ANÁLISIS DIMENSIONAL Y CONVERSIÓN DE UNIDADES OPERACIONES CON CANTIDADES FÍSICAS Las cantidades físicas se expresan mediante símbolos algebraicos. Un símbolo algebraico se forma por número y literal, al igual que las cantidades físicas; por ejemplo una longitud se expresa como 20 m, 3 ft, 10 cm, etc. Es por ello que los cálculos de las cantidades físicas se realizan igual que lo hacemos con los símbolos algebraicos. Las unidades que se utilicen para la resolución de toda ecuación o fórmula deben pertenecer a un mismo sistema (Internacional o Inglés). SUMA Para efectuar esta operación, todas las cantidades deben tener las mismas unidades. La operación se resuelve, sumando los números y escribiendo la misma unidad. Ejemplo: 5 m + 2 m + 41 m = 48 m RESTA Para restar una cantidad de otra, deben tener las mismas unidades. Se realiza, restando los números y escribiendo la misma unidad. Ejemplo: 7 m2 – 4 m2 = 3 m2

MULTIPLICACIÓN Para efectuar la multiplicación las cantidades pueden tener distintas unidades. Para resolver esta operación, multiplica los números y posteriormente multiplica las unidades como literales algebraicas. Ejemplo: (2 m) (8 m ) = 16 m2

(9 m2) (3 m) = 27 m3

(5 s

m) ( 3 s) = 15

s

sm = 15 m

DIVISIÓN Las cantidades que se dividen pueden tener distintas unidades. Para efectuar la operación, divide los números; a continuación divide las unidades como literales algebraicas Ejemplo:

s

m

5

25 =

s

m5

m

m

2

4= 2

m

m = 2.

2s

m3

1

ss

m

3s4

s

m12

ANÁLISIS DIMENSIONAL Las dimensiones de una cantidad física indican el tipo de unidades que la forman. El análisis de las dimensiones de una fórmula nos permite determinar si esta es correcta. Toda ecuación o fórmula debe ser dimensionalmente consistente, es decir las cantidades a cada lado del signo igual deben tener las mismas unidades. Ejemplo: Verifica mediante el análisis dimensional las siguiente fórmulas.(Expresa las unidades en el Sistema Internacional). 1) tvS

Desplazamiento = (velocidad) (tiempo) La ecuación expresada dimensionalmente en el Sistema Internacional es la siguiente:

ss

mm

m=s

sm = m

m = m Dimensionalmente correcta. 2) gmW

Peso = (masa) (aceleración de la gravedad) La ecuación expresada dimensionalmente en el Sistema Internacional es la siguiente:

)s

m()kg(N

2 como

2s

mkgN

NN

Concluimos indicando que la ecuación es dimensionalmente correcta puesto que las unidades en ambos miembros de la ecuación son iguales.

Aplicación: El análisis dimensional permite asegurar si un problema determinado

se ha resuelto correctamente desde el punto de vista de las dimensiones o de las unidades con las que opera.

Ejercicios resueltos: Verifica mediante el análisis dimensional las siguientes fórmulas ( Expresa las unidades en el Sistema Internacional).

1.- t

Sv

Velocidad = tiempo

entodesplazami

La velocidad se expresa en s

m

La distancia en m

El tiempo en s

La ecuación expresada dimensionalmente es:

s

m

s

m Dimensionalmente correcto.

2.- at

vv 0f

tiempo

inicialvelocidadfinalvelocidadnAceleracio

La aceleración se expresa en 2s

m

La velocidad en s

m

El tiempo en s

La ecuación expresada dimensionalmente es:

s

s

m

s

m

s

m2

Análisis dimensional

2s

m=

1

ss

m

= 2s

m

22 s

m

s

m Dimensionalmente correcto.

3.- tavv 0f

velocidad final = velocidad inicial + (aceleración ) ( tiempo)

La velocidad se expresa en s

m

La aceleración se expresa en 2s

m

El tiempo se expresa en )s(

La ecuación expresada dimensionalmente es:

ss

m

s

m

s

m2

Análisis dimensional

s

m

s

m

s

m

s

m

s

m Dimensionalmente correcto

4.- 2

o

2

f vvaS2

2(aceleración)(desplazamiento)=(velocidad final)2 – (velocidad inicial )2

La aceleración se expresa en 2s

m

El desplazamiento se expresa en m

La velocidad en s

m

La ecuación expresada dimensionalmente es:

