Control de Un Péndulo de Furuta en Modo Grúa

SapientíaRevista Científica y Tecnológica Institución Universitaria Antonio José Camacho

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ResumenEn este artículo se presenta el método de control en el espacio de los estados de un péndulo rotacional en modo grúa. El péndulo rotacional mencionado en este trabajo hace parte del equipamiento del laboratorio de la Institución Universitaria Antonio José Camacho.

Los sistemas de puente grúa son ampliamente uti-lizados en aplicaciones industriales, como puertos marítimos, plantas de manufactura, obras de cons-trucción, etc. Consiste en un sistema electromecánico subactuado de dos grados de libertad1 rotacionales. Un ejemplo de este tipo de sistemas son las aeronaves, los vehículos espaciales, los vehículos submarinos, los barcos, los satélites y los robots construidos por barras y uniones articuladas pasivas y activas. El desa-rrollo de estos mecanismos que pueden realizar tareas complejas con un número reducido de actuadores es de gran interés puesto que implica reducción tanto de peso como de costos.

La implementación del controlador se realiza con la ayuda del toolbox xPC target de Matlab y se prueba sobre un péndulo real.

Control de un péndulo de Furuta en modo grúa


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Nora Cecilia Páramo Polanco, Wilson Barco Morales, Carlos Andrés Osorio Zúñiga

1 Grados de libertad son cada uno de los movimientos independientes que una articulación permite efectuar entre dos eslabones

Palabras clave: Péndulo rotacional, puente grúa, sis-tema electromecánico subactuado, péndulo de Furuta.

AbstractThis paper presents the state space control of a rotatio-nal pendulum in crane mode. Crane systems are widely used in industrial applications, for example, sea ports, manufacturing plants, construction sites, etc. The ro-tational pendulum mentioned in this paper is part of laboratory equipment of the Antonio José Camacho University.

This is a two degrees of rotational freedom unde-ractuated electromechanical system. An example of such systems are aircraft, spacecraft, underwater vehicles, ships, satellites and robots built by bars and articulated joints passive and active. The de-velopment of these mechanisms that can perform complex tasks with a reduced number of actua-tors is a matter of great interest, since it involves weight reduction and cost.The implementation of the controller is done with the help of the Matlab xPC Target toolbox and tested on a real pendulum.

Keywords: Rotational pendulum, crane, underac-tuated eletromechanical system, Furuta pendulum.


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Nora Cecilia Páramo Polanco, Wilson Barco Morales, Carlos Andrés Osorio Zúñiga Control de un péndulo de Furuta en modo grúa

Introducción

El sistema de péndulo invertido rotacional (péndulo de Furuta) fue creado por el Dr. K. Furuta del Instituto de Tecnología de Tokio, Japón y consiste en un sistema subactuado de dos grados de liber-tad rotacionales llamados brazo y péndulo [5].

Un sistema subactuado es aquel que carece de al menos un actuador en uno de sus grados de libertad [4], es decir, el número de actua-dores es menor que el número de grados de libertad. Los sistemas subactuados incluyen fallos en los actuadores y su ausencia por con-sideraciones de diseño, reducción de peso, reducción de costos, etc.

Figura 1. Vista general del péndulo de Furuta.

Los sistemas de puente grúa son ampliamente utilizados en aplica-ciones industriales, como puertos marítimos, plantas de manufactura,

Figura 2. Puente grúa

obras de construcción, etc. En los sistemas de puente grúa, la carga suspendida por la corredera eleva-da está sujeta a balanceos causados por un control inapropiado del ope-rador y por diversas perturbaciones como son el viento, la colisión con un objeto, etc. En general, las soluciones para el problema del balanceo son indispensables para la seguridad y la eficiencia.

En este artículo se presenta un mo-delo matemático para el péndulo de Furuta y se diseña un controlador PI vectorial para dar solución al problema del balanceo de la carga.

La implementación de las técnicas de control se realiza con la ayuda del toolbox xPC target del Matlab.

2. Descripción de la planta

El péndulo de Furuta consta de dos cuerpos inerciales conectados: 1) un pilar central con momento de inercia J, rígidamente conectado a un brazo horizontal de longitud la y una masa homogéneamente distri-buida en línea ma ; y 2) el péndulo de longitud y masa homogéneamente distribuida en línea mp . El ángulo θ del péndulo ha sido definido como cero en la posición vertical arriba y

Figura 3. Péndulo rotacional

positivo cuando el péndulo se mue-ve en la dirección de las manecillas del reloj. El ángulo φ del brazo se ha definido como positivo cuando el brazo se mueve en la dirección contraria a las manecillas del reloj.

3. Modelo matemático

La obtención del modelo es basada en la teoría de Euler-Lagrange [1].

0sinsincoscos2.....

=+

(1)

donde

(2)

A partir del anterior modelo ma-temático se puede apreciar que el sistema es no lineal de cuarto orden. En el mencionado modelo, tj presenta el torque de entrada del motor.

