Control PID sistema de nivel

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas,Grandas Lpez Andrs Mauricio, Fajardo Rodriguez Manuel Fernando

MODELAMIENTO MATEMATICO PARA UN CONTROL DE NIVEL

1

I. INTRODUCCION

La finalidad de esta practica es implementar un sistema de

ajuste de nivel de liquidosagua mediante un control de PID (Proporcinal- Integral Derivativo).Arduino y elementos electrnicos sern los sofwares y elementos utilizados y

encargados de ayudar a crear el cdigo e implementacin del

sistema de operacin. En los procesos donde se requiere

mantener constante el nivel de tanques, bien sea para asegurar

mezclas perfectas, evitar daos en la etapa de succin de

motobombas, evitar reboses de tanques, o simplemente

asegurar flujos constantes a la salida del tanque, se recurre al

monitoreo del nivel del tanque para controlar el flujo de entrada

o de salida al tanque, asegurando de esta forma, que el nivel

permanezca siempre en un valor deseado.

II. OBJETIVOS

1. Analizar, disear, simular circuitos para implementar PID anlogos con amplificadores operacionales.

2. Explorar a un elevado nivel los programas para el diseo de sistemas de control asistido por computador

(MATLAB).

III. FUNCIONAMIENTO DEL SENSOR ULTRASONICO SFR05

El SRF05, es un sensor de distancias por ultrasonidos

desarrollado por la firma DEVANTECH Ltda. Capaz de

detectar objetos y calcular la distancia a la que se encuentra en

un rango de 1,7 a 431 cm. El sensor funciona por ultrasonidos

y contiene toda la electrnica encargada de hacer la medicin.

Su uso es tan sencillo como enviar el pulso de arranque y medir

la anchura del pulso de retorno. De muy pequeo tamao, el

sensor se destaca por su bajo consumo, gran precisin y bajo

precio. El sensor SRF05 funciona emitiendo impulsos de

ultrasonidos inaudibles para el odo humano. Los impulsos

emitidos viajan a la velocidad del sonido hasta alcanzar un

objeto, entonces el sonido es reflejado y captado de nuevo por

el receptor de ultrasonidos. Lo que hace el controlador

incorporado es emitir una rfaga de impulsos y a continuacin

empieza a contar el tiempo que tarda en llegar el eco. Este

tiempo se traduce en un pulso de eco de anchura proporcional a

la distancia a la que se encuentra el objeto. Registrando la

duracin del pulso es posible calcular la distancia en

pulgadas/centmetros o en cualquier otra unidad de medida. Si

no se detecta nada, entonces el SRF05 baja el nivel lgico de su

lnea de eco despus de 30mS. El SRF05 proporciona un pulso

de eco proporcional a la distancia. Si el ancho del pulso se mide

en uS, el resultado se debe dividir entre 58 para saber el

equivalente en centmetros, y entre 148 para saber el

equivalente en pulgadas. US/58=cm o uS/148=pulgadas. El

SRF05 puede activarse cada 50mS, o 20 veces por segundo.

Debera esperar 50ms antes de la siguiente activacin, incluso

si el SRF05 detecta un objeto cerca y el pulso del eco es ms

corto. De 99 esta manera se asegura que el "bip" ultrasnico ha

desaparecido completamente y no provocar un falso eco en la

siguiente medicin de distancia.

Figura 1. Sensor de distancia por ultrsonido SRF05

El diagrama de conexiones se puede observar en la figura 1.1

Figura 1.1Diagrama de Conexiones del SRF05

CONTROLADOR PID PARA NIVEL DE TANQUE DE AGUA

Grandas Lopez, Andres Mauricio, [email protected],Fajardo Rodriguez Manuel

Fernando,[email protected], Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas



2

Desde un punto de vista prctico, lo que hay que hacer es

mandar una seal de arranque en el pin 3 del SRF05 y despus

leer el ancho del impulso que proporciona en el pin 2.

