CONTROL ESTADÍSTICO DE LA CALIDAD

TEMA 1. GENERALIDADES. Significado de la calidad. Calidad

y costos. Variabilidad y sus fuentes. Métodos estadísticos

como instrumento de la mejora de la calidad.

Definimos el “Control Estadístico de la Calidad” como la aplicación de

diferentes técnicas estadísticas a procesos industriales (mano de obra,

materias primas medidas, máquinas y medio ambiente), procesos

administrativos y/o servicios con objeto de verificar si todas y cada una de las

partes del proceso y servicio cumplen con unas ciertas exigencias de calidad

y ayudar a cumplirlas, entendiendo por calidad “la aptitud del producto y/o

servicio para su uso.

La aplicación de técnicas estadísticas al control está basada en el

estudio y evaluación de la variabilidad existente en cualquier tipo de proceso

que es principalmente el objeto de la Estadística.

Las fuentes que producen la variabilidad objeto de estudio en la

Estadística, se clasifica en “variabilidad controlada” o “corregible” que no entra

dentro de nuestro campo pero si es posible detectarla por causar una

variabilidad muy grande (ajuste incorrecto de la máquina, errores humanos,

siendo posible eliminar la causa o causas que la han producido, y la

“variabilidad debida al azar”, también denominada “variabilidad no controlable

que no puede ser asignada a una causa única sino al efecto combinado de

otras muchas.

Supongamos un esquema de un proceso de fabricación determinado

que produce cierta pieza donde la característica de calidad sea Y (medible u

observable). Se observa que la magnitud de la característica varía de unidad

a unidad de producto; esto es, se dice que el producto posee variabilidad,

objetivo primario o base de la Estadística.

En el desarrollo práctico de la asignatura tendremos en cuenta siempre

su aplicación a procesos industriales que permiten la disponibilidad de gran

variedad de datos donde la o las características de calidad podrán ser

medibles y se conocen como variables o podrán ser observadas a las que se

refiere como atributos, utilizando distintas técnicas según el tipo de ellas.

En todo proceso industrial cabe distinguir la calidad de diseño que no es

objetivo de la asignatura y la calidad de fabricación, sobre la que nos

centraremos especialmente, aplicando los métodos estadísticos al:

• Control del proceso o en curso de fabricación que proporciona no

solo detectar fallos en curso de fabricación sino también permite

aprender cuáles son las causas que provocan variabilidad, aportando

datos para mejorar el proceso.

proceso

Variables controlables

Variables no controlables

producto calidad

variabilidadasignable

variabilidadno asignable

Responsabilidad del supervisor

Responsabilidad dirección

Producto defectuoso

Producto aceptable

El objetivo del Control Estadístico de la Calidad es:

1. Detectar rápidamente la ocurrencia de variabilidad debida a causas

asignables.

2. Investigar la(s) causa(s) que la han producido y eliminarla(s).

3. Informar de ella para la toma de decisión oportuna, pues de lo contrario

se producirían gran cantidad de unidades de calidad no aceptable,

originando una disminución de la capacidad productiva e incremento de

costos del producto terminado (supervisor).

4. Eliminar, si es posible, o al menos reducir al máximo la variabilidad del

proceso (dirección).

TEMA 2. FILOSOFÍA DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL.

Principios básicos de los gráficos de control. Análisis de

patrones.

La herramienta que nos indica si el proceso está o no controlado o

“Estado de Control” son los gráficos de control que ponen de manifiesto si la

variabilidad presente en el proceso es debida al azar o causas no asignables,

pudiendo decir que sus funciones básicas son:

a) Definir una meta para una operación.

b) Ayudar a obtener esa meta.

c) Determinar si la meta ha sido alcanzada o no.

El gráfico de control más conocido es el de Shewhart, de la Bell

Telephone Laboratories, que se caracteriza porque en el eje de abscisas se

representa siempre el tiempo o alguna magnitud relacionada con él, como

orden temporal en que se han ido tomando las sucesivas muestras, en el eje

de ordenadas se representa la característica de calidad que se está midiendo

y tres líneas paralelas al eje tiempo, una central LC trazada por el valor medio

de la magnitud medida y dos externas representando los límites de control

LSC y LIC que generalmente se sitúan a tres desviaciones típicas de la línea

central, entre estas líneas están situadas las observaciones, y cualquier punto

fuera de ellos se considera fuera de control.

Decisiones preliminares a los gráficos de control:

1. Característica de calidad que se va a investigar. Aquella que sea

más crítica en términos de funcionamiento. Aquella donde la prueba

sea más rigurosa.

2. Dispositivos necesarios. Si los dispositivos de control varían,

revisar éstos periódicamente para mantener la seguridad en la

medida de su repetibilidad y su calibración.

3. Tipo de gráfica. Depende del costo de la medida y de la pérdida que

proporciona la no detección de cambios importantes que ocurran.

4. Tamaño de muestra. Depende del tipo de gráfico. Si es por atributos

(visto más adelante), no debe ser proporcional al tamaño del lote y lo

suficientemente grande a fin de encontrar algún elemento defectuoso

en la muestra. Si es por variables ha de ser tal que haya una mínima

oportunidad para que la variación se encuentre en ella. Cuanto

menor sea el tamaño de muestra tanto mayor será la variación entre

los promedios de las muestras sucesivas. Cualquier número entre 4,

5, 6 o 10 es bueno, siendo el 5 el más común. No obstante los costos

o uso de pruebas destructivas son decisivos en la toma de decisión

de n.

