Coordenadas rectangulares y la línea recta

2

12

2

12 )()( yyxxd

2

12

2

12 )()( yyxxd

GEOMETRÍA ANALÍTICA

En 1673 el matemático y filósofo francés Rene Descartes estableció un punto de partida en el campo de la Matemática cuando publicó su libro La Geométrie. En él mostró lo poderosa que sería la herramienta

del Algebra para simplificar la Geometría, es decir, estableció una relación entre la Geometría y el Álgebra. Mediante esta relación, pudo estudiar las figuras geométricas, examinando las diversas

ecuaciones que las representaban. Al mismo tiempo se usaron las propiedades geométricas para estudiar las ecuaciones algebraicas. El estudio de problemas geométricos desde un punto de vista algebraico recibe el nombre de Geometría Analítica.

EL SISTEMA COORDENADO RECTANGULAR

EL PLANO CARTESIANO.- El sistema coordenado-rectangular o Plano Cartesiano, está compuesto

por dos rectas dirigidas 0X y 0Y llamadas ejes de coordenadas, perpendiculares entre sí. La recta 0X se denomina eje "x”, o eje de las abscisas en tanto 0Y es el eje "y" o eje de las ordenadas. Estas rectas se

intersecan en el punto 0, que es el origen de coordenadas.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Consideremos en el Plano Cartesiano, los puntos P1 de coordenadas (x1,y1) y P2 de coordenadas (x2, y2). De acuerdo al gráfico, d es la distancia, P1P2 .Trazando perpendiculares a los ejes coordenados formemos un triángulo rectángulo P1DP2, cuya hipotenusa es d y sus catetos (x2 – x1) y (y2 – y1).

Entonces, por el Teorema de Pitágoras d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Eliminemos la potencia:

Mgs. Mario Suárez 2

rBB

BB

AA

AA

PP

PP

2

1

2

1

2

1

xx

xxr

2

1

r

rxxx

121

r

ryyy

121

221 yy

y

2

21 xxx

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA.

En la construcción gráfica, observemos paralelas cortadas por dos secantes. Por el axioma de Thales se

cumple que:

Como A1= x –x1 y A2 = x2 - x entonces:

De donde despejando rx2 - rx = x – x1 y factorando x(1+ r) = x1 + rx2 y finalmente despejando x se

obtiene:

Como B1B = y - y1 y BB2= y2 – y, con igual procedimiento se demuestra también que.

Cuando P (x,y) es punto medio se aplica :

ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE UNA RECTA

Se llama ángulo inclinación de una recta a la abertura formada por la parte positiva del eje “x” y la recta, cuando ésta se encuentra dirigida hacia arriba.

En la gráfica, P1(x1, y1) y P2 (x2,y2) son dos puntos extremos y P (x , y) un punto que divide

a los segmentos P1 P2 de acuerdo a una razón:

2

1

PP

PPr

Demostraremos que las expresiones para calcular las coordenadas de p son.

r

ryyy

r

rxxx

1;

1

2121


12

12

xx

yym

Para calcular el ángulo de inclinación de una recta, es necesario definir la pendiente de una recta.

PENDIENTE DE LA RECTA

Se denomina pendiente o coeficiente angular de la recta, a la tangente de su ángulo de inclinación.

Por Trigonometría tan α = BP

BP

1

2 y como P2 B = y2 - y 1 y P1 B = x2 - x1

Por lo que reemplazando, 12

12tanxx

yy

Por lo que el valor de la pendiente de una recta se calcula por la ecuación:

Si es obtuso el valor de la pendiente será negativo y si es agudo el valor de la pendiente será

positivo.

Ángulo entre dos rectas

Consideremos en el plano, la recta L y los puntos en la misma.

P1(x1 , y 1) y P2 (x2 , y2).

Tracemos una paralela al eje x desde P1 y otra

paralela al eje y desde P2 y formemos el triángulo

rectángulo P1BP2.

Consideramos en la gráfica las rectas y 2 que

se cortan y forman un ángulo β de intersección.

El ángulo β esta medido positivamente, de acuerdo a las flechas curvadas y según el sentido

contrario a las manecillas del reloj por lo que

es el lado inicial y 2 lado final.

α1 y α2 son los ángulos de inclinación de y respectivamente.

