Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de ... · durante a resolução de problemas...

AIEM. Avances de Investigación en Educación Matemática – 2017, Nº 12, 1 - 17

Para citar: Torregrosa Gironés, G. (2017). Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de

problemas: relación entre geometría y álgebra. Avances de Investigación en Educación Matemática, 12,

1-17.

© Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM). www.seiem.es

Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de

problemas: relación entre geometría y álgebra

Germán Torregrosa Gironés, Universidad de Alicante (España)

Recibido el 18 de enero de 2017; aceptado el 28 de julio de 2017

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Coordinación de procesos cognitivos en la resolución de problemas: relación entre geometría

y álgebra

Resumen

Se presenta una ampliación del modelo de razonamiento configural para el análisis de la resolución

de problemas empíricos de geometría, en los que los datos iniciales son numéricos o literales. La

extensión del modelo de Razonamiento Configural consiste en la ampliación de significados de las

Aprehensiones Operativas y Discursivas (Duval, 1998) y la aceptación del uso del registro algebraico

en el discurso generado durante la resolución de problemas de geometría con lápiz y papel. La inclusión

del registro algebraico en el modelo se fundamenta en los conceptos de conversión y tratamiento de la

Teoría de los Sistemas Semióticos de Duval. Analizamos varias resoluciones a un problema empírico

con el nuevo modelo de Razonamiento Configural extendido para evidenciar su potencial.

Palabras clave. Sistemas de representación; Razonamiento configural; Problema empírico;

Geometría y Álgebra.

Coordenação de processos cognitivos em solucionando problemas: relação entre geometria e

álgebra

Resumo

Este trabalho apresenta uma extensão do modelo de raciocínio configural para a análise dos

problemas empíricos de resolução de geometria, no qual os dados iniciais são numérica ou literal. A

extensão do modelo de raciocínio Configural consiste no alargamento dos significados deles apreensões

operacionais e discursivas (Duval, 1998) e a aceitação do uso do registro algébrico no discurso gerado

durante a resolução de problemas de geometria com lápis e papel. A inclusão do registro algébrico no

modelo baseia-se os conceitos de conversão e tratamento da Teoria dos Sistemas Semióticos de Duval.

Analisamos várias resoluções de um problema empírico com o novo modelo de raciocínio Configural

estendido para revelar o seu potencial.

Palavras chave. Sistemas de representação; Raciocínio configural; Problema empírico; Geometria

e Álgebra.

Coordination of cognitive processes in problem solving: relationship between geometry and

algebra

http://www.seiem.es/

Coordinación de procesos cognitivos: geometría y álgebra

2 AIEM, número 12, noviembre de 2017

Abstract

This paper presents an extension of the model of configural reasoning for the analysis of the

resolution of empirical problems of geometry, in which the initial data are numerical or literal. The

extension of the configural reasoning model consists in the widening of operative and discursive

apprehension meanings (Duval, 1998) and the acceptance of the use of the algebraic register in the

discourse generated during the resolution of geometry problems with pencil and paper. The inclusion of

the algebraic register in the model draws on the concepts of conversion and treatment of the Theory of

Semiotic Systems by Duval. We analyzed several resolutions to an empirical problem with the new

extended configural reasoning model to show its potential.

Key words. Representation systems; Configural reasoning; Empirical problem; Geometry and

Algebra.

Coordination des processus cognitifs dans la résolution des problèmes: relation entre la

géométrie et l’algèbre

Résumé

Cet article présente une extension du modèle de raisonnement configural pour l’analyse de la

résolution des problèmes empiriques de la géométrie, dans lequel les données initiales sont numériques

ou littérales. L’extension du modèle de raisonnement Configural consiste en l’élargissement des

significations de ces appréhensions opérationnelles et discursives (Duval, 1998) et l’acceptation de

l’utilisation de l’enregistrement algébrique dans le discours généré lors de la résolution des problèmes

de géométrie empirique avec crayon et du papier. L’inscription de l’enregistrement du modèle

algébrique est basée sur les concepts de la conversion et le traitement de la Théorie des Systèmes

Sémiotiques de Duval. Nous analysons plusieurs résolutions à un problème avec le nouveau modèle de

raisonnement Configural étendu afin de démontrer son potentiel.

Paroles clés. Systèmes de représentation; Raisonnement configural; Problème empirique;

Géométrie et Algèbre.

1. Introducción

En este trabajo presentamos una ampliación del modelo de razonamiento configural

(Torregrosa & Quesada, 2007; Prior & Torregrosa, 2013) al ámbito del análisis de la

resolución de problemas de probar de geometría que contienen datos numéricos en el

enunciado. En este trabajo denominamos problemas de geometría empíricos a

problemas de probar en el que su enunciado asigna cantidades y relaciones entre las

cantidades a los objetos geométricos. El uso del modelo extendido en este tipo de

problemas permite mostrar que los estudiantes siguen los mismos procesos cognitivos

que hemos identificado en las resoluciones de problemas clásicos de probar en

Geometría, usando los modos de representación algebraico y geométrico.

