Corrección Primer Parcial Cálculo III, Semestre I 2010

8/9/2019 Corrección Primer Parcial Cálculo III, Semestre I 2010

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Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 27 de abril de 2010

Tabla de Respuestas

1. (25 puntos)Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on

xy − (x + 1)y + y = x2e2x

sabiendo que y = ex es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homogenea asociada.

Respuesta:

Resolvemos primero, la ecuacion lineal homogenea asociada

xy − (x + 1)y + y = 0, (LH)

y = ex es una solucion no nula de (LH), planteamos y = c(x)ex, para la otra solucion. Derivamos

y = cex + cex = (c + c)ex, y = cex + 2cex + cex = (c + 2c + c)ex,

remplazamos en (LH):x(c + 2c + c)ex − (x + 1)(c + c)ex + cex = 0, ⇒ xc + (x − 1)c = 0.

Reducimos el orden planteando z = c, lo que da

z = (−1 +1

x)z ⇒ z = e−x+lnx = xe−x,

de donde

c =

xe−x dx = −xe−x +

e−x dx = −xe−x − e−x = −(x + 1)e−x.

La otra solucion no nula obtenida es y = −(x + 1).

Por lo tanto SF = {ex, x + 1} de la ecuacion (LH) asociada.

Convertimos la ecuacion del problema a su forma estandar

y −x + 1

xy +

1

xy = xe2x, (L)

Buscamos una solucion particular de (L), por variacion de constantes, planteando y = c1(x)ex +c2(x)(x + 1), lo que conduce al sistema lineal

ex (x + 1)ex 1

c1c2

=

0

xe2x

Resolvemos el sistema lineal:

c1 =

0 x + 1xe2x 1

e

x

(x + 1)ex 1

=

−x(x + 1)e2x

−xex= (x + 1)ex,

c1 =

(x + 1)ex dx = (x + 1)ex −

ex = xex,

c2 =

ex 0ex xe2x

−xex

= −e2x,

c2 = −1

2e2x.



Por lo tanto la solucion particular encontrada es

y = (x + 1)exex − e2x(x + 1) =1

2e2x(x − 1)

y la solucion general esta dada por

c1ex

+ c2(x + 1) +

1

2 e2x

(x − 1).

2. (25 puntos)Hallar la soluci´ on del problema a valor inicial

(x2 + 2y)y + 2xy = 0,y(0) = 1,y(0) = 0.

Respuesta:

Reducimos el orden, planteando z = y, obtenemos

(x2 + 2z)z + 2xz = 0,

z(0) = 0.

Por inspeccion z = 0 es una solucion del problema a valor inicial reducido, lo que da y = 0 y porconsiguiente y = c, y(0) = 1 = c, nos conduce a que y = 1 es una solucion del problema a valor inicialdel ejercicio.

Ahora, supongamos que existe una solucion z = 0 al problema a valor inicial reducido. Se tiene

x2 + 2z

2xzz + 1 = 0 o (

x

2z+

1

x)z = −1,

o lo que es lo mismo1

z= −

x

2z−

1

x,

intercambiando roles de funcion incognita y variable independiente, se tiene

x = −1

2zx −

1

x. ecuacion de tipo Bernouilli

Planteamos v = x1−(−1) = x2, derivamos v = 2xx. Multiplicamos por 2x la ecuacion

2xx = −1

zx2 − 2 ⇒ v = −

1

zv − 2,

ecuacion de tipo lineal. Resolvemos la ecuacion lineal homogenea asociada

v = −1

zv ⇒ v = ce− ln z =

c

z.

Para la solucion particular planteamos v = αz, remplazando da

α = −α − 2 ⇒ α = −1,

y por consiguiente v = cz

− z. Se tiene zx2 = c − z2, remplazamos la condicion inicial z(0) = 0,obtenemos c = 0. Por lo tanto

zx2 = −z2 ⇒ z = −x2 ⇒ y = −x2 ⇒ y = −1

3x3 + c

Remplazamos la condicion y(0) = 1, lo que da c = 1 y por lo tanto la solucion del problema del ejercicioes

2



3y + x3 = 3.

3. (25 puntos)Hallar la soluci´ on general de

y =2 + 3xy2

4x2y

Respuesta:

Reescribimos la ecuacion

y =3

4xy +

1

2x2y−1. ecuacion de tipo Bernouilli

Planteamos z = y1−(−1) = y2, derivamos z = 2yy, multiplicamos la ecuacion por 2y, obteniendo

2yy =3

2xy2 +

1

x2⇒ z =

3

2xz +

1

x2.

