Control Estad í stico de Proceso Gráficos de Control

Control EstadControl Estadíísticostico de Proceso de Proceso

Gráficos de ControlGráficos de Control

Participantes:

Ing. Gilberth Araujo.

Ing. Rafael Quintero.

Lic. Yamile Yépez.

Noviembre 2009

Gráficas de control

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

x ˆ3ˆ

x ˆ3ˆ

Límite superior de control (LSC)

Límite inferior de control (LIC)

Línea central (LC)

Dónde el tiempo representa la muestra o subgrupo

• Las gráficas de control nos muestran cómo se

compara una característica a través del tiempo.

• Si todos los puntos están dentro de los límites y

no siguen un patrón específico, se dice que el

proceso está bajo control o bajo control

estadístico.

• Los límites de control dependen del

comportamiento de los datos.


• Concepto de control estadístico de Shewhart:

– Se dice que un fenómeno está controlado cuando,

a través del uso de la experiencia pasada, se

puede predecir al menos dentro de ciertos límites

como se espera que varié el fenómeno en el

futuro.

– Si un proceso no está en estado controlado, la

productividad o el éxito económico no se

garantiza.


• Límites de especificación:Límites de especificación: dependen del diseño o del cliente.

• Límites de control:Límites de control: los determina el proceso.



Ocho pruebas para verificar que una gráfica está bajo control estadístico:

Prueba # 1: Prueba # 1: un dato fuera del límite de control

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A


Prueba # 2: Prueba # 2:

Ocho puntos en forma consecutiva por arriba o por debajo del promedio

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A


Cinco puntos consecutivos en forma ascendente o descendente

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A



Catorce puntos alternándose en forma consecutiva arriba y abajo.


Dos o tres puntos en la zona A o más allá

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

9



Cuatro de cinco puntos consecutivos en la zona B o más allá


Quince puntos consecutivos en la zona C

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

10



Ocho puntos consecutivos que no caigan en la zona C

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

• Cuando una gráfica no está en control estadístico, se puede deber

a:

– Causas Comunes o Aleatorias de Variación (que es

inherente al proceso): son naturales en el proceso, y

permitiría a la organización formular acciones de

mejora en pro de su reducción.

– Causas Especiales o Atribuibles de Variación (que

causa una variación excesiva): se traducen en altas

variaciones las cuales, hacen que el proceso se

salga de control, y que no están actuando siempre

sobre el proceso. Para resolverlo la organización

debe tomar acciones correctivas.


Estadística de las gráficas de control

• Prueba de hipótesis:

Ho: El proceso está bajo control vsHa: El proceso no está bajo control

– Error tipo I: Rechazar Ho cuando Ho es verdadero. Se concluye que “el proceso no está bajo control, cuando realmente si lo está”.

P(Error tipo I)=

– Error tipo II: Aceptar Ho cuando Ho es falsa. Se concluye que “el proceso está bajo control, cuando realmente no lo está”.

P(Error tipo II)=

• Para fines de cálculo de y , suponga que el proceso no está bajo control si hay un cambio en la media del mismo.

Estadística de las gráficas de control

Curva característica de operación

• Es una medida de la bondad de una gráfica de control para detectar cambios en los parámetros de los procesos (, ).

P(no

detectar cam

bios)=Cambios en la media del proceso

ARL (Average run length)

Longitud Promedio de la Corrida

• Denota el número de muestras que en promedio se requieren para detectar una señal fuera de control.– Si el proceso está bajo control:

– Entre más grande sea el ARL es mejor, ya que no se tienen muchas falsas alarmas.

1ARL

– Si el proceso no está bajo control:

– Entre más pequeño sea el ARL necesito menos muestras para calcular el error tipo II

ARL (Average run length)

11

ARL

Beneficios de las gráficas de control

1. Son herramientas efectivas para entender la variación del proceso y ayudan a lograr el control estadístico.

2. Si un proceso está en control estadístico su desempeño es predecible y tanto el fabricante como el cliente pueden confiar en niveles consistentes de calidad y en costos estables para lograr la calidad.

3. Un proceso bajo control estadístico se puede mejorar a través de la reducción de variación y el centrado en un valor objetivo; esto reduce costos y mejora la productividad.

