Control mediante la presi on y la temperatura de las ...

Control mediante la presion y latemperatura de las propiedades

opticas en cristales fotonicos

Francis Armando Segovia Chaves

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica

Bogota, Colombia

2020

Control mediante la presion y latemperatura de las propiedades

opticas en cristales fotonicos

Francis Armando Segovia Chaves

Tesis de grado presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Doctor en Ciencias Fısica

Director:

Ph. D Herbert Vinck Posada

Lınea de Investigacion:

CRISTALES FOTONICOS

Grupo de Investigacion:

GRUPO DE SUPERCONDUCTIVIDAD Y NANOTECNOLOGIA

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ciencias, Departamento de Fısica

Bogota, Colombia

2020

Y en mi paıs apacentando nubes, puse en el sur

mi corazon, y al norte, cual dos aves rapaces,

persiguieron mis ojos, el rebano de horizontes.

La vida es bella, dura mano, dedos tımidos al

formar el fragil vaso de tu cancion, lo colmes de

tu gozo o de escondidas mieles de tu llanto.

Aurelio Arturo (Poeta Narinense)

Agradecimientos

Quiero expresar mis mas sinceros agradecimientos al Dr. Herbert Vinck Posada, director

de este trabajo por el constante apoyo, orientacion, infinita paciencia, y entusiasmo trans-

mitido en mi formacion profesional. A Catalina C., quien ha hecho mas agradable las largas

y extenuantes jornadas de trabajo y ha sido punto de apoyo fundamental en la culminacion

de este trabajo, ¡LO LOGRAMOS!. A mi madre...Gracias.

Finalmente a los jurados evaluadores. A los Doctores Anderson Dussan de la Universidad

Nacional de Colombia y Juan Carlos Granada de la Universidad del Valle, por sus aportes

para mejorar el documento final. Al Doctor Victor Vasquez de la Universidad Autonoma de

Mexico por el tiempo destinado en leer la tesis y sugerir nuevas perspectivas. A ellos Gracias

ix

Resumen

Los cristales fotonicos son estructuras dielectricas las cuales permiten el control de la propa-

gacion de la luz. En esta tesis presentamos los resultados teoricos referentes a la estructura

de bandas fotonicas en cristales con patrones de periodicidad en una y dos dimensiones.

Las propiedades opticas de los cristales fotonicos son investigadas al solucionar las ecuacio-

nes de Maxwell a traves de metodos teoricos como matriz de transferencia, expansion en

ondas planas y expansion en modos guiados. El metodo de la matriz de transferencia es

empleado en la obtencion del espectro de transmitancia en cristales fotonicos unidimensio-

nales, mientras que con el metodo de expansion en ondas planas calculamos la estructura de

bandas en cristales fotonicos unidimensionales y bidimensionales. En esta tesis se considera

la dependencia con la presion hidrostatica y temperatura aplicada de la constante dielec-

trica del semiconductor GaAs. Los resultados obtenidos revelan que la sintonizacion de las

propiedades opticas son debidos principalmente a la presion hidrostatica en lugar de la tem-

peratura. Adicionalmente, el metodo de expansion en modos guiados es usado en el calculo

de la estructura de bandas de un slab fotonico donde el confinamiento de la luz es en las tres

direcciones espaciales. Finalmente, se elabora la teorıa del metodo de expansion en modos

guiados para el problema de propagacion de la luz en un pilar fotonico unidimensional de

simetrıa cilındrica. Esperamos que los resultados obtenidos en esta tesis puedan ser tomados

en consideracion para el desarrollo de nuevas perspectivas en el diseno de dispositivos opticos.

Contenido

Resumen IX

Lista de figuras XII

1. Introduccion 2

1.1. Estado del arte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Fundamentos Teoricos 10

2.1. Ecuaciones de Maxwell en cristales fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2. Redes de Bravais y recıproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3. Teorema de Bloch-Floquet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4. Metodos semianalıticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1. Metodo de la matriz de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.2. Metodo de expansion en ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4.3. Metodo de expansion en modos guiados . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Resultados 26

3.1. Cristales fotonicos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Cristales fotonicos bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. Red cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2. Red hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Slab de cristal fotonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1. Estructura de bandas fotonica en slabs fotonicos de redes cuadrada y

hexagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.2. Cavidades en slabs fotonicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.4. Pilar fotonico circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4. Conclusiones y Perspectivas 48

4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2. Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5. Publicaciones 50

xii Contenido

A. Anexos 52

A.1. Coeficientes de Fourier en redes fotonicas cuadrada y hexagonal . . . . . . . 52

A.2. Relaciones de dispersion para la guıa de onda homogenea . . . . . . . . . . . 53

A.3. Ecuacion modal de la guıa de onda circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Bibliografıa 57

Lista de Figuras

1-1. Representacion de cristales fotonicos en una, dos y tres direcciones espaciales.

Imagen tomada de Ref. [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1-2. Slab fotonico bidimensional. a) arreglo de pilares verticales, y b) arreglo de

huecos de aire dispuestos en una red hexagonal de espesor finito. . . . . . . . 4

1-3. Montaje de la bomba de diamante. Imagen tomada de Ref. [45]. . . . . . . . 6

1-4. Constante dielectrica de Ge y GaAs como funcion de la presion. Imagen to-

mada de Ref. [46]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1-5. a) Dependencia con la presion de la constante dielectrica estatica del GaAs

para diferentes temperaturas (75.6 y 300 K). b) Dependencia con la tempe-

ratura de la constante dielectrica estatica del GaAs a diferentes frecuencias.

Imagen tomada de Ref. [47]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2-1. Representacion esquematica de: a) Multicapa unidimensional y b) celda j-

esima de la multicapa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2-2. Region de integracion: a) Red cuadrada y b) Red Hexagonal. . . . . . . . . . 17

2-3. a) Representacion del slab de CF. b) Guıa de onda homogenea de constante

dielectrica ε1 (substrato), ε2 (slab) y ε3 (recubrimiento). . . . . . . . . . . . . 19

2-4. Guıa de onda dielectrica homogenea con nucleo de radio R. . . . . . . . . . . 21

2-5. Pilar fotonico circular de radio R rodeado de aire y compuesto por materiales

intercalados de espesores d1 y d2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3-1. a) Espectro de transmitancia para P=0 kbar y T=4 K. b) Espectro de trans-

mitancia en funcion de la temperatura para P=0 kbar. c) Espectro de trans-

mitancia en funcion de la presion hidrostatica para T=4 K. d) Espectros de

transmitancia para T=4 K y valores de presion: P=0 kbar (lınea negra), P=10

kbar (lınea azul) y P=20 kbar (lınea roja). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3-2. Celda unitaria constituida por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y ε2. 28

3-3. Comparacion de la estructura de bandas fotonica para a) T=100 K (lınea

azul) y b) P=15 kbar (lınea roja). La estructura de bandas fotonicas para

P=0 kbar y T=4 K se representa con la lınea negra . . . . . . . . . . . . . . 29

3-4. Celda unitaria compuesta por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y ε2. 30

3-5. a) Estructura de bandas fotonica en un CF-1D defectivo. b) Intensidad del

modo defectivo. Los valores usados son para P=0 kbar y T=4 K. La lınea en

color naranja representa el perfil de la funcion dielectrica del CF-1D defectivo. 30

xiv Lista de Figuras

3-6. Espectros de transmitancia en funcion de a) la temperatura para P=0 GPa,

y b) presion para T=4.2 K. Los valores usados en las simulaciones numericas

son N= 10 bicapas y d1 = d2=5 µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3-7. Estructura de bandas fotonica en un CF-2D de red cuadrada con cilindros de

GaAs incrustados en aire. a) Polarizaciones TE y TM. b) Polarizacion TM

para P=0 kbar (lınea negra) y P=40 kbar (lınea roja). Las regiones en color

gris representa los gaps fotonicos para P=0 kbar y T=4 K. . . . . . . . . . . 33

3-8. a) Perfil de la funcion dielectrica defectiva para P=0 kbar y T=4 K. b) Es-

tructura de banda fotonica TM para R=0.3a, T=4 K y presiones de 0 kbar

(lınea negra) y 40 kbar (lınea roja). c) Perfil de intensidad del modo confinado

para P=0 kbar y T=4 K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3-9. Estructura de bandas fotonica en la red hexagonal de huecos cilındricos de

aire incrustados en GaAs para T=4 K y R=0.48a. a) Polarizaciones TE (lınea

azul) y TM (lınea negra) para P=0 kbar. Estructura de bandas fotonica b)

TE y c) TM, para P=30 kbar (lınea verde) y P=70 kbar (lınea roja). . . . . 35

3-10.Representacion de la red hexagonal de huecos de aire de seccion transversal

triangular incrustados en GaAs con funcion dielectrica εGaAs(P, T ). Los puntos

de alta simetrıa Γ,M y K delimitan la zona irreducible de Brillouin (region

color amarillo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3-11.a) Perfil de la funcion dielectrica en la red hexagonal de triangulos equilateros

con L=0.5a. b) Estructura de bandas fotonica para polarizaciones TE (lınea

azul) y TM (lınea negra). c) Mapa de gaps en funcion de la longitud de los

triangulos. Los valores usados son P=0 kbar y T=4 K. . . . . . . . . . . . . 37

3-12.a) Perfil de la funcion dielectrica con la remocion de un triangulo de L=0.8a,

P=0 kbar y T=4 K. b) Mapa de gaps para polarizacion TE del CF-2D defec-

tivo. c) Estructura de bandas fotonica TE para presiones de 0 (lınea negra),

30 (lınea verde) y 70 kbar (lınea roja). Las lıneas horizontales hacen referencia

a la posicion de los modos defectivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3-13.a) Slab fotonico compuesto por huecos de aire dispuestos en una red cuadrada.

b) Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like (lınea negra) y TM-

like (lınea roja). La region en color amarillo representa el gap fotonico para

modos TE-like. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3-14.a) Slab fotonico con un arreglo de huecos de aire dispuestos en una red he-

xagonal inmersos en GaAs. b) Estructura de bandas fotonica para los modos

TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). La region en color amarillo re-

presenta el gap fotonico para modos TE-like. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3-15.Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like en slabs fotonicos de

redes: a) Red cuadrada y b) Red hexagonal. La region en color gris representa

el gap fotonico para P=70 kbar (lınea roja). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

Lista de Figuras 1

3-16.a) Slab fotonico con un arreglo de huecos triangulares de aire dispuestos en una

red hexagonal inmersos en un slab de GaAs. b) Estructura de bandas fotonica

para los modos TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). c) Estructura de

bandas fotonica para los modos TE-like para diferentes angulos de rotacion

θ = 0, 20 y 30. d) Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like

para presiones de 0, 30 y 70 kbar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-17.a) Vista superior de la red hexagonal del slab fotonico defectivo. b) Estructura

de bandas fotonica para los modos TE-like para presiones de 0 kbar (lınea

color negro) y 70 kbar (lınea color rojo). Las lıneas horizontales representan

la posicion de los modos defectivos para cada presion. . . . . . . . . . . . . . 43

3-18.a) Vista superior del slab fotonico para una cavidad L3, donde s representa

el corrimiento lateral de los huecos de aire. b) Estructura de bandas fotonica

TE-like para presiones de 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70 kbar

(lınea roja). Las lıneas horizontales representan los modos defectivos para cada

presion. c) Comportamiento del factor de calidad en funcion del corrimiento

lateral de los huecos para P=0 kbar y T=4 K. d) Comportamiento del factor

de calidad en funcion del corrimiento lateral de los huecos para tres valores

de presion: 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70 kbar (lınea roja). . 44

3-19.Celda unitaria del pilar fotonico circular de parametro de red a. . . . . . . . 45

3-20.Estructura de bandas fotonica para el pilar fotonico unidimensional. Los mo-

dos a) Modos HE01 (lınea negra) y EH01 (lınea roja). b) Modo HE01 para

presiones de P=0 kbar (lınea azul), P=30kbar (lınea azul) y P=70kbar (lınea

naranja). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3-21.a) Estructura de bandas fotonicas para modos con m=0, l = 0 y 1. b) Estruc-

tura de bandas fotonicas para modos HE11 a presiones de 0 (lınea verde) y

70 kbar (lınea naranja). Los valores usados en las simulaciones son R=5a y

T= 4K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1. Introduccion

1.1. Estado del arte

Uno de los intereses de la comunidad cientıfica es la fabricacion de materiales de dimen-

sion cada vez mas pequena para que los dispositivos sean mas compactos, consuman menos

energıa y funcionen a velocidades mas altas. Esta tendencia a la miniaturizacion basada en

la habilidad de observar y manipular la materia a pequena escala, tiene por objetivo la bus-

queda de funcionalidades nuevas o mejoradas en campos de la electronica, fotonica, medicina,

textiles, energıa sostenible, entre otros. En este contexto, la fotonica intenta comprender el

comportamiento de la luz en los materiales con el objetivo de disenar e implementar disposi-

tivos al servicio de la comunidad. Entre los materiales artificiales utilizados con innovadoras

aplicaciones para controlar la propagacion de la luz tenemos los cristales fotonicos (CFs),

los cuales se caracterizan por la periodicidad espacial de la constante dielectrica [1]. La idea

que conduce al concepto de CF puede ser entendido por la analogıa entre fotones en un

potencial dielectrico periodico y electrones en un cristal atomico. La periodicidad del po-

tencial electronico es la razon para la existencia de una estructura de bandas permitida y

prohibida [2]. En los fotones una funcion dielectrica periodica es la responsable de la exis-

tencia de bandas y gaps fotonicos [3]. La estructura de bandas fotonicas refiere a los modos

de luz que pueden propagarse en el interior del cristal, mientras que los gaps representan el

dominio de frecuencias donde los fotones tienen prohibido propagarse [4]. La existencia de

un gap fotonico es una de las caracterısticas mas atractivas de los CFs por sus aplicaciones

tecnologicas para controlar la propagacion de la luz [5, 6]. Inicialmente los estudios estaban

encaminadas solamente en CFs tridimensionales (3D), los cuales se caracterizan por tener

un gap fotonico completo donde se inhibe la propagacion de la luz para todos los estados de

polarizacion [7, 8]. La principal desventaja de los CFs-3D es el difıcil proceso de fabricacion

que limita los tipos de estructuras posibles. Pronto surgio la clasificacion de los CFs en una

dimension (CF-1D) y dos dimensiones (CF-2D), como se ilustra en la Figura (1-1). En la

naturaleza tambien podemos encontrar ciertos procesos opticos de reflexion e iridiscencia,

responsables de los sofisticados colores que exhiben determinados organismos de la flora y

fauna, estrechamente relacionados con el comportamiento que ocurre en un CF [9]. Los colo-

res brillantes de las plumas de pajaros, alas de mariposas y escarabajos son algunos ejemplos

[10, 11]. Un examen detallado de estas estructuras revela filamentos fibrosos de alto ındice de

refraccion dispuestos periodicamente y separados por delgadas capas de aire. Cada filamento

consta de microestructuras dispuestas periodicamente hechas de quitina, que dispersan la

1.1 Estado del arte 3

luz produciendo una iridiscencia brillante cuando se ve desde ciertos angulos [12].