Resolvemos la ecuacion lineal homogenea asociada

z =3

2xz ⇒ z = ce

3

2lnx = cx3/2.

Para la solucion particular, planteamos z = αx , remplazando se obtiene

−α

x2=

3

2

α

x2+

1

x2⇒ −

5

2

1

x2=

1

x2⇒ α = −

2

5.

La solucion de la ecuacion lineal esta dada por

z = cx3/2 −2

5

1

x⇒ xz = cx5/2 −

2

5,

de donde la solucion general esta dada por

2 + 5xy2 = cx5/2.

4. (25 puntos)Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es soluci´ on de:

y

= − 1xy + 2x2 y2,y(1) = 1.

Respuesta:

La ecuacion diferencial del problema es de tipo Bernouilli, planteamos la substitucion z = y1−2; esdecir zy = 1. Remplazando en la ecuacion se obtiene

z =1

xz −

2

x2,

ecuacion lineal. La solucion general de la ecuacion diferencial lineal homogenea es

z = celnx = cx,

y la solucion particular de esta ecuacion la obtenemos al tanteo. z = 1x es una solucion particular. Por

consiguiente, la solucion general es

z = cx + 1x

.

El valor inicial se convierte en z(1) = 1, remplazamos en la solucion

z(1) = c + 1 = 1 ⇒ c = 0 ⇒ z =1

x⇒ y = x.

Por lo tanto

y(2) = 2.

3



Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Matematicas

Primer Parcial de Calculo III 1 27 de abril de 2010

Nombre y Apellido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Carnet de Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Indicaciones: En las hojas en blanco, escriba con letra clara el desarrollo de las preguntas que est a respondiendo, indicando claramente

a que pregunta corrresponde. En la tabla de respuestas, marque la opci on que considere correcta.

El examen esta disenado de manera que en cada una de las preguntas, una de las opciones sea la correcta; sin embargo, por errores de

transcripcion puede suceder que ninguna sea la correcta. Si es el caso, marcar esta opcion y si el desarrollo de la pregunta es correcto

tendra una bonificacion adicional de 5 puntos por la pregunta.

Importante. No olvidarse de marcar la respuesta que considere correcta en el talonario, porque solamente se corrigen las respuestas

correctas del talonario. Las no respondidas se consideran incorrectas.

Tabla de Respuestas

1. a

2. b

3. c

4. d

1. (25 puntos) Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on

xy − (x + 1)y + y = x2e2x


Respuesta:

a) y = c1ex + c2(x + 1) + 12 e2x(x − 1), b) y = c1ex + c2e2x + x2 + 1,

c) y = c1ex + c2x−1 + e2x, d) y = c1ex + c2x2 + x2e2x,e) Ninguna de las anteriores.

2. (25 puntos) Hallar la soluci´ on del problema a valor inicial

(x2 + 2y)y + 2xy = 0,y(0) = 1,

y

(0) = 0.Respuesta:

a) y = ln(ex + 1), b) y = 1 o 3y + x3 = 3,c) y = 0 o y = 2x, d) y = x2 + ln x − 1,e) Ninguna de las anteriores.



3. (25 puntos) Hallar la soluci´ on general de

y =2 + 3xy2

4x2y

Respuesta:

a) y = ln(x tan(cx)), b) 5 + 2x2y = cx3/2,

c) 2 + 5xy2

= cx5/2

, d)1y = 1 + ln(x) + cx,

e) Ninguna de las anteriores.

4. (25 puntos) Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es soluci´ on de:

y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 1, b) y(2) = 25

,c) y(2) = 5

2 , d) y(2) = 2,e) Ninguna de las anteriores.

2














Tabla de Respuestas

1. b

2. a

3. d

4. c


xy − (x + 1)y + y = x2e2x


Respuesta:

a) y = c1ex + c2x2 + x2e2x, b) y = c1ex + c2(x + 1) + 12 e2x(x − 1),

c) y = c1ex + c2e2x + x2 + 1, d) y = c1ex + c2x−1 + e2x,e) Ninguna de las anteriores.


