Control Variables

137 Control Estadstico del Proceso

3 CONTROL DEL PROCESO POR VARIABLES Y

ATRIBUTOS

Al finalizar la unidad, el alumno realizar grficas de control por variables X y R y por atributos para mantener el seguimiento y control de los procesos de transformacin.


Mapa Curricular de la Unidad de Aprendizaje

1.1. identificar los factores fundamentales que afectan la calidad para su anlisis acorde al impacto en la calidad. 3hrs. 1.2. identificar la causa de la variacin en un proceso como base para

aplicar la estadstica en su estudio y anlisis. 7hrs.

2.1 Aplicar las tcnicas de anlisis estadstico para establecer las soluciones que afectan la variacin dentro de un proceso 20hrs

2.2 Realizar estudios de un proceso con el anlisis de su comportamiento mediante la distribucin de frecuencias para determinar su capacidad.

30hrs

3.1 Aplicar grficas de control por variables para monitorear y mantener la variacin dentro de los limites 24hrs. 3.2 Aplicar grficas de control por atributos para monitorear y mantener la variacin dentro de los limites 24hrs.

CONTROL ESTADSTICO DEL PROCESO

108 hrs.

1.-Factores de Variacin en los procesos.

10 HRS

2.-Capacidad del Proceso.

50 HRS

3. Control del Proceso por Variables y atributos en los procesos.

48 HRS


Sumario Grficas de control. Grficas por variables x, r. Grficas por variables media, desviacin

estndar. Grficas por variables medias y rangos. Grficas pre-control. Grficas por atributos. Grficas np, defectuosos. Grficas p, fraccin defectuosa. Grficas c, nmero de defectos. Grficas i, defectos por unidad. RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.1 Aplicar graficas de control por variables para monitorear y mantener la variacin dentro de los lmites establecidos a fin de establecer el estado de control estadstico del proceso. 3.1.1 Grficas de Control Definicin Grafico en el cual se representan valores de medicin. Caractersticas Los grficos de control o cartas de control son una importante herramienta utilizada en control de calidad de procesos. Bsicamente, una Carta de Control es un grfico en el cual se representan los valores de algn tipo de medicin realizada durante el funcionamiento de un proceso continuo, y que sirve para controlar dicho proceso.

Figura 1. Ejemplo. Supongamos que tenemos una mquina inyectora que produce piezas de plstico, por ejemplo de PVC. Una caracterstica de calidad importante es el peso de la pieza de plstico, porque indica la cantidad de PVC que la mquina inyect en la matriz. Si la cantidad de PVC es poca la pieza de plstico ser deficiente; si la cantidad es excesiva, la produccin se encarece porque se consume ms materia prima.

Figura 2. Entonces, en el lugar de salida de las piezas, hay un operario que cada 30 minutos toma una, la pesa en una balanza y registra la observacin:

Figura 3. Ejemplo. Supongamos que estos datos se registran en un grfico de lneas en funcin del tiempo:


Figura 4. Observamos una lnea quebrada irregular, que nos muestra las fluctuaciones del peso de las piezas a lo largo del tiempo. Esta es la fluctuacin esperable y natural del proceso. Los valores se mueven alrededor de un valor central (El promedio de los datos), la mayor parte del tiempo cerca del mismo. Pero en algn momento puede ocurrir que aparezca uno o ms valores demasiado alejados del promedio. Cmo podemos distinguir si esto se produce por la fluctuacin natural del proceso o porque el mismo ya no est funcionando bien?. Esta es la respuesta que provee el control estadstico de procesos, y a continuacin veremos como lo hace. Importancia Los grficos de control son de suma importancia ya que nos proporcionan informacin para prevenir la fabricacin de piezas defectuosas por estar fuera de especificaciones, tambin nos ayudan a controlar las caractersticas de calidad y evitar que se modifiquen a lo largo del tiempo. Otro factor importante es que nos apoyan en el control del proceso mantenindolo estable en cuanto a tiempos y parmetros de calidad. Tipos - Por atributos Este trmino se utiliza para referenciar a las caractersticas de calidad cualitativas tales como los defectos de un metal el mal funcionamiento o no de un aparato, etc.

Los grficos de control por atributos son los np y p utilizados para controlar la proporcin de piezas defectuosas que genera el proceso. Los grficos c y u sirven para controlar el numero de defectos. - Por variables Este termino se utiliza para referenciar a la caractersticas de calidad cuantitativas tales como Longitud, peso voltaje, etc. Los grficos que controlan la posicin de la distribucin de la variable que son los grficos de la Media y los de la Mediana. Los grficos que controlan la dispersin que son los grficos del Rango y de la Desviacin tpica que a su vez son dos grficos de Sn y de Sn-1 y grafico de la varianza. Factores que la afectan Todo proceso de fabricacin funciona bajo ciertas condiciones o variables que son establecidas por las personas que lo manejan para lograr una produccin satisfactoria.

Figura 5. Cada uno de estos factores est sujeto a variaciones que realizan aportes ms o menos significativos a la fluctuacin de las caractersticas del producto, durante el proceso de fabricacin. Los responsables del funcionamiento del proceso de fabricacin fijan los valores de algunas de estas variables, que se denominan variables controlables. Por ejemplo, en el caso de la inyectora se fija la temperatura de fusin del plstico, la velocidad de trabajo, la presin del pistn, la materia prima que se utiliza (Proveedor del plstico), etc.


Pero un proceso de fabricacin es una suma compleja de eventos grandes y pequeos. Hay una gran cantidad de variables que sera imposible o muy difcil controlar. Estas se denominan variables no controlables. Por ejemplo, pequeas variaciones de calidad del plstico, pequeos cambios en la velocidad del pistn, ligeras fluctuaciones de la corriente elctrica que alimenta la mquina, etc. Los efectos que producen las variables no controlables son aleatorios. Adems, la contribucin de cada una de las variables no controlables a la variabilidad total es cuantitativamente pequea. Son las variables no controlables las responsables de la variabilidad de las caractersticas de calidad del producto. Los cambios en las variables controlables se denominan Causas Asignables de variacin del proceso, porque es posible identificarlas. Las fluctuaciones al azar de las variables no controlables se denominan Causas No Asignables de variacin del proceso, porque no son pasibles de ser identificadas. Causas Asignables: Son causas que pueden ser identificadas y que conviene descubrir y eliminar, por ejemplo, una falla de la mquina por desgaste de una pieza, un cambio muy notorio en la calidad del plstico, etc. Estas causas provocan que el proceso no funcione como se desea y por lo tanto es necesario eliminar la causa, y retornar el proceso a un funcionamiento correcto. Causas No Asignables: Son una multitud de causas no identificadas, ya sea por falta de medios tcnicos o porque no es econmico hacerlo, cada una de las cuales ejerce un pequeo efecto en la variacin total. Son inherentes al proceso mismo y no pueden ser reducidas o eliminadas a menos que se modifique el proceso. Cuando el proceso trabaja afectado solamente por un sistema constante de variables aleatorias no controlables (Causas no asignables) se dice que est funcionando bajo Control Estadstico. Cuando, adems de las causas no asignables, aparece una o varias causas asignables, se dice que el proceso est fuera de control.

El uso del control estadstico de procesos lleva implcitas algunas hiptesis que describiremos a continuacin: 1) Una vez que el proceso est en funcionamiento bajo condiciones establecidas, se supone que la variabilidad de los resultados en la medicin de una caracterstica de calidad del producto se debe slo a un sistema de causas aleatorias, que es inherente a cada proceso en particular. 2) El sistema de causas aleatorias que acta sobre el proceso genera un universo hipottico de observaciones (mediciones) que tiene una Distribucin Normal. 3) Cuando aparece alguna causa asignable provocando desviaciones adicionales en los resultados del proceso, se dice que el proceso est fuera de control. La funcin del control estadstico de procesos es comprobar en forma permanente si los resultados que van surgiendo de las mediciones estn de acuerdo con las dos primeras hiptesis. Si aparecen uno o varios resultados que contradicen o se oponen a las mismas, es necesario detener el proceso, encontrar las causas por las cuales el proceso se apart de su funcionamiento habitual y corregirlas. Control Estadstico. Cmo ponerlo en marcha? La puesta en marcha de un programa de control estadstico para un proceso en particular implica dos etapas:

Figura 6.


Antes de pasar a la segunda etapa, se verifica si el proceso est ajustado. En caso contrario, se retorna a la primera etapa:

Figura 7. En la 1a etapa se recogen unas 100-200 mediciones, con las cuales se calcula el promedio y la desviacin standard:

Limites de control Luego se calculan los Lmites de Control de la siguiente manera:

Estos lmites surgen de la hiptesis de que la distribucin de las observaciones es normal. En general se utilizan lmites de 2 sigmas de 3 sigmas alrededor del promedio. En la distribucin

normal, el intervalo de 3,09 sigmas alrededor del promedio corresponde a una probabilidad de 0,998.

Figura 8. Entonces, se construye un grfico de prueba y se traza una lnea recta a lo largo del eje de ordenadas (Eje Y), a la altura del promedio (Valor central de las observaciones) y otras dos lneas rectas a la altura de los lmites de control:

Figura 9. En este grfico se representan los puntos correspondientes a las observaciones con las que se calcularon los lmites de control:

Figura 10.