El uso del modelo de razonamiento configural, para analizar la resolución de

problemas de geometría empíricos, ofrece una aproximación cognitiva y matemática a

la comprensión del comportamiento del alumno al resolver este tipo de problemas

(Zazkis & Dubinsky, 1996). La literatura sobre la demostración matemática (prueba)

tiene distintos focos: aspectos epistemológicos (Balacheff, 2008; Hanna & Jahnke,

1996); dificultades del alumno (Harel & Sowder, 1998); coordinación de estrategias

visuales y analíticas (Zazkis, Dubinsky & Dautermann, 1996); relación entre discurso

y demostración (Duval, 1995; Robotti, 2012), relación entre conjeturar y probar (Fiallo

& Gutiérrez, 2017); y enseñanza/aprendizaje de la prueba en varios contextos

educativos (Hilbert, Renkl, Kessler & Reiss, 2008; Ibañes, 2002; Ibañes & Ortega,

G. Torregrosa

AIEM, número 12, noviembre de 2017 3

2005; Komatsu, 2016; Miyazaki, Fujita & Jones, 2017; Reiss, Heinze, Renkl & Groß,

2008).

La propuesta integra diferentes aspectos para analizar las dimensiones,

epistemológica, cognitiva y discursiva, de la demostración matemática como manera

de analizar las aproximaciones analíticas y geométricas de alumnos en la resolución de

los problemas empíricos. A partir de la teoría de la representación de Duval y sus

estudios sobre los procesos cognitivos de visualización y razonamiento, el modelo del

razonamiento configural permite analizar producciones de alumnos cuando resuelven

problemas de probar de Geometría, en un entorno de lápiz y papel (Torregrosa &

Quesada, 2007; Torregrosa, Quesada & Penalva, 2010; Prior & Torregrosa, 2013). En

el uso inicial del modelo de razonamiento configural se consideraron problemas de

probar clásicos de geometría con lápiz y papel. Sin embargo, en la etapa escolar y en la

Universidad se consideran problemas de contexto geométrico que involucran medidas

como datos (problemas de aplicación de resultados geométricos a la vida real). Estos

problemas no exigen una demostración matemática formal en sentido estricto, pero sí

precisan del conocimiento y uso de las mismas propiedades y resultados geométricos

teóricos para resolver los problemas de probar. El análisis de los procesos de resolución

de estos problemas empíricos conlleva problemas teóricos que deben abordarse y

resolverse con carácter previo. Por ejemplo, no se dan hipótesis consistentes en

propiedades geométricas genéricas (dado el triángulo isósceles de la figura) sino datos

numéricos o literales (en el triángulo de la figura los lados miden a, a y b cm). Así, las

aprehensiones discursivas, las asociaciones de configuraciones puntuales a

afirmaciones matemáticas, no siguen el mismo proceso. Además, durante la resolución

de problemas empíricos, aparece el registro algebraico para convertir el enunciado dado

y los datos en expresiones algebraicas que no se contempla en el modelo de

razonamiento configural.

2. Planteamiento del problema

Veamos el análisis de la solución a un problema clásico de geometría de probar,

utilizando el modelo del razonamiento configural, para lo que necesitamos definir los

elementos teóricos que utilizamos.

2.1. Elementos teóricos en el modelo de razonamiento configural

Llamamos Razonamiento Configural (RC en adelante) al desarrollo de la acción

coordinada entre Aprehensiones Operativas y Aprehensiones Discursivas, realizada por

el alumno, asociando afirmaciones matemáticas y/o realizando modificaciones en la

configuración inicial, cuando resuelve un problema de geometría mediante lápiz y papel

(Torregrosa & Quesada, 2007; Torregrosa et al., 2010; Prior & Torregrosa, 2013).

Un alumno realiza una Aprehensión Operativa (en adelante AO) cuando modifica

la configuración inicial del problema (Duval, 1995, 1998, 1999). El significado de esta

modificación incluye: añadir o quitar elementos geométricos a/de la configuración

inicial; reconfigurar las partes (subconfiguraciones) de la configuración inicial,

moviendo las subconfiguraciones como piezas de un rompecabezas; identificar un

elemento geométrico elemental (segmento, ángulo, triángulo, círculo…) en cuanto que

se “aísla” prescindiendo (quitándolo) del resto de la configuración inicial. La

modificación se puede realizar tanto física como mentalmente ya que no se representan

todas las modificaciones del resolutor.



Un alumno realiza una Aprehensión Discursiva (en adelante AD) cuando asocia

una configuración identificada con una afirmación matemática, para inferir

conocimiento que le ayude a resolver el problema (Duval, 1995, 1998, 1999). Esta

asociación puede tener dos desencadenantes que corresponden a: la subconfiguración

identificada por el alumno le recuerda alguna afirmación matemática, en cuyo caso

decimos que hay un cambio de anclaje de visual a discursivo, o bien los conocimientos

teóricos del alumno le llevan a buscar la subconfiguración adecuada en la configuración

inicial, en cuyo caso decimos que hay un cambio de anclaje de discursivo a visual. El

término afirmación matemática incluye teoremas, axiomas, definiciones,

propiedades…

Al analizar las acciones coordinadas AO/AD, que realiza el alumno para resolver

el problema, se clasifica su respuesta según los siguientes desenlaces del RC:

- Si hay solución al problema:

o Truncamiento, desenlace que ocurre cuando la coordinación realizada

por el alumno proporciona la “idea” que resuelve el problema, permitiéndole

generar un proceso deductivo que resuelve el problema. El truncamiento hace

referencia al momento en que el alumno “se da cuenta” de la solución. En ese

momento finaliza el proceso de razonamiento, entendido como deducir

información nueva a partir de otra dada o conocida, y empieza el proceso de

generar el discurso deductivo para comunicar la solución. Por tanto, el término no

se refiere a ninguna interrupción.

o Conjetura sin demostración, el razonamiento permite generar una

solución al problema, pero basada en conjeturas no probadas, como inferencias

realizadas en base a percepciones, erróneas o no, de la configuración inicial.