1 2

1

1


B 12 12

21

12

1tan

mm

mm

Por un teorema de la Geometría Elemental, un ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de sus

ángulos interiores no contiguos; entonces, en le triángulo ABC se cumple: despejando tenemos

Apliquemos la función trigonometría tangente a ambos miembros de la igualdad:

Tanβ = Tan(1 -

1 )

Apliquemos la fórmula trigonométrica tangente de la diferencia de ángulos.

tan β= 22

12

tantan1

)tan(

g

Pero como m2 = tanα2 y m1 = tan1 se obtiene.

Conociendo la función trigonométrica, se aplica tan-1 β para conocer el valor del ángulo.

Si dos rectas no se cortan en ningún punto del plano, significa que son paralelas; la tangente de ese ángulo es tanβ= 0, por consiguiente.

m1= m2

Si las rectas son perpendiculares la tangente no está definida, no existe o es infinita; el denominador de la fracción debe ser igual a 0, entonces.

m1. m2= - 1

EJERCICIOS DE REFUERZO

1) Demostrar que los puntos (-2,-1), (2,2) y (5,-2) son los vértices de un triángulo isósceles.

2) Demostrar que los puntos (12,9); (-3,1) ; (5,-14) y (20,-6) son los vértices de un rectángulo equilátero.

3) Demostrar mediante que los puntos dados son vértices de un triángulo rectángulo. 3.1) (3,4), (-2,-1), (3,-1) 3.2) (-6,-4) (3,5) (10,-2)

4) Hallar las coordenadas del punto P que equidista de los puntos fijos:

4.1) (3,3), (6,2), (8,2) R: (7,10) 4.2) (4,3), (2,7), (-3,-8) R: (-5,1)

5) Demostrar que los siguientes puntos son colineales 5.1) (-2,3), (-6,1), (-10,-1) 5.2) (1,3), (-2,-3), (3,7)

6) Si la distancia del punto (x,-2) al (-1,2) es 5. Hallar x

R: x=2 o x = -4


7) Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto (3,-2). Si la abscisa del otro

extremo es 6. Hallar su ordenada. R: y = -6 , y = 2

8) Hallar el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos (-2,3) y (6,-3) R: (2,0)

9) Los vértices de un triángulo son A(-1,3); B(3,5); C(7,-1). Si D es el punto medio del lado AB y E es el punto medio del lado BC, demostrar que la longitud DE es la mitad de la longitud de AC.

10) Uno de los extremos de un segmento es (7,8) y su punto medio es (4,3). Hallar el otro extremo.

R (1,-2) 11) Los puntos medios de los lados de un triángulo son los puntos (2,5), (4,2) y (1,1). Hallar las

coordenadas los tres vértices. R: (-1,4),(5,6), (3,-2)

12) Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3,2). La abscisa del otro punto es 4. Hallar la ordenada.

R: y = 5

13) Una recta pasa por los puntos (-2,-3) y (4,1). Si un punto de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es

su ordenada?.

R: y = 5

14) Dos rectas se cortan formando un ángulo de 450, una pasa por los puntos (-2,1) y (9,7) considerándola

inicial y la otra por los puntos (3,9) y (-2,y). Hallar y.

R: y = -8

15) Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos.

15.1) (-2,1);(3,4);(5,-2) R: 54,160; 77,470 ; 48,370

15.2) (4,2) ; (0,1) (6,-1) R: 109,6540 ; 32,470 ; 37,870


LA LÍNEA RECTA

DEFINICIÓN.- Analíticamente la línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados de

dos en dos ),( 111 yxP y ),( 222 yxP , el valor de la pendiente es constante en cualquier par de puntos de la recta

21

12

12 ; xxKxx

yym

Una recta queda completamente determinada si

1) Se conoce su pendiente y un punto de ella

2) Se conocen dos puntos de ella.

ECUACIÓN DE LA RECTA

1) Dada la pendiente (o dirección) y un punto de la misma

Observando la gráfica, la recta tiene pendiente m y pasa por el punto ),( 111 yxP .La pendiente de la

recta se calcula, como estudiamos anteriormente.

