Matemáticas para Técnico Superior en Matemáticas para Técnico Superior en Administración de Empresas: Mención en Administración de Empresas: Mención en Recursos HumanosRecursos Humanos

Profesora: Jeanett Peña Ovalle

LOGICALOGICA

La lógica ocupa un lugar de primera importancia en el quehacer humano y en particular en Matemáticas.

Una sentencia lógica está sujeta a dos valores:

VERDADERO (V) o FALSO (F)

Reciben el nombre de “valores de verdad”

ELEMENTOS DE LOGICAELEMENTOS DE LOGICA

- Definiciones y conceptos- Definiciones y conceptos

1.- Lógica: es la ciencia que trata de las 1.- Lógica: es la ciencia que trata de las leyes, modos y formas del razocínio, algo leyes, modos y formas del razocínio, algo legítimo y natural.legítimo y natural.

2.- Enunciado:es toda expresión que 2.- Enunciado:es toda expresión que tenga sentido y de la cual se puede tenga sentido y de la cual se puede afirmar que es verdadera o falsa.afirmar que es verdadera o falsa.

Características y clasificaciónCaracterísticas y clasificación El carácter fundamental de un El carácter fundamental de un

enunciado es que o bien es verdadero enunciado es que o bien es verdadero o falso, pero no ambas cosas.o falso, pero no ambas cosas.

Se clasifican en: simples y compuestos.Se clasifican en: simples y compuestos. Los enunciados simples son aquellos Los enunciados simples son aquellos

que no están vinculados con otros.que no están vinculados con otros. Los enunciados compuestas están Los enunciados compuestas están

formados por uno o más enunciados formados por uno o más enunciados simples vinculados entre si a través de simples vinculados entre si a través de los llamados conectivos lógicos.los llamados conectivos lógicos.

Los enunciados se designan Los enunciados se designan con las letras p, q, r, ..s, t con las letras p, q, r, ..s, t Ejemplos:Ejemplos:1.- Las rosas son rojas 1.- Las rosas son rojas (enunciado simple)(enunciado simple)

2.- Las rosas son rojas y las 2.- Las rosas son rojas y las violetas son azules.violetas son azules.(enunciado compuesto)(enunciado compuesto)

1.- Conjunción: 1.- Conjunción: /\/\

El conectivo “ y” para formar El conectivo “ y” para formar el enunciado compuesto se el enunciado compuesto se llama “conjunción” y su llama “conjunción” y su símbolo es el indicado “/\”símbolo es el indicado “/\”

Sea “p” :las rosas son rojasSea “p” :las rosas son rojassea “q” :las violetas son sea “q” :las violetas son azules azules

V1V1: Si “p” y “q” son verdaderos entonces:: Si “p” y “q” son verdaderos entonces: p /\ qp /\ q también es verdadero también es verdadero

Tabla de verdad de p/\qTabla de verdad de p/\q p q p/\qp q p/\q v v vv v v v f fv f f f v ff v f f f f f f f

2.- Disyunción: \/2.- Disyunción: \/

Dos enunciados se pueden combinar por Dos enunciados se pueden combinar por medio de la palabra “o” (y/o) para formar medio de la palabra “o” (y/o) para formar un nuevo enunciado.un nuevo enunciado.

Su símbolo es: \/Su símbolo es: \/ Ejemplo:Ejemplo: sea p: él estudió francés en la universidad sea p: él estudió francés en la universidad

q: él vivió en Francia q: él vivió en Francia

Tabla de verdad Tabla de verdad

P\/q significa: p o q ; p y/o q, que P\/q significa: p o q ; p y/o q, que tiene un sentido incluyente, p o q, o tiene un sentido incluyente, p o q, o ambas .ambas .

