Control PID Avanzado Astrom 1a Edición

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net

www.elsolucionario.net

Control PID avanzado

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Control PID avanzado

Karl J. strm Tore Hgglund Department of Automatic Control Lund Institute of Technology

Lund University

TRADUCCIN Y REVISIN TCNICA Sebastin Dormido Bencomo

Dpto. Informtica y Automtica UNED

Jos Luis Guzmn Snchez Dpto. Lenguajes y Computacin

Universidad de Almera

Madrid Mxico Santaf de Bogot Buenos Aires Caracas Lima Montevideo San Juan San Jos Santiago So Paulo White Plains

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Cualquier forma de reproduccin, distribucin, comunicacin pblica o transformacin de esta obra slo puede ser realizada con la autorizacin de sus titulares, salvo excepcin prevista por la ley. La infraccin de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Cdigo penal). Dirjase a CEDRO (Centro Espaol de Derechos Reprogrficos: www.cedro.org), si necesita fotocopiar o escanear algn fragmento de esta obra.

DERECHOS RESERVADOS 2009, PEARSON EDUCACIN S. A. Ribera del Loira, 28 28042 Madrid (Espaa)

ISBN: 978-84-8322-511-0 Depsito Legal:

Equipo editorial:

Editor: Miguel Martn-Romo Tcnico Editorial:

Equipo de produccin: Director: Jos A. Clares Tcnico: Diego Marn

Diseo de cubierta: Equipo de diseo de Pearson Educacin S. A. Composicin: Impreso por:

IMPRESO EN ESPAA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecolgicos. Nota sobre enlaces a pginas web ajenas: Este libro puede incluir enlaces a sitios web gestionados por terceros y ajenos a PEARSON EDUCACIN S.A. que se incluyen slo con finalidad informativa. PEARSON EDUCACIN S.A. no asume ningn tipo de responsabilidad por los daos y perjuicios derivados del uso de los datos personales que pueda hacer un tercero encargado del mantenimiento de las pginas web ajenas a PEARSON EDUCACIN S. A y del funcionamiento, accesibilidad o mantenimiento de los sitios web no gestionados por PEARSON EDUCACIN S.A. Las referencias se proporcionan en el estado en que se encuentran en el momento de publicacin sin garantas, expresas o implcitas, sobre la informacin que se proporcione en ellas.

CONTROL PID AVANZADO Karl J. strm, Tore Hgglund

PEARSON EDUCACIN, S.A. 2009 ISBN: 978-84-8322-511-0 Materia: 681.5, Ingeniera Formato: 195 x 250 mm Pginas: 488

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Prefacio

El controlador PID es la solucin ms comn a los problemas prcticos de con-trol. Aunque controladores con accin proporcional e integral han sido utilizadosdesde la poca en que los molinos de viento y las mquinas de vapor eran las tec-nologas dominantes, la forma actual del controlador PID emergi con los contro-ladores neumticos en los aos 30 del siglo pasado. Una razn fue que las realiza-ciones con computadores hizo posible aadir caractersticas tales como capacidadde autosintona y diagnstico, que son muy beneficiosas para los usuarios. Desdeuna perspectiva de ingeniera, resulta particularmente interesante analizar lo quesucedi con las sucesivas tecnologas que se fueron incorporando, que hicieronque algunas funcionalidades importantes fueran redescubiertas y otras fueranaadidas.

Este libro se ha elaborado durante ms de 25 aos de desarrollo de los au-to sintonizadores para los controladores PID en estrecha colaboracin con la in-dustria. A travs de este trabajo hemos abordado un gran nmero de problemasreales de control industrial. Nos hemos beneficiado mucho de haber podido par-ticipar en el desarrollo, puesta en marcha y problemas de los controladores in-dustriales. El trabajo prctico ha inspirado tambin la investigacin.

Este texto es la ltima parte de una triloga. El primero de ellos, Automatic Tu-ning of PID Controllers, 1988, que tena 6 captulos, daba una breve descripcin denuestras primeras experiencias en el desarrollo de controladores autosintoniza-dos basados en el mtodo del rel. El segundo, PID Controllers: Theory, Design,and Tuning, 1995, que tiene 7 captulos, surgi de la necesidad de tratar de formams amplia muchos aspectos del control PID. En particular, revisa muchos mto-dos de diseo para controladores PID que investigamos en conexin con nuestrotrabajo sobre los controladores autosintonizados.

El conocimiento que se tena en 1995 del control PID todava no era satisfac-torio para el diseo de los controladores autosintonizados. Una desventaja eraque el usuario tena que proporcionar al controlador con ciertas elecciones dediseo. Resulta particularmente difcil para un usuario evaluar si la dinmica es-t dominada por el retardo o por la constante de tiempo. Esta cuestin estimulms investigacin sobre el tema. Debido al aumento drstico en la potencia declculo, fue tambin posible emplear algoritmos de diseo que requieren mscomputacin.

La sintona y diseo de controladores PID se ha basado tradicionalmente entcnicas especiales. El control robusto fue un gran desarrollo de la teora de con-

V

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Prefacio

trol que madur a finales de los 90, y que di como resultado potentes mtodosde diseo basados en la deformacin robusta de la funcin de transferencia en la-zo abierto. Esto nos estimul a iniciar un programa de investigacin para adaptarestos mtodos al control PID . Al mismo tiempo pareca natural acercar el controlPID a la corriente principal de ideas en control. Cuando trabajamos con auto sin-tonizadores industriales, tambin vimos que haba una gran necesidad de incluirdiagnosticos en el controlador, ya que no se suele sintonizar un controlador si elproceso tiene activas alarmas graves. El presente libro, Control PID Avanzado, esel resultado de este esfuerzo.

Con un total de 13 captulos, este nuevo libro amplia sustancialmente algunosde los temas cubiertos en las versiones previas y proporciona algunos nuevoscaptulos que tratan del diseo del controlador, diseo por anticipacin (feedfor-ward), sustitucin de las reglas de sintona de Ziegler-Nichols, control predictivo,evaluacin del comportamiento del lazo e interaccin. En este punto en nuestratriloga de libros, asumimos que el lector est familiarizado con la teora del con-trol.

Nuestra investigacin ha dado como resultado una comprensin ms profun-da de los compromisos entre atenuacin de la perturbacin en la carga, inyeccinde ruido en la medida y respuesta a cambios en el punto de consigna. Hemossido tambin capaces de responder a cuestiones tales como: Debera un contro-lador sintonizarse para dar respuesta a perturbaciones en la carga o a cambiosen el punto de consigna?, Qu informacin se requiere para disear un con-trolador PID?, Cundo puede la accin derivativa dar unas mejoras significa-tivas?, Cundo se justifica el empleo de controladores ms sofisticados? Con elconocimiento desarrollado, ahora es posible disear controladores autosintoniza-dos que pueden hacer estas evaluaciones autnomamente. Adems, hemos desa-rrollado nuevos mtodos sencillos para disear controladores PID.

Como un ejemplo del conocimiento que se ha ganado podemos mencionarque la teora de control dice que no es necesario efectuar un compromiso entresintona para respuesta a perturbaciones en la carga y respuesta a cambios en elpunto de consigna. Ambos requisitos se pueden cumplir utilizando un contro-lador con dos grados de libertad, que combina realimentacin y accin feedfor-ward. Las ganancias de la realimentacin se deberan escoger de forma que se sat-isficieran los requerimientos sobre la atenuacin de la perturbacin y la robustez.La respuesta deseada a cambios en el punto de consigna se puede entonces ob-tener mediante un uso apropiado de la accin feedforward. La ponderacin delpunto de consigna es una forma sencilla de accin feedforward para control PID.En algunos casos, est justificado utilizar acciones feedforward ms elaboradas.Por esta razn, hemos incluido un captulo sobre diseo del controlador y otrocaptulo sobre feedforward en el nuevo libro.

El anlisis de robustez tambin muestra la ventaja de tener una baja gananciadel controlador en altas frecuencias y una gran disminucin de la ganancia enaltas frecuencias. Esto se puede conseguir filtrando la salida del proceso con unfiltro de segundo orden. Basndonos en el conocimiento obtenido, se recomiendaun uso generalizado de la ponderacin del punto de consigna o una accin feed-forward ms avanzada. Tambin recomendamos que se filtre la salida del procesoutilizando un filtro de segundo orden.

Nos gustara agradecer a muchas personas que han compartido con nosotros

VI

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


sus conocimientos, ideas e inspiracin. Nuestro inters en el control PID tuvosu motivacin a comienzos de los 80 en nuestros encuentros con Axel Westre-nius y Mike Somerville de Eurotherm. Hemos aprendido mucho del trabajo connuestros estudiantes; en particular damos las gracias a Lars Gran Elfgren (Eu-rotherm), Gran Grnhammar (LTH), Ari Ingimundarson (UPC), Oskar Nordin(Volvo), Helene Panagopoulos (Volvo), Per Persson (Volvo), Mikael Petersson(ABB), Ola Slttke (ABB), and Anders Walln (Ericsson Mobile Platforms), quienescontinan proporcionndonos ideas muy valiosas aunque ahora prosiguen suscarreras en la industria.

