CONVERGENCIA DE SERIES

Dada una sucesión {a1 , a2 , a3 ,… , an ,…} se llama serie de término general an , y que

representaremos por ∑n>1¿ an¿

¿ , a la sucesión de sumas parciales {Sn} definida por S1 = a1, S2 = a1

+ a2 ,…, Sn = a1 + a2 + ,…+an,…

Decimos que una serie es convergente si es que existe S= limn→∾

Sn, la serie ∑n>1¿ an¿

¿ se dice

convergente y su suma es S, o sea la escribimos como ∑n>1¿an=S¿

¿

Decimos que una serie es divergente si dicho límite es infinito o no existe, la serie ∑n>1¿ an¿

¿ es

divergente.

CRITERIOS GENERALES DE CONVERGENCIA

1. Condición del resto:

Si una serie ∑n>1¿ an¿

¿ es convergente, entonces limn→∾

An=0

Deducimos que si el término general de una serie no converge a cero dicha serie es divergente.

2. Criterio de comparación:

Dadas dos series ∑n>1¿ an¿

¿ y ∑n>1¿bn ¿

¿ , si an ≤ bn , Para todo n y ∑n>1¿bn ¿

¿ converge,

entonces ∑n>1¿ an¿

¿ converge.

Análogamente, si una serie es divergente y todos sus términos son mayores o iguales que los de otra serie, ésta última es también divergente.

3. Criterio de comparación por paso al límite.

a) Si limn→∾ ( anbn )=L (L finito y L dif. De 0), entonces

∑n>1¿an converge←> ∑

n>1 ¿bnconverge .¿¿ ¿

¿

b) Si limn→∾ ( anbn )=0 , entonces

∑n>1¿bn converge→ ∑

n> 1¿an converge.¿¿¿

¿

c) SI limn→∾ ( anbn )=∾ , entonces

∑n>1¿an converge→ ∑

n >1¿bn converge.¿¿¿

¿

NOTA: Para utilizar los criterios de comparación es conveniente conocer la

convergencia de las siguientes series:

Serie armónica: La serie ∑

n>1¿( 1n )p

¿¿es convergente cuando p > 1 y

divergente cuando p ≤ 1.

Serie geométrica : La serie ∑n>1¿ a. r

p

¿¿ es convergente cuando |r|<1

y diverge cuando |r|≥1.

4. Criterio del cociente (D’ Alembert).

Sea L = limn→∾ ( an+1an ) Entonces:

a) Si L < 1, ∑n>1¿ an¿

¿ converge;

b) Si L > 1, ∑n>1¿ an¿

¿ diverge.

5. Criterio de la raíz ( CAUCHY).

Sea L = limn→∾

n√an Entonces,

a) Si L < 1, ∑n>1¿ an¿

¿ converge;

b) Si L > 1, ∑n>1¿ an¿

¿ diverge

6. Criterio de Raabe.

a) Si limn (1−an+1an )>1, entonces ∑ an converge.

b) Si limn (1−an+1an )<1, entonces ∑ an diverge.

7. Criterio de la Integral.

Sea f :¿→R una función decreciente y f(x) > 0. Para todo x, Entonces

∑n>1¿ f (n )converge←>∫

1

∾

f ( x )dxdiverge .¿

¿

8. Criterio del producto (Pringsheim)

a) Si limn→∾

npan=L≥ 0, para algún p > 1, entonces ∑ an converge.

b) Si limn→∾

npan=L>0 , para algún p≤1, entonces ∑ an converge.

9. Criterio logarítmico.

Si limn→∾

log1/ anlog n

=L, entonces

a) ∑ an converge cuando L > 1

b) ∑ an diverge cuando L < 1.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Analice la convergencia de las siguientes series :

Solución: a) Diverge, pues

b) Converge. Compare con ∑n=1

∞

1 /n4. Alternativamente se puede usar el

criterio de comparación al límite con la sucesión bn = 1/n4

c) Converge. Aplique el criterio del cociente:

2. Estudie la convergencia de las siguientes series :

Solución:a) Aplicar el criterio de la raíz.

Nótese que limn→∾

(−1)n+1

n=0 , el cual se deduce utilizando el teorema de acotamiento.

b) Para todo n≥1, √n≥1. Luego √nn+1

≥1n+1

Ahora, dado que ∑n=1

∞1n+1

es

divergente, se tiene que la serie en cuestión también es divergente.

c) Utilice el criterio de comparación al límite. En efecto, sea an = e-2n, entonces la siguiente es una serie geométrica convergente.

3. a) Demuestre que para todo número real p, la serie ∑n=1

∞em

n! Converge.

b) Estudie la convergencia de la serie ∑n=1

∞ (1+ 10n

)n2

n !