- Si no hay solución al problema

o Bucle, que se da cuando se establecen afirmaciones matemáticas que no

permiten el avance hacia la solución, de forma que los resolutores vuelven a la

situación inicial, una o varias veces, ante la imposibilidad de avanzar en la

resolución. Por tanto, decimos que RC desemboca en bucle, cuando se da una

situación de bloqueo que no permite el avance hacia la solución.

2.2. Problemas de geometría clásicos y empíricos

En los problemas de geometría clásicos de probar intervienen conceptos

geométricos: “dos cuerdas paralelas”, “recta perpendicular a las cuerdas” que “pasa por

el centro de la circunferencia” o “contiene los puntos medios”. Se dan situaciones o

propiedades geométricas elementales y se pide “Probar que”. En los problemas

empíricos se dan las medidas de los elementos geométricos y se pide “Calcular”. En el

problema empírico de la Figura 1, se dan las medidas de las cuerdas y la distancia entre

ellas, concretando las opciones de intervención del alumno para resolver el problema.

En ocasiones esta concreción es una limitación que no deja lugar a la creatividad, pero

en otras ocasiones orienta las acciones para resolver el problema. Igualmente, existen

diferencias en la pregunta que se solicita en cada tipo de problema. En los enunciados

clásicos a menudo se pide demostrar una propiedad de carácter general: “contiene los

puntos medios de ambas cuerdas”, mientras que en el problema empírico se pide

calcular la medida del radio de la circunferencia, que es un dato concreto de la situación

particular propuesta.

G. Torregrosa


Enunciado de problema clásico. Dadas dos cuerdas paralelas de una circunferencia,

demostrar que la recta perpendicular a las cuerdas que pasa por el centro de la

circunferencia contiene a los puntos medios de las cuerdas.

Enunciado de problema empírico. Las dos cuerdas paralelas de una circunferencia

miden 12 y 16 cm. La distancia entre ellas es 2 cm. Calcula el radio de la circunferencia.

Figura 1. Ejemplos de enunciados de problemas clásico y empírico

El uso de problemas empíricos en las etapas educativas es actualmente

predominante en el estudio de la Geometría. Esta tendencia se justificaría entre otras

razones por la motivación que aporta este tipo de problemas geométricos; el uso que

hacen de ellos los libros de texto en la educación Secundaria; la formación recibida por

los graduados de carreras técnicas (ingenieros y arquitectos) en los primeros cursos.

2.3. Sobre los procesos de resolución

En cuanto al proceso de resolución, la resolución de los problemas clásicos se apoya

en la capacidad de coordinar conocimiento geométrico, para realizar conjeturas que

desemboquen en la solución del problema (demostración matemática). Mientras que en

los problemas empíricos, el proceso de resolución no conlleva la resolución de

cuestiones generales, sino que se estudia una situación geométrica específica y se

calcula un dato concreto de ella. Por otra parte, el registro geométrico para comunicar

una demostración, de un problema clásico de probar en Geometría, no contempla el uso

del registro algebraico (ecuaciones/sistemas de ecuaciones), mientras que la solución a

los problemas empíricos se apoya en la posibilidad de usar este registro. Esta situación

nos ha llevado a intentar avanzar en la comprensión de la coordinación de los procesos

cognitivos de los alumnos (realizando AO y AD) en la resolución de problemas

empíricos.

2.4. Ejemplo de análisis de la resolución de un problema clásico de geometría

de probar según el modelo RC

Dado el problema clásico de geometría de probar que aparece en la Figura 1,

analizaremos una resolución según RC:

Problema 1. Dadas dos cuerdas paralelas de una circunferencia, demostrar que la

recta perpendicular a las cuerdas que pasa por el centro de la circunferencia contiene

a los puntos medios de las cuerdas.

Solución. Realizamos la construcción de una circunferencia de centro O y

representamos dos cuerdas paralelas AB y CD (Figura 2). Trazamos los segmentos OA

y OB y la recta perpendicular a AB que pasa por O, llamando P al punto de intersección.



Figura 2. Una solución al problema 1 clásico de geometría de probar

Análisis de la solución desde el modelo RC

En primer lugar, se representa la situación geométrica descrita en el enunciado

mediante la construcción de una circunferencia de centro O. Esta acción supone una

AD (recordar la definición de circunferencia) y asociarle la configuración de puntos del

plano que equidistan de un punto que llamamos centro (lo que supone una AO).

Del mismo modo, se realiza una AD con la definición de cuerda. Cuando esta se

asocia con el segmento AB o el CD identificados, estamos ante una AO. A continuación

se traza la recta perpendicular a la cuerda AB que pasa por O, lo que constituye una AO

pues añadimos un elemento geométrico a la configuración inicial de circunferencia y

cuerdas, cuya definición constituye una AD. Análogamente ocurre con los radios, AD

(definición de radio de una circunferencia) que asociamos a los segmentos identificados

OA u OB, que trazamos realizando una AO. Llamamos P al punto de corte de AB con

la recta OP. Todas estas acciones, salvo el trazado de los radios OA y OB, corresponden

a la realización de una representación de la situación geométrica descrita por el

enunciado.

Seguidamente se identifican los dos triángulos ∆AOP y ∆BOP, mediante una AO,

ya que se prescinde del resto de la configuración, y se asocia con el criterio de

congruencia cateto-hipotenusa mediante una AD. Las condiciones a verificar para

aplicar el criterio cateto-hipotenusa corresponden a 1, 2 y 3 de la respuesta escrita. En

cada condición se observa una AO (identificación de una subconfiguración) asociada a

una propiedad/afirmación matemática que constituye la AD.

