Control an a Logico 2

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 299005 CONTROL ANALÓGICO 1 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA 299005 CONTROL ANALOGICO ING. HAROLD ESNEIDER PEREZ WALTERO (Director Nacional) ING. JUAN OLEGARIO MONROY VASQUEZ Acreditador IBAGUE Enero de 2010

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 299005 – CONTROL ANALÓGICO

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIA E INGENIERIA

PROGRAMA DE INGENIERIA ELECTRONICA

299005 – CONTROL ANALOGICO

ING. HAROLD ESNEIDER PEREZ WALTERO

(Director Nacional)

ING. JUAN OLEGARIO MONROY VASQUEZ

Acreditador

IBAGUE

Enero de 2010

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ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente módulo fue diseñado en el año 2006 por el Ingeniero Oscar

Donaldo Rodríguez Bermudez tutor de la UNAD, ubicado en el CEAD de Pereira.

El presente módulo ha tenido dos actualizaciones desarrolladas en las dos

oportunidades por el Ingeniero Harold Esneider Pérez Waltero en los años 2009 y

2010, quien ha sido tutor de la UNAD CEAD Ibagué en el programa de Ingeniería

Electrónica durante los años 2007 y 2008 y que actualmente se desempeña como

director del curso a nivel nacional.

El material ha sido revisado por el Ingeniero Juan Olegario Monroy Vásquez

quien actualmente se desempeña como tutor en la UNAD CEAD Sogamoso.

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INTRODUCCIÓN

Los sistemas de control desempeñan un papel fundamental en los procesos

industriales modernos y han sido desde la primera revolución industrial, un factor

decisivo en los grandes avances científicos y tecnológicos de la humanidad. Un

sistema es de control si la salida se controla de modo que pueda adoptar un valor o

cambio en particular de alguna manera definida. Así, para controlar la temperatura en

un recinto a un valor especifico, se diseña un Sistema de Control de calefacción

central, mientras que una máquina herramienta se puede controlar para seguir una

trayectoria dada. En este curso examinaremos las principales características de los

Sistemas de Control Análogo, incluyendo los elementos y términos utilizados para su

caracterización, y los criterios que debe tenerse en cuenta para su análisis, diseño e

implementación.

El curso de Control Análogo es del Campo de Formación Profesional específica para el

programa de Ingeniería Electrónica, con dos créditos académicos, es Metodológico y a

distancia. Busca darle al estudiante la capacidad de describir de manera suficiente las

nociones, los conceptos y los procedimientos necesarios para el análisis y diseño de

sistemas de control continuo o análogo. Este curso es la puerta de entrada al mundo

del control automático tras haber estudiado los sistemas dinámicos. Le permite al

estudiante conocer las herramientas necesarias para el análisis y diseño de controles

en adelanto, en atraso, en adelanto y atraso, proporcional, derivado e Integral o

cualquiera de sus combinaciones o simplemente los controles proporcional integral

derivativo PID. El control automático es uno de los campos de aplicación de la

electrónica que ha influido de manera significativa en el desarrollo industrial, ya que

permite que las máquinas hagan tareas repetitivas con un alto grado de precisión

dentro de un proceso de producción industrial. Además ha permitido que el hombre

pueda controlar procesos que antes parecían imposibles (Fabricación de piezas con

precisión de micras, fabricación de microchips de alta escala de integración, controlar

armas a distancias, entre otros). El curso consiste de dos Unidades, la primera Unidad

presenta la descripción desde el punto de vista conceptual con su respectivo

modelamiento matemático de los sistemas de Control, respuestas de los Sistemas de

Control, polos, ceros y estabilidad en sistemas de control, el error en estado estable,

análisis y diseño de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia (adelanto,

atraso, atraso-adelanto); la segunda unidad nos presenta los controladores PID y el

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análisis y diseño de sistemas de control en el espacio de estados mediante la

asignación de polos. El enfoque para el aprendizaje autónomo de este curso es del

tipo teórico-práctico, en donde la teoría es fácilmente llevada a la práctica por medio de

talleres diseñados para tal fin. De tal manera, que el estudiante pueda depurar su

conocimiento y dominio del tema por medio de su aplicación inmediata. Inicialmente el

estudiante simulará la respuesta de un sistema a entradas predeterminadas (escalón

unitario y rampa unitaria) usando MATLAB, luego en el laboratorio en la medida de los

recursos disponibles se simulará plantas mediante amplificadores operacionales, las

cuales serán controladas mediante sistemas diseñados con base en la respuesta en

frecuencia y sistemas de control PID. Luego a estos sistemas se les inyectarán

perturbaciones para ser controlados en el espacio de estados mediante la adición de

polos. Este enfoque será gracias al estudio independiente con actividades de trabajo

personal y del trabajo en pequeños grupos colaborativos de aprendizaje, y al

acompañamiento tutorial desarrollado en campus virtual haciendo uso de los recursos

tecnológicos disponibles. Así mismo busca fomentar la cultura investigativa y de

lectura en el estudiante a través del uso de tecnologías que faciliten el acceso a la

información y la obtención de fuentes bibliográficas, de manera que fortalezca su

aprendizaje autónomo.

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INDICE DE CONTENIDO

Pág.

UNIDAD 1. ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL DE UNA ENTRADA-UNA SALIDA………………………………………………………… 7

CAPITULO 1: SISTEMAS DE CONTROL Y SU MODELAMIENTO MATEMATICO…………………………………………………………….. 9

Lección 1: Sistemas de Control……………………………… …. 9 Lección 2: Elementos básicos en un Sistema de Control en lazo abierto y lazo cerrado……………………………………………………… 13 Lección 3: Estrategias de Control……….……………………… 22 Lección 4: Modelos matemáticos de los sistemas de control.. 24 Lección 5: Efectos de las perturbaciones y estabilidad en el modelamiento de un sistema…………………………………….. 33

CAPITULO 2: DIAGRAMAS DE BLOQUES Y ERROR EN ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS DE CONTROL………………………………………….. 40

Lección 1: Diagrama de bloques………………………………… 40 Lección 2: Simplificación de diagramas de bloque…………… 48 Lección 3: Ejemplos de sistemas………………………………. 55 Lección 4: Error en estado estable…………………………….. 62 Lección 5: Error en estado estable ante diferentes entradas… 67

CAPITULO 3: POLOS Y CEROS Y SU RELACION CON LA ESTABILIDAD DEL SISTEMA…………………………………………………………….. 76

Lección 1: Que es la estabilidad……………………………….. 76 Lección 2: Patrón de polos y ceros…………………………….. 81 Lección 3: Estabilidad y polos…………………………………… 82 Lección4: El criterio de estabilidad de ROUTH – HURWITZ… 86 Lección 5: Estabilidad Relativa………………………………….. 95

FUENTES DOCUMENTALES........................................................................ 98

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UNIDAD 2. DISEÑO E IMPLEMENTACION DE SISTEMAS DE CONTROL…………………………………………………………………………..... 99

CAPITULO 4: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROLADORES PID…………………………………………………………………………….. 100

Lección 1: Controladores Proporcionales..……………………..... 101 Lección 2: Control PID.……………………………………………… 116 Lección 3: Reglas de sintonía de controladores PID…………… 118 Lección 4: Compensación……..…………….............................. 128 Lección 5: Implementación de las Leyes de Control…………… 130

CAPITULO 5: ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE LA

RESPUESTA EN FRECUENCIA………………………………………...... 136

Lección 1: Respuesta en Frecuencia…………………………….. 137 Lección 2: Trazas de Bode….……………………………………. 151

Lección 3: Diseño mediante Compensación................................. 168

Lección 4: Diagramas de Nyquist…………………………….……. 169 Lección 5: Criterio de estabilidad de Nyquist………..……………. 176

CAPITULO 6: ANALISIS EN ESPACIO DE ESTADOS…………………. 182 Lección 1: Variables de estado……………………………………. 183 Lección 2: Sistemas Lineales………………………………………. 184 Lección 3: Controlabilidad y Observabilidad……………………… 186 Lección4: Diseño de Sistemas de Control en el espacio de estados………………………………………………………………… 211 Lección 5: Diseño del Estimador y el Regulador………………… 225

FUENTES DOCUMENTALES……………………………………………………… 248

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UNIDAD 1

Nombre de la Unidad ANALISIS Y DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL DE UNA ENTRADA-UNA SALIDA

Introducción Un Sistema de Control puede ser definido como el medio a

través del cual una cantidad o variable cualquiera de interés

en una maquina, mecanismo o proceso, es mantenido o

alterado de acuerdo con un patrón de comportamiento

deseado.

En todo Sistema de Control, el foco central de atención es la

PLANTA, es decir la maquina, mecanismo o proceso a ser

controlado. Asociados con la planta están los actuadores,

encargados de modificar su comportamiento o

características, y los sensores encargados de describir su

comportamiento mediante señales eléctricas, neumáticas o

de otro tipo. La planta tiene varias características

importantes:

Puede no trabajar como se desea si se deja a su libre

comportamiento, a esto se le llama ―Lazo abierto‖ o

sin realimentación. Por ejemplo, el motor de una

centrifugadora podría una velocidad de giro uniforme o

podrían no conservarse las condiciones de presión y

temperatura requeridas para el óptimo funcionamiento

de una caldera.

Puede estar sometidas a perturbaciones externas que

no están bajo el control del usuario; por ejemplo,

torques de carga sobre un motor, tormentas de viento

sobre un avión, baches en la carretera sobre un

automóvil, etc.

Puede ser monitoreada defectuosamente debido a la

presencia de señales de ruido que afectan las

mediciones de los sensores. Esto podría ocasionar,

por ejemplo, lecturas incorrectas de concentración de

impurezas en una planta de tratamiento de aguas o

mediciones incorrectas en los instrumentos de un

avión.

Para evitar que todo esto suceda, y garantizar que una planta

se comporte de la manera deseada, es necesario

incorporarla a un Sistema de Control; el cual cumple la

función de permitir que la variable o variables de salida

reguladas (posición, velocidad, temperatura, presión, etc)

sigan una señal de referencia, por ejemplo un punto de

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trabajo (set point) de un horno eléctrico.

Para evitar que todo esto suceda, y garantizar que una planta

se comporte de la manera deseada, es necesario

incorporarla a un Sistema de Control; el cual cumple la

función de permitir que la variable o variables de salida

reguladas (posición, velocidad, temperatura, presión, etc)

sigan una señal de referencia, por ejemplo un punto de

trabajo (set point) de un horno eléctrico.

Justificación La automatización y el control es una de las líneas de

profundización de la Ingeniería Electrónica; en los sectores

productivos de la economía mundial requieren para lograr

altos grados de eficiencia y eficacia en la producción de la

automatización de procesos y procedimientos. Para esta

primera Unidad hacemos consideración de aquellos Sistemas

de control de una entrada-una salida, definiendo los aspectos

más importantes en el análisis, diseño e implementación de

sistemas de control automático.

Intencionalidades Formativas

En esta Unidad el estudiante debe adquirir los conocimientos

básicos para interpretar el concepto de Sistemas de Control,

su modelamiento matemático, los aspectos relacionados con

la estabilidad y su importancia en el sector industrial donde

se aplican.

Denominación de capítulos

Capitulo Uno: SISTEMAS DE CONTROL Y SU

MODELAMIENTO MATEMATICO.

Capitulo Dos: DIAGRAMAS DE BLOQUES Y ERROR EN

ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS DE CONTROL.

Capitulo Tres: POLOS Y CEROS Y SU RELACION CON LA

ESTABILIDAD DEL SISTEMA.

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CAPITULO 1: SISTEMAS DE CONTROL Y SU MODELAMIENTO MATEMATICO Introducción

En esta Unidad analizamos en detalle los aspectos básicos pero fundamentales en

los Sistemas Automáticos de Control; partimos de definir lo que es un sistema de

control tanto en lazo abierto como en lazo cerrado y los elementos básicos que lo

constituyen al igual que las estrategias de control. Un aspecto muy importante en el

estudio del control automático es el modelamiento matemático, cualquier sistema

que se desea automatizar debe ser modelado matemáticamente, por lo tanto este

aspecto debe ser bien estudiado, pues modelar un sistema real matemáticamente no

es fácil; por esta razón en este capítulo abordamos el tema con bastante detalle y de

forma clara.

Lección 1: SISTEMAS DE CONTROL.

1.1 Sistemas.

b) Figura 1.1 Sistemas: a) una estación de generación de energía, b) un motor eléctrico.

El término sistema se emplea para describir un conjunto de componentes que interactúan, alrededor de los cuales se dibuja una frontera imaginaria de modo que sólo es de interés la interacción entre la entrada o entradas y su salida o salidas, sin necesidad de estudiar en detalle las interacciones entre los componentes que lo forman. Así el aspecto importante en un sistema es la relación entre las entradas y las salidas. Un sistema puede ser una estación de generación de energía completa o quizá sólo un motor eléctrico. No importa qué tan complejo sea un conjunto de componentes y sus interacciones dentro del sistema; se puede considerar que todos están dentro de una caja negra y sólo tener en cuenta las entradas y salidas a dicha caja. La figura 1.1 muestra cómo es posible representar un sistema mediante una caja con las entradas y las salidas al sistema indicadas por líneas con flechas, en las que la dirección de la flecha hace referencia ya sea a una entrada o a una salida. La figura 1.1 a ilustra el sistema de la estación de generación de energía con su entrada de combustible y su salida de electricidad, la figura 1.1 ilustra un motor eléctrico con su entrada de potencia eléctrica y su salida movimiento mecánico.

La ventaja de estudiar los sistemas de esta manera es que aunque existe una amplia variedad de sistemas posibles, la relación entre la salida y la entrada de muchos sistemas tiende a ser similar. Así, por ejemplo, la respuesta de un sistema eléctrico formado por un capacitor en serie con un resistor y la aplicación súbita de un voltaje tiene el mismo tipo de relación que la respuesta de un contenedor de

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líquido al cual se le aplica súbitamente una entrada de calor (figura 1.2). De este modo, al estudiar un modelo de sistema con este tipo de relación entre la entrada y la salida es posible determinar cómo responderán muchas formas diferentes de sistemas con la misma relación salida-entrada.

En algunas situaciones es conveniente particionar el sistema en subsistemas enlazados en serie. Así, por ejemplo, se puede tener un sistema de medición de temperatura que consiste en un termómetro resistivo conectado a un puente de Wheatstone y la salida presentada.

Figura 1.2 Sistemas similares: a) sistema RC, b) sistema de calefacción

Figura 1.3 a) Sistema de medición de temperatura y b) sus subsistemas

Figura 1.4 a) Sistema de calefacción central

en un medidor. El sistema completo se puede representar (figura 1.4a), como una entrada de temperatura y una salida de una lectura en una escala, o se puede representar como formado por un subsistema de termómetro resistivo, conectado a un subsistema puente y conectado a un subsistema de medición. Un sistema de control es aquél en el que la salida del sistema se controla para tener un valor específico o cambiarlo, según lo determina la entrada al sistema. De este

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modo, un sistema de control de temperatura, por ejemplo, un sistema de calefacción central en una casa (figura 1.1.4), puede tener en su entrada un termostato o panel de control en el que se fija la temperatura requerida y su salida es la temperatura real producida. Esta temperatura se ajusta mediante el sistema de control, de modo que se obtenga el valor fijado por la entrada al sistema.

1.2 SISTEMAS DE CONTROL EN LAZO ABIERTO Y CERRADO

Figura 1.5 Ejemplo de un sistema de control en lazo abierto

Existen dos formas básicas de sistemas de control, una es la denominada en lazo abierto y la otra en lazo cerrado. Con un sistema en lazo abierto la entrada se elige con base en la experiencia que se tiene con dichos sistemas para producir el valor de salida requerido. Esta salida, sin embargo, no se ve modificada por el cambio en las condiciones de operación externas. Así, por ejemplo, un calefactor eléctrico (figura 1.5) puede tener un selector que permite elegir una disipación en el elemento calefactor de 1 kW o 2 kW. De este modo, la entrada al sistema está determinada por la posición del selector ya sea en l.kW o 2 kW. La temperatura producida en la habitación acondicionada por el calefactor está determinada únicamente por el hecho de que se haya elegido la disipación de 1 kW en el selector y no 2 kW. Si se presentan cambios en las condiciones de operación, quizá alguien que abre una ventana, la temperatura cambiará debido a que no hay modo de que el calor de salida se ajuste para compensar dicha condición. Éste es un ejemplo de un sistema de control en lazo abierto en el que no existe información que se alimente de regreso (realimentación) al elemento calefactor para ajustarlo y mantener una temperatura constante. Los sistemas de control que operan mediante mecanismos de temporización preestablecidos son sistemas en lazo abierto.

Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una señal de realimentación hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en las condiciones de operación (véase la figura 1.6). El sistema de calefacción con el calefactor eléctrico se puede transformar en un sistema en lazo cerrado si alguien con un termómetro monitorea la temperatura en la habitación y enciende o apaga los elementos calefactores de 1 kW o 2 kW para mantener la temperatura de la habitación constante. En esta situación existe la realimentación de una señal a la entrada referente a la temperatura, con lo que la entrada al sistema se ajusta según si su salida es la temperatura requerida. Así, la entrada al calefactor depende de la desviación de la temperatura real con la temperatura requerida.

Para ilustrar las diferencias adicionales entre los sistemas en lazo abierto y en lazo cerrado, considere un motor. Con un sistema en lazo abierto, la velocidad angular en el eje del motor se podría determinar sólo por la posición inicial de la perilla de selección de velocidad, que afecta al voltaje aplicado al motor. Aquí no se compensan

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Figura 1.6 Ejemplo de un sistema de control en lazo cerrado

los cambios en el voltaje de alimentación, ni en las características del motor debidas a variaciones en la temperatura o los cambios de velocidad en el eje debidos a variación de carga mecánica, ya que no existe lazo de realimentación. Por otro lado, en un sistema en lazo cerrado la posición inicial de la perilla de control tiene una velocidad específica del eje y ésta se mantiene mediante realimentación, a pesar de los cambios en el voltaje de alimentación, las características de motor o de la carga. En un sistema de control en lazo abierto la salida del sistema no tiene efecto sobre la señal de entrada. En un sistema de control en lazo cerrado la salida sí tiene un efecto sobre la señal de entrada, y la modifica para mantener una señal de salida en el valor requerido.

Los sistemas en lazo abierto tienen la ventaja de ser bastante sencillos y en consecuencia de bajo costo, y con buena confiabilidad. Sin embargo, con frecuencia son inexactos, porque no hay corrección de errores. Los sistemas en lazo cerrado tienen la ventaja de ser capaces de igualar los valores reales a los requeridos. No obstante, si existen retrasos en el sistema pueden surgir problemas. Dichos retrasos propician que la acción correctiva requerida llegue

demasiado tarde, y como consecuencia, se obtienen oscilaciones en la entrada e inestabilidad (como se verá más adelante). Los sistemas en lazo cerrado son más complicados que aquellos en lazo abierto y más costosos con una gran posibilidad de descompostura debidas a la gran cantidad de componentes. Más adelante en el capítulo, se estudian las ventajas de los sistemas en lazo cerrado respecto a la minimización de los efectos de cambios en las relaciones entrada-salida de los elementos del sistema como resultado de los cambios en el medio y los efectos de las perturbaciones sobre el sistema.

Ejemplo 1

Identifique las entradas y salidas globales y sugiera el tipo de sistema de control que se puede utilizar con a) un tostador de pan automático, b) una lavadora de ropa automática, c) un sistema de calefacción central doméstico.

Respuesta

a) Con el tostador la entrada es el pan y las instrucciones del grado de tostado requerido, la salida es el nivel de tostado del pan. El grado de tostado requerido se determina mediante el ajuste de la escala del tostador y no se altera por la condición del pan. Entonces, el tostador reaccionará de la misma

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manera ante una pieza de pan fresco (sin tostar) o si la pieza de pan que se introduce ya está tostada, sin

b) embargo, la salida será diferente: una pieza de pan fresco bien tostado o una como carbón. El tostador no reacciona al cambio en la condición del pan. El sistema es en lazo abierto.

b) La entrada es ropa sucia y la posición de la perilla de control, así como la posición de los interruptores para el tipo de material y forma de lavado requerido, la salida es ropa limpia. La lavadora de ropa automática es un sistema en lazo abierto puesto que llevará acabo el mismo ciclo de procedimientos de lavado a pesar de que se introduzca ropa sucia o limpia.

c) La entrada es la temperatura requerida y la salida es la temperatura real. El sistema de calefacción central doméstico es un sistema en lazo cerrado puesto que se utiliza un termostato para asegurar que la entrada se ajuste a los cambios en las condiciones de operación y así mantenga una temperatura constante.

Lección 2: ELEMENTOS BÁSICOS EN UN SISTEMA DE CONTROL EN LAZO

ABIERTO Y LAZO CERRADO.

2.1 ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SISTEMA EN LAZO ABIERTO

Se puede considerar que un sistema en lazo abierto consiste en algunos subsistemas básicos arreglados como se muestra en la figura 2.1 Estos elementos pueden ser distintos, equipos separados, pero todas las funciones que cumple cada subsistema se deben preservar. La entrada global al sistema es una señal, que, basada en experiencias anteriores, es probable que conduzca a la salida requerida. Los subsistemas son:

1. Elemento de control. Este elemento determina qué acción se va a tomar dada una entrada al sistema de control.

2. Elemento de corrección. Este elemento responde a la entrada que viene del elemento de control e inicia la acción para producir el cambio en la variable controlada al valor requerido.

3. Proceso. El proceso o planta es el sistema en el que se va a controlar la variable.

Figura 2.1 Subsistemas en un sistema de control en lazo abierto

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Figura 2.2 Sistema de control en lazo abierto de la temperatura de la habitación

Los primeros dos subsistemas a menudo se unen para formar un elemento denominado controlador.