Figura 1-1.: Representacion de cristales fotonicos en una, dos y tres direcciones espaciales.

Imagen tomada de Ref. [1].

Al romper la periodicidad del CF por la insercion de defectos (geometricos o de composi-

cion), la luz puede tener estados de energıa (modos defecto) dentro del gap fotonico [13].

Esto se observa como una localizacion del campo electromagnetico alrededor del defecto,

permitiendo el confinamiento o guiado de modos de luz con alta eficiencia. Las frecuencias

de los modos defectivos son empleadas en el diseno de estructuras para potenciales aplica-

ciones en componentes opticos como: resonadores [14, 15], laseres [16, 17], guıas de ondas

[18, 19], etc. Por estas notorias potencialidades, los esfuerzos de la teorıa, experimentacion

y fabricacion de CFs, estan encaminados en el diseno en un solo chip de los componentes

opticos para el procesamiento de informacion [20, 21]. Los teoricos tienen que enfrentar el

problema fundamental de resolver las ecuaciones de Maxwell para una variedad de CFs con

o sin defectos. Mientras que los experimentalistas estan comprometidos con la tarea no facil

de caracterizar las muestras y descubrir nuevos efectos no considerados por la teorıa. Por

ultimo, pero no menos importante, los fabricantes tienen metodos para obtener patrones

dielectricos regulares con la forma deseada. Estos objetivos son particularmente desafiantes

especialmente para lo que concierne al experimento y la fabricacion, si se desea que los CFs

operen en el dominio de frecuencias de dispositivos opticos.

Por otra parte, en los CFs-2D la periodicidad varıa en dos dimensiones con una extension

infinita ortogonal al plano de la periodicidad. Claramente, las estructuras reales no pueden

ser de esta manera ya que la fabricacion implica espesores de dimensiones finitas, lo cual

origina que el confinamiento de la luz no se de en la direccion de no periodicidad. El diseno

mas directo en la busqueda del confinamiento de la luz con las propiedades deseadas de los

CFs-3D es fabricar CFs-2D de altura finita. Estas estructuras comunmente conocidas como

slabs de CFs consisten en un CF-2D incrustado en una guıa de onda dielectrica plana [22, 23].

El confinamiento de la luz es vıa reflexion total interna debido a la discontinuidad dielectrica

proporcionada por la guıa de onda en direccion vertical, y por el patron periodico del CF-2D

que controla la propagacion de la luz en el plano [24, 25]. La Figura (1-2) muestra un slab de

CF el cual consta de un arreglo de pilares verticales en aire (Panel a), o mas comunmente,

4 1 Introduccion

un arreglo de huecos de aire incrustados en un medio de constante dielectrica alta como

un semiconductor (Panel b). Los materiales de uso comun son silicio sobre aislante (SOI,

silicon on insulator), arseniuro de galio (GaAs), fosfuro de indio (InP) y nitruro de silicio

(Si3N4) [26, 27]. Entre las tecnicas utilizadas para la fabricacion de los slabs de CFs tene-

mos la litografıa de haz de electrones y el crecimiento de capa delgada, empleando tecnicas

ampliamente usadas en el campo de la microelectronica y optoelectronica [28].

Figura 1-2.: Slab fotonico bidimensional. a) arreglo de pilares verticales, y b) arreglo de

huecos de aire dispuestos en una red hexagonal de espesor finito.

No obstante dado los conocimientos basicos y tecnologicos obtenidos con el uso de tecnicas de

crecimiento de cristales y de litografıa ya implementadas en electronica y optoelectronica con

materiales semiconductores, aun permanecen sin estudiar algunos aspectos que representan

interes desde el punto de vista de la fısica fundamental relacionados con la sintonizacion de

la estructura de bandas fotonica a traves de mecanismos externos.

1.2. Antecedentes

En la mayorıa de las estructuras fotonicas arriba mencionadas, el gap fotonico se fija despues

de la fabricacion y esto puede limitar su uso practico. Se han propuesto muchos enfoques

para sintonizar o ajustar tanto la estructura de bandas como el gap fotonico, abriendo ası

una nueva perspectiva en la investigacion cientıfica. La sintonizacion puede obtenerse sin

modificar la estructura del CF, y controlando externamente las propiedades intrınsecas de

los materiales constituyentes del cristal. Desde un punto de vista teorico encontramos que

la temperatura es una herramienta para la sintonizacion del gap fotonico y de los espectros

de transmision. J. Manzanares et al. [29] consideran un CF-2D formado por postes de aire

de seccion transversal circular incrustados en InSb, donde existe una dependencia con la

temperatura de la concentracion de portadores intrınsecos del semiconductor. Los efectos

simultaneos de expansion termica y termo-opticos en CFs-2D compuestos por postes de Si

incrustados en aire son investigados por H. Elsayed et al. [30]. Se reporta que el incremento

1.2 Antecedentes 5

de la temperatura sobre la temperatura ambiente origina un aumento del ancho del gap

fotonico de los modos transverso electricos. El desplazamiento a energıas mas altas de la es-

tructura de bandas fotonicas en una red honeycomb bidimensional son investigadas en [31], al

tener en cuenta que las propiedades opticas del GaAs dependen de la presion y temperatura

aplicada. En el caso de CFs-2D donde el arreglo de dispersores de GaAs son dispuestos en

redes cuadradas y triangulares, se observa un leve corrimiento a energıas altas de la estruc-

tura de bandas con el incremento de la temperatura aplicada [32]. El empleo de materiales

superconductores como componentes en CFs tambien ha atraıdo la atencion en el ajuste del

gap fotonico y espectro de transmitancia. Recientemente, A. Aly investiga la respuesta del

espectro de transmitancia con la presion aplicada en un CF-1D compuesto por un material

superconductor (Ti2Ba2Ca2Cu3O10) y semiconductor (GaAs) [33]. Los resultados obtenidos

permiten sintonizar a valores mas altos la frecuencia de corte con el incremento de la pre-

sion aplicada. J. Hao et al. [34] modelan teoricamente una estructura fotonica bidimensional

compuesta por cilindros superconductores (Hg-1223) inmersos en GaAs. Obtienen una maxi-

mizacion del gap fotonico con el aumento de la presion hidrostatica debido al incremento

de la frecuencia del plasma. Los campos electricos y magneticos tambien son un mecanismo

externo para cambiar la posicion del gap fotonico a frecuencias altas, como en el caso de CFs

compuestos por materiales niobato de litio [35] y plata [36].

Por otro lado, M. Tefelska et al. [37] investigan experimentalmente los efectos de la presion

hidrostatica sobre la polarizacion y las propiedades de propagacion en fibras fotonicas de

cristal lıquido. Concluyen que el aumento en la presion origina un estrechamiento del gap

acompanado de cambios en el estado de polarizacion. Resultados similares son reportados

por T. Wolinski et al. [38] al considerar experimentalmente la influencia de la temperatu-

ra, campo electrico externo y presion hidrostatica, sobre las propiedades de propagacion en

fibras de cristal lıquido. Encuentran un desplazamiento del gap en el espectro de transmi-

tancia al cambiar la temperatura. Ese desplazamiento permite determinar las caracterısticas

termicas del ındice de refraccion ordinario del cristal lıquido. Al aumentar la presion entre 0

y 73.2 MPa, la posicion del gap fotonico depende no solo del ındice de refraccion del material

sino tambien de la geometrıa de la fibra. Experimentalmente se observa el corrimiento de la

transmitancia a longitudes de onda corta cuando la presion se incrementa de 0 a 45 MPa en

una fibra de CF de doble nucleo [39]. Un comportamiento analogo es reportado por C. Wu

et al. [40], quienes construyen un interferometro Fabry-Perot y miden experimentalmente la

reflectancia cuando aumenta gradualmente la presion entre 0 y 40 MPa. Reportan que el

espectro se desplaza hacia longitudes de onda mas corta con el incremento de la presion. En

el trabajo de S. Olyaee y A. Dehghani [41], presentan un sensor de presion el cual consiste en

una guıa de onda de CF acoplada a una nanocavidad. La guıa de ondas se configura mediante

la eliminacion de una fila de postes cilındricos de Si, y la nanocavidad por la insercion de un

defecto puntual en la periodicidad del CF-2D. El sensor disenado tiene un factor de calidad

de 1470 y se calibra para medir la presion aplicada con un amplio rango de linealidad entre 0

y 10 GPa. Las anteriores investigaciones teorico-experimentales en la actualidad encuentran

6 1 Introduccion

importantes aplicaciones en medicina [42], inspeccion petrolera [43], y en imagenes sensibles

a la presion y el tiempo, como es el caso en la obtencion de huellas dactilares de alta precision

[44].

En general, la investigacion donde involucra la presion se ha convertido en un campo in-

terdisciplinario que tiene amplias implicaciones desde la fısica hasta ingenierıa y tecnologıa.

La presion aplicada en estructuras semiconductoras artificiales como pozos cuanticos y su-

perredes, juega un papel importante en las investigaciones de los estados electronicos. Esto

se debe en parte a que los niveles de energıa en la interfaz entre los diferentes materiales

de una heteroestructura de semiconductores se pueden ajustar continuamente. El ganador

del premio nobel en 1946 P. Bridgman, fue uno de los pioneros en las tecnicas para aplicar

presion hidrostatica a un material dentro de una celda de yunque (anvil-cell). El concepto

ampliamente utilizado hoy en dıa, consiste en una celda formada por dos diamantes los cuales

comprimen a grandes presiones una muestra de algun material para estudio (Figura (1-3))

[45]. La eleccion del diamante se debe a su dureza permitiendo alcanzar presiones ∼GPa. La

celda de yunque es un dispositivo especialmente adecuado para realizar mediciones opticas

a altas presiones, donde el principio basico es depositar la muestra dentro de un orificio de

200-300µm, el cual se cerrara en la parte superior e inferior por las caras planas paralelas

de dos yunques de diamante. La muestra se somete a presion cuando los dos diamantes se

juntan, dependiendo de su volumen se han construido diferentes celdas y la mayorıa com-

prenden un piston movil que sostiene uno de los diamantes, y algun tipo de mecanismo de

palanca para aplicar la presion. Los lıquidos organicos y gases condensados, tambien son

empleados como medios de presion hidrostatica para asegurar las condiciones en la camara

donde se encuentra depositada la muestra.

Figura 1-3.: Montaje de la bomba de diamante. Imagen tomada de Ref. [45].

Desde el punto de vista tecnologico el GaAs es uno de los semiconductores mas estudiados. A.

Goni et al. [46] emplean una celda yunque de diamante y una mezcla de metanol-etanol como

medio de presion, para investigar la dependencia con la presion de la constante dielectrica a

1.2 Antecedentes 7

altas frecuencias. La presion es medida por el metodo de luminiscencia de rubi. La constante

dielectrica ε∞ se extrapola a partir de la dependencia con la frecuencia del ındice de refraccion

usando un modelo oscilatorio empırico. En la Figura (1-4) se muestra los resultados obtenidos

por estos autores, donde las lıneas que atraviesan los puntos de datos corresponden al ajuste

a mınimos cuadrados. Se aprecia un decrecimiento monotonamente de ε∞ con el aumento de

la presion.

Figura 1-4.: Constante dielectrica de Ge y GaAs como funcion de la presion. Imagen tomada

de Ref. [46].

G. Samara [47] investiga los efectos de la temperatura y presion hidrostatica sobre la constan-

te dielectrica a bajas (εs) y altas frecuencias usando una celda de presion de acero montada

dentro de un Dewar de baja temperatura. Esta celda es capaz de contener presiones hasta 1.2

GPa. La constante dielectrica disminuye casi linealmente al aumentar la presion (ver Figura

(1-5 a)). Con la tecnica de capacitancia de radiofrecuencia, Samara encuentra que por debajo

de 150 K no existe una clara dependencia con la frecuencia de la constante dielectrica, como

se muestra en la Figura (1-5 b). Sin embargo, se aprecia que a altas temperaturas existe

una dependencia relativamente fuerte con la frecuencia de la constante dielectrica. El valor

obtenido en las mediciones de ε es 13.18 ± 3 % a una temperatura de 300 K. Los resultados

de Samara son aproximados a los obtenidos por I. Strzalkowski et al. [48], quienes realizan

mediciones de la capacitancia a bajas frecuencias en muestras de espesores 2.4×10−2cm.

Observan que la constante dielectrica varia linealmente con la temperatura en el rango de

100 a 300 K, de la forma ε(T ) = ε(0)(1 + λT ), siendo ε(0) la constante dielectrica extrapo-

lada linealmente a 0 K y λ =(2.01 ± 0.02) 10−4/K. Para T=300K el valor obtenido de la

constante dielectrica es 13.08.

8 1 Introduccion

Figura 1-5.: a) Dependencia con la presion de la constante dielectrica estatica del GaAs para

diferentes temperaturas (75.6 y 300 K). b) Dependencia con la temperatura

de la constante dielectrica estatica del GaAs a diferentes frecuencias. Imagen

tomada de Ref. [47].

Las investigaciones con la celda yunque de diamante han empleado los sistemas de baja

dimensionalidad para investigar los efectos sobre parametros como masas efectivas, altura

de las barreras, constante dielectrica, etc. Encontramos reportes donde los dispositivos han

venido siendo trabajados empleando soluciones etanol-metanol como medio para generar

presion, y celda de diamante del tipo Merri-Bassett [49]. Los resultados en este tipo de sis-

temas nanometricos (pozos cuanticos, nanotubos, nanohilos y puntos cuanticos) refieren que

al comprimir las estructuras se genera un aumento de los gaps de energıa. Teoricamente en

Ref.[50] se investiga los efectos de la presion sobre las transiciones opticas en puntos cuan-

ticos autoensamblados de InAs/GaAs. Oyoko et al. [51] encontraron que la energıa de enlace

aumenta con la presion al estudiar impurezas en heteroestructuras en forma paralelepıpeda.

Motivados por las interesantes aplicaciones de los CFs donde la respuesta optica es contro-

lada por diferentes mecanismos externos; en esta tesis nos planteamos la siguiente pregunta:

¿Cual sera la respuesta optica de los CFs si son sometidos a una presion y temperatura? Para

responder esta pregunta nos restringiremos al caso de CFs-1D, 2D, y slabs fotonicos. Debido

a que el GaAs es uno de los semiconductores mas importantes (si no el mas importante)

desde el punto de vista tecnologico; la inclusion de la presion y temperatura esta determi-

nada por la dependencia con estos parametros de la constante dielectrica del GaAs [47, 31].

