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Control de Procesos Industriales – Dr. Oscar Camacho

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Capitulo 1

Conceptos Generales

1.1. Introducción.

El control automático de procesos nace por la necesidad de generar productos más uniformes y

de más alta calidad, con una mayor exactitud, lo cual representa por lo general mayores

beneficios.

El control automático tiene también grandes ventajas en ciertas operaciones remotas,

peligrosas o rutinarias.

Debido a que la calidad y la reducción de costos en un proceso es por lo común la ventaja más

importante que se busca al aplicar el control automático. La calidad del control y el costo se

deben comparar con los beneficios económicos esperados y los objetivos técnicos del proceso.

Los beneficios económicos incluyen la reducción de los costos de operación, mantenimiento y

producto fuera de especificaciones, junto con el mejoramiento de la funcionalidad del proceso

y una mayor producción.

Las razones principales para usar control automático de procesos, son las siguientes:

Mantener los niveles de producción de la planta en valores iguales o superiores a los

establecidos.

Mantener la calidad del producto (composición, pureza, color, etc.).

Evitar lesiones al personal de la planta o daño al equipo. La seguridad debe ser considerada

como prioridad.

La optimización del proceso en términos generales se obtiene si se logra maximizar los

beneficios y/o minimizar los costos sujetos a las restricciones físicas impuestas por el proceso.

Como un primer paso en la aplicación de esquemas de control automático, es importante

manejar la terminología y los conceptos básicos necesarios. Este capitulo, introduce los

mismos.

En todo proceso se presenta una causa y un efecto (causalidad) como se puede observar en la

figura 1.1, las causas representan las variables de entradas y los efectos son aquellos que

genera el proceso como respuesta a las variables de entrada.


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ProcesoCausa Efecto

Variables Variables

Figura 1.1. Causalidad del Proceso.

1.2. VARIABLES.

Las entradas y salidas de un proceso son denominadas variables, debido a que están

interrelacionadas con el mismo en una forma estática y/o dinámica. Para nuestros fines es

importante clasificar los diferentes tipos de variables que intervienen en un proceso, estas son:

variables manipuladas, variables controladas, variables no controladas y perturbaciones, como

se observa en la figura 1.2, en la cual se utiliza como ejemplo una columna de destilación.

Figura 1.2. Variables que pueden intervenir en un proceso.

1.2.1. VARIABLES MANIPULADAS: variables que nosotros podemos cambiar o mover

para garantizar que la variable controlada presente el valor deseado.

1.2.2. VARIABLES CONTROLADAS: Variables que queremos controlar, bien sea tratando

de mantenerlas constantes (Control Regulatorio) o tratando de seguir alguna trayectoria

deseada (Servocontrol), ejemplos de estas pueden ser, flujos, composiciones,

temperaturas, presión, nivel, etc.

1.2.3. VARIABLES NO CONTROLADAS: Son aquellas variables sobre las cuales no se

ejerce control, en algunos casos estas variables no afectan o no ejercen ningún efecto

sobre el proceso.

1.2.4. PERTURBACIONES: Flujos, temperaturas, composiciones que entran al proceso


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(pueden ser de salida algunas veces). No todo el tiempo pueden ser medidas, pero el

sistema de control debe ser capaz de regular el proceso en presencia de ellas (premisa

que en algunas ocasiones no se logra), tales como temperaturas, presión, concentración,

etc.

1.3. COMPONENTES BÁSICOS DE UN SISTEMA DE CONTROL.

En los procesos industriales encontramos ciertas convenciones y arreglos en los sistemas de

control así como la distribución de dispositivos de medidas y funciones de control en varias

piezas de hardware. En la figura 1.3a, se puede apreciar la constitución de un lazo de control;

en la cual existe una sala de control, que es donde se encuentran los controladores, y además,

tiene que ser supervisado por un operador que se encarga de vigilar la operación normal del

proceso; la manipulación local es representada por una válvula de control con acción manual,

para el paso del flujo frío al calentador; el indicador local que sirve para visualizar los valores

de temperatura de salida en campo con la finalidad de poder ejercer un control manual, como

por ejemplo para arranque o parada de planta; el transmisor de temperatura, se encarga de

convertir la temperatura medida en una señal eléctrica (4-20 mA) o neumática (3-15 psi) y

luego la envía por medio de un cableado a la sala de control. En la figura 1.3b se representa el

diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado.

Sala de control central

Cableado de alimentación

Manipulación

localIndicador

local

Transmisor

Operador

Figura 1.3a. Constitución de un Lazo de Control.


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Proceso

Transmisor

Perturbaciones

Estación

Manual - Automática

Elemento

Final de Control Elemento Primario

de Medida Proceso o

Corriente Útil

Controlador

Referencia

Figura 1.3b. Diagrama en Bloques de un sistema de control en lazo cerrado.

1.3.1. Elemento primario de medida (Transductores): Son los dispositivos encargados de

realizar la medición de las variables en un proceso. Existen diferentes tipos de

transductores, los cuales están asociados al tipo de variable que se está midiendo

(temperatura, presión, nivel, flujo, composición, etc.), y las condiciones de la medición

(exactitud, linealidad, sensibilidad, temperatura de operación, rango de medida, etc.),

tales como: termopares, termistores, RTD, pirómetros, para medir temperatura; tubo de

Bourdon, diafragma, fuelle, capacímetro, LVDT, piezoeléctrico, potenciómetrico,

Strain Gage etc., para medir presión ; varilla con gancho, regla graduada, flotador, para

medir nivel. La combinación de algunos de ellos sirven para medir otras variables, por

ejemplo el diafragma con un elemento secundario cualquiera sirve para medir presión,

al medir la presión diferencial de un fluido que circula en una tubería se puede

encontrar el flujo; o al medir la presión diferencial en el fondo de un tanque se obtiene

el nivel de ese fluido.

1.3.2. Transmisores: Los transmisores son dispositivos que se conectan al elemento primario

en algunos casos se encuentra integrado al transductor, el mismo produce la señal para

la transmisión. Se clasifican en: Transmisores Neumáticos y Transmisores

Electrónicos. Ellos presentan una constante de tiempo y un tiempo muerto

(posteriormente se definirán), que depende del tipo de transmisor y de la variable que

está midiendo. En el caso de los transmisores neumáticos la señal transmitida es de 3 a

15 psi, y en el caso de los transmisores electrónicos dicha señal es de 4 a 20 mA.

1.3.3. Estación manual: Muchos lazos de control de procesos han sido provistos de un

control manual para que el operador humano pueda ejercer control durante la puesta en

marcha, parada o emergencias del proceso.

1.3.4. Controlador: Es el encargado de decidir el tipo de acción sobre el elemento final de

control. El controlador tiene dos funciones esenciales:


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Comparar la variable medida con la de referencia deseada (punto de operación o Set

Point), para determinar el error que existe entre ellas.

Enviar una señal al elemento final de control con el objeto de modificar su acción en el

sentido adecuado para reducir el error.

1.3.5. Elemento final de control: El elemento final de control más común es una válvula que

se describirá mas adelante, pero puede ser una bomba, un compresor, o un elemento de

calentamiento eléctrico.

1.3.5. Válvula de control: Son los elementos finales de control más usados en los procesos,

son encargadas de regular el flujo que circula a través de ellas.

En el control automático de los procesos industriales la válvula de control juega un papel muy

importante en el lazo de regulación. Realiza la función de variar el flujo de la variable

manipulada, para con ello modificar el valor de la variable controlada.

Figura 1.4. Válvula de Control.

El cuerpo de la válvula contiene en su interior el obturador y los asientos, está provista de

rosca o bridas para conectarla con la tubería. El obturador es quien realiza la función de

control de paso del fluido y puede actuar en la dirección de su propio eje o bien tener un

movimiento rotativo. Está unido a un vástago que pasa a través de la tapa del cuerpo y que es

accionado por el servomotor.


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Figura 1.5. Partes de una Válvula de Control.

La válvula debe tener una “posición a falla”, en la que se coloca cuando ocurre una falla en el

suministro de la energía de accionamiento. Para determinar cual es su posición en el momento

de una falla, se debe tomar en cuenta el factor seguridad, es decir, cuando por razones de

seguridad se requiere que al ocurrir una falla la válvula se cierre, se dice que la válvula es

“Falla Cerrada” (FC – Fail Close) o también conocida como “Aire para Abrir” (AA) ; por el

contrario, cuando se necesita que la válvula se abra al ocurrir una falla se dice que es “Falla

Abierta” (FA o FO - Fail Open) o “Aire para Cerrar” (AC).

Para determinar la acción del controlador, se debe conocer: los requerimientos de control del

proceso y la acción de la válvula de control.

La acción de control está sujeta a la acción de la válvula, es decir, cuando la señal de error

aumenta (cuando por ejemplo aumenta la presión), el controlador aumentará la señal de

control si la válvula es FA o Aire para Cerrar (AC), o disminuirá si la válvula es FC o Aire

para Abrir (AO).


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Figura 1.6. Actuadores de Válvulas en posición de falla: FO y FC.

En la tabla 1.1 se puede observar de una manera simplificada, una descripción de los

componentes básicos de los sistemas de control, con ciertas características de cada uno de

ellos, como su rango típico y la respuesta dinámica al 63%.

Tabla 1.1. Descripción de los Componentes básicos de un Sistema de Control.

Elemento Función Rango Típico Respuesta dinámica

al 63%

Salida del Controlador Inicia la señal a una

estación remota para

ser aplicada al

elemento final de

control

Operador / 0-100% -

Transmisor Responsable de la señal

desde el controlador al

elemento final de

control, y desde el

sensor al controlador.

Neumático: 3-15 psi

Electrónico: 4-20 mA

Neumático: 1-5 s

Electrónico: Instantáneo

Convertidor de Señales Cambia la señal que

viene del transmisor

para ser usada

posteriormente al

elemento final de

control, o al

controlador

Electrónico a

neumático: 4-20 mA

a 3-15 psi

Transductor a

electrónico: de mV a

4-20 mA

0,5 - 1,0 s

Elemento final de

control

Responsable de

implementar el cambio

deseado al proceso.

Válvula: 0-100% 1 - 4 s

Transductor Mide la variable

controlada

Escala dada para tener

una buena exactitud,

por ejemplo: 150C -

300C

Típicamente de unos

pocos segundos a varios

minutos.


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1.4. SELECCIÓN Y DISEÑO DE LOS ESQUEMAS DE CONTROL.

Las operaciones básicas que están presentes en todo sistema de control, asociadas a los

elementos básicos anteriormente descritos, son las siguientes:

Medición (M): la medición de la variable que se controla se realiza por medio del

transductor y el transmisor.

Decisión (D): basado en la medición realizada, el controlador decide qué hacer para

mantener la variable en el valor que se desea.

Acción (A): como resultado de la decisión que toma el controlador, se debe efectuar una

acción en el sistema, generalmente esta acción es realizada por el elemento final de control

(válvula u otro elemento final de control).

Para seleccionar y diseñar esquemas de control se deben seguir tres pasos esenciales:

1.4.1. Conocer bien el proceso, variables de entrada/salida (manipuladas, controladas, no-

controladas y perturbaciones), dinámica, régimen estacionario, etc.

1.4.2. Modelar o identificar adecuadamente el proceso.

1.4.3. La mejor estrategia de control es la más sencilla de implementar, con la que se pueda

controlar el proceso.

En el desarrollo de los sistemas de control de proceso, se debe hacer especial hincapié en la

definición del resultado final deseado y en la determinación de cuando se ha logrado tal

resultado. El diseño del sistema de control para cualquier unidad debe encaminarse al empleo

de índices de funcionamiento como punto de referencia.

1.5. PARÁMETROS CARACTERÍSTICOS DE UN PROCESO:

1.5.1. Ganancia del Proceso.

La ganancia se define como la tasa de cambio en la salida o variable de respuesta controlada,

para un cambio en la entrada o función forzada. Matemáticamente, esta ganancia se expresa de

la siguiente manera:

K = Q

I

Salida

Entrada

Variable de Respuesta

Función Forzada

(1.1)

Según este concepto, la ganancia explica qué tanto varía salida por unidad de cambio en la

entrada; en otras palabras, qué tan sensible es la salida con un cambio en la entrada. Para el

tanque de gas en la figura 1.6.


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FI, scfm F, scfm

vp, %

P, psig

Figura 1.6. Tanque de Gas.

La ganancia es:

K =P

vP

psi

%vP

(1.2)

Esto explica qué tanto varía la presión del tanque por un cambio de unidad en porcentaje de la

posición de la válvula. Como en ejemplos previos, la ganancia nos dice cuál es la sensibilidad

de la variable controlada ante un cambio en la variable de entrada.

El valor numérico: en las unidades de cada proceso existen diferentes tipos de ganancias,

considérese el ejemplo del tanque de gas. La figura 1.7 proporciona la ganancia o sensibilidad,

relacionando la presión del tanque y la posición de la válvula. Si se cambia el flujo de entrada

al tanque, la posición de la válvula se mantiene constante y la presión responderá, como se

muestra en la figura 1.7.

Fi, scfm

Tiempo

Fi

Entrada

P, psig

Tiempo

P

Salida

Figura 1.7. Respuesta de la Presión en el tanque con un cambio escalonado en el Flujo de

entrada.

Para este caso la ganancia es dada por:

scfm

psi ,

FF

PK (1.3)

La ganancia solamente relaciona valores de estado estacionario o estable; es decir, qué tanto

cambia la salida en función de la entrada. La ganancia no dice la rapidez con que ocurre el

cambio. En otras palabras, la ganancia es una característica de estado estacionario del proceso.


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1.5.2. Constante de Tiempo del Proceso ().

La constante de tiempo se define como la cantidad de tiempo que toma la variable controlada

para alcanzar el 63,2% de un cambio total. Este tiempo se cuenta desde el momento en que la

variable comienza a responder. La constante de tiempo se relaciona con la velocidad de

respuesta del proceso. Mientras más rápido sea un proceso, más breve será la unidad de

tiempo, y a la inversa. La unidad de tiempo normalmente usada es el minuto. En síntesis, la

constante de tiempo () nos indica con qué rapidez ocurre un proceso, una vez que comienza a

responder ante un cambio en la entrada. De este modo, la constante de tiempo es una

característica relacionada con la parte dinámica del proceso.

1.5.3. Tiempo Muerto (to).

Es la cantidad finita de tiempo entre el cambio en la entrada y el cambio desde que la salida

comienza a responder. La mayoría de los procesos tienen cierta cantidad de tiempo muerto,

siendo esto un limitante para conseguir un control adecuado, ya que proporciona un gran

efecto adverso sobre cualquier sistema de control.

En la figura 1.8 se ilustra gráficamente la constante de tiempo y el tiempo muerto en un

proceso.

Fi, scfm

Tiempo

Fi

Entrada

P, psig

Tiempo

P

Salida

to

63,2%

Figura 1.8. Constante de Tiempo y Tiempo Muerto de un Proceso.

1.6. CONTROL REALIMENTADO

Las figuras 1.9a y 1.9b muestra el sistema de control a lazo cerrado, la información sobre la

variable controlada se vuelve a alimentar como base para controlar una variable del proceso.

En la figura 1.9c se aprecia un ejemplo del Sistema de Control Realimentado.


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Entrada Proceso Salida

Retroalimentación

Figura 1.9a. Esquema de un Sistema de Control Realimentado.

Controlador

Transductor

Proceso

Elemento

Final

Perturbaciones Otras Salidas

Variable

Controlada

Variable

Manipulada

Valor Deseado

(Set Point)

Figura 1.9b. Diagrama de Bloques de un Sistema de Control Realimentado.

TI

TC

Aceite

Caliente

F

Flujo

Producto

Figura 1.9c. Ejemplo de un Control Realimentado (TI: Indicador de Temperatura; TC:

Controlador de Temperatura; F: Medidor de Flujo).

En el control a lazo cerrado, la información sobre la variable controlada se vuelve a alimentar


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como base para manipular una variable del proceso.

Los controladores por retroalimentación son aquellos que toman decisiones para mantener el

punto de operación, mediante el cálculo de la salida con base a la diferencia entre la variable

que se controla y el punto de control o “Set Point”, como se aprecia en la figura 1.9b.