22

2 s

m

s

mm

s

m

2

2

2

2

s

m

s

m Dimensionalmente correcto

5.- t2

vvS f0

tiempo2

finalvelocidadinicialvelocidadentodesplazami

La ecuación expresada dimensionalmente es:

ss

m

s

mm

Análisis dimensional

ss

mm

mm Dimensionalmente correcto

CONVERSIONES En algunas ocasiones existe la necesidad de cambiar o convertir las unidades que se están empleando. Esta conversión de unidades se puede efectuar aplicando el principio de cancelación. La conversión de una cantidad expresada en determinada unidad, a su equivalente en una unidad diferente de la misma clase, se basa en el hecho de que multiplicar o dividir cualquier cantidad por uno no afecta su valor. Mediante este método las conversiones pueden ser fácilmente realizadas, conociendo las cantidades equivalentes.

CANTIDADES EQUIVALENTES

Longitud

Volumen

Tiempo

1 m = 100 cm 1 m3 = 1 000 litros 1 hora = 60 min.

1 m = 1 000 mm 1 cm3 = 1 ml 1 min = 60 s

1 cm = 10 mm 1 l = 1 000 cm3 1 hora = 3 600 s

1 m = 39.37 in 1 l = 1 dm3

1 m = 3.281 ft 1 galón = 3.785 litros

1 m = 1.094 yd

1 km = 1000 m

1 in = 2.54 cm

1 ft = 0.3048 m

1 ft = 30.48 cm

Fuerza

Masa 1 ft = 12 in

1 mi = 1.609 km 1 lb = 4.45 N 1 slug = 14.59 kg

1 mi = 5280 ft

1 yd = 3.0 ft

1 yd = 3.0 ft

1 yd = 91.44 cm

1 in = 0.0254 m

CONVERSIÓN DE UNIDADES LINEALES (ELEVADAS A LA POTENCIA 1) . Ejemplo: Convertir 46 m en cm

1. - Escribimos la cantidad que se desea convertir 46 m 2. - Buscamos las cantidades equivalentes de las unidades involucradas (Tabla de cantidades equivalentes). 1m = 100 cm 3. - Multiplicamos la cantidad original por un quebrado (factor de conversión), que estará formado por las cantidades equivalentes, colocando la unidad que se quiere eliminar opuesta a su posición en la cantidad original, de tal forma que al efectuar la operación, se cancele.

cmcmm

cmm 6004

1

10046

1

10046

Por lo tanto: 46 m = 4 600 cm

Si efectúas la operación inversa o sea convertir cm en m basta invertir el factor de conversión. Ejemplo: convertir 25 cm en m

m25.0cm100

m1cm25

25 cm = 0.25 m

El factor de conversión está formado por una igualdad, por lo que su valor es uno, de forma que la cantidad original no se afecta al multiplicarla por dicho factor.

11

100

m

cm 1

100

1

cm

m

CONVERSIÓN DE UNIDADES NO LINEALES (ELEVADAS A POTENCIA DIFERENTE DE 1) Para convertir unidades elevadas a potencia diferente de 1 el método de conversión es el mismo, tomando en consideración lo siguiente:

1m = 100 cm

(1m)2 = (100 cm)2 (1m)3=(100 cm)3

1m

2 = 10 000 cm2 1 m3 = 1000 000 cm

3 Ejemplo: Convertir 540 m2 en cm

2 Se utilizan las equivalencias lineales de las unidades involucradas Equivalencia 1m = 100 cm Para eliminar m2, el factor de conversión debe involucrar m2 por lo tanto se elevan las dos cantidades equivalentes, de tal forma que el factor de conversión mantenga su valor = 1. (1 m)2 = (100 cm)2 1 m2 = 10 000 cm

2 Se colocan las cantidades equivalentes de modo que al efectuar la operación se cancelen m2 y sólo queden cm

2

2

22

1

00010540

m

cmm = 5 400 000 cm

2

540 m2 = 5 400 000 cm2

CONVERSIÓN DE UNIDADES COMBINADAS Cuando se requiere convertir una cantidad física como la velocidad que implica la relación de dos cantidades, el procedimiento es el mismo solo que se requerirá de dos factores de conversión. Ejemplo:

Convertir 80 h

km en

s

m

Equivalencias 1 km = 1 000 m 1 h = 3 600 s Se multiplica la cantidad que se desea convertir por dos factores de conversión, colocados de forma que al efectuar la operación se eliminen los km y las h y el

resultado quede expresado en s

m.