1.2 Antecedentes 9

El contenido de este trabajo esta estructurado de acuerdo con el siguiente esquema: en el

capıtulo 2 hacemos una introducion a la teorıa fundamental de los cristales fotonicos y pre-

sentamos algunos metodos teoricos utilizados para desarrollar nuestro estudio como matriz

de transferencia, expansion en ondas planas y expansion en modos guiados. En el capıtulo

3 se muestran los principales resultados obtenidos derivados de la teorıa ya descrita en lo

que respecta a los espectros de transmitancia y estructura de bandas fotonicas. Finalmente

se presentan las conclusiones pertinentes a nuestro trabajo y se dan algunas pautas para el

desarrollo de futuras investigaciones.

2. Fundamentos Teoricos

La analogıa entre el comportamiento de los fotones en un medio de constante dielectrica

periodica y los electrones en un cristal atomico, hace posible que en la descripcion de los

CFs se hereden los conceptos del estado solido relacionados con la descripcion de electrones

en solidos cristalinos. Sin embargo, existe una diferencia entre ambas descripciones y es

que la dinamica electronica en un cristal atomico esta gobernada por la ecuacion escalar

de Schrodinger, mientras que la descripcion de la dinamica electromagnetica en CFs se rige

por las ecuaciones vectoriales de Maxwell. En este capıtulo se realiza una revision general

de los conceptos relevantes asociados a la descripcion de las luz en medios dielectricos no

homogeneos, ası como de los metodos semianalıticos: matriz transferencia, expansion en

ondas planas y expansion en modos guiados, los cuales seran de utilidad para los resultados

obtenidos en el capıtulo 3.

2.1. Ecuaciones de Maxwell en cristales fotonicos

El punto de partida de la teorıa electromagnetica es la formulacion del problema en terminos

de las ecuaciones de Maxwell. En lo que sigue asumiremos ausencia de cargas libres y co-

rrientes electricas [52]. Bajo estas suposiciones las ecuaciones de Maxwell en unidades MKS,

para medios lineales, isotropos y no magneticos se escriben

−→∇ ·−→D(−→r , t) = 0,

−→∇ ×

−→E (−→r , t) = − ∂

∂t

−→B (−→r , t)

−→∇ ·−→B (−→r , t) = 0,

−→∇ ×

−→H (−→r , t) =

∂

∂t

−→D(−→r , t) (2-1)

Las ecuaciones constitutivas de los campos electrico (−→E ) y magnetico (

−→H ), estan relacionados

con los campos de desplazamiento electrico (−→D) e induccion magnetica (

−→B ) ası:

−→D(−→r , t) = ε0ε(

−→r )−→E (−→r , t),

−→B (−→r , t) = µ0

−→H (−→r , t) (2-2)

Las ecuaciones (2-1) se desacoplan, y las expresiones que gobiernan la propagacion de los

campos−→E y

−→H estan determinadas por las ecuaciones de onda electromagnetica:

1

ε(−→r )

−→∇ ×

−→∇ ×

−→E (−→r , t) = − 1

c2

∂2

∂t2−→E (−→r , t) (2-3)

2.2 Redes de Bravais y recıproca 11

−→∇ × 1

ε(−→r )

−→∇ ×

−→H (−→r , t) = − 1

c2

∂2

∂t2−→H (−→r , t) (2-4)

donde c es la velocidad de la luz en el vacıo. Debido a la linealidad de las ecuaciones de

Maxwell es posible separar la dependencia espacial y temporal de los campos en un conjunto

de modos armonicos con frecuencia angular ω,

−→E (−→r , t)−→H (−→r , t)

=

−→E (−→r )−→H (−→r )

e−iωt, y ası reescribir

las ecuaciones de onda (2-3) y (2-4) de la siguiente manera:

1

ε(−→r )

−→∇ ×

−→∇ ×

−→E (−→r ) =

ω2

c2

−→E (−→r ) (2-5)

−→∇ × 1

ε(−→r )

−→∇ ×

−→H (−→r ) =

ω2

c2

−→H (−→r ) (2-6)

La ecuacion (2-6) se conoce como ecuacion maestra [1], a menudo se escribe como:

Θ−→H (−→r ) =

ω2

c2

−→H con Θ =

−→∇ ×

(1

ε(−→r )

−→∇×

)(2-7)

El papel de la funcion dielectrica ε(−→r ) es analoga al potencial atomico periodico V (−→r ) de la

mecanica cuantica. La ecuacion (2-7) es semejante a la ecuacion de Schrodinger estacionaria

con operador de Maxwell Θ. Esta analogıa permite estudiar los CFs en terminos de la fısica

del estado solido, donde los cristales atomicos son una repeticion periodica en el espacio de

una unidad estructural denominada celda unitaria [2], mientras que en los CFs la unidad

estructural es la repeticion de dos o mas medios macroscopicos. Por lo tanto, es necesario

realizar una revision de algunos conceptos que subyacen del estado solido como lo es la red

de Bravais y recıproca.

2.2. Redes de Bravais y recıproca

La parte mas pequena de un cristal cuya repeticion espacial origina todo el cristal se deno-

mina celda unitaria, y en virtud de la simetrıa de traslacion cada punto de una celda unitaria

puede compararse con un punto equivalente de otra celda unitaria [53]. Matematicamente la

posicion de estos puntos equivalentes en el cristal se caracteriza por la combinacion lineal de

los vectores de red

−→R = n1

−→a1 + n2−→a2 + n3

−→a3 (2-8)

donde −→a1 , −→a2 y −→a3 , son los vectores no coplanares denominados vectores primitivos de red.

El conjunto de todos los vectores de red forma una red espacial o red de Bravais.

Ademas del concepto de red espacial en el espacio ordinario, se utiliza el concepto de red

recıproca en el espacio abstracto tridimensional de los vectores de onda−→k . Al considerar

12 2 Fundamentos Teoricos

una onda plana ei−→k ·−→r , esta hereda la periodicidad de la red de Bravais solamente para un

conjunto de puntos determinados por los vectores de la red recıproca−→G , los cuales cumplen

ei−→G ·(−→r +

−→R ) = ei

−→G ·−→r (2-9)

Matematicamente la ecuacion (2-9) se satisface para−→G ·−→R = 2πN (2-10)

donde N es un numero entero. La red recıproca de un cristal en espacio−→k es un conjunto

infinito de puntos determinados por los vectores−→G = m1

−→b1 +m2

−→b2 +m3

−→b3 (2-11)

donde−→bj (j=1,2,3) son los vectores elementales de la red recıproca, relacionados con vectores

en el espacio real a traves de las igualdades

−→ai ·−→bj = 2πδij (2-12)

La celda unitaria del espacio recıproco se llama primera zona de Brillouin la cual cobra

importancia en la teorıa formal de bandas electronicas.

2.3. Teorema de Bloch-Floquet

El teorema de Bloch-Floquet describe las propiedades de la funcion de onda electronica en

un cristal con potencial periodico. Esta funcion de onda estacionaria de los electrones son

las autofunciones de la ecuacion

H ψ(−→r ) = Eψ(−→r ), con H = − ~2

2m∇2 + V (−→r ) (2-13)

donde H es el Hamiltoniano del electron, E es la energıa del estado, y el potencial V (−→r )

tiene la periodicidad traslacional del cristal V (−→r +−→R ) = V (−→r ) [2, 53]. Las soluciones de

la ecuacion de Schrodinger estan representadas por el producto de una onda plana y una

funcion periodica para todo vector de la red de Bravais, ası

ψ−→k

(−→r ) = ei−→k ·−→r u−→

k(−→r ) (2-14)

donde−→k es el vector de onda y u−→

k(−→r ) es una funcion con periodicidad de la red, u−→

k(−→r +

−→R ) = u−→

k(−→r ). El estado de Bloch representado por la ecuacion (2-14) se reescribe de la

siguiente forma:

ψ−→k

(−→r +−→R ) = ei

−→k ·−→Rψ−→

k(−→r ) (2-15)

La ecuacion (2-15) se conoce como condicion de frontera de Bloch.

En los CFs la periodicidad es determinada por la constante dielectrica ε(−→r +−→R ) = ε(−→r ) para

cualquier−→R . Los estados del campo electromagnetico satisfacen el teorema de Bloch-Floquet

con−→E y

−→H representados como el producto de una onda plana y una funcion periodica con

periodicidad de la red del espacio real.

2.4 Metodos semianalıticos 13

2.4. Metodos semianalıticos

La solucion de las ecuaciones (2-5) y (2-6) alcanza gran complejidad cuando aumentamos la

dimensionalidad espacial de la estructura, siendo necesario recurrir al uso de metodos semi-

analıticos para obtener las correspondientes soluciones para los campos electromagneticos.

En esta seccion describiremos tres de los metodos usados en el campo de los CFs para el

calculo de los espectros de transmision (reflexion) y estructura de bandas fotonica ω(−→k ), a

saber, el metodo de matriz de transferencia (MMT), metodo de expansion en ondas planas

(MEOP), y metodo de expansion en modos guiados (MEMG).

2.4.1. Metodo de la matriz de transferencia

A continuacion realizamos una descripcion del MMT en medios dielectricos estratificados,

el cual puede utilizarse para calcular las propiedades de reflexion y transmision de cualquier

estructura multicapa arbitraria imponiendo condiciones de frontera adecuadas. Este metodo

se fundamenta en conectar las amplitudes de las ondas que inciden y se reflejan en una capa,

con las amplitudes de una capa posterior a traves de las condiciones de continuidad de los

campos electromagneticos en cada una de las interfaz del medio [54].

Consideremos el caso de incidencia normal de la luz sobre una multicapa rodeada de aire y

compuesta por capas alternas de diferentes materiales. En la Figura (2-1 a) se presenta un

esquema de la estructura donde la direccion de crecimiento es el eje x, N es el numero de

bicapas de ındice de refraccion diferente n1 y n2. El perfil del ındice de refraccion para la

celda j (ver Figura 2-1 b), esta dado por la funcion

n(x) =

n1 jΛ < x < jΛ + d1,

n2 jΛ + d1 < x < (j + 1)Λ(2-16)

donde d1 y d2 = Λ−d2 son los espesores de las capas que forman la celda j, y Λ es periodo de

la estructura, n(x+Λ) = n(x). Los campos en la celda j son designados ası: las amplitudes de

las ondas que se propagan respectivamente hacia la derecha e izquierda en la capa con ındice

de refraccion n2 son aj y bj. Estas amplitudes se encuentra a la derecha entre la interface

de la celda j con la celda j + 1. Las amplitudes cj y dj representan las ondas viajan en la

capa de ındice de refraccion n1, las cuales se encuentran a la derecha en la interface entre

n1 y n2 dentro de la celda j. Las ondas con ”prima” corresponden a las amplitudes de los

campos que viajan a la derecha (a′j y c′j) e izquierda (b′j y f ′j), localizados a la izquierda de

cada capa. La conexion de las amplitudes de los campos del medio n2 de la celda j − 1 al

medio n2 de la celda j, estan dados por(aj−1

bj−1

)= D−1

2 D1P1

(cjdj

)= D−1

2 D1P1D−11 D2P2

(ajbj

)(2-17)

donde Dj (j=1,2) es la matriz dinamica la cual conecta las amplitudes de los campos a cada


Figura 2-1.: Representacion esquematica de: a) Multicapa unidimensional y b) celda j-

esima de la multicapa.

lado de las fronteras, mientras que la matriz de propagacion Pj lleva informacion de la fase

en cada capa. Estas matrices estan dadas por:

Dj =

(1 1

nj −nj

), Pj =

(eiϕj 0

0 e−iϕj

)(2-18)

donde ϕj =ωdjcnj. El paso de la luz a traves de las N celdas, desde el medio inicial (aire)

hasta la celda N equivale a la relacion matricial(A0

B0

)= M

(As0

)(2-19)

donde A0 y B0 representan las amplitudes de los campos incidente y reflejados en el medio

de entrada. La amplitud del campo transmitido en el medio de salida es As. La matriz de

transferencia total M para la estructura descrita en la Figura (2-1 a) es

M =

(m11 m12

m21 m22

)= D−1

a

[N∏j=1

DjPjD−1j

]Da (2-20)


donde Da es la matriz dinamica del aire. Usando la forma total de la matriz M para medios

sin absorcion, se puede obtener la transmitancia (T ) y reflectancia (R) para la estructura

finita por medio de las relaciones

R =

∣∣∣∣m21

m11

∣∣∣∣2 , T =

∣∣∣∣ 1

m11

∣∣∣∣2 (2-21)

donde m11 y m21 son los elementos matriciales de (2-20).

2.4.2. Metodo de expansion en ondas planas

Una de las formas pero de ninguna manera la unica en el calculo de la estructura de bandas

fotonica, es ajustar los metodos de calculo de la estructura de bandas electronica al caso de los

CFs. Entre los ajustes que reflejan las diferencias entre los CFs y cristales convencionales, es

el hecho que en la descripcion de CFs el campo electromagnetico es inherentemente vectorial.

El MEOP es la herramienta para la solucion de las ecuaciones de Maxwell bajo condiciones

frontera periodicas. Con este metodo se aprovecha la periodicidad de la estructura para

realizar una expansion periodica del campo y la funcion dielectrica en una base de ondas

planas. Dicha expansion se introduce en las ecuaciones (2-5) y (2-6) con el fın de obtener un

sistema infinito de ecuaciones algebraicas. Los CFs-2D son estructuras dielectricas donde el

ındice de refraccion varıa de acuerdo a un patron periodico bidimensional en el plano y uno

homogeneo en la otra dimension. Al asumir una estructura con periodicidad en el plano xy,

y distribucion homogenea en z; los modos electromagneticos estaran divididos en dos tipos

de polarizacion: transversoelectrica (TE) y transversomagnetica (TM), los cuales tienen en

direccion z solamente una componente Hz y Ez, respectivamente.

Caso TE

La informacion fısica de interes esta determinada por aquellos vectores de onda paralelos al

plano xy, para este tipo de polarizacion−→H (−→r ) se expresa como

−→H (−→r ) = zHz(x, y)ei

−→k ‖·−→r (2-22)

donde−→k ‖ = xkx + yky. De acuerdo con el teorema de Bloch, Hz(x, y) y 1

ε(−→r )son funciones

periodicas las cuales pueden expresarse como una base de ondas planas en la red recıproca,

esto es−→H (−→r ) = z

∑G

CTEG ei(

−→G+−→k ‖)·−→r ,

1

ε(−→r )=∑G

ηGei−→G ·−→r (2-23)

donde−→G = xGx + yGy, C

TEG y ηG representan los coeficientes de expansion, la suma sobre

el ındice G indica un barrido sobre todos los vectores−→G . Al substituir las ecuaciones (2-23)

en (2-6), la ecuacion vectorial se expresa como una ecuacion escalar de la forma∑G

ηG′−G[(G′x + kx) (Gx + kx) +

(G′y + ky

)(Gy + ky)

]CTEG =

(ωc

)2

CTEG′ (2-24)


Caso TM

Siguiendo la misma lınea de argumento descrito anteriormente, para la polarizacion TM el

campo electrico se escribe como un estado de Bloch de la forma

−→E (−→r ) = z

∑G

CTMG ei(

−→G+−→k ‖)·−→r (2-25)

Al substituir en (2-5) la ecuacion (2-25) y la funcion 1ε−→r )

dada por (2-23), obtenemos el

sistema de ecuaciones algebraicas:∑G

ηG′−G[(Gx + kx)

2 + (Gy + ky)2]CTM

G =(ωc

)2

CTMG′ (2-26)

Las ecuaciones (2-24) y (2-26) representan un problema de valores propios, a partir de las

soluciones se obtiene informacion tanto de las frecuencias propias ω(−→k ) (estructura de bandas

fotonica) como de las funciones propias. La estructura de bandas o el diagrama de dispersion

proporcionan la mayor parte de informacion que se necesita para predecir las propiedades

opticas del CF.