4. Las gráficas de control proporcionan un lenguaje común para comunicar información sobre el desempeño de un proceso entre muy diversas personas dentro y fuera de la empresa.

5. Las gráficas de control indican dónde está o quien tiene la posible solución de un problema, con lo cual se minimiza la confusión, frustración y el costo de los esfuerzos mal dirigidos para la solución de un problema.

Beneficios de las gráficas de control

Tipos de gráficas de control

Gráficas para variables

Sx

Rx

Gráfica de medias y rangos

Rx

Gráficas de medias y rangos

• El procedimiento es el mismo que en las gráficas de medias y desviación estándar.

• La forma de obtener los límites de control y la línea central es la siguiente:

• Gráfica de rangos:


RLC RDLSC 4RDLSC 3

R: Es la media de los rangos de las muestras.D3 y D4: Son parámetros para los gráficos de control y depende del tamaño de la muestra (n).

• Gráfica de medias: antes de calcular los límites es necesario que esté bajo control la gráfica de rangos.


xLC RAxLSC 2RAxLSC 2

R: Es la media de los rangos de las muestrasA2: Es un parámetro para los gráficos de control y depende del tamaño de la muestra (n)

= se puede obtener a partir de los datos recopilados, pero generalmente se obtiene de la información proporcionada por la gráfica de un proceso bajo control.


2

ˆdR

Interpretación de gráfica de rangos

• Esta gráfica se debe analizar primero, ya que el comportamiento de los promedios y de los rangos de los subgrupos depende de la variabilidad estimada de las piezas.

• Se deben verificar las ocho pruebas

• Verificar que no haya tendencias

Interpretación de gráfica de medias

• Si la gráfica de rangos está bajo control, la dispersión

del proceso está estable y por lo tanto se puede

analizar la gráfica de los promedios; los límites de

control de esta gráfica se basan en la cantidad de

variación de los rangos. Con la gráfica de medias se

determina si el centro del proceso está cambiando

con el tiempo y si ese es el caso, entonces existen

causas especiales de variación que están

ocasionando esos problemas.

Gráfica de medias y desviación estándar

Sx

1.1. Defina cuál será la característica de la Defina cuál será la característica de la calidad:calidad: Otorgar la máxima prioridad a aquellas variables o características medibles y expresables mediante números y que causen problemas en producción o costos.

2.2. Escoja el subgrupo racional:Escoja el subgrupo racional: Los elementos que conformen cada subgrupo deberán de haberse producido básicamente dentro de las mismas condiciones.

Procedimiento para elaborar una gráfica x - S

3.3. Recolectar los datos:Recolectar los datos: Recoger información de 25 subgrupos con más de 10 datos en cada subgrupo. Regístrelos en una hoja de datos.

4.4. Calcular los promedios para cada subgrupoCalcular los promedios para cada subgrupo

5.5. Calcular Calcular : : dividiendo el total de los promedios de cada subgrupo por el número de subgrupos.


x

6.6. Calcular SCalcular S:: Calcular la desviación estándar de cada subgrupo.

7.7. Calcular :Calcular : dividiendo el total de las S de cada subgrupo por el número de subgrupos.


1

)(1

2

n

xxS

n

ii

S

8.8. Calcular las líneas de control:Calcular las líneas de control:

Calcular cada una de las líneas de

control para la gráfica y la gráfica

S con las siguientes fórmulas:


x

• Gráfica S:

• Línea central:

• Límite superior de control:

• Límite inferior de control:

Nota importante: En estas gráficas de control la desviación estándar se estima con la expresión


SLC SBLSC 4SBLIC 3

4cS

9.9. Dibujar las líneas de control:Dibujar las líneas de control: Preparar una hoja de papel

cuadriculado; dividirla en dos partes iguales para las dos

gráficas, colocando en la parte inferior la de desviaciones

estándar y en la parte superior la de medias; marcar cada eje

vertical de la izquierda con los valores de las media y de las

desviaciones estándar, según sea el caso, y el eje horizontal

con los números de los subgrupos. Dibuje una línea sólida

para la línea central y una línea punteada para los límites.


