Control Analógico I

DR. FERNANDO ORNELAS TELLEZ

25 de octubre de 2016

Resumen

Los sistemas control ...

1. Introducción a los Sistemas de Control

¿Qué es control?Es la acción o el efecto de poder decidir sobre el desarrollo de un proceso o sistema. También se puede

entender como la forma de manipular ciertas variables para conseguir que ellas u otras variables actúen enla forma deseada. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variablemanipulada al sistema para corregir o limitar una desviación del valor medido a partir de un valor deseado.

¿Qué es Ingeniería de control?Es un enfoque interdisciplinario para el control de sistemas y dispositivos. Combina áreas como eléctrica,

electrónica, mecánica, química, ingeniería de procesos, teoría matemática entre otras.Control Automático. Es el uso de elementos sistemáticos para el control industrial de maquinaria y/o

procesos, rediciendo la intervención humana, quedando éste último sólo como supervisor.Entre los beneficios del control automático es que se cuenta con sistemas actuando de forma autónoma,

rediciendo exigencias sensoriales y mentales por parte del humano, así como reducción de riesgos físicos, etc.

1.1. Revisión histórica del control

1.2. Definiciones

Sistema. Es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para lograr cierto objetivo. Elconcepto de sistema se puede aplicar a fenómenos físicos, biológicos, económicos, sociales y otros.

Variable controlada (salida). Es la cantidad o condición que se mide y controla.Variable manipulada (entrada). Es la variable que se modifica con el fin de afectar la variable controlada.Actuador. Mecanismo o dispositivo el cual permite la entrada al sistema de control.Proceso. Es el desarrollo natural de un acontecimiento, caracterizado por una serie de eventos o cambio

graduales, progresivamente continuos y que tienden a un resultado final. En este curso se llamará proceso acualquier operación que se va a controlar. Algunos ejemplos son los procesos químicos, económicos, biológicos,etc.

Planta. Conjunto de piezas de una maquinaria que tienen por objetivo realizar cierta actividad en conjunto.En sistemas de control, por planta se entiende el sistema que se quiere controlar.

Perturbaciones. Una perturbación es algún suceso que afecta adversamente el desarrollo de algún pro-ceso. Si la perturbación se genera dentro del sistema, se le denomina perturbación interna, caso contrario laperturbación externa.

1

1.3. Características de los sistemas de lazo cerrado y de lazo abierto

1.3.1. Sistema de control de lazo abierto

Es un sistema de control en donde la salida no tiene efecto sobre la acción de control. La salida puede ser ono ser medida, pero esa medición no afecta al controlador. [3]

Un ejemplo practico es una lavadora, cuya operación se basa en tiempo únicamente.En cualquier sistema de control en lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia.

Por tanto, en el sistema de control, la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia deperturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el este controlse usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas.

1.3.2. Sistema de control retroalimentado o de lazo cerrado

Es aquel sistema de control que utiliza alguna relación entre la variable de salida y alguna variable dereferencia, como medio de control [3].

En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que esla diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación, a fin de reducir el error y llevar la salidadel sistema a un valor conveniente. El término control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción decontrol retroalimentado para reducir el error del sistema.

1.3.3. Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas en lazo abierto

Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve la respuesta delsistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las variaciones internas en los parámetros delsistema.

Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil de desarrollar,porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra parte, la estabilidad es una funciónprincipal en el sistema de control en lazo cerrado, lo cual puede conducir a corregir errores que producenoscilaciones de amplitud constante o cambiante.

1.4. Ejemplos de sistemas de control

Control de temperatura

Control de sistemas mecánicos

Sistemas eléctricos (voltaje, frecuencia)

Robots (control de posición)

Control de motores (velocidad, posición, par, flujos)

Regulación de presión

Control de nivel de líquido

Regulación de voltaje

1.5. Objetivos del análisis y diseño

1.6. El proceso de diseño

2

1 23 4

Tabla 1: asdf

2. Modelado Matemático de Sistemas Físicos

2.1. Introducción: Ecuaciones diferenciales, linealidad, sistemas invariantes y va-riantes en el tiempo

Ecuaciones diferenciales

Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desco-nocidas.

Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferencialesse dividen en:

Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variableindependiente.

Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Las ecuaciones diferenciales generalmente involucran derivadas e integrales de variables dependientes con res-pecto a variables independientes, particularmente el tiempo [2]. Por ejemplo, las relaciones de corriente y voltajeen un circuito RLC en serie se puede representar por la ecuación diferencial:

Ri(t) + Ldi(t)

dt+

1

C

Zi(t)dt = e(t)

donde R es la resistencia, L la inductancia y C la capacitancia, i(t) la corriente y e(t) el voltaje aplicado alcircuito.

En general, una ecuación diferencial ordinaria lineal de n-ésimo orden se escribe como:

an

dny(t)

dtn+a

n�1dn�1y(t)

dtn�1+· · ·+a1

dy(t)

dt+a0y(t) = b

m

dmu(t)

dtm+b

m�1dm�1u(t)

dtm�1+· · ·+b1

du(t)

dt+b0u(t), n � m

que también se conoce como ecuación diferencial ordinaria lineal si los coeficientes a0, a1, ..., an�1 no son

funciones de y(t).Sistemas estáticos: un sistema se denomina estático o sin memoria si su salida en cualquier instante

de tiempo a lo sumo depende de su entrada en ese instante. En cualquier otro caso se dice que el sistema esdinámico, es decir, que la salida dependerá de condiciones iniciales del sistema en un tiempo inicial y de tiempofuturo.

Sistemas Variantes e Invariantes con el Tiempo

Generalizar la ecuación diferencial hasta un orden n y plantearla en termino de sus coeficientes variantes einvariantes con el tiempo.

Ejemplos de sistemas dinámicos descritos por ecuaciones diferenciales: circuito RC, RL, tempe-ratura de un horno (mediante una ecuación diferencial lineal de primer orden ⌧ y = �y +K u), etc.

Ejemplo: (Circuito RC) Determine la ecuación diferencial que describe el voltaje en el capa-

citor en función del voltaje aplicado.

Partiendo del hecho que el voltaje en un capacitor está dado por

vC

=

1

C

Zi(t) dt

3

o bien, la corriente

iC

(t) = Cdv

C

(t)

dt.

Por tanto, aplicando ley de voltajes de Kircchoff, la ecuación de diferencial que describe la relación corriente-voltaje en el circuito es

v(t) = R i(t) + vC

(t)

= R i(t) +1

C

Zi(t) dt.

Aplicando la transformada de Laplace

V (s) = RI(s) + VC

(s)

= RI(s) +1

sCI(s)

=

✓R+

1

sC

◆I(s)

Finalmente, la función de transferencia es

VC

(s)

V (s)=

1

sRC + 1

=

1

RC

1

s+ 1/RC.

Ejemplo: (Circuito RL) Determine la ecuación diferencial que describe la corriente en el

inductor en función del voltaje aplicado.

Partiendo del hecho que la corriente en un inductor está dado por

iL

=

1

L

ZvL

(t) dt

o bien, el voltaje

vL

(t) = Ldi

L

(t)

dt.

Por tanto, aplicando ley de voltajes de Kircchoff, la ecuación de diferencial que describe la relación corriente-voltaje en el circuito es

v(t) = R iL

(t) + vL

(t)

= R iL

(t) + Ldi

L

(t)

dt.

Así, la función de transferencia resulta en

IL

(s)

V (s)=

1

Ls +R

=

1

L

1

s+R/L.

2.1.1. Linealidad

Un sistema se dice que es lineal si satisface las siguientes propiedades:

1. y(t;↵x1 + �x2, 0) = ↵y(t;x1, 0) + �y(t;x2, 0)

2. y(t;↵x0, �u) = ↵y(t;x0, 0) + �y(t; 0, u)

4

3. y(t; 0, �u1 + �u2) = �y(t; 0, u1) + �y(t; 0, u2)

La propiedad 2 es la descomposición usual de un sistema en la respuesta homogénea (u = 0) y la respuestaparticular (x0 = 0).

La propiedad 3 es la definición formal del principio de superposición.

Un sistema es no lineal si no se aplica el principio de superposición.Por tanto, para un sistema no lineal la respuesta a dos entradas no puede calcularse tratando cada una a la

vez y sumando los resultados.(Tarea) Simular un sistema lineal y uno no lineal para comprobar el principio de superposición:

x = �a x+ u, x(0) = x0, a > 0, y = x

x = �a x3+ u, x(0) = x0, a > 0, y = x

Simular para una entrada tipo escalón (u1 = 1, u2 = 2) o entradas sinusoidales.

2.2. Modelado mediante ecuaciones de estado

Modelo Matemático de un Sistema Dinámico: Es un conjunto de ecuaciones que representan concierto grado exactitud la dinámica del sistema físico. El modelo se describe generalmente como un operadorentre las entradas y salidas del sistema, o como un conjunto de ecuaciones diferenciales (caso continuo) y/o endiferencias (caso discreto).

Representación en Espacio de Estado: El ente matemático para la representación de los sistemasdinámicos a estudiar será el de su representación en espacio de estados. Note que para sistemas dinámicos nolineales, no es posible su representación en el dominio de la frecuencia, como lo es para sistemas lineales.

Necesidad de Análisis en Espacio de Estados: Los sistemas modernos de control son altamente com-plejos debido a:

Múltiples entradas y salidas

Sistemas variantes en el tiempo

Dinámica no lineal

Las últimas dos características no pueden ser analizadas fácilmente por los métodos clásico o incluso imposiblesde analizar.