Estamos muy agradecidos a Sune Larsson y Lars Bth, anteriormente enNAF Controls, con quienes desarrollamos el primer controlador autosintonizadoindustrial basado en el mtodo del rel. La compaa NAF Controls se fusionalgunas veces y ahora forma parte de ABB, donde hemos disfrutado de interac-ciones con Gran Arinder, Alf Isaksson, Per Erik Modn, Lars Pernebo, y ThomasVonheim. Hemos compartido el placer y los retos de transferir tcnicas de autosintona y diagnstico a un amplio abanico de productos industriales, Muchasconversaciones estimulantes con nuestros colegas Anton Cervin (LTH), SebastinDormido (UNED), Guy Dumont (UBC), Chang Chieh Hang (NUS), Karl HenrikJohansson (KTH), Birgitta Kristiansson (CTH), Bengt Lennartsson (CTH), Man-fred Morari (ETH), Dale Seborg (UCSB), Sigurd Skogestad (NTNU), Bjrn Wit-tenmark (LTH), and Karl-Erik rzn (LTH) del mundo acadmico son tambinmuy apreciadas.

Nuestros amigos en la industria Bill Bialkowski, Terry Blevins, Greg McMil-lan, y Willy Wojsznis de Emerson, Edgar Bristol, Sigifredo Nio, y Greg Shinskeyde Foxboro, Brje Eriksson (M-real), Krister Forsman (Perstorp), Ken Goff (Leedsand Northrup), Niklas Karlsson (Evolution Robotics), Joseph Lu (Honeywell),Tor Steinar Schei (Cybernetica), Stefan Rnnbck (Optimation), han compartidogenerosamente sus conocimientos e ideas con nosotros. Estamos particularmenteagradecidos a Peter Hansen, anteriormente en Foxboro, quien ley el manuscritocompleto y nos proporcion muy buena realimentacin

Estamos muy agradecidos a Leif Andersson quien hizo el formateado del tex-to y nos ayud mucho con TEX, a Agneta Tuszynski que tradujo una gran partedel texto a LATEX, y a Eva Dagnegrd que dibuj algunas de las figuras.

Finalmente, nos gustara agradecer al Consejo de Investigacin Sueco (VR), ala Agencia Sueca para la Innovacn de Sistemas (VINNOVA), y a la FundacinSueca para la Investigacin Estratgica (SSF) quienes han financiado nuestra in-vestigacin durante muchos aos.

KARL JOHAN STRMTORE HGGLUND

Departamento de Control AutomticoInstituto de Tecnologa de LundBox 118, SE-221 00 Lund, Suecia

VII

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ndice general

Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V

1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Formas simples de realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Cmo se desarroll el controlador PID . . . . . . . . . . . . . . 61.5 Cambios de tecnologa y transferencia de conocimiento . . . . 71.6 Perfil del contenido del libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Modelos de procesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Modelos estticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Modelos dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Modelos basados en caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5 Modelos de procesos tpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Modelos para perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.7 Cmo obtener los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.8 Reduccin del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.10 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3. Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.2 El controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3 Filtraje de la accin derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.4 Ponderacin del punto de consigna . . . . . . . . . . . . . . . . 773.5 Integrador windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.6 Cundo se puede utilizar el control PID? . . . . . . . . . . . . 913.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4. Diseo del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 Una rica variedad de problemas de control . . . . . . . . . . . . 102

IX

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ndice general

4.3 Fundamentos de la realimentacin . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.4 Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.5 Polos y ceros en lazo cerrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.6 Las funciones de sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.7 Robustez frente a variaciones del proceso . . . . . . . . . . . . . 1254.8 Cuantificando los requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.9 Especificaciones clsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1354.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444.11 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5. Diseo feedforward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.2 Respuesta mejorada del punto de consigna . . . . . . . . . . . . 1475.3 Ponderacin del punto de consigna . . . . . . . . . . . . . . . . 1525.4 Feedforward neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1545.5 Respuesta rpida del punto de consigna . . . . . . . . . . . . . 1585.6 Atenuacin de la perturbacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1625.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1655.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

6. Diseo PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.2 Mtodo de Ziegler-Nichols y procedimientos relacionados . . . 1686.3 Sintona emprica basada en reglas . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.4 Asignacin de polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1846.5 Sintona lambda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.6 Diseo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.7 Mtodos de optimizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2076.8 Deformacin robusta del lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2196.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2346.10 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

7. Una sustitucin a Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2397.2 El conjunto de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.3 Control PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2427.4 Control PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2447.5 Mtodos de respuesta en frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . 2537.6 Control PID basado en un modelo de segundo orden . . . . . . 2577.7 Comparacin de los mtodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2627.8 Ruido de medida y filtrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2677.9 Desintona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2787.11 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

8. Control predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2838.2 El predictor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2848.3 Anlisis del control del predictor de Smith . . . . . . . . . . . . 2898.4 El controlador PPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.5 Predictores para procesos integradores . . . . . . . . . . . . . . 301

X

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ndice general

8.6 Control predictivo basado en modelo . . . . . . . . . . . . . . . 3038.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3108.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

9. Sintona automtica y adaptacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3139.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3139.2 Conocimiento del proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3149.3 Tcnicas adaptativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.4 Mtodos basados en modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3199.5 Mtodos basados en reglas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3229.6 Supervisin de controladores adaptativos . . . . . . . . . . . . 3259.7 Sintona de realimentacin iterativa . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.8 Productos comerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3379.9 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3499.10 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

10. Evaluacin del lazo y del rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.2 Vlvulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.3 Evaluacin del lazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35910.4 Evaluacin del rendimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.5 Sintona y diagnosis integradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37010.6 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37010.7 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

11. Interaccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37311.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37311.2 Interaccin de lazos sencillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37411.3 Desacoplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38011.4 Sistemas paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38711.5 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.6 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

12. Paradigmas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39312.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39312.2 Enfoques ascendente y descendente . . . . . . . . . . . . . . . . 39412.3 Control repetitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39512.4 Control en cascada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39912.5 Control de rango medio y de rango partido . . . . . . . . . . . 40612.6 Elementos no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40912.7 Control de red neuronal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41712.8 Control borroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42112.9 Estructurando el sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42712.10 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43412.11 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

13. Implementacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43613.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43613.2 Implementaciones analgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43713.3 Implementaciones en computador . . . . . . . . . . . . . . . . . 44213.4 Algoritmos de velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45013.5 Aspectos operacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

XI

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


ndice general

13.6 Salidas del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45813.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46213.8 Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462

Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464

XII

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1Introduccin

1.1 Introduccin

La idea de la realimentacin es engaosamente simple y sin embargo extremada-mente potente. La realimentacin puede reducir los efectos de las perturbaciones,puede hacer que un sistema sea insensible a las variaciones del proceso y puedelograr que un sistema siga fielmente a sus seales de entrada. La realimentacinha tenido tambin una influencia profunda sobre la tecnologa. La aplicacin delprincipio de realimentacin ha producido grandes avances en los campos del con-trol, comunicacin e instrumentacin. Muchas patentes han sido concedidas aesta idea.

El controlador PID es una implementacin simple de la idea de realimentacin.Tiene la capacidad de eliminar errores en estado estacionario mediante la accinintegral, y puede anticipar el futuro con la accin derivativa. Los controladoresPID, o incluso los controladores PI, son suficientes para muchos problemas decontrol, particularmente cuando las dinmicas del proceso son benignas y losrequisitos de comportamiento son modestos. Los controladores PID se encuen-tran en un gran nmero en todas las industrias y se presentan de muchas for-mas diferentes. Hay sistemas integrados en un dispositivo aptos para uno o unospocos lazos de control. El controlador PID es un elemento clave de los sistemaspara control de motores. El controlador PID es un ingrediente importante de lossistemas distribuidos para control de procesos. Los controladores estn tambinembebidos en muchos sistemas de control de propsito especial. Se encuentranen sistemas tan diversos como los reproductores de CD y DVD, el control develocidad de los coches, y los microscopios de fuerza atmica. En control de pro-cesos, ms del 95 por ciento de los lazos de control son del tipo PID; la mayorade los lazos son realmente control PI. Muchas caractersticas tiles del controlPID no han sido ampliamente diseminadas porque han sido consideradas secre-tos comerciales. Ejemplos tpicos son las tcnicas para conmutacin de modos yla desaturacin del trmino integral (anti windup).

El control PID se combina a menudo con cierta capacidad lgica, funcionessecuenciales, selectores y bloques de funciones sencillos para construir as loscomplicados sistemas de automatizacin utilizados en la produccin de energa,transporte y procesos de fabricacin. Muchas estrategias de control sofisticadas,

1

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Captulo 1. Introduccin

tales como el control predictivo, se organizan tambin jerrquicamente. El controlPID se emplea en el nivel inferior de la jerarqua; el controlador multivariable dalos puntos de consigna a los controladores en el nivel inferior. Se puede decir puesque el controlador PID es el pan y mantequilla de la ingeniera de control.Es un componente importante en la caja de herramientas de todo ingeniero decontrol.

Los controladores PID han sobrevivido a muchos cambios de tecnologa, quevan desde la neumtica a los microprocesadores pasando por los tubos de vaco,los transistores, y los circuitos integrados. El microprocesador ha tenido una in-fluencia crucial sobre el controlador PID. Prcticamente todos los controladoresPID fabricados hoy da se basan en microprocesadores. Esto ha creado opor-tunidades para proporcionar caractersticas adicionales tales como sintona au-tomtica, planificacin de ganancia, adaptacin continua y diagnstico. La ma-yora de los nuevos controladores PID que se producen en la actualidad tienenalguna capacidad para la sintona automtica. Sintona y adaptacin se puedenhacer de muchas formas diferentes. El controlador PID se ha convertido de hechoen un banco de pruebas para muchas nuevas ideas en control. Ha habido tambinun renacimiento de la implementacin analgica en sistemas micro-mecnicos yaque requieren menos superficie de silicio que las realizaciones digitales. El contro-lador PID se realiza tambin utilizando FPGA (field programmable gate arrays)en aplicaciones donde se precisa una accin de control muy rpida.

