Un Trabajo realizado por:

Avedano Orozco Gian Andrés.

C.I.: 21053860

Coordendas Polares.

Cualquier uso que implica geometría circular o el movimiento radial se adapta ideal a los coordenadas polares, porque estas geometrías se pueden describir con ecuaciones relativamente simples en un sistema coordinado polar; sus gráficos son más curvilíneos o circular en el aspecto comparado a ésos en sistemas coordinados rectangulares. Consecuentemente, las coordenadas polares tienen uso el representar de los modelos de los fenómenos del mundo real que tienen formas semejantemente redondeadas.

Los usos de coordenadas polares son absolutamente variados. Los gráficos de la coordenada polar se han utilizado para modelar los campos de sonidos producidos variando localizaciones del altavoz o las áreas donde diversos tipos de micrófonos pueden la mejor coger el sonido. Las coordenadas polares son de la gran importancia que modela movimientos orbitales en astronomía y viaje espacial.

Se expresan los coordenadas polares como (r, θ). La letra r es la distancia del origen al ángulo representado por la theta griega de la letra, θ, donde r puede ser un número positivo o negativo. Si se utiliza una distancia negativa, la magnitud de la distancia no cambia, pero la dirección se toma enfrente del θ del ángulo en el otro lado del origen.

Las coordenadas polares son una forma de expresar la

posición respecto a un plano de dos dimensiones.

Importancia de las Coordenadas

Polares.

 Sistema de Coordenadas Polares:

A todo punto del plano cuyas coordenadas rectangulares son podemos asignarle las siguientes coordenadas:

=distancia del origen de coordenadas al punto =ángulo desde el semieje positivo del eje al segmento que une el

origen de coordenadas con

Representado gráficamente sería así:

Resumen Teorico.

Conversión de Coordenadas:

Para la conversión de coordenadas ya sean rectangulares o polares, se usan diferentes fórmulas como las que veremos a continuación:

Polares en función a las Rectangulares: Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

1.

2.

Rectangulares en función de las Polares:

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares

(x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

(Aplicando el Teorema de Pitágoras)

A.

B.

Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

Relación entres la Coordenadas Polares y Rectangulares:

Ecuaciones en coordenadas polares:

Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuación definiendo como una función de θ. La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma ( (θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función .

Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son:

La Rosa Polar:

Ej.: una rosa dentro de otra

Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

La Cardioides:

Ej.: cardioide simétrica con respecto al eje polar y que apunta hacia la derecha.

Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

Circunferencia:

Ej.: la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:

Espiral de Arquímedes:

Ej.: espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuación es r² = a² + . En el siguiente ejemplo se muestra una función y su respectiva gráfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:

Área de una región plana en Coordenadas Polares:

Área de la región encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares: Sea r = r (θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares de forma que r (θ) sea una función continúa en el intervalo [α, β].

Aplicaciones:

Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

Cálculo de límites dobles : a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable, (en concreto ), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia si dicho límite depende del ángulo . Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su valor es el obtenido en el límite en polares.

Ecuaciones de curvas : las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro y radio tiene a como ecuación en coordenadas rectangulares y a como ecuación en polares.

Forma polar de un número complejo : todo punto del plano con coordenadas rectangulares es la representación gráfica del número complejo (esta forma de representar un número complejo se denomina forma binómica del ). Pasando a polares obtenemos el módulo ( ) y el argumento ( ) de y con ello laforma polar de :

Cálculo de integrales dobles : cuando la región de integración de una integral doble es una circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la misma.

Navegación marítima : como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.

Cálculos orbitales : las razones son las mismas que en el caso anterior.