Un ejemplo de un sistema en lazo abierto es un calefactor eléctrico utilizado para calentar una habitación (figura 2.2). Con dicho sistema se tiene:

Variable controlada - temperatura de la habitación

Elemento de control - una persona que toma las decisiones basadas en la experiencia de las temperaturas produ-cidas mediante la conmutación del elemento calefactor

Elemento de corrección - el interruptor y el elemento calefactor

Proceso - la habitación

Muchos sistemas de control en lazo abierto utilizan un elemento de control que envía una señal para iniciar la acción después de algún periodo o una secuencia de señales para iniciar una secuencia de acciones en tiempos diferentes. En tales sistemas el controlador es en esencia un dispositivo de conmutación operado por un reloj. Un ejemplo de un sistema de control de este tipo es el ciclo básico de operación de la lavadora de ropa doméstica (figura 2.3). La secuencia podría ser:

Figura 2.3 Lavadora de ropa doméstica

1. Establecer los controles para el tipo de ropa que se va a lavar.

2. Encender e iniciar el reloj.

3. Llenar con agua fría, la válvula que permite la entrada de agua está abierta un tiempo específico.

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4. Calentar agua, el calentador se enciende un tiempo específico.

5. Lavar, el tambor de la lavadora de ropa gira un tiempo específico.

6. Vaciar agua, la válvula se abre un tiempo específico.

7. Llenar con agua fría, la válvula que permite la entrada de agua se abre un tiempo específico.

8. Enjuagado, el tambor de la lavadora de ropa gira un tiempo específico.

9. Vaciar agua, la válvula se abre un tiempo específico.

10. Exprimido, la válvula se abre un tiempo específico.

11. Paro, después de que ha transcurrido cierto tiempo.

Además del sistema de control en lazo abierto descrito, es probable que la lavadora de ropa tenga algunos otros sistemas de control de seguridad, por ejemplo, sistemas de nivel de agua y temperatura que pueden apagar el sistema si el nivel de agua o temperatura sube demasiado.

Ejemplo 2

Identifique los subsistemas en un sistema en lazo abierto de un motor de velocidad controlada.

Respuesta

Variable controlada - velocidad del motor

Elemento de control - una persona que toma las decisiones basadas en la experiencia de las velocidades producidas al encender el motor

Elemento de corrección - el interruptor

Proceso - el motor

2.2 ELEMENTOS BÁSICOS DE UN SISTEMA EN LAZO CERRADO

Se puede considerar que un sistema en lazo cerrado consiste en algunos subsistemas básicos ordenados como muestra la figura 2.4.

Estos elementos pueden no ser partes distintas o equipos separados, pero todas las funciones de los subsistemas estarán presentes. La entrada global al sistema de control es el valor requerido de la variable. y la salida es el valor real de la variable.

1 Elemento de comparación. Este elemento compara el valor requerido o de referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se obtiene a la salida, y produce una señal de error la cual indica la diferencia del valor obtenido a la salida y el valor requerido

Señal de error = señal del valor de referencia- señal del valor medido

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2 Elemento de control. Este elemento decide qué acción tomar cuando se recibe una señal de error. A menudo se utiliza el término controlador para un elemento que incorpora el elemento de control y la unidad de corrección.

Figura 2.4 Subsistemas en un sistema de control en lazo cerrado

3 Elemento de corrección. Este elemento se utiliza para producir un cambio en

el proceso al eliminar el error, y con frecuencia se denomina actuador.

4 Elemento proceso. El proceso, o planta, es el sistema donde se va a controlar la variable.

5 Elemento de medición. Este elemento produce una señal relacionada con la condición de la variable controlada, y proporciona la señal de realimentación al elemento de comparación para determinar si hay o no error.

Una característica necesaria de un sistema de control en lazo cerrado es el lazo de realimentación. Este es el medio a través del cual una señal relacionada con la variable real obtenida se realimenta para compararse con la señal de referencia. Se dice que se tiene realimentación negativa cuando la señal realimentada se sustrae del valor de referencia, esto es,

Señal de error = valor de referencia - señal de realimentación

La realimentación negativa es necesaria para que logre el control. La realimentación positiva se presenta cuando la señal realimentada se adiciona al

valor de referencia, esto es,

Señal de error = valor de referencia + señal de realimentación

En la figura 2.4 la señal de realimentación se combina con el valor de referencia en el elemento de comparación. El elemento de comparación se indica mediante un círculo con una cruz, éste es el símbolo genérico para indicar un elemento de suma. Cuando en el elemento de comparación hay realimentación negativa, el valor de referencia se marca como una señal positiva y la señal de realimentación como negativa de modo que la salida del elemento de comparación es la diferencia entre las señales. Si hubiera realimentación positiva en el elemento de suma, entonces ambas señales deben marcarse como positivas.

Para ilustrar esta presentación de los elementos de un sistema de control, considere el sistema de control estudiado al principio con la figura 1.6, donde se controló la temperatura de una habitación mediante una persona que encendía y apagaba el

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elemento calefactor de acuerdo a si la temperatura de la habitación dada por un termómetro tenía o no el valor requerido figura 2.5. Los elementos de este sistema de control son:

Variable controlada - temperatura de la habitación

Valor de referencia - temperatura requerida en la habitación

Elemento de comparación - persona que compara el valor medido y la temperatura requerida

Señal de error - diferencia entre la temperatura requerida y la medida

Elemento de control - la persona

Elemento de corrección - mano que opera el encendido del elemento calefactor

Proceso - habitación

Dispositivo de medición - termómetro

Realimentación - negativa

Figura 2.5 Sistema de control en lazo cerrado para la temperatura de una habitación

Ejemplo 3

El tostador doméstico es un sistema en lazo abierto (ejemplo 1), sugiera los medios que permiten hacerlo un sistema de control en lazo cerrado.

Respuesta

Para que el tostador sea un sistema en lazo cerrado debe haber una señal de realimentación que indique el grado del tono dorado del pan. Las posibilidades son: una persona que mira el pan o quizás una fotocelda que responda al grado de dorado. La salida de cualesquiera de estos "sistemas de medición" sería una señal obtenida de la señal de referencia utilizada para especificar el grado del tono dorado requerido. Se puede utilizar esta señal para activar un relevador que encienda o apague el elemento de tostado o un potenciómetro que varíe el voltaje aplicado al elemento de tostado. La figura 2.6 muestra una forma de dicho sistema de control.

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Figura 2.6 Ejemplo 3

2.3 EJEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROLEN LAZO CERRADO

La figura 2.7 muestra un ejemplo de un sistema de control sencillo utilizado para mantener constante el nivel de agua en un tanque. El valor de referencia es la posición inicial en el brazo (del flotador), de modo que cierra el suministro de agua en el nivel requerido. Cuando el agua sale del tanque, el flotador baja con el nivel de agua. Esto propicia que el brazo del flotador se mueva y permita que el agua entre al tanque. Este flujo continúa hasta que el flotador sube a una altura tal, que haya movido el brazo del flotador y cerrado el suministro de agua. Éste es un sistema de control en lazo cerrado y sus elementos son:

Variable controlada - nivel de agua en el tanque.

Valor de referencia - posición inicial en el brazo del flotador.

Elemento de comparación - brazo del flotador.

Señal de error -diferencia entre la posición real del brazo y su posición inicial.

Elemento de control -brazo pivoteado.

Elemento de corrección -aleta de apertura o cierre del suministro de agua.

Proceso -agua en el tanque.

Dispositivo de medición -el flotador y el brazo que lo sostiene.

Realimentación -negativa.

Figura 2.7 Control automático del nivel de agua en un tanque

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Figura 2.8 Control automáticamente la velocidad de un eje

La figura 2.8 muestra un sistema de control automático sencillo para la velocidad angular de un eje. Se utiliza un potenciómetro para fijar el valor de referencia, es decir, qué voltaje se aplica al amplificador diferencial como valor de referencia para la velocidad angular requerida. El amplificador diferencial se usa tanto para comparar como para amplificar la diferencia entre los valores de referencia y realimentación, esto es, amplifica la señal de error. Después, la señal de error amplificada se aplica al motor que, a su vez, ajusta la velocidad del eje giratorio. La velocidad angular del eje se mide con un tacogenerador, conectado al eje por medio de un par de engranes cónicos. La señal que viene del tacogenerador se realimenta al amplificador diferencial. De este modo, el sistema está formado por: Variable controlada - velocidad angular del eje Valor de referencia - voltaje especificado para la velocidad requerida Elemento de comparación - amplificador diferencial Señal de error - diferencia entre el voltaje del valor de referencia y

el voltaje de realimentación Elemento de control - amplificador Elemento de corrección - motor Proceso - eje giratorio Dispositivo de medición - tacogenerador Realimentación - negativa En la vida diaria existen muchos sistemas de control sencillos. El acto de intentar levantar una tasa de café de la mesa requiere un sistema de control con realimentación. La mano que levanta la tasa se debe mover al lugar correcto, sorteando los obstáculos en el camino, y debe quedar en la posición adecuada para que los dedos puedan asir la oreja de la tasa justo en la forma apropiada y levantarla. Para controlar la mano se llevan a cabo dos tareas de realimentación: visión y tacto (figura 2.9). Así, para el sistema de control utilizado al mover la mano al lugar a donde se localiza la tasa, se tiene:

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Movimientos de brazo y muñeca utilizados para corregir la ubicación de la mano Figura 2.9 Movimiento para levantar una tasa de café

Variable controlada - ubicación de la mano en relación a la tasa Valor de referencia - ubicación de la tasa Elemento de comparación - la persona Señal de error - diferencia entre las ubicaciones real y requerida de

la mano Elemento de control - la persona Unidad de corrección - el brazo y la muñeca Proceso - dinámica de la mano Dispositivo de medición - observación visual Realimentación - negativa En muchos sistemas de control se tiene sólo una variable que controlar, por ejemplo, el nivel de agua en un tanque, la velocidad angular de un eje o la ubicación de la mano. Sin embargo, existen algunos sistemas de control en los que debe controlarse más de una variable. Un ejemplo es el acto de levantar una tasa de café, puesto que no sólo se debe controlar la ubicación de la mano sino también la presión ejercida por los dedos al momento de asir la oreja de la tasa. Aquí, se tienen dos lazos de realimentación, uno concerniente con la ubicación, el cual utiliza la visión como medio de medición, y el otro relativo a la presión, que emplea el tacto como medio de medición (figura 2.10). Esto se puede considerar como una forma básica de un

Figura 2.10 Levantas una taza de café

brazo robótico con una pinza de sujeción diseñado para levantar objetos en una línea de producción.

Otro ejemplo de un sistema de control con dos variables por controlar es manejar un

automóvil, éstas son, la dirección y la velocidad del automóvil (figura 2.11).

Figura 2.11. Manejo de una automóvil

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Variable controlada - dirección del automóvil en el camino Valor de referencia - dirección requerida a lo largo del camino Elemento de comparación - la persona Señal de error - diferencia entre la dirección requerida y la

dirección real Elemento de control - la persona Elemento de corrección - manos sobre el volante Proceso - dinámica del vehículo Dispositivo de medición - observación visual Realimentación - negativa Variable controlada - velocidad del automóvil en el camino Valor de referencia - velocidad requerida en el camino Elemento de comparación - la persona Señal de error - diferencia entre la velocidad requerida y la

velocidad real Elemento de control - la persona Elemento de corrección - pies sobre los pedales del acelerador o freno Proceso - dinámica del vehículo

Dispositivo de medición - observación visual Realimentación - negativa Ejemplo 4 Un trabajador mantiene el nivel de líquido en un contenedor a un nivel constante. Para esto se observa el nivel a través de una mirilla de vidrio en una de las paredes del tanque, y ajusta la cantidad de líquido que sale del tanque con la apertura o cierre de una válvula (figura 2.12). Para dicho sistema de control, ¿cuáles son: a) la variable controlada, b) el valor de referencia, c) el elemento de comparación, d) la señal de error, e) el elemento de control, f) el elemento de corrección, g) el proceso y h) el dispositivo de medición?

Figura 2.12 Ejemplo 4

Respuesta Variable controlada - nivel de líquido en el tanque Valor de referencia - nivel requerido, tal vez marcado en el vidrio Elemento de comparación - la persona

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Señal de error - diferencia entre los niveles requerido y real Elemento de control - la persona Elemento de corrección - válvula Proceso - agua en el contenedor Dispositivo de medición - observación visual de la mirilla de vidrio

Lección 3: ESTRATEGIAS DE CONTROL

3.1 ESTRATEGIAS DE CONTROL

Figura 3.1 Modo de control de dos posiciones

El elemento de control tiene como entrada la señal de error y como salida una señal que se convierte en la entrada a la unidad de corrección de modo que se pueda iniciar la acción para eliminar el error. Existen varias formas para que el elemento de control reaccione ante una señal de error. Con sistemas de control en lazo abierto los tipos de control más probables son el de dos posiciones (encendido-apagado o mejor conocido como on-off) o secuencias o acciones conmutadas por tiempo. Un ejemplo del control on-off es una persona que enciende un calefactor eléctrico para obtener la temperatura requerida en una habitación. Un ejemplo de una secuencia conmutada por tiempo es la operación de la lavadora de ropa doméstica (vea detalles al principio de este capítulo). Con sistemas de control en lazo cerrado los tipos de control son a menudo el control de dos posiciones, el control proporcional o el control proporcional combinado con algún otro refinamiento. Con el modo de control de dos posiciones, la señal de error de entrada al elemento de control es una salida de encendido o de apagado, que se utiliza para encender o apagar al elemento de corrección (figura 3.1). Así, en el caso del sistema de calefacción central doméstico controlado por un termostato, éste produce una salida que enciende o apaga el calefactor según el error. Si la temperatura de la habitación baja de cierto valor, entonces el termostato enciende el calefactor; si por el contrario, la temperatura rebasa el valor fijado, el calefactor se apaga. Con el control proporcional la salida del elemento de control es una señal, la cual es proporcional al error: cuanto mayor sea el error mayor será la salida (figura 3.2). Esto

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significa que el elemento de corrección recibirá una señal que depende de la magnitud de la corrección que se necesite. En la figura 3.3 se muestra un ejemplo de tal sistema de control para mantener constante el nivel de un líquido. Los cambios en el nivel producen un movimiento del flotador y, por lo tanto del brazo móvil que lo sostiene. A su vez, esto cambia la apertura de la válvula y afecta la tasa a la que el líquido sale del tanque. Cuanto mayor sea el error en el nivel del líquido mayor será el cambio en la apertura de la válvula. Debido a que el control proporcional por sí solo puede presentar algunos problemas, con frecuencia se combina con otras formas de control. Existe el control derivativo, donde la salida es proporcional a la razón de cambio de la señal de error, y el control integral, donde la salida en el tiempo / es proporcional a la integral de la señal de error entre t = 0 y t. Un ejemplo sencillo del control proporcional derivativo es un vehículo automático donde el controlador toma acciones basadas no sólo en el conocimiento de la posición del vehículo, sino también de su velocidad, es decir, la razón de cambio de la distancia. Con sólo el control proporcional, el controlador da nada más una respuesta en proporción a la magnitud del error de la posición re-querida. No toma en cuenta la rapidez del cambio del error. El control derivativo sí lo hace. Así, si el vehículo se empieza a mover alejándose rápido de la trayectoria requerida, con el control derivativo habrá una acción correctiva mucho mayor que si el vehículo se alejara lentamente de la trayectoria requerida. De este modo, la combinación del control proporcional derivativo toma en cuenta más rápido las desviaciones de la trayectoria requerida y las corrige. Las formas de estrategias de control descritas se estudiarán con mayor detalle en el capítulo 8.

Figura 3.2 Control proporcional Figura 3.3 Sistema de control de nivel proporcional

Ejemplo 5 ¿Qué tipo de estrategia de control se usa en los siguientes sistemas de control? á) Un refrigerador. b) Guiado de un automóvil en un camino. Respuesta a) En el refrigerador un termostato controla la temperatura y es probable que sea un sistema de control simple de dos posiciones, on-off. b) Tal vez sea un control proporcional en el que la salida del controlador, es decir, movimiento del volante por parte del conductor, puede ser proporcional al error.

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Lección 4: MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS DE CONTROL.

4.1 MODELOS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS Con la finalidad de entender el comportamiento de los sistemas es necesario obtener modelos matemáticos que los representan. El modelo de un barco es una réplica a escala de un barco de tamaño natural. En el modelo los tamaños relativos de las diferentes partes guardan las mismas proporciones que en el barco de tamaño natural, es decir, hay un escalamiento constante hacia abajo de los tamaños. Una fotografía se puede considerar un modelo de la escena que se fotografió. Un modelo matemático de un sistema es una "réplica" de las relaciones entre entrada y salida o entre entradas y salidas. Las relaciones reales entre la entrada y la salida de un sistema se sustituyen por expresiones matemáticas. Considere un motor como sistema. La entrada al motor es un voltaje V y la salida es una velocidad angular ω del eje. Para muchos sistemas existen relaciones lineales razonables entre la entrada y la salida. Esto significa que la salida es proporcional a la entrada y si la entrada se duplica, entonces la salida también se duplica, es decir, si la entrada se multiplica por una constante multiplicativa entonces la salida se multiplica por la misma constante. Esto también quiere decir que si la entrada 1 produce una salida 1 y la entrada 2 produce una salida 2, entonces una entrada igual a la suma de las entradas 1 y 2 producirá una salida igual a la suma de las salidas 1 y 2. De este modo, si existe una relación lineal entre la salida y la entrada para el motor, entonces el modelo matemático es:

ω = GV

donde G es la constante de proporcionalidad. Esta relación implica que si el voltaje cambia, entonces deberá haber un cambio inmediato correspondiente en la velocidad angular del eje. Éste no será el caso, puesto que el motor toma un tiempo para que el eje cambie a la nueva velocidad. Así la relación existe, sólo entre el voltaje y la veloci-dad cuando el sistema ha tenido suficiente tiempo para asentarse ante cualquier cambio en la entrada, es decir, esto se refiere a lo que se denomina condición de estado estable. Entonces, para aclarar, la ecuación se puede escribir como:

Valor en estado estable de ω =

Por lo tanto

La constante G se denomina función de transferencia o ganancia del sistema. En general, se puede definir la función de transferencia como el cociente de la salida en estado estable entre la entrada en estado estable para un sistema o subsistema.

Por ejemplo, al insertar una moneda en una máquina de barras de chocolate se obtiene la salida de una barra de chocolate. La función de transferencia, para el

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estado estable, es 1 barra/moneda. Sí se supone que el sistema es lineal, para una entrada de dos monedas se obtendrían dos barras de chocolate. Un sistema de medición de temperatura puede tener una entrada de 10 °C y producir una salida en estado estable de 5.0 mV. Este sistema tiene una función de transferencia de 0.5 mV/°C. Si se supone que el sistema es lineal se puede predecir que si la entrada fuera de 20 °C entonces la salida en estado estable sería 10.0 mV. El modelo matemático del sistema es

Lo anterior es el análisis de un sistema que tiene una relación lineal entre la entrada y la salida. Sin embargo, los sistemas reales pueden exhibir un comportamiento no lineal. En muchos casos tales sistemas son lineales si las señales de entrada se mantienen dentro de ciertos límites. Para la máquina de barras de chocolate el sistema es lineal siempre que no se inserta un mayor número de monedas que las barras de chocolate que tiene la máquina. Un amplificador puede ser lineal sólo para señales de entrada hasta cierta magnitud. Más adelante en este libro se considerarán las definiciones de función de transferencia en las que se pueden tomar en cuenta no sólo los valores en estado estable de la entrada y la salida, sino también los cambios transitorios que tienen lugar en el tiempo. Así, en el resto de este capítulo las discusiones se basan en el comportamiento de los sistemas en términos de los valores en estado estable, y habrá que considerarlos sólo como una representación muy simplista de los sistemas de control. Ejemplo 6 Un motor tiene una función de transferencia de 500 rev/min por volt. ¿Cuál será la velocidad de salida en estado estable para tal motor cuando la entrada es 12 V? Respuesta Si se utiliza la ecuación [1]

Entonces,

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4.2 MODELOS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS EN LAZO ABIERTO

Existen muchas situaciones donde se requiere la función de transferencia para varios elementos en serie. Considere tres elementos en serie como se muestra en la figura 4.1. Los tres elementos pueden ser un sistema en lazo abierto puesto que no hay lazo de realimentación, o sólo tres elementos en serie de un sistema más grande. Para el elemento 1 la función de transferencia G1, es la salida Ө1 dividida entre la entrada Өi. Así,

Figura 4.1 Función de transferencia con un sistema de lazo abierto

Para el elemento 2 la función de transferencia G2 es la salida Ө2 dividida entre la entrada Ө1. Es decir,

Para el elemento 3 la función de transferencia G3 es la salida Ө0 dividida entre la entrada Ө2. Esto es, La función de transferencia global del sistema es la salida Ө0 dividida entre la entrada Өi. Pero esto se puede escribir como Por lo tanto, para el sistema en lazo abierto La función de transferencia global en lazo abierto es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales. Esto se aplica a cualquier número de elementos conectados en serie. Ejemplo 7 El sistema de medición empleado en un sistema de control consta de dos elementos, un sensor y un acondicionador de señal en serie (figura 4.2). Si el sensor tiene una función de transferencia de 0.1 mA/Pa y el acondicionador de señal una función de transferencia de 20, ¿cuál es la función de transferencia del sistema de medición?

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Figura 4.2 Ejemplo 7

Respuesta El sensor y el acondicionador de señal están en serie, de modo que la función de transferencia combinada es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales. 4.3 MODELOS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS EN LAZO CERRADO La figura 4.3 muestra un sistema en lazo cerrado sencillo. Si Өi es el valor de referencia, es decir, la entrada, y si Ө0 es el valor real, es decir, la salida del sistema, entonces la función de transferencia del sistema completo es

Figura 4.3

Cada subsistema en el sistema global tiene su propia función de transferencia. De este modo, si el sistema que se controla tiene una función de transferencia G, entonces con su entrada de la señal de error e y salida Ө0,

Si la trayectoria de realimentación tiene una función de transferencia H, con entrada Ө0 y salida ƒ,

La señal de error e es la diferencia entre Өi y ƒ, la señal de realimentación ƒ es una medida de la salida del sistema completo.