Este grfico de prueba se analiza detenidamente para verificar si est de acuerdo con la hiptesis de que la variabilidad del proceso se debe slo a un sistema de causas aleatorias o si, por el contrario, existen causas asignables de variacin. Esto se puede establecer porque cuando la fluctuacin de las mediciones se debe a un sistema constante de causas aleatorias la distribucin de las observaciones es normal:

Figura 11. Cuando las observaciones sucesivas tienen una distribucin normal, la mayor parte de los puntos se sita muy cerca del promedio, algunos pocos se alejan algo ms y prcticamente no hay ninguno en las zonas ms alejadas:

Figura 12.

Figura 13.

Figura 14. Es difcil decir como es el grfico de un conjunto de puntos que siguen un patrn aleatorio de distribucin normal, pero s es fcil darse cuenta cuando no lo es. Veamos algunos. Ejemplos. De patrones No Aleatorios: Una sucesin de puntos por encima.


Figura 15. o por debajo de la lnea central.

Figura 16. Una serie creciente de 6 7 observaciones.

Figura 17. o una serie decreciente.

Figura 18. Si no se descubren causas asignables entonces se adoptan los lmites de Control calculados como definitivos, y se construyen cartas de control con esos lmites:

Figura 19. Si slo hay pocos puntos fuera de control (2 3), estos se eliminan, se recalculan la media, desviacin standard y lmites de control con los restantes, y se construye un nuevo grfico de prueba. Cuando las observaciones no siguen un patrn aleatorio, indicando la existencia de causas asignables, se hace necesario investigar para descubrirlas y eliminarlas. Una vez hecho esto, se debern recoger nuevas observaciones y calcular nuevos lmites de control de prueba, comenzando otra vez con la primera etapa. En la 2a etapa, las nuevas observaciones que van surgiendo del proceso se representan en el grfico, y se controlan verificando que estn dentro de los lmites, y que no se produzcan patrones no aleatorios:


Figura 20. Como hemos visto, el 99,8 % de las observaciones deben estar dentro de los lmites de 3,09 sigmas alrededor de la media. Esto significa que slo 1 observacin en 500 puede estar por causas aleatorias fuera de los lmites de control. Entonces, cuando se encuentra ms de 1 punto en 500 fuera de los lmites de control, esto indica que el sistema de causas aleatorias que provocaba la variabilidad habitual de las observaciones ha sido alterado por la aparicin de una causa asignable que es necesario descubrir y eliminar. En ese caso, el supervisor del proceso debe detener la marcha del mismo e investigar con los que operan el proceso hasta descubrir la o las causas que desviaron al proceso de su comportamiento habitual. Una vez eliminadas las causas del problema, se puede continuar con la produccin normal. Investigacin documental

Competencia Lgica Seguir procedimientos para la descripcin y

construccin de graficas de control para el anlisis de los procesos de produccin.

El alumno: - Explicar las consecuencias que se pueden

ocasionar en un producto al no utilizar las graficas de control.

3.1.1. Grficas por Variables X, R. Caractersticas Los grficos X-R se utilizan cuando la caracterstica de calidad que se desea controlar es una variable continua.

Figura 21. Para entender los grficos X-R, es necesario conocer el concepto de Subgrupos (o Subgrupos racionales). Trabajar con subgrupos significa agrupar las mediciones que se obtienen de un proceso, de acuerdo a algn criterio. Los subgrupos se realizan agrupando las mediciones de tal modo que haya la mxima variabilidad entre subgrupos y la mnima variabilidad dentro de cada subgrupo. Por ejemplo, si hay cuatro turnos de trabajo en un da, las mediciones de cada turno podran constituir un subgrupo. Fases de la construccin. Ejemplo: Supongamos una fbrica que produce piezas cilndricas para la industria automotriz. La caracterstica de calidad que se desea controlar es el dimetro de las piezas.


Figura 22. Hay dos maneras de obtener los subgrupos. Una de ellas es retirar varias piezas juntas a intervalos regulares, por ejemplo cada hora:

Figura 23. La otra forma es retirar piezas individuales a lo largo del intervalo de tiempo correspondiente al subgrupo:

Figura 24.

Figura 25. Por cualquiera de los dos caminos, obtenemos grupos de igual nmero de mediciones. Para cada subgrupo calculamos el Promedio y el Rango (Diferencia entre el valor mximo y el valor mnimo).


Figura 26.

Como ya se ha visto, para calcular los Lmites de Control es necesario obtener un gran nmero de mediciones, divididas en subgrupos. En nuestro ejemplo, podramos obtener 30 subgrupos de 6 datos cada uno:

Figura 27. Despus de calcular el Promedio y el Rango de cada subgrupo, tendramos una tabla como la siguiente:

Tabla 1.

A partir de esta tabla, se calculan el promedio general de promedios de subgrupo y el promedio de rangos de subgrupo:

Promedio de Subgrupo N Nmero de Subgrupos o tambin:

Mediciones individuales N Nmero de Subgrupos n Nmero de mediciones dentro del Subgrupo.

Rango del Subgrupo La desviacin estndar del proceso se puede calcular a partir del rango promedio, utilizando el coeficiente d2, que depende del nmero de mediciones en el subgrupo:


Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico de X:

La desviacin standard del rango se puede calcular utilizando el coeficiente d3, que tambin depende del nmero de mediciones en el subgrupo:

Y as podemos calcular los Lmites de Control para el Grfico de R:

La tabla siguiente muestra los coeficientes d2 y d3 para subgrupos de hasta 10 mediciones: Tabla 2.

Construimos entonces un Grfico X de prueba y representamos los promedios de los subgrupos:

Figura 28. Y un Grfico R de prueba, donde representamos los rangos de los subgrupos:

Figura 29. Si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura. Realizacin del ejercicio

Competencia Analticas. Realizar operaciones matemticas para la

determinacin de rangos. El Alumno: - Realizar ejercicios de determinacin de rangos

en diferentes productos. Sugerencias o notas

Competencia de informacin. Seguir procedimientos para el control de

procesos.


El Alumno: - Explicar la importancia de utilizar grficos de

variables X, R en las diferentes etapas del proceso de produccin, para asegurar que las deficiencias encontradas sean corregidas y se les de seguimiento.

3.1.3 Grficas por Variables Media, Desviacin Estndar Caractersticas En Control de Calidad mediante el trmino variable se designa a cualquier caracterstica de calidad "medible" tal como una longitud, un voltaje, un peso, una resistencia a la rotura, un volumen, etc., mientras que se denomina atributo a las caractersticas de calidad que no son medibles' y que presentan diferentes estados (normalmente dos) tales como conforme y disconforme o defectuoso y no defectuoso. Segn sea el tipo de la caracterstica de calidad a controlar as ser el correspondiente Grfico de Control que, por tanto, se clasifican en Grficos de Control por Variables y Grficos de Control por Atributos. Grafica de la media. Este diagrama es la representacin grfica del test de hiptesis de dos colas para contrastar: Fases de construccin Calculo de los lmites de control.

Si la desviacin tpica es conocida, la zona de aceptacin de Ho es:

Si, por el contrario, la desviacin tpica es desconocida, en Control de Calidad, en vez de a se utiliza la estimacin que corresponde al parmetro muestral que se usa en el Grfico de la Dispersin, as, si se usa el Grfico del Rango es:

Designaremos por LC a la lnea central del grfico y por LCS y LCI a los lmites de control superior e inferior respectivamente. Si es conocida ser:

en las que son los parmetros poblacionales cuando el proceso est bajo control, n es el tamao de la muestra y ( es la probabilidad de error de primera especie, es decir, el riesgo que estamos dispuestos a correr de


concluir que el proceso est descorregido cuando realmente no lo est, siendo Z/2 el correspondiente valor de la variable normal tipificada. La mecnica de uso del Grfico de Control para la

media es sencilla. Si la media muestral cae fuera de los lmites de control, se rechaza la hiptesis nula de que el proceso es estable respecto a su posicin ( constante) y, en consecuencia, se busca una causa asignable que ha

modificado a . Si, por el contrario, se sita entre dichos lmites, se acepta que, en lo que respecta a la media, el proceso est bajo control y se deja que el proceso siga actuando libremente. Por razones histricas se acostumbra a utilizar el

denominado criterio "tres sigma" designado as porque se hace Z/2 lo que corresponde a =0.0027. Bajo el criterio , se da nombre a determinadas constantes, as mediante A se designa a:

Con lo que.