Estado: Es el conjunto más pequeño de variables (variables de estado) tal que con el conocimiento de éstasen t = t0 y el conocimiento de la entrada u para t � t0, se puede determinar por completo el comportamientofuturo del sistema dinámico.

5

Vector de Estado: Si se necesitan n variables de estado para describir el comportamiento del sistema,estas variables son los componentes del vector x 2 Rn. Un espacio de estados de dimensión n, está compuestode n ecuaciones diferenciales de primer orden que pueden ser lineales o no lineales y variantes en el tiempo.

La representación de un espacio de estados con n estados y m entradas de un sistema no lineal se describecomo

x1 = f1 (x1, x2, . . . , xn

, u1 , u2 , . . . , um

, t)

x2 = f2 (x1, x2, . . . , xn

, u1 , u2 , . . . , um

, t)

...xn

= fn

(x1, x2, . . . , xn

, u1 , u2 , . . . , um

, t)

donde xi

es el estado, con i = 1, ..., n; uj

son las variables de entrada, con j = 1, ...,m y fi

son funcio-nes (generalmente diferenciables) no lineales. O bien, de forma vectorial x =

⇥x1 x2 · · · x

n

⇤T , u =

⇥u1 u2 · · · u

n

⇤T y f (x, u, t) =

⇥f1 (x, u, t) f2 (x, u, t) · · · f

n

(x, u, t)⇤T , resultando en

x = f (x, u, t) .

La salida se puede definir comoy = h (x, u, t) .

Particularmente, para el caso linealx = Ax+B u

y saliday = C x+Du.

Ejemplos de sistemas dinámicos descritos por ecuaciones en espacio de estado: circuito RC,RL, temperatura de un horno (mediante una ecuación diferencial lineal de primer orden ⌧ y = �y +K u), etc.

Sol: Definir los estados, entonces a partir de la ecuación diferencial correspondiente, expresar la de estado.(Notar que tal representación consiste en despejar las derivadas de las ecuaciones diferenciales)

2.3. Funciones de transferencia

En la teoría de control, a menudo se usan las funciones de transferencia para caracterizar las relacionesde entrada-salida de componentes o de sistemas que se describen mediante ecuaciones diferenciales linealesinvariantes con el tiempo.

Función de transferencia (FT) para un sistema LTI. Se define como el cociente o relación entre latransformada de Laplace de la salida (función de respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (funciónde excitación), bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

Considere el sistema lineal e invariante con el tiempo descrito mediante la siguiente ecuación diferencial:

an

dny(t)

dtn+a

n�1dn�1y(t)

dtn�1+· · ·+a1

dy(t)

dt+a0y(t) = b

m

dmu(t)

dtm+b

m�1dm�1u(t)

dtm�1+· · ·+b1

du(t)

dt+b0u(t), n � m

(1)donde y(t) es la salida del sistema y u(t) es la entrada. La función de transferencia de este sistema se obtienetomando la transformada de Laplace de ambos lados de (1), bajo la suposición de que todas las condicionesiniciales son cero, o bien

G(s) =

L{salida}L {entrada}

=

Y (s)

U(s)

=

bm

sm + bm�1sm�1

+ · · ·+ b1s+ b0an

sn + an�1sn�1

+ · · ·+ a1s+ a0, n � m.

6

A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema medianteecuaciones algebraicas en s. La potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia defineel orden del sistema; para la FT anterior, el sistema es de orden n1.

2.3.1. Polos y ceros de una función de transferencia

En aplicaciones de ingeniería de control, la función de transferencia de un sistema se puede expresar en laforma de ceros y polos, considerando como ceros aquellas raíces de G(s) tal que G(s) = 0 y como polo aquellasraíces que hacen a G(s) =1, se puede escribir entonces

G(s) =Y (s)

U(s)=

K (s� z1) (s� z2) · · · (s� zm

)

(s� p1) (s� p2) · · · (s� pn

)

donde los pi

, con i = 1, 2, . . . , n son los polos de G(z), mientras que los zj

, con j = 1, 2, . . . ,m son los ceros deG(z).

Nota: La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos medianteecuaciones diferenciales lineales invariantes con el tiempo. Algunos aspectos importantes relacionados con la FTson [3]:

1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático expresa algebraicamente a la ecuacióndiferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada.

2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independiente de la magnitud y naturalezade la entrada o función de excitación.

3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sinembargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de trans-ferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.)

4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formasde entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema.

5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introdu-ciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transfe-rencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia desu descripción física.

Ejemplos de sistemas dinámicos descritos funciones de transferencia: circuito RC, RL, RLC, tem-peratura de un horno (mediante una ecuación diferencial lineal de primer orden ⌧ y = �y +K u), etc.

Teorema del Valor Inicial: f(0+) = lım

s!1 s F (s).Teorema del Valor Final: (Si el sistema es estable) lım

t!1 f(t) = fss

= lım

s!0 s F (s).

2.4. Funciones de transferencia de elementos en cascada

Se dice que dos o mas elementos de un sistema están en cascada cuando la salida de el primero es la entradadel segundo, y así sucesivamente.

El concepto de sistemas en cascada se puede dar en dos casos:

1. Si los elementos no se cargan. Por ejemplo, un Circuito RC – Amplificador de Ganancia Unitaria – CircuitoRC. Ejercicio: determinar su función de transferencia.

2. Si el segundo elemento ejerce una carga sobre el primero, el tercero sobre el segundo, etc. Por ejemplo, unCircuito RC – Circuito RC. Ejercicio: determinar su función de transferencia.

1Recuerde la transformada: L

⇢dn

dtnf(t)

�= snF (s)�

Pnk=1 s

n�kf (k�1)(0), donde f (k�1)(t) =dk�1

dtk�1f(t).

7

Para el segundo caso se tiene el siguiente circuito:

Para obtener la función de transferencia considere:ei

= R1i1 + VC1 (1)

VC1 = R2i2 + V

C2 (2)De (2) en (1)ei

= R1i1 +R2i2 + VC2 (3)

C1dV

C1

dt= i1 � i2 (4)

De (4) y (3) se tiene

ei

= R1

C1

dVC1

dt+ i2

�+R2C2

dVC2

dt+ e

o

ei

= R1C1dV

C1

dt+R1C2

deo

dt+R2C2

deo

dt+ e

o

(5)

Derivando (2) w.r.t. al tiempo se tiene quedV

C1

dt= R2

di2dt

+

deo

dt

dVC1

dt= R2C2

d2eo

dt2+

deo

dt(6)

Sustituyendo (6) en (5) se tiene que

ei

= R1C1R2C2d2e

o

dt2+R1C1

deo

dt+R1C2

deo

dt+R2C2

deo

dt+ e

o

(7)

Aplicando la transformada de LaplaceE

i

(s) =⇥R1C1R2C2s2 + (R1C1 +R1C2 +R2C2) s+ 1

⇤E

o

(s)

por lo queE

o

(s)

Ei

(s)=

1

R1C1R2C2s2 + (R1C1 +R1C2 +R2C2) s+ 1

.

8

2.5. Diagramas de bloques

Un sistema de control puede tener varios componentes. Para mostrar las funciones que lleva a cabo cadacomponente en la ingeniería de control, por lo general se usa una representación denominada diagrama debloques [3].

Diagramas de bloques. Un diagrama de bloques de un sistema es una representación gráfica de lasfunciones que lleva a cabo cada componente y el flujo de señales. Tal diagrama muestra las relaciones existentesentre los diversos componentes [3].

El bloque funcional o simplemente bloque es un símbolo para representar la operación matemática que sobrela señal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentespor lo general se introducen en los bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar ladirección del flujo de señales.

La punta de flecha que señala el bloque indica la entrada, y la punta de flecha que se aleja del bloquerepresenta la salida. Tales flechas se conocen como señales.

Las ventajas de la representación mediante diagramas de bloques de un sistema estriban en que es fácilformar el diagrama de bloques general de todo el sistema con sólo conectar los bloques de los componentes deacuerdo con el flujo de señales y en que es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeñogeneral del sistema.

En general, la operación funcional del sistema se aprecia con más facilidad si se examina el diagrama debloques que si se revisa el sistema físico mismo. Un diagrama de bloques contiene información relacionada conel comportamiento dinámico, pero no incluye información de la construcción física del sistema.

El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único. Es posible dibujar varios diagramas debloques diferentes para un sistema, dependiendo del punto de vista del análisis.

Punto suma. Un círculo con una cruz es el símbolo que indica una operación de suma. El signo de más ode menos en cada punta de flecha indica si la señal debe sumarse o restarse. Es importante que las cantidadesque se sumen o resten tengan las mismas dimensiones y las mismas unidades.

Punto de ramificación. Un punto de ramificación es aquel a partir del cual la señal de un bloque va demodo concurrente a otros bloques o puntos suma.

Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La figura siguiente muestra un ejemplo de undiagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. La salida C(S) se realimenta al punto suma, en donde secompara con la entrada de referencia R(s). La naturaleza en lazo cerrado del sistema se indica con claridad enla figura. La salida del bloque, C(s) en este caso, se obtiene multiplicando la función de transferencia G(s) porla entrada al bloque, E(s). Cualquier sistema de control lineal puede representarse mediante un diagrama debloques formado por puntos suma, bloques y puntos de ramificación.