La principal desventaja de los sistemas de control por retroalimentación es que, para

compensar la entrada de perturbaciones, la variable controlada se debe desviar del punto de

control, se actúa sobre un error entre el punto de operación y la variable controlada, lo cual

significa que, una vez que una perturbación entra al proceso y afecta la calidad del producto, se

debe esperar que el sistema opere con esa señal para luego ejercer una acción correctiva.

La ventaja del control por retroalimentación consiste en que es una técnica muy simple, que

compensa todas las perturbaciones. Cualquier perturbación puede afectar a la variable

controlada, cuando esta se desvía del punto de control, el controlador cambia su salida para

que la variable regrese al punto de control.

Los controladores por retroalimentación más utilizados son: controlador Proporcional (P),

controlador Proporcional – Integral (PI) y el controlador Proporcional – Integral – Derivativo

(PID).

1.7. CONTROL POR ACCIÓN PRECALCULADA (FEED FOWARD).

En un sistema de control por acción precalculada, las perturbaciones se compensan antes de

que afecte a la variable controlada, se miden las perturbaciones antes de que entren al proceso

y se calcula el valor que se requiere de la variable manipulada para mantener la variable

controlada en el valor que se desea o punto de operación (Set Point).

En la Figura 1.7 se ilustra un esquema de control por acción precalculada.

FT TT

Controlador por acción

Precalculada TY

Vapor

Ti (t)Q(t)

T(t)

Figura 1.7. Esquema del Controlador por Acción Precalculada.


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1.8. CONTROL ROBUSTO.

La robustez de un controlador viene medida por la capacidad de respuesta ante los cambios de

los parámetros nominales del proceso, sin modificar los parametros de sintonizacion del

proceso, tales cambios afectan el proceso. Se dice que un controlador es muy robusto cuando

esos cambios no afectan en gran medida las variables controladas, y se mantiene un nivel de

control adecuado del proceso.

1.9. LINEALIZACIÓN Y VARIABLES DE DESVIACIÓN.

Las respuestas dinámicas obtenidas en la mayoría de los procesos industriales presentan el

inconveniente de no ser lineales, por tal motivo no se pueden representar mediante ecuaciones

lineales. Desafortunadamente, con la transformada de Laplace solo podemos analizar sistemas

lineales, otro problema que se presenta es que no existe una técnica sencilla y universal para

analizar un sistema no lineal con el que se pueda generalizar para una amplia variedad de

sistemas físicos.

Para que una ecuación sea lineal, ninguno de sus términos debe contener más de una variable o

derivada y esa variable debe estar a la primera potencia.

Las ecuaciones no lineales se pueden aproximar a ecuaciones lineales por medio de la técnica

de linealización, las cuales se pueden analizar mediante transformadas de Laplace (que se

estudiara mas adelante), la suposición básica es que la respuesta de la aproximación lineal

representa la respuesta del proceso en la región cercana al punto de operación alrededor del

cual se realiza la linealización.

Para facilitar el manejo de las ecuaciones linealizadas se utilizan las variables de desviación o

perturbación.

1.9.1.Variable de desviación.

La variable de desviación es la diferencia que existe entre el valor de la variable o señal y el

valor en el punto de operación, en otras palabras, la variable de desviación es la desviación de

una variable respecto a su valor de operación o base como se puede apreciar en la figura 1.8.

X ( t ) x ( t ) x_

(1.4)

Donde:

X(t): Es la variable de desviación.

x(t): Es la variable absoluta correspondiente.

x : Es el valor de x en el punto de operación.


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Figura 1.8. Variable de desviación.

La principal ventaja de la utilización de la variable de desviación se deriva del hecho de que el

valor base x es generalmente, el valor inicial de la variable y además el punto de operación

está generalmente en estado estacionario, es decir, las condiciones iniciales de las variables de

desviación y sus derivadas son todas cero.

1.9.2. Linealización aproximada.

Considérese la ecuación diferencial de primer orden

kx(t)fdt

dx(t) (1.5)

Donde x(t)f , es una función no lineal de x, y k es una constante. La expansión por series de

Taylor de x(t)f , alrededor del valor x , esta dada por

f[x(t)] = f(x) + df

dxx x(t) - x +

1

2!

d f

dxx x(t) - x +

1

3!

d f

dxx x(t) - x +.....

2

2

3

3( ) ( ) ( ) (1.6)

La aproximación lineal consiste en eliminar todos los términos de la serie, con excepción de

los dos primeros:

f x( t ) f(x)df

dx(x) x( t ) - x (1.7)

Al sustituir la definición de variable de desviación X(t) de la ecuación (1-4) se tiene:


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x - x(t) dx

df x f x(t) f (1.8)

En la figura 1.9 se da la interpretación gráfica de esta aproximación. La aproximación lineal es

una línea recta que pasa por el punto x, f(x) , con pendiente )x(dx

df; esta línea es, por

definición, tangente a la curva f(x) en x . Nótese que la diferencia entre la aproximación lineal

y la función real es menor en las cercanías del punto de operación x , y mayor cuando se aleja

de este. Es difícil definir la región en que la aproximación lineal es lo suficientemente exacta

como para representar la función no lineal; tanto más no lineal es una función cuanto menor es

la región sobre la que la aproximación lineal es exacta.

De la substitución de la Ec. 1.8 de aproximación lineal en la Ec. (1.4), tenemos:

k X(t) ) x ( dx

df) x ( f ) t x( f (1.9)

En la figura 1.9 se puede apreciar la interpretación gráfica de esta aproximación:

Figura 1.9. La aproximación lineal.

La aproximación lineal es una línea recta que pasa por el punto x, f(x) , con pendiente

df/dx.(x); esta línea es tangente a la curva f(x) en x .

Se puede observar que la diferencia entre la aproximación lineal y la función real es menor en

las cercanías del punto de operación x , y mayor cuando se aleja de este.

Los siguientes son ejemplos de algunas funciones no lineales más usadas en los modelos de

proceso:


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1.- Dependencia de Arrhenius de la tasa de reacción de la temperatura.

) E/RT(

0 .ek) T (k (1.10)

Donde k0, E y R son constantes.

2.- Presión de vapor de una sustancia pura (ecuación de Antoine).

] ) CT (B/ A [o e) T (p (1.11)

Donde A, B y C son constantes.

3.- Equilibrio vapor - liquido por volatilidad relativa.

x 1) (1

x.)x y(

(1.12)

Donde es una constante.

4.- Caída de presión a través de accesorios y tuberías.

2k F) F P( (1.13)

Donde k es una constante

5.- Razón de transferencia de calor por radiación 4T A ) T q( (1.14)

Donde , y A son constantes.

6.-Entalpia como función de la temperatura.

H(T)=H0 + AT + BT2 + CT3 + DT4 (1.15)

Donde H0, A, B, C y D son constantes.

1.9.2.1. Linealización de Funciones con dos o más variables.

Considérese la función no lineal de dos variables f[x(t), y(t)]; la expansión por series de Taylor

alrededor de un punto )y ,x( , está dada por:

... y - y(t) )y ,x(dy

fd

3!

1 x - x(t) )y ,x(

dx

fd

3!

1

y - y(t) )y ,x(dy

fd

2!

1 x - x(t) )y ,x(

dx

fd

2!

1

y - y(t) )y ,x(dy

df x - x(t) )y ,x(

dx

df )y ,x( f = y(t)][x(t), f

3

3

33

3

3

2

2

22

2

2

(1.16)


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La aproximación lineal consiste en eliminar los términos de segundo orden o superior, para

obtener:

y - y(t) )y ,x(dy

df x - x(t) )y ,x(

dx

df )y ,x( f = y(t)][x(t), f (1.17)

El error de esta aproximación lineal es pequeño para x e y, en la vecindad de y e x .

En general, una función con n variables x1, x2, . . ., xn, se linealiza mediante la fórmula:

x - x xd

df )x ., . . . ,x ,x( f

x - x xd

df . . . x - x

xd

df x - x

xd

df )x ., . . . ,x ,x( f = ]x ., . . . ,x ,x[ f

n

1kkk

k

n21

nn

n

22

2

11

1

n21n21

(1.18)

Donde dx

df

k

, designa las derivadas parciales que se evalúan en )x ., . . . ,x ,x( n21 .

1.9.3. La Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace consiste en un tipo de transformación lineal, reversible, mediante

la cual se transforma una función en el dominio tiempo (f(t)) en una función en el dominio “s”

(F(s)).

La ecuación que realiza la transformada de Laplace es la siguiente:

dtef(t) L(s)F(s)T

0

st (1.19)

Existen varías propiedades que cumple la transformada de Laplace, tales como:

Linealidad:

F(s)*k f(t) L*k f(t) *k L (1.20)

Teorema de la diferenciación real:

f(0) F(s)* s dt

df(t) L

(1.21)

Teorema de la integración real:

F(s)* s

1 dt f(t) L

t

0

(1.22)


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Teorema de la diferenciación compleja:

F(s)ds

d f(t) *t L (1.23)

Teorema de la translación real:

F(s)e to)f(t L sto (1.24)

Teorema de la traslación compleja:

a) F(s f(t) e L at (1.25)

Teorema del valor final:

F(s)s 0s

Lim f(t)

t

Lim

(1.26)

Teorema del valor inicial:

F(s)s s

Lim f(t)

0t

Lim

(1.27)

En la tabla 1.2 se puede apreciar las funciones más comunes de la transformada de Laplace.

Tabla 1.2. Funciones Comunes de la Transformada de Laplace.

f(t) F(s) = L{f(t)}

(t) 1

u(t) 1/s

T 1/s2

tn n!/sn+1

e-at 1/(s+a)

te-at 1/(s+a)2

tne-at n!/(s+a)n+1

Sen (t) /(s2+2)

Cos (t) s/(s2+2)

e-atSen (t) /{(s+a)2+2}

e-atCos (t) (s+a)/{(s+a)2+2}


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1.10. Tipos de Procesos:

Los procesos pueden clasificarse en dos tipos, entre los cuales se tienen:

Procesos Auto regulables.

Procesos no Auto regulables.

Procesos Auto regulables

Son aquellos procesos que con cambios forzados (escalón) en la entrada, la salida alcanzan

condición de operación estable.

Ti, C

Tiempo

Entrada

T, °C

Tiempo

S

Salida

Figura 1.10. Respuesta de un proceso auto regulable.

Procesos no Autoregulables

Son aquellos que con un cambio forzado (escalón) en la entrada, las salidas del proceso no

alcanzan, en principio una nueva condición de operación. Como se nota en la figura 1.11, la

condición final será una condición extrema de operación.

Tiempo

E

Entrada

Tiempo

S

Salida

Proceso

Figura 1.11. Respuesta de un Proceso no Auto regulable.

1.11. ESTABILIDAD DEL CIRCUITO DE CONTROL.

Un sistema es estable si su salida permanece limitada. La mayoría de los procesos industriales

son estables a lazo abierto, es decir, son estables cuando no forman parte de un circuito de

control por retroalimentación; esto equivale a decir que la mayoría de los procesos son


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autoregulables, o sea, la salida se mueve de un estado estable a otro, debido a los cambios en

las señales de entrada. Un ejemplo típico de proceso inestable a circuito abierto es el tanque

exotérmico de reacción con agitación, en el cual algunas veces existe un punto de operación

inestable en el que al incrementar la temperatura, se produce un incremento en la tasa de

reacción, con el consecuente incremento en la tasa de liberación de calor, lo cual, a su vez,

ocasiona un mayor incremento en la temperatura.

Aun para los procesos estables a circuito abierto, la estabilidad vuelve a ser considerable

cuando el proceso forma parte de un circuito de control por retroalimentación, debido a que las

variaciones en las señales se refuerzan unas a otras conforme viajan sobre el circuito, y

ocasionan que la salida - y otras señales en el circuito – se vuelvan ilimitadas.

Los circuitos de control por retroalimentación son esencialmente oscilatorios, es decir, de

ensayo y error. En algunas circunstancias, las oscilaciones se pueden incrementar en magnitud,

de lo cual resulta un proceso inestable. La ilustración más sencilla de un circuito de

retroalimentación inestable es el controlador cuya dirección de acción es opuesta a la que

debería ser, por tal motivo se debe tener cuidado en seleccionar si el controlador debe ser de

acción directa o de acción inversa. Sin embargo, aun con el controlador de acción adecuada, el

sistema se puede volver inestable, debido a los retardos en el circuito, lo cual ocurre

generalmente cuando se incrementa la ganancia del circuito. En consecuencia, la ganancia del

controlador a la que el circuito alcanza el umbral de inestabilidad es de gran importancia en el

diseño de un circuito de control con retroalimentación. Esta ganancia máxima se conoce como

ganancia última.

1.11.1. Criterio de estabilidad.

La respuesta de un circuito de control a una cierta entrada se puede representar mediante la

siguiente ecuación:

)aentrad de terminos(eb..............ebebc(t) tr

n

tr

2

tr

1n21 (1.28)

Respuesta sin forzamiento Respuesta forzada.

Donde:

c(t) es la salida del circuito o variable controlada.

r1, r2,................., rn son las raíces de la ecuación característica del circuito.

Si se supone que los términos de entrada permanecen limitados conforme se incrementa el

tiempo, la estabilidad del circuito requiere que también los términos de la respuesta sin

forzamiento permanezcan limitados conforme se incrementa el tiempo; esto depende

únicamente de las raíces de la ecuación característica, y se puede expresar como sigue:

Para raíces reales: Si r < 0, entonces ert 0 conforme t

Para raíces complejas: r = + iwert = ert(cos wt +i sen wt)

Si < o, entonces ert(cos wt +i sen wt) 0 conforme t


21

En otras palabras, la parte real de las raíces complejas, así como las raíces reales, deben ser

negativas para que los términos correspondientes de la respuesta de la tiendan a cero. A este

resultado no le afectan las raíces repetidas, ya que únicamente se introduce un polinomio de

tiempo en la solución, que no suprime el efecto del término exponencial de decaimiento. Es de

notar que, si cualquier raíz de la ecuación característica es un número real positivo o un

número complejo con parte real positiva, en la respuesta [ecuación(1-28)] ese termino no

estará limitado y la respuesta completa será ilimitada, aun cuando los demás términos tiendan

a cero; esto lleva al siguiente enunciado del criterio de estabilidad para un circuito de control.

Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable todas las raíces de su ecuación

característica deben ser números reales negativos o números complejos con partes reales

negativas.

Si ahora se define el plano complejo “s” como una gráfica de dos dimensiones con el eje

horizontal para la parte real de las raíces y el vertical para la parte imaginaria, se puede hacer

el siguiente enunciado gráfico del criterio de estabilidad en la figura 1.12.

Real

Imaginario

Plano Izquierdo Plano Derecho

Estable Inestable

Plano s

Figura 1.12. Plano s en que se ilustran las regiones de estabilidad e inestabilidad, según la

ubicación de las raíces de la ecuación característica.

Para que el circuito de control con retroalimentación sea estable, todas las raíces de su

ecuación características deben caer en la mitad izquierda del plano “s” que también se conoce

como “plano izquierdo”.

Cabe hacer notar que ambos enunciados del criterio de estabilidad en el dominio de Laplace

se aplican en general a cualquier sistema físico, y no solamente a circuitos de control con

retroalimentación. En cada caso la ecuación característica se obtiene por igualación a cero del

denominador de la forma lineal de la función de transferencia del sistema.


22

1.11.2. Prueba de Routh.

La prueba de Routh es un procedimiento para determinar el número de raíces de un polinomio

con parte real positiva sin necesidad de encontrar realmente las raíces por métodos iterativos.

Puesto que para que un sistema sea estable se requiere que ninguna de las raíces de su

ecuación característica tenga parte real positiva, la prueba de Routh es bastante útil para

determinar la estabilidad.

Con la disponibilidad que se tiene actualmente de programas de computadora para encontrar

las raíces de los polinomios, la prueba de Routh no sería útil si el problema fuera

exclusivamente encontrar si un lazo de realimentación es estable o no, una vez que se

especifican todos los parámetros del circuito; sin embargo, el problema más importante es

determinar los límites de un parámetro específico del circuito –generalmente la ganancia del

controlador- dentro de los cuales el circuito es estable, y la prueba de Routh es de lo más útil

para resolver dicho problema.