Solución:

a) En este problema usamos el criterio del cociente con an = enp

n ! Y an+1 =

e (n+1) p

(n+1 ) ! . De este modo

an+1an

= e p

n+1→0 Si n -> ∞

En consecuencia la serie ∑n=1

∞e pm

n ! Converge para todo p real.

b) En este problema se utilizará el criterio de comparación. En efecto, es bien conocido que :

(1+ 10n

)n

≤e10.

Por lo que el término n-ésimo de la serie en cuestión es acotado

superiormente por e10m

n !

y como esta sucesión genera una sucesión convergente, entonces la serie es convergente.

“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN”

Pisco, 17 de agosto del 2007

INFORME TÉCNICO Nº 09-2015-GO/CCS

Señor: Ing. MARLON GARAY RODRÍGUEZ Presidente del Comité de Defensa Civil de la Municipalidad Provincial de Pisco

Asunto: Informe sobre los riesgos existentes luego del reciente sismo

Referencia: MEMORANDO Nº 13-2015-CDC/MPP

Tengo el honor de dirigirme a usted para informarle lo siguiente:

1. INTRODUCCIÓN :

El siguiente informe es de suma importancia para asegurar el bienestar de las personas residentes en la provincia de Pisco, que recientemente ha sido azotada por un fuerte sismo de 7.9 grados en la escala de Richter ; ya que ayudará y motivará a las autoridades a tomar cartas en el asunto.

Al tomar en cuenta los puntos tocados, datos informativos y las propuestas presentadas en el presidente texto, se conocerá de una manera minuciosa el estado en el que se encuentran miles de familias y los peligros que corre su bienestar. Además se le presentan múltiples propuestas eficaces que ayudarán a prevenir y mitigar los perjuicios dejados por el fenómeno.

Con el presente texto se busca mejorar la situación en la provincia de Pisco, que se encuentra al borde del colapso, ayudando en la planificación de un plan de ayuda que se debe dar de forma inmediata para auxiliar a personas cuya vida se encuentra en peligro y también para evacuar a aquellas que son muy vulnerables a ser víctimas de algún derrumbe. Además se conocerá cuáles son las zonas que necesitan el apoyo de manera urgente y aquellas que aún pueden esperar.

Este informe cuenta con una breve explicación del motivo por el cual ocurren con frecuencia sismos en esta zona, además se hará un minucioso análisis sobre el actual problema y sus repercusiones en la población si no se actúa de una manera óptima. Por último se dará una serie de medidas que deben seguir las autoridades para disminuir los daños y también para orientar correctamente a la población.

2. ANTECEDENTES :

La provincia de Pisco es conocida por los fuertes sismos que se producen con mucha frecuencia. La pregunta es ¿Por qué motivo sucede esto? La explicación es la siguiente:

Los sismos como este se producen por el deslizamiento de la placa de Nazca (placa oceánica) por debajo de la placa Sudamericana (placa continental) en un proceso conocido como subducción. El contacto entre ambas les impide el movimiento (que es opuesto, idéntico al de una falla inversa), por lo que van acumulando energía a lo largo del tiempo, hasta que llega el momento en que esta energía se libera (sismo) en algún sector, al cual se conoce como área de ruptura.

Cabe mencionar que la placa de Nazca es una placa tectónica oceánica que se encuentra en el océano Pacífico oriental, frente a la costa occidental de América del Sur, más específicamente al frente de la costa norte y centro de Chile y la totalidad del litoral de Perú, Ecuador y Colombia. Por este motivo no solo ocurren sismos en la región de Ica, sino que también en las costas occidentales de América del Sur, por lo general en la zona llamada “Cinturón de Fuego del Pacífico”, pero los sismos suceden con mayor frecuencia en Pisco, esto se debe a que la subducción de la placa de Nazca bajo la placa Sudamericana se da precisamente en la provincia de Pisco.

La subducción de la placa de Nazca no solo provoca sismos, sino que también convierte a esta en una zona volcánica, esto se puede comprobar por la existencia de varios volcanes al sur del Perú y en especial en la región de Arequipa.

Podemos apreciar en la ilustración anterior la proximidad existente entre la placa de Nazca y la Sudamericana.

3. ANÁLISIS :

El 15 de agosto del 2007, la ciudad de Pisco (Ica) fue el epicentro de un terremoto de 7.9 grados en la escala Richter, siendo uno de los movimientos telúricos más violentos ocurridos en el Perú en los últimos años.

El sismo ha dejado hasta el momento 304 muertos, casi 1400 heridos, 15000 viviendas totalmente destruidas e inhabitables y 122000 personas afectadas. Las zonas más afectadas fueron las provincias de Pisco, Ica, Chincha, Cañete, Yauyos, Huaytará y Castrovirreyna. La magnitud destructiva del terremoto también causó grandes daños a la infraestructura que proporciona los servicios básicos a la población, tales como agua y saneamiento, educación, salud y comunicaciones.