En 4 se establece la conclusión de que los triángulos rectángulos son congruentes.

Por definición de triángulos congruentes (AD) identificamos como congruentes a los

segmentos correspondientes AP y BP (AO). De lo que se deduce que P es punto medio

de la cuerda AB. Análogamente se procedería con el punto medio de la cuerda CD. Esta

es una respuesta que un experto podría dar al problema de probar planteado y que ha

sido usada para describir el análisis de una resolución desde el modelo RC. En esta

resolución, el truncamiento se produce cuando el resolutor traza los radios OA y OB,

ya que en ese momento sabe la solución que busca.

2.5. Problemática del análisis de la respuesta a un problema empírico según el

modelo RC

Dado el problema empírico de la Figura 1, presentamos el análisis de una solución

según RC.

G. Torregrosa


Problema 2. Las dos cuerdas paralelas de una circunferencia de la figura miden

12 y 16 cm. La distancia entre ellas es de 2 cm. Calcula el radio de la circunferencia.

Solución. Trazamos la circunferencia de centro O y las dos cuerdas AB de 12 cm

de longitud y la CD de 16 cm. La distancia entre ellas es de 2 cm. Construyo el segmento

OP perpendicular a AB en P (punto medio de la cuerda AB, por lo que sabemos que

pasará por el centro de la circunferencia) y trazo los radios OB y OD. Llamo Q al punto

de intersección de OP con la cuerda CD (Q también es punto medio de CD, por ser OP

una perpendicular a la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia).

Figura 3. Solución al problema 2 empírico

Análisis de la solución al problema 2 desde el modelo RC

Al igual que en el problema 1, comenzamos representando la situación geométrica

del enunciado mediante la construcción de una circunferencia de centro O. Esta acción

supone una AD (recordar definición de circunferencia) y asociarle la configuración de

puntos del plano que equidistan de un punto que llamamos centro (lo que constituye

una AO). Del mismo modo, se realiza una AD con la definición de cuerda y cuando se

asocia esta con el segmento AB o el CD identificados, estamos realizando una AO. A

continuación se traza la recta perpendicular a la cuerda AB que pasa por O, lo que

constituye una AO, pues añadimos un elemento geométrico a la configuración inicial

de circunferencia y cuerdas, y asociamos la definición, lo que constituye una AD.

Análogamente ocurre con los radios, AD (definición de radio de circunferencia) que

asociamos a los segmentos OA y OB y trazamos realizando una AO. Llamamos P al

punto de corte de AB con la perpendicular que pasa por O, y Q al punto de corte con la

cuerda CD, lo que equivale a aislar, en cada caso, un punto (realizando una AO) al que

asociamos la propiedad de ser punto medio de sus respectivas cuerdas (realizamos una

AD al vincular la subconfiguración con el conocimiento geométrico “la recta

perpendicular en el punto medio de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia”).

Igualmente, trazamos los segmentos OB y OD (AO) y los asociamos a la definición de

radio (AD).

Seguidamente, identificamos el segmento OP (realizando una AO) y le asignamos

una medida que llamamos x. Esta acción no tiene significado teórico en el modelo RC

puesto que no asociamos el segmento con ninguna propiedad/definición/teorema y, por

tanto, no realizamos una AD, en el sentido definido en el modelo. Esto mismo ocurre

cuando, en la representación geométrica particular del problema, hemos afirmado que

P y Q distan, respectivamente de B y de D, 6 y 8 cm. También identificamos puntos

(AO) pero no asociamos con propiedad/definición/teorema, sino con una medida.

Además, en 1 y 2 en el proceso de resolución (Figura 3) consideramos los triángulos

∆OPB y ∆OQD, realizando en cada caso una AO, y les asociamos la propiedad de ser

rectángulos mediante una AD, pero aparecen dos ecuaciones cuyo significado no se



contempla en el modelo RC; esto es, aparece el registro algebraico. En 3, 4 y 5,

realizamos unas manipulaciones simbólicas de las ecuaciones que, teniendo sentido en

el registro algebraico (tratamiento) puesto que estamos resolviendo el sistema de dos

ecuaciones con dos incógnitas, carece de interpretación dentro del modelo RC.

El modelo RC (Torregrosa & Quesada, 2007; Torregrosa et al., 2010), para analizar

las respuestas a los problemas clásicos de probar en geometría, no permite analizar

completamente los procesos de resolución en los problemas empíricos. En el enunciado

no se dan hipótesis consistentes en propiedades geométricas (dadas dos cuerdas

paralelas de una circunferencia), sino datos numéricos o literales concretos (las dos

cuerdas paralelas miden 12 y 16 cm). Esto implica que las AD (asociaciones de

configuraciones puntuales a afirmaciones matemáticas) que el modelo exige identificar

no siguen el mismo proceso. Por otra parte, durante la resolución de los problemas

empíricos, aparece el registro algebraico para convertir enunciado y datos en

expresiones algebraicas. El tratamiento necesario para la solución no se contempla en

el modelo RC inicial.