Un gran nmero de ingenieros de instrumentacin y proceso estn familiari-zados con el control PID. Hay una prctica bien establecida de instalar, sintonizary utilizar estos controladores. A pesar de esto existe an un potencial sustancialpara mejorar el control PID. Una prueba de esto se puede encontrar en las salasde control de cualquier industria. Muchos controladores se ponen en modo ma-nual, y entre los controladores que estn operando en modo automtico, la accinderivativa se desconecta frecuentemente por la simple razn de que es difcil desintonizar adecuadamente. Las razones claves para un pobre comportamientoson problemas en la vlvula y los sensores del equipo, restricciones en el procesoy una mala sintona. Los problemas de la vlvula incluyen un dimensionamientoinadecuado, histresis y friccin. Los problemas en la medida se deben a utilizarun filtro anti aliasing mal diseado o incluso a no emplearlo; a una excesiva ac-cin de filtrado en sensores inteligentes, a la existencia de mucho ruido, o auna mala calibracin. Es posible conseguir mejoras sustanciales. El incentivo paraseguir progresando se incrementa por las demandas de mejora en la calidad, quese impone por estndares tales como ISO 9000. Entendimiento y comprensinson los elementos claves para un comportamiento ptimo del lazo de control. Serequiere un conocimiento especfico del proceso as como del control PID.

Basndonos en nuestra experiencia creemos que est emergiendo una nuevaera del control PID. Este libro tendr en cuenta el desarrollo realizado, evaluarsu potencial, e intentar acelerarlo al compartir nuestras experiencias en este ex-citante y til campo del control automtico. El objetivo del libro es proporcionarel fundamento tcnico necesario para comprender el control PID.

2

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.2 Realimentacin

sp Controlador Procesoe u

1-

y y

Figura 1.1 Diagrama de bloques de un proceso con un controlador por realimentacin.

1.2 Realimentacin

En la Figura 1.1 se muestra un sistema de realimentacin sencillo mediante undiagrama de bloques. El sistema tiene dos grandes componentes, el proceso y elcontrolador, representados como cajas con flechas que denotan la relacin causalentre entradas y salidas. El proceso tiene una entrada, la variable manipulada(MV), tambin llamada variable de control. Se denota por u. La variable de con-trol influye sobre el proceso va un actuador, que suele ser una vlvula o un mo-tor. La salida del proceso se llama la variable de proceso (PV) y se representa pory. Esta variable se mide con un sensor. En la Figura 1.1 el actuador y el sensorse consideran parte del bloque etiquetado Proceso. El valor deseado de lavariable de proceso se llama el punto de consigna (SP) o valor de referencia. Sedenota por ysp. El error de control e es la diferencia entre el punto de consigna yla variable de proceso, i.e., e = ysp y.

Supngase por simplicidad que el proceso es tal que la variable de proce-so aumenta cuando se incrementa la variable manipulada. El principio de reali-mentacin se puede expresar como sigue:

Aumentar la variable manipulada cuando el error es positivo, y dis-minuirla cuando el error es negativo.

Este tipo de realimentacin se llama realimentacin negativa porque la variable ma-nipulada se mueve en direccin opuesta a la variable de proceso e = ysp y.

El controlador PID es con diferencia la forma ms comn de realimentacin.Este tipo de controlador ha sido desarrollado a lo largo de un gran perodo detiempo y ha sobrevivido a muchos cambios de tecnologa, de la mecnica y laneumtica a la basada en la electrnica y en los computadores. Conocer algo deesto es til con el fin de comprender sus propiedades bsicas tal como se analizaen la Seccin 1.4.

Algunas propiedades de la realimentacin se pueden comprender intuitiva-mente a partir de la Figura 1.1. Si la realimentacin funciona bien el error serpequeo, e idealmente ser cero. Cuando el error es pequeo la variable de pro-ceso est tambin prxima al punto de consigna independientemente de las pro-piedades del proceso. Para conseguir realimentacin es necesario tener sensoresy actuadores apropiados que efecten las acciones de control.

La realimentacin tiene algunas propiedades interesantes y tiles.

La realimentacin puede reducir los efectos de las perturbaciones

La realimentacin puede hacer que un sistema sea insensible a las varia-

3

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



A B Cu u u

e e e

Figura 1.2 Caractersticas del controlador para control on-off ideal (A),y modificaciones conzona muerta (B) e histresis (C).

ciones del proceso

La realimentacin puede crear relaciones bien definidas entre variables enun sistema

1.3 Formas simples de realimentacin

Muchas de las propiedades agradables de la realimentacin se pueden lograr concontroladores simples. En esta seccin presentaremos algunas formas simples derealimentacin, es decir, control on-off, control proporcional, control integral, ycontrol PID.

Control on-offLa realimentacin se puede realizar de muchas formas diferentes. Un mecanismode realimentacin simple se puede describir como

u =

{umax , if e > 0umn , if e < 0,

(1.1)

donde e = ysp y es el error de control. Esta ley de control implica que siemprese utiliza una accin correctora mxima. Este tipo de realimentacin se llama con-trol on-off. Es simple y no hay parmetros que elegir. El control on-off a menudofunciona al mantener la variable de proceso prxima al punto de consigna, perogeneralmente resultar en un sistema donde las variables oscilan. Obsrvese queen la Ecuacin 1.1 la variable de control no est definida cuando el error es cero.Es comn realizar algunas modificaciones bien introduciendo una histresis ouna zona muerta (ver Figura 1.2).

Control proporcionalLa razn de por qu el control on-off a menudo da lugar a oscilaciones es que elsistema sobreacta, ya que un pequeo cambio en el error har que la variablemanipulada vare entre los valores mximos. Este efecto se evita en el controlproporcional, donde la caracterstica del controlador es proporcional al error de

4

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.3 Formas simples de realimentacin

control para pequeos errores. Esto se puede conseguir haciendo la seal de con-trol proporcional al error

u = K(ysp y) = Ke, (1.2)donde K es la ganancia del controlador.

Control integralEl control proporcional tiene la desventaja de que la variable de proceso a menudose desva del punto de consigna. esto se puede evitar haciendo la accin de con-trol proporcional a la integral del error

u(t) = ki

t0

e()d, (1.3)

donde ki es la ganancia integral. Esta estrategia se llama control integral. El con-trol integral tiene una propiedad sorprendente. Supngase que hay un estadoestacionario con un error constante e0 y una seal de control constante u0. Sesigue de la ecuacin anterior que

u0 = kie0t.

Como u0 es una constante se sigue que e0 debe ser cero. Encontramos as quesi hay un estado estacionario y un controlador tiene accin integral, el error enestado estacionario es siempre cero. Esto es tambin cierto para el controlador PI

u(t) = Ke(t) + ki

t0

e()d. (1.4)

Esta es una de las razones de por qu los controladores PI son tan comunes.

Control PIDUn refinamiento adicional consiste en dotar al controlador de una capacidad an-ticipativa utilizando una prediccin de la salida basada en una extrapolacin li-neal. Ver Figura 1.3. Esto se puede expresar matemticamente como

u(t) = K(

e(t) +1Ti

t0

e()d + Tdde(t)

dt

). (1.5)

La accin de control es as una suma de tres trminos que representan el pasadopor la accin integral del error (el trmino-I), el presente (el trmino-P) y el futuropor una extrapolacin lineal del error (el trmino-D). El trmino e + Td dedt es unaprediccin lineal del error Td unidades de tiempo en el futuro. Los parmetrosdel controlador se llaman: ganancia proporcional K, tiempo integral Ti, y tiempoderivativo Td.

Se ha comprobado empricamente que el controlador PID es capaz de resolverun amplio espectro de problemas de control. Hay controladores ms complejosque difieren del controlador PID porque utilizan mtodos ms sofisticados parala prediccin.

5

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



PasadoPresente

FuturoError

Tiempot t + Td

Figura 1.3 Un controlador PID calcula su accin de control basndose en los errores decontrol pasados, presentes, y futuros.

1.4 Cmo se desarroll el controlador PID

El controlador PID se ha desarrollado a lo largo de un perodo de tiempo que seextiende al menos 250 aos. Es til tener alguna perspectiva de este desarrolloen orden a comprender muchos de los temas. La tecnologa utilizada para imple-mentarlos, naturalmente, ha cambiado significativamente a lo largo de los aos.Los primeros controladores fueron dispositivos mecnicos (reguladores centrfu-gos) empleados para controlar molinos de viento y mquinas de vapor. La me-dida de la velocidad angular se combinaba con la actuacin de las vlvulas. Unagran dosis de inteligencia se emple en idear la accin integral.

Un cambio importante ocurri en conexin con el desarrollo del control deprocesos industriales. Las funciones de medida, control, y actuacin fueron en-tonces separadas y se construyeron dispositivos especiales que efectuaban lasacciones de control representadas por la Ecuacin 1.5. Una caracterstica intere-sante era que la transmisin de seal y el clculo se hacan neumticamente. Ungran avance ocurri cuando los tubos utilizados para transmitir la presin y losniveles de presin se normalizaron a 315 PSI. Esto permiti combinar sensores,controladores, y actuadores de diferentes fabricantes. Tambin hizo posible con-centrar los controladores en salas de control que estn localizadas lejos de lossensores y actuadores. Mucho ingenio se utiliz otra vez para desarrollar estoscontroladores. El uso de la realimentacin en los propios controladores fue ungran logro. De esta forma era posible obtener accin lineal fuera del rango de loscomponentes que tenan unas caractersticas fuertemente no lineales.

Comenzando en los aos 50, pronto estuvieron disponibles las versiones elec-trnicas de los controladores PID. Las acciones de control representadas por laEcuacin 1.5 se obtuvieron mediante un simple computador analgico basado enamplificadores operacionales. La transmisin de seal se normaliz tambin enel rango de 420 mA. Representar el cero mediante una corriente no nula era tilpara realizar diagnsticos.