Al sustituir e y ƒ, despejándolas a partir de las dos ecuaciones anteriores,

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Por lo tanto, la función de transferencia global del sistema de control en lazo cerrado es

La ecuación anterior se aplica a realimentación negativa. Con realimentación positiva el denominador de la ecuación anterior se convierte en (1 - GH). En el sistema en lazo cerrado, G se conoce como la función de transferencia de la trayectoria directa, puesto que es la función de transferencia que relaciona las señales que se mueven hacia adelante a través del sistema de la entrada a la salida. GH se conoce como función de transferencia de lazo, ya que es el término que se presenta en la expresión como resultado del lazo de realimentación. Ejemplo 8 Un motor de velocidad controlada tiene un sistema motor-releva-dor-amplificador con una función de transferencia combinada de 600 rev/min por volt y un sistema de medición en el lazo de realimentación con una función de transferencia de 3 mV por rev/min, como ilustra la figura 4.4. ¿Cuál es la función de transferencia global?

Figura 4.4 Ejemplo 8

Respuesta El sistema tendrá realimentación negativa y así la función de transferencia global está dada por la ecuación [3] como

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4.4 MODELOS MATEMÁTICOS PARA SISTEMAS EN LAZO CERRADO Considere el sistema en lazo cerrado que muestra la figura 4.4.1. La función de transferencia para el sistema completo se puede obtener determinando primero la función de transferencia para los tres elementos en serie. Como éstos tienen funciones de transferencia G1, G2 y G3, entonces la función de transferencia combinada es

El sistema en lazo cerrado de la figura 4.5 se puede reemplazar por el sistema equivalente más sencillo, como se muestra en la figura 4.6. Ahora, éste es sólo un elemento con una función de transferencia de G1, G2 y G3 y un lazo de realimentación con una función de transferencia H. La función de transferencia global para este sistema es entonces

Figura 4.5 Función de transferencia de un sistema en lazo cerrado con elementos múltiples

Figura 4.6 Sistema equivalente para la figura 4.4.1

Ejemplo 9 Un sistema de control de posición utilizado con una máquina herramienta tiene un amplificador en serie con una válvula corrediza y un lazo de realimentación con un sistema de medición de desplazamiento (figura 4.7). Si las funciones de transferencia son las siguientes, ¿cuál es la función de transferencia global para el sistema de control?

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Figura 4.7 Ejemplo 9

Las funciones de transferencia son: amplificador 20 mA/V, válvula corrediza 12 mm/mA, sistema de medición 3.0 V/mm. Respuesta El amplificador y la válvula corrediza están en serie, por lo que la función de transferencia combinada para los dos elementos es el producto de sus funciones de transferencia separadas,

Estos elementos tienen un lazo de realimentación con una función de transferencia de 30 mV/mm. La función de transferencia global para el sistema de control es

4.5 ERROR EN ESTADO ESTABLE El error en estado estable E de un sistema es la diferencia entre la salida del sistema y su entrada cuando las condiciones están en estado estable.

Puesto que para un sistema con una función de transferencia global Gs

Entonces,

Para un sistema en lazo abierto el error en estado estable se puede escribir, según la ecuación [2], como

donde G1, G2 y G3 son las funciones de transferencia de los elementos en el sistema. Para que el error sea cero, G1 G2 G3 deben ser igual a 1. Aunque esto se puede lograr en la preparación o calibración del sistema, es inevitable que se presenten

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errores en estado estable debido a que las funciones de transferencia cambian como consecuencia de cambios en el medio ambiente. Para un sistema en lazo cerrado el error en estado estable, dado por la ecuación [5], se puede escribir empleando la ecuación [3], como

donde G es la función de transferencia de los elementos en la trayectoria directa, es decir, G = G1 G2 G3 para tres elementos en serie con funciones de transferencia G1, G2 y G3, y H es la función de transferencia del sistema de medición. Para un error en estado estable nulo, se debe tener G = 1 + GH de modo que G/(1 + GH) tenga el valor de 1. Igual que en el sistema de control en lazo abierto, las funciones de transferencia tienden a cambiar con las condiciones ambientales. Sin embargo, si GH es mucho mayor que 1, la ecuación [7] se aproxima a

y así los cambios en las funciones de transferencia de los elementos de la trayectoria directa casi no tienen efecto sobre el error. De esta manera, la sensibilidad del sistema en lazo cerrado para tales efectos es mucho más pequeña que para un sistema en lazo abierto. Ésta es una de las grandes ventajas que tienen los sistemas en lazo cerrado respecto a los sistemas en lazo abierto. Ejemplo 10 La figura 4.8 muestra un controlador con una función de transferencia de 12 y un motor con una función de transferencia de 0.10 rev/min por V. a) ¿Cuál será el error en estado estable cuando el sistema es un sistema de control en lazo abierto y cómo cambiará el error si, debido a cambios ambientales, la función de transferencia del motor cambia en 10%?

Figura 4.8 Ejemplo 10: a) lazo abierto, b) lazo cerrado

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b) ¿Cuál será el error en estado estable cuando el sistema es un sistema de control en lazo cerrado si el lazo de realimentación tiene una función de transferencia de 1.0 V por rev/min y cómo cambiará el error si, debido a cambios ambientales, la función de transferencia del motor cambia en 10%? Respuesta a) Empleando la ecuación [6], antes de que se presente cualquier cambio

Si hay un cambio de 10% en la función de transferencia del motor, es decir, 0.11 rev/min por V, entonces

El error se ha incrementado en un factor de 16. b) Con la ecuación [7]

entonces, antes de que ocurra cualquier cambio

Si hay un cambio de 10% en la función de transferencia del motor, es decir, 0.11 rev/min por V, entonces

El cambio en el error es mucho más pequeño que el cambio que se presenta en el sistema en lazo abierto. El sistema en lazo cerrado tiene una sensibilidad más baja a los cambios ambientales que el sistema en lazo abierto. Ejemplo 11 Un sistema de control en lazo cerrado tiene una función de transferencia de la trayectoria directa de 10. ¿Cuánto debe ser la función de transferencia de la trayectoria de realimentación para que el error en estado estable sea cero? Respuesta Según la ecuación [7]

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para que E sea cero, entonces

por lo tanto, con G = 10, entonces

y, de este modo, H debe ser 0.9.

Lección 5: EFECTO DE LAS PERTURBACIONES Y ESTABILIDAD EN EL

MODELAMIENTO DE UN SISTEMA.

5.1 EFECTOS DE LAS PERTURBACIONES

Una consideración importante con un sistema de control es el efecto de cualquier perturbación. De esta manera, en un sistema de calefacción central doméstico con un sistema de control en lazo abierto involucrado, el calefactor se enciende para obtener la temperatura requerida en la habitación, ¿qué ocurrirá si alguien abre la ventana y permite que el aire frío entre en la habitación? Tal perturbación se puede incorporar en el diagrama de bloques del sistema de la forma que muestra la figura 5.1. En este caso, la perturbación Өd se suma a la salida del proceso. Para tal situación se tiene

Figura 5.1 Sistema de control en lazo abierto con una perturbación

El término Өd es el error en estado estable adicionado al sistema por la presencia de la perturbación. Si la perturbación se adiciona al sistema entre los elementos 1 y 2 (como ilustra la figura 5.2), entonces

Figura 5.2 Sistema de control en lazo abierto con una perturbación

El término G2Өd es el error en estado estable adicionado al sistema por la presencia de la perturbación.

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Con un sistema en lazo cerrado, por ejemplo, en un sistema de calefacción central doméstico si el valor fijado en el termostato no se modifica y alguien abre la ventana y permite que el aire frío entre a la habitación, el sistema de control sujeto a tal perturbación se puede representar mediante un diagrama de bloques de la forma que muestra la figura 5.3. La señal de error al elemento 1 es (Ө¡-f), donde f es la señal de realimentación. La señal de salida del elemento 1 y entrada al elemento 2 es, G1(Өi - f). La salida del elemento 2 es G1G2 (Өi- f). La perturbación se agrega a éste en este punto y así la salida Ө es

Figura 5.3 Sistema de control en lazo cerrado con una perturbación.

Pero la realimentación f es HӨo. Por tanto

Reordenando se obtiene

El término Өd [1/(1 + G1G2H)] es el error en estado estable que se incorpora al sistema mediante la perturbación. Si esta ecuación se compara con la situación en lazo abierto, es decir, la ecuación [8], se verá que el efecto de la perturbación se modifica por el factor 1/(1 + G1G2H). Esta propiedad de modificar el efecto de una perturbación se denomina rechazo a perturbaciones. La figura 5.4 muestra un sistema en lazo cerrado y la perturbación se presenta entre los dos elementos de la trayectoria directa. Para el sistema la entrada al primer elemento es (Өi - f) y su salida es G1 (Ө¡ - f). Ésta se combina con la perturbación Өd para dar la entrada al segundo elemento. Así, la salida de este elemento Өo es

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Figura 5.4 Sistema de control en lazo cerrado con una perturbación

Lo cual se puede simplificar a

El término Өd[G2/(1 + G1G2H)] es el error en estado estable que se introduce al sistema mediante la perturbación. Si esta ecuación se compara con la de la situación en lazo abierto, es decir, la ecuación [9], se verá que el efecto de la perturbación se modifica en la situación en lazo cerrado por el factor G2/(1 + G1G2H) y en la situación en lazo abierto sólo por G2. El factor 1/(1 + G1G2H) es así una medida de qué tanto se modifican los efectos de la perturbación con el lazo de realimentación. Esta propiedad de modificar el efecto de la perturbación se denomina rechazo a perturbaciones. De este modo, siempre que se presente una perturbación en el sistema en lazo cerrado, su efecto se reduce por el factor 1/(1 + GH), donde G es la función de transferencia de la trayectoria directa (G = G1G2) y H es la función de transferencia de la realimentación. Esta es una de las ventajas de los sistemas de control en lazo cerrado sobre los sistemas de control en lazo abierto: éstos son mucho mejores para aminorar los efectos de las perturbaciones en el sistema. Las perturbaciones se pueden presentar de varias formas, el término perturbación se puede interpretar como una señal no deseada la cual afecta la salida del sistema. Las perturbaciones pueden venir de fuentes exógenas, por ejemplo, alguien abre una ventana y afecta así el sistema de calefacción para la habitación o quizás el viento que afecta la orientación de la antena del radar o un bache en el camino que afecta el manejo de un vehículo en un camino. Las perturbaciones también pueden venir del interior del sistema, por ejemplo, ruido eléctrico en un amplificador. Ejemplo 12 Un amplificador electrónico tiene una función de transferencia de 100. ¿Cuánto mejorará el amplificador en el rechazo del ruido generado internamente si éste cuenta con un lazo de realimentación con una función de transferencia de 10? Respuesta El efecto de adicionar un lazo de realimentación es el de reducir el efecto de la perturbación en un factor de 1/(1 + GH). De este modo, el efecto del ruido se reduce en un factor de 1/(1 + 100x 10) = 1/1001.

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5.2 SENSIBILIDAD A CAMBIOS EN LOS COMPONENTES Con un sistema en lazo abierto la función de transferencia global está dada por la ecuación [2] como

dondeG1, G2 y G3 son las funciones de transferencia de los elementos en el sistema. Los cambios en las características de estos elementos con el tiempo y las condiciones ambientales pueden resultar en un cambio en la función de transferencia. Así, por ejemplo, si un elemento es un motor, el incremento de la fricción en los rodamientos resultaría en un decremento en la función de transferencia del motor. Un cambio en la función de transferencia del elemento 1 de ΔG1 significa un cambio en la función de transferencia global para el sistema en lazo abierto de

Con un sistema en lazo cerrado la función de transferencia global está dada por la ecuación [4] como

donde G1, G2 y G3 son las funciones de transferencia de los elementos en la trayectoria directa y H, la función de transferencia de la trayectoria de realimentación. Si G1G2G3H es mucho mayor que 1, entonces la expresión se aproxima a

Por ejemplo, cualquier cambio en la función de transferencia del elemento 1 en la trayectoria directa, tendrá un efecto insignificante sobre la función de transferencia global. Esto tiene un marcado contraste con la situación de un sistema en lazo abierto y esta insensibilidad a cambios en las características de los elementos de la trayecto-ria directa es una de las ventajas de los sistemas en lazo cerrado sobre los sistemas en lazo abierto. Sin embargo, un cambio en la función de transferencia de la trayectoria de realimentación producirá un correspondiente cambio en la función de transferencia global del sistema. El sistema en lazo cerrado no es insensible a cambios en las características de los elementos en la trayectoria de realimentación. Ejemplo 13 Un amplificador operacional tiene una función en lazo abierto de 200 000 y una función de transferencia en la trayectoria de realimentación de 0.1. ¿Cuál será el cambio porcentual en la función de transferencia global si la función de transferencia del amplificador cambia en 10%?

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Respuesta Para el sistema en lazo cerrado, según la ecuación [3],

Así, de manera inicial

El cambio en la función de transferencia global es 0.0001 y, por lo tanto, es un cambio porcentual de 0.01%. Así, al usar el amplificador sin realimentación se tendría un cambio de 10% en la función de transferencia; con realimentación este cambio es de 0.01%. 5.3 ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL

En términos mecánicos se dice que un sistema está en equilibrio estable, si cuando se le da un empujón, éste regresa a su posición original cuando se deja de empujar. Un ejemplo de esta situación es una bola en reposo sobre un plato esférico (figura 5.5). Cuando la bola se empuja, ésta se mueve hacia un lado del plato, pero cuando se deja de empujar, regresa pronto a su posición de reposo al centro del plato. Sin embargo, la posición sería inestable si la bola estuviera en reposo sobre la parte exterior del plato si éste se voltea, cualquier ligero empujón causa que la bola ruede y no regrese a su posición original cuando se deja de empujar.

Figura 5.5 a) Estable, b) inestable

En general, se dice que un sistema es estable si cuando está sujeto a una entrada o

perturbación acotada entonces la salida es acotada. Una entrada o salida acotada es

la que tiene una magnitud finita. Así, en el caso de la bola, la entrada es al inicio cero,

seguido de un empujón que no continúa en forma indefinida sino que cesa después

de un tiempo. La salida en la condición estable es tal que el empujón causa el

movimiento de la bola y que se desplace de su posición de reposo, pero

eventualmente el movimiento de la bola cesa y el desplazamiento no continúa

incrementándose o cambiando. En la condición inestable, el desplazamiento de la

salida se va incrementando, es decir, una entrada de magnitud finita puede producir

una salida que crece sin límite.

La condición para estabilidad también se puede expresar como que un sistema es

estable si al excitarlo con un impulso la salida regresa eventualmente a cero.

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Los sistemas de control en lazo abierto son inherentemente estables. Una entrada

finita produce una salida finita y que en forma indefinida no cambia con el tiempo. Al

incrementar la función de transferencia de un elemento en tales sistemas no tiene

efecto en la estabilidad del propio sistema. Así, para un sistema en lazo abierto

denominado máquina de barras de chocolate, el insertar la moneda apropiada dará

como resultado una barra de chocolate, no continuará dando barras de chocolate de

manera indefinida. Al cambiar el tipo de barra, el costo de cada barra no tiene efecto

sobre la estabilidad del sistema.

No obstante, los sistemas en lazo cerrado pueden mostrar inestabilidad, que se

puede presentar como resultado de tiempos de retardo que ocurren entre el cambio

en la variable y la señal de realimentación que resulta de la respuesta del sistema. Un

ejemplo es el sistema de control para un brazo robótico, o la mano de un borracho:

levantar una tasa de café. La mano se mueve hacia la tasa de café y se supone que

vira hacia la derecha de la trayectoria requerida. Al darse cuenta de esta desviación

se envía una señal a la mano para iniciar el movimiento a la izquierda. Esta señal

continúa en la situación ideal hasta que la mano alcanza la trayectoria requerida. Sin

embargo, si hay tiempos de retardo en el sistema, la acción puede continuar por un

periodo prolongado y la mano puede sobrepasar la trayectoria requerida antes de que

el sistema reaccione. Entonces la mano está muy alejada a la izquierda. Se envía

entonces una señal para que la mano se mueva a la derecha. Una vez más, debido a

los tiempos de retardo la mano sobrepasa la trayectoria requerida y termina ahora a

la derecha de la posición requerida. El ciclo entero se puede repetir dirigiéndose la

mano hacia adelante o hacia atrás, de un lado a otro, de la trayectoria requerida. De

esta manera, una perturbación inicial puede producir una situación inestable. La

inestabilidad depende de la función de transferencia de la trayectoria directa, puesto

que un valor grande para ésta resultaría en un gran movimiento de la mano durante

el tiempo de retardo.

Otro ejemplo de inestabilidad se puede presentar cuando una persona para bañarse

ajusta en forma manual la temperatura del agua mediante una llave mezcladora, la

cual permite determinar las cantidades relativas de agua caliente y fría. Suponga que

al principio el agua está muy fría. Entonces se incrementa el elemento agua caliente.

Sin embargo, existe un tiempo de retardo antes de que el agua caliente alcance la

salida de la regadera. De este modo, si la persona no espera y sólo responde a la

temperatura del agua, continuará incrementando el elemento agua caliente. El

resultado será que cuando el agua muy caliente alcance la salida de la regadera se

calentará muy rápido. La persona entonces incrementa el elemento agua fría. Una

vez más, debido al tiempo de retardo que transcurre antes de que el agua se enfríe a

la salida de la regadera, la persona continuará incrementando el elemento agua fría.

El resultado será que cuando el agua fría alcance la salida de la regadera se enfriará

muy rápido. Así, el ciclo se repite con el resultado de que la temperatura del agua en

la salida de la regadera oscilará ampliamente.

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Lazo cerrado contra lazo abierto

Las ventajas de tener una trayectoria de realimentación y, por lo tanto, un sistema en

lazo cerrado en lugar de un sistema en lazo abierto se pueden resumir de la manera

siguiente:

1. Más exacto en la igualación de los valores real y requerido para la variable.

2. Menos sensible a las perturbaciones.

3. Menos sensible a cambios en las características de los componentes.

4. La velocidad de respuesta se incrementa y, por lo tanto, el ancho de banda es

mayor, es decir, el intervalo de frecuencias en los que el sistema responderá.

Pero hay algunas desventajas:

1. Hay una pérdida en la ganancia en cuanto a que la función de transferencia de

un sistema en lazo abierto, se reduce de G a G/(1 +GH) por una trayectoria de

realimentación con una función de transferencia H.

2. Existe una gran posibilidad de inestabilidad.

3. El sistema es más complejo y, por lo tanto, no sólo más caro, sino más

propenso a descomposturas.

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CAPITULO 2: DIAGRAMAS DE BLOQUES Y ERROR EN ESTADO ESTABLE EN

SISTEMAS DE CONTROL

Introducción

Al modelarse un sistema de control se debe buscar la forma de construir un mapa

lógico que permita determinar la secuencia del desarrollo de los procesos.

Establecer modelos para sistemas complicados es el resultado de enlazar algunos

subsistemas o elementos, cada uno de los cuales tiene su propia función de

transferencia. Los diagramas de bloque se pueden usar para representar cada uno

de estos susbsistemas y, el agrupamiento del arreglo enlazado, el sistema como un

todo. Cuando a un sistema de control se aplica un comando de entrada, en general,

se espera que después de que se desvanecen todos los efectos transitorios, la salida

del sistema se asentara al valor del comando. El error entre este valor y el comando

de entrada se denomina error en estado estable. El error en estado estable para un

sistema depende del sistema en cuestión y de la forma que tome la entrada al

sistema; esto lo analizamos en detalle en esta lección.

Lección 1: DIAGRAMA DE BLOQUES.

Establecer modelos para sistemas complicados es el resultado de enlazar algunos

subsistemas o elementos, cada uno de los cuales tiene su propia función de

transferencia. Los diagramas de bloques se pueden usar para representar cada uno

de estos subsistemas y, el agrupamiento del arreglo enlazado, el sistema como un

todo. En este capítulo la atención se centra en tales agrupamientos y cómo se de-

termina la respuesta global del sistema a partir del conocimiento de la función de

transferencia individual de cada bloque.

1.1 EL DIAGRAMA DE BLOQUES

El diagrama de los bloques

Figura 1.1 Elementos de un diagrama de bloques

La figura 1.1 muestra cómo representar los elementos en un diagrama de bloques.

Las flechas se usan para representar las direcciones de flujo de la señal. Cuando las

señales son funciones del tiempo se representan con letras minúsculas seguidas por

(t), por ejemplo i(t), aunque con frecuencia (t) se omite cuando es obvio que las

señales son funciones del tiempo. Cuando las señales están en el dominio de s se

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representan con letras mayúsculas seguidas por (s), por ejemplo, I(s). Un punto suma

es en el que las señales se suman algebraicamente. Si una de las señales que entran

a dicho punto se indica como positiva y la otra, como negativa, entonces dicha suma

es la diferencia entre las dos señales. Si ambas señales se indican como positivas

entonces la suma es la adición de las dos señales. En el capítulo 1 este punto suma,

cuando se usó para comparar el valor requerido con una señal de realimentación que

indica el valor real, se denominó comparador, la señal de realimentación se sustrae

del valor deseado para obtener la señal de error. Cuando de algún punto de la

trayectoria de la señal, se toma una señal, el punto de separación se representa de la

misma forma, que en un circuito eléctrico, donde la unión entre dos conductores

permite que la corriente se separe, es decir, la unión se representa mediante el

encuentro de dos líneas y la unión se indica con '.'. En general el bloque se dibuja con

la función de transferencia escrita dentro de él.

Figura 1.2a, 1.2b.