3. Extensión del modelo RC

La extensión del modelo RC al análisis de los problemas empíricos consiste en

considerar que en las AD, dentro del significado de afirmación matemática que incluía

a teoremas, axiomas, definiciones, propiedades,… también se incluyan las condiciones

iniciales (hipótesis) de los problemas empíricos, expresados como datos numéricos o

literales (7 cm; x cm). Además, tenemos en cuenta el registro en el que se representa el

discurso generado durante la resolución del problema. Debemos considerar, junto al

registro geométrico, el registro algebraico dentro de un contexto geométrico. Esta

inclusión del registro algebraico en el modelo se justifica, desde el punto de vista

cognitivo, mediante el significado del concepto de conversión entre registros de

representación (Duval, 1999). Es decir, los estudiantes convierten un problema

representado en registro geométrico en unas condiciones representadas en registro

algebraico. De la misma forma, cuando los estudiantes generan el discurso para la

resolución del problema planteado mediante registro algebraico (resuelven las

ecuaciones planteadas) están realizando un tratamiento dentro del mismo registro

algebraico.

Por tanto, la extensión del modelo teórico RC consiste, en primer lugar en la

ampliación del significado que damos a la expresión afirmación matemática,

considerando como tal a cada uno de los datos numéricos o literales en los problemas

empíricos. En segundo lugar, RC extendido considera el uso del registro algebraico en

la solución de los problemas, en los dos procesos señalados: uso del registro algebraico

como proceso de conversión entre registros distintos, y uso del registro algebraico como

proceso de tratamiento, dentro de un registro, para resolver sistemas de ecuaciones.

Con estas ampliaciones, es posible identificar los tres tipos de desenlaces:

truncamiento y conjetura sin demostración, cuando el proceso desemboca en solución

al problema planteado; bucle, cuando el alumno vuelve a la situación de partida una o

varias veces, entrando en una trayectoria de bloqueo. Para evidenciar la necesidad de la

ampliación del modelo RC, realizamos el análisis de la respuesta de una alumna a un

problema empírico (Figura 4). Indicamos los momentos del proceso de resolución en

los que son necesarias las ampliaciones de los elementos teóricos del modelo

configural.

G. Torregrosa


Problema 3. Dos círculos son tangentes interiores como se

muestra en la figura. Calcula los radios de ambos círculos.

Figura 4. Problema empírico 3

Este problema muestra una situación geométrica particular (“como se muestra en

la figura”) de dos circunferencias tangentes interiores y pide la medida de un elemento

geométrico de dicha situación (“el radio de cada círculo”). Se añaden las medidas de

tres segmentos particulares como datos. Por tanto, no se hace mención a propiedades

geométricas genéricas y se solicita el cálculo de las medidas de dos segmentos. Se

presenta en la Figura 5 la transcripción de la respuesta de la alumna 1:

Figura 5. Transcripción de la respuesta de la alumna 1 al problema 3

Análisis de la respuesta desde el modelo RC

La alumna, en 1, plantea una igualdad entre dos expresiones de la medida del radio

del círculo mayor según las incógnitas que usa en la configuración inicial (coloco letras

para poder formar ecuaciones). El símbolo se lee “por tanto”. Seguidamente, en 2,

llama R1 al radio del círculo mayor y R2 al radio del círculo menor que expresa en

función de x, calculándolos a partir de la definición de radio como mitad del diámetro

(aunque no lo cita). Hasta este momento, la alumna está identificando elementos

geométricos de ambos círculos (los radios de ambos) y trata de asociarles su medida.

El hecho de identificar elementos geométricos se puede interpretar desde RC como

realización de aprehensiones operativas puesto que prescinde del resto de la

configuración inicial. Sin embargo la asociación de una medida a un elemento

geométrico no equivale a la asociación con una afirmación matemática, es decir: no es

lo mismo que asociar un teorema, un axioma, una definición, una propiedad. El modelo

RC que usamos para realizar el análisis de las soluciones a los problemas clásicos de

probar en Geometría no contempla esta acción cognitiva de asociar una medida a un

elemento geométrico. En 3, la alumna usa una propiedad de las cuerdas junto a una

ecuación, sin relación directa con lo anterior, que resuelve el problema. Esta propiedad



está vinculada a la identificación de la sub-configuración (parte de la configuración

inicial) de la Figura 6:

Figura 6. Subconfiguración relevante identificada

Esta identificación constituye una AO, para asociar a la subconfiguración de la

Figura 5 la propiedad de las cuerdas: “Si P es un punto en el plano y se fija una

circunferencia con centro O, entonces para toda recta que pase por P y corte a la

circunferencia en dos puntos A, B, se cumplirá que PA x PB es constante”. El valor de

dicha constante se denomina potencia del punto P respecto de la circunferencia de

centro O. La asociación entre subconfiguración y afirmación matemática es una AD

que permite realizar una conversión entre registro gráfico y algebraico (propiedad de

las cuerdas en forma de relación algebraica). En 4, la alumna realiza un tratamiento

dentro del registro algebraico (resuelve las ecuaciones) y da la solución al problema

(acción no contemplada en el modelo RC). El desenlace de RC es la solución al

problema propuesto. En 3, la alumna realiza un truncamiento; cuando escribe la

expresión algebraica realizando la conversión de la propiedad de las cuerdas ya conoce

el camino para la resolución al problema (RC desemboca en truncamiento). Solo tenía

que resolver las ecuaciones planteadas.

En el relato del análisis se mezclan conceptos en el modelo RC (AO y AD,

coordinación entre ambas, cambios de anclaje) con la aparición de ecuaciones (en

registro algebraico), algunas vinculadas a afirmaciones matemáticas genéricas

(propiedad de las cuerdas) y otras a la configuración que acompaña el enunciado del

problema (medidas 10 y 18 de la configuración inicial, x+18 = y+10). El rol

desempeñado por ambos tipos de ecuación en el proceso de resolución del problema es

distinto. Las ecuaciones no vinculadas a afirmaciones matemáticas genéricas no son

contempladas en el modelo RC.