Todava sucedi otro avance cuando se utilizaron computadores digitales paraimplementar los controladores. En primer lugar cuando emergi el control porcomputador se emplearon sistemas fuertemente centralizados, ya que el clculodigital est justificado desde un punto de vista de coste econmico en grandes

6

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.5 Cambios de tecnologa y transferencia de conocimiento

sistemas. Con la aparicin de los microprocesadores en los aos 70 incluso loscontroladores simples se implementaron utilizando computadores. Cuando seemplea un computador digital es tambin factible aadir muchas funciones talescomo sintona automtica, adaptacin y diagnstico. Esta es un rea de un desa-rrollo muy activo.

Hoy da estamos experimentando otro desplazamiento en tecnologa. Las rea-lizaciones analgicas estn volviendo a reaparecer en sistemas elctricos micro-mecnicos (MEMS), y los controladores digitales se implementan tambin usandoFPGA (field programmable gate arrays), que admiten perodos de muestreo muycortos. Las FPGA difieren significativamente de los computadores digitales yaque son altamente paralelas.

En la actualidad encontramos controladores PID en muchos formatos. Haycontroladores dedicados que pueden controlar uno o unos pocos lazos. Las fun-ciones PID se encuentran en los automtas programables que fueron original-mente diseados para sustituir a los rels. Hay sistemas que contienen muchoscontroladores PID implementados en computadores que van desde pequeos sis-temas para unas pocas docenas de lazos a grandes sistemas distribuidos paracontrol de procesos. Los controladores PID se usan normalmente en sistemas de-dicados para control de movimiento. Hay tambin un abanico de controladoresespeciales tales como autopilotos y sistemas de control para los reproductores deCD y DVD y memorias pticas que se basan en el control PID.

1.5 Cambios de tecnologa y transferencia de conocimiento

El controlador PID es un caso de estudio interesante para el control de la tec-nologa, debido a su larga historia y por los muchos cambios que ha experi-mentado. Puesto que hemos tenido experiencias personales de algunos de es-tos cambios de tecnologa, presentaremos algunas reflexiones personales dondeanalizamos la creacin y destruccin de conocimiento y el papel de personas ydocumentos que han sido claves.

Las transferencias de tecnologa son a menudo abruptas y no planificadas,La razn de por qu una empresa decide cambiar de tecnologa puede ser unareduccin drstica en los costos de los equipos o la presin de la competencia yde los clientes. Un cambio en la tecnologa con frecuencia significa que el grupode I+D tiene que ser sustituido por nuevas personas que son familiares con lanueva tecnologa, pero que no suelen serlo con la antigua. Esto significa que secorre un alto riesgo de que durante la transicin se pierda informacin. Comola transferencia de tecnologa debe hacerse con rapidez, hay tambin un riesgoelevado de no utilizar todo el potencial de la nueva tecnologa.

Los primeros controladores de temperatura fueron del tipo on-off. Los contro-ladores on-off eran sencillos y baratos, pero tienen oscilaciones que son inevita-bles. La amplitud de las oscilaciones se puede mantener en niveles razonables,ya que la dinmica de muchos sistemas trmicos est dominada por la constantede tiempo del proceso. Cuando la electrnica tuvo precios competitivos, hubouna transicin del control on-off al control PID continuo. El desarrollo de loscontroladores PID analgicos est bien documentado en material pblico acce-sible de Eurotherm, que fue comenzado por investigadores de la universidad de

7

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Manchester. Los controladores se desarrollaron basndose en un conocimientoslido de modelado y control. La teora ayuda, porque muchas aplicaciones detemperatura admiten ganancias elevadas y la accin derivativa puede ser muybeneficiosa. Se proporcionaron tambin reglas de sintona y se desarrollaron es-quemas de proteccin para el windup con el nombre de desaturacin del integradory constantes de tiempo cruzadas. El resultado del desarrollo fue una mejora drsticadel comportamiento de los controladores de temperatura. Es interesante obser-var que pas mucho tiempo antes de que el fenmeno interesante e importantede la saturacin del integrador recibiese alguna atencin por parte del mundoacadmico.

Cuando emergi el control de procesos basado en computador a comienzosde los aos 60, el foco de inters estaba inicialmente en las funciones de controldel nivel superior. Los controladores PID analgicos se utilizaban en el nivel debase y el computador suministraba los puntos de consigna a los controladores.Cuando se desarrollaron los sistemas, la atencin se centr otra vez en el con-trol PID donde muchos lazos PID se implementaban en un nico computador, loque se denomin control digital directo. El desarrollo tcnico se dedic a la dis-cretizacin del algoritmo PID, una razn fue que los recursos de clculo eran uncuello de botella. Sin embargo se prest escasa atencin al problema de la satura-cin del integrador y se dedic alguna al filtraje de las seales de los sensores.

La aparicin del microprocesador hizo que el clculo digital estuviese dispo-nible de forma muy barata para sistemas pequeos, un desarrollo que tuvo ungran impacto sobre el controlador PID. Esto dio como resultado controladoresde un solo lazo, controladores para unos pocos lazos, y grandes sistemas dis-tribuidos. El desarrollo fue lento por dos razones. Muchas personas nuevas sinexperiencia previa del control analgico entraron en la escena, y muchos de losantiguos no estaban interesados en aprender la nueva tecnologa. Aspectos im-portantes como la saturacin del integrador y el filtrado no se documentaronde forma que estuviesen fcilmente accesibles. Por lo tanto, pas algn tiempoantes de que se volviese a recuperar el conocimiento y la experiencia apropia-da. Hubo tambin una tendencia a simplemente implementar viejas ideas en lanueva tecnologa sin considerar las oportunidades que esta ltima ofreca. Grad-ualmente, la capacidades potenciales del computador digital fueron explotadasal incorporar caractersticas tales como, autosintona, adaptacin y diagnsticoen los sistemas.

Cuando los sistemas de control distribuido (DCS) sustituyeron a los sistemasanalgicos, se retuvo la arquitectura distribuida. Los controladores analgicos ylos mdulos de funcin fueron representados como bloques en los programasDCS. Esto fue probablemente una buena idea, pero no se utilizaban las oportu-nidades que se tenan por el hecho de que todas las seales estaban disponiblesen un computador. Se tard una dcada para que se presentasen los sistemas DCSque manejaban la saturacin del trmino integral.

Un par de conclusiones que se pueden sacar son que es muy importante ladocumentacin de los sistemas y tener personas de mentes abiertas que puedanreducir la brecha entre diferentes tecnologas. Cuando las nuevas tecnologas es-tn ya disponibles es tambin til parar y pensar para analizar cmo la nuevatecnologa se puede explotar en lugar de rpidamente implementar viejas ideascon la nueva tecnologa. Es tambin bueno filtrar la esencia de los sistemas an-

8

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.6 Perfil del contenido del libro

tiguos de forma que no se pierdan buenas caractersticas. Finalmente, es impor-tante documentar las ideas, escribir libros, y asegurar que la informacin no slose transfiere de persona a persona, sino que tiene una amplia diseminacin.

1.6 Perfil del contenido del libro

Se aconseja al lector que examine la tabla de contenido para ver la estructura glo-bal del libro. La dinmica del proceso es clave para comprender cualquier prob-lema de control. El Captulo 2 presenta conceptos que son tiles para describir elcomportamiento de los procesos. Se mencionan brevemente los modelos estti-cos, pero el inters principal del captulo es sobre la dinmica de los procesos. Sedan representaciones en trminos de la respuesta en el tiempo y en la frecuencia.estas visiones duales son muy tiles para lograr una buena comprensin de ladinmica. A lo largo del texto se utilizan las nociones de respuesta en escaln yfunciones de transferencia. Se analizan con detalle una serie de modelos tpicosque se usan en el control PID. Tambin se tratan los modelos para las perturba-ciones as como las tcnicas para la determinacin experimental de los modelos.

En el Captulo 3 se da una presentacin en profundidad del controlador PID.Esto incluye, los fundamentos as como muchos detalles de su implementacin,tales como el filtrado para proporcionar una atenuacin rpida en altas frecuen-cias, la desaturacin del trmino integral (anti windup), la mejora en la respuestadel punto de consigna, etc. El controlador PID se puede estructurar de diferentesformas. Las formas comnmente utilizadas son las estructuras serie y paralelo. Seanalizan con detalle las diferencias entre estas y los parmetros del controladorempleados. Se describen tambin las limitaciones del control PID. Casos tpicosdonde tienen inters controladores ms complejos son los sistemas con gran re-tardo y los sistemas oscilatorios. Se exponen de forma breve las extensiones delcontrol PID para tratar con tales sistemas.

El Captulo 4 trata el diseo del controlador en general. Hay una rica variedadde problemas de control con objetivos muy diversos. El captulo muestra una re-visin de ideas y conceptos que son relevantes para el control PID. Se intentaas llevar el diseo de los controladores PID dentro de la corriente principal dediseo de sistemas de control. Se tratan temas tales como limitaciones fundamen-tales, estabilidad, robustez y especificaciones.

En el Captulo 5 se trata el control feedforward, una tcnica simple y potenteque complementa a la realimentacin. Se da un diseo sistemtico de controlfeedforward para mejorar las respuestas a cambios en el punto de consigna ascomo una presentacin del diseo de sistemas que siguen a un modelo. Se analizacon detalle el caso especial de la ponderacin del punto de consigna y mtodospara determinar los pesos del punto de consigna. El captulo tambin muestracmo se puede emplear el control feedforward para reducir el efecto de las per-turbaciones que se pueden medir.