La transformada de Fourier ηG juegan un papel clave en la determinacion de la estructura

de bandas fotonica para ambas polarizaciones. En la ecuacion (2-23) los coeficientes ηG son

obtenidos a traves de una integracion sobre una celda unitaria, ası:

ηG =1

Ω

∫Ω

1

ε(−→r )e−i−→G ·−→r d2r (2-27)

donde Ω representa el area de la celda unitaria. A continuacion se describe el calculo de ηG en

cilindros infinitos de seccion transversal circular distribuidos en redes cuadrada y hexagonal.

Los parametros de red para ambas redes son especificados en la Tabla 2-1.

En una red cuadrada con vector de red recıproco−→G = 2π

a(jx+my), la expansion del inverso

Cuadro 2-1.: Vectores directos y recıprocos de las redes cuadrada y hexagonal.

Geometrıa

Red cuadrada Red hexagonal

Vectores directos −→a1 = (1, 0); −→a2 = (0, 1) −→a1 = (1, 0); −→a2 = (1/2,√

3/2)

Vectores recıprocos−→b1 = 2π

a(1, 0);

−→b2 = 2π

a(0, 1)

−→b1 = 2π

a(1,−

√3

3);−→b2 = 2π

a(0, 2

√3

3)

Area celda unitaria a2√

32a2

de la constante dielectrica en una base de ondas planas con periodicidad de la red de Bravais

es:

1

ε(x, y)=∑j,m

ηjme2πai(xj+ym) (2-28)


donde j y m son numeros enteros. Los coeficientes ηjm se calculan a partir de la region de

ortogonalidad de la celda unitaria representada en la Figura (2-2 a), con εc y εs las constantes

dielectricas del cilindro y medio exterior, respectivamente. La integracion se realiza en region

cuadrada y circular, asi

ηjm =1

a2

[1

εs

∫e−

2πai(xj+ym)da− (

1

εs− 1

εc)

∫e−

2πai(xj+ym)da

](2-29)

Despues de efectuar los calculos (ver Anexo [A.1]), los coeficientes ηjm estan dados por

ηG =

1

εs+πr2

a2

(1

εc− 1

εs

)−→G = 0

2πr

a2

(1

εc− 1

εs

) J1

[r√

(2πja

)2 + (2πma

)2

]√

(2πja

)2 + (2πma

)2

−→G 6= 0

(2-30)

donde Jl es la funcion de Bessel de orden l.

Figura 2-2.: Region de integracion: a) Red cuadrada y b) Red Hexagonal.

En el caso de la red hexagonal, el vector de red recıproco es−→G = 2π

a(jx +

2m− j√3

y) y la

region de ortogonalidad corresponde a la region rectangular y circular, como se muestra en

la Figura (2-2 b). Los coeficientes ηjm en forma analıtica se escriben:

ηG =

1

εs+

2πr2

a2√

3

(1

εc− 1

εs

)−→G = 0

4πr

a2√

3

(1

εc− 1

εs

) J1

[r√

(2πja

)2 + (2π(2m−j)a√

3)2]

√(2πja

)2 + (2π(2m−j)a√

3)2

−→G 6= 0

(2-31)


2.4.3. Metodo de expansion en modos guiados

Los CFs-2D se extienden de manera infinita a lo largo de un eje perpendicular al plano

de periodicidad del cristal. Sin embargo, los dispositivos fotonicos fabricados tienen espesor

finito y utilizan una guıa de onda plana para confinar la luz en direccion vertical [55, 56].

Los mejores candidatos para confinar y guiar eficientemente los campos electromagneticos en

las tres dimensiones espaciales son los slabs de CF (o comunmente llamados CFs planares),

donde los CFs-2D son incrustados en guıas de ondas planas dielectricas. El confinamiento

vertical de la luz es por reflexion total interna, y la propagacion en el plano es controlada

por el patron fotonico a traves de la reflexion distribuida de Bragg. La estructura de bandas

en los slabs fotonicos es mas complicada que en CFs-2D debido a la altura finita del patron

bidimensional. Para obtener una aproximacion cercana de la distribucion del campo de los

modos guiados a la estructura real; D. Gerace en 2006 hace una extension natural del MEOP

al expandir los modos de Bloch en la base de los modos guiados de una guıa de onda ho-

mogenea [57]. El metodo de expansion en modos guiados (MEMG) se explica a continuacion,

los detalles mas especıficos se encuentran en el trabajo original citado anteriormente.

Slab fotonico

La solucion a la ecuacion de onda (2-7) concerniente al campo magnetico puede expandirse

utilizando un conjunto ortonormal de vectores base como:

−→H (−→r ) =

∑µ

cµ−→H µ(−→r ) (2-32)

sujeto a la condicion de ortonormalizacion,∫ −→H ∗µ(−→r ) ·

−→H ν(−→r )d−→r = δµν (2-33)

Al substituir la ecuacion (2-32) en (2-7), se obtiene∑µ

cµ−→H ν ·

−→∇ × 1

ε(−→r )

−→∇ ×

−→H ∗µ =

(ωc

)2∑ν

cν−→H ∗µ ·

−→H ν (2-34)

Al integrar (2-34) sobre el volumen de la estructura, y teniendo en cuenta la identidad

vectorial−→∇ · (

−→F ×

−→G) = (

−→∇ ×

−→F ) ·−→G −

−→F · (−→∇ ×

−→G), obtenemos∑

µ

cµ

∫1

ε(−→r )

[−→∇ ×

−→H ∗µ(−→r )

]·[−→∇ ×

−→H ν(−→r )]d−→r =

ω2

c2

∑µ

cµ

∫ −→H ∗µ ·

−→H νd−→r (2-35)

La ecuacion (2-35) nos conduce a un problema de valores propios lineales de la forma:∑ν

Hµνcν =ω2

c2cµ (2-36)


donde los elementos matriciales Hµν estan dados por:

Hµν =

∫1

ε(−→r )

[−→∇ ×

−→H ∗µ(−→r )

]·[−→∇ ×

−→H ν(−→r )]d−→r (2-37)

Figura 2-3.: a) Representacion del slab de CF. b) Guıa de onda homogenea de constante

dielectrica ε1 (substrato), ε2 (slab) y ε3 (recubrimiento).

Para resolver la ecuacion (2-36) en el slab fotonico, los estados−→H µ son basicamente los modos

guiados en la guıa de onda plana. La Figura (2-3 a) muestra el slab fotonico con funcion

dielectrica ε2(−→r‖ ), rodeado por un recubrimiento y substrato de funciones dielectricas ε3(−→r‖ )y ε1(−→r‖ ), respectivamente. El problema radica en definir los modos guiados de la guıa de

onda homogenea del problema fısico original. Haciendo uso de las ecuaciones de Maxwell

a la guıa de onda homogenea representada por la Figura (2-3 b), las ecuaciones implicitas

transversoelectricas y transversomagneticas (ver Anexo [A.2]), estan dadas por

q(χ1 + χ3)cos(qd) + (χ1χ3 − q2)sin(qd) = 0 (2-38)

q

ε2(χ1

ε1+χ3

ε3)cos(qd) + (

χ1χ3

ε1ε3− q2

ε22)sin(qd) = 0 (2-39)

donde d es el espesor, los vectores de onda en el nucleo, substrato y recubrimiento se repre-

sentan por χ1 =√g2 − ε1 ω

2

c2, q =

√ε2ω2

c2− g2 y χ3 =

√g2 − ε3 ω

2

c2, respectivamente. Ahora

es necesario aproximar las funcion dielectrica del slab fotonico a una constante dielectrica

homogenea, para ello se considera el promedio de la constante dielectrica:

εi =1

Ω

∫Ω

εi(−→r‖ )d−→r‖ (i = 1, 2, 3) (2-40)

donde la integral se extiende sobre la celda unitaria de area Ω, y −→r‖ = (x, y) es el vector

de coordenadas en el plano. Al tener en cuenta la periodicidad del CF-2D, unicamente se

permiten los modos guiados con vector de onda −→g =−→k +

−→G , donde

−→G es el vector de la


red recıproca asociada a la periodicidad en el plano. Esto conduce a la expansion del campo

magnetico en el interior del CF como:

−→H (−→r ) =

∑G

∑α

c(−→k +−→G)−→H guiados−→k +−→G

(−→r ) (2-41)

donde las sumatorias se extienden sobre los modos guiados (α) y vectores de red recıprocos.

Con el fın de calcular los elementos matriciales dados por la ecuacion (2-37), el inverso de

las funciones dielectricas se expanden en un conjunto de ondas planas sobre los vectores de

red recıprocos,

1

ε(−→r‖ )=∑−→G

ηGei−→G ·−→r‖ (2-42)

con coeficientes de Fourier,

ηG =1

Ω

∫ε−1(−→r‖ )e−i

−→G ·−→r‖dr‖ (2-43)

Las perdidas de radiacion de los modos tambien pueden tratarse con el enfoque del MEMG

pero siguiendo la regla de oro de Fermi de la mecanica cuantica. Esas perdidas se representan

como la parte imaginaria de sus frecuencia ası:

−Im(ω2k

c2

)= π|Hguiados,rad|2ρ

(−→k ;

ω2k

c2

)(2-44)

donde ρ

(−→k ;

ω2k

c2

)es la densidad de estados fotonicos unidimensionales radiantes con vector

de onda fijo en el plano. La parte imaginaria de la ecuacion (2-44) se usa para calcular las

perdidas presentes en cualquier cavidad resonante mediante el factor de calidad Q ası:

Qk =ωk

2Im(ωk)(2-45)

Pilar fotonico circular

Con base del formalismo del MEMG descrito anteriormente para un slab fotonico, ahora

elaboramos la teorıa del MEMG para el calculo de la estructura de bandas en un pilar

fotonico unidimensional. La estructura de interes puede ser vista como una guıa de onda

multicapa, es decir, una guıa cuyo ındice de refraccion (constante dielectrica) varıa de capa a

capa a lo largo del eje de su eje de simetrıa. En el calculo de la estructura de bandas fotonica

el procedimiento a seguir en su orden sera: primero, la obtencion de los modos guiados en

una guıa infinita. Segundo, se construye el cristal fotonico unidimensional y se hace uso del

teorema de Bloch-Floquet para el calculo de la relacion de dispersion.

En la Figura (2-4) se muestra el problema a resolver, una guıa de onda de seccion transversal


circular con nucleo de constante dielectrica ε1 y radio R, el recubrimiento tiene constante

dielectrica ε2 y radio R′. Estamos interesados en los modos que se propagan a lo largo del eje

z, las expresiones generales del campo electromagnetico con frecuencia ω estan dadas por:−→E (−→r , t)−→H (−→r , t)

=

−→E (r, φ)−→H (r, φ)

ei(ωt−βz) (2-46)

donde β es la constante de propagacion en z. En coordenadas cilındricas la ecuacion de onda

se escribe:(∂2

∂r2+

1

r

∂

∂r+

1

r2

∂2

∂φ2+ (k2 − β2)

)Ez(r, φ)

Hz(r, φ)

= 0 (2-47)

Figura 2-4.: Guıa de onda dielectrica homogenea con nucleo de radio R.

La solucion de la ecuacion (2-47) es separable en r y φ, ası:Ez(r, φ)

Hz(r, φ)

= Ψ(r)eilφ (2-48)

donde l es entero positivo. Al substituir (2-48) en (2-47), obtenemos la ecuacion diferencial

para Ψ(r):

d2Ψ

dr2+

1

r

dΨ

dr+

(k2 − β2 − l2

r2

)Ψ(r) = 0 (2-49)

La ecuacion (2-49) se resuelve de manera general tanto en el nucleo como en el revestimiento

considerando los modos guiados en la estructura y evanescentes para r→∞. Las soluciones

se escriben:

Ez(r, φ, z, t) =

AJl(hr)e

i(ωt+lφ−βz) r ≤ R

CKl(qr)ei(ωt+lφ−βz) r > R

, Hz(r, φ, z, t) =

BJl(hr)e

i(ωt+lφ−βz) r ≤ R

DKl(qr)ei(ωt+lφ−βz) r > R

(2-50)


donde A, B, C y D son constantes complejas por determinar. Jl y Kl son las funciones de

Bessel de orden l de primera y segunda especie, respectivamente. Los vectores de onda en la

direccion radial internos y externos con k0 = ω/c estan representados por h =√ε1k2

0 − β2 y

q =√β2 − ε2k2

0. Para garantizar que los campos de los modos de propagacion en la guıa de

onda decrezcan exponencialmente en el revestimiento, se cumple k0√ε2 < β < k0

√ε1. Las

ecuaciones de Maxwell permiten deducir las componentes radial y azimutal de los campos a

partir de Ez y Hz, ası:

Componentes del campo electromagnetico en el nucleo (r ≤ R)

Er =i

h2

[β∂Ez∂r

+ωµ0

r

∂Hz

∂φ

]=iβ

h2

(AhJ ′l (hr) +

iωµ0l

βrBJl(hr)

)ei(ωt+lφ−βz) (2-51)

Eφ = − i

h2

[β

r

∂Ez∂φ− ωµ0

∂Hz

∂r

]= − iβ

h2

(il

rAJl(hr)−

ωµ0

βBhJ ′l (hr)

)ei(ωt+lφ−βz)

(2-52)

Hr = − i

h2

[β∂Hz

∂r− ωε1

r

∂Ez∂φ

]= − iβ

h2

(BhJ ′l (hr)−

iωε1l

βrAJl(hr)


Hφ = − i

h2

[β

r

∂Hz

∂φ+ ε1ω

∂Ez∂r

]= − iβ

h2

(il

rBJl(hr) +

ε1ω

βAhJ ′l (hr)

)ei(ωt+lφ−βz)

(2-54)

Componentes del campo electromagnetico en el recubrimiento (r > R)

Er =i

q2

[β∂Ez∂r

+ωµ0

r

∂Hz

∂φ

]=iβ

q2

(CqK ′l(qr) +

iωµ0l

βrDKl(qr)


Eφ =i

q2

[β

r

∂Ez∂φ− ωµ0

∂Hz

∂r

]=iβ

q2

(il

rCKl(qr)−

ωµ0

βDqK ′l(qr)


Hr =i

q2

[β∂Hz

∂r− ωε2

r

∂Ez∂φ

]=iβ

q2

(DqK ′l(qr)−

iωε2l

βrCKl(qr)


Hφ =i

q2

[β

r

∂Hz

∂φ+ ε2ω

∂Ez∂r

]=iβ

q2

(il

rDKl(qr) +

ε2ω

βCqK ′l(qr)


A continuacion debe imponerse el cumplimiento de la continuidad en la frontera nucleo-

revestimiento (r=R) de las componentes tangenciales de los campos electromagneticos dados

por las ecuaciones (2-50)-(2-58).