4. Análisis con el modelo RC extendido

4.1. Ejemplo alumna 2

La Figura 7 muestra la respuesta de la alumna 2 al problema empírico 3. Se ve una

solución que usa afirmaciones geométricas (teorema de Pitágoras) y su conversión en

registro algebraico y complementa con relaciones algebraicas (ecuaciones) entre las

medidas de los diámetros y radios de ambas circunferencias. Una vez establecidas las

ecuaciones resuelve el sistema y logra la solución.

G. Torregrosa


Figura 7. Transcripción de la respuesta de la alumna 2 al problema 3

Análisis de la respuesta desde el modelo RC extendido

1- Identifica los diámetros de ambas circunferencias realizando una AO y

les asocia sus medidas (2r y 2R) mediante una AD.

2- Relaciona ambos segmentos según los datos del problema y expresa la

relación en registro algebraico, realizando una conversión pasando del registro

gráfico al registro algebraico, 2r+18=2R. Posteriormente simplifica la relación

mediante tratamiento obteniendo r+9=R

3- Identifica el triángulo (AO) cuyos lados miden x, 9, r (AD). Identifica el

triángulo (AO), asumiendo sin demostración que es rectángulo, y le asocia el

teorema de Pitágoras (AD). Expresa la relación dada por el teorema de Pitágoras

en registro algebraico.

4- Asocia dos expresiones literales x+10 y R (AD) al segmento

identificado, el radio mayor (AO). Expresa la identidad en registro algebraico y

realiza un tratamiento. Indica el paso siguiente: 3 en 2 en la continuación del

tratamiento.

5- Sustituye y resuelve el problema.

El proceso de resolución desemboca en una solución de conjetura sin demostración

al aceptar sin demostrar que el triángulo identificado es rectángulo. El uso del modelo

RC extendido da cuenta de las coordinaciones cognitivas entre registro geométrico y

algebraico al incorporar las ideas del tratamiento y conversión entre registros.

4.2. Ejemplo alumno 3



La Figura 8 muestra la respuesta del alumno 3 al problema 3, siendo en este caso

una solución totalmente expresada en registro algebraico. Aquí el alumno parte de la

definición de la tangente trigonométrica de un ángulo y plantea varias expresiones para

un mismo ángulo. Realiza el tratamiento adecuado en el registro algebraico y resuelve.

Figura 8. Transcripción de la respuesta del alumno 3 al problema 3

Análisis de la respuesta desde el modelo RC extendido

1. En la figura del enunciado, el alumno identifica tres triángulos

rectángulos con ángulos rectos marcados en color (AO). Marca los ángulos

agudos de cada triángulo en ^1 y ^2. Estas acciones se corresponden a AO

(identificación de subconfiguraciones) y AD al asociarles sus valores ^1, ^2.

2. También realiza una AD cuando asocia el valor de 90 a la medida del

ángulo ^1+^2. Igualmente, realiza una AO cuando identifica un ángulo inscrito

que abarca una semicircunferencia y le asocia su medida 90º.

3. Identifica el radio del círculo grande (AO) y le asocia su valor R (AD).

El alumno no ha demostrado que los diámetros se cortan formando ángulos rectos.

Por ese motivo, al igual que en el ejemplo anterior, se considera que hay un desenlace

del RC de conjetura sin demostración. Identifica segmentos que forman parte del radio

del círculo grande y le asocia sus medidas, de acuerdo con los datos del problema (R,

R-10 y R-18). Todas estas identificaciones y asociaciones son acciones coordinadas

entre AO (al aislar parte de la subconfiguración y expresarla en registro algebraico) y

AD (al asociar las medidas). En 1 y 2, aparece la expresión de la tangente del ángulo

^1 en forma de dos cocientes, a partir de identificar la subconfiguración de la Figura 9.

G. Torregrosa


Figura 9. Subconfiguración relevante del problema 3 para el alumno 3

A partir de la identificación de las subconfiguraciones: triángulos AOC y COB (lo

que constituyen dos AO) el alumno asocia la definición de la tangente trigonométrica

del mismo ángulo en dos triángulos distintos (lo que constituye en cada asociación una

AD). En el momento en que el alumno identifica el mismo ángulo en ambos triángulos

se produce truncamiento (aunque cabe considerar este desenlace como conjetura sin

demostración por aceptar, sin demostrarlo, que los diámetros son perpendiculares). El

alumno ya sabe cómo resolver el problema. A partir del punto 3 y hasta el final,

mediante el tratamiento adecuado dentro del registro algebraico (resolviendo el sistema

de ecuaciones), el alumno encuentra la solución. Esta solución utiliza solamente

registro algebraico en su presentación en lenguaje escrito. Ni siquiera ha dado la

definición de la tangente trigonométrica de un ángulo como “cateto opuesto partido por

cateto adyacente”. Se ha limitado a representar la situación particular del problema en

lenguaje algebraico para hallar las relaciones (ecuaciones) que necesitaba para llegar a

la solución.

5. Discusión y conclusiones

Con este trabajo se indica la pertinencia de ampliar el modelo RC, usado en el

análisis de la resolución de problemas de probar de geometria clásicos, en un contexto

de lápiz y papel, cuando se resuelven problemas empíricos. Se han analizado tres

soluciones a un problema empírico, correspondientes a tres estrategias de resolución.