(x2 + 2y)y + 2xy = 0,y(0) = 1,

y

(0) = 0.Respuesta:

a) y = 1 o 3y + x3 = 3, b) y = 0 o y = 2x,c) y = x2 + ln x − 1, d) y = ln(ex + 1),e) Ninguna de las anteriores.




y =2 + 3xy2

4x2y

Respuesta:

a) 1y = 1 + ln(x) + cx, b) y = ln(x tan(cx)),

c) 5 + 2x2

y = cx3/2

, d) 2 + 5xy2

= cx5/2

,e) Ninguna de las anteriores.


y = − 1

xy + 2

x2y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 25

, b) y(2) = 52

,c) y(2) = 2, d) y(2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.

2














Tabla de Respuestas

1. c

2. d

3. b

4. a


xy − (x + 1)y + y = x2e2x


Respuesta:

a) y = c1ex + c2x−1 + e2x, b) y = c1ex + c2x2 + x2e2x,c) y = c1ex + c2(x + 1) + 1

2 e2x(x − 1), d) y = c1ex + c2e2x + x2 + 1,e) Ninguna de las anteriores.


(x2 + 2y)y + 2xy = 0,y(0) = 1,

y

(0) = 0.Respuesta:

a) y = 0 o y = 2x, b) y = x2 + ln x − 1,c) y = ln(ex + 1), d) y = 1 o 3y + x3 = 3,e) Ninguna de las anteriores.




y =2 + 3xy2

4x2y

Respuesta:

a) 5 + 2x2y = cx3/2, b) 2 + 5xy2 = cx5/2,

c)1y = 1 + ln(x) + cx, d) y = ln(x tan(cx)),



y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 2, b) y(2) = 1,c) y(2) = 2

5, d) y(2) = 5

2,


2














Tabla de Respuestas

1. d

2. a

3. a

4. b


xy − (x + 1)y + y = x2e2x


Respuesta:

a) y = c1ex + c2e2x + x2 + 1, b) y = c1ex + c2x−1 + e2x,c) y = c1ex + c2x2 + x2e2x, d) y = c1ex + c2(x + 1) + 1

2 e2x(x − 1),e) Ninguna de las anteriores.


(x2 + 2y)y + 2xy = 0,y(0) = 1,

y

(0) = 0.Respuesta:

a) y = 1 o 3y + x3 = 3, b) y = 0 o y = 2x,c) y = x2 + ln x − 1, d) y = ln(ex + 1),e) Ninguna de las anteriores.




y =2 + 3xy2

4x2y

Respuesta:

a) 2 + 5xy2 = cx5/2, b) 1y = 1 + ln(x) + cx,

c) y = ln(x tan(cx)), d) 5 + 2x2y = cx3/2,e) Ninguna de las anteriores.


y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 52

, b) y(2) = 2,c) y(2) = 1, d) y(2) = 2

5 ,e) Ninguna de las anteriores.

2



Universidad Mayor de San Simon Hans Muller Santa CruzFacultad de Ciencias y Tecnologıa Departamento de Mathematicas

Correccion Primer Parcial de Calculo III 1, 2, 3, 4 29 de abril de 2010

Tabla de Respuestas

1. (25 puntos)Hallar la soluci´ on general de la ecuaci´ on

(x2 − 1)y − 2xy + 2y = (x2 − 1)2

sabiendo que y = x es soluci´ on de la ecuaci´ on lineal homogenea asociada.

Respuesta:

Resolvemos primero, la ecuacion lineal homogenea asociada

(x2 − 1)y − 2xy + 2y = 0, (LH)

y = x es una solucion no nula de (LH), planteamos y = c(x)x, para la otra solucion. Derivamos

y = cx + c =, y = cx + 2c,

remplazamos en (LH):

(x2 − 1)(cx + 2c) − 2x(cx + c) + cx = 0, ⇒ x(x2 − 1)c − 2c = 0.

Reducimos el orden planteando z = c, lo que da

z =2

x(x2 − 1)z

y aplicando fracciones parciales para integrar

2

x(x − 1)(x + 1)=

A

x+

B

x − 1+

C

x + 1,

2 = A(x − 1)(x + 1) + Bx(x + 1) + Cx(x − 1),

x = 0 ⇒ A = −2,

x = 1 ⇒ B = 1,

x = −1 ⇒ C = 1.

de donde

z = e−2 lnx+ln(x+1)+ln(x−1) =(x + 1)(x − 1)

x2= 1 −

1

x2

y

c = 1 −1

x

2

⇒ c = x +1

x,

de donde, la otra solucion no nula obtenida es y = (x + 1x)x = x2 + 1.

Por lo tanto SF = {x, x2 + 1} de la ecuacion (LH) asociada.