Externamente se aplica, por parte del usuario, un pulso de

disparo o trigger de 10 S de duracin mnima. Se inicia la secuencia. El mdulo transmite un tren de pulsos o burst de 8 ciclos a 40KHz. En ese 100 momento la seal de salida ECO

pasa a nivel 1. Cuando la cpsula receptora recibe la seal transmitida como consecuencia de haber rebotado en un objeto

(eco), esta salida pasa de nuevo a nivel 0. El usuario debe medir la duracin del pulso de esta seal, es decir, el tiempo en

que la seal eco se mantiene a 1. Con objeto de que el mdulo se estabilice, se debe dejar un lapsus de tiempo de unos 20ms

mnimo entre el momento en que la seal de eco pasa a 0 y un nuevo pulso de disparo que inicie el siguiente ciclo o medida.

Esto permite realizar medidas cada 50ms o lo que es igual a 20

medidas por segundo. La duracin del pulso eco de salida vara

entre 100s y 25ms, en funcin de la distancia entre las cpsulas del mdulo y el objeto. La velocidad del sonido es de 29,15

s/cm que, como realiza un recorrido de ida y vuelta, queda establecida en 58,30s/cm. kAs pues el rango mnimo que se puede medir es de 1,7 cm (100s/58) y el mximo de 431 cm (25ms/58).

Tabla 1. Caracteristicas tcnicas del sensor SRF05

Figura 2: Montaje del sensor de ultrasonido SRF05 con

Arduino

#include

LiquidCrystallcd(12, 11, 5, 4, 3, 2);

constint trigger=10;

constint echo=13;

float distance;

constStringnivel_agua = "Nivel de agua:";

void setup(){

lcd.begin(16,2);

Serial.begin(9600);

pinMode(trigger,OUTPUT);

pinMode(echo,INPUT);

}

voidloop(){

//Inicializamos el sensor

digitalWrite(trigger,LOW);

delayMicroseconds(5);

// Comenzamos las mediciones

// Enviamos una seal activando la salida trigger durante 10

microsegundos

digitalWrite(trigger,HIGH);

delayMicroseconds(10);

digitalWrite(trigger,LOW);

// Adquirimos los datos y convertimos la medida a metros

distance=pulseIn(echo,HIGH); // Medimos el ancho del pulso

// (Cuando la lectura del pin sea HIGH

medira

// el tiempo que transcurre hasta que sea

LOW

distance=distance*0.0001657;



3

// Enviamos los datos medidos a traves del puerto serie y al

display LCD

Serial.println("Nivel de agua:");

Serial.print(distance);

Serial.println(" Metros.");

lcd.setCursor(0,1);

lcd.print(distance);

lcd.print(" Metros.");

lcd.setCursor(0,0);

lcd.print(nivel_agua);

delay(1000);

}

IV. MODELAMIENTO

El modelamiento del proceso completo, consiste en la

caracterizacin de los subsistemas y la obtencin de sus

respectivas funcin de transferencia, para luego obtener la

funcin de transferencia en lazo cerrado.

Figura 2. Diagrama esquematico del proceso completo del

controlador de nivel.

Figura 2.1 Diagrama de bloques del sistema de control.

En este caso no utilizaremos una electrovlvula en su remplazo

se usara una bomba DC.

Primeramente hacer la caracterizacin de la bomba de agua,

seguidamente la del sensor de nivel, y finalmente la del tanque

o planta, para luego continuar con su respectivo modelamiento.

De acuerdo a los esquemas planteados en las figuras 2 y 2.1, no

se utilizara la electrovlvula en su remplazo se usara una bomba

DC, esto se hace debido a que a la bomba se le puede hacer un

mejor control para su funcionamiento y a su vez esta nos servir

como medio para transportar agua de un tanque a otro.

