Anlisis comparativo del funcionamiento de dos sistemas de control automtico de nivel de agua en una planta de tres vasos comunicantes, diseados aplicando los mtodos de control de modelamiento con variables de estado, diseadas e implementadas usando MATLAB/SIMLI!"#AGRADECIMIENTOA todos a$uellos $ue me brindaron fuentes %momentos de su tiempo , a mis maestros,compaeros de estudio % dar porculminado este traba&o#DEDICATORIAA mi madre, a mi familia% amigospor darme motivaci'npara seguir estudiando#RESUMENEn este documento se desarrollaron dos controladores distintos para un sistema de tres vasos comunicantes, el primero basado en variables de estados y el segundo en lgica difusa; para lo cual se utiliz MATLAB/!M"L!#$ como %erramienta de c&lculos, simulaciones e interfaz con el sistema'En primer lugar, se desarroll un modelo matem&tico, con medicin de par&metros reales del sistema, el cual result ser no lineal'Luego, se linealiz el modelo alrededor de un punto de operacin para verificar (ue e)ist*a un rango donde pudiese ser tratado como un sistema lineal'A continuacin, se identific el sistema para obtener informacin m&s real delsistema linealizado y as* desarrollar el controlador de reubicacin de polos del modelo interno +basado en variables de estado,'-osteriormente, se a.ust este controlador al realizar pruebas con el modelo matem&tico no lineal y con el sistema real'-or /ltimo, se desarroll el controlador usando lgica difusa realizando pruebas con el modelo matem&tico no lineal y luego con el sistema real %astalograr a.ustar su funcionamiento'INTRODUCCINLa mayor*a de los procesos (ue realizan las personas necesitan ser supervisadas o controladas para obtener un resultado, por lo menos, aceptable; ante esta situacin, la %umanidad se %a esforzado por optimizar las acciones de control parame.orar el producto o resultado de un proceso' En consecuencia, muc%os ingenieros +personas (ue usan su ingenio para solucionar algo, %an %ec%o evolucionar estas acciones de control desde el control manual %asta las t0cnicas m&s contempor&neas como la lgicadifusa y control neuronal'Ante tantas posibilidades de eleccin al momento de controlar un proceso, se decidi desarrollar dos controladores basados en teor*as distintas, uno en variables de estado y otro en lgica difusa; para controlar una planta (ue ofrece muc%os desaf*os por ser no lineal y tener tiempo muerto variable' 1omo resultado principal, se espera aportar a a(uellas personas (uenecesitan comparar el rendimiento de los controladores, la comple.idad de su desarrollo e implementacin, o simplemente entender como dise2ar controladores ba.o las teor*as planteadas'1. Modelos matemticos del sistema de tres vasos comunicantesLa etapa %idr&ulica del sistema de tres vasos comunicantes (ue se analiza est& constituida por un reservorio desde el cual una bomba %idr&ulica env*a agua %acia el primero de los tres tan(ues interconectados, de a%* el agua pasa al segundo tan(ue y de 0ste al tercero, el cual descarga nuevamente en el reservorio original' Adicionalmente, en la cone)in entre los tan(ues e)isten v&lvulas de bola (ue permiten cambiar el &rea /til de la tuber*a entre los tan(ues'Adem&s, para variar el caudal impulsado por la bomba se conecta la alimentacin el0ctrica a trav0s de un variador de frecuencia'Este variador de frecuencia recibe una se2al de volta.e y entrega energ*a el0ctrica a la bomba con una frecuencia proporcional a la se2al de volta.e'Al analizar el sistema se asumir& (ue la variacin del nivel del agua en el reservorio es despreciable, as* como, el tiempo de estabilizacin de la bomba y delvariador de frecuencia, en consecuencia el sistema a analizar (ueda resumido a una bomba cuyo caudal depende de la se2al de volta.e (ue recibe el variador de frecuencia, y los tan(ues interconectados'Sistema de 3 asos Comunicantes1.1.ECU!CIONES DI"ERENCI!#ES $ENER!#ES DE# SISTEM! EN E# DOMINIO DE# TIEM%OEl volumendeaguaalmacenadoencadatan(ueest&e)presadoenlaEcuacin 3'3' olumen almacenado en &unci'n de los caudales(V=( QeQs) dt4onde5V es el volumenQe es el caudal de entrada al tan(ue,Qs es el caudal de salida del tan(ue,dtes el diferencial de tiempo'Adem&s, se sabe (ue los tan(ues tienen una seccin transversal constate ypor lo tanto5Ecuacin 3'6olumen en &unci'n del )rea * la !ltura(V=At . hdonde5 At es el &rea de la seccin transversal del tan(ue +(ue es la misma paratodos los tan(ues,,h es el nivel del agua en el tan(ue'Al reemplazar la Ecuacin 3'6 en la Ecuacin 3'3 se obtiene5Ecuacin 3'7!ltura en &unci'n de los caudales(At . h=( QeQs) dtAl despe.ar h en la Ecuacin 3'7 y derivar respecto del tiempo se obtiene5Ecuacin 3'8Derivada de la altura en &unci'n de los caudales(dhdt =QeQsAtAdicionalmente, por el -rincipiodeBernoulli sesabe(ueencondicionesideales5Ecuacin 3'9%rinci+io de ,ernoulli(Pa+gha+12 V2a=Pb+ghb+12 V2bPa : -resin en el punto -a .Pb=-resin en el punto -b .

ha, hb= son las alturas en los puntos-a y b .Va,Vb=son las velocidades del fluido en los puntos-a, b .= es la densidad del fluido, g= es la gravedad +981cms2/-orotraparte, sesabe(ueel caudal (uefluyeatrav0sdeunaseccintransversal es5Ecuacin 3';Caudal 0ue &lu*e a trav1s de una secci'n transversal(Q=AVdonde5Q= es el caudalA= es el &rea de la seccin transversal por donde pasa el fluidoV= es la velocidadA%ora, con las Ecuaciones 3'9 y 3';, se puede analizar el caudal entre lostan(ues'-rimero, se analizar& el caudal entre los tan(ues 3 y 6, para lo cualse ubicar& el punto A en la cota del agua del tan(ue 3 y el punto B al final dela tuber*a (ue ingresa en el tan(ue 6 y se obtiene5La Ecuacin 3'ue el caudal (ue sale del tan(ue 3 e ingresa en el tan(ue 6 es5Ecuacion3'?Caudal entre los tan0ues 1 * 2(Q1 s=Q2e=2g(h1h2) 4onde5Q1 s= es el caudal de salida del tan(ue 3,Q2e= es el caudal de entrada en el tan(ue 6,A 12= es el &rea de la seccin transversal efectiva+3, entre los tan(ues 3y 6'

4eformaan&logasepuedeobtener el caudal entrelostan(ues6y7,resultando5Ecuacin 3'3@ Caudal entre los tan0ues 2 * 3(Q2 s=Q3e=A232g(h2h3)4onde5Q2 s= es el caudal de salida del tan(ue 6,Q3 e= es el caudal de entrada en el tan(ue 7,A 23=es el &rea de la seccin transversal efectiva entre los tan(ues 6 y7'1-ara realizar el c&lculo del caudal de salida del tan(ue tres, se toma el puntoA en la cota del agua del tan(ue 7 y el punto B al comienzo de la tuber*a desalida del tan(ue 7' En consecuencia se obtiene5Ecuacin 3'33Caudal de salida del tan0ue 3(Q3 s=A 32 gh34onde5Q3 s=es el caudal de salida del tan(ue 7,A 3=es el &rea de la seccin transversal efectiva a la salida del tan(ue 7'A continuacin, a partir de las Ecuacin 3'8, 3'?, 3'3@ y 3'33 se plantea elsiguiente sistema de ecuaciones5Ecuacin 3'36Modelo ideal no lineal del sistema({dh1dt =Q1eA122 g( h1h2)Atdh2dt = A122g( h1h2)A 232 g( h2h3)Atdh3dt = A232g( h2h3)A32 gh3At}4onde5 Q1e=es el caudal de entrada al tan(ue 3'Adem&s, el caudal de entrada al tan(ue 3 es el mismo caudal entregado porla bomba (ue se lo tomar& en forma e)perimental'in embargo, el sistema no es ideal y los caudales se ven afectados por laresistenciadelatuber*aylaturbulenciageneradapor laestrangulacinprovocada por las v&lvulas' Alincluir este efecto, la Ecuacin 3'36 (uedacomo sigue5Ecuacin 3'37Modelo no lineal del sistema(dh1dt =Q1eA 12 122g ( h1h2)Atdh2dt = A12 122 g( h1h2)A23 232 g( h2h3)Atdh3dt = A23 232 g( h2h3) A 3 32gh3At 4onde512=1oeficiente (ue representa el efecto de la turbulencia y laresistencia de la tuber*a entre el tan(ue 3 y el 6'23=1oeficiente (ue representa el efecto de la turbulencia y laresistencia de la tuber*a entre el tan(ue 6 y el 7'3=1oeficiente (ue representa el efecto de la turbulencia y laresistencia de la tuber*a a la salida del tan(ue 7'1.1.1. DETERMIN!CIN DE #OS %!R)METROS DE# SISTEM!Lospar&metros (uetenemos (ue calcular son5&readela seccintransversal de los tan(ues, funcin del caudal de la bomba versus elvolta.eaplicadoal variador defrecuencia, el &readelaseccintransversal efectiva de las tuber*as, los coeficientes del efecto de laturbulencia de la y resistencia de la tuber*a'El primer par&metro ensercalculado es el&reade los tan(ues,yparaestosemidieron lasdimensiones delabasede lostan(ues;obteniendo (ue tienen 39 cent*metros por lado y en consecuencia5At =225cm2El siguiente par&metro (ue se calcul es la funcin del caudal de labomba versus volta.e aplicado al variador de frecuencia, para este finse aisl el primer tan(ue del segundo al cerrar la v&lvula entre ellos'Luego se tom el tiempo (ue tard el nivel del agua en alcanzar lascotas de 6@, 7@, 8@ y 9@ cent*metros para distintos volta.es enviadosal variador de frecuencia' A continuacin se realiz la regresin linealy se obtuvo5Ecuacin 3'38Caudal de la 4om4a en &unci'n del volta5e a+licado al variadorde &recuencia(Qb=500,502Vvf 1410,41=Q1e4onde5Qb=es el caudal de la bombaVvf =es el volta.e aplicado al variador de frecuenciaAcontinuacin, para establecer el &rea efectiva de la seccintransversal delatuber*aentrelostan(ues seestableci(uelav&lvulaentreel primer tan(ueyel segundoest0completamenteabierta, la v&lvula entre el segundo y el tercer tan(ue est0apro)imadamenteal =@Adeaperturaylav&lvulaalasalidadeltercer tan(ue est0 apro)imadamente al 9@A de apertura, pero parapoder establecer estas configuraciones se procedi a desarrollar unafrmula (ue relacione el &rea de la seccin transversal efectiva con el&ngulo girado de la v&lvula' La frmula (ue se obtuvo y su tabulacinest&n en el Ap0ndice B' En consecuencia las &reas efectivas(uedaron en5A 12=2,850cm2A 23=2,2964 cm2A 3=1,4151cm2Los /ltimos par&metros calculados fueron los coeficientes del efectode la resistencia de la tuber*a y de la turbulencia generada por lasv&lvulas' -ara este fin, se aplic diferentes volta.es alvariador defrecuencia y se esper a (ue el sistema se estabilice y se calcul larelacin entre el caudal terico ideal y el caudal real en las tuber*as'Luego de este procedimiento se obtuvo512=0,690923=0,82743=0.5208Alreemplazar los valores obtenidos para los diferentes par&metrosen el sistema de ecuaciones denominado Ecuacin 3'37 se obtiene5Ecuacin 3'39Modelo no lineal del sistema con +armetros evaluados(dh1dt =500,502Vvf 1410,411,96851962( h1h2)225[ cm/ s]dh2dt =1,96851962( h1h2) 1,90051962( h2h3)225[ cm/ s]dh3dt =1,9005 1962( h2h3)0,737019623225[ cm/ s]1.1.2. DI!$R!M! DE ,#O6UES DE# MODE#O NO #INE!# DE# SISTEM!El diagrama de blo(ues del modelo matem&tico no lineal del sistemase muestra en la Bigura 3'6'Dia3rama de 4lo0ues del modelo no linealEnlaBigura3'6losblo(uesencelestemodelanlabomba, losblo(ues en verde el tan(ue 3, los blo(ues en magenta el tan(ue 6 ylos blo(ues en naran.a el tan(ue 7'1.2. #INE!#I7!CIN DE #!S ECU!CIONES DE# SISTEM!1omo se puede observar el sistema no es lineal por la presencia de la ra*zcuadrada(ueafectaalasalturasdelostan(ues(ueasuvezsonlasvariables de estado del sistema y por ende se re(uieren ecuacionesdiferenciales lineales'-or este motivo, se procede a linealizar el sistema y elprimer paso es escoger un punto de operacin el cual fue seleccionado en7,3