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la respuesta de un sistema es la suma de la respuesta forzada (también llamada respuesta estacionaria o solución particular) y la respuesta natural (solución homogénea)

Tema 2: Respuesta temporal de sistemas continuos (I)

Control y Automatización, IOI

Para encontrar la respuesta de un sistema de control podemos resolver la ecuación diferencial…… o podemos representar el sistema mediante su función de transferencia y calcular su transformada inversa de Laplace…pero también podemos evaluar cualitativamente cuál es la respuesta de un sistema simplemente analizando los polos y los ceros del sistema

los polos de la señal de entrada determinan la respuesta forzada los polos de la función de transferencia determinan la respuesta natural

Tema 2- Respuesta temporal de sistemas continuos- Araceli G Llorente

2

¿qué significa lo anterior?

En la Sesión #1 de MATLAB resolviste la respuesta de un sistema a una entrada constante:

H2(s) =20

s2 + 6s+ 144

H2(s) : �3± 3p15i

C2(s) =20

s(s2 + 6s+ 144)=

A

s+

Bs+ C

s2 + 6s+ 144

c2(t) =5

36

� 5

36

e�3t[cos(3

p15t) +

p15 sin(3

p15t)

15

]

polos de

a partir de estos polos, del tema anterior ya sabemos que la respuesta natural del sistema será la convolución de una exponencial decreciente con una función oscilante

respuesta naturalrespuesta forzada

0 0.5 1 1.5 2t

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

536 −

√1527 e−3t[cos(3

!(15)t− 14.48)]

536 −

√1527 e−3t

536 +

√1527 e−3t

=

5

36

�p15

27

e�3tcos[(3

p15t� 14.48)]

explica la forma gráfica de la solución a partir de la expresión de c(t)


3

Tipos de formas de onda de entrada utilizados en sistemas de control:


G(s) =9

s2 + 9s+ 9

G(s) =9

s2 + 2s+ 9

Tipos de respuesta temporal de sistemas de segundo orden

consideramos respuesta a una función escalón: R(s) =1

s;C(s) = G(s) ·R(s)

4

C(s) =9

s(s2 + 9s+ 9)) c(t)

C(s) =9

s(s2 + 2s+ 9)) c(t)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

c(t)

c (t ) = 1 + 0.171e−7 .854t − 1.17e−1 .145t

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

t

c(t)

c (t ) = 1 − 1.06e− t c os(√8t − 19.4)

1 − 1.06e− t

1 + 1.06e− t

¿polos de la función de transferencia en cada caso?

� =9/2

3> 1

� =2/2

3< 1


0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

t

c(t)

c (t ) = 1 − cos 3t

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

c(t)

c (t ) = 1 − 3t e−3t − e−3t

G(s) =9

s2 + 9

5

G(s) =9

s2 + 6s+ 9

� = 0

� =6/2

3= 1


0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

t

c(t)

c r it icamente amortiguado

sobreamortiguado

subamortiguado

6

¿qué relación existe entre la respuesta transitoria del sistema y los polos de su función de transferencia?


7

Definimos razón de amortiguamiento:

G(s) =b

s2 + as + b

¿sabes explicar por qué tiene esta expresión?

� =frecuencia de amortiguamiento

frecuencia natural de oscilacion=

a/2�b

� los casos anteriores se pueden caracterizar a partir de este coeficiente


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tipos de respuesta de los sistemas de segundo orden a una función escalón en función de la razón de amortiguamiento:

raíz múltiple!


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En la sesión #2 de MATLAB trabajarás con los siguientes parámetros que caracterizan la respuesta temporal:

Tr, Rise time

Tp, Peak time

%OS, Percent overshoot

Ts, Settling time

Steady state

Step Response

(seconds)0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Tr

Tp

Tssteady state

representación de líneas de Tp, Ts y %OS constanteen el plano s

(Ts tiene esa representaciónen su forma aproximada!!)


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G(s) =20

s2 + 8s + 20

¿qué tipo de sistema es?

¿cuál es el valor de su coeficiente de amortiguamiento?

Respuesta del sistema a una función escalón:

C(s) =20

s(s2 + 8s + 20)

c(t) = 1 � e�4t(cos(2t) + 2 sin(2t))

0 2 4 6 8 10t

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

c(t)

es la gráfica que esperabas??


Step Response

(seconds)0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

G1 G2 G3 G4

11

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1ζ

0

20

40

60

80

100%OS

dependencia de %OS con ζ

⇣ = 0.340.50.67

0.90


%OS = 100 · e� ��

1��2

G1 =20

s2 + 8s+ 20

G2 =20

s2 + 6s+ 20

G3 =20

s2 + 4.5s+ 20

G4 =20

s2 + 3s+ 20

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Respuesta de sistemas con polos adicionales (sin ceros)

consideramos respuesta a una función escalón: R(s) =1

s;C(s) = G(s) ·R(s)

Step Response

(seconds)0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

G1 G2 G3 G4

¿qué tendencia observas? ¿cómo describes el efecto de la adición de un tercer polo?Tema 2- Respuesta temporal de sistemas continuos-

Araceli G Llorente

G1 =22

s2 + 2s+ 22

G3 =110

(s+ 5)(s2 + 2s+ 22)

G4 =154

(s+ 7)(s2 + 2s+ 22)

G2 =44

(s+ 2)(s2 + 2s+ 22)

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si calculamos mediante transformada inversa de Laplace las funciones respuesta, c(t), de la transparencia anterior

c2(t) = 1 � e�2t � 2

21

�21e�t sin(

�21t)

c1(t) = 1 � e�t[cos(�

21t) +

�21

21sin(

�21t)]

razona a partir de las expresiones analíticas lo que has visto gráficamente!!!


c3(t) = 1� 22

37

e�5t � 15

37

e�t[cos(

p21t) +

25

p21

63

sin(

p21t)]

c4(t) = 1� 22

57

e�7t � 35

57

e�t[cos(

p21t) +

9

p21

35

sin(

p21t)]

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Respuesta de un sistema con ceros

H1 =9

s2 + 2s+ 9

¿cómo describes el comportamiento de un sistema con ceros respecto al sistema sin ceros (H1)?

(s+ a)C(s) = sC(s) + aC(s)

derivada de la respuesta original respuesta original multiplicada por a

Step Response

(seconds)0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8H1 H2 H3 H4

H2 =(9/2)(s+ 2)

s2 + 2s+ 9

H3 =3(s+ 3)

s2 + 2s+ 9


H4 =(9/10)(s+ 10)

s2 + 2s+ 9

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