CONTROL DE UN GENERADOR SÍNCRONO CON MODOS

DESLIZANTES.

RESUMEN

Exponer la arquitectura del generador síncrono y la metodología de obtención tanto delmodelo a rotor en movimiento, como el de respuesta frecuencial SSFR (stand stillfrequency response). Con el modelo a rotor en movimiento por simplicidad seimplementará el control tradicional; con el modelo de respuesta frecuencial se simula elsistema con Matlab-Simulink para predecir el comportamiento del sistema bajo diferentesesquemas de control.Exponer la Teoría de control tradicional y la Teoría de control moderna para comprenderla mecánica a seguir en la implementación del control con estas; aunque la Teoría decontrol moderna no se llevará a la implementación, se estudia su metodología solo paracontrastar la complejidad de esta ante lo que representa la implementación del controlcon modos deslizantes.Exponer la teoría de control con modos deslizantes de primero y segundo orden.Con el conocimiento teórico de las diversas estrategias de control se hace la simulación eimplementación de estas. Los resultados obtenidos son utilizados para hacer un análisiscomparativo del desempeño de dichas estrategias ante perturbaciones a las que se someteel sistema.

En el ámbito de control de sistemas retroalimentados los problemas principales a los quese enfrentan los ingenieros son la dificultad para obtener un modelo del sistema acontrolar, la sensibilidad del algoritmo de control ante variaciones de los parámetros, lalimitación que presenta la teoría de control tradicional a operar solo con sistemas linealese invariantes con el tiempo, la falta de robustez, la necesidad de recalibrar el controladorpara compensar cambios por desgaste y/o calentamiento de los componentes del sistemay la complejidad que implica la implementación de las técnicas de control moderno deespacio de estados. Todo esto lo resuelve el control con modos deslizantes de segundoorden de ahí su importancia como estrategia de control.

Notación:A Área o superficieA Matriz de dimensión nna Relación de transformación

ya Amplitud de la oscilación de salida

B Densidad de flujo magnéticoB Matriz de dimensión rnBP Banda proporcional

RB Densidad de flujo magnético del rotor

SB Densidad de flujo magnético del estator

C Matriz de dimensión nmD Matriz de dimensión rme Error

estatorE Voltaje de reacción del inducido

AE Voltaje generado internamente

fde Voltaje de campo visto del estator

inde Voltaje inducido

kde Voltaje del embobinado amortiguador visto del estator

F Fuerza magnetomotriz

ef Frecuencia eléctrica en Hz.

H Intensidad del campo magnéticoi Intensidad de la corriente eléctrica

AI Corriente de fase

di Corriente del estator del eje directo

fdi Corriente de campo referida al estator

kqi Corriente del devanado amortiguador del eje de cuadratura vista del

estator

sp II , Corriente en el primario, corriente en el secundario respectivamente

qi Corriente del estator del eje de cuadratura

Rdi Corriente del rotor’ vista del estator

j Frecuencia compleja

K Constante de construcción del generadork Matriz de ganancias de retroalimentación

criticaK Ganancia crítica

DK Constante de acción derivativa

dk Factor de distribución

ek Matriz de ganancia del observador

eqk Ganancia equivalente

gK Ganancia en estado estable

iK Constante de proporcionalidad de la acción integral

mK y MK Constantes de parametrización de la incertidumbre del sistema original en

modos deslizantes de segundo orden.

pk Factor de paso

pK Ganancia o constante proporcional

adL Inductancia mutua del eje directo entre el rotor y el estator

aqL Inductancia mutua del eje de cuadratura entre el rotor y el estator

cl Longitud de la trayectoria media

dL Inductancia operacional del eje directo

fdL Inductancia de dispersión del devanado de campo

kdL Inductancia de dispersión del eje directo de los devanados de

amortiguamiento

kqL Inductancia de dispersión del eje de cuadratura de los devanados de

amortiguamiento

lL Inductancia de dispersión del estator

mdL Inductancia de magnetización del eje directo

mqL Inductancia de magnetización del eje de cuadratura

qL Inductancia operacional del eje de cuadratura

pM Máximo sobrepaso

N Numero de vueltas

mn Velocidad del rotor en rpm

sp NN , Numero de vueltas del primario, secundario respectivamente

pN Numero total de espiras por fase

p Número de polos

P Potenciar Factor de rizo

AR Resistencia del estator o inducido

fdR Resistencia de campo’ referida al estator

kr Entrada de referencia en tiempo discreto

kdR Resistencia del devanado de amortiguamiento de eje directo’ vista del

estator

kqR Resistencia del devanado de amortiguamiento de eje de cuadratura’ vista

del estator

ds Desviación de la superficie de conmutación

T Matriz de transformaciónT Tiempo de convergencia del sistema en modos deslizantes

DT Constante de tiempo derivativa

iT Constante de tiempo integral

kt Tiempo de muestreo

0t Es el tiempo muerto del sistema

pt Tiempo pico

rt Tiempo de levantamiento

st Tiempo de asentamiento

smt Tiempo de modo deslizante

u Señal de control escalaru Vector de control de dimensión “r”

equ Control equivalente

V Voltaje de fase

OCV , Voltaje de fase en circuito abierto

dV Voltaje del eje directo

1'kqV Voltaje del embobinado amortiguador en condición de eje de cuadratura

visto del estator 1

2'kqV Voltaje del embobinado amortiguador en condición de eje de cuadratura

visto del estator 2

sp VV , Voltaje en el primario, voltaje en el secundario respectivamente

qV Voltaje del eje de cuadratura

TV Voltaje en las terminales^

x Vector de estado observadox Vector de estado

ix Variable de estado

sX Reactancia sincrónica

y Señal de salida escalary Vector de salida de dimensión “n” Función gama

m y M Son constantes positivas donde Mm y que se eligen de modo que la

variable de deslizamiento tienda a la convergencia.)(Φ t Matriz de transición de estado

Constante positiva seleccionada de modo que comenzando desde cualquierpunto del espacio de estado, sea posible definir una señal de control quelleve a la variable de deslizamiento "" ds a la convergencia.

Suma

Frecuencia de oscilación segrad /

Angulo entre el voltaje de fase V y el voltaje generado internamente

AE

Flujo magnético

q Flujo de encadenamiento del eje de cuadratura

d Flujo de encadenamiento del eje directo

fd' Flujo de encadenamiento del embobinado de campo en condición del eje

directo’ visto del estator

kd' Flujo de encadenamiento del embobinado de amortiguador en condición

del eje directo’ visto del estator

1'kq Flujo de encadenamiento del embobinado amortiguador en condición del

eje de cuadratura visto del estator 1

2'kq Flujo de encadenamiento del embobinado amortiguador en condición del

eje de cuadratura visto del estator 2

fd' Flujo de encadenamiento del campo en condición de eje directo’ visto del

estator

kd' Flujo de encadenamiento del embobinado amortiguador en condición de

eje directo’ visto del estator

1 , 2 y Parámetros de diseño

1 , n ...2 Valores propios

Permeabilidad magnética del núcleo

0 Permeabilidad magnética del vacío

r Permeabilidad magnética relativa del material del núcleo

t Constante de tiempo de la acción de control en modos deslizantes

n ..., 21 Valores propios deseados

Parte real de la variable compleja Reluctancia Constante de tiempo de un sistema de primer orden

ind Momento de torsión inducido

critico Periodo crítico

Frecuencia eléctrica en radianes/seg.

d Frecuencia natural amortiguada

n Frecuencia natural no amortiguada

R Velocidad del rotor en radianes/segundo

Razón de amortiguamiento

Índice General

Página

Capítulo 1 Introducción 19

1.1 Antecedentes 191.2 Motivación 201.3 Objetivos de la tesis 211.4 Metodología 221.5 Contribución 231.6 Contenido de la tesis 24

Capítulo 2 El generador síncrono 26

2.1 Máquinas eléctricas 262.2 Generadores de corriente alterna síncronos 262.3 Voltaje generado 272.4 Potencia y momento de torsión 302.5 Modelo del generador síncrono 30

2.5.1 Modelo a rotor en movimiento del generador síncrono 312.5.2 Modelo de respuesta frecuencial del generador síncrono 33

Capítulo 3 Sistema de conversión de energía eléctrica. 42

3.1 Rectificadores trifásicos 423.2 Sistema de conversión de energía 44

Capítulo 4 Teoría de control. 45

4.1 Clasificación de los sistemas de control 464.2 Modelado matemático de sistemas lineales 48

4.2.1 Función de transferencia 504.2.2 Polos dominantes de una función de transferencia 524.2.3 Respuesta transitoria y en estado estacionario de

un sistema 534.2.4 Sistemas de primer orden 544.2.5 Sistemas de segundo orden 554.2.6 Sistemas de orden superior 584.2.7 Linealización 59

4.3 Acciones básicas de control (P I D) 594.3.1 Acción de control proporcional 604.3.2 Acción de control Integral 61

Página4.3.3 Acción de control derivativa 624.3.4 Acción de control PID 634.3.5 Sintonía del controlador 644.3.6 Métodos de sintonía de controladores PID 67

4.4 Lugar geométrico de las raíces 684.5 Análisis de sistemas de control en el espacio de estados 71

4.5.1 Formas canónicas 794.5.2 Valor propio, diagonalización y solución de la ecuación

de estado 824.5.3 Independencia lineal, Controlabilidad y Estabilizabilidad. 854.5.4 Diseño de los sistemas de control en el espacio de estados 86

Capítulo 5 Sistemas de control con modos deslizantes 90

5.1 Estructura variable, modo deslizante y superficie de control 905.2 Metodología de control 945.3 Regularización 955.4 Método de control equivalente 985.5 Condiciones de existencia 1005.6 Compensadores dinámicos 1015.7 Fórmula de Ackermann 1035.8 Salida retroalimentada en modos de control deslizantes 1055.9 Observadores de estado en modos deslizantes 1075.10 Diseño del observador de estado 1085.11 Modo deslizante integral 1105.12 Estimación de perturbaciones e incertidumbre 1125.13 Modulación de ancho de pulso para actuadotes eléctricos 1135.14 Control robusto de corriente para motores síncronos de imán

permanente. 1155.15 Castañeteo 1185.16 Modos deslizantes en tiempo discreto 1215.17 Modos deslizantes de segundo orden 123

5.17.1 Algoritmo ˝twisting˝ 123 5.17.2 Algoritmo ˝super-twisting˝ 127

Capítulo 6 Simulación e implementación de los controles y resultados 129

6.1 Parámetros del sistema requeridos por Matlab-Simulink 1296.2 Simulación del control PID con Matlab-Simulink 1326.3 Implementación del control PID 1336.4 Simulación del control tipo relevador con Matlab-Simulink 1396.5 Implementación del control tipo relevador 1436.6 Simulación del control tipo relevador filtrado con Matlab-Simulink 1466.7 Implementación del control tipo relevador filtrado 148

Página6.8 Simulación del Control con modos deslizantes twisting con

Matlab-Simulink 1526.9 Implementación del control con modos deslizantes ˝twisting˝ 1576.10 Simulación del Control con modos deslizantes super-twisting con

Matlab-Simulink 1606.11 Implementación del control con modos deslizantes ˝super-twisting˝ 164

Capítulo 7 Análisis comparativo de los resultados 167Conclusiones 169

Apéndice Arquitectura del generador síncrono 170Glosario 180Bibliografía 182

_______________________________________________________________________________________________________Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

Maestría en Ingeniería Eléctrica, Instituto de Ingeniería y Tecnología 13

Índice de figurasPágina

Figura 2-1 Rotor de polos salientes y rotor de polos no salientes. 27Figura 2-2 Relación entre corriente de campo, flujo y voltaje generado. 28Figura 2-3 Esquema completo del generador síncrono. 29Figura 2-4 Curva característica de voltaje generado contra corriente de

campo en vacío para un generador síncrono.32

Figura 2-5 Circuito equivalente del eje directo y circuito equivalente deleje de cuadratura.

33

Figura 2-6 Esquema de conexiones para posicionar el rotor en el eje “d”. 35Figura 2-7 Circuito para medir el voltaje de estator y la corriente de

estator en condición de eje directo.36

Figura 2-8 Circuito empleado para medir la corriente de estator y lacorriente de rotor bajo la condición de alineación con el ejedirecto.

37

Figura 2-9 Esquema para la medición de la impedancia de transferenciadel eje directo.

38

Figura 2-10 Esquema de conexiones para alinear al rotor con el eje decuadratura.

39

Figura 3-1 Sistemas de rectificación trifásica. 42Figura 3-2 Nivel de tensión rectificada con un rectificador de media onda

y con un rectificador de onda completa.43

Figura 3-3 Esquema simplificado del sistema de conversión de energía. 44Figura 4-1 Diagrama a bloques de los elementos de un sistema de control

retroalimentado.47

Figura 4-2 Representación en el plano complejo de los polos y ceros dela función de transferencia.

51

Figura 4-3 Ubicación de los polos dominantes en el plano complejo. 51Figura 4-4 Respuesta de un sistema estable, inestable y críticamente

estable ante una entrada de tipo escalón.52

Figura 4-5 Ubicación de los polos en el plano complejo. 53Figura 4-6 Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada de

tipo escalón.55

Figura 4-7 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden noamortiguado.

55

Figura 4-8 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden sub-amortiguado.

56

Figura 4-9 Ubicación de los polos en un sistema de segundo ordencríticamente amortiguado.

56

Figura 4-10 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden sub-amortiguado.

56

Figura 4-11 Diferentes formas de respuesta ante una entrada escalón en unsistema de segundo orden, para diversos valores delcoeficiente de amortiguamiento.

57

Figura 4-12 Especificación de la respuesta transitoria de un sistema desegundo orden sub-amortiguado ante una entrada escalón.

57

Figura 4-13 Respuesta de la acción de control proporcional ante unaentrada escalón.

60

Figura 4-14 Respuesta de la acción integral ante una entrada escalón. 62Figura 4-15 Respuesta ideal de la acción de control derivativa ante una

entrada escalón.63

Figura 4-16 Respuesta real de la acción de control derivativa ante unaentrada escalón.

63

Figura 4-17 Concepto grafico del tiempo muerto de un sistema de primerorden.

64

Figura 4-18 Concepto grafico de la ganancia de un sistema de primerorden.

65

Figura 4-19 Obtención grafica de la constante de tiempo del sistema. 66Figura 4-20 Esquema comparativo de las respuestas de diversos órdenes

de sistemas ante una entrada escalón.66

Figura 4-21 Diagrama a bloques de un sistema retroalimentado. 68Figura 4-22 Comportamiento de la estabilidad de un sistema en el plano

complejo.69

Figura 4-23 Diagrama a bloques de un sistema retroalimentado en elespacio de estado.

74

Figura 4-24 Sistema con una entrada y una salida en espacio de estado. 86Figura 5-1 Plano de estado de un sistema relevador de segundo orden. 91Figura 5-2 Sistema de estructura variable constituido por dos sub-

sistemas inestables.92

Figura 5-3 Plano de estado de un sistema de estructura variable donde

00.

cxxysd .

92

Figura 5-4 Esquema general de control con modos deslizantes para unsistema “n” dimensional.

94

Figura 5-5 Ecuación de modos deslizantes por el método de la capa defrontera.

98

Figura 5-6 Método de control equivalente para sistemas no lineales concontrol escalar.

99

Figura 5-7 Esquema de control basada en observador en el lazo deretroalimentación auxiliar como contramedida para eliminarel Castañeteo.

120

Figura 5-8 Esquema de control en cascada con la combinación decontroladores continuo y discontinuo para eliminar elCastañeteo.

120

Figura 5-9 Esquema de control por rechazo de perturbación con lacombinación de un controlador continuo global y uncontrolador discontinuo para rechazo de perturbaciones.

121

Figura 5-10 Esquema de control con modos deslizantes de segundo orden˝twisting˝.

124

Figura 5-11 Solución gráfica de la ecuación de balance armónico con elalgoritmo ˝twisting˝.

126

Figura 5-12 Esquema del algoritmo de modos deslizantes de segundoorden ˝super-twisting˝.

127

Figura 6-1 Resultados de la prueba a rotor en movimiento del generadorsíncrono que muestran la relación de Voltaje generado Vs.Corriente de campo a 3300rpm sin carga.

131

Figura 6-2 Esquema de simulación del control PID en Simulink. 132Figura 6-3 Simulación del esquema de control PID. 133Figura 6-4 Diagrama esquemático del sistema de conversión de energía y

sus elementos de control.134

Figura 6-5 Esquema de control PID. 136Figura 6-6 Prueba #1 PID sin carga y con carga de 100W. 137Figura 6-7 Prueba #1 Carga de 200W y con carga de 300W. 137Figura 6-8 Prueba #1 carga de 400W. 138Figura 6-9 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con

control PID.139

Figura 6-10 Características de transferencia del actuador MOSFET2SK2333.

140

Figura 6-11 Esquema de simulación del control tipo relevador enSimulink.

141

Figura 6-12 Simulación del esquema de control tipo relevador. 142Figura 6-13 Esquema de control tipo relevador. 143Figura 6-14 Prueba #1 sin carga control tipo relevador y con carga de

100W.144

Figura 6-15 Prueba #1 control tipo relevador carga de 200W y 300W. 144Figura 6-16 Prueba #1 control tipo relevador carga de 400W. 145Figura 6-17 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con

control tipo relevador.145

Figura 6-18 Esquema de control tipo relevador filtrado. 146Figura 6-19 Esquema de control tipo relevador filtrado implementado en

Matlab-Simulink.147

Figura 6-20 Simulación del control tipo relevador con filtro pasa-bajaspara reducción del efecto de Castañeteo.

148

Figura 6-21 Esquema de control tipo relevador filtrado. 149Figura 6-22 Prueba #1 control tipo relevador filtrado sin carga y con carga

de 100W.150

Figura 6-23 Prueba #1 control tipo relevador filtrado carga 200W y 300W. 150Figura 6-24 Prueba #1 carga 400W control tipo relevador filtrado. 151Figura 6-25 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con

control tipo relevador filtrado.151

Figura 6-26 Esquema de control de modos deslizantes ˝twisting˝. 153Figura 6-27 Respuesta del sistema de control con modos deslizantes

˝twisting˝ para valores diferentes de 2c .154

Figura 6-28 Grafica de Nyquist de la función de transferencia del sistema(segundo cuadrante).

155

Figura 6-29 Simulación del control con modos deslizantes ˝twisting˝ para

el valor calculado de 2c .156

Figura 6-30 Esquema de control con modos deslizantes ˝twisting˝. 157Figura 6-31 Prueba #1 MD ˝twisting˝ sin carga y con carga de 100W. 158Figura 6-32 Prueba #1 MD ˝twisting˝ carga de 200W y con carga de

300W.158

Figura 6-33 Prueba #1 carga 400W MD ˝twisting˝. 159Figura 6-34 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con

control de modos deslizantes ˝twisting˝. 159

Figura 6-35 Esquema de control de modos deslizantes ˝super-twisting˝. 160Figura 6-36 Simulación del algoritmo modos deslizantes ˝super-twisting˝

para un valor arbitrario de 5.22 y para el valor

determinado a partir de la tabla de estados 5.02 .

163

Figura 6-37 Esquema de control con modos deslizantes ˝super-twisting˝. 164Figura 6-38 Prueba #1 MD ˝super-twisting˝ sin carga y con carga de

100W.165

Figura 6-39 Prueba #1 MD ˝super-twisting˝ carga de 200W y con carga de 300W.

165

Figura 6-40 Prueba #1 carga 400W MD ˝super-twisting˝. 166Figura 6-41 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con

control de modos deslizantes ˝super-twisting˝. 166

Figura 7-1 Comparativo de la respuesta de los diferentes esquemas decontrol ante perturbaciones.

167

Figura A-1 Curva de magnetización típica de un núcleo ferromagnético. 171Figura A-2 Diagrama eléctrico de un transformador ideal. 173Figura A-3 Esquema básico de un motor/generador. 174Figura A-4 Diagrama esquemático de un motor-generador síncrono y la

disposición de sus embobinados en la carcasa.175

Figura A-5 Conexión delta y conexión estrella. 175Figura A-6 Rotor de un generador/motor síncrono. 177Figura A-7 Rotor de una máquina de CC. 178

Índice de tablasPágina

Tabla 2-1 Tabla (de ejemplo) usada para registrar las lecturas de voltaje,corriente y fase para la prueba del eje directo.

36

Tabla 4-1 Tabla para la sintonía de controlador por el método deZiegler-Nichols 1

67

Tabla 4-2 Tabla para la sintonía de controlador por el método deZiegler-Nichols 2

67

Tabla 6-1 Tabla de parámetros del generador para Matlab-Simulink. 130Tabla 6-2 Tabla de estados del algoritmo ˝super-twisting˝ usando

algunos valores arbitrarios para determinar el rango devalores de 2 .

162

Tabla 7-1 Valores de desempeño en tiempo y porcentaje de amplitud delos diferentes esquemas de control.

168

1.1 Antecedentes

La electricidad, el generador síncrono y la teoría de control.

Es difícil imaginar lo que nuestra sociedad moderna sería si los dispositivos eléctricos yelectrónicos no se hubiesen implementado tan exitosamente; en las muy diversasaplicaciones a las que las destinamos.Todo comenzó hacia 1877 de acuerdo a [1] con la energía eléctrica generada por dinamosque fue utilizada en motores eléctricos en talleres y fábricas, y posteriormente eniluminación de los hogares con la invención de la bombilla eléctrica, por parte de JosephWilson Swan y Thomas Alba Edison en 1882; estas fueron las primeras aplicacionesprácticas de la energía eléctrica.Actualmente, damos innumerables aplicaciones a la energía eléctrica, ya que podemosencontrar dispositivos que la requieren en nuestro hogar, en nuestros vehículos, en loscentros de trabajo, en el comercio, en el transporte, en los sistemas de comunicación einformática, e inclusive en nuestro cuerpo en forma de dispositivos que nos ayudan arealizar funciones vitales cuando nuestros órganos ya no son capaces de ello. Susaplicaciones han sido numerosas.Todas las aplicaciones tienen en común la necesidad del manejo y conversión de laenergía eléctrica; actualmente se satisface en su mayoría con el uso de generadoressíncronos, que aunque no resulta evidente se encuentra siempre al otro extremo de lalínea de suministro.La arquitectura de este implica que para hacerlo operar eficientemente se debe hacer usode un sistema de control retroalimentado que garantice la calidad de la energía eléctricagenerada.De acuerdo a [2], el primer sistema de control retroalimentado implementadoexitosamente fue el desarrollado por James Watt; quien diseñó el regulador de velocidadcentrífugo empleado para controlar la velocidad de una máquina de vapor en 1769.Posteriormente en 1922 Minorsky desarrolló un control de guiado de embarcacionesautomático. Hazen en 1934 empleando relevadores diseñó un servomecanismo capaz decontrolar la posición de un objeto ante una entrada cambiante.

Introducción

1.2 Motivación

Existen varias razones que justifican el uso de los generadores eléctricos de manerapreferente a otros dispositivos que también sirven para generar energía eléctrica. Entreotras razones se encuentran:

Su tamaño, se pueden construir desde tamaños micrométricos cuando seimplementan en tecnología MEMS, hasta mega máquinas que nos sirven paragenerar energía eléctrica como las usadas en las plantas hidro-eléctricas, cuandose emplean tecnologías ordinarias.

No se requiere que el generador se encuentre necesariamente al lado del aparatoque hace el consumo de la energía, inclusive pueden estar separados a miles dekilómetros el uno del otro.

La operación de un generador de energía eléctrica es limpia para el medioambiente.

El costo es más económico, respecto a la mayoría de los demás dispositivosutilizados para producir similares cantidades de energía eléctrica.

Requieren poco mantenimiento.

Aunque para hacer funcionar a un generador síncrono se debe utilizar un controlautomático que garantice mantener un nivel de voltaje rms de salida constante. Ennuestro entorno existen innumerables sistemas de control automáticos que nos ayudan amantener determinadas variables de salida en una condición deseada; por ejemplo, elcontrol de temperatura de una habitación, el control de velocidad de un automóvil, elcontrol de humedad, presión y temperatura de una incubadora, entre otros.La teoría de control tradicional y la llamada teoría de control moderna ofrecen lasherramientas para implementar sistemas de control retroalimentados. Estos sistemastienen gran campo de aplicación en la vida cotidiana pues facilitan la operación de lossistemas automáticos librándolos de la atención continua de un operador humano y conello evitando errores por parte de este.La implementación física de un sistema de control basado en la teoría tradicional o lateoría de control moderna presenta dificultades, como son la necesidad de conocer elmodelo de la planta a controlar, sensibilidad ante cambio de los parámetros, limitación alrango de operación solo a regiones lineales en el caso del control tradicional, o elinherente proceso de linealización del sistema para el caso de la teoría de controlmoderna, la necesidad de hacer ajustes ante cambios en los parámetros del sistema.Se han dado avances muy importantes, principalmente en dos campos, lo cual ofrece unanueva posibilidad de desarrollar sistemas de control libres de la problemática mencionadaen el párrafo anterior. Estos campos son: 1) el desarrollo de sistemas de control deestructura variable, en los cuales se parte de los controles todo-nada como basefundamental, 2): el avance creciente en el campo de la microelectrónica, que hapermitido incrementar la velocidad de operación de los procesadores, aspectofundamental en la implementación de sistemas de control basados en el control deestructura variable.

En virtud de que las técnicas de control lineal resultan ser poco adecuadas por su falta derobustez y eficiencia energética, la implementación de un sistema de controlretroalimentado, libre de afectación por variación de sus parámetros, robusto anteperturbaciones externas, capaz de operar en sistemas no lineales, variantes con el tiempo,de fácil implementación, libre de calibración y estable es crucial en sistemas de controlautomático, pues estos generalmente se emplean en sistemas donde se requiere su altaconfiabilidad, la no introducción del error de operación inherente al ser humano y la altavelocidad en la toma de decisiones. Todo esto lo ofrecen los sistemas de control conmodos deslizantes de estructura variable de segundo orden.

1.3 Objetivos de la tesis

Exponer la metodología de la técnica de control de modos deslizantes de segundoorden super-twisting, e implementar un control con esta para el generadorsíncrono.

Exponer la metodología de la técnica de control de modos deslizantes de segundoorden twisting, e implementar un control con esta para el generador síncrono.

Exponer la metodología envuelta en la técnica de control tradicional PID, eimplementar un control con esta para el generador síncrono.

Exponer la metodología envuelta en la técnica de control moderno.

Estudiar la metodología de la técnica de control de modos deslizantes tiporelevador, e implementar un control con esta para el generador síncrono.

Exponer la metodología de la técnica de control de modos deslizantes tiporelevador filtrado, e implementar un control con esta para el generador síncrono.

Hacer un análisis comparativo del desempeño de las técnicas de controlimplementadas cuando estas son sometidas a perturbaciones en la carga, y en lavelocidad a que se impulsa el rotor del generador.

1.4 Metodología

Exponer la arquitectura del generador síncrono.

Obtener el modelo a rotor en movimiento del conjunto generador síncrono, rectificador,filtro, carga y motor impulsor.

Obtener el modelo de respuesta frecuencial del generador síncrono SSFR Stand StillFrequency Response .

Simular con Matlab-Simulink (usando el modelo a rotor en movimiento del generadorsíncrono) el comportamiento del sistema bajo el esquema de control PID.

Implementar el control PID usando el modelo a rotor en movimiento del conjuntogenerador síncrono, rectificador, filtro, carga y motor impulsor, y someter el sistema aperturbaciones de velocidad y carga.

Simular con Matlab-Simulink (usando el modelo de respuesta frecuencial del generadorsíncrono) el comportamiento del sistema bajo el esquema de control con modosdeslizantes tipo relevador.

Implementar el control con modos deslizantes tipo relevador y someter el sistema aperturbaciones de velocidad y carga.

Simular con Matlab-Simulink (usando el modelo de respuesta frecuencial del generadorsíncrono) el comportamiento del sistema bajo el esquema de control con modosdeslizantes tipo relevador filtrado.

Implementar el control con modos deslizantes tipo relevador filtrado y someter el sistemaa perturbaciones de velocidad y carga.

Simular con Matlab-Simulink (usando el modelo de respuesta frecuencial del generadorsíncrono) el comportamiento del sistema bajo el esquema de control con modosdeslizantes de segundo orden tipo twisting.

Implementar el control con modos deslizantes tipo twisting y someter el sistema aperturbaciones de velocidad y carga.

Simular con Matlab-Simulink (usando el modelo de respuesta frecuencial del generadorsíncrono); el comportamiento del sistema, bajo el esquema de control con modosdeslizantes de segundo orden tipo super-twisting.

Implementar el control con modos deslizantes tipo super-twisting y someter el sistema aperturbaciones de velocidad y carga.

Hacer un análisis comparativo de los resultados obtenidos.

1.5 Contribución

1) Se expone la arquitectura del generador síncrono, su modelo de respuesta frecuencial arotor parado y el modelo a rotor en movimiento.

2) Se presenta la metodología de implementación de control de diferentes técnicas decontrol.

3) Finalmente se hace un análisis comparativo del desempeño de las técnicas de controlante perturbaciones a las que se somete el sistema.

Problema Solución ResultadoImplementación de uncontrol retroalimentado aun generador síncrono.

Teoría de control clásicapara sistemas lineales einvariantes en el tiempomediante un control PID.

Algoritmo de controldependiente del modelode la planta, sensible acambios en los parámetrosde esta y sensible aperturbaciones.

“

Teoría de controlmoderna para sistemas nolineales y variantes con eltiempo, mediante controlen el espacio de estados.

Algoritmo de controldependiente del modelode la planta, sensible acambios en los parámetrosde esta; es mas robusto,pero su implementación esmas compleja.

“

Control tipo relevador yrelevador filtrado conmodos deslizantes deprimer orden parasistemas no lineales yvariantes con el tiempo.

Algoritmos de controlindependientes del modelode la planta, robustos anteperturbaciones, fáciles deimplementar peroproducen castañeteo.

“

Control twisting y super-twisting con modosdeslizantes de segundoorden para sistemas nolineales y variantes con eltiempo.

Algoritmos de controlindependientes del modelode la planta, robustos anteperturbaciones, fáciles deimplementar y eliminan elcastañeteo.

I Introducción.

II El generador síncrono, modelos de respuesta frecuencial y a rotor enmovimiento.

III El sistema de conversión de energía eléctrica, rectificador trifásico demedia onda y de onda completa.

IV Teoría de control clásica y moderna.

V Teoría de control con modos deslizantes de primero y segundo orden.

VI Simulación e implementación de los controles.

VII Análisis comparativo de los resultados.

Conclusiones.

Apéndice Arquitectura del generador síncrono

En el primer capítulo se presentan los antecedentes históricos de las primerasaplicaciones prácticas de la energía eléctrica, del generador, y de la teoría de control;también se expone la razón del uso de los generadores síncronos como medios eficientespara generar energía eléctrica, la necesidad de usar controles retroalimentados para suoperación, las ventajas y desventajas de algunos esquemas de control, los objetivos deesta investigación así como la forma de alcanzar cada uno de ellos, por último se presentauna tabla comparativa que muestra los diferentes esquemas de control y sus principalescaracterísticas de desempeño en forma comparativa.

El segundo capítulo expone la arquitectura del generador síncrono y la metodología paraobtener los modelos de respuesta frecuencial SSFR y a rotor en movimiento de este.

En el tercer capítulo se exponen los elementos que forman parte del sistema completo deconversión de energía eléctrica rectificada, como son el rectificador y filtro.

En el cuarto capítulo se expone la teoría de control clásica, sus conceptos básicos, lafunción de trasferencia, la acción de control PID y sus métodos de sintonía, el lugargeométrico de las raíces y su relación con la estabilidad del sistema. Se expone tambiénla teoría de control moderna de espacio de estados, su representación en formascanónicas, independencia lineal, controlabilidad y estabilizabilidad.En el quinto capítulo se estudian los conceptos básicos de la teoría de control con modosdeslizantes de primer orden, sus ventajas y desventajas, y la forma de solventar estas

1.6 Contenido

últimas en lo relativo al castañeteo como principal objetivo. La evolución hacia lossistemas de control con modos deslizantes de segundo orden como resultado de reducir elcastañeteo por medio de los algoritmos twisting y super-twisting.

En el sexto capítulo se hace la simulación con Matlab-Simulink e implementación de losdiferentes esquemas de control con el fin de obtener datos que nos ayuden a observar sucomportamiento ante perturbaciones de velocidad y carga.

En el séptimo capítulo se hace un análisis comparativo con los resultados obtenidos en elcapítulo seis y se dan las conclusiones de la investigación.

2.1 Máquinas eléctricas

Por física elemental, se sabe que si se hacer circular una corriente eléctrica en un alambreconductor de la electricidad, entorno a este se generará un campo magnético, si a dichoalambre a través del cual circula la corriente eléctrica y en cuyo entorno se ha formado uncampo magnético se le hace girar (moverse) en la proximidad de una bobina, en esta seinducirá un voltaje o diferencia de potencial entre sus extremos. Esto es el principiobásico de funcionamiento de un generador de corriente eléctrica de imán no permanente,o simplemente generador.Cuando no existe movimiento relativo entre las bobinas, pero en una de ellas se hacecircular una corriente eléctrica alterna, en la otra se inducirá un voltaje de la mismafrecuencia que la de la corriente en la primera, pero su potencial podrá ser diferentedependiendo de la relación de vueltas de las bobinas y de las características del medioque las separa para transferir la energía en forma de campo magnético entre ellas. Este esel principio básico de funcionamiento del transformador.Por otra parte, si en una de las bobinas se hace circular una corriente eléctrica directa y seimpulsa mecánicamente para que gire y en la otra se hace circular una corriente eléctricaalterna, en estas se formará un campo magnético constante en una de ellas y variable enla otra respectivamente, Estos campos magnéticos dependiendo de su polaridadinteractuarán entre sí como en el caso de los imanes, en donde si se colocan los polosiguales uno frente a otro, tenderán a rechazarse y si se colocan los opuestos, se atraerán.Esto genera una fuerza mecánica entre dichas bobinas, lo cual constituye el principio defuncionamiento del motor eléctrico.

2.2 Generadores de corriente alterna síncronos

Dentro de la categoría de las máquinas de CA se encuentran los motores y generadoressíncronos, además de las máquinas de inducción.Los motores y generadores síncronos son esencialmente la misma máquina, la diferenciaentre estos es únicamente el uso que se les dé.La arquitectura del generador síncrono consiste de una bobina alojada en el rotoralimentada con una fuente de CD, y tres bobinas alojadas en el estator, ya sea enconexión delta o conexión estrella, conformando un embobinado trifásico. El campomagnético producido por la bobina del rotor induce un sistema trifásico de voltajesdesfasados 120° entre sí en el estator del generador (cuando por un medio externo se hacegirar su rotor). Mas detalles de la arquitectura de las maquinas eléctricas se encuentran enel apéndice.La magnitud del voltaje inducido depende de la intensidad del campo magnéticoproducido por la bobina del rotor, así como también de su velocidad de giro, y tiene una

El generador síncrono

forma de onda senoidal cuya frecuencia dependerá tanto de la velocidad de rotación,como del número de polos magnéticos que conformen al rotor y estator del generador.