El término trayectoria directa se usa para los elementos a través de los cuales pasa la

señal en la dirección entrada-salida a lo largo del sistema (figura 1.2). Las funciones

de transferencia para los elementos en esta trayectoria directa en general se

designan mediante G o G(s). El término trayectoria de realimentación se usa para los

elementos por los cuales pasa la señal cuando se alimenta de regreso desde la

salida hacia la entrada (figura 1.2a). Las funciones de transferencia para los

elementos en esta trayectoria de realimentación por lo común se designan por H o

H(s). El término trayectoria de prealimentación se usa para los elementos que están

en paralelo con la trayectoria directa y a través de los cuales la señal se mueve en la

misma dirección, es decir, entrada-salida (figura 1.2b).

1.2 BLOQUES EN SERIE

Si el sistema consta de varios elementos en serie, por ejemplo, los dos elementos de

la trayectoria directa en la figura 1.1.2a, entonces la función de transferencia del

sistema G(s) es

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Pero para el primer elemento se tiene

para el elemento 2

y para el elemento 3

Pero

De este modo

[1]

Así, el número de bloques en serie, con funciones de transferencia G1 (s), G2 (s), G3

(s), etcétera, se puede reemplazar por un solo bloque con una función de

transferencia G(s). Vea el capítulo 1 para la obtención de las funciones de

transferencia cuando se hace referencia a éstas sólo en estado estable.

De esta manera, para los dos elementos G1 (s) y G2 (s) en serie, si Өi (s) es la

entrada al arreglo y Ө0 (s) la salida

[2]

Se supone que cuando los bloques individuales en los que no existe interacción, se

conectan entre sí, producen cambios en la función de transferencia de los bloques

individuales. Sólo si no existe tal interacción las funciones de transferencia de los

bloques se pueden usar en forma aislada para obtener la función de transferencia

global cuando éstos se combinan. De este modo, si los bloques individuales son

circuitos eléctricos puede haber problemas al combinarlos debido a que los circuitos

interactúan y se cargan unos a otros.

Figura 1.3 Ejemplo

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Ejemplo 1 Un sistema en lazo abierto consta de dos elementos en serie; los elementos tienen las funciones de transferencia que se indican en la figura 1.3 ¿Cuál es la función de transferencia del sistema como un todo? Respuesta Para los bloques en serie, la ecuación [1] da por resultado

G(s) = Gl (s) x G2 (s) x G3 (s) x etcétera

Por lo tanto

1.3 BLOQUES CON LAZOS DE REALIMENTACIÓN

Figura 1.4 Realimentación negativa, b) realimentación positiva

La figura 1.4a muestra un sistema en lazo cerrado sencillo con realimentación

negativa. Con la realimentación negativa las señales de referencia y de

realimentación se restan en el punto suma y con realimentación positiva éstas se

suman figura 1.4b. Si Өi (s) es el valor de referencia, es decir, la entrada, y Ө0 (s) es

el valor real, es decir, la salida del sistema, entonces la función de transferencia del

sistema de control completo es

Función de transferencia: Cada subsistema dentro del sistema global tiene su propia función de transferencia. Para la trayectoria de realimentación, la función de transferencia es H(s); entonces, con su entrada Өo (s) tendrá una salida H(s) Өo (s) hacia la trayectoria directa. De esta manera, si la trayectoria directa del sistema tiene una función de transferencia G1,(s), entonces, con su entrada Өi (s) -H(s) Өo (s) y salida de Өo (s).

Así, al reordenar ésta se obtiene

[3]

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Por lo tanto, la función de transferencia global del sistema de control en lazo cerrado

es

[4]

Si la realimentación es positiva (figura 1.4b), entonces

Ejemplo 2 ¿Cuál es la función de transferencia global para el sistema que ilustra la figura 1.5?

Figura 1.5 Ejemplo 2

Respuesta La realimentación es negativa, por lo tanto, según la ecuación [4]

1.4 BLOQUES EN SERIE Y CON UN LAZO DE REALIMENTACIÓN

Considere un sistema en lazo cerrado que consta de tres componentes en serie en la trayectoria directa y con un lazo de realimentación, como muestra la figura 6.6. La función de transferencia de la trayectoria directa es de esta manera

Función de transferencia de la trayectoria directa =

El sistema en lazo cerrado se puede así reemplazar por el sistema equivalente más

sencillo, como ilustra la figura 1.6. Ahora sólo se tiene un elemento con una función

de transferencia de Gl (s) x G2 (s) x G3 (s) y un lazo de realimentación con una

función de transferencia H(s). La función de transferencia global G(s) para el sistema

es, entonces

Figura 1.6 Función de transferencia de un sistema de lazo cerrado con elementos múltiples

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Figura 1.7 Sistema equivalente para la figura 1.6

Ejemplo 3 Un sistema de control (figura 1.8) tiene una trayectoria directa de dos elementos, la función de transferencia es K y 1/ (s +1). Si la trayectoria de realimentación tiene una función de transferencia de s, ¿cuál es la función de transferencia en lazo cerrado?.

Figura 1.8 Ejemplo 3

Respuesta Para los elementos de la trayectoria directa la función de transferencia global es, según la ecuación [1] Función de transferencia de la trayectoria directa (s) =

Debido a que se tiene realimentación negativa, la función de transferencia global G(s)

es, al usar la ecuación [4]

1.5 BLOQUES EN PARALELO

Figura 1.9 Lazo de prealimentación

La figura 1.9 muestra parte de un sistema de control con lazo de prealimentación.

Para este sistema la señal de entrada a cada elemento es Өi (s). De este modo, la

salida del elemento con una función de transferencia G1(s) es G1(s) Өi y la salida del

elemento con una función de transferencia G2 (s) es G2 (s) Өi (s). En la figura las dos

señales se muestran como adición en el punto suma. Por lo tanto, la salida Өo (s) es

Por lo tanto, la función de transferencia global G(s) es

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Si las señales se hubieran sustraído en el punto suma, entonces se debería obtener

Y

Ejemplo 4 Un lazo de prealimentación de la forma que muestra la figura 1.5.1 tiene funciones de

transferencia de G1, (s) = 1/(s +1) y G2 (s) = 5. ¿Cuál es la función de transferencia

global si la señal del lazo de prealimentación se suma a la señal de la trayectoria

directa?

Respuesta Usando la ecuación [8]

Modelos mediante diagramas de bloques.

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TABLA 1.

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Lección 2: SIMPLIFICACION DE DIAGRAMAS DE BLOQUES.

2.1 SIMPLIFICACIÓN DE DIAGRAMAS DE BLOQUES

La exposición anterior sólo representa algunos de los métodos de simplificación de

diagramas de bloques. Así, varios bloques en serie se pueden reemplazar por un solo

bloque, bloques con un lazo de realimentación se pueden sustituir por un solo bloque

sin realimentación, y bloques con un lazo de prealimentación se pueden reemplazar

por un solo bloque. En la tabla 6.1 se listan éstos y otros métodos que se pueden

utilizar.

Ejemplo 5

Reducir el sistema que describe la figura 2.1 a un solo bloque y determinar la función

de transferencia de ese bloque.

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Figura 2.1 Ejemplo 5

Respuesta La figura 2.2 muestra cómo se pueden combinar los bloques en varios pasos. Para

simplificar las figuras, se ha omitido la indicación de que todas las funciones están en

el dominio de s. De esta manera, en a) los dos bloques en serie G1, (s) y G2 (s) se

combinan para dar un solo bloque usando la transformación 1 de la tabla 1 vista

previamente, con una función de transferencia

En b) el bloque del inciso anterior se combina, usando la transformación 2 de la tabla

1 vista previamente, con el bloque de la realimentación H1 (s) para obtener un solo

bloque con una función de transferencia.

se utiliza el signo porque la realimentación es positiva. En c) la parte de

prealimentación del diagrama se simplifica utilizando la transformación 3 de la tabla 1,

para obtener un solo bloque con una función de transferencia

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Figura 2.2 Ejemplo 5

En d) este equivalente del bloque prealimentado se combina con el bloque que se

obtuvo en b) con la transformación 1 de la tabla 6.1, para obtener un solo bloque con

una función de transferencia

Por último, en e) este bloque se combina con su lazo de realimentación, utilizando la

transformación 2 de la tabla 1, para obtener un solo bloque con una función de

transferencia

La cual se simplifica a

Ejemplo 6 Reorganizar el diagrama de bloques del sistema descrito en la figura 2.3 de modo

que el bloque de realimentación H1 (s) esté aislado y los efectos de los cambios en su

función de transferencia se puedan estudiar fácilmente.

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Figura 2.3 Ejemplo 6

Respuesta La figura 2.3 detalla los pasos del procedimiento que se puede adoptar para aislar el

bloque H1 (s). Para simplificar en las figuras se omitió la indicación de que todos los

bloques están en el dominio de s. En a) los dos bloques en serie se combinaron

utilizando la transformación 1 de la tabla 1. En b) se eliminó el lazo de

prealimentación con la transformación 3 de la tabla 1. En c) el punto de separación 1

se movió después del bloque [G3 (s) + G4 (s)] utilizando la transformación 11 de la

misma tabla. En d) los puntos suma 1 y 2 se reacomodaron mediante la

transformación 9 de la tabla 1. En é) se eliminó el lazo interno de realimentación

usando la transformación 2 de la tabla 1. En f) se usó la transformación 4 para

remover un bloque del lazo de realimentación y así dar la solución requerida.

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Ejemplo 7 Transformar el sistema que muestra la figura 2.4 en un diagrama de bloques con realimentación unitaria. Hay realimentación unitaria cuando la trayectoria de realimentación H(s) se transforma a una con función de transferencia de realimentación de 1.

Figura 2.4 Ejemplo 7

Respuesta Con base en la transformación 4 de la tabla 1 se obtiene el sistema que ilustra la

figura 2.5.

Figura 2.5 Ejemplo 7

2.2 ENTRADAS MÚLTIPLES

Con frecuencia en los sistemas de control existe más de una entrada al sistema. De este modo, se puede tener la señal de entrada que indica el valor requerido de la variable controlada y también una o varias entradas debidas a perturbaciones que afectan al sistema. El procedimiento para obtener la relación entre las entradas y la salida para esos sistemas es: 1 Hacer las entradas igual a cero, excepto una de ellas. 2 Transformar el diagrama de bloques resultante a uno que sólo tenga una

trayectoria directa y una de realimentación. 3 Determinar, entonces, la señal de salida debida a la entrada que no es igual a

cero. 4 Repetir los pasos 1,2 y 3 para cada una dé las entradas en turno. 5 La salida total del sistema es la suma algebraica de las salidas debidas a cada

una de las entradas. La figura 2.6 muestra un sistema de control básico con una entrada de referencia Өi

(s) y una entrada de perturbación Өd (s). Al aplicar el procedimiento anterior se

obtiene, igualando Өd (s) a cero y después de alguna simplificación, el diagrama de

bloques se muestra en la figura 2.7a). Para este sistema la relación entre la entrada

Өi (s) y la salida Өo (s), utilizando la transformación 2 de la tabla 1, es

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Figura 2.6 Sistema de control con entradas múltiples

Ahora, al hacer Өi (s) igual a 0 se obtiene un diagrama de bloques, que se observa

en la figura 2.7b, pero recuerde que este diagrama se simplifica. Debido a que el lazo

de realimentación proporciona una señal sustraída de la señal de entrada, es decir,

se estaba utilizando realimentación negativa, es necesario representar la función de

transferencia del lazo de realimentación como negativa, o sea, -H(s). El sistema

resultante es sólo una trayectoria directa con una función de transferencia G2 (s) y

una realimentación positiva con una función de transferencia –G1y(s)H(s). De este

modo, usando la transformación 2 en la tabla 1.

b)

Figura 2.7a a)Өd(S)=0,b)Өi(S)=0

Así, la salida total del sistema cuando está sujeto a ambas entradas es la suma que

se da en las ecuaciones [11] y [12], es decir

Vea el capítulo 1 para obtener la ecuación anterior en términos de las señales que pasan a través del sistema.

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Ejemplo 8 Derivar la ecuación que describe la relación entre las entradas Өi (s), Өd1 (S) y Өd (s)

y Өd2 (s) al sistema descrito en la figura 2.8 y la salida Ө0 (s).

Figura 2.8 Ejemplo 8

Respuesta Con Өd1 (s) y Өd2 (s) igualadas a cero, la transformación 2 de la tabla 1 da por resultado

Con Өi (s) y Өd2 (s) igualadas a cero, el arreglo es como el que muestra la figura 2.9a

y así

Figura 2.9a y 2.9b Ejemplo 8

Con Өi (s) y Өd1 (s) igualadas a cero, el arreglo es como el que ilustra la figura 2.9b) y

así

Por lo tanto, la salida total del sistema es

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Lección 3: EJEMPLOS DE SISTEMAS

El motor de cd que se observa en la figura 3.1 puede tener dos formas de analizarce: controlado por armadura o controlado por campo. La figura 3.3 muestra estas formas básicas como diagramas de bloques con las ecuaciones que describen las relaciones entre la entrada y la salida a cada bloque, esto fue estudiado en detalle en el curso de sistemas dinamicos.

Para el motor controlado por armadura (figura 3.1), el circuito

Figura 3.2 Motor de cd: a) controlado por armadura, b) controlado por campo

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Figura 3.3

de armadura tiene una función de transferencia de primer orden que se puede

escribir en la forma

donde es, la constante de tiempo para el circuito de armadura, . De manera

similar, la función de transferencia para b carga se puede escribir como

donde es la constante de tiempo para la carga La función de transferencia de la trayectoria directa del sistema es, entonces

La función de transferencia del sistema con su trayectoria de realimentación ω(s)/Va

(s) es, entonces, usando la transformación 2 de la tabla 6.1

Al reordenar la ecuación [14] se obtiene

Ésta es una ecuación de segundo orden y se puede escribir en la forma

donde ωn es la frecuencia natural angular y es el factor de amortiguamiento relativo. Por ejemplo, el comportamiento del sistema cuando está sujeto a una entrada escalón o a una entrada rampa es como se describe en el capítulo 5 para sistemas de segundo orden. Para el motor controlado por campo (figura 2.3.1b), el circuito de campo es un

sistema de primer orden y la función de transferencia se puede escribir como

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donde la constante de tiempo El sistema que representa la carga es también

un sistema de primer orden y su función de transferencia se puede escribir como

donde , es la constante de tiempo para la carga El motor controlado por campo es un sistema en lazo abierto. Por lo tanto, la función

de transferencia global ω(s)/vf(s) es

Éste es un sistema de segundo orden. Con motores de cd la perturbación más probable es un par Td a la carga. De esta

manera, para tener en cuenta éste en motores controlados por armadura y por campo

se deben modificar los diagramas de bloques como muestra la figura 3.4. El efecto de

la perturbación a la salida del motor controlado por armadura es modificar la salid:

que indica la ecuación [14] a

Figura 3.4 Motor de cd con perturbación de carga: a) controlado por armadura, b) controlado por campo

Un motor de cd se podría usar como parte de un sistema de control de posición, es decir, rotar la carga a un ángulo en particular Puesto que la salida de los motores de cd mencionados se considera la velocidad angular w es necesario tener en cuenta la adición de un bloque que convierta la velocidad angular a desplazamiento angular Dado que la velocidad angular es la razón de cambio del desplazamiento angular, es decir, ω=dӨ/dt, entonces

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Por lo tanto, en el dominio de s

donde Ө0 (s) es la salida en el dominio de s. De este modo, el bloque que se adiciona tiene la función de transferencia 1/ s y, por lo tanto para el motor controlado por armadura es como ilustra la figura 3.5. El lazo de realimentación en este caso es sólo la fuerza contraelec

Figura 3.5 Sistema de control de posición con un motor de cd

tromotriz y, por lo tanto, ésta es una medida de la velocidad angular, el punto de separación para la realimentación está antes del bloque 1/s donde la salida de la carga es la velocidad angular en lugar del desplazamiento angular. El desempeño del sistema de control de posición puede mejorar, desde el punto de vista de control, al incluir una segunda trayectoria de realimentación, si ésta es una medida de la posición angular de la carga, Ө0. La figura 3.6 muestra el sistema. El sistema de medición podría ser un potenciómetro rotacional o un transformador diferencial de variación angular (RVDT por sus siglas en inglés: rotary variable differential transformer), el cual da un voltaje proporcional a la posición angular. Esta señal de realimentación vm se suma a la señal de voltaje de referencia vr para dar una señal de error. La señal de voltaje de referencia se obtiene de la posición angular que fija un potenciómetro rotacional (vea el capítulo 2 para el análisis del potenciómetro). La señal de error se amplifica y rectifica antes de pasar al sistema con motor de cd. Este sistema de control se puede utilizar para controlar el movimiento de los brazos robot, la posición con máquinas herramientas, etcétera.

Figura 3.6 Sistema de control de posición ' realimentación de la posición

Ejemplo 9 Obtener la relación entre las entradas del valor fijado de la altura del líquido hi y la perturbación del nivel del líquido de d del sistema de nivel de líquido que describe la figura 3.7, y la salida de la altura del líquido h0. De esta manera determinar cómo la

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salida variará con el tiempo cuando existe una entrada escalón al valor fijado, es decir, éste se fija súbitamente a un nuevo valor.

Figura 3.7 Ejemplo 9

El movimiento de un flotador produce la rotación de una varilla alrededor de un pivote y así, a través del actuador, se ajusta la apertura de la válvula. El punto de ajuste se puede fijar subiendo o bajando el punto de conexión del flotador a la varilla. La señal de error es la diferencia entre la posición del flotador cuando está en el nivel re-querido y cuando se encuentra en cualquier otro nivel. El controlador es la varilla pivoteada cuya entrada, en uno de sus extremos, es la señal de error del flotador y la salida, el punto donde se conecta el actuador. Respuesta Se puede considerar que el sistema tiene un diagrama de bloques como el que muestra la figura 3.8. La señal de error es la entrada a uno de los extremos de la varilla pivoteada y la salida es el movimiento del otro extremo de la varilla y, por lo tanto, el movimiento del vástago de la válvula. Este movimiento es la entrada al actuado: de la válvula que produce la salida de una razón de flujo. Ésta, al sumarse con la perturbación, es la entrada a la planta, es decir, el líquido en el contenedor. La realimentación es el movimiento del flotador, el cual se traduce directamente en una señal de altura, por lo tanto, la trayectoria de realimentación es unitaria.

Figura 3.8 Ejemplo 9

La siguiente es una consideración de las funciones de transferencia de cada uno de los elementos en el sistema y, por lo tanto, la relación entre las entradas y la salida para el sistema como un todo. a) Varilla pivoteada. La relación entre la salida y la entrada para la varilla pivoteada es Para una entrada h, la salida será z, donde

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Así, la función de transferencia es (x/y). b) Sistema válvula. La entrada z al sistema válvula determina la razón de flujo de salida q1 de la válvula. La relación entre la entrada y la salida se puede linealizar (vea el capítulo 2) para obtener

c) La planta. El nivel se controla mediante la manipulación de la razón a la que el agua entra en el tanque. Si el agua entra a una razón de qent por segundo y sale a razón de qsal por segundo, entonces la razón neta a la cual se incrementa el agua en el tanque es (qent - qsal) En un tiempo el cambio en el volumen del agua en el tanque será (qent - qsal) . Si el tanque tiene un área de la sección transversal de A, entonces este cambio en el volumen producirá un cambio en el nivel del agua de , donde

Por lo tanto

El flujo de salida del tanque se afectará por la altura del agua por arriba de la tubería de salida, es decir, la altura debida a la presión. Puesto que la presión debida a la altura del agua h es proporcional a h, se puede escribir

donde R representa la resistencia hidráulica de la tubería de salida. De este modo

La función de transferencia es, de esta manera,

donde t = RA y es la constante de tiempo. d) El sistema. Con qd = 0, la trayectoria directa tiene una relación entre la salida y la entrada de

Puesto que la trayectoria de realimentación tiene una función de transferencia unitaria, entonces

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Con qi (s) = 0, la trayectoria directa tiene una función de transferencia de R/(ts + 1) y la trayectoria de realimentación una de (x/ y)c. Por lo tanto

Por lo tanto, para el sistema con ambas entradas

e) Entrada escalón. Considere una entrada escalón al sistema, sin que se presente perturbación. Para esta situación la relación entre la entrada y la salida es

Esta ecuación se puede simplificar si se definen dos constantes a y K como

Por lo tanto

Una entrada escalón para Hi (s) tiene la transformada de Laplace 1/s, por lo tanto

La ecuación que daría esta transformada (vea el capítulo 4) es

Éste es un crecimiento exponencial para alcanzar el valor en estado estable de K.

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Lección 4: ERROR EN ESTADO ESTABLE

Figura 4.1 Sistema de control en lazo abierto

Figura 4.2 Sistema de control en lazo cerrado

El error en cualquier sistema es la diferencia entre la señal de salida requerida, es decir, la señal de entrada de referencia que especifica qué se requiere, y la señal de salida real que se presenta. Para un sistema de control en lazo abierto (figura 3.1.1) cuando hay una entrada Ө¡(s) y una salida Өo (s), el error E(s) es, entonces,

Puesto que la función de transferencia G(s) es Ө0 (s)/Ө¡ (s) entonces

De esta manera, el error depende no sólo del sistema, como determina su función de transferencia, sino de la forma de la entrada Өi(s)-Para un sistema en lazo cerrado, considere la simplificación de un sistema con realimentación unitaria (figura 3.1.2). Cuando existe una entrada de referencia Ө¡(S) y una salida real Ө0 (s) entonces la señal que se alimenta de regreso es ӨO (s) y, de esta manera el error E(s) es

Si G(s) es la función de transferencia de la trayectoria directa, entonces existe

realimentación unitaria

Por lo tanto

[2]

De esta forma el error depende del sistema, como especifica su función de transferencia, y la forma de la entrada, Өi(s).