Convertimos la ecuacion del problema a su forma estandar

y −2x

x2 − 1y +

2

x2 − 1y = x2 − 1, (L)

Buscamos una solucion particular de (L), por variacion de constantes, planteando y = c1(x)x +c2(x)(x2 + 1), lo que conduce al sistema lineal

x x2 + 11 2x

c1c2

=

0

x2 − 1



Resolvemos el sistema lineal:

c1 =

0 x2 + 1(x2 − 1) 2x

x (x2 + 1)1 2x

=−(x2 − 1)(x2 + 1)

x2 − 1= −x2 − 1,

c1 =

(−x2

− 1) dx = −

1

3 x3

− x

c2 =

x 01 x2 − 1

x2 − 1

= x,

c2 =1

2x2.

Por lo tanto la solucion particular encontrada es

y = (−1

3x3 − x)x +

1

2x2(x2 + 1) =

1

6x4 −

1

2x2

y la solucion general esta dada por

c1x + c2(x2 + 1) +1

6x4 −

1

2x2.


yy = y2y + (y)2

y(0) = − 12 ,

y(0) = 1

Respuesta:

Reducimos el orden, planteando u(y) = y e derivando tenemos y = ududy , lo que da como problema

transformado yu du

dy = y2u + u2,

u(− 12 ) = −1.

Como u(−1/2) = 1 0, podemos simplificar la ecuacion, obteniendo

ydu

dy= u + y2;

du

dy=

1

yu + y,

ecuacion de tipo lineal. Por lo tanto u = celn y = cy es la solucion general de la ecuacion linealhomogenea. Y la solucion particular obtenemos por tanteo, planteando u = αy2:

2αy = αy + u ⇒ α = 1

y la solucion general de esta ecuacion lineal es u = cy + y2

. Hallamos el valor de c, remplazando lacondicion inicial

1 = −1

2c +

1

4⇒ c = −

3

2⇒ u = −

3

2y + y2.

Ahora resolvamos

y = y(y −3

2),

1

y(y − 32 )

=A

y+

B

y − 32

,

un calculo como en el primer ejercicio, da A = −2/3 y B = 2/3.

2



Por lo tanto

−2

3ln y +

2

3ln(y −

3

2) = x + d ⇒ ln(

y − 32

y=

3

2x + d ⇒

y − 32

y= de3x/2 ⇒ 2y − 3 = dye

3

2x.

Determinamos d remplazando y = −1/2 para x = 0, lo que da d = 8.

Por lo tanto, la solucion del problema es

2y − 3 = 8ye3

2x.

3. (25 puntos)Hallar la soluci´ on general de

y =1 − xy2

2x2y

Respuesta:

Reescribimos la ecuacion

y

= −1

2x y +1

2x2 y−1

. ecuacion de tipo Bernouilli

Planteamos z = y1−(−1) = y2, derivamos z = 2yy, multiplicamos la ecuacion por 2y, obteniendo

2yy = −1

xy2 +

1

x2⇒ z = −

1

xz +

1

x2.

Resolvemos la ecuacion lineal homogenea asociada

z = −1

xz ⇒ z = ce− lnx =

c

x.

Para la solucion particular, por variacion de constantes, planteamos y = c(x)/x, remplazamos en laecuacion

c

x −c

x2 = −c

x2 +1

x2 ⇒ c

=1

x ⇒ c = ln x,

la solucion particular obtenida es z = lnxx , y por consiguiente la solucion general es

z =c + ln x

x=

ln(cx)

x⇒ xy2 = ln(cx) ⇒ exy

2

= cx.

de donde la solucion general esta dada por

x = cexy2

.

4. (25 puntos)Hallar el valor de y(2), sabiendo que y es soluci´ on de:

y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

La ecuacion diferencial del problema es de tipo Bernouilli, planteamos la substitucion z = y1−2; esdecir zy = 1. Remplazando en la ecuacion se obtiene

z =1

xz −

2

x2,

3



ecuacion lineal. La solucion general de la ecuacion diferencial lineal homogenea es

z = celnx = cx,

y la solucion particular de esta ecuacion la obtenemos al tanteo. z = 1x es una solucion particular. Por

consiguiente, la solucion general es

z = cx +1

x

.

El valor inicial se convierte en z(1) = 1, remplazamos en la solucion

z(1) = c + 1 = 1 ⇒ c = 0 ⇒ z =1

x⇒ y = x.

