Coordenadas polares

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas que define la posición de un punto en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia.

En la figura, se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia, punto O y la línea OL sobre la que se miden los ángulos, en las referencias a los puntos se indicando la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL.

Este sistema se emplea en los casos en los que el conocimiento de los ángulos directores sea más práctico que las coordenadas cartesianas. Normalmente, eso sucede cuando la figura o curva a estudiar está definida más claramente por los ángulos sobre los ejes y la distancia al centro de coordenadas, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.

En el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas, dado que: el centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen un punto definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia.

Esta circunstancia debe tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas.

Coordenadas polares en el plano

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que las coordenadas polares son:

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Coordenadas polares en el espacio

Dado el espacio tridimensional, con centro de coordenadas O y ejes xyz, se puede definir un sistema de coordenadas polares, de modo

que un punto del espacio M está definido por dos ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, donde el primer

ángulo es el que forma la proyección del vector r sobre el plano xy y el eje x, y el segundo ángulo es el que forma el vector r con el plano xy.

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares (x,y,z), se tiene que:

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en el espacio por sus ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, se tiene:

Ejemplos

En el plano

Una circunferencia se define en coordenadas polares:

Una espiral se define, un caso particular es cuando el radio es proporcional al ángulo:

donde k es un valor real, da lugar a la Espiral de Arquímedes

Otros ejemplos:

Espiral logarítmica Espiral de Fermat

En el espacio

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función como, por ejemplo:

Hélice (geometría)

Coordenadas polares

El sistema mas utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muy utilizado también: el de coordenadas polares. En este método se utiliza la distancia del punto al origen, medido sobre el segmento que los une, y el ángulo que forma dicho segmento con uno de los ejes. Véase el dibujo.

Cambio de coordenadas polares a cartesianas

Si (r, a) son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán: x = r cos a , y = r sen a .

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOSEste tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOSPresentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOSEl siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRAUn caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDESA continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

 Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:

LIMACONES O CARACOLESLimaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficas polares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:

CIRCUNFERENCIAEsta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:

Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:

LEMNISCATAEn matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

 Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

 

Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

LA NEFROIDE DE FREETHEsta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:

 

CONCOIDES DE NICÓMENESNicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes:

 Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicómenes. La gráfica anterior está hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuación tiene una dirección hacia arriba. Veamos:

Un tercer ejemplo de Concoide de Nocómenes lo tenemos en el gráfico que se muestra a continuación, donde su forma se ve diferente a los dos gráficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le está restando un número uno a la función. El mismo gráfico veríamos si se le estuviera sumando uno a la función. El gráfico quedará así:

 

CISOIDE DE DIOCLESEsta es una curva muy famosa y útil en el cálculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicación del cubo. El gráfico aparece de esta forma:

 

PARÁBOLA

Esta figura es muy conocida en el mundo del Cálculo. Tal como podemos generar funciones de parábolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer también en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

 

ESPIRALEste gráfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral más simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre sí misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El gráfico que se presenta a continuación es también conocido como Espiral de Arquímedes, precisamente en honor Arquímedes, quien fue un notable físico y matemático griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realizó un estudio profundo sobre sus propiedades matemáticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el gráfico que se forma, presentamos la siguiente función en coordenadas polares que formará la espiral polar siguiente:

Veamos ahora otra gráfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:

Un segundo gráfico espiral lo tenemos en la función que veremos ahora, que podríamos encontrarla con dos nombres refiriéndose al mismo gráfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recíproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:

 Otro caso que se puede dar es la espiral logarítmica, que se ilustra mediante la siguiente función y su respectivo gráfico:

TABLA RESUMEN GRÁFICAS CONOCIDAS

Ecuación Curva

Círculo de radio a, con centro en el polo.

Cardioide

Espiral de Arquímedes

Rosa de tres pétalos (con un lazo simétrico en torno a )

, impar Rosa de n-pétalos

, par Rosa de 2n-pétalos

, impar Rosa de n-pétalos (con un lazo simétrico en torno a

, par Rosa de 2n-pétalos

Recta

Recta

, Círculo de radio a través del polo y

lemniscata,

Área en coordenadas polares

Para calcular área en coordenadas polares se considera una situación diferente, en la cual sectores de un círculo, no de rectángulos (como se acostumbra en Riemman, proveen un estimativo del área..

Sea R una región en el plano y P un punto dentro de ella. Supóngase que la distancia r desde P hasta cualquier punto en el límite de R se

conoce como función . Supóngase que cualquier rayo desde P interseca la frontera de R sólo una vez, como se señala a continuación:

La distancia r para cualquier rayo desde P se conoce como una función de ,

Las secciones transversales definidas por los rayos desde P no son paralelas. En cambio, como los rayos de una rueda de bicicleta, se encuentran tods en el punto P. No sería normal usar rectángulos para estimar el área, pero es razonable utilizar sectores de círculos que tienen P como vértice común.

Entonces recordemos que en un círculo de radio , el sector del ángulo central tiene un área de .

Área en coordenadas polares

Supóngase

Sea R la región delimitada por los rayos y y por la curva .

Para obtener un estimado local para el área R, considérese la porción R entre los rayos correspondientes a los ángulos y ,

donde es un número positivo pequeño.