5. Frecuencia de recogida de la información. Independientemente de

consideraciones económicas, si se tiene información histórica, ésta lo

marca. Si se aplica por primera vez el gráfico se realizarán medidas

con mucha mayor frecuencia.

6. Cómo seleccionar la muestra. Siempre eliminando cualquier

predisposición (AZAR); siempre de la misma máquina; siempre del

mismo lote; siempre del mismo operario.

Podemos resumir en cinco razones por qué se ha hecho imprescindible

y generalizado el uso de los gráficos de control:

1. Mejoran la productividad. Estando bien establecida la inspección,

disminuye los rechazos y reprocesados (‘asesinos de la

productividad’), ya que: disminuyen los costos; la productividad

aumenta y la capacidad de producción

aumenta.

2. Evitan defectos. Ya que en el momento de la producción se

detectan los defectos, se eliminan, no siendo necesario el examen

posterior a la fabricación. En consecuencia disminuye los costos

porque no se está pagando al operario que fabrica productos de mala

calidad.

3. Evitan ajustes innecesarios. Hemos visto que piezas con

variabilidad próxima a los límites de control son aceptables; sin

embargo, si no se dispone de ellos probablemente el operario podría

rechazar estas unidades siendo buenas, lo cual implicaría la

corrección de la máquina (si no está roto no lo repares).

4. Proporcionan información para el análisis. Los gráficos de control

contienen información que permite introducir cambios en el proceso

que pueden producir mejores rendimientos.

5. Proporciona información sobre la capacidad del proceso para

producir un resultado dentro de unos límites predefinidos, los de

control.

Es posible apreciar en ellos la existencia secuencias de puntos que

presentan características diferentes a la aleatoriedad que se conocen como

anomalías (tendencias, rachas, inestabilidad etc).

BASES ESTADÍSTICAS DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

Un gráfico de control no es más que un tipo especial de contraste de

significación donde se procede de la siguiente forma:

Se establecen las hipótesis de que el estadístico que se va a considerar

se distribuye normalmente con parámetros y en muestras de tamaño n.

Se sabe que la probabilidad de que un valor del estadístico caiga entre

y es 0’997.

Como en todo contraste de significación, si el estadístico establecido en

una muestra se encuentra fuera de ese intervalo, pueden suceder dos cosas:

a) Ha ocurrido un suceso muy raro, ya que la probabilidad de que

ocurra eso es de 0’003.

b) El suceso no es raro, lo que ocurre es que la hipótesis de la que se

ha partido es falsa; es decir, los parámetros no son y (aunque

normalmente lo que se contrasta es el valor del parámetro .

En el tipo de contraste de hipótesis utilizado en el control de calidad,

proceso en estado de control, el criterio que se utiliza para la toma de

decisiones es rechazar la hipótesis cuando la probabilidad de que ocurra un

suceso es menor o igual a 0’003. Este contraste no toma en consideración la

potencia.

Los gráficos de control precisan recogida de información de operaciones

repetitivas.

CONSTRUCCIÓN GENERAL DE LOS GRÁFICOS DE CONTROL

Se ha de suponer que el estadístico (variable) objeto de la calidad sigue

una ley normal con parámetros y .

Supuesto lo anterior, para contrastar la hipótesis de que el valor medio

de la característica de calidad es , tomando como nivel de significación

0’003, se construye la región de aceptación . Hay estadísticos

como la desviación típica, el recorrido, un porcentaje… que no pueden tomar

valores negativos, por lo que cuando sea negativo se tomará el límite

inferior como 0.

A se le llama límite inferior de control (LIC) y a se le llama

límite superior de control (LSC). A se le llama línea central (LC).

A todo valor que esté fuera del intervalo de los límites de control se le

dice que está fuera de control.

A continuación se presenta un gráfico genérico de control donde la

característica de calidad se presenta en el eje de ordenadas y las diferentes

secuencias o instantes en los que se toman las medidas en el eje de

abscisas. También se representan los límites de control y la línea central.

ALTERACIONES EN LOS GRÁFICOS DE CONTROL

1. Racha: 8 o más puntos consecutivos por encima o debajo de la media.

Gráfico con dos rachas

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nº de muestra

prop

orci

ón d

e di

scon

form

idad

es

Rachas

2. Tendencia: 8 o más puntos en orden creciente o decreciente.

Gráfico con dos tendencias

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nº de muestra

prop

orci

ón d

e di

scon

form

idad

es

T endencia

3. Periodicidad: gráfica en forma de ciclos.

Gráfico con periodicidad

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nº de muestra

prop

orci

ón d

e di

scon

form

idad

es

4. Inestabilidad: fluctuaciones cerca de LIC y LSC.

Gráfico con inestabilidad

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nº de muestra

prop

orci

ón d

e di

scon

form

idad

es

5. Superestabilidad: 16 puntos entre -σ y +σ.

Gráfico con superestabilidad

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0,500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

nº de m uestra

prop

orci

ón d

e di

scon

form

idad

es

+1 sigma

-1 sigma

TIPOS DE GRÁFICOS DE CONTROL

Dependiendo de que la característica de calidad del producto fabricado

sea medible o no medible se distinguen tres tipos de gráficos:

a) Gráficos de control por variables. para controlar la tendencia

central del proceso y R y s para controlar la variabilidad. b) Gráficos de control por atributos. Controlar la proporción de

unidades defectuosas en el proceso. c) Gráficos de control por número de defectos.

