Conv 01

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DISEÑO DE UNA COLUMNA DE RECTIFICACIÓN CONVENCIONAL POR EL MÉTODO DE McCABE-THIELE

0.97D

QD

xD =

Ha de proyectarse una columna de rectificación para separar 15000 kg/día de una mezcla de 40% de benceno y 60% de tolueno en un destilado conteniendo 97% de benceno y un residuo con 98% de tolueno. Todos los porcentajes son en masa. Se usará una razón de reflujo de 3,5 moles por cada mol de destilado. Utilizando el método de McCabe-Thiele:

a) calcula los caudales molares de producto destilado y residuo,

b) determina el número de pisos ideales y la posición del de alimentación si el alimento entra en la columna como líquido a su temperatura de ebullición.

Se proporcionan los datos de equilibrio para el sistema benceno-tolueno (x = fracción molar de benceno en el líquido, y = fracción molar de benceno en el vapor). Se propone ajustar los datos de equilibrio en función de la volatilidad relativa media (a):

Diagrama de flujo de la columna de rectificación que se desea

diseñar.

)1(x1

xy

αα

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3.5

15000

0.4q = 1

N = número de pisos

piso de alimentación

0.02R

L1,0/D =

A (kg/día) =

zA =

Nal =

xR =

QR

La columna de rectificación se diseña siguiendo los siguientes pasos:

Todas las composiciones son fracciones másicas

A. VARIABLES DE ENTRADA

1.- Ajuste de unidades de las variables de entrada

B. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

1.- Cálculo de los caudales de las corrientes R y D

2.- Ajuste de los datos de equilibrio

3.- Cálculo de la intersección de la recta q (recta de alimentación) con la curva de equilibrio

4.- Cálculo del caudal de reflujo

5.- Cálculo de las rectas operativas de agotamiento y enriquecimiento

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La columna de rectificación se diseña siguiendo los siguientes pasos:

5.- Cálculo de las rectas operativas de agotamiento y enriquecimiento

8.-Cálculo analítico del número de pisos (Sorel-Lewis)

7.- Representación gráfica de McCabe-Thiele

6.- Cálculo de la recta operativa del alimento

9.- Construcción del gráfico de McCabe-Thiele paso a paso

VARIABLES DE ENTRADA

Datos de equilibrioy x

0.0000 0.0000 0.970.0455 0.0200 D

0.2090 0.1000 3.50.3440 0.18000.4585 0.26000.5555 0.34000.6790 0.46000.7470 0.54000.8045 0.62000.8545 0.7000 15000

0.9005 0.7800 0.40.9405 0.8600 10.9765 0.9400 N = número de pisos

1.0000 1.0000 piso de alimentación

Caudales y composicionesCorriente Caudal (kg/día) Fracción másica

A 15000 0.4D 0.97

R 0.02 0.98R

Reflujo y estado del alimento

q 1Razón de reflujo 3.5

QD

xD =

L1,0/D =

x = fracción molar de benceno en el líquido A (kg/día) =

y = fracción molar de benceno en el vapor zA =q =

Nal =

xR =

QR

IMPORTANTE: x e y han de ser necesariamente fracciones molares ya que si no lo son no puede aplicarse el método de McCabe-Thiele

Todas las composiciones son fracciones másicas

A.1.- Ajuste de las unidades de las variables de entrada

0.9744D

Peso molecular 3.5(g/mol)

Benceno 78Tolueno 92

Corriente Composición Composiciónmásica molar A (kmol/h) = 7.281

A 0.4 0.4402 0.4402D 0.97 0.9744 q = 1R 0.02 0.0235

7.281

3.205

4.076

0.0235R

QD

xD =

L1,0/D =

zA =

A (kmol/h) =

AzA (kmol de benceno/h) =

A(1-zA) (kmol de tolueno/h) =

xR =

QR

Todos los datos de entrada están en composiciones másicas, por lo que hay que pasarlos a composiciones molares.

Puesto que L1,0 y D tienen la misma composición, L1,0/D presentan el mismo valor independientemente

de que L1,0 y D se expresen en moles o en kg.