9

Cuando la salida se realimenta al punto suma para compararse con la entrada, es necesario convertir laforma de la señal de salida en la de la señal de entrada. Por ejemplo, en un sistema de control de temperatura,por lo general la señal de salida es la temperatura controlada. La señal de salida, que tiene la dimensión de latemperatura, debe convertirse a una fuerza, posición o voltaje antes de que pueda compararse con la señal deentrada. Esta conversión se consigue mediante el elemento de realimentación, cuya función de transferencia esH(s) como se aprecia en la figura siguiente.

A partir de la figura anterior, se m¡puede definir lo siguiente:

FT en lazo abierto:B(s)

E(s)= G(s)H(s)

FT de trayectoria directa:C(s)

E(s)= G(s).

Cuando H(s) es la unidad, las dos FT anteriores son las mismasFunción de transferencia en lazo cerrado. Para el sistema que aparece en la figura anterior, la salida Y (s) y

la entrada de referencia R(s) se relacionan comoY (s)

R(s)=

G(s)

1 +G(s)H(s).

[3]. Ver [1] pp. 39 del impreso.

2.5.1. Reglas del álgebra de bloques y reducción de diagramas de bloques básicos

Un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentación se simplifica mediante unreordenamiento paso a paso mediante las reglas del álgebra de los diagramas de bloques. Ver tabla siguiente [3]:

10

La simplificación de un diagrama de bloques mediante re-ordenamientos y sustituciones reduce de maneraconsiderable la labor necesaria para el análisis matemático subsecuente. Sin embargo, debe señalarse que, con-forme se simplifica el diagrama de bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven máscomplejas, debido a que se generan polos y ceros nuevos.

Ejemplo:

Ejercicio: Reduzca el siguiente diagrama de bloques ([3]: pp. 115, ejercicio A.3.1, del impreso)

11

Ejercicio: Reduzca el siguiente diagrama de bloques [3].

Ejercicio o Tarea: Reduzca el siguiente diagrama de bloques ([3]: pp. 116, ejercicio A.3.3, del impreso)

2.6. Sistemas multi-entrada multi-salida y matrices de transferencia

Considere el siguiente diagrama de bloques correspondiente a un sistema MIMO

Las relaciones de la función de transferencia del sistema se expresan en forma matricial como

Y (s) = G(s)U(s)

U(s) = R(s)�B(s)

B(s) = H(s)Y (s)

entoncesY (s) = G(s)R(s)�G(s)H(s)Y (s)

y resolviendo para Y (s) se llega a

Y (s) = [I +G(s)H(s)]�1 G(s)R(s)

donde la matriz de transferencia es por tanto

M(s) = [I +G(s)H(s)]�1 G(s).

Finalmente, el sistema mimo se puede escribir como

Y (s) = M(s)R(s)

12

EJEMPLO: Determine la función de transferencia de un sistema MIMO donde G(s) y H(s) son

G(s) =

2

64

1

s+ 1

�1

s

2

1

s+ 2

3

75 ; H(s) =

1 0

0 1

�.

SOL:

Ver [2] pp. 86 del impreso. Ver [1] pp. 55 del impreso.Ejemplo de un sistema MIMO: Un circuito con la siguiente descripción: Fuente-RC-RC-R-Fuente (pa-

recido a un circuito pi), donde se tienen dos entradas y dos salidas (los voltajes en cada capacitor).

13

2.7. Sistemas sometidos a una perturbación

Ver [1] pp. 60 del impreso. Ver [3] pp. 66 del impreso.La figura siguiente muestra un diagrama a bloques de un sistema en lazo cerrado el cual está perturbado

por D(s).

Cuando se presentan dos entradas (la entrada de referencia y la perturbación) en un sistema lineal, cada unade ellas puede tratarse en forma independiente (por el principio de superposición); y las salidas correspondientesa cada entrada pueden sumarse para obtener la salida completa. La forma en que se introduce cada entrada enel sistema se muestra en el punto suma mediante un signo de más o de menos.

Al examinar el efecto de la perturbación D(s), podemos suponer que el sistema está inicialmente relajado,con un error cero; después podemos calcular la respuesta C

D

(s) sólo para la perturbación (es decir, la salidaen función únicamente de D(s) y R(s) = 0, usando el principio de superposición). La respuesta del sistema seencuentra a partir de

CD

(s)

D(s)=

G2(s)

1 +G1(s)G2(s)H(s).

Considérese ahora que |G1(s)H(s)| � 1. Note que G1(s) es el controlador, por lo tanto si su ganancia esgrande, el efecto de tal perturbación es atenuado inversamente proporcional a la ganancia del controlador. Eneste caso, la función de transferencia en lazo cerrado C

D

(s)/D(s) se hace casi cero, y se suprime el efecto de laperturbación. Ésta es una ventaja del sistema en lazo cerrado.

Por parte de la función de transferencia

CR

(s)

R(s)=

G1(s)G2(s)

1 +G1(s)G2(s)H(s)

la cual es la correspondiente únicamente a la entrada R(s) y considerando que |G1(s)G2(s)H(s)| � 1, pormedio de una alta ganancia en G1(s), entonces la función de transferencia en lazo cerrado C

R

(s)/R(s) se vuelveindependiente de G1(s) y G2(s) y se hace inversamente proporcional a H(s). Es fácil observar que cualquiersistema en lazo cerrado con una realimentación unitaria, H(s) = 1, tiende a hacer iguales la entrada y la salida.

2.8. Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidades

Ver [3] pp. 100 del pdf.Es deseable que los modelos matemáticos sean lineales, esto por su sencillez con respecto a los no lineales, y

porque en muchos casos pueden representar en forma precisa el comportamiento de sistemas reales. Sin embargo,los avances tecnológicos actuales han generado una enorme variedad de nuevos problemas y aplicaciones queson del tipo no lineal.

Aunque algunos sistemas físicos tienen una región de operación muy cercana a la lineal para cierto rango devalores de entrada y salida, otros sistemas importantes son no lineales para señales de cualquier tamaño. Porejemplo en los sistemas de control de encendido y apagado, la acción de control está activada o no activada, yno hay una relación lineal entre la entrada y la salida del controlador.

15

En la práctica, muchos sistemas electromecánicos, hidráulicos, neumáticos, etc., involucran relaciones nolineales entre las variables. Por ejemplo el péndulo simple (hacer figura del péndulo simple), donde su compor-tamiento dinámico se describe por una ecuación diferencial no lineal

mld2✓(t)

dt2+mg sin ✓(t) + kl

d✓(t)

dt= u

donde ✓(t) es el ángulo, u es el par aplicado al péndulo, m es la masa, l es la longitud del péndulo, g es lagravedad y k es el coeficiente de fricción.

Otros ejemplos, la salida de un componente puede saturarse para señales de entrada grandes. Puede haberuna zona muerta que afecte las señales pequeñas . (La zona muerta de un componente es un rango pequeño devariaciones de entrada ante las cuales el componente es insensible). Puede ocurrir una no linealidad de la leycuadrática en algunos componentes.

2.9. Modelado de sistemas eléctricos

Las relaciones de voltaje y corriente para el capacitor son:

VC

(t) =1

C

ZiC

(t) dt, iC

(t) = CdV

C

(t)

dt.

Las relaciones de voltaje y corriente para el inductor son:

VL

(t) = Ldi

L

(t)

dt, i

L

(t) =1

L

ZVL

(t) dt.

Ver [3] pp. 87 del pdf y pp. 90 del impreso.

2.9.1. Modelado de sistemas electrónicos

Considere el modelado de circuitos con amplificadores operacionales. Estos dispositivos son utilizados eningeniería de control para el diseño de controladores analógicos, ya que a partir de ellos se pueden desarrollarcontroladores como tipo P, PD, PI, PID, redes a atraso-adelanto, etc. La esquema electrónico del dispositivo semuestra en la siguiente figura:

El amplificador operacional (op-amp) ideal las siguientes propiedades:

16

1. El voltaje entre las terminales + y � es cero, esto es, e+ = e�. Esta propiedad se conoce comúnmentecomo tierra virtual o corto virtual.

2. Las corriente dentro de las terminales + y � es cero. Por lo tanto la impedancia de entrada es infinita.

3. La impedancia vista hacia la terminal de salida es cero. Por tanto, la salida es una fuente de voltaje ideal.

4. La relación entrada-salida es e0 = A (e+ � e�), donde A es la ganancia, la cual tiende al infinito.

Algunas configuraciones básicas:Amplificador Inversor. Considere el amplificador operacional de la siguiente figura:

A partir de los flujos de corriente en el circuito se puede deducir que

i1 =

ei

� e�

R1, i2 =

e� � e0R2

, e+ = e� = 0

y ademas se observa que i1 = i2, por lo queei

R1= � e0

R2

o biene0 = �R2

R1ei

.

Amplificador No Inversor. Considere la configuración

De manera general [2]:

17

Para el circuito con impedancias

G(s) = �Z2(s)

Z1(s)

Determine las funciones de transferencia de los siguientes circuitos:

18

Tarea: Diseñar un sistema con amplificadores operacionales que representen la ecuación diferencial y =

�ay + bu, con a = 1, b = 1 y un controlador tipo PI con amplificadores operacionales para controlar el sistemaa un valor de referencia de 2 volts. Compare las respuestas del simulador electrónico con la implementación ensimulink con funciones de transferencia.

2.10. Modelado de sistemas mecánicos

La mayoría de los sistemas de control están compuestos por elementos mecánicos y eléctricos, aunque algunostambién pueden contener elementos mecánicos o hidráulicos.Matemáticamente existe una analogía entre los ele-mentos mecánicos y los eléctricos, de hecho, se puede demostrar que dado un dispositivo eléctrico, normalmenteexiste una contraparte mecánica análoga, y viceversa.