1

1tanxx

yym

eliminando denominadores en la ecuación

tenemos:

y – y1 = m( x - x1 )

que es la ecuación de la recta de pendiente m y que pasa

por el punto P(x,y)

2) Dados dos puntos de la recta

Observamos el gráfico y calculemos su pendiente.

12

12

xx

yym

Remplacemos este valor en la ecuación

de la recta:

)( 1

12

12

1 xxxx

yyyy

y despejando 12

12

1

1

xx

yy

xx

yy


3) Ecuación de la recta dada la pendiente y la ordenada en el origen

Observamos la grafica:

Utilizando la ecuación de la

recta con los puntos

P (x , y) y P(0, b) se obtiene:

y – b = m (x - 0)

y – b = mx

y = mx + b , en donde m = pendiente y b = ordenada en el origen.

4) Ecuación simétrica de la recta.

Se utiliza cuando se conocen las

intersecciones de la recta con

los ejes coordenados

Empleando la ecuación de la recta

dados dos puntos en el gráfico

se obtiene:

xa

bby

xa

bby

)0(

0

0

bxabay → abaybx

Dividiendo cada término de la ecuación para ab, tenemos:

ab

ab

ab

ay

ab

bx 1

b

y

a

x ; siempre que a y b =0


5) Ecuación general de la recta

Todas las ecuaciones anteriores son de la forma Ax + By + C = 0

Despejando y tenemos:

B

Cx

B

Ay

Comparando con la ecuación y = mx + b , tenemos:

B

Am (pendiente)

B

Cb ( ordenada en el origen)

EJERCICIOS

1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 5) y tiene pendiente 2 Grafique la ecuación R: 2x –y + 3 =0

2 ) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( -2 , - 3) y (4 , 2). R: 5x – 6y –8 =0

3) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3, 1) y (-5, 4) R: 3x + 8y – 17 =0

4) Hallar la ecuación de la recta en la forma simétrica que pasa por los puntos (-3 , -1 ) y (2 , - 6)

144

:

yxR

5) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-3 , 1) y es paralela a la recta determinada por los puntos (0, -2) y (5, 2) R: 4x – 5y + 17 =0

6) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2 , 3) y es perpendicular a la recta 2x

– y – 2 = 0 R: x + 2y – 4 =0

7) Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (3, 6) y tenga un ángulo de inclinación de 135 °

R: x + y – 9=0

8) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento que une los puntos A (-3, 2) y B(1,6)

R: x + y – 3 = 0


9) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es - 4 y que pasa por el punto de intersección de las rectas

2x + y – 8 = 0 y 3x – 2y + 9= 0 R: 4x + y –10 =0

10) Hallar la ecuación de la recta cuya pendiente es 2/3 y que pasa por el punto de intersección entre las

ecuaciones 2522 yx y x – y = 5

R: 2x – 3y - 10 = 0

2x – 3y – 15 = 0


11) En el triángulo de vértices (-5 , 6 ); (-1 , -4); (3 , 2) hallar:

11.1) las coordenadas del baricentro R: (-1 , 4/3) 11.2) las coordenadas del ortocentro R: (7/4, 3/2) 11.3) las coordenadas del circuncentro R: (-19 /8, 5/4)

12) Hallar el área del triángulo rectángulo formado por los ejes coordenados y la recta cuya ecuación es 5x+4y+20=0

R: 10u2

13) Hallar el valor del parámetro k en la ecuación 2x +3y +k = 0 de forma que dicha recta forme con los

ejes coordenados un triángulo de área 27u2. R: 18

14) Hallar el valor del parámetro k para que la recta de ecuación 2x +3ky -13 = 0 pase por el punto (-2,4).

R: 17/12

15) Hallar el valor de k para que la recta de ecuación 3x –ky -8 = 0 forme un ángulo de 450 con la recta

2x+5y-17=0 R: -9/7 ; 7

16) Determinar el valor k para que la recta k2x + (k+1)y +3 = 0 sea perpendicular a la recta 3x – 2y -11 = 0.

