Control Directo de Std

5/16/2018 Control Directo de Std - slidepdf.com

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CONTROL DIRECTO DE

SISTEMAS EN T. DISCRETO

Tema 6



Indice

Control de Sistemas en Tiempo Discretoen el Lugar de las Raíces

Control de Sistemas en Tiempo Discretopor Respuesta Frecuencial

Control por Síntesis Directa. Método deTruxal-Ragazzini



Control de Sistemas en Tiempo

Discreto en el Lugar de las Raíces El método de compensación del lugar de las raíces en el plano z

es similar al caso continuo en el plano s, esto es, se

especificarán las ubicaciones de los polos dominantes en lazocerrado y se elegirá un tipo de compensador adecuado paracumplirlas.

Para ello se ubicará el lugar geométrico de las raíces de

1 0+ =GH z( )

1 01 2

1 2

+ ⋅ + ⋅ + ++ ⋅ + +

=K z z z z z z z p z p z p

m

n

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

LL




Discreto en el Lugar de las Raíces Al ser GH(z) una magnitud compleja se imponen 2 condiciones:

1. condición de ángulo

2. Condición de magnitud

Los valores de z que cumplan la condición de angulo para Kvaraible definen el lugar geométrico de las raíces o polos delsistema en bucle cerrado (LdR)

La aplicación de la condición de magnitud para una Kdeterminado define los polos específicos del sistema en buclecerrado.

...2,1,0)12(180))(arg( =+−= k k zGH 1)( = zGH




Discreto en el Lugar de las Raíces......))(arg( 2121 −−−++= θ θ φ φ zGH

n

m

A A A

B B BK zGH

K

K

21

21)(⋅⋅=




Discreto en el Lugar de las Raíces En general

Con objeto de determinar la ubicación de los polos y ceros el

controlador G c (z) digital se obtendrá la deficiencia angular en lospolos deseados z d

La condición de magnitud evaluada en z d permitirá ajustar laganancia del controlador K c .

)()()(

)()()()(

21

21

cncc

cmcccc p z p z p z

z z z z z zK zG ++⋅+

++⋅+⋅= L

L

d z z zGH

=−∠−= )(º180φ




Discreto en el Lugar de las Raíces La forma más habitual del controlador G c (z) será:

1

z

x

z p z

0

1

z

x

z p

z

G z K z z z z

z zc

p

p( ) ,= ⋅ ++

>0

0G z K z z

z z z zc

p

p( ) ,= ⋅ ++

>0

0

Controlador de Adelanto (φ>0) Controlador de Atraso (φ<0)




Discreto en el Lugar de las Raíces

1

z

x

z p 2

z0 2

x

z p1

z 01

G z K z z

z z

z z

z zc

p

Ad

p

At

( ) = ⋅++

⋅++

01

1

02

2123 123

Controlador de Atraso-Adelanto

Los esquemas anteriores cubren a los controladores PID, en

concreto el control PD (Adelanto con zp = 0), el control PI (Atrasocon zp = 1) y el control PID (Atraso-Adelanto con zp1 = 0 , zp2 = -1),para el caso de discretizacion Euler hacia atrás.




Discreto por Respuesta Frecuencial

El método de compensación basado en la respuesta en

frecuencia para sistemas en tiempo discreto es análogo al casocontinuo. No obstante, será necesario realizar previamente latransformación bilineal que obtenga a partir de la plantaG(z ) laplanta G(w).

A partir de G(w) se realizará el diseño del controlador G c (w),utilizando los procedimientos de diseño en continua, teniendo en

cuenta la distorsión del eje de frecuencia w = j ν respecto al ejes = j ω. Una vez obtenido G c (w) se aplicará nuevamente la

transformación bilineal para obtener G c (z).




Discreto por Respuesta Frecuencial El procedimiento se resume en los siguientes pasos:

1. Obtener G(z) y hallar

2. Hacer w = j ν , y establecer la ganancia del controlador K para cumplir las especificaciones de error estático y develocidad en su caso.

3. Dibujar el diagrama Bode de KG( ν ), y determinar MF y MG.

4. En caso de no cumplirse las especificaciones de MF y MGse diseñará un compensador G c (w) por las técnicasconvencionales , desprovisto de ganancia.

5. Transformar G c (w) en G c (z) , según

G w G z z

T w

T w

( ) ( )= =+

−

12

12

1

12)()(

+

−=

= z

z

T

wcc wG zG




Discreto por Respuesta Frecuencial Se ha de resaltar que el diseño es aproximado en tanto en

cuanto , por tanto se cumplirá

El eje ν , está distorsionado respecto al eje ω, pues

ω ω

< s

10ν ω ≈

ν ω

=2

2T tan

T



Control por Síntesis Directa. Método

de Truxal-Ragazzini El método de síntesis directa o de Truxal - Ragazzini, permite

diseñar un G D (z) para que se cumpla que la secuencia de error

e(kT) ante una referenciaº en particular sea cero tras un númeroN de periodos T , y se mantenga así, con un tiempo mínimo deestablecimiento, y sin rizado entre muestras.

E z( ) R z( ) +

-

G z D ( ) G z( )C z( )U z( )

G z Z e

sG s

Ts

p( ) ( )=−

⋅⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−1 G p (s) de orden n




de Truxal-Ragazzini Se tratará de diseñar G D (z), para cumplir las especificaciones de

error señaladas, e incluso una especificación sobre las

constantes de error estático.