El movimiento de los elementos mecánicos se puede describir en varias dimensiones como de traslación yrotación, o sus combinaciones. La ley de movimiento de Newton es la que describe el movimiento de los sistemasmecánicos.

2.10.1. Modelado de sistemas mecánicos de traslación

El movimiento de traslación está definido como un movimiento que toma lugar a lo largo de una línea recta.Las variables que se utilizan para describir este movimiento son la aceleración, velocidad y desplazamiento. Laley del movimiento de Newton establece que:

La suma algebraica de las de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido en una dirección dada

es igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración en la misma dirección, matemáticamente

XFuerzas = M a

donde M es la masa y a es la aceleración en la dirección considerada.

En general, para el movimiento de traslación se involucran los siguientes elementos:Masa. La masa es la propiedad de un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de traslación,

de esta forma, la masa es análoga a la inductancia en circuitos eléctricos. La masa es calculada como M =

W

g

donde g es la aceleración de caída libre de un cuerpo debida a la gravedad y tiene un valor de g = 32.174 ft/s2

en el sistema ingles y de g = 9.8066 m/s2 en el SI de unidades. La siguiente tabla muestra las unidades básicasencontradas en un sistema mecánico.

Conversiones básicas son: 1 kg = 2.2046 lb (masa) = 0.06852 slug, 1N = 0.2248 lb (fuerza),1m = 3.2808 ft = 39.37 plg y 1 ft = 0.3048m.

La siguiente figura muestra una fuerza actuando sobre un cuerpo con masa M

cuya descripción matemática es

f(t) = Ma(t) = Md2y(t)

dt2= M

dv(t)

dt

22

donde y(t) es posición y v(t) es velocidad.Resorte lineal. Este puede ser modelado un elemento que almacena energía potencial, por lo que es análogo

a un capacitor en un circuito eléctrico. Todos los resortes son no lineales en la vida real, aunque si la deformacióndel mismo es pequeña, su comportamiento se puede aproximar por la relación lineal

f(t) = K y(t)

donde K es la constante del resorte o simplemente la rigidez. Las unidades de la constante K del resorte en elSI son N/m mientras que en el ingles lb/ft. La ecuación del resorte implica que la fuerza que actúa sobre elresorte es directamente proporcional al desplazamiento (deformación) del resorte. La representación del resortees la siguiente

Si el resorte es precargado con una tensión T , la ecuación del resorte se convierte en f(t)� T = K y(t).Fricción para el movimiento de traslación. Cuando exista movimiento o tendencia de movimiento

entre dos elementos físicos, se presentan fuerzas de fricción, las cuales son de naturaleza no lineal y dependende factores como composición de las superficies, la presión entre las mismas, su velocidad relativa, lo que hacedifícil describirla. Existen tres tipo de fricción que se emplean comúnmente: fricción viscosa, fricción estática yfricción de Coulomb.

Fricción viscosa. Representa una fuerza que es una relación lineal entre la fuerza aplicada y la velocidad.A menudo esta fricción es representada como un amortiguador (ver figura). La descripción matemática es paraesta fricción es

f(t) = Bdy(t)

dt

donde B es el coeficiente de fricción viscosa. Las unidades del coeficiente B son (N � s)/m en el SI, mientrasque (lb� s)/ft en el sistema ingles.

Fricción estática. Representa una fuerza que tiende a prevenir el movimiento desde el comienzo. Suecuación

f(t) = ±(Fs

)

���y=0

es decir, una fricción que está presente únicamente cuando la velocidad es cero (y = 0), y desaparece cuando seestá en movimiento.

Fricción de Coulomb. Es una fuerza que tiene una amplitud constante respecto al cambio de velocidad,pero el signo de la fuerza de fricción cambia al invertir la dirección de la velocidad. Su ecuación es f(t) =

Fc

dy(t)/dt

|dy(t)/dt| donde Fc

es el coeficiente de la fricción de Coulomb.

La siguiente figura muestra las diferentes fuerzas de fricción

23

Ejemplo: Determine la función de transferenciaY (s)

F (s)yV (s)

F (s)para el siguiente sistema mecánico de traslación

y obtenga su modelo en la representación en espacio de estados

SOL: se puede observar que la relación es

f(t) = Mdy2(t)

dt2+B

dy(t)

dt+K y(t).

Aplicando la transformada de Laplace

Y (s)

F (s)=

1

M s2 +B s+K

yV (s)

F (s)=

s

M s2 +B s+K.

Por otro lado, definiendo x1(t) = y(t), x2(t) =dy(t)

dty u(t) = f(t), se obtiene

dx1(t)

dt= x2(t)

dx2(t)

dt= �K

Mx1(t)�

B

Mx2(t) +

1

Mu(t).

Para este ejemplo, M es análoga a la inductancia L en un circuito eléctrico, la constante K es análoga al inversode la capacitancia 1/C y B es análogo a la resistencia R.

Tarea: Determine la función de transferencia de

24

2.10.2. Modelado de sistemas mecánicos de rotación y trenes de engranes

El movimiento de rotación de un cuerpo se puede definir como el movimiento alrededor de un eje fijo. Laextensión de la ley de Newton para el movimiento de rotación establece que:

la suma algebraica de los momentos o pares alrededor de un eje fijo es igual al producto de la

inercia por la aceleración angular alrededor del eje.

Matemáticamente Xfuerzas = J↵

donde J denota inercia (kg �m2) y ↵ es la aceleración angular. Así,

T = J↵(t) = Jd!(t)

dt= J

d2✓(t)

dt2

donde T es el par aplicado (N-m), ! es la velocidad angular (rad/s) y ✓ es el desplazamiento angular (rad).

Para el Resorte Torsional, se tiene la relación

T = k ✓(t)

donde la constante k tiene las unidades en el SI (N-m/rad) y en el ingles (pie-lb/rad).

La Fricción Viscosa está dada por

T = Bd✓(t)

dt

donde la constante B tiene las unidades en el SI (N-m-s/rad) y en el ingles (pie-lb-s/rad).Ejemplo: Determine la función de transferencia de

26

2.11. Modelado de Motores de CD

A partir de saber que efem

= Ke

d✓(t)

dty T = K

m

i(t), obtenga la función de transferencia⌦(s)

V (s)para el

motor de CD que se muestra en la figura. Obtenga también la representación en espacio de estados. SupongaK

m

= Ke

.

2.12. Linealización de Sistemas No Lineales

El proceso de linealizar sistemas no lineales es importante, porque linealizar ecuaciones no lineales permiteaplicar numerosos métodos de análisis lineal que proporcionen información acerca del comportamiento de lossistemas no lineales. El procedimiento de linealización que se presenta aquí se basa en la expansión de la funciónno lineal en series de Taylor alrededor del punto de operación y la retención solo del término lineal. Debidoa que no consideramos los términos de orden superior de la expansión en series de Taylor, estos términosno considerados deben ser suficientemente pequeños; es decir, las variables sólo se desvían ligeramente de lacondición de operación.

Considera el caso escalar de una ecuación diferencial no lineal comodx

dt= f(x).

Expandiendo en series de Taylor alrededor de x0, el lado derecho de tal ecuación, se obtiene

x = f (x0) +1

1!

df

dx

���x=x0

(x� x0) +1

2!

d2f

dx2

���x=x0

(x� x0)2+ T.O.S.

Haciendo el siguiente cambio de variables �x = x�x0, x0 = f (x0) y despreciando los términos de orden mayora 1 con respecto a x, se obtendría el modelo lineal en �x como

�x = x� x0

=

df

dx

���x=x0

(x� x0)

= A�x, A =

df

dx

���x=x0

.

De manera general, sea el sistema en espacio de estados .

dx

dt= f(x, u) (2)

y = h(x, u) (3)donde x es el vector de estado del sistema, u es el vector de entrada y f es una función no lineal del vectorde estado y de entrada del sistema. Expandiendo en series de Taylor el sistema 2 alrededor de (x0, u0), ydespreciando los términos de orden superior, se obtiene

xi

= fi

(x0, u0) +

nX

j=1

@fi

(x, u)

@xj

���x0,u0

(xj

� x0j) +

mX

j=1

@fi

(x, u)

@uj

���x0,u0

(uj

� u0j) (4)

28

donde i es el i�ésima variable de estado del sistema y m es la m�ésima entrada.Definiendo

�xi

= xi

� x0i

�uj

= uj

� u0j

x0i = fi

(x0, u0)

entonces, despreciando los términos de orden mayor a 1, el sistema 4 alrededor del punto de interés se puedere-escribir como

�xi

=

nX

j=1

@fi

(x, u)

@xj

���x0,u0

�xj

+

mX

j=1

@fi

(x, u)

@uj

���x0,u0

�uj

o bien, de manera vectorial�x = A�x+B�u

y = C�x

donde �x =

⇥�x1 �x2 · · · �x

n

⇤T , �u =

⇥�u1 �u2 · · · �u

m

⇤T y

A =

nX

j=1

@fi

(x, u)

@xj

���x0,u0

B =

mX

j=1

@fi

(x, u)

@uj

���x0,u0

y

C =

nX

j=1

@hi

(x, u)

@xj

���x0,u0

El termino u0 corresponde al valor que hace al sistema transformado igual a cero, esto es, u0 viene dedespejarlo de 0 = �x = A�x+B u0.

