CORPORACIÓN UNIFICADA NACIONAL DE DUCACIÓN SUPERIOR “CUN”

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

PRECALCULO - GUÍA DIDÁCTICA

FUNCIONES

Una función es una relación que existe entre dos variables de manera que a cada

elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.

Si tenemos dos conjuntos A y B , donde 𝒙 es un elemento del conjunto A, se le

debe hacer corresponder un único elemento 𝒚 de B. En otras palabras, una función es una

relación funcional y totalmente definida

Elementos de una función

Al conjunto A se le denomina conjunto de salida o dominio de la función

Al conjunto B se le denomina conjunto de llegada o codominio de la función

el subconjunto del codominio, formado por las imágenes de los elementos del

dominio se denominado rango de la función, es decir al conjunto de los elementos de B

que son imágenes de algún elemento de A.

Para demostrar que una relación es una función de A en 𝑩, se simboliza: 𝑓: 𝐴 → 𝐵

Notación:

Al elemento 𝑦 ∈ B le llamamos la imagen de 𝒙 mediante f y lo anotamos 𝑦 = 𝑓(𝑥).

En la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) a la variable 𝒙 se le denomina variable independiente, y

a la variable 𝒚 variable dependiente debido a que sus valores dependen de los valores que

tome 𝒙.

Ejemplo:

Sea Z el conjunto de los enteros y f = {(𝑥, 𝑦): 𝑥2 − 10, 𝑥 ∈ 𝑍}

De manera que 𝑦 = 𝑥2 − 10 es la función.

Dominio: z = ( -3,-2, 1, 2, 4, 6)

Codominio: z = ( -1,-6, -9, 6, 26,28,30)

Rango: z = ( -1,-6, -9, 6, 26,)

De acuerdo al tipo de expresión se clasifican en:

Funciones polinómicas: Función constante, la recta (función lineal o afín), la

parábola (función de segundo grado o cuadrática) y los polinomios de grado

superior; luego tenemos funciones racionales, funciones irracionales, Funciones

exponenciales, funciones logarítmicas.

Función constante: Es una función f de la forma 𝐲 = 𝒇(𝒙) = k ,donde k , es un

número real fijo (constante). Es decir esta función asigna a cada "𝒙 “, la misma imagen

"𝒌 “ y su pendiente 𝒎 = 𝟎

Funciones lineales:

Una función f de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 , donde 𝒎 , es constantes. Se denomina

función lineal, debido a que su representación en el plano cartesiano, es una línea recta que

pasa por el punto (0, 0).

Función Lineal: observando la figura 2. Se puede apreciar el grupo de rectas

𝑦 = 𝑚𝑥 tiene como pendiente 𝑚 y todas las rectas pasan por el origen.

Función afín: Es toda función de la forma 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 donde 𝒎 𝒚 𝒃 son constantes

no nulas. Tienen como representación gráfica una recta que no pasa por el origen del plano

no cartesiano

Donde el dominio de la función son todos los numeros R.

Rango serian todos los números R : (−𝛼, 𝛼)

EJEMPLOS DE FUNCIONES LINEALES:

Ejemplo N0.1

𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟖 = −𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 − 𝟏𝟔

1. Despejamos en función de 𝒚

2. Despejando con respecto a 𝒙

𝟔𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟖 = −𝟏𝟎𝒙 − 𝟏𝟓𝒚 − 𝟏𝟔

6𝑥 + 10𝑥 = 5𝑦 − 15𝑦 − 16 − 8

16𝑥 = −10𝑦 − 24

𝑥 = −10𝑦−24

16 𝑥 = −

10𝑦

16−

24

16

𝑥 = −5

8 𝑦 −

3

2 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦 = 0 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝒙 = −

𝟑

𝟐

Ubicar los puntos en la grafica

Ejemplo N0.2

−𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟒 8𝑦 + 10𝑦 = 12𝑥 + 6𝑥 - 14 - 2

18𝑦 = 18𝑥 − 16

𝑦 = 18𝑥−16

18 𝑦 = 𝑥 −

8

9

𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0 𝒚 = −𝟖

𝟗

−𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟐 = 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝒚 − 𝟏𝟒

−6𝑥 − 12𝑥 = −10𝑦 − 8𝑦 − 14 − 2

−18𝑥 = −18𝑦 − 16

𝑥 = −18𝑦−16

−18 donde, 𝑥 = 𝑦 +

8

9

Si 𝑦 = 0 𝒙 = 𝟖

𝟗

𝑥 0 8

9

𝑦 −8

9 0

Pendiente De Una Recta: En las actividades que realizamos alguna vez, hemos

tenido la experiencia de viajar por carreteras, subir y bajar escaleras, caminar por terrenos

planos y hemos observado que el esfuerzo que tenemos que realizar para efectuar estas

actividades es mayor o menor de acuerdo con la inclinación o pendiente del recorrido, es

por tal razón que es importante tener un conocimiento de la pendiente de una recta.