Aunque la determinación, como se verá más adelante, de los límites de

control para cada uno de los diferentes gráficos difiere en detalle el proceso

fundamental es el mismo y, como se ha visto, está basado en el cálculo de

probabilidades.

Por todo lo dicho hasta el momento, las etapas a seguir en la

construcción de un gráfico de control son:

1. Selección de la característica más adecuada.

2. Recogida de los datos, tomando al menos veinte muestras de igual

tamaño.

3. Determinación de los límites de control, según la información tomada

por los datos muestrales.

4. Decidir si los límites son satisfactorios desde el punto de vista

económico.

5. Trazar los límites de control y registrar sobre la gráfica la información

de las sucesivas muestras, tomadas a intervalos constantes de

tiempo.

6. Ante la información dada por el gráfico, tomar las medidas de acción

correctivas ante la presencia de algún punto fuera de los límites de

control, buscando las causas de tal ocurrencia y, si son

determinadas, eliminar los puntos y repetir el proceso.

TEMA 3. GRÁFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS. Gráfico

“p” o fracción disconforme con tamaño de muestra igual y

variable. Gráfico “np” o unidades defectuosas. Gráficos

estandarizados. Gráfico “c” o número de defectos. Gráfico “u”

o número promedio de defectos. Gráficos estandarizados.

Otros gráficos de control de número de defectos.

Cuando no es fácil medir un producto o una parte, o cuando la calidad se

puede obtener como un atributo conforme o no con unas especificaciones de

calidad, se puede usar una gráfica de control de características. Estas

técnicas analizan tanto las características buenas como malas, sin hacer

referencia al grado. Entonces, se acepta o se rechaza contando cuántas

unidades tienen o no el defecto, o comprobando el número de tales eventos

que ocurren en la unidad, grupo o área, y comparando con el criterio de

aceptación establecido. Se acepta o rechaza la pieza o el lote sin asociar un

valor concreto. El atributo a controlar se suele elegir de forma que sea

fácilmente observable y por tanto económico de controlar.

Antes de seguir conviene definir los términos siguientes:

a) Defecto: cualquier característica individual que no esté de acuerdo

con los requisitos de calidad establecidos.

b) Defectuoso: cualquier unidad que tiene uno o más defectos.

Los tipos de gráficos de control por atributos que se estudian son:

i) Gráfico p o de fracción de unidades defectuosas.

ii) Gráfico np o de número de unidades defectuosas por muestra.

iii) Gráfico c o de número de defectos por muestra.

iv) Gráfico U o de número de defectos por unidad.

GRÁFICO p

Es frecuente que la magnitud observada y utilizada como variable de

control sea una proporción.

Una proporción p que se estima por medio de la proporción muestral,

obtenida con una muestra de tamaño n ( = ).

Tiene un valor esperado o medio que es precisamente p y una desviación

típica σ = pqn , donde q = 1 – p.

De este modo, los límites de control para una proporción serán:

Límite Superior de Control = .

Línea Central = LC = .

Límite Inferior de Control = .

Se puede observar que dichos límites dependen del tamaño de la

muestra utilizada. Así pues, si todas las muestras son del mismo tamaño

entonces los límites de control serán fijos, pero si los tamaños muestrales

varían, resulta que dichos límites son variables. Para paliar esta situación se

suele tomar una de estas cuatro soluciones:

1. Poner un valor de n igual a un promedio de los tamaños de muestra utilizados; este promedio suele ser la media aritmética

(sustituyendo n por la media de los tamaños de muestra ni). La

solución así adoptada suele dar buenos resultados siempre que los

tamaños muestrales no sean muy dispares entre sí.

Así, los límites de control son:

( )p 1 pLIC p 3

n⋅ −

= − ⋅

( )p 1 pLSC p 3

n⋅ −

= + ⋅

En ellas:

2. Utilizar una gráfica estandarizada, para lo cual se representan las

magnitudes Zi dadas por: , donde ni es el tamaño de muestra

utilizado en el período de tiempo i-ésimo, la proporción estimada

en dicho período de tiempo y la proporción en condiciones de

estabilidad. En este caso los límites de control para los valores de Zi

se establecen en ±3.

3. Usar el gráfico con límites individualizados donde cada

observación tendrá unos límites distintos dados por:

Se tiene que , donde el numerador representa la suma de

todas las disconformes o defectuosos.

4. Regla del 40%. Hacemos los límites de control del apartado 1, salvo

para las observaciones que no cumplen la regla del 40%; esto es, se

calcula el intervalo = (m1, m2). Calcularemos los límites

individuales cuando ni – m2 > 0 o ni – m1 < 0.