Primeramente hacer la caracterizacin de la bomba de agua,

seguidamente la del sensor de nivel, y finalmente la del tanque

o planta, para luego continuar con su respectivo modelamiento.

Para el caso de la caracterizacin de la planta hagamos las

siguientes consideraciones:

A un tanque pulmn, le llega un flujo Q1 y en condiciones

estacionarias leabandona un flujo Q2=Q1. En un momento dado

se corta 1 (1 = 0) y queremos conocer el comportamiento de 2, y la altura del tanque durante un cierto tiempo hasta que se puede reestablecer 1:

Por conservarcion, nosotros sabemos lo siguiente:

= (1) 1 2 = (2)

Teniendo en cuenta que: V es el volumen del tanque a

considerar y A su rea. El caudal de salida (2) variara en funcion del nivel del liquido y la resistencia al paso del fluido

(Rh), se encuentapor la posicin adoptada en la valvula de

salida. En principio podemos adoptar la siguiente relacion:

2() =1

() (3)

Reemplazando la ecuacin (3) en (2):

1() ()

=

1 =

+

()

(4)



4

Si deja de funcionar la bomba DC, la cual se encarga de

suministrar el caudal de entrada, el tanque se vaciara y si

totamosun t=0 al tiempo que 1 = 0, la ecuacin 4, queda de la siguiente manera:

=

1

() (5)

Dado que si asumimos que Rh no es funcion de h, se trata de

una ecuacin diferencial lineal, pero debemos tener en cuenta

que esta modelo es una aproximacin para su anlisis. Sin

embargo, podemos definie una zona estrecha de altura del

tanque donde Rh sea lineal y constante sin introducir un error

significativo para los clculos. Para cubrir la otra zona debemos

encontrar otro valor de Rh y asi podemos ir resolviendo el valor

de la alutra h que tomara para todo el tanque.

Si integramos la ecuacin 5, teniendo en cuenta que en el

entorno de linealizacion en el cual Rh se toma como constante,

la ecuacin queda de la siguiente manera:

()=

1

0

0

ln () ln 0 = ln()

0=

1

Luego esta ecuacin queda de la siguiente manera:

() = 0 exp(1

)

Donde h0 es la altura inicial medida en el tanque, en el tiempo

t=0.

Figura 4: Modelo bsico optado para la implementacin de la

planta

A. Caracterizacin de los subsistemas: electrovlvula, sensor y tanque

Sensor de nivel: para este caso (vase tabla 1), las variables

relacionadas son (altura h en centmetros del nivel del tanque vs el voltaje del sensor de nivel), el registro emprico se obtuvo

posicionando el nivel del agua a una altura debidamente

tabulada y registrar el voltaje generado por el sensor de nivel,

iniciando en una altura h de 4,5cm hasta 49cm el cual se

aumentaba cada 5cm. Para este caso de caracterizacin es

tenida en cuenta su curva de histresis, la cual se obtiene segn

[3 y 4] haciendo un barrido de lecturas subiendo, y otro bajando

a la entrada del sensor, o sea al nivel del tanque. En la tabla 1

se parecan los 45 datos registros para obtener dicha curva.

Calibracion del Sensor de Nivel

Calibracion Subiendo Calibracion Bajando

Nivel

h(mts) Voltaje(V) Nivel h(mts) Voltaje(V)