Continuidad de Ez:

AJl(hR) = CKl(qR) (2-59)


Continuidad de Hz:

BJl(hR) = DKl(qR) (2-60)

Continuidad de Eφ:

Aβl

h2RJl(hR) +

iBωµ0

hJ ′l (hR) = −Cβl

q2RKl(qR)− iDωµ0

qK ′l(qR) (2-61)

Continuidad de Hφ:

Bβl

h2RJl(hR)− iAωε1

hJ ′l (hR) = −Dβl

q2RKl(qR) +

iCωε2q

K ′l(qR) (2-62)

El sistema de ecuaciones (2-59)-(2-62) tiene solucion distinta de la trivial cuando el deter-

minante de la matriz es cero. En el Anexo [A.3] desarrollamos el determinante obteniendo

la ecuacion modal [58]:(J ′l (hR)

hRJl(hR)+

K ′l(qR)

qRKl(qR)

)(ε1J

′l (hR)

hRJl(hR)+

ε2K′l(qR)

qRKl(qR)

)= l2

(1

(hR)2+

1

(qR)2

)2(β

k0

)2

(2-63)

La ecuacion (2-63) es cuadratica en J ′l (hR)/hRJl(hR), para un valor fijo de l se determina

las soluciones discretas para β distinguiendo dos tipos de modos:

Modos HE:Jl−1(hR)

hRJl(hR)= −ε1 + ε2

2ε1

K ′l(qR)

qRKl(qR)+

(l

h2R2− σ

)(2-64)

Modos EH:Jl+1(hR)

hRJl(hR)=ε1 + ε2

2ε1

K ′l(qR)

qRKl(qR)+

(l

h2R2− σ

)(2-65)

donde

σ =

√(ε1 − ε2

2ε1

)2(K ′l(qR)

qRKl(qR)

)2

+l2

ε1

(β

k0

)2(1

h2R2+

1

q2R2

)2

(2-66)

A una determinada frecuencia ω y para cada valor de l, existen infinitos valores de β que

corresponde a un modo guiado para las soluciones de las ecuaciones (2-64) y (2-65). La idea

central es calcular la estructura de bandas fotonica del pilar fotonico infinito de radio R,

rodeado de aire, y compuesto por capas alternadas de medios con constantes dielectricas ε1y ε2, como se representa en la Figura (2-5). Con el MEMG se realiza una expansion de los

modos del CF en la base de los modos guiados de la guıa de onda efectiva con vector de onda−→β en direccion z. Los efectos de la modulacion dielectrica son introducidos en el nucleo de

la guıa de onda de la forma

ε(r, ϕ, z) =

ε(z) para r < R, 0 < ϕ ≤ 2π,−∞ < z <∞1 para r > R, 0 < ϕ ≤ 2π,−∞ < z <∞

(2-67)


Figura 2-5.: Pilar fotonico circular de radio R rodeado de aire y compuesto por materiales

intercalados de espesores d1 y d2.

La solucion de la ecuacion de onda (2-7) se reduce a resolver el problema de valores propios

(2-36). Los elementos matriciales Hµν determinados por la ecuacion (2-37), son calculados

teniendo en cuenta las soluciones del campo magnetico para las regiones del nucleo y reves-

timiento de la guıa de onda homogenea,

−→H (−→r ) =

∑µ

cµ−→H guiados

µ (−→r ) (2-68)

Los modos fotonicos en el pilar dependen del vector de onda−→k restringido a la primera zona

de Brillouin,−→β =

−→k +−→G .

Para el calculo de los elementos matriciales (ecuacion (2-37) ), en coordenadas cilındricas−→∇ ×

−→H se escribe:

−→∇ ×

−→H =

r

r

(∂Hz

∂ϕ− r∂Hϕ

∂z

)− ϕ

(∂Hz

∂r− ∂Hr

∂ϕ

)+k

r

(∂(rHϕ)

∂r− ∂Hr

∂ϕ

)(2-69)

Al substituir en (2-69) las expresiones del campo magnetico correspondiente al nucleo y

revestimiento, obtenemos

Para r ≤ R

−→∇ ×

−→H µ =

r

r(ilµHz + irβµHϕ)− ϕ

(BhJ ′lµ(hr)ei(ωt+lµϕ−βµz) + iβµHr

)+k

r

([BβµlµhJ ′lµ(hr)− iωε1

hAJ ′lµ(hr)− iωε1ArJ ′′lµ(hr)

]ei(ωt+lµϕ−βµz) − ilµHr

)≡ f1µ(r)ei(ωt+lµϕ−βµz) (2-70)


Para r > R

−→∇ ×

−→H ν =

r

r(ilνHz + irβνHϕ)− ϕ

(DqK ′lν (qr)e

i(ωt+lνϕ−βνz) + iβνHr

)+k

r

([−Dβνlν

qK ′lν (qr) +

iωε2qCK ′lν (qr) + iωε2CrK

′′lν (qr)

]ei(ωt+lνϕ−βνz) − ilνHr

)≡ f2ν(r)e

i(ωt+lνϕ−βνz) (2-71)

Reemplazamos en la ecuacion (2-37) las ecuaciones (2-70) y (2-71), teniendo en cuenta que

el dominio de integracion corresponde al interior y exterior del pilar fotonico,

Hµν =

∫ R

0

∫ 2π

0

∫ ∞−∞

1

ε(z)f ∗1µ(r)f1ν(r)e

i(lν−lµ)ϕei(βν−βµ)zrdrdϕdz +∫ ∞R

∫ 2π

0

∫ ∞−∞

f ∗2µ(r)f2ν(r)ei(lν−lµ)ϕei(βν−βµ)zrdrdϕdz (2-72)

Al efectuar las integrales en (2-72), los elementos matriciales se escriben

Hµν = 2πaδlµlν(Mµνε

−1µν +Nµνδβµ,βν

)(2-73)

donde a es el parametro de red, δlµlν =∫ 2π

0ei(lν−lµ)ϕdϕ, δβµ,βν =

1

a

∫∞−∞ e

i(βν−βµ)zdz, y ε−1µν =

1

a

∫∞−∞

1

ε(z)ei(βν−βµ)zdz. Las integrales radiales en (2-73) se representan por Mµν y Nµν , ası

Mµν =

∫ R

0

f ∗1µ(r)f1ν(r)rdr, y Nµν =

∫ ∞R

f ∗2µ(r)f2ν(r)rdr (2-74)

En la ecuacion (2-74), f1µ,ν y f2µ,ν son funciones dependientes de los perfiles del campo

electromagnetico en el nucleo y recubrimiento (ecuaciones (2-70) y (2-71)). Mediante la

ecuacion (2-73) se obtiene los elementos matriciales Hµν del pilar fotonico y se soluciona la

ecuacion de valores propios (2-37) para el caso particular que sera presentado en el proximo

capıtulo.

3. Resultados

En este capıtulo presentamos los resultados para el espectro de transmitancia y estructuras

de bandas fotonicas con los conceptos y metodos descritos en el capıtulo anterior. El con-

tenido esta organizado de la siguiente forma: en la primera seccion, se muestran los resultados

del espectro de transmitancia y estructura de bandas fotonica para CFs-1D donde emplea-

mos los metodos de matriz de transferencia y expansion en ondas planas. En la siguiente

seccion presentamos los resultados de la estructura de bandas fotonica en CFs-2D donde los

dispersores de seccion transversal circular y triangular, son dispuestos en dos tipos de redes:

cuadrada y hexagonal. Finalmente, se muestran los principales resultados de las estructura

de bandas en un slab fotonico y pilar fotonico circular, empleando el metodo de expansion

en modos guiados.

3.1. Cristales fotonicos unidimensionales

Las estructuras dielectricas multicapa unidimensionales han encontrado uso en muchos dispo-

sitivos opticos como, por ejemplo, recubrimientos antirreflectantes [59], reflectores de Bragg

[60, 61] y microcavidades [62, 63]. Haciendo uso del MMT calculamos el espectro de trans-

mitancia en la estructura descrita por la Figura (2-1 a), con periodo de bicapas N=10 y

elegimos espesores de un cuarto de longitud de onda, n1d1 = n2d2 = λ0/4 (para λ0=1.0 µm).

Consideramos que el CF-1D esta compuesto por capas alternadas de un material semicon-

ductor (GaAs) y aire, donde los ındices de refraccion estan representados por n1 =√εGaAs y

n2 =1.0, respectivamente. La sintonizacion del espectro de transmitancia es posible al tener

en cuenta la dependencia de las propiedades intrınsecas del semiconductor con parametros

externos. Para ello consideramos la dependencia con la presion hidrostatica (P) y temperatu-

ra (T) de la constante dielectrica del GaAs, ası

εGaAs(P, T ) = (ε0 + AeT/T0P )e−αP (3-1)

donde ε0=12.446, A = 0.21125, T0=240.7 K, y α=0.00173 kbar−1 [47, 31].

En la Figura (3-1 a) presentamos el espectro de transmitancia para valores fijos de presion

(0 kbar) y temperatura (4 K). Observamos una banda espectral en la que no existen estados

electromagneticos en la estructura. La luz incidente con longitudes de onda en el rango de

723.78 a 1574.03 nm correspondientes al gap fotonico es reflejada totalmente (transmitancia

nula). Al incrementar la temperatura de 4 a 200 K para P=0 kbar, la transmitancia no

3.1 Cristales fotonicos unidimensionales 27

exhibe cambios notorios como se muestra en la Figura (3-1 b). El espectro de transmitancia

cuando mantenemos constante la temperatura (4 K) e incrementamos la presion de 0 a 20

kbar, se reporta en la Figura (3-1 c). Los resultados revelan que el espectro transmitancia

exhibe un leve corrimiento a logitudes de onda corta a medida que aumenta la presion, como

se observa se observa en la Figura (3-1 d) donde elegimos los valores de presion 0, 10 y 20

kbar.

Figura 3-1.: a) Espectro de transmitancia para P=0 kbar y T=4 K. b) Espectro de trans-

mitancia en funcion de la temperatura para P=0 kbar. c) Espectro de trans-

mitancia en funcion de la presion hidrostatica para T=4 K. d) Espectros de

transmitancia para T=4 K y valores de presion: P=0 kbar (lınea negra), P=10

kbar (lınea azul) y P=20 kbar (lınea roja).

Para obtener una descripcion de la estructura de bandas fotonica emplearemos el MEOP,

donde consideramos que la estructura representada por la Figura (2-1 a) tiene una periodici-

dad infinita en direccion x, y homogeneidad lo largo de las otras dos direcciones yz. El CF-1D

28 3 Resultados

esta compuesto de materiales con constantes dielectricas ε1 y ε2. Las ecuaciones de valores

propios dadas por (2-24) y (2-26) se reducen al caso unidimensional al anular la dependencia

en ky. Para un vector de onda completamente paralelo al eje x, las polarizaciones TE y

TM se reducen al mismo caso. Adicionalmente, los coeficientes de Fourier del inverso de la

funcion dielectrica dados por la ecuacion (2-23), se escriben

ηGx =1

a

∫ a/2

−a/2

1

ε(x)e−Gxxidx (3-2)

donde la componente unidimensional del vector de red recıproco es Gx =2πm

acon m un

numero entero. En la integral (3-2), ε(x) toma el valor de ε1 o ε2 dependiendo del intervalo

de integracion. La Figura (3-2) se muestra la celda unitaria formada por los materiales ε1y ε2 con espesores d1 y d2, respectivamente. La longitud de la celda unitaria del CF-1D es

a = d1 + d2.

Figura 3-2.: Celda unitaria constituida por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y

ε2.

En el calculo de la estructura de bandas fotonicas consideramos que el CF-1D esta compuesto

por materiales alternados de GaAs (ε1) y aire (ε2) con espesores de 0.5a. La constante

dielectrica del GaAs esta dada por la ecuacion (3-1). En la Figura (3-3) se muestra la

estructura de bandas fotonica al incrementar la temperatura de 4 a 100 K a presion de 0

kbar (Panel (a)), y cuando la presion se incrementa en 15 kbar a temperatura de 4 K (Panel

(b)). El efecto sobre la estructura de bandas al incrementar la temperatura da como resultado

un corrimiento a menores frecuencias, esta dependencia es despreciable ya que ambas curvas

practicamente coinciden. Sin embargo, un efecto contrario se observa en el Panel (b) donde

el corrimiento de la estructura de bandas es mas notorio a frecuencias altas cuando la presion

se incrementa para una temperatura fija. Los resultados obtenidos revelan claramente que

respuesta optica se debe principalmente a los incrementos de la presion hidrostatica en lugar

de la temperatura.


Figura 3-3.: Comparacion de la estructura de bandas fotonica para a) T=100 K (lınea azul)

y b) P=15 kbar (lınea roja). La estructura de bandas fotonicas para P=0 kbar

y T=4 K se representa con la lınea negra

Cuando la periodicidad del CF-1D se rompe por la introduccion de un defecto, un modo

defectivo se localiza en el interior del gap fotonico el cual se caracteriza por una maxima

transmitancia. En la Figura (3-4) se representa el CF-1D defectivo donde se incrementa el

espesor de una de las capas. En este tipo de estructuras para devolverle la periodicidad al

cristal es necesario utilizar la tecnica de la supercelda donde se considera una celda unitaria

mucho mas grande que la del cristal regular pero con el defecto ubicado en el centro [64]. Los

coeficientes de expansion del inverso de la funcion dielectrica para el cristal defectivo estan

dados por

ηGx =1

Ls

∫ Ls/2

−Ls/2

1

ε(x)e−

2πmxLs

idx (3-3)

donde Ls es la longitud total de la supercelda.

