mn

e)N.A.

15.-Reducir:

103


23/24


711211 +

a)1 b)

7

c)

5

d)2 e)

2

16.-El factor racionalizante de:

11 3

17

m

es equivalente a13 4x ym

Segn esto calcular x/y

a)4 b)8 c)1

d)1/2 e)2

17.-Al racionalizar el denominador de lasiguiente fraccin:

83

5

yx

,el numerador que

se obtiene es:

a)

8 55yx

b)

8 5xy

c)8 xy

d)

8 3xy

e)

xy

18.-Al racionalizar el denominador de lafraccin:

yx

x

7

, el denominador

racionalizando aumentado en y2

ser:a)

2yx b)x-y c)y2

d)x e)x2-y2

19.-El resultado de simplificar:

( ) axax

ax

ax

ax

ax

ax

+

+

+

2

33

es:

a)

ax

a

+2

b)

ax

a

2

c)

ax

a

+

d)

axa

e)1

20.-Reducir:

262123 2 +++ xxxxx

a)1 b)

1x

c)x

d)2x-1 e)0

21.-Al racionalizar el denominador de lasiguiente fraccin:

122

1

2 + xx

,

el nuevo denominador es:

a)1 b)2 c)x

d)2x e)2x2

103


24/24


Correcion Algebra 2do IV

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