Si .0 es desconocida, se estima a partir de los datos del ltimo grfico de control para la media en el que no existe una seal de falta de control mediante:

En la que m es el numero de muestras utilizadas (normalmente el del grfico de control para la media) y

Es la media muestral de la muestra nmero i con lo que

Con ello queda:

Si o es desconocida, se utiliza una estimacin que depende del tipo de grfico que se utiliza para el estudio de la dispersin, quedando: a) Si se usa sn

Con el criterio resulta


Se denomina

Con lo que:

b) Si se utiliza el rango R queda:


Se denomina

Resultando

c) si se usa sn-1:


Se denomina

Con lo que:

Eficacia del grfico. El criterio estndar (criterio ) nos garantiza con una muy alta probabilidad (1- = 0.9973) que cuando el proceso est bajo control no cometeremos el error de llegar a la conclusin de que el proceso funciona incorrectamente. Sin embargo, esto no significa que cuando el proceso est fuera de control el grfico de la media nos lo detecte, tambin, con una alta probabilidad. No es infrecuente encontrar grficos de control en los que cuando se producen importantes


descorreciones de la media la probabilidad de ser detectadas es pequea. Cuando esto ocurre, se est produciendo un gasto en efectuar el control y se tiene puesta la confianza en una herramienta que no es eficaz para los fines que fue elaborada.

Es decir, la probabilidad de aceptar la hiptesis nula o, lo que es equivalente, que un punto caiga dentro de los lmites de control, es:

En la que d es el descentrado relativo:

La curva caracterstica. La curva caracterstica permite determinar la eficacia de un grfico de control a travs de la probabilidad de detectar una descorreccin de la media en la muestra tomada inmediatamente despus de que se produzca este descentrado. Una forma diferente y muy ilustrativa de medir al eficacia de un grfico de control es mediante el clculo del denominado ARL (Average Ran Length) o longitud media de la racha necesaria para que un punto se salga de los lmites de control o, ms explcitamente, el ARL es el nmero medio de muestras que es necesario tomar hasta que un punto caiga, por primera vez, fuera de los lmites de control.

Figura 30. La variable aleatoria X numero de muestras a tomar para que, por primera vez, una muestra se site fuera de los limites de control es, evidente, una variable binomial negativa de parmetros r = 1 y p = 1-.

Con lo que

Ejemplo: Si el proceso est bajo control y el criterio utilizado para calcular los lmites de control es el estndar

como = 0.0027 y d = 0, resulta = 1- 0.0027 de donde:

1 ARL=-------------= 370.37

0.0027 Lo cual significa que cuando aplicamos el criterio

, si el proceso esta bajo control, son necesarias, por trmino medio 370.37 muestras para que un punto se salga de los limites de control por primera vez.


Realizacin del ejercicio

Competencia Analticas. Realizar operaciones matemticas para la

determinacin de rangos. El Alumno: - Realizar ejercicios de determinacin de rangos

en diferentes productos. Sugerencias o notas

Competencia Lgica. Seguir procedimientos para el control de

procesos. El Alumno: - Explicar la importancia de utilizar grficos de

variables media y desviacin estndar en las diferentes etapas del proceso de produccin, para asegurar que las deficiencias encontradas sean corregidas y se les de seguimiento.

3.1.4 Grficas por Variables Media, Medianas y Rangos Caractersticas Grafica del rango o recorrido. Este diagrama es la representacin grfica del test de hiptesis de dos colas para contrastar: Fases de construccin Calculo de los lmites de control. Se realizar, de forma grfica, un test de hiptesis que permita contrastar.

Utilizando como estadstico que mide la dispersin muestral al rango o recorrido R y en la que 0 es la desviacin tpica del proceso cuando este esta bajo control. Variable aleatoria: Vn = R/ Y que

La zona de aceptacin de la hiptesis nula utilizando R es:

Si la probabilidad de error de primera especie es , ser:

de donde

como

ser


con lo que queda

La lnea central (LC) es la media del rango E(R) y los limites de control superior e inferior (LCS Y LCI), sern:

Bajo el criterio estndar 3 se procede como en el grafico de la media, es decir, la zona de aceptacin viene definida por el intervalo que se obtiene restando y sumando al valor medio del rango, 3 desviaciones tpicas de est estadstico. En concreto la zona de aceptacin es: E( R ) 3 D ( R ) Como

resulta

designndose

queda

Mientras que el grfico de la media el criterio 3 es equivalente a fijar la probabilidad de error de primera especie en 0 0.0027, en el grfico del rango vara con el tamao de la muestra, pues

dividiendo por 0 se obtiene:

Si es desconocida, se estima mediante

con lo que

designndose


Resulta

Valores del error de primera especie para el grafico del rango estndar (criterio 3). Tabla 3.

Eficacia del grfico. La curva caracterstica es:

En la que rd es la razn de desviaciones tpicas. Para rd > 1 el tamao de la muestra a tomar n debe cumplir la condicin:

Bajo el criterio 3 las formulas anteriores se convierten en:

Fijado y para rd > 1 se determina n de tal forma que:

Curva caracterstica. Cuando el proceso esta bajo control, coincidentes; semiamplitud de tolerancias T2 - .0 = 0.45; 0. = 0.1; criterio 3. Se desea tener un ARL = 2 en el grfico del rango cuando el aumento de genera un 5 % de piezas defectuosas totales. En primer lugar, es fcil demostrar que dadas las tolerancias, la desviacin tpica p que genera un porcentaje total de piezas defectuosas p es:


Figura 31. Como

Con lo que la razn de desviaciones tpicas es

Tabla 4.

Como puede observarse en la tabla:

para los valores de

Se confirma que n05 pues este valor es el menor para el que se cumple:

Sugerencias o notas

Competencia Lgica. Seguir procedimientos para el control de

procesos. El Alumno: - Explicar la importancia de utilizar grficos de

variables medianas y rangos en las diferentes etapas del proceso de produccin, para asegurar que las deficiencias encontradas sean corregidas y se les de seguimiento.

Sugerencias o notas

Competencia Emprendedora. Proponer mejoras a los procesos de produccin. El Alumno: - Propondr mejoras a los procesos de las

diferentes reas de produccin, analizando cada uno de los pasos que integran el procedimiento e identificando las deficiencias del proceso.


3.1.2. Grficas Precontrol Caractersticas El PRE-Control es una tcnica estadstica para detectar las condiciones del proceso y los cambios que pueden causar defectos (ms que los cambios que son estadsticamente significativos). El PRE-Control se centra en el control de la conformancia con las especificaciones, en lugar de en el control estadstico. El PRE-Control inicia un proceso centrado entre los lmites de especificacin y detecta los cambios que pueden resultar al hacer algunas partes fuera del lmite.

El PRE-Control no requiere una grfica ni clculos y slo necesita tres mediciones para dar la informacin de control. La tcnica utiliza la curva de la distribucin normal al determinar los cambios significativos, ya sea en la meta o en la dispersin del proceso de produccin, que puede dar como resultado un incremento en la produccin de trabajo defectuoso.

El principio del PRE-Control se demuestra, suponiendo la peor condicin que se puede aceptar de un proceso capaz de una produccin de calidad, esto es, cuando la tolerancia natural es la misma que la permitida y cuando el proceso est justamente centrado y cualquier cambio dara como resultado un trabajo defectuoso.

Fases de la construccin

Si se dibujan dos rectas de PRE-Control (PC), cada una a un cuarto hacia adentro de la distancia total entre los lmites de tolerancia, se puede demostrar que 86% de las partes estarn dentro de las lneas de PC, con 7% en cada seccin exterior.

En otras palabras, 7% o una parte de cada 14, caer fuera de las lneas de PC en circunstancias normales.

La oportunidad de que dos medidas seguidas caigan fuera de las lneas de PC es 1/14 multiplicado por 1/14 o 1/196.

Esto significa que slo una vez de alrededor de cada 200 mediciones se puede esperar que dos seguidas caigan en una banda exterior dada.

Figura 32. Suposicin esencial de precontrol. Localizacin de las lneas de precontrol. Cuando ocurren dos seguidas, existe una oportunidad mucho mayor (195/196) de que el proceso haya cambiado. Por lo tanto es recomendable restablecer el proceso al centro. Es igualmente improbable obtener una medida fuera de una lnea PC dada y la siguiente fuera de la otra lnea PC. En este caso, la indicacin no es que el proceso haya cambiado sino que se introdujo algn factor que ampli el patrn a un grado en que las piezas defectuosas son inevitables. Debe ponerse remedio inmediato a la causa del problema antes de poder continuar con el proceso. La zona dentro de las lneas PC es la "zona verde", entre estas lneas y los lmites de especificacin se encuentran la "zona amarilla"; fuera de los lmites de especificacin est la "zona roja". Para calificar un proceso para PRE-Control:


1. Se toman mediciones individuales sobre una caracterstica hasta que cinco medidas consecutivas caigan dentro de la zona verde. 2. Si ocurre una amarilla, se reinicia el conteo. 3. Si ocurren dos amarillas consecutivas, se ajusta el proceso. 4. En cualquier momento que se hace un ajuste o que ocurre otro cambio de proceso, se vuelve a calificar el proceso. Cuando el proceso queda calificado, se aplican las siguientes reglas de PRE-Control al proceso en operacin: 1. Se usa una muestra de dos medidas consecutivas, A y B. Si A es verde, el proceso contina corriendo. Si A es amarilla, se toma la segunda medida, B. 2. Si A y B son ambas amarillas, debe detenerse el proceso e investigarse. Durante cualquiera de las dos etapas o corridas de calificacin, si ocurre una medida roja, debe detenerse el proceso e investigarse. La mayor parte de los procesos requieren ajustes peridicos para permanecer dentro de las especificaciones. Se observan seis pares A, B de medidas entre ajustes; stas son suficientes para proporcionar virtualmente ningn producto fuera de especificaciones. As, si un proceso, por lo general, requiere un ajuste ms o menos cada dos horas, entonces, aproximadamente cada 20 minutos debe tomarse un par A, B de medidas. El PRE-Control es un ejemplo de un concepto conocido como calibracin de lmite estrecho. Este concepto ms amplio proporciona procedimientos de muestreo (tamao de la muestra, localizacin de los lmites estrechos y nmero permisible de unidades fuera de los lmites estrechos) para cumplir con los riesgos de aceptar un producto defectuoso.