Tabla de verdad de p \/ qTabla de verdad de p \/ q p q p \/ qp q p \/ q v v vv v v v f vv f v f v v f v v f f ff f f

V2: si “p” es verdadero o “q” V2: si “p” es verdadero o “q” es verdadero, o si “p y q” son es verdadero, o si “p y q” son verdaderos, entonces: p\/q es verdaderos, entonces: p\/q es verdadero.verdadero.3.- Negación: /\/ 3.- Negación: /\/ Dado un enunciado “p” se puede formar Dado un enunciado “p” se puede formar

otro que recibe el nombre de otro que recibe el nombre de “negación”de p.“negación”de p.

Su símbolo es: /\/Su símbolo es: /\/ El valor de la negación de un enunciado El valor de la negación de un enunciado

depende de la siguiente condición:depende de la siguiente condición:

V3:V3:si “p” es verdadero, si “p” es verdadero, entonces “ - p” es falso.entonces “ - p” es falso. Si “p” es falso, entonces “- p” Si “p” es falso, entonces “- p” es verdadero. es verdadero.El valor de verdad de la El valor de verdad de la negación, es siempre opuesto negación, es siempre opuesto del valor de verdad del del valor de verdad del enunciado. enunciado.

Su tabla de verdad es:

p - p

v f

f v

Ejemplos:

1.- Si el enunciado p dice:

p: París está en Francia. (es verdadero.)

La negación de este enunciado - p es:

- p: París no está en Francia. (es falso)

4.- Condicional: p q

( significa: p implica q)

Muchos enunciados matemáticos son de la forma:

a) Si p entonces q

b) Si p implica q

c) Si p solamente si q

d) p es suficiente para q

V4: El condicional p q es verdadero, a menos que p sea verdadero y q falso, es decir un enunciado verdadero no puede implicar uno falso.

Su tabla de verdad es:

p q p q

v v v

v f f

f v v

f f v

Ejemplos:

1.- Si París está en Francia, entonces 2+2 = 5. (es F )

2.- Si París está en Inglaterra entonces 2+2 = 4.(es V)

3.- Si París está en Francia, entonces 2+2 = 4. (es V)

4.- Si París está en Inglaterra, entonces 2+2 = 5.(es V)

5.- Bicondicional: p q

Otro enunciado corriente es de la forma “p si, y solamente si, q”. O en forma abreviada se expresa como “pssiq”. O “p si y sólo si q”, que es una doble implicación.

Estos enunciados obedecen la siguiente condición:

V5: Si p y q tienen el mismo valor de verdad entonces

p q es verdadero.

Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces

p q es falso

Su tabla de verdad es:

p q p q

v v v

v f f

f v f

f f v Ejemplos:

1.- París está en Francia, si y solo si 2+2 =5 (es F)

2.- París está en Inglaterra, si y solo si 2+2 =4 (es F)

3.- París está en Francia, si y sólo si 2+2 = 4 (es V)

4.- París está en Inglaterra, si y sólo si 2+2 =5 (es V)

PROPOSICIONES Y TABLAS DE VERDAD

Existe un paralelo entre una “función algebraica, con sus respectivas variables” y la llamada “Algebra de Proposiciones con sus proposiciones y enunciados, los que constituyen sus variables.

1:_ En álgebra se expresa: f(x,y)

2.- En álgebra de proposiciones se expresa: P(p,q)

El “valor de verdad” de una proposición P(p,q.....) evaluados sobre enunciados cualesquiera, es función solamente de los “valores de verdad” de los enunciados.

Luego se habla del “valor de verdad” de cada una de las variables “p y q” y de la proposición “P(p,q)”.

En la construcción de la tabla de verdad de una proposición el Nº de filas queda determinado por el Nº de combinaciones de “v y f” que pueden tener los enunciados. P, q, r. Dos enunciados se combinan de 4 maneras, tres enunciados de 8 maneras. Se determina con la expresión: 2n

Por ejemplo:

La tabla de verdad de la proposición: - (p /\ -q) se construye como sigue:

p q -q p /\ -q -(p /\ -q)

v v f f v

v f v v f

f v f f v

f f v f v

El valor de verdad de esta proposición , queda indicado en la última columna.