Se debe entender por número de polos del rotor a la cantidad de extremidades magnéticasde que este se componga, y pueden ser polos salientes si estos se encuentran expuestos, opolos no salientes, en el caso contrario; en la figura 2-1 se muestra un esquema de unrotor de cuatro polos salientes, y un rotor de dos polos no salientes o cilíndrico.

Figura 2-1 Rotor de polos salientes. Rotor de polos no salientes.

La expresión que define la frecuencia del voltaje senoidal generado está dada por [3], [4]y [5]:

120

pnf m

e (2.1)

donde: ef = frecuencia eléctrica en Hz

mn = velocidad del rotor en rpm

p = número de polos

2.3 Voltaje generado

La magnitud del voltaje generado por una sola bobina del estator del generador se dasegún [3],[4],[5] y [6] por:

KEA (2.2)

donde: frecuencia eléctrica en radianes/seg. = flujo magnético

K = Constante de construcción del generador y que a su vez se da por:

22

dpp kkNK (2.3)

Y: pk =factor de paso dk =Factor de distribución

pN Numero total de espiras por fase

La magnitud del voltaje generado depende de la velocidad y del flujo magnético, y este asu vez depende de la corriente que fluye por la bobina de campo; esta última dependenciadel voltaje generado, es un factor muy importante de los generadores síncronos; que se

N

N

SS

S

N

aprovecha para controlar la magnitud del voltaje generado ante velocidades variables derotación del eje dentro de una región de operación limitada y generalmente lineal. Estarelación de corriente de campo con voltaje generado, y corriente de campo contra flujo sepuede apreciar en la figura 2-2:

Figura 2-2 Relación entre corriente de campo, flujo y voltaje generado.

Cuando un generador síncrono se encuentra en operación suceden varios fenómenos ensu interior:a) Reacción de inducido, la cual es una distorsión del campo magnético ocasionada por elentrehierro de aire que se encuentra entre el rotor y el estator.b) Voltaje autoinducido debido a la circulación de corriente en las bobinas del generadorque en virtud del fenómeno de autoinducción provoca una distorsión del campomagnético original, (efecto de auto-transformador).c) Las corrientes que fluyen en los devanados experimentan una oposición a su pasodebido a la resistencia natural del alambre.Por otra parte, la forma de onda del voltaje generado estará en función del tipo de rotor(polo saliente o polo no saliente), aspecto que queda definido por la arquitectura mismadel generador. Estos fenómenos tienen como consecuencia que el voltaje generado encada bobina del generador no coincida con el voltaje de fase.Cuando el generador es operado en vacío evidentemente no circula corriente por elestator, y en tal caso el voltaje generado no sufre distorsión alguna pues no hay corrienteque produzca autoinducción y por tanto el voltaje original mantiene su forma. Esta es la

única condición en la que el voltaje generado es igual al voltaje de fase VEA .

Ordinariamente un generador tiene una carga conectada a este, del tipo de carga que seconecte a este, dependerá el comportamiento del voltaje generado, así pues si la carga quese conecte el generador es inductiva, se presentará un desfasamiento entre el voltaje y lacorriente; al circular la corriente por el estator, esta produce un voltaje autoinducido en elestator que responde a dicho desfasamiento, además en el estator se encuentra presente

Región lineal

Saturación

Región no lineal

Corriente de campo Corriente de campo

Flujo Voltaje generado

también de manera simultánea el voltaje generado internamente en reacción a la corrientesin desfasamiento, por ello el voltaje de fase tiene dos componentes [3], [4] y [5]:

estatorA EEV (2.4)

donde: V = Voltaje de fase

AE = Voltaje generado internamente

estatorE = Voltaje de reacción del inducido

El circuito equivalente del generador síncrono dado en [3], [4], [5] y [6] se muestra en lafigura 2-3:

Figura 2-3 Esquema completo del generador síncrono.

Aquí el voltaje de una sola fase según [3], [4] y [5] se da por:

AAAsA IRIjXEV (2.5)

donde:

V =Voltaje de una sola fase

AE = Voltaje generado internamente

sX =Reactancia sincrónica

AR = Resistencia del estator

AI =Corriente de fase

Obsérvese que en la figura 2.3 se incluye una resistencia de ajuste, mediante esta semanipula el flujo de corriente que circula por el embobinado de campo, esto se hace conel fin de variar adecuadamente el flujo magnético en esta bobina, y por consiguiente sebrinda la posibilidad de controlar el nivel de voltaje generado; esta es una característicafundamental que se aprovechará de la máquina sincrónica, en este caso el generador paracontrolar la magnitud del voltaje generado.

sjX

sjX

sjX

1AE

1AE

1AE

1V

2V

3V

FR

FLFV

FI

Resistencia deajuste

2.4 Potencia y momento de torsión del generador

La función del generador es convertir la energía mecánica suministrada por parte de unimpulsor en energía eléctrica. La potencia en [7] se define como la tasa de desempeño deun trabajo, de la producción o transferencia de energía. En el caso del generador síncrono,existen perdidas, ya que no toda la energía mecánica termina siendo convertida a eléctrica.Si se desprecia la resistencia del inducido AR , la potencia de salida del generador se

puede aproximar según [3], [4], [5] y [6], por medio de:

s

A

X

SenEVP

3

(2.6)

donde es el ángulo entre el voltaje de fase V y el voltaje generado internamente

AE , es conocido como el ángulo del momento de torsión de la máquina y por lo general

se encuentra entre 15 a 20grados a plena carga.El momento de torsión inducido para el generador síncrono se define en [3], [4], [5] y [6]como: SRind BkB (2.7)

donde:

RB Densidad de flujo magnético del rotor

SB Densidad de flujo magnético del estator

Y k es la constante de construcción de la máquina dada por /Kk , donde a su vez μ

es la permeabilidad magnética del núcleo, y K toma el valor antes descrito como“constante de construcción del generador”.Dado que el ángulo existente entre los flujos magnéticos del rotor y del estator es ,entonces la magnitud del torque inducido se da por [3], [4] y [5]:

m

Aind

SenEV

3(2.8)

Donde: m Velocidad de giro del rotor en radianes/seg.

2.5 Modelo del generador síncrono

El modelo de un sistema se define como “el conjunto de ecuaciones que representan ladinámica de este con precisión o al menos con buena aproximación” [8] y [9].Al referirse a sistema, se debe entender como “el conjunto de elementos que operan paradesempeñar una función predeterminada” [7].Con lo anterior, el modelo del generador síncrono deberá ser pues un conjunto deecuaciones que representen su comportamiento de la manera mas aproximada a comoeste se desempeña en condiciones de operación. Sin embargo, el modelo no es único,existen muchos modelos que pueden describir el comportamiento de dicho sistema.El modelo matemático de un sistema de acuerdo a [9] y [10] se compone de parámetroslos cuales representan valores de operación que pueden ser constantes, o coeficientes quepueden ser ya sean dependientes o independientes de una o más variables.Por otra parte, se debe tener en consideración que el modelo matemático de un sistemapor lo general es válido solo en determinada región de operación de dicho sistema, es

decir, el valor de esos parámetros se encuentran limitados a un rango de valores, dentrode los cuales el modelo representa al sistema con un cierto grado de precisión aceptable;y fuera de dicho rango el modelo puede carecer de validez. Además como se dijoanteriormente, muchos modelos pueden representar a un mismo sistema, la diferenciaentre estos radica en el grado de complejidad que se desee del modelo, por lo general, losmodelos sencillos omiten considerar parámetros físicos que en un modelo de mayorcomplejidad pudieran ser tomados en consideración. Cuantos más parámetros se incluyanpues en el modelo la complejidad para obtenerlos se incrementa; es por ello que losparámetros que se escogen al construir el modelo, son aquellos más representativos delmismo, es decir se consideran por lo general aquellos parámetros que tienen mayorefecto sobre este. En este punto es donde se sopesa la sencillez del modelo contra laprecisión de este ya que a menudo un modelo sencillo resulta ser impreciso, pero a la vezes mas sencillo de obtenerlo que uno de mayor complejidad.En el caso del generador síncrono existen en general dos tipos de modelos, el modelo arotor en movimiento y el modelo de respuesta frecuencial. En el primero se pone afuncionar el generador, es decir se impulsa a este con un motor primario y se registra elcomportamiento de los parámetros bajo diferentes condiciones de operación. En el casodel modelo de respuesta frecuencial del generador, el eje del generador se bloquea y seintroduce una señal por el estator a la cual se le hace variar su amplitud y frecuencia y semide la señal resultante a la salida en el rotor (como si el generador fuese untransformador) para evaluar el desempeño ante los cambios de los parámetros de control.

2.5.1 Modelo a rotor en movimiento del generador síncrono

El modelo a rotor en movimiento del generador recomendado por [3], [4] y [5] consistede tres parámetros considerados suficientes para describir el comportamiento dinámicodel generador.

Relación entre corriente de campo y flujo magnético (y a su vez entre corriente decampo y voltaje generado).

Reactancia sincrónica. Resistencia de inducido.

En la caracterización de los parámetros del generador se obtiene la relación voltajegenerado contra corriente de campo, esta consiste en impulsar al generador por medio deun motor primario haciendo girar el rotor del generador a la velocidad nominalestablecida por el fabricante. A continuación se obtiene una gráfica del voltaje generadocontra la corriente de campo; haciendo variar dicha corriente a partir de cero yregistrando el valor de dicho voltaje. Para esto el estator es desconectado de toda carga demodo que el voltaje generado sea igual al voltaje de fase; a esta prueba se le llama decircuito abierto y se describe en [11]. En la figura 2-4 se muestra una curva característicade voltaje generado contra corriente de campo de un generador síncrono.

Figura 2-4 Curva característica de voltaje generado contra corriente de campo en vacío para ungenerador síncrono.

Como puede observarse en la figura anterior el generador presenta una relación de nolinealidad entre el voltaje generado y la corriente de campo, este es un aspecto muyimportante al momento de elegir la técnica de control a emplear para manipularadecuadamente la relación anterior, ya que debería pensarse ya sea en diseñar un controlque solo opere en la región lineal, y empleando por tanto una técnica de control lineal, oeligiendo una técnica de control no lineal si la región de operación implica que la relaciónpueda incurrir en no linealidad. La no linealidad se debe a la saturación magnética delnúcleo de hierro, provocando que su reluctancia crezca, limitando así el incremento delflujo magnético.

Además de la prueba anterior, el generador síncrono debe someterse a la prueba de cortocircuito para obtener la relación de corriente de campo contra la corriente de estator, estose hace poniendo en corto al circuito del estator mediante amperímetros. Para ello seestablece la corriente de campo a cero, luego se le comienza a incrementar suavemente;al tiempo que se registra la corriente en el estator, mientras el generador se impulsa a suvelocidad nominal. Esta situación produce una relación lineal entre ambas corrientes, sele llama característica de cortocircuito [11].La reactancia sincrónica del generador se puede aproximar de acuerdo a [3], [4] y [5]

con:A

OC

A

As

I

V

I

EX , (2.9)

donde:

OCV , Es el voltaje de fase correspondiente a la primera prueba (circuito abierto).

AI Es la corriente medida en el estator en la segunda prueba (cortocircuito).

La aproximación anterior es válida debido a que en la práctica el valor de la reactanciasincrónica es mucho mayor que el valor de la resistencia del estator, aunque debe tenersepresente que en la primera prueba la máquina se encuentra saturada, mientras que en lasegunda no lo está para toda corriente de campo; esto hace que el resultado del cálculo dela reactancia sincrónica sea aproximado; su validez es considerablemente buena si secuida hacer las mediciones anteriores dentro de la región lineal de la curva mostrada en lafigura 2-4.Por último, para conocer la resistencia del inducido se aplica un voltaje de CC al mismotiempo que se mide el flujo de corriente en este, con ello se aplica la ley de Ohm y seobtiene la resistencia.

Voltaje generado

Corriente de campo

Región lineal

2.5.2 El modelo de respuesta frecuencial del generador síncrono

De acuerdo a [12], también se le conoce por sus siglas en inglés SSFR “Stand StillFrequency Response” presenta las siguientes ventajas:

Se puede realizar fácilmente en el mismo proceso de fabricación de la máquina, eincluso en su sitio de operación final y puede realizarse durante periodos demantenimiento o cuando el proceso se encuentre detenido. La prueba se realizaaplicando una pequeña señal alterna de prueba que no pone en riesgo al generador.

Los parámetros obtenidos mediante esta prueba son muy útiles en el análisis deestabilidad del sistema.

Como resultado se obtienen simultáneamente los circuitos equivalentes del ejedirecto y del eje de cuadratura.

Su uso es preferido sobre el modelo a rotor en movimiento ya que con este se evita laimprecisión asociada con la medición de los transitorios por cambios en la saturación delnúcleo que se presentan durante las pruebas de caracterización.Los circuitos equivalentes del generador para los ejes “directo” y de “cuadratura” semuestran en la figura 2-5 y son tomados de [12], así como sus definiciones.

a) b)

Figura 2-5 a) Circuito equivalente del eje directo b) circuito equivalente del eje de cuadratura.

Donde:

fde Voltaje de campo

di Corriente del estator del eje directo

qi Corriente del estator del eje de cuadratura

Rdi Corriente del rotor

kqi Corriente del devanado amortiguador del eje de cuadratura

fdi Corriente de campo

d Voltaje del estator del eje directo

lLlL

d qadLaqL

di qi

kdR kqRfdR

kdL fdL

fde

Rdi fdi

kqikqL

q Voltaje del estator del eje de cuadratura

lL Inductancia de dispersión del estator

adL Inductancia mutua del eje directo entre el rotor y el estator

aqL Inductancia mutua del eje de cuadratura entre el rotor y el estator

kdL Inductancia de dispersión del eje directo de los devanados de

amortiguamiento.

kqL Inductancia de dispersión del eje de cuadratura de los devanados de

amortiguamiento

fdL Inductancia de dispersión del devanado de campo

kdR Resistencia del devanado de amortiguamiento de eje directo

kqR Resistencia del devanado de amortiguamiento de eje de cuadratura

fdR Resistencia de campo referida al estator

)(sLd Inductancia operacional del eje directo: es la razón de la transformada de

Laplace de los enlaces de flujo de la armadura en el eje directo conrespecto a la transformada de Laplace de la corriente del eje directo, con elcampo en cortocircuito.

)(sLq Inductancia operacional del eje en cuadratura: Es la razón de la

transformada de Laplace de los enlaces de flujo de la armadura en el eje encuadratura con respecto a la transformada de Laplace de la corriente en eleje en cuadratura.

)(sG Función de transferencia de la armadura con respecto al campo: es la

razón de la transformada de Laplace de los enlaces de flujo de la armaduraen el eje directo con respecto a la transformada de Laplace del voltaje decampo, con la armadura en circuito abierto.

El método empleado para obtener los parámetros del generador con el modelo derespuesta frecuencial consiste en:

Desconectar tanto el rotor como el estator del generador de toda carga o fuente deenergía.

Dejar libre el eje del rotor (desconectarlo mecánicamente del motor primario) demodo que este pueda ser posicionado manualmente; además se debe proporcionarun medio para bloquearlo (frenarlo) en una determinada posición durante laprueba.

Alinear el rotor con el eje “d” aplicando una señal senoidal amplificada de 100Hzal generador de acuerdo al esquema de conexiones de la figura 2-6. Para alinear elrotor, se hace girar a este lentamente (con la mano) al tiempo que se observa laamplitud de la señal senoidal que se registra en el osciloscopio. El punto dealineación se obtiene cuando la amplitud de la señal senoidal decrece a cero.Cuidando que el rotor no se mueva, bloquearlo en esa posición para garantizarque al hacer las pruebas del eje directo dicha posición no cambie por ningúnmotivo. A menudo esto se puede hacer introduciendo una estaca de madera entrela polea y la carcasa del generador.

Figura 2-6 Esquema de conexiones para posicionar el rotor en el eje “d”.

Hacer las pruebas del eje directo: Para ello se recomienda el uso de un “Dynamicsignal analyzer”, equipo con el cual se pueden realizar las mediciones de formaautomatizada y precisa; sin embargo en el laboratorio no se contaba con eseequipo al momento de hacer las pruebas, y se optó por hacer las pruebasmanualmente usando un osciloscopio digital de dos canales y con función “Hold”para retener temporalmente la imagen de la pantalla y poder hacer así lasmediciones de amplitud y fase de las señales; estas lecturas se pasan a una tablade valores que posteriormente se procesarán para obtener los parámetros deseados.

a).-Inductancia operacional del eje directo:(prueba2)Sin girar el rotor y alineado con el eje directo “d” armar el circuito mostradoen la figura 2-7. En esta etapa se mide con el osciloscopio el voltaje en elestator y su fase, así como la corriente que fluye en este mismo y su fase; paraello se emplea la resistencia de carbón conectada según se muestra, de modoque esta no introduzca inductancia al circuito (si se eligiese una de alambre, lamedición sería imprecisa pues el enrollamiento de la resistencia introduciríauna inductancia no deseada al circuito). La medición se hace aplicando unaseñal senoidal a diversas frecuencias, (observar dichas frecuencias en la tabla2-1); luego a esas mismas frecuencias se disminuye el nivel de la señal deentrada y se registran las lecturas de voltaje, corriente y fase. Dado que almedir la caída de tensión en los extremos de la resistencia, y conociendo elvalor de esta es posible pues por medio de la ley de Ohm calcular la corrienteque fluye por la bobina del estator. Además, si se toma el punto indicadocomo común para la tierra de las puntas de prueba del osciloscopio, ambasmediciones se pueden hacer simultáneamente.

EstatorRotor

Osciloscopio

Señal senoidal de100Hz amplificada

Figura 2-7 Circuito para medir el voltaje de estator y la corriente de estator en condición de ejedirecto.

Lecturas de prueba 2 (Eje de directo "d")

Resistencia 5.1

Frecuencia(Hz)

Voltajede

estator1 (V)

Voltajede

estator2 (V)

Corrientede

estator 1(A)

Corrientede

estator 2(A)

VR_estator1

VR_estator2

5 0.2 0.12 1.86 1.27 9.5 6.5Fase

(grados) 0 0 180 180 180 18010 0.44 0.2 4.50 2.94 23 15

Fase(grados) 0 0 180 180 180 180

20 0.36 0.16 3.33 1.47 17 7.5Fase

(grados) 0 0 180 180 180 18050 0.4 0.3 3.92 2.94 20 15

Fase(grados) 0 0 180 180 180 180

Tabla 2-1 Tabla (de ejemplo) usada para registrar las lecturas de voltaje, corriente y fase para laprueba del eje directo.

Con lo anterior se construye una fasor de voltaje y uno de corriente para cadafrecuencia de la señal aplicada, al dividir el fasor de voltaje entre el decorriente se obtiene un tercer fasor el cual corresponde al fasor de impedanciadel estator para cada una de dichas frecuencias. El conjunto de puntos de

Estator

Rotor5.1

5.1

Común

Señal senoidalamplificada

magnitud de la impedancia, frecuencia y fase se emplean para obtenermediante regresión a una función en el dominio de la frecuencia compleja “s”;dicha función se llama impedancia de armadura o estator y se denota por

).(/)()( sisvsZ armarmarm De aquí que la impedancia operacional del eje

directo, corresponda a la mitad de la impedancia de armadura, es decir

)(2

1)( sZsZ armd . A partir de la impedancia operacional del eje directo se

puede obtener la resistencia de la armadura mediante la siguiente expresión:

0

)(lim2

1

sarma sZR ; donde js es la frecuencia compleja. Y la

inductancia operacional del eje directo se calcula por medio de:

s

RsZsL ad

d

)()( (2.10)

b).-La función de transferencia de la armadura con respecto al campo encondición de eje directo: (prueba3)Alineado el rotor bajo la condición de eje directo “similar al inciso a“, ahorase mide tanto la corriente de estator, como la corriente de campo mientras seaplica la señal senoidal a las mismas frecuencias que en el inciso “a”. Aquítambién se introduce una señal a la cual posteriormente se le disminuye suamplitud y se registran ambas lecturas en una tabla similar a la mostrada en elcaso anterior. En la figura 2-8 se muestra el esquema del circuito para hacerlas mediciones de corriente en el estator y en el rotor mientras se encuentraalineado este con el eje directo; al igual que en el caso anterior se mide latensión y fase en las resistencias y se determina el fasor de corriente.

Figura 2-8 Circuito empleado para medir la corriente de estator y la corriente de rotor bajo lacondición de alineación con el eje directo.

Estator

Rotor5.1

5.1

Común

Señal senoidalamplificada

Con lo anterior se obtiene la relación de corrientes o función de transferencia

dada por:)(2

)(3)(/)()(

si

sisisisG

arm

fd

armfd

(2.11)

c).-La impedancia de transferencia entre armadura y campo (prueba4) encondición de eje directo:Al igual que en el caso anterior se busca la alineación del rotor con el ejedirecto para medir dicha impedancia, ahora se emplea el circuito de la figura2-9.

Figura 2-9 Esquema para la medición de la impedancia de transferencia del eje directo.

Obsérvese que en este caso solo es necesario retirar la resistencia que pone encortocircuito al embobinado de campo, en comparación con el esquema de laprueba anterior. La expresión que proporciona la impedancia de transferencia

del eje directo es:

)(

)(

2

3

)(

)()(0

si

se

si

sesZ

arm

fd

d

fd

af (2.11)

Prueba del eje de cuadratura

d).-Inductancia operacional del eje de cuadratura: (Prueba1)Para esta medición se debe posicionar el rotor en el eje de cuadratura, esto se hacemediante el esquema mostrado en la figura 2-10.

Estator

Rotor

5.1

Figura 2-10 Esquema de conexiones para alinear al rotor con el eje de cuadratura.

Para alinear con dicho eje se gira lentamente el rotor hasta que el voltaje medido eneste sea cero; este es el eje de cuadratura, en tal posición debe bloquearse el rotor demodo que se conserve su posición.Con el rotor alineado como anteriormente se indica, se mide el voltaje y la corrienteen el estator, así como la fase de estos. Mediante la expresión

)(/)()( sisvsZ armarmarmq se obtiene la impedancia del estator en el eje de

cuadratura, donde )(2

1)( sZsZ armqq es la impedancia de una fase del estator cuando

el rotor se encuentra alineado con el eje de cuadratura.Además la resistencia en corriente directa de una fase del estator se obtiene mediante

0

)(lim2

1

sarmqa sZR . Evidentemente esta resistencia debería ser la misma que la

obtenida para el eje directo, sin embargo se recomienda hacer uso del valor obtenidoen cada caso de forma correspondiente para darle precisión a las mediciones pues elefecto de la temperatura sobre las bobinas es diferente en cada prueba simplementepor la forma en como estas se conectan, obsérvese que el calor producido en estaprueba es solo sobre dos bobinas del estator, en tanto que en el caso de laconfiguración para el eje directo son las tres bobinas del estator las que sufren dichocalentamiento.Así la inductancia operacional del eje de cuadratura se obtiene mediante:

s

RsZsL

aq

q

)()( (2.12)

Determinar la Inductancia de dispersión del estator: también conocida comoinductancia de fuga. Esta se define en [8] como la auto-inductancia que seproduce debido al flujo magnético que se escapa del estator del generador. De

Estator

Rotor

Osciloscopio

acuerdo a [13] es un parámetro que puede estimarse como el 10% del valor de lainductancia operacional del eje directo dL , es decir:

)(10

1sLL dl (2.13)

Esto se hace cuando no se cuenta con el valor de la inductancia de dispersióndado por el fabricante. Para estimar la inductancia de fuga se considera

js como la frecuencia eléctrica de la señal generada en condiciones normales

de operación. Es decir se evalúa )(sLd para js , y la décima parte de dicho

valor corresponde a lL .

Determinar la inductancia del eje directo en el límite de baja frecuencia ofrecuencia cero )0(dL . Consiste en sustituir en la expresión para )(sLd el valor

para 0 js .

Determinar la inductancia del eje de cuadratura en el límite de baja frecuencia ofrecuencia cero )0(qL : Consiste en sustituir en la expresión para )(sLq el valor

para 0 js .

Obtener )0(adL por medio de ldad LLL )0()0( .

Obtener )0(aqL por medio de lqaq LLL )0()0( .

Obtener la relación de vueltas entre el embobinado de campo y el embobinado del

estator por medio de:

)(

)(lim

)0(

1)0(

si

se

sLN

d

fd

osad

af (2.14)

Calcular la resistencia de campo por medio de :

a

fd

d

fd

s

adfd

N

N

si

si

s

LR

3

2

)(

)(1lim

0

(2.15)

Determinar la inductancia mutua entre los devanados de armadura y campo por

medio de la expresión:

)(

1lim 0 sZ

sL afafd (2.16)

Con los parámetros del generador síncrono (cuyas descripciones se encuentran en lanotación) obtenidos de acuerdo al procedimiento descrito anteriormente “SSFR”, sepuede ahora construir el modelo simplificado tomado de [14] y [15] dado por:

qRddAddt

diRV (2.17)

dRqqAqdt

diRV (2.18)

fdfdfdfddt

diRe '''' (2.19)

kdkdkdkddt

diRe '''' (2.20)

1111 '''' kqkqkqkqdt

diRV (2.21)

2222 '''' kqkqkqkqdt

diRV (2.22)

kdfdmdddd iiLiL '' (2.23)

kqmqqqq iLiL ' (2.24)

kddmdfdfdfd iiLiL '''' (2.25)

fddmdkdkdkd iiLiL '''' (2.26)

qmqkqkqkq iLiL 111 ''' (2.27)

qmqkqkqkq iLiL 222 ''' (2.28)

La utilidad del modelo de respuesta frecuencial en este caso se limitará a la simulacióndel generador síncrono con Matlab-Simulink. Debe recordarse que este es solo parte deun sistema y que un modelo mas completo implica conocer el resto de los elementos quelo forman, o al menos aquellos que tienen mayor efecto sobre este.

Sistema de conversión de energíaeléctrica

La aplicación más amplia del generador síncrono es en la red de suministro de energíaeléctrica, convirtiendo la energía mecánica en un sistema de voltajes trifásicos que sedistribuyen al consumidor en forma de voltajes alternos. En algunas aplicaciones serequiere del uso de voltaje de corriente directa, para ello se hace necesario rectificar alsistema de voltajes trifásicos mencionado. En este caso el uso final de este sistema sepretende emplear para recargar baterías como medio de almacenamiento de energía.Se emplea el generador síncrono contenido en un alternador de automóvil que ya posee lamayoría de los elementos requeridos, como rectificador trifásico y filtro; se exponen losesquemas de rectificación y un bosquejo general del sistema de conversión de energíacompleto cuando este opera controlado por un sistema de lazo cerrado.Un alternador de automóvil tiene inter construido un circuito regulador de voltaje, el cuales removido en este proyecto para poder implementar el control retroalimentado,empleando diversas técnicas de control y evaluar el desempeño de estas.

3.1 Rectificadores trifásicos

Debe tenerse en cuenta que el generador síncrono es la parte principal de un sistema deconversión de energía eléctrica según lo describe la ley de Faraday (ver apéndice). Eneste proyecto el generador síncrono elegido forma parte de un sistema de conversión deenergía eléctrica de corriente directa a 12.5V. De entrada podemos observar que elgenerador síncrono estudiado hasta el momento genera un sistema de voltajes trifásicosalternos; para su conversión a CD es necesario un sistema de rectificación trifásico. En lafigura 3-1 se muestran los dos esquemas típicos de sistemas de rectificación trifásica deacuerdo a [16] y [17].

Figura 3-1 Sistemas de rectificación trifásica.

BV

CV

AV

Salida

Salida

BV

CV

Rectificador trifásico de media onda. Rectificador trifásico de onda completa.

AV

Donde AV , BV y CV son las terminales de entrada de voltaje del sistema trifásico. La

diferencia entre estos dos tipos de rectificadores radica en el nivel de tensión que recibela carga, mientras que con el rectificador trifásico de media onda la magnitud de latensión aplicada a la carga va desde el nivel de referencia hasta el nivel máximoinstantáneo, con el rectificador trifásico el nivel de tensión aplicado a la carga va desde elmáximo de los negativos hasta el máximo de los positivos en dicho instante. Lafigura 3-2 muestra el esquema del nivel de tensión rectificada en cada caso.

Figura 3-2 Nivel de tensión rectificada con un rectificador de media onda y con un rectificador deonda completa.

Sin embargo como parte del rectificador, se encuentra también un capacitor que seconecta en la terminal señalada como “Salida”; este tiene como fin filtrar los pulsos decorriente continua pulsante y proveer una tensión tendiente a ser directa ya que tiene unaforma suavizada gracias a que el capacitor almacena energía que posteriormente se liberacuando los pulsos de la señal rectificada tienden a disminuir su amplitud en cada ciclo. Laecuación que proporciona la calidad de la tensión rectificada se obtiene de [6] y se llamafactor de rizo y está dada por:

%100

2

dc

rms

V

Vr (3.1)

Por lo anterior la inclusión del rectificador trifásico y el filtro, además del generadorsíncrono como partes del sistema de conversión de energía provocan que el modelo ya depor si no lineal (por la saturación del núcleo vista anteriormente) que se tenía con elgenerador, estos dos elementos (rectificador y filtro) contribuyen a incrementar lacomplejidad del modelo y su no linealidad. El modelo del sistema de conversión deenergía podría incluir la temperatura del generador, el modelo del motor primario y elmecanismo de transferencia de la energía mecánica rotacional al generador (una flecha ouna banda usualmente); sin embargo para fines prácticos es recomendable tener un

Ref

Media onda Onda completa

Vmax Vmax

Donde: rmsV Voltaje RMS de salida del rectificador

dcV Voltaje promedio de salida del rectificador

modelo simplificado que se pueda estudiar con relativa facilidad en lugar de un modelode gran complejidad.

3.2 Sistema de conversión de energía

En la figura 3-3 se muestra el diagrama a bloques del sistema de conversión de energía.En este el motor primario se encarga de proveer la energía mecánica necesaria paraimpulsar el rotor del generador. En la práctica el motor primario puede ser un motor decombustión interna, una turbina de vapor, un molino de viento, una turbina de agua, entreotros. En todo caso la energía mecánica deberá ser suficiente para hacer girar el rotor delgenerador a una velocidad mínima recomendada por el fabricante de este.Normalmente el motor primario gira a una velocidad que varia en un rango develocidades conocido y que es suficiente para hacer la conversión de energía mecánica aenergía eléctrica. No obstante ese rango de velocidades puede ser muy amplio; lo cualimplica que el generador deberá ser capaz de proveer el nivel de voltaje deseado pese adichas variaciones de la velocidad de giro del rotor (es decir el torque que se aplica alrotor del generador es variable).

Figura 3-3 Esquema simplificado del sistema de conversión de energía.

En el generador el medio de control del nivel de voltaje generado es la corriente que fluyepor el embobinado de campo. La carga la constituye el dispositivo o grupo dedispositivos que harán uso de la energía generada y dicha carga también influye en elnivel de voltaje generado, ya que cuando la carga aumenta dicho nivel tiende a disminuiry viceversa. Por lo anterior para lograr un nivel de voltaje constante se requiere el uso deun subsistema de retroalimentación en lazo cerrado que compense dichas variaciones.Es precisamente dicho subsistema de retroalimentación en el que se centrará el diseño dela estrategia de control.

Bobina de campoRectificador Filtro Carga

Motorprimario

Generador

Retroalimentación

En este capítulo se exponen algunos aspectos básicos de la teoría de control clásico quenos ayudan a comprender los conceptos necesarios para diseñar un control PID, tambiénse estudian algunos conceptos de la teoría de control moderno como el control enespacio de estado, esto con el fin de proporcionar algunos conceptos necesarios paracomprender la mecánica de diseño de los sistemas de control en espacio de estado ytener una idea que nos ayude a contrastar a esta con la mecánica de diseño de sistemas decontrol con modos deslizantes.De acuerdo a [18], en la edad de piedra surge lo que se puede considerar el concepto decontrol; cuando el hombre comenzó a utilizar animales para que estos desempeñaranalgunas tareas que este realizaba como el transporte de carga. Es hasta el tiempo de larevolución industrial cuando el hombre sustituye a los animales por máquinas. Laprimera máquina en la que el control retroalimentado se empleó, fue la máquina de vaporpara controlar su velocidad de forma automática; se utilizó un péndulo cónico cuyainclinación dependía de la velocidad angular del eje, la inclinación del péndulo eratransmitida mediante una palanca para manipular la abertura de una válvula que a su vezcontrolaba el flujo de vapor hacia la máquina; a esto se le llamó regulador de velocidadcentrífugo, lo desarrolló James Watt en 1769; él observó que la velocidad de la máquinaoscilaba entorno al valor deseado. Posteriormente Maxwell en 1868 desarrolló lasecuaciones diferenciales linealizadas entorno a un punto de equilibrio, para el control develocidad y demostró que la estabilidad del sistema; dependía las raíces de la ecuacióncaracterística del sistema y que estas tienen partes reales negativas. En 1875 Hurwitz yposteriormente Routh en 1905 estudiaron el problema de identificación del criterio deestabilidad en sistemas lineales; este estudio lo profundizó Lyapunov en 1893 al estudiarla estabilidad de los sistemas no lineales. El marco teórico matemático esencial para elanálisis lo desarrollaron Laplace (1749 a 1827) y Fourier (1758-1830).En 1930 los laboratorios Bell desarrollaron una investigación en el diseño delamplificador retroalimentado sustentada en el concepto de respuesta en frecuencia y porla matemática de variables complejas. En 1932 Nyquist publicó un artículo llamadoTeoría de la Regeneración en el que describía como determinar la estabilidad de unsistema empleando métodos del dominio de la frecuencia; Bode y Nychols entre 1945 y1960 profundizaron sus estudios en las metodologías de diseño de sistemas de controlcon ello surgió lo que hoy se conoce como Teoría de control clásico.Por otra parte Evans en 1948 desarrolló el llamado método del lugar geométrico de lasraíces basado en el trabajo previo de Maxwell y Routh. Con este método las raíces de laecuación característica podían plasmarse de forma gráfica empleado algunas reglas yprocedimientos desarrollados por Evans.Con la aparición de las computadoras digitales en la década de los años 50 se desarrollóla formulación de ecuaciones diferenciales en el espacio de estado empleado la notación

Teoría de control:

de matrices y vectores y la inherente computación. Wiener en 1949 fue quien introdujopor primera vez la idea del diseño de control óptimo. En 1957 Bellamn desarrolló elmétodo de programación dinámica; en 1962 Pontryagin introdujo la discusión delprincipio del máximo. En al primera conferencia internacional de la federación de controlautomático de 1960 Kalman introdujo el concepto dual de controlabilidad yobservabilidad; al mismo tiempo demostró que cuando las ecuaciones dinámicas delsistema son lineales y el criterio de desempeño es cuadrático, entonces el problemamatemático tiene una solución explicita que proporciona una ley de control optima.Kalman y Bucy en 1961 desarrollaron la idea de un filtro óptimo que en combinación conun controlador óptimo producen el llamado control lineal-cuadrático Gaussiano.En la década de los 80, el trabajo de Athans, Safanov, Chiang, Grimble y otros demostróque la incertidumbre puede ser modelada; además presentaron el concepto de la normaH y la teoría de la μ-síntesis. En la década de los 90 se introdujo el concepto de sistemas de control inteligente que deacuerdo a Rzevski es aquel capaz de alcanzar su objetivo o sostenerlo bajo condicionesde incertidumbre. Las bases del control inteligente se sustentan en el campo de lainteligencia artificial y las redes neuronales artificiales que a su vez sustentan su teoría defuncionamiento en el trabajo de Hebb (1949), Rosenblatt (1961), Kohonen (1987),Windrow-Hoff (1960) y otros.Por otra parte el concepto de lógica difusa es introducido por Zadhe en 1965, con el finde modelar la experiencia del ser humano; sin la metodología formal de otras técnicasofreciendo un control robusto donde no es necesario conocer el modelo dinámico de laplanta. En este campo del control han contribuido Mamdani (1976), Sugeno (1985),Sutton (1991) y Tong (1978).Sabiendo que existen muchas más técnicas de control que las aquí expuestas nuestroestudio se enfocará únicamente al control clásico, espacio de estados y modos deslizantes,para luego hacer un análisis de desempeño de estas técnicas.