Para el caso escalar sin control se tiene entonces que

�x = A�x

dondeA =

df

dx

���x=x0

.

Ejemplo: Linealice el sistema

mld2✓(t)

dt2+mg sin ✓(t) + kl

d✓(t)

dt= u

alrededor del cero, es decir x1e = 0 y x2e = 0.Ejemplo: Linealice el sistema

mld2✓(t)

dt2+mg sin ✓(t) + kl

d✓(t)

dt= u

alrededor de x1e = � y x2e = 0.Tarea: Sea el sistema de levitación magnética con ecuaciones de estado

x1 = x2

x2 = g � 1

M

x23

x1

x3 = �R

Lx3 +

1

Lu

29

donde x1 es la posición vertical de la esfera de acero (x1 = y), x2 es la velocidad vertical de la esfera (x2 = x1 =

dy/dt) y x3 es la corriente de la bobina (x3 = i); R es la resistencia, L es la inductancia, M es la masa de la esfera,g es la gravedad, u = e(t) es el voltaje de entrada. Linealice el sistema en el punto de equilibrio x01 = constante.Los parámetros del sistema son M = 0.05 kg, K = 0.0001, L = 0.01H, R = 1Ohm, g = 9.81m/s2. Los valoresson tomados de: http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=Introduction&section=ControlStateSpace

Exprese la linealización (para una altura de x10 = 0.01 m) mediante representación en espacio de estados.Ver siguiente figura

Considerando el punto a linealizar como constante, entonces x2 debe ser cero tal que no se tenga variaciónen x1. Por lo tanto, x30 =

pMgx10 El modelo Linealizado resulta en

�x = A�x+B�u

con

A =

2

6664

0 1 0

x203

M x201

0

�2x03

M x01

0 0 �R

L

3

7775=

2

6664

0 1 0

g

x010 �2

rg

M x01

0 0 �R

L

3

7775

B =

2

640

0

1

L

3

75

Ver [3] pp. 100 del pdf y pp. 112-114 del impreso. Ver [1] pp. 124 del impreso.

Primer Examen Parcial (2 hrs)

30

Señal en el tiempo f(t) F (s)

Impulso �(t) 1

Escalón 1 1/sRampa t 1/s2

Parábola tn, n = 1, 2, 3, ... n!/sn+1

Senoidal sin(!t) !/�s2 + !2

�

Tabla 2: Señales típicas y su transformada de Laplace

3. Análisis de Respuesta Transitoria

3.1. Introducción

En la unidad anterior se planteó que el primer paso para analizar un sistema de control iniciaba con obtenerun modelo matemático del mismo. Una vez obtenido tal modelo, existen varios métodos para el análisis deldesempeño del sistema.

Muchos criterios de análisis y diseño se basan introducir ciertas señales de prueba al sistema y observar larespuesta, o bien, analizar la respuesta ante los cambios en las condiciones iniciales (sin señales de prueba).El uso de señales de prueba se justifica porque existe una correlación entre las características de respuesta deun sistema para una señal de entrada de prueba común y la capacidad del sistema de manejar las señales deentrada reales.

3.2. Señales de prueba típicas

Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones impulso, escalón, rampa, parábola, senoidales,etc. Con estas señales de prueba, es posible realizar con facilidad análisis matemáticos y experimentales desistemas de control, dado que las señales son funciones del tiempo muy simples. Ver tabla 2.

La forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normaldetermina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema. Silas entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual, una funciónrampa sería una buena señal de prueba. Asimismo, si un sistema está sujeto a perturbaciones repentinas unafunción escalón sería una buena señal de prueba; y para un sistema sujeto a entradas de choque, una funciónimpulso sería la mejor. Una vez diseñado un sistema de control con base en las señales de prueba, por lo generalel desempeño del sistema en respuesta a las entradas reales es satisfactorio.

3.2.1. Respuesta transitoria y respuesta en estado estable

La respuesta en el tiempo de un sistema de control consta de dos partes: la respuesta transitoria y larespuesta en estado estable. Por respuesta transitoria nos referimos a la que va del estado inicial al estado final.Por respuesta en estado estable, nos referimos a la manera en la cual se comporta la salida del sistema conformet tiende a infinito. Por lo tanto, la respuesta del sistema c(t) se puede escribir como

c(t) = ctr

+ css

(t)

donde ctr

es la respuesta transitoria y css

(t) es la respuesta en estado estable.

3.2.2. Estabilidad absoluta y error en estado estable

Al diseñar un sistema de control, debemos ser capaces de predecir su comportamiento dinámico a partirdel conocimiento de los componentes. La característica más importante del comportamiento dinámico de unsistema de control es la estabilidad absoluta, es decir, si el sistema es estable o inestable. Un sistema de controlestá en equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.Un sistema de control lineal e invariante con el tiempo es estable si la salida termina por regresar a su estado

31

Figura 1: Sistema de primer orden.

de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial. Un sistema de control lineal e invariante conel tiempo es críticamente estable si las oscilaciones de la salida continúan para siempre. Es inestable si la salidadiverge sin límite a partir de su estado de equilibrio cuando el sistema está sujeto a una condición inicial.

Si la salida de un sistema en estado estable no coincide exactamente con la entrada, se dice que el sistematiene un error en estado estable. Este error indica la precisión del sistema. Al analizar un sistema de control,debemos examinar el comportamiento de la respuesta transitoria y el comportamiento en estado estable.

3.3. Respuesta al escalón de sistemas de primer orden

Considere el sistema de primer orden de la Figura 1(a). Físicamente, este sistema representa un circuito RC,un sistema térmico, nivel de líquido en un tanque, velocidad de un motor con respuesta sobre-amortiguada, etc.La Figura 1(b) presenta un diagrama de bloques simplificado. La relación entrada-salida se obtiene mediante

En lo sucesivo, analizaremos las respuestas del sistema a entradas tales como la función escalón unitario,rampa unitaria e impulso unitario. Se supone que las condiciones iniciales son cero. Observe que todos lossistemas que tienen la misma función de transferencia exhibirán la misma salida en respuesta a la mismaentrada.

3.3.1. Caracterización de la respuesta transitoria a un sistema ante una entrada escalón unitario

Considerando que la función de transferencia (relación entrada-salida) está dado por

C(s)

R(s)=

1

T s+ 1

donde la entrada es un escalón unitario, entonces la salida en el dominio de la frecuencia está dada por

C(s) =1

s� T

T s+ 1

=

1

s� 1

s+ 1/T

mientras que en el tiempo (aplicando transformada de Laplace inversa) por

c(t) = 1� e�t/T , t � 0. (5)

La ecuación anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una caracte-rística importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t = T , el valor de c(t) es 0.632, o quela respuesta c(t) alcanzó 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t = T en c(t). Esdecir,

c(T ) = 1� e�1= 0.632.

Observe que, conforme más pequeña es la constante de tiempo T , más rápida es la respuesta del sistema.La curva de respuesta exponencial c(t) obtenida mediante la ecuación (5) aparece en la figura siguiente.

32

En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dosconstantes de tiempo, la respuesta alcanza 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T , la respuesta alcanza95, 98.2 y 99.3 %, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t � 4T , la respuesta permanece dentro del2% del valor final. Como se observa en la ecuación (5), el estado estable se alcanza matemáticamente sólodespués de un tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica, una estimación razonable del tiempo de respuestaes la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la línea de 2% del valor final, o cuatroconstantes de tiempo.

Ejemplo. Determine la expresión de la salida del sistema

G(s) =20

s+ 4

que está sujeto a una entrada tipo escalón unitario. ¿Cual es su constante de tiempo? ¿Cuánto tiempo le tomaalcanzar el estado estable (98 % de su valor final)?

Ejemplo. Determine la expresión de la salida del sistema

G(s) =s+ 4

s+ 6

que está sujeto a una entrada tipo escalón unitario.

3.3.2. Constante de tiempo, tiempo de levantamiento y de asentamiento

Los siguientes definiciones consideran que el sistema bajo análisis es estable y está sujeto a una entrada tipoescalón.

Constante de tiempo: Es el parámetro que determina la velocidad de respuesta de un sistema. General-mente está asociado al tiempo de respuesta de un sistema de primer orden.

Tiempo de levantamiento: Es el tiempo que le toma a la salida de un sistema el pasar del 10 % al 90%de su valor final.

Tiempo de asentamiento: Es el tiempo, que para fines prácticos, le toma a la salida de un sistema alcanzarel 98 % de su valor final (para algunos autores es el 95 % de su valor final).

3.3.3. Polos y ceros de una función de transferencia

En aplicaciones de ingeniería de control, la función de transferencia de un sistema se puede expresar en laforma de ceros y polos, considerando como ceros aquellas raíces de G(s) tal que G(s) = 0 y como polo aquellasraíces que hacen a G(s) =1, se puede escribir entonces

G(s) =Y (s)

U(s)=

K (s� z1) (s� z2) · · · (s� zm

)

(s� p1) (s� p2) · · · (s� pn

)

donde los pi

, con i = 1, 2, . . . , n son los polos de G(z), mientras que los zj

, con j = 1, 2, . . . ,m son los ceros deG(z).

33

3.3.4. Efecto de un polo y cero adicional

Ejemplo. Determine la respuesta del sistema

G(s) =p

(s+ 1) (s+ p)

considerando como entrada un escalón unitario y siendo p un polo adicional.SOL: La respuesta del sistema viene dada por:

Y (s) =

p

(s+ 1) (s+ p)

1

s

=

A1

s+

A2

s+ 1

+

A3

s+ p

donde A1 = 1, A2 = � p

p� 1

y A3 =

1

p� 1

, por lo que

y(t) = 1� p

p� 1

e�t

+

1

p� 1

e�pt.