0,05 0,691

0,06 0,7965 0,48 4,921

0,07 0,9016 0,47 4,821

0,08 1,0054 0,46 4,712

0,09 1,1037 0,45 4,617

0,1 1,1964 0,44 4,515

0,11 1,2951 0,43 4,43

0,12 1,3978 0,42 4,331

0,13 1,4883 0,41 4,24

0,14 1,5842 0,4 4,131

0,15 1,684 0,39 4,04

0,16 1,7914 0,38 3,935

0,17 1,8798 0,37 3,839

0,18 1,9861 0,36 3,7418

0,19 2,08 0,35 3,6467

0,2 2,1739 0,34 3,5477

0,21 2,269 0,33 3,4262

0,22 2,3693 0,32 3,3436

0,23 2,4672 0,31 3,2471

0,24 2,5722 0,3 3,1526

0,25 2,6695 0,29 3,0412

0,26 2,7728 0,28 2,946

0,27 2,8723 0,27 2,8657

0,28 2,9777 0,26 2,748

0,29 3,0718 0,25 2,6698

0,3 3,1628 0,24 2,5671

0,31 3,2673 0,23 2,4598

0,32 3,3591 0,22 2,3643

0,33 3,4457 0,21 2,2689

0,34 3,5625 0,2 2,1745

0,35 3,6538 0,19 2,0677

0,36 3,7449 0,18 1,9765

0,37 3,84 0,17 1,8768

0,38 3,9551 0,16 1,7804

0,39 4,0611 0,15 1,68

0,4 4,154 0,14 1,5818

0,41 4,238 0,13 1,4894

0,42 4,354 0,12 1,3863

0,43 4,442 0,11 1,2802

0,44 4,54 0,1 1,1798

0,45 4,631 0,09 1,0879

0,46 4,748 0,08 0,9946



5

0,47 4,839 0,07 0,8956

0,48 4,927 0,06 0,7975

0,49 5,025 0,05 0,6747

Tabla 1.Caracterizacion del sensor de nivel.

Fig. 3 Curva de histresis del sensor de nievel.

Resistencia y capacitancia de sistemas delnivel de lquido.

Considere el flujo a travs de untubocortoqueconecta dos

tanques. La resistenciaR para el flujo de lquido

entaltubo se define como el cambio en la diferencia de nivel (la

diferencia entre el nivel de lquido en los dos tanques)

necesariaparaproducir un cambio de unaunidad en la velocidad

del flujo; esdecir,

= , ()

( )

Dado que la relacin entre la velocidaddelflujo y la diferencia

de nivelesdistintapara elflujo laminar y el flujoturbulento, en lo

sucesivoconsideraremos ambos casos.Considere el

sistemadelnivel de lquidosqueaparece en la figura 1(a).

=

Endonde:

= velocidad del flujo del liquido en estado estable (3

)

= coeficientede proporcionalidad para flujo laminar, 2/) = ()

Figura 1 a) Sistema de nivel de lquido; b) curva de la altura en

contra delflujo.

Observe que la ley quecontrola el flujo laminar esanloga a la

ley de Coulomb, queplanteaque la

corrienteesdirectamenteproporcional a la diferenciapotencial.

Para el flujo laminar, la resistencia R1 se obtienecomo

=

=

La resistencia del flujo laminar esconstante y anloga a la

resistenciaelctrica.Si el flujoesturbulento a travs de la

restriccin, la velocidaddelflujo en estadoestablese

obtienemediante

Para flujo laminar el gastoesproporcional a la

columnahidrosttica, esdecir:

mientrasqueparaflujoturbulentoesproporcional a la

razcuadrada de la columnahidrosttica:

= En donde

= velocidad del flujo del liquido en estado estable (3

)

= coeficientede proporcionalidad para flujo turbulento, 2/) = ()

La resistenciapara el flujoturbulento se obtiene a partir de

=



6

Por lo tanto =

2 entonces

=

2

por talrazn la

resistenciaRtesigual a:

=2

El valor de la resistencia de flujoturbulentoRI depende delflujo

y la altura. Sin embargo, el valor de Rtse consideraconstantesi

los cambios en la altura y en el flujo son pequeos.

Usando la resistencia de flujoturbulento, la relacin entre Q y

H se obtienemediante

=2

Tal linealizacinesvlida, siempre y cuando los cambios en la

altura y el flujo, a partir desusvaloresrespectivos en

estadoestable, seanpequeos.