GRÁFICO np

En ocasiones resulta más cómodo representar directamente la cantidad

de unidades defectuosas en la muestra en vez de su proporción, en este caso

el gráfico de control correspondiente se denomina np puesto que en

ordenadas se representa esa magnitud. Este tipo de gráfico resulta cómodo

cuando el tamaño de muestra es constante.

El número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución

teórica binomial de parámetros n y p, cuya media es np y su varianza es npq.

Así, LC = np, y .

( )i

i

p 1 pLIC p 3

n⋅ −

= − ⋅

( )i

i

p 1 pLSC p 3

n⋅ −

= + ⋅

i

i

dp

n= ∑∑

defectuosos totalespnºmuestras tamaño cada muestra

=⋅

GRÁFICO c

En el control por número de defectos, utilizando un gráfico c, lo que se

contabiliza es el total de defectos en la muestra. Se supone para los mismos

una distribución de Poisson. Tiene una media y varianza iguales ,

así, , y .

GRÁFICO U

En este tipo de gráficos se representa la cantidad de defectos por unidad

de medida. La hipótesis de trabajo es que el número de defectos tiene una

distribución de Poisson. La línea central y los límites de control vienen dados

por:

, donde y , donde L es la unidad

de medida.

Al igual que para los gráficos p, si los límites de control son variables se

puede construir el gráfico U de manera similar a la mencionada anteriormente,

por cualesquiera de las 4 opciones.

TEMA 4. GRÁFICOS DE CONTROL POR VARIABLES.

Diagrama de control de medias y dispersiones. Otros

diagramas de control de variables.

En este apartado vamos a suponer que el gráfico de control se realiza

sobre una característica medible X que sigue una distribución normal cuyo

valor medio es y cuya desviación típica es . Sobre el gráfico, a medida que

transcurra el tiempo, se irán representando los valores de la magnitud X para

ir observando su evolución.

Para efectuar un control por variables hay que comenzar estimando la

media y la desviación típica del proceso, suponiendo que éste se halla en

estado de control. Para ello se irán tomando muestras de la producción en

condiciones estándar, tratando de eliminar las causas asignables de

variación. Los datos deberán tomarse durante un tiempo suficientemente

dilatado para incluir todas las posibles causas no asignables de variación,

como pueden ser la fatiga de los operarios, la existencia de turnos, el que

haya distintos proveedores de materia prima, etc. Además, la totalidad de las

muestras tomadas se agruparán en pequeñas muestras igualmente

espaciadas a lo largo de intervalo de producción (cada hora, cada día, cada

semana, etc), lo cual permite detectar posibles situaciones fuera de control,

motivadas, por ejemplo, por desajustes de las máquinas. De este modo

tendremos k muestras con n elementos cada una:

, , … ,

donde representa la j-ésima observación de la i-ésima muestra (i = 1,…,k, j

= 1,…,n). Si el proceso hubiera permanecido en estado de control durante

todo el período de recogida de información, estos N = kn datos constituirían

una muestra aleatoria simple, por lo que estimaríamos la media poblacional

por la media muestral (el estimador centrado usual):

Análogamente, un estimador centrado de la varianza del proceso sería la

cuasivarianza muestral:

Sin embargo, es posible que el proceso haya pasado a una situación de

falta de control, por cambios en la media o en la variabilidad, y en

consecuencia, la muestra tomada no es aleatoria simple, por lo que las

expresiones anteriores no son adecuadas. Para decidir este aspecto se utiliza

un gráfico de control para los promedios y otro para la variabilidad y, como la

variabilidad se mide bien en la práctica por la desviación típica s, o por la

cuasidesviación típica sc o por el recorrido R, se tienen tres tipos de gráficos

de control para las medias, gráficos , y , y tres para la

variabilidad: gráfico de control para la desviación típica, para la

cuasidesviación típica y para el recorrido.

Gráfico de medias

En este caso los límites de control y la línea central son:

donde A1 es un coeficiente que depende del tamaño de muestra y que

se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las desviaciones

típicas.

1LIC x A S= − 1LSC x A S= + kxx i∑=

Gráfico de medias

En este caso los límites de control y la línea central son:

donde A3 es un coeficiente que depende del tamaño de muestra y que

se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las

cuasidesviaciones típicas.

Gráfico de medias

En este caso los límites de control y la línea central son:

donde A2 es un coeficiente que depende del tamaño de muestra y que

se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de los recorridos.

Gráfico de desviaciones típicas S

En este caso los límites de control y la línea central son:

donde B3 y B4 son unos coeficientes que depende del tamaño de

muestra y que se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las

desviaciones típicas.

Gráfico de cuasidesviaciones típicas Sc

3 cLIC X A s= − 3 cLSC X A s= +kxx i∑=

kxx i∑=

2LIC x A R= − 2LSC x A R= +

S3LIC B S= 4LSC B S=

En este caso los límites de control y la línea central son:

donde B3 y B4 son unos coeficientes que depende del tamaño de

muestra y que se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las

cuasidesviaciones típicas.

