CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

1/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores

CONTROLO3º ano – 1º semestre 2011-2012

Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo– Projecto Nyquist/Bode

Maria Isabel Ribeiro

António Pascoal

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

2/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresProjecto no domínio da frequência

EXEMPLO

0K 2

1

s

+

_

ControladorSistema a controlar

C(s) G(s)Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2

K=1

frequência de cruzamento

s/rad.c 01

º)j(Garg c 180

margem de fase

ºM 0sistema marginalmente estável

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

3/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresEXEMPLO

0K 2

1

s

+

_


C(s) G(s)Critério de Nyquist

Contorno de Nyquist

xxpólo

duplo

A

-1

A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1

º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1

01 *)j(C*)j(G

*j é um pólo em malha fechadasistema marginalmente estável

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

4/Cap.12-ParteA


0K 2

1

s

+

_


C(s) G(s)Root-Locus

xpólo

duplo

sistema marginalmente estável

x

2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário

Estratégia de Controlo

z

zsK)s(C

xxo

efeito estabilizador

Introdução de amortecimento artificial

devido ao termo derivativo

(PD)

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

5/Cap.12-ParteA


z

zsK

2

1

s

+

_


C(s) G(s)K=1, z=0.1rad/s

exemplo

ºM 90

-1

sistema em c.f. estável

MGPode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

6/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresAnálise do compensador PD

z

zsK)s(C

)s/rad(

arg C(s)

45º

90º

benefício de avanço de fase

z

compensador por avanço de fase

-1

sistema original

sistema compensado

nova margem de fase

Diagrama de Nyquist

O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

7/Cap.12-ParteA


Compensador PD

z

zsK)s(C

Compensador de avanço de fase

ps

zs

z

pK)s(C

sistema realizável (com um pólo e um zero)

ps

zs

z

pK

2

1

s

+

_


C(s) G(s)avanço de fase

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

8/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresCompensador por Avanço de Fase

Ts

Ts

K)s(C

1

1

1

1

Ganho estático = K

zero = - 1/T

pólo = -

xT

1

T1

T

1

T1

dB

K

o90

max

max

)j(Clim

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

9/Cap.12-ParteA


?max ? max

Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE

1

1

1

1

Tj

TjK

Ts

TsK)j(C

js

)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c

22 11 T

T

T

T

d

)(d c

Cálculo de

0d

)(d c

0

11 22 T

T

T

T

max

22 1

T

T

1 maxEm escala logarítmica, equidistante das

frequências de corte do zero e do pólo

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

10/Cap.12-ParteA


?max

)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax

T

1 max

)(arctgarctg

1

2

1arctgmax

1

1arcsinmax

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

11/Cap.12-ParteA


)( maxc Máximo AVANÇO DE FASE

1

90º

Tz

1T

p

1

1

x 0 zp

º)( maxc 90

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

12/Cap.12-ParteA


T

1

T1

T

1T1

dB

K

o90

max

max

T

1 max

1

1arcsinmax

?)j(CKmax 1 Porque é importante

conhecer ?

• O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.

• Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto?

• É o preço a pagar pelo avanço de fase

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

13/Cap.12-ParteA


T

1

T1

T

1T1

dB

K

o90

max

max

T

1 max

1

1arcsinmax

1

1

Tj

TjK)j(C

1

11

j

j

K)j(C max

max

1

K)j(C max

?)j(CKmax 1

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

14/Cap.12-ParteA


1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador

2. Erro de seguimento a rampa unitária

3. Margem de fase

4. Margem de ganho

0250.)(eramp o

M 48dBGM 6

Objectivos a atingir

EXEMPLO 1Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

)s(K100

100

s 36

1

s s

1+

_

motor com cargaamplificadorcontrolador

velocidade

posição angular

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

15/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresEXEMPLO 1

)s(K)s)(s(s 10036

100

+

_

G(s)a projectar

)s(K~

K)s(K

ganho estático unitário

10 )(K~

2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp

40

1

1

0s

)s(K)s(sGlim)(eramp

40 0s

)s(K)s(sGlim

4036

10036

100

0s

K

)s)(s(

Klim

1440K

escolha-se

1440K

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

16/Cap.12-ParteA


)s(K~

)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

ºM 34

dB.GM 610s/rad.959

s/rad.dB 5290

Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico

Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

17/Cap.12-ParteA


)s(K~

)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

a projectar )s(GK

Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist

xxx-100 -36

P=0

Contorno de Nyquist

1)s(K~

-134º

módulo=1

N=0

Z=P+N=0

com

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

18/Cap.12-ParteA


)s(K~

)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

a projectar )s(GK

3. Margem de fase oM 48

ºM 34Para 1)s(K~

Aumento nominal de 48º - 34º = 14º

No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL

0 db

-180º

sistema original

sistema original

Compensador de avanço

nova frequência de cruzamento

Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso

+ aumento de fase

Não basta um aumento de 14º

34º

figura não à escala. Apenas ilustrativa

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

19/Cap.12-ParteA


)s(K~

)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

a projectar )s(GK

3. Margem de fase oM 48

ºM 34Para 1)s(K~

Aumento nominal de 48º - 34º = 14º

Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º

max

ºmax 24

avanço

Determinação das características do compensador de avanço de fase

1

1arcsinmax

420.