Todas las composiciones son fracciones molares

N, Nal

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

1.- Cálculo de los caudales de las corrientes R y D

3.190

0.9744

3.5

A (kmol/h) = 7.281

0.4402q = 1

4.0913.190

0.02354.091

QD

D (kmol/h) =

xD =

L1,0/D =

zA =

Corriente de residuo, R (kmol/h) =Corriente de destilado, D (kmol/h) =

xR =R (kmol/h) =

QR

El caudal de la corriente R (corriente de residuo) y el de la corriente D (corriente de destilado) se obtienen por medio de los balances de materia:

Despejando R y D:


N, Nal

A=D+RAzA=DxD+RxR

R=Az A−AxDxR−xD

D=A−R

2.- Ajuste de los datos de equilibrio

y x0.0000 0.0000 0.0000 0.000E+00 2.44620.0455 0.0200 0.0475 4.200E-060.2090 0.1000 0.2137 2.223E-050.3440 0.1800 0.3494 2.886E-05 Función Objetivo = 1.755E+010.4585 0.2600 0.4622 1.382E-050.5555 0.3400 0.5576 4.233E-060.6790 0.4600 0.6757 1.071E-050.7470 0.5400 0.7417 2.795E-050.8045 0.6200 0.7996 2.354E-050.8545 0.7000 0.8509 1.281E-050.9005 0.7800 0.8966 1.506E-050.9405 0.8600 0.9376 8.383E-060.9765 0.9400 0.9746 3.723E-061.0000 1.0000 1.0000 0.000E+00

ycal (y-ycal)2 a =

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1: Comprobación del ajuste de los datos de equilibrio

x

y

Se propone ajustar los datos de equilibrio según la volatilidad media relativa a. Por tanto, la ecuación que se emplea en el ajuste es:

Como se puede observar en esta ecuación se ajusta la variable y (composición del vapor) en función de la variable x (composición del líquido). Pero, como se verá más adelante, a la hora de realizar el cálculo del número de pisos es deseable tener un ajuste de los datos de equilibrio donde se calcule la composición x en función de la composición y.Así pues, si en la anterior ecuación de la volatilidad media relativa se despeja x se obtiene la siguiente ecuación, que será la empleada en el cáculo del número de pisos:

A continuación se representa los datos de equilibrio experimental y los datos de equilibrio

calculado (Figura 1).

(1)

(2)

y=αx

1+x (α−1)

x=y

y+α(1− y )

D15

Composición y calculada con la volatilidad media relativa según la ecuación (1).

H19

Función Objetivo es igual a la suma de las filas de (y-ycal)2 multiplicado por 105

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 1: Comprobación del ajuste de los datos de equilibrio

x

y

Como puede comprobarse el ajuste obtenido es satisfactorio.

yycal

Se propone ajustar los datos de equilibrio según la volatilidad media relativa a. Por tanto, la ecuación que se emplea en el ajuste es:

Como se puede observar en esta ecuación se ajusta la variable y (composición del vapor) en función de la variable x (composición del líquido). Pero, como se verá más adelante, a la hora de realizar el cálculo del número de pisos es deseable tener un ajuste de los datos de equilibrio donde se calcule la composición x en función de la composición y.Así pues, si en la anterior ecuación de la volatilidad media relativa se despeja x se obtiene la siguiente ecuación, que será la empleada en el cáculo del número de pisos:

3.- Cálculo de la intersección de la recta q (recta de alimentación) con la curva de equilibrio

Recta qPendiente = infinito

Ordenada en el Origen = en el infinito

0.6552 0.4372 0.4402

Estimación de yA Cálculo de xA con x = f(y) Cálculo de xA con recta q

yA xA,eq xA,recta

En este apartado se debe calcular la intersección de la recta q con la curva de equilibrio (punto xA, yA en la gráfica).

Para ello se calcula la recta q mediante su pendiente, -q/(1-q), y su ordenada en el origen, zA/(1-q).

Para hallar la intersección de la recta q con la curva de equilibrio se

puede utilizar la herramienta Buscar Objetivo de EXCEL, con la función objetivo igual a la diferencia

entre el valor de xA dado por la curva de equilibrio y el valor de xA

obtenido en la recta q.

El proceso de cálculo seguido se muestra en el organigrama.

Estimación de yA

Calcular xA con el ajuste de los datos de equilibrio:

x = f(y) (xA,eq)

Calcular xA con recta q (xA,recta)

(xA,eq – xA,,recta)2 = 0FIN NOSÍ

Recta q

B36

composición yA estimada

D36

composición xA calculada con yA estimada y el ajuste de los datos de equilibrio

F36

composición xA calculada con yA estimada y la recta de alimentación

Función Objetivo9.13049633062108E-06

0.4402

0.6552

Recta qx y

0.4402 0.4402

0.4402 0.6552

xA =

yA =

(zA, zA)

(xA, yA)

La recta q de alimentación queda definida por los siguientes puntos:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 2: Disposición de la recta q

datos de equilibrio

Recta q o de al-imentación

diagonal

xy

B40

Función Objetivo igual al cuadrado de la diferencia de los valores de xA,eq y xA,recta

4.- Cálculo del caudal de reflujo

0.97443.190

3.5 11.1673.190

11.167

A (kmol/h) = 7.281

0.4402q = 1

0.02354.091

QD

xD =D (kmol/h) =

L1,0/D = L1,0 (kmol/h) =D (kmol/h) =

L1,0 (kmol/h) =

zA =

xR =R (kmol/h) =

QR

A partir de la relación de reflujo y el caudal de destilado, se puede calcular el caudal de reflujo L1,0.