Gráfico de recorridos R

En este caso los límites de control y la línea central son:

donde D3 y D4 son unos coeficientes que depende del tamaño de

muestra y que se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de los

recorridos.

cS3 cLIC B S= 4 cLSC B S=

R3LIC D R= 4LSC D R=

TEMA 5. MUESTREO PARA LA ACEPTACIÓN. Introducción.

Planes de muestreo por atributos simple, doble, múltiple y

rectificativos Dodge-Romig, Norma militar 1000STD-105D.

Pautas a seguir para el cambio de rigor y nivel de inspección.

El control de recepción o muestreo de aceptación es el que se aplica al

recibir materias primas, productos elaborados o servicios administrativos que

serán introducidos en un proceso de fabricación y/o administrativo para

comprobar cómo cumplen unas especificaciones de calidad. Sus técnicas

suponen un compromiso de calidad entre fabricante y comprador o personal

de servicio y usuario.

La contribución a la toma de muestras de los expertos en estadística, ha

sido básicamente el establecer el tamaño de las mismas y establecer los

riesgos que ayuden al responsable a tomar decisiones más inteligentes con

respecto a la aceptabilidad del producto.

Vamos a centrarnos en control de recepción por atributos de unidades

defectuosas en un lote de productos elaborados. Su objetivo es juzgar la

calidad del lote según la proporción de unidades defectuosas que recibe el

cliente.

El muestreo de aceptación se define como el muestreo por el que se

toma la decisión de aceptar o rechazar un lote en función de la información

obtenida por la muestra.

Un plan de muestreo simple es un procedimiento en el que se toma una

muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección y determinación

del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra.

Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso un par de números (n, c), donde

n es el tamaño de la muestra y c el número máximo de unidades defectuosas

que puede tener la muestra para que el lote sea aceptado.

Supondremos en nuestro caso que se recibe un lote grande de

productos (N grande), teóricamente infinito, con una proporción p de artículos

defectuosos. El lote se aceptará si la proporción de artículos defectuosos es

menor que una proporción especificada por el vendedor, p ≤ pA (nivel de

calidad aceptable, AQL). El valor pA depende de criterios económicos y

técnicos y es fijado por el vendedor. Se pretende diseñar un procedimiento

para la aceptación o rechazo del lote, que es lo que proporciona el

mencionado plan (n, c).

Así, denominando X = “número de unidades defectuosas encontradas en

la muestra de tamaño n”, se aceptará el lote si X ≤ c.

La proporción de artículos defectuosos en el lote (p) es desconocida,

aunque estimada mediante la proporción correspondiente en la muestra.

Como consecuencia de la decisión tomada en el plan de muestreo se

cometerán los dos tipos de errores conocidos estadísticamente en cualquier

contraste de hipótesis: 1) rechazar un lote que debería ser aceptado; 2)

aceptar un lote que debería ser rechazo.  

Se corresponden con:

Riesgo del fabricante o vendedor = α = Prob (error tipo I) = P (rechazar

el lote con p ≤ pA)

Valores usuales son 0’001, 0’01, 0’05 y 0’10.

Riesgo del comprador = β = Prob (error tipo II)

Para controlar este error el comprador especifica pR o nivel de calidad

rechazable (LPTD) tal que la probabilidad de aceptar lotes con calidad igual o

peor que pR (p ≥ pR) sea muy baja.

β = P (aceptar el lote con p pR)

Valores usuales son 0’10, 0’12 y 0’20.

 

Plan de Muestreo Simple (n, c)

 Se selecciona al azar una muestra de tamaño n de un lote de N

unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,

que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’

contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos

establecidos, X, y se compara con el número de aceptación, c, si X es menor

o igual que c se decide aceptar el lote y si es mayor se rechaza. El esquema

general se ve en la figura.

Lote de tamaño

‘N’

Obtenemos una muestrade tamaño ‘n’

X ≤ c

X = nº de defectuososen la muestra

Rechazar el lote

Aceptar el lote

Sí No

Para establecer un plan de muestreo (n, c) se requiere definir

previamente (α, pA) y (β, pR), correspondientes a las probabilidades de los

errores y a las calidades dada por el vendedor y exigida por el comprador,

respectivamente.

Es frecuente establecer la relación: .

Para caracterizar el plan de muestreo se utiliza la curva característica

(OC) definida por:

OC(p) = Probabilidad (aceptar un lote con una proporción p de artículos defectuosos)

Especificar (α, pA) y (β, pR) equivale a fijar dos puntos de la curva

característica. A medida que aumenta el tamaño de muestra, si se mantiene

constante, el error disminuye. La determinación del plan de muestreo a

partir de dos puntos de la curva característica es laborioso. Para simplificar

esta tarea se han construido tablas que los proporcionan. Estos planes se

clasifican en dos tipos:

1. Planes de aceptación y rechazo. Normas japonesas y la norma

militar.

2. Planes de control rectificativo. Se diferencian de los anteriores en

que los lotes rechazados se inspeccionan al 100% sustituyendo las

unidades defectuosas por aceptables. Los más utilizados son los de

Dodge-Romig y los dados por las propias normas militares.

Cálculo del plan de Muestreo Simple (n, c)

Para calcular el plan de muestreo (n, c) se utilizará la distribución

binomial de parámetros (n, p), pues es de las más comunes para tamaños

grandes de lote con relación al tamaño de la muestra, situación muy frecuente

en la práctica.