El procedimiento para efectuar la prueba de Routh se presenta en la ecuación (1-29); dado un

polinomio de grado n:

0 a sa . . . . sa sa 01

11-n

1-nn

n (1.29)

Donde an, an-1, . . . ., a1, a0 son los coeficientes del polinomio; se debe determinar cuántas

raíces tienen parte real positiva.

Para realizar la prueba, primero se debe preparar el siguiente arreglo:

Fila 1: an an-2 an-4 . . . a1 0

Fila 2: an-1 an-3 an-5 . . . a0 0

Fila 3: b1 b2 b3 . . . 0 0

Fila 4: c1 c2 c3 . . . 0 0

.

.

.

Fila n: d1 d2 0 . . . 0 0

Fila n+1: e1 0 0 . . . 0 0

En el cual los datos de la fila 3 a la n+1 se calculan mediante:

a

aa - aa b

1-n

3-nn2-n1-n1 ,

a

aa - aa b

1-n

-5nn4-n1-n2 , etc.

b

ba - ab c

1

21-n3-n11 ,

b

ba - ab c

1

31-n5-n11 , etc.

Y así sucesivamente, el proceso continúa hasta que todos los términos nuevos sean cero. Una


23

vez que se completa el arreglo, se puede determinar el número de raíces con parte real positiva

del polinomio, mediante el conteo de la cantidad de cambios de signo en la columna extrema

izquierda del arreglo; en otras palabras, para que todas las raíces del polinomio estén en el

plano “s” izquierdo, todos los términos en la columna izquierda del arreglo deben tener el

mismo signo.

1.12. FUNCIONES DE TRANSFERENCIA DE LAZO ABIERTO Y DE LAZO

CERRADO.

La figura 1.13, muestra el diagrama de bloques general de un lazo de control de

retroalimentación, en el cual el proceso tiene una función de transferencia Gp(s); la válvula de

control, una función de transferencia Gv(s); el controlador, una función de transferencia Gc(s);

y el transductor/transmisor, una función de transferencia H(s).

Gc (s) Gv (s) Gp (s)

H(s)

Gl (s)

Va(s)+

-

e(s) m(s) F(s) +

+

C(s)

L(s) U(s)

O(s)

Figura 1.13. Diagrama de Bloques General de un Lazo de Control por Retroalimentación.

La función de transferencia Gp(s) relaciona a la variable controlada C(s) con la variable

manipulada F(s). En tanto que la función de transferencia Gl(s) relaciona la variable controlada

C(s) con la variable de perturbación L(s). Estas dos son las funciones de transferencia de lazo

abierto del proceso. En lazo abierto (cuando no hay control), la respuesta del proceso depende

solamente de Gp(s) y de Gl(s).

Sin embargo, en lazo cerrado, cuando el proceso opera con un sistema de control automático

como el descrito en la figura 1.13, la respuesta del proceso depende de todas las funciones de

transferencia que intervienen en el lazo de control. La función de transferencia de lazo cerrado

(para cambios en el valor deseado) C(s)/Va(s), se puede determinar a partir del diagrama de

bloques de la figura 1.13, utilizando la siguiente relación:

C(s) = Gp(s).F(s) + Gl(s).L(s) (1.30)

Si no se presentan cambios en L(s) se obtiene que:

C(s) = Gp(s).F(s) (1.31)

Ya que U(s) = Gl(s).L(s) = 0.


24

Seguidamente del diagrama de bloques, se puede obtener:

C(s) = Gp(s).F(s) (1.32)

F(s) = Gv(s).m(s) (1.33)

m(s) = Gc(s).e(s) (1.34)

e(s) = Va(s) - O(s) (1.35)

O(s) = H(s).C(s) (1.36)

Resolviendo para hallar la función de transferencia Va(s)

C(s), se tiene:

C(s) = Gp(s).Gv(s).Gc(s).e(s) = Gp(s).Gv(s).Gc(s)[Va(s) - H(s).C(s)]

C(s) = Gp(s).Gv(s).Gc(s). Va(s) - Gp(s).Gv(s).Gc(s). H(s) .C(s)

C(s) + Gp(s).Gv(s).Gc(s). H(s) .C(s) = Gp(s).Gv(s).Gc(s). Va(s)

C(s).[1 + Gp(s).Gv(s).Gc(s). H(s)] = Gp(s).Gv(s).Gc(s). Va(s)

C(s)

Va(s)

Gp(s).Gv(s).Gc(s)

1 Gp(s).Gv(s).Gc(s).H(s)

(1.37)

La función de transferencia de lazo cerrado, con respecto a la variable de perturbación L(s),

C(s)/L(s), se determina también a partir del diagrama de bloques de la figura 1.13, de la

siguiente manera:

C(s) = Gp(s).F(s) + Gl(s).L(s) = Gp(s).Gv(s). Gc(s)[Va(s) - H(s).C(s)] + Gl(s).L(s)

sin cambios en Va(s), es decir, Va(s) = 0, la ecuación resulta:

C(s) = -Gp(s).Gv(s).Gc(s).H(s).C(s) + Gl(s).L(s)

hallando C(s)/L(s) se tiene:

C(s) + Gp(s).Gv(s).Gc(s).H(s).C(s) = Gl(s).L(s)

C(s)[1 + Gp(s).Gv(s).Gc(s).H(s)] = Gl(s).L(s)

s)).Gc(s).H(Gp(s).Gv(s1

(s)G

L(s)

C(s) l

(1.38)

Siendo el denominador de la ecuación 1.38 la ecuación característica del sistema de control.


19

Capitulo 2

Controladores PID

2.1. Introducción.

El control automático de un proceso requiere de un sistema que ajuste automáticamente

una(s) variable(s) del proceso para mantener otra (s) dentro de límites establecidos. Una de

las formas más comunes de controlar un proceso es utilizar un sistema de control por

retroalimentación, o de lazo cerrado. En este se mide, la variable que se quiere controlar;

esta medición va retroalimentada al controlador para compararla con el valor deseado, y

determinar la corrección necesaria, en caso de que exista alguna diferencia entre su valor

actual y el valor deseado. El comportamiento del sistema de control es evaluado con base

en la característica de la respuesta en el tiempo de la variable controlada. Este

comportamiento depende del tipo de proceso, del tipo de controlador y de la forma en que

es ajustado para producir una determinada señal de control.

La relación que existe entre la señal de salida de un controlador y el error en la variable

controlada (diferencia entre el valor deseado y el valor instantáneo de la variable

controlada) se denomina “Acción de Control”. Por lo tanto, un controlador tendrá una

acción de control dada por esta relación. Comercialmente existen controladores que pueden

tener una de las siguientes acciones:

Tabla 2.1. Acciones de los Controladores Comerciales.

Acción de Control

Proporcional (P)

Proporcional más Integral (PI)

Proporcional más Derivativo (PD)

Proporcional más Integral más Derivativo (PID)

Dos Posiciones (ON – OFF)

Estas acciones son las que normalmente encontramos en un controlador, sin embargo, el

empleo de controladores programables y dispositivos de control computarizados permiten

la programación de acciones de control diferentes a las mencionada anteriormente.


20

2.2.- Modo de Control Proporcional

Gc (s) Gv (s) Gp (s)

H(s)

Gl (s)

Va(s)+

-

e(s) m(s) F(s) +

+

C(s)

L(s) U(s)

O(s)

Figura 2.1. Diagrama de Bloques General de un Lazo de Control por Retroalimentación.

Un controlador de acción proporcional puede ser descrito por la siguiente ecuación:

m(t) = Mo + Kc e(t) (2.1)

Donde:

m(t) : Señal de salida del controlador (Variable Manipulada).

Kc : Ganancia proporcional (parámetro ajustable).

Mo : Señal de salida del controlador cuando el error es cero (normalmente se le

conoce como “bias”).

e(t) : Error.

De la Ec. 2.1, se puede deducir que en un controlador de acción proporcional la señal de

salida del controlador (señal de control) es proporcional al error. Al aplicar transformada de

Laplace a dicha ecuación se tiene como resultado la función de transferencia representada

en la Ec. 2.2, para un controlador de acción proporcional:

Kce(s)

M(s)Gc(s) (2.2)

Al igual que la ganancia del proceso, la ganancia proporcional generalmente se expresa

porcentualmente. Sin embargo, muchos controladores tienen el ajuste proporcional

expresado en función de la banda proporcional, la cual puede definirse como el porcentaje

de variación en la variable controlada que hace que la señal de salida del controlador

cambie desde 0 % a 100 %, como se observa en la ecuación 2-4.

Para ilustrar mejor el concepto de banda proporcional suponga el siguiente ejemplo:

En un proceso, con un sistema de control de temperatura, la temperatura puede variar entre

20°C y 100°C. Con un controlador de temperatura que regula el flujo de agua de


21

enfriamiento al proceso, se mantiene la temperatura en 60°C (valor deseado). El controlador

esta ajustado de forma tal que cuando la temperatura llega a 40°C la válvula de agua de

enfriamiento está completamente cerradas; y cuando la temperatura llega a 80°C, la válvula

está completamente abierta. ¿Cuál es la banda proporcional?.

El porcentaje de variación en la variable controlada, sobre el cual opera el controlador es:

100

y

yx

x

%Bp

(2.3)

donde:

x : Variación de la señal de entrada.

y : Variación de la señal de salida

x : Rango de entrada.

y : Rango de salida.

Calculando se tiene:

50%100C20)(100

C40)(80%Bp

Se tiene que este 50% de variación produce una variación de 100% en la señal de salida del

controlador; luego, la banda proporcional es de 50%.

También: 100Kc

1%Bp (2.4)

En la figura 2.2, se representa gráficamente la banda proporcional obtenida:

Figura 2.2. Variación de la Señal de Salida.


22

Tanto la banda proporcional como la ganancia son de uso común, sin embargo, en este

capítulo, se utilizará la ganancia proporcional como el ajuste proporcional. A continuación

se estudiará el efecto de la acción de control proporcional sobre las características de la

respuesta de lazo cerrado.

2.3.1. Proceso de primer orden.

Tomando como ejemplo el proceso mostrado en la figura 2.3. Para simplificar el estudio se

presume que el proceso es de primer orden, y que la función de transferencia del transmisor

de temperatura y la válvula del vapor son iguales a uno.

Figura 2.3. Calentador.

El diagrama de bloques para este ejemplo corresponde al mostrado en la figura 2.3a.

Figura 2.3a. Diagrama de bloques del sistema de control del calentador.

La función de transferencia para este caso, es:

s)).Gc(s).H(Gp(s).Gv(s1

).Gc(s)Gp(s).Gv(s

Va(s)

T(s)

(2.5)

Como se presumió que la función de transferencia para el transmisor y para la válvula es de

1, es decir, Gv(s) = H(s) = 1 se tiene:

)Gp(s).Gc(s1

)Gp(s).Gc(s

Va(s)

T(s)

(2.6)


23

Con la que se obtiene el diagrama de bloques de la figura 2.3b

Va ( s ) e ( s ) T ( s )

-

+

Gc(s) = Kc Gp(s)

Figura 2.3b. Diagrama de bloques con Gv(s) = 1 y H(s) =1.

Sustituyendo los parámetros en cada una de las funciones, se obtiene:

Kc = Gc(s)y 1+ ps

KpGp(s)

1 ps

KpKc 1

1 ps

KpKc

Va(s)

T(s)

(2.7)

Esta es la función de transferencia de lazo cerrado del ejercicio del calentador,

simplificando se tiene:

T(s)

Va(s)

KcKp

ps + (1+ KcKp)

dividiendo el numerador y denominador por (1+KcKp), resulta:

1D

N

1KcKp1

ps

KcKp1

KcKp

KcKp+1

KcKp)+(1+ ps

KcKp+1

KcKp

Va(s)

T(s)

(2.8)

Donde “N” es la ganancia de lazo cerrado y “D” es la constante de tiempo de lazo cerrado.

Observe que a lazo cerrado la constante de tiempo () del sistema es menor, debido a que la

constante Kc es mayor.

Como se puede observar el orden de la función de transferencia de lazo cerrado es el mismo

que el de la función de transferencia de lazo abierto.

Debido a que KcKp es un número positivo, la constante de tiempo de lazo cerrado, “D”

siempre será menor que la constante de tiempo de lazo abierto. De este modo, el sistema de


24

lazo cerrado responderá más rápidamente que el sistema de lazo abierto. Por otro lado, la

constante de tiempo de lazo cerrado disminuye a medida que la ganancia del controlador

aumenta. Así, que una mayor ganancia del controlador implica una respuesta más rápida.

La ganancia de lazo cerrado, “N” relaciona los cambios en la variable controlada T(s) con

los cambios en el valor deseado Va(s).

Usando el calentador de la figura 2.3, como ejemplo, se observará cuál será la variación en

la temperatura T, si el valor deseado se incrementa en 10 °C en forma escalón.

De la ecuación 2.8 se tiene: T(s)

KcKp

1 KcKp

ps

1 KcKp

Va(s)

1

; sustituyendo Va(s) por su valor:

Va(s) = s

10, se tiene:

s

10

1KcKp1

ps

KcKp1

KcKp

T(s)

La variación final de la variable controlada T con respecto al nuevo valor deseado es:

T lim sT(s) = lim s

KcKp

1 KcKp

ps

1 KcKp

10

ss 0 s 0

1

(2.9)

10 1KcKp

1

1

10 KcKp1

KcKpT

(2.10)

Si KcKp => T => 10.

Como se puede observar el cambio de la variable controlada depende de la ganancia del

controlador Kc.

En la figura 2.4 se muestra la respuesta del calentador (donde se presume un

comportamiento de primer orden) para diferentes valores de Kc. El valor deseado inicial

está fijado en 60 °C. La diferencia entre el cambio en el valor deseado, cambio en la

variable controlada se conoce como error.

e C - T C 10 (2.11)


25

Sustituyendo: e 10 C -10KcKp

1 KcKp

C Para Kc , e 10 -

10

11

KcKp1

0

Se observa que el error solamente está determinado por la ganancia del controlador y por

las características de estado estacionario del proceso. La dinámica del proceso no tiene

efecto sobre el error. Como se muestra en la figura 2.4, al incrementar la ganancia del

controlador se disminuye el error. El error sería cero únicamente cuando Kc por este

se dice que la acción de control proporcional no elimina el error.

Respuesta de Primer Orden

KcKp= 1 KcKp= 2 KcKp= 4 KcKp= 10

60

65

70

2,5 5 7,5 10 12,5 Tiempo t (min)

Figura 2.4. Respuesta de un Proceso de Primer Orden, con Acción de Control

Proporcional, para un cambio en la referencia.

De las curvas de respuesta de la figura 2.4, se puede observar que aumentando la ganancia

del controlador, disminuye el error y la respuesta se hace más rápida, siendo estas dos

condiciones deseables. Esto sugiere que la ganancia del controlador debería ajustarse lo más

alto posible. Desafortunadamente esto solamente es cierto para los procesos de primer

orden. En procesos de orden mayor, el aumento de la ganancia del controlador produce

otros efectos que limitan los valores aceptables de Kc.

2.3.2. Procesos de segundo orden.

La figura 2.5 muestra el diagrama de bloques de un proceso de segundo orden con acción

de control proporcional. De la misma forma que en el caso anterior, el diagrama de bloques

se obtiene, haciendo Gv(s) = H(s) = 1.

Figura 2.5. Diagrama en bloques de un sistema de segundo orden.


26

En este caso, la función de transferencia de lazo cerrado, con respecto al valor deseado se

obtiene de la siguiente manera:

1)sp 1)(sp (

KcKp1

1)sp 1)(sp (

KcKp

Va(s)

C(s)

21

21

(2.12)

C(s)

Va(s)

KcKp

p p KcKp1 2

( )( ) s s1 1

(2.13)

resolviendo el denominador de la función de transferencia:

KcKp+1+)sp + p (sp p

KcKp

Va(s)

C(s)

21

2

21 (2.14)

dividiendo toda la expresión por 1+KcKp se tiene:

1+sKcKp+1

p + p s

KcKp1

p p

KcKp+1

KcKp

Va(s)

C(s)

21221

(2.15)

El termino: KcKp

1+ KcKp es la ganancia del lazo cerrado, y es igual a la expresión obtenida en

el caso anterior en un proceso de primer orden, lo cual confirma que el error (offset) no es

afectado por la presencia de una segunda constante de tiempo en la función de transferencia

(no depende de la dinámica del proceso). Solamente depende de la ganancia del controlador

Kc.