El Captulo 6 describe mtodos para el diseo de controladores PID. Se pre-sentan muchos mtodos diferentes para la sintona de controladores PID que sehan desarrollado a lo largo de los aos. Se ha intentado mantener un equilibrio alproporcionar una perspectiva histrica y presentar mtodos potentes.

Un mtodo de diseo razonable debera considerar las perturbaciones de la

9

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



carga, las incertidumbres del modelo, el ruido en la medida y la respuesta frentea cambios en el punto de consigna. Una desventaja de muchas de las reglas desintona tradicionales para el control PID es que tales reglas no consideran todosestos aspectos de una forma equilibrada. En el Captulo 7 se estudian nuevastcnicas de sintona que s consideran todos estos criterios.

El Captulo 8 trata los controladores predictivos basados en modelos. En pri-mer lugar se presenta y analiza el predictor de Smith, y modificaciones al mismopara tratar el caso de procesos con integrador. A continuacin se analizan otrostipos de controladores predictivos basados en modelos, tales como el controladorMPC, el controlador de Dahlin-Higham, el controlador dinmico matricial y elcontrol de varianza mnima.

En el Captulo 9 discutimos algunas tcnicas para la adaptacin y la sintonaautomtica de controladores PID. Esto incluye mtodos basados en modelos pa-ramtricos y tcnicas no paramtricas. Tambin se exponen la supervisin de con-troladores adaptativos y la sintona por realimentacin iterativa. Se describen unaserie de controladores comerciales para ilustrar las diferentes tcnicas.

El Captulo 10 trata de los mtodos para la puesta en marcha, supervisin ydiagnstico de los lazos de control. Procedimientos para evaluar los lazos se em-plean para investigar las propiedades del lazo de control, e.g. niveles de seales,no linealidades, y condiciones del equipo. Procedimientos de evaluacin del com-portamiento se usan para supervisar los lazos de control durante la operacin yasegurar que cumplen las especificaciones.

El controlador PID se emplea normalmente como un controlador de lazo sim-ple. En la prctica hay a menudo interacciones entre los lazos. En el Captulo 11se estudian algunas cuestiones claves acerca de lazos que interactuan que son departicular relevancia para el control. En particular se muestra que los parmetrosdel controlador en un lazo pueden tener un comportamiento significativo sobrela dinmica de otros lazos. Se introduce tambin el array de ganancias relativasde Bristol que es una forma sencilla de caracterizar las interacciones. Se expone elproblema del emparejamiento de entradas y salidas y un mtodo de diseo basa-do en el desacoplo, que es una extensin natural de los mtodos de sintona parasistemas de una entrada y una salida.

En el Captulo 12 se muestra cmo se pueden resolver problemas de controlcomplejos combinando diferentes formas controladores sencillos. Se analizan losparadigmas de control repetitivo, control en cascada, control de rango medio y derango partido, control de relacin y control con selectores. Tambin se cubren deforma breve el uso de tcnicas actualmente populares como las redes neuronalesy el control borroso.

El Captulo 13 presenta cuestiones de implementacin relacionadas con elcontrol PID. En primer lugar se da una breve revisin de las implementacionesneumticas y con electrnica analgica. A continuacin se expone una presenta-cin detallada de aspectos de la implementacin en un computador tales comomuestreo, prefiltrado y discretizacin del algoritmo PID. Aspectos operacionalestales como la transferencia sin salto entre los modos manual y automtico. Elcaptulo finaliza con un anlisis acerca de las diferentes salidas del controladorque se tienen que usar dependiendo de cul es el dispositivo de actuacin que seemplea.

10

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


1.7 Resumen

1.7 Resumen

En esta seccin se ha dado una breve descripcin del concepto de realimentacin.La aplicacin de la realimentacin ha tenido un impacto muy interesante y al-gunas veces revolucionario. Se han expuesto algunas de sus propiedades tiles,su capacidad para reducir las perturbaciones, su insensibilidad a las variacionesdel proceso, la linealidad entre el punto de consigna y la variable del proceso.Hemos descrito tambin brevemente algunas formas simples de realimentacintales como el control on-off y el control PID. Se ha analizado de forma sucinta eldesarrollo de los controladores y finalmente se ha reseado el contenido del libro.

1.8 Notas y referencias

Los controladores PID se utilizaron ampliamente en los primeros desarrollos delcontrol desde 1870 hasta 1920. La forma moderna del controlador PID emergicon el desarrollo del control de procesos en los aos 30 y 40, tal como se analizaen [45] y [46]. El controlador PID es todava la herramienta estndar para resolverproblemas de control industrial. En un estudio detallado del estado del arte encontrol de procesos industriales llevado a cabo por Electric Measuring InstrumentManufacturer en Japn en 1989 se encontr que ms del 90 por ciento de los lazosde control eran del tipo PID; ver [365]. El trabajo [94] revis la industria en EE.UU.Se ha descubierto que hay ms de 8 millones de instalaciones en las industriaspetroqumicas, papelera, energa, y del metal. Cada instalacin tiene entre 500 y5.000 lazos de control regulatorios, el 97 por ciento de ellos son del tipo PID. Loscontroladores PID se utilizan tambin en grandes cantidades en otras industrias.Las memorias pticas para los reproductores de CD y DVD contienen tres lazosPID para el control de la velocidad de rotacin, la focalizacin y el seguimientode la pista. En el ao 2002 se fabricaron cerca de 140 millones de unidades; ver [3].Adems, hay un gran nmero de controladores PID en el control de motores y enlos sistemas de posicionamiento. Se puede pues decir con absoluta seguridad queel controlador PID es una de las herramientas ms comunes en control.

El Control PID se estudia en la mayora de los libros de texto sobre control deprocesos tales como [221, 313, 229, 48, 302], y hay tambin libros que se focalizansobre el control PID [239, 90, 329, 354, 287, 356, 257, 242].

La teora de los controladores PID se bas durante mucho tiempo en tcnicasespeciales. ltimamente han habido esfuerzos para traer el control PID dentrode la corriente principal de la teora de control. Un esfuerzo notable fue hechoen el ao 2000 cuando la International Federation of Automatic Control (IFAC)prepar una reunin cientfica sobre el pasado, presente, y futuro del control PID;ver [287]. Una seleccin de trabajos de esta reunin se public tambin como unnmero especial de la revista Control Engineering and Practice. Los trabajos [47]y [21] dan una perspectiva del desarrollo del control PID.

Debido al gran nmero de controladores PID y a su uso extendido hay to-dava beneficios significativos en mejorar la prctica del control PID. Tal mejorarequiere prestar atencin al lazo de control completo y no simplemente al propiocontrolador tal como se demuestra en el trabajo [50] que describe las auditorasde papeleras en Canad. Una papelera tpica tiene ms de 2.000 lazos de control,

11

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



el 97 por ciento de los lazos se basan en control PI. Se encontr que slamente el20 por ciento de los lazos de control operaban bien y disminuan la variabilidaddel proceso. Las razones de por qu el comportamiento es pobre son una malasintona (30 por ciento) y problemas en las vlvulas (30 por ciento). El restante20 por ciento de los controladores no funcionaban correctamente a causa de unaserie de razones tales como; problemas con el sensor, mala eleccin del perodode muestreo, y pobre o incluso no utilizacin de filtros de anti aliasing. Observa-ciones similares se dan en [107], donde se estima que el 30 por ciento de los con-troladores de proceso operan en modo manual, que el 20 por ciento de los lazosutilizan los parmetros por defecto fijados por el fabricante del controlador (la de-nominada sintona de fbrica), y que el 30 por ciento de los lazos funcionanpobremente a causa de problemas con el equipo en las vlvulas y los sensores.

12

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2Modelos de procesos

2.1 Introduccin

Para describir la conducta de los procesos se suelen utilizar modelos matemti-cos. Los modelos proporcionan una forma unificada para tratar con sistemas detipos muy diferentes, que hacen posible introducir una serie de conceptos tiles.Los modelos son tambin esenciales para la simulacin y el diseo del control. Eneste captulo revisaremos algunos de los modelos que se emplean normalmenteen el control PID. Los modelos intentan capturar algunos aspectos del procesoque son relevantes para el control. Se usan muchos tipos diferentes de modelos.

La conducta en estado estacionario de un proceso se puede obtener medianteuna funcin que proporciona el valor en estado estacionario de la variable deproceso para valores dados de la variable manipulada. Tales modelos se analizanen la Seccin 2.2.

Para controlar un sistema es necesario conocer la dinmica del proceso. Parala finalidad del control es a menudo suficiente describir pequeas desviacionesrespecto de un estado de equilibrio. En este caso la conducta se puede modelarcomo un sistema dinmico lineal. Este es un campo muy rico con muchos con-ceptos y herramientas tiles, que forman el nucleo de la teora de control. En laSeccin 2.3 se exponen diferentes formas de describir la dinmica de un proce-so. Se introducen las ideas de respuesta transitoria y respuesta en frecuencia ascomo los conceptos importantes de respuesta escaln, respuesta impulsional yfuncin de transferencia.

En el control PID han sido utilizadas tradicionalmente tcnicas especiales paramodelar la dinmica del proceso. La idea es representar la dinmica del procesomediante unas pocas caractersticas. Esto se analiza en la Seccin 2.4, donde se in-troducen caractersticas tales como tiempo de residencia medio, retardo aparente,constante de tiempo aparente, retardo normalizado, ganancia ltima, frecuencialtima y razn de ganancia.

En la Seccin 2.5 estudiamos algunos modelos particulares que son amplia-mente utilizados en el control PID. Estos modelos se introducen en trminos desus funciones de transferencia. En esa seccin se analiza tambin el concepto im-portante de normalizacin, as como las no linealidades. Los ejemplos tratadosen la Seccin 2.5 sern ampliamente usados en el libro.