En la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, el valor 𝑚 es una constante diferente de cero,

denominada pendiente .

La pendiente de una recta está directamente relacionada con el grado de

inclinación de la recta cuya ecuación es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y se define así:

𝑚 = 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥=

∆𝑦

∆𝑥

Luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre 𝑌 y 𝑋

Pendiente De Una Recta:

En las actividades que realizamos alguna vez, hemos tenido la experiencia de viajar

por carreteras, subir y bajar escaleras, caminar por terrenos planos y hemos observado que

el esfuerzo que tenemos que realizar para efectuar estas actividades es mayor o menor de

acuerdo con la inclinación o pendiente del recorrido, es por tal razón que es importante

tener un conocimiento de la pendiente de una recta.

En la expresión 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, el valor 𝑚 es una constante diferente de cero,

denominada pendiente .

La pendiente de una recta está directamente relacionada con el grado de

inclinación de la recta cuya ecuación es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y se define así:

𝑚 = 𝑝𝑒𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑦

𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑥=

∆𝑦

∆𝑥

Luego, la pendiente es la razón que existe en la recta entre 𝑌 y 𝑋

𝒎 = 𝒑𝒆𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 = ∆𝒚

∆𝒙 =

𝒚𝟐−𝒀𝟏

𝒙𝟐−𝑿𝟏

Ejemplo1.

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, 5) y B (2,3)

𝒎 = ∆𝒚

∆𝒙 =

𝒚𝟐−𝒀𝟏

𝒙𝟐−𝑿𝟏

= 𝟓−𝟑

𝟑−𝟐 =

𝟐

𝟏= 𝟐

Signo de la pendiente de una recta: El signo de la pendiente de una recta depende

del ángulo de inclinación de dicha recta con respecto al eje 𝑥.

Se distinguen cuatro casos:

formas de la ecuación de una recta:

a) Si se conocemos la pendiente y un ponto de la recta

Si la pendiente es 𝑚 ( 𝑥1 , 𝑦1 ) y es un punto de la recta, para cualquier

punto (𝑥, 𝑦) tenemos:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1 )

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto ( 3, 7 ) y

pendiente 𝑚 = 2.

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1 )

𝑦 − 7 = 2 (𝑥 − 3)

𝑦 = 2𝑥 + 1 𝑜 2𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

Función cuadrática: son las que se expresan de la forma 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,

donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 son constantes y 𝑎 ≠ 𝑜

Ejemplo 1: Determinar el dominio, el rango y la gráfica de la función

𝒇(𝒙)= 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑

a. Primer paso : Encontrar el vértice de la parábola , teniendo en cuenta que

𝑎 = 1 , 𝑏 = −2 𝑦 𝑐 = −3

𝑉(𝑥)=−

𝑏2𝑎 =

−(−2)2(1)

= 1

𝑉(𝑦)=

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎 = 4(1)(−3)−(−2)2

4(1)=

−12−44 = −

−164 = −4

b. Segundo paso: es hallar los puntos de corte con el eje 𝑥 , mediante la

fórmula de la cuadrática:

𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 𝑎 = 𝟏 , 𝑏 = −𝟐 𝑦 𝑐 = −𝟑

𝒙 = −(−𝟐) ± √(−𝟐)𝟐 − 𝟒(𝟏)(−𝟑)

𝟐(𝟏)

𝒙 = −(−𝟐)± √𝟒+𝟏𝟐

𝟐 =

𝟐 ± √𝟏𝟔

𝟐

𝒙 = (𝟐)± 𝟒

𝟐 ,

𝒙𝟏=

𝟐 + 𝟒

𝟐=

𝟔

𝟐 = 𝟑 ,

𝒙𝟐 =

𝟐 − 𝟒

𝟐=

−𝟐

𝟐 = −𝟏 ,

c. Representación gráfica

La función es creciente desde (1 , ∞)

La función es decreciente desde ( −∞, 1)

Ejemplo 2. Determinar el dominio , el rango y su representación gráfica de la

siguiente función:

𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5𝑥 − 4, donde: 𝑎 = −1 , 𝑏 = 5 𝑦 𝑐 = −4

Primer paso: Encontrar el vértice de la parbola

𝑉(𝑥)=−

𝑏2𝑎

= −5−2

= 52

𝑉(𝑦)=

4𝑎𝑐−𝑏2

4𝑎=

4(−1)(−4)−(5)2

4(−1)=

16−25−4

= −9−4

= 94

Rango = [ 94

, ∞ )

Segundo paso: Encontrara los puntos de corte con el eje 𝒙

𝒙 = −𝒃 ± √𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄

𝟐𝒂 , 𝑎 = −1 , 𝑏 = 5 𝑦 𝑐 = −4

𝒙 = −𝟓 ±√(𝟓)𝟐−𝟒(−𝟏)(−𝟒)

𝟐(−𝟏)

𝒙 = −𝟓 ± √𝟐𝟓 − 𝟏𝟔

−𝟐 =

−𝟓 ± √𝟗

−𝟐

𝒙𝟏=

−𝟓 + 𝟑

−𝟐=

−𝟐

−𝟐 = 𝟏 ,

𝒙𝟐=

−𝟓− 𝟑

−𝟐=

𝟖

𝟐 = 𝟒 ,

Tercer paso: Representación gráfica:

El eje “Y” empieza a tomar valores ( de abajo hacia arriba) desde menos y llega

hasta el vértice de la parábola ( hasta Y= 2,25); por lo tanto el rango es : (- ∞, 2,25] y la

función es creciente des (-∞ , 2,5) .

Funciones Racionales : Una función racional es aquella que se obtiene de dividir dos

polinomios. Una de las condiciones es que el denominador tiene que ser diferente de cero y

se deben encontrar los valores que hacen que el denominador se igual a cero , para excluirlos

del dominio de la función.

DOMINIO Y RANGO FUNCION RACIONAL

Ejemplo 1.: determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

𝑓(𝑥) = 𝑥+2

𝑥−3 ; Es lo mismo 𝑦 =

𝑥+2

𝑥−3

𝑥 − 3 ≠ 0 , por lo tanto 𝑥 ≠ 3

Como 𝑓(𝑥) es el cociente de dos funciones , debe hallarse los valores de 𝒙 ; para

los cuales el denominador 𝑥 − 3 se hace cero.

Dominio = ℝ − {𝟑}

Si 𝑥 − 3 = 0 , entonces en 𝑥 = 3 la función no esta definida, por lo tanto no

pertenece a su dominio y representa la asintota vertical, esto quiere decir no puede tocar

ese valor.

El dominio de la función (𝑥) = 𝑥+2

𝑥−3 es : R -{3} ; (−𝛼 , 3) 𝑈 ( 3 , +𝛼)

Para encontrar el rango se calcula buscando los valores que pueden tomar la

variable dependiente después de excluir los valores que anulan el denominador en el

dominio.

𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥 − 3

Tener en cuenta las siguiente las siguientes reglas que nos ayudan a

encontrar la asíntota horizontal:

𝑦 (𝑥 − 3) = 𝑥 + 2

𝑥𝑦 − 3𝑦 = 𝑥 + 2

𝑥𝑦 − 𝑥 = 2 + 3𝑦

𝑥(𝑦 − 1) = 2 + 3𝑦

𝒙 = 2+3𝑦

𝒚−𝟏 ; el valor que hace que el denominador sea igual a cero seria 1

Rango es 1 , Es decir la asintota horizonta es l

Tener en cuenta la siguiente regla para hallar la asíntota horizontal:

𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍: 𝒂𝒙𝒏

𝒃𝒙𝒎

𝒂

𝒃: 𝒂 𝒚 𝒃 𝒔𝒐𝒏 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒂𝒄𝒐𝒎𝒑𝒂ñ𝒂𝒏 𝒂 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆

𝒂𝒙𝒏

𝒃𝒙𝒎: 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏 < 𝒎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 = 𝟎

𝒂𝒙𝒏

𝒃𝒙𝒎: 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏 = 𝒎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 =

𝒂

𝒃

𝒂𝒙𝒏

𝒃𝒙𝒎: 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏 > 𝒎 𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍

Una vez encontrados valores , se construye la grafica que es la que nos ayuda a

determinar el rango.