Figura 33. Investigacin documental

Competencia de informacin. Investigar acerca de la evolucin que ha sufrido la

fase de control en el proceso de produccin. El Alumno: - Investigar acerca de los avances que ha sufrido

el control de procesos desde la revolucin industrial.

Sugerencias o notas

Competencia Emprendedora. Seguir procedimientos para el control de

procesos. El Alumno: - Explicar la las consecuencias de no seguir con los

procedimientos elaboracin de una grafica pre-control.


RESULTADO DE APRENDIZAJE 3.2 Aplicar graficas de control por atributos para monitorear y mantener la variacin dentro de los lmites establecidos a fin de establecer el estado de control estadstico del proceso. 3.1.1. Grficas por Atributos Caractersticas El trmino variable para designar a las caractersticas de calidad cuantitativas que podan ser expresadas mediante un nmero real como, por ejemplo, una longitud, la resistencia a la rotura de un pasador, un peso, un voltaje, el contenido de un producto alimenticio envasado etc.,. Existen otras caractersticas de calidad que, por contra, no pueden ser representadas mediante un nmero por tratarse de caractersticas cualitativas, por ejemplo, la existencia o no de poros en una pieza metlica, el funcionamiento o no de un transistor, la aparicin o no de burbujas o crteres en la pintura del cap de un automvil, etc., a estas caractersticas de calidad se les denomina atributos. A veces, caractersticas cuantitativas, a efectos del control de la calidad, pueden ser consideradas como atributos cuando slo consideramos si se cumplen o no las especificaciones de calidad sin importamos cul es el valor de dicha variable, lo que ocurre, por ejemplo, cuando utilizamos un calibre "pasa no pasa". El conocimiento de si una caracterstica cumple o no las especificaciones para ella establecidas es ms pobre y, por tanto, contiene menos informacin, que el conocimiento del valor exacto de esa magnitud cuantitativa, por lo que para tomar una decisin con el mismo riesgo de error hace falta un tamao de muestra mayor en el primer caso que en el segundo. Se suele utilizar el trmino de pieza defectuosa para aquella pieza que incumple alguna prescripcin de calidad y que, por tanto, tiene al menos un defecto. As, una puerta de un automvil que presenta en su pintura una raya es una pieza que por poseer un defecto o disconformidad se clasifica como defectuosa o disconforme.

Aunque no sea fundamental para el desarrollo y uso de los grficos de control por atributos, debemos sealar que los defectos pueden clasificarse como crticos, principales y secundarios. Cualquiera de estos tipos de defectos pueden ser objeto de un grfico de control por atributos. En resumen, cualquier caracterstica de calidad que pueda ser clasificada de forma binaria: "hay o no hay", "cumple o no cumple", funciona o no funciona", pasa o no pasa", "si o no" etc., a los efectos del control del proceso, ser considerada como un atributo y para su control se utilizar un Grfico de Control por Atributos. Existen 4 tipos de Grficos de Control por Atributos. Los grficos "np" y "p" se utilizan para controlar la proporcin de piezas defectuosas que genera el proceso; el primero exige que el tamao de muestra sea constante mientras que el segundo no. Los grficos "c" y "u" sirven para controlar el nmero de defectos; el primero requiere que el tamao de muestra sea constante mientras que esta exigencia no es necesaria en el grfico 'u'. Grfico np. El objeto de ste grfico es controlar la proporcin de piezas defectuosas que genera el proceso con el fin de que sta proporcin disminuya y, sobretodo de evitar que aumente. Implcitamente el uso de este tipo de grficos conlleva la aceptacin de que nuestro proceso genera piezas defectuosas. Lo ideal es conseguir el objetivo "cero defectos pero la aceptacin de la existencia de piezas defectuosas no debe ser considerada como una actitud conformista sino realista y como un estmulo para lograr una mejora continuada de la calidad. Si la proporcin de piezas defectuosas cuando el proceso funciona bien, el grfico de control np no es ms que el test de hiptesis. Grfico p. Cmo el, grfico anterior, el Grfico p tambin sirve para controlar el porcentaje de piezas defectuosas que genera el proceso.


Se diferencian en que en el Grfico p no es necesario que todas las muestras tengan el mismo tamao n y en que en el grfico np el estadstico a utilizar es el nmero de piezas defectuosas en cada muestra mientras que en el grfico p se representa en el eje de ordenadas el estadstico proporcin de piezas defectuosas en la muestra" ' es decir, el nmero de piezas defectuosas en la muestra dividido por el tamao de muestra. Curva caracterstica de los grficos np y p. La curva caracterstica de los grficos anteriores es la representacin grfica de la probabilidad de aceptar que el proceso est bajo control en funcin de la proporcin de piezas defectuosas verdadera y desconocida p que genera el proceso. Esta curva permite, por tanto, evaluar si el grfico de control que estamos utilizando es suficientemente eficaz como para detectar variaciones importantes de p que deban ser encontradas y corregidas. La probabilidad de rechazar que el proceso funciona bien cuando realmente est bajo control es a (probabilidad de error de primera especie), cantidad pequea y fijada de antemano. Sin embargo, dado un grfico de control concreto, cuando el proceso funciona incorrectamente, la probabilidad p de aceptar que funciona bien (probabilidad de error de segunda especie) es funcin de p. si p es elevada y p tambin, ser poco probable que el grfico de control detecte que el proceso est fuera de control, siendo, por tanto, una herramienta poco eficaz para detectar la existencia de causas asignables. Tamao de la muestra para los grficos np y p. El tamao de la muestra se determina mediante la fijacin de dos puntos de la de la curva caracterstica. Uno de ellos es el correspondiente al proceso bajo control y el otro es un punto cuya proporcin de piezas defectuosas quiere se detectada con alta probabilidad. Grficos de control para defectos. grficos c y u De forma anloga a los Grficos de Control np y p se utilizan los Grficos c y u en los que en vez de

contabilizar piezas defectuosas se cuentan defectos. En el Grfico c se toman muestras de tamao n, necesariamente constante, y se cuentan la cantidad de defectos en el conjunto de las piezas. Esta cantidad c es el estadstico a graficar. En el Grfico u se toman muestras de tamao ni, no necesariamente constantes y se contabilizan los defectos por unidad muestreada, es decir, el nmero total de defectos encontrados en la muestra dividido por el tamao de la muestra. Los defectos por unidad muestreada u es el estadstico a graficar. En un mismo Grfico de Control pueden considerarse todos los tipos de defectos, los de un grupo de defectos afines o slo un tipo de defectos. En general, la variable x = e = "cantidad de defectos en una muestra aleatoria simple" se ajusta bien a la distribucin de Poisson. No obstante, debemos recordar que una variable de Poisson no es ms que una variable Binomial en la que n tiende a infinito y p a cero, siendo constante el producto k = np. Por tanto, se requiere que el nmero potencial de defectos sea infinito, que la aparicin de uno de ellos en un punto concreto de la pieza sea prcticamente nula y que las variables dicotmicas que expresan la existencia o no de cada uno de estos defectos potenciales sean estadsticamente independientes. En determinados casos, por ejemplo, cuando se consideran conjuntamente defectos de muy diversa naturaleza o cuando siendo de la misma naturaleza se suelen presentar en grupos o conglomerados, el modelo de Poisson no explica bien el comportamiento del fenmeno. Entonces, otras distribuciones como las de Poisson compuestas o la Binomial negativa, segn los casos, suelen ser adecuadas.


En particular, si los nmeros Xi de defectos de los diversos tipos se distribuyen segn variables de Poisson y son estadsticamente independientes, cualquier combinacin lineal de ellos y, en particular, la suma, son, a su vez, variables de Poisson. Esto permite estudiar el total de todos ellos conjuntamente (suma) o una valoracin ponderada de los defectos: Grfico c. Este grfico nos sirve para controlar la aparicin de causas asignables que modifiquen la proporcin de defectos que genera el proceso mediante el contraste de las hiptesis. Grfico u. Este grfico sirve para lo mismo que el grfico c, la diferencia es que en este ultimo el tamao de la muestra no es necesariamente constante y en que en el eje de ordenadas se grafica se grafica la proporcin de defectos por unidad muestreada u en vez de la cantidad total de defectos en la muestra. Curva caracterstica de los grficos c y u. El calculo de la curva para estas graficas c y u se basa totalmente en la distribucin de Poisson.

Figura 34.

Tamao de la muestra para los grficos c y u. El tamao de la muestra se calcula haciendo que la curva caracterstica pase por los puntos p. Investigacin documental

Competencia Tecnolgica. Investigar el tipo de equipo que existe en el

mercado y en el internet para el manejo de graficas de control por atributos.