La estructura de bandas fotonica del CF-1D defectivo donde se incrementa el espesor de

una capa de GaAs en LD =1.5a, es presentada en la Figura (3-5 a). Los resultados fueron

obtenidos para valores fijos de temperatura (4 K) y presion (0 kbar). En la estructura de

bandas aparecen nuevas bandas debido a que la zona de Brillouin se reduce y se produce

un doblamiento de estas. Encontramos un modo defectivo con ωa/2πc ' 0.204 en el interior

30 3 Resultados

Figura 3-4.: Celda unitaria compuesta por dos materiales de constantes dielectricas ε1 y ε2.

del gap fotonico ubicado en la region de frecuencias 0.153≤ ωa/2πc ≤0.259. Este modo de-

fectivo se localiza alrededor del defecto como se muestra en la Figura (3-5 b), donde hemos

superpuesto la intensidad del modo con la funcion dielectrica de la supercelda.

Figura 3-5.: a) Estructura de bandas fotonica en un CF-1D defectivo. b) Intensidad del

modo defectivo. Los valores usados son para P=0 kbar y T=4 K. La lınea en

color naranja representa el perfil de la funcion dielectrica del CF-1D defectivo.

Tambien exploramos los efectos de la temperatura y presion cuando uno de los materiales

constituyentes del CF-1D es un superconductor. Para tal fın consideramos el modelo del

CF-1D propuesto en [65], en el cual la estructura esta compuesta por capas alternadas del

superconductor HgBa2Ca2Cu3O8+δ que usualmente es abreviado Hg-1223 y el semiconduc-


tor GaAs, con constantes dielectricas ε1 y ε2, respectivamente. La respuesta electromagnetica

del superconductor se describe adecuadamente por el modelo de Gorter-Casimir en el marco

de la teorıa de London [66]. Para temperaturas muy pequenas comparadas con la tempera-

tura crıtica Tc, la contribucion de los electrones en el estado normal a la constante dielectrica

es despreciables, por lo tanto, a bajas temperaturas la constante dielectrica se escribe

ε1(ω) = 1− c2

ω2λ2L

(3-4)

donde λL es la profundidad de penetracion del campo magnetico la cual depende con la

temperatura, y para el superconductor Hg-1223 viene dada por:

λL(T ) =λ0(

1−(T

Tc

)3)1/3

(3-5)

con λ0 la profundidad de penetracion cuyo valor es λ0=6.1 µm [67, 68]. Para incluir los

efectos de la presion en Hg-1223, la temperatura Tc cambia con la presion de la siguiente

forma [69]:

Tc = q1 + q2P + q3P2 (3-6)

donde q1=134, q2=2.009 y q3=-4.194×10−2. La constante dielectrica del GaAs esta dada por

la ecuacion (3-1), y asumiremos que el espesor de las capas depende con la presion ası

d(P ) = d0 [1− (S11 + 2S12)P ] (3-7)

donde d0 es el espesor inicial a presion cero, las constantes elasticas del GaAs son S11=1.16×10−2

GPa−1 y S12=-3.7×10−3 GPa−1 [47, 70].

Haciendo uso del MMT calculamos el espectro de transmitancia donde el numero de perio-

dos en la estructura descrita por la Figura (2-1 a) es N=10. Los espesores de las capas de

los materiales constituyentes del CF-1D son iguales d1 = d2=5 µm. En la Figura (3-6) en

dos paneles se muestra los efectos de la temperatura y presion aplicada sobre el espectro

de transmitancia. En el Panel (a) se observa que los gaps fotonicos no presentan cambios

notables al incrementar la temperatura desde 4.2 a 100 K manteniendo fija la presion (0

GPa). Sin embargo, cambios notorios son observados en el espectro de transmitancia cuando

la presion se incrementa de 0 a 20 GPa para un valor fijo de temperatura (4.2 K), como se

muestra en el Panel (b). A medida que la presion se incrementa los gaps fotonicos exhiben

un corrimiento hacia regiones de frecuencias mas altas. Esto indica que la sintonizacion de

los gaps fotonicos al igual que los resultados reportados en las Figuras (3-1 d) y (3-3 b) son

debidos principalmente a los incrementos en la presion hidrostatica.

32 3 Resultados

Figura 3-6.: Espectros de transmitancia en funcion de a) la temperatura para P=0 GPa,

y b) presion para T=4.2 K. Los valores usados en las simulaciones numericas

son N= 10 bicapas y d1 = d2=5 µm.

3.2. Cristales fotonicos bidimensionales

Como los CFs son normalmente estructuras artificiales, su forma esta limitada por los me-

todos de fabricacion disponibles en la escala espacial requerida. Comunmente las tecnicas

de fabricacion estructuras dielectricas se basan en el crecimiento epitaxial y litografıa de

semiconductores. La mayorıa de los CFs-2D reportados en la literatura consisten en cilindros

circulares de aire en un substrato semiconductor [71, 72, 73]. Tambien se han realizado

diferente estudios con dispersores de geometrıa diferente a la circular [74, 75], cuyo objetivo es

la obtencion y maximizacion de los gaps fotonicos. En esta seccion el MEOP es utilizado para

calcular la estructura de bandas fotonica en CFs-2D con dispersores de seccion transversal

circular y triangular arreglados en dos tipos de redes de Bravais: cuadrada y hexagonal.

3.2.1. Red cuadrada

La Figura (3-7 a) muestra la estructura de bandas fotonica para las polarizaciones TE y

TM, en un CF-2D compuesto por cilindros infinitos de seccion transversal circular de radio

R=0.3a arreglados en una red de Bravais cuadrada. Los cilindros de GaAs con constante

dielectrica dada por la ecuacion (3-1) estan incrustados en aire. Los puntos de simetrıa estan

representados por Γ : (akx = 0, aky = 0), X : (akx = π, aky = 0) y M : (akx = π, aky = π).

3.2 Cristales fotonicos bidimensionales 33

Para valores dados de presion (0 kbar) y temperatura (4 K), se evidencia la aparicion de

regiones de frecuencias prohibidas solamente en la polarizacion TM.

Figura 3-7.: Estructura de bandas fotonica en un CF-2D de red cuadrada con cilindros de

GaAs incrustados en aire. a) Polarizaciones TE y TM. b) Polarizacion TM

para P=0 kbar (lınea negra) y P=40 kbar (lınea roja). Las regiones en color

gris representa los gaps fotonicos para P=0 kbar y T=4 K.

Teniendo en cuenta los resultados de la seccion anterior donde los efectos predominantes son

debidos principalmente a la presion hidrostatica, la Figura (3-7 b) muestra la estructura

de bandas fotonica para polarizacion TM para una temperatura de 4K, y presiones de 0 y

40 kbar. Encontramos que la estructura de bandas exhibe un corrimiento hacia regiones de

frecuencias mas altas, acompanado de un incremento del ancho del primer gap fotonico el

cual para P=0 kbar se localiza en 0.223≤ ωa/2πc ≤0.288, mientras que en P=40 kbar se

localiza en 0.257≤ ωa/2πc ≤0.355. Adicionalmente, observamos que el aumento en la presion

hidrostatica origina una disminucion del ancho del segundo gap fotonico.

Las cavidades en CFs-2D se forman alterando las propiedades de periodicidad de la red

fotonica. Si el defecto originado tiene propiedades apropiadas pueden formarse modos lo-

calizados con frecuencias dentro del gap fotonico. Una vacante, como lo es la remocion de

un cilindro de GaAs en la red del CF-2D se muestra en la Figura (3-8 a). Debido a las

condiciones de periodicidad utilizadas por el MEOP se debe emplear la tecnica de la super-

celda [64] de tamano 5a× 5a. Los resultados obtenidos revelan en el interior del primer gap

de un modo defectivo para la estructura de bandas fotonicas de polarizacion TM, como se

34 3 Resultados

muestra en la Figura (3-8 b). La frecuencia del modo defectivo puede ajustarse cambiando

las propiedades de la constante dielectrica del GaAs. Al mantener fija la temperatura en 4

K, los modos defectivos estan localizados en ωdef=0.28 y ωdef=0.35 para presiones de 0 y 40

kbar, respectivamente. La Figura (3-8 c) presenta el perfil de intensidad de campo electrico

en el punto de simetria X para 0 kbar y 4 K, donde se evidencia que el modo se encuentra

localizado en la zona defectiva y decae fuera del defecto.

Figura 3-8.: a) Perfil de la funcion dielectrica defectiva para P=0 kbar y T=4 K. b) Estruc-

tura de banda fotonica TM para R=0.3a, T=4 K y presiones de 0 kbar (lınea

negra) y 40 kbar (lınea roja). c) Perfil de intensidad del modo confinado para

P=0 kbar y T=4 K.


3.2.2. Red hexagonal

Otras de las estructuras ampliamente investigadas en el campo de los CFs-2D que pueden ser

reproducidas por el hombre es la red hexagonal. La Figura (3-9 a) muestra la estructuras de

bandas fotonica para las polarizaciones TE y TM, donde consideramos huecos cilındricos de

aire de seccion transversal circular incrustados en GaAs y arreglados en una red hexagonal.

Los puntos de simetrıa estan representados por Γ : (akx = 0, aky = 0), M : (akx = 0, aky =

2π/√

3) y K : (akx = 2π/3, aky = 2π/√

3). Los parametros escogidos fueron: radio de los

huecos R=0.48a, valores de presion y temperatura de 0 kbar y 4 K, respectivamente.

Figura 3-9.: Estructura de bandas fotonica en la red hexagonal de huecos cilındricos de aire

incrustados en GaAs para T=4 K y R=0.48a. a) Polarizaciones TE (lınea azul)

y TM (lınea negra) para P=0 kbar. Estructura de bandas fotonica b) TE y c)

TM, para P=30 kbar (lınea verde) y P=70 kbar (lınea roja).

Los resultados obtenidos muestran que en ambas polarizaciones existe un gap fotonico en las

regiones de frecuencias 0.364≤ ωa/2πc ≤0.527 (polarizacion TE) y 0.435≤ ωa/2πc ≤0.523

36 3 Resultados

(polarizacion TM). En las Figuras (3-9 b y c) observamos el mismo comportamiento de la

estructura de bandas obtenidas en la red cuadrada. A medida que la presion se incrementa

se favorece el cambio a energıas mas altas de los intervalos de frecuencias permitidas y

prohibidas en ambas polarizaciones.

Los avances de las tecnicas experimentales han logrado la formacion de dispersores en los CFs

de geometrıa diferente a la circular. La tecnica de anodizacion logra la fabricacion de CFs-2D

compuestos por cilindros de seccion transversal triangular [76, 77]. Siguiendo el formalismo

del MEOP calculamos la estructura de bandas fotonica para una red hexagonal de agujeros

de seccion transversal en forma de triangulos equilateros. La Figura (3-10) representa la

red hexagonal de los triangulos de aire de lado L incrustados en un material semiconductor

de GaAs. A su vez tambien se muestra los puntos de alta simetrıa y la zona irreducible de

Brillouin delimitada por dichos puntos.

.

Figura 3-10.: Representacion de la red hexagonal de huecos de aire de seccion transversal

triangular incrustados en GaAs con funcion dielectrica εGaAs(P, T ). Los pun-

tos de alta simetrıa Γ,M yK delimitan la zona irreducible de Brillouin (region

color amarillo).

Siguiendo el procedimiento de la subseccion 2.4.2, la transformada de Fourier ηG en la celda

unitaria descrita en la Figura (3-10) esta dada por

ηG =

1

εGaAs(P, T )+L2

2a2

(1− 1

εGaAs(P, T )

)−→G = 0

L2

2a2

(1− 1

εGaAs(P, T )

)[I(Gx, Gy) + I(−Gx, Gy)]

−→G 6= 0

(3-8)


donde a es el parametro de red, la constante dielectrica εGaAs(P, T ) viene dada por la ecuacion

(3-1), y la funcion I(Gx, Gy) es

I(Gx, Gy) =2i√

3GyLe

(GyL

2√3−GxL

4

) [ei√3LGy4 sinc

(GxL−

√3GyL

4

)− sinc

(GxL

4

)](3-9)

La red fotonica hexagonal de huecos triangulares de lado L=0.5a, incrustados en GaAs con

constante dielectrica para 0 kbar y 4 K, se muestra en la Figura (3-11 a). Las estructuras de

Figura 3-11.: a) Perfil de la funcion dielectrica en la red hexagonal de triangulos equilateros

con L=0.5a. b) Estructura de bandas fotonica para polarizaciones TE (lınea

azul) y TM (lınea negra). c) Mapa de gaps en funcion de la longitud de los

triangulos. Los valores usados son P=0 kbar y T=4 K.

bandas fotonica para ambas polarizaciones es presentada en la Figura (3-11 b), donde sola-

mente la polarizacion TE tiene gap fotonico en la region comprendida 0.191≤ ωa/2π ≤0.201.

Al incrementar la longitud de los triangulos se favorece una maximizacion del gap fotonico

38 3 Resultados

acompanado por la aparicion de nuevas bandas prohibidas en ambas polarizaciones, como

se muestra en la Figura (3-11 c). Al remover un agujero triangular en la red del CF-2D

(ver Figura (3-12 a), para una supercelda de tamano 5a × 5a se encuentra en el interior

del gap fotonico de un modo defectivo. La sintonizacion de la banda defectiva a frecuencias

mas altas se logra por dos mecanismos: aumentando el tamano de los triangulos como se

muestra en el mapa de gaps para polarizacion TE (Figura (3-12 b)), o incrementando la

presion hidrostatica (Figura (3-12 c)). Para presiones de 0, 30 y 70 kbar, el modo defectivo

se sintoniza a frecuencias de ωdef=0.235, ωdef=0.24, y ωdef=0.25, respectivamente.

Figura 3-12.: a) Perfil de la funcion dielectrica con la remocion de un triangulo de L=0.8a,

P=0 kbar y T=4 K. b) Mapa de gaps para polarizacion TE del CF-2D defec-

tivo. c) Estructura de bandas fotonica TE para presiones de 0 (lınea negra),

30 (lınea verde) y 70 kbar (lınea roja). Las lıneas horizontales hacen referencia

a la posicion de los modos defectivos.

3.3 Slab de cristal fotonico 39

3.3. Slab de cristal fotonico

Una de las desventajas de los CFs-2D es que el modelo se extiende infinitamente en direccion

z. Para hacer las cosas mas realistas, ahora se considera el caso de una estructura fotonica

bidimensional de altura finita en direccion z. En los slabs de CF el confinamiento vertical

de la luz es proporcionado por reflexion total interna, mientras que el confinamiento lateral

se basa en las propiedades de periodicidad del CF-2D. Entre los slabs fotonicos tenemos

los suspendidos en aire [78, 79], y los fabricados en una heteroestructuras que generalmente

consiste en materiales semiconductores III-V [55, 80]. La guıa de onda plana esta consti-

tuida comunmente por un slab delgado de material de alto ındice de refraccion (nucleo),

incrustada entre medios semiinfinitos de bajos ındices de refraccion (recubrimiento). Cuan-

do el espesor de la region central es comparable con la longitud de onda de la radiacion

electromagnetica, se observa efectos interesantes en la propagacion de la luz determinados

por el confinamiento vertical. En esta seccion presentamos los resultados obtenidos a traves

del MEMG de las estructuras de bandas fotonicas en slabs fotonicos con nucleo de GaAs de

constante dielectrica dada por la ecuacion (3-1), y rodeado de aire ε1 = ε3 =1.0 (ver Figura

(2-3 b)). La periodicidad del CF-2D es en el plano xy con dispersores dispuestos en redes

cuadrada y hexagonal.

