CONTROL PREDICTIVO Sergio Castaño Control Automático Educación.

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CONTROL PREDICTIVO Sergio Castaño Control Automático Educación

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CONTROL PREDICTIVOSergio Castaño

Control Automático Educación

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Control Predictivo• Una accion predictiva en un controlador, es la forma de

generar una acción que pueda prever un determinado efecto en la respuesta y asi poderlo evitar o por lo menos disminuirlo

• Se actua en el instante actual, basandose en la predicción del comportamiento futuro del proceso

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Control Predictivo

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Control Predictivo Basado en ModeloMPC• IDEAS DEL MPC

Utiliza un modelo explicitoMinimiza un ObjetivoHorizonte Deslizante

• ELEMENTOS DEL MPCModelo de Predicción

Modelo del procesoModelo de las perturbaciones

Función objetivoMétodo para obtener la ley de control

• ALGORITMOS MPCDMCGPCUPC

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CONTROL DMC(Dinamic Matrix Control)

• Basado en la respuesta de un modelo matematico ante una entrada escalón

PLANTA

u(t) y(t)

y(t)

t

𝑦 (𝑡 )=𝑦𝑜+∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡−𝑖)

giyo

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CONTROL DMC(Dinamic Matrix Control)

𝑦 (𝑡 )=𝑦𝑜+∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡−𝑖)

• gi= Respuesta al escalón• =Son las variaciones de Control• yo= Salida inicial

y(t)

t

yoPLANTA

(t) y(t)

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CONTROL DMC(Dinamic Matrix Control)

• Para poder calcular mis predicciones me necesito mover hacia el futuro, es decir moverme k pasos para al frente en la ecuación del sistema

𝑦 (𝑡)

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡)Tiempo ActualTiempo FuturoPredicción

k

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DMC

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)

Datos de la planta

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DMC

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)

�̂� (𝑡+𝑘 /𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘− 𝑖)

FUTURO PASADO

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PERTURBACIONES• Error de predicción Actual• Error de predicción futura

PLANTA

MODELO

𝑦𝑚 (𝑡 )𝑈 (𝑡)

�̂� (𝑡𝑡)

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Modelo Completo de Predicción

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘− 𝑖)+𝑛 (𝑡)

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘− 𝑖)+𝑦𝑚 (𝑡 )− �̂� (𝑡𝑡)

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Factor de Corrección

PLANTA

MODELO

𝑦𝑚 (𝑡 )

�̂� (𝑡+𝑘𝑡

)

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Factor de Corrección

PLANTA

MODELO

𝑦𝑚 (𝑡 )

�̂� (𝑡+𝑘𝑡

)

C+_

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Factor de Corrección

PLANTA

MODELO

𝑦𝑚 (𝑡 )

�̂� (𝑡+𝑘𝑡

)

C+_

-/+

+

�̂� (𝑡𝑡)

𝑛(𝑡 )

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Modelo Completo de Predicción

• Necesito de la ecuación los elementos del futuro y los elementos del pasado

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘− 𝑖)+𝑦𝑚 (𝑡 )− �̂� (𝑡𝑡)

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)

�̂� (𝑡 /𝑡 )=∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡−𝑖)

FUTURO yp

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Y pasados

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘−𝑖)− �̂� ( 𝑡𝑡)

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘−𝑖)−∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡−𝑖)

𝑗=𝑖−𝑘 →𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑖=𝑘+1→ 𝑗=1

𝑖= 𝑗+𝑘→𝑘= 𝑗−𝑖

∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖) →𝑘−𝑖=𝑘− 𝑗−𝑘=− 𝑗

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Y Pasados

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘−𝑖)−∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡−𝑖)

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

𝑔 𝑗+𝑘∆𝑢(𝑡− 𝑗)−∑𝑖=1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡− 𝑖)

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

(𝑔 𝑗+𝑘−𝑔 𝑗 )∆𝑢(𝑡− 𝑗)

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Y pasados

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

𝑀

(𝑔 𝑗+𝑘−𝑔 𝑗 )∆𝑢(𝑡− 𝑗)