El Alumno: - Investigar los avances tecnolgicos para el

manejo de graficas de control por atributos. 3.1.2. Grficas NP, Defectuosos Promedio de defectuosos Muchas caractersticas de calidad se evalan dando resultados como: conforme o disconforme, defectuoso o no defectuoso. Estas caractersticas de calidad se conocen como atributos. Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada tornillo sera probarlo con una rosca calibrada.

Figura 35. El resultado de este ensayo slo tiene dos posibles resultados: Defectuoso-No Defectuoso ( Conforme-Disconforme).

Figura 36.


Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o disconforme. Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar el nmero de defectuosos presentes en la muestra.

Figura 37. La variable aleatoria nmero de defectuosos es una variable aleatoria discreta, porque puede tomar un nmero finito de valores, o infinito numerable. Los grficos np se utilizan para controlar el nmero de defectuosos en una muestra. Entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la lnea de produccin y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo), comprueba cada uno con la rosca y anota el nmero de defectuosos.

Figura 38.

Este resultado se anota en un grfico hora por hora y se denomina grfico np. Si se tomara del proceso un slo tornillo Cul es la probabilidad de que sea defectuoso? Imaginando la poblacin de tornillos que podra fabricar el proceso trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporcin p de estos seran defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea defectuoso es p. En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar:

0 defectuosos

1 defectuoso

2 defectuosos

n defectuosos

Est dada por una distribucin binomial con parmetros n y p. Como sabemos, el promedio de la poblacin es p y la varianza es n.p.(1-p). Para construir los grficos de control np, en una primera etapa se toman N muestras (ms de 20 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se cuenta en cada muestra el Nmero de Defectuosos y se registra. Se obtendra una Tabla como la siguiente: Tabla 5.

Muestra N Defectuosos

1 3

2 2


3 4

4 3

5 4

6 2

7 5

- -

- -

- -

En cada muestra, la fraccin de defectuosos es:

N Defectuosos en muestra i n N elementos en la muestra. Entonces, a partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de defectuosos en las muestras:

N N muestras Desviacin estndar y luego la Desviacin Standard s:

Limites de control Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico np:

Construimos entonces un Grfico np de prueba y representamos el nmero de defectuosos en las muestras:

Figura 39. Si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura. Investigacin documental

Competencia de informacin. Investigar en internet y bibliografa acerca de las

ventajas y limitaciones que se tienen en las graficas np.

Competencia de informacin. Investigar en internet y bibliografa acerca de las

ventajas y limitaciones que se tienen en las graficas np.


El Alumno: - Investigar en internet y bibliografas cuales son

las limitaciones y ventajas que se tienen al utilizar las graficas np en un proceso de produccin.

3.1.3. Grficas P, Fraccin Defectuosa Promedio de fraccin defectuosa. Esta carta muestra las variaciones en la fraccin o proporcin de artculos defectuosos Por muestra o subgrupo. La carta p (proporcin de defectuosos) es ampliamente usada para evaluar el desempeo de una parte o todo un proceso, tomando en cuenta su variabilidad y detectar as causas o cambios especiales en el proceso. De cada lote, embarque, pedido o de cada cierta parte de la produccin, se toma una muestra o subgrupo de ni artculos, que puede ser la totalidad o una parte de las piezas bajo anlisis. Las ni piezas de cada subgrupo son inspeccionadas y cada una es catalogada como defectuosa o no. Las caractersticas o atributos de calidad por lo que una pieza puede ser evaluada como defectuosa, puede ser ms de uno; pero una vez determinados los atributos bajo anlisis, se deben aplicar criterios y/o anlisis bien definidos y estandarizados. Si de las ni piezas del subgrupo i, se encuentra que di son defectuosas (no pasan), entonces en la carta p se grafica y se analiza la variacin de la proporcin pi de unidades defectuosas por subgrupo: Desviacin estndar. y luego la Desviacin Estndar s:

Lmites de control Para calcular los lmites de control se parte del supuesto de la cantidad de piezas defectuosas por subgrupo sigue una distribucin binomial y a partir de esto se aplica el mismo esquema general, que

seala que los lmites estn dados , donde W es el estadstico que se grafica en la carta. Por tanto en el caso que nos ocupa W = pi. As, de acuerdo a la distribucin binomial, se sabe que la media y la desviacin estndar de una proporcin estn dadas, respectivamente, por: donde n es el tamao de subgrupo y p es la proporcin promedio de artculos defectuosos en el proceso. De acuerdo con esto, los lmites de control en una carta p en la que se utiliza el mismo tamao de subgrupo, estn dados por: Si el tamao de subgrupo n, es variable de muestra a muestra, en estos casos se tienen dos alternativas: la primera es usar el tamao promedio de subgrupo TI, en lugar de n. La segunda es construir una carta de control con lmites variables, que a p comentaremos ms adelante. Si el promedio del proceso medido a travs de p es desconocido, entonces ser necesario estimarlo por medio de un estudio inicial. Por otro lado, cabe comentar que la forma en que se calculan los lmites de la carta p supone que la distribucin normal aproxima razonablemente bien a la distribucin de las proporciones (distribucin binomial), sin embargo cuando p o n son pequeos esta aproximacin puede ser mala. En


estos casos y en general para interpretar la carta p se recomienda calcular los lmites de una forma ligeramente diferente y se detalla al final de la presente seccin.

Figura 40. Sugerencias o notas

Competencia emprendedora Realizar la implementacin de una

grafica p en proceso productivo.

El Alumno: - Realizar una justificacin de por que es

importante utilizar una grafica p en un proceso de produccin mencionando en que etapa puede ser considerada.

3.1.4. Grficas C, Nmero de Defectos. Promedio de defectos En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las unidades de producto que se estn fabricando. Por ejemplo, se fabrican telfonos celulares y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el nmero total de defectos. Estos podran ser:

Ralladuras en la superficie. Rajaduras en el plstico Antena defectuosa Botn defectuoso.

Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Nmero de Defectos por unidad de inspeccin.

Figura 40. A medida que el proceso genera las unidades (Telfonos celulares), retiramos una unidad a intervalos regulares y contamos el nmero total de defectos. En cada unidad podemos encontrar: 0 defectos 1 defecto 2 defectos 3 defectos n defectos


Figura 41. Los resultados que obtenemos al contar el Nmero de defectos en unidades de inspeccin retiradas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria discreta, porque puede tomar valores 0, 1, 2, 3, ... n. Esta variable aleatoria tiene una distribucin de Poisson:

Los grficos C se utilizan para controlar el nmero de defectos en una muestra del producto o unidad de inspeccin. Entonces, para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la lnea de produccin y cada hora retira una unidad de inspeccin (En este caso un telfono celular), verifica y anota el nmero total de defectos.

Figura 42. Este resultado se anota en un grfico hora por hora y se denomina grfico C. De acuerdo a la Distribucin de Poisson, si denominamos C al parmetro de la funcin de distribucin, el promedio de la poblacin es C y la varianza tambin es C. Para construir los grficos de control C, en una primera etapa se toman N unidades de inspeccin (ms de 25 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspeccin el Nmero de Defectos y se registra. Se obtendra una Tabla como la siguiente: Tabla 6.

Unidad de Inspeccin Nm. Defectos

1 3

2 2

3 4

4 0

5 1

6 1

7 5

8 2

- -

- -


Entonces, a partir de la tabla podemos calcular C como promedio del Nmero de Defectos en las muestras (Unidades de Inspeccin):

ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin N Nmero de Unidades de Inspeccin y luego la Desviacin Estndar:

Desviacin estndar y luego la Desviacin Estndar s:

Lmites de control Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico C:

En caso de que el Lmite Inferior de Control resulte negativo, se le asigna valor cero. Construimos entonces un Grfico C de prueba y representamos el nmero de defectos en las muestras:

Figura 43. Si no hay puntos fuera de los lmites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los lmites calculados para controlar la produccin futura. Otro ejemplo sera controlar el nmero de defectos a la salida de una lnea de ensamblado de licuadoras. De igual manera podra ser una lnea de ensamblado de computadoras personales, cafeteras automticas, televisores, etc. Cuando se fabrican pinturas y barnices, un ensayo muy comn es hacer un extendido sobre una placa de vidrio, dejar secar el producto y luego inspeccionar los defectos en la superficie. Se pueden aplicar los grficos C para controlar este tipo de procesos, contando el nmero de defectos sobre la superficie del recubrimiento. En la industria textil tambin es necesario controlar defectos superficiales en las telas. Se pueden aplicar los grficos C para controlar el nmero de defectos sobre la superficie de un rea rectangular de tela. Muchas veces ocurre que las unidades que produce el proceso presentan una tasa de defectos muy baja.


Ejemplo Supongamos un proceso automatizado que fabrica tarjetas de sonido. A la salida del mismo se inspecciona una tarjeta a intervalos de media hora y se cuenta el nmero de defectos. El resultado seguramente ser algo como esto: Tabla 7.

