Control Optimo

Sistemas de control óptimo

Tema 4: Análisis y diseño en el espacio de estados en continua

Introducción

• El diseño de sistemas óptimos se basa en la idea de que los parámetros del sistema sean el resultado de la minimización de una cierta función.

• Este enfoque contrasta con la aproximación clásica, en la que los valores de los parámetros vienen condicionados a que se cumplan una serie de especificaciones.


Índices de desempeño

• Una buena función objetivo o índice de optimización debe poseer algunas características fundamentales:

– Facilidad de cómputo.

– Buena selectividad.

– Representatividad.

• Los más utilizados son de tipo integral sobre el error del sistema.


• Algunos ejemplos:

– Criterio integral del error cuadrático (CIEC):

– Criterio integral del producto del error cuadrático por el tiempo (CIECT):

J = ò0¥ e2(t) dt

Es simple de obtener, aunque tiende a producir una corrección inicial fuerte con oscilaciones que se mantienen.

Elimina las oscilaciones. El error inicial puede ser grande.

J = ò0¥ te2(t) dt


– Criterio integral de error absoluto (CIEA):

– Criterio integral del producto del error absoluto por el tiempo (CIEAT):

Para sistemas que no sean excesivamente oscilatorios ni excesivamente lentos. El tratamiento analítico es complejo.

J = ò0¥ ½e(t)½ dt

J = ò0¥ t½e(t)½ dt

Elevada complejidad del tratamiento analítico.


Control óptimo cuadrático

• Sea el siguiente sistema dado por x' = Ax + Bu:

– Se puede probar que si L(x,u) es una función cuadrática o hermítica, el índice de desempeño J = ò0

¥ L(x,u) dt puede producir leyes de control del tipo u(t)=-Kx(t).

• Ventajas frente a la realimentación de estado ya vista:

– No es necesario especificar los polos deseados.

– Aplicable a sistemas variables en el tiempo.

– Buen comportamiento respecto a estabilidad o sensibilidad.


• Sea el sistema homogéneo x' = Ax, donde A incluye parámetros a ajustar para minimizar un cierto índice.

– Tomamos como índice de desempeño la siguiente forma cuadrática hermítica:

Optimización de parámetros

J = ò0¥ x*Qx dt

donde Q es una matriz hermítica definida positiva.


– Suponiendo x*Qx=-d(x*Px)/dt, donde P es hermítica definida positiva, tenemos:

x*Qx = -x*(A*P+PA)x

– Por el segundo método de Liapunov, si A es estable, para una Q definida positiva dada existe una P definida positiva que verifica:

– El índice de desempeño se puede expresar de la forma:

J = ò0¥ x*Qx dt = -x*Px½0

¥ = -x*(¥)Px(¥) + x*(0)Px(0)

A*P+PA = -Q


– Como x(¥)->0, queda:

J = x*(0)Px(0)


• Procedimiento de diseño:

– Elegir una cierta matriz Q hermítica y definida positiva.

– Calcular los valores de P como función de los parámetros ajustables.

– Sustituir los resultados en la expresión del índice y minimizarlo para obtener los valores óptimos de los parámetros para ese índice.


• Sea el sistema x'=Ax+Bu, donde la ley de control es u(t)=-Kx(t). El problema es obtener los valores de la secuencia de control que minimizan un cierto índice.

Control óptimo cuadrático

J = ò0¥ (x*Qx+u*Ru) dt

donde Q y R son matrices hermíticas definidas positivas que ponderan el peso relativo del estado y la señal de control en la función objetivo.

– Sea el índice


– Sustituyendo la ley de control en el índice de desempeño tenemos:

J = ò0¥ x*(Q + K*RK)x dt

– Suponiendo que se verifica x*(Q + K*RK)x= -d(x*Px)/dt, y desarrollando la derivada se llega a

– Por el segundo método de Liapunov, si A-BK es estable, se puede encontrar una matriz P definida positiva que satisface la ecuación anterior.

(A-BK)*P + P(A-BK) = -(Q + K*RK)


– La expresión del índice a minimizar es nuevamente:

J = x*(0)Px(0)


• Procedimiento de diseño:

– Elegir las matrices Q y R hermíticas y definidas positivas. El peso relativo de las matrices determina la relación velocidad de respuesta-esfuerzo de control.

– Calcular los valores de P como función de las ganancias de realimentación.

– Sustituir los resultados en la expresión del índice y minimizarlo para obtener los valores óptimos de las ki para ese índice.

• Este procedimiento es poco práctico, por lo que se han desarrollado esquemas alternativos (ec. Riccati).


• Para el siguiente montaje de péndulo invertido se desea mantener el vástago en la vertical minimizando las oscilaciones del carro.

Ejemplo: Diseño de un regulador óptimo (LQR)

– Masa del carro M=5 Kg.

– Masa del vástago m=0.5 Kg.

– Longitud del vástago L=1 metro.

mg

pu

M

L


– El estado del sistema está representado por el vector:

x = [ ’ p p’ ]

– La ecuación de estado que resulta para el sistema es la que sigue

uxx

2.0

0

2.0

0

00098.0

1000

00078.10

0010

'


– La respuesta del sistema en bucle abierto viene determinada por los siguientes autovalores:

= [ 0 0 +3.283 -3.283 ]

Respuesta libre desde condiciones iniciales

x0 = [ 0.001 0 0 0 ]


– Suponiendo el estado medible, se toma

u = -Kx

– Como función objetivo se define

J = 1/2 ò0¥ (xTQx+uTRu) dt

– Veamos algunos ejemplos de resultados para diferentes configuraciones de Q y R.


– Matrices]1[,

10000

01000

001000

000100

RQ– Matrices:

– Ganancias de realimentación: K = [-156.16 -49.21 -3.16 -8.72]

– Autovalores de A-BK: =[-0.60.45j -2.48 -4.41]


– Matrices]100[,

10000

01000

001000

000100

RQ– Matrices:

– Ganancias de realimentación: K = [-119.71 -36.65 -0.32 -2.09]

– Autovalores de A-BK: =[-0.170.17j -3.38 -3.19]


– Matrices]1[,

1000000

0100000

00100

00010

RQ– Matrices:

– Ganancias de realimentación: K=[-395.46 -124.79 -31.62 -56.6]

– Autovalores de A-BK: =[-6.5 -3.060.13j -1.02]

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