El efecto de la ganancia del controlador sobre la velocidad de respuesta y sobre la

estabilidad del lazo de control se puede deducir, analizando el denominador de la función

de transferencia de segundo orden que tiene la forma general, como se muestra a

continuación

1 + s 2 +s

Kp

X(s)

Y(s)G(s)

p22

p

De acuerdo a los términos del denominador e igualando se obtiene:

p p p

1 KcKp p =

p p

1 KcKp

2 1 2 1 2

Constante de tiempo en lazo cerrado (frecuencia de resonancia)


27

2

2

p =

p p

1 KcKp

p p

p 1 KcKp

1 2 1 2

(2.16)

p p

p p

1 KcKp1 KcKp

p p

p p 1 KcKp

1 2

1 2

1 2

1 222

(2-17)

Donde:

: Coeficiente de amortiguamiento.

Las ecuaciones anteriores muestran que la constante de tiempo de lazo cerrado p, al igual

que en el caso anterior del control de un proceso de primer orden, es función de la ganancia

del controlador. A medida que Kc aumenta, p es menor, por lo tanto, la respuesta del lazo

de control es más rápida.

Al analizar la ecuación 2.17, se observa que un aumento de la ganancia del controlador,

produce una disminución en el valor del coeficiente de amortiguamiento . En el punto

anterior se estableció que la estabilidad de un sistema o proceso de segundo orden está

estrechamente relacionada con el valor de . En particular, se vio que 0 < < 1, la

respuesta sería subamortiguada.

Las oscilaciones y el sobreimpulso de la respuesta del lazo de control serán mayores a

medida que Kc aumenta. Como se vio anteriormente esto limita el valor máximo de Kc.

En la figura 2.6 se pueden observar las curvas de respuesta del sistema de control, del

proceso de segundo orden esquematizado en la figura 2.5, frente a una perturbación tipo

escalón unitario en el valor deseado, para diferentes valores de Kc. El análisis de las curvas

de respuesta confirma lo siguiente.

El error disminuye al aumentar la ganancia del controlador.

La respuesta es más rápida al aumentar, la ganancia del controlador.

El valor de sobreimpulso y las oscilaciones se incrementan al aumentar la ganancia del

controlador.


28

Kc= 10

Kc= 4

Kc= 2 Kc= 1

0

0,5

1,0

10 20 Tiempo t (min)

1,5 Kp=1 %/%

tp1= 10 min

tp2=2,5 min

Respuesta de Segundo Orden

Figura 2.6. Respuesta de un Proceso de Segundo Orden con Acción de Control

Proporcional, Cambio de Escalón en el Valor Deseado.

Se concluye que un controlador de acción proporcional no elimina el error. Solo una alta

ganancia permite reducir el error a un mínimo. En la práctica, la ganancia del controlador se

aumenta asta que el sobreimpulso y las oscilaciones alcanzan un limite aceptable.

2.4.- Modo de Control Proporcional mas Integral (PI).

Una de las desventajas de la acción de control proporcional es que no puede eliminar el

error. Para compensar esta dificultad, muchos controladores de procesos incorporan una

acción de control adicional, llamada acción integral, la cual permite eliminar el error. Como

se observara más adelante, la respuesta de la acción integral está basada en la integral del

error.

Un controlador de Acción Proporcional más Integral puede describirse por medio de la

siguiente ecuación:

dt e(t)i

1KcKce(t)Mom(t)

0

t

(2.27)

Donde, i es un parámetro ajustable y se denomina “tiempo integral”, normalmente se

expresa en minutos. Se observa que el coeficiente de la acción integral disminuye al

aumentar el tiempo integral, esto genera una relación inversa entre el tiempo integral y la

acción integral (i = significa que no hay acción integral).

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación 2.27, se obtiene la función de

transferencia de un controlador de acción proporcional más integral como se muestra en la

ecuación 2.28.


29

is

11KcE(s)

i

KcE(s)KcE(s)M(s) (2.28)

is

11Kc.

e(s)

m(s)Gc(s)

(2-29)

En las ecuaciones anteriores se observa que la señal de salida de un controlador

proporcional más integral consta de dos partes:

La primera es proporcional al error.

La segunda es proporcional a la integral del error.

La figura 2.7, muestra la respuesta de un controlador de acción proporcional más integral

ideal frente a un cambio en escalón (E) en la señal de error.

E

0Tiempo

Señal de Error

20%

2KcE

Señal de

Respuesta

KcE

i

Contribución

Integral

Contribución

Proporcional

Tiempo

Figura 2.7. Respuesta de un controlador Proporcional más Integral frente a una entrada

escalón.

Inicialmente la salida del controlador es del 20%. Cuando el error varia desde 0 hasta E, la

acción proporcional inmediatamente cambia la salida en una magnitud igual a KcE y

permanece constante. La salida de la acción de control integral no se modifica

instantáneamente con el error, sino que varía linealmente con el tiempo.

De la ecuación 2-27 para un error constante E, se tiene que la componente de la ecuación

proporcional es una constante igual a Kc.E, y la componente de la acción integral es una

rampa igual a Kc.E.t/i.

t

0

Edti

KcEKcMom(t) (2.30)

i

tEKcKcEMom(t)

(2.31)

De la ecuación 2.28, se obtiene:


30

is

11Kc

E(s)

M(s)

(2.32)

De esto se deduce que la acción proporcional actúa primero, respondiendo

instantáneamente cuando cambia el error, mientras que la acción integral cambia

linealmente en el tiempo proporcional al error.

El tiempo integral i se define como el tiempo necesario para que la respuesta de la acción

integral sea igual a la respuesta de la acción proporcional. La figura 2.7, muestra que,

cuando la respuesta de acción integral alcanza el valor Kc.E (la respuesta total es Kc.E +

Kc.E 0 2 Kc.E), el tiempo transcurrido es igual a i.

Para estudiar las características de la acción de control proporcional más integral, se toma

como ejemplo el lazo de control mostrado en la figura 2.8.

Vd (s) e (s) m (s) C (s)

b (s)

-

+

s

11Kc

i 1s

Kp

p

Figura 2.8. Diagrama de bloques de un proceso de primer orden con acción de control PI.

La función de transferencia de lazo cerrado que relaciona la variable controlada C(s) con el

valor deseado Va(s) se describe como sigue:

1 ps

Kp

is

11Kc1

1 ps

Kp

is

11Kc

Va(s)

C(s) (2.33)

KcKp KcKp)s (1 i ps i

1) is KcKp(

1)is KcKp(1) psis(

1) is KcKp(

Va(s)

C(s)2

(2.34)

Ahora suponga que sé esta interesado en conocer cuál es el error producido por una

perturbación tipo escalón, por encima de 10 °C en el valor deseado Va(s). Sustituyendo el

valor de Va(s) en la ecuación 2.34, se tiene:

s

10


1) is KcKp(C(s)

2

El cambio de la variable controlada respecto al nuevo valor deseado es:


31

s

10


1) is KcKp(slim sC(s)lim C

20s0s

(2.35)

C = 10 °C.

La diferencia entre el cambio que sufre por el valor deseado y el cambio experimentado por

la variable controlada es el error. En este caso el error es:

Error = 10 °C - C.

10 °C – 10 °C = 0 error = 0

.

Como se estableció anteriormente, el controlador de acción proporcional más integral tiene

la capacidad de eliminar el error.

Las características dinámicas de la respuesta de lazo cerrado dependen de las raíces del

denominador (polos) de la función de transferencia. Para que el sistema de control sea

estable, todos los polos deben ser números reales negativos, o números complejos con parte

real negativa.

Para hacer un análisis de la estabilidad de lazo de control es convenientes expresar el

denominador de la función de transferencia en función del coeficiente de amortiguamiento:

C(s)

Va(s)

KcKp is + 1)

i p s i (1 + KcKp) s + KcKp2

(

dividiendo toda la expresión por KcKp se tiene:

C(s)

Va(s)

is + 1)

i p

KcKp s

i (1 + KcKp)

KcKp s + 12

(

KcKp (2.37)

Por analogía con la ecuación general de un proceso de segundo orden, la ecuación 2.37,

puede escribirse como:

C(s)

Va(s)

is + 1)

p c s p s + 12 2

(

2 (2.38)

donde: KcKp

p i = pc

KcKp

p i = c p 2

(2-39)

KcKp

KcKp)+ (1 i = pc 2

(2.40)


32

La ecuación 2.40 demuestra que el coeficiente de amortiguamiento es función de los dos

parámetros del controlador: Kc y i. El efecto de la ganancia del controlador sobre el valor

del coeficiente de amortiguamiento y por consiguiente, sobre la estabilidad del sistema de

control fue analizado en la sección de control proporcional de este de este manual.

El efecto del tiempo integral i sobre el valor del coeficiente de amortiguamiento y, por

ende, sobre la estabilidad puede ser analizado a partir de la ecuación 2-40. Un aumento de i

implica un aumento de , lo que hace al sistema más estable.

La figura 2.9 muestra la respuesta frente a un cambio escalón unitario en el valor deseado

del lazo de control presentado en la figura 2.8 para un valor constante de la ganancia del

controlador (K=2%/%); y para diferentes valores del tiempo integral.

Kc = 2 %/%

Kp = 1 %/% ti = 10 min

0

0,5

1,0


1,5

5

Tiempo Integral

ti= 2 min

10

20

ti=

C(t)

Res

pues

ta

Figura 2.9. Respuesta de un sistema de primer orden frente a un escalón unitario en el valor

deseado con modo de control proporcional + integral.

La figura 2.9 muestra que para valores grandes de i la respuesta es lenta, y tiende

asintóticamente al valor deseado. Para valores pequeños de i, la respuesta presenta

sobreimpulso y es oscilatoria. El ajuste apropiado del tiempo integral depende del criterio

utilizado para evaluar el comportamiento del lazo de control. Un criterio de funcionamiento

es el del mínimo sobreimpulso, en el cual la forma de la curva de respuesta se determina

principalmente por el ajuste proporcional. El tiempo integral se ajusta al valor más bajo, de

tal forma que no cambie significativamente el valor del coeficiente de amortiguamiento.

Otro criterio de funcionamiento es obtener una curva de respuesta con una razón de

amortiguamiento (Ra) igual a 1/4. Este criterio se muestra en las figuras número 2.10 y

2.11.

2.5.- Modo de Control Proporcional mas Derivativo (PD).

Un tercer modo de control es el derivativo. En la práctica, el modo derivativo se combina

con el proporcional, lo cual da origen al modo de control proporcional más derivativo (PD).

En muchos casos, también se usa acción integral formando la acción de control

proporcional más integral más derivativo (PID).


33

Un controlador proporcional más derivativo se puede representar por la siguiente ecuación:

dt

de(t). Kc+ Kc.e(t)+ Mo= m(t)

d (2.41)

Donde d es un parámetro ajustable y se denomina “tiempo derivativo”. Expresado

normalmente en minutos.

Este tipo de controlador es muy sensible al ruido presente en el sistema, por lo que se

recomienda no usar la parte derivativa en procesos que tengan mucho ruido. La razón es

que la derivada de una señal de ruido (de(t)/dt) genera valores muy altos en la salida del

controlador (m(t)), lo que podría originar una salida muy ruidosa o anular la posibilidad de

mantener controlado al proceso.

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación (2-41), se obtiene la función de

transferencia de un controlador PD

s) + Kc(1= e(s)

m(s) = Gc(s)

d (2.42)

La ecuación anterior es una ecuación ideal. Otra ecuación que puede usarse para describir

un controlador PD es

s) + (1

s) + Kc(1=

e(s)

m(s)

d

d

(2.43)

La cual representa un circuito de adelanto/atraso.

La figura 2.10 muestra la respuesta de un controlador proporcional más derivativo frente a

una variación tipo rampa (e(t)=Kt) en la señal de error. Sustituyendo este valor en la

ecuación 2.41 se tiene

dt

dKt Kc+ Kc.Kt+ Mo= m(t) d (2.44)

K Kc+ Kc.Kt+ Mo= m(t) d (2.45)

La respuesta del controlador es la suma del componente derivativo (KcdK), más el

componente proporcional (KcKt). Cuando a transcurrido un tiempo igual a d, la respuesta

del controlador es igual a dos veces el valor de la respuesta del componente derivativo

(2KcdK). De esta forma, el tiempo derivativo se define, como el tiempo requerido para que

la respuesta del modo proporcional sea igual a la respuesta del modo derivativo, cuando la

entrada sea una función rampa.


34

Pendiente = K

C(t)

Tiempo

Contribución

Derivativa

Contribución

Proporcional

td

Tiempo

m(t)

Señ

al d

e E

rror

Res

pues

ta

Figura 2.10. Respuesta de un controlador proporcional más derivativo frente a una señal

rampa.

Para estudiar las características de la acción de control proporcional más derivativo, se

toma como ejemplo el lazo de control mostrado en la figura 2.11.

e (s) m (s) C (s)

b (s)

-

+

s1Kc d 1s1s

Kp

p2 p1

Figura 2.11. Diagrama en bloques de un proceso de segundo orden con acción de control

proporcional más derivativo.

La función de transferencia de lazo cerrado que relaciona a la variable controlada C(s) con

el valor deseado Va, se puede escribir como:

1) + s ( 1) + s (

Kps) +Kc(11

1) + s ( 1) + s (

Kps) +Kc(1

Va(s)

C(s)

p2p1

d

p2p1

d

(2.46)

s) +KcKp(11) + s ( 1) + s (

s) +KcKp(1

Va(s)

C(s)

dp2p1

d

(2.47)

Suponga ahora se está interesado en conocer cuál es el error producido por una perturbación

tipo escalón unitario en el valor deseado Va(s), sustituyendo el valor de Va en la ecuación

2.47 se tiene:


35

s

1

s) +KcKp(11) + s ( 1) + s (

s) +KcKp(1C(s)

dp2p1

d

(2.48)

La variación de la variable controlada con respecto al nuevo valor deseado es:

s

1

s) +KcKp(11) + s ( 1) + s (

s) +KcKp(1 slim)s(sClim = C

dp2p1

d

0s0s

(2.49)

CKcKp

1 KcKp

La diferencia entre el cambio experimentado por el valor deseado y el cambio

experimentado por la variable controlada es el error, en este caso:

error 1 - KcK

1 KcK

(2.50)

Como se observa, el error es diferente de cero y al igual que en el caso de acción

proporcional, es función de la ganancia del controlador. Si la perturbación es constante, la

acción derivativa no tiene efecto sobre el error de estado estacionario.

La figura 2.12, muestra el efecto de la acción derivativa sobre el proceso de segundo orden

mostrado en la figura 2.11. La ganancia del controlador, para este ejemplo, a sido fijada

arbitrariamente en 8%/%. En la figura número 2.12, se observa que un argumento del

tiempo derivativo (aumento de la acción derivativa) es beneficioso para la estabilidad, pero

disminuye la velocidad de respuesta.

0

0,5

1

0 10 20

Tiempo (min)

Sistema de Segundo Orden

Kp = 1%/%, p1 = 10 min, p2 = 1,5 min

Kc = 10, d = 1 min

Kc = 5, d = 1 min

Kc = 5, d = 1 min

Figura 2.12. Efecto de la acción de control derivativo sobre la respuesta de lazo cerrado.


36

2.6.- Modo de Control Proporcional mas Integral mas Derivativo (PID).

Un controlador PID combina las buenas características de la estabilidad del controlador PD,

y la característica de eliminación del error del controlador PI, pero al igual que el

controlador PD presenta las mismas desventajas citadas para los procesos donde se tiene

altos niveles de ruido.