10.10. Localizar los puntos:Localizar los puntos: Registrar los valores

de la media y de la desviación estándar de

cada subgrupo, por partes, según el

número del subgrupo.

11.11. Registrar los datos que puedan ser de Registrar los datos que puedan ser de

utilidad:utilidad: Escriba el tamaño del subgrupo

(n) en el extremo superior izquierdo de la

gráfica de medias.


Interpretación de gráfica S

• Primero se debe analizar esta gráfica, ya que si

no está bajo control estadístico los límites de la

gráfica de medias no tendrán sentido.

• En caso de que no este bajo control estadístico,

se deberán encontrar las causas especiales de

variación y eliminar los puntos fuera de control y

recalcular los límites.

Interpretación de gráfica de medias

• Después de haber revisado la gráfica S, es

cuando se interpreta la de medias.

• Nunca se deben relacionar los puntos en una

gráfica de medias con los límites de

especificación, ya que los puntos en la gráfica son

promedios y las especificaciones corresponden a

valores individuales, presentando una variabilidad

mayor que los subgrupos.

• Se deben verificar las ocho pruebas

• Verificar que no se presente ningún patrón.

• Datos normales.

Para ambas gráficas

Supongamos que tenemos una máquina inyectora que produce piezas de plástico, por ejemplo de PVC. Una característica de calidad importante es el peso de la pieza de plástico, porque indica la cantidad de PVC que la máquina inyectó en la matriz. Si la cantidad de PVC es poca la pieza de plástico será deficiente; si la cantidad es excesiva, la producción se encarece porque se consume más materia prima. Entonces, en el lugar de salida de las piezas, hay un operario que cada 30 minutos toma una, la pesa en una balanza y registra la observación:

Caso Práctico

20 muestras de n = 8 han sido tomadas en el proceso. La media del rango para las 20 muestras es de 0,016 gr y la media de las medias de las muestras 3 gr.

Determinar los límites de control para este proceso.x = 3 gr R = 0,016 gr n = 8: A2 = 0,37 D4= 1.564 D3=0.136

grxLC 3grRAxLSC 006.3)016.0*37.0(32

grRAxLSC 994.2)016.0*37.0(32

grRLC 016.0grRDLSC 025.0016.0*564.14

Gráficos de Rango

grRDLSC 0022.0016.0*136.03

Gráfico de Medias

GRÁFICO x GRÁFICO R

Detecta variaciones

No detecta variaciones

No detecta variaciones: el gráfico falla paraindicar un problema

Detecta el aumento de la variación

UCL

LCL

x

UCL

UCLUCL

LCL

LCL LCL

x

R

R

EJEMPLO

EJEMPLO

GRÁFICO x GRÁFICO R

Detecta variaciones

No detecta variaciones

No detecta variaciones: el gráfico falla paraindicar un problema

Detecta el aumento de la variación

UCL

LCL

x

UCL

UCLUCL

LCL

LCL LCL

x

R

R

EJEMPLO

EJEMPLO

Usando los gráficos de la media y del recorrido

Los dos tipos de gráficos de control proveen de diferentes perspectivas del proceso.

El gráfico de control de la media es sensible a los cambios en la media del proceso y el de recorrido es sensible a la dispersión del proceso.

Lo lógico sería utilizar los dos tipos de gráficos para controlar el mismo proceso.

Gráficos de Control por Atributos• Los gráficos de control para atributos se usan cuando la

característica de calidad del proceso no puede ser medida, sólo puede observarse, clasificando el producto en defectuoso o bueno.

• Hay dos tipos de gráficos de control para atributos:– Gráfico p:

Para el número de piezas defectuosas en una muestra

– Gráfico c:

Para el número de defectos por unidad

Gráficos de Control por Atributos• ¿Cuándo debe usarse cada uno de ellos?

– Gráfico p:• Cuando lo que se observa pueda situarse en dos categorías : bueno o

malo, aprobado o suspenso, si o no,..• Cuando los datos consisten en múltiples muestras de n observaciones

cada una de ellas.