Porotrolado, la capacitancia de untanque se define como el

cociente de la variacin del lquidoacumulado entre el cambio

en la columnahidrosttica.

= (3)

()

Lo cualresulta en unidades de reapor lo que la capacitancia de

untanque se puedeconsiderarcomo la seccin transversal del

tanquebajoestudio.

En los sistemas de nivel de lquido la condicin de

equilibriovienedeclaradacomo: "La diferencia del gasto de

entrada y el gasto de salida en unaunidadpequea de

tiempoesigual a la cantidad de lquidoacumulado; esdecir:

= ( )

El trmino de la izquierdaes la cantidad de lquidoalmacenado.

La cantidad de gasto a la salidadeltanqueestdefinido en

funcin de la resistencia alflujo de la resistenciacomo:

() =()

Sustituyendoestaexpresin en la ecuacin anterior tenemos:

()

+ () = ()

Transformandoestaexpresinconsiderandocondicionesiniciales

cero tenemos:

( + 1)() = ()

Relacionando la variable de salida (nivel) con la de entrada

(flujo de entrada) llegamos a la funcin de transferencia: ()

()=

+ 1

Donde para la obtencin de los valores de R y C se hicieron

unas mediciones en el tanque de prueba, las cuales se

obtuvieron los siguientes resultados:

=2 103

5.5 102= 36.3636 103

Para el caso de R debemos obtener primero el valor de el la

variacin de la velocidad del flujo el cual lo obtendremos de la

siguiente

=2 103 3

40= 5.555 105

3

= 5.5 102

Asi el valor de la resistencia del tanque R es el siguiente:

=5.5 102

5.555 105 3

= 990

Luego nuesta funcin de transferencia definida por H(s) entre

Qi(s), quedara de la siguiente manera:

()

()=

+ 1=

27.5

+ 27.777 103

V. LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

Para obtener el lugar geomtrico de las races considerando una

ganancia K tenemos que considerar lo siguiente: el bloque de la

planta se considerara como G(s), mientras que el bloque de

sensado se considerara como H(s), por lo que nuestro sistema

de lazo cerrado se caracterizara en la siguiente figura:

()() =2.9258 106

( + 27.777 103)( + 1 104)

|()()| = |2.9258 106

( + 27.777 103)( + 1 104)| = 1

Si hacemos el despeje a K, esta quedara de la siguiente

manera:

=|( + 27.777 103)( + 1 104)|

2.9258 106

1. Inicio y fin de Trayectoria

Empieza en los polos (27.777 103 y 1 104) y terminan en el infinito con =

2. Trayectoria en el eje Real

Si las hay y estn entre [, 1 104] y [27.777 103, ]

3. Ubicacin de la asntota y del centroide:



7

El nmero de asntotas que hay en el sistema son dos y el

centroide del lugar geomtrico, se obtiene de la siguiente

forma:

=1 104 27.777 103

2= 5000.013

= 180(2 + 1)

= 90

4. Puntos de quiebre o ruptura:

Existe al menos una trayectoria entre los polos reales

o los ceros reales:

= ()

()=

( + 27.777 103)( + 1 104)

2.9258 106

= 3.41787 107(2 + 10000.027) = 0

Donde el valor de s da: s=-5000.038

5. Ganancia de quiebre

Con el valor de s obtenido anteriormente, hallemos la

ganancia de quiebre para el lugar geomtrico, la cual

se obtiene de la siguiente manera:

=|( + 27.777 103)( + 1 104)|

2.9258 106= 8.3729

En la siguiente figura podemos observar la grfica del lugar

geomtrico de las races obtenida:

VI. CONTROLADOR PID

En este segmento de documento se mostrarn las

caractersticas de los controladores proporcional (P), e integral

(I), y cmo utilizarlos para obtener una respuesta deseada.

Consideremos el siguiente sistema de realimentacin unitaria:

Figura 3. Sistema ralimentado con controlador

Proceso: Sistema a Controlar.