4.1 Clasificación de los sistemas de control

En general los sistemas de control se pueden catalogar en: Sistemas de control en tiempo continuo. Sistemas de control en tiempo discreto.

Las herramientas de análisis de los sistemas de control en tiempo continuo son latransformada de Laplace y las ecuaciones diferenciales, en tanto que para los sistemas decontrol en tiempo discreto, las herramientas son la transformada Z y las ecuaciones dediferencias.

También los sistemas de control automático pueden catalogarse en: Sistemas de control de lazo cerrado, que son sistemas compuestos generalmente

por un controlador, uno o más sensores, un elemento final de control y una plantao proceso.

Sistemas de control de lazo abierto, estos sistemas carecen de señal deretroalimentación, tampoco tienen un elemento sensor y operan en base a tiempo.

La teoría de control centra su atención al estudio del comportamiento de los sistemas decontrol de lazo cerrado. La figura 4-1 muestra un sistema de control retroalimentado ysus elementos principales tomado de [2].

Figura 4-1 Diagrama a bloques de los elementos de un sistema de control retroalimentado.

El controlador es el dispositivo encargado de comparar la señal establecida comoseñal de referencia contra la señal actual del sistema, y con base en el resultado decomparar dichas señales emite una señal de corrección.

La señal de error )(te se define como la diferencia existente entre el valor de

referencia )(tr ; menos el valor de la variable controlada )(tx retroalimentada; (es

decir el producto de dicha variable por la función de transferencia del elemento demedición). El error es una resta aritmética y puede tomar valores positivos,negativos o ser cero.

)(tu es llamada la señal de control.

)(tz es la cantidad de energía o materia aplicada a la planta o proceso destinada a

manipular su operación.

)(td es la señal de perturbación que actúa sobre la planta haciendo que sus

condiciones de operación varíen con respecto a una condición deseada.

)(tv es la señal de salida del elemento de medición (sensor).

Error

)(tee(t)

Mecanismoo ecuaciónde control

Señal decontrol

)(tu

Elementofinal decontrol(actuador)

)(tz

Planta oproceso

)(td

)(tv

(-)

(+)

Controlador Elemento demedición(sensor)

Variablecontrolada

)(tx

Señal dereferencia

(+)

(+)

Perturbación

4.2 Modelado matemático de sistemas lineales

La expresión matemática que representa el comportamiento de un sistema o modelo espor lo general una ecuación diferencial, es costumbre acomodar del lado derecho de laecuación a la señal modificadora, de modo que se tiene la siguiente forma general:

)()()(

1 tuktzdt

tdza (4.1)

Donde u(t) es la señal modificadora.

El modelo matemático de un sistema dinámico “es el conjunto de ecuaciones querepresentan la dinámica del sistema con precisión o al menos bastante bien” de acuerdo a[8].Es importante tener en cuenta que:

El modelo matemático para un determinado sistema no es único. Un sistema puede ser representado de muchas formas diferentes, tendiendo así

muchos modelos matemáticos que dependen de la perspectiva. Los modelos matemáticos se obtienen a partir de las leyes físicas que gobiernan a

un sistema determinado. Obtener un modelo matemático que represente de manera apropiada el

comportamiento de un sistema es la parte más importante en el proceso de análisisde este.

El enfoque de la teoría de control es el análisis de los sistemas causales. Un sistema causal es aquel cuya salida actual en 0t depende solo de entradas

anteriores a 0t , mas no depende de entradas futuras o tiempos posteriores a0t .

Cuando se pretende obtener el modelo matemático de un sistema es necesario evaluar elgrado de precisión requerido para este, con frecuencia un modelo de alta precisión seconvierte en un modelo muy complejo y esto dificulta su análisis ya que puede estarcompuesto de muchas variables, de estas, algunas pudieran no tener un efecto realmentesignificativo en los resultados. Así pues si dicho efecto no es suficientementesignificativo para algunas variables, estas pudieran ser eliminadas del modelo parasimplificarlo.Sin embargo se debe ser cuidadoso al decidir que variables se pueden eliminar delmodelo ya que alguna o varias de estas pudieran volverse suficientemente significativasal incrementar la frecuencia de operación del sistema.Si el sistema es operado en la región lineal; este se simplifica y así se tiene una buenaprecisión, bajo esta condición se cumple el principio de superposición y su análisis sesimplifica pues es posible separar el modelo en partes, de modo que en cada una de estasse considere el efecto individual de cada entrada del sistema, para luego simplementesumar el efecto de cada una de dichas partes, y obtener así la respuesta total del sistema.Si la ecuación diferencial que representa al sistema tiene sus coeficientes constantes, seráindicativo de que el sistema no presentará cambios conforme el tiempo transcurra; estosignifica que dicho modelo no requiere de ajustes dependientes del tiempo; lo cualtambién lo simplifica. Sin embargo si dichos coeficientes son variables o dependientes

del tiempo, dicho modelo es precisamente variante con el tiempo; esto implica que latécnica de control del sistema deberá ser capaz de compensar dicha variabilidad delsistema conforme el tiempo transcurra. Sistemas de este tipo (variantes con el tiempo) seencuentran fuera del alcance de las técnicas de control tradicional, y para su tratamientoes preciso implementar técnicas de control mas avanzadas como las técnicas de controlde estructura variable, las cuales por su robustez se emplean en sistemas no lineales yvariantes con el tiempo.Las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de un sistema puedentener alguna de las siguientes formas generales:

Sistemas de primer orden: 0)()( tuKtydt

dyg (4.2)

Donde τ es la constante de tiempo del sistema, y gK es la ganancia en estado

estable o estacionario.

Sistemas de segundo orden: )()(22

2

2

txKtydt

dy

dt

ydgnn (4.3)

Donde ζ es la llamada razón de amortiguamiento, n es la frecuencia natural no

amortiguada del sistema y de igual forma gK es la ganancia del sistema.

Sistemas de orden superior cuyas derivadas son de orden mayor a segundo orden.

De tenerse un sistema en el cual se desconozcan las ecuaciones diferenciales quedescriban su comportamiento, estas pueden obtenerse de forma aproximada de maneraexperimental, tal como se vio anteriormente en el caso de la caracterización a rotor enmovimiento y de respuesta frecuencial del generador síncrono.Sin embargo hacer el análisis de un sistema a partir de las ecuaciones diferenciales lohace complicado por los métodos de solución diversos que deben ser empleados, ademásde la consideración de casos especiales; es por ello que en lugar de buscar la solución dedichas ecuaciones diferenciales por los métodos tradicionales se prefiere hacer uso de latransformación de Laplace, con esta se puede dar solución de dichas ecuaciones alresolver de forma algebraica las ecuaciones transformadas en el dominio de la frecuenciacompleja , y luego mediante tablas hacer la transformación inversa correspondiente paravolver al sistema; al dominio del tiempo.Otra utilidad adicional de la transformada de Laplace según [9] consiste en conocer elvalor de la función que representa a un determinado sistema al emplear el teorema delvalor final y el teorema de valor inicial, esto consiste en obtener primeramente latransformada de Laplace de la función del sistema, resolver para la variable diferencial enel dominio de Laplace y luego determinar el valor de la función de acuerdo a:

El teorema de valor inicial (si se desea conocer el valor de la función en sucondición inicial) mediante: )(lim ssF

s (4.4)

Donde )(sF es la transformada de Laplace de la función puesta en términos de la

variable diferencial. El teorema de valor final (si se desea conocer el valor de la función en su

condición final) mediante: )(lim0

ssFs

(4.5)

Donde )(sF es la transformada de Laplace de la función puesta en términos de la

variable diferencial.

4.2.1 Función de transferencia

Una herramienta de análisis en teoría de control es precisamente la función detransferencia. Esta se define en [2] y [9] como “El cociente entre la transformada deLaplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada(función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales soncero”. Esto aplica solo a sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

En general:0_

)(

)()(

inicialesscondicione

sX

sYsG (4.6)

Donde:)(sG es la función de transferencia del sistema

)(sY es la transformada de Laplace de la salida

)(sX es la transformada de Laplace de la entrada

El orden de la función de transferencia lo define la potencia más alta de ""s delpolinomio del denominador. Así pues, la función de transferencia tiene la forma:

)(

)()(

sd

snKsG g ,

donde:

gK es la ganancia del sistema

)(sn es el polinomio del numerador

)(sd es el polinomio del denominador

Cuando el polinomio del denominador se iguala a cero y se determinan sus raíces, seencuentran los llamados polos de la función.De manera similar al igualar a cero el polinomio del numerador y encontrar sus raíces seencuentran los ceros de la función.La representación en el plano complejo ""s de los polos y ceros de la función se muestraen la figura 4-2.En el proceso de obtención de los polos y ceros de la función de transferencia, elpolinomio del numerador se acomoda de modo que el coeficiente de la potencia más altaen “s” sea 1 para obtener los ceros de la función; de forma análoga esto se hace con eldenominador para obtener los polos.En una función de transferencia, son los polos quienes aportan la información másrelevante del sistema.

Figura 4-2 Representación en el plano complejo de los polos y ceros de la función detransferencia.

De acuerdo a [19], los polos dominantes del sistema son aquellos que tienen el valor desigma )( mayor o que se encuentran ubicados a la derecha en el plano complejo

(cercanos al origen por el lado izquierdo de este), esto se muestra en la figura 4-3.

Figura 4-3 Ubicación de los polos dominantes en el plano complejo.

Cero

Eje Imaginario

Eje Real

j

Polos dominantes

Eje Real

Polo

j

Eje Imaginario

4.2.2 Polos dominantes de una función de transferencia

El ó los polos dominantes de una función de transferencia, ayudan a entender elcomportamiento que tendrá el sistema bajo diferentes condiciones de operación enrelación con la estabilidad de este según [2], [10], [18] y [19], de modo que:

Si el polo dominante de una función de transferencia tiene un valor de negativo,el sistema será estable.

Si el polo dominante de una función de transferencia tiene un valor de positivo,el sistema es inestable.

Si el polo dominante de una función de transferencia tiene un valor de igual acero, entonces el sistema es críticamente estable u oscilatorio.

Lo anterior ayuda a saber de manera rápida la forma de la respuesta del sistema ante unaentrada conocida. Por ejemplo con la aplicación de una entrada de tipo escalón alsistema; este tendrá en general el comportamiento correspondiente de acuerdo a como seindica en la figura 4-4.

Figura 4-4 Respuesta de un sistema estable, inestable y críticamente estable ante una entrada detipo escalón.

Como anteriormente se dijo, la función de transferencia se define según la Ecuación (4.6),si a partir de esta se resuelve para la función respuesta se tiene aquí; que el polodominante de la función respuesta, (una vez puesto el polinomio del denominador enforma de factores); será el que determine la forma de la respuesta en estado estable oestacionario del sistema; es decir si se tiene por ejemplo un sistema cuya función

respuesta es42)4)(2(

)(

s

C

s

B

s

A

sss

asY ; se observa que el primer término

corresponde a un escalón, en tanto que el segundo y tercero corresponden a

Estable

Inestable

Críticamenteestable

Entrada Sistema Salida

Escalón

Después de untransitorio reproduce laseñal de entrada

Crece continuamente yno reproduce la señalde entrada

La salida es oscilatoria

exponenciales negativas; si a dicha función respuesta se le grafica en el plano complejose obtiene el gráfico de la figura 4-5.En la función respuesta, la forma que predominará en estado estable cuando t , serála de la señal a la cual corresponda el polo dominante, en este caso el escalón.

Figura 4-5 Ubicación de los polos en el plano complejo.

4.2.3 Respuesta transitoria y en estado estacionario de un sistema

Según [18], la respuesta de un sistema ante una señal de entrada consta de dos partes: La respuesta transitoria del sistema: que es precisamente la respuesta que este

exhibe a partir de 0t hasta antes de alcanzar el estado estable; y en un sistemaestable decae a cero la diferencia (error); entre dicha respuesta de salida y la señalde entrada. Es una función dependiente de la dinámica del sistema, eindependiente de la señal de entrada.

La respuesta en estado estacionario del sistema: es la respuesta que exhibe elsistema cuando ha transcurrido ya la respuesta transitoria y el tiempo tiende ainfinito; es una función dependiente de la dinámica del sistema y de la señal deentrada.

Por lo anterior la respuesta total del sistema es la suma de las componentes estacionaria ytransitoria. La diferencia existente entre la señal de entrada y la respuesta del sistema esllamada la señal de error; es precisamente hacer que dicha señal de error se reduzca acero o se minimice el objetivo principal de un sistema de control.La característica mas importante de un sistema de control es la estabilidad absoluta queen esencia describe si el sistema es estable o inestable de acuerdo a como se observó en lafigura 4-4.Se debe tener presente que un sistema es físicamente incapaz de seguir de formainstantánea a la señal de entrada, ante una variación de esta y/o de una señal deperturbación; siempre existirá un lapso transitorio de tiempo en el cual la salida mostraráoscilaciones antes de alcanzar la respuesta en estado estable si es que dicho sistema esprecisamente estable. Además si cuando el sistema alcance el estado estacionario sepresenta una diferencia entre la señal de entrada y la salida, entonces se tendrá el llamadoerror en estado estable del sistema.

j)4)(2(

)(

sss

asY

Eje Imaginario

Eje Real

4.2.4 Sistemas de primer orden

La forma general de la función de transferencia de un sistema de primer orden está dada

por:1

1

)(

)()(

ssEntrada

sSalidasG

(4.7)

Según [2] y [10], a partir de esta se puede conocer la salida del sistema si se resuelve paraesta como:

)(1

1)( sEntrada

ssSalida

.

Así pues conocer la respuesta de un sistema esencialmente consiste en multiplicar sufunción de transferencia por la señal de entrada puesta en el dominio de Laplace, paraluego obtener la transformada inversa de la expresión resultante. Una de las señales deprueba más comúnmente empleadas en el análisis de la respuesta transitoria de unsistema es la señal escalón. Conocer pues la salida ante una entrada de este tipo consisteen multiplicar la función de transferencia del sistema por la transformada de Laplace dela función escalón; es decir:

sssC

1

1

1)(

, donde C(s) es la salida del sistema en el dominio de Laplace ys

1es la

transformada de Laplace de la función escalón.Al obtener la transformada inversa de la expresión anterior se tiene:

/1)( tetc En el dominio del tiempo (4.8)

La grafica de esta expresión es una exponencial la cual alcanzaría el 100% del valor finalpara t , sin embargo en términos de la teoría de control se considera que al transcurrircuatro constantes de tiempo, es decir 4t , la salida ya alcanzó el 98% de su valor final.El valor de es propio de cada sistema en particular y depende de la rapidez de este,cuanto menor sea el valor de dicha constante de tiempo, mayor será la rapidez del sistemay este será capaz de seguir con mayor prontitud a los cambios de la señal de entrada. Lafigura 4-6 muestra la respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada escalón.Con un procedimiento similar al anterior es posible encontrar la forma de la respuesta deun sistema de primer orden ante cualquier tipo de entrada si dicha señal de entrada setransforma al dominio de Laplace y se sustituye en la ecuación anterior.

Figura 4-6 Respuesta de un sistema de primer orden ante una entrada de tipo escalón.

4.2.5 Sistemas de segundo orden

La forma general de la función de transferencia de un sistema de segundo orden según [2],

[9] y [20] está dada por:22

2

2)(

)()(

nn

ng

ss

K

sEntrada

sSalidasG

(4.9)

Al igual que en el caso anterior es posible conocer la respuesta del sistema ante diversostipos de señal de entrada siguiendo el mismo procedimiento explicado; basta sustituir la

señal de entrada puesta en el dominio de Laplace en )(2

)(22

2

sRss

KsC

nn

ng

donde

R(s) es la señal de entrada, este tipo de sistemas presentan un comportamiento diferenteante diferentes valores de ζ (coeficiente de amortiguamiento), así se tienen los siguientes casos:a).- Si el coeficiente de amortiguamiento ζ=0; el sistema es no amortiguado, en tal situación los polos son imaginarios y se ubican en el plano complejo según se muestra enla figura 4.7.

Figura 4-7 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden no amortiguado.

/1)( tetc

98% del valorfinal

nj

- nj

Eje Real

T

2 3 4 5

1

t

)(tc

Eje Imaginario

b).- Si el coeficiente de amortiguamiento tiene valores entre 10 , el sistema es sub-

amortiguado o bajo amortiguado, en tal caso se tienen polos complejos conjugados y suubicación en el plano complejo es como se indica en la figura 4-8.

c).- Si el coeficiente de amortiguamiento tiene un valor de 1 , el sistema es

críticamente amortiguado, en tal caso se tienen polos repetidos reales; la ubicación deestos en el plano complejo es como se muestra en la figura 4-9.

Figura 4-8 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden sub-amortiguado.

Figura 4-9 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden críticamente amortiguado.

d).- Si el coeficiente de amortiguamiento es 1 el sistema es sobre-amortiguado, en

este caso se tienen polos reales y diferentes; su ubicación en el plano complejo es comose muestra en la figura 4-10.

Figura 4-10 Ubicación de los polos en un sistema de segundo orden sub-amortiguado.

n

Eje Real

r1 r2

j

21 nj

21 njn

Polos reales eiguales

σ

j

Eje Real

Eje Imaginario

Eje Imaginario

Eje Imaginario

Eje Real

De modo que si al sistema de segundo orden se le aplica una señal de prueba, como unescalón, la respuesta del sistema tendrá diferente forma, dependiendo del valor delcoeficiente de amortiguamiento, esto se aprecia en la figura 4-11.

Figura 4-11 Diferentes formas de respuesta ante una entrada escalón en un sistema de segundoorden, para diversos valores del coeficiente de amortiguamiento en tiempo y magnitud arbitraria.

El caso sub-amortiguado constituye la base de estudio de los sistemas de controlretroalimentado de segundo orden, de este se desprende la llamada especificación derespuesta transitoria de segundo orden según [20], esta se representa en la figura 4-12.

Figura 4-12 Especificación de la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden sub-amortiguado ante una entrada escalón.

Donde:

rt Es el tiempo de levantamiento dado por:

dd

d

d

rt

11 cos

tan1

(4.10)

dt Es el tiempo de retardo o tiempo necesario para que se alcance el 50% de la magnitud

de la señal en estado estacionario

1

dt rt pt st

pM

t

21 n

djn

n

010

1

1

5.0

Para stt la respuesta

permanece dentro de estafranja

t

)(tc

)(tc

pt Es el tiempo pico dado por:d

pt

(4.11)

st Es el tiempo de asentamiento para el criterio del 2% dado por:

n

st

44

4 (4.12)

st Es el tiempo de asentamiento para el criterio del 5% dado por:

n

st

333 (4.13)

pM Es el máximo sobrepaso dado por:

21/

/ eeM d

p (4.14)

Se define también el % de sobrepaso máximo como: %100% / deM p

d Es la frecuencia natural amortiguada dada por: 21 nd (4.15)

n Es la frecuencia natural no amortiguada

Además n donde a su vez es el coeficiente de amortiguamiento dado por:

22 ln

ln

p

p

M

M

(4.16)

Sí dicho coeficiente es negativo el sistema es inestable y de ser positivo, el sistema esestable.

4.2.6 Sistemas de orden superiorComo ya se vio, un sistema de primer orden tiene la forma descrita en la ecuación (4.7),

en tanto que uno de segundo orden se representa por la ecuación (4.8) donde gK

representa la ganancia del sistema y se define por:

entrada

salidaK g

(4.17)

Una propiedad importante en el modelado de sistemas consiste en que un sistemacomplejo (usualmente de orden superior) puede ser representado por un conjunto desistemas más sencillos, de aquí la importancia de los llamados polos dominantes delsistema, es decir, si un sistema posee varios polos, no necesariamente todos ellos serándominantes, algunos tendrán mayor influencia en la respuesta del sistema que otros; porello se puede ignorar el efecto de los polos no dominantes y manejar lo que se llamadinámicas no modeladas del sistema (precisamente debidas a la acción de los polos nodominantes); el resultado es un sistema de menor orden que el original. Así pues si unsistema tiene “n” polos y solo uno es dominante (predomina en la respuesta del sistema),entonces dicho sistema puede ser aproximado por un sistema de primer orden. Estosimplifica enormemente el modelado de los sistemas, aunque introduce cierto grado deerror, por ello debe ser cuidadosa la selección de los polos del sistema que se podrándescartar al manejar dinámicas no modeladas.

4.2.7 Linealización de modelos matemáticos no lineales

En [2] se establece que en un sistema no lineal no es posible obtener la respuesta total deeste considerando de forma separada las entradas y después sumando los resultadosindividuales de cada una de estas.Las causas principales de la no linealidad son:

La saturación de los elementos del sistema ante entradas de señal muy grandes. La existencia de zonas muertas debidas a la aplicación de señales de entrada muy

débiles. Esto produce insensibilidad de algunos componentes al aplicar señalesque presentan variaciones muy débiles.

Uso de componentes regidos por la ley cuadrática o alguna otra ley no lineal en elsistema.

Es posible tratar a un sistema no lineal como si fuera lineal al hacerlo operar en torno aun punto de equilibrio, en dicho entorno limitado por un rango de valores de determinadoparámetro, puede encontrarse una relación lineal acotada a dicho rango.Una herramienta empleada en la Linealización de modelos matemáticos no lineales es laexpansión en series de Taylor de la función del sistema en las cercanías del citado puntode equilibrio.

Para un sistema dado por )(xfy , donde la única entrada de este es “x”, la expansión

en series de Taylor de la función es:

.......!2

1)(

22

xxdx

fdxx

dx

dfxfy (4.18)

Donde x es el punto de equilibrio, y se asume que la variación producida por xx es

pequeña, entonces )()( xxKxfy , dondexxdx

dfK

| , si se establece )(xfy ,

entonces ahora se tiene:

)( xxKyy , entonces al reagrupar se tiene )( xxKyy , con esto se tiene una

expresión lineal para la expresión no lineal en las cercanías de xx y yy .

De forma similar para un sistema de dos entradas, donde se tienen los correspondientes

puntos de equilibrio 1x y 2x , la expansión en series de Taylor para este sistema es:

)()( 222111 xxKxxKyy (4.19)

Donde:

2211 ,1

1

xxxxx

fK

y

2211 ,2

2

xxxxx

fK

.

4.3 Acciones básicas de control PIDDe acuerdo a [21], un sistema de control retroalimentado tiene un dispositivo controladorel cual se encarga de comparar la señal de salida del sistema con la señal de entrada, estedetermina la diferencia entre ambas señales y tal diferencia es la llamada señal de error.

Al conocerse la magnitud de dicha señal de error, el controlador envía una señal decorrección tendiente a reducir el error en el menor tiempo posible.Se debe recordar que el error se presenta ya sea por cambios establecidos por el usuarioen la señal de entrada o por perturbaciones externas que afecten el comportamiento delsistema, e inclusive variación de los parámetros de este.Así como se vio que los sistemas físicos pueden modelarse y puede obtenerse su funciónde transferencia, los dispositivos controladores, como sistemas electrónicos tambiénpueden modelarse y por consiguiente se puede obtener su función de transferencia. Unaunidad controladora es en general un microcontrolador previamente programado pararealizar una o varias tareas a muy alta velocidad, dichas tareas se diferencian entre sí enel algoritmo de programación, la ejecución de estas necesariamente conduce a funcionesde transferencia diferentes dentro del mismo controlador. Estas funciones detransferencia “programadas” en el controlador tienen como objetivo ejecutar acciones decontrol, dichas acciones obligan al sistema bajo control a reducir la diferencia en la señalde error.Entre las acciones básicas de control que se programan a un controlador según [22] seencuentran:

La acción de control proporcional La acción de control integral La acción de control derivativa.

4.3.1 Acción de control proporcional

La acción de control proporcional según [21] y [22] se da por:

)()( teKtu p (4.20)

Donde:)(tu Acción de control

pK Ganancia o constante proporcional

)(te Señal de error

Esta acción de control se da solo cuando existe una señal de error y la respuesta de laacción de control proporcional ante una entrada escalón es según se muestra en la figura4-13.

Figura 4-13 Respuesta de la acción de control proporcional ante una entrada escalón

pK

)(tu

t

Al inverso de la ganancia proporcional se le llama banda proporcional, es decir:

pKBP

1 .

Al considerar la definición de error, la acción de control proporcional es pKtu )( (Valor

establecido o deseado -Valor retroalimentado), estas operaciones son las que deberárealizar el microcontrolador del sistema al ejecutar la acción de control proporcional.En un controlador real existen limitantes que deben tomarse en cuenta al momento deelegirlo para su implementación en un sistema de control, una de ellas es el tiempo dereacción, este tiempo depende de la velocidad con que el procesador del controladorpueda realizar el cálculo de las operaciones necesarias para obtener el valor de la acciónde control, no solo esto, sino el tiempo que demora leer la señal retroalimentada ycuantificar su magnitud. Por ello se debe ser cuidadoso al elegir al controlador ya quedebe garantizarse que su tiempo de ejecución de todas las acciones anteriores sea menorque la mitad o la cuarta parte de la constante de tiempo del sistema físico que se deseacontrolar. Esta acción de control tiene asociado un error promedio y constituye unadesventaja ya que dicho error es proporcional precisamente al valor de la bandaproporcional.

4.3.2 Acción de control integral

Esta acción de control según [21] y [22] tiende a hacer que el error promedio desaparezcaal variar la magnitud de la señal de control )(tu de forma proporcional al producto error

tiempo. La expresión que representa la relación existente entre la señal de control, elerror y el tiempo es la siguiente:

dtteKtud i )()( (4.21)

Donde:

)(tud Es el diferencial o variación de la señal de control con respecto al

tiempo

iK Es la constante de proporcionalidad de la acción integral

)(te Es la magnitud del error en función del tiempo

dt Es el diferencial de tiempoAl integrar ambos lados de la expresión anterior se tiene:

t

i

t

dtteKtud00

)()( .

t

i dtteKtu0

)()( (4.22)

Esta acción de control incrementa la salida de control mientras exista una diferencia(error) entre la señal deseada y la señal retroalimentada; cuando el error desaparece, lamagnitud de la señal de control permanece constante.La respuesta de la acción integral ante una entrada escalón es la mostrada en la figura 4-14.

Figura 4-14 Respuesta de la acción integral ante una entrada escalón.

En la acción de control integral el controlador del sistema hace sumas del error aintervalos de tiempo dependientes del tiempo de muestreo.Sus principales desventajas son:

Introduce un comportamiento inestable en sistemas de primer orden con retardo. Su respuesta es muy lenta si se eligen constantes de tiempo altas.

4.3.3 Acción de control derivativa

El objetivo de esta acción de control según [21] y [22] es obtener una respuesta dinámicamás rápida del sistema, esto se hace generando una señal de control proporcional a la tasade variación del error con respecto al tiempo. La expresión que describe esta acción decontrol es:

dt

tdeT

dt

tdeKtu DD

)()()( (4.23)

Donde:

DK Es la constante de acción derivativa

DT Es la constante de tiempo derivativa

y DD TK .

La respuesta ideal de la acción de control derivativa ante una entrada escalón es como semuestra en la figura 4-15.Sin embargo esta es una respuesta idealizada, en la práctica es imposible obtenerla ya quetodo sistema físico se encuentra limitado a la disponibilidad de la energía pues no esposible obtener impulsos de magnitud infinita y de duración cero en el tiempo.La respuesta real de la acción de control derivativa ante un escalón se muestra en lafigura 4-16.

1T Es la constante de tiempo de un retardo de primer orden introducido por el sistema

físico bajo estudio. Puede considerarse que se tiene una acción de control puramentederivativa si los tiempos de respuesta del sistema son mucho mayores que dicho tiempode retardo.En la acción de control derivativa el controlador esencialmente multiplica a la constantede acción derivativa por la diferencia existente entre la señal de error actual y la señal deerror existente en el muestreo anterior.

iT

t

1

)(tu

i

iT

K1

Figura 4-15 Respuesta ideal de la acción de control derivativa ante una entrada escalón.

Figura 4-16 Respuesta real de la acción de control derivativa ante una entrada escalón.

4.3.4 Acción de control PID

Las acciones de control vistas anteriormente aplicadas de forma individual no garantizande ninguna manera en general que se pueda tener un control óptimo del sistema, puescada una de ellas introduce ya sea error, inestabilidad, lentitud de la respuesta y/otruncamiento; por ello se utilizan en conjunto de modo que se complementen entre sí, alsuperponer dichas acciones de control se tiene precisamente el llamado control PID ocontrol Proporcional Integral Derivativo, la acción conjunta de este control se expresapor:

dt

tdeTdtte

TteKtu

t

D

i

p

)()(

1)()(

0

(4.24)

Donde:

pK Es la ganancia proporcional del controlador

iT Es el tiempo integral

DT Es el tiempo derivativo

)(tu

/1

0

t

Dn TK

1T

1

1

T

T

eD

1/TTD

t

DD

D

TK

TT

1

Son los parámetros delcontrolador y el usuario solotiene que ingresar sus valores demodo que el controlador losinterprete y ejecute al realizar laacción de control.

4.3.5 Sintonía del controlador

Ingresar el valor óptimo de cada uno de estos parámetros al controlador es lo que se llamasintonizar el controlador. Existen diversos métodos que nos ayudan a obtener el valoróptimo para cada uno de estos parámetros, entre otros según [19], [21] y [22] son:

El método de sintonía de Ziegler-Nichols 1. El método de sintonía de Ziegler-Nichols 2 (o de ganancia última). El método de sintonía por criterios integrales. El método de sintonía de ¼ de decaimiento. Otros.

Para implementar estos métodos se requiere conocer gK , 0t y de un sistema de primer

orden, donde:

gK Es la ganancia del sistema

0t Según [9] es el tiempo muerto del sistema o tiempo que éste demora en comenzar a

reaccionar ante un cambio en la señal de entrada Es la constante de tiempo del sistema de primer orden

Para obtener estos parámetros de un sistema de primer orden se aplica una señal escalón asu entrada y se mide el tiempo de reacción de este ante dicha entrada; la figura 4-17muestra este concepto.

Aquí se aprecia como el tiempo muerto 0t es el intervalo que transcurre entre el momento

de aplicación de la señal de entrada y el comienzo de la reacción del sistema ante dichaentrada.La ganancia de un sistema de primer orden descrita en la ecuación (4.17) se ilustragráficamente en la figura 4-18.

Figura 4-17 Concepto grafico del tiempo muerto de un sistema de primer orden.

0t

Escalón de entrada

Salida del sistema

Punto deinflexión

Recta tangenteal punto deinflexión

Figura 4-18 Concepto grafico de la ganancia de un sistema de primer orden.

Constante de tiempo de un sistema de primer orden.La función de transferencia de un sistema de primer orden se da según la ecuación (4.7)Si la entrada es un escalón de amplitud “A”, entonces la salida es:

)(1

)( sXs

KsY g

, dondes

AsX )( .

)1(

.)(

ss

AKsY g

.

La transformada inversa de Laplace de esta expresión da como resultado la salida delsistema en el dominio del tiempo:

)1(

1.)( 11

ssALKsYL g

.

/1.)( tg eAKty .

Si t “una constante de tiempo”

AKeAKeAKty ggg .632.01.1.)( 1/ .

Dado que “A” es la amplitud del escalón de entrada, si dicho escalón es unitario, entonces

A=1; y gK es simplemente la variación de la amplitud de la señal de salida ante la

aplicación de dicho escalón, en la figura 4-19 se muestra de forma grafica la forma deobtener experimentalmente el valor de τ.

La transformada de Laplace de la función de transferencia de un sistema de primer ordencon tiempo muerto se expresa mediante:

stg es

KsG 0

1)(

(4.25)

Donde 0t es precisamente el tiempo muerto. Por la aproximación de Pade según

las referencias citadas, el término ste 0 puede aproximarse mediante:

Señal de entrada

Amplitud

tt

tt

Señal de salida Variación de laamplitud de laseñal de salidaante un cambio enla señal de entrada

Variación de laamplitud de laseñal de entrada

entrada

salidaKg

21

21

0

0

0

st

st

e st

(4.26)

Figura 4-19 Obtención grafica de la constante de tiempo del sistema.

Es decir:

21

21

1)(

0

0

st

st

s

KsG g

el término entre corchetes representa la aproximación del

tiempo muerto del sistema.

Así pues conociendo gK , 0t y para un sistema de primer orden podrá ajustarse el

controlador del sistema para optimizar el valor de los parámetros del control PID ( pK , iT

y DT ) al emplear alguno de los métodos citados anteriormente.

Mas aún, si la precisión del control que se desea implementar no es tan rigurosa, esposible emplear un modelo de primer orden con tiempo muerto para representar a uno desegundo orden u orden superior, ya que si en dicho modelo de segundo orden u ordensuperior hay un polo dominante, este predominará en la respuesta del sistema, haciendoasí que este pueda ser representado (en ciertos casos), por un modelo de primer orden. Enla figura 4-20 se muestra un esquema comparativo de la respuesta de sistemas de diversosordenes, con esto se valida lo anterior según [18].

Figura 4-20 Esquema comparativo de las respuestas de diversos órdenes de sistemas ante unaentrada escalón.

0t

2do orden3er orden4to orden

gK

0.632

1

t

t

Se obtiene al proyectar el

valor de

gKty 632.0)( sobre el eje de tiempo yrestando el tiempo muerto delsistema.

1er orden

tt

4.3.6 Métodos de sintonía de controladores PID

Método de sintonía Ziegler Nichols 1.En [2], [19] y [22] se resume este método según la tabla 4-1:

Tabla para la sintonía de controlador por el método de Ziegler-Nichols 1

Tipo de controladorpK iT DT

P (proporcional)

0t

0

PI (proporcional-

integral)0

9.0t

3.00t 0

PID (proporcional-

integral-derivativo)0

2.1t

02t 05.0 t

Tabla 4-1 Sintonía de controlador por el método de Ziegler-Nichols 1

Método de Ziegler Nichols 2.También en [2] y [22] se detalla este método el cual consiste en obtener la gananciacrítica y el período crítico del sistema al establecer un tiempo integral infinito y untiempo derivativo nulo en el controlador, luego se incrementa suavemente su ganancia (apartir de cero) observando la salida del sistema, se llegará a un valor de ganancia críticaen donde la salida comience a oscilar, dicho valor de ganancia se debe anotar, así como el

período de dicha oscilación, así se tiene la criticaK y el critico ; y con ello ahora se está en

condiciones de aplicar el método resumido en la tabla 4-2:Cuando el sistema no presenta oscilaciones al incrementar la ganancia, este método no esaplicable.