Teniendo en cuenta que el par de control se genera por un motor de corriente continua controlado por voltaje, la ecuación eléctrica del motor será:

(3)

Si se desprecia el efecto inductivo del motor (por ser muy pequeño), la corriente en el motor sería:

(4)

2

3

1pplm=2)

3

1( apa lmmJ ++=

pap llm2

1= pp glm

2

1=

.

++= eKdt

diLIRV

.

=R

K

R

VI e

(α + βsin 2 θ) ϕ + γcosθ θ + 2ββcosθsin ϕ θ − γsin ϕ θ −2 τϕ


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Si se considera que el par es pro-porcional a la corriente entonces:

(5)

Debido a que en los motores de corriente de continua el valor de Kt y el valor de Ke son casi idén-ticos, se reemplaza Kt por Ke en la expresión anterior.

Las ecuaciones (1), (2) y (5) re-presentan el modelo matemático completo del péndulo de Furuta. En este modelo se ha despreciado el efecto de la fricción.

3.1 Selección de las variables de estado

Las variables seleccionadas como variables de estado que describen la dinámica del sistema son:

(6)

3.2 Puntos de equilibrioAntes de linealizar el sistema se hallan los puntos de equilibrio. Un punto de equilibrio se define como un punto donde el sistema puede permanecer por siempre. Al utilizar la anterior definición y al aplicarla a las ecuaciones del modelo matemático, (1), (2), (5) y (6), se tiene:

(7)

.2

==R

KV

R

KIK ee

t

1x =

.

2x =

3x =

.

4x =

( )( )sinsin0

0

sincos0

0

2

4

2

+=

=

=

=

x

x

Al resolver el sistema de ecuacio-nes en (7), se tiene que los puntos de equilibrio del sistema son (x

1,0,θ

0,0)

donde θ= kπ con k ∈ Ζ

A partir del resultado anterior, se puede apreciar que el sistema posee infinitos puntos de equilibrio. Sin embargo, nuestro punto de interés es el punto (0,0,π,0) el cual corres-ponde a la posición de reposo del péndulo invertido rotacional.

3.3 LinealizaciónDebido a que los controladores en el espacio de estados diseñados en este trabajo son lineales, se debe tener un modelo lineal de la planta. La linealización del modelo matemático se realiza alrededor del punto de equilibrio de interés (0,0, π,0)

Sea

(8)

el modelo no lineal en variables de estado del sistema. El modelo lineal está dado por:

),( Vxfdt

dx=

( )BVxAV

V

fx

x

f

dt

xd+=+=

00

.

x Ax Bu= +

(9)

donde V es la entrada de voltaje al motor.

Utilizando los valores de los pará-metros de la Tabla 1 y el comando jacobian en Matlab para lineali-zar el modelo en (8), se obtuvo la siguiente representación en el espacio de estados lineal para el sistema:

(10)

donde

(11)

(12)

0 1 0 0

0 0.1873 57.1242 0

0 0 0 1

0 0.2006 103.2474 0

A =

0

4.4165

0

4.732

B =

Parámetros del sistema Valor Unidades

Masa del péndulo (mp) 0.089 Kg

Masa del brazo (ma) 0.056 Kg

Longitud del péndulo (lp) 0.25 M

Longitud del brazo (la) 0.35 M

Inercia del pilar central 30e-05 Kgm2

Inercia del motor (j) 8.47e-06 Kgm2

Gravedad (g) 9.8 M / s2

Constante de torque en el motor (kt)

0.0424 Nm / a

Resistencia del motor (r) 3.35 W

Tabla 1. Valores de los parámetros del sistema real


11


Utilizando el comando c2d de Mat-lab, con un periodo de muestreo de 10 ms y el método de invarianza al escalón, se obtuvo la siguiente representación en tiempo discreto de la planta:

(13)

donde

(14)

(15)

Los valores propios de la matriz G son:

polo1=1

polo2=0.9992

polo3=0.9943.+0.1i

polo4= 0.9943.- 0.1i (16)

Claramente, el sistema es inestable debido a la ubicación del polo1 so-bre el círculo unitario en el plano Z.

4. Diseño del controlador PI

vectorialEl objetivo del controlador PI vectorial diseñado en esta sección es conseguir que el brazo del sis-tema siga referencias tipo escalón mientras se controla el balanceo del

( 1) ( ) ( )x k Gx k Hu k+ = +

1 0.01 0.0029 0

0 0.9981 0.5697 0.0029

0 0 0.9948 0.01

0 0.002 1.0301 0.9948

G =

0.0002

0.0441

0.0002

0.0472

H =

péndulo en modo de puente grúa. Debido a que este controlador pro-porciona acción integral, se espera que el sistema no presente error de estado estacionario.