O parâmetro define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

20/Cap.12-ParteA


ºmax 24

?max

5411

.

dB.

dB

7731

preço a pagar pelo avanço de fase

onde se coloca ?max

T

1

T1

max

wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior

T

1 max

• Conhecendo

• Escolhendo wmax

• Calcula-se T

Ganho estático do compensador unitário

Todo o ganho necessário já foi considerado

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

21/Cap.12-ParteA


onde se coloca ?max

max Frequência à qual o ganho de malha

dB.)s(GKjs

773

s/radmax 39

420

391

.

s/radT

max

s/rad.T

s/rad.T max

2601

325 1

max

EXEMPLO 1

+3.77dB

-3.77dBf.t.c.a sistema original

f.t.c.a sistema compensado

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

22/Cap.12-ParteA


)s(K)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

a projectar )s(G

Ts

Ts

K)s(K~

K)s(K

1

11

260

3253821440

.s

.s.)s(K

2.60

3.252.3427)(

s

ssK

f.t.c.a. do sistema compensado

f.t.c.a. do sistema original*1440

f.t. do compensador com ganho estático unitáro

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

23/Cap.12-ParteA


)s(K)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

ºoM 4846

dBdB.GM 6511

Se não for satisfatório, refaça os cálculos


f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

24/Cap.12-ParteA


)s(K)s)(s(s

x

10036

1440 100

+

_

oM 46

ºM 34

nova margem de fase

Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

25/Cap.12-ParteA


Compensador de avanço - Sumário

• Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa

• Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência

• O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo

• O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

26/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase

Ts

Ts

)s(K~

1

1

1

1

Ganho estático = 1

zero = - 1/T

pólo = -

x

T1

T

1

0 dB

1020 log

Diagrama de Bode de )s(K~

)s(K~

K)s(K 1 0 )(K~

O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

27/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresCompensador de atraso – Princípio de utilização

• Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.

• Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador– Até uma década após o zero

• Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB.– Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes

da frequência de cruzamento a 0dB desejada.

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

28/Cap.12-ParteA

Projecto de controladoresCompensador de Atraso de Fase

Ts

Ts

)s(K~

1

1

1

T1

T

1

0 dB

1020 log

Diagrama de Bode de )s(K~

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

29/Cap.12-ParteA


1. K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador

2. Erro de seguimento a rampa unitária

3. Margem de fase

4. Margem de ganho

21621 ./)(eramp º.M 259dBGM 12

Objectivos a atingir

EXEMPLO 2Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

)s(K100

100

s 36

1

s s

1+

_

motor com cargaamplificadorcontrolador

velocidade

posição angular

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

30/Cap.12-ParteA


)s(K)s)(s(s 10036

100

+

_

G(s)a projectar

)s(K~

K)s(K

ganho estático unitário

10 )(K~

2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp

2162

1

1

0s.)s(K)s(sGlim

)(eramp

2162 0s

.)s(K)s(sGlim

216236

10036

100

0s.

K

)s)(s(

Klim

5839K

escolha-se

5839K

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

31/Cap.12-ParteA


)s(K~

)s)(s(s

x

10036

8395 100

+

_

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

714 s/rad.

dB)j(GK,ºM 20 59

Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso?

Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida?

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

32/Cap.12-ParteA


)s(K~

)s)(s(s

x

10036

8395 100

+

_

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

s/rad.º.M 789 para 269

º.ºº.desejadaM 26910259

factor de segurança

Porque é necessário o factor de segurança?

24dB 9.78rad/s

)j(GK

O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

33/Cap.12-ParteA


0 dB

Dimensionamento do compensador de atraso

-90º

-24dB

define o afastemento entre o pólo e o zero

T.T 8415

11

T

1

8415 2420 10 .dBlog

Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho

Onde “colocar” o compensador?

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

34/Cap.12-ParteA


0º

EXEMPLO 2

Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

35/Cap.12-ParteA


0 dB

Estratégia de “colocação” do compensador de atraso

-90º

-24dB

T.T 8415

11

T

1

Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho

Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada

s/rad.T

9801s/rad.

T 0620

1

Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula

Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada

M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

36/Cap.12-ParteA


)s(K)s)(s(s 10036

100

+

_

a projectar )s(G

11

( ) ( )1

sTK s K K s K

sT

1 0.98( ) 5839

15.84 0.062

sK s

s

0.98( ) 368.6

0.062

sK s

s



f.t. do compensador

dBG,º MM 22 64

especificações verificadas

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-100

-50

0

50

100

System: sysFrequency (rad/sec): 10Magnitude (dB): -0.175

Mag

nitu

de (

dB)

10-2

10-1

100

101

102

10

-270

-180

-90

0

Pha

se (

deg)

System: sysFrequency (rad/sec): 10Phase (deg): -116

f.t. do compensador



CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012

Documents

Transcript of CONTROLO 3º ano – 1º semestre 2011-2012