Una en la que la alumna 1 utiliza una propiedad geométrica general (propiedad de las

cuerdas), que convierte al registro algebraico y que complementa con una relación

algebraica, a partir de la situación particular de la figura (igualdad entre dos expresiones

del radio mayor) para hallar la solución. Esta solución ha servido para introducir la

necesidad del modelo RC extendido. La resolución se podría considerar que constituye

un razonamiento geométrico general en registro algebraico. En la segunda resolución,

la alumna 2 busca una relación entre los radios de ambas circunferencias, que le lleva a

establecer una ecuación (que expresa la relación entre radios) y que complementa con

una propiedad genérica (teorema de Pitágoras). En esta solución hay una mezcla de

razonamientos y registros algebraico y geométrico. En la tercera, el alumno 3 expresa

de dos formas la tangente trigonométrica del mismo ángulo, que no define, obteniendo

una ecuación con una incógnita que resuelve el problema, con una solución en registro

algebraico.

Los ejemplos descritos muestran el potencial explicatorio del modelo RC

extendido, cuando se usa para el análisis de la resolución de los problemas empíricos.

Con el modelo extendido podemos analizar las respuestas de los alumnos a problemas

empíricos y así avanzar en el estudio de características del razonamiento de los alumnos

cuando resuelven problemas de probar y calcular en contexto geométrico, con lápiz y

papel, tanto si usan un registro solo geométrico como si introducen en su discurso el

registro algebraico.

Todas las respuestas analizadas suponen cierta la perpendicularidad entre los

diámetros de la circunferencia mayor pues la utilizan, aunque sea implícitamente, para

resolver el problema, pero no la explicitan. Este es un problema recurrente en

geometría. A veces utilizamos enunciados con figuras “mudas” (sin ninguna marca) y

decimos simplemente, como en nuestro problema: Dos círculos son tangentes

interiores como se muestra en la figura. Esta forma de proceder no es coherente con



la exigencia a los alumnos de que no deben basar sus conjeturas en lo que parece que

se cumple en la configuración inicial que acompaña a los enunciados. Esta reflexión

implica que deberíamos restringir el uso de las figuras mudas en el enunciado de los

problemas. Tal vez, el hecho de no incluir la hipótesis de la perpendicularidad de los

diámetros del círculo mayor ha propiciado la aparición de varias soluciones,

evidenciando que es muy complicado estudiar los procesos desarrollados por los

alumnos durante la resolución de un problema a través de un contenido fijado a priori,

como por ejemplo “conocimiento susceptible de ser utilizado” (Clemente & Llinares,

2015).

Con los problemas empíricos ampliamos los objetivos de nuestra investigación.

Desde el registro geométrico, que necesita conocimiento de afirmaciones matemáticas

y capacidad de coordinación para relacionarlas y generar luego un discurso expresado

según las normas del razonamiento deductivo, pasamos a considerar estrategias de

resolución que están expresadas en una combinación de registros geométricos-

algebraicos. Una característica de los problemas empíricos es el registro algebraico, que

es un lenguaje potente. Aunque precisa conocimiento matemático igual que el registro

geométrico, el rol desempeñado por la coordinación entre hechos geométricos pierde

relevancia. Cuando el alumno es capaz de expresar (representar) la situación geométrica

del problema en forma de ecuaciones (registro algebraico), estas se resuelven de manera

“algorítmica”, simplificándose la tarea de elaborar un discurso deductivo al responder

a la característica del propio problema (“Calcular”). Se precisan investigaciones de

largo periodo de observación para evidenciar analogías/diferencias, si las hay, entre el

razonamiento de los alumnos en diferentes tipos de problemas por causa de la

formación recibida, según haya predominado el registro geométrico o el algebraico.

La solución del problema que hemos presentado se desencadena a partir de la

identificación de una subconfiguración relevante, aunque el desencadenante no

funcione desde el anclaje visual al discursivo (Clemente, Llinares & Torregrosa, 2017).

Hay evidencias que sugieren que el conocimiento teórico de los alumnos les hace

“buscar” la subconfiguración que se ajuste a dicho conocimiento teórico (Llinares &

Clemente, 2014). Sin embargo, son necesarios más trabajos de investigación para

explicar el cambio de anclaje (Duval, 1998). La identificación de características que

explicasen cómo realizan los alumnos los cambios de anclaje tendría implicaciones en

la enseñanza de las matemáticas en general y de la geometría en particular: identificar

cómo los estudiantes realizan la asociación entre lo que identifica en una configuración

inicial y las afirmaciones matemáticas que conoce. En otras palabras: por qué hay

estudiantes que resuelven los problemas, generalmente, con cambio de anclaje de visual

a discursivo y otros que realizan la asociación en sentido contrario: de discursivo a

visual.

Referencias

Balacheff, N. (2008). The role of the researcher’s epistemology in mathematics

education: an essay on the case of proof. ZDM, 40, 501-512.

Clemente, F., & Llinares, S. (2015). Formas del discurso y razonamiento configural de

estudiantes para maestro en la resolución de problemas de Geometría. Enseñanza

de las Ciencias, 33(1), 9-27.

G. Torregrosa


Clemente, F., Llinares, S., & Torregrosa, G. (2017). Visualización y razonamiento

configural. BOLEMA, 31(57), 497-516.

Duval, R. (1995). Geometrical Pictures: kinds of representation and specific processing.

En R. Sutherland & J. Mason (Eds.), Exploiting Mental Imagery with Computers

in Mathematics Education (pp. 142-157). Berlín: Springer.

Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive Point of view. En C. Mammana & V.

Villani (Eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. An

ICMI Study (pp. 37-52). Dordrecht: Kluwer.

Duval, R. (1999). Semiosis y pensamiento humano. Cali, Colombia: Univalle.