s6003

h1

km1

m1000

h

km80 =

s

m2.22

s6003

m00080

s

m2.22

h

km80

Ejercicios resueltos

Realiza las siguientes conversiones

1. - 28.3 cm a m

Equivalencia 1 m = 100 cm

m 0.283 m 100

28.3

cm 100

m 1 cm 28.3

28.3 cm = 0.283 m

2. - 568 ft a millas

Equivalencia 1 mi = 5 280 ft

mi 0.108 mi. 2805

568

ft 2805

mi 1 ft 568

568 ft = 0.108 mi 3. - 1 250 in a m

Equivalencia 1 in = 0.0254 m

m75.31in1

m0254.0in1250

1250 in =3.71 m 4. - 30 m

3 a cm

3

Equivalencia 1 m = 100 cm

33cm100m1

1 m3

= 1 000 000 cm3

3

3

33 00000030

1

000000130 cm

m

cmm

30 m3 = 30 000 000 cm3

5. - 300 cm2 a m

2

Equivalencia 1 m = 100 cm

22cm100m1

1 m2 = 10 000 cm

2

22

2

22 030

00010

300

00010

1300 m.m

cm

mcm

300 cm2 = 0.03 m2

6. - 83.5 ft3 a m

3

Equivalencias 1 ft = 0.3048 m

33m3048.0ftl

l ft3 = 0.0283 m

3

3

3

33 3632

1

02830583 m.

ft

m.ft.

83.5 ft3 = 2.363 m3

7. - 10s

ma

h

km

Equivalencias 1 km = 1 000 m 1 h = 3 600 s

s

m.

s

m

s

h

km

m

h

km7782

6003

00010

6003

1

1

000110

10h

km= 2.778

s

m

8. - 367s

fta

h

mi

Equivalencias 1 mi = 5 280 ft 1 h = 3 600 s

s

ft.

s

ft

s

h

mi

ft

h

mi267538

6003

7609371

6003

1

1

2805367

367 h

mi = 538.267

s

ft

9. - Un contratista colocará azulejo importado en la pared de una cocina, que mide 3 metros de ancho y 2 metros de alto. ¿Cuántos pies cuadrados (ft2

) de azulejo se necesitan? 3.00 m

2.00 m Solución I Se requiere determinar el área o superficie de la pared en el Sistema Ingles, por lo que las dimensiones de la pared deben estar expresadas en este sistema. De forma que se convierten las medidas de metros (m) a pies (ft) Equivalencia 1 m = 3.281 ft o 1 ft = 0.3048 m

t56261

28132 f.

m

ft. m

ft.

m

ft. m 8439

1

28133

Por tanto: Area =(base) (altura) Sustituyendo

Área = ft843.9 ft562.6 = 64.59 ft2

Área = 64.59 ft2

Solución II Se calcula el área en m2 y el resultado se convierte a ft2

Area = m3 m2 = 6 m2

Convertir 6 m2 en ft2

Equivalencia 1 m= 3.281 ft

22ft281.3m1

1 m2 = 10.765 ft2

6 m2

2

2

m1

ft765.10 = 64.59 ft2

Área = 64.59 ft2

10. - Un cohete al ser lanzado alcanza una altura de 250 Km ¿A cuánto equivale esta distancia en ft? Se convierten 250 Km a ft En la tabla de equivalencias no contamos con el factor de conversión directa de km a ft. En este caso se realiza la conversión utilizando factores intermedios conocidos. Por ejemplo convertiríamos km a m y posteriormente los m a ft. 250 km a m

Equivalencia 1 km = 1 000 m

(250 km)

km

m

1

0001 = 250 000 m

250 000 m a ft Equivalencia 1m = 3.281 ft

(250 000 m)

m1

ft281.3= 820 250 ft

250 km = 820 250 ft

11. - Una persona pesa 130 lb y tiene una altura de 5 ft y 9 in. Expresa el peso y la altura en unidades del Sistema Internacional.

En el Sistema Internacional el peso se expresa en newton (N) Por lo tanto: Se convierten 130 lb en N

Equivalencia 1 N = 0.225 lb

N778.577N225.0

130

lb225.0

N1lb130

Peso = 577.778 N En el Sistema Internacional la altura se expresa en metros ( m). Convertir 5 ft en m Equivalencia 1 ft = 0.3048 m

m.ft

m.ft 5241

1

304805

Convertir 9 in a m Equivalencia 1 in = 0.0254 m

m229.0in1

m0254.0in9

Altura = 1.524 m + 0.229 m = 1.753 m

Altura = 1.753 m