𝒙 -10 -6 -4 -2 -1 0 1 4 6 8 10

𝒚 0.61 0,44 0,28 0 -0,25 -0,66 -1.5 6 2,66 2 1,71

Esta grafica presenta una asintota horizontal en Y = 1. Luego la función estará

definida en todos los valores de y menos en y = 1., por lo tanto el rango = R-{1};

(−𝛼 ,1) 𝑈 ( 1 , +𝛼), que me da el valor de la asintota horizontal ; dejando la función en

terminos de 𝒙

Ejemplo Nº 2.

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎

Hallar dominio, rango, asíntota vertical, asíntota horizontal, discontinuidad (hueco) si

la hay, y graficar la función.

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎

El dominio siempre sale de la función del denominador:

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎=

𝟐(𝒙𝟐 − 𝟒)

(𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟐)=

Se toma el factor del denominador que es:

(𝒙 + 𝟓) ≠ 𝟎 ∶ 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒙 = −𝟓

(𝒙 − 𝟐) ≠ 𝟎: 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒙 = 𝟐

Luego el Dominio de la función es:

𝑫𝒇(𝒙) = ℝ − {−𝟓, 𝟐}

𝑫𝒇(𝒙) = (−∞, −𝟓) ∪ (−𝟓, +∞)

𝑫𝒇(𝒙) = (−∞, 𝟐) ∪ (𝟐, +∞)

Dominio: ℝ − { −𝟓 , 𝟐 }

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐−𝟖

𝒙𝟐+𝟑𝒙−𝟏𝟎=

𝟐(𝒙𝟐−𝟒)

(𝒙+𝟓)(𝒙−𝟐)=

𝟐(𝒙+𝟐)(𝒙−𝟐)

(𝒙+𝟓)(𝒙−𝟐)=

𝟐𝒙+𝟒

(𝒙+𝟓)

Como se pudo simplificar el polinomio del numerador y el denominador,

ahora, tenemos que la nueva función es:

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙 + 𝟒

(𝒙 + 𝟓)

Ahora vamos a hallar las asíntotas verticales y horizontales

1. Las asíntotas verticales siempre salen de los factores que quedan en el

denominador:

𝒙 + 𝟓 = 𝟎 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒍𝒂 𝒂𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒗𝒆𝒓𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍 𝒆𝒔: 𝒙 = −𝟓

Se toma el factor del denominador que es:

(𝒙 + 𝟓) ≠ 𝒐 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝒙 = −𝟓 (asíntota vertical)

2. La asíntota horizontal se halla dejando la nueva función en términos 𝒙 :

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 =

𝟐𝒙 + 𝟒

(𝒙 + 𝟓)

El Rango de la función es:

𝒚 =𝟐𝒙 + 𝟒

(𝒙 + 𝟓)

𝒚 ( 𝒙 + 𝟓) = 𝟐𝒙 + 𝟒

𝒙𝒚 + 𝟓𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟒

𝒙𝒚 − 𝟐𝒙 = 𝟒 − 𝟓𝒚

𝒙( 𝒚 − 𝟐) = 𝟒 − 𝟓𝒚

𝒙 = 𝟒−𝟓𝒚

𝒚−𝟐

Rango: Es el valor que no puede tomar la y = 2,

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = (−∞, 𝟐) ∪ ( 𝟐 , ∝ )

3. La asíntota horizontal sale aplicando la fórmula:

𝑨𝒔í𝒏𝒕𝒐𝒕𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍: 𝒂𝒙𝒏

𝒃𝒙𝒎 𝒚 𝒔𝒖𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙𝟐 − 𝟖

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎=

𝟐𝒙 + 𝟒

(𝒙 + 𝟓)

Se observa que la variable 𝑥 su mayor grado es 2 tanto en el numerador

como en el denominador, por lo tanto aplicamos la condición de:

𝒂𝒙𝒏

𝒃𝒙𝒎: 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒏 = 𝒎 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒚 =

𝒂

𝒃

𝒚 =𝒂

𝒃=

𝟐

𝟏= 𝟐; 𝑨𝒔𝒊𝒏𝒕𝒐𝒓𝒂 𝒉𝒐𝒓𝒊𝒛𝒐𝒏𝒕𝒂𝒍: 𝒚 = 𝟐

𝑹𝒂𝒏𝒈𝒐 = (−∞, 𝟐) ∪ ( 𝟐 , ∝ )

Ahora vamos a verificar si la función presenta discontinuidad (huecos)

La discontinuidad se verifica a partir de la nueva función o también

llamada función equivalente:

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙 + 𝟒

(𝒙 + 𝟓)

Se reemplazan los valores de las raíces que me hacen cero el

denominador:

𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟐)

𝒇(𝒙) =𝟐(𝟐) + 𝟒

(𝟐 + 𝟓)=

𝟖

𝟕

NOTA: Cuando 𝒙 + 𝟓 = 𝟎 no se puede porque la función es

indeterminada:

𝒇(𝒙) =𝟐(−𝟓) + 𝟒

(−𝟓 + 𝟓)=

−𝟔

𝟎= 𝑰𝒏𝒅𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒅𝒐

La pareja ordenada que presenta la discontinuidad (hueco) es:

(𝟐,𝟖

𝟕) = (𝟐, 𝟏. 𝟏𝟒)

La grafica se elaborar a partir de la nueva función:

𝒇(𝒙) =𝟐𝒙+𝟒

(𝒙+𝟓)

Ejemplo N0.3

𝒚 =𝒙 − 𝟑

𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔

𝒚 = 𝒙−𝟑

(𝒙−𝟑)(𝒙−𝟐)

𝑥 − 3 ≠ 0 𝑥 − 2 ≠ 0

𝑥 ≠ 3 𝑥 ≠ 2

Dominio = ℝ − {2, 3}

𝒚 = 𝒙 − 𝟑

(𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐)

𝒚 = 𝟏

𝒙−𝟐

Asintota vertical 2

RANGO:

𝒚 = 𝟏

𝒙−𝟐 = (𝒙 − 𝟐) =

𝟏

𝒚 𝒙 =

𝟏

𝒚 + 𝟐

𝒚 = 𝟏

−𝟏𝟎 − 𝟐=

𝟏

−𝟏𝟐= −𝟎. 𝟎𝟖

𝒙 -10 -8 -4 -2 0 1 3 4 5 8 10

y -0,08 -0,1 -0,16 -0,25 -0.5 -1 1 0,5 0,3 0,2 0,125

RANGO= ℝ − {0, 1}

Funciones irracionales: Son las que vienen expresadas a través de un radical que

lleve en su radicando la variable independiente.

Se debe tener en cuenta que, si el radical tiene índice impar, entonces el dominio

será todo el conjunto de los números reales, debido a que al darle cualquier valor a 𝑥,

siempre se va a poder calcular su raíz.

Una de las condiciones es que si el radical tiene índice par lo primero que se debe

hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual que cero.

Ejemplo 1.: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función

𝒇(𝒙) = √−𝟐𝒙 + 𝟒𝟑

Solución: Dominio de la función es todos los numero reales y el rango también

serían todos los números reales. De acuerdo con la definición.

𝑥 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

𝑦 2,88 2,71 2,51 2,28 2 1,58 0 -1,58 -2 -2,28 -2,51

Su representación gráfica es:

Ejemplo 2.: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

𝒇(𝒙) = √−𝟐𝒙 + 𝟒

Solución: para hallar el dominio de este tipo de función el primer paso es coger lo

que hay dentro de la raíz y hacer que sea mayor o igual a cero. A continuación, se resuelve

la inecuación y su solución será el valor correspondiente al dominio de la función.

−2𝑥 + 4 ≥ 0

−2𝑥 ≥ −4 , 𝑥 ≤ −4

−2 , 𝑥 ≤ 2

Dominio 𝑓(𝑥) = (−∞ , 2]

𝑥 -20 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 2

𝑦 6.63 4 3,74 3,46 3,16 2,82 2,44 2 0

Rango𝑓(𝑥) = (0 , +∞ , ), según los valores que va toman do la variable 𝒚 de la

tabla y la observación de la gráfica.

Ejemplo 3.: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función:

𝑦 = √𝑥2 − 9 𝑥2 − 9 ≥ 0 (𝑥 + 3)(𝑥 − 3) ≥ 0

(𝑥 + 3) ≥ 0 ⋀ (𝑥 − 3) ≥ 0

𝑥 ≥ −3 ∧ 𝑥 ≥ 3

Dominio= ( -∞ , -3] ∪ [ 3 , ∞)

𝒙 -6 -5 -4 -3 3 4 5 6

𝒚 5.19 4 2,64 0 0 2,64 4 5.19

Rango= ℝ ∪ {𝟎}

Observación Grafica:

Ejemplo 3. Hallar dominio, rango y graficar la función dada:

𝒇(𝒙) = −√𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐

Procedimiento para hallar el dominio:

𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐 ≥ 𝟎 →→ (𝟒 + 𝟑𝒙)(𝟒 − 𝟑𝒙) ≥ 𝟎

𝟒 + 𝟑𝒙 ≥ 𝟎 𝒚 𝟒 − 𝟑𝒙 ≥ 𝟎

𝟒 + 𝟑𝒙 ≥ 𝟎 →→ 𝒙 ≥ −𝟒

𝟑 , [−

𝟒

𝟑 , ∞)

𝟒 − 𝟑𝒙 ≥ 𝟎 →→ −𝟑𝒙 ≥ −𝟒

𝟑𝒙 ≤ 𝟒 →→ 𝒙 ≤ 𝟒

𝟑

𝑫𝒇(𝒙) = [−𝟒

𝟑,𝟒

𝟑]

Procedimiento para hallar el rango:

𝒇(𝒙) = 𝒚 = −√𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐

(𝒚)𝟐 = (−√𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐)𝟐

𝒚𝟐 = (𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐)

𝒚𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝟗𝒙𝟐 →→ 𝟗𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 − 𝒚𝟐

𝒙𝟐 = 𝟏𝟔−𝒚𝟐

𝟗

𝒙 = √𝟏𝟔 − 𝒚𝟐

𝟗= √

𝟏𝟔

𝟗−

𝒚𝟐

𝟗

𝟏𝟔

𝟗−

𝒚𝟐

𝟗≥ 𝟎 →→ (

𝟒

𝟑+

𝒚

𝟑) (

𝟒

𝟑−

𝒚

𝟑) ≥ 𝟎

𝟒

𝟑+

𝒚

𝟑≥ 𝟎 →→

𝒚

𝟑≥ −

𝟒

𝟑 →→ 𝒚 ≥ −𝟒

𝟒

𝟑−

𝒚

𝟑≥ 𝟎 →→ −

𝒚

𝟑≥ −

𝟒

𝟑 →→

𝒚

𝟑≤

𝟒

𝟑 →→ 𝒚 ≤ 𝟒

𝑹𝒇(𝒙) = [−𝟒, 𝟒] 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐 𝒂𝒏𝒂𝒍𝒊𝒕𝒊𝒄𝒐 (𝒐𝒋𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐)

𝑹𝒇(𝒙) = [−𝟒, 𝟎] 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙

Vamos a demostrar porque el rango real es el correcto:

𝒙 = √𝟏𝟔

𝟗−

𝒚𝟐

𝟗

0 0

𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒚 −4 4

Observación Grafica:

Funciones Logarítmicas: Son de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥), 𝑎 ∈ 𝑅+, 𝑎 ≠ 1. Su

dominio son todos los 𝑹+ y su rango son todos los números reales R.

Nota: Se debe tener en cuenta que los logaritmos de números negativos y el cero no

existen.

Ejemplo 1.

Determinar el dominio y el rango de la siguiente función: 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈(𝒙 + 𝟐)

Solución: se toma lo que está dentro del logaritmo y hacemos que sea mayor que

cero y se resuelve la inecuación, para encontrar el valor correspondiente a su dominio.

𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈(𝒙 + 𝟐)

𝒙 + 𝟐 > 𝟎

𝒙 > −𝟐

Dominio de la 𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈(𝒙 + 𝟐) = (−𝟐 , + ∞)

Rango = todos los R

Representación gráfica:

FUNCIONES EXPONENCIALES: S

on aquellas funciones de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ,. Siendo a ∈ 𝑅, donde el “a” tiene

que ser mayor que cero y diferente de 1.

Todas las funciones exponenciales su dominio y su rango son los números reales

positivos sin incluir el cero..

Dominio 𝒇(𝒙) = 𝑹

Rango :(𝟎 , +∞)

Ejemplo 2: Determinar el dominio y el rango de la siguiente función: 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙

BIBLIOGRAFIA

(Prado, S. et al., 2006), Precálculo, México, S. A. Pearson Educación

Allendoerfer C.4ed. (1990), Matemáticas Universitarias, Bogotá, Mc Graw Hill.

Thomas J. George, B.11ª Ed. (2006).Calculo de una variable tomado de

https://drive.google.com/drive/folders/0B5NDsfYy77xFS2NjY29fbnEybTA

(Albornoz. J. (2017).Matemática Aplicada tomado de

http://www.monografias.com/trabajos-pdf4/dominio-y-rango-funcion/dominio-y-rango-

funcion.pdf