Se puede ver al sistema como uno que tiene dos constantes de tiempo, ⌧1 = 1 y ⌧2 =

1

p. Sin embargo,

dependiendo del valor de las constantes de tiempo, una de ellas se puede considerar como rápida y la otra comolenta, dependiendo del valor que pueda tomar una respecto a la otra. De la misma forma ocurriría si fuesen másconstantes de tiempo.

¿En que medida afecta la adición de un polo en función de su ubicación?

Describir en un plano complejo s la región de polos dominantes.

Describir sistemas dominantes de primer orden (es decir, sistemas con una dinámica como si fuese de unsistema de primer orden), para el caso cuando hay polos que están alejados al menos 5 veces de la regiónde polos dominantes.

Hacer notar que la dinámica dominante viene dada únicamente por la parte real de los polos de un sistema.

Ejemplo: Determine la respuesta del sistema

G(s) =

5

z(s+ z)

(s+ 1) (s+ 5)

el cual es uno dominante de primer orden y que está sujeto a una entrada escalón unitario. Note que la gananciade directa2 es unitaria. Haciendo una expansión en fracciones parciales se obtiene

Y (s) =

5

z(s+ z)

(s+ 1) (s+ 5)

1

s

=

A1

s+

A2

s+ 1

+

A3

s+ 5

con A1 = 1, A2 = �5 (z � 1)

4zy A3 =

z � 5

4z. Por lo que

y(t) = 1� 5 (z � 1)

4ze�t

+

z � 5

4ze�5t.

Comentarios Adicionales:2La ganancia de directa para una función de transferencia G(s) se calcula a partir de G(s)

���s=0

.

34

En la medida que alguno de los polos del sistema se aproxime al origen, este dominará la dinámica delsistema.

Un polo dominante puede eliminarse mediante la adición de un cero en el mismo lugar (o muy cerca) queel polo.

Los ceros en el semiplano derecho de s hacen que la respuesta del sistema inicie en dirección contraria dela respuesta dominante, para posteriormente seguirla.

Es importante destacar que la estabilidad de un sistema esta únicamente determinado por la ubicaciónde sus polos y no de sus ceros. Así, aunque los ceros estén en el semiplano derecho del plano complejo s,mientras los polos estén en el semiplano izquierdo, entonces el sistema será estable.

3.4. Respuesta al escalón de sistemas de segundo orden

La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas,si es un sistema de segundo orden, antes de alcanzar el estado estable, mientras que el de primer orden no.

La función de transferencia de un sistema de segundo ordenen su forma estándar está descrita por

Y (s)

U(s)=

w2n

s2 + 2⇠wn

s+ w2n

donde ⇠ es el factor de amortiguamiento relativo y wn

es la frecuencia natural no amortiguada. A partir de laF. T. se puede deducir que las raíces del denominador son

�1,2 =

�2⇠wn

±q(2⇠w

n

)

2 � 4w2n

2

=

�2⇠wn

± 2wn

p⇠2 � 1

2

= �⇠wn

± wn

p⇠2 � 1.

De esta forma la repuesta en el tiempo (en cuanto a velocidad de respuesta y posibles oscilaciones) del sistemaante una entrada determinada (particularmente una de tipo escalón), dependerá del valor que tomen ⇠ y w

n

.Se puede observar que, dependiendo del valor de ⇠, se pueden obtener tres casos:

1. Respuesta sobre-amortiguada, cuando ⇠ > 1 (raíces reales). Respuesta como de un sistema de primerorden.

2. Respuesta críticamente amortiguada, cuando ⇠ = 1 (raíces reales). Respuesta en el límite a la respuestade un sistema de primer orden y uno que presenta oscilaciones.

3. Respuesta sub-amortiguada, cuando 0 < ⇠ < 1 (raíces complejas). Respuesta con oscilaciones.

La siguiente figura muestra la respuesta de un sistema en función de ⇠.

35

Figura 2: Respuesta de un sistema de segundo orden

Las características comunes de respuesta de un sistema de segundo orden, ante una entrada tipo escalón, sedefinen enseguida y aparecen en forma gráfica en la figura ....

1. Tiempo de retardo, td

2. Tiempo de levantamiento, tr

3. Tiempo pico, tp

4. Sobrepaso máximo, Mp

5. Tiempo de asentamiento, ts

.

Tiempo de retardo, td

: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance laprimera vez la mitad del valor final.

Tiempo de levantamiento, tr

: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuestapase del 10 al 90 %, del 5 al 95 % o del 0 al 100 % de su valor final. Para sistemas sub-amortiguados de segundoorden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100 %. Para sistemas sobre-amortiguados, sueleusarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90 %.

Tiempo pico, tp

: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico delsobrepaso.

Sobrepaso máximo (porcentaje), Mg

: el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva derespuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de launidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante

36

Porcentaje de sobrepaso máximo =c(t

p

)� c(1)

c(1)

⇥ 100%.

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.Tiempo de asentamiento, t

s

: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curvade respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto delvalor final (por lo general, de 2 a 5 %) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con lamayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinancuál criterio de error en porcentaje usar.

3.4.1. Caso sobre-amortiguado (⇠ > 1)

A partir de la función de transferencia de un sistema de segundo orden

Y (s)

U(s)=

w2n

s2 + 2⇠wn

s+ w2n

donde las raíces del denominador son dadas por

�1,2 = �⇠wn

± wn

p⇠2 � 1

y considerando que el es sistema es excitado por una entrada tipo escalón unitario (R(s) = 1/s), se tiene que

Y (s) =

w2n⇣

s+ ⇠wn

+ wn

p⇠2 � 1

⌘⇣s+ ⇠w

n

� wn

p⇠2 � 1

⌘ 1

s.

Aplicando la transformada de Laplace inversa, la respuesta en el tiempo resulta en

y(t) = 1 +

wn

2

p⇠2 + 1

✓e�s1t

s1� e�s2t

s2

◆

donde s1 = ⇠wn

+ wn

p⇠2 � 1 y s2 = ⇠w

n

� wn

p⇠2 � 1 . Por lo tanto, la respuesta incluye dos términos

exponenciales que decaen (uno más rápido que otro).Ejemplo: Determine el valor de ⇠ y w

n

para un sistema mecánico de traslación

con función de transferencia

Y (s)

F (s)=

1

M s2 +B s+K.

3.4.2. Caso críticamente amortiguado (⇠ = 1)

A partir de la función de transferencia de un sistema de segundo orden

37

Y (s)

U(s)=

w2n

s2 + 2⇠wn

s+ w2n

=

w2n

s2 + 2wn

s+ w2n

=

w2n

(s+ wn

)

2 .

De esta forma,

Y (s) =w2

n

(s+ wn

)

2

1

s

donde aplicando la transformada inversa se obtiene que

y(t) = 1� e�wnt(1 + w

n

t) .

3.4.3. Casos sub-amortiguado (⇠ < 1)

Ver [3] pp. 226 del impreso.Considere la salida de un sistema sub-amortiguado como

Y (s) =

w2n

s2 + 2⇠wn

s+ w2n

1

s

=

1

s� s+ 2⇠w

n

s2 + 2⇠wn

s+ w2n

(6)

donde

s2 + 2⇠wn

s+ w2n

= s2 + 2⇠wn

s+ w2n

+ (⇠wn

)

2 � (⇠wn

)

2

= (s+ ⇠wn

)

2+ w2

n

�1� ⇠2

�.

Definiendo � = ⇠wn

y wd

= wn

p1� ⇠2, donde w

d

es llamada frecuencia natural amortiguada , se puedeexpresar (6) como

Y (s) =

1

s� s+ 2⇠w

n

(s+ �)2 + w2d

=

1

s� s+ ⇠w

n

(s+ �)2 + w2d

� ⇠wn

wd

wd

(s+ �)2 + w2d

=

1

s� s+ �

(s+ �)2 + w2d

� ⇠p1� ⇠2

wd

(s+ �)2 + w2d

Aplicando la transformada inversa de Laplace

y(t) = 1� e��t

cos (wd

t)� ⇠p1� ⇠2

e��t

sin (wd

t)

= 1� e��t

cos (w

d

t) +⇠p

1� ⇠2sin (w

d

t)

!.

Usando la identidad trigonométrica A cos ✓ + B sin ✓ = r sin (✓ + �), donde r =

pA+B y � = arctan

✓A

B

◆,

entonces para el problema abordado r =

1p1� ⇠2

y � = arctan

p1� ⇠2

⇠

!, así la salida resulta en

y(t) = 1� 1p1� ⇠2

e�⇠wntsin

⇣w

n

p1� ⇠2t+ �

⌘.

38

Figura 3: Respuesta de un sistema de segundo orden

Ejemplos: Para cada uno de los siguientes sistemas, determine el tipo de respuesta (sub, críticamente o sobreamortiguada) y la ubicación de los polos. Posteriormente, exprese la respuesta correspondiente, considerandouna entrada tipo escalón unitario.

1. G(s) =144

s2 + 9s+ 144

.

2. G(s) =250

s2 + 10s+ 25

.

3. G(s) =9

s2 + 9s+ 9

.