13

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


Captulo 2. Modelos de procesos

Salida y

Entrada u

Figura 2.1 Caracterstica de proceso esttica, que muestra la salida del proceso y como fun-cin de la entrada del proceso u bajo condiciones de estado estacionario.

Las perturbaciones son un aspecto importante de un problema de control. Enla Seccin 2.6 presentamos algunos modelos que se emplean para describir per-turbaciones. La Seccin 2.7 describe mtodos simples para obtener modelos, y laSeccin 2.8 expone algunas tcnicas usadas para simplificar un modelo compli-cado. En la Seccin 2.9 se resume el contenido del captulo, y en la Seccin 2.10 sedan las referencias.

2.2 Modelos estticos

Es natural comenzar describiendo la conducta estacionaria del proceso. Esto sepuede hacer mediante una curva que muestra el valor en estado estacionario dela variable del proceso y (la salida) para diferentes valores de la variable mani-pulada u (la entrada); ver Figura 2.1. Esta curva se llama un modelo esttico ouna caracterstica de proceso esttica. Todas las investigaciones del proceso de-beran comenzar con una determinacin del modelo del proceso esttico. Puedeemplearse para determinar el rango de seales de control requeridas para cam-biar la salida del proceso en el rango deseado, para dimensionar los actuadoresy para seleccionar la resolucin del sensor. La pendiente de la curva en la Figu-ra 2.1 nos dice cunto cambia la variable de proceso para pequeos cambios enla variable manipulada. Esta pendiente se llama la ganancia esttica del proceso.Grandes variaciones en la ganancia indican que el problema de control puede serdifcil.

El modelo esttico se puede obtener experimentalmente de algunas formas.Una manera natural es mantener la entrada en un valor constante y medir lasalida en estado estacionario. Esto da un punto de la caracterstica del proceso. Elexperimento se repite para cubrir el rango completo de entradas.

Un procedimiento alternativo es hacer un experimento en lazo cerrado dondela salida del sistema se mantiene constante mediante realimentacin y se mide elvalor en estado estacionario de la entrada.

Los experimentos requeridos para determinar el modelo del proceso estticoa menudo dan una buena idea intuitiva acerca de cuan fcil es el control de unproceso y si hay muchas perturbaciones. Los datos para los modelos en estadoestacionario se pueden obtener de medidas tomadas en lnea.

14

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net


2.3 Modelos dinmicos

Algunas veces las operaciones del proceso no permiten que los experimentospuedan hacerse tal como hemos descrito. Normalmente se permiten pequeasperturbaciones, pero puede no ser posible mover el proceso a lo largo de su ran-go completo de operacin. En tales casos el experimento se debe hacer duranteun largo perodo de tiempo. Es posible proporcionar un sistema de control concapacidades para automticamente determinar el modelo esttico del proceso du-rante su operacin normal; ver Captulo 10.


Un modelo de proceso esttico como el analizado en la seccin anterior nos da larelacin en estado estacionario entre las seales de entrada y salida. Un modelodinmico debera proporcionar la relacin entre la entrada y la salida durante eltransitorio. Es obviamente mucho ms difcil capturar la conducta dinmica. Sinembargo, esto es, esencial cuando se trata con problemas de control.

Caracterizacin cualitativa de dinmicas de procesosAntes de intentar modelar un sistema con frecuencia es til obtener una carac-terizacin cruda de su conducta dinmica. Para describir la conducta dinmicasimplemente mostraremos la respuesta del sistema a un cambio en escaln en lavariable manipulada. Esto se llama la respuesta en escaln del sistema o la curvade reaccin del proceso,

Hay que hacer una distincin entre sistemas estables e inestables, La respues-ta en escaln de un sistema estable va a un valor constante. Un sistema inestableno alcanzar un estado estacionario despues de un cambio en escaln. Los sis-temas que tienen un integrador son un ejemplo tpico de un sistema inestable. Enlos primeros textos y trabajos sobre control de procesos, los sistemas estables sellamaban sistemas auto regulados.

A partir de la respuesta en escaln se pueden obtener muchas propiedadesde un sistema. La Figura 2.2 muestra las respuestas en escaln que se encuentrantpicamente en control de procesos.

En la Figura 2.2a, la salida del proceso se cambia monotnicamente a un nue-vo valor estacionario. ste es el tipo ms comn de respuesta en escaln que seencuentra en control de procesos. En la Figura 2.2b, la salida del proceso oscilaalrededor de su valor final estacionario. Este tipo de proceso es poco comn encontrol de procesos. Un caso donde ocurre es en el control de la concentracinde fluidos en recirculacin. En diseos mecnicos, sin embargo, son usuales losprocesos oscilantes cuando se usan materiales elsticos, e.g., ejes flexibles en ser-vos, construcciones con muelles, etc. Los sistemas de las Figuras 2.2a y 2.2b sonestables, mientras que los sistemas que se muestran en las Figuras 2.2c y 2.2dson inestables. El sistema de la Figura 2.2c es un proceso integrador. Ejemplos deprocesos integradores son el control de nivel, control de presin en un recipientecerrado, control de concentracin en procesos por lotes y el control de tempera-tura en cmaras bien aisladas. El factor comn en todos estos procesos es queen ellos ocurre alguna clase de almacenamiento. En el control de nivel, presin yconcentracin se produce un almacenamiento de masa, mientras que en el caso

15

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



0

00

00

00

00

00

2

2

2

2

2

2

2

4

4

4

4

4

4

6

6

6

6

6

6

8

8

8

8

8

8

1

0,5

0, 5

0,4

0,4

0,4

0,8

0,8

a)

c)

e)

b)

d)

f)

Figura 2.2 Respuestas en escaln en lazo abierto.

del control de temperatura hay un almacenamiento de energa. El sistema de laFigura 2.2e tiene un gran retardo de tiempo. El retardo de tiempo ocurre cuandohay retardo de transporte en el proceso. El sistema en la Figura 2.2f es un sistemade fase no mnima. Obsrvese que la salida inicialmente se mueve en la direccinequivocada. El nivel de agua en las calderas a menudo reacciona de esta formadespues de un cambio en escaln en el caudal del agua de alimentacin.

Sistemas lineales invariantes en el tiempoHay una clase restringida de modelos, llamados sistemas lineales invariantes enel tiempo, que se pueden usar a menudo. Tales modelos describen la conductade sistemas para pequeas desviaciones del equilibrio. Invariante en el tiemposignifica que la conducta del sistema no cambia con el tiempo. Linealidad quieredecir que se cumple el principio de superposicin. Esto significa que si la entradau1 da la salida y1 y la entrada u2 da la salida y2 entonces se sigue que la entradaau1 + bu2 da la salida ay1 + by2.

Una propiedad agradable de los sistemas lineales invariantes en el tiempo esque su respuesta a una entrada arbitraria se puede caracterizar completamente entrminos de la respuesta a una seal simple. Se pueden emplear muchas sealesdiferentes para caracterizar a un sistema. En trminos generales, podemos dife-renciar entre las respuestas transitoria y en frecuencia.

En un sistema de control tpicamente nos concentramos solamente sobre dosseales, la seal de control y la variable medida. La dinmica de procesos tratade la relacin entre estas seales. Esto significa que se incluye dinmica en losactuadores, proceso y sensores. Estas dinmicas estn con frecuencia dominadas

16

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



c1 c2q q

qc

q + qc

Figura 2.3 Diagrama esquemtico de un sistema consistente en dos tanques.

por la dinmica del proceso. En algunos caso, sin embargo, son los sensores ylos actuadores los que dan la mayor contribucin a la dinmica. Por ejemplo, esmuy comn que existan filtros con grandes constantes de tiempo en los sensoresde temperatura. Tambin pueden haber ruido de medida y otras imperfecciones.Puede haber tambin una dinmica significativa en los actuadores. Para realizaruna buena tarea de control, es necesario tener conocimiento del origen fsico dela dinmica del proceso para juzgar si una buena respuesta en la variable medidarealmente se corresponde con una buena respuesta de la variable fsica del pro-ceso. Incluso si la atencin se centra sobre la variable medida conviene siempretener presente que la variable de proceso es la seal que realmente importa.

Modelado fsico Ecuaciones diferencialesUna forma tradicional de obtener un modelo del proceso es usar las leyes fsicasbsicas tales como balances de masa, momentos y energa. Tales descripcionestpicamente conducen a un modelo matemtico en trminos de ecuaciones dife-renciales. Ilustramos esto con dos ejemplos.

EJEMPLO 2.1TANQUE AGITADOConsidrese un reactor de un tanque agitado ideal. Sea V el volumen del reactory q el caudal volumtrico a travs del reactor. La variable manipulada es la con-centracin u del caudal de entrada, y la variable de proceso y es la concentracinen el reactor. Un balance de masas para el reactor da

Vdydt

= q(u y).

El parmetro T = V/q, que tiene dimensiones de tiempo, es el tiempo de residen-cia medio de las partculas que entran al reactor. Se llama tambin la constante detiempo del sistema.

El sistema del Ejemplo 2.1 es de primer orden porque slo se necesita una varia-ble para dar cuenta del almacenamiento en el tanque. Esto es posible porque eltanque est bien agitado de forma que la concentracin se puede suponer cons-tante en todo el volumen. En casos ms complicados se requieren muchas varia-bles para tomar en cuenta el almacenamiento de masa, energa y momento. Estose ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2.2TANQUES ACOPLADOSSea el sistema que se muestra en la Figura 2.3, que est compuesto de dos tanquesbien agitados. Suponga que cada tanque tiene un volumen V, que los caudales deentrada y de salida son q, y que el caudal de recirculacin es qc. Ms an, sea laconcentracin del caudal de entrada la entrada u = cin, y la concentracin del

17

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



caudal de salida la salida, y = cout. Cuando los tanques estn bien agitados elbalance de masa se puede caracterizar por las concentraciones en los tanques.Dicho balance para el tanque es

Vdc1dt

= (q + qc)c1 + qcc2 + qu

Vdc2dt

= (q + qc)c1 (q + qc)c2y = c2.