Tarjeta Nm. Defectos

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

6 1

7 0

8 0

etc -

Esto se debe a que la fabricacin se realiza por medio de un proceso totalmente automatizado donde ocurren pocos errores. Por lo tanto, el promedio de defectos ser cercano a cero y el Lmite Inferior de Control seguramente ser negativo. Para evitar esto, es conveniente redefinir la Unidad de Inspeccin. Por ejemplo, se puede tomar como unidad de inspeccin la cantidad de 100 tarjetas de sonido. Es decir, cada media hora se retiran del proceso 100 tarjetas y se cuentan los defectos del total de las mismas. De esta manera la cantidad de defectos promedio por unidad de inspeccin ser ms alta. Y es posible tambin que el LIC sea mayor que cero. Supongamos que se est controlando el nmero de defectos en un proceso de ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspeccin de 5 licuadoras. En este caso es posible trabajar con un grfico C, como ya hemos visto. Pero tal vez se

desea controlar el promedio de defectos por cada licuadora (unidad de produccin) en lugar del total de defectos para las 5 licuadoras (unidad de inspeccin):

ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin m Nm. de Unidades de Produccin en la Unidad de Inspeccin En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspeccin (5 licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora ser:

Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1/m, 2/m, 3/m, 4/m, .....etc., y cuya distribucin de probabilidades se puede calcular a partir de la Distribucin de Poisson. Como en el caso de los grficos C, en una primera etapa se toman N unidades de inspeccin (ms de 25 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspeccin el Nmero de Defectos y se registra. Luego se divide el Nmero de Defectos de cada unidad de inspeccin por m (Nmero de unidades de produccin en cada unidad de inspeccin). En nuestro ejemplo (m = 5) la Tabla quedara as: Tabla 8.

Unidad deInspeccin

Nm. Defectos Nm. Defectospor Licuadora

1 5 1.0

2 8 1.6

3 6 1.2

4 10 2.0


5 5 1.0

6 15 3.0

7 12 2.4

8 5 1.0

- - -

- - -

Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parmetro U como promedio del Nmero de Defectos por licuadora:

ni Cantidad de Defectos por Unidad de Inspeccin m Nm. de Unid. de Produccin en la Unidad de Inspeccin N Nmero de Unidades de Inspeccin y luego la Desviacin Standard:

Con esto podemos calcular los Lmites de Control para el grfico U:

Investigacin documental

Competencia de Calidad. Determinar la calidad de un producto evaluado

acorde con sus caractersticas y especificaciones del cliente.

El Alumno: - Investigar acerca los diferentes factores que

intervienen en la definicin de la calidad del producto al utilizar una grafica c y en que parte del proceso de produccin es conveniente utilizarla.

3.1.5. Grficas I, Defectos porUnidad Promedio de defectos Es aquella carta que se utiliza para graficar el nmero promedio de defectos por unidad. Sirve este Grfico para los mismos fines que el Grafico c. Se diferencian en que en este ltimo el tamao de muestra no es necesariamente constante y en que n el eje de ordenadas se grafica la proporcin de defectos por unidad muestreada "u" en vez de la cantidad total de defectos en la muestra. Si aceptamos la aproximacin de la variable de Poisson a la Normal y tenemos en cuenta que u= ci /ni resulta:


Si p es la proporcin de defectos que genera el proceso en el momento de tomar una muestra de tamao ni, es X~ni.p, con lo que la ecuacin anterior puede ser escrita:

Como en el caso del Grfico p la estimacin de la proporcin de defectos a partir de las m muestras de un Grfico u eS5:

Desviacin estndar y luego la Desviacin Standard s:

Limites de control Con ello los lmites de control se calculan. La curva caracterstica y tamao de la muestra del grafico U.

Utilizando la aproximacin normal. De donde. Por lo tanto el tamao de la muestra la curva caracterstica debe pasar por los puntos


Ejemplo. De la lnea de produccin de obturadores y dosificadores de una empresa, cuando se consideraba que el proceso estaba bajo un control eficaz y con el fin de calcular los lmites del grafico U se han tomado 50 muestras de tamao variable, contabilizndose los efectos encontrados en cada muestra. Se recogen los resultados obtenidos y con estos datos se han calculado las proporciones de defectos en cada muestra mediante.

Para el clculo de los lmites preliminares, comenzaremos por estimar la proporcin de defectos que genera el proceso.

Mediante esta estimacin de p y las formulas.

Se han calculado los lmites de control para cada una de las muestras, representndose tanto estos lmites como los correspondientes valores de U para cada muestra. Defectos en 50 muestras de tamao variable. Tabla 9.

Como las variaciones del tamao de la muestra son pequeas, tambin las variaciones de los lmites de control lo son, tal como se puede observar en la figura y por lo tanto se puede utilizar en vez de tamaos de muestra variables un tamao de muestra medio nico. Proporcin de defectos en 50 muestras de tamao variable.


Tabla 10

Figura 44. Utilizando estos lmites y representando las pi correspondientes, se ha obtenido la siguiente grfica.

Figura 45. A continuacin se presentan las curvas caractersticas exacta y aproximada para el grafico U.


Figura 46.

Consulta con el docente

Competencia Tecnolgica. Identificar el tipo de equipo

que existe en el mercado y en el Internet para el manejo de grficas de control por atributos.

El Alumno: - Investigar los avances tecnolgicos para el

manejo de gaficas de control por atributos y los tipos de paquetera que son utilizados en los procesos de produccin.

Competencia para la vida. Considerar que el crecimiento personal y

profesional representa mejores condiciones de vida.

El Alumno: - Considerar que al aplicar mal una grfica se

tienen prdidas en donde el error cometido en el trabajo afecta de forma directa su estabilidad profesional y familiar.


Desarrollo de la Prctica Unidad de aprendizaje: 3 Prctica nmero: 9 Nombre de la prctica: Instalacin de grficas de medias y rangos. Propsito de la prctica:

Al finalizar la prctica, el alumno instalar grficas de medias y rangos, mediante el cumplimiento de fases de estabilidad estadstica, capabilidad y control estadstico del proceso, para que el proceso sea normal, estable y cuente con el Cpk requerido.

Escenario: Laboratorio. Duracin: 10 hrs.

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta 3 cajas de 150 piezas cada una,

que indiquen el orden en que fueron producidas y se adjunten las observaciones de anomalas tenidas durante su proceso.

Dibujo y especificaciones de la pieza.

Formato de grfica de control X-R. Regla. Lpices. Goma.

Calculadora cientfica De medicin

NOTA: el PSA debe fomentar en el alumno las actitudes de responsabilidad, disciplina, limpieza, seguridad y trabajo en equipo.


Procedimiento

Realizar la prctica con responsabilidad, limpieza, seguridad y trabajo en equipo.

Aplicar las normas de seguridad e higiene. Verificar que en el rea de trabajo existan condiciones seguras de trabajo. Utilizar ropa y equipo de trabajo.

1. Seleccionar proceso para anlisis.

2. Definir objetivo

3. Realizar un listado de caractersticas significantes y crticas.

4. Seleccionar caractersticas a monitorear de la pieza o componente en estudio.

5. Establecer tamao de muestra

6. Establecer frecuencia de toma de muestras.

7. Seleccionar un instrumento de sensibilidad requerida, calibrado y verificado.

8. Medir una caracterstica de las 150 piezas de la primera caja.

9. Registrar las anotaciones en la hoja de datos del formato de grfica de control.

10.Calcular la media y rango de cada subgrupo anotando los valores en el formato de la grfica de control X-R.

11.Seleccionar la escala de las grficas de control.

12.Calcular la gran media, el rango medio.

13.Calcular los lmites de control para las medias y rangos, anotndolos en el formato de la grfica de control X-

R.

14.Dibujar las lneas de promedios y lmites de control.

15.Analizar datos de (R y X).

16.Interpretacin de la informacin identificando inestabilidad y otros patrones no naturales (puntos fuera de

lmites, adhesiones, series).


Procedimiento 17.Identificar y corregir las causas de variacin.

18.Recalcular limites de control.

19.Comparar rangos con nuevos lmites.

20.Repetir la secuencia de identificacin / correccin y Recalculo de los limites (s es necesario)

21.Completar la fase de estabilidad con los datos de gran media y rango medio, en caso de no presentarse

sntomas de anormalidad.

22.Medir la misma caracterstica en las 150 piezas de la segunda caja, registrndolas en la bitcora del

formato de grfica de control X-R.

23. Calcular media y rango de cada subgrupo de 5 piezas anotando los nuevos valores en la bitcora del

formato de la grfica X-R.

24.Calcular la gran media, rango medio y los lmites de estabilidad para las medias y rangos de los nuevos

valores.

25.Trazar las grficas de medias y rangos.

26.Determinar la normalidad, empleando las pruebas de inestabilidad y de otros patrones no naturales para

los nuevos valores.

27.Calcular la desviacin estndar mediante la formula R/d2 y los correspondientes ndices Cp y Cpk,

concluyendo la segunda fase si los valores resultan dentro de lo requerido.

28.Medir la misma caracterstica de las 150 piezas de la tercera caja, registrando las medidas de cada

subgrupo de cinco piezas en la bitcora del formato de grfica de control X-R.

29.Calcular media y rango de cada subgrupo de cinco piezas anotando los nuevos valores en la bitcora del

formato de la grfica X-R.


