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2014

Armando Escalona

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HISTORIA DE LAS COORDENADAS POLARES

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos

en grados.

Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ángulo y radio se

conocen y manejan desde la antigüedad, no es sino hasta el siglo XVII,

posterior a la invención de la geometría analítica, en que se puede

hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares.

En tiempos modernos, Grégoire de Saint-Vincent y

Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente

el concepto a mediados del siglo XVII en la solución de

problemas geométricos. Saint-Vincent escribió sobre este

tema en 1625 y publicó sus trabajos en 1647, mientras que

Cavalieri publicó sus escritos en 1635 y una versión

corregida en 1653. Cavalieri utilizó en primer lugar las

coordenadas polares para resolver un problema relacionado

con el área dentro de una espiral de Arquímedes. Blaise

Pascal utilizó posteriormente las coordenadas polares para

calcular la longitud de arcos parabólicos. A continuación

localizamos varios puntos en el plano polar.

Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de

coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Método de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736,

introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (además de las cartesianas) para resolver problemas relativos a

tangentes y curvas, uno de los cuales, el séptimo, es el de coordenadas polares. En el periódico Acta Eruditorum Jacob

Bernoulli utilizó en 1691 un sistema con un punto en una línea, llamándolos polo y eje polar respectivamente. Las

coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ángulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli

sirvió de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas.

El término actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores

italianos del siglo XVIII. El término aparece por primera vez en inglés en la traducción de 1816 efectuada por George

Peacock del Tratado del cálculo diferencial y del cálculo integral de Sylvestre François Lacroix, mientras que Alexis

Clairault fue el primero que pensó en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

Los primeros usos empíricos de relaciones entre ángulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la

navegación y el estudio de la bóveda celeste. El astrónomo Hiparco (190-120 a.C) creó una tabla trigonométrica que

daba la longitud de una cuerda en función del ángulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para

establecer la posición de las estrellas.[1] En Sobre las espirales, Arquímedes describe la espiral de Arquímedes, una

función cuyo radio depende del ángulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacían uso de un sistema de coordenadas

como medio de localizar puntos en el plano, situación análoga al estado de la geometría antes de la invención de la

geometría analítica.

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LAS COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto

fijo y un rayo fijo (o semirecta). El punto fijo se denomina polo u origen y se representa mediante la letra . El rayo fijo

recibe el nombre de eje polar (o recta polar), la cual se denota por . El rayo usualmente se dibuja horizontal y se

prolonga indefinidamente hacia la derecha.

Sea cualquier punto del plano diferente de . Sea la medida en radianes del ángulo dirigido , positivo

cuando se mide en el sentido contrario al giro de las manecillas del reloj y negativo en el caso contrario, que tiene como

su lado inicial el rayo y como su lado final el rayo . Si es la distancia no dirigida de a (esto es, | ̅̅ ̅̅ |),

un conjunto de coordenadas de está dado por y , y se denotan estas coordenadas como ( )

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Gráfica de una ecuación polar.

Definición. Es el conjunto de puntos tales que cada uno tiene al menos, un par de coordenadas polares

que satisfacen la ecuación.

Trazado de curvas en coordenadas polares.

La construcción de curvas en coordenadas polares constará de los seis pasos siguientes:

1. Determinación de las intersecciones con el eje polar y el eje normal.

2. Determinación de la simetría de la curva con el eje polar, el eje normal y el polo.

3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.

4. Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

5. Trazado de la gráfica.

6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

Criterios de simetría

Una gráfica es

i. Simétrica con respecto al eje polar si se obtiene una ecuación equivalente cuando ( ) se

sustituye por ( ) ( )

ii. Simétrica con respecto al eje

si se obtiene una ecuación equivalente cuando ( ) se sustituye

por ( ) ( )

iii. Simétrica con respecto al polo si se obtiene una ecuación equivalente cuando ( ) se sustituye

por ( ) ( )

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La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas. La

sabiduría que nos da la vida a lo largo de las diferentes etapas por las que atravesamos. Todas nos

aportan ese granito de arena que se queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden

representar matemáticamente usando coordenadas polares.

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¿Por qué los osos blancos se disuelven en agua?

Porque son polares.

¿Qué es un oso polar?

Un oso rectangular, después de un cambio de coordenadas.

En mitad de una conferencia de matemáticas, un participante levanta la mano y dice:

- Tengo un contraejemplo para ese teorema!

A lo que el conferenciante responde:

- No importa, yo tengo dos pruebas.

Le preguntan a un matemático: - Tú qué harías si vieras una casa ardiendo y justo enfrente

una manguera sin conectar a una boca de riegos? La conectaría, obviamente. Y si la casa no

estuviese ardiendo, pero la manguera estuviese conectada? Quemaría la casa, desconectaría

la manguera y luego usaría el método anterior

¿En qué se diferencian un oso polar y un oso rectangular? —En que uno se mide en coordenadas polares, el otro en rectangulares.

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Gráficas polares especiales

Varios tipos importantes de gráficas tienen ecuaciones que son más simples en forma polar

que en forma rectangular. La ecuación polar de un círculo de radio y centro en el origen es

simplemente . Se muestran abajo algunos tipos de gráficas cuyas ecuaciones son más

simples en forma polar.

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Área limitada por una curva en coordenadas polares

Para encontrar el área limitada por una curva ( ) con [ ] (continua en ese

intervalo) se van a utilizar sectores circulares cuyas áreas aproximarán el área total.

Recordemos que: área de un sector circular de radio y ángulo que subtiende es

Si se hace una partición del intervalo [ ] y

[ ]

[ ( )]

( )

( )

Ahora haciendo la suma de las

áreas

∑

∑

( )

Si se hace | (que en este caso equivale a hacer | ) entonces

∫ ( )

De lo anterior:

Ejemplo:

Encuentre el área en el interior de la circunferencia r = 1 y en el exterior del cardioide r = 1 – cosθ.

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[

∫ [ ( ) ]

]

∫ [ ( )]

∫ [

]

|

[ (

) ]

(

)

( )

( )

( )

(

)