Fiallo, J., & Gutiérrez, A. (2017). Analysis of the cognitive unity or rupture between

conjecture and proof when learning to prove on a grade 10 trigonometry course.

Educational Studies in Mathematics, 96(2), 145-167.

Hanna, G., & Jahnke, N. (1996). Proof and proving. En A. J. Bishop, K. Clements, C.

Keitel, J. Kilpatrick & C. Laborde (Eds.), International Handbook of mathematics

education (pp. 877-908). Dordrecht: Kluwer.

Harel, G., & Sowder, L. (1998). Students' proof schemes: results from exploratory

studies. En E. Dubinsky, A. Schoenfeld & J. Kaput (Eds.), Research on Collegiate

Mathematics Education III (pp. 234-283). Providence: AMS.

Hilbert, T., Renkl, A., Kessler, S., & Reiss, K. (2008). Learning to prove in geometry:

learning from heuristic examples and how it can be supported. Learning and

Instruction, 18, 54-65.

Ibañes, M. (2002). Cuatro cuestiones en torno al aprendizaje de la demostración. En M.

F. Moreno, F. Gil, M. Socas, J. D. Godino (Eds.), Investigación en Educación

Matemática V (pp. 11-26). Almería: Universidad de Almería.

Ibañes, M., & Ortega, T. (2005). Dimensiones de la demostración matemática en

bachillerato. Números, 61, 19-40.

Komatsu, K. (2016). A framework for proofs and refutations in school mathematics:

Increasing content by deductive guessing. Educational Studies in Mathematics,

92(2), 147-162.

Llinares, S., & Clemente, F. (2014). Characteristics of pre-service primary school

teachers’ configural reasoning. Mathematical Thinking and Learning, 16(3), 234-

250.

Miyazaki, M., Fujita, T., & Jones, K. (2017). Students’ understanding of the structure

of deductive proof. Educational Studies in Mathematics, 94(2), 223-239

Prior, J. y Torregrosa, G. (2013). Razonamiento Configural y procedimientos de

verificación en contexto geométrico. Revista Latinoamericana de Investigación en

Matemática Educativa, 16(3), 339-368.

Reiss, K.M., Heinze, A., Renkl, A., & Groß, C. (2008). Reasoning and proof in

geometry: Effects of a learning environment based on heuristic worked-out

examples. ZDM, 40(3), 455-467.

Robotti, E. (2012). Natural language as a tool for analyzing the proving process: the

case of plane geometry proof. Educational Studies in Mathematics, 80(3), 433-450.



Torregrosa, G. (2013). Razonamiento configural y enseñanza de la geometría. UNO.

Revista de Didáctica de la Matemática, 62, 49-56.

Torregrosa, G., & Quesada, H. (2007). Coordinación de procesos cognitivos en

Geometría. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática

Educativa,10(2), 275-300.

Torregrosa, G.; Quesada, H., & Penalva, M.C. (2010). Razonamiento configural como

coordinación de procesos Visualización. Enseñanza de las Ciencias,28(3), 327-

340.

Zazkis, R., & Dubinsky, E. (1996). Dihedral groups: a tale of two interpretations.

CBMS. Issues in Mathematics Education, 6, 61-82.

Zazkis, R., Dubinsky, E., & Dautermann, J. (1996). Coordinating visual and analytical

estrategies. A Study of students’ understanding of the group D4. Journal for

Research in Mathematics Education, 27(4), 435-457.

Referencia al autor

Germán Torregrosa, Universidad de Alicante (España) [email protected]

mailto:[email protected]

G. Torregrosa


Coordination of cognitive processes in problem solving:

relationship between geometry and algebra.

Germán Torregrosa, Universidad de Alicante (Spain)

The study of the characteristics of students’ reasoning when they solve problems

of geometry with pencil and paper has led us to elaborate a theoretical model called

Configural Reasoning (CR). CR implies that students develop a coordinated action

between Operative and Discursive Apprehensions, associating mathematical

affirmations and/or making modifications in the initial configuration when they are

solving a geometry problem with pencil and paper.

From a cognitive standpoint, the CR model explains the development of the process

followed by students when facing geometrical problems of proof. Nonetheless, the

model does not well cover the analysis of students’ answers in the resolution of

empirical geometrical problems; that is, when students solve problems in which the

initial conditions are not geometric properties but concrete measures (numerical or

literal). Due to the dominance of empirical geometrical problems in secondary

education, the greater relation of these problems with students’ daily life and the greater

motivation involved, it is necessary to investigate new approaches to the CR model in

order to expand the set of problems that can be analyzed.

Extended Configural Reasoning (ECR) is the result of research around such new

approach. This paper presents the extension of the CR model for the analysis of the

resolution of empirical problems of geometry, in which the initial data are numerical or

literal. The extension of the CR model consists of considering that in Discursive

Apprehensions, within the meaning of "mathematical affirmation" including theorems,

axioms, definitions, properties as well as the initial conditions (hypotheses) of empirical

problems, expressed as numerical or literal data. Furthermore, this new model considers

the algebraic register generated in the discourse during the resolution of a problem,

within a geometrical context. This inclusion of the algebraic register in the model draws

on the concepts of conversion and treatment of the Theory of Semiotic Systems by

Duval. After the analysis of several resolutions to an empirical problem with the ECR

model, newer aspects have come to explain the "traditional" behavior of students in

their learning of Geometry. For future research, we could consider the use of "silent"

figures. We could also change our focus to incorporate the analysis of resolution

strategies expressed through hybrid geometrical-algebraic registers.

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