La función de probabilidad de X:

, para x = 0, 1, 2, …, que es la probabilidad

de que en una muestra de tamaño n se encuentren x unidades defectuosas.

Para que se cumplan los requisitos especificados (α, pA) y (β, pR) se han

de verificar las ecuaciones siguientes:

c

i n iA A

i 0

nP(X c) p (1 p ) 1

i−

=

⎛ ⎞≤ = − ≥ −α⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

ci n iR R

i 0

nP(X c) p (1 p )

i−

=

⎛ ⎞≤ = − ≤ β⎜ ⎟

⎝ ⎠∑

donde n y c son las incógnitas.

La primera ecuación expresa la probabilidad de aceptar el lote con un

número de unidades defectuosas menor o igual que c, con calidad pA, la

especificada por el proceso de fabricación (vendedor). Mientras que la

segunda ecuación muestra la probabilidad de que se acepte un lote con un

número de unidades defectuosas menor o igual que c, con calidad pR,

especificada por el comprador o cliente.

La resolución del sistema planteado no es fácil por lo que se conocen

ciertos métodos gráficos (Nomograma y General Motors) o de tablas como las

japonesas JIS Z 9002 o americanas MIL-STD_105D.

Para la resolución del sistema anterior se ha realizado un programa en

Visual Basic y Access, “PMASIL” (Plan de Muestreo de Aceptación SImple de

Lotes).

A la hora de resolver el sistema se utiliza un proceso iterativo. Se

plantea la inecuación, pasando sendos términos, con el valor 0, se toma su

valor absoluto y se suman. Se prueban los posibles valores para n y c y se

elige como resultado el que haga que las suma de los dos valores absolutos

diste menos de 0.

Nos proporcionará soluciones para n y c basadas en un tamaño máximo

de n, que siendo más precisos se asemejarán a los valores dados por los

métodos de tablas y gráficos señalados anteriormente.

Hay que destacar que el programa, además, es una forma rápida y

sencilla, a la para que precisa, para calcular el mencionado plan de muestreo

simple.

Otro programa PMASIL_SIM permite de forma didáctica mediante una

simulación el proceso siguiente: se crea un lote de tamaño N de 0’s, en

proporción 1 – p, y 1’s, en proporción p, donde 1 significa que el artículo es

defectuoso. Se seleccionan en el mismo lote sucesivas muestras aleatorias

de tamaño n y número de aceptación c, proporcionados por PMASIL como

plan de muestreo simple especificado. Una vez examinadas una por una las

muestras se decide aceptar o rechazar el lote en función del número de 1’s

(unidades defectuosas) encontradas comparándolo con el número de

aceptación c.

Se contabilizará el número de veces que ha sido aceptado el lote y se

calculará la proporción dividiendo entre el número total de simulaciones. Este

resultado nos informará de la probabilidad de aceptación en las simulaciones.

Posteriormente, se calculará la probabilidad de aceptación de un lote

teórica dada por la distribución binomial.

donde p es la calidad del lote o

proporción de artículos defectuosos

El esquema que sigue el programa se muestra en la figura:

El programa se presenta de dos formas diferentes: dentro de PMASIL en

la opción de ‘Simular probabilidad de aceptación’ se puede encontrar un

resumen de los resultados. Proporcionará los resultados resumidos del

número de lotes aceptados, el porcentaje o probabilidad de aceptación

simulada y la probabilidad de aceptación teórica; por otra parte, PMASIL_SIM

mostrará los cálculos intermedios de una forma clara y didáctica. Dará cada

una de las muestras aleatorias elegidas, el número de defectuosos (de 1’s) de

cada una y si el lote se acepta o se rechaza.

Lote de tamaño ‘N’Proporción de correctos: ‘p’

Propor ción de defectuosos: 1-‘p’

Seleccionar muestra de tamaño ‘n’

‘N’ tamaño del lote‘p’ proporción de artículos defectuosos‘n’ tamaño de la muestra‘c’ número de aceptación‘X’ número de artículos defectuosos de la muestra

‘R’ número de muestras a realizar

¿‘X’ ? ‘c’? Sumar 1 al número de muestras aceptadas

¿Nº de muestras probadas < ‘R’

(muestras a realizar)?

Sí

Sí

No

Presentar Resultados: Nº de Muestras Aceptadas,Nº de pruebas realizadas,Proporción entre ambas,

Probabilidad teórica

No

Planes de control rectificativo de Dodge-Romig

Los planes de control rectificativo se basan en que los lotes rechazados

son inspeccionados al 100% y todos los elementos defectuosos se sustituyen

por buenos. De esta manera se garantiza que la calidad media de entrada en el almacén (AOQ) será alta. En efecto, en un lote de N unidades con una

proporción p de defectuosas, si (p) es la probabilidad de que el plan de

muestreo acepte lotes de dicha calidad, ya que los lotes se inspeccionan al

100% y todos los defectuosos se sustituyen por buenos, la calidad promedio

en el almacén será:

Si el valor de N no fuese muy grande, se tendría que:

Así pues, el valor AOQ depende de p y se calcula multiplicando por p la

curva característica.