La salida del sistema que se quiere controlar es la posición angular del brazo, por lo tanto, la ecuación de salida es:

(17)

donde

(18)

La ecuación de estado del integra-dor es:

(19)

La ley de control para el PI vecto-rial digital está dada por

(20)

donde

(21)

Figura 4. Esquema del controlador PI vectorial en tiempo discreto

r(k) v(k) v(k) x(k) y(k)

v(k-1)

K1

K2

H C

G

( ) ( )y k Cx k=

[ ]1 0 0 0C =

( ) ( 1) ( ) ( )v k v k r k y k= +

2 1( ) ( ) ( )u k K x k K v k= +

[ ] [ ]1

^4

2 1 0 1G I H

K K KCG CH

= +

ˆ

^ ^

( 1) ( ) ( )k G k H w k+ = +

)()(^

kKkw =

En la ecuación anterior, la matriz K se halla mediante un algoritmo de asignación de polos que establece los polos a un controlador para el sistema:

(22)

con

(23)

donde

(24)

Si se observa la ecuación (24), se puede apreciar que la matriz G es de tamaño 5x5. Por lo tanto, el sistema (22) será controlable si el rango de la matriz de controlabili-dad del par es igual a cinco.

En Matlab, el comando arroja la siguiente matriz de con-trolabilidad2:

(25)

^^ 0 y

0 0

G HG H

I= =

ˆ

ˆ ˆˆ ˆ(G,H)

ctrb(G,H)

0 0.0002 0.0007 0.0011 0.0015

0 0.0441 0.0437 0.0431 0.0422

0 0.0002 0.0007 0.0012 0.0016

0 0.0472 0.0466 0.0456 0.0440

1 0 0 0 0

2 La controlabilidad es una propiedad importante de un sistema de control, y juega un papel crucial en muchos problemas de con-trol, como la estabilización de sistemas inestables, o el control óptimo.


12

En Matlab, el comando, arroja un valor de 5. Por lo tanto, el sistema (22) es completamente controlable.

Los polos deseados utilizados para el diseño del controlador son:

(26)

Los polos dados por la ecuación (26) se seleccionaron de tal forma que el sistema de lazo cerrado pre-sentara características de sistema sobreamortiguado.

El comando K=acker(G,H.pd) en Mat-lab, arroja el siguiente vector para K :

(27)

Resolviendo la ecuación (21), se obtienen los siguientes valores para K1 y K2 :

(28)

(29)

A continuación se muestran las gráficas de respuesta del sistema real con el controlador PI vectorial:

^ ^

( ( , ))rank ctrb G H

[ ]0.82 0.96 0.96 0.97 0.96pd =

ˆ

[ ]^

0.15 0.16 3.7 0.27 0.7K =

1 0.1508K =

[ ]2 17.7 7.6 28.5 0.82K =

En las Figuras 4 y 5 se puede apreciar que el sistema sigue re-ferencias tipo escalón para la po-sición angular del brazo. También se observa cómo el controlador compensa el balanceo del péndulo ocasionado por los movimientos del brazo al seguir la referencia.

5. ConclusionesSe diseñó un sistema de segui-miento por realimentación del estado para controlar las oscila-ciones indeseadas del péndulo mientras se sigue una referencia tipo escalón en el brazo. El sis-tema implementado es de bajo costo, fácil implementación y alto desempeño.

Figura 5. Respuesta del brazo ante diferentes valores de referencia.

Figura 6. Respuesta del péndulo ocasionada por los movimientos del brazo.

El entorno de tiempo real propor-cionado por el programa Matlab es una poderosa herramienta para el control de robots de manera muy sencilla y amigable. La flexibilidad de este entorno permite implemen-tar rápidamente diferentes tipos de controladores para su análisis.

El diseño de controladores al con-siderar posibles fallas en los ac-tuadores (subactuado), representa una gran ventaja respecto de otras técnicas de control, debido a que el sistema seguirá operando (si es posible) de forma correcta hasta que el problema sea solucionado.

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[5]. Valera A., Vallés M., Cardo M. (2002) Desarrollo y con-trol de un péndulo de Furuta. Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática, Universidad Politécnica de Valenci



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Autores

Nora Cecilia Páramo Polanco

[email protected]

Tecnóloga Electrónica de la Universidad del Valle. Estudiante de Ingeniería Electrónica de la Institución Universitaria Antonio José Camacho en convenio con la Universidad Francisco de Paula Santander.

Wilson Barco Morales

[email protected]

Tecnólogo Electrónico de la Universidad del Valle. Estudiante de Ingeniería Electrónica de la Institu-ción Universitaria Antonio José Camacho en convenio con la Universidad Francis-co de Paula Santander.

[email protected]

Ingeniero Mecatrónico de la Universidad Autónoma de Oc-cidente, Cali - Valle. Magíster en Automatización Industrial de la Universidad Nacional de Colombia, Bogotá D.C. Docen-te hora cátedra de la Institución Universitaria Antonio José Camacho, Cali – Valle.

Carlos Andrés Osorio Zúñiga


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