Un controlador PID puede describirse mediante la siguiente ecuación.

dt

de(t) Kc+e(t)dt

1 Kc+ Kc.e(t)+ mo = m(t)

d

t

0i

(2.51)

Aplicando la transformada de Laplace a la ecuación anterior se obtiene la función de

transferencia de un controlador de acción PID.

s + )

s

1 + (1 Kc=

e(s)

m(s)d

i

(2.52)

La figura 2.13 muestra la respuesta de lazo cerrado del sistema de control de la figura 2.11,

al cual se le ha agregado acción integral. Al usar acción de control PID, el ajuste del

controlador se complica, ya que hay tres parámetros (Kc, i, d) que deben ser ajustados. La

figura 2.13 muestra las curvas de respuesta para diferentes ajustes del controlador y en la

tabla 2.2 se encuentran los valores de Kp, i y d del controlador mostrado en la figura 2.13.

CB

0

0,5

1,0


C(t)/R

A

K = 1%/%, 1 = 10 min, 2 = 2,5 min

Res

pues

ta

Figura 2.13. Respuesta de un Proceso de Segundo Orden, frente a una Perturbación de tipo

Escalón Unitario en el Valor Deseado con Acción de Control PID.

Tabla 2.2. Valores de los Parámetros del Controlador.

Curva Ganancia Kc

%/%

Tiempo Integral

i (min)

Tiempo Derivativo

d (min)

A 2 10 0

B 5 15 1

C 10 15 1


37

Para obtener un control adecuado se sugieren los siguientes pasos:

1. Si la salida del proceso no necesita estar exactamente en el valor de referencia o Set

Point, se puede utilizar un controlador proporcional (P).

2. Si se desea tener una salida del proceso con compensación del error se debería utilizar

un controlador del tipo Proporcional – Integral (PI) o Proporcional – Integral –

Derivativo (PID).

3. Si el proceso presenta mucho ruido, se recomienda no utilizar el componente derivativo

del controlador PID.

4. Para mejorar la calidad del controlador se debe utilizar cualquier índice de

optimización, tales como el IAE, IAET, ISE.


38

Capitulo 3

Sintonización de Controladores

3.1.-Introduccion.

El paso final para la Implementación de un lazo de control consiste en ajustar los

parámetros del controlador. Si el controlador puede ser ajustado para dar una respuesta

satisfactoria, se presume que el lazo de control ha sido bien diseñado. Cuando el

controlador no puede ajustarse satisfactoriamente, debe revisarse la selección de los demás

componentes del lazo de control.

Generalmente existen varias consideraciones que se toma en cuenta para evaluar la

respuesta de un lazo de control frente a una perturbación:

La variable controlada deberá alcanzar su valor deseado tan rápidamente como sea

posible.

La respuesta de la variable controlada no debería ser muy oscilatoria.

La variable manipulada no debería estar sometida a grandes cambios, ya que

frecuentemente afecta a otras partes del proceso.

Los métodos de ajuste de controladores se clasifican en dos grandes grupos: métodos de

lazo cerrado, y métodos de lazo abierto. Los primeros se aplican con el controlador en

automático; los segundos con el controlador en manual. Los parámetros obtenidos por estos

métodos, son parámetros iniciales, para obtener los parámetros adecuados se pueden utilizar

los criterios de error de integración, que se estudian al final del tema.

A continuación se definen algunos de éstos métodos.

3.2.- Método de lazo cerrado o ultima ganancia (Método de Ziegler-Nichols)

Este método es el pionero en la sintonización de controladores, es conocido por método de

lazo cerrado o sintonización en línea, fue propuesto por Ziegler y Nichols en 1942 y se

sigue usando hoy en día.

Este método tiene como objetivo ajustar el controlador para una curva de respuesta con una

razón de amortiguamiento igual a ¼, tal como se muestra en la figura 3.1b.

Este método se basa en encontrar la ganancia de un controlador de tipo proporcional con la

finalidad de que el lazo oscile indefinidamente a una amplitud constante. Esta es la máxima


39

ganancia para la cual el lazo es estable; por eso se le denomina ganancia última. El método

se aplica de la forma siguiente:

1. Coloque el controlador en acción proporcional, eliminando la acción integral y la

derivativa (i = ; d = 0). Luego coloque el controlador en automático.

2. Aplique una perturbación en el lazo (generalmente un cambio escalón en el valor

deseado de aproximadamente 20%) y ajuste la ganancia Kc, hasta que la respuesta oscile

continuamente a una amplitud constante.

3. Registre este valor de Kc como la ganancia última Kcu, y registre el período de la curva

de respuesta como el período último (Pu).

4. Determine los ajustes a partir de las ecuaciones dadas en la tabla 3.1 [1].

Tabla 3.1. Ecuaciones para Ajuste de Controladores.

Controlador Ajuste Ziegler – Nichols

Lazo Cerrado

Proporcional, P Kc Kcu/2

PD Kc

Td

Kcu/1,7

Pu/8

PI Kc

Ti

Kcu/2,2

Pu/1,2

PID Kc

Ti

Td

Kcu/1,7

Pu/2

Pu/8

Las figuras 3.1a y 3.1b muestran un ejemplo para calcular la ganancia última en una lazo de

control de temperatura. Para una ganancia Kc ajustada a 2 %/%, se introduce una

perturbación en el valor deseado, incrementándolo desde 70C hasta 80C. La ganancia fue

ajustada hasta obtener una curva oscilatoria de amplitud constante. El valor de la ganancia

encontrada fue de 2,6 %/%, y se registra como la ganancia última.

El último período medido fue de 11 minutos. De la tabla 3.1 se obtienen los siguientes

ajustes:

Para un controlador proporcional (P).

Kc= Kcu/2 = 1,3 %/%

Para un controlador proporcional + integral (PI).

Kc= Kcu/2,2 = 1,2 %/%

i = Pu/1,2 = 9,2 min

Para un controlador proporcional + integral + derivativo.


40

Kc= Kcu/1,7 = 1,56 %/%

i = Pu/2 = 5,5 min

d = Pu/8 = 1,3 min

La dificultad de este método radica en la aplicación de la prueba, ya que en muy pocos

procesos en producción es factible ponerlos a oscilar de la manera que se muestra en la

figura 3.1a.

0

70

80

Tiempo t (min)

T (C)

Res

pues

ta

Kc = 2 %/%

Kc = 2,0 %/% Kc = 2,3 %/%

PU = 11 min

Figura 3.1a. Determinación de la Ganancia Última.

Tiempo

Res

pues

ta

A B

Figura 3.1b. Razón de Amortiguamiento.

3.3.- Método a lazo abierto o curva de reacción.

Como su nombre lo indica, estos métodos se utilizan en lazo abierto, colocando el

controlador en manual. Los datos requeridos para el ajuste se obtienen mediante la prueba

de escalón que proporciona una curva de reacción como respuesta. Estos datos son los

parámetros de K, , to, obtenidos bien sea de un sistema de primer orden más tiempo

muerto (POMTM), o de un Sistema de Segundo Orden más Tiempo Muerto (SOMTM).

Este método se aplica de la siguiente manera:

1. Colocar el controlador en manual, y esperar que el proceso se estabilice.

2. Realizar un cambio escalón en la señal de salida del controlador (posición de la válvula).

3. Registrar la curva de respuesta del proceso.


41

Como ya se ha visto, un proceso se puede expresar con una ecuación de transferencia de la

forma:

1

e stK =

I(s)

O(s) o

s (3.1)

O de un orden mayor, con una ecuación de transferencia general de la forma:

1s ... 1s1s

e stK =

I(s)

O(s)

n21

o

(3.2)

Sin embargo, como ya se ha mencionado antes, los procesos de orden mayor (mayor de

segundo orden) son inicialmente aproximados a procesos de primer orden más tiempo

muerto (POMTM) o procesos de segundo orden más tiempo muerto (SOMTM), como se

ilustra en las ecuaciones 3.1 y 3.2. En la práctica, no obstante, no hay un método fácil,

confiable y consistente para aproximar un proceso de cualquier orden superior a un proceso

de primer orden (POMTM). El método presentado acá es el que da la mejor aproximación,

y el más fácil de usar. En la figura 3.2 se muestra la manera de obtener los dos puntos.

Entrada

Tiempo

50

55

CO (%)

156

150

Tiempo

T (C)

Sal

ida

Entr

ada

T0,632*T

0,283* T

t0,283* T

t0,632* T

Figura 3.2. Curva de Reacción del Proceso usando el metodo de los dos Puntos.

Uno de los métodos para obtener los valores de y to, se denomina método de los dos

puntos, y consiste en obtener dos puntos de los datos extraídos de la curva de reacción del

proceso. Estos dos puntos son: el tiempo que demora el proceso en alcanzar el 63,2% del

cambio total en la salida (t/0,632O) y el tiempo que demora el proceso en alcanzar el

28,3% del cambio total en la salida (t/0,283O). Estos puntos se muestran en la figura 3.2.


42

Teniendo estos dos puntos como datos, la constante de tiempo () y el tiempo muerto (to)

son determinados por las ecuaciones 3-3 y 3-4 [2].

o0,283

t- o0,632

t1,5

(3.3)

t =tO 0,632

o (3.4)

El parámetro K (ganancia del proceso) debe estar en %/%, (constante de tiempo) y to

(tiempo muerto) deben estar en minutos.

3.3.1. Método de Ziegler-Nichols a lazo abierto.

Además de las fórmulas de sintonización en lazo cerrado, Ziegler y Nichols en 1942

proponen un conjunto de ecuaciones basadas en los parámetros de un modelo de Primer

Orden más Tiempo Muerto (POMTM) encontrados a partir de la curva de reacción.

Al igual que en el método de lazo cerrado, con los ajustes encontrados al aplicar este

método, se intenta obtener una curva de respuesta de lazo cerrado que tenga una razón de

amortiguamiento igual a ¼. A partir de la tabla 3.2, se pueden determinan los coeficientes

de ajuste a partir de los valores de K, to y [3].

Tabla 3.2. Parámetros de sintonización usando el Método de Ziegler-Nichols a Lazo

Abierto.

Controlador Parámetro de Ajuste Ecuación

Proporcional, P Kp

ot-1

K

1

Proporcional + Integral, PI Kp

i

ot-1

K

0,9

3,33to

Proporcional + Integral

+ Derivativo, PID

Kp

i

d

ot-1

K

1,2

2,0to


43

2

to

3.3.2. Método de Dahlin.

Como se vio anteriormente, y utilizando el método de la curva de reacción, se puede

obtener los parámetros de la función de transferencia: es la constante de tiempo de la

respuesta del proceso, to es el tiempo muerto, y K es la ganancia del proceso.

Dahlin propone unos parámetros de ajuste de controladores de acuerdo al tipo de proceso al

cual se le introducirá el controlador.

En la tabla 3.3 se expresa los parámetros de ajuste propuesto por Dahlin [4].

Tabla 3.3. Parámetros de sintonización de un controlador por el Método de Dahlin.

Controlador Parámetro de Ajuste Ecuación

Proporcional + Integral

+ Derivativo, PID

Kp

i

d

o-1

t

2K

1

to/2

3.4. Ejemplo

Con la finalidad de tener un ejemplo concreto, considere el intercambiador de calor

mostrado en la figura 3.3. Se asume que el transmisor de temperatura tiene una calibración

de 100 - 250 C. Para obtener los datos del proceso, se procede a seguir los pasos

mencionados en el punto 3.3

Se supone que en este ejemplo los resultados son los que se muestran en la figura 3.5.


44

TC TT

Agua Fría

de Salida

Aceite Frío

de Entrada

Set Point

Aceite Caliente

de Salida

Agua Caliente

de Entrada

Figura 3.3. Intercambiador de Calor Equipado con un Sistema Automático de Control.

Entrada

Tiempo

50

55

CO (%)

156

150

Tiempo

T (C)

Sal

ida

En

trad

a

Figura 3.4. Curva de Reacción del Intercambiador de Calor.

Teniendo los dos puntos mencionados en el punto 3.3, se obtienen: la constante de tiempo

() y el tiempo muerto (to).

Las unidades de y to son dadas en minutos. Después que y to son evaluadas, se procede

a evaluar la ganancia K del proceso de la siguiente manera:

K =

156 - 150 C TO

55 - 50 % CO

6 C

5% 1,2 C / %

Esto significa que, en condiciones de operación, un cambio de 1% en CO ocasiona un

cambio de 1,2C en la temperatura de salida del proceso. Aun cuando esta ganancia

describe correctamente la sensibilidad entre la temperatura de la salida del proceso y la

salida del controlador (CO), no es muy correcto o apropiado presentar este resultado, en


45

esta forma, para el caso de la sintonización de controladores. Se puede observar que esta

ganancia del proceso completo se determina, sabiendo qué tanto puede cambiar la salida del

proceso (TO en %) con un cambio en la entrada del proceso (CO en %).

Se puede entender mejor este punto determinando K como se muestra a continuación. La

salida del proceso es dada por la salida del transmisor (TO), y no por la temperatura o

variable de proceso. Por lo tanto, la relación de la ecuación está dada entre la cantidad de

salida del transmisor en porcentaje y la cantidad de salida del controlador en porcentaje. El

cambio en la salida del transmisor se calcula de la siguiente forma:

4% 100% C150

C6 TO

CO = 55% - 50% = 5%

Por lo tanto, la ganancia K del proceso viene dada por:

K 4% TO

5% CO 0,8

%TO

%CO

Muy a menudo la variable de proceso se registra en porcentaje de salida del transmisor y de

este modo, en estos casos, no hay necesidad para ningún cálculo extra, ya que la variable de

proceso está directamente en porcentaje de la salida del transmisor (% de TO).

Con estos datos se puede escribir la función de transferencia para este proceso de la

siguiente forma:

%CO

%TO ,

1 + s

e st-0,8

CO(s)

TO(s) o

(3-5)

Esta función de transferencia describe la relación entre la salida del transmisor y la salida

del controlador. Si se quiere determinar una función de transferencia, describiendo la

relación entre la salida del transmisor y cualquier otra entrada de proceso ( que no sea la

salida del controlador ya considerada), se procederá de la misma forma anterior ; es decir,

con el controlador en manual, se introducirá una perturbación en escalón para la entrada de

proceso en consideración, y se registrarán los datos suministrados por el transmisor, para

luego evaluarse los parámetros K, y to. En este caso, el valor de K será diferente al

anterior.

Como se mencionó anteriormente, el procedimiento proporciona la mejor aproximación de

un proceso de alto orden en un proceso de primer orden. Esto constituye una importante

herramienta para el personal que trabaja con sistemas de control de procesos.

3.5. Ajuste mediante criterios de minimizacion de indices de funcionamiento


46

Debido a que los parámetros de ajuste de amortiguamiento de ¼, el de la curva de reacción

y el de Dahlin, no son únicos, en la Universidad del Estado de Lousiana se realizó un

proyecto substancial de investigación bajo la dirección de los profesores Paul W. Murril y

Cecil L. Smith, para desarrollar relaciones de ajuste únicas. Con la finalidad de caracterizar

al proceso, utilizaron parámetros de modelos de primer orden más tiempo muerto

(POMTM), la especificación de la respuesta, en lazo cerrado es un error o desviación

mínima de la variable controlada respecto al Set Point o punto de control. Debido a que el

error está en función del tiempo que dura la respuesta, la suma del error en cada instante de

tiempo se debe minimizar; esa suma es, por definición, la integral del error en función del

tiempo y se representa mediante el área sombreada de la figura 3.5. Como la integral del

error trata de minimizar mediante la utilización de las relaciones de ajuste, éstas se conocen

como ajuste del error de integración mínimo; sin embargo, la integral de error no se puede

minimizar de manera directa, ya que un error negativo muy grande se volvería mínimo.

Para evitar los valores negativos en la función de desempeño, se propone el planteamiento

de la siguiente integral:

t

e (t)

e (t)

t

Entrada de perturbación

Cambio del Set Point

0

0

Figura 3.5. Integrales del Error para cambios en la perturbación y en el Set Point.

3.5.1 Integral del valor absoluto del error (IAE).

0

dt e(t) IAE (3-7)

3.5.2. Integral del cuadrado del error (ICE).


47

0

2dt e(t) ICE (3-8)

Las integrales comienzan desde el momento en que ocurre la perturbación o cambio en el

Set Point (t = 0), hasta un tiempo muy largo (t = ), debido a que no se puede de antemano

predecir la duración de las respuestas. El único problema con esta definición de la integral,

es que se vuelve indeterminada cuando no se fuerza el error a cero, lo cual ocurre

únicamente cuando no hay acción de integración en el controlador, debido a la desviación, o

el error de estado estacionario; en este caso, en la definición se reemplaza el error por la

diferencia entre la variable controlada y su valor final de estado estacionario.