El modelo en el ejemplo consiste en dos ecuaciones diferenciales de primer or-den. Hay dos ecuaciones diferenciales porque el sistema se describe completa-mente mediante balances de masas y el almacenamiento de las masas se puededefinir mediante dos variables. Se obtienen descripciones similares para sistemasms complicados, pero el nmero de ecuaciones aumenta con la complejidad delsistema. La ecuacin diferencial puede ser tambin no lineal si hay fenmenos detransporte no lineales.

El modelo en el Ejemplo 2.2 consiste en un sistema de ecuaciones diferencialesde primer orden. Si slo estamos interesados en las relaciones entre la entradau y tambin se puede describir la salida y un modelo lineal por una ecuacindiferencial de orden ms alto, i.e.,

dnydtn

+ a1dn1ydtn1

+ . . . + any = b1dn1udtn1

+ . . . + bnu. (2.1)

El nmero n es igual al nmero de variables necesitadas para dar cuenta del alma-cenamiento. ste es uno de los modelos estndar utilizados en control automti-co.

La ecuacin diferencial (2.1) se caracteriza por dos polinomios

a(s) = sn + a1sn1 + + anb(s) = b1sn1 + + bn,

(2.2)

donde el polinomio a(s) se llama el polinomio caracterstico. Los ceros del poli-nomio a(s) se llaman los polos del sistema, y los ceros del polinomio b(s) se llamanlos ceros del sistema.

La ecuacin diferencial (2.1) tiene una solucin de la forma

y(t) = kCk(t)ekt + t

0g(t )u()d, (2.3)

donde k son los polos del sistema y Ck(t) son polinomios (constantes si los polosson distintos). El primer trmino de la ecuacin anterior depende de las condi-ciones iniciales y el segundo de la entrada. La funcin g tiene la misma formaque el primer trmino del lado derecho de (2.3). Los polos proporcionan as unaidea cualitativa til de las propiedades del sistema.

En situaciones ms complicadas puede ser ms difcil tener en cuenta el alma-cenamiento de masa, momento y energa. Ilustramos esto con un ejemplo sencillo.

18

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



EJEMPLO 2.3RETARDO DE TIEMPOSea un sistema donde la masa se transporta a lo largo de una cinta transportadora.Sea la entrada u(t) el caudal msico de entrada en la cinta, y sea la salida y(t) elcaudal msico de salida en la cinta. La relacin entrada-salida para el sistema esentonces

y(t) = u(t L), (2.4)donde L es el tiempo que tarda una partcula en recorrer la cinta. Para tomar encuenta el almacenamiento de masa en la cinta es necesario especificar la distribu-cin de masa en la cinta. La salida es as simplemente la entrada retardada. Estesistema se llama por lo tanto un retardo de tiempo o un retardo de transporte. Unretardo de tiempo se llama tambin un tiempo muerto. El modelo (2.4) tambindescribe la concentracin en una tubera cuando no hay mezcla.

Otros sistemas fsicos tales como la conduccin de calor y la difusin dan lugara modelos en trminos de ecuaciones en derivadas parciales; en la Seccin 2.5 sedan ejemplos de tales modelos.

Una caracterstica atractiva de los modelos fsicos es que los parmetros de laecuacin pueden estar relacionados con magnitudes fsicas tales como volmenes,caudales, y constantes de los materiales. Se pueden construir tambin modeloscomplicados dividiendo un sistema en subsistemas, deduciendo modelos sim-ples para cada subsistema y combinando estos modelos.

Modelos de estadoLa nocin de estado es un concepto importante en dinmica de sistemas. El es-tado es un conjunto de variables que resumen la conducta pasada del sistema yadmite una prediccin del futuro bajo la hiptesis de que se conocen las entradasfuturas. Para el sistema en el Ejemplo 2.2, que consiste en dos tanques, el estadoes simplemente las concentraciones c1 y c2 en los tanques. En general, el estadoes la variable requerida para describir el almacenamiento de masa, momento y e-nerga en un sistema. Para el sistema en el Ejemplo 2.3 el estado en el tiempo t sonlas entradas a lo largo de un intervalo de longitud L, i.e., {u(), t L < t}.

Respuesta transitoriaUna alternativa a describir modelos por ecuaciones diferenciales es concentrarsedirectamente sobre la conducta de entrada-salida. La dinmica puede en prin-cipio expresarse mediante una gran tabla de seales de entrada y sus corres-pondientes seales de salida. Este enfoque, que se llama respuesta transitoria,es quiz la forma ms intuitiva de caracterizar dinmicas de procesos. Una pro-piedad muy agradable de los sistemas lineales invariantes en el tiempo es quela tabla se puede describir por un par de seales. La seal de entrada particularse escoge a menudo de forma que es fcil de generar experimentalmente. Ejem-plos tpicos son escalones, pulsos e impulsos. Recuerde que en la Figura 2.2 semostraron respuestas en escaln tpicas.

Debido al principio de superposicin se pueden normalizar las amplitudes delas seales de entrada. Por simplicidad es prctica normal normalizar dividiendola salida por la magnitud del escaln de entrada. Es tambin usual trasladar lacurva de forma que el escaln comience en el tiempo t = 0. Es entonces suficiente

19

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



0 5 10 15 200

2

4

0 5 10 15 200

1

yu 0,5

Figura 2.4 La curva inferior muestra una seal de entrada en la forma de un escaln y lacurva superior la respuesta del sistema al escaln.

mostrar slo la salida. En este libro seguiremos esta prctica. Por ejemplo, enla Figura 2.4 la salida se debera dividir por 0, 8 y trasladarla una unidad a laizquierda. En las primeras publicaciones sobre control de procesos la respuesta aun escaln se llam tambin la curva de reaccin.

La salida generada por una entrada arbitraria se puede calcular a partir de larespuesta a un escaln. Sea h(t) la respuesta a un escaln unitario. La salida y(t)a una seal de entrada arbitraria u(t) viene dada por

y(t) = t

0u()

dh(t )dt

d = t

0u()g(t )d, (2.5)

donde hemos introducido g(t) como la derivada de la respuesta a un escaln h(t).La funcin g(t) se llama la respuesta impulsional del sistema ya que se puedeinterpretar como la respuesta del sistema para un impulso muy corto con reaunidad.

La funcin de transferenciaLa frmula (2.5) se puede simplificar bastante al introducir la transformada deLaplace. La transformada de Laplace F(s) de una funcin del tiempo f (t) se de-fine como

F(s) =

0est f (t)dt. (2.6)

Suponiendo que el sistema est inicialmente en reposo, i.e., y(t) = 0 y u(t) = 0para t 0, y utilizando la transformada de Laplace, la Ecuacin 2.5 se puedeescribir como

Y(s) = G(s)U(s), (2.7)

donde U(s), Y(s), y G(s) son la transformada de Laplace de u(t), y(t), y g(t),respectivamente. La funcin G(s) se llama la funcin de transferencia del sistema.

20

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



La funcin de transferencia G(s) es tambin la transformada de Laplace de larespuesta impulsional g(t).

La frmula dada por (2.7) tiene una fuerte interpretacin intuitiva. La trans-formada de Laplace de la salida es simplemente la transformada de Laplace dela entrada multiplicada por la funcin de transferencia del sistema. sta es unade las razones principales para utilizar la transformada de Laplace cuando seanalizan sistemas lineales. El anlisis de sistemas lineales se reduce a pura l-gebra. Una caracterstica agradable es que procesos, controladores, y seales sedescriben de la misma forma.

Se puede utilizar tambin la Ecuacin 2.7 para definir la funcin de transfe-rencia como la razn de las transformadas de Laplace de la entrada y la salida deun sistema. Como ilustraciones daremos la funcin de transferencia de algunossistemas.

EJEMPLO 2.4TANQUE AGITADOEl tanque agitado en el Ejemplo 2.1 tiene la funcin de transferencia

G(s) =1

sV/q + 1=

1sT + 1

(2.8)

donde la cantidad T = V/q, que tiene dimensiones de tiempo, se llama la cons-tante de tiempo del sistema.

EJEMPLO 2.5RETARDO DE TIEMPOConsidrese el sistema que describe un retardo de transporte en el Ejemplo 2.3.Suponiendo que u(t) = 0 para L t 0 encontramos

Y(s) =

0esty(t)dt =

0

estu(t L)dt = esLU(s).

La funcin de transferencia de un retardo de transporte es as

G(s) = esL. (2.9)

La Ecuacin 2.7 implica que es fcil obtener la funcin de transferencia de unsistema interconectado. Esto se ilustra por el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2.6SISTEMA DE PRIMER ORDEN CON RETARDO DE TIEMPO (FOTD)Sea un sistema que es un tanque agitado sin mezcla que se alimenta por unatubera. Multiplicando la funcin de transferencia del tanque en el Ejemplo 2.4por la funcin de transferencia de un retardo de tiempo en el Ejemplo 2.5 encon-tramos que el sistema tiene la funcin de transferencia

G(s) =1

1 + sTesL. (2.10)

21

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Este modelo es muy comn en control de procesos. Se llama sistema de primerorden con un retardo de tiempo o sistema FOTD.