La función de transferencia en lazo cerrado será

F(z) deberá tener un tiempo de establecimiento finito y error en

régimen permanente cero ante referencia de entrada impulso

)()(1)()(

)()()(

zG zG zG zG

z R zC zF

D

D

⋅+⋅==

N

N

N N

T pasosnum finitarespuesta

N

N z

a za za za zaa zF

++⋅+⋅=⋅++⋅+==

−−− K

4 4 4 4 34 4 4 4 21K

1

10

).(

1

10)( N n≥

C




de Truxal-Ragazzini Despejando

El controlador así diseñado habrá de cumplir tres condiciones:

Condición de Realización física.

Condición de Estabilidad. Condición de Error en régimen permanente nulo

Condición de Rizado Nulo entre muestras.

1. Condición de Realización Física

El controlador G D (z) ha de ser físicamente realizable.

))(1()(

)()(

zF zG

zF zG D −⋅

=

C l Sí i Di Mé d




de Truxal-Ragazzini a) Causalidad: grado num(G D (z)) grado den(G D (z)).

b) Si G(z) se expande en potencias de z -1, el término mássignificativo de F(z) en potencias de z -1 debe ser al menos tangrande como el de G(z), por ejemplo

2. Condición de Estabilidad.

Se deberá evitar la cancelación de polos inestables o críticosde G(z) , y ceros de G D (z),ya que no es exacta, y haydivergencias con el tiempo kT, dando lugar a inestabilidad

≤

0)()( 02211021 ≡⇒+++=⇒++= −−−− a za zaa zF z z zG KK

C l Sí i Di Mé d




de Truxal-Ragazzini Tampoco el controlador G D (z) no tendrá polos inestables o

críticos que cancelen ceros de G(z) fuera del círculo unidad.

a) Para el primer caso suponiendo

polos inestables de G(z) serán incluidos como ceros en 1-F(z).

1 , )(

)( 1 ≥−

= α α z

zG zG

α

α

−⋅+

−

⋅

=

z

GG

z

GG

zF

D

D

1

1

1

)(

11 )()(1

1)(1GG z

z

z

zG zG

zF D

D

⋅+− −=

−⋅+

=− α α

α

C t l Sí t i Di t Mét d




de Truxal-Ragazzini b) Para el segundo caso suponiendo

los ceros externos al circulo unidad de G(z), persistirán comoceros de F(z).

3. Condición de Error Permanente Nulo.

El error permanente será cero tras un número finito demuestras N y así se mantendrá,

1 , )(

)(2

≥−

= β β

zG

z zG

)(1

)(2

2

2

β

β

β

β

−⋅+−⋅=

−⋅+

−

⋅= zGG

zG

G

zG

G

z

G zF

D

D

D

D

finito ,0)(lim N kT e NT k

→→




Control por Síntesis Directa. Métodode Truxal-Ragazzini

A partir del esquema de control en lazo cerrado

En particular, se tendrá

Por tanto

E z R z C z R z F z( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))= − = ⋅ −1

( )

R zP z

z

q P z escalon

q P z Tz rampa

q P zT

z z parabolica

q( )

( )

( )

( ) &

( )

( ) &

=−

→= == =

= = +

⎧

⎨⎪⎪

⎩

⎪⎪

− +−

− −1

0 1

1

22

1 1

1

2

1 2

E zP z F z

z q( )( ) ( ( ))

( )=

⋅ −− − +

1

1 1 1





E(z) debe ser un polinomio en z -1, con un número finito detérminos , esto es,

Por tanto, se elige 1 – F(z) según,

con N(z) tambien finito al igual que F(z). De esta manera

Por ello, el controlador G D (z) de Truxal-Ragazzini será,

E z b b z b zm

N ( ) = + ⋅ + + ⋅− −0 1

1K

1 1 1 1− = − ⋅− +F z z N zq( ) ( ) ( )

E z P z N z b b z b z N

N ( ) ( ) ( )= ⋅ = + + +− −0 1

1K

)()1()(

)()(

11 z N z zG

zF zG

q D ⋅−⋅=

+−

Control por Síntesis Directa Método




4. Condición de Rizado Nulo

Para que el rizado del error e(t) sea nulo entre muestras, secumplirá para la salida c(t) que

, ante entrada escalón. , ante entrada rampa.

, ante entrada parabólica.

Estas condiciones serán establecidas sobre la señal de controlu(t), ya que la ausencia de rizado impone que u(t) sea constantepara referencias r(t) escalón, rampa y aceleración.

c t NT cte( )> =cte NT t c => )(&

cte NT t c => )(&&

Control por Síntesis Directa Método




En concreto se impondrán sobre la secuencia u(kT) ya que

y de esta manera aparecen condiciones sobre F(z).

Hay que notar que el diseño se vincula a la señal de referenciar(kT). Además, como el diseño no depende de T , se puedenproducir efectos no lineales como saturación (T pequeño) einestabilidad (T grande).

........)()1(

1

1

10 ++++⋅+=+−

+−− N

N

N

N zb zb zbb zU

)(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)()(

zG

z R zF

zG

z R

z R

zC

zG

zC zU ⋅=⋅==

Control Directo de Std

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