La diferencia entre el criterio IAE y el ICE, consiste básicamente en que con el ICE se tiene

más ponderación para errores grandes, los cuales se presentan generalmente al inicio de la

respuesta, y menor ponderación para errores pequeños, los cuales se presentan al final de la

respuesta. Para tratar de reducir el error inicial, el criterio de ICE mínima da por resultado

una ganancial alta del controlador y respuestas muy oscilatorias, es decir, con un

amortiguamiento alto, en las cuales el error oscila alrededor del cero por un tiempo

relativamente largo. De este fenómeno se deduce que en tal criterio de desempeño debe

existir una compensación para el tiempo que transcurre desde el inicio de la respuesta. En

las siguientes integrales de error se incluye dicha compensación mediante la ponderación

del tiempo transcurrido.

3.5.3. Integral del valor absoluto del error ponderado en tiempo (IAET).

0

dt e(t) t IAET (3.9)

3.5.4. Integral del cuadrado del error ponderado en tiempo (ICET).

0

2dt e(t)t ICET (3.10)

Lopez et al. [5], desarrollaron fórmulas de sintonización para criterios de error de

integración mínima en las que se asume que la función de transferencia del proceso para

perturbaciones de entrada es idéntica a la función de trasferencia que se presenta a la salida

del controlador. Las fórmulas de sintonización son presentadas en la tabla 3.4.

Tabla 3.4. Fórmulas de Sintonización para Integración Mínima en presencia de

perturbaciones de entrada.

Controlador Parámetro ICE IAE IAET


48

Proporcional (P)

to

K

aKc

b

a= 1,411

b= -0,917

a= 0,902

b= -0,985

a= 0,490

b= -1,084

Proporcional +

to b

K

aKc

1

1 a1 = 1,305

b1 = -0,959

a1 = 0,984

b1 = -0,986

a1 = 0,859

b1 = -0,977

Integral (PI)

to b

a

2

2

i a1 = 0,492

b1 = -0,739

a1 = 0,608

b1 = -0,707

a1 = 0,674

b1 = -0,680

Proporcional +

to b

K

aKc

1

1 a1 = 1,495

b1 = -0,945

a1 = 1,435

b1 = -0,921

a1 = 1,357

b1 = -0,947

Integral +

to b

a

2

2

i a2 = 1,101

b2 = -0,771

a2 = 0,878

b2 = -0,749

a2 = 0,842

b2 = -0,738

Derivativo (PID)

to b a

3

3d a3 = 0,560

b3 = 1,006

a3 = 0,482

b3 = 1,137

a3 = 0,381

b3 = 0,995

En algunos sistemas de control avanzados, tales como los autoajustables se utilizan estos

métodos de manera automática para mejorar la respuesta del sistema de control.

3.6. EJEMPLO.

A continuación se da un ejemplo resuelto, donde se determinan los valores de K, y to,

además también se realiza la sintonización del controlador PID.

Se tiene un tanque con agitación continua, donde entra un flujo qi(t) a una temperatura Ti,

la salida del tanque es qo(t) a To(t) C, como se muestra en la figura 3.6. Se desea mantener

la temperatura de salida (Set Point) a 80 C.

Ti(t), C

qi(t), m3/s

To(t), C

qo(t), m3/s

TY

TT

TC Set point = 80C

Figura 3.6. Tanque con Agitación Continua.


49

Como primer paso se realiza el modelado del proceso usando el principio de conservacion

de masa

Masa que entra – Masa que sale = Masa que se acumula

i qi(t) Hi(t) - o qo(t) Ho(t) = V dU(t)/dt (3.11)

Siendo:

i : Densidad del flujo de entrada al tanque.

qi(t) : Flujo de entrada al tanque.

Hi(t) : Entalpía del flujo de entrada.

o : Densidad del flujo de salida.

qo(t) : Flujo de salida del tanque.

Ho(t) : Entalpía del flujo de salida.

V : Volumen del tanque.

U(t) : Energía interna del tanque.

Sustituyendo a Hi(t) = CpiTi(t), Ho(t) = CpoTo(t), U(t) = CvoTo(t) en la ecuación 3-11, se

tiene:

i qi(t) Cpi Ti(t) - o qo(t) CpoTo(t) = V Cvo dTo(t)/dt (3.12)

Siendo:

Cpi : Capacidad calorífica del flujo de entrada a presión constante.

Ti(t): Temperatura del flujo de entrada al tanque.

Cpo : Capacidad calorífica del flujo de salida a presión constante.

To(t): Temperatura del flujo de salida del tanque.

Cvo : Capacidad calorífica del flujo de salida a volumen constante.

Consideraciones del proceso:

Con la finalidad de facilitar la simulación del proceso, se considera que las densidades se

mantienen constantes y que son iguales. Las capacidades caloríficas son iguales y

constantes con respecto a la temperatura.

Se tiene:

qi(t) Ti(t) - qo(t) To(t) = (V/) dTo(t)/dt (3-13)

Sustituyendo los valores de volumen (V = 300 m3), densidad (1 kg/m3), se tiene:


50

qi(t) Ti(t) - qo(t) To(t) = 300 dTo(t)/dt (3-14)

Valores en Régimen Estacionario:

Tiss = 100C

qiss = 16 m3/s

Toss = 80C (Variable controlada, 80C es igual al Set Point).

Con estos datos se obtiene el valor de qoss, sustituyéndolos en la ecuación 3-14 en régimen

estacionario (en ese momento To(t) es constante, la derivada de una constante es cero).

qoss = (qiss Tiss)/Toss = 20 m3/s

Simulación:

Función de transferencia del Transmisor (TT):

80 160To (C)0

4

12

20

I (mA)

Figura 3.7. Función de Transferencia del Transmisor.

I = To/10 + 4 (mA) (3-15)

Con la ecuación 3-15 se obtiene el equivalente en SIMULINK, que se observa en la figura

3.8.

1

in_1

*

Producto

++

Suma

4

Corte con eje I

1/10

Pendiente

Temperaturade Entrada

1

out_1

Salida deCorriente (mA)

Transmisor de Temperatura

Figura 3.8. Transmisor simulado en SIMULINK.


51

Función de transferencia del Convertidor de Corriente a Presión (TY):

9 15P (psi)0

4

12

20

I (mA)

3 Figura 3.9. Función de Transferencia del Convertidor I/P.

P = 3*I/4 (3.16)

Con la ecuación 3.16 se obtiene el equivalente en SIMULINK, que se muestra en la figura

3.10.

1in_1

*

Product2

1out_1

3/4

Constant1

Figura 3.10. Convertidor I/P simulado en SIMULINK.

Función de transferencia de la Válvula de Control:

9 15P (psi)0

20

40

qo (m3/s)

3 Figura 3.11. Función de Transferencia de la Válvula de Control.

qo = 10 P/3 –10 (3-17)


52

Con la ecuación 3-17 se obtiene el equivalente en SIMULINK, que se muestra en la figura

3.12.

10Constant2

+-

Sum1

*

Product1

1in_1

1out_1

10/3

Constant1

Figura 3.12. Dibujo de la Válvula en SIMULINK.

Simulación del Proceso en SIMULINK.

En la figura 3.13 se aprecia el proceso expresado en bloques de SIMULINK, es de notar

que la realización del mismo se logra por medio de la ecuación 3-14, aplicándole un

integrador en ambos lados de la ecuación:

dt 300

To(t)qo(t) - Ti(t)qi(t) To(t) (3.18)

En SIMULINK se puede utilizar un integrador dentro de la ventana “Linear”, con un valor

inicial de integración igual al valor de régimen estacionario de To (80C en nuestro caso).

*

qo(t)*To(t)

*

qi(t)*Ti(t)qi(t)

100Ti(t)

1in_1

To(t)dTo(t)/dt+-

Suma*

Prod.

1/sIntegrator

1out_1

1/300

1/Vqo(t)

To(t)_

Figura 3.13. Dibujo del Proceso en SIMULINK.


53

La perturbación puede ser introducida en qi(t), ya que es lo más sensato, de todas maneras

el bloque de Ti puede ser reemplazado por un escalón unitario y utilizarlo como una

perturbación adicional.

Controlador PID.

El controlador PID tiene incluido el “bias”, Set Point y retroalimentación, como se visualiza

en la figura 3.14.

u/10+4

T/I

-+

SumPID

PID Controller

-+

Sum1

To

80

Set.Point

Realimentación1

in_1

e(t)

12

Bias

1out_1

Figura 3.14. Controlador PID con accesorios.

Sistema de Control Completo.

En la figura 3.15 se muestra el sistema de control retroalimentado completo.

Clockt

To Workspace

Valvula ProcesoConv. I/PControladorTransmisor

yPara MatLAB

Figura 3.15. Sistema de Control Completo.

Curva de Reacción.

Para obtener la curva de reacción se le introduce un escalón unitario al proceso en lazo

abierto (es decir se elimina la salida del PID, dejándose solamente el efecto del “bias”) en el

flujo de entrada qi(t), con una amplitud del 10% (1,6 m3/s), se gráfica la respuesta del

sistema (To en función de t), como se aprecia en la figura 3.16.


54

Figura 3.16. Curva de Reacción del Proceso ante una Perturbación.

Figura 3.17. Zoom de la Curva de Reacción, mostrando los Puntos.

t1 = 4,94 min

t2 = 14,01 min

De las ecuaciones 3.3 y 3.4, se obtienen los valores de y to.

Siendo:

= 1,5 (14,01 – 4,94) min = 13,605 min

t0 = (14,01 – 13,605) min = 0,405 min

K = 8/1,6 = 5 C/m3/s

De donde se obtiene la función de Transferencia:


55

1 S 13,905

e5 G(s)

S -0,095

Utilizando las ecuaciones de la tabla 3.2 (Ziegler y Nichols), se obtienen los ajustes del

controlador PID:

Kp = 1,2(13,605/0,405)/5 = 8,06

i = 2,0 (0,405) = 0,81 min

d = 0,405/2 = 0,2025 min

La respuesta del sistema en lazo cerrado con los valores de sintonización anteriores se

puede observar en la figura 3.18.

A partir de la tabla 3.3 (Dahlin), se obtienen los valores de los controladores PI y PID, la

respuesta se visualiza en la figura 3.19.

De la tabla 3.4 (Criterios de Error de Integración Mínimo) se obtienen los valores de

sintonización de los controladores P, PI y PID, las respuestas de los diferentes criterios se

presentan en las figuras 3.20, 3.21 y 3.22.

Figura 3.18. Respuesta ante una Perturbación del 10 % del Flujo de Entrada (qi(t))

Sintonización por Ziegler & Nichols.


56


Sintonización por Dahlin.


Sintonización por ICE.


57


Sintonización por IAE.


Sintonización por IAET.

3.7. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS.

1. SMITH, Carlos and Armando CORRIPIO. “Principles and Practice of Automatic

Process Control”. Second Edition. John Wiley & Sons Inc. New York. 1997.


58

Capitulo 4

Técnicas de Control Avanzado

4.1. INTRODUCCIÓN.

En las secciones anteriores se han discutido los elementos de un lazo de control

realimentado usando controladores P, PI , PD y PID.

En los últimos años se han introducido estructuras más complejas, que en algunos casos,

mejoran significativamente el comportamiento del lazo de control. Estas estructuras

incluyen:

Control por relación.

Control Cascada.

Control por Acción Precalculada.

Control Selectivo.

Control por Adelanto.

4.2. CONTROL POR RELACIÓN.

Como su nombre lo indica el control por relación mantiene constante la relación de dos o

mas flujos. Estos procesos incluyen: mezcla de gasolina, proporción de reactivos para un

reactor químico, la mezcla de una corriente fría con una caliente para obtener una

determinada temperatura en una mezcla en particular, etc.

Figura 4.1. Esquema de un control por relación.

En la figura 4.1 se puede apreciar un esquema de un control por relación, se puede observar

que el flujo FA se puede medir más no se puede controlar y se debe garantizar que los flujos

FA y FB estén entrando al tanque con una relación (R).

F

F = RB

A

(4-1)


59

La rata de flujo de la variable (señal) no controlable es medida y la rata de flujo de la

variable manipulada es medida y regulada para así mantener entre los dos flujos una

relación constante. Como ejemplo se tiene:

Mantener constante la relación de reflujo en una columna de destilación.

Mantener las cantidades estequiométricas de dos reactores alimentando un tercer reactor.

Existen dos alternativas para lograr el control por relación:

En la figura 4.2 se puede apreciar la primera alternativa para el control por relación.

Figura 4.2. Primera alternativa para el control por relación.

Se tiene:

R

F =

- F

F =

- R

FA

B

A A

2 (4-2)

En este caso los dos flujos son medidos y su relación es calculada (por el divisor). Esta

relación calculada es alimentada a un controlador convencional PI como la señal de medida

del proceso. La salida del controlador va a la válvula sobre la variable manipulada que

cambia el flujo proporcionalmente de manera de mantener la relación de los dos flujos

constantes. Esta relación calculada puede ser usada para disparar una alarma también.

En la figura 4.3 se observa la segunda alternativa para el control por relación. En este caso

el flujo no controlado es medido y este flujo es multiplicado por un valor constante, que

proporciona la relación deseada. La salida del multiplicador es el Set Point de un

controlador remoto sobre la variable manipulada.

El control por relación es parte frecuentemente del control realimentado.


60

Figura 4.3. Segunda alternativa para el control por relación.

4.2.1. Ejemplo 4.1.

Dos flujos A y B entran a un tanque figura 4.4, y deben ser mezclados con una relación o

proporción R. Donde FA y FB son los flujos A y B respectivamente.

Figura 4.4. Tanque con dos flujos de entrada.

La solución mas sencilla, es hacer el control como se presenta en la figura 4.4, pero

supongamos que uno de los dos flujos por ejemplo el A puede ser medible pero no

regulable. La tarea de control es un poco más difícil ya que el flujo B debe variar, como el

flujo A para mantener la relación del mezclado en la proporción o relación correcta R.

Las posibles soluciones se presentan en la figura 4.5: a y b.


61

Figura 4.5. Posibles soluciones para el problema planteado.

Del esquema 4.5.a se tiene:

R = F

F

B

A

R

F =

- F

F =

- R

FA

B

A A

2 (4-3)

Cuando el flujo A cambia la ganancia R también cambia, se observa una no linealidad.

Desde el punto de vista práctico, aun en el caso de que ambos flujos puedan ser

controlados, la implementación usando control por relación es mejor.

Del esquema 4.5b. se tiene:

FB = R.FA (4-4)

F

F = RB

A

Si el flujo total debe cambiarse, el operador necesita solo un cambio en uno de los flujos.

Dos alternativas más se presentan en la figura 4.6 a y b


62

Figura 4.6. Alternativas para el control por relación.

4.2.2. Ejemplo 4.2.

En la figura 4.7 se puede apreciar un proceso y la forma propuesta de controlarlo. Para

poder realizar el control de un proceso, se debe realizar primero el modelado del sistema.

.

FT

RFT

FC

Flujo Caliente

Flujo Frio

Fc

Ff

Set Point

Fm

Figura 4.7. Proceso a Controlar.

Datos:

Tf = 50 F

Tm = 120 F

Tc = 150 F

Tr = 32 F

Ff = 309 m3/s (se asume)

V = 80 m3 (se asume)


63

Balance de Masa:

Ff + Fc = Fm (4-5)

Balance de Energía:

dEvc(t)

dtQ Ws me(He) ms(Hs)

. .

(4-6)

Donde:

Q = 0

Ws = 0

me He = FcCpc (Tc - Tr) + FfCpf (Tf - Tr)

ms Hs = FmCpm (Tm - Tr)

Evc(t) = VCvmTm(t)

Cvm Cpm

Sustituyendo, nos queda:

dTm(t)

dt

1

VCvFcCp (Tc Tr) F Cp (T Tr) FmCp (Tm Tr)

m

c f f f m

Asumiendo: Todas las concentraciones son iguales (Cpc = Cpf = Cpm = 1). Sustituyendo los valores de

estado estacionario en las ecuaciones 4-5 y 4-6, encontramos la relación que existe entre el

Flujo frío y el Flujo caliente (Fc / Ff), denominada R.