Otra buena propiedad de la transformada de Laplace es que la transformada deuna derivada est dada por la frmula

0

est f (t)dt = s

0est f (t)dt f (0) = sF(s) f (0).

Si el valor inicial de la funcin del tiempo es cero, se sigue que la derivada de unafuncin temporal corresponde a la multiplicacin de la transformada de Laplacepor s. Anlogamente, se puede demostrar que la integracin de una seal corres-ponde a dividir la transformada de Laplace por s. Esto da una regla muy sim-ple para manipular ecuaciones diferenciales donde los valores iniciales son ceros.Simplemente hay que sustituir las funciones por sus correspondientes transfor-madas de Laplace y las derivadas por s. La relacin entre seales se obtien en-tonces mediante simple lgebra.

EJEMPLO 2.7ECUACIN DIFERENCIAL GENERALSea el sistema descrito por la ecuacin diferencial (2.1). Suponiendo que el sis-tema est inicialmente en reposo y tomando la transformada de Laplace de (2.1)obtenemos

(sn + a1sn1 + . . . + an)Y(s) = (b1sn1 + b2sn2 + . . . + bn)U(s),

donde Y(s) es la transformada de Laplace de la salida, y U(s) la transformada deLaplace de la entrada. La funcin de transferencia del sistema es la razn de lastransformadas de Laplace de la salida y la entrada, i.e.,

G(s) =Y(s)U(s)

=b1sn1 + b2sn2 + . . . + bn

sn + a1sn1 + . . . + an. (2.11)

EJEMPLO 2.8CONTROLADOR PIDEl contolador PID dado por la Ecuacin 1.5 es un sistema dinmico con la funcinde transferencia

C(s) =U(s)E(s)

= K(

1 +1

sTi+ sTd

). (2.12)

Los ltimos dos ejemplos ilustran que las funciones de transferencia se puedenobtener directamente por inspeccin a partir de las ecuaciones diferenciales. Laregla es simplemente sustituir derivadas por s, integrales por 1/s, y funcionesdel tiempo por sus transformadas. Las funciones de transferencia se obtienen en-tonces como la razn entre seales.

22

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



0 5 10 15

0

0 5 10 151

0

1

uy

0,2

0,1

0,5

0, 1

0, 5

Figura 2.5 Ilustracin de la respuesta en frecuencia. La seal de entrada u es una sinusoide,y la seal de salida y se hace sinusoidal despues de un transitorio. La lnea a trazos muestrala respuesta en estado estacionario a la entrada sinusoidal.

Respuesta en frecuenciaOtra forma de caracterizar la dinmica de un sistema lineal e invariante en eltiempo es investigar la respuesta del sistema a seales de entradas sinusoidales,una idea que se retrotrae al matemtico francs Fourier. La respuesta en frecuen-cia es menos intuitiva que la respuesta transitoria pero da otras perspectivas.

Sea un sistema lineal estable. Si la seal de entrada al sistema es una sinu-soide, entonces la seal de salida ser tambin una sinusoide despues de un cier-to transitorio (ver Figura 2.5). La salida tendr la misma frequencia que la sealde entrada. Slo la fase y la amplitud son diferentes. Si la seal de entrada esu(t) = u0 sin t la salida en estado estacionario es

y(t) = a()u0 sin(t + ()

).

Las relaciones en estado estacionario entre la salida y una entrada sinusoidal confrequencia se puede describir por dos nmeros: la razn entre las amplitudesy la fase. La razn entre las amplitudes es la amplitud de salida dividida por laamplitud de entrada, y la fase es el desfase de la salida en relacin a la entrada.Las funciones a() y () dan la razn entre las amplitudes y la fase para to-das las frecuencias. Las funciones a() y () se relacionan con la funcin detransferencia de la forma siguiente.

G(i) = a()ei(). (2.13)

Los valores de la funcin de transferencia para argumentos imaginarios describenas la transmisin en estado estacionario de seales sinusoidales, y G(i) se llamala funcin de respuesta en frecuencia del sistema.

El diagrama de NyquistHay muchas ilustraciones grficas tiles de la respuesta en frecuencia. El nmerocomplejo G(i) se puede representar por un vector de longitud a() que forma

23

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Im G(i)

Re G(i)

a

Figura 2.6 El diagrama de Nyquist de un sistema es el lugar del nmero complejo G(i)cuando va desde 0 a .

un ngulo () con el eje real (ver Figura 2.6). Cuando la frecuencia va desde 0 a, el vector describe una curva en el plano, que se llama la curva de frecuencia oel diagrama de Nyquist.

El diagrama de Nyquist da una descripcin completa del sistema. Se puededeterminar experimentalmente enviando sinusoides de diferentes frecuencias alsistema. Esto, sin embargo, puede llevar mucho tiempo. Tambin se puede deter-minar a partir de otras seales.

El diagrama de BodeEl diagrama de Bode es otra representacin grfica de la funcin de transferen-cia. El diagrama de Bode de una funcin de transferencia consiste en dos curvas,la curva de ganancia y la curva de fase; ver Figura 2.7. La curva de amplitud oganancia muestra la razn de amplitudes a() = |G(i)| en funcin de la fre-cuencia . La curva de fase muestra la fase () = arg G(i) en funcin dela frecuencia . La frecuencia, en ambas curvas, se representa en escalas loga-rtmicas en rad/s o Hz. La ganancia tambin se expresa en escalas logartmicas.El ngulo se da en escala lineal. El diagrama de Bode da una buena panormicade las propiedades de un sistema a lo largo de un amplio rango de frecuencias.Debido a que las escalas de la curva de ganancia tambin tienen asntotas lineales.

2.4 Modelos basados en caractersticas

Algunas veces es deseable tener una caracterizacin aproximada de un procesobasndose solamente en unas pocas caractersticas. Estas deberan de escogersede forma que sean significativas y con una buena interpretacin fsica. Deberantambin ser fciles de determinar experimentalmente. Esta forma de describirla dinmica tiene una larga tradicin en control de procesos. Es til comenzar

24

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



101 100 101100

101

102

101 100 10190

0

90

Gan

anci

aFa

se

Frecuencia

Figura 2.7 El diagrama de Bode de un controlador PID ideal (lnea continua) y un contro-lador con un filtro (lnea a tramos). La curva superior muestra la curva de ganancia |G(i)|,y el diagrama inferior la curva de fase arg G(i). El controlador tiene una ganancia eleva-da para bajas frecuencias, y la fase es 90. El controlador ideal tiene tambin una elevadaganancia en altas frecuencias y la fase es 90. El controlador con un filtro tiene ganancia cons-tante en altas frecuencias.

con una clasificacin cruda de la respuesta a un escaln tal como se ilustra en laFigura 2.2.

Ganancia del procesoPara procesos estables se puede describir la conducta en estado estacionario me-diante un parmetro, la ganancia del proceso Kp. Para procesos con integracinuna entrada constante da en estado estacionario una salida que cambia con unavelocidad constante. Esta conducta se puede expresar haciendo uso de la cons-tante de velocidad Kv.

Tiempo de residenca medioEs tambin til encontrar unos pocos parmetros para caracterizar la dinmicadel proceso. La conducta temporal de un sistema estable con respuesta impul-sional positiva se puede caracterizar por el parmetro

Tar =

0 tg(t)dt 0 g(t)dt

, (2.14)

que se llama el tiempo de residencia medio. El tiempo de residencia medio es unamedida aproximada de cunto tarda la entrada en tener una influencia significa-tiva sobre la salida. Obsrvese que la funcin g(t)/

g(t)dt se puede interpretar

como una densidad de probabilidad si g(t) 0.El tiempo de residencia medio se puede calcular a partir de la respuesta a un

25

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



Kp

A0

t

y

Figura 2.8 Ilustra el mtodo del rea para determinar el tiempo de residencia medio.

escalon de la forma siguiente

Tar =

0(h() h(t))dt

Kp=

A0Kp

, (2.15)

donde h(t) es la respuesta a un escaln y Kp = G(0) es la ganancia esttica delproceso. Obsrvese que Kp = h() y que A0 es el rea sombreada en la Figura 2.8.

Tiempo de residencia medio y funciones de transferenciaEl tiempo de residencia medio se puede calcular de forma muy conveniente apartir de la funcin de transferencia. Como la funcin de transferencia es la trans-formada de Laplace de la respuesta impulsional tenemos

G(s) =

0estg(t)dt.

Derivando esta expresin con respecto a s da

G(s) =

0esttg(t)dt.

Haciendo s = 0 en estas expresiones se sigue entonces de la definicin del tiempode residencia medio (2.14) que

Tar = G(0)

G(0). (2.16)

Esta frmula se ilustrar ahora mediante unos pocos ejemplos.

26

ww

w.e

lsol

ucio

nario

.net



EJEMPLO 2.9TIEMPO DE RESIDENCIA MEDIO PARA EL TANQUE AGITADOLa funcin de transferencia para el tanque agitado en el Ejemplo 2.4 es

G(s) =1

1 + sT.

Tenemos

G(s) = T(1 + sT)2

,

y de (2.16) se sigue que el tiempo de residencia medio es

Tar = T =Vq

.

El tiempo de residencia medio es as la razn entre el volumen y el caudal a travsdel tanque.

EJEMPLO 2.10TIEMPO DE RESIDENCIA MEDIO PARA EL RETARDO DE TIEMPOLa funcin de transferencia para el retardo de tiempo en el Ejemplo 2.5 es

G(s) = esL.

tenemosG(s) = LesL,

y de (2.16) se sigue que el tiempo de residencia medio es

Tar = L.

El tiempo de residencia medio es as igual al retardo de t

Control PID Avanzado Astrom 1a Edición

Documents

Transcript of Control PID Avanzado Astrom 1a Edición