Tabla para la sintonía de controlador por el método de Ziegler-Nichols 2

Tipo de controladorpK iT DT

P (proporcional)criticaK5.0 0

PI (proporcional-

integral)criticaK45.0

2.1critico 0

PID (proporcional-

integral-derivativo)criticaK6.0 critico5.0 critico125.0

Tabla 4-2 Sintonía de controlador por el método de Ziegler-Nichols 2

4.4 Lugar geométrico de las raíces

De acuerdo a [2], [9], [18] y [19] la ubicación de los polos en el plano complejo de lafunción de transferencia para un sistema retroalimentado determina la forma de larespuesta de este ante cambios en la entrada, o perturbaciones, como se vioanteriormente; la ganancia del sistema juega un papel muy importante en la sintonía delos controladores PID. Dependiendo de la magnitud de la señal retroalimentada se tendráun sistema cuya estabilidad es función de dicha magnitud.El método del lugar geométrico de las raíces ayuda a predecir los efectos que tiene lalocalización de los polos en lazo cerrado, el efecto de la variación de la ganancia y elefecto de la adición de polos en lazo abierto. Este método se desarrolló por W.R. Evansen 1948.Para su implementación primero es necesario conocer la ecuación característica delsistema, esto se hace tomando el denominador de la función de transferencia de lazocerrado del sistema e igualando dicho denominador a cero, esto constituye la llamadaecuación característica.La representación en diagrama de bloques de un sistema retroalimentado en general essegún se muestra en la figura 4-21.

Figura 4-21 Diagrama a bloques de un sistema retroalimentado.

La función de transferencia de este sistema se da por:

)).....()((

)).....()((

)()(1

)(

)(

)(

21

121

cncc

cnccc

pspsps

zszszsK

sHsG

sG

sR

sC

(4.27)

Donde las siguientes variables se encuentran en el dominio de la frecuencia compleja:R(s) es la entrada de referenciaG(s) es la función de transferencia del sistema en lazo abiertoC(s) es la función de salida del sistemaH(s) es la función de transferencia del elemento de retroalimentación o sensorKc es la ganancia de lazo cerrado

,,2,1 .... cncc ppps son los polos en lazo cerrado

,1,2,1 .... cncc zzzs son los ceros en lazo cerrado

La posición de los polos en lazo cerrado en el plano “s” determina la naturaleza delcomportamiento transitorio del sistema.

G(s)

H(s)

R(s) C(s)

Al término )()( sHsG se le llama función de transferencia de lazo abierto y se define

mediante:

)).....()((

)).....()(()()(

21

121

onoo

onoo

pspsps

zszszsKsHsG

(4.28)

Donde nzzz 00201 ...., son los ceros de lazo abierto y nppp 00201 ...., , son los polos de lazo

abierto.El método del lugar geométrico de las raíces determina precisamente las raíces de laecuación característica de los polos en lazo cerrado cuando la constante de ganancia delazo abierto se incrementa de cero a infinito.El lugar geométrico de las raíces se grafica en el plano “s” dado que se compone de unaparte real y una parte imaginaria j , donde js . En dicho plano en general se

puede definir la estabilidad del sistema de acuerdo a como se muestra en la figura 4-22.

Figura 4-22 Comportamiento de la estabilidad de un sistema en el plano complejo.

El valor de determina la estabilidad del sistema, en tanto que ω es la frecuencia de oscilación transitoria.

La implementación de este método consiste de los siguientes pasos:

Tomar la función de transferencia de lazo abierto )()( sHsG del sistema.

Obtener la ecuación característica usando la función de transferencia de lazoabierto por medio de 0)()(1 sHsG .

Determinar las raíces de la ecuación característica resultante para valores de gK

entre cero e infinito. Obtener la gráfica correspondiente en el plano complejo. Identificar la característica de estabilidad del sistema en base a la ubicación de los

polos en el plano complejo como función de la ganancia “ gK ”.

j

Sistema estable Sistema inestable

Sistema críticamente estable

0

Como la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es 1)()( sHsG y

representa a un vector formado por una parte real y una imaginaria, dicho vector puedeser representado en términos de ángulo y magnitud.Es decir:

osHsG 180)()( (4.29)

1)()( sHsG (4.30)

La primera expresión es la llamada condición de fase y establece que para que un puntose encuentre en el lugar geométrico de las raíces, la suma de todos los ángulos para losvectores entre los polos de lazo abierto (tomando a dichos ángulos como positivos) y los

ceros (tomándolos como negativos) hacia el punto 1s debe ser igual a o180 . Es decir:

Σ ángulos de los polos – Σ ángulos de los ceros = o180 .La segunda expresión corresponde a la condición de magnitud la cual establece que:

La ganancia de lazo abierto gK = producto de las magnitudes vectoriales de los polos /

producto de las magnitudes vectoriales de los ceros.Se debe tomar en cuenta que cuando no existen ceros en lazo abierto el denominador dela expresión anterior es 1.Las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces son:

1.- Los puntos de inicio son los polos de lazo abierto donde 0gK .

2.- Los puntos de finalización terminan en los ceros de lazo abierto, cuando estos existen,de otra manera terminan en el infinito donde gK .

3.- El número de las raíces distintas es igual al orden de la ecuación característica.4.- El lugar geométrico de las raíces es simétrico con respecto al eje real.

5.- Para valores grandes de gK , el lugar geométrico de las raíces tiene un

comportamiento asintótico y el ángulo de dichas asíntotas se da por:

mn

k

21(4.31)

Donde:)1....(1,0 mnk .

n = número de polos finitos en lazo abiertom = número de ceros finitos en lazo abierto

6.- La intersección de las asíntotas sobre el eje real se da en un punto que se calculamediante:

n [Σ polos en lazo abierto - Σ ceros en lazo abierto] / )( mn (4.32)

7.- Un punto en el eje real es parte del lugar geométrico de las raíces si la suma delnúmero de polos en lazo abierto y de ceros a la derecha de dicho punto es impar.

8.- El punto en el que el lugar geométrico de las raíces se aleja del eje real se puedecalcular mediante:

0 bsds

dk

(4.33)

Esto consiste en tomar la ecuación característica e igualarla a cero, luego se

despeja gK ; posteriormente se deriva la expresión resultante y se iguala a cero, es

decir se asume una pendiente 0m para dicha derivada y se encuentra el valor de“s” de dicha expresión. Tomando dichos valores de “s” se descarta el valor de “s”para el cual el número de polos a la derecha de este sea par y por otra parte se toma elvalor de “s” como el punto de alejamiento del eje real si a la derecha de dicho valor seencuentra un número impar de polos.

9.- La localización en el plano imaginario del lugar geométrico de las raíces en condiciónde estabilidad marginal) puede obtenerse ya sea a partir de: El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Simplemente reemplazando “s” por j en la ecuación característica dado que

0 para cualquier punto ubicado sobre el eje imaginario.10.- Los ángulos de partida y arribo se obtienen a partir del criterio del ángulo o fase,

colocando un punto de prueba en un polo de lazo abierto complejo para obtener elángulo de partida, o en un cero para obtener el ángulo de arribo.

11.- Por medio del criterio del ángulo se pueden encontrar los puntos exactos del lugargeométrico de las raíces.

12.- Para obtener el valor de gK se emplea el criterio de magnitud dentro del lugar

geométrico de las raíces.El método del lugar geométrico de las raíces es una herramienta muy útil en el diseño desistemas de control. Con este método se persigue dar forma al lugar geométrico de lasraíces de manera que la ubicación de los polos en lazo cerrado en el plano “s” produzcala respuesta transitoria esperada; sin embargo esto último no necesariamente garantizaque la repuesta en estado estacionario del sistema también lo sea pues pudieran pasardesapercibidos los errores existentes entre la señal deseada y la actual.Por lo anterior es necesario evaluar que tan importante es para el sistema que se deseacontrolar la condición de régimen transitorio y estacionario. Por lo general cuando sedesea controlar un sistema se da más importancia a este último simplemente por que es elrégimen en el que el sistema se encontrará operando la mayor parte del tiempo.Entonces es necesario emplear una técnica de control que garantice alcanzar la respuestaesperada del sistema en ambas condiciones.

4.5 Análisis de sistemas de control en el espacio de estados

En [2], [9], [10] y [19] se describe como una técnica de control que garantiza la obtenciónde la respuesta adecuada del sistema tanto en la condición transitoria, como en laestacionaria es la llamada técnica de control en el espacio de estados. Al reagrupar laecuación (4.6) como )()()( sXsGsY , en el dominio complejo de “s” esto es un

producto, en tanto que en el dominio del tiempo es una convolución. Donde debe

cumplirse que t t

dtxgdtgxty0 0

)()()()()( donde 0)( tg y 0)( tx para

0t .Cuando un sistema se somete a una entrada impulso unitario en condiciones iniciales cero,la salida de dicho sistema es simplemente )()( sGsY pues la transformada de Laplace

de la señal de entrada es 1 para dicho impulso.El modelado de sistemas en el espacio de estados corresponde a la Teoría de controlmoderna; un comparativo de esta con la Teoría de control clásica es como se indica acontinuación:

Teoría de control moderna Teoría de control clásica

De acuerdo a [2] se debe entender por Estado al conjunto más pequeño de variables

(llamadas variables de estado), conocidas en ott y la entrada para ott que

determinan completamente el comportamiento del sistema para cualquier ott .

Variables de estado:Es el menor conjunto de variables capaces de determinar completamente el estado de un

sistema dinámico. Si se requieren “n” variables nxxx ....., 21 para describir completamente

el comportamiento de un sistema, entonces se dice que tales “n” variables son unconjunto de variables de estado; y estas no necesariamente son variables medibles.Vector de estado:Si se requieren “n” variables de estado para describir completamente el comportamientode un sistema, entonces esas “n” variables de estado son componentes de un vector x, alcual se le llama vector de estado; dicho vector determina completamente el estado x(t) delsistema para cualquier tiempo t.

Espacio de estados:

Es un espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas son nxxxx .....,, 321 variables de

estado. Además cualquier estado puede representarse como un punto en el espacio deestados.

Tipos de variables en el espacio de estado de sistemas dinámicos:

Aplica a sistemas demúltiples entradas y/omúltiples salidas.

Pueden ser lineales o nolineales.

Pueden ser variantes oinvariantes en el tiempo.

Es una aproximación en eldominio del tiempo.

Aplica a sistemas de unaentrada y una salida.

Pueden ser lineales o nolineales (si es no lineal puedelinealizarse como se vioanteriormente.

Solo aplica a sistemasinvariantes en el tiempo.

Es una aproximación en eldominio de la frecuencia.

Variables de entrada. Variables de salida. Variables de estado.

La representación en el espacio de estado de un sistema dado no es única, sin embargo elnúmero de variables de estado de dicho sistema si es el mismo. Además en un sistemaexisten integradores que se constituyen como dispositivos de memoria, las salidas deestos pueden considerarse como variables que describen el estado interno del sistema. Elnúmero integradores en un sistema es igual al número de variables de estado.La representación generalizada de un sistema en el espacio de estados tiene la formasiguiente:

).;.....,;.....,()(

.

.

);.....,;.....,()(

);.....,;.....,()(

2121

212122

212111

tuuuxxxftx

tuuuxxxftx

tuuuxxxftx

rnnn

rn

rn

(4.34)

Donde:

nxxx ....., 21 son variables de estado y

ruuu ....., 21 son las entradas.

Y las salidas de este sistema son:

).;.....,;.....,()(

.

.

);.....,;.....,()(

);.....,;.....,()(

2121

212122

212111

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

tuuuxxxgty

rnmm

rn

rn

(4.35)

Por lo anterior es válido definir:

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

tx

tx

tx

tx

n

,

);.....,;.....,(

.

.

);.....,;.....,(

);.....,;.....,(

),,(

2121

21212

21211

tuuuxxxf

tuuuxxxf

tuuuxxxf

tuxf

rnn

rn

rn

(4.36)

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

ty

ty

ty

ty

n

,

);.....,;.....,(

.

.

);.....,;.....,(

);.....,;.....,(

),,(

2121

21212

21211

tuuuxxxg

tuuuxxxg

tuuuxxxg

tuxf

rnm

rn

rn

(4.37)

)(

.

.

)(

)(

)(

2

1

tu

tu

tu

tu

r

(4.38)

Cuya representación en forma compacta en el espacio de estado del sistema lineal einvariante con el tiempo es simplemente:

).,,()(

).,,()(

tuxgty

tuxftx

(4.39)

La figura 4-23 muestra el diagrama a bloques de un sistema en el espacio de estado.

Figura 4-23 Diagrama a bloques de un sistema retroalimentado en el espacio de estado.

Las ecuaciones en el espacio de estado del sistema se representan mediante:

uBAxx .

(4.40)Duy Cx (4.41)

Donde:x = vector de estado (de dimensión n )u = señal de control (escalar)

)(tu )(tB

)(.

tx

)(txdt

)(tD

)(tA

)(tC

)(ty

y = señal de salida (escalar)A= matriz de coeficientes constantes (de dimensión nn )B= matriz de coeficientes constantes (de dimensión 1n )C= matriz de coeficientes constantes (de dimensión n1 )D= constante escalar

La transformada de Laplace de estas ecuaciones es:

),()()(

)()()(

)()()(

)()()0()(

1 sUss

sssU

sUsss

sUsss

BAIX

XAIB

BAXX

BAXxX

donde 0)0( x debido a las condiciones iniciales nulas.

Y para la ecuación de salida se tiene:)()()( sDUssY CX y sustituyendo X(s)

)()()()()()( 11 sUDssDUsUssY BAICBAIC de modo que al

aplicar la definición de función de transferencia se tiene:

AIBAIC

s

sQDssG

sU

sY )()()(

)(

)( 1 (4.42)

Donde Q(s) es un polinomio en “s” y

AI s es el polinomio característico de G(s).

Lo anterior representa pues la función de transferencia en el espacio de estado parasistemas de una entrada y una salida.

Sin embargo en casos donde se tienen múltiples entradas (r) y múltiples salidas (y) seemplea el concepto de matriz de transferencia:Es decir:

my

y

y

.

.

2

1

y ,

ru

u

u

.

.

2

1

u .

El cálculo de la matriz de transferencia sigue el mismo procedimiento que el de la

función de transferencia, como el vector de entrada u es de dimensión r, en tanto que el

vector de salida y es de dimensión m, la matriz de transferencia )(sG es de dimensión

mxr.Representación en el espacio de estado de sistemas dinámicos.

Dado un sistema de enésimo orden cuya función de excitación no contiene derivadas

uyayayay nnnn

.1

)1(1

)( .... (4.44)

La matriz de transferencia )(sG relaciona la salida )(sY con

la entrada )(sU .

)()()( sss UGY donde

Dss BAICG 1)()( (4.43)

En el cual se conocen las condiciones iniciales, así como el valor de la entrada )(tu para

0t ; entonces se puede tomar a )(ty y todas sus derivadas como un conjunto de “n”

variables de estado. Aunque desde el punto de vista matemático es conveniente laelección de dichas variables como variables de estado, precisamente debido a que algunasde estas son derivadas de orden superior; pudiera resultar en inexactitud de los resultadosdebido a los efectos inherentes de ruido presentes en cualquier proceso de derivación.Al definir:

.

.

.

)1(

.

2

1

nn yx

yx

yx

Entonces la ecuación diferencial se puede escribir como:

.......

..

.

.

.

11

1

32

21

uxaxax

xx

xx

xx

nnn

nn

Usando la forma simplificada dada en la ecuación (4.40) a la que se le llama ecuación deestado donde:

nx

x

x

.

.

2

1

x ,

121 .....

1................000

.....................................

.....................................

0................100

0.................010

aaaa nnn

A ,

1

0

.

.

0

0

B (4.45)

y la ecuación de salida es:

nx

x

x

y

.

.0.....01

2

1

o simplemente Cxy (4.46)

Donde:

0........01C .

Por lo anterior la función de transferencia del sistema es de la forma:

nnnn asasassU

sYsG

11

1 ...

1

)(

)()( (4.47)

En el caso de que la función de excitación si contenga derivadas, este tiene la forma:

ububububyayayay nnnn

nnnn

.

.......

.... 1)1(

1)(

01)1(

1)(

(4.48)El problema en este caso son los términos derivados; aquí las variables de estado deberánescogerse de modo que estas eliminen a las derivadas de la función de excitación en laecuación de estado. Para ello se definen las siguientes variables de estado.

...

.....

.

.

......

...

1112)2(

1)1(

0)1(

222103

11102

01

uxuuuuyx

uxuuuyx

uxuuyx

uyx

nnnnnnn

n

(4.49)

Aquí 0 , 1 , 2 ,…… n se determinan a partir de:

........

.

.

01111

03122133

021122

0111

00

BaBaBab

BaBaBab

BaBab

Bab

b

nnnnn

(4.50)

Al elegir las variables de estado de esta manera se garantiza la existencia y unicidad de lasolución de la ecuación de estado.

Cuando las variables de estado definidas anteriormente se derivan se tiene:

.......

..

.

.

.

1211

11

232

121

uxaxaxax

uxx

uxx

uxx

nnnn

nnn

Puesto en forma de matrices se tiene:

u

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

n

n

nnnn

n

1

2

1

1

2

1

121

1

2

1

.

.

.

.

.

.

.....

1................000

.....................................

.....................................

0................100

0.................010

.

..

.

.

.

(4.51)

En tanto que la salida es:

u

x

x

x

x

y o

n

n

1

2

1

.

.

.

0.....01 (4.52)

y en forma simplificada:

Duy

u

Cx

BAxx.

Es igual a la expresada en las ecuaciones (4.40) y (4.41) .

Donde ahora:

n

n

x

x

x

x

1

2

1

.

.x ,

121 .....

1................000

.....................................

.....................................

0................100

0.................010

aaaa nnn

A ,

n

n

1

2

1

.

.B (4.53)

0......01C , obD 0 .

Al observar se aprecia que tanto A como C son iguales al caso anterior, esto es debido aque las derivadas de la entrada solo afectan a B .

4.5.1 Formas canónicas

De [2] se toman algunos de los métodos empleados para obtener las representacionescanónicas en el espacio de estado son:

Forma canónica controlable. Forma canónica observable. Forma canónica diagonal. Forma canónica de Jordan.

Además se puede emplear también Matlab para obtener las transformaciones entreespacio de estado y función de transferencia.Dado un sistema definido mediante la ecuación (4.48), su función de transferencia es:

annn

nnnn

asasas

bsbsbsb

sU

sY

11

1

11

10

........

........

)(

)((4.54)

La forma canónica controlable de dicho sistema según [2] es:

u

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

nnnn

n

1

0

.

.

.

0

0

.

.

.

.....

1................000

.....................................

.....................................

0................100

0.................010

.

.

1

2

1

121

1

2

1

.

.

.

.

(4.55)

ub

x

x

x

babbabbaby

n

nnnn 0

2

1

0110110

.

.|......||

(4.56)

De ese mismo sistema la forma canónica observable de acuerdo a [2] es:

u

bab

bab

bab

x

x

x

x

a

a

a

x

x

x

x

nn

nn

n

n

n

n

n

n

011

011

0

1

2

1

1

1

1

2

1

.

.

.

.

.

.

.

1..................00

............................................

............................................

............................................

0.................001

0................000

.

.

.

.

.

.

(4.57)

ub

x

x

x

x

y

n

n

0

1

2

1

.

.10.............00

. (4.58)

La forma canónica diagonal se da cuando en el denominador de la función detransferencia del sistema solo se tienen raíces distintas, es decir:

n

n

n

nnnn

ps

C

ps

C

ps

Cb

pspsps

bsbsbsb

sU

sY

.....))......()((

........

)(

)(

2

2

1

10

21

11

10 (4.59)

De acuerdo a [2] tiene la forma:

u

x

x

x

x

p

p

p

x

x

x

x

n

n

nn

n

1

1

.

.

.

1

1

.

.

.

........................0

.....................................

.....................................

.....................................

0...............0

0.............................

.

.

1

2

1

2

1

1

2

1

.

.

.

.

(4.60)

ub

x

x

x

x

CCCy

n

n

n 0

1

2

1

21.

..............

(4.61)

Forma canónica de Jordan:Esta aplica cuando los polos del denominador de la función de transferencia son repetidoscomo en:

......

))......()(()(

........

)(

)(

4

4

1

32

1

23

1

10

543

1

11

10

n

n

n

nnnn

ps

C

ps

C

ps

C

ps

C

ps

Cb

pspspsps

bsbsbsb

sU

sY

(4.62)

Por lo tanto dicha forma tomada de [2] es:

u

x

x

x

x

x

x

p

p

p

p

p

x

x

x

x

n

n

nn

n

1

1

.

.

1

1

0

0

.

.

........00................0

................................................

0.............0................0

0..............0

0..............010

0..............001

.

.

1

4

3

2

1

4

1

1

1

1

2

1

.

.

.

.

(4.63)

ub

x

x

x

x

CCCy

n

n

n 0

1

2

1

21.

..............

(4.64)

4.5.2 Valor propio, diagonalización y solución de la ecuación de estado

Valores propios de una matriz según [2]:Los valores propios de una matriz A de nn se definen como las raíces de la ecuación

característica formada por el determinante 0AI (4.65)

Diagonalización de una matriz de nn :Si la matriz A tiene valores propios distintos, es decir está dada por:

121 .......

1...............000

............................................

0................100

0................010

aaaa nnn

A (4.66)

Se puede definir una matriz P dada por:

112

11

222

21

21

...........

...............

................

1..................11

nn

nn

n

n

P (4.67)

Donde 1 , 2 ….. nn valores propios distintos de A .

Para obtener la matriz diagonal de A se hace el producto de matrices dado por:

n

....................0

0.....................0

0...............0

0...................

2

1

1APP (4.68)

Si la matriz A contiene valores propios múltiples, la diagonalización es imposible

Solución de la ecuación de estado.

Caso homogéneo:

Dada la ecuación diferencial )()( tt xAx

, su solución se obtiene a partir de:

)()( tt xAx

)()0()( sss AXxX ; transformando al dominio de Laplace ambos lados de la

ecuación.

De esta al despejar )0()(1xAIX

ss .

Entonces la solución se encuentra al obtener la transformada inversa de Laplace de la

ecuación anterior como: )0()(11 xAIx sLt

Donde: tesL

AAI11 .

La solución es )0()( xx A tet (4.69)

Donde

0 !k

kk

t

k

te

AA es la llamada matriz exponencial y tiene las siguientes

propiedades:stst eee AAA )( .

Sí ts IAA ttee .ttt eee BABA )( sí BAAB .

ttt eee BABA )( sí BAAB .

Matriz de transición de estado: esta se define como:

11)( AIΦ A sLet t (4.70)

Debe observarse que )()(1 tet t ΦΦ A . Si los valores propios 1 , 2 …. n de A son

distintos, entonces )(tΦ contendrá los “n” exponenciales te 1 , te 2 …… tne .

Si la matriz A es diagonal, entonces la matriz de transición de estado es:

t

t

t

t

e

e

e

et

2

2

1

....................0

0.....................0

0.............0

0..................

)(

AΦ (4.71)

Si hay valores característicos repetidos en A , como 1 , 1 , 1 , 4 , 5 ,……… n ;

entonces la matriz de transición de estado )(tΦ , contendrá además de las exponencialeste 1 , te 2 …… tne , términos como tte 1 y tet 12 .

Las propiedades de una matriz de transición de estado de un sistema lineal e invariante enel tiempo son:

IΦ A )0()0( et .

11 )()()( teet tt ΦΦ AA ó )()(1 tt ΦΦ .

)()()()()( 1221)(

212121 tttteeett tttt ΦΦΦΦΦ AAA .

)()( nttn

ΦΦ .

)()()()()( 1201020112 tttttttttt ΦΦΦΦΦ .

Caso no homogéneo:En una ecuación de estado no homogénea que de acuerdo a [2], tiene la forma:

uBxAx )(.

)( tt (4.72)

Donde:x Vector de dimensión nu Vector de dimensión rA Matriz de coeficientes constantes nnB Matriz de coeficientes constantes rn

La solución es:

t

duttt0

)()()0()()( BΦxΦx ó

ttt dueet

0

)( )()0()( Bxx AA (4.73)

Donde tet AΦ )(

Cuando 00 t ,

t

t

ttt duetet0

0 )()()( )(0

)( Bxx AA .

Por lo anterior se puede resumir que encontrar la respuesta a una entrada dada de unsistema en el espacio de estado consiste en:

Encontrar la matriz de transición de estado dada en la ecuación (4.70), para ellose deberá obtener la transformada inversa de Laplace de cada uno de los

elementos de 1AIs ; sin embargo también se puede encontrar por medio de la

matriz diagonal usando la forma canónica de Jordan, o por medio de lainterpolación de Sylvster.

La respuesta del sistema se encuentra tomando la matriz de transición de estado y

aplicando la expresión

t

t

ttt detet0

0 )()()( )(0

)( Buxx AA , para ello se sustituye

tt en dicha matriz y en el término )( 0)( 0 te tt xA , se sustituye 00 t .

4.5.3 Independencia lineal, Controlabilidad y Estabilizabilidad

En [2] se establece que la independencia lineal de vectores de una matriz de nn se da siel determinante de dicha matriz no es cero, o que dicha matriz sea de rango “n”.También se establece en [2] y [10] que la Controlabilidad de un sistema se da si este sepuede llevar desde cualquier estado inicial )( 0tx , a cualquier otro estado mediante un

vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.Por otra parte, se dice que un sistema es observable en el tiempo ot sí con el sistema en el

estado )( 0tx , es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida

durante un intervalo de tiempo finito.La Controlabilidad y Observabilidad de un sistema son determinantes para alcanzar unasolución completa al diseñar un sistema de control.

Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo:Dado el sistema descrito por la ecuación (4.40), se dice que este es de estado

completamente controlable sí y solo sí los vectores BAABB 1,........., n son linealmente

independientes o la matriz nn formada por ]|.........||[ 1BAABB n , es de rango “n”

cuando la señal de control “u” es un escalar.Cuando la señal de control es un vector como en el caso representado por la matriz detransferencia (4.43) con:

uBxAx )(.

)( tt (4.74)

Donde “ u ” es de dimensión “r”, se aplica el mismo criterio.

Controlabilidad completa:La condición para la Controlabilidad completa del estado en el plano “s” establece queno debe ocurrir una cancelación en la función de transferencia o en la matriz detransferencia, de ser así no se cumple dicha condición y el sistema no podrá sercontrolado en la dirección del modo cancelado.Controlabilidad de la salida:Aún que el sistema presente un esquema de Controlabilidad completa del estado, nonecesariamente se garantiza que la salida del sistema sea controlable; por ello laControlabilidad de la salida del sistema se maneja de forma independiente.

Dado un sistema de dimensiones propias de múltiples entradas y múltiples salidas, se diceque este es de salida completamente controlable si es posible construir un vector decontrol )(tu sin restricciones que transfiera cualquier salida inicial )( 0ty a cualquier

salida final )( fty en un intervalo de tiempo finito fttt 0 . Para ello deberá cumplirse

que la matriz DBCABCACABCB ||.....||| 12 n de dimensiones rnm )1( sea de

rango m.Sistema no controlable: Es aquel que tiene un subsistema físicamente desconectado de laentrada.

Estabilizabilidad:Para un sistema parcialmente controlable, si los modos no controlables son estables y losmodos inestables son controlables, el sistema se dice entonces que es estabilizable. Laestabilización de un sistema se hace mediante la implementación adecuada de laretroalimentación.

4.5.4 Diseño de los sistemas de control en el espacio de estados

Tomado de [2] el diseño por asignación de polos.A diferencia del control convencional en donde la colocación de los polos se hace solopara los polos dominantes, en los sistemas de control en espacio de estado, la colocaciónde los polos se extiende a todos posicionándolos según se desee; para ello se requiere queel sistema sea de estado completamente controlable.Para un sistema de una entrada y una salida como el representado por las ecuaciones(4.40) y (4.41). Al seleccionarse la señal de control como: Kxu significa que la señalse determina mediante un estado instantáneo; a esto se le da el nombre deretroalimentación del estado. Se supone que todas las variables de estado estándisponibles para su retroalimentación. La figura 4-24 muestra el diagrama a bloques deun sistema con una entrada y una salida en espacio de estado.

Figura 4-24 Sistema con una entrada y una salida en espacio de estado.

Este sistema retroalimentado es llamado regulador, su objetivo es mantener a cero lasalida aun en la presencia de perturbaciones. Al sustituir kxu en (4.40) se tiene:

)()()(.

tt xBkA x cuya solución es )0()( )( xx BkA tet . A partir de la matriz BkA se

determinan la estabilidad ya la característica de respuesta transitoria. Al elegir k (matrizde ganancias de retroalimentación) de forma adecuada, la matriz BkA se convierte enuna matriz asintótica-mente estable y para todos los 0x )0( es posible hacer que

)(tx tienda a cero conforme t tiende a infinito. Los valores propios de la matriz BkA

se denominan polos del regulador. Al colocarlos en el lado izquierdo del plano “s”,entonces 0x )(t cuando t . Cuando un sistema es completamente controlable; es

posible colocar de manera arbitraria sus polos; en tanto que si este no es de estadocompletamente controlable, existirán valores en la matriz BkA que no podráncontrolarse por medio de la retroalimentación de estado.

B

.x

A

k

D

xCu y

Entonces para una ecuación de estado dada por la ecuación (4.40) siendo estacompletamente controlable, puede emplearse una matriz de transformación:

MWT (4.75)Donde:

BAABBM 1|........|| n es la matriz de Controlabilidad de rango “n”, y:

00...........01

00..........1

.

.

01........

1........

32

21

a

aa

aaa

nn

nn

W .

Si se define un nuevo vector de estado como^

xTx , puede ahora obtenerse latransformación de la ecuación de estado original como:

uBTxATTx 1^

1^.

(4.76)La cual se encuentra en la forma canónica controlable.Con lo anterior, es posible seleccionar el conjunto de valores propios deseados como 1 ,

2 …… n . Para obtener la ecuación característica:

0....)).....()(( 11

121

nnnn

n ssssss

Definiendo

11...... nnkT .

Al emplear^

xkTu para controlar el sistema dado por uBTxATTx 1^

1^.

, la

ecuación del sistema^

1^

1^.

xBkTTxATTx , cuya ecuación característica es

0|| 11 BkTTATTIs ; y que a su vez es igual a la ecuación característica del sistema

definido originalmente, cuando se emplea kxu como señal de control, la ecuación de

estado original puede entonces rescribirse como xBkABAxx )(.

u ; cuya ecuación

característica es 0|||)(||| 111 BkTTATTITBkAITBkAI sss , al

resolver resulta en la ecuación característica con retroalimentación de estado:

0)()(.......)( 111

11

nnnnnn asasas (4.77)

Si el sistema no es de estado completamente controlable, pero es estabilizable, entonceses posible hacer que el sistema completo sea estable al colocar los polos en lazo cerradoen las posiciones deseadas para los “q” modos controlables. Los restantes qn modos

no controlables son estables. De esta manera el sistema completo se puede estabilizar.Obtención de la matriz de ganancias de retroalimentación “ k ”:Además de emplear Matlab para obtener la matriz de ganancias de retroalimentación, sepuede obtener al emplear la matriz de transformación T .

Aquí los coeficientes ia son los coeficientes del

polinomio característico

nnnn asasass

11

1 ......|| AI .

Para un sistema definido por uBAxx .

cuya señal de control es kxu , la matriz deganancias de retroalimentación “ k ” se obtiene aplicando los pasos siguientes:1.- Verificar que el sistema sea completamente controlable.

2.- A partir del polinomio característico de A , nnnn asasass

11

1 ....|| AI

determinar los valores naaa ,........., 21 .

3.- Determinar la matriz de transformación T que convierte la ecuación de estado delsistema a su forma canónica controlable. Si la ecuación ya se encuentra en la formacanónica controlable, entonces IT y solo es necesario calcular MWT .4.- usando los valores propios deseados, escribir el polinomio característico deseado

nnnn

n ssssss

11

121 ........))......()(( y determinar n ....., 21

5.- La matriz de ganancias de retroalimentación de estado “ k ” se calcula por medio de1

112211 |]||........||[ Tk aaaa nnnn .

También es posible obtener la matriz de ganancias de retroalimentación de estado “ k ”por el método de sustitución directa cuando el orden del sistema es inferior a 3. Esto selogra al escribir la matriz de ganancias de retroalimentación de estado como:

][ 321 kkkk .

Luego se sustituye la matriz “ k ” en el polinomio característico deseado || BkAI s y

se establece la igualdad ))()((|| 321 ssss BkAI .

Dado que ambos miembros de esta ecuación resultan ser polinomios en “s”, igualando loscoeficientes de las potencias iguales de “s”, es posible determinar los valores de

321, kykk . Este método resulta ser muy tedioso si se emplea para sistemas de orden

mayor a 3.Cuando el sistema no cumple la condición de Controlabilidad completa, la matriz “ k ” nose puede determinar y por lo tanto no existe solución.

Método de obtención de la matriz “ k ” por la fórmula de AckermanSe parte de la suposición de que el sistema es completamente controlable y que los polosde lazo cerrado se encuentran en 1s , 2s …… ns . La fórmula de Ackerman

establece que: )(|........||10........0011 ABAABBk

n (4.78)

Donde 0........)( 221

nnnn AAAIA .

Elección de la ubicación de polos en lazo cerradoLa ubicación de los polos mediante la técnica del lugar geométrico de las raíces se basaen la experiencia adquirida en su implementación; en esta se coloca un par de polosdominantes en lazo cerrado, luego se elige la ubicación de los otros polos de modo que seencuentren a la izquierda de los polos dominantes de lazo cerrado y alejados de estos. Sedebe tener en cuenta que cuanto mas alejada sea la ubicación de los polos dominantes de

lazo cerrado del eje j hacia la izquierda, la magnitud de las señales que manejará el

sistema será mayor y esto puede dar origen a no linealidades en este.Por otra parte al emplear la técnica de control óptimo cuadrático la ubicación de los polosde lazo cerrado se hace eligiendo un balance apropiado entre la respuesta del sistema y laenergía requerida para ejercer la acción de control.Con la técnica de espacio de estado, la elección de la matriz “ k ” no es única para unsistema determinado, depende de las posiciones de los polos en lazo cerrado los cualesdeterminan tanto la velocidad como el amortiguamiento de la respuesta. Por lo anterior,la elección de su ubicación implica un compromiso entre la rapidez de la respuesta delvector de error y la sensibilidad del sistema ante perturbaciones y ruido. En sistemas desegundo orden las características de la respuesta presentan una relación directa entre laubicación de los polos y ceros de la planta con dicha respuesta, sin embargo en sistemasde orden superior dicha relación puede no resultar tan clara y en tal caso se deberíanprobar varias matrices de retroalimentación y elegir aquella que mejor se acerque a larespuesta esperada.

Sistemas de control con modosdeslizantes

Este apartado se inicia estudiando los conceptos básicos de los sistemas de control conmodos deslizantes, se estudia el fenómeno del castañeteo propio de los sistemas decontrol con modos deslizantes, así como las técnicas para reducirlo, posteriormente seabordan los sistemas de control con modos deslizantes de segundo orden y algunastécnicas de control.

5.1 Estructura variable, modo deslizante y superficie de control

En la búsqueda de soluciones que faciliten la implementación de sistemas de control yque a su vez sean eficientes y robustos, se tiene como una opción muy prometedora elcontrol por modo deslizante; dentro de los sistemas de control de estructura variable [23],[24], [25] y [26]. Con esta técnica se conduce y obliga a que el estado del sistema seubique en las cercanías de la función de conmutación.Las ventajas principales que presenta el control de estructura variable son:

El comportamiento dinámico del sistema es conducido por la función deconmutación.