N, Nal

Reflujo

5.- Cálculo de las rectas operativas de enriquecimiento y agotamiento

3.190

0.9744

11.167

A (kmol/h) = 7.281

0.4402q = 1

0.02354.091

Sector de Sector deenriquecimiento agotamiento

D (kmol/h) =

xD =

L1,0 (kmol/h) =

zA =

xR =R (kmol/h) =

A continuación se calculan las rectas operativas de los sectores en los que se divide la columna. Al tratarse de una columna convecional, con una alimentación, la columna se divide en dos sectores: - el sector superior a la introducción de la alimentación o de enriquecimiento (sector 1) - y el sector inferior a la introducción de la alimentación o de agotamiento (sector 2)


N, Nal

Recta Operativa de Enriquecimiento

Recta Operativa de Agotamiento

Se aplican las siguientes expresiones para el cálculo de la pendiente y ordenada en el origen de las rectas operativas de enriquecimiento y agotamiento:

Enriquecimiento Agotamiento

Pendiente

Ordenada en el origen DxD

L1,0+D

L1,0L1,0+D

L1,0+qAL1,0+D−(1−q )A

DxD−Az AL1,0+D−(1−q )A

0.7778 1.2849 = Pendiente0.2165 -0.0067 = Ordenada en el origen

Coordenadas de la intersección de las Rectas x = 0.4402Operativas de Enriquecimiento y Agotamiento y = 0.5589

El punto de corte de las rectas operativas de enriquecimiento y agotamiento pertenece siempre a la recta q, y se puede hallar resolviendo el sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de dichas rectas operativas.

A continuación se calcula la intersección de las rectas de operativas de enriquecimiento y agotamiento a efectos de ver que pertenece a la recta q. Este punto no es necesario para dibujar el diagrama de McCabe-Thiele, pero es muy útil para comprobar que los cálculos se están desarrollando de forma correcta.Si se llama m1 y n1 a la pendiente y la ordenada en el origen de la operativa de enriquecimiento respectivamente y m2 y n2 a la pendiente y ordenada en el origen de la operativa de agotamiento, la coordenada x de la intersección de ambas rectas operativas viene dada por: La coordenada y se obtiene sustituyendo la coordenada x hallada en la recta operativa de enriquecimiento o de agotamiento.

Recuerda que el método de diseño de colunmas de rectificación de McCabe-Thiele es la representación gráfica del método analítico de Sorel-Lewis, por lo tano si se realiza gráficamente el diseño de la columna, el cálculo del punto de corte de estas rectas no es necesario ya que se vería gráficamente.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 3: Rectas Operativas de Enriquecimiento y de Ago-tamiento

Recta q

Operativa de Enriquec-imiento

Operativa de Ago-tamiento

x

y

Conociendo la intersección de las rectas operativas y que el punto de corte con la diagonal de cada recta es:

x = y = xD recta operativa de enriquecimiento x = y = xR recta operativa de agotamiento

Se representan estas rectas operativas en el diagrama de McCabe-Thiele (Figura 3).

x=n2−n1m1−m2

G56

La coordenada y se obtiene aplicando la ordenada y la pendiente de la operativa de enriquecimiento a la coordenada x de la intesección de las rectas operativas de enriquecimiento y agotamiento.

Recta Operativa de Enriquecimientox y

0.9744 0.97440.4402 0.5589 Int. Operativas

Recta Operativa de Agotamientox y

0.0235 0.02350.4402 0.5589 Int. Operativas

Int. Operativas = intersección de las rectas operativasde enriquecimiento y de agotamiento

= (xD, xD)

= (xR, xR)0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 3: Rectas Operativas de Enriquecimiento y de Ago-tamiento

Recta q

Operativa de Enriquec-imiento

Operativa de Ago-tamiento

x

y

Conociendo la intersección de las rectas operativas y que el punto de corte con la diagonal de cada recta es:

x = y = xD recta operativa de enriquecimiento x = y = xR recta operativa de agotamiento

Se representan estas rectas operativas en el diagrama de McCabe-Thiele (Figura 3).