Cuando la calidad de entrada es muy buena (p pequeño) la calidad en el

almacén será también buena. A medida que la proporción defectuosa

aumenta, lo hará también AOQ, aunque en menor proporción, ya que los lotes

comenzarán a ser rechazados e inspeccionados al 100%. Se obtiene un

punto máximo que se denomina límite de la calidad media de entrada

(AOQL):

Lotes muy malos serán casi siempre rechazados, por tanto serán

inspeccionados al 100% y conducirán a una calidad muy alta en el almacén.

Otra medida importante respecto de la inspección rectificadora es la

cantidad total media de inspección que requiere el plan de muestreo y que

se representará por ITM. Es claro que si los lotes no contienen unidades

defectuosas, no se rechazará ninguno, y la cantidad por lote será el tamaño

de la muestra n. Si por el contrario, todos los artículos son defectuosos, se

someterán a inspección del 100% todos los lotes y el tamaño de inspección

por lote será el tamaño de éste. Pero, si la calidad del lote está comprendida

entre cero y uno, el tamaño de inspección variará entre el tamaño de la

muestra n y el tamaño del lote N. Si el lote tiene una calidad p y la

probabilidad de aceptación del lote es pa, entonces:

FLUJO DEL MATERIAL EN RECEPCIÓN

Las tablas de Dodge-Romig pueden utilizarse para muestreos simples y

dobles, pudiendo entrar en ellas de dos formas:

1. Planes LTPD (= LQ = pR). Dados N, AQL y el nivel de calidad

rechazable LTPD, proporcionan n, c y AOQL del plan de control

rectificativo.

2. Planes AOQL. Dados N, AQL y AOQL, se obtiene n, c y LTPD.

Normas militares estándar

Plan de muestreo simple.

Como se sabe, un plan de muestreo simple es un procedimiento en el

que se toma una muestra aleatoria de n unidades del lote para su inspección

y determinación del destino del mismo en función de la información

procedente de la muestra.

Se selecciona al azar una muestra de tamaño n de un lote de N

unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,

que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’

contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos

establecidos. Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso tres números (n,

Ac, Re), donde n es el tamaño de la muestra, Ac es el número de aceptación

o máximo de unidades defectuosas que puede tener la muestra para que el

lote sea aceptado, y Re el número de rechazo. Este último indica que si el

número de unidades defectuosas encontradas en la muestra es igual o mayor

que él, el lote es rechazado.

Para dar el plan de muestreo (n, Ac, Re) en este trabajo utilizaremos las

normas militares estándar.

La norma UNE 66–020 (MIL STD 105D) consiste en un conjunto de

tablas que establecen los planes de muestreo de aceptación de lotes por

atributos mencionados anteriormente.

Un concepto clave para la utilización de estas tablas es el nivel de

calidad aceptable (NCA o AQL). Se define como el porcentaje máximo de

unidades defectuosas alcanzable por la media del proceso para que se pueda

considerar como satisfactorio desde el punto de vista de la inspección por

muestreo. Se considera como un porcentaje de defectuosos “aceptable” por el

comprador, un compromiso entre la capacidad del proceso del proveedor y las

exigencias del cliente. El NCA ha de ser prefijado, generalmente por criterios

económicos.

El NCA indica que un lote con una proporción p de defectuosos que sea

menor o igual que él será aceptado en la mayoría de los casos. (La

probabilidad de aceptar un lote con p = NCA varía entre el 88-99%).

Las normas militares ofrecen variantes en cuanto a la severidad del

muestreo. Permite elegir tres rigores generales de inspección: normal,

rigurosa y reducida, como se ve en la figura. La inspección normal se aplica

generalmente al inicio del proceso y cuando la calidad del proveedor es del

mismo orden de la que precisa el proceso de fabricación. La rigurosa se

aplica cuando el historial de la calidad se ha deteriorado (calidad < necesaria).

Y, por último, la reducida cuando el historial de calidad es excepcionalmente

bueno (calidad > necesaria). En esta última el tamaño de muestra es menor.

REDUCIDA NORMAL RIGUROSA

Rigores generales de inspección

Para poder cambiar el rigor de inspección se sigue el siguiente

esquema:

REDUCIDA NORMAL RIGUROSA

10 o más lotes consecutivos aceptados

y

nº de defectuosos no supera el límite de la tabla de números límites en inspección

reducida

y

producción estable

y

autoridad competente lo estima

2 de 5 lotes consecutivos son

rechazados

Se rechaza un lote

o

no se toma decisión (nº defectuosos

mayor que Ac pero menor que Re)

o

producción irregular

o

autoridad competente lo estima

5 lotes consecutivos

aceptados

Se parala

inspección

10 lotes consecutivos rechazados

Inicio

Cambios de rigor de inspección

Si se llama X = “número de defectuosos en la muestra”, cuando el rigor

de inspección es reducido, puede ocurrir que:

Sucede Decisión

X ≤ Ac Se acepta el lote y se sigue en

inspección reducida

Ac < X < Re Se acepta el lote y se pasa a

inspección normal

X ≥ Re Se rechaza el lote y se pasa a

inspección normal

Además, del AQL y del rigor de inspección, se ha de considerar el coste

de inspección por unidad de producto: alto (nivel I), medio (nivel II) y bajo

(nivel III).