Por lo tanto

y(2) = 2.

4














Tabla de Respuestas

1. a

2. a

3. a

4. a


(x2 − 1)y − 2xy + 2y = (x2 − 1)2


Respuesta:

a) y = c1x + c2(x2 + 1) + 16 x4 − 1

2 x2, b) y = c1x + c2x2 + (x − 1)2,c) y = c1x + c2ex + x2ex, d) y = c1x + c2x−2 + (x − 1)2,e) Ninguna de las anteriores.


yy = y2y + (y)2

y(0) = − 12

,

y

(0) = 1Respuesta:

a) 2y − 3 = 8ye3x/2, b) y = − ln(2e−x − 1),c) y = ln(ex + 1), d) y = 1 o 3y + x3 = 3,e) Ninguna de las anteriores.




y =1 − xy2

2x2y

Respuesta:

a) x = cexy2

, b) xy = ln y + c,

c) yxy = y + c, d) y = x

2

c − x,e) Ninguna de las anteriores.


y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 2, b) y(2) = 1,c) y(2) = 2

5 , d) y(2) = 52 ,


2














Tabla de Respuestas

1. b

2. b

3. b

4. b


(x2 − 1)y − 2xy + 2y = (x2 − 1)2


Respuesta:

a) y = c1x + c2x−2 + (x − 1)2, b) y = c1x + c2(x2 + 1) + 16 x4 − 1

2 x2,c) y = c1x + c2x2 + (x − 1)2, d) y = c1x + c2ex + x2ex,e) Ninguna de las anteriores.


yy = y2y + (y)2

y(0) = − 12

,

y

(0) = 1Respuesta:

a) y = 1 o 3y + x3 = 3, b) 2y − 3 = 8ye3x/2,c) y = − ln(2e−x − 1), d) y = ln(ex + 1),e) Ninguna de las anteriores.




y =1 − xy2

2x2y

Respuesta:

a) y = x2

c − x, b) x = cexy2

,

c) xy = ln y + c, d) y = x2

c − x,e) Ninguna de las anteriores.


y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 52

, b) y(2) = 2,c) y(2) = 1, d) y(2) = 2

5 ,e) Ninguna de las anteriores.

2














Tabla de Respuestas

1. c

2. c

3. c

4. c


(x2 − 1)y − 2xy + 2y = (x2 − 1)2


Respuesta:

a) y = c1x + c2ex + x2ex, b) y = c1x + c2x−2 + (x − 1)2,c) y = c1x + c2(x2 + 1) + 1

6 x4 − 12 x2, d) y = c1x + c2x2 + (x − 1)2,



yy = y2y + (y)2

y(0) = − 12

,

y

(0) = 1Respuesta:

a) y = ln(ex + 1), b) y = 1 o 3y + x3 = 3,

c) 2y − 3 = 8ye3x/2, d) y = − ln(2e−x − 1),e) Ninguna de las anteriores.




y =1 − xy2

2x2y

Respuesta:

a) yxy = y + c, b) y = x2

c − x,

c) x = cexy2

, d) xy = ln y + c,e) Ninguna de las anteriores.


y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 25

, b) y(2) = 52

,c) y(2) = 2, d) y(2) = 1,e) Ninguna de las anteriores.

2














Tabla de Respuestas

1. d

2. d

3. d

4. d


(x2 − 1)y − 2xy + 2y = (x2 − 1)2


Respuesta:

a) y = c1x + c2x2 + (x − 1)2, b) y = c1x + c2ex + x2ex,c) y = c1x + c2x−2 + (x − 1)2, d) y = c1x + c2(x2 + 1) + 1

6 x4 − 12 x2,



yy = y2y + (y)2

y(0) = − 12

,

y

(0) = 1Respuesta:

a) y = − ln(2e−x − 1), b) y = ln(ex + 1),

c) y = 1 o 3y + x3 = 3, d) 2y − 3 = 8ye3x/2,e) Ninguna de las anteriores.




y =1 − xy2

2x2y

Respuesta:

a) xy = ln y + c, b) yxy = y + c,

c) y =x2

c − x, d) x = cexy2

,e) Ninguna de las anteriores.


y = − 1

xy + 2x2 y2,

y(1) = 1.

Respuesta:

a) y(2) = 1, b) y(2) = 25 ,

c) y(2) = 52

, d) y(2) = 2,e) Ninguna de las anteriores.

Corrección Primer Parcial Cálculo III, Semestre I 2010

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