Si el sistema de control en lazo cerrado tiene un lazo de realimentación con una función de transferencia H(s), como en la figura 3.1.3a, entonces el sistema se puede convertir en uno con realimentación unitaria mediante el proceso que describe la figura 3.1.3b. El resultado es un sistema equivalente con realimentación unitaria de la

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forma que ilustra la figura 3.1.3c. La función de transferencia de la trayectoria directa está entonces dada por

[3]

Al simplificar el sistema mediante su conversión en uno con realimentación unitaria, permite usar la ecuación [2] para el error. A fin de calcular el error en estado estable ess se utiliza el teorema del valor final (recordar transformada de Laplace). El error en estado estable es el valor del error, el cual es una función del tiempo t, cuando todos los transitorios han tenido tiempo para decaer y, por lo tanto, es el valor cuando t tiende a infinito. De acuerdo con el teorema del valor final esta condición está dada por

[4]

Así, para un sistema en lazo abierto, según la ecuación [1]

[5]

y para un sistema en lazo cerrado con la ecuación [2]

[6]

Figura 4.3 a) Sistema de control en lazo cerrado, b) conversión en realimentación unitaria, c) sistema equivalente

con realimentación.

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Ejemplo 1 Calcular la magnitud del error en estado estable para a) un sistema en lazo abierto con una función de transferencia de k /( +1) y b) un sistema en lazo cerrado con realimentación unitaria y una función de transferencia en la trayectoria directa de k I ( S + 1) cuando ambos están sujetos a una entrada escalón unitario de 1 / s.

Respuesta

a) Con base en la ecuación [5]

b) A partir de la ecuación [6]

4.1 Clasificación de sistemas.

El error en estado estable para un sistema depende del valor de

y el valor de E(s) depende de la función de transferencia en la trayectoria directa de un sistema en lazo cerrado cuando hay realimentación unitaria. En el estudio de la clasificación de sistemas es importante considerar que en todos los casos de sistemas en lazo cerrado se supone que están en la forma que se tiene realimentación unitaria. Los sistemas se clasifican de acuerdo con el valor de la función de transferencia de la trayectoria directa cuando se tiene realimentación unitaria; ésta a menudo se denomina función de transferencia en lazo abierto del sistema en lazo cerrado. Para un sistema con función de transferencia de la trayectoria directa G(s) y lazo de realimentación con función de transferencia H(s), la función de transferencia en lazo abierto G0 (s) está dada por la ecuación [3] como

La función de transferencia en lazo abierto de los sistemas en general se puede representar mediante una ecuación de la forma

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donde K es una constante, my n son enteros y ni a0 ni b0 pueden ser cero; q es un entero, el valor que se conoce como el tipo o clase del sistema. De este modo, si q = 0, entonces se dice que el sistema es de tipo 0; si q = 1 entonces es de tipo 1, y si q = 2, entonces es de tipo 2. El tipo es, de esta manera, el número de factores 1Is en la función de transferencia en lazo abierto. Puesto que 1/s es integración, el tipo es el número de integradores en la función de transferencia en lazo abierto.

Figura 4.4 Ejemplo 2

Ejemplo 2 ¿Cuál es el tipo para los sistemas que se muestran en la figura 4.4? Respuesta La función de transferencia en lazo abierto se puede calcular con la ecuación [7]. d) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto de

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Puesto que no hay término independiente 5 en el denominador, el tipo es 0. b) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto de

Puesto que no hay término independiente s en el denominador, el tipo es 0. c) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto de

Puesto que no hay término independiente s en el denominador, el tipo es 0. d) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto de

Puesto que no hay término independiente s en el denominado: tipo es 0. e) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto de

Puesto que hay término independiente s2 en el denominador tipo es 2. f) El sistema tiene una función de transferencia en lazo abierto de

Puesto que no hay término independiente s en el denominador el, tipo es 0.

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Lección 5: ERROR EN ESTADO ESTABLE ANTE DIFERENTES ENTRADAS.

5.1 Error en estado estable para una entrada escalón.

El error en estado estable ess para un sistema en lazo cerrado esta dado por la ecuación [6] como

donde G0 (s) es la función de transferencia en lazo abierto. Una entrada escalón unitario es Өi (s) = 1 /s. De esta manera, para tal entrada

La función de transferencia en lazo abierto está dada por la ecuación [8] como

y así, cuando s tiende a cero, la función de transferencia en lazo abierto para un sistema de tipo 0 se convertirá en Ka0 /b0, es decir, una constante, y para todos los otros tipos es infinito. Es más usual representar el valor de la función de transferencia en lazo abierto cuando s —> 0 como una constante Kp, donde Kp se conoce como constante del error de posición y es adimensional.

De este modo, en términos de la ecuación anterior para la función de transferencia en lazo abierto

para un sistema de tipo 0 e infinito para todos los otros tipos. La consecuencia de esto es que el error en estado estable para un sistema de tipo 0 será 1 / [1 + (Ka0 I b0)] o

y para todos los otros tipos de sistemas será cero. La figura 3.1.5 muestra el tipo de respuesta que se podría presentar con un sistema de tipo 0. Después de que los transitorios, cualquiera que sea su forma, han desaparecido hay un error en estado estable de la forma 1/(1 + Kp).

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Lo anterior representa la situación cuando existe una entrada escalón unitario. Si la entrada fue un escalón de magnitud A, entonces el error en estado estable con un sistema de tipo 0 sería A/(1 +Kp). Con un sistema de tipo 0 la magnitud del error en estado estable con una entrada escalón unitario depende del valor de Kp: mientras mayor es su valor menor es el error. Pero K es directamente proporcional a K (ecuación [11]). K es el factor por el cual se multiplican las señales al pasar a través de la trayectoria directa del sistema. Por ejemplo, el sistema podría ser como el que ilustra la figura 5.1. Así, al incrementar el factor de amplificación o ganancia el error en estado estable se puede reducir.

Figura 5.1 un sistema tipo 0

Ejemplo 3

¿Cuáles son los errores en estado estable cuando se aplica una entrada escalón unitario a los sistemas dados por las siguientes funciones de transferencia en lazo abierto?

Respuesta a) El sistema es de tipo 0. Como s —> 0, G0 (s) tiende a 4. Así, Kp - 4 y, de este modo, el error en estado estable es 1 /(l + 4) = 0.2 unidades. b) El sistema es de tipo 0. Como s —> 0, G0 (s) tiende a 5. Así, Kp = 5 y, de este modo, el error en estado estable es 1 /(l + 5) = 0.17 unidades. c) El sistema es de tipo 1 y así el error en estado estable es cero. d) El sistema es de tipo 0. Como s —» 0, G0 (s) tiende a -3 / 2. Así. K =-3/2y, de este modo, el error en estado estable es 1/(1-1.5) = -2.0 unidades. e) El sistema es de tipo 2 y así el error en estado estable es cero. 5.2 Error en estado estable para una entrada rampa.

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El error en estado estable ess para un sistema en lazo cerrado está dado por la ecuación [6] como

donde G0 (s) es la función de transferencia en lazo abierto. Una entrada rampa unitaria es Ө¡ (s) = 1 ls2. Por lo tanto, para dicha entrada

Como s tiende a cero, así el término s en el denominador se convierte en cero. De este modo, el factor que determina la magnitud del erre: es el valor de sG0 (s) cuando s → 0, es decir, la ecuación [13] se convierte en

Donde Kv es una constante conocida como constante del error de velocidad. Este tiene las unidades de segundos-1.

La función de transferencia en lazo abierto GQ está dada por la ecuación [8] como

De este modo, el valor de sG0 (s) es

Para un sistema de tipo 0, q = 0, por lo tanto, sk/sq = sK. Así, cuando s tiende a cero, sG0 (s) para un sistema de tipo 0 será cero y entonces Kv es cero. De esta manera, el valor del error en estado estable será 1/0 o infinito. Para un sistema de tipo 1, q=1, por lo tanto, sKlsq = K. Así, cuando s tiende a cero, sG0 (s) se convertirá en Ka0 Ib0, es decir, éste es el valor de Kv. De esta manera, el valor del error en estado estable será 1/KV o1/(Ka0 lbQ). La figura 5.2 muestra el tipo de respuesta que podría presentar un sistema de tipo 1. Después de que los transitorios han desaparecido, cualquiera que sea su forma, hay un error en estado estable de 1 /(Kv). Para un sistema de tipo 2, q =2, por lo tanto, sK/sq =K/s. Así, cuando s tiende a cero, sG0 (s) se hace infinito y, por lo tanto, el error en estado estable se hace cero. Lo anterior representa la situación cuando existe una entrada rampa unitaria. Si la entrada es una rampa con una razón de cambio con el tiempo de una constante A entonces el error en estado estable con el sistema de tipo 1 sería A/Kv.

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Figura 5.2 Error en estado estable para una entrada rampa

Ejemplo 4 ¿Cuáles son los errores en estado estable cuando se aplica una entrada rampa unitaria a los sistemas que tienen las siguientes funciones de transferencia? Éstos son los sistemas usados en el ejemplo 3.

Respuesta a) El sistema es de tipo 0. Como s→0, sG0(s) tiende a 0. Asi Kv = 0 y, de este modo, el error en estado estable es infinito. b) El sistema es de tipo 0. Como s → 0, sG0 (s) tiende a 0. As Kv = 0 y, de este modo, el error en estado estable es infinito. c) El sistema es de tipo 1. Como s →0, sG0 (s) tiende a 5/5 = 1 s-1 y de este modo, el error en estado estable es de 1 unidad. d) El sistema es de tipo 0. Como s → 0, sG0 (s) tiende a 0. As Kv =0y, de este modo, el error en estado estable es infinito. e) El sistema es de tipo 2. Como s→ 0, sG0 (s) tiende a infinito así, el error en estado estable es cero. 5.3 Error en estado estable para una entrada parabólica. El error en estado estable ess para un sistema en lazo cerrado está dado por la ecuación [6] como

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donde G0 (s) es la función de transferencia en lazo abierto. Una entrada parábola unitaria es Өi(s) = 1/s3. De esta manera, para dicha entrada

[17]

Como s tiende a cero, el término s2 en el denominador se hace cero. Por lo que, el factor que determina la magnitud del error es el valor de s2G0 (s) cuando s —> 0, es decir, la ecuación [17] se convierte en

[18]

[19]

donde Ka es una constante conocida como constante del error de aceleración y que tiene las unidades de segundos-2.

[20]

La función de transferencia en lazo abierto G0 está dada por la ecuación [8] como

De este modo, el valor de s2G0 (s) es

Para un sistema de tipo 0, q = 0, por lo tanto, s2K/sq = s2K. Así, cuando atiende a cero, s2G0 (s) para un sistema de tipo 0 será cero y Ka es cero. De esta manera, el valor del error en estado estable será 1/0 o infinito. Para un sistema de tipo 1, q =1, por lo tanto, s2Klsq = sK. Así, cuando atiende a cero, s2G0 (s) se hará cero y Ka es cero. De esta manera, el valor del error en estado estable será 1/0 o infinito. Para un sistema de tipo 2, q =2, por lo tanto, s2K/sq =K. Así, cuando atiende a cero, s2Go (s) se convierte en Ka0/bo, es decir, éste es el valor de Ka. De esta forma, el valor del error en estado estable será 1/Ka o1(Ka0/b0). La figura 5.3 ilustra el tipo de respuesta que se podría presentar con un sistema de tipo 2. Después de que los transitorios, cualquiera que sea su forma, han desaparecido hay un error en estado estable de 1/(Ka). Para sistemas de tipos mayores a 2, cuando s tiende a cero, s2G0 (s) se hace infinito y, por lo tanto, el error en estado estable es cero.

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Lo anterior representa la situación cuando existe una entrada parábola unitaria. Si la entrada fuera una parábola de la forma A/s3, donde A es una constante, entonces el error en estado estable con el sistema de tipo 2 sería A/Ka.

Figura 5.3.Error en estado estable entrada parabólica

Ejemplo 5 ¿Cuáles son los errores en estado estable cuando se aplica una entrada parabólica unitaria a los sistemas que tienen las siguientes funciones de transferencia? Éstos son los sistemas mencionados en los ejemplos 3 y 4.

Respuesta a) El sistema es de tipo 0. Como s→0,s2G0 (s) tiende a 0. Así, Ka = 0y, de este modo, el error de estado estable es infinito. b) El sistema es de tipo 0. Como s→0,s2G0 (s) tiende a 0. Así, Ka = 0y, de este modo, el error de estado estable es infinito. c) El sistema es de tipo 1. Como s→0,s2G0 (s) tiende a 0. Así, Ka = 0y, de este modo, el error de estado estable es infinito. d) El sistema es de tipo 0. Como s→0,s2G0 (s) tiende a 0. Así, Ka = 0y, de este modo, el error de estado estable es infinito. 5.4 Error en estado estable debido a perturbaciones.

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Considere el sistema que muestra la figura 5.4, donde además de la entrada referencia hay una entrada de perturbación. Ambas entradas pueden dar cabida a errores en estado estable.

Figura 5.4 a) Sistema con realimentación unitaria con una perturbación, b) cuando Өd(s) = 0, c) cuando Өi(s) =0

Siguiendo el procedimiento descrito en el capítulo 6, la fundó-de transferencia en lazo abierto se determina para el caso cuando Өd(s) = 0, pero Өi (s) es distinta de cero y así se determina el error en estado estable, entonces para cuando Өi(s) = 0, pero Өd (s)no es cero. Los errores en estado estable cuando ambas entradas son diferente-de cero es, entonces, la suma de los dos errores derivados por separado. De esta manera, para Өd (s) = 0 se tiene

El error es la diferencia entre la entrada de referencia y la salida del sistema

y así, puesto que G0 (s) = Ө0 (s) /Өi (s),

Por lo tanto, el error en estado estable es

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Cuando Өi(s) = 0, entonces el sistema sólo está formado por una trayectoria directa con G2 (s) y una trayectoria de realimentación con G1 (s). Éste se puede convertir en un sistema con realimentación unitaria mediante el método que describe la figura 5.11, y así, la función de transferencia en lazo abierto es

Así, el error es, puesto que Өi(s) = 0

Por lo tanto, el error en estado estable es

El error total cuando existen ambas entradas, la de referencia y la de perturbación, es la suma de los errores dados por las ecuaciones [21] y [22]. Ejemplo 9 Un sistema de control de nivel de líquido, descrito en el ejemplo 9, lección 3 de este mismo capítulo y por las figuras 3.7 y 3.8, se puede representar mediante un sistema como el que ilustra la figura 5.5. ¿Cuál es el error en estado estable cuando el sistema está sujeto a una entrada de perturbación de tipo escalón de magnitud A?

Figura 5.5 Ejemplo 9

Respuesta La figura 5.6a muestra al sistema cuando no hay entrada de referencia y sólo existe la entrada de perturbación. La figura 5.6b ilustra cómo éste se puede reacomodar para dar un sistema con realimentación unitaria. Así, para dicho sistema la función de transferencia en lazo abierto es

Por lo tanto, la salida H(s) se relaciona con la entrada Qd (s) por

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Figura 5.6 Ejemplo 9

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CAPITULO 3: POLOS Y CEROS Y SU RELACION CON LA ESTABILIDAD DEL

SISTEMA

Introducción

En este capítulo se desarrolla con mucho más detalle o dicho de otra forma, de

manera más especifica los aspectos fundamentales de la estabilidad en un sistema

de control, ya que un requerimiento importante para un sistema de control es que

debe ser estable; esto significa que si al sistema se aplica una entrada de magnitud

finita, debe, incrementarse dentro de un límite; de aquí la necesidad de estudiar los

requerimientos o condiciones que se deben satisfacer para sistemas estables. Para

sistemas lineales el requerimiento de estabilidad se puede definir en términos de los

polos de la función de transferencia en lazo cerrado, aquí haremos el análisis

detallado de la influencia de los polos en la estabilidad de los sistemas de control.

Lección 1: QUE ES LA ESTABILIDAD

Un sistema se puede definir como estable si toda entrada acotada, es decir, finita, produce una salida acotada. De esta manera, por ejemplo, para toda entrada escalón aplicada a un sistema la salida debe ser finita. Un sistema no es necesariamente estable si una sola entra da escalón produce una salida finita: toda entrada escalón debe producir salidas finitas. De manera alternativa, un sistema se puede definir como estable si al estar sujeto a

una entrada impulso la salida tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito.

Si, al responder a la entrada impulso, la salida del sistema tiende a infinito a medida

que el tiempo tiende a infinito, entonces el sistema es inestable. Sin embargo, si la

salida no tiende a cero o no crece a infinito, pero tiende a un valor finito diferente de

cero, se dice entonces que el sistema es crítica o marginalmente estable. El capítulo

1 proporciona el ejemplo del sistema de una esfera sobre la superficie de una vasija.

Si la esfera está dentro de la vasija, entonces es estable puesto que después de un

impulso, la esfera terminaría, a medida que el tiempo tiende a infinito, en la misma

posición: el centro de la vasija. Si la esfera está sobre la superficie convexa de la

vasija (puesta al revés), entonces el impulso causaría que la esfera caiga y no

regrese a su posición original a medida que el tiempo tiende a infinito. Este sistema

es inestable. Si la esfera estuviera sobre una superficie plana, entonces el impulso

produciría en ella un movimiento a lo largo de la superficie y, a medida que el tiempo

tiende a infinito, iría hacia el reposo en una posición estable a cierta distancia de su

punto de inicio. Este sistema es crítica o marginalmente estable.

Ejemplo 1 ¿Cuáles de los siguientes sistemas son estables? a) Una entrada escalón al sistema produce una salida que se puede describir mediante la ecuación Ө0 = 2t.

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b) Una entrada escalón al sistema produce una salida que se puede describir mediante la ecuación ӨO = 5. c) Un impulso aplicado al sistema produce una salida que se puede describir mediante la ecuación Ө = e-1. d) Un impulso aplicado al sistema produce una salida que se puededescribir mediante la ecuación Ө = e'. Respuesta a) La figura 1.1a muestra la forma de la salida. Puesto que se incrementa y no se

acota, el sistema es inestable.

b) La figura 1.1b ilustra la forma de la salida. Puesto que ésta se acota, es decir, es

finita el sistema es estable.

c) La figura 1.1c describe la forma de la salida. Puesto que con el tiempo ésta se

hace cero, es decir, tiende a cero a medida que el tiempo tiende a infinito, el sistema

es estable.

d) La figura 1.1d muestra la forma de la salida. Puesto que continúa incrementándose

y no se acota a medida que el tiempo tiende a infinito, el sistema es inestable.

Figura 1.1 Problema 1

POLOS Y CEROS

La función de transferencia en lazo cerrado G(s) de un sistema, general se puede

representar mediante

y, si las raíces del denominador y del numerador se establecen como

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donde las raíces del numerador son z1, z2,..., zm y se denominan ceros y las raíces

del denominador son p1, p2,..., pn y se denominan polos, K es una constante

multiplicadora o la ganancia del sistema. Los ceros son los valores de s para los

cuales la función de transferencia se convierte en cero. Los polos son los valores de s

para los cuales la función de transferencia es infinita, es decir, éstos hacen que el

valor del denominador sea cero. De esta manera, si el numerador es (s-2), entonces

la función de transferencia es cero si (s - 2) - 0, es decir, s = ±2. Por lo tanto, el cero

está en ±2. Si el denominador es (s + 5), entonces la función de transferencia es

infinita si (s + 5) = 0, es decir, s = -5. Por lo tanto, el polo está en -5.

Los polos y los ceros pueden ser cantidades reales o complejas. Así, por ejemplo, si

el denominador fuera (s2 - 6s + 8), entonces, debido a que esto es (s - 4)0 - 2), los

polos están en +4 y +2. Sin embargo, si el denominador fuera (s2 +1), entonces,

puesto que éste se puede escribir como (s - lj)0 + Ij), los polos están en +lj y -lj. En

general, los polos y los ceros se pueden escribir como

donde es la parte real y jω es la parte imaginaria. Como indica la ecuación [2], enunciar los valores de los ceros \ los polos de un

sistema, junto con el valor de una ganancia K, permite especificar por completo la

función de transferencia del sistema.

Ejemplo 2 ¿Cuáles son los ceros y polos de los sistemas dados por las siguientes funciones de

transferencia en lazo cerrado?

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Respuesta á) El denominador se puede escribir como (s-2) (s-2) y así los polos están +2 y +2. El numerador es (s- 1) y así, el cero esta a +1. b) El denominador es (s + 1)(s+2)(s - 3) y así, los polos están en -1, -2 y +3. El numerador es 2 (s +1) y así, el cero está en -1 c) El denominador es (s- 0) (s+ 2) (2+ 3) (s-4) y así, los polos están en 0, -2, -3 y +4. El numerador es (s + 3) (s-1) y así, los ceros está en -3 y +1. d) El denominador es (s2 + 1s+ 3). Las raíces se pueden obtener mediante la

ecuación de las raíces m de una ecuación cuadrática (ax2 +bx + c) es decir,

Por lo tanto, los polos de (s2 +1s + 3) son

Por lo tanto, los polos están en (-0.5 +jl.7)y (-0.5 -jl.7). El numerador es (s-4) y, de

este modo, el cero está en +4.

e) El denominador es (s +s +1). Según la expresión anterior para el cálculo de las

raíces

Por lo tanto, los polos están en (-0.5 + j0.87) y (-0.5 – j0.87). El numerador es 1 una constante y, por lo tanto, no hay ceros. Ejemplo 3 ¿Cuáles son las funciones de transferencia de los sistemas que tienen los siguientes polos y ceros?