R: 3

71

GRÁFICAS DE OFERTA Y DEMANDA

Gráficas de Demanda


Gráficas de Oferta

Equilibrio de Mercado


1) La función de demanda que corresponde a un bien determinado es 104

yx (supóngase que y

representa el precio y x la cantidad demandada)

a) Trace la gráfica

b) Evalúe la demanda si el precio es 16

x=6 c) Calcule el precio si la cantidad demandada es 7


y =12

d) ¿Cuál es el precio máximo que se pagaría por este artículo? y=40

e) ¿Qué cantidad se demandaría si dicho artículo fuera gratuito?

x=10

2) La función de oferta de un artículo determinado es x = 1,1 y – 0,1 (supóngase que y representa el precio y x la cantidad de oferta)

a) Trace la gráfica

b) Determine el precio si la cantidad ofrecida es 0,8

y = 9

11

c) Calcule la oferta si el precio es 6

x = 6,5

d) ¿Cuál es el precio mínimo al que se ofrecería dicho artículo? y = 0.091

3) Para cada una de las siguientes pares de rectas, trace las gráficas, determine cuál es de demanda y cual

es de oferta, y calcule el precio y la cantidad para el caso de equilibrio de mercado

3.1) 10 2y x y 3

12

y x


10 2y x es de demanda : 3

12

y x es de oferta; Punto de equilibrio (x,y): 18

7x oferta y

34

7y

precio

3.2) x =15-3y y x=2y-3

x =15-3y es de demanda; x=2y-3 es de oferta; Punto de equilibrio (x,y): 21

5x oferta y

18

5y precio

4) Una compañía de autobuses saben que cuando el precio de un viaje de excursión es de $5, 30 personas compran boletos, cuando el precio es de $8, solo se venderán 10 boletos, obtenga la forma de punto y

pendiente de la ecuación que corresponde a la función de demanda y grafique dicha ecuación.

20

3

3010

58

m

3 19

20 2

xy


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.

Considerando en la gráfica la recta ℓ . y el punto P1 (x1,y1). Hagamos pasar

Por el punto un recta ℓ’ paralela a ℓ. La distancia de ℓ al origen es p; la

distancia de ℓ’ al origen es p’. La ecuación de ℓ es xcosw + senw –p=0 La ecuación de ℓ’ es x1 cosw + y1senw – p’ = 0

La distancia entre el punto y la recta es d = p’ - p Despejando p’ de la ecuación de la recta

p’= x1cosw + y1senw

Y reemplazando en la ecuación de distancia d = x1cosw + y1senw – p

Nota: Del análisis de la gráfica se desprende que d es positiva cuando el punto y el origen están en los

lados opuestos de la recta y es negativa cuando están a un mismo lado. Si la recta pasa por el origen, es positivo si el punto está arriba de la recta y negativa si esta por debajo.

Por reducción de la ecuación general de la recta en el segundo miembro de la fórmula de la distancia, tenemos.

22 BA

CByAxd

ÁREA DE UN POLÍGONO.

Para hallar el área, conociendo las coordenadas de los vértices se les escribe verticalmente, repitiendo al

final las coordenadas del primer vértice.



1) Hallar el área de los siguientes polígonos a) (-4,-2), (5,-1), (4,3) y (-3,1) R: 28 u2

b) (3,2), (5,2), (7,4), (4,10) y (1,4) R: 26 u2

2) Hallar mediante 4 formas diferentes el área de los triángulos cuyos vértices son: a) (5,6) (1,-4) y (-4,0) R: 33 u2

b) (0,4) (5,1) y (1,-3) R: 16 u2

3) Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos por las siguientes rectas. a) x-3y+5=0 ; 3x-y-2=0 R: 4x-4y+3 = 0 ; 2x + 2y –7 = 0

b) 3x-4y+8=0 ; 5x + 12y – 15 = 0 R. 14x – 112y+179 = 0; 64x+8y+29=0

4) Hallar las ecuaciones de las bisectrices, las coordenadas del incentro y el área del círculo inscrito a los triángulos formados por:

a) 4x-3y-65=0; 7x-24y+55=0 y 3x+4y-5=0

R: 9x-13y-90=0 ; 2x+11y –20=0; 7x+y-70 = 0; I(10.0) ; Área 78,5 u2 b) y = 0; 3x-4y=0 y 4x+3y-50=0

R: x-3y=0; 2x+4y-25=0; 7x-y –50=0; I (15/2, 5/2) ; Área 19,6 u2

Coordenadas rectangulares y la línea recta

Documents

Transcript of Coordenadas rectangulares y la línea recta