𝑀

𝑔 𝑗≈𝑔∞ ∀ 𝑗>𝑀

𝑔 𝑗=1→→→→𝑔 𝑗+𝑘=1

0

𝑦𝑝=𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

(𝑔 𝑗+𝑘−𝑔 𝑗 )∆𝑢(𝑡− 𝑗)

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Modelo completo de predicción

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+ ∑𝑖=𝑘+1

𝑔𝑖∆𝑢(𝑡+𝑘− 𝑖)+𝑦𝑚 (𝑡 )− �̂� (𝑡𝑡)

𝑦𝑝

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

𝑀

(𝑔 𝑗+𝑘−𝑔 𝑗 ) ∆𝑢 (𝑡− 𝑗)

𝑡+1𝑡 𝑡+𝑃

𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛

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Respuesta Libre y Forzada

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

𝑀

(𝑔 𝑗+𝑘−𝑔 𝑗 ) ∆𝑢 (𝑡− 𝑗)

Respuesta Forzada Respuesta Libre

Respuesta Libre

Respuesta Forzada

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Representación Matricial

�̂� (𝑡+𝑘/𝑡 )=∑𝑖=1

𝑘

𝑔𝑖∆𝑢 (𝑡+𝑘−𝑖)+𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

𝑀

(𝑔 𝑗+𝑘−𝑔 𝑗 ) ∆𝑢 (𝑡− 𝑗)

�̂� (𝑡+1/𝑡 )=𝑔1∆𝑢(𝑡)+𝑦𝑚 (𝑡 )+∑𝑗=1

𝑀

(𝑔 𝑗+1−𝑔 𝑗 )∆𝑢(𝑡− 𝑗 )

𝑓 (𝑡+1)�̂� (𝑡+2/𝑡 )=𝑔1∆𝑢 (𝑡+1)+𝑔2∆𝑢(𝑡)+ 𝑓 (𝑡+2)

�̂� (𝑡+3/𝑡 )=𝑔1∆𝑢(𝑡+2)+𝑔2∆𝑢(𝑡+1)+𝑔3∆𝑢(𝑡)+ 𝑓 (𝑡+3)

�̂� (𝑡+𝑃 /𝑡 )=𝑔1∆𝑢 (𝑡+𝑃−1 )+𝑔2∆𝑢 (𝑡+𝑃−2 )+…+𝑔𝑃∆𝑢(𝑡)+ 𝑓 (𝑡+𝑃 )

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Representación Matricial

+

�̂� 𝑮 𝒖 𝒇

�̂�=𝑮𝒖+ 𝒇

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Función Objetivo• Idea:

• Seguir referencias futuras• Ponderar el esfuerzo de control

Expresión General

𝐽=∑𝑗=1

𝑃

𝛿 ( 𝑗 )[ �̂� ( 𝑡+ 𝑗𝑡 )−𝑊 (𝑡+ 𝑗 )]

2

+¿∑𝑗=1

𝑁

λ ( 𝑗 ) [∆𝑢(𝑡+ 𝑗−1)]2 ¿

𝑊 (𝑡+ 𝑗 )=𝑅𝑒𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝐹𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎𝑠

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Representación Matricial

𝐽=∑𝑗=1

𝑃

𝛿 ( 𝑗 )[ �̂� ( 𝑡+ 𝑗𝑡 )−𝑊 (𝑡+ 𝑗 )]

2

+¿∑𝑗=1

𝑁

λ ( 𝑗 ) [∆𝑢(𝑡+ 𝑗−1)]2 ¿

Se busca minimizar la función objetivo

𝜕 𝐽𝜕𝑢

=0

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Función Objetivo

𝜕 𝐽𝜕𝑢

=2 (𝐺¿¿𝑇 𝛿𝐺+λ 𝐼 )𝑢+2( 𝑓 −𝑊 )𝑇 𝛿𝐺=0¿

G

∆ u=(𝐺¿¿𝑇 𝛿𝐺+λ 𝐼 )−1𝐺𝑇 𝛿𝑇 (𝑊 − 𝑓 )¿

=Simétrica