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a) Polos en-1,-2; sin ceros. b) Polos en +1, -2; cero en 0. c) Polos en (-2 ± jl); cero en +1. d) Polos en (1 + j2); cero en -1. Respuesta a) El denominador será (s + 1)(s + 2) y el numerador 1 (en ausencia de cualquier

información sobre la ganancia K). Por lo tanto

b) El denominador será (s-1)(s + 2) y el numerador (S-0). Por lo tanto

c) El denominador será

El numerador es (s -1), y de esta manera

d) El denominador será

El numerador es (s +1) y, de esta manera

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Lección 2: PATRÓN DE POLOS Y CEROS

Los polos y los ceros de una función de transferencia se pueden representar en un diagrama llamado el patrón de polos y ceros. La figura 2.1 ilustra los ejes que se usan para dicha gráfica. El eje x es": parte real del polo o cero y el eje y, la parte imaginaria. La posición de un polo se marca con una cruz ' x' y la posición de un cero por pequeño círculo 'o'. De esta manera, en la figura se marca un por que tiene una parte real de -1 y una parte imaginaria de +1, es de: el polo está en (-1 + jl). El cero se marca en +1, y no tiene parte imaginaria. La gráfica en dos dimensiones se conoce como plano s. Los polos o ceros en el lado izquierdo de la gráfica son todos negativos, los pilos o ceros en el lado derecho son positivos. Los polos o ceros se: reales o pares del tipo (σ±jω). Ejemplo 4 Dibujar los patrones de polos y ceros para los sistemas que tienen los siguientes polos y ceros. a) Polos en -2, +3; cero en +1. b) Polos en 0, -1, -2; cero en -3. c) Polos en -1 ± j2; cero en -1. d) Polos en -2 + jl, 0; ceros en -3 ± j2. Respuesta Vea la figura 2.2.

Figura 2.1 Patrón de polos y ceros

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Figura 2.2 Ejemplo 4

Lección 3: ESTABILIDAD Y POLOS

La estabilidad de un sistema se puede determinar considerando cómo cambia la salida con el tiempo después de una entrada impulso. Con un sistema estable la salida deberá tender a cero con el tiempo, y con un sistema inestable la salida crecerá con el tiempo. Considere un sistema sin ceros y un polo en -2. La función de transferencia G(s) será

Por lo tanto, la salida Ө0 (s) está relacionada con la entrada Өi (s) mediante

Si el sistema está sujeto a un impulso unitario, entonces Өi (s) = 1 y, de esta manera

Ésta es una transformada de Laplace de la forma 1/(s + a) y así, la transformada

inversa da por resultado

El valor de e-2t decrece con el tiempo, haciéndose cero en un tiempo infinito. Por lo tanto, el sistema es estable. Ahora considere un sistema sin ceros y un polo en +2. La función de transferencia

G(s) será

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Por lo tanto

Para un impulso unitario, Өi (s) = 1 y, de esta manera

Ésta es una transformada de Laplace de la forma 1/(s + a) y así, la transformada

inversa da por resultado

A medida que t se incrementa, el valor de e2+ también se incrementa, por lo tanto, el sistema es inestable. Considere otro ejemplo, esta vez con polos en (-2 ± jl) y sin ceros. La función de

transferencia es

Figura 3.1 Patrones de polos y ceros y estabilidad, región de estabilidad compartida, a) Polo en -2 sin ceros:

estable, b) Polo en +2 sin ceros: inestable, c) Polos en -2 ± j1 sin ceros: estable.

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Así, cuando hay un impulso unitario Өi (s) = 1 y, de esta manera

Ésta es una transformada de Laplace de la forma l/[(s + a)(s + b)] así la transformada

inversa es de la forma

El término entre los paréntesis es sen t. Por lo tanto

Ésta es una onda senoidal, la cual tiene una amplitud que decrece con el tiempo de acuerdo con e-2t. De esta manera, la salida decae con el tiempo y, por lo tanto, el sistema es estable. En general, cuando a un sistema se aplica un impulso, la salida es de la forma de una suma de términos exponenciales. Si sólo uno de los términos exponenciales es una exponencial creciente, es decir, la exponencial de una función positiva de t tal como e2t, entonces la salida crece de manera continua con el tiempo y el sistema es inestable Esta situación se producirá si uno de los polos tiene parte real positiva y, de esta manera, el denominador de la función de transferencia incluye un término (s - a). Cuando existen pares de polos que involucran ±jω entonces la salida es siempre una oscilación. Esta oscilación es estable si la parte real del par de polos es negativa e inestable si es positiva. De esta manera, si todos los polos están en el lado izquierdo del patrón de polos y

ceros, el sistema es estable. Si sólo uno de los polos está en el lado derecho de

dicho patrón, éste es inestable. Un sistema es críticamente estable si uno o más

polos están sobre el eje vertical del patrón de polos y ceros, es decir, tienen parte real

cero, y no ha polos en el lado derecho. La figura 3.1 muestra las posiciones de los

polos para los ejemplos anteriores y la figura 3.2 ilustra la forma general que toman

las salidas para diferentes posiciones de los polos. Si sólo interesa la estabilidad, los

polos de la función de transferencia son importantes y los valores de los ceros del

sistema son irrelevantes.

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Figura 3.2 Salidas para diferentes posiciones de los polos con una entrada impulso

Una alternativa para el análisis de estabilidad anterior es considerar la estabilidad en

términos de cómo cambia la salida con el tiempo después de una entrada escalón.

Esto es una entrada acotada y para un sistema estable debería haber una salida

acotada. Para la estabilidad en relación con las posiciones de los polos resulta la

misma condición. La figura 3.3 indica las formas generales que toman las salidas

para las diferentes posiciones de los polos.

Figura 3.3 Salidas para diferentes posiciones de los polos con una entrada escalón

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Ejemplo 5 ¿Cuáles de los siguientes sistemas son estables, críticamente estables e inestables? a) Polo en -4; cero en +1. b) Polo en +1; sin ceros. c) Polos en 0,-1, -2; cero en +1. d) Polos en (-2 ± j3); sin ceros. e) Polos en (1 ± j2); cero en -2. Respuesta Los valores de los ceros son irrelevantes. Para estabilidad todos los polos deben

tener partes reales negativas. De este modo, a y d se: estables. Para estabilidad

crítica uno o más polos deben tener partes reales cero y ninguna debe ser positiva.

Así, c es críticamente estable. Para inestabilidad uno o más de los polos deben tener

partes reales positivas, de esta manera b y e son inestables.

Lección 4: EL CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH – HURWITZ

Determinar la estabilidad de un sistema dada su función de transferencia implica

también determinar las raíces del polinomio del den: -minador de la función y

considerar si cualesquiera de éstas son o r.. positivas. Sin embargo, las raíces no se

pueden obtener con facilidad si el polinomio del denominador es de la forma

y n es mayor que 3 o 4. El criterio de Routh-Hurwitz, sin embargo, presenta un método que se puede usar en tales situaciones. La primera prueba que se aplica es revisar los coeficientes, es decir, los coeficientes de los términos en la expresión anterior. Si estad son todos positivos y ninguno es cero, entonces el sistema puede sr estable. Si cualesquiera de los coeficientes es negativo, entonces= sistema es inestable. Si cualesquiera de los coeficientes es cero, entonces, en el mejor de los casos, el sistema es críticamente estable De este modo, por ejemplo, el denominador (s3 +2s2 + 3s + l) puede ser estable puesto que todos los coeficientes están presentes y son positivos. Sin embargo, (s3 -2s2 +3s + 1) es inestable debido a que hay un coeficiente negativo. Con (s3 + 2s2 + 3s) no hay un término y así, en el mejor de los casos, el sistema es críticamente estable. Para sistemas que tienen denominadores que podrían ser estables; se lleva a cabo

una segunda prueba. Los coeficientes de la ecuación [4] se escriben en un orden

particular denominado arreglo de Routh. Éste es

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Los renglones adicionales en el arreglo se determinan mediante cálculo a partir de los

elementos de los dos renglones inmediatamente anteriores. Los renglones

subsecuentes se calculan hasta que sólo aparecen ceros. El arreglo debería

contener, entonces, (n +1) renglones, un renglón corresponde a cada uno de los

términos sn hasta s°.

Figura 4.1 Determinación de los elementos en el arreglo Routh

Los elementos del tercer renglón se obtienen a partir de los elementos de los dos

renglones previos mediante

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Los elementos del cuarto renglón se obtienen a partir de los elementos de los dos

renglones previos mediante

Una forma de recordar estas reglas para determinar los elementos se ilustra en la figura 4.1. Cuando el arreglo se ha completado, éste se revisa. Si todos los elementos de la

primera columna son positivos, todas las raíces tienen partes reales negativas, y

están en el lado izquierdo del patrón de polos y ceros. El sistema es, entonces

estable sí todos los elementos de la primera columna son positivos. Si en la primera

columna, hay elementos negativos, el número de cambios de signo en la primera

columna es igual al número de raíces con partes reales positivas.

Ejemplo 6

Los siguientes polinomios son los denominadores de las funciones de transferencia de varios sistemas. Por inspección, ¿cuáles de éstos podrían ser estables, inestables y críticamente estables? a)s4 +3s3 +2s + 3 b)s3 + 2s2 + 35 + 1 c)s5 -4s4 + 3s2 +2s2 +5s + 2 d)s5 + s4 + 5s3 +2s2 + 35 + 2 e)s5 + 253 +3r +4^ + 5 Respuesta Los polinomios b y d pueden ser estables debido a que todos los coeficientes son positivos y ninguno es cero. El polinomio c es inestable puesto que hay un término negativo. Los polinomios a y e son, en d mejor de los casos, críticamente estables.

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Ejemplo 7 Usar el arreglo de Routh para determinar si el sistema que tiene la siguiente función

de transferencia es o no estable.

Respuesta El denominador es (s4 + 2s3 + 3s2 + 45 +1) y por inspección todos los coeficientes son positivos y no falta ninguno. Por lo tanto, podrí ser estable. A fin de asegurar que es estable, entonces se tiene que usar el arreglo de Routh. Los dos primeros renglones del arreglo sor.

Los elementos del tercer renglón del arreglo se calculan usando ecuaciones [5] y [6].

De esta manera, el arreglo se convierte en

Los elementos del cuarto renglón del arreglo se calculan usando las ecuaciones [7] y [8].

y

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De esta manera, el arreglo se convierte en

El elemento del quinto renglón se calcula usando

De esta manera, el arreglo se convierte en

Todos los elementos de la primera columna son positivos y, por lo tanto el sistema es estable. Ejemplo 8 Con base en el arreglo de Routh determinar si el sistema que tiene la siguiente función de transferencia es o no estable:

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Respuesta El denominador es (s4 + s3 + s2 + 4s +1) y por inspección todos los coeficientes son positivos y no falta ninguno. Por lo tanto, podría ser estable. A fin de asegurar que es estable, se tiene que usar el arreglo de Routh. Los dos primeros renglones del arreglo son

Los elementos del tercer renglón del arreglo se calculan usando las ecuaciones [5] y [6].

y

De esta manera, el arreglo se convierte en

Los elementos del cuarto renglón del arreglo se calculan usando las ecuaciones [7] y [8].

y

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De esta manera el arreglo se convierte en

El elemento del quinto renglón se calcula usando

De esta manera, el arreglo se convierte en

La primera columna tiene un elemento negativo y, por eso, el sistema es inestable. Hay dos cambios de signo, de más a menos y de menos a más, así, el sistema tiene dos polos con partes reales positivas. Ejemplo 9 El denominador de la función de transferencia de un sistema es

s3 + 4s2 +8s + K ¿En qué intervalo de valores puede estar K si el sistema debe ser estable?

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Respuesta Los dos primeros renglones del arreglo de Routh son

Los elementos del tercer renglón del arreglo se calculan usando las ecuaciones [5] y [6].

y De esta manera, el arreglo se convierte en

El elemento del cuarto renglón del arreglo se calcula usando la ecuación [7].

Por lo tanto, el arreglo se convierte en

Para que el sistema sea estable todos los elementos de la primera columna deben ser positivos. Esto significa que

y

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Esto significa que 8 K y, por lo tanto, 32 > K. De esta manera, K debe estar entre 0 y 32. Ejemplo 10 Para el sistema que describe en la figura 4.2, ¿qué intervalo de valores de K dará como resultado la estabilidad? Respuesta La función de transferencia global está dada por

Figura 4.2 Ejemplo 10

y así, puesto que la función de transferencia de la trayectoria directa es l0/[s(s + l)(s + 4)], les

Por lo tanto, el arreglo de Routh para el denominador es

Para que la primera columna sólo tenga valores positivos se debe tener

Esto significa que K debe estar entre 0 y 2.

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Lección 5: ESTABILIDAD RELATIVA La construcción del arreglo de Routh y la aplicación del criterio de que la primera columna del arreglo sólo debe contener términos positivos, permite decidir si el sistema tiene o no todas sus raíces en el semiplano izquierdo del plano sy, que de esta manera, el sistema sea o no estable. Sin embargo, a menudo esto es útil para saber qué tan cerca de la inestabilidad está un sistema estable. Para lograrlo es ne-cesario saber qué tan cerca del eje imaginario están las raíces. Esto se puede hacer recorriendo el eje a la izquierda una cantidad definida (vea la figura 4.3) y encontrar si el corrimiento da o no por resultado un sistema inestable medido a partir del nuevo eje. Recorrer el eje a -σ significa que todos los valores de s del denominador de la función de transferencia se reemplacen por (r-σ) y en la ecuación en res donde ahora se aplica la prueba de estabilidad.

Figura 4.3 Corrimiento del eje Ejemplo 11 ¿Un sistema con función de transferencia con el siguiente denominador tendrá raíces cerca del eje situado en -1?

Respuesta Si el sistema es o no estable se puede probar mediante la construcción del arreglo de Routh. Esto es

y, de esta manera, el sistema es estable. Si ahora se recorre el eje a-1, entonces se reemplaza s por (r -1).

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Esto es

Después de simplificar se obtiene

El arreglo de Routh para esta ecuación es

El sistema es inestable. Dado que sólo hay un cambio de signo, sólo hay una raíz a la derecha de la línea en — 1.

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FUENTES DOCUMENTALES

CHI-TSONG, Chen. Linear System Theory And Design. Oxford University Press. New York

(USA).

BOLTON, W. Ingeniería de Control (2001). Alfaomega 2ª. Edición.

KUO Benjamín C. Sistemas Automáticos de Control. Compañía Editorial Continental S.A.

México.

BROGAN, W. L. Modern Control Theory Prentice Hall. New York 1985.

KATSUHICO, Ogata. Ingeniería de Control Moderna (2008). Pearson Prentice. 4ª. Edición.

http://www.ib.cnea.gov.ar/~dsc/capitulo8/Capitulo8.htm

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UNIDAD 2

Nombre de la Unidad DISEÑO E IMPLEMENTACION DE SISTEMAS DE CONTROL.

Introducción Como ya se ha mencionado en este modulo, cada día los

procesos a controlar se hacen más complejos, sistemas

que deben controlar múltiples variables simultáneamente

para generar múltiples salidas; por lo tanto la ingeniera

tiene la responsabilidad de diseñar los procesos de

automatización lo suficientemente robustos, capaces de

satisfacer la necesidad de la industria. Uno de de los

sistemas mas útiles aunque no robustos, en el área de la

automatización son los controles PID. La utilidad de los

controles PID se encuentra su aplicabilidad en forma

general a la mayoría de los sistemas de control. Su mayor

uso se da cuando el modelo matemático de la planta no

se conoce y, por lo tanto, no se pueden emplear métodos

de diseño analíticos. Ya para sistemas más complejos

donde se deben controlar múltiples variables

simultáneamente se hizo necesario otras herramientas de

análisis y diseño de sistemas de control complejos

basados en el concepto de estado, lo cual es

evidentemente un análisis dinámico de los sistemas pero

nos permite modelar matemáticamente plantas mucho

más complejas.

Mientras la teoría de control convencional se basa en la

relación entrada salida, como se analiza los sistemas de

control en la primera parte de este modulo; la teoría de

control moderna se basa en la descripción de las

ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones

diferenciales de primer orden, que se combinan en una

ecuación diferencial vectorial de primer orden. El uso de

la notación matricial simplifica enormemente la

representación matemática de los sistemas de

ecuaciones. El incremento en el número de variables de

estado, de entradas o de salidas no aumenta la

complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis de

sistemas complicados con múltiples entradas y salidas se

realiza mediante el procedimiento solo ligeramente más

complicado que los requeridos para el análisis de

sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer

orden.

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Justificación El Ingeniero Electrónico debe conocer, con argumentos sólidos, la planeación, el diseño y la implementación de Sistemas de Control, que le permitan determinar los procesos de automatización necesarios a aplicar en un área Industrial o donde sea requerido.

Intencionalidades Formativas

Se busca en esta Unidad que el estudiante desarrolle las habilidades y destrezas lo suficiente como para que se haga competente en el área básica de control y automatización.

Denominación de capítulos

Capitulo Cuatro: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROLADORES PID. Capitulo Cinco: ANALISIS DE SISTEMAS DE

CONTROL MEDIANTE LA RESPUESTA EN

FRECUENCIA.

Capitulo Seis: ANALISIS EN ESPACIO DE ESTADOS.

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CAPITULO 4: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROLADORES PID.

Introducción

En la actualidad más de la mitad de los controladores industriales utilizan

esquemas de control PID o PID modificado. Como la mayoría de los controladores

PID se ajustan en el sitio, en la literatura se han propuesto muchas reglas de

sintonización, que permiten llevar a cabo una sintonización automática en línea.

La utilidad de los controles PID se encuentra su aplicabilidad en forma general a la

mayoría de los sistemas de control. Su mayor uso se da cuando el modelo

matemático de la planta no se conoce y, por lo tanto, no se pueden emplear

métodos de diseño analíticos. En el campo de los sistemas para control de

procesos, es un hecho bien conocido que los esquemas de control PID básicos

y modificados han demostrado su utilidad para aportar un control satisfactorio,

aunque en muchas situaciones específicas no aporten un control óptimo.

En esta sección se presentan en primer lugar el control proporcional, luego un

controlado por un PID. Especificando la acción que cumple cada uno de los

controles (proporcional, integral derivativo). Se continúa con la técnica para la

sintonía de reguladores.

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Lección 1: CONTROL PROPORCIONAL

Con el control proporcional la salida del controlador es directamente proporcional a su entrada; la entrada es la señal de error, e, la cual es una función del tiempo. De esta manera

donde Kp es una constante llamada ganancia proporcional. La salida del controlador depende sólo de la magnitud del error en el instante en el que se considera. La función de transferencia, Gc (s) para el controlador es, por lo tanto

El controlador es, en efecto, sólo un amplificador con una ganancia constante. En

cierto tiempo, un error grande produce una salida grande del controlador. La

ganancia constante, sin embargo, tiende a existir sólo sobre cierto rango de errores

que se conoce como banda proporcional. Una gráfica de la salida contra el error sería

una línea recta con una pendiente de Kp en la banda proporcional (figura 1.1).

Figura 1.1 Control proporcional

Es común expresar la salida del controlador como un porcentaje de la posible salida

total de éste. De este modo, un 100% de cambio en la salida del controlador

corresponde a un cambio en el error desde un extremo a otro de la banda

proporcional. Así

Debido a que la salida es proporcional a la entrada, si la entrada al controlador es un error en la forma de un escalón, entonces la salida es también un escalón, y es exactamente una versión a escala de la entrada (figura 1.2). Esto es provisto por el controlador si opera dentro de su banda proporcional.

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El control proporcional es sencillo de aplicar, en esencia sólo se requiere alguna

forma de amplificador. Éste podría ser un amplificador electrónico o un amplificador

mecánico en forma de palanca (vea más adelante en este capítulo); el control

proporcional es de la forma que describe la figura 1.3. El resultado es una función de

transferencia en lazo abierto de

donde Gp (s) es la función de transferencia de la planta.

La principal desventaja del sistema es que el controlador no introduce un término 1

/so integrador en la trayectoria directa. Esto significa que si el sistema fuera de tipo 0,

entonces el controlador no cambiaría y seguiría siendo de tipo 0 con los

consecuentes errores en estado estable. El controlador no introduce nuevos ceros o

polos al sistema, sólo determina la ubicación de los polos en lazo cerrado. Esto se

debe a que la función de transferencia en lazo cerrado es con el controlador, y la

realimentación unitaria es

y, de esta manera, la ecuación característica (1 + KpGp (s)) tiene los valores de sus

raíces afectados por K .

Figura 1.2 Sistema con control proporcional

Figura 1.3 Sistema con control proporcional

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Ejemplo 1 Si la planta de la figura 1.3 tiene una función de transferencia de

y se usa con control proporcional, ¿cuál será a) el tipo de sistema, b los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón, ii) una entrada rampa? Respuesta a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto de

De este modo, el sistema es de tipo 1. Vea el capítulo 7 para mayor detalle.

b) i) El error en estado estable, ess, está dado por

donde, para una entrada escalón 6-l (s) =1/5. Así

Así, para una entrada escalón un sistema de tipo 1 tiene un error en estado estable

cero.

ii) Para una entrada rampa, la entrada es 1/s2 y el error en estado estable es

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Control integral

Con el control integral la salida del controlador es proporcional a la integral de la

señal de error e con el tiempo, es decir.

donde K¡ es la constante denominada ganancia integral. Ésta tiene unidades de s-1. La figura 1.4 muestra qué pasa cuando el error es de la forma de un escalón. La integral entre 0 y t es, de hecho, el área bajo la gráfica del error entre 0 y t. Así, debido a que después de que el error comienza, el área se incrementa en una razón regular, la salida del controlador se debe incrementar en una razón regular. La salida en cualquier tiempo es, entonces, proporcional a la acumulación de los efectos de los errores pasados.