Fc/Ff = R = (Tf - Tm)/(Tm - Tc) = 7/3

De donde se obtiene:

Fc = 721m3/s

Fm =1030 m3/s

Para la simulación se tiene que realizar el modelado de los transmisores, válvula, etc., estos

modelados se describen a continuación:

Transmisor de Flujo Caliente:

En la figura 4.8 se puede apreciar la función de transferencia para el Transmisor de flujo

caliente.

Se considera su retardo despreciable, por lo tanto:

I = 16Fc/1442 + 4 (mA)


64

4 20

0

721

I (mA)

F(m3/min

)

12

1442

Figura 4.8. Función de Transferencia del Transmisor para el Flujo Caliente.

Transmisor de Flujo Frío:

En la figura 4.9 se puede apreciar la función de transferencia para el Transmisor de flujo

caliente.

Se considera su retardo despreciable, por lo tanto:

4 20

0

309

I (mA)

F(m3/min

)

12

618

Figura 4.9. Función de Transferencia del Transmisor de Flujo Frío.

I = 16Ff/618 + 4 (mA)

Convertidor del Controlador:

Este convertidor transforma la señal del controlador (4 a 20 mA) en valor de apertura de la

válvula ( 0 a 1), su función de transferencia se expresa a continuación :

4 20

0

1

I (mA)

Vp

12

0,5

Figura 4.10. Función de transferencia del Convertidor.

Vp = (I - 4)1/16


65

Válvula :

Para la válvula se tiene:

Posicionador:

4 20

0

1

I (mA)

Vp

12

0,5

Resultando:

Vp = 1/16(I - 4).

Actuador:

10

618

q = m3/s

Vp

Se obtiene:

q = 618 Vp

Simulación del Proceso:

Para la simulación del proceso se utiliza el programa MatLAB 4.0 y Simulink de

MatWorks. Se introducen las ecuaciones generadas a partir del balance de masa en forma

no lineal, en la figura 4.11 se puede observar el esquema para la simulación del proceso,

para ello se introduce una perturbación en el flujo caliente, del 10 % de su valor en régimen

estacionario. Se observa en la curva de reacción los parámetros necesarios para su

identificación por el Método 3 de un proceso de POMTM. Obteniéndose:

t1 = 0.0333 s

t2 = 0.0666 s


66

= 0.045 s

t0 = 0.0166 s

K = 0.0272

Con estos datos se realizo el calculo para el controlador por el método de Dahlin y por el

método IAET.

Figura 4.11. Proceso en Simulink.

Sintonización por Dahlin:

En un primer calculo los valores obtenidos por este método son:

Kp = 82.992

i = 0.045

d = 0.083

Al realizar algunos ensayos se realiza un ajuste final obteniéndose los siguientes valores

con los cuales se realizaron las simulaciones del proceso.

Kp = 60.41

i = 0.0067

d = 0.0035

Optimización por IAET:

Los valores obtenidos por este método son:


67

Kp = 83.17

i = 0.057

d = 0.0063

Luego de algunas pruebas se ajusto el controlador PID obteniéndose:

Kp = 161.64

i = 0.0082

d = 0.0026

Con estos resultados obtenidos se sustituye en el controlador PID y se realizan diferentes

perturbaciones en el flujo caliente para cada una de las sintonizaciones, como se puede

observar en las siguientes figuras.

Figura 4.12. Respuesta del Proceso a una Perturbación. Sintonización por Dahlin.


68

Figura 4.13. Respuesta del Sistema a dos perturbaciones del Flujo Caliente.

Una perturbación en t= 30 s (10 %), y otra en t= 45 s (15 %). Sintonización por Dahlin.

Figura 4.14. Respuesta del Sistema a dos perturbaciones del Flujo Frío (10 %).



69

Figura 4.15. Respuesta del Sistema a dos perturbaciones del Flujo Frío (10% y 15%).



70

Figura 4.16. Respuesta del Sistema a una perturbaciones del Flujo Caliente.

Una perturbación en t= 30 s (10 %), y otra en t= 45 s (15 %). Optimización por IAET.

Figura 4.17. Respuesta del Sistema a dos perturbaciones del Flujo Caliente (20 y 30%).

Optimización por IAET.


71

Figura 4.18. Respuesta del Sistema a dos perturbaciones del Flujo Frío (15 %).

Optimización por IAET.


72

4.3. CONTROL EN CASCADA.

Uno de los métodos más utilizados para reducir al mínimo perturbaciones que entran en un

proceso lento es el control en cascada o circuitos múltiples. El control en cascada puede

acelerar también la respuesta del sistema de control, reduciendo la constante de tiempo de la

función de transferencia del proceso que relaciona la variable manipulada con la salida del

mismo.

El control en cascada se define como la configuración donde la salida de un controlador de

realimentación es el punto de ajuste para otro controlador de realimentación, por lo menos.

Más exactamente, el control de cascada involucra sistemas de control de realimentación o

circuitos que estén ordenados uno dentro del otro.

En la figura 4.19 se ilustra un diagrama de bloques correspondiente a un sistema de control

en cascada. En lugar de ajustar el elemento de control final, por ejemplo una válvula

reguladora, la salida del controlador primario es el punto de ajuste del circuito de control

secundario.

Figura 4.19. Diagrama en bloques de controladores conectados en cascada.

El circuito de control secundario que abarca sólo una porción del proceso total en un

sistema de orden menor, de modo que el controlador se puede ajustar para dar una respuesta

más rápida. Estudiando la figura 4.20, en la misma se ha conectado en cascada un

controlador de flujo con un controlador de temperatura.

Figura 4.20. Sistema de control en cascada en el cual las perturbaciones originadas en el

abastecimiento de vapor quedan imposibilitadas para penetrar en el proceso del

intercambiado de vapor.


73

Las constantes de tiempo del circuito primario son mucho más pequeñas que para el

proceso total, de manera que el buen ajuste del controlador secundario elimina de un

modo eficaz o reduce al mínimo, por lo menos, las perturbaciones de flujo que entran al

proceso a través del abastecimiento de vapor.

La eliminación de una fuente de perturbaciones hace disminuir el orden y las constantes de

tiempo del proceso: Estas reducciones aumentan la velocidad de la respuesta que se puede

obtener en el circuito de control primario. También reducen el tamaño de las variaciones en

la variable controlada, más allá de lo que seria posible incrementando la velocidad de

respuesta del sistema de control primario.

Por lo común, hay tres características principales presentes en el control en cascada para

que sea eficaz. La constante de tiempo del circuito cerrado del circuito secundario debe ser

menor que un tercio de la constante de tiempo del circuito primario, el circuito secundario

debe incluir una fuente de perturbación de proceso importante, y la variable de proceso que

se regula debe ser capaz de desplazar a la variable controlada primaria a su valor deseado.

Existen dos propósitos para usar control cascada:

1.- Eliminar el efecto de algunas perturbaciones.

2.- Mejorar la dinámica del lazo de control.

Ya que los cálculos son fáciles, el control cascada puede ser implementado con una gran

variedad de equipo analógico y digital.

La combinación de fácil implementación y potencialmente gran rendimiento o mejora en el

rendimiento del sistema a lazo cerrado ha permitido que el procedimiento de control en

cascada se halla esparcido gradualmente.

El control en cascada usa una medida adicional de una variable del proceso para ayudar al

sistema de control.

La selección de esta medida adicional, la cual está basada sobre información acerca de la

perturbación más común y acerca de la respuesta dinámica del proceso, es critica en el éxito

de este tipo de control. Por lo cual, el conocimiento de la operación y la dinámica del

proceso es esencial para el diseño adecuado de este tipo de sistema de control.

4.3.1. Cuando usar control en cascada y Criterios para diseñar Control en Cascada.

El control en cascada es efectivo si el lazo interno es más rápido que el lazo externo, si la

perturbación principal afecta primero al lazo interno. Normalmente, un lazo de control en

cascada no debería utilizarse si la constante de tiempo del lazo externo es por lo menos

cuatro veces mayor que la constante de tiempo de lazo interno.

El control realimentado en su forma sencilla, provee un buen funcionamiento a lazo cerrado

si la fracción de tiempo muerto es pequeña, perturbaciones son pequeñas y lentas, así como

procesos con dinámica rápida, adicionalmente el segundo criterio requiere que la segunda

variable pueda ser medida y agregué un costo aceptable o razonable.

Podemos entonces decir que los criterios para diseño son:

Control en cascada puede ser considerado:


74

1.- Cuando el control realimentado simple no provee un desempeño satisfactorio a lazo

cerrado.

2.- La medida de la variable es disponible.

La variable secundaria debe satisfacer los siguientes criterios:

1.- Debe indicar la ocurrencia de una importante perturbación.

2.- Debe haber una relación causal entre la variable manipulada y la segunda variable.

3.- La variable secundaria debe tener una dinámica más rápida que la variable primaria.

Esto puede ser explicado de la siguiente manera:

Primero, esta debe indicar la ocurrencia de una perturbación importante, que es, la variable

secundaria debe responder en una manera predecible cada vez que la perturbación ocurra.

La perturbación debe ser importante (tener un efecto significativo sobre la variable

controlada y ocurrir frecuentemente) de otra manera no hay razón para atenuar su efecto.

Segundo, la variable secundaria debe ser influenciada por la variable manipulada, la

relación causal es requerida para que el lazo de control secundario trabaje apropiadamente.

Finalmente la dinámica, entre el elemento final de control y la variable secundaria debe ser

mucho más rápida que la dinámica entre la variable secundaria y la primera variable. La

secundaria debe ser relativamente rápida de tal forma que pueda atenuar una perturbación

antes que el efecto de la perturbación afecte la variable controlada.

Resumiendo el control en cascada combina dos controladores realimentados, con el

primario (salida) sirviendo de Set Point para el segundo.

Figura 4.21. Diagrama en bloques de un sistema de control en cascada.

Cv (s)

D (s) =

Gd .Gp (s)

1+ Gc (s)Gv(s)Gp Gs (s) Gc (s)Gc (s)Gv(s)Gp (s)Gp (s)Gs (s)

1

2

2 1

2 2 2 1 2 1 2 1

( )s

(4-7)

Cv (s)

D (s) =

Gd 1+ Gc (s)Gv(s)Gp Gs (s)]


1

1

1 2 2 2

2 2 2 1 2 1 2 1

( )[s

(4-8)

Cv (s)

SP (s) =

Gc (s)Gc (s)Gv(s)Gp Gp (s)]


1

1

1 2 2 1

2 2 2 1 2 1 2 1 (4-9)


75

Los factores claves en el control cascada son las respuesta dinámicas relativas entre el

circuito primario y el secundario. La principal razón para usar cascada son las

perturbaciones secundarias, (la compensación de estas).

4.3.2.- Ajuste del controlador.

El control en cascada puede usar el control estándar realimentado PID, lógicamente los

modos deben ser seleccionados para cada controlador. El controlador del secundario debe

tener el modo proporcional, pero no necesariamente requiere el modo integral, porque el

objetivo completo del sistema de control es mantener la variable primaria en la referencia.

A pesar de esto la parte integral se agrega frecuentemente por dos razones. La primera, ya

que un controlador proporcional produce offset, el lazo secundario debería tener parte

integral si se quiere eliminar por completo el efecto de la perturbación, evitando que la

perturbación se propague al primario. En segundo lugar, la cascada es frecuentemente

operada en forma parcial con el control primario fuera de operación, por ejemplo, cuando el

sensor primario esta fuera de servicio o esta siendo calibrado. En el lazo negativo de

introducir modo integral en el controlador secundario es que este tiende a ser mas

oscilatorio; pero el resultado puede que no sea muy significativo cuando el lazo secundario

es mucho más rápido que el lazo primario.

Los modos de control primarios son obtenidos a partir del PID, debe enfatizar que el modo

integral es esencial para garantizar cero error en condiciones estacionarias.

La estrategia para ajustar los controladores en cascada es la siguiente:

El ajuste es hecho de manera secuencial.

El controlador secundario es ajustado primero porque el lazo secundario afecta la

dinámica a lazo abierto del lazo primario. Durante el primer experimento de

identificación (por ejemplo curva de reacción), el controlador primario no esta en

operación (el operador primario debe estar en manual o en cascada), lo cual rompe la

conexión entre el primario y el secundario.

El lazo secundario es ajustado de la manera convencional como fue realizado

anteriormente.

Cuando el secundario ha sido satisfactoriamente ajustado, entonces el primario puede ser

ajustado.

4.3.3. Implementación.

El controlador secundario requiere posición adicional llamada “cascada”. En adición, a la

posición automática” y ‘manual”. Cuando el switch de estado este en la posición cascada

(cascada cerrada), el Set-Point secundario es conectado a la salida del controlador primario;

en esta situación el operador no puede ajustar el Set Point secundario. Cuando el estado del

switch esta en “automática” o en manual el Set-Point secundario es proporcionado por el

operador, en esta situación de cascada no esta funcionando.

Control en cascada es mostrado en una manera muy directa. Básicamente, cada controlador

es mostrado usando la misma simbología como un controlador de lazo sencillo, con la

diferencia que la salida del controlador primario esta dirigida al controlador secundario.


76

Normalmente la señal del controlador primario es anotada como “RESET” o “SP” para

indicar que esta ajustado o restablecido el Set-Point secundario.

Una característica importante para la aplicación de control cascada es la de tratar de

garantizar una inicialización sin “sobresaltos”. Es importante darse cuenta que cambiar el

estado de la variable secundaria de 0 hasta la posición cascada puede inmediatamente

cambiar el valor del Set-Point secundario, lo cual no es deseado. El diseño deseado se

obtiene recalculando la salida del controlador primario hasta que sea igual al Set-Point

secundario en la inicialización.

Como el control en cascada envuelve más equipo, este es ligeramente más costoso que el

control de simple lazo. El incremento en costos viene dado por el sensor y el transmisor

hasta el cuarto de control, un controlador, costos por instalación y documentación.

Estos costos no son significativos comparados a los beneficios logrados cuando se aplica

este tipo de control.

Un control en cascada puede ser efectivo para comparar los efectos de varias

perturbaciones, y dadas varias posibles variables secundarias, la que atenúe la más

importante perturbación es la mejor escogencia.

4.3.4. Ejemplo 4.3:

El proceso consta de tres tanques, en los cuales se mezclan dos flujos diferentes que entran

por el tanque 1; el desborde de este tanque pasa al tanque 2, el desborde del tanque 2 fluye

al tanque 3, y el desborde de éste último representa el caudal de salida. En este proceso se

requiere controlar la concentración del componente A (Xa3(t)) en el caudal que sale del

tanque 3. En este proceso la variable manipulada es el caudal fa(t), el flujo del componente

B (fb(t)) y las concentraciones de entrada pueden considerarse como perturbaciones.

Flujo A

Fa

Flujo B

FbXa0

Xa1

Xa2

Xa3

Figura 4.22. Tanques de mezclado.


77

Datos del Proceso:

V = Volumen de cada tanque = 35 m3.

FB = Velocidad de flujo de la corriente B = 6.9 m3/min.

XAi = Concentración de A en todos los tanques y en el flujo de salida = 3%A (caso base)

FA =Velocidad de flujo de la corriente A = 0.142 m3/min. (caso base)

(XA)B =Concentración de la corriente B = 1%A. (caso base).

(XA)A =Concentración de la corriente A = 100%A (caso base)

v = Posición de la válvula = 50% abierta.

En este proceso se asume:

Todos los tanques son buenos mezcladores.

Las dinámicas de las válvulas y los sensores son despreciables.

No existen tiempos muertos.

La densidad de los componentes es igual.

