Controlador PID Discreto - 1
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7/24/2019 Controlador PID Discreto - 1
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7/24/2019 Controlador PID Discreto - 1
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Contro lador PID Discreto Salvador Gutirrez Alcal Contro l Digital
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La cuarta expresin en (5) es equivalente a la segunda en (2),
misma que, al ser reorganizada, presenta la forma equivalente a la
tercera
expresin
en
(2),
misma
que
puede
verse
a
continuacin
11 11
I
c P D
KG z K K z
z
(7)
dondeP
K esmostradaen(6)y
2
I
P P
D PP D
I
I
D
I
KK K
T KK K
K T TT
KTK
T
conI
K yD
K como las ganancias presentadas en (3), donde las
testadas son las llamadas ganancias del control PID discreto, o
simplemente
ganancias
discretas
de
control;
claramente,
la
diferenciaestriba en la presencia del periodo de muestreo. La FT en (7) se
reescribecomosigue
1
1c P I D
z zG z K K K
z z
dedondesedesprendequeelcontroladorPIDdiscretointroduceunpar
de
polos
fijos
en
0
y
en
1,
as
como
un
par
de
ceros,
cuya
ubicacin
depende
de
las
ganancias
discretas
de
control.
Sugerencia para la Seleccin de susParmetros Unamanerarelativamentesimpledeelegirlasmagnitudesdelos
parmetros que aparecen en la expresin para el controlador PID
discretomostradoen(4)espormediodelaubicacindirectadeceros,
loque se logra reacomodando lacuartaexpresinen (5)de tal suerte
quepresentelaformamostradaacontinuacin
1 2
1c
z z z zG z K
z z
(8)
donde1 2
,z z son los cerosdeseados,mientrasque K es laganancia que permitir elegir la mejor ubicacin de polos en lazo
cerrado. Elprocesoeselsiguiente.
221
21
2
1 1
1
1 11
1
1 11
1 1 2
1
1 2
1 1
1 1
I
I
I I
I
c P D
I
DT
P
D D DT
P
D D
D DT T
P DT
z zG z K T
T z z
z z z T zKz z
T z T z T K
z z
T Tz z
T T
K Tz z
Acontinuacin,sereescribelaecuacinen(8)delasiguientemanera
2
1 2 1 2
1c
z z z z z zG z K
z z
dedondesedesprendeque,paraalcanzarelobjetivo,debecumplirse
que
11I
P DTK T K (9)
ademsdeque
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Contro lador PID Discreto Salvador Gutirrez Alcal Contro l Digital
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1 21
1 21
1 2
1
1
I
I
D
DT
D
DT
Tz z
T
Tz z
T
(10)
Con dos ecuaciones y dos incgnitas, al menos en teora, debe
existir solucin nica: por medio de manipulaciones algebraicas, es
posible presentar de manera matricial a las expresiones en (10),
resultado
mostrado
a
continuacin
11 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2
2 1
1
IT
D
z z z z z z
z z z z T z z
(11)
ecuacinmatricialdeordendoscuyasolucinanalticaessimpleva la
inversadelamatrizalaizquierdadelvectordeincgnitas,esdecir
1
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 1 21
1 2
z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z
Almultiplicar laexpresinanteriorpor la izquierdade laecuacin (11)
setieneque
1 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 11
2
IT
D
z z z z z z
T z z z z z z z z z z
dedondesedesprendeque
1 1 2 1 21 2 1 2 1 2
11
2
IT
D
z z z z
T z z z z z z
(12)
Comoconsecuencia,siemprequesecumplaque
1 2 1 22 0z z z z
existesolucinnica,loquesiempresuceder,yaquelanicaformade
que dicha expresin fuera cero sera en el caso en que ambos ceros
fueran
ubicados
deliberadamente
en
uno
dentro
del
plano
complejo
z,
loque implicaraque estaran ambosubicados en elorigen delplano
complejo s , concluyndose que no se tratara ms de la versin
discreta del PID, sino simplemente un intento de versin discreta del
derivativopuro.
Suponiendoqueseaelcaso,acontinuacinsepresentanlasmagnitudes
delosparmetrosdelaleydecontrolpresentadaen(4).
Despejando
IT
de
(6)
se
tiene
que
2 12
I I
TT T
porloque,despejandoI
T de(12)
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1I
z z z zT
z z z z
(13)
setiene,alsustituiryreorganizar,que
1 2 1 2
1 2 1 2
1 3
2 1I
z z z zTT
z z z z
(14)
cuyoinversomultiplicativoes
1 2 1 2
1 2 1 2
11 2
1 3I
z z z z
T T z z z z
(15)
Comode(6)sedesprendeque
2
I D
D
I
T TT
T T
entonces
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Contro lador PID Discreto Salvador Gutirrez Alcal Contro l Digital
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2 I
D D
I
TT T T
T
por
lo
que,
empleando
los
resultados
mostrados
en
(13)
y
en
(15),
se
tiene
que
2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
22
1 3
22
1 3
D D
D
z z z zT T T
T z z z z
z z z zT T
z z z z
SedespejaD
T de (12) y se sustituyeen laexpresin anterior,dando
comoresultadoque
1 2
1 2 1 2
21 3
D
z zT T
z z z z
(16)
FaltandopordeterminartansloelvalordelagananciaP
K . Paraello,
de
sustituir
la
primera
expresin
de
(6)
en
(9)
se
desprende
que
11 12 I
P DT
I
TK T K
T
(17)
porloque,antesdedespejarP
K ,bienvalelapenaencontrarlosotros
dosfactoresenlaexpresinanterior. Porunlado,setieneque
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1 12 1 3
1 3 1
1 3
22
1 3
I
z z z zT
T z z z z
z z z z z z z z
z z z z
z z z z
z z z z
(18)
mientras
que
por
el
otro
1 2 1 2 1 211 2 1 2 1 2 1 2
11 1
2 2I DT
z z z z z zT
z z z z z z z z
dedonde,realizandolasumaysimplificando,setieneque
1
1 2 1 2
11
2I DT
Tz z z z
(19)
Sustituyendo
la
ltima
expresin
en
(18)
y
la
mostrada
en
(19)
dentro
de
(17)setieneque
1 2 1 2
21 3
PK K
z z z z
dedondeseobtiene laexpresinquefaltaba,mismaquesemuestraa
continuacin
1 2 1 21 32
P
KK z z z z
(20)
Sumario
Las expresiones (14), (16) y (20) determinan los valores de los
parmetros requeridosenelcontroladorPIDdiscretocuyadescripcin
matemticasemuestraen(4),para loquebastelegirunpardeceros
deseadosenelcontrolador (yaseaparacancelarpolosen lazoabierto
nodeseados,oparajalarellugardelasracesdentrodelcrculounitario
paraunrangodevaloresdelagananciaproporcional)detalsuerteque
pueda
alcanzarse
un
comportamiento
aceptable
en
lazo
cerrado,
por
mediodelaeleccinapropiadadelospolosdominantes.