3.3.1. Estructura de bandas fotonica en slabs fotonicos de redes

cuadrada y hexagonal

La Figura (3-13 a) representa el slab fotonico simetrico de espesor d=0.5a y compuesto

por huecos de aire de seccion transversal circular de radio R=0.3a dispuestos en una red

cuadrada. La constante dielectrica del slab es calculada para valores dados de temperatura

(4 K) y presion (0 kbar). La estructura de bandas es presentada en la Figura (3-12 b) donde

se distinguen dos regiones en el cono de luz: los modos guiados ubicados dentro del cono de

luz, y aquellos estados continuos o modos de radiacion por fuera del cono de luz. Los modos

guiados son evanescentes en el recubrimiento y oscilantes dentro del nucleo del slab. Los

modos por encima del cono de luz son oscilantes en la region del recubrimiento. Debido a la

presencia de un plano de simetrıa horizontal, los modos guiados se clasifican en TE-like con el

campo electrico paralelo al slab y TM-like con el campo magnetico paralelo al slab. Podemos

observar la formacion de un intervalo de frecuencias prohibidas (0.273≤ ωa/2πc ≤0.281) para

los modos TE-like en el que no existen modos guiados, dando lugar a los mismos fenomenos

que ocurren en CFs-2D como la capacidad de confinar la luz en el plano para guıas de ondas

o resonadores [81, 82].

Eligiendo los mismos parametros del slab fotonico de red cuadrada, consideramos ahora el

caso del slab de GaAs compuesto por huecos de aire de seccion transversal circular dispuestos

en una red hexagonal, como se muestra en el Panel (a) de la Figura (3-14). Al igual que en el

caso anterior los modos guiados se encuentran en el interior del cono de luz con la diferencia

40 3 Resultados

Figura 3-13.: a) Slab fotonico compuesto por huecos de aire dispuestos en una red cuadrada.

b) Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like (lınea negra) y TM-

like (lınea roja). La region en color amarillo representa el gap fotonico para

modos TE-like.

que el ancho del gap fotonico para los modos TE-like es mayor, y se encuentra ubicado en

la region de frecuencias 0.259≤ ωa/2πc ≤0.339.

Figura 3-14.: a) Slab fotonico con un arreglo de huecos de aire dispuestos en una red he-

xagonal inmersos en GaAs. b) Estructura de bandas fotonica para los modos

TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). La region en color amarillo re-

presenta el gap fotonico para modos TE-like.

En la Figura (3-15) en dos paneles se muestra el corrimiento de la estructura de bandas


fotonica debido a la presion hidrostatica en las redes cuadrada (Panel (a)) y hexagonal

(Panel (b)). Al igual que en el caso de los CFs-2D, cuando la presion se incrementa se logra

sintonizar la estructura de bandas a frecuencias mas altas. Para una presion de 70 kbar

el gap fotonico para las redes cuadrada y hexagonal se localiza en la region de frecuencias

0.29≤ ωa/2πc ≤0.296 y 0.274≤ ωa/2πc ≤0.355, respectivamente.

Figura 3-15.: Estructura de bandas fotonica para los modos TE-like en slabs fotonicos de

redes: a) Red cuadrada y b) Red hexagonal. La region en color gris representa

el gap fotonico para P=70 kbar (lınea roja).

A continuacion, examinaremos la estructura de bandas fotonica en slabs formados por huecos

de aire de seccion transversal triangular dispuestos en una red hexagonal (Figura (3-16 a)).

El espesor del slab y longitud de los triangulos son 0.5a y L=0.8a, respectivamente. Para una

temperatura de 4 K y presion de 0 kbar, la estructura de bandas se presenta en la Figura (3-

16 b). Observamos la existencia de un gap fotonico para los modos TE-like, mientras que los

modos TM-like exhiben bandas prohibidas para energıas mas altas. Con el fın de favorecer

una maximizacion del gap fotonico, en la Figura (3-16 c) se muestra la estructura de bandas

para los modos TE-like cuando consideramos una rotacion de los dispersores en θ = 20 y 30.

El ancho de la banda prohibida aumenta con la rotacion de los triangulos, localizandose en

0.26≤ ωa/2πc ≤0.33 y 0.26≤ ωa/2πc ≤0.34 para rotaciones de 20 y 30, respectivamente.

El corrimiento a frecuencias mas altas del gap fotonico se logra con el incremento de la

presion hidrostatica, donde para P=70 kbar el rango de frecuencias prohibidas se encuentra

en 0.28≤ ωa/2πc ≤0.33, como se muestra en la Figura (3-16 d).

42 3 Resultados

Figura 3-16.: a) Slab fotonico con un arreglo de huecos triangulares de aire dispuestos en

una red hexagonal inmersos en un slab de GaAs. b) Estructura de bandas

fotonica para los modos TE-like (lınea negra) y TM-like (lınea roja). c) Es-

tructura de bandas fotonica para los modos TE-like para diferentes angulos

de rotacion θ = 0, 20 y 30. d) Estructura de bandas fotonica para los modos

TE-like para presiones de 0, 30 y 70 kbar.

3.3.2. Cavidades en slabs fotonicos

Controlar la propagacion de la luz en estructuras dielectricas significa prohibir/permitir la

propagacion dentro de un rango de frecuencias seleccionado. El introducir modos defectivos

en el interior del gap fotonico se logra al formar una cavidad cuando se elimina, agrega

o cambia la posicion de uno o mas dispersores en la red del CF. La cavidad formada al

eliminar uno o tres orificios de aire se denomina H1 y L3, respectivamente. Este tipo de

cavidades encuentran aplicaciones en atrapamiento optico [83], y constituyen un componente


prometedor para biosensores opticos [84, 85]. En la Figura (3-17 a) se representa la vista

superior del slab fotonico con la remocion de un hueco en la red hexagonal. Los parametros

utilizados en el slab de CF para el espesor, radio de los huecos y temperatura son: 0.5a,

R=0.3a y T=4 K, respectivamente. La estructura de bandas fotonica para modos TE-like se

muestra en la Figura (3-17 b) para presiones de 0 y 70 kbar. En el interior del gap fotonico

el modo defectivo se localiza en ωa/2πc =0.292 (para 0 kbar) y 0.309 (para 70 kbar). Entre

las versatilidades de los CFs es el confinamiento de la luz debido a los defectos introducidos

en su periodicidad. La energıa almacenada en la cavidad esta determinada por el factor de

calidad (Q), siendo un desafio su calculo por las diferencias en las muestras experimentales y

las estructuras teoricas ideales. En la formulacion del MEMG para el calculo de las estructura

de bandas fotonicas reportadas en la seccion anterior, no hemos tenido en cuenta los modos

radiativos fuera del cono de luz. Exactamente este acoplamiento es el que conduce a las

perdidas en la cavidad dada por la parte imaginaria de las frecuencias (ecuacion (2-44)).

Encontramos que al incrementar la presion hidrostatica existe una disminucion del factor Q

de los modos defectivos: 399.17 (para 0 kbar) y 215.548 (para 70 kbar).

Figura 3-17.: a) Vista superior de la red hexagonal del slab fotonico defectivo. b) Estructura

de bandas fotonica para los modos TE-like para presiones de 0 kbar (lınea

color negro) y 70 kbar (lınea color rojo). Las lıneas horizontales representan

la posicion de los modos defectivos para cada presion.

Se ha demostrado que pequenos ajustes en el plano de la geometrıa de las cavidades en CFs-

2D, pueden afectar significativamente las perdidas de energıa fuera del plano permitiendo la

obtencion de factores Q considerablemente mas altos [86, 87, 88]. Este resultado es presentado

a continuacion para un slab fotonico con una cavidad L3, y distribucion hexagonal de huecos

de aire de radio 0.3a y espesor d=0.5a, como se muestra en la Figura (3-18 a). La cavidad

L3 se produce por la remocion de tres huecos en la red, donde consideramos un corrimiento

44 3 Resultados

lateral (s) de los huecos en los extremos horizontales del defecto. La estructura de bandas

Figura 3-18.: a) Vista superior del slab fotonico para una cavidad L3, donde s representa

el corrimiento lateral de los huecos de aire. b) Estructura de bandas fotonica

TE-like para presiones de 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70

kbar (lınea roja). Las lıneas horizontales representan los modos defectivos

para cada presion. c) Comportamiento del factor de calidad en funcion del

corrimiento lateral de los huecos para P=0 kbar y T=4 K. d) Comportamiento

del factor de calidad en funcion del corrimiento lateral de los huecos para tres

valores de presion: 0 kbar (lınea negra), 30 kbar (lınea azul) y 70 kbar (lınea

roja).

fotonica TE-like dada por la Figura (3-18 b), muestra en el interior del gap la posicion del

modo fundamental confinado en la cavidad con frecuencias (ωa/2πc = w0): w0=0.267, 0.273

y 0.282, para presiones de 0, 30 y 70 kbar, respectivamente. El comportamiento del factor

Q del modo fundamental en funcion del corrimiento lateral de los huecos, es presentado

en la Figura (3-18 c). El factor Q alcanza un valor maximo '13.57×104 en s=0.21a, con

3.4 Pilar fotonico circular 45

la intensidad de campo electromagnetico concentrado en el centro de la cavidad como se

observa en el recuadro de la figura. Sin embargo, para s=0.21a se observa una disminucion

del confinamiento debido al decrecimiento del factor Q con el incremento de la presion como

se muestra en la Figura (3-18 d). Para 30 y 70 kbar los valores de Q son'12.89×104 y

12.13×104 respectivamente.

3.4. Pilar fotonico circular

La importancia de los pilares fotonicos esta vinculado a su empleo en la fabricacion de

dispositivos de alto interes comercial como lo son los diodos emisores de luz [89], sensores de

gas [90], entre otros. El principal esfuerzo de las tecnicas experimentales esta encaminado en

la fabricacion de pilares con altos factores de calidad, con muestras con menor numero de

imperfecciones [91], y geometrıas de diferentes diametros [92] y excentricidades (en el caso

de pilares elıpticos) [93]. En esta seccion presentamos los resultados preliminares obtenidos

referente a la estructura de bandas fotonica para el pilar fotonico descrito en la Figura (2-

5), empleando el modelo teorico elaborado para el MEMG. En el calculo de los elementos

Figura 3-19.: Celda unitaria del pilar fotonico circular de parametro de red a.

matriciales dados por (2-73) es necesario determinar ε−1µν ; la integracion debe efectuarse en

la celda unitaria descrita por la Figura (3-19), ası:

ε−1µν =

1

a

(∫ −d1/2−a/2

ε−12 eiβµ,νzdz +

∫ d1/2

−d1/2ε−1

1 eiβµ,νzdz +

∫ a/2

d1/2

ε−12 eiβµ,νzdz

)(3-10)

donde desigamos por βµ,ν = βµ − βν . Al efectuar la integracion en (3-10) obtenemos:

ε−1µν =

1

ε2sinc

(βµ,νa

2

)+d1

a

(1

ε1− 1

ε2

)sinc

(βµ,νd1

2

)(3-11)

siendo sinc(x) = sin(x)/x. En lo que sigue, consideramos que el pilar fotonico esta compues-

to por capas alternadas de GaAs (ε1(P, T )) y aire (ε2). Asumiremos que los espesores de las

capas son tipo λ/4, es decir, d1 =a√ε2√

ε1 +√ε2

y d2 =a√ε1√

ε1 +√ε2

con a = d1 +d2. En principio

las ecuaciones modales (2-64) y (2-65), proporcionan la base de modos de la guıa circular

46 3 Resultados

infinita homogenea en la cual es conocido que existen modos hıbridos etiquetados por HElmy EHlm. Para el numero angular principal (l) y orden del modo (m), un β arroja un conjunto

discreto y finito de energıas w. La base de modos de la guıa de onda homogenea se emplea

para resolver la ecuacion de valores propios (2-36). Para l = 0 y m = 1, los modos fotonicos

se clasifican en HE01 y EH01, los cuales corresponden a los modos transversoelectrico (TE)

y transversomagnetico (TM), respectivamente. En la Figura (3-20 a) se muestra la relacion

de dispersion para los modos HE01 y EH01 manteniendo fija la temperatura (4 K). Los

valores elegidos para el radio del pilar y la presion aplicada son R=5a y P=0 kbar, respecti-

vamente. Podemos observar que el gap se localizan en 0.086≤ ωa/2πc ≤0.191 (modo HE01)

y 0.094≤ ωa/2πc ≤0.189 (modo EH01). Los modos radiativos son aquellos que se encuentran

ubicados por encima de la lınea de luz. La frecuencia de corte para los modos HE01 y EH01

es ωa/2πc=0.021 y 0.032, respectivamente. La relacion de dispersion del modo HE01 para

presiones de 0, 30 y 70 kbar, se muestra en la Figura (3-20 b). El gap fotonico se ubica en

los intervalos de frecuencias de 0.088≤ ωa/2πc ≤0.191 (para 30 kbar) y 0.09≤ ωa/2πc ≤0.19

(para 70 kbar). Al incrementar la presion encontramos un corrimiento a frecuencias altas

de la banda dielectrica (ver recuadro inferior) mientras que la banda aerea exhibe un leve

corrimiento a frecuencias bajas (ver recuadro superior), originando ası una disminucion del

ancho del gap.

Figura 3-20.: Estructura de bandas fotonica para el pilar fotonico unidimensional. Los mo-

dos a) Modos HE01 (lınea negra) y EH01 (lınea roja). b) Modo HE01 para

presiones de P=0 kbar (lınea azul), P=30kbar (lınea azul) y P=70kbar (lınea

naranja).

La estructura de bandas para los modos fotonicos de orden m = 1 y numero angular prin-

3.4 Pilar fotonico circular 47

cipal l = 0 y 1, son presentados en la Figura (3-21 a). La estructura homogenea efectiva

soporta un conjunto de bandas guiadas, ası como de un continuo de modos que son radia-

tivos en su revestimiento. El modo fundamental del pilar de mas baja energıa es el modo

HE11. Al igual que en la estructura de bandas del modo HE01, cuando incrementamos la

presion hidrostatica las bandas fotonica del modo HE11 exhiben igual corrimiento. La region

de frecuencias prohibidas se localiza para P=0 kbar en 0.088≤ ωa/2πc ≤0.188, mientras que

al incrementar la presion en 70 kbar el gap se localiza en 0.091≤ ωa/2πc ≤0.187. En los

recuadros de la Figura (3-21 b) se muestra el corrimiento a frecuencias mas altas y bajas de

las bandas dielectrica y aerea, respectivamente.