Procedimiento

30.Utilizar los valores de gran media, rango medio y lmites de estabilidad de las medias y rangos obtenidos en

la segunda caja, para la grfica de esta caja, graficando los valores de medias y rango de cada subgrupo

como se vayan obteniendo.

31.Verifica que se siten dentro de los lmites de estabilidad.

32.Revisar los puntos graficados se manifiesten estables, ya que indicar que el proceso se mantiene dentro del

control estadstico.

33.Obtener conclusiones.

34.Realizar reporte de la prctica.


Lista de cotejo de la prctica Nmero 9:

Instalacin de grficas de medias y rangos.

Nombre del alumno: Instrucciones: A continuacin se presentan los criterios que van a ser verificados

en el desempeo del alumno mediante la observacin del mismo. De la siguiente lista marque con una 9 aquellas observaciones que hayan sido cumplidas por el alumno durante su desempeo

Desarrollo S No No Aplica

Aplic las normas de seguridad e higiene. Verific que en el rea de trabajo existan condiciones seguras de trabajo. Utiliz ropa y equipo de proteccin personal.

1. Seleccion proceso a analizar. 2. Defini objetivo. 3. Realizo listado de caractersticas criticas 4. Seleccion caracterstica a analizar. 5. Estableci tamao y frecuencia de muestra. 6. Seleccion instrumento de medicin calibrado y de sensibilidad requerida. 7. Midi la caracterstica de las piezas. 8. Registr los datos en el formato de la grfica de control. 9. Calcul la media y rango de cada subgrupo anotando los valores en el formato

de la grfica de control X-R.

10.Calcul la gran media, el rango medio y los lmites de estabilidad para las medias y rangos anotndolos en el formato de la grfica de control X-R.

11.Seleccion una escala para la grfica. 12.Traz las grficas de medias y rangos. 13.Determin la normalidad empleando las pruebas de inestabilidad y de otros

patrones no naturales.

14.Identific causas de variacin. 15.Corrigi causas de variacin 16.Recalcul limites de control. 17.Repiti la secuencia de identificacin / correccin y Recalculo de los limites. 16.Complet la fase de estabilidad con los datos de gran media y rango medio, en

caso de no presentarse sntomas de anormalidad.

17.Midi la misma caracterstica en las 150 piezas de la segunda caja, registrndolas en la bitcora del formato de grfica de control X-R.

18.Calcul media y rango de cada subgrupo de cinco piezas anotando los nuevos valores en la bitcora del formato de la grfica X-R.

19.Calcul la gran media, rango medio y los limites de estabilidad para las medias y rangos de los nuevos valores.


20.Traz las grficas de medias y rangos. 21.Determin la normalidad, empleando las pruebas de inestabilidad y de otros

patrones no naturales para los nuevos valores.

Realiz la prctica con responsabilidad, limpieza, seguridad y trabajo en equipo.

Observaciones:

PSA:

Hora de

inicio: Hora de

trmino: Evaluacin:


Unidad de aprendizaje: 3 Prctica nmero: 10 Nombre de la prctica: Grficas de medias y rangos. Propsito de la prctica:

Al finalizar la prctica, el alumno realizar el procedimiento para la realizacin de las grficas de medias y rangos.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Datos de tabla adjunta. Dibujo y especificaciones de la

pieza. Formato de grfica de control X-R. Regla. Lpices. Goma.

Calculadora cientfica De medicin



Procedimiento


Aplicar las normas de seguridad e higiene.

Verificar que en el rea de trabajo existan condiciones seguras de trabajo. Utilizar ropa y equipo de trabajo.

1. A continuacin se expresan las medidas de una resistencia en subgrupos de 5 cada uno.

2. A partir de estos datos llene la grfica de control.

3. Obtenga X, R graficar los puntos.

4. Calcular X, R, graficar.

5. Calcular LSCR, LICR , LSCX , LICX ,graficar.

6. Interpretar y anlisis del proceso.

7. Determine los puntos que estn en forma corrida, agrupando cada conjunto mediante una lnea cerrada.

8. Establecer nuevamente X, R y lmites de control.

9. Elaborar un reporte.


Procedimiento

No. SUBGRUPO MEDIDAS EN (1/1000) cm.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

125 126 128 131 134 129 127 132 129 131 131 132 129 128 127 131 130 127 129 130 129 128 132 129 131 133 129 127 126 125 124 132 127 125 126 127 131 129 129 131 130 131 129 129 130 129 127 128 129 130 129 131 129 128 130 129 131 128 127 129 132 129 127 131 129 130 129 128 127 131 132 129 128 131 125 129 131 128 131 128 132 132 133 130 126 131 132 131 130 129 129 129 131 130 127 129 129 131 128 131 129 131 132 131 132 129 128 127 129 130 133 129 130 129 135 128 129 130 132 132 127 129 132 130 131


Lista de cotejo de la prctica nmero 10:

Grficas de medias y rangos.





1. Registr los datos en el formato de la grfica de control. 2. Calcul la media y rango de cada subgrupo anotando los valores en el formato

de la grfica de control X-R.

3. Calcul la gran media, el rango medio y los lmites de estabilidad para las medias y rangos anotndolos en el formato de la grfica de control X-R.

4. Seleccion una escala para la grfica. 5. Traz las grficas de medias y rangos. 6. Determin la normalidad empleando las pruebas de inestabilidad y de otros


7. Identific causas de variacin. 8. Corrigi causas de variacin 9. Recalcul limites de control. 10.Repiti la secuencia de identificacin / correccin y Recalculo de los limites. 11.Complet la fase de estabilidad con los datos de gran media y rango medio, en

caso de no presentarse sntomas de anormalidad.

12.Midi la misma caracterstica en las 150 piezas de la segunda caja, registrndolas en la bitcora del formato de grfica de control X-R.

13.Calcul media y rango de cada subgrupo de cinco piezas anotando los nuevos valores en la bitcora del formato de la grfica X-R.

14.Calcul la gran media, rango medio y los limites de estabilidad para las medias y rangos de los nuevos valores.

15.Traz las grficas de medias y rangos.



16.Determin la normalidad, empleando las pruebas de inestabilidad y de otros patrones no naturales para los nuevos valores.


Observaciones:

PSA:

Hora de

inicio: Hora de

trmino: Evaluacin:


Unidad de aprendizaje: 3 Prctica nmero: 11 Nombre de la prctica: Instalacin de grficas de defectuosos np. Propsito de la prctica:

Al finalizar la prctica, el alumno instalar grficas de defectuosos np, mediante el cumplimiento de las fases de estabilidad estadstica, nivel de calidad y control estadstico del proceso.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Reportes de defectuosos de un

proceso de un mes de produccin, detallado por da.

Reporte de defectuosos de un mes de produccin, detallado por da del mismo proceso ya mejorado.

Reporte de defectuosos actual del proceso mejorado.

Formato de grficas por atributos. Regla. Lpiz.

Calculadora cientfica



Procedimiento




1. Revisar detalladamente el proceso que corresponda al reporte de defectuosos.

2. Registrar en un formato de grfica de atributos np las piezas inspeccionadas, n y el nmero de

defectuosos, np reportados.

3. Calcular la np promedio, la desviacin estndar y los lmites de estabilidad.

4. Graficar los valores de np.

5. Determinar la normalidad de proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y de otros patrones no

naturales.

6. Registrar en la bitcora de la grfica np las anomalas presentadas en el proceso.

7. Verificar si se justifican los puntos de inestabilidad y eliminarlos en caso positivo.

8. Registrar en el formato de grfica de atributos np nuevos valores, en caso de que se hubieran eliminado

ms del 20% de los puntos de la grfica.

9. Repetir los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos valores.

10.Graficar los nuevos valores de np.

11.Determinar la normalidad del proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y otros patrones no naturales.

12.Completar la fase de estabilidad con los datos de np promedio y desviacin estndar, en caso de no

presentarse sntomas de inestabilidad.


Procedimiento

13.Registrar en el formato de grfica de atributos np nuevos valores, en caso de que se hubieran eliminado


14.Repetir los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de inestabilidad para los nuevos

valores.


16.Utilizar las pruebas de anormalidad y de otros patrones no normales, y de no presentarse sntomas de

anormalidad se considerar el nuevo promedio de np como un parmetro mejorado del proceso, y los

lmites de control de np como los lmites para la siguiente fase.

17.Graficar los nuevos valores de np que se vayan generando y si los puntos se mantienen dentro de los

lmites y con una trayectoria normal, se considerar que el proceso est bajo control y listo para una

nueva etapa de mejoramiento.




Instalacin de grficas de defectuosos np.





1. Revis detalladamente el proceso que corresponda al reporte de defectuosos. 2. Registr en un formato de grfica de atributos np las piezas inspeccionadas,

n y el nmero de defectuosos, np reportados.

3. Calcul la np promedio, la desviacin estndar y los lmites de estabilidad. 4. Grafic los valores de np. 5. Determin la normalidad de proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y

de otros patrones no naturales.

6. Registr en la bitcora de la grfica np las anomalas presentadas en el proceso.

7. Verific si se justifican los puntos de inestabilidad y eliminarlos en caso positivo. 8. Registr en el formato de grfica de atributos np nuevos valores, en caso de

que se hubieran eliminado ms del 20% de los puntos de la grfica.