3.4.4. Especificaciones de respuesta transitoria

Para la respuesta de un sistema de segundo ordense tiene que

tp

=

⇡

wn

p1� ⇠2

Mp

=

ymax

� yss

yss

= e�

0

@⇠p

1� ⇠2

1

A⇡

%Mp

= 100⇥ e�

0

@⇠p

1� ⇠2

1

A⇡

O bien, se puede expresar ⇠ en función de Mp

como

⇠ =

vuuuuuut

1

1 +

⇡2

ln

✓1

Mp

◆�2

ts

⇡ 4

⇠wn

tr

=

⇡ � ✓

wn

p1� ⇠2

, ✓ = arctan

p1� ⇠2

⇠

!

39

td

⇡ tr

2

Ejemplo: Para el sistema con función de transferencia

G(s) =16

s2 + 4s+ 16

el cual se supone se sometería a un escalón unitario, determinar los parámetros de respuesta %Mp

, tr

, tp

y ts

.SOL. %M

p

= 16.3%, tr

= 0.604s, tp

= 0.9068s y ts

= 2s.Ejercicio: Determinar la función de trasferencia para un sistema con respuesta de segundo orden al escalón

unitario, el cual tiene un Mp

= 0.3 y tp

= 2.5. SOL. G(s) =1.809

s2 + 0.96s+ 1.809.

3.5. Sistemas dominantes de segundo orden

Un sistema con una respuesta como un sistema de segundo orden, se considera dominante de segundo orden,sin importar el orden del sistema original. Para este caso, entonces se está considerando que los polos de unsistema o sub-sistema de segundo orden son dominantes sobre los demás polos. Note que los polos son o nodominantes en función del valor que toma solamente la parte real de los polos.

3.6. Errores en estado estacionario

Los errores en un sistema de control se pueden atribuir a muchos factores. Los cambios en la entrada dereferencia provocan errores inevitables durante los periodos transitorios y también pueden producir errores enestado estable. Las imperfecciones en los componentes del sistema, tales como el envejecimiento o el deterioro,provocan variaciones paramétricas y estas a su vez errores en el estado uniforme. Sin embargo, en esta secciónno analizaremos los errores producidos por las imperfecciones de los componentes del sistema. Más bien, seestudia el tipo de error en estado estable provocado por la incapacidad del sistema de seguir determinados tiposde entradas.

Cualquier sistema de control físico sufre, por naturaleza un error en estado estable en respuesta a ciertostipos de entrada. Un sistema puede no tener un error en estado estable para una entrada escalón, pero el mismosistema puede exhibir un error en estado estable diferente de cero ante una entrada rampa.

3.6.1. Tipos de sistemas de control

Los sistemas de control se clasifican de acuerdo con su capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parábola,etc.

Previo al diseño de compensadores, definamos una clasificación usual que se hace a sistemas LIT en funcióndel valor N 2 {0, 1, 2, 3, ...} del exponente del polo simple para la siguiente función de transferencia siguiente:

G(s) = K(s+ z1) (s+ z2) · · · (s+ z

m

)

sN (s+ p1) (s+ p2) · · · (s+ pn

)

Por ejemplo, se dice que el sistema es de tipo cero si N = 0. Será de tipo 1 si N = 1 y así sucesivamente.

4. Análisis de Estabilidad

4.1. Definición de estabilidad

4.1.1. Definición de estabilidad para entrada limitada-salida limitada

Ver [2] pp. 328 del impreso.

40

4.1.2. Definición de estabilidad en el sentido de la respuesta al impulso

Ver [1] pp. 192 del impreso.

4.1.3. Definición de estabilidad y polos

Dibujar un plano donde se muestre la región de estabilidad, estabilidad marginal e inestabilidad ... y surelación con los polos del sistema.

Observe que el solo hecho de que todos los polos en lazo cerrado se encuentren en el semiplano izquierdo delplano s no garantiza características satisfactorias de respuesta transitoria. Si los polos dominantes complejosconjugados en lazo cerrado se encuentran cerca del eje imaginario, la respuesta transitoria exhibirá oscilacionesexcesivas o será muy lenta. Por tal razón, a fin de garantizar características de respuesta transitoria rápidas y bienamortiguadas, es necesario que los polos en lazo cerrado del sistema se encuentren en una región determinadadel plano complejo, tal como la región delimitada por el área sombreada de la siguiente figura

4.2. El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

4.2.1. Criterio de Routh-Hurwitz

Una de las herramientas útiles para probar estabilidad de sistemas lineales es el criterio de Routh-Hurwitz, elcual se aplica al polinomio característico de una función de transferencia. El polinomio característico se describepor:

P (z) = a0sn

+ a1sn�1

+ · · ·+ an�2s

2+ a

n�1s+ an

= 0.

Tabulación de Routh-Hurwitz Considere el siguiente polinomio

a0sn

+ a1sn�1

+ · · ·+ an�2s

2+ a

n�1s+ an

= 0

sn a0 a2 a4 a6 · · ·sn�1 a1 a3 a5 a7 · · ·sn�2 b1 b2 b3 b4 · · ·sn�3 c1 c2 c3 c4 · · ·sn�4 d1 d2 d3 d4 · · ·

......

...s2 e1 e2s1 f1s0 g1

41

dondeb1 =

a1a2 � a0a3a1

c1 =

b1a3 � a1b2b1

b2 =

a1a4 � a0a5a1

c2 =

b1a5 � a1b3b1

d1 =

c1b2 � b1c2c1

b3 =

a1a6 � a0a7a1

c3 =

b1a7 � a1b4b1

d2 =

c1b3 � b1c3c1

......

...

4.2.2. Definición de criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz establece que: Suponiendo a0 > 0: El polinomio P (s) no tiene raíces dellado derecho del plano complejo s si y sólo si todos los pivotes son positivos, es decir b1 > 0, c1 > 0, ..., g1 > 0.

Ejemplo: Determine la estabilidad de un sistema que tiene la siguiente ecuación característica [3]:

a0s3+ a1s

2+ a2s+ a3 = 0

donde todos los coeficientes son constantes.Ejemplo: Determine la estabilidad de un sistema que tiene la siguiente ecuación característica [1]:

s4 + 11s3 + 41s2 + 61s+ 30 = 0.

Ejemplo: Determine la estabilidad de un sistema que tiene la siguiente ecuación característica [2]: (SISTE-MA INESTABLE)

3.128s3 � 11.74s2 + 2.344s+ 14.17 = 0.

Ver [3] pp. 275 del impreso.

4.2.3. Criterio de Routh-Hurwitz para casos especiales

1. Si el término de la primera columna de cualquier renglón es cero (pero los términos restantes no son cero,o no hay términos restantes), el término cero se sustituye con un número positivo muy pequeño ✏ y seevalúa el resto del arreglo. Por ejemplo, considere la ecuación

s3 + 2s2 + s+ 2 = 0

y por tanto la tabulación ess3 1 1

s2 2 2

s1 0 ⇡ ✏s0 2

Si el signo del coeficiente que está encima del cero (sustituido por ✏), i.e, “+”, es igual al signo que estáabajo de él, i.e. “+” (en este caso), quiere decir que hay un par de raíces imaginarias. Para este ejemploen particular se tiene s = ±j!.

2. Sin embargo, si el signo del coeficiente que está encima del cero (✏) es opuesto al del que está abajo, quieredecir que hay un cambio de signo. Por ejemplo, para la ecuación

s3 � 3s+ 2 = (s� 1)

2(s+ 2) = 0

la tabulación ess3 1 �3s2 0 ⇡ ✏ 2

s1 �3� 2

✏s0 2

42

Por lo que hay dos cambios de signo considerando ✏ > 0 (también ocurriría lo mismo para ✏ < 0), lo quesignifica que debe haber dos raíces en el lado derecho del plano complejo s. Esto coincide con el resultadoindicado por la forma factorizada de la ecuación característica.

3. Si todos los coeficientes de cualquier fila son cero, significa que existen raíces de igual magnitud que seencuentran radialmente opuestas en el plano s, es decir, dos raíces con magnitudes iguales y signos opuestos(que pueden tener sólo parte real) y/o dos raíces imaginarias conjugadas. En este caso, la evaluación delresto del arreglo continúa mediante la formación de un polinomio auxiliar, formado con los coeficientes delúltimo renglón, y posteriormente mediante el empleo de los coeficientes de la derivada de este polinomiopara la formación del renglón siguiente. Tales raíces con magnitudes iguales y radialmente opuestas en elplano s se encuentran despejando el polinomio auxiliar, que siempre es par. Para un polinomio auxiliarde grado 2n, existen n pares de raíces iguales y opuestas. Por ejemplo, considere la ecuación:

s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 � 25s� 50 = 0.

El arreglo en la tabla es

s5 1 24 �25s4 2 48 �50 Polinomio Auxiliar P (s)s3 0 0

.

Todos los términos del renglón s3 son cero, por lo que se forma el polinomio auxiliar como

P (s) = 2s4 + 48s2 � 50

lo cual indica que hay dos pares de raíces de igual magnitud y signo opuesto. Estos pares se obtienenresolviendo la ecuación del polinomio auxiliar P (s) = 0, lo que resulta en s = ±1 y s = ±j5. La derivadade P (s) con respecto a s es

dP (s)

ds= 8s3 + 96s.

Los coeficientes de la ultima ecuación, es decir, 8 y 96, sustituyen los términos del renglón s3. Por consi-guiente, el arreglo de coeficientes se convierte en

s5 1 24 �25s4 2 48 �50s3 8 96 Coeficientes de dP (s)/dss2 24 �50s1 112.7 0

s0 �50

Ademas, se observa que hay un cambio de signo en la primera columna del nuevo arreglo. Por tanto, laecuación original tiene una raíz con una parte real positiva.