6.- Cálculo de la recta operativa del alimento

Recta Operativa de Enriquecimiento Recta Operativa de Agotamiento

x y x y

0.9744 0.9744 0.0235 0.0235

0.5640 0.6552 0.4402 0.5589

Recta Operativa de Alimentaciónx y

0.5640 0.6552

0.4402 0.5589

Recta Operativa de Alimentaciónpendiente = 7.7778E-01

ordenada en el origen = 2.1654E-01

pasa por (xD, xD) y (xOPTIMA, yA) pasa por (xR, xR) y (xA, yOPTIMA)

(xD, xD) = = (xR, xR)

(xoptima, yA) = = (xA, yoptima)

(xOPTIMA, yA) =

(xA, yOPTIMA) =

Finalmente se calcula la pendiente y la ordenada en el origen de la recta operativa de alimento con los puntos:

(xOPTIMA, yA) y (xA, yOPTIMA)

Una vez calculada la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas operativas, se puede calcular la composición correspondiente a la intersección de cada recta con la recta operativa del piso de alimentación:

- La intersección con la recta operativa de enriquecimiento se produce en y = yA

- La intersección con la recta operativa de agotamiento se produce en x = xA

En la Figura 4 se representan las rectas operativas de enriquecimiento, agotamiento y alimentación de la columna de rectificación.

Recta Operativa de Alimentación

C17

xOPTIMA se calcula con yA y la Recta Operativa de Enriquecimiento

G17

yOPTIMA se calcula con xA y la Recta Operativa de Agotamiento

I27

Se puede calcular con la función Pendiente o sustituyendo en (y2-y1)/(x2-x1) [coordenadas de los puntos por los que pasa la recta]

I28

se puede calcular con la función Intesección.eje o sustituyendo en y1 - m·x1 [(x1,y1) punto por el que pasa la recta; m su pendiente]

En la Figura 4 se representan las rectas operativas de enriquecimiento, agotamiento y alimentación de la columna de rectificación.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4: Disposición de las rectas operativas

recta q

operativa de enriquecimiento

operativa de agotamiento

operativa de alimentación

equilibrio alimento horizontal

equilibrio alimento vertical

x

y

Observa que las rectas operativas de enriquecimiento y agotamiento se representan sólo hasta el punto de corte con la operativa de alimentación.

7.- Representación del gráfico de McCabe-Thiele

Ajuste datos de equilibrio Recta de enriquecimiento Diagonal Pisos

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Observa que cada piso se caracteriza por un

punto sobre la curva de equilibrio, que

corresponde a la composición de las

corrientes que abandonan dicho piso.

La representación del gráfico de McCabe-Thiele supone dibujar, sobre el diagrama de equilibrio y = f(x), todas las rectas operativas, así como la recta q, y a continuación trazar los pisos entre las rectas operativas y la curva de equilibrio.

Si quieres ver la construcción del diagrama de McCabe-

Thiele paso a paso, para la columna propuesta en el enunciado, pulsa aquí.

Recuerda que el número de pisos teóricos en la columna

equivale al número de segmentos horizontales.

Observa que el método de McCabe-Thiele equivale a

representar gráficamente el método de Sorel-Lewis. Pulsa aquí para verlo.

x y x y x y x y0.0000 0.0000 0.9744 0.9744 1 1 piso 1 0.9744 0.97440.0200 0.0475 0.5640 0.6552 0 0 0.9397 0.97440.1000 0.2137 piso 2 0.9397 0.94740.1800 0.3494 Recta de agotamiento Recta de alimento 0.8805 0.94740.2600 0.4622 x y x y piso 3 0.8805 0.90140.3400 0.5576 0.0235 0.0235 0.4402 0.4402 0.7889 0.90140.4600 0.6757 0.4402 0.5589 0.4402 0.6552 piso 4 0.7889 0.83010.5400 0.7417 0.6664 0.83010.6200 0.7996 Recta operativa alimento Datos de equilibro piso 5 0.6664 0.73480.7000 0.8509 x y x y 0.5312 0.73480.7800 0.8966 0.5640 0.6552 0.0000 0.0000 piso 6 0.5312 0.62970.8600 0.9376 0.4402 0.5589 0.0200 0.0455 0.4100 0.62970.9400 0.9746 0.1000 0.2090 piso 7 0.4100 0.52021.0000 1.0000 Equilibrio alimento 0.1800 0.3440 0.3071 0.5202