El área sombreada estrecha de la figura anterior, es aproximadamente la de un sector del círculo de radio y ángulo

El área en este sector es:

Por lo anterior se deduce que, al encontrar un estimado local del área, se concluye que el área R es:

El área de la región delimitada por los rayos y y por la curva es:

o

Lo importante es tener en cuenta que ningún rayo desde el origen entre y cruza la curva dos veces.

Como ayuda para recordar el área del sector estrecho, nótese que este se asemeja a un triángulo de altura y base , como se indica en la figura

Su área es:

Sea una partición del intervalo , Sea y el supremo e ínfimo respectivamente del conjunto

y el área comprendida entre y . Entonces

Sumando sobre obtenemos:

Usando la propiedad telescópica en la sumatoria del medio observando que las sumatorias de la izquierda y derecha corresponden

respectivamente a las sumas inferior y superior respecto a la particion de la función , podemos escribir lo anterior del siguiente modo:

Finalmente, por la unicidad de la integral, se concluye que:

Longitud de arco

Determinar la longitud de arco de un segmento irregular —también llamado rectificación de una curva— históricamente fue difícil. Aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas, con la llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general que calcula soluciones cerradas para algunos casos.

Métodos modernos

Al considerar una función y su respectiva derivada que son continuas en un intervalo [a, b]. La longitud s del arco delimitado por a y b es dado por la fórmula:

Si la función esta definida parametricamente donde y :

Si la función esta definida por coordenadas polares donde la coordenadas radial y el ángulo porlar están relacionados r = f(θ), la longitud de una curva se reduce a:

En la mayoría de los casos, no hay una solución cerrada disponible y será necesario usar métodos de integración numérica. Por ejemplo, aplicar esta fórmula a la circunferencia de una elipse llevara a una integral elíptica de segundo orden.

Entre las curvas con soluciones cerradas están la catenaria, el círculo, cicloide, espiral logarítmica, parábola, parábola semicubica y la línea recta.

Coordenadas polares

Es otro sistema para localizar puntos en el plano.

Para establecer un sistema de coordenadas polares, seleccionamos un punto fijo O, llamado origen o polo y un rayo fijo, llamado eje polar, con extremo O. Para cualquier P en el plano, denotamos la distancia de O a P con r. La distancia OP determinan un ángulo θ con OP como su lado terminal. Las coordenadas del par ordenado (r, θ) se llaman coordenadas polares de P.

θ es positivo si el ángulo se genera mediante la rotación del eje polar en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Las coordenadas polares para un punto no son unicas. Un mismo punto P puede estar representado por diferentes coordenadas polares.

Áreas y longitud de arco en coordenadas polares

Área en coordenadas polares.

Para calcular la formula del área de una región cuyo contorno esta determinado por una ecuación polar, necesitaremos aplicar la formula del área de un sector circular:

A = 1 r 2 θ (1) 2

en la cual, r es el radio y θ la medida del ángulo central. Esta formula se puede demostrar, aprovechando que el área de un sector es proporcional a su ángulo central, se modo que:

A = (θ/ 2π) π r2 = 1 r 2 θ 2

Sea R la región limitada por la curva cuya ecuación polar es r = F (θ) y los rayos θ = a y θ = b, donde F es una función positiva y continua, y 0 < b – a ≤ 2π. Sea P una participación del intervalo [a,b] mediante los números θ1,

y a = θ0 < θ1 ... θn = b. Entonces, los rayos θ = θ1 dividen a R en n regiones menores cuyos ángulos centrales son ∆θ1 = θ1 - θ i –1. Si escogemos θi en el i – ésimo subintervalo [θ i –1 , θ1 ], el área ∆θ i , de la i – ésima región se estima, mediante el área del sector circulo cuyo ángulo central es ∆θ i, y su radio es F(θ i)

así ∆A i ≈ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i

2 n

Por lo tanto A ≈ ∑ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i (2) i = 1 2

Es una aproximación al área total, A, de R. La aproximación de la ecuación (2) mejora cuando ||p|| 0; ya que las sumas en esta ecuación son sumas de Riemamn de la función

g(θ) = 1 [ F (θ )]2 , resulta2

Lim n b

||P|| 0 A ≈ ∑ 1 [ F (θ i)]2 ∆θ i = ∫ 1 [ F (θ)]2 dθ i = 1 2 a 2

Por consiguiente, la formula para calcular el área de la región R en ecuaciones es:b

A = ∫ 1 [ F (θ)]2 dθ a 2

Tangentes a curvas en coordenadas polares

Para hallar una recta tangente a la curva r = F(θ) ( en coordenadas polares) consideramos que θ es un parámetro y formulamos las ecuaciones parametricas como sigue

X = r cos θ = F(θ)cos θ Y = r sen θ = F(θ)sen θ

Entonces las 1ras derivadas de X y Y

dY = dr sen θ + r cos θdθ dθ

dX = dr cos θ - r sen θdθ dθ

La tangente en las ecuaciones parametricas se consigue mediante la formula

dYdY = dθ ; Por lo que resultaríadX dX

dθ dY dr sen θ + r cos θ dY = dθ dθdX dX dr cos θ - r sen θ

dθ dθ