La respuesta en lazo cerrado del sistema es insensible a la incertidumbre delsistema, esto da como resultado un control muy robusto.

El análisis de señales discontinuas aplicadas al sistema puede ser usado como unatécnica para modelar la actividad de la señal requerida, con el fin de alcanzar eldesempeño ideal del sistema.

La técnica de control por modos deslizantes es reconocida como una herramientaeficiente en el diseño de controladores robustos para plantas dinámicas no lineales de altoorden que operan en condiciones de incertidumbre. Esta técnica inició en la UniónSoviética en la década de los 60’s, su mayor ventaja consiste en la baja sensibilidad a lavariación de los parámetros de la planta y robustez ante la presencia de perturbacionesexternas al sistema, además elimina la necesidad de un modelo exacto.La técnica de control, de modos deslizantes permite la separación del sistema encomponentes parciales más sencillos y de menor dimensión. Sus acciones de control sondiscontinuas y se implementan fácilmente mediante convertidores de energía.Por lo anterior, esta técnica de control tiene amplia aplicación en robótica, controladoreseléctricos, generadores, control de procesos, entre otros.Como se vio anteriormente, los sistemas dinámicos son representados por ecuacionesdiferenciales ordinarias, con la técnica de de modos deslizantes dichos sistemas soncontrolados por funciones de estado discontinuas que pueden tomar solo dos valoresencendido y apagado, de forma similar a un relevador [27].Tomando como ejemplo un sistema típico de segundo orden de [23]:

)(...

12 tfuxaxax (5.1)

La entrada de control es )( dsMsignu , y.xcxsd ,

donde: "",, 21 cyMaa son constantes

)(tf es una perturbación acotada

ds es la desviación de la superficie de conmutación

El plano de estado ).

,( xx de la figura 5-1 muestra cuando las constantes 1a y 2a valen

cero. La señal de control se somete a discontinuidades sobre la línea de conmutación, ylas trayectorias de estado se constituyen por dos familias, la primera familia corresponde

a 0ds y Mu (semiplano superior); la segunda familia corresponde a 0ds y

Mu (semiplano inferior). Dentro del sector nm en la línea de conmutación, lastrayectorias de estado son orientadas hacia la línea. Una vez alcanzado esa trayectoria, elestado no podrá dejar la línea de conmutación. Esto significa que la trayectoria de estadopertenecerá a la línea de conmutación. Precisamente a este movimiento con lastrayectorias de estado dentro de la línea de conmutación es a lo que se llama mododeslizante.

Figura 5-1 Plano de estado de un sistema relevador de segundo orden.

La ecuación de esta línea es la llamada ecuación de modo deslizante:

0.

cxx (5.2)Una observación importante de esta ecuación es su orden, véase que es de primer orden, acomparación del sistema original que es de segundo orden. La solución de esta ecuación

diferencial es )(1

1)()( ttcetxtx y no depende de los parámetros de la planta ni de

perturbaciones externas (como puede verse); esto según [27] garantiza la estabilidad delsistema pues depende solo del parámetro C.

m

n

x

.x

Un sistema de estructura variable consiste de un conjunto de subsistemas continuos “conuna lógica de conmutación apropiada”, como resultado de esto la acción de control es unafunción de estado discontinua independiente de perturbaciones y estados de referencia.

Cuando en la ecuación original del sistema 01 y 02 se tienen dos estructuras

lineales inestables kxu y kxu . La figura 5-2 muestra esas dos estructuras.

Figura 5-2 Sistema de estructura variable constituido por dos sub-sistemas inestables.

Al hacer variar la estructura del sistema a lo largo de la línea de conmutación 0ds y

0x forzando el modo deslizante, el sistema se vuelve asintótica-mente estable,independientemente de la condición inicial según se aprecia en la figura 5-3.

Figura 5-3 Plano de estado de un sistema de estructura variable donde 0.

0 cxxysd .

.x

x

0. xxco

I.x II

x

0ds

x

.x

La forma general de los sistemas no lineales y afines en modos deslizantes está dada por:

iutxBtxfx )()( 11

.

(5.3)

Donde mie

xssitxu

xssitxuu

dii

dii

i ......1

0)(),(

0)(),(

.

nRx y es un vector de estado, mRu y corresponde al vector de control. Este últimoes diseñado como una función discontinua que subyace en el espacio de estado.Para el caso general un modo deslizante puede existir en la intersección de las superficiesde discontinuidad 0dis o en el espacio matemático en el cual a una escala

suficientemente pequeña se puede tratar como un espacio tridimensional euclidiano dedimensión especifica.En modos deslizantes la entrada "" ds del elemento que implementa el control

discontinuo es muy cercana a cero, mientras que la salida toma valores finitos, por ello sedice que la ganancia equivalente:

d

promedio

eqs

uk Dado que 0ds (5.4)

Por ello se dice que la ganancia en un sistema en modos deslizantes es infinita, este es unaspecto muy importante en el rechazo de perturbaciones e incertidumbres del sistema.A diferencia de los sistemas convencionales con acciones de control continuas; lasacciones de control con modo deslizante son finitas y pueden tomar solo uno de los dosvalores extremos en un instante de tiempo dado y los puntos de discontinuidad sonaislados en el tiempo; y resulta insignificante si se tiene una pequeña histéresis, retardode tiempo, o constante de tiempo despreciada del modelo original. Dicho instante detiempo debe tender a cero en comparación con la dinámica del sistema. Esto se lograhaciendo que el controlador del sistema opere cuando menos diez veces más rápido quela constante de tiempo más pequeña del sistema a controlar. Por lo anterior debe

cumplirse que )(),(lim 0 txtx , siendo el término a la derecha de esta ecuación la

solución de la ecuación de modo deslizante ideal. Cuanto más pequeño sea el diferencialde tiempo de ejecución de acciones de control sucesivas; se puede garantizar que ladesviación del valor deseado como salida será menor sin importar que perturbación ocambio en la dinámica del sistema se presente.

La operación de control con modos deslizantes no se limita a casos donde el orden delsistema original sea solo de segundo orden, va más allá de eso. Esto se debe a que laintersección de planos antes mencionada puede darse entre varias superficies cuando laforma de la señal de control no es un escalar, sino que se constituye por un vector decontrol, así pues es posible tener un sistema de control “n” dimensional cuando el vectorde control es precisamente “n” dimensional. De esta forma los componentes del controlse someten a discontinuidades en “n” planos de un sistema “n” dimensional. Lasmagnitudes de las señales de control son acotadas. El modo deslizante “n” dimensional esasintótica-mente estable, es de menor orden que el del sistema original y el movimientono depende de perturbaciones.

5.2 Metodología de control

En términos generales el esquema básico de un sistema de control “n” dimensional conmodos deslizantes se representa por el diagrama a bloques de la figura 5-4.

Figura 5-4 Esquema general de control con modos deslizantes para un sistema “n” dimensional.

El control con modos deslizantes ofrece la ventaja de poderse aplicar a sistemas descritospor ecuaciones diferenciales no lineales “n” dimensionales, con vectores de control “m”dimensionales cuya forma general es:

),,(.

utxfx (5.5)

Donde: nx nf mu

t es el tiempo

Cada uno de los elementos de control toma solo dos valores, uno es el máximo y el otroel mínimo en forma alterna y discontinua, el modo deslizante se da en la intersección delas “m” superficies; y el orden de la ecuación de movimiento es mn con respecto alsistema original, logrando así una reducción significativa del oren del sistema de control;y con ello su simplificación en el proceso de diseño e implementación. La señal decontrol bajo este esquema alcanza un valor promedio ubicado precisamente entre el valormáximo y el valor mínimo, es decir la dinámica misma del sistema y de la fuente deenergía no permiten que la energía recibida por la planta alcance esos valores extremospor el contenido intrínseco de componentes de alta frecuencia de dicha señal de control.Idealmente, la frecuencia de la señal de control es infinita, así el vector de velocidad deestado se orienta con precisión a lo largo de la superficie de discontinuidad.En teoría la ganancia del controlador es infinita, aspecto que se aprovecha para suprimirperturbaciones e incertidumbres de la planta.La dinámica de modos deslizantes depende de las ecuaciones de conmutación, mas no delcontrol. Por ello el procedimiento de diseño consiste de los siguientes pasos:

De acuerdo a un criterio de desempeño esperado se elige la ecuación de mododeslizante que defina la dinámica de movimiento seleccionando la ecuación dediscontinuidad.

u u

u

ds

ControladorPlanta

),,(.

utxfx

Entrada

SalidaValordeseado

Perturbación

Encontrar el control discontinuo de modo que el estado alcance la línea deconmutación en la intersección de las superficies.

El control con modos deslizantes se encuentra en la clase de los sistemas de control nolineal con discontinuidades en el lazo de control.La ecuación de conmutación no siempre es la ecuación de modos deslizantes como en elcaso de sistemas con ecuaciones de movimiento con respecto a variables de estadoarbitrarias.

Para un sistema de segundo orden dado por:

),(.

)(.

222221212

112121111

tfdubxaxax

tfdubxaxax

donde: )( dsMsignu y 2211 xcxcsd

iiiij cdba ,,, y M son constantes, y )(tf es una perturbación acotada.

La ecuación de movimiento de este sistema se obtiene al igualar 0ds , resolviendo para

2x en 2211 xcxcsd , quedando 111

22 xccx , y considerando el caso particular donde

01 b . Entonces al sustituir 2x y 01 b en )(.

112121111 tfdubxaxax se obtiene la

ecuación de modos deslizantes de primer orden:

)()(.

1111

212111 tfdxccaax (5.6)

En esta expresión se observa que existe dependencia con respecto a la perturbación. Porello es necesario aplicar métodos matemáticos especiales de modo que el sistema seainsensible a perturbaciones.En el segundo paso del procedimiento de diseño de un control con modos deslizantes sedeben obtener las condiciones de existencia del modo deslizante. Donde se pueden tenerdos escenarios.El primer escenario donde el control es escalar, las trayectorias de estado se deberánorientar hacia la superficie de discontinuidad, o la variable que describe la desviación dela superficie y su derivada de tiempo deberá tener signos opuestos.El segundo escenario en donde el control es un vector y las trayectorias son líneas rectasen el plano de estado formado por todas las componentes del vector (es decir no puedeconsiderarse aisladamente c/u de dichas componentes). Esto se debe a que los modosdeslizantes pueden existir en la intersección de superficies de discontinuidad aun que noexistan en cada una de las superficies consideradas por separado.

5.3 Regularización.

El método convencional de obtener las ecuaciones de modos deslizantes requiere que ellado derecho de las ecuaciones diferenciales consista de funciones )(xf que cumplan

con la condición de Lipschitz según [23] dada por:

||||||)()(|| 2121 xxLxfxf (5.7)

Donde:

L Es la constante de Lipschitz para cualquier 1x y 2x .

Esta condición implica que la función no crezca mas rápido que alguna función lineal; locual no es el caso para funciones discontinuas si 1x y 2x se encuentran cercanas al punto

de discontinuidad.Existen diferentes métodos de regularización que se emplean cuando los métodosconvencionales no son aplicables; consisten en reemplazar el problema original por unosimilar para el cual se puedan aplicar métodos más familiares. En el caso de sistemas concontrol discontinuo la aproximación de regularización tiene una interpretación físicasimple. Que consiste en considerar que la incertidumbre en el comportamiento delsistema en las superficies de discontinuidad aparece debido a que las ecuaciones demovimiento son idealizadas pues omiten considerar imperfecciones en los dispositivos deconmutación como retardos, histéresis y pequeñas constantes de tiempo, además dedinámicas no modeladas de sensores y actuadores. Al incorporar estas en el modelo seproduce que los puntos de discontinuidad se aíslen en el tiempo y se elimina laambigüedad en el comportamiento del sistema pues se asume que todos estos parámetrosson muy pequeños (tienden a cero). En tal caso si el límite de la solución existe con esosparámetros tendientes a cero, entonces estos se toman como parte de la solución de lasecuaciones que describen el modo deslizante ideal. Este procedimiento consistente endeterminar tal límite es el llamado método de regularización y sirve para la obtención delas ecuaciones de modo deslizante en sistemas dinámicos con control discontinuo.Esencialmente el método de regularización consiste en tomar en consideración laexistencia de pequeñas imperfecciones en el dispositivo de conmutación en donde sehaga presente una histéresis con amplitud de 2Δ en el lazo de retroalimentación. En estepunto se asume que el valor de Δ es suficientemente pequeño de modo que lastrayectorias de estado puedan ser aproximadas por una línea recta y con un vector develocidad de desplazamiento constante. Esto significa que el valor de salida del sistemase encontrará oscilando entorno al valor promedio antes mencionado; así si el controladores capaz de ejercer acciones de control sucesivas con suficiente rapidez, la diferenciaentre el valor promedio esperado y el valor real de salida se encontrará ligeramente porencima y ligeramente por debajo en forma alterna y sucesiva dependiendo de la acción decontrol Mb o Mb en forma correspondiente. Bajo esta condición se dice que se

encuentra en la vecindad de un punto x en el plano 0)( xds .

De acuerdo a [23] para un sistema de segundo orden se pueden calcular los incrementalesde tiempo y desplazamiento entre acciones sucesivas de control tanto por arriba, comopor debajo del valor promedio mediante:

Ms

t

d

CbCAx

22.1 (5.8)

MMtMx

CbCAxbAxbAx

2)()( 11 (5.9)

Para una transición que va de un punto por encima del valor promedio hacia un punto pordebajo de este es:

Ms

t

d

CbCAx

22.2 (5.10)

MMtMx

CbCAxbAxbAx

2)()( 22 (5.11)

Para la transición opuesta.

La velocidad de estado promedio dentro de un intervalo de tiempo 21 ttt es:

bCAxCbAx 121 )(.

t

xxxav (5.12)

Cuando se asume que 0 , las trayectorias de estado pueden representarse por líneasrectas, la velocidad de estado es entonces constante y es independiente de Δ. Al considerar a dicha velocidad promedio, simplemente como la velocidad de estado, la

expresión anterior se convierte en AxbCCbIbCAxCbAxx ))(()( 11.

n solo

reagrupando términos y considerando a nI como una matriz identidad. Como la

trayectoria de estado para este sistema es:..xCds (5.13)

Entonces 0))((.

1 AxbCCbIC nds y con esto queda orientada a lo largo del plano de

conmutación.Al aplicar la técnica de regularización se reduce el orden del sistema original en uno. Paraobtener la ecuación de modos deslizantes de un sistema de orden 1n , puede

encontrarse uno de los componentes del vector de estado por ejemplo nx como función

de otros 1n componentes y sustituirlo en la expresión para la velocidad de estado,

descartando la última ecuación para nx . Así pues por ejemplo cuando a un sistema de

segundo orden se le aplica el método de regularización se obtiene una ecuación de modosdeslizantes de primer orden con una línea de conmutación dada por:

02211 xcxcsd (5.14)

La ecuación de modos deslizantes obtenida se encuentra en función de los parámetros dela planta, perturbaciones y coeficientes de la línea de conmutación, pero es independientede la función de control.Cuando el orden del sistema es “ n ” y el control de este es escalar se puede emplear elmismo procedimiento de regularización descrito anteriormente sin importar que laimperfección elegida sea histéresis, retardo de tiempo o dinámicas no modeladas delsistema; el resultado será el mismo.Sin embargo cuando el control del sistema es vectorial, el método de regularización aemplear es el denominado capa de frontera o (boundary layer) descrito por Utkin 1971-1972, 1992. Para un sistema dado por:

),(.

uf xx nRf ,x , mRu )(x (5.15)

Donde:

0)()(

0)()()(

xx

xxx

d

d

sparau

sparauu .

Con este método el control especificado en la expresión anterior es reemplazado por un

nuevo control_

u de modo que la solución exista en el sentido convencional. Lastrayectorias de conmutación dejan de ser líneas rectas, no se confinan al sub-espacio

0)( xds y se encuentran en una capa de frontera con un ancho Δ>0; y que no se

encuentra confinado a un espacio bidimensional según se aprecia en la figura 5-5.Para que se pueda emplear este método es necesario que la anchura de la capa de

frontera tienda a cero 0 , de modo que )(),(lim *

0tt xx

, así la solución de la

ecuación que representa al sistema original con el nuevo control_

u existe en el sentido

convencional y se toma como )(* tx .

Figura 5-5 Ecuación de modos deslizantes por el método de la capa de frontera.

5.4 Método de control equivalente

Esencialmente es el procedimiento que se sigue para derivar la ecuación de modosdeslizantes en la intersección de “m” superficies discontinuas ,0)( xdis donde

)......1( mi ; en sistemas de control escalar. Como parte del procedimiento se encuentra

una )(xequ caracterizada por ser una función continua que reemplaza al control

discontinuo en la intersección de las superficies de conmutación; de modo que el vector

de velocidad de estado yazca en un sub-espacio tangencial a la trayectoria 0)( xds y

),( uf x en la región localizada entre u y u según se aprecia en la figura 5.6.

Sub-espacio

0)( xds

0)(1 xds

0)( xdms

Capa de frontera

||)(|| xds

Trayectoria deestado

Figura 5-6 Método de control equivalente para sistemas no lineales con control escalar.

Para encontrar el control equivalente se calcula u de modo que se cumpla que

0),()(.

ufsd xGx , donde )/( xG s es una matriz de nm con funciones

gradiente )(xdis como renglones.

Para un sistema dado por uf )()(.

xBxx , la derivada con respecto al tiempo del vector

de trayectorias de estado, está dada por 0),(.

ufsd xG , y la aplicación del método de

control equivalente a esta produce 0.

eqd ufs GBG .

Al resolver para equ se tiene:

)()()()()( xxGxxBxG fueq

)()()()()(1

xxGxBxGx fueq

al poner todo en función de x (5.16)

Por lo tanto al sustituir en uf )()(.

xBxx , se tiene la ecuación de modo deslizante en

el sub-espacio 0)( xds :

)()()()()()(1

.xxxBxGxBxx fGf

(5.17)

En general los modos deslizantes en sistemas de control implementados con relevador endonde el retardo o la histéresis son pequeños, estos se describen mejor por el método deFilippov, sin embargo para aproximaciones continuas suaves de funciones discontinuas,estas se describen mejor por la ecuación de control equivalente.

En el método de control equivalente la derivada de "" ds es cero; en la capa de frontera,

como se dijo ds , sin embargo cuando 0 , la derivada de "" ds , no

necesariamente tiende a cero; por ello es preciso ajustar la expresión para la ecuación de

control de acuerdo a [23] como deq suu.

)( 1 GB , debido al proceso de integración que

sufre ds.

; por ello también la ecuación de movimiento en la capa de frontera deberáajustarse a:

),( uf x

),( uf x

),( equf x

Plano tangencial

0)( xds

nx

1x

deq suf.

)(.

1 GBBx (5.18)

En la práctica, la señal de control tiene una frecuencia finita alta en comparación con lasconstantes de tiempo de la planta, y el vector de velocidad de estado se encuentraoscilando entorno a intersección de las superficies de discontinuidad. La oscilación de laseñal de control posee tanto componentes de alta, como de baja frecuencia; sin embargola naturaleza intrínseca de la planta le impide reaccionar a las altas frecuencias, al actuaresta como un filtro pasa bajas según [27]. Por otra parte las componentes de bajafrecuencia constituyen en realidad el movimiento de la señal de control equivalente enmodos deslizantes la cual se obtiene al filtrar eliminando las frecuencias altas con unfiltro pasa bajas.Como se dijo anteriormente, debería tender a cero; esto se logra haciendo que lafrecuencia de conmutación sea alta, así se garantiza también que la amplitud de lasoscilaciones no excedan el valor de Δ.

5.5 Condiciones de existencia

Desde un punto de vista gráfico, según [23] y [24]; las condiciones de existencia de losmodos deslizantes, se pueden interpretar como la desviación existente a partir de la

superficie de conmutación "" ds , en donde esta y su derivada ds.

; deberán tener signos

opuestos en la vecindad de una superficie de discontinuidad 0ds ; es decir debe

cumplirse que:

0.

lim0

ds

sd

y 0.

lim0

ds

sd

.

Estas condiciones desde un punto de vista analítico según [23], [24] y [26], se formulanen base a la teoría de estabilidad analizando precisamente la estabilidad de la proyección

del movimiento en el sub-espacio "" ds dado por ufs GBG .

. Dicho análisis consiste

en encontrar (regularmente a prueba y error, o por sentido común) una función deLiapunov candidata definida positiva a lo largo de la trayectoria del sistema; cuyaderivada sea definida negativa; de modo que se pueda llegar a la conclusión de que elorigen del plano de estado es asintótica-mente estable. Para poder emplear la funciónLiapunov en forma de suma de valores absolutos al existir los modos deslizantes en lassuperficies de discontinuidad, se debe primero sustituir el control discontinuo por elcontrol equivalente (continuo) y luego derivar la función Liapunov.Además se debe cumplir que la convergencia del sistema se dé en un tiempo finito dado

por:2

)0()0(.

V

V

VT (5.19)

Donde V es la función Liapunov.En [23] se hacen las siguientes definiciones:

El conjunto )(xds en el sub-espacio 0)( xds es el dominio de modo deslizante si

para el movimiento gobernado por )()()(.

xxx signDdsd con 0ufd GBG ,

UD GB el origen en el sub-espacio "" ds es asintótica-mente estable con

convergencia de tiempo finita para cada x de )(xds .

El sub-espacio 0)( xds es llamado un sub-espacio de deslizamiento si el modo

deslizante existe en cada punto, o 0)(:)( xxx dd ss .

También se postula el siguiente teorema:

Si la matriz D en la ecuación )(.

dd ssigns D es definida positiva

0 TDD entonces el origen 0ds es un punto de equilibrio asintótica-mente

estable con convergencia de tiempo finita.

5.6 Compensadores dinámicos de modos deslizantes

Inicialmente se indicó que la señal de control aplicada con la técnica de modosdeslizantes a la planta era una señal discontinua que tomaba solo dos valores extremos entorno a un valor promedio y que alternamente se daba esa conmutación, sin embargoejercer el control de esta forma, resulta eficiente al inicio, cuando se trata de llevar a laplanta a una condición de operación cercana a la que tendrá en estado estacionario; unavez que la planta ya se encuentra cercana a esa condición es deseable que la señal decontrol se reajuste de modo que en esos ciclos alternos de aplicación de señal de controlno se ejerza todo el poder disponible sobre el actuador para suavizar (es decir hacer quela señal de control tienda a ser mas una señal continua) la forma de onda de la señal decontrol. Esto disminuye el esfuerzo a que se somete el actuador al tiempo que se reduceel ruido generado (o castañeteo) al aplicar una señal discontinua. Lo mismo sucedecuando la magnitud de las perturbaciones disminuye, no es necesario tratar de la mismamanera a una perturbación suave que a una más fuerte, se puede entonces suavizar laseñal de control. El principal obstáculo que se debe enfrentar en el diseño de un sistemade control con las características antes mencionadas es el desconocimiento de lamagnitud de la perturbación, sin embargo se puede tener una idea del rango de variaciónde dicha perturbación dependiendo del sistema en cuestión.Si de la ecuación de movimiento de un sistema invariante con el tiempo dada por:

)())((.

tQfut BxAAx , donde ltf )( , la magnitud de variación de los

parámetros es 0A (para justificar la in-varianza con el tiempo); de modo que elsistema pueda ser representado en la forma regular según [23] y [24] dada por:

2121111

.xxx AA

)(02221212

.tfu xAxAx .

Además si la ecuación de modos deslizantes en el sub-espacio 021 xxsd C es

independiente de las perturbaciones que a su vez resultan ser no medibles. Se puedetomar un modelo de perturbación en forma de un sistema lineal dinámico variante con el

tiempo representado por

1

1

)()( 0)(k

i

ii

k ftf ; donde )(ti es un coeficiente escalar que

puede variar en un rango acotado de valores iDi t |)(| que representa múltiples

variantes en la amplitud de la perturbación.Se diseña un sistema de control dinámico cuyo control es u como salida dado por:

1

0

)()(k

i

ii

k vudu (5.20)

En este las id son coeficientes constantes escalares; y v representa una función lineal del

controlador y sistema de estados. Cada uno de los “m” canales de control tiene unelemento dinámico de k-esimo orden, donde el orden total del sistema es mkn .Al escribir las ecuaciones de movimiento del sistema extendido en el espacio como 1x ,

2x ……. 2kx , si 1

. ii xx donde )1,......2( ki .

Tomando la ecuación )(02221212

.tfuxxx AA y sabiendo que 32

.xx de acuerdo

a la teoría de espacio de estado, despejando u se tiene )(02221213 tfxxxu AA .

Si a esta expresión se le deriva “k” veces en forma sucesiva y se sustituye el lado derechode las ecuaciones:

)(02221212

.tfuxxx AA “y” 11

. ixx de acuerdo a la representación en el espacio

de estado.

La primera derivada de la señal de control es: )()1(02221213

....tfxxxu AA .

La segunda es )()2(02221213

........tfxxxu AA . La forma compacta de expresar lo

anterior según [23] es:

.

.

.

)(2

1

2)(

)(2

13

)(

.k

oj

kj

j

kjk

k

ioj

ij

j

iji

i

fxxu

fxxu

A

A

(5.21)

Para )1,........1( ki , donde kj

ij y AA son matrices constantes. Al sustituir los valores

de las derivadas anteriores en la expresión para el controlador dinámico

1

0

)()(k

i

ii

k vudu y reemplazando el valor de la “k-ésima” derivada del vector de

perturbación de acuerdo a

1

1

)()( 0)(k

i

ii

k ftf , por una combinación lineal de vectores

1........ kff se obtiene:

1

0

)(0

2

1

2 ))((. k

i

iii

k

iiik vftdxx A , donde las iA son matrices constantes; como los

vectores de la señal de perturbación se pueden calcular a partir de

)(2

13

)( ioj

ij

j

iji

i fxxu

A , la ecuación

1

0

)(0

2

1

2 ))((. k

i

iii

k

iiik vftdxx A puede

transformarse en

1

0

)(2

1

2 ))(()(. k

i

iii

k

iiik vutdxtx A , donde las matrices

it)(

A dependen de )(ti y del tiempo.

En [23] se introduce una notación nueva, y se rescriben las ecuaciones del sistema en la

forma regular, 1

. ii xx ” y”

1

0

)(0

2

1

2 ))((. k

i

iii

k

iiik vftdxx A (5.22)

Empleando esa nueva notación; se obtiene un par de matrices constantes, así como otropar de matrices variantes con el tiempo cuyos elementos tienen magnitudes acotadas,pues los coeficientes de )(ti también se encuentran acotados.

Con esa nueva notación se expresan las derivadas de la forma regular, haciendo uso de uncontrol intermedio, y eligiendo la matriz C en la expresión del control intermedio seobliga a la condición de modo deslizante en el sub-espacio:

012

xxsd C (empleando la nueva notación ahí introducida) (5.23)

Luego se toma como función Liapunov candidata d

T

d ssV2

1 y se evalúa su derivada;

resultando negativa para los parámetros y con valores suficientemente altos pero

finitos; en la expresión de control

)()|||||(|(_

21 dssignuxxv , después de un

intervalo de tiempo finito, el modo deslizante es gobernado por:

121111 )(

xCdt

xdAA (5.24)

Dándose la dinámica deseada y propiedades de in-varianza con respecto a lasperturbaciones. Con esto se logra reducir la magnitud del control con la reducción de laamplitud de las perturbaciones, y sin necesidad de medirlas.

5.7 Fórmula de Ackermann

En [23] y [24] se establece que la fórmula de Ackermann es un método mediante el cualse puede determinar una regla de control escalar de forma explícita, de modo que puedaobtenerse un sistema con los valores característicos deseados. El procedimiento es similaral que ocurre cuando se diseña el control con modos deslizantes para un sistema linealcon una superficie de discontinuidad lineal; debido a que la ecuación de modosdeslizantes es lineal y depende de los coeficientes de la ecuación de superficie.Este método de obtener la ecuación del plano de discontinuidad con base al sistemaoriginal, se hace sin la necesidad de transformar a este en la forma regular antes vista.Si en un sistema controlable se conoce el límite superior de las perturbaciones a que estese somete, aún estas sean no lineales; donde dicho sistema es representado por

)),((.

tfub xAxx y la perturbación es ),( tf x . En la ecuación del sistema se aprecia

que el vector de control bu y el de perturbación bf son múltiplos escalares diferentes de

cero uno del otro (también llamados vectores co-lineales), aspecto que satisface lacondición de in-varianza temporal del sistema y con ello el modo deslizante es invarianteen cualquier plano ante las perturbaciones.Hasta ahora se ha visto que en el proceso de diseño de un control con modos deslizantesse deben seguir en general los siguientes pasos:

La selección de un plano 0 xcTds , donde Tc es un vector renglón n-

dimensional. Diseño del control que establezca el modo deslizante en 0ds .

Obtener la ecuación de modos deslizantes de orden 1n independiente a lasperturbaciones. Para lo anterior es necesario elegir el vector “ c ” de modo que secumplan las características dinámicas deseadas aplicando luego métodos decontrol tradicionales que ayuden a suavizar la acción de control.

En contraste con el uso de la fórmula de Ackermann el vector “ c ”, puede encontrarse demanera explícita sin la ecuación de modos deslizantes pero considerando la ubicación de

los valores característicos. Dichos valores n ......., 21 pueden ser asignados mediante

la fórmula de Ackermann la cual establece:

xTa ku (5.25)

Donde:

)(APek TT

11 ].....][01........0[ bAAbb nTe

))().....()(()( 121 nnP

Si se tiene un par complejo conjugado como valor deseado para los valorescaracterísticos del modo deslizante, deberá cumplirse el siguiente teorema:

Teorema según [23]:

Si )(1 Ac PeTT , donde:12

1211211 ...))......()(()( nn

nn pppP son

los valores característicos de la dinámica de modos deslizantes en el plano

0 xcTs . En esa referencia se da la comprobación de este teorema; la

cual se fundamenta en la definición del eigen-vector Tc de la matiz*A cuyo valor característico n es tomado arbitrariamente; el plano

0 xcTds es un sub-espacio invariante de la matriz *A ; con el

movimiento determinado por el un conjunto de 1n valores

característicos n ......., 21 exhibiendo así la dinámica deseada.

El control discontinuo se diseña para forzar el modo deslizante en el plano 0ds de

modo que la condición de que ds y ds.

tengan signos opuestos en la vecindad del plano

dado por

),(.

tfus Td xAxc , en tanto que el control se establece como

)(),( ssigntMu x donde ),( tM x se elige de modo que ),(||),( 0 tftM T xAxCx .

Cuando el control toma solo dos valores extremos se debe garantizar que el dominio delas condiciones iniciales y la perturbación se encuentren acotadas.

5.8 Salida retroalimentada en modos de control deslizantes

Al igual que como se vio en el diseño de sistemas de control en el espacio de estados, esdeseable que todas las variables de estado sean medibles de modo que puedan serconocidas estas en la implementación del control. Sin embargo en la aplicación prácticaesto no suele ser el caso pues se encontrarán variables no medibles también en el diseñode sistemas de control con modos deslizantes.Una de las formas de solventar esta situación es emplear una salida estáticaretroalimentada en un sistema de control con modos deslizantes.

En [23] y [26] se establece que para un sistema descrito por las ecuaciones (4.40 y (4.41)donde el vector de salida es “l” dimensional, el par )( BA, es controlable y el par

)( CA, es observable (de acuerdo a como se vio en el diseño de sistemas de control en el

espacio de estados). Si el rango de B es “m” y el rango de C es “l”; y por último ml .Para el sistema en cuestión, se dice que este es de salida con polos asignables si losvalores característicos de BLCA , o los valores característicos de un sistemaretroalimentado con control lineal yu L (donde L es una matriz constante de lm ); o

la salida pueden tomar cualquier valor deseado.En la misma referencia se establece el siguiente teorema:Si el sistema en cuestión es controlable y observable y se satisface la relación

1 mln , entonces este es un sistema de polos asignables por retroalimentación deganancia de salida.Al poner el sistema dado en la forma regular se tiene la siguiente ecuación de estado:

um

Ix

x

AA

AA

x

x 0

2

1

2221

1211

2

1

.

.

(5.26)

Donde ),( 1211 AA son controlables.

La ecuación de salida correspondiente es:

2211

2

1

21 xCxCx

xCC

y (5.27)

Donde ),( 2)(

1mlmnl CC .

Si 2C es una matriz de rango completo, siendo en este caso su rango igual al número de

vectores renglón linealmente independientes, entonces:

*22

*21

2C

CC , donde )0det(,,( *

22*22

)(*21 CCC mmmml .

y para una matriz “ P ” no singular dada por:

1*22

1*22

*21

)(0

)(

C

CCIP

ml

2

1

21

11

21*

0][

x

x

IC

CxPCPCP

m

yy , donde 11C y 21C son matrices

constantes.En modos deslizantes, la superficie de conmutación 0s se define como:

2121111

2121

111

1* )(][ xxCCF

xxC

xCIFF

mys (5.28)

Donde debemos recordar que F es el valor máximo estimado de la magnitud de las

perturbación que puede presentarse en el sistema y además )(1, mlmlm FF .

La entrada de control es discontinua y se da por )(ssignu K , y ]..[ 21 mkkkdiagK y

las ganancias del control se seleccionan de modo que sean mayores a cualquier posibleperturbación que pueda presentarse en el sistema.Se elige una función Lyapunov candidata definida positiva cuya derivada sea definidanegativa de tal forma que el modo deslizante pueda ocurrir después de un tiempo finito.Dado que en modos deslizantes 1211112 )( xCCFx , al sustituirla en la expresión

obtenida para el sistema puesto en la forma regular se tiene:

v1212112111 )(.

AxCAAx ; donde v es definida como la entrada de control dada por

111111 yv FxCF m .

El sistema original se reemplaza por uno de orden reducido:

v121*

1

.AxAx (5.29)

Donde )( 211211* CAAA y la salida: 1111 xCy y el par ),( 12

* AA es controlable;

además el vector de salida es de dimensión )( ml .

En esta misma referencia se establece el siguiente teorema:Si el sistema original es controlable y el sistema reducido que lo reemplaza es observable

y satisface la relación: 1)()( * mmlmn y )( 12* Arangom , entonces el sistema

es de polos asignables por retroalimentación de la ganancia de salida. Cuando se cumple

dicha relación en la ecuación de modos deslizantes dada por 111112*

1

.

)( xCFAAx ,

existe una matriz 1F con la cual los valores característicos de dicha ecuación pueden

tomar el valor deseado.

5.9 Observadores de estado en modos deslizantes

La otra forma de solventar el problema de no poder medir todos los parámetros delsistema debido a limitaciones físicas es emplear observadores de estado que nos ayudan aestimar el valor de dichos parámetros no medibles.Para un sistema lineal e invariante con el tiempo descrito por las ecuaciones (4.40 y(4.41). Al considerar la ecuación de salida donde, C es una matriz constante y de rango lAsumiendo que C y A son observables, el sistema correspondiente con observador deestado se da según [23] por:

)(^^^

.

yxCLBxAx u (5.30)

Donde el último término representa la diferencia entre los valores reales y los valores

estimados del vector de salida,^

x es el valor estimado del vector de estado y lnL esuna matriz de entrada misma que en [2] es llamada la matriz de ganancia del observadorla cual pondera al término de corrección de la diferencia citada.La ecuación de movimiento con respecto a la diferencia entre el estado observado y elestado medido se obtiene al restar:

)()(

)(

)(

^^.^

^^.^

.