Son dos enunciados, p, q 4 filas: 2

Si son 3 los enunciados: p, q, r 8 filas : 2 = 8

El valor

Tautologías y ContradiciónTautologías y Contradición

1.- Una Tautología es una proposición compuesta, cuyos “valores de verdad” son verdaderos en todos los casos de la tabla de verdad.

2.- Contradicción es una proposición compuesta, cuyos valores de verdad son falsos.

Ejemplo 1: La proposición “p o no p” es: p\/ -p

su tabla de verdad es: p -p p \/-p

v f v Luego es una

f v v Tautología

Ejemplo 2: p (p\/q)

p q p\/q p (p\/q)

v v v v

v f v v

f v v v

f f f v

luego es una Tautología

Ejemplo 3.-( p q) ( p /\ - q)

Tabla de verdad:

p q -q p /\ - q p q ( p /\ - q )

v v f f f

v f v v f

f v f f f

f f v v f

Luego es una contradicción

Equivalencia lógica:

Dos proposiciones P y Q se dicen lógicamente equivalentes

si sus tablas de verdad son idénticas. O sea: P = Q

Ejemplo: (p q) /\ (q p) = p q

Tabla de verdad del I miembro:

p q p q q p ( p q) /\ (q p)

v v v v v

f v f v f

v f v f f

f f v v v

Tabla de verdad del segundo miembro:

p q p q

v v v

f v f

v f f

f f v

Luego es una equivalencia, puesto que la tabla de verdad del primer miembro es idéntica a la del segundo miembro

Una equivalencia lógica también se puede demostrar en una sola tabla como se ve en el ejemplo siguiente:

Demuestre que: - (p \/ q) - p /\ - q

p q - p - q (p \/ q) - (p \/ q ) - p /\ -q

v v f f v f f

v f f v v f f

f v v f v f f

f f v v f v v

1 2

Tienen la misma tabla, por lo tanto son equivalentes

La dificultad que presentan las tablas de verdad, es la gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una proposición con más de 4 variables. Para 4 variables se ocuparían 16 filas para todas las combinaciones de los enunciados p, q, r, s para este caso.

Como las tablas de verdad se utilizan en la construcción de los algoritmos computacionales, esta dificultad ha sido magníficamente superada por la rapidez de los ordenadores por lo tanto no presenta ninguna dificultad.

Un Algoritmos es una lista bien definida, ordenada y finita de operaciones que permiten hallar la solución de un problema.

Las tablas de verdad de esta álgebra de proposiciones se aplica en los diseños de circuitos conmutadores que hacen posible la construcción de aparatos capaces de realizar estas computaciones a velocidades increíbles llamadas por lo mismo computadoras u ordenadores.

Por ejemplo sean a) a’) dos interruptores eléctricos que se pueden conectar en serie o en paralelo como se indica en la fig. A

A B

B

conexión en serie: A /\ B conexión en //: A\/ B

Se define un interruptor A de la manera siguiente:

cerrado(pasa corriente)

A = <

abierto (no pasa corriente)

Dada una proposición lógica” p” se identifica:

p es F si el interruptor A está abierto

p es V si el interruptor A está cerrado. Expresado como tabla de verdad: p A

f abierto

V cerrado

Podemos interpretar la “conjunción y la disyunción como sigue: A B

p /\ q => circuito en serie

abierto y cerrado

A

p \/ q => circuito en // B

abierto o cerrado

En estos circuitos, se interpretan los valores de verdad con 1 y 0.

Valor 1: corriente eléctrica o circuito cerrado ( V )

Valor 0: ausencia de corriente o circuito abierto ( f )

B

Ejemplo 1: Dado el circuito: A

C

describir con los conectivos correspondientes.

1.- circuito en //: B \/ C => A /\ ( B\/ c)

Tablas de verdad de los circuitos en serie y // son:

A B A /\ B A B A \/ B

1 1 1 1 1 1

1 0 0 1 0 1

0 1 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0

Tabla de verdad de la relación de los interruptores es: A A’ siendo A el interruptor cerrado y A’ el abierto 1 0

0 1