Controlador: Provee la exitacion de la planta; se disea para

controlar el comportamiento de todo el sistema.

Terminos de la funcin de control PID.

La funcin de transferencia del controlador PID es:

+

+ =

2 + +

Kp: Ganancia Proporcional.

Ki: Ganancia Integral.

Kd: Ganancia Derivativa.

Recordemos que el modelo y pruebas de simulacin se

consideran como un sistema de primer orden (un solo tanque)

Figura 3.1Esquema Basico del prototipo de nivel de agua.

Las condiciones de las ecuaciones dinamicas que describen al

sistema son:

= + Donde:

Qi= Caudal de entrada al tanque en [3

],

Qo= Caudal de salida del tanque en [3

]

Qa= Caudal almacenado en el tanque en [3

]

El caudal de salida del tanque esta dado por:

= Ecuacion 1 Donde:

Hl: altura del agua en el tanque [m]

Kv: Constante de la valvula [3

].

Se considera que la valvula de desfogue se encuentra al ras de

la base del tanque



8

El volumen almacenado dentro del tanque puede representarse

por:

=

=

= Ecuacion 2

Donde: Va = volumen del tanque ocupado por el agua [3] A=Area trasversal del tanque [2]. Reemplazando las ecuaciones 1 y 2 obtenemos que:

=

+ = +

Derivando tenernos:

= +

2

Aplicando Trasformada de Laplace a esta ltima ecuacin nos

queda:

2() = (1 + )() La funcin de transferencia de nuestro sistema queda:

2

(1 + )=

()

()

Donde: 1 =

2

K2=1/A

Siento Hl=altura de trabajo o valor de referencia= 20 cm

Kv=Constante de la valvula [3

]

RCsH(s)+H(s)=RQ1(s) ()

1()=

(+1)Z

R representa la Resistencia hidraulica a la salida del tanque y

C representa la capacitancia del tanque o lo que es lo mismo,

el area trasversal del tanque A.

Tanque: Para este caso, la funcin de transferencia se obtiene

reeplazando los valores de R y C en la ecuacin evaluada ante

la entrada de escalon unitario.

R=16853,48886

Como no existen datos sobre el rea del tanque, se obtuvo el

permetro del tanque, se determin el dimetro externo,

despus se rest el espesor de la pared y finalmente se obtuvo

el rea.

=

=

0,437

= 0,139101

= 0,1391010,004 = 0,135101 Luego A=/4(0,135101)2

A=14,335307*1032 C=14,335307*103

=()

()=

16.853,488886

241,599937 + 1

=()

()=

16.853,488886

241,599937 + 1

=()

()=

10,6393

0,0001 + 1

La funcin de transferencia es obtenida con base a la calibracin

subiendo.

La funcin de trasferencia en lazo cerrado del sistema en

presencia de una entrada escalon obtenemos:

()

()=

0,015582 + 0,0032099 + 8,5046

Comparando la funcin de transferencia del controlador PID:

+

+ =

2 + +

Decimos que:

Kp: Ganancia Proporcional (0,003299) Ki: Ganancia Integral ( 8,5046) Kd: Ganancia Derivativa ( 0,01558) Una vez diseado el controlador PID, y obtenido la funcin de

transferencia del controlador se procede a disear cada una de

las configuraciones Proporcional, Integral y Derivativa del

PID.Se toma el valor de Kp, Ki y Kd, los cuales son: Kp=

0,003299, Ki= 8,504*10-6 y Kd= 0,001558.

Figura. 4 Efecto de las acciones de control Kp, Ki y Kd sobre

el tiempo de subida sobre el sobrepaso y sobre el error en

estado estacionario.

Amplificador Proporcional

Esta configuracin consta de un amplificador en configuracin

inversor, con la siguiente funcin de transferencia:



9

Control PID sistema de nivel

Documents

Transcript of Control PID sistema de nivel