^^^

.

.

.

CxxCLxxAxx

yxCLAxxAxx

BAxx

yxCLBxAx

u

restaru

)(^.^

.

xxALCxx (5.31)

De esta última expresión se redefine el término xxx ^

que representa la diferenciaentre el estado actual y el observado y se tiene:

xLCAx )(

.

, cuyo comportamiento se determina por los valores característicos de la

matriz CLA ; y en sistemas observables dichos valores se pueden asignar eligiendoapropiadamente el valor de la matriz de ganancias L . Con lo anterior se puede manipularla tasa de reducción de las citadas diferencias hasta obtener cero; y así se puede emplearcualquier algoritmo de control de estado completo (o completamente observable) paraimplementar el control.El vector de salida del sistema puesto en la forma canónica diagonal se representa por

2211 xCxCy ; si se diseña un observador solo para el vector 1x , entonces las

y sustituir Cxy .

componentes del vector 2x se pueden obtener al despejar 2x de la expresión anterior como

)( 111

22 xCyCx .

Reescribiendo las ecuaciones del sistema en el espacio ),( 1 yx se tienen:

u1121111

.ByAxAx

u222121

.ByAxAy ,

donde:

2221

12111

AA

AATAT

2

1

B

BTB y

21

1 0

CC

IT

n .

Y se dice que la transformación de coordenadas no es singular pues el determinante de lamatriz “ T ” no es cero.El diseño del observador de orden reducido que ayudará a estimar los parámetros noobservados se basa en la transformación de coordenadas. La relación de las variables

medibles del espacio ),( ' yx se da por:

yLxx 11' .

Poniendo la ecuación de estado en términos de dichas variables medibles según [23] setiene:

u)()( 211'12

'21111

'.BLByAxALAx ,

donde 12111122112'12 )( LALAALAA .

El observador de estado de orden reducido )( ln resultante es:

u)(')(' 211'12

^

21111

.BLByAxALAx (5.32)

con '^

x como un estimado del vector de estado 'x .

La diferencia '''^

xxx

se rige por ')(' 21111

.

xALAx . De igual forma, si el sistema es

observable, los valores característicos de la matriz 21111 ALA pueden ser asignados

arbitrariamente y por lo tanto '

x tiende a cero y '^

x tiende a 'x con una velocidad deseadaajustable mediante los valores característicos elegidos.

5.10 Diseño del observador de estado

En [23] se dice que con el uso de la aproximación de modos deslizantes, el procedimientode diseño de un observador para un sistema variante con el tiempo consiste en dividir en“r” sub-problemas independientes.Si la ecuación del observador tiene la forma:

iiiiiiii vutytyty

)()()( 1

^

1,

*^^

BAA )1,......0( ri

irrrr vutyty

)()(*^^

BA .

Las entradas del observador se diseñan como:

)( 0

^

000 yysignMv

)( ,1 iiiii zsignMv A , 1

. iii vzz ),......1( ri ,

donde la matriz pseudo-inversa ii ,1A )( 1,1,1 iIiii IAA

existe pues 1,1iA es una matriz de

rango completo. Las ecuaciones para las diferencias entre la salida real y la estimada

iii yyy^

son:

rr

rrrrr

rr

r

v

v

v

v

y

y

y

y

y

y

y

y

dt

d

.

.

.

.

....

...........................................

..........................................

0......0

0.......00

.

.

2

1

0

2

1

0

32210

,1

121110

0100

2

1

0

AAAAA

A

AAA

AA

.

Se dice que cuando las condiciones iniciales se encuentran acotadas, en determinadonúmero finito 0M después de un intervalo de tiempo finito ocurre el modo deslizante en

el sub-espacio 00

y debido a que cada componente de 0

y y su derivada tienen signos

opuestos, por ello es aplicable el método de control equivalente con lo que la solución de

0

y con 0

y es 101000 ))(()(

yysignMv eqeq A . Con lo anterior se encuentra la

ecuación de modos deslizantes y la entrada de control equivalenteeq

v0 es aproximada

con la salida del filtro de primer orden 1z .

En general el procedimiento a seguir para diseñar un observador de estado en modosdeslizantes consiste en:

Poner la ecuación del sistema en la forma observable de espacio de estado. Aplicar la ecuación de diferencias entre la salida real y la estimada dada en [23]. De dicha ecuación encontrar:

.

.

.

0

1

2

1

11

0100

0

n

n

ry

y

x

x

x

x

C

CC

Por medio de rrry xC .

Obtener el observador de estado por medio de:

.)()(

.

.

)()()(

*^^

1

^

1,

*^^

rriir

iiiiiiii

vutyty

vutytyty

BA

BAA

(5.33)

Para )1.........0( rii

Donde las entradas del observador se definen como:

).......1(,),,(

)(

11,1

0

^

000

.riivzzzsignMv

yysignMv

iiiiiiii

A

1 Es la llamada constante del filtro y toma el valor de sT41 y a su vez

sT es el periodo de muestreo de la señal.

Obtener la ecuación del observador de la forma:

1

0

1

0

1

^

0

^

1110

0100

^

^

1

0

v

vu

y

y

y

y

dt

d

B

B

AA

AA(5.34)

De esta forma, con el observador de estados en modos deslizantes es posible obtener elvalor estimado de las perturbaciones originalmente desconocidas.

5.11 Modo deslizante integral

El método de modos deslizante convencional visto hasta ahora, presenta una desventajaque consiste que este requiere de un periodo de tiempo para que alcance la condición deconmutación entre superficies; donde se tiene la intersección de estas. Como ya se vio laestructura de retroalimentación es modificada de modo que se esta se adapte paraalcanzar la condición de deslizamiento entre superficies, (de ahí el nombre de sistemasde control de estructura variable); antes de que esto ocurra no se garantiza que el sistema

presente la suficiente robustez como para rechazar las perturbaciones que ocurran es eselapso. Una contramedida típica es incrementar la ganancia de la señal retroalimentada;sin embargo esto puede provocar inestabilidad del sistema.La técnica de control con modo deslizante integral tiene las siguientes características:

Mismo orden que el sistema original. In varianza ante cambios de los parámetros de la planta. Presenta robustez del sistema desde el inicio pues elimina la fase de alcance del

modo deslizante. Reduce el castañeteo. Ofrece un nuevo esquema para estimar las perturbaciones. Es empleada en robótica y sistemas de control electrónicos.

Para un sistema ideal dado en el espacio de estado descrito por uf )()(.

xBxx , al

considerar a dicho sistema expuesto a perturbaciones, variaciones de los parámetros de laplanta y dinámicas no modeladas, se modifica la expresión anterior por

),()()(.

thuf xxBxx de modo que el último término (acotado) incluya lo antes

mencionado, pero que aun así se cumpla que )(),( xBx spanth o que de forma

equivalente la señal de control sea capaz de influir sobre ),( th x por medio de )(xB , es

decir huth )(),( xBx con mhu .

Si se asume que el control se da por 10 uuu , donde:

0u es el control ideal.

1u es la parte del control que se encarga de eliminar al término ),( th x .

Al sustituir se tiene:

),()()()( 10

.thuuf xxBxBxx .

Evidentemente por lo antes dicho estos dos últimos términos se deben eliminarmutuamente por lo que ),()( 1 thu xxB , al término del lado izquierdo de la expresión se

le llama control equivalente y se denota por:

heq uu 1 (5.35)

Si se define la superficie de deslizamiento como zss dd )(0 x con mdd zss ),(, 0 x

en la cual )(0 xds es una combinación lineal de los estados del sistema como la empleada

en el control con modos deslizantes convencional donde])()()[()()( 100 heqd uuufs xxxBxx y z es el término integral del sistema de control.

Si se deriva y se iguala a cero la expresión para la superficie de deslizamiento se tiene:

0)()()()()(....

100

0

zuuuf

x

szss heqdd xxxBxx .

Esta puede reducirse a: 0)()()()(....

00

0

zuf

x

szss d

dd xxBxx pues equ1 y

hu se eliminan mutuamente, y se puede despejar: )()()( 00

.

xxBxx

ufs

z d

para que

la condición de modo deslizante ocurra desde el inicio, se debe cumplir que 0)0( ds .

Con esto la ecuación de movimiento toma la forma )()()( 0

.xxBxx uf de modo

similar a las trayectorias ideales del sistema.En [23] y [24] se da la siguiente definición:“Se llama modo deslizante integral a aquel cuya ecuación de movimiento tiene el mismoorden que el del sistema original”.Al sustituir la ecuación de control con modos deslizantes dada por

)()(1 dssignMu x tomada del control convencional con modos deslizantes, y el valor

encontrado para:

)()()( 00

.xxBx

xuf

sz d

.

En 0)()()()()(....

100

0

zuuuxf

szss heq

dd xxBx

xx se tiene:

)()()(0.

xxBxBx

Mus

s hd

(5.36)

0ds se selecciona de modo que 0)(0

xB

xds

durante la respuesta completa del sistema.

Luego la función escalar )(xM puede seleccionarse de modo que sea forzado el modo

deslizante en el sub-espacio 0ds .

5.12 Estimación de perturbaciones e incertidumbre

Hasta ahora la parte fundamental en el control por modos deslizantes se ha visto que escontrol mediante señales discontinuas aplicadas al actuador del sistema. Se vio que estaacción tiene como consecuencia la generación de ruido de alta frecuencia indeseable, alcual se le llamó castañeteo. Como se indicó anteriormente una forma de prevenir esteefecto es la reducción de la magnitud de la señal de control y también lo es limitar elancho de banda de dicha señal. Con la ayuda del control con modos deslizantes integral,también es posible alcanzar ese mismo objetivo.Se debe tener en cuenta que por una parte los actuadores físicamente no son capaces deresponder a la alta frecuencia de la señal de control; y que estos actúan como un filtropasa-bajas de dicha señal, además la misma planta presenta esa limitación; por otra partese vio que la señal de control que realmente ve la planta es un promedio del valormáximo y el valor mínimo de la señal de control aplicada de forma alternada, resultandoasí en que dicho valor promedio es en realidad una señal mas suave a la que se le llamócontrol equivalente.

Por lo anterior si en lugar de tener a la señal de control dada por 10 uuu ; esta se

cambia por equuu 10 , el control aún no se podría implementar pues se desconoce la

perturbación. Por otra parte, como se acaba de recordar lo que en realidad ve el filtrorepresentado por la planta y el actuador es el valor promedio de la entrada de controldiscontinuo; entonces se puede escribir que aveq uu 11 , donde avu1 se define según [23]

por: 111

.

uuu avavt (5.37)

siendo t la constante de tiempo y que debe ser suficientemente pequeña de modo que no

sea distorsionada la lenta componente de la acción de conmutación equ1 . En general no

existe traslape entre la frecuencia de la señal conmutada y la frecuencia de lasperturbaciones, pues la de estas ultimas es por lo general baja en comparación con lasprimeras. Pese a que la señal de control como se vio en el método de control equivalentees suavizada, el control con modos deslizantes no pierde su efectividad, y esto esbenéfico para prevenir el castañeteo, además es capaz de cancelar las perturbaciones. Siadicionalmente la señal de control discontinua en lugar de aplicarse directamente alconjunto actuador-planta es aplicada a un sistema dinámico auxiliar, la reducción delcastañeteo será aún más efectiva.

Si la superficie de deslizamiento dada por zxss dd )(0 , con z definida en:

10 )()()(

.uuf

sz xBxBx

x

))0(()0( 0 xdsz .

La derivada de la superficie de deslizamiento sustituida en la expresión anterior es:

.)()(

)()()()()()(

100

100

.

us

us

uufs

uufs

s

dh

d

dh

dd

xBx

xBx

xBxBxx

xBxBxx

De forma semejante a como se vio en la parte de “modo deslizante integral” si se diseña

el control discontinuo 1u y se asume que 0)(0

xB

xds

en la respuesta completa del

sistema, se tendrá la condición de modo deslizante con lo que se cumple también que

heq uu 1 , lo cual implica que )( 11 eqav uu es en realidad un estimado de la parte de la

señal de control relacionada a la perturbación hu .

Si estas expresiones de control con modo deslizante integral se aplican al sistemadinámico auxiliar antes mencionado, las discontinuidades aparecerán solamente en este,quedando el actuador y la planta libres de funciones de control abruptas que originan elcastañeteo. Además como avu1 cancela las perturbaciones aún sin el conocimiento preciso

del modelo del sistema, la robustez del control con modos deslizantes se mantiene.Para implementar este esquema de control esencialmente solo es necesario conocer elvalor máximo que alcanzaría la perturbación a la que el sistema será sometido. El mododeslizante integral en si se emplea solo para estimar la perturbación más que como acciónde control, pues en realidad tanto el actuador como la planta verán una señal continua.

5.13 Modulación de ancho de pulso para actuadotes eléctricos

La técnica de modo deslizante integral PWM es empleada en la modulación por anchurade pulso en sistemas controlados electrónicamente, estos pueden describirse por medio de

un sistema dinámico afín como: uf )()(.

xBxx .

Donde: nRx representa las componentes de corriente y flujomRu es la señal de control discontinua que solo puede tener dos valores.

Haciendo una analogía entre el modelo del inversor de voltaje y un motor de corrientedirecta, para simplificar el entendimiento en la aplicación de esta técnica no convencionalde control PWM con modo deslizante integral (de Utkin). Con esto en mente, el sistema

análogo tiene dos entradas de control du y qu ; desde la perspectiva del motor de CD, se

establece 0di ; de modo que el sistema se comporte como un motor de corriente directa

con flujo de excitación constante.Pese a que las variables d y q no son físicamente medibles en el motor, estas se estimanpor medio de variables medibles (a, b y c) además del conocimiento de la posiciónangular eléctrica del rotor.Considerando el valor real y el valor deseado de la corriente se diseñan las superficies deconmutación como una diferencia entre estas, con lo que se obtienen las funciones deconmutación dadas por:

dddd iis * (5.38)

y qqdq iis * (5.39)

Donde el símbolo del “*” denota el valor deseado y sin este representa el valor real.Luego se establecen los voltajes de control como:

)(0 dddd ssignuu (5.40)

)(0 dqqq ssignuu (5.41)

Dado que el inversor requiere de tres entadas de control ),( 321 uyuu con valores

discretos )( 00 uyu y como una transformación directa )( 3,2,1,qdA no es posible, se

define un conjunto de funciones de conmutación con la siguiente transformación:

)(

)(

0

03,2,1,

*3

*2

*1

dqq

ddd

qd ssignu

ssignu

u

u

u

A (5.42)

La matriz )( 3,2,1,qdA es función del ángulo eléctrico de posición del rotor, por ello los

controles:

*3

*2

*1

u

u

u

(5.43)

no pueden ser aplicados directamente al inversor dado que no toman valores discretos

)( 00 uyu , por ello se elige el conjunto de funciones de conmutación para los

controles 321, uyuu como:

duusl

iidi 0

** )()( , para )3,2,1( i (5.44)

Con lo anterior se puede establecer la ley de control como:

)( *0 dii ssignuu , para )3,2,1( i , forzando al modo deslizante en la superficie 0* dis ,

para )3,2,1( i si se cumple la llamada condición de deslizamiento dada en [23] y [24]

por |||,||,|max *3

*2

*10 uuuu derivada de la condición de existencia 0

**

1

.did ss .

Empleando el método de control equivalente, estableciendo 0*.dis y resolviendo para

cada una de las entradas iu para )3,2,1( i se tiene *iieq uu para )3,2,1( i siendo estos

los tres controles discontinuos buscados en lugar de los dos (d y q) que se teníanoriginalmente.

5.14 Control robusto de corriente para motores síncronos de imánpermanente

Como pudo observarse en el inicio de este documento existen procedimientos complejospara obtener aproximaciones del modelo matemático de un motor-generador síncrono,estos procedimientos descritos fueron la caracterización a rotor en movimiento y lacaracterización de respuesta frecuencial de la máquina sincrónica. Ambos procedimientosintroducen errores en la obtención de los modelos debido a imprecisiones en lasmediciones, efectos ambientales como la temperatura y hasta la mala orientación delrotor en el procedimiento de caracterización de respuesta frecuencial. Además ya enoperación del motor-generador el modelo obtenido sin duda diferirá por efecto de latemperatura sobre la máquina sincrónica y la carga. En la práctica hasta efectosmecánicos como la holgura de una banda tienen efecto sobre el sistema que se pretendecontrolar.Por lo anterior un modelo matemático que contemple todos esos parámetros resultasimplemente impensable.En [23] se plantean dos estrategias basadas en el control con modo deslizante paradesarrollar el control de un motor síncrono, estas se consideran parte de las estrategias decontrol robusto.Las ecuaciones de voltaje de un modelo aproximado del motor síncrono según la citadareferencia son:

qeddd ii

L

Ru

Ldt

di

1

(5.45)

edeqq

q iiL

Ru

Ldt

di

1(5.46)

Donde: di = Corriente de estator del eje directo “d”

qi = Corriente de estator del eje de cuadratura “q”

du = Voltaje de estator del eje directo “d”

qu = Voltaje de estator del eje de cuadratura “q”

L = Inductancia de la armaduraR = Resistencia de la armadura

e =Velocidad angular eléctrica

= Flujo de enlace del imán permanenteEn la citada referencia se establecen las siguientes reglas de control para la primeraestrategia basada en acciones de control discontinuo:

ddd titi |)()(| * (5.47) y qqq titi |)()(| * (5.48) 0tt ,

donde: )(* tid e )(* tiq son las corrientes deseadas.

d y q son parámetros definidos por el diseñador del control relativos a

la diferencia máxima permitida entre el valor real y el deseado de lascorrientes del eje de cuadratura y el eje directo.

10 ddd uuu

10 qqq uuu

)(1 dddd ssignMu

)(1 dqqq ssignMu

ddddd zss 0

qqq zss 0

dt

diii

L

Ru

Lz d

qeddd

*

0

00

0

1.

.

))0()0(()0( *ddd iiz .

dt

diii

L

Ru

Lz q

edeqqq

*

0

0

00

0

1.

.

))0()0(()0( *qqq iiz .

Al derivar ddddd zss 0 se tiene...

0 ddddd zss , pero como *0 dddd iis , su derivada es *

0

.dddd i

dt

di

dt

ds

y a su vez qeddd iiL

Ru

Li

dt

d

1.

*

0

00

0

* 1.dqedddddd i

dt

dii

L

Ru

Li

dt

di

dt

ds

entonces reduciendo y

sustituyendo la expresión para didt

dse tiene:

dddddd iL

Ru

Li

L

Ru

Ls

0

00

0

11. , reagrupando y sabiendo que 1ddod uuu

1

0

00

00

00

0

10

11111.ddddddddd u

Li

L

R

L

Ru

LLi

L

R

L

Ru

Luu

Ls

.

Son los voltajes de control en los que 1du y 1qu son

discontinuos de modo que sean capaces de suprimir laincertidumbre de los parámetros de la máquina.

Son las funciones de conmutación donde:*

0 dddd iis y *0 qqdq iis .

definiendo

0

1

11

LL y

0

02

L

R

L

R se tiene:

1201

1.ddddd u

Lius y como a su vez )(1 dddd ssignMu , entonces:

L

ssignMius ddddddd

)(201

. ; si esta derivada se iguala a cero y se resuelve

para dM se tiene:

ddddd iuLssignM 201)( , pero como la función sign solo tiene valores

extremos es equivalente a tener:

||max 201 ddd iuLM (5.49)

La expresión anterior implica que el lado derecho esté acotado de modo que se cumpla la

condición de modo deslizante 0dds y el control equivalente compensa las

perturbaciones a que se somete el sistema.Siguiendo un procedimiento algebraico similar pero para el eje de cuadratura se debería

obtener: ||max 3201 eqqq iuLM (5.50)

pero concluyéndose lo mismo referente a la compensación de las perturbaciones.

Sin embargo debe observarse que qM depende de la velocidad eléctrica de giro del rotor,

esta estrategia de control garantiza la estabilidad del sistema solo si las desigualdadesanteriores se cumplen simultáneamente, sin embargo es difícil implementar el control enforma práctica debido a la discontinuidad de dichas señales de control.

La segunda estrategia de control evita la parte discontinua de la señal de control alemplear una técnica de control con modo deslizante integral que estima lasperturbaciones del sistema.Los controles se definen como:

10 ddd uuu

10 qqq uuu

.

Estos tienen una parte discontinua dada por:

)(1 dddd ssignMu

)(1 dqqq ssignMu .

Las funciones de conmutación correspondientes se dan por:

ddddd zss 0

qdqdq zss 0 .

Donde los términos integrales se definen como:

dt

di

L

uii

L

Ru

Lz dd

qeddd

*

0

1

0

0

0

1.

))0()0(()0( *ddd iiz

dt

di

L

uii

L

Ru

Lz qq

edeqqq

*

0

1

0

0

0

0

1.

))0()0(()0( *qqq iiz .

Las derivadas de las funciones de conmutación obtenidas por un procedimientoalgebraico similar al antes visto son:

dddddd

dd iuuL

ssignMs 2101

0

)(.

edqq

dqq

dq iuuL

ssignMs 32101

0

)(.

,

donde:

||max 21010 dddd iuuLM y

||max 321010 eqqqq iuuLM .

Los controles discontinuos du y qu no son aplicados al actuador, sino que en su lugar se

aplican señales de control equivalente suavizadas gracias a la acción integral del control yson dadas por:

dddeqdd iuuLuu 2101011 (5.51)

eqqqeqqq iuuLuu 32102011 (5.52)

Estas señales ahora continuas son capaces de compensar las perturbaciones y no tienen elefecto dañino sobre el actuador. Bajo este esquema de control la robustez de este semantiene al mismo tiempo que el problema del castañeteo se elimina.

5.15 Castañeteo

De acuerdo a [23] y [24] es un fenómeno que se presenta en forma de oscilacioneseléctricas de alta frecuencia y amplitud finita, que aparece en sistemas controlados conmodos deslizantes, como resultado de la alta frecuencia de conmutación del controladororiginando la excitación de dinámicas no modeladas al hacer actuar al sistema bajocontrol en lazo cerrado, o como resultado de la implementación de sistemas de controldigital con velocidad de muestreo fija en el microcontrolador.Las fuentes más comunes de dinámicas no modeladas las constituyen los sensores y losactuadores del sistema pues estos tienen constantes de tiempo más cortas que las quepresenta la planta. Sin embargo para solucionar el problema del Castañeteo no esnecesario aumentar la complejidad del modelo del conjunto planta sensor y actuador yaque como se vio se puede hacer uso del control equivalente en combinación con laimplementación del control con modo deslizante integral y por supuesto la no aplicación

de señales de control discontinua en los actuadores, sino en etapas de procesamientoauxiliar normalmente a nivel de algoritmo. Es decir el Castañeteo se puede visualizarcomo el resultado de la excitación de las dinámicas no modeladas por la acción de controldiscontinua, entonces si se emplea la acción discontinua que es la base fundamental delcontrol con modos deslizantes, pero se cuida que dicha acción no excite a esas dinámicas,el problema estará resuelto.Este problema debe solucionarse para evitar el daño en el actuador y/o en la planta delsistema, al forzarlos a operar con señales abruptas que les generan calentamiento ydesgaste; o que las señales indeseadas que se generan con este, afecten la operación decircuitos electrónicos cercanos al inducirse ruido eléctrico en ellos.En un modelo ideal de un sistema de control con modos deslizantes, la frecuencia deconmutación de la señal de control es infinita y debido a ello no existe el Castañeteo; sinembargo en la práctica esto sabemos que no es así, y lo que en general se cumple es queel ancho de banda del actuador es mayor que el ancho de banda del sistema, esto implicanecesariamente que es más rápido invariablemente que este último.En un sistema de control en tiempo continuo el Castañeteo no existe pues las dinámicasno modeladas del actuador; no se ven excitadas puesto que la señal de control carece deelementos de alta frecuencia que las exhiban. Sin embargo en un sistema de controldiscontinuo el contenido de señales de alta frecuencia es común por su propia naturalezay las dinámicas no modeladas si son excitadas y expuestas.Las soluciones al problema del Castañeteo según [23] y [24] son:

Solución de capa de frontera: Evitar discontinuidades en la señal de control y acciones de conmutación en el

lazo de control reemplazando la función sign por la función de saturación en

la señal de control con lo que se provoca que )(tsd se encuentre en una región

vecina a la trayectoria 0)( tsd , y no exactamente sobre esta de ahí el nombre

de capa de frontera. Con esto se evitan las ganancias infinitas en la funcióndiscontinua. Dentro de dicha capa la acción de control es continua.

Solución basada en el observador: La idea anterior sin embargo excluiría a los sistemas basados en el esquema

PWM o convertidores electrónicos basados en señales discontinuas. Lasolución a esto es emplear un observador asintótico en un lazo auxiliar deretroalimentación en lugar de que se implemente en el lazo principal; de modoque el observador forme parte del algoritmo (programa) donde las dinámicasno modeladas no tienen efecto. El esquema de este control se muestra en lafigura 5-7.

Figura 5-7 Esquema de control basada en observador en el lazo de retroalimentación auxiliarcomo contramedida para eliminar el Castañeteo.

Solución por medio de la forma regular: Bajo este esquema se plantea el control en cascada basado en la forma regular

del sistema en el espacio de estado. Para ello se incluye en el diseño delcontrol el modelo del actuador, y se estructura en etapas conectadas encascada según se muestra en la figura 5-8. El controlador discontinuocorresponde al controlador de modos deslizantes y se encuentra en el lazo decontrol interno, le provee la robustez al sistema, como el modelo del actuadores conocido, la retroalimentación al controlador discontinuo se encuentra librede dinámicas no modeladas y por ende de Castañeteo. El controlador del lazoexterno es continuo y su función es la de garantizar que se alcance el valordeseado. Para su implementación es necesario conocer un estimado de laperturbación.

Figura 5-8 Esquema de control en cascada con la combinación de controladores continuo ydiscontinuo para eliminar el Castañeteo.

Solución por rechazo de perturbación: Este método puede visualizarse como un caso especial del modo deslizante

integral; es útil cuando no se conoce el valor estimado de la perturbación. Elcontrolador del sistema se compone de dos partes; un controlador continuoque se encarga de que se alcance el valor deseado, y un controladordiscontinuo encargado del rechazo de las perturbaciones y eliminación de lavariación los parámetros del sistema. Emplea una variable auxiliar pararetroalimentar al controlador discontinuo con la señal de control libre de

ActuadorPlanta

Observador

Lazo auxiliarLazo principal

+

-

Controladorcontinuo

Controladordiscontinuo

Actuador

Planta

Lazo de control delactuador

Lazo auxiliar de control

-+

V. de referencia Salida

V. de referencia Salida

elementos de discontinuidad eliminando el castañeteo pues el actuador ve unaseñal continua. La figura 5-9 muestra este esquema de control.

Figura 5-9 Esquema de control por rechazo de perturbación con la combinación de un controladorcontinuo global y un controlador discontinuo para rechazo de perturbaciones.

5.16 Modos deslizantes en tiempo discreto

La implementación de un control con modo deslizante se puede realizar mediantedispositivos electrónicos analógicos (como transistores o compuertas); con los cuales sepueda generar una señal de conmutación de alta velocidad como base para la señal decontrol, o con el uso de dispositivos digitales como son los microcontroladores queofrecen mayores ventajas que los primeros. Sin embargo la implementación basada en losprimeros presenta la desventaja de producir Castañeteo debido a la discretización pues elperiodo de muestreo es grande en comparación al que puede alcanzarse con unmicrocontrolador, además la implementación del algoritmo en hardware resulta muchomás compleja que la implementación en forma de programa que resulta más versátil. Enla implementación del control debe tenerse especial cuidado en el periodo de muestreo,en teoría este debería ser cero de modo que la frecuencia de muestreo sea infinita; dadoque esto es imposible, el hardware seleccionado deberá ser capaz de muestrear la señal deentrada al menos 10 veces más rápido que la dinámica mas rápida de la planta.Se recordará que existe un intervalo de tiempo entre el inicio de operación del sistema yel punto en el que se alcanza la condición de modo deslizante, a este se le llama tiempode modo deslizante y se le designa por smt , es evidentemente finito. De acuerdo a [23] la

relación entre los valores del estado antes y después de que se alcance la condición demodo deslizante se da por: ))(()( 00 tFtt xx (5.53)

Donde ))(( 0tF x es una función continua, al definir tktk , para ......2,1k ; como los

puntos de muestreo, la representación en tiempo discreto de la expresión anterior es

)(1 kk F xx y a su vez )( tkk xx (5.54)

Cuando la condición de modo deslizante se alcanaza 0))(( tsd x , para algún

ttk smsm / , y con esto se cumplirá que 0)( kds x , smkk , este movimiento a partir

del cual se cumple la condición de modo deslizante es el llamado modo deslizante en

Actuador Planta

Variableauxiliar

Filtro pasa-bajas

Controladorcontinuo

Controladordiscontinuo

+ +

++

+

-

SalidaV. de referencia

tiempo discreto. Esta forma de representación de la ecuación de movimiento esprecisamente su representación en tiempo discreto.Bajo el esquema de tiempo discreto la señal de control esencialmente se seleccionará

como ku de modo que en cada punto de muestreo se alcance la condición 0)( 1 kds x y

que se sostenga dicho valor de la señal de control ku hasta el siguiente periodo de

muestreo )1( k , lapso en el que pudiera ser que 0))(( tsd x , de ahí la importancia de

que dicho lapso 0t , aspecto que se logra si el hardware empleado para implementarel control es capaz de hacer muestreo de la señal de entrada a una velocidad mayor que ladinámica del sistema, como se mencionó anteriormente. Sin embargo aún que

0))(( tsd x su valor 0)( 1 kds x .....2,1,0k

La condición 0)( 1 kd xs es alcanzada en tkt smsm y a partir de entonces el estado kx

permanece en el sub-espacio que es el dominio del modo deslizante.La representación de un sistema continuo, lineal e invariante con el tiempo en el espaciode estado se da por:

)()()()(.

trtutt DBAxx (5.55)

Donde: nt )(xmtu )(

)(tr es la entrada de referencia

A , B y D son matrices constantesEn [23] se establece que la transformación del sistema a su forma de representación entiempo discreto con un intervalo de muestreo t es:

kkkk rux***

1 DBAx (5.56)

Donde: te AA*

t

tt de0

)(* BB A

t

tt de0

)(* DD A

)(tr Se asume constante durante el intervalo de muestreo.

La condición de existencia de modo deslizante en tiempo discreto se cumple si *CB esinvertible y:

0***1 kkkdk urs CBCDxCA y

)()( **1*kkk ru CDxCACB .

El control equivalente de este sistema es:

kkdkkeq rsu **1*1* )()( CDxCCACBCB (5.57)

kkdkdkdk urss ***1 CBCDxCCA .

Si el control se encuentra acotado por 0|||| uuk y los recursos disponibles de control son:

0**1* ||||.|||| urkk

CDxCCACB .

Por lo anterior, el control se elige de la forma siguiente con el fin de que los recursos decontrol sean suficientes para estabilizar el sistema:

||||0

keq

keq

keq

k

u

uu

u

u

Con esto se garantiza que después de un número finito de pasos se alcance la condición

0|||| uukeq y tome lugar el modo deslizante en tiempo discreto. Este control garantiza un

movimiento en el sub-espacio 0ds ; y libre de Castañeteo. La dinámica deseada en

modos deslizantes se obtiene al elegir de forma apropiada los valores de la matriz C.Cuando algunos parámetros del sistema no se conocen tales como A, D y la entrada dereferencia kr puede variar en un rango determinado, se puede elegir el control como:

||||

)(

1*

1*

0

1*

dk

dk

dk

s

su

s

u

CB

CB

CB

De modo que este se encuentre dentro de la frontera de los recursos de control, puedeobservarse que la ecuación de control elegida no depende de los parámetros de la planta

A , D ni de la entrada de referencia kr . De esta forma, al igual que en el caso en donde

todos los parámetros son conocidos después de un número finito de pasos el sistema seencontrará en la condición de modo deslizante, y aunque la trayectoria no se seguiráfielmente, se encontrará en la vecindad de esta; resultando esperado este comportamientodebido a la incertidumbre bajo la que opera el sistema.

5.17 Modos deslizantes de segundo orden

5.17.1 Algoritmo ˝twisting˝

Lo visto hasta aquí ha sido la teoría básica para el análisis de modos deslizantes de primerorden, se vio que uno de los mejores esquemas de control en estos lo constituyó elesquema de modos deslizantes integral el cual muestra una mejor capacidad para reducirel efecto de ˝Castañeteo˝. En [26] y [28] se presenta el esquema de control de modos deslizantes de segundo orden como una estrategia que brinda un mejor desempeño en laeliminación del ˝Castañeteo˝, mejor precisión de movimiento e introduce la posibilidad de implementar reglas de control continuo en comparación con los esquemas vistos hastaaquí.El esquema de control de modos deslizantes de segundo orden elimina el efecto de˝Castañeteo˝ pese a la existencia de dinámicas parásitas. Para ello el modelo del sistema incluye ahora el efecto tanto de la planta como del actuador y sensor. La estructurapropuesta en [28] para implementar el control con modos deslizantes de segundo ordenrecibe el nombre de algoritmo ˝twisting˝, su esquema se muestra en la Figura 5-10.

Para 0|||| uukeq (5.58)

Para 0|||| uukeq (5.59)

Para 0

1* |||| usdk

CB (5.60)

Para 0

1* |||| usdk

CB (5.61)

La ecuación diferencial que describe el comportamiento de la planta y el actuador se da

por: )()(.

tut BAxx (5.62)

Cxy (5.63)

donde ˝y˝ puede ser tratada como variable de deslizamiento o como salida de la planta, siendo esta ultima estable y como se dijo en un principio la planta responde solo afrecuencias bajas, su función de transferencia es:

BAIC 1)()( ssG (5.64)

y la señal de control del algoritmo ˝twisting˝ es:

)()()( 21

ysigncysignctu (5.65)

Donde ›0›cc 21 ; y sus condiciones de convergencia son: (5.66)

CC Mm KccKcc 2121

Donde C mKcc 21 ; mK y MK son contantes conocidas que parametrizan la

incertidumbre del sistema original. En esta misma referencia se asume que en laimplementación inicial del algoritmo ˝twisting˝: se presentará una oscilación periódica del sistema, la cual podrá caracterizarse y analizarse con la ayuda del método de lafunción descriptiva. De acuerdo a este método explicado

Figura 5-10 Esquema de control con modos deslizantes de segundo orden ˝twisting˝.

en [27] se asume que la respuesta armónica de la planta es similar a la de un filtro pasa-bajos cuya respuesta es una oscilación armónica. A partir de esto se encuentra la funcióndescriptiva N del algoritmo ˝twisting˝ como la primera armónica de la señal de control periódica dividida por la amplitud de )(ty .