Horizontal 0.2600 0.4585 piso 8 0.3071 0.3879x y 0.3400 0.5555 0.2057 0.3879

0.44019139 0.65518117 0.4600 0.6790 piso 9 0.2057 0.25770.65518117 0.65518117 0.5400 0.7470 0.1243 0.2577

0.6200 0.8045 piso 10 0.1243 0.1530Vertical 0.7000 0.8545 0.0688 0.1530

x y 0.7800 0.9005 piso 11 0.0688 0.08160.44019139 0.65518117 0.8600 0.9405 0.0351 0.08160.44019139 0.44019139 0.9400 0.9765 caldera 0.0351 0.0384

1.0000 1.0000 0.0160 0.0384

Observa que cada piso se caracteriza por un

punto sobre la curva de equilibrio, que

corresponde a la composición de las

corrientes que abandonan dicho piso.

Si quieres ver la construcción del diagrama de McCabe-

Thiele paso a paso, para la columna propuesta en el enunciado, pulsa aquí.

8.- Cálculo del número de pisos

Para el cálculo analítico del número de pisos en una columna de rectificación según el método de Sorel-Lewis (que es el método que se aplica gráficamente en McCabe-Thiele) se siguen los siguientes pasos:

è Se parte de x0 = xD y se aplica la ecuación de la recta operativa de enriquecimiento para calcular y1.

è Para el valor obtenido de y1 se calcula la composición x1 en equilibrio.

è De esta x1 se calcula el valor de y2 con la recta operativa de enriquecimiento...

è Se alterna el cálculo de xj (con el ajuste de la curva de equilibrio) y yj+1 (con la recta operativa) hasta que se obtenga un piso con x < xoptima.

è A partir de este punto hay que utilizar una vez la recta operativa de alimentación para calcular la composición del líquido que sale del piso de alimentación. Después se utiliza la recta operativa de agotamiento hasta alcanzar x < xR.

Al realizar los cálculos etapa a etapa, la hoja de cálculo se puede programar utilizando funciones lógicas de Excel, de forma que el cambio se realice o no, dependiendo de la comparación entre la

última x calculada con una x de referencia, de forma que:

Ir a zona de alimentación en diagrama de McCabe-Thiele

ENRIQUECIMIENTO

ALIMENTO

AGOTAMIENTO

FIN (NO COLUMNA)

Para este caso en concreto:

El cambio del sector de enriquecimiento al de alimento se produce si 0.5640

El cambio del sector de alimentación al de agotamiento se produce si 0.4402

El fin de la columna se produce cuando 0.0235

xREFERENCIA > xoptima

xoptima ≥ xREFERENCIA > xA

xREFERENCIA

xA ≥ xREFERENCIA > xR

xR ≥ xREFERENCIA

x≤ = xoptima

x≤ = xA

x≤ = xR

y se calcula con operativa

xeq se calcula con ajuste curva

equilibrio

Al realizar los cálculos etapa a etapa, la hoja de cálculo se puede programar utilizando funciones lógicas de Excel, de forma que el cambio se realice o no, dependiendo de la comparación entre la

última x calculada con una x de referencia, de forma que:

Tabla para el cálculo de las composiciones

Ir a Funciones Lógicas de Excel

Composiciones iguales

y sector piso0.97444857 0.97444857 0.93972269 enriquecimiento 10.93972269 0.94743956 0.88050805 enriquecimiento 20.88050805 0.90138372 0.78887298 enriquecimiento 30.78887298 0.830112 0.66638322 enriquecimiento 40.66638322 0.73484219 0.53115492 enriquecimiento 50.53115492 0.62966462 0.41004702 alimento 60.41004702 0.52018199 0.30708613 agotamiento 70.30708613 0.38788508 0.20574611 agotamiento 80.20574611 0.25767086 0.12426371 agotamiento 90.12426371 0.15297218 0.06875155 agotamiento 100.06875155 0.08164327 0.03506776 agotamiento 110.03506776 0.03836216 0.01604606 agotamiento 120.01604606

xREFERENCIA xeq

Se ha obtenido que la columna tiene:11 pisos más una caldera parcial, de los cuales:

5 pisos son del sector de enriquecimiento (si se utiliza un condensador total)

y 6 pisos son del sector de agotamiento más una caldera parcial

Composiciones iguales

B69

Composición de referencia par indicar el sector y decidir el eventual cambio de sector

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

y

En primer lugar se dibuja la diagonal en el diagrama de

McCabe-Thiele. Esta línea ayuda a dibujar las demás