Ecuaciones de Balance que produce el sistema:

Para la concentración de xA0: xF (x ) F(x )

F FA0

B A B A A

A B

Balance en cada tanque:

Tanque 1:

V1dx

dtF + F ) (x - x )

A1

A B A0 A1 (

Tanque 2:

V2dx

dtF + F ) (x - x )

A2

A B A1 A2 (

Tanque 3:

V3dx

dtF + F ) (x - x )

A3

A B A2 A3 (

Simulación del Proceso:

Para la simulación del proceso se utiliza el programa MatLAB 4.0 y Simulink de

MatWorks. Se introducen las ecuaciones generadas a partir del balance de masa en forma

no lineal, en la figura 4.23 se puede observar el esquema para la simulación del proceso.

Con el sistema en equilibrio se provoca una perturbación en la corriente del FA de un 10%

de su valor en estado normal nótese que el esquema de la figura 4.35 se encuentra en lazo

cerrado para la simulación esta se realiza en lazo abierto, la respuesta a esta perturbación se

puede apreciar en el cambio de la concentración de salida XA3 el cual se observa en la

figura 4.24.


78

Figura 4.23. Esquema para la simulación del proceso.

Utilizando el modelo de primer orden mas tiempo muerto POMTM que es en el que se

basan la mayoría de las fórmulas de ajuste de controladores el cual se rige por la siguiente

ecuación:

G(s)Ke

s 1

t t0

t (4-10)

En este modelo el proceso se caracteriza mediante tres parámetros la ganancia K, el tiempo

muerto t0 y la constante de tiempo . De modo que parte del problema consiste en

determinar dichos parámetros.

Con la ayuda de la respuesta obtenida en al salida del sistema se procede a calcular los

valores correspondientes de: K, y t0, utilizando el método 3 visto en el capitulo anterior.

En la figura 4.24 se puede apreciar la aplicación del método para el calculo de las variables

antes descritas.


79

Figura 4.24. Identificación de los parámetros K, y t0, sobre la respuesta del

Sistema perturbado en lazo abierto.

Los valores obtenidos por este método de identificación son :

KCs

m

0.0019555

0.0142

01377.

t1 = 9.3 min.

t2 = 16.3 min.

3

2

3

216 3 9 3 105(t t )2 1 ( . . ) . min.

t0 = t2 - = 16.3-10.5 = 5.8 min.

Con estos datos sustituyendo los valores obtenidos en la ecuación 4-10, se encuentra la

función de transferencia identificada obteniéndose:

G (s) 0.1377

(10.5 s 1)

e-s 5.8

.

Sensor - Transmisor de Concentración en la mezcla:

El rango de medición del Sensor - Transmisor de concentración en la muestra será de 0 a

0.06, con una corriente de salida en el rango de 4 a 20 mA (transmisor electrónico).


80

Pendiente mIs

X

20 40

0.06 0

16

0.06

8

0.03A

Is8

0.03X 4A

En la válvula se tiene:

Posicionador

Obteniéndose para el posicionador la siguiente relación:

Ip = 16vp + 4

Actuador:

Obteniendo la ecuación del actuador:


81

q = 0.284vp.

Aplicando Control Cascada a los tres Tanques.

En la figura 4.25, se puede observar un diagrama de bloques de esta configuración.

Primero se sintonizo el controlador PI que será el controlador esclavo, se calcularon las

constantes proporcionales y derivativas por el método IAET se acoplo al controlador master

y se hizo un ajuste fino obteniéndose:

Para el controlador PI (esclavo):

Kp = 1.3922

i = 0.4497 1/i = 2.2235

Para el controlador PID (master) .

Kp = 3.06 i = 5.2484 1/i = 0.1905

D = 4.4404.

Figura 4.25. Diagrama en bloques del control en cascada.

A continuación en la figura 4.26, se muestra el esquema de conexión del control cascada

para nuestro caso.


82

AC

Flujo A

Fa

Flujo B

FbXa0

Xa1

Xa2

Xa3

FC

FT

S.P.

Control

Primario

Control

Secundario

Figura 4.26. Esquema para la Conexión del Control en Cascada.

Se asume que la válvula es de Falla Cerrada, F.C. (Aire para Abrir), ya que al ocurrir una

falla en la corriente del controlador o en la válvula en sí, se interrumpe el flujo a y no se

genera una líquido con alta concentración de a. Es posible asumir lo contrario, esto lo haría

el Ingeniero de Procesos, debido a que el tendría la certeza de cual de las dos opciones

convendría más a la industria. Como la válvula es Falla Cerrada, entonces, el primer

controlador secundario es de Acción Inversa, ya que si aumenta el flujo a, el debería cerrar

la válvula (en la misma proporción del aumento), y como la válvula utiliza el aire para

abrir, el tiene que entregarle menos aire.

El segundo controlador (el primario) es de acción directa, ya que si aumenta la

concentración de a, el tiene que subir el Set Point del controlador secundario, para que éste

a su vez disminuya el valor del flujo a y baje el valor de la concentración.


83

Figura 4.27. Respuesta del Proceso Controlado por Cascada a una perturbación de FA en

un 10 %.

Figura 4.28. Corriente de entrada al posicionador y cambios producidos en la apertura de la

válvula.


84

Figura 4.29. Respuesta del Proceso Controlado por Cascada a una perturbación de FB en

un 10 %.


válvula.


85

Figura 4.31. Respuesta del Proceso Controlado por Cascada a una perturbación de la

concentración (XA)B en un 10 %.


válvula.


86

Figura 4.33 Respuesta del Proceso Controlado por Cascada a una perturbación de la

concentración (XA)A en un 10 %.


válvula.


87

Capitulo 5

Sistemas Multivariables

5.1- Introducción.

Hasta el momento, hemos estado trabajando con sistemas una entrada – una salida, pero es

importante recordar que en muchos casos prácticos existen más de una variable que debe

ser controlada, así como varias variables que pueden ser manipuladas.

Una de las características que es típico en los sistemas MIMO es la interacción, la cual esta

relacionada con el efecto que tiene cada variable sobre las diferentes variables controladas.

Cuando, fuertes interacciones están presentes, la selección de la estrategia más conveniente

de control, a lo mejor no es tan obvio. Ya que es posible que no podamos decidir

objetivamente la combinación más apropiada.

En ésta sección consideraremos técnicas para caracterizar las interacciones y seleccionar la

configuración de control MIMO más adecuada.

5.2- Interacción.

En la figura 1 se muestran a continuación esquemas de SISO y MIMO sistemas. Por

conveniencia, se asume que el número de variables manipuladas es igual al número de

variables controladas.

En general, un cambio en una variable manipula, por ejemplo M1, esta afectara C1 y C2,

debido a la interacción propia dentro del proceso. Es necesario conseguir una forma en

realizar el apareamiento entre variables. El número de posibles configuraciones de control

es n!.

Análisis de diagrama de bloques.

Proceso M C

Perturbaciones

SISO

Proceso

M1 C1

Perturbaciones

MIMO (2 x 2) M2 C2

C1(s)

M1(s)

= Gp11(s) C1(s)

M2(s)

= Gp12(s)

(1)


88

(1) Puede ser usada para determinar el efecto de un cambio en M1 ó M2. Del principio de

superposición, se asume que cambios simultáneos en M1 y M2 tienen efecto aditivo sobre

cada variable controlada:

C1(s) = Gp11(s)M1(s) + Cp12(s)M2(s)

C2(s) = Gp21(s)M1(s) + Cp22(s)M2(s)

En forma matricial.

C(s) = ; M(s) =

Gp =

Supongamos que es necesario usar un esquema de Control para un sistema MIMO 2 x 2.

Existen dos probabilidades:

C2(s)

M1(s)

= Gp21(s) C2(s)

M2(s)

= Gp22(s)

C1(s)

C2(s)

M1(s)

M2(s)

Gp11(s) Gp12(s)

Gp21(s) Gp22(s)

Gc1

Gp11

Gp12

Gp21

Gp22

Gc2

R1(s) + M1 E1 C1

E2 M2 C2 R2(s) +

+

+

+ +

1-1

2-2


89

Configuración 1-2; 2-1.

Como se puede observar cada cambio en variables manipuladas tiene un efecto directo

sobre una variable controlada, y un efecto indirecto sobre la otra.

En esta observación hecha anteriormente, conlleva a la siguiente deducción sobre los

potenciales problemas que se pueden originar.

1.- Puede originar desestabilización del sistema de control.

2.- Hace la sintonización de los controladores una tarea difícil.

De la 1ra figura se pude deducir lo siguiente, la función de transferencia entre la variable

controlada y manipulada depende de si los otros lazos están abiertos o cerrados.

Supongamos que la Gc2 está fuera de servicio o está colocado en manual, entonces M2(s) =

0.

Entonces (M2 = 0)

Si M2 0, control en automático.

La conclusión de está ecuación que puede ser extendida para otro lazo es que el ajuste de

los controladores no se puede hacer en forma independiente.

Ejemplo # 1.

Gc2

Gp11

Gp12

Gp21

Gp22

Gc1

R1(s) + M1 E1 C1

E2 M2

C2 R2(s) +

+

+

+

+

C1(s)

M1(s)

= Gp11(s)

C1(s)

M1(s)

= Gp11(s) - Gp12(s) Gp21(s) Gc2(s)

1 + Gc2(s) Gp22(s) Término de interacción

2 1.5

105 + 1 5 + 1

1.5 2

5 + 1 105 + 1


90

Gp(s)=

Asumamos que ambos controladores son proporcionales.

Gc1 = Kc1 ; Gc2 = Kc2. Determinar valores de ambos para las configuraciones 1-1, 1-2 y 1-

2, 2-1.

La ecuación característica para un sistema 2 x 2 viene dado por la siguiente ecuación:

(1 + Gc1 Gp11) (1 + Gc2 Gp22) – Gc1 Gc2 Gp12 Gp21 = 0

Reemplazando, las funciones de transferencia aquí:

a4s4 + a3s

3 + a2s2 + a1 s+ a0 = 0

Donde:

a4 = 100

a3 = 20 Kc1 + 20 Kc2 + 220

a2 = 42 Kc1 + 42 Kc2 + 221 Kc1 Kc2 + 141

a1 = 24 Kc1 + 24 Kc2 + 8 Kc1 Kc2 + 22

a0 = 2 Kc1 + 2 Kc2 + 1.75 Kc1 Kc2 + 1

Tarea: Derive el resultado para el sistema 1-2. 2-1.

A partir del método de Routh para Kc1 = 2.

-0.9 < Kc2 < 0.6

Represente la estabilidad usando un método gráfico.

Apareamiento entre variables controladas y manipuladas.

Trataremos de mostrar un método sencillo y práctico que resuelva el problema del

apareamiento entre VC y VM. Un incorrecto apareamiento produce un pobre desempeño y

reduce los márgenes de estabilidad.

Una columna de destilación típica tiene 5 variables controladas y cinco manipuladas.

VC: XD, XB, P, hB, hD.

VM: D, B, R, QD, QB.


91

Observen de este número de variables que existen 120 posibilidades. Por lo cual debe

existir un método que requiera resolver este inconveniente.

Método de Bristol.

Bristol desarrollo el primer método para analizar y resolver este problema.

Este método requiere solamente información de estado estacionario y nos da la siguiente

información.

1.- Medida de la interacción del proceso.

2.- Recomendación del más efectivo apareamiento de variables controladas y manipuladas.

La propuesta de Bristol es conocida como el método de la ganancia relativa.

ij= =

= => RGA

La RGA tiene las siguientes propiedades:

1.- Es normalizada.

2.- Es adimensional.

Donde:

= K11 = ; K12 =

(Ci / Mj)M

(Ci / Mj)C

Open – loop gain

Closed – loop gain

C1 11 12................... 1n

C2 21

Cn n1............................ nn

M1 M2....................Mn

C1

M1 M2

C1

M2 M1

C2

M1 M2

C2

M2 M1

Ganancia

Lazo

Abierto

PT

LT CT

LT

CT

P

Alimentación

Medio de

Calentamiento

Fondo

B X

B

Destilado

D X

D

Refrigerante

QD

HD

QB

Reflujo

R

C

O

L

U

M

N

A


92

K21 = ; K22 =

Lazo Cerrado.

K11 = ; K12 =

K21 = ; K22 =

11 = ; 12 =

11 = ; 11 =

Nota: Para aparear las variables controladas y manipuladas, y minimizar el efecto de la

interacción, agrupe aquellas cuyo valor ganancia relativa sea más cercano a la unidad.

Para un sistema 2 x 2, se puede deducir que:

K11 = K11 – K12 => K11 =

K12 = K21 =

K22 =

Entonces:

11 =

12 =

C1

M1 C2

C1

M2 C2

C2

M1 C1

C2

M2 C1

K11

K11

K12

K11

K21

K21

K22

K22

K21

K22

K11 K22 - K12 K21

K22

K11 K22 - K12 K21

- K21

K11 K22 - K12 K21

K12

K11 K22 - K12 K21

K11

K11 K22

K11 K22 - K12 K21

- K12 K22

K11 K22 - K12 K21


93

21 =

22 =

5.3- Teorema de Estabilidad

< 0 El notema será inestable

K denota el determinante de K.

5.4- Desacoplamiento de la interacción.

El objetivo de esta estrategia es reducir la interacción, agregando al controlador un

elemento denominado Desacoplador; el beneficio provisto por este pueden ser:

1.- Las interacciones del sistema a lazo cerrado son eliminados, y consecuentemente la

estabilidad del S.C a L.C es determinada por la estabilidad del lazo individual.

2.- Un cambio de S.P para una variable controlada no produce efectos sobre la otra variable

controlada.

En práctica estos beneficios teóricos pueden no llevarse a cabo totalmente debido a

imperfecciones en el modelo.

Un sistema típico de desacoplamiento.

- K11 K22

K11 K22 - K12 K21

K11 K22

K11 K22 - K12 K21

K πn Kij i=1

Gc1 Gp11

Gp12

Gp21

R1(s) M1 C1

D21

D12

M11 E1(s)

C21

C12

M12

M21

+

+ +

+ +

+

C11


94

D21(s) = -

D12(s) = -

5.5- Estrategias para reducir Interacción.

1.- Use estrategias conservadas de ajuste para los controladores. (Reduce el desempeño).

2.- Seleccione diferentes manipulados o variables controlados.

3.- Use sistema de desacoplamiento.

Gc2 M22 R2(s)

+

Gp22 C2 E2(s) M2

C22

+

+ +

+ +

Gp21(s)

Gp22(s)

Gp12(s)

Gp11(s)


95

Capitulo 6

Ejemplos de Aplicación

6.1- Introducción.

En este capitulo se mostraran diferentes procesos con la instrumentación (válvula y

transmisor) y controlador más adecuados. Adicionalmente se ofrecen varios ejemplos a lazo

abierto para ofrecer a los participantes la posibilidad de discusión.

Ejemplo # 1 (Intercambiador de calor)

El objeto en este proceso consiste en mantener constante la temperatura a la salida del

intercambiador de calor, variando el flujo de vapor.

Ejemplo # 2. (Control de la temperatura en un reactor exotérmico).

TY

Vapor

Ti (+)

T

T(+)

+

u

TT A

B

SP

Refrigerante

TIC

TT

TIC


96

Ejemplo # 3 (Control Cascada para temperatura en un reactor exotérmico).

Ejemplo # 4 (Esquema del lazo de control FF + FB para el control de temperatura en el

intercambio de calor).

Ejemplo # 5 (Control nivel fondo columna de destilación).

TT

A

B

SP

Maestro

Refrigerante

TT Esclavo

FT TT

FYI

FYZ

FC

FT

TT

TIC

W T1

T*

Ws

SP

Condensado

Vapor de

Salida

Entrada

TC

TT

LC

LT

K

LS

Vapor Control

Selectivo

TIC

TIC


97

Ejemplo # 6 (Control de temperatura en un tanque usando control rango partido)

Ejemplo # 7 (Control relación de flujos).

Ejemplo # 8 (Control de presión, nivel y flujo).

TIC

TT

Agua

fría

Agua

caliente

Drenaje

Condensado

FT

FC

ratio

FT

F1

SP

PT

PC

FC

FT LC

LT

Alimentación

Vapor

Condensado

SP

SP

Vapor


98

Ejemplo # 9 (Control de presión, y control aire/combustible).

PT

PC LT LC

X

Gases

Vapor

SP

Combustible

Aire FA Rehervidor

FA

FF

FF

P

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