Al visualizar este algoritmo como la conexión en paralelo de dos relevadores ideales, elde la parte superior recibe como entrada la variable de deslizamiento la cual le dice a este(el relevador) si debe aplicar o no energía a la planta; dependiendo del valor de dichavariable, esta a su vez depende de la diferencia entre el valor deseado y el valor actual osalida. En tanto que el relevador de la parte inferior recibe el valor de la derivada de dichavariable, lo cual esencialmente es un indicador de cuan rápido y en qué dirección se

1C

1C

2C

2C

e

s

e

2u

1u

)(

.

só

y

u

G

Cx

BAxx

y+ +

+-

Valor dereferencia

encuentra cambiando dicha variable de modo que se pueda establecer la pendiente dedicho cambio y en cierta forma se pueda predecir su comportamiento. En [28] seestablece que la función descriptiva de las no linealidades relacionadas es:

1

11

4

a

cN

(5.67)

para el primer relevador, donde 1a es la amplitud de la salida y:

2

22

4

a

cN

(5.68)

para el segundo relevador, siendo 2a la amplitud dedt

dyy 12 aa , donde es la

frecuencia de la oscilación antes mencionada, con lo anterior resulta׃

21

12

2

1

121

444jcc

aa

cj

a

csNNN

(5.69)

el término js corresponde a la frecuencia de oscilación del sistema y en términos de

del dominio de Laplace es la frecuencia compleja. La técnica para encontrar losparámetros es resolviendo la ecuación de balance armónico dada por:

1)()( aNjG (5.70)

Donde a es la amplitud de la oscilación y )( jG es la característica de la respuesta en

frecuencia de la planta. Al resolver para la función de transferencia la ecuación anterior

se tiene:)(

1)(

1aNsG (5.71)

Al considerar (5.69) su recíproco es 21

1

4

1

jcc

a

N

, y solo por álgebra se tiene׃

.4

1

44

1

2

2

2

1

211

2

2

2

1

211

21

21

21

1

cc

jcca

N

cc

jcca

jcc

jcc

jcc

a

N

La expresión (5.70) es equivalente a la respuesta en frecuencia característica del sistemaen lazo abierto, donde el eje real se cruza en el punto )0,1( j la solución gráfica de la

ecuación de balance armónico es mostrada en la Figura 5-11. Donde la funciónN

1

corresponde a una línea recta cuya inclinación depende de la relación 12 / cc . Esta línea se

localiza en el segundo cuadrante del plano complejo. La solución gráfica consiste enencontrar el punto de intersección de esta línea con la curva de la gráfica de Nyquist; esta última según [2] se obtiene al tomar la función de transferencia del sistema y hacer variarla frecuencia de operación de este, de cero a infinito al tiempo que se registra en unagráfica polar el valor de la amplitud y ángulo de fase; una herramienta que se puedeemplear para la obtención de dicha gráfica de Nyquist es Matlab, al emplear lainstrucción nyquist(num,den), donde num son los coeficientes del numerador de lafunción de transferencia y den son los coeficientes del denominador de la función detransferencia. El punto de intersección así encontrado proporciona tanto la amplitud como

la frecuencia de la oscilación. De modo que si la función de transferencia de la planta y elactuador en conjunto tiene un orden superior a dos al aplicar el algoritmo twisting sepresentará una oscilación periódica del sistema.

Figura 5-11 Solución gráfica de la ecuación de balance armónico con el algoritmo ˝twisting˝.

Sabiendo que ›0›cc 21 y observando la figura 5-11 la pendiente de dicha recta se debería

encontrar entre cero e infinito para el segundo cuadrante; para una pendiente cero, la

única forma de que se cumpla que ›0›cc 21 y que 0m , es que1

2

c

cm cuando 02 c .

Por otra parte se observa que jamás se tendrá una pendiente tendiente a infinito pues esto

implicaría violar la condición ›0›cc 21 . La máxima pendiente que se alcanzaría tendería a

los 045 cuando 2c se aproximara al valor de 1c pero sin alcanzarlo. Esto constituye las

condiciones de diseño, en donde 1c es un valor que se escoge de modo que la planta se

ponga en saturación desde luego dentro de un margen de operación normal; recomendadopor el fabricante de la planta en particular; en tanto que 2c deberá tener un valor positivo

mayor que cero pero menor que 1c . Este valor se puede encontrar experimentalmente

dando valores en ese rango hasta en tanto la planta alcance la condición de oscilaciónantes mencionada.En [29] se establece que el sistema controlado con este algoritmo, no alcanza jamás laestabilidad absoluta; mas sin embargo al entrar en la condición de modo deslizante, selogra la convergencia del sistema desde cualquier condición inicial de operación, alalcanzar el punto de operación establecido de forma asintótica yaciendo en la vecindadde este.

1a)(

1

1aN

1,a

0

)( jG

)/( 12 ccarctg

Im

Re

5.17.2 Algoritmo ˝super-twisting˝

Este algoritmo es también un algoritmo de segundo orden de modos deslizantes, seemplea para la dinámica principal de grado uno. Su estructura se muestra en la Figura 5-12.

Figura 5-12 Esquema del algoritmo de modos deslizantes de segundo orden ˝super-twisting˝.

De acuerdo a [28] y [30] la señal de control se da por׃

)()()( 21 tututu (5.72)

Donde: )(11

.dssignu .

)(sd22 dssignu

, en tanto que 1 , 2 y son parámetros de diseño.

La primera componente de la función descriptiva según [28] se da por׃

jaN

y

14 11 (5.73)

En tanto que la segunda parte de la función descriptiva cuando toma valores

arbitrarios puede aproximarse por׃

5.1

2

1222 1

2

1

0

12

2

yy a

dsena

N (5.74)

Donde 10 , ya es la amplitud de la oscilación de salida, es la función gama. Si

5.0 entonces׃

yaN 2

2

1128.1 .

+

-

+

+1u

2u

)(sG

u

a sqrt

1

2

Valor dereferencia s

1

Por lo cual el total de la función descriptiva es׃

yy ajaNNN 21

21

1128.114

(5.75)

Esto muestra que el algoritmo de modos deslizantes ˝super-twisting˝ depende de la amplitud y de la frecuencia.En [28] se establece la siguiente proposición׃ ˝Si el grado relativo de la planta es mayor o igual a dos y la planta no tiene polos o ceros repetidos, entonces siempre existe al menos una solución periódica del sistema con elalgoritmo super-twisting˝. En [29] y [31] se presenta este algoritmo como una herramienta útil para los sistemas decontrol; pues garantiza la estabilidad y convergencia de la salida del sistema; al valordeseado pese a perturbaciones y variación de los parámetros de este. Ahí se sugiere que elajuste de los parámetros de control debe hacerse con la ayuda de la simulación delsistema para facilitar su sintonía. En [32] se definen las condiciones para convergencia entiempo finito como:

m

1 ,

1

1

2

22

4

m

M

m

y 5.00 (5.76)

Simulación e implementación delos controles y resultados.

Con lo anterior se vio el modelado de un sistema, en este caso específico un generadorsíncrono, se estudiaron las diferentes técnicas de control desde la clásica con PID, hastaalgunas técnicas de control de estructura variable con modos deslizantes.El modelo obtenido del generador se empleará para predecir su comportamiento antediferentes condiciones de operación y con los diferentes esquemas de control; simulandosu funcionamiento con la ayuda de Matlab-Simulink. En toda simulación mostrada seintroduce un escalón con un retardo de 0.1segundos de manera intencional.Cabe señalar que el modelo obtenido del generador representa solo una parte de unsistema de conversión de energía impulsado en este caso por un motor eléctrico en laaplicación; y se asume que el comportamiento de dicho impulsor, mecanismo asociado ycarga se comportan de manara ideal, solo para fines de simulación; pues en realidad unmodelo completo debería incluir a todos los elementos del sistema pero la complejidad dedicho modelo dificultaría su análisis. En la práctica se observó que el motor impulsor, latensión de la banda que acopla al motor impulsor con el generador, el calentamiento de lacarga, entre otros efectos tuvieron influencia en los resultados medidos. Un claro ejemplode ello es que el motor impulsor requiere de un tiempo para alcanzar una determinadavelocidad de operación ante una perturbación que altere su dinámica, como por ejemploal arrancarlo o hacer cambios en la carga; en contraste en la simulación dicho efecto delimpulsor se considera ideal, es decir que el impulsor hace cambios de velocidad demanera instantánea.El generador síncrono seleccionado es un “Alternador” convencional de automóvil demarca Chevrolet el cual ya incluye el rectificador trifásico y el capacitor de filtrado. Adicho alternador se le remueve el sistema de control que trae ínter-construido con el finde implementar las diversas estrategias de control y analizar de forma comparativa losresultados de la implementación de estas.

6.1 Parámetros del sistema requeridos por Matlab-Simulink

Con lo visto en el apartado relativo a maquinas de corriente alterna, en lo referente a suconstrucción y modelado, así como lo visto en el apartado de sistemas de conversión deenergía se obtiene el modelo del generador incluyendo el sistema de rectificacióntrifásico y filtrado; cada uno de los parámetros del modelo se utiliza para proveer al

simulador de los valores necesarios que ayudarán a determinar el comportamiento delconjunto generador-rectificador-filtro.Los parámetros requeridos por Matlab-Simulink Versión 7.1.0.246 para simular elgenerador síncrono son mostrados en la tabla 6-1.

Parámetro ValorRotor Type Polo salienteNom. power 400VA

)( RMSn VV 6.4126V

Nominal frequency 332.5HzNominal field current 8.0Amp

)(sR 0.091Ω

)(HLl H51011.3

)(HLd H51055.4

)(HLq H51013

)(fdR 4.0Ω

fdL H61055.4

)(kdR 0.0224Ω

kdL H3104.1

)(kqR 0.02Ω

kdL H3101

).( 2mkgJ 2.9.24 mkg

)..( segmNF segmN ..0

phb 0120phc 0240

fV V95.5

Tabla 6-1 Parámetros del generador síncronorequeridos para Matlab-Simulink.

La figura 6-1 muestra la característica de voltaje generado contra corriente de campo encondición de vacío (ver sección 2.5.1), impulsando al generador a la velocidad nominal.

2 4 6 8 10 12 14 16 180.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2C

orr

ien

ted

ec

am

po

(A)

Voltaje generado (Vdc)

Voltaje generado Vs. Corriente de campo sin carga a 3300rpm

Figura 6-1 Resultados de la prueba a rotor en movimiento del generador síncrono que muestran larelación de Voltaje generado Vs. Corriente de campo a 3300rpm sin carga.

6.2 Simulación del control PID con Matlab-Simulink

Con los parámetros anteriores introducidos al modelo del generador síncrono deSimulink; se arma el diagrama de simulación mostrado en la Figura 6-2.

Figura 6-2 Esquema de simulación del control PID en Simulink.

Empleando el método de sintonía de ganancia crítica se hace el ajuste del controladorPID de acuerdo a [33]; en este proceso se observa que la ganancia crítica se alcanza a0.395 (sin unidades); esto se hace estableciendo la ganancia derivativa y la integralinicialmente a cero, y dando valores diferentes a la ganancia proporcional. El periodo

crítico correspondiente observado fue .10333.3 3 segcrítico Considerando la tabla 4-2

los parámetros de control para el controlador PID son:

237.0395.06.06.0 críticap KK33 10666.110333.36.05.0 críticaiT

43 10166.410333.3125.0125.0 críticaDT .

El voltaje de salida del sistema retroalimentado y controlado con la estrategia PID semuestra en la figura 6-3.

Figura 6-3 Simulación del esquema de control PID.

Aquí puede apreciarse como a partir de 0.1 seg. comienza la acción de control pues es elmomento en que la señal de referencia se hace presente.

6.3 Implementación del control PID

Se debe tener en cuenta que siempre existen diferencias entre una simulación y unesquema real, esto se debe a las dinámicas no modeladas; una de ellas y muy importanteconsiste en que en el esquema real si se toma en cuenta la acción del motor impulsor ymecanismo de acoplamiento; a diferencia del esquema simulado. En realidad alcaracterizar un sistema real se incluyen en el modelo más parámetros; aunqueafortunadamente esto no necesariamente implica ponerlos en las ecuaciones; es decir alsistema se le puede visualizar como una “caja negra” dentro de la cual pueden existir unagran cantidad de componentes y diversos parámetros, cada uno de los cuales contribuyena definir de forma global el comportamiento del sistema; así pues la forma de responderde un sistema ante una señal de entrada conocida puede decir mucho de sucomportamiento. Como se vio anteriormente una señal muy empleada para caracterizarun sistema es la señal escalón; que al aplicarla a un sistema dado, este responderá de unaforma específica. Luego la forma de la respuesta se podrá aproximar mediante algúnpatrón conocido como una ecuación de primer orden, una ecuación de primer orden conretardo, una ecuación de segundo orden. Inclusive si el sistema es de orden superior y loque importa es su comportamiento en régimen permanente, podrá emplearse laaproximación de este modelo complejo por uno más sencillo.La figura 6-4 muestra el esquema del sistema de conversión de energía, así como detodos sus elementos; obsérvese que el modelo simulado esencialmente contiene sólo la

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

Tiempo (seg)

Simulación del esquema de control PID

Voltaje (V)

parte correspondiente el generador síncrono, rectificador, filtro y carga; omitiéndose elmotor primario y la interfase de control.

Figura 6-4 Diagrama esquemático del sistema de conversión de energía y sus elementos decontrol.

Para caracterizar el sistema primeramente se le pone a funcionar en lazo abierto (teniendoprecaución de no exceder el voltaje de salida, por espacio de 4 a cinco minutos a plenacarga y a su velocidad nominal, de modo que alcance la temperatura de operación; luegose aplica una señal escalón a la bobina de campo del generador cuidando que la magnitudde esta no produzca un sobre-voltaje que pudiera dañar a la carga o al mismo generador,al tiempo que se registra la respuesta transitoria del voltaje de salida con ayuda delosciloscopio.

Al aplicarse un escalón de entrada al sistema, pese a la complejidad de todos loselementos que forman parte de este, su respuesta se puede aproximar por un sistema deprimer orden con tiempo muerto. La ganancia del sistema según la ecuación (4.17) seobtiene cuando se observa la variación del voltaje de salida de 0 a 14V, ante un cambioen la corriente de campo de 0 a 1.27A. Por lo tanto la ganancia del sistema es

0236.11027.1

014

f

og

I

VK .

Se sabe por lo antes visto que VVy 848.814632.0632.0)1( 0 .

Experimentalmente en este caso, dicho voltaje se alcanza cuando transcurren

.104.444 2 segmseg

Como se dijo anteriormente el tiempo muerto es el intervalo que transcurre entre laaplicación de una señal al sistema y el comienzo de la reacción de este ante dicha señal,así al aplicar el escalón al embobinado de campo se tiene una reacción en el voltaje de

salida que en el caso de este sistema es msegt 5.00 .

Motorprimario

Fuente deenergía

Interfasede control

Sensor de giro

Carga discretaresistiva 400Wmax.

Generador síncrono

Unidad de control(computadora personal)con tarjeta deadquisición de datosQuanser

Pese a la sencillez de la prueba anterior la información obtenida de esta es de granimportancia pues permite conocer el comportamiento dinámico de un sistema no importala complejidad de este, pues aquí se tiene la respuesta conjunta del generador síncrono, elmotor primario, el puente rectificador trifásico, el filtro, la interfase de control e inclusiveaspectos mecánicos como la tensión de la banda. Además de obtener los parámetros antesmencionados para la sintonía del controlador, es posible también obtener con esta mismaprueba la función de transferencia. Resulta inimaginable modelar matemáticamente todosesos parámetros, en su lugar este proceso se puede acortar enormemente al aproximar elmodelo de todo el sistema con un modelo de primer orden con tiempo muerto ya que laforma de la respuesta tiene mucha semejanza a este.La función de transferencia aproximada de primer orden con tiempo muerto dada por laecuación (4.25) es:

sstge

se

s

KsG

40 105

2 1104.4

0236.11

1)(

.

En [2] se establece que el término se4105 se puede aproximar según la ecuación (4.26)

como s41051 si el tiempo muerto es pequeño como en este caso; por ello

1104.4

1051.5

1104.4

0236.111051

1104.4

0236.11

1104.4

0236.11)(

2

3

2

4

2

105

2

4

s

s

ss

se

ssG s .

La función de transferencia anterior que consta de dos partes, al observar cada una porseparado se aprecia que no existen cancelaciones en estas de acuerdo a como se estableceen [2], por ello se concluye que el sistema equivalente obtenido es de estadocompletamente controlable.En la misma referencia se establece también que la condición necesaria y suficiente paraobservabilidad completa del estado es también que no se tengan cancelaciones en lafunción de transferencia, por lo anterior se concluye que el sistema es también de estadocompletamente observable.Empleando las formulas de sintonía de controladores de Ziegler-Nichols de la tabla 4-1se tiene el siguiente conjunto de valores para sintonizar el controlador PID:

579.9104.4

105.0

0236.11

2.12.11

2

31

0

t

KKc ,

segtTi33

0 101)105.0(20.2 ,

segtTD43

0 105.2)105.0(5.05.0 .

Obsérvese que los valores de los parámetros de sintonía del controlador PID para el casosimulado y el caso real son diferentes, la razón de esto es que en la simulación seconsidera un comportamiento ideal solo del generador síncrono, rectificador trifásico yfiltro; pasando por alto el efecto que imprime al sistema la acción del motor primario yaspectos mecánicos, de ahí la importancia de incluir en el modelado de un sistema losefectos más significativos que determinan su operación.Con los valores anteriores es posible armar un esquema de control PID. De acuerdo alesquema mostrado en la figura 6-4 el controlador del sistema se encuentra en lacomputadora personal, el programa sobre el que operará el control es Matlab-Simulink yel programa que establece la comunicación entre la computadora y la tarjeta deadquisición de datos es llamado “WinCon Server”. Dicha tarjeta de adquisición de datos

se debe instalar previamente en el puerto PCI dentro de la computadora. La instalacióndel programa y la tarjeta se deban hacer siguiendo el procedimiento establecido en elmanual correspondiente y no es el objetivo de este trabajo.La figura 6-5 muestra el esquema de control PID en el ambiente de Matlab-Simulink:Obsérvese que la adquisición de datos de la planta se hace por medio de la entradaanalógica #0 y la señal de control se tiene en la salida analógica #0. Los valores de losparámetros de control se introducen en el bloque PID. En el esquema mostrado se apreciatambién el esquema del tacómetro con el que se registra la velocidad a que gira el rotordel generador en RPM. La entrada analógica #1 se emplea para registrar los pulsosprovenientes del sensor que detecta el paso de una marca colocada en la polea delgenerador; el resto de los bloques del tacómetro se emplean para acondicionar la señalregistrada por el sensor para representar un valor numérico de las revoluciones porminuto alcanzadas.El desempeño del sistema se evalúa mediante dos pruebas; la primera (#1) consiste enincrementar gradualmente la velocidad de rotación del eje del generador mientras que seregistra el voltaje generado, ante diferentes condiciones de carga. La segunda consiste enponer a funcionar al generador a su velocidad nominal de operación e introducirperturbaciones al sistema cambiando la demanda de la carga, al tiempo que se registra elvoltaje de salida.

Figura 6-5 Esquema de control PID.

La figura 6-6 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 sin carga y con carga de100W.

Fig 6-6 Prueba #1 PID sin carga. Prueba #1 PID Carga de 100W.

La figura 6-7 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 200W y concarga de 300W.

Fig 6-7 Prueba #1 Carga de 200W. Prueba #1 Carga de 300W.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo(seg)

Control PID Prueba #1 sin carga

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo(seg)

Control PID Prueba #1 carga 100W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control PID Prueba #1 carga 200W

V. generado

Control

Error Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Voltaje (V) Voltaje (V)

Voltaje (V)Voltaje

Control PID Prueba #1 carga 300W

La figura 6-8 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 400W.

Figura 6-8 Prueba #1 carga de 400W.

En la realización de la prueba #1 se observa que el control comienza a ejercer su acciónalrededor de las 3000rpm y a partir de entonces el nivel de voltaje generado se mantieneconstante, al tiempo que la señal de error se reduce. Se observa también comoinicialmente la acción de control se mantiene en su nivel mas alto tratando de disminuirel error, sin que esto sea posible por la insuficiencia de la energía mecánica aplicada paraimpulsar al generador; luego cuando se alcanza la velocidad nominal y el voltajegenerado alcanza el valor de referencia, la señal de control disminuye haciendo que solose extraiga la energía necesaria del sistema para mantener el nivel de voltaje generadodeseado.La figura 6-9 muestra el comportamiento de los parámetros del sistema cuando seincrementa la carga que se aplica al generador a partir de cero, en pasos de 100W hasta

400W y súbitamente se le retira el total de la carga, mientras que el generador esimpulsado a la velocidad nominal.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Voltaje (V)

Control PID Prueba #1 carga 400W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Figura 6-9 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con control PID.

En la realización de la prueba #2 se observa que mientras el generador opera por arriba dela velocidad nominal, inicialmente sin carga, el nivel de voltaje generado es igual al dereferencia, al operar sin carga, luego, al aplicar una carga de 100W el sistema sufre unaperturbación que provoca una caída del voltaje generado, incremento de la señal de error,un incremento de la señal de control que busca compensar esa caída al incrementar lacorriente de campo del generador, este hecho incrementa el torque reduciendoligeramente la velocidad, pero vuelve a alcanzarse el nivel de voltaje deseado; el mismoefecto se observa al incrementar la carga a 200W, a 300W y a 400W. Finalmente seobserva también que cuando súbitamente se quita por completo la carga del sistema, sepresenta una perturbación menor que las anteriores en el voltaje generado y el incrementode la velocidad de giro del rotor al disminuir el torque. Se puede ver entonces como laacción de control PID logra mantener el nivel de voltaje generado igual al nivel dereferencia, pese a que se presentan algunas perturbaciones.

6.4 Simulación del control tipo relevador con Matlab-Simulink

Para implementar el esquema básico de control tipo relevador se requiere conocer elvalor del voltaje de referencia y el valor de voltaje que produce la saturación de lainterfase entre el controlador y la planta (actuador). Ambos se obtienen fácilmente pues elprimero es siempre conocido, el segundo varia dependiendo de la topología del circuitoempleado. De la prueba a rotor en movimiento mostrada en la figura 6-1 se aprecia queoperando el generador a su velocidad nominal una corriente no mayor a 2 Amperes en el

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control PID Prueba #2

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

100W 200W 300W 400W0W

Voltaje (V)

embobinado de campo sería más que suficiente. Por ello se debe encontrar el voltajenecesario que aplicado al actuador produzca una corriente de aproximadamente2Amperes en el campo del generador. Dado que el actuador empleado para manipular laenergía aplicada a la bobina de campo es un MOSFET en este caso solo es cuestión deconocer un nivel de voltaje de operación seguro para la compuerta de este. Esto seobtiene de las especificaciones del dispositivo. De hecho el actuador se hace operar enuna condición de corte o saturación; así pues la condición de corte se logra regularmenteal aplicar un potencial nulo a la compuerta y uno positivo si el MOSFET del actuador(2SK2333) es de enriquecimiento como en este caso. Como actuador se elige en estecaso un MOSFET pues tiene una alta ganancia, alta velocidad de conmutación, una altaimpedancia de entrada y para el caso específico seleccionado posee una gran capacidadde conducción de corriente entre drenaje y fuente, además según se aprecia en la figura 6-10 tomada de [34] un voltaje seguro a ser aplicado en la compuerta de este es de 5V conlo que se mantendrá en la región de operación lineal.

Figura 6-10 Características de transferencia del actuador MOSFET 2SK2333 [34].

El esquema de control tipo relevador se muestra en la figura 6-11.

Figura 6-11 Esquema de simulación del control tipo relevador en Simulink.

El bloque correspondiente al saturador es donde se introduce como límite superior elvoltaje 5V que se aplicarán a la compuerta para llevar al MOSFET a la condición desaturación y 0V como límite inferior para ponerlo en condición de corte.Obsérvese como este esquema de control esencialmente es un control todo-nada similar alo que se lograría con un relevador, a excepción de que con el relevador se tendríanlimitantes mecánicas para hacer las conmutaciones en alta velocidad.

La simulación del control tipo relevador se muestra en la figura 6-12.

Figura 6-12 Simulación del esquema de control tipo relevador.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

Tiempo (seg.)

Simulación del esquema de control tipo relevador

Voltaje (V)

6.5 Implementación del control tipo relevador

La implementación del control tipo relevador se muestra en la figura 6-13.

Figura 6-13 Esquema de control tipo relevador.

Las mismas pruebas a que se sometió el control PID se repiten ahora con el control tiporelevador.

La figura 6-14 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 sin carga y con carga de100W.

Figura 6-14 Prueba #1 sin carga control tiporelevador.

Prueba #1 carga 100W control tipo relevador.

La figura 6-15 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 200W ycon carga de 300W.

Fig. 6-15 Prueba #1 control tipo relevadorcarga de 200W.

Prueba #1 control tipo relevador carga de300W.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Control tipo relevadorPrueba #1 carga de 300W

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control tipo relevadorPrueba #1 sin carga

V. generado

Control

Error

Velocidadx1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14Prueba #1 carga 100W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Tiempo (seg.)

Control tipo relevador

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control tipo relevadorPrueba #1 carga de 200W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Voltaje(V)

Voltaje (V)Voltaje (V)

Voltaje(V)

La figura 6-16 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 400W.

Fig. 6-16 Prueba #1 control tipo relevador carga de 400W.

La prueba #2 del control tipo relevador se muestra en la figura 6-17.

Figura 6-17 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con control tipo relevador.

Además del control tipo relevador como parte de los sistemas de control de estructura

variable, existen varios esquemas, entre otros son:

0 20 40 60 80 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba #1 carga de 400W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control tipo relevadorPrueba #2

V. generado

Control

Error

Velocidad x 1000rpm

100W 200W 300W 400W0W

Control tipo relevador

Voltaje (V)

Voltaje (V)

Control tipo relevador filtrado. Control con modos deslizantes twisting. Control con modos deslizantes super twisting.

6.6 Simulación del control tipo relevador filtrado con Matlab-Simulink

En [35] se propone el uso de un filtro de primer orden colocado a la salida de un controltipo relevador con el fin de reducir el efecto del castañeteo. El filtro es de tipo pasa bajasde modo que las frecuencias altas son rechazadas. El esquema de filtrado se muestra en lafigura 6-18.

Figura 6-18 Esquema de control tipo relevador filtrado.

En el filtro pasabajas τ representa la constante de tiempo de la señal que se desea rechazar, así pues antes de implementar el filtro se debe determinar el valor de lafrecuencia correspondiente al castañeteo que se desea rechazar, sin embargo esta debe sersuficientemente alta de modo que no afecte la respuesta dinámica del control, aspecto quesería nocivo en su desempeño al hacer que su respuesta sea más lenta.La figura 6-19 muestra el esquema de control tipo relevador con filtro para reducir elefecto de castañeteo.De la figura 6-12 se aprecia que existe una señal superpuesta al voltaje generado endonde se tienen 7 ciclos en 0.1seg. lo cual corresponde a una frecuencia de 70Hz.

Entonces .01428.070

1seg , si se elige una constante de tiempo exageradamente

grande como se dijo anteriormente la respuesta del sistema se hará lenta, entonces elegirla constante de tiempo adecuada es mediar entre rapidez del sistema y pureza de la salida.Así (después de probar varios valores alrededor de la constante de tiempo calculada hastaobtener la respuesta más cercana a la deseada) se observa que eligiendo una constante de

tiempo 7 veces mayor a la calculada segdeseadarespuesta 1.001428.077_ ; con

esto se obtiene la respuesta mostrada en la figura 6-20.

W

-W

s

1

1

1

s+

Filtropasa-bajas

Señal dereferencia

Figura 6-19 Esquema de control tipo relevador filtrado implementado en Matlab-Simulink.

Figura 6-20 Simulación del control tipo relevador con filtro pasa-bajas para reducción del efectode Castañeteo.

6.7 Implementación del control tipo relevador filtrado

La implementación del control tipo relevador filtrado debe comenzar por identificar lafrecuencia del Castañeteo que se desea eliminar del sistema físico y aplicar elprocedimiento descrito en la simulación de este esquema para encontrar el punto óptimoentre velocidad de respuesta del sistema y pureza del voltaje generado. En la práctica seobserva que el valor de la constante de tiempo que mejor se ajusta a ambas situaciones es

segdeseadarespuesta 01.0_ .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Simulación del esquema de control tiporelevador filtrado

Voltaje (V)

Con lo anterior se construye el esquema de control mostrado en la figura 6-21.

Figura 6-21 Esquema de control tipo relevador filtrado.

Las mismas pruebas a que se sometieron el los esquemas de control anteriores se repitenahora con el control tipo relevador filtrado.

La figura 6-22 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 sin carga y con carga de100W.

Figura 6-22 Prueba #1 sin carga control tiporelevador filtrado.

Prueba #1 carga 100W control tipo relevadorfiltrado.

La figura 6-23 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 200W ycon carga de 300W.

Fig 6-23 Prueba #1carga 200W control tiporelevador filtrado.

Prueba #1carga 300W control tipo relevadorfiltrado.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba #1 sin carga

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba #1 carga 100W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba #1 200W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba #1 300W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Control tipo relevador filtrado

Voltaje (V)

Voltaje (V)

Control tipo relevador filtrado

Control tipo relevador filtrado

Voltaje (V)

Control tipo relevador filtrado

Voltaje (V)

La figura 6-24 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 400W.

Figura 6-24 Prueba #1 carga 400W control tipo relevador filtrado.

La prueba #2 del control tipo relevador filtrado se muestra en la figura 6-25.

Figura 6-25 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con control tipo relevadorfiltrado.

Obsérvese que la señal de control ahora presenta una forma suave pues las altasfrecuencias han sido rechazadas por la acción del filtro ; con esto se reduce el efecto de ˝Castañeteo˝.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control tipo relevador filtradoPrueba #2

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

100W 200W 300W 400W 0W

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Control tipo relevador filtrado

Prueba #1, 400W

V. generado

Control

Error

Velocidadx1000rpm

Voltaje (V)

Voltaje

6.8 Simulación del Control con modos deslizantes twisting con Matlab-Simulink

Se sabe que se deben obtener los parámetros de control para el algoritmo ˝twisting˝

denominados 1c y 2c donde ›0›c21c . Por otra parte en [36] se indica que el valor de estos

se puede elegir de modo que el sistema alcance la estabilidad en tiempo finito, entoncespor simple analogía con el esquema control tipo relevador y considerando el caso

extremo en el que 02 c . Lo que se tendría sería un controlador tipo relevador.

Entonces 1c se puede elegir con un valor igual al del caso del control tipo relevador con el

que lleva al generador a una condición de saturación de modo que no produzca un sobre-voltaje; y que como se vio también se alcanza la estabilidad del sistema en un tiempo finito. Con esto Vc 51 como valor máximo para la corriente de campo (de modo que no

se produzca ese sobre-voltaje) y Vc 01 como valor mínimo para que el voltaje

generado sea 0V mientras que el generador es impulsado a la velocidad nominal. En [28]se dice que el controlador ˝twisting˝ debe producir una salida oscilatoria de segundo orden, entonces al tener solo a una variable por determinar y sabiendo que su valordeberá ser menor que el de 1c , pero mayor que cero, entonces simplemente se pueden

buscar valores de 2c que produzcan esa oscilación en el rango entre VccV 50 12 .

Así pues al armar el esquema de control ˝twisting˝ mostrado en la figura 6-26 y probando experimentalmente valores en ese rango para encontrar dicha condición de oscilación se

observa que para valores de VcV 9.00 2 se presenta la respuesta del sistema como una

señal de segundo orden sobre-amortiguada según [2].En la figura 6-27 se muestra la respuesta del sistema para Vc 02 y Vc 9.02 .

Figura 6-26 Esquema de control de modos deslizantes ˝twisting˝.

Figura 6-27 Respuesta del sistema de control con modos deslizantes ˝twisting˝ para valores

diferentes de 2c .

Al observar la figura 6-27 se puede apreciar la oscilación antes mencionada, sufrecuencia es de 70Hz aproximadamente y corresponde al ˝Castañeteo˝ u

segradHz /8.43970 aprox.

Como se vio anteriormente, [28] dice que el punto en el que se intersecta la curva de larespuesta característica a la frecuencia del sistema con la línea recta que parte del origencuya pendiente es la relación 12 / cc , es la solución gráfica de la ecuación de balance

armónico. Entonces tomando la respuesta transitoria de segundo orden del sistemacontrolado por el algoritmo ˝twisting˝ ante una entrada escalón y obteniendo las especificaciones de la respuesta para el caso sobre-amortiguado según [2], y a partir de lafigura 6-27 se tiene:Tiempo pico segt p 0129.0 .

Frecuencia natural amortiguada a partir de la ecuación (4.11) es:

segRadt p

d /3514.2420129.0

.

Para el criterio del 5% el tiempo de asentamiento de la figura anterior es

segts 2.0%)5( .

La atenuación a partir de la ecuación (4.13) es: 152.0

33

st .

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Control con modos deslizantes twisting

c2=0.9V

Voltaje (V)

El coeficiente de amortiguamiento se puede obtener de la relación dada en esa misma

referencia como׃ 15

3514.2421 2

d al despejar 0617.00408.262

1 .

La frecuencia natural no amortiguada segradn /8151.2420617.0

15

.

Con estos parámetros y sabiendo de acuerdo a [2] que la forma general de la función detransferencia de un sistema de segundo orden es descrita por la ecuación (4.9), se puedeobtener la función de transferencia correspondiente al sistema controlado por el algoritmo˝twisting˝ sustituyendo los valores de los parámetros obtenidos resultando

22

2

)8151.242()8151.242)(0617.0(2

)8151.242()(

sssG . Con la ayuda de Matlab se construye

la grafica de Nyquist para esta función de transferencia utilizando el comandonyquist(num,den); esto produce la grafica de la figura 6-28.

Figura 6-28 Grafica de Nyquist de la función de transferencia del sistema (segundo cuadrante).

Tomando en cuenta la frecuencia del ˝Castañeteo˝ segradHz /8.43970 , se

localiza en la grafica de la figura 6-28 en el segundo cuadrante (aproximadamente), conesto se tiene al valor Real =-0.456 e Imag=0.0462. De acuerdo a [28] se sabe que

-0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Sistema: sysReal: -0.456Imag: 0.0462Frequencia (rad/seg): -436

Diagrama de Nyquist

Eje real

Eje imaginarioα

12 / ccarcTg . Pero ese mismo ángulo es el que se forma por una línea recta que

parte del origen y pasa por el punto (-0.456, 0.0462), así pues

1013.0456.0

0462.0

Re

Im)( Tan .

1

2arctan7852.5)101315.0arctan(c

co , de donde

VTanTancc 506.0)7852.5(5)( 012 .

Con este valor de 2c se reajusta el controlador y se tiene la respuesta del sistema

controlado con el algoritmo ˝twisting˝ de la figura 6-29. Obsérvese que el valor encontrado se encuentra dentro del rango antes previsto, y casi a la mitad de este.

Figura 6-29 Simulación del control modos deslizantes ˝twisting˝ para el valor calculado de 2c .

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Control con modos deslizantes twisting

Voltajede

salida

6.9 Implementación del control con modos deslizantes ˝twisting˝

Usando el procedimiento descrito en la simulación de este control, con el generador y elactuador reales (donde las dinámicas no modeladas del actuador, interfase entre elactuador y el generador, así como entre el generador y el controlador; son lasresponsables del ˝Castañeteo˝). Es evidente que el ˝Castañeteo˝ presente en el procesoreal es diferente al observado en la simulación pues las dinámicas no modeladas en elproceso real han sido omitidas en la simulación, sin embargo el procedimiento de ajustedel controlador ˝twisting˝ es el mismo. Con lo anterior se construye el esquema de control mostrado en la figura 6-30.

Figura 6-30 Esquema de control con modos deslizantes ˝twisting˝.

Las mismas pruebas a que se sometieron los esquemas de control anteriores se repitenahora con el control de modos deslizantes ˝twisting˝.

La figura 6-31 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 sin carga y con carga de100W.

Figura 6-31 Prueba #1 sin carga MD ˝twisting˝. Prueba #1 carga 100W MD ˝twisting˝.

La figura 6-32 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 200W ycon carga de 300W.

Figura 6-32 Prueba #1 carga 200W MD˝twisting˝.

Prueba #1 carga 300W MD ˝twisting˝.

0 10 20 30 40 50 60 70-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba #1 sin carga

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Prueba#1 carga 100W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Voltaje (V)

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Voltaje (V)

Prueba #1 carga 200W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm0 10 20 30 40 50 60 70 80

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Control con modos deslizantes “twisting”

Voltaje

Control con modos deslizantes "twisting"

Control con modos deslizantes "twisting" Control con modos deslizantes "twisting"Prueba #1 carga 300W

Voltaje(V)

La figura 6-33 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 400W.

Figura 6-33 Prueba #1 carga 400W MD ˝twisting˝.

La prueba #2 del control con modos deslizantes ˝twisting˝ se muestra en la figura 6-34.

Figura 6-34 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con control de modosdeslizantes ˝twisting˝.

Obsérvese que esta estrategia de control de segundo orden presenta mayor rechazo a lasperturbaciones que las vistas hasta ahora, además se aprecia que el ˝Castañeteo˝ ha desaparecido.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Voltaje (V)

Prueba #1 carga 400W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg.)

Voltaje (V)

Prueba #2

V. generado

Control

Error

Velocidad x 1000rpm

100W

200W300W 400W 0W

Control con modos deslizantes "twisting"

Control con modos deslizantes "twisting"

6.10 Simulación del Control con modos deslizantes super-twisting

Tomando como base lo propuesto en [28] y lo mostrado en la figura 5-12 se construye elesquema de control mostrado en la figura 6-35.

Figura 6-35 Esquema de control de modos deslizantes ˝super-twisting˝.

Al observar el esquema anterior se puede apreciar que se constituye de dos ramas otrayectorias que convergen en el sumador, con esto se aprovecha la propiedad delinealidad de la estructura de control para sumar el efecto de cada una de estas dos ramas.La rama formada por la función Signum, el bloque de ganancia y el integrador tienencomo objetivo identificar (en el bloque Signum) si la diferencia existente entre la señal dereferencia y el valor actual es positiva o negativa, en términos físicos esto es determinarsi se debe agregar o retirar energía de la planta, luego con el bloque de ganancia a esa

diferencia encontrada se le multiplica por un valor predeterminado 1 para ponderar dicha

diferencia. Esto esencialmente fija la mínima resolución del ajuste que se hará a la señalde control. Luego el bloque integrador es solo un dispositivo acumulador que hace lasuma algebraica del valor de diferencia actual con el valor anterior de esta forma en cadaiteración del algoritmo se ajusta el valor de la señal de control que entrega esta rama alsumador. La amplitud de los ajustes hechos por esta rama se deberá seleccionar de modoque la variación de voltaje de ajuste sea mínima y que los ajustes tiendan a ser muysuaves con relación a la amplitud entre cada iteración del programa de control, con estose garantiza que el nocivo efecto de ˝Castañeteo˝ se eliminará completamente. Se debe ser cuidadoso al mismo tiempo de no elegir valores de 1 que ocasionen que se deban

efectuar muchos ciclos de programa, que eventualmente hagan al sistema incapaz deresponder con una velocidad adecuada para compensar los errores dinámicos que sepresenten. Esto es se debe encontrar un punto de equilibrio en el cual el ˝Castañeteo˝ se elimine, pero se conserve la velocidad de respuesta ante cambios causados por variaciónde los parámetros del sistema.Por otra parte la rama inferior compuesta por el bloque ˝Abs˝, raíz cuadrada, el bloque de ganancia y la operación de multiplicación, tienen como objetivo obtener la raíz cuadradadel valor absoluto de la diferencia entre el valor actual y el valor de referencia, el valorresultante de esas dos operaciones es luego ponderado al multiplicarlo por el parámetro

2 , hasta aquí se tiene un valor que se emplea como ajuste de la señal de control

proporcionada por esta rama. La magnitud de dicho ajuste se determina precisamente porel valor de ponderación definido por 2 . Así pues esta rama ofrece también la posibilidad

de establecer una resolución mínima del ajuste que se ejerce a la señal de control, elbloque multiplicador, por otra parte puede verse que toma el valor del signo del bloque˝signum˝, para determinar si se tiene una diferencia positiva o negativa entre el valor dereferencia y el valor actual, con el fin de determinar si se debe agregar o retirar energíade la planta en un instante de tiempo dado. El bloque ˝Saturation˝ se encarga solamente de limitar los valores máximo y mínimo de la señal de control que se aplica al actuador.Por lo expuesto anteriormente la señal de control se compone pues de la suma de unaseñal que hace ajustes finos en su amplitud teniendo como base el estado anterior de ladiferencia (rama superior), y una señal que hace ajustes mas abruptos (rama inferior) ensu magnitud para darle robustez al sistema ante perturbaciones. Esto último es lo quecaracteriza a un sistema de control con modos deslizantes.Procedimiento para determinar los valores de 1 y 2 ׃

Con base en lo expuesto anteriormente, y teniendo en cuenta que para alcanzar el valor dereferencia deseado, se debe tener una señal de control de alrededor de 4V (según seaprecia en las figuras para la prueba 1 y 2 para cualquier esquema de control). Resultarazonable elegir V1.01 pues partiendo de condiciones iniciales iguales a cero como

seria la condición de operación normal del sistema, para esta rama tomaría 4V/0.1V= 40ciclos de programa, pero como el programa corre a 0.0005seg por ciclo (para este casoespecífico), le tomaría solo seg02.00005.040 ir de cero a 4V en el supuesto de que

la rama inferior no tuviera ningún efecto. Con esto se establece una escala de resoluciónmínima. Es importante notar que en la operación en estado estacionario del sistema laúnica rama que opera es la del integrador ya que la rama inferior se deshabilita por laacción de acumulación del integrador y así el control es esencialmente continuo, por elloel algoritmo ˝super-twisting˝ es un control de estructura variable pues puede conmutar de un control todo-nada a un control continuo según las necesidades dinámicas del sistema.

Para determinar el valor de 2 es sencillo, basta con aplicar algunos valores de prueba

arbitrarios, pero correspondientes a valores de operación posibles al algoritmo de lafigura 5-12 y 6-35 esto se muestra en la tabla de la Tabla 6-2׃

Voltajede

salida

Error a b Integrador c d e f

0V 12.5V 11 1acum 21 53.3 acum |12.5| |12.5| 253.3

1V 11.5V 11 1acum 21 39.3 acum |11.5| |11.5| 239.3

6.0V 6.5V 11 1acum 21 54.2 acum |6.5| |6.5| 254.2

12.5V 0V v.anterior

anteriorv.1 acumuladoacum

|0| 0 0

14.0V -2V -11 1acum 21 41.1 acum |2-| |2-| 241.1

18.0V -5.5V -11 1acum 21 34.2 acum |5.5-| |5.5-| 234.2

Tabla 6-2 Tabla de estados del algoritmo ˝super-twisting˝ usando algunos valores arbitrarios para

determinar el rango de valores de 2 .

Al considerar que en condiciones iniciales el valor acumulado en el integrador es cero,entonces el valor máximo positivo que se puede entregar al embobinado de campo delgenerador mediante el actuador (en este caso MOSFET) debe cumplir que

V0.453.3 21 , y el mínimo es lógicamente cero pues el MOSFET empleado como

actuador no opera con polarización inversa.

Entonces al sustituir 1.01 en 0.453.3 21 y resolver para 2 se tiene׃

0.453.31.0 2

1.00.453.3 2

53.3

9.32

10.12 .

Entonces basta con probar algunos valores de 10.10 2 como se recomienda en [31],

para obtener el valor que mas se ajuste a la respuesta deseada del sistema, después de

probar algunos valores en ese rango se aprecia que 5.02 es el valor que mas se ajusta

a la respuesta esperada. El resultado de la simulación con estos valores se muestra en lafigura 6-36.

Figura 6-36 Simulación del algoritmo modos deslizantes ˝super-twisting˝ para un valor arbitrario

de 5.22 y para el valor determinado a partir de la tabla de estados 5.02 .

Puede observarse que con 5.02 el ˝Castañeteo˝ ha desaparecido y el voltaje de salida

se encuentra en el valor deseado.

Por lo tanto se usarán: 1.01 y 5.02 para este caso.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

5

10

15

20

25

Tiempo (seg)

Voltaje

Control con modos deslizantes super-twisting

5.22

5.02

6.11 Implementación del control con modos deslizantes ˝super-twisting˝

Con lo anterior se construye el esquema de control mostrado en la figura 6-37.

Figura 6-37 Esquema de control con modos deslizantes ˝super-twisting˝.

Las mismas pruebas a que se sometieron el los esquemas de control anteriores se repitenahora con el control de modos deslizantes ˝super-twisting˝.

La figura 6-38 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 sin carga y con carga de100W.

Figura 6-38 Prueba #1 sin carga MD ˝super-twisting˝.

Prueba #1 carga 100W MD ˝super-twisting˝.

La figura 6-39 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 200W ycon carga de 300W.

Figura 6-39 Prueba #1 carga 200W MD ˝super-twisting˝.

Prueba #1 carga 300W MD ˝super-twisting˝.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Voltaje (V)

Prueba #1 sin carga

V. generado

Control

Error

Velocidad x 1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Prueba #1 carga 100W

V. generado

Control

Error

Velocidad x 1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Voltaje (V)

Prueba #1 carga 200W.

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Prueba #1 carga 300W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

Control con modos deslizantes super-twisting Control con modos deslizantes super-twisting

Voltaje (V)

Tiempo (seg)

Control con modos deslizantes “super-twistingControl con modos deslizantes “super-twisting

Voltaje

La figura 6-40 muestra la respuesta del sistema para la prueba #1 con carga de 400W

Figura 6-40 Prueba #1 carga 400W MD ˝super-twisting˝.

La prueba #2 del control con modos deslizantes ˝super-twisting˝. se muestra en la figura 6-41.

Figura 6-41 Prueba #2 respuesta ante condiciones de carga variables con control de modosdeslizantes ˝super-twisting˝.

Es importante observar que bajo este esquema de control la señal de control es continua,el ˝Castañeteo˝ ha sido eliminado y se preserva la robustez del control con modos deslizantes pues se absorben rápidamente las perturbaciones introducidas al variar lacarga.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Prueba #1 carga 400W

V. generado

Control

Error

Velocidad x1000rpm

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Tiempo (seg)

Voltaje (V)

Control con modos deslizantes "super-twisting"Prueba #2

V. generado

Control

Error

Velocidad x 1000rpm

100W200W

300W 400W0W

Control con modos deslizantes “super-twisting

Voltaje (V)

Análisis comparativo de losresultados

En este breve apartado se hará un análisis comparativo de los resultados obtenidos en laimplementación de los diferentes esquemas de control con el fin de tener una idea claradel desempeño de estos ante las perturbaciones (prueba#2) a que el sistema fue sometido.Por ultimo se darán las conclusiones que se han obtenido como resultado del desarrollode esta tesis. La figura 7-1 se forma con el voltaje generado resultado de laimplementación de cada uno de los diferentes esquemas de control.

Figura 7-1 Comparativo de la respuesta de los diferentes esquemas de control anteperturbaciones.

10

8

6

4

2

0

10.5

11

11.5

12

12.5

13

13.5

Tiempo (seg.)

Voltajegenerado (V)

ControlTwisting

Control tiporelevadorfiltrado

Control tiporelevador

ControlPID

ControlSuper-twisting

Perturbación100W

Perturbación200W

Perturbación300W

Perturbación400W

Perturbación0W

Análisis comparativo ante perturbaciones

La tabla 7-1 se obtiene a partir de los datos de la grafica anterior, al medir en cada tipo decontrol la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo, y calculando el porcentajede variación de la salida con base al voltaje de referencia; además el tiempo deestabilización se mide a partir de la aplicación de la perturbación, hasta que la salida delsistema alcanza una variación de solo el 2% de su valor final; aquí se aprecia un análisiscomparativo del desempeño de cada uno de los esquemas de control vistos.

Tipo decontrol PID Relevador

Relevadorfiltrado Twisting

Super-twisting

Cargade100W

Tiempo deestabilización

(seg.) 0.13 0.16 0.71 0.09 0.13% de

variación deamplitud 6.4 10.4 11.6 4.64 6.8

Cargade200W

Tiempo deestabilización

(seg.) 0.17 0.30 0.58 0.07 0.10% de

variación deamplitud 4 12 8.8 3.2 5.2

Cargade300W

Tiempo deestabilización

(seg.) 0.39 0.56 0.40 0.09 0.07% de

variación deamplitud 5.6 9.6 6.4 3.2 3.6

Cargade400W

Tiempo deestabilización

(seg.) 0.51 1.60 0.25 0.03 0.09% de

variación deamplitud 2.4 9.6 5.6 1.12 3.2

Cargade 0W

Tiempo deestabilización

(seg.) 0.05 0.04 0.64 0.04 0.05% de

variación deamplitud 2.64 1.76 6.24 1.76 3.2

Cargade400W

% devariación del

voltaje desalida en

estadoestable 0.48 1.36 1.20 1.36 0.40

Tabla 7-1 Valores de desempeño en tiempo y porcentaje de amplitud de los diferentes esquemasde control.

Por lo anterior se aprecia que el desempeño más deficiente lo muestran las estrategias decontrol tipo relevador y relevador filtrado, esto por que el tiempo de estabilización es elmayor de todos, además en el caso del esquema de relevador filtrado se introducenoscilaciones al sistema y se rebasa el voltaje de salida hasta por un 11.6% del valor dereferencia; esta situación nos indica que la carga recibe picos de voltaje que pudierandañarla. El control tradicional PID presenta menor tiempo de estabilización que los dosanteriores y no presenta sobrevoltaje de salida; aunque sin duda el mejor desempeño lodan los esquemas de control de segundo orden twisting y super-twisting pues sus tiemposde estabilización son muy breves 1.6 segundos para el caso de 400W con el control tiporelevador contra 0.03 y 0.09 seg. para los controles twisting y super-twistingrespectivamente. Puede observarse también como la variación del voltaje de salida quepresenta esta última estrategia de control es el menor de todos (0.4%) en estado establecon una carga de 400W.

Conclusiones

Implementar un esquema de control con modos deslizantes de segundo orden permiteobtener un control robusto que garantice la eliminación eficaz de las perturbaciones,además implementar un control bajo este esquema libera al diseñador de la tarea deobtener un modelo matemático del sistema que se desea controlar. Esta es la razón por laque el sistema de control es robusto e invariable ante cambios de los parámetros delsistema. Por lo anterior se facilita su implementación ya que solo es necesario conoceralgunos parámetros de diseño. Resulta evidente que para desarrollar un esquema decontrol con modos deslizantes implica usar un controlador que tenga una velocidad deprocesamiento en comparación con la dinámica más rápida de la planta en al menos diezveces. Actualmente gracias a los avances en el campo de la microelectrónica es muyfactible encontrar una gran cantidad de microcontroladores capaces de cumplir con lasdiversas necesidades en el campo del control a diferencia de hace dos o tres décadascuando se comenzó a desarrollar toda esta teoría, razón por la cual permaneció sin serexplotada.Se puede contrastar fácilmente como la implementación de un control con modosdeslizantes es mucho mas sencillo que cualquiera de las técnicas aquí expuestas, y sueficiencia es superior ya que presenta inmunidad a la variación de los parámetros y altacapacidad de absorber las perturbaciones a que se somete el sistema, con lo que secumple con el objetivo establecido inicialmente.

ApéndiceArquitectura del generador síncrono

Una revisión de la arquitectura de los motores y generadores eléctricos, partiendo de lostransformadores es la siguiente:Un transformador; como su nombre lo indica es una máquina eléctrica que convierte laenergía de un nivel de potencial (voltaje) a otro; existen varios tipos de transformadores,pero el que mas se le asemeja a un motor o a un generador es aquel que está formado porun embobinado primario y uno o mas embobinados secundarios; todos devanados sobreun mismo núcleo, usualmente de hierro laminado; el material del núcleo, su forma y susdimensiones son aspectos que influyen de manera determinante en el acoplamiento delflujo magnético que exista entre las bobinas primaria y secundaria(s). Cuanto mayor seael flujo magnético acoplado entre estas, mayor será la energía transferida.El núcleo tiene como función conducir dicho flujo; por ello las bobinas son devanadasentorno a este de modo que dicho flujo sea contenido mayormente dentro de él. Lapermeabilidad magnética del núcleo denota la habilidad de este de permitir dicho flujo;de manera análoga a como una resistencia lo haría con la corriente eléctrica.Sin embargo, el establecimiento del flujo magnético en el citado núcleo depende de laintensidad del campo magnético que se produzca entorno a este. La intensidad del campomagnético se denota por H y se define como:

cl

NiH , donde “N” es el número de vueltas de la bobina primaria que envuelven al

núcleo, e “i” es la intensidad de la corriente eléctrica que fluye por la bobina, y cl es la

longitud de la trayectoria media que dicho flujo recorre en el núcleo (perímetro medio delnúcleo) [3], [4] y [5].Por otra parte la densidad de flujo magnético se define por HB , donde es la

permeabilidad magnética del núcleo, y esta a su vez se define como r 0 , siendo

estas la permeabilidad magnética del vacío y la permeabilidad magnética relativa delmaterial del núcleo, respectivamente [3], [4] y [5].Así pues el flujo magnético que se establece en una sección transversal de área “A” a

través del núcleo es simplementecl

NiABA

[3], [4] y [5].

Lo anterior visualizado de una forma simplificada; ya que en realidad el flujo magnéticono solo existe a través del núcleo, pues existe un flujo magnético que está presente en elmedio que lo circunda y es llamado flujo de dispersión; pero que por su contribución sedesprecia del modelo solo por simplicidad.De la expresión anterior, al producto Ni se le llama fuerza magnetomotriz y se de

designa con la letra ғ, y se le define como “La fuerza por medio de la cual un campomagnético es producido ya sea por una corriente fluyendo a través de un alambre obobina, o por la proximidad de un cuerpo magnetizado” [8]. De la misma expresión, a la

agrupación de términosA

lc

, se les llama reluctancia y se le denota por y está definida

como “La resistencia de una trayectoria magnética al flujo de líneas magnéticas de fuerzaa través de esta” [8].También, tocante al modelo por simplicidad se asume que la permeabilidad magnéticadel material sea constante, sin embargo, en la practica dicho parámetro es función delflujo, que a su vez depende de la reluctancia y que introduce no linealidades al modelo.Dichas no linealidades se deben a que en el núcleo el flujo magnético se ve limitadocuando este alcanza el nivel de saturación; bajo esta condición no importa cuanto mas seincremente la fuerza magneto motriz, el flujo, esencialmente permanecerá sin cambio.Esto se muestra en la figura A-1:Al resolver las ecuaciones de Maxwell se obtendría un modelo exacto; sin embargo comoen la mayoría de los casos de modelado de sistemas, es preferible tener un modeloaproximado pero relativamente simple que un modelo exacto; pero de gran complejidad.Otro aspecto importante relacionado al núcleo es la histéresis que introduce al sistema,esta se define como “La tendencia de un material magnético a saturarse y retener algo desu magnetismo después de presentarse el ciclo magnético alterno bajo polarizacióninversa, de esta forma se causa que la magnetización se retrase con respecto a la fuerzaque la origina” [8]. Este fenómeno genera pérdidas de energía en los transformadores,motores y generadores debido a que parte de la energía eléctrica suministrada seempleará para reorientar los dominios del material durante cada ciclo de la corrientealterna aplicada al núcleo.

Figura A-1 Curva de magnetización típica de un núcleo ferromagnético.

Adicionalmente en el núcleo existen pérdidas por corrientes parásitas las cuales se debena que al someter al núcleo a la presencia de un campo magnético, este se comporta comola espira de una bobina con sus extremos puestos en cortocircuito; originando así un flujode corriente no deseada y provocando pérdidas por calentamiento. A menudo unacontramedida contra este tipo de pérdidas consiste en emplear hierro laminado paraformar el núcleo y se ensamblan dichas láminas empleando un material aislante parasepararlas entre sí; de modo que las trayectorias de corriente se reduzcan casi sin alterarlas propiedades magnéticas del núcleo en su conjunto.Atendiendo al fenómeno de inducción del voltaje sobre la espira de una bobina citadoanteriormente, este se explica mediante la ley de Faraday por medio de la expresión:

Fuerza magneto-motriz

Flujomagnético

Curva de magnetización del núcleo

dt

dNeind

,

donde:

inde = voltaje inducido en la bobina

N = Numero de espiras de la bobina = Flujo a través de la bobina

Para el caso de un transformador formado por una bobina primaria y al menos unasecundaria; existe un parámetro que describe la llamada relación de transformación de

voltajes dado pors

p

s

p

N

N

V

Va ,

donde:a = Relación de transformación

pV = Voltaje en el bobinado primario

sV = Voltaje en el bobinado secundario

pN Numero de vueltas de la bobina primaria

sN Numero de vueltas de la bobina secundaria

En la figura A-2 se muestra un diagrama esquemático del transformador ideal. Donde delas corrientes que circulan por los devanados primario y secundario; siguen la relación detransformación dada por:

aI

I

s

p 1 ,

donde: pI = Corriente en el devanado primario

sI = Corriente en el devanado secundario

Esencialmente estas relaciones establecen que: Si 1a : El voltaje y corriente que entra por la bobina primaria es igual al voltaje

y corriente que salen por la bobina secundaria.

Si 1a : El voltaje que entra por la bobina primaria será multiplicado (elevado)“1/a veces” antes de salir por la bobina secundaria, en tanto que la corriente delsecundario se verá reducida con respecto a la corriente del primario al ser divididapor 1/a.

Si 1a : Ocurre lo opuesto al caso anterior

Figura A-2 Diagrama eléctrico de un transformador ideal.

El principio de funcionamiento de motores y generadores se explica a partir de laarquitectura y principio de funcionamiento del transformador; solo que en estos una delas bobinas, primaria o secundaria(s) se encuentra (n) ahora montada (s) sobre un ejerotatorio que; a su vez se encuentra montado sobre cojinetes que facilitan su rotación ydisminuyen las perdidas por fricción. La figura A-3 muestra un esquema simplificado deun motor/generador donde se aprecian sus partes principales.Entre sus partes principales se puede distinguir la carcasa, que es la estructura de lamáquina y contiene a los demás elementos, provee una base sobre la cual estos sonmontados.Se aprecia también el estator que por lo general es un grupo de bobinas o piezas polaresdependiendo del tipo de máquina en cuestión; el estator se encuentra mecánicamenteafianzado a la carcasa y constituye una parte no móvil de la máquina.Se aprecia también el rotor que consiste de un grupo de bobinas o piezas polaresfirmemente dispuestas sobre un eje rotatorio; el cual es soportado en sus extremos por almenos un par de cojinetes o bujes; estos permiten que el rotor gire dentro de la máquinamanteniendo una distancia constante entre el núcleo de la bobina (o pieza polar) delestator y el núcleo de la bobina (o pieza polar) del rotor; dicha distancia es pequeña,alrededor de 1mm o menos, cuanto mas corta sea la separación entre estas; menorespérdidas de flujo habrá en la máquina debido a que la reluctancia del aire (medio típicoque las separa) es mayor que la del núcleo (típicamente de hierro laminado).

Bobinaprimaria

Bobinasecundaria

Núcleo deltransformador

Figura A-3 Esquema básico de un motor/generador.

A grandes rasgos se pueden clasificar las máquinas eléctricas en dos tipos; considerandola forma de la energía eléctrica que estas manejan; y que son máquinas de corrientealterna y máquinas de corriente directa.

Máquinas de corriente alterna:Dentro de esta categoría se tienen motores y generadores; los primeros reciben energíaeléctrica y la convierten en una fuerza mecánica rotatoria que se manifiesta en el eje; entanto que los segundos el eje es impulsado por un medio externo que provee energíamecánica y estos la convierten en energía eléctrica.En esta categoría se tienen motores síncronos, generadores síncronos así como motoresde inducción y generadores de inducción, aunque estos últimos, son muy poco usados yaque presentan desventajas en su operación, razón por la cual casi siempre que semencionan las máquinas de inducción es en referencia a los motores de inducción.Máquinas sincrónicas:Los motores y generadores síncronos mecánicamente hablando son esencialmente unamisma máquina, es decir su diferencia es el uso que se les dé, y el sentido en que fluye laenergía.Por lo anterior describir la arquitectura de uno describirá necesariamente la de ambos.En un generador síncrono se tiene un embobinado estator que consta de tres bobinas,estas se interconectan entre si ya sea en conexión delta o en conexión estrella, sudisposición física en el interior de la carcasa del generador (o motor) es de 120° eléctricossegún se aprecia en la figura A-4. Obsérvese que al embobinado del rotor también se lellama embobinado de campo.Al mencionar que las bobinas del estator se conectan en delta o estrella se refiere a teneruna configuración como la que se muestra en la figura A-5.

EstatorCojinete

EjeCarcasa

Rotor

Figura A-4 Diagrama esquemático de un motor-generador síncrono y la disposición de susembobinados en la carcasa.

Figura A-5 Conexión delta y conexión estrella.

Referente a la bobina del rotor o campo esta es una bobina sencilla la cual es devanadasobre el eje del motor o generador y la forma de tener acceso a sus terminales esmediante escobillas las cuales se sostienen con una base aislada, mecánicamente fija

Embobinadode estator A

Embobinadode estator C

Embobinadode estator B

Embobinadode rotor ocampo

Conexión en delta Conexión en estrella

A C

B

B

A

C

sobre alguna parte de la carcasa de la máquina, cada escobilla tiene un hilo conductor enun extremo y éste tiene acceso hacia la parte externa de la máquina, además en el rotorexisten al menos un par de anillos usualmente de cobre; sobre los cuales las escobillashacen contacto y en estos mismos se conectan cada una de las terminales la bobina; y deesa manera se tiene acceso a la bobina rotatoria. Existen variantes de las máquinassincrónicas las cuales carecen de escobillas y en su lugar la energía requerida en el rotorse abastece mediante inducción magnética y se monta en el mismo rotor un dispositivorectificador de estado sólido.En al bobina de campo se hace circular una corriente eléctrica directa; la cual estableceun campo magnético entorno a esta y dicho campo es “conducido” por el núcleo del rotory el medio que lo rodea, esto forma un electroimán que necesariamente tendrá al menosun polo norte y un polo sur. Si por un medio externo se aplica una fuerza mecánica queproduzca el giro del rotor dicho campo magnético provocará necesariamente la inducciónde tres voltajes desfasados 120° grados entre sí sobre el estator, formando un sistema devoltajes trifásico en el caso de un generador. En el caso del motor las tres bobinas delestator reciben un sistema de voltajes trifásicos de una fuente externa, la bobina del rotoral igual que en el caso del generador es alimentada con corriente directa para formar unelectroimán y debido a fuerzas de atracción y repulsión provocadas por la acción delcampo del estator sobre el rotor, este ultimo girará convirtiendo así la energía eléctrica enmecánica.El núcleo del rotor de la máquina es también de material laminado al igual que eltransformador, dicho núcleo se fija al eje del rotor y una vez armado se embobina sobreeste la bobina del rotor, el embobinado se hace al pasar el alambre por en medio deranuras que previamente se cortaron en las laminas del rotor de modo que la bobinaforma varios polos magnéticos en este. La figura A-6 muestra el núcleo del rotor y lasranuras por donde se hace pasar el alambre de las bobinas.

Figura A-6 Rotor de un generador/motor síncrono.

Máquinas de corriente continua:

Estas son motores y generadores, su diferencia principal como el nombre lo indica es laforma de la energía eléctrica con la cual estos se operan, consisten también de las mismaspartes que las de corriente alterna, excepto que en las máquinas de corriente directa, losanillos de rodamiento se sustituyen por un “colector”. Este consiste de un conjunto delaminillas paralelas montadas sobre una superficie aislante, la cual a su vez se montasobre el eje del rotor; ahora el rotor se compone de varias bobinas conectadas a esaslaminillas; en las laminillas se hace contacto eléctrico con el exterior mediante escobillaso carbones. Esto se muestra en la figura A-7.

Núcleo dehierrolaminado

Anillos derodamiento

Polos

Aislante

Ranuras quealojan a lasbobinas

Eje

Figura A-7 Rotor de una máquina de CC.

Algunas máquinas de CC emplean piezas polares en el estator en lugar de bobinas, estose ve principalmente en motores pequeños como los empleados para impulsarmecanismos ligeros en la industria electrónica.En el caso de los generadores de CC, estos se clasifican en: generadores con excitaciónexterna, y generadores auto-excitados, los de excitación externa requieren de una fuenteexterna para proveer la corriente de campo necesaria para que estos operen; los autoexcitados por lo contrario, estos aprovechan el magnetismo remanente que ayuda en elarranque para producir la corriente de campo necesaria para su operación. Dentro de lacategoría de los generadores auto excitados se encuentran los generadores con campo enderivación, los de campo en serie; y los de campo en derivación y serie; tanto en sumodalidad acumulativa como diferencial [3], [4] y [5].Por otra parte, los motores de CC se clasifican en motores con excitación de campoexterna, de imán permanente, con campo en serie, con campo en derivación y de campocompuesto; que son aquellos en donde parte del campo se conecta en serie y la otra seconecta en paralelo con la bobina del estator del motor [3], [4] y [5].Ambos motor y generador de CC tienen un colector montado sobre el rotor, como seindicó anteriormente, el objetivo principal de este es proveer a la máquina de un mayornumero de bobinas que distribuidas de forma apropiada en el núcleo del rotor puedenproporcionar mayor diversidad de campos magnéticos en este con diversas orientaciones,de modo que al existir un movimiento relativo entre rotor y estator esos camposinteractúan ya sea produciendo fuerzas de atracción o de repulsión, entre el campo delestator y del rotor en el caso del motor; o proporcionando mas trayectorias de corte delíneas magnéticas en el caso del generador.Antes de la existencia de los semiconductores, la función del colector era convertir la CAen CC, precisamente conmutando la conexión entre las bobinas de campo gracias a larotación de este; sin embargo actualmente esa conversión se hace con la ayuda demateriales semiconductores, con ellos se alarga la vida del colector, al reducirse el arqueodurante su operación.

Núcleo delrotor

Colectorformado delaminillas decobre

Eje

Aislante

Motor universal:Es un tipo especial de motor capaz de operar con CC o con CA, la arquitectura básica deeste consiste en la conexión en serie de las bobinas del rotor con las del estator; con lafinalidad de que el sentido de flujo de la corriente se invierta simultáneamente en ambosdevanados. Bajo esta idea, se produce un momento pulsante unidireccional, quefinalmente produce el giro del rotor en una dirección al conmutar apropiadamente elsentido de la corriente durante su operación. Ambos núcleos (rotor y estator) seconstruyen de láminas de hierro igual que en el caso del transformador de modo que laspérdidas de flujo magnético sean menores. Su desempeño es mejor cuando se aplica CCen lugar de CA.

Glosario:

Ancho de banda: es la diferencia entre las frecuencias máxima y mínima contenidas enun conjunto de frecuencias de interés.Colector: (del rotor de una maquina) Anillo giratorio formado por una serie de estrechaslaminas de cobre, que sirve para comunicar el inducido de una máquina eléctrica con elcircuito exterior [37].

Convolución: Dadas dos funciones medibles f, g : RRn , se define el producto de

convolución de f y g como la función nR

dyygyxfxgf )()())(*( , supuesto que la

integral anterior existe para casi todo nRx [38].

Dinamo: Es una maquina eléctrica que convierte la energía mecánica en energíaeléctrica de corriente directa utilizando un conmutador en el rotor para colectar medianteescobillas el voltaje generado, al tiempo que por la acción de conmutación se separan lospulsos positivos y los negativos en su terminal positiva y negativa respectivamente [39].

Dominios magnéticos: Pequeña región espacial en donde los momentos magnéticos deun material se encuentran alineados unos con otros aún en la ausencia de un campomagnético externo [40].

Entrehierro de aire: Espacio comprendido entre los polos de un imán o electroimán,donde dicho espacio es ocupado por aire [41].Escobilla: Es una tira, hoja o bloque de carbón o metal que se desliza en contacto conotra parte, usualmente el conmutador de una máquina eléctrica [7].

Estator: Bobina estacionaria de un motor o generador [7].

Factor de distribución: Para un alternador poli-fase, el factor por el cual el voltaje total

TV puede ser determinado en términos del voltaje de cada bobina CV y del número total

de bobinas n : CT nVV [7].

Fasor: Es una entidad que incluye el concepto de magnitud y dirección en un plano dereferencia [8].

Flujo: Son líneas de fuerza teóricas que se extienden en todas direcciones desde unacarga eléctrica (en el caso del flujo eléctrico) o de un polo magnético (en el caso del flujomagnético). The illustrated dictionary of electronics [7].

Método de la Función descriptiva: Abordado en [27] y [42] es la linealización de unsistema no lineal que da como resultado una función de transferencia que depende de lamagnitud de la señal de entrada. Si un sistema no lineal y discontinuo se conecta en

cascada con un sistema lineal, lento y estable, y si la salida del sistema lineal seretroalimenta al sistema no lineal, el valor de dicha señal de retroalimentación tomarádiferentes valores dependiendo de la amplitud de la salida del sistema lineal. Estooriginará conmutación entre regiones continuas diferentes. Como resultado de dichasconmutaciones, el sistema presentará oscilaciones periódicas. Precisamente este métodointenta predecir las características de esas oscilaciones (su frecuencia fundamental), bajola asunción de que el sistema lento actúa como filtro pasa bajas o pasa banda y queconcentra toda la energía entorno a una sola frecuencia. Este método puedeconceptualizarse como la descripción del modo deslizante del sistema retroalimentado.

Función Lyapunov: Es una función definida positiva cuya derivada con respecto altiempo se define negativa , vale cero cuando el valor de la variable independiente valetambién cero, y se aproxima a infinito conforme el valor de dicha variable tiende tambiéna infinito [43].Intensidad del campo magnético: La fuerza que ejerce un campo magnético sobre unpunto en particular, cuando en dicho punto es colocado un polo magnético. Theillustrated dictionary of electronics [7].

Matriz de rango completo: es aquella cuyo rango es igual al número de columnas [44].

Momento de torsión: Es la fuerza por unidad de longitud o par necesario para cambiar lavelocidad de giro de un cuerpo rotatorio [45].

Rango de una matriz: Es el mayor numero de vectores fila o columna linealmenteindependientes que se puedan encontrar en dicha matriz [46].

Rango: Es la diferencia existente entre el valor máximo y el mínimo de un conjunto devalores [7].

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