Figura 1.4 Control integral

Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación [5] da por resultado la función de

transferencia, para el controlador integral, de

Así, para el sistema de la forma que se ilustra en la figura 1.3, el control integral da

una función de transferencia de la trayectoria directa de K /s)Gp (s) y, por lo tanto,

una función de transferencia en lazo abierto de

Una ventaja del control integral es que la introducción de un término Ó-en el

denominador incrementa el tipo de sistema en 1. De esta manera, si el sistema

hubiera sido de tipo 0, el error en estado estable que se habría presentado con la

entrada escalón desaparecería cuando se presentara el control integral. Una

desventaja del control integral es que el término (s - 0) en el denominador significa

que se ha introducido un polo en el origen. Puesto que no se introducen ceros, la

diferencia entre el número de polos n y de ceros m se incrementa en 1. Una

consecuencia de lo anterior es que los ángulos de las asíntotas de los lugares

geométricos de las raíces decrecen, es decir, éstas apuntan más hacia el semiplano

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derecho del plano s y, de este modo, se reduce la estabilidad relativa.

Figura 1.5 Control integral

Ejemplo 2 Si la planta de la figura 1.5 tiene una función de transferencia de

y se usa con el control integral, ¿cuál será a) el tipo de sistema, b) los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón, ii) una entrada rampa y c) cómo se compara la estabilidad con la que se presentaría si hubiera control proporcional (como en el ejemplo 1)? Respuesta

a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto de

Por lo tanto, el sistema es de tipo 2. Vea el capítulo 7 para mayor detalle. b) i) El error en estado estable, ess, está dado por (vea el capítulo 7)

donde, para una entrada escalón Өi (s) = 1/s. Así

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De este modo, para una entrada escalón un sistema de tipo 1 tiene un error en

estado estable cero.

ii) Para una entrada rampa, la entrada es 1/s2 y el error en estado estable es

De esta manera, para una entrada rampa hay un error en estado estable cero, lo cual

mejora la situación del ejemplo 1, donde se tenía un control proporcional.

c) Para la situación del control proporcional del ejemplo 1 el sistema tenía una

función de transferencia de

La ecuación característica es de esta manera

El arreglo de Routh para éste es

En la primera columna todos los términos son positivos, si Kp es mayor que 0. Para la situación del control integral el sistema tiene una función de transferencia de

La ecuación característica es, entonces

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El arreglo de Routh es

De este modo, un cambio de control proporcional a control integral, en esta instancia, da por resultado la inestabilidad. La figura 1.6 muestra los diagramas del lugar geométrico de las raíces para las dos situaciones: diagrama a) con el control proporcional y b) con el control integral.

Figura 1.6 Ejemplo 2

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Control proporcional integral La reducción en la estabilidad relativa como resultado de usar el control integral se

puede resolver, como una extensión, mediante el control proporcional integral (PI,

figura 1.7). Para tal combinación la salida del controlador es

Figura 1.7 Control proporcional Integral

Figura 1.8 Control proporcional integral

La figura 1.8 ilustra el tipo de salida del controlador que se presenta con dicho

sistema cuando existe una entrada de error tipo escalón. Al tomar la transformada de

Laplace de la ecuación [8] se obtiene una función de transferencia, salida(S)/E(S),

para el controlador PI de

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(Kp/Ki) se denomina constante de tiempo integral, ti. De esta manera.

En consecuencia, la función de transferencia de la trayectoria directa para el sistema

de la figura 1.7 es

De esta manera, mediante el uso del control PI se adicionan un cero en -(1 /ti) y un

polo en 0. El factor 1/s incrementa el tipo de sistema en 1 y elimina la posibilidad de

un error en estado estable para una entrada escalón. Debido a que se introducen un

nuevo polo y un nuevo cero, la diferencia entre el número de polos n y número de

ceros permanece sin cambio. Así, los ángulos de las asíntotas para los lugares

geométricos de las raíces no cambian.

Sin embargo, el punto de intersección de las asíntotas con el eje re; se mueve hacia

el origen y, en consecuencia, se presenta cierta reducción en la estabilidad relativa

Adicionar el polo en 0 y el cero en s = -(1Iti) da por resultado que el punto de

intersección cambia por +(1/ti)/(n- m) a la derecha y se hace más positivo y cercano al

origen. Sin embargo, la reducción en la estabilidad relativa no es tanto como lo es

con el control integral solo.

La posición del cero que se introduce está determinada por la ganancia integral, Ki, es decir, ésta se determina mediante la constante de tiempo integral, ti. La ganancia proporcional, Kp , determina las posiciones de los polos en lazo cerrado (vea la sección sobre control proporcional al principio del capítulo).

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Ejemplo 3 Si la planta de la figura 10.7 tiene una función de transferencia de

y se usa con control proporcional integral, ¿cuál será a) el tipo de sistema, b) los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón, ii) una entrada rampa y c) cómo se compara la estabilidad con la que se presentaría si se tuviera i) control proporcional (como en el ejemplo 1), ii) control integral (como en el ejemplo 2)? La constante de tiempo integral es 2 s. Respuesta

a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto según la

ecuación [10] como

Por lo tanto, el sistema es de tipo 2. b) i) El error en estado estable, ess, con una entrada escalón es cero para un sistema de tipo 2 (vea el ejemplo 2 de esta lección). ii) Para una entrada rampa un sistema de tipo 2 da un error en estado estable cero (vea el ejemplo 2 de esta lección). El sistema es, de esta manera, mejor que al que sólo se aplica control proporcional e igual que al que sólo se aplica control integral. b) Para la situación del control proporcional integral el sistema tiene una función de

transferencia de

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La ecuación característica es, entonces

El arreglo de Routh (vea el capítulo 8) es

Figura 1.9 Ejemplo 3

En la primera columna todos los elementos son, positivos si 05Kp es mayor que 0. La

adición del control proporcional al control integral resulta en una restitución de la

estabilidad. La figura 1.9 ilustra el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el

sistema. Éste se debería comparar con el diagrama del lugar geométrico de las

raíces de la figura 1.6 cuando los controles proporcional e integral están separados.

Al compararlo sólo con el control proporcional, la estabilidad relativa se reduce y con

el control PI, las asíntotas están más cercanas al eje imaginario, pero comparado

sólo con el control integral el control PI ha empujado los lugares geométricos de las

raíces hacia la izquierda en el plano s.

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Control derivativo

Figura 1.10 Control derivativo

Figura 1.11 Control derivativo

Con la forma derivativa del controlador, la salida del controlador es proporcional a la

razón de cambio con el tiempo del error e, es decir

donde Kd es la ganancia derivativa y tiene unidades de s. La figura 1.10 muestra qué pasa cuando hay un error de entrada rampa. Corel control derivativo, tan pronto como la señal de error inicia puede-haber una salida del controlador muy grande, puesto que ésta es proporcional a la razón de cambio de la señal de error y no a su valor. De este modo puede proporcionar una acción correctiva grande antes de que se presente un error grande en realidad. Sin embargo, si el error es constante, entonces no hay acción correctiva, aun si el error es grande. Así, el control derivativo es insensible a señales de erro-constantes o que varían con lentitud y, en consecuencia, no se usa solo, sino combinado con otras formas de controlador. Al tomar la transformada de Laplace de la ecuación [11] resulta, para el control

derivativo, una función de transferencia salida (s)/e(s)

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Por lo tanto, para el sistema en lazo cerrado que muestra la figura. 1.11, la presencia

del control derivativo produce una función de transferencia en lazo abierto de

Si la planta es de tipo 1 o mayor, entonces la aplicación de la acción derivativa es

para cancelar una s en el denominador y así reducir e orden en 1. No obstante, como

antes se mencionó, la acción derivativa no se usa sola sino sólo en conjunto con otra

forma de controlador. Cuando se usa esta acción de control se logra que la respuesta

sea más rápida.

Existen dificultades en la implantación de una ley de control derivativa, por lo que en

la práctica se obtiene una aproximación mediante el uso de un compensador de

adelanto (vea más adelante en este capítulo). Éste tiene una función de transferencia

de la forma

Control proporcional derivativo

Si el control derivativo se usa con el control proporcional (figura 1.12), entonces la

función de transferencia en lazo abierto se convierte en

donde td = Kp/Kd y se denomina constante de tiempo derivativa. Con esta forma de

control se ha introducido un cero en s = -1/td. Tampoco habrá cambios en el tipo de

sistema y, por lo tanto, en los errores en estado estable.

Figura 1.12 Control proporcional derivativo

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Ejemplo 4 Si la planta del sistema de la figura 1.12 tiene una función de transferencia de

y se usa con el control proporcional derivativo, ¿cuál será a) el tipo de sistema, b) los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón, ii) una entrada rampa y c) cuál es la condición para la estabilidad? La constante de tiempo derivativa es de 2 s. Respuesta a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto dada por la

ecuación [14] como

Por lo tanto, el sistema es de tipo 1. b) i) El error en estado estable, ess es cero para una entrada escalón con un sistema de tipo 1. ii) Para una entrada rampa, 6- (s) es 1 Is1 y el error en estado estable es

Puesto que (1Itd ) = 0.5 = Kp/Kd entonces

c) Para la situación del control proporcional derivativo el sistema tiene una función de transferencia de

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La ecuación característica es entonces

El arreglo de Routh para este sistema es

En la primera columna todos los términos son positivos y el sistema es estable si Kd es positiva. La figura 1.13 muestra el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el sistema. Esto se debería comparar con el diagrama de la figura 10.6 cuando el control proporcional y el integral están por separado.

Figura 1.13 Ejemplo 4

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Lección 2: CONTROL PID El controlador proporcional integral derivativo (PID), mejor conocido como controlador de tres términos, con un sistema de la forma que ilustra la figura 1.1 dará una salida, para una entrada de error e, de

La función de transferencia, salida (s)/e(s), del controlador es, de esta manera

Figura 1.1 Control PID

Debido a que la constante de tiempo integral, ti, es Kp/Ki y la constante de tiempo derivativa, td, Kd /Kp la ecuación [15] se puede escribir como

La función de transferencia en lazo abierto para el sistema de la figura 10.14 es

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De este modo, el controlador PID ha incrementado el número de ceros en 2 y el número de polos en 1. También el factor 1Is incrementa el tipo de sistema en 1. En la ecuación anterior se supone que se ha empleado un diferenciador ideal. En la práctica, como se indicó antes en este capítulo, se usa un compensador de adelanto. Ejemplo 5 Sí la planta en el sistema de la figura 1.1 tiene una función de transferencia de

y se usa control PID, ¿cuál será a) el tipo de sistema, b) los errores en estado estable cuando se usa con i) una entrada escalón, ü) una entrada rampa, c) las posiciones de los polos y ceros en lazo abierto y d) la condición para la estabilidad? La constante de tiempo derivativa es de 0.5 s y la constante de tiempo del integral, de 2 s. Respuesta

a) El sistema tendrá una función de transferencia en lazo abierto dada por la ecuación [18] como

De esta manera el sistema es de tipo 2. b) i) El error en estado estable ess es cero para una entrada escalón con un sistema de tipo 2. Véase el ejemplo 2 en este capítulo. ii) El error en estado estable ess es cero para una entrada rampa con un sistema de tipo 2. Véase el ejemplo 2 en este capítulo. c) La función de transferencia en lazo abierto del inciso a indica que el sistema tiene un cero de -1 en lazo abierto y polos de 0 y 0. Uno de los polos originales ha sido cancelado por un cero introducido por el controlador. d) Para la situación del control PID, el sistema tiene una función de transferencia de

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De este modo, la ecuación característica es

El arreglo de Routh para este sistema es

Todos los términos de la primera columna son positivos y el sistema es estable si K es positiva. La figura 1.2 ilustra el diagrama del lugar geométrico de las raíces para el sistema.

Figura 1.2 Ejemplo 5

Lección 3: REGLAS DE SINTONIA DE CONTROLADORES PID. El uso del control proporcional sólo requiere la elección de una variable: la ganancia proporcional, Kp, para que el sistema de control tenga el comportamiento dinámico requerido. El uso de un controlador PI requiere la selección de dos variables: la ganancia proporcional K y la ganancia integral, K¡. Con un controlador PID se deben seleccionar tres variables: la ganancia proporcional, Kp, la ganancia integral, Kt, y la ganancia derivativa, Kd. La selección de estas variables permite localizar los polos y ceros que introduce el controla-

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Figura 1.1 Curva de reacción de proceso

dor a ser determinados y, por lo tanto, afectan la estabilidad del sistema de control. Para describir el proceso de selección de los mejores valores para el controlador se usa el término sintonización. Existen varios métodos para lograrlo, pero aquí sólo se estudiarán dos métodos, los de Ziegler y Nichols. Ambos métodos se basan en experimentación y análisis, éstos son recetas de cocina útiles que se usan con mucha frecuencia. El primer método a menudo se denomina método de la curva de reacción del proceso. El procedimiento con este método consiste en abrir el lazo de control de modo que no se presenten acciones de control. En general, la ruptura del lazo se hace entre el controlador y la unidad de corrección. Se aplica, entonces, una señal de prueba a la unidad de corrección y se determina la respuesta de la variable de proceso medida, es decir, la señal de error. La señal de prueba deberá ser tan pequeña como sea posible. La figura 1.1 muestra la forma de la señal de prueba y una repuesta típica. La gráfica de la señal medida se gráfica contra el tiempo y se conoce como la curva de reacción del proceso. La señal de prueba, P, se expresa como el porcentaje de cambio en la unidad de corrección. La variable medida se expresa como el porcentaje del rango a escala completa. Para dar el máximo gradiente de la gráfica se traza una tangente. Para la figura 1.1 el máximo gradiente R es M/T. El tiempo entre la aplicación de la señal de prueba y cuando esta tangente intersecta el eje de tiempo de la gráfica se denomina atraso L. La tabla 1 proporciona los criterios recomendados por Ziegler y Nichols para los valores del controlador con base en los valores de P, R y L.

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Tabla 1.1 Criterios de Ziegler y Nichols para la curva de reacción del proceso

El otro método se conoce como el método de la última ganancia. Primero, las acciones integral y derivativa se reducen a sus valores mínimos. La constante proporcional, Kp, se fija en un valor bajo y. entonces, se incrementa en forma gradual. Esto es lo mismo que decir que la banda proporcional se hace más angosta de manera gradual. Mientras esto sucede, al sistema se le aplican pequeñas pertur-baciones. El proceso continúa hasta que se presentan oscilaciones. Se anota el valor crítico de la constante proporcional, Kpc, en la que se presentan las oscilaciones, así como el tiempo, Tc, de éstas. La tabla 2 muestra los criterios de Ziegler y Nichols sobre cómo se relacionan los valores de kPC y Tc para establecer los valores del controlador. La banda proporcional crítica es 100/K . Tabla 2 Criterios de Ziegler y Nichols para la última ganancia

Ejemplo 6 Determinar los valores que deben. tener KP, Ki y Kd requeridos pare un controlador de tres modos, a partir de la curva de reacción de", proceso de la figura 1.2 cuando la señal de prueba fue un 6% de cambio en la posición de la válvula de control.

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Figura 1.2

Respuesta Se dibuja una tangente en la parte de máximo gradiente de la gráfica que da un atraso, L, de 150 s y un gradiente, R, de 5/300 = 0.017 %/s. Por lo tanto

Ejemplo 7 Cuando se sintonizó un controlador de tres modos en un sistema de control, mediante el método de la última ganancia, se encontró que las oscilaciones iniciaban cuando la banda proporcional decrecía hasta un 30%. Las oscilaciones tienen un periodo de 500 s. ¿Cuáles son los valores apropiados de Kp , Ki y Kd ? Respuesta El valor crítico de Kpc es 100/banda proporcional crítica y, así, 100/30 = 3.33. De esta manera, con base en los criterios de la tabla 2.

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Realimentación de velocidad En muchos sistemas se involucra el posicionamiento de algún objeto, por ejemplo, el brazo de un robot; en este caso, el requerimiento es que el sistema responda con rapidez a los errores y no producir excesivas oscilaciones, o sobrepasos. Esto se puede lograr incorporando dentro del lazo principal de realimentación una trayectoria de realimentación menor que introduzca lo que se denomina realimentación de velocidad, término que describe un lazo de realimentación donde la señal que se alimenta de regreso no es el valor de la salida sino la razón de cambio con el tiempo de la salida. Para esta realimentación la salida de la trayectoria de realimentación se relaciona con su entrada mediante

y, de esta manera, la trayectoria de realimentación tiene una función de transferencia de

Kv es una constante, la ganancia de realimentación, con unidades de s.

Figura 1.3 Sistema con realimentación de velocidad y posición

El término de realimentación deposición se usa en circunstancias en las que se realimenta el valor de la salida. Estos términos surgen a partir del uso primario de sistemas de control para controlar la posición de algún objeto; la realimentación de posición es, entonces, una medida de la posición del objeto y la realimentación de velocidad, una medida de la velocidad del objeto. La figura 1.3 muestra un sistema

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con ambas formas de realimentación. En estos sistemas la función de transferencia en lazo abierto es

y la función de transferencia en lazo cerrado es

El efecto de la realimentación de velocidad ha sido el introducir un término Gp (s)Kvs en el denominador y, de este modo, en la ecuación característica. El efecto de esto se puede ver al considerar un ejemplo. Considere un sistema con control proporcional, ganancia Kp, y una planta con una función de transferencia l/s(s + a). La función de transferencia en lazo abierto es

La realimentación de velocidad modifica el denominador y, por lo tanto, la posición de las raíces en lazo abierto. Las raíces, las cuales estaban en0y en a en ausencia de la realimentación de velocidad, están ahora en 0 y -(a + Kv). La figura 1.4 ilustra el efecto sobre el diagrama del lugar geométrico de las raíces. Como consecuencia de la realimentación de velocidad se mejoró la estabilidad relativa, se incrementó el factor de amortiguamiento relativo para la misma frecuencia natural angular y la frecuencia natural angular se incrementó para el mismo factor de amortiguamiento relativo. El sobrepaso en porcentaje es

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Figura 1.4 El efecto de la realimentación de velocidad: a) sin , b) con realimentación de velocidad

Debido a que £ = cos Ө, entonces

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Así el sobrepaso en porcentaje es

El efecto de incluir la realimentación de velocidad es reducir Ө para un valor particular de la frecuencia natural angular. Esto significa una reducción en la tan Ө y, en consecuencia, un decremento en el sobrepaso en porcentaje. Ejemplo 8 Un sistema en lazo cerrado tiene un controlador proporcional de ganancia Kp, una planta de función de transferencia

y una realimentación de posición unitaria: a) ¿Qué ganancia proporcional se requiere para que la frecuencia natural angular sea de 2 rad/s? (b) ¿Cuál es el factor de amortiguamiento relativo en esa frecuencia? c) Si se introdujera la realimentación de velocidad como en la figura 1.3, ¿cuál sería la ganancia de velocidad necesaria para que el factor de amortiguamiento relativo se duplique para la misma frecuencia angular? Respuesta El diagrama del lugar geométrico de las raíces sin la realimentación de velocidad y con ésta se muestra en la figura 1.4.

a) La función de transferencia en lazo abierto para el sistema es

Las raíces en lazo abierto están en 0 y -1. La función de transferencia en lazo cerrado es

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Esta tiene la ecuación característica

Las raíces de esta ecuación son

Figura 1.5 Ejemplo 8

Por lo tanto, la frecuencia natural angular, ωn, es (figura 1.5)

Así, para ωn = 2 rad/s, entonces Kp = 4.0.

b) El factor de amortiguamiento relativo, , es cos Ө y, por lo tanto según la figura 1.5

b) Con la realimentación de velocidad la función de transferencia en lazo abierto se convierte, como antes se indicó mediante la ecuación [23], en

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De esta manera, los polos en lazo abierto se convierten en 0 y -(1 +KV). El diagrama del lugar geométrico de las raíces, entonces, se convierte como muestra la figura 1.6.

Figura 1.6

Entonces

Puesto que ωn permanece sin cambio en 2 rad/s y es el doble de 0.25, entonces

y así, Kv =1.

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Lección 4: COMPENSACION Los compensadores se pueden definir como componentes insertos en el sistema de control para aumentar el desempeño del controlador. Si se considera que el controlador va a tener como base un controlador proporcional, entonces, como ejemplo, se puede considera: que un controlador PI va a ser un controlador proporcional con un compensador integral. Cuando el compensador se incluye en la trayectoria directa del lazo de control se dice entonces que éste va a ser un compensador en cascada. De esta manera, el compensador integral es el compensador integral en cascada. El efecto de incluir un compensador se trató al inicio en este capítulo, lo que tendrá principalmente una mejora respecto a los errores en estado estable y un; reducción en la estabilidad. Los compensadores se usan para mejorar el desempeño y pan moldear al lugar geométrico de las raíces. Así, el compensador integral introduce un polo en el origen y, de este modo, cambia la posición y forma de los lugares geométricos de las raíces (vea las figura 1.6 y 1.9 de la lección uno de este capítulo como ejemplos de esto). Las dos formas más comunes de compensadores en cascada tienen la función de transferencia

cuando z > p se conoce como compensador de atraso en cascada, cuando z< p, como compensador de adelanto en cascada. De esta manera, ambos compensadores introducen un cero y un polo; sin embargo, entre los dos difiere la posición relativa del polo y el cero. Un compensador de atraso en cascada introduce el polo en lazo abierto más cercano al origen que el cero. En muchos aspectos éste es como un control proporcional integral; sin embargo, la principal diferencia es que el polo que se introduce no está en el origen. Del mismo modo que con el control PI, el punto de intersección de las asíntotas sobre el eje real se mueve a la derecha y así existe alguna reducción en la estabilidad. Los ángulos de las asíntotas permanecen sin alteración, puesto que no hay cambio en (n - m). Sin embargo, puesto que no hay un factor 1Is no hay cambio en el tipo de sistema. Un compensador de adelanto en cascada introduce el cero más cercano al origen que el polo. En muchos aspectos éste es como un control proporcional derivativo, pero la principal diferencia es que el cero no se introduce en el origen. Como con el control PD, el punto de intersección de las asíntotas sobre el eje real se mueve a la izquierda y, así, existe una mejora en la estabilidad. Los ángulos de las asíntotas permanecen sin alteración, puesto que no hay cambio en (n - ni). No se introduce un factor 1 ¡s y, de esta manera, no hay cambio en el tipo de sistema. Ejemplo 9 Mostrar el efecto sobre el diagrama del lugar geométrico de las raíces de un sistema con una función de transferencia en lazo abierto de

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Al introducir en la trayectoria directa un compensador de adelanto con una función de transferencia de

Y explicar el efecto sobre la estabilidad relativa. Respuesta El sistema sin compensar tiene polos en lazo abierto en 0 y -1 y no tiene ceros. Las asíntotas están a ángulos de π/2 e intersectan el eje real en -1 / 2, debido a que n - m = 2. El lugar geométrico sigue el eje real entre las dos raíces. Los lugares geométricos se desprenden del eje real en -0.5. En consecuencia, el diagrama del lugar geométrico de las raíces es como se describe en la figura 1.1a. El sistema compensado tiene una función de transferencia en lazo abierto de

De esta manera hay polos en lazo abierto en 0, -1 y -8 con un cero en -2. Las asíntotas están en ángulos de π/2 e intersectan el eje real en -7 / 2, puesto que n - m = 2. Los lugares geométricos siguen al eje real entre 0 y-1, y entre-2 y-8. El punto de desprendimiento del eje real está aún alrededor de - 0.5. De esta manera, el diagrama del lugar geométrico de las raíces es como se ilustra en la figura 1.1b.