Tras el terremoto principal, un centenar de réplicas ocurrieron el mismo día 15 de agosto, muchas de las cuales alcanzaron magnitudes entre 5 y 6 grados en la escala anteriormente mencionada. Una réplica de 5.9 grados fue percibida a las 19:19 horas, otra a las 19:41 a 70 kilómetros al sureste de Huancayo y una tercera se registró a las 20.08 horas a 146 kilómetros al suroeste de Lima.

El sismo dañó las ciudades del departamento de Ica y de la provincia de Cañete, especialmente Pisco, Chincha Alta, Chincha Baja, Tambo de Mora, Ica y San Luis de Cañete. Asimismo, monumentos históricos

como la Reserva Nacional de Paracas y la iglesia del Señor de Luren registraron serios daños en su infraestructura.

El 23.5% de afectados pertenecen a la provincia de Pisco, la mayoría de afectados se encuentran en las zonas sur y occidental de la ciudad.

Hay centenares de familias que han perdido seres queridos, los cuales dejaron de existir a causa de los derrumbes, asfixia y en otros casos por ataques cardiacos.

Existe un buen número de personas que se encuentran desaparecidas y lo más probables es que se encuentren bajo los escombros, además hay un cierto número de ancianos desaparecidos, que pueden encontrarse extraviados y no sepan como volver a sus casas.

En la zona occidental, hay al menos 130 familias que han tenido serias pérdidas económicas debido a la salida del mar, que ha provocado la inundación de sus hogares y ha malogrados sus artefactos electrónicos. Además corren un grave peligro en el caso de que se produzca un tsunami, provocado por alguna fuerte réplica.

Debido a los daños en las empresas proveedoras de los servicios básicos, existen muchas carencias en la población, siendo más importantes el servicio de agua potable, los productos básicos alimenticios, salud y reparación de escuelas; han sido enumeradas de mayor a menor importancia entre ellas.

Muchas personas viven ahora en las calles por la pérdida de su hogar o por daños graves en su infraestructura, lo que ha provocado que centenares de personas, en especial niños y ancianos, hayan contraído enfermedades respiratorias.

4. CONCLUSIÓN :

Observando los puntos considerados en el análisis, propongo que se de una ayuda de manera inmediata y se priorice aquello que comprometa la vida y salud de las personas. También es muy importante reparar los daños que en un periodo de tiempo muy cercano puedan causar otros tipos de perjuicios y agraven la situación en la que nos encontramos. En el proceso de restauración y ayuda a las personas tengan en cuenta que las personas que se encuentran hacia el sur y occidente requieren de ayuda inmediata.

5. RECOMENDACIONES :

Tomando en cuenta el análisis y la conclusión a la que he llegado, le recomiendo a usted tomar siguientes medidas, para lograr minimizar los problemas desencadenados, que son de diversas índoles, por el reciente desastre y de esta manera lograr una recuperación rápida de la ciudad y sus habitantes, priorizando ciertos aspectos de mayor urgencia. Las medidas a tomar son las siguientes:

a) Se debe enviar máquinas excavadoras hacia aquellos derrumbes donde haya certeza o mayor probabilidad de encontrar a alguna persona con vida, esto se debe hacer de manera inmediata para evitar mayores pérdidas humanas.

b) El agua es uno de los elementos más importantes en el hogar, ya que si dejamos de consumirla no podríamos seguir viviendo, además sirve para la preparación de alimentos y para mantener la higiene, evitando de esta manera el contagio de enfermedades infecciosas. Por eso tienen que enviar cisternas de agua a recorrer toda la ciudad, brindando agua a las familias.

c) Las personas que viven en las zonas cercanas al mar deben ser evacuadas a una zona más segura. El lugar más adecuado para

trasladar a estas personas es el Estadio Municipal, para ello se necesitarán 200 carpas.

d) Hacen falta unas 5000 carpas para aquellas familias cuya vivienda ha sido totalmente destruida o haya quedado inhabitable. Esta medida ayudará a disminuir en gran medida la proliferación de enfermedades debido a la exposición de las personas al frío y la humedad de la noche.

e) Se deben reparar los daños causados en los centros médicos, ya que debido al gran número de heridos y de personas que están padeciendo enfermedades respiratorias es necesaria su pronta atención.

f) Las clases en los colegios, institutos y universidades deben suspenderse al menos por tres semanas para evitar daños por posibles réplicas y para que puedan ser reparados los daños dejados por el sismo.

g) Muchas instituciones públicas tienen que seguir funcionando, para ello se debe instalar casas prefabricadas de triplay.

h) Sería de mucha ayuda para aquellas familias en extrema pobreza que se les apoye con productos alimenticios de primera necesidad y también para aquellas que producto del sismo lo hayan perdido todo.

Es cuanto tengo que informar a usted para las acciones que estime conveniente disponer.

Atentamente,

_________________________________ Ing. WALTER MANERO MARALLANO Gerente de Obras de Casas Seguras S.A.

Adjunta:

. Mapa de Pisco y sus zonas de influencia

WM/dm