4.2.4. Diseño de estabilidad usando el criterio de Routh-Hurwitz

Este criterio también puede utilizarse para el diseño de controladores, los cuales dependen de ajuste en susparámetros o ganancias. Entonces por medio del criterio se puede definir los rangos de valores que pueden tomarlas ganancias de un controlador tal un sistema en lazo cerrado sea estable.

Ejemplo: Considere un sistema de control en lazo cerrado clásico, con retroalimentación negativa unitaria,donde el controlador es uno del tipo Proporcional (con ganancia K

P

), y la planta está descrita por

G(s) =1

s (s+ 3) (s+ 7)

.

Determine el rango de valores para KP

tal que garantice la estabilidad del sistema en lazo cerrado.SOL: El polinomio característico es

P (s) = s3 + 10s2 + 21s+KP

= 0

43

y por tanto la tabulacións3 1 10

s2 10 KP

s1210�K

P

10

s0 KP

por lo que, del último elemento de la tabla, KP

debe ser mayor a cero y ademas KP

< 210, así, 0 < KP

< 210.Ejemplo: Considere un sistema de control en lazo cerrado clásico, con retroalimentación negativa unitaria,

donde el controlador es uno del tipo Proporcional (con ganancia KP

), y la planta está descrita por

G(s) =1

s (s2 + s+ 1) (s+ 2)

.

Determine el rango de valores para KP

tal que garantice la estabilidad del sistema en lazo cerrado. Ver figurasiguiente.

SOL: El polinomio característico es

P (s) = s4 + 3s3 + 3s2 + 2s+KP

= 0.

Del arreglo se obtiene que 0 < KP

<14

9

.

Ejemplo: Un sistema de control en lazo cerrado tiene el siguiente polinomio característico:

(1�K) s3 + (1 + 3K) s2 + 3 (1�K) s+ 3 +K = 0.

Determine el valor de K tal que es sistema sea estable.SOL: Tabulación de Routh-Hurwitz

s3 1�K 3 (1�K)

s2 1 + 3K 3 +K

s18K (1�K)

1 + 3K0

s0 3 +K

Las condiciones para que se garantice la estabilidad son:

1�K > 0, 1 + 3K > 0, K > 0, 3 +K > 0.

Por lo tanto0 < K < 1.

Ejemplo: Ver [3], pp. 237 del pdf.

4.2.5. Estabilidad relativa

Ver [3] pp. 280 del impreso.

44

4.3. Control de la respuesta transitoria de los sistemas de control

El hecho de que todos los polos en lazo cerrado se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s nogarantiza características satisfactorias de respuesta transitoria. Si los polos dominantes complejos conjugadosen lazo cerrado se encuentran cerca del eje imaginario, la respuesta transitoria exhibirá oscilaciones excesivaso será muy lenta. Por tal razón, a fin de garantizar características de respuesta transitoria rápidas y bienamortiguadas, es necesario que los polos en lazo cerrado del sistema se encuentren en una región determinadadel plano complejo, tal como la región delimitada por el área sombreada de la siguiente figura. Lo anterior selograra por un adecuado diseño en la retroalimentación mediante el controlador.

Se puede notar que el tiempo de asentamiento ts

dependerá de la parte real de los polos �, considerandoque s = � ± j!, por lo que entre mayor se al valor en magnitud de �, mas rápido convergerá la dinámica delsistema. Por otro lado, se debe cuidar donde ubicar las raíces imaginarias para no tener oscilaciones críticasafectando el desempeño del sistema de control.

Segundo Examen Parcial (2 hrs)

5. Análisis y Diseño de Controladores en el Dominio del Tiempo

Ver [3] pp. ?? del pdf. Ver [2] Capitulo 10.

5.1. Clasificación de los controladores automáticos

Básicamente existen dos esquemas de control básicos: retroalimentación de la salida (dominio de la frecuenciao del tiempo) y retroalimentación de estado (análisis en espacio de estados).

5.2. Acción de control de dos posiciones (ON-OFF)

5.3. Acción de control proporcional (P)

5.4. Acción de control integral (I)

5.5. Acción de control proporcional e integral (PI)

1. Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso

45

2. Incrementa el tiempo de levantamiento y de asentamiento

3. Disminuye el BW

4. Mejora el margen de ganancia y el de fase.

5. Filtra el ruido de alta frecuencia

6. Puede ser complicado la selección de las ganancias del controlador que deriven en valores pequeños en elcapacitor.

5.6. Acción de control proporcional y derivativa (PD)

1. Mejora el amortiguamiento y reduce el sobreimpulso

2. Reduce el tiempo de levantamiento y de asentamiento

3. Incrementa el BW

4. Mejora el margen de ganancia y el de fase.

5. No apropiado para sistemas ligeramente amortiguados o inicialmente inestables.

6. Puede requerir de valores de capacitancia grandes en el capacitor para la implementación electrónica.

46

5.7. Acción de control proporcional, integral y derivativa (PID)

5.8. Error en estado estacionario bajo control P y PI

5.9. Respuesta a perturbaciones bajo control P y PI

5.10. El proceso de diseño. Objetivos, criterios y especificaciones de diseño

5.11. Implementación de controladores PID mediante amplificadores operaciona-les

5.12. Sintonización de PID’s

5.12.1. Diseño analítico (plantas de primer y segundo orden)

5.12.2. Reglas de Ziegler-Nichols (Respuesta transitoria y Oscilaciones Sostenidas)

Primer método: Respuesta Transitoria.Este método se utiliza para sistemas estables y que experimentan una respuesta tipo de primer orden

(respuesta sobre amortiguada).Estructura de un sistema de control con PIDs

47

Considere la función de transferencia

G(s) =k0e�s⌧0

�0s+ 1

, �0 > 0.

Ver [3] pp. 669 del pdf.Segundo método: Oscilaciones sostenidasEste método se aplica principalmente a sistemas con integradores o sistemas inestables.Primeramente se establece para el PID T

i

=1 y Td

= 0, es decir, solo se tendrá la parte proporcional, comose ilustra en la figura siguiente:

48

El procedimiento: incremente KP

de cero (o un valor muy pequeño) a un valor de ganancia crítica Kcr

, dondela salida exhiba oscilaciones sostenidas. De esta forma, se obtiene la K

cr

y el periodo crítico correspondiente,Pcr

. En función de los parámetros anteriores, Ziegler y Nichols propusieron la siguiente tabla para el calculo delos valores de K

P

, Ti

y Td

, para el PID (o variaciones de éste).

5.12.3. Método de oscilaciones amortiguadas (Método de Harriot).

Ver [1] pp. 281 del impreso.

49

6. Conceptos y herramientas complementarias

Teorema del Valor Final: (Si el sistema es estable) lım

t!1 x(t) = xss

= lım

s!0 sX(s).

6.1. Expansión en fracciones parciales para polos simples

Para un sistema con la formaY (s) =

N(s)Qn

i=1 (s+ pi

)

donde N(s) es el polinomio del numerador, se sigue la siguiente expansión:

Y (s) =A1

s+ p1+

A2

s+ p2+ · · ·+ A

n

s+ pn

conA

i

= [(s+ pi

)Y (s)]���s=pi

, i = 1, 2, . . . , n.

6.2. Expansión en fracciones parciales para polos repetidos

Para un sistema con la formaY (s) =

N(s)

(s+ p)n

donde N(s) es el polinomio del numerador, se sigue la siguiente expansión:

Y (s) =A1

s+ p+

A2

(s+ p)2+ · · ·+ A

n

(s+ p)n

conA

i

=

1

(n� i)!

dn�i

dsn�i

[(s+ p)n Y (s)]���s=p

, i = 1, 2, . . . , n.

Tercer Examen parcial o Proyecto Final (2 Horas)

50

7. Proyecto Final

Diseñe e implemente DOS controladores, un controlador PI y un PID, para el siguiente sistema que corres-ponde a un motor de CD con función de trasferencia:

!(s)

V (s)=

2

s2 + 12 s+ 20.02

donde !(s) es la velocidad angular del motor en rad/s y V (s) es el voltaje aplicado al motor en V olts.Para la realización de la sintonización del PI y PID utilice las reglas de Ziegler-Nichols.

La simulación completa (planta-controlador) en Simulink de Matlab o equivalente)

Reportar:

1. Una introducción y breve descripción de lo que se hará en el proyecto.

2. El procedimiento detallado del diseño y sintonización del PI y PID.

3. Simulación del sistema en lazo cerrado sin los controladores. Considere una referencia de !ref

= 100 rad/spara la velocidad angular.

4. Simulación del sistema en lazo cerrado con el PI y con el PID. Considere el mismo valor de referencia delpunto anterior para la velocidad angular.

5. A partir de las simulaciones del punto 3 y 4, ¿que puede comentarse sobre el error en estado estable delsistema con y sin los controladores, así como del tiempo de convergencia de la velocidad angular hacia elvalor de referencia? ¿Cuál controlador le resultó más efectivo?

6. Conclusiones.

51

Referencias

[1] Isidro I. Lazaro Castillo. Ingeniería de Sistemas de Control Continuo. Editorial Universitaria, Morelia,Mexico, 2008.

[2] Benjamin C. Kuo. Sistemas de Control Automático. Prentice-Hall Hispanoamericana, Upper Saddle River,NJ, USA, 1997.

[3] K Ogata. Ingeniería de Control Moderno. Prentice-Hall, Madrid, Espana, 2006.

52