COORDENADAS EN EL PLANO y RECTAS EN EL PLANO

A veces necesitamos representar puntos en un plano:

Por ejemplo en el juego del ajedrez:

El diagrama muestra las coordenadas utilizadas para nombrar los rangos y las filas. Cada cuadro está nombrado por una combinación de su fila y rango. Por ejemplo, el cuadro en el que el rey blanco comienza el juego es e1, mientras que la reina negra comienza en d8. Mover un peón a e7 se escribe simplemente como e4

Observa que son pares de valores: (e, 1), (d, 8), (e, 4).

En el juego de los barcos:

Cada jugador dispone de un turno de disparo que se irá alternando. Para hacerlo dirá las coordenadas. Por ejemplo “B3”, significa que su disparo corresponde a la casilla que se encuentra en esas coordenadas. Observa que de nuevo las coordenadas son un par de valores (B, 3).

Coordenadas de un punto

Para ubicar la posición de un objeto en un plano, se considera un punto de referencia llamado origen, por el cual se trazan dos ejes perpendiculares como se muestra a continuación:

Observa que cada eje es una recta numérica

La distancia de la casa al eje horizontal es 3 unidades.

La distancia de la casa al eje vertical es 4 unidades.

Los números 3 y 4 forman una pareja que se ordena (4, 3) y se llama coordenadas del punto en el cual se ubica la casa.

Al eje horizontal se le llama eje de las abscisas o eje de las x, y al eje vertical se le llama eje de las ordenadas o eje de las y.

A un diagrama coordenado como el anterior se le llama sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano.

Ø Las coordenadas de un punto en el plano siempre es un par ordenado de valores de la

forma (x, y). El primer valor siempre es la abscisa y se corresponde con un valor en el eje horizontal de las x, el 2º valor siempre es la ordenada y se corresponde con un valor en el eje vertical de las y.

Ø Entonces los puntos (4,3) y (3,4) son puntos distintos.

Ejemplo 1; Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (3, 2)

Ejemplo 2: Localizar en el plano cartesiano el punto de coordenadas (-3, -2)

Ejercicios:

1. Escribe las coordenadas de los puntos A y B y sitúa en el eje de coordenadas los puntos C(3, −2) y D (2, −3).

2. Representa los puntos A(2, 3) , B(3, 0) , C(1, −3) y D(−3, −2) .

3. Escribe las coordenadas de los siguientes puntos: A = ( .......... , ..........) B = ( .......... , ..........) C = ( .......... , ..........) D = ( .......... , ..........)

Al dibujar en un plano unos ejes de coordenadas, éste queda dividido en cuatro partes o regiones que se llaman cuadrantes y se nombran de la siguiente forma:

Puntos alineados:

Podemos comprobar que los puntos que aparecen dibujados se encuentran sobre una línea recta, cuando esto ocurre se dice que los puntos están alineados (compruébalo uniéndolos con lápiz utilizando una regla) .

Con ayuda del álgebra podemos expresar una recta en forma de ecuación. Es decir, hay ecuaciones que geométricamente expresan una recta.

Una recta es una suceción continua e infinita de puntos en una sola dimensión. Observa que una recta queda determinada por dos puntos, es decir, dados dos puntos distintos sólo hay una recta que pasa por esos dos puntos. Las rectas se nombran con letras minúsculas r, s, t, …

§ Las posiciones relativas de dos rectas en el plano son: paralelas y secantes.

Ø ¿Qué ecuaciones representan gráficamente una recta? Ecuaciones lineales con dos incógnitas como por ejemplo x-y=1 o 2x-9y=0 (aunque también x=2 o y=5 representan geométricamente rectas, pero diremos que son casos particulares).

Ø Si nos dan la ecuación x + y = 2, ¿cómo podemos representar gráficamente la recta que determina la ecuación? Es muy sencillo, sólo tenemos que hacer lo siguiente: 1. buscar dos pares de valores, que serán dos puntos en el plano, 2. representarlos 3. unir los puntos

(si al representarlos salen “muy juntos” podemos buscar más puntos)

Ø ¿Cómo buscamos los pares de valores? Lo más cómodo suele ser hacer lo siguiente: 1. despejar la y (dejarla sola a un lado del signo =), de forma que ponemos el término

con x y el número (si hay) al otro lado del signo igual: y = 2 - x

2. dar valores a x para obtener los valores correspondientes de y Por ejemplo, 𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑥 = 2 → 𝑦 = 0  , 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠  𝑒𝑙  𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜  𝑑𝑒  𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠  (2,0)                                                                𝑝𝑎𝑟𝑎  𝑥 = 1   → 𝑦 = 1, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠  𝑒𝑙  𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜  (1,1) 𝐿𝑜𝑠  𝑑𝑖𝑏𝑢𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠  , 𝑙𝑜𝑠  𝑢𝑛𝑖𝑚𝑜𝑠  𝑦  𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠  𝑙𝑎  𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎.

Consejo: Conviene calcular siempre que sea cómodo

1. el valor de y para x = 0 (punto de corte con el eje y o de ordenadas) 2. el valor de x para y = 0 (punto de corte con el eje x o de abscisas)

porque así hallamos los puntos de corte con los ejes de coordenadas y de este modo dibujaremos la recta con mayor precisión.

Ø Se suele hacer una tabla de valores Por ejemplo si tenemos que representar gráficamente la recta dada por la ecuación y = 2x +1, podemos expresar la solución así:

A continuación vamos a practicar

Ejercicio nº 1.- Representa gráficamente las siguientes rectas: 𝒂)  𝒚 = 𝟑𝒙− 𝟐   𝒃)  𝒚 = 𝟑       𝒄)  𝟐𝒙+ 𝟑𝒚 = 𝟔           𝒅)  𝒙− 𝟒 = 𝟎                   𝒆)  𝒙− 𝟐𝒚 = 𝟐             𝒇)  𝟑𝒙 = 𝟗         𝒈)  𝟓𝒙+ 𝟐𝒚 = 𝟑 Ejercicio nº 2.- a) Representa en los mismos ejes las rectas:

b) ¿En qué punto (o puntos) se cortan? (Consejo: Busca en internet algo de Historia sobre los ejes de coordenadas cartesianas y sobre René Descartes)

⎧⎨⎩

2 02 4

+ =

− + =

x yx y

Y  =  2x  +  1