9. Repiti los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos valores.

10.Grafic los nuevos valores de np. 11.Determin la normalidad del proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y

otros patrones no naturales.

12.Complet la fase de estabilidad con los datos de np promedio y desviacin estndar, en caso de no presentarse sntomas de inestabilidad.

13.Registr en el formato de grfica de atributos np nuevos valores, en caso de que se hubieran eliminado ms del 20% de los puntos de la grfica.

14.Repiti los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de inestabilidad para los nuevos valores.

15.Grafic los nuevos valores de np. 16.Utiliz las pruebas de anormalidad y de otros patrones no normales, 17.Grafic los nuevos valores de np. 18.Realiz un reporte de la prctica 19.Repiti los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de

inestabilidad para los nuevos valores.

20.Grafic los nuevos valores de np. 21.Utiliz las pruebas de anormalidad y de otros patrones no normales,


22.Grafic los nuevos valores de np. 23.Realiz un reporte de la prctica Realizo la prctica con responsabilidad, limpieza, seguridad y trabajo en

equipo.

Observaciones:

PSA:

Hora de

inicio: Hora de

trmino: Evaluacin:


Unidad de aprendizaje: 3 Prctica nmero: 12 Nombre de la prctica: Instalacin de grficas de fraccin defectuosa p. Propsito de la prctica:

Al finalizar la prctica, el alumno instalar grficas de fraccin defectuosa p, mediante el cumplimiento de estabilidad estadstica, nivel de calidad y control estadstico del proceso.


Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Reporte de defectuosos de un

proceso de un mes de produccin detallado por da.

Reporte de la prctica nm.9. Reporte de defectuosos de un mes

de produccin de un mes detallado por da del mismo proceso ya mejorado.

Reporte de defectuosos de la produccin actual del proceso mejorado.

Formato de grfica por atributos.




Procedimiento




1. Revisar el proceso correspondiente al reporte de la prctica nm. 9.

2. Registrar en un formato de grfica de atributos p las piezas inspeccionadas, n y el nmero de

defectuosos, np reportados.

3. Calcular la p promedio, la desviacin estndar y los lmites de estabilidad.

4. Graficar los valores de p.

5. Determinar la normalidad del proceso utilizando las pruebas y de otros patrones no naturales.

6. Registrar en la bitcora de la grfica p las anomalas presentadas en el proceso.

7. Verificar si las anomalas justifican los puntos de inestabilidad, eliminndolos en caso positivo.

8. Registrar en la bitcora del formato de grfica de atributos p nuevos valores en caso de que se hubieran

eliminado ms de 20% de los puntos de la grfica.

9. repetir los clculos de p promedio desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos valores.

10.Graficar los nuevos valores de p.

11.Determinar la normalidad del proceso, utilizando las pruebas de inestabilidad y otros patrones no naturales.

12.Completar la fase de estabilidad con los datos de p promedio y desviacin estndar, en caso de no



Procedimiento

13.Registrar en el formato de grfica de atributos p nuevos valores, en caso de que se hubieran eliminado


14.Repetir los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos

valores.


16.Utilizar las pruebas de anormalidad de otros patrones no normales y de no presentarse sntomas de

anormalidad, se considerar el nuevo patrn de np como un parmetro mejorado del proceso y los

lmites de control de np como los lmites para la siguiente fase.

17.Graficar los nuevos valores de p que se vayan generando, y si los puntos se mantienen dentro de los

lmites y con una trayectoria normal, se considerar que el proceso est bajo control.



Instalacin de grficas de fraccin defectuosa p.





1. Revis el proceso correspondiente al reporte de la prctica nm. 9. 2. Registr en un formato de grfica de atributos p las piezas inspeccionadas,

n y el nmero de defectuosos, np reportados.

3. Calcul la p promedio, la desviacin estndar y los lmites de estabilidad. 4. Grafic los valores de p. 5. Determin la normalidad del proceso utilizando las pruebas y de otros


6. Registr en la bitcora de la grfica p las anomalas presentadas en el proceso.

7. Verific si las anomalas justifican los puntos de inestabilidad, eliminndolos en caso positivo.

8. Registr en la bitcora del formato de grfica de atributos p nuevos valores en caso de que se hubieran eliminado ms del 20% de los puntos de la grfica.

9. Repiti los clculos de p promedio desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos valores.

10. Grafic los nuevos valores de p. 11. Determin la normalidad del proceso, utilizando las pruebas de inestabilidad y


12. Complet la fase de estabilidad con los datos de p promedio y desviacin estndar, en caso de no presentarse sntomas de inestabilidad.

13. Registr en el formato de grfica de atributos p nuevos valores, en caso de que se hubieran eliminado ms del 20% de los puntos de la grfica.

14. Repiti los clculos de np promedio, desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos valores.

15. Grafic los nuevos valores de np. 16. Utiliz las pruebas de anormalidad de otros patrones no normales y de no

presentarse sntomas de anormalidad, se considerar el nuevo patrn de np como un parmetro mejorado del proceso y los lmites de control de np como los lmites para la siguiente fase.


17. Grafic los nuevos valores de p que se vayan generando, y si los puntos se mantienen dentro de los lmites y con una trayectoria normal, se considerar que el proceso est bajo control.


Observaciones:

PSA:

Hora de

inicio: Hora de

trmino: Evaluacin:


Unidad de aprendizaje: 3 Prctica nmero: 13 Nombre de la prctica: Instalacin de grficas de nmero de defectos c y nmero de

defectos por unidad i.

Propsito de la prctica:

Al finalizar la prctica, el alumno instalar grficas de nmero de defectos c y grficas de nmero de defectos por unidad i, mediante el cumplimiento de la estabilidad estadstica, nivel de calidad y control estadstico del proceso.

Escenario: Empresa manufacturera

Laboratorio.

Duracin: 6 hrs.

Materiales Maquinaria y equipo Herramienta Reporte de defectos de un

proceso de un mes de produccin detallado por da.

Reporte de la prctica 9. Reporte de defectos de un mes de

produccin de un mes detallado por da del mismo proceso ya mejorado.

Reporte de defectos de la produccin actual del proceso mejorado.

Formato de grfica por atributos.




Procedimiento




1. Revisar el reporte de defectos del proceso.

2. Registrar en un formato de grficas de atributos c e i promedio, la desviacin estndar y los lmites de

estabilidad.

3. Graficar los valores de c e i.

4. Determinar la normalidad de proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y de otros patrones no

naturales.

5. Registrar en la bitcora de la grfica c e i las anomalas presentadas en el proceso.

6. Verificar si se justifican los puntos de inestabilidad, eliminndolos en caso positivo.

7. Registrar en la bitcora del formato de grfica de atributos c e i nuevos valores, en caso de que se

hubieran eliminado ms del 20% de los puntos de la grfica.

8. Repetir los clculos de c e i promedio, desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos

valores.

9. Graficar los nuevos valores de c e i.

10.Determinar la normalidad del proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y otros patrones no naturales.

11.Completar la fase de estabilidad con los datos de c e i promedio y desviacin estndar, en caso de no



Procedimiento 12.Registrar en el formato de grfica de atributos c e i nuevos valores, en caso de que se hubieran

eliminado ms del 205 de los puntos de la grfica.

13.Repetir los clculos de c e i promedio desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos

valores.

14.Graficar los nuevos valores de c e i.

15.Utilizar las pruebas de anormalidad y de otros patrones no normales, y de no presentarse sntomas de

anormalidad, se considerar el nuevo promedio de c e i como parmetros mejorados del proceso.

16.Graficar los nuevos valores de c e i que se vayan generando y si los puntos se mantienen dentro de

los lmites y con una trayectoria normal se considerar que el proceso est bajo control estadstico.




Instalacin de grficas de nmero de defectos c y nmero de defectos por unidad i.



Desarrollo S No No Aplica Aplic las normas de seguridad e higiene. Verific que en el rea de trabajo existan condiciones seguras de trabajo. Utiliz ropa y equipo de proteccin personal.

1. Revis el reporte de defectos del proceso. 2. Registr en un formato de grficas de atributos c e i promedio, la

desviacin estndar y los lmites de estabilidad.

3. Grafic los valores de c e i. 4. Determin la normalidad de proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y

de otros patrones no naturales.

5. Registr en la bitcora de la grfica c e i las anomalas presentadas en el proceso.

6. Verific si se justifican los puntos de inestabilidad, eliminndolos en caso positivo.

7. Registr en la bitcora del formato de grfica de atributos c e i nuevos valores, en caso de que se hubieran eliminado ms del 20% de los puntos de la grfica.

8. Repiti los clculos de c e i promedio, desviacin estndar y lmites de estabilidad para los nuevos valores.

9. Grafic los nuevos valores de c e i. 10.Determin la normalidad del proceso utilizando las pruebas de inestabilidad y


11.Complet la fase de estabilidad con los datos de c e i promedio y desviacin estndar, en caso de no presentarse sntomas de inestabilidad.

12.Registr en el formato de grfica de atributos c e i nuevos v

Control Variables

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