– Gráfico c:• Cuando sólo puedan contarse los sucesos ocurridos pero no los no

ocurridos. Ejemplos:– Llamadas por hora– Arañazos, errores, .. por pieza– Roturas, rajas por metro cuadrado– Crímenes anuales, etc

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Gráficos de Control por AtributosGRÁFICO p• Se utiliza para controlar la proporción de defectos generados

por un proceso.• El gráfico p se construye y utiliza de forma similar al gráfico x.• La línea central del gráfico p es la fracción de ítems

defectuosos (p), se calcula como el número de ítems defectuosos dividido por el tamaño de la muestra n (estamos utilizando muestras de tamaño variable).

• p es la fracción de defectuosos del universo, como no la conocemos haremos una estimación que denominamos p y, se calcula como la media de las fracciones defectuosas de 20-25 muestras.

Gráficos de Control por Atributos

• La variable p se distribuye como una binomial, por tanto, su desviación típica y los límites de control pueden expresarse como:

Límites de control =

Si el límite inferior de control es < 0 se utiliza como límite cero

p

p p

n

( )1

p p3

Gráficos de Control por Atributos• Ejemplo:

Usando la siguiente información construir el gráfico de control que describa el 95.5% de posible variación en el proceso cuando el proceso está bajo control. Cada muestra contiene 100 observaciones.

Muestra Nº Defectos Muestra Nº Defectos 1 14 11 82 10 12 123 12 13 94 13 14 105 9 15 116 11 16 107 10 17 88 12 18 129 13 19 10

10 10 20 16220

Gráficos de Control por Atributos • p = 220 / (20*100) = 0.11

p = ((0.11*(1-0.11))/100)1/2 = 0.03

Límite superior UCLp = 0.11+ (2*0.03) = 0.17

Límite inferior LCLp = 0.11 - (2*0.03) = 0.05

Si dibujamos los límites de control y la fracción de defectuosos para cada muestra podemos observar que el proceso inicialmente está bajo control, aunque la última observación está muy cerca del límite superior.

Gráficos de Control por Atributos GRÁFICO c

• Este tipo de gráfico se utiliza cuando se está intentando controlar el número de defectos por unidad, ya sea porque el numero de posibles defectos es elevado o porque se desee aislar un cierto tipo de ellos.

• El número de defectos por unidad se distribuye como una distribución de Poisson: Se considera la existencia de una gran cantidad de posibles defectos por artículo, una probabilidad relativamente baja de que se de un defecto e independencia de sucesos de los distintos artículos.

• c es el número más probable de defectos por muestra que estimamos como c

Gráficos de Control por Atributos • La media del número de defectos por unidad es c. Se calcula

dividiendo el número total de defectos encontrados en un lote de muestras entre el número de estas, que no debe ser inferior a 25.

• La desviación típica σc = c

• Aproximando a la normal, los límites de control serán:– Límite superior UCLc = c + 3 c– Límite inferior LCLc = c - 3 c

• Si el límite inferior de control es <0 se utiliza como límite cero

Gráficos de Control por Atributos • Ejemplo:

Unos rollos de cable han sido controlados usando un gráfico c. 18 rollos han sido examinados y el número de defectos por rollo ha quedado recogido en la siguiente tabla. ¿Está el proceso bajo control?

Muestra Nº Defectos Muestra Nº Defectos Muestra Nº Defectos 1 3 7 4 13 22 2 8 1 14 43 4 9 2 15 24 5 10 1 16 15 1 11 3 17 36 2 12 4 18 1

45

Gráficos de Control por Atributos

• La media del número de defectos c = 45/18 = 2,5• Los límites de control son

– UCLc = 2,5 + 2 2,5 = 5,66– LCLc = 2,5 - 2 2,5 = -0,66 = 0

• Defectos por unidadUCLc = 5.66

LCLc = 0

1 2 3 4 5 6 7 17 18

2.5

Consideraciones de los gráficos de Control

• Los gráficos de control suponen tiempo y dinero que pueden ser necesarios para conseguir la salida del proceso.

• En aquellas organizaciones donde deben emplearse gráficos de control en algunos puntos del proceso, los directivos deben tomar varias decisiones relacionadas con el uso de los gráficos de control:

– En qué puntos del proceso se deben utilizar.– Qué tamaño de muestra tomar.– Qué tipo de gráfico de control utilizar

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