Figura 1.1 Ejemplo 9

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Puesto que la intersección de las asíntotas con el eje real se ha movido de -0.5 hasta -3.5 existe una mejora en la estabilidad relativa. Lección 5: IMPLANTACION DE LAS LEYES DE CONTROL.

Figura 1.1 Amplificador operacional en configuración inversora

En sistemas de control eléctricos con frecuencia se usan amplificadores operacionales como la base para generar las leyes de control requeridas. La figura 1.1 muestra la forma básica de dicho amplificador cuando éste se conecta como si fuera a usarse como un amplificador inversor. El amplificador tiene dos entradas, conocidas como la entrada inversora (-) y la entrada no inversora (+). Para usarse como amplificador inversor, la entrada se conecta a través de un resistor, R, a la entrada inversora del amplificador y la entrada no inversora se conecta a tierra. Una trayectoria de realimentación está provista por el resistor R2. El amplificador operacional tiene una ganancia grande en lazo abierto, del orden de 100 000 o más, y el cambio en su voltaje de salida está limitado, en general, en alrededor de ±10 V. Para producir esa salida con esta ganancia, el voltaje de entrada debe estar entre 0.00001 V y -0.00001 V. Éste es virtual-mente cero y, así, el punto X está virtualmente a un potencial de tierra. Por esta razón a ese punto se le llama tierra virtual. La diferencia de potencial a través de R1 es V1 -Vx, por lo tanto, el potencial de entrada, V1 se puede considerar como el voltaje a través de R1 y, de esta manera

El amplificador operacional tiene una impedancia de entrada muy alta y de esta manera virtualmente no fluye corriente hacia su interior a través del punto X. Por lo tanto, la corriente, I1 fluye sólo a través de R2. Puesto que X es la tierra virtual, y debido a que la diferencia de potencial a través de R2 es Vx -V0, entonces la diferencia de potencial a través de R2 será virtualmente -V0. Por lo que

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Así, la función de transferencia está determinada por los valores relativos de R2 y R1. El signo negativo indica que la salida está invertida, es decir, desfasada 180° respecto a la entrada. Como indica la ecuación [26], el amplificador operacional inversor tiene una ganancia de -R2/R1. El signo menos se puede eliminar pasando la salida a través de otro amplificador operacional inversor.

Figura 1.2 Controlador proporcional

pero esta vez uno en el que R2 = R¡ y así tenga una ganancia de —1. La combinación (figura 1.3) es, entonces, un controlador proporcional con

Se puede producir un controlador integral si el resistor de realimentación se reemplaza por un capacitor (figura 1.4). Para un capacitor, la ecuación [20] del capítulo 2 da por resultado

Figura 1.4 Controlador integral

De este modo

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y así, la impedancia Z, está dada por

Para el circuito con amplificador operacional con el capacitor en la realimentación, la ecuación básica [26] se puede escribir como

Puesto que entonces

Cuando el circuito se combina con otro circuito con amplificador operacional de función de transferencia -1, como muestra la figura 1.4, da por resultado

y, por lo tanto, es un controlador integral con Ki = (1/R1C). La figura 1.5 describe cómo se puede adaptar el circuito para dar un controlador PI. Para este circuito

Figura 1.5 Controlador PI

Y, de esta manera

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La figura 1.6 muestra cómo se puede producir un controlador derivativo. Para el amplificador operacional con capacitor y resistor en la línea de entrada se tiene, según la ecuación [29], Z2 = R2 y

Figura 1.6

De este modo, la ecuación [29] da por resultado

Al combinar este circuito con uno que tenga una función de transferencia de -1 da como resultado

Así, el circuito tiene una ganancia derivativa, Kd deR2C. La figura 1.7 muestra cómo se puede modificar el circuito para obtener un controlador PD. La figura 1.8 ilustra cómo se pueden combinar los circuitos con amplificadores operacionales del controlador PI y el controlador D para producir un controlador P1D. La función de transferencia es, entonces

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. Figura 1.7 Controlador PD

Figura 1.8 Controlador PID

La forma neumática de los controladores proporcional, integral y derivativo se usa en diversos sistemas de control de procesos. La figura 1.9 muestra la forma básica de un controlador proporcional neumático. Cuando la presión del proceso iguala la presión del punto de ajuste, el arreglo tobera-aleta produce la salida correspondiente a un error cero. Cuando la presión del proceso cambia de este valor, la aleta gira y cambia el espacio entre la aleta y la tobera. El resultado es un cambio en la presión de salida. Esta presión cambia hasta que los fuelles de realimentación ejercen una fuerza para balancear a aquélla debida a los fuelles del proceso. La fuerza debida a la diferencia de presión entre el punto de ajuste y los fuelles del proceso es (Pp - Ps)A1, donde Pp es la presión del proceso y Ps es la presión del punto de ajuste. A1 es el área efectiva de los fuelles, se supone que para ambos es la misma área. El momento de rotación alrededor del pivote de esta fuerza es (Pp -Ps)A1d1, donde d1 es la distancia del punto de aplicación de

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Figura 1.9 Controlador proporcional neumático

esta fuerza a partir del punto del pivote. La fuerza debida a los fuelles de realimentación cambia de la que se presenta cuando las presiones del punto de ajuste y la del proceso fueran iguales a (Psal - P0)A2, donde Psal es la presión de salida y P0, el valor que tenía la presión de salida cuando no había error. A2 es el área efectiva de los fuelles de realimentación. El momento de rotación alrededor del pivote de esta fuerza es (Psal - P0)A2d2, donde d2 es la distancia de su punto de aplicación a partir del punto del pivote. El equilibrio se presenta y la aleta se detiene cuando

Y asi

donde K es la constante de proporcionalidad igual a A1d1 / A2d2.

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Capitulo 5: ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL MEDIANTE LA RESPUESTA

EN FRECUENCIA.

Introducción

Aunque hasta el momento se ha utilizado el término "controlador" para definir al conjunto de acciones que se utilizan para actuar sobre el proceso; el término más empleado en la bibliografía existente es el de "compensador", de manera que es frecuente referirse al control PI como compensador PI, y al control PID como compensador PID, etc. El diseño de los parámetros de los controladores que se han desarrollado hasta el momento se ha basado en técnicas temporales, efectuando las especificaciones del diseño a nivel temporal, mediante el máximo sobreimpulso, el tiempo de establecimiento, etc. Estas especificaciones se han trasladado al plano de Laplace, posibilitando el uso de las herramientas y técnicas de diseño disponibles en este plano. No obstante, en el diseño realizado se ha tenido pleno conocimiento de las características de la planta o proceso que se pretende controlar, pues sin este conocimiento el diseñador no tiene ningún indicativo de la forma de llevar a cabo el control adecuado del sistema, lo cual se extiende a aquellos sistemas de los que se desconoce la función de transferencia o en los que ésta es difícil de caracterizar. Para estos sistemas, una alternativa de diseño consiste, en primer lugar, en obtener información de la planta o proceso mediante su respuesta frecuencial, que es posible obtener de una manera experimental. Posteriormente, se puede realizar el diseño del controlador mediante técnicas de diseño basadas en la respuesta frecuencia del

sistema que hay que controlar.1

1 Segmento introductorio tomado de http://www.edicionsupc.es/ftppublic/pdfmostra/EE00305M.pdf

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Lección 1: RESPUESTA EN FRECUENCIA.

Si a un sistema lineal se aplica una entrada senoidal, la salida es también una

senoidal y de la misma frecuencia. La salida puede diferir de la entrada en amplitud y

en fase. El cociente de la amplitud de la salida entre la amplitud de la entrada en

general se conoce como magnitud aunque algunas veces se denomina razón de

amplitud o ganancia. El corrimiento de fase de la senoidal de salida en relación con

aquel de la senoidal de entrada se denomina fase. La variación de la magnitud y la

fase con la frecuencia se denomina respuesta en frecuencia del sistema.

Función de transferencia

La función de transferencia G(s) de un sistema en general se puede representar

mediante

Donde K es la ganancia; z1, z2,... zm, los ceros del sistema, y p1, p2 ... pn, los polos,

habiendo m ceros y n polos. De este modo, puesto que G(s) es el cociente de la

salida entre la entrada, es decir, G(s) = Ө0 (s)/Өi (s), entonces la salida está dada por

De esta manera, si se considera una entrada senoidal

donde a es la amplitud de la entrada y ω la frecuencia angular en rad/s, entonces

y la ecuación [2] se convierte en

Esta ecuación se puede solucionar usando fracciones parciales y obtener una

relación de la forma

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Ө0(s) = términos transitorios + términos en estado estable

Los términos transitorios desaparecen con el tiempo. De esta manera, si sólo se tiene

interés en el estado estable, la solución que se obtiene es

La salida en estado estable es senoidal con la misma frecuencia angular ω que la entrada. |G(Jω) | es la magnitud de la función de transferencia G(s) cuando s se reemplaza por jω. La función G(jω), la cual se obtiene al reemplazar s por jω en G(s), se denomina función de respuesta en frecuencia. De la misma manera que se habló de G(s) en el dominio de s (vea el capítulo 4) se puede hablar de G(jω) siendo la función de transferencia G(s) en el dominio de la frecuencia. GQco) se puede encontrar al reemplazar todos los valores de 5en G(s) por jω y, así, reordenar la expresión para obtenerla en la forma que permite separar las partes real e imaginaria y, por lo tanto, identificar la magnitud y la fase. Considere la función de transferencia

Si se hace s = jω entonces

Si el numerador y el denominador de la expresión anterior se multiplican por (-jω + 2),

entonces

Esta ecuación proporciona la función de transferencia en frecuencia como un número

complejo en la forma x + jy. Por lo tanto, la magnitud, | G(w) | (vea la nota al final de

esta sección), es

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Y la fase Ө está dada por

Puesto que el término y es negativo y el término x, positivo, entonces la tan (p es negativa y, de este modo, Ө es el ángulo mediante el cual la salida se atrasa respecto a la entrada. Lo que se presenta a continuación es un breve recordatorio acerca de los números

complejos. Una cantidad compleja se puede representar mediante (x + jy), donde x es

la parte real y y, la parte imaginaria del número complejo. En una gráfica con la parte

imaginaria como el eje y y la parte real como el eje x, la x y la y son las coordenadas

cartesianas del punto que representa al número complejo (figura 11.1). Otra manera

de representarlo es en forma polar (vea el capítulo 9) como r(cos Ө + jsen Ө), donde

sobre la gráfica de la componente imaginaria contra la componente real, r es la

longitud de la línea que une el origen con el punto que representa el número complejo

y 0 es el ángulo entre la línea y el eje x. El término (cos Ө + jsen Ө) se puede

representar mediante <Ө y, de esta manera, el número complejo mediante r <Ө,

donde res la magnitud y Ө, la fase del número complejo. Por lo tanto, con el teorema

de Pitágoras la magnitud está dada por

Y la fase Ө, mediante

Los signos de los términos x y y se deben tener en cuenta al determinar la tan Ө. Si

las componentes y y x son positivas significaría que Ө está entre 0 y 90°; con y

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positiva y x negativa, Ө estaría entre 90° y 180°; con y negativa y x negativa, Ө

estaría entre 180° y 270°, y con y negativa y x positiva, Ө estaría entre 270° y 360°.

Figura 1.1 Un número complejo

Ejemplo 1 ¿Cuáles son la magnitud y fase de salida en estado estable de un sistema que está

sujeto a una entrada senoidal de Өi =2sen(3/ +60°), si éste tiene una función de

transferencia de

Respuesta Al reemplasar s por jω se obtiene

Al multiplicar numerador y denominador de la ecuación por (-jω +1) se obtiene

Por lo tanto

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Y el ángulo de fase esta dado por

y, dado que y es negativa y x positiva, es el ángulo mediante el cual la salida se

atrasa respecto a la entrada. Para una entrada específica ω=-3 rad/s. En

consecuencia

Y

De esta manera, Ө = -72°. La salida, es de este modo

Donde a es la amplitud de la entrada, 2 en este caso; ω es la frecuencia angular de 3

rad/s; 0, el ángulo de fase de la entrada, y Ө, la diferencia de los ángulos de fase

entre la salida y la entrada. Por lo tanto

Ejemplo 2 Para un sistema que tiene una función de transferencia

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determinar a) la magnitud y fase de la respuesta en frecuencia y b) hacer una tabla

que muestre los valores de la magnitud y la fase con la frecuencia angular para ω =

0,2,10,100, ∞rad/s.

Respuesta

a) Al reemplazar s por jω se obtiene

Al multiplicar el numerador y el denominador de la ecuación po (-jco + 2) se obtiene

La ecuación está ahora en la forma x + jy. Por lo tanto, según la ecuación [5]

El ángulo de fase está dado por la ecuación [6] como

y, debido a que y es negativa y x positiva, éste es el ángulo de fase mediante el cual

la salida se atrasa respecto a la entrada.

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Respuesta en frecuencia de un sistema de primer orden

Un sistema de primer orden tiene una función de transferencia de la forma

donde t es la constante de tiempo. La función de respuesta en frecuencia, G(jω), se

puede obtener reemplazando s por jω. Por lo tanto

Al multiplicar el numerador y el denominador de la ecuación por (1 - jωt) se obtiene

La ecuación es ahora de la forma (x + jy) y la magnitud | G(jω) | es, mediante la

ecuación [5]

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La fase, Ө, está dada por la ecuación [6] como

El ángulo de fase es la cantidad por la cual la salida se atrasa respecto a la entrada dado que el término y es negativo y el x, positivo. Ejemplo 3 La función de transferencia para un sistema (un circuito eléctrico con un resistor en

serie y un capacitor a través del cual se toma la salida) es

¿Cuál es: a) la función de respuesta en frecuencia, G(jω), y b) la magnitud y la fase de esa respuesta? Respuesta

a) El sistema es de primer orden con una constante de tiempo t, de RC. De esta

manera, la función de respuesta en frecuencia será de la forma dada por la

ecuación [8], es decir, la función de transferencia donde jω reemplaza a s.

b) La magnitud es, así, de la forma dada por la ecuación [9]

La fase Ө, está dada por la ecuación [10] como

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Respuesta en frecuencia para un sistema de segundo orden

Un sistema de segundo orden tiene una función de transferencia de la forma

donde ωn es la frecuencia angular natural y £, el factor de amortiguamiento relativo.

La respuesta en frecuencia se obtiene al reemplazar s por jω. De este modo, la

función de respuesta en frecuencia, G(jωo), está dada por

Al multiplicar el numerador y el denominador de la ecuación por

Se obtiene

La ecuación es ahora de la forma x + jy y, así, la magnitud, | G(jω) está dada por la

ecuación [5] como

La fase Ө, está dada por la ecuación [6] como

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El signo menos indica que la salida está atrasada respecto a la entrada.

Respuesta en frecuencia a partir del patrón de polos y ceros

Figura 1.2 G(jω)

La magnitud y la fase de G(jω) se pueden encontrar a partir del patrón de polos y ceros para un sistema. Suponga que se tiene un sistema con una función de transferencia

Este sistema tiene un polo en s = -1 (figura 1.2). Si la entrada al sistema es una senoidal, entonces s = jω. Esto define un punto sobre el eje jω de acuerdo con el valor de la frecuencia angular de entrada, a>. En la figura 1.2 se ha elegido que ω

tenga el valor de 1 rad/s. La función de transferencia, entonces, se convierte en

Pero es la longitud de la línea que corre del polo al punto s = jω <45° es el ángulo que forma la línea con el eje real. De esta manera G(jω) es su recíproco, es decir,

En general, para una función de transferencia con varios ceros 5 polos, es decir,

entonces el procedimiento es:

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1 Graficar las posiciones de cada polo y cada cero. 2 Marcar la posición 5 = jω. 3 Dibujar líneas de cada polo y cada cero al punto s = jω. 4 Medir las longitudes y los ángulos de cada línea. 5 La función de respuesta en frecuencia es, entonces

= suma de los ángulos de las líneas de los ceros -suma de los ángulos de las líneas de los polos [15]

Ejemplo 4 Un sistema tiene una función de transferencia

Determinar la salida del sistema cuando se le aplica una entrada de 10 sen 2t. Respuesta La función de transferencia se puede escribir como

La figura 1.3 describe el patrón de polos y ceros; los ceros están en s = 0 y s = -2 y los polos en s= -1+jl y s = -1 - jl. La entrada tiene una frecuencia angular de 2 y, de esta manera, jω es +2. Las líneas

se dibujan desde este punto a cada uno de los polos y los ceros. Los ceros dan

líneas con magnitud 2, ángulo de 90° y magnitud √8, ángulo de 45°; los polos dan

magnitud √2, ángulo de 45° y magnitud √10, ángulo de 71.6°. De esta manera

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Así, dado que G(jω) = salida/entrada para una señal senoidal, entonces, puesto que

la entrada es 10 <0°

Figura 1.3 Ejemplo 4

Respuesta en frecuencia para elementos en serie

Figura 1.4 Elementos en serie

Si un sistema consta de varios elementos en serie, como en la figura 1.4, entonces la

función de transferencia, G(s), del sistema es el producto de las funciones de

transferencia de los elementos en serie, es decir,

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Por lo tanto, para la función de respuesta en frecuencia cuando s se reemplaza por

Puesto que G1 (jω) se puede representar mediante una ecuación como

y de manera similar para las otras funciones, entonces

De esta manera

y para las fases

Ejemplo 5 ¿Cuál es la magnitud y la fase de la función de respuesta en frecuencia de un

sistema con la siguiente función de transferencia?

Respuesta Se puede considerar que el sistema consta de dos elementos en serie, uno con una

función de transferencia de 1/(s + 1) y el otro con 1/(2s +1). Cada sistema es de

primer orden y, de esta manera, el resultado obtenido para los sistemas se puede

usar para cada elemento por separado, o la respuesta en frecuencia de cada uno de

los sistemas que se obtiene de los primeros principios. Para la función

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Por lo tanto

Y

Para el segundo sistema

Por lo tanto

Y así

Y

De este modo, para los dos elementos en serie, la ecuación [16] da por resultado

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y la ecuación [17]

Lección 2: TRAZAS DE BODE.

Las Trazas de Bode consisten en dos gráficas: una de la magnitud graneada contra

la frecuencia y una del ángulo de fase graneada contra la frecuencia. La magnitud y

la frecuencia se grafican usando escalas logarítmicas.

Para un sistema que tiene una función de transferencia que involucra varios términos,

la ecuación [16] indica que la magnitud resultante es el producto de las magnitudes

de los elementos que la constituyen, es decir,

Al tomar logaritmos base 10, la ecuación se convierte en

De esta manera, el trazar una gráfica de log | G(jω) | contra la frecuencia significa que

sólo se pueden sumar las contribuciones debidas a los términos de magnitud

individuales. Por ejemplo, si se quisiera obtener la traza de Bode para

entonces se pueden graficar por separado las gráficas logarítmicas para las

magnitudes de los elementos 5, (1 + jω) y 1 /(2 + jω) y sólo sumarlas para obtener la

traza para | G(jω) I.

Es común expresar la magnitud en unidades de decibeles (dB).

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Así, si |G(jω)| = 2 entonces, debido a que 20 log2 es 20, la magnitud es 20 dB. Cuando existen varios elementos, la traza de fase es sólo la suma de las fases de los elementos por separado (ecuación [19]). La escala de frecuencia que se usa para ambas trazas, magnitud y fase, es logarítmica. Esto permite a la gráfica cubrir un gran intervalo de frecuencias y también conduce a gráficas asintóticas mediante líneas rectas. Debido a que las trazas de Bode para un sistema se pueden formar a partir de las trazas para los elementos individuales, dentro de la función de transferencia para ese sistema, es útil considerar las trazas para los elementos que por lo común se encuentran en las funciones de transferencia. Con estos elementos se pueden formar con rapidez las trazas de Bode para una amplia variedad de sistemas. Los elementos básicos que se consideran son: Ganancia constante Esto es donde

y, de esta manera

para dicho sistema la magnitud en decibeles es

y la fase es cero. Las trazas de Bode son, entonces, de la forma que ilustra la figura

1.1. La traza de magnitud es una línea recta de magnitud constante. Al cambiar la

ganancia, K, la traza de magnitud sólo recorre hacia arriba o hacia abajo cierto

número de decibeles.

Un polo en el origen Esto es donde

y, de esta manera

Para dicho sistema la magnitud en decibeles es

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Cuando ω = 1 rad/s, entonces |G(jω)| = 0, y cuando ω = 10 rad/s, entonces |G(jω)| =

-20 dB. Para cada década de incremento en fre-

Figura 1.1 Trazas de Bode para una ganancia constante

cuencia la magnitud cae -20 dB. La traza de Bode en