El tamaño del lote y el coste de inspección determinan en las tablas

según la norma militar una letra código.

Definida esta letra código y elegido el nivel de calidad aceptable las

tablas diseñan un plan de muestreo para cada nivel de inspección: normal,

reducida y rigurosa.

La tabla de “números límites en inspección reducida” muestra en función

del NCA y de los elementos extraídos en los últimos 10 lotes el máximo

número de unidades defectuosas en inspección normal. Si las observaciones

no aptas superan este valor se ha de seguir en este rigor. En algunas

ocasiones podría ocurrir que se precisasen más de 10 lotes para conseguir el

número de elementos necesarios que establecen las tablas.

SIMIL

"SIMIL" es una hoja de cálculo que, dado un tamaño de lote y el nivel de

inspección y nivel de calidad aceptable, explica los pasos a seguir para

obtener los tamaños de muestra y números de aceptación y rechazo para

cada tipo de inspección: reducida, normal y rigurosa; así como, el máximo de

unidades defectuosas para poder pasar de inspección normal a inspección

reducida. Durante el cálculo aparece en la parte superior de la pantalla una

ventana indicando lo que está haciendo al tiempo que se mueve por la hoja

de cálculo unos iconos que representan la acción realizada.

Una vez obtenido el plan de muestreo, también podemos realizar una

simulación de control de un proceso de producción que utilice dicho plan. Esta

simulación puede generar aleatoriamente el número de defectuosos de cada

lote inspeccionado o bien obtener dicho número de una tabla predefinida.

Plan de muestreo doble.

Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el que se toma una

muestra aleatoria de n1 unidades del lote para su inspección y determinación

del destino del mismo en función de la información procedente de la muestra.

El lote se puede aceptar si el número de elementos defectuosos es menor o

igual que uno dado (número de aceptación en la primera muestra, Ac1), se

puede rechazar si el número defectuosos es mayor o igual que un valor dado

(número de rechazo, Re1) o se puede pasar a la segunda muestra si el

número de defectuosos está entre los dos valores anteriores. Si se ha de

pasar a la segunda muestra, el lote será aceptado si la suma de defectuosos

de la primera y segunda no superan el número de aceptación segundo (Ac2).

Se selecciona al azar una muestra de tamaño n1 de un lote de N

unidades, se inspecciona respecto a un atributo o característica de calidad,

que clasifica cada unidad en ‘apto’ o ‘no apto’, ‘defectuoso’ o ‘no defectuoso’

contabilizando el número de unidades que no cumplen los requisitos

establecidos y, si es necesario, se inspecciona otra muestra de tamaño n2.

Consiste, por tanto, en fijar de modo preciso seis números (n1, Ac1, Re1, n2,

Ac2, Re2), donde n1 es el tamaño de la primera muestra, Ac1 es el número de

aceptación o máximo de unidades defectuosas que puede tener la primera

muestra para que el lote sea aceptado, y Re1 el número mínimo de

defectuosas que hace rechazar el lote, n2 es el tamaño de la segunda

muestra, Ac2 es el número de aceptación o máximo de unidades defectuosas

que pueden tener entre la primera muestra y la segunda para que el lote sea

aceptado, y Re2 el número mínimo de defectuosas en la primera y segunda

muestras que hace rechazar el lote.

La norma UNE 66–020 (MIL STD 105D) también establecen los planes

de muestreo dobles para la aceptación de lotes por atributos mencionados

anteriormente.

Si se llama X1=“número de defectuosos en la primera muestra” y

X2=“número de defectuosos en la segunda muestra”, cuando el rigor de

inspección es reducido, puede ocurrir que:

Sucede Decisión

X1 ≤ Ac1 Se acepta el lote y se sigue en

inspección reducida

Ac1 < X1 < Re1 Se pasa a la segunda muestra

X1 + X2 ≤ Ac2 Se acepta el lote y se sigue en

inspección reducida

Ac2 < X1 + X2 ≤ Re2 Se acepta el lote y se pasa a

inspección normal

X1 ≥ Re1 Se rechaza el lote y se pasa a

inspección normal

X1 + X2 ≥ Re2 Se rechaza el lote y se pasa a

inspección normal

Al igual que el plan simple se define la letra código y elegido el nivel de

calidad aceptable y el rigor las tablas diseñan el plan de muestreo doble. Las

condiciones de paso de un rigor de inspección a otro son las mismas.

SIMIL 2.0

"SIMIL 2.0" es otra hoja de cálculo en la que, dado un tamaño de lote y

el nivel de inspección y nivel de calidad aceptable, explica los pasos a seguir

para obtener los tamaños de muestra y números de aceptación y rechazo

para cada tipo de inspección: reducida, normal y rigurosa en plan de muestreo

doble; así como, el máximo de unidades defectuosas para poder pasar de

inspección normal a inspección reducida.

Una vez obtenido el plan de muestreo, también podemos realizar una

simulación de control de un proceso de producción que utilice dicho plan. Esta

simulación puede generar aleatoriamente el número de defectuosos de cada

lote inspeccionado o bien obtener dicho número de una tabla predefinida.