Figura 3-21.: a) Estructura de bandas fotonicas para modos con m=0, l = 0 y 1. b) Es-

tructura de bandas fotonicas para modos HE11 a presiones de 0 (lınea verde)

y 70 kbar (lınea naranja). Los valores usados en las simulaciones son R=5a

y T= 4K.

4. Conclusiones y Perspectivas

Culminamos este documento mencionando algunas de las conclusiones acerca de esta tesis y

tambien algunas perspectivas de futuros trabajos.

4.1. Conclusiones

En esta tesis la modulacion de las propiedades opticas en cristales fotonicos se lo-

gra al considerar la dependencia de la constante dielectrica del GaAs con la presion

hidrostatica y temperatura aplicada. Los metodos de matriz de transferencia y ex-

pansion en ondas planas, se introducen como tecnicas estandares para el calculo de

los espectros de transmitancia y estructura de bandas en cristales fotonicos 1D y 2D,

respectivamente. Los resultados obtenidos revelan que la respuesta optica de estas es-

tructuras con la temperatura es despreciable; los cambios son debidos principalmente

a la presion que origina un corrimiento a frecuencias mas altas del espectro de trans-

mitancia y estructura de bandas.

En cristales fotonicos 2D con dispersores de forma triangular, el incremento en la

longitud favorece la maximizacion del gap fotonico para las polarizaciones TE y TM.

Al perturbar la periodicidad del cristal se producen modos que se confinan con energıas

en el interior del gap fotonico, exhibiendo un corrimiento a altas frecuencias al aumentar

la longitud de los triangulos.

Los slabs fotonicos representan una compensacion entre el control bidimensional y

tridimensional de la luz. El mecanismo de confinamiento vertical de la luz es por

reflexion total interna, mientras que el confinamiento en el plano depende depende

de la periodicidad del cristal fotonico. Empleando el metodo de expansion en modos

guiados se determina los estados guiados ubicados en el interior del cono de luz. Al

igual que en las estructuras fotonicas ideales bidimensionales, al incrementar la presion

hidrostatica se encuentra un corrimiento de la relacion de dispersion hacia regiones de

frecuencias mas altas.

Las perdidas inherentes en slabs fotonicos con cavidades L3 son calculadas por el factor

de calidad el cual decrece con el incremento de la presion hidrostatica.

Se desarrolla la teorıa del metodo de expansion en modos guiados para el calculo de la

estructura de bandas fotonicas en pilares fotonicos unidimensionales.

4.2 Perspectivas 49

4.2. Perspectivas

De los resultados de esta tesis se derivan posibles trabajos futuros que a continuacion se

describen:

Un proyecto pendiente el cual esta actualmente en desarrollo, es continuar con la

investigacion referente al calculo de la estructura de bandas fotonica en el pilar fotonico

teniendo en cuenta los efectos de la presion y temperatura.

Calculo del factor de calidad en el pilar fotonico siguiendo el formalismo implementado

por el MEMG bajo los efectos de la presion y temperatura aplicada.

En ninguna parte de esta disertacion se ha considerado los efectos de dispersion del

semiconductor de GaAs. Un proyecto pendiente es el calculo de la estructura de bandas

fotonica en cristales fotonicos 2D y en slabs fotonicos, incluyendo la dependencia de la

constante dielectrica con la frecuencia de plasma y la densidad de portadores de carga.

Implementar el metodo de modos guiados del pilar fotonico para caracterizar pilares

con geometrıa diferente a la circular especialmente en pilares elıpticos.

Una de las principales perspectivas que deja este trabajo, es extender el metodo de

modos guiados del pilar fotonico al caso en que se pierde la simetrıa de traslacion

unidimensional, sin que se presente desorden total sino siguiendo un procedimiento

deterministico.

5. Publicaciones

Como resultado de esta tesis se tienen los siguientes trabajos.

Francis Segovia-Chaves, Erik Navarro, and Herbert Vinck-Posada, ”Photonic band

structure in a one-dimensional distributed Bragg reflector pillar”, Materials Research

Express 7 (2020) 126201.

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Presentacion en eventos cientıficos

Ponencia oral: Efectos de la presion sobre la estructura de bandas fotonica en una red

hexagonal de triangulos, X Encuentro Iberoamericano de Optica, Septiembre 23-27

(2019), Cancun-Mexico.

Poster: Effects of hydrostatic pressure on the band structure in two-dimensional square

photonic lattice with defect, 20th International conference superlattices nanostructures

and nanodevices, July 23-27 (2018), Madrid-Espana

Ponencia oral: Dependencia con la temperatura del modo defecto en cristales fotonicos

unidimensionales defectivos acoplados, LXI Congreso Nacional de Fısica, 7-12 octubre

(2018), Puebla-Mexico.

A. Anexos

A.1. Coeficientes de Fourier en redes fotonicas cuadrada

y hexagonal

Red Cuadrada

Los correspondientes coeficientes ηjm estan dados por

ηjm =1

a2

[1

εs

∫e−

2πai(xj+ym)da− (

1

εs− 1

εc)

∫e−

2πai(xj+ym)da

](A-1)

En (A-1) la integral de la region cuadrada es diferente de cero para j = 0 y m = 0, mientras

que en la integracion sobre la region circular usamos coordenadas polares, ası:

ηjm =1

a2

[1

εsδ0,jδm,0a

2 − (1

εs− 1

εc)

∫e−

2πair(jcosθ+msinθ)rdrdθ

](A-2)

Teniendo en cuenta las identidades:∫ 2π

0e−

2πair(Acosθ+Bsinθ)dθ = 2πJ0

(r√A2 +B2

)y∫ r

0rJ0(Cr)dr =

rJ1(r)

C, la ecuacion (A-2) se escribe:

ηjm =1

a2

1

εsδ0,jδm,0a

2 − (1

εs− 1

εc)

2πrJ1

(r

√(2πja

)2+(

2πma

)2)

√(2πja

)2+(

2πma

)2

(A-3)

Para j 6= 0 y m 6= 0, la ecuacion (A-3) se escribe

ηjm =1

a2

(1

εs− 1

εc

) 2πrJ1

(r

√(2πja

)2+(

2πma

)2)

√(2πja

)2+(

2πma

)2(A-4)

Para j = 0 y m = 0, en (A-3) debemos tener en cuenta la identidad lımC→0

J1(Cr)

C=r

2,

obteniendo

ηjm =1

εs+

(1

εc− 1

εs

)πr2

a2(A-5)

A.2 Relaciones de dispersion para la guıa de onda homogenea 53

Red Hexagonal

En el calculo de los coeficientes ηjm, la region de integracion se divide en la region rectangular

y circular (ver Figura (2-2)), ası:

ηjm =1

a2√

3

[1

εs

∫e− 2π

ai(xj+

y(2m−j)√3

)da− 2(

1

εs− 1

εc)

∫e− 2π

ai(xj+

y(2m−j)√3

)da

](A-6)

Siguiendo el procedimiento como en el caso de la red cuadrada, en (A-6) la integral de la

region circular se resuelve en coordenadas polares,

ηjm =1

a2√

3

1

εsδ0,jδm,0a

2√

3− 4πr(1

εs− 1

εc)J1

[r√

(2πja

)2 + (2π(2m−j)a√

3)2]

√(2πja

)2 + (2π(2m−j)a√

3)2

(A-7)

Para j 6= 0 y m 6= 0, la ecuacion (A-7) se escribe

ηjm =1

a2√

3

(1

εc− 1

εs

) 4πrJ1

[r√

(2πja

)2 + (2π(2m−j)a√

3)2]

√(2πja

)2 + (2π(2m−j)a√

3)2

(A-8)

Para j = 0 y m = 0, en (A-7) obtenemos

ηjm =1

εs+

(1

εc− 1

εs

)2πr2

a2√

3(A-9)

A.2. Relaciones de dispersion para la guıa de onda

homogenea

Para relacionar las amplitudes de los campos en cada interface de la guıa de onda, adop-

taremos el formalismo del metodo de la matriz de transferencia. Para los modos TE, el campo

electrico a cada lado de la interface esta constituido por ondas que viajan a la izquierda (-z)

y derecha (+z), por lo tanto, expresamos el campo electrico de la forma:

Recubrimiento:

E1,y(z) = Aeik1zz +Be−ik1zz (A-10)

Nucleo:

E2,y(z) = Ceik2zz +De−ik2zz (A-11)

Substrato:

E3,y(z) = Eeik3zz + Fe−ik3zz (A-12)

54 A Anexos

Ahora aplicamos la continuidad de las componentes tangenciales para el campo electrico y

magnetico (−→H = − i

ωµ0

−→∇ ×

−→E ) en cada frontera.

E1,y = E2,y|z=−d/2 ⇒ Ae−ik1zd/2 +Beik1zd/2 = Ce−ik2zd/2 +Deik2zd/2 (A-13)

E2,y = E3,y|z=d/2 ⇒ Ceik2zd/2 +De−ik2zd/2 = Eeik3zd/2 + Fe−ik3zd/2 (A-14)

Teniendo en cuenta las relaciones dadas por (A-10)-(A-12), el campo magnetico es calculado

mediante Hx =i

ωµ0

∂zEy. En este caso la continuidad de las componentes tangenciales se

escriben:

H1,x = H2,x|z=−d/2 ⇒ k1z(Ae−ik1zd/2 −Beik1zd/2) = k2z(Ce

ik2zd/2 −De−ik2zd/2) (A-15)

H2,x = H3,x|z=d/2 ⇒ k2z(Ceik1zd/2 −De−ik1zd/2) = k3z(Ee

ik2zd/2 − Fe−ik2zd/2) (A-16)

Segun el MMT las amplitudes de los campos en el recubrimiento y substrato (ver ecuacion

(2-19)) estan relacionadas por:(A

B

)= Dl2P2D23

(E

F

)= MT

(E

F

)(A-17)

donde las matrices de transmision se representan por Dl2 = D−11 D2 y D23 = D−1

2 D3, siendo

la matriz dinamica

Dj =

(1 1

kjz −kjz

)(j = 1, 2, 3) (A-18)

y la matriz de propagacion

P2 =

(eik2zd 0

0 e−ik2zd

)(A-19)

La ecuacion modal para TE se obtiene a partir de la condicion det(MT )=0; despues de

efectuar los procedimientos algebraicos obtenemos

(2k1zk2z + 2k2zk3z)cos(k2zd)− isin(k2zd)(2k2zk2z + 2k2zk3z) = 0 (A-20)

En (A-20) reemplazamos k1z = iχ1, k2z = β y k3z = iχ3,

(iβχ1 + iβχ3)cos(βd)− isin(βd)(β2 + i2χ1χ3) = 0 (A-21)

Finalmente, la ecuacion secular de los modos guiados TE es

β(χ1 + χ3)cos(βd) + sin(βd)(χ1χ3 − β2) = 0 (A-22)

El procedimiento descrito anteriormente se aplica al caso de los modos TM, con la diferencia

que la matriz transmision esta dada por Dij =1

2kzj√εiεj

(εjkzi + εikzj εikzi − εikzjεjkzi − εikzj εjkzi + εikzj

).

A.3 Ecuacion modal de la guıa de onda circular 55

A.3. Ecuacion modal de la guıa de onda circular

Teniendo en cuenta el conjunto de ecuaciones simultaneas con coeficientes desconocidos A,

B, C y D (ver ecuaciones (2-59)-(2-62)), el determinante se expresa de la forma:∣∣∣∣∣∣∣∣∣α 0 −θ 0

δα µ0γ θΩ µ0Γ

0 α 0 −θ−ε1ε0γ αδ −ε2ε0Γ θΩ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 (A-23)

donde designamos como α = Jl(hR), δ =βl

h2R, γ =

iω

hJ ′l (hR), θ = Kl(hR), Ω =

βl

q2Ry

Γ =iω

qK ′l(hR). Al resolver el determinante (A-23), obtenemos

α2(θ2Ω2+ε2ε0µ0Γ2)−αθ(−ε2ε0µ0γΓ−θΩαδ)+θα(αδθΩ+ε1ε0µ0Γγ)+θ2(α2δ2+ε1ε0µ0γ2) = 0

(A-24)

Factorizamos (A-24),

ε2ε0µ0αΓ(αΓ + θγ) + ε1ε0µ0θγ(αΓ + γθ) + 2α2θ2Ωδ + θ2α2(Ω2 + δ2) = 0

⇒(

Γ

θ+γ

α

)(ε2ε0µ0

Γ

θ+ ε1ε0µ0

γ

α

)+ (Ω + δ)2 = 0 (A-25)

En (A-25) substituimos los valores originales,

−(J ′l (hR)

hJl(hR)+

K ′l(qR)

qKl(qR)

)(ε0ε1µ0ω

2

h

J ′l (hR)

Jl(hR)+ε0ε2µ0ω

2

q

K ′l(qR)

Kl(qR)

)+β2l2

R2

(1

h2+

1

q2

)2

= 0

(A-26)

Finalmente, la ecuacion modal se escribe:(J ′l (hR)

hRJl(hR)+

K ′l(qR)

qRKl(qR)

)(ε1hR

J ′l (hR)

Jl(hR)+

ε2qR

K ′l(qR)

Kl(qR)

)=β2l2

k20

(1

h2R2+

1

q2R2

)2

(A-27)

La ecuacion (A-27) es cuadratica en J ′l (hR)/hRJl(hR), la cual se reescribe de la forma:

ε1h2R2

(J ′l (hR)

Jl(hR)

)2

+J ′l (hR)K ′l(qR)

hqR2Jl(hR)Kl(qR)(ε1+ε2)+

ε2q2R2

(K ′l(qR)

Kl(qR)

)2

−l2(β

k0

)2(1

h2R2+

1

q2R2

)2

= 0

(A-28)

Las soluciones de (A-28) son de la forma:

J ′l (hR)

Jl(hR)= −(ε1 + ε2)K ′l(qR)

2ε1qRKl(qR)±

√(ε1 − ε2

2ε1

)2(K ′l(qR)

Kl(qR)

)2

+l2β2

ε1k20

(1

h2R2+

1

q2R2

)2

(A-29)

56 A Anexos

En (A-29) usamos la formula de recurrencia de las funciones de Bessel, J ′l (x) = −Jl+1(x) +l

xJl(x), obteniendo ası las ecuaciones modales para EH y HE:

Modos EH:Jl+1(hR)

hRJl(hR)=ε1 + ε2

2ε1

K ′l(qR)

qRKl(qR)+

(l

h2R2− σ

)(A-30)

Modos HE:Jl−1(hR)

hRJl(hR)= −ε1 + ε2

2ε1

K ′l(qR)

qRKl(qR)+

(l

h2R2− σ

)(A-31)

donde

σ =

√(ε1 − ε2

2ε1

)2(K ′l(qR)

qRKl(qR)

)2

+l2

ε1

(β

k0

)2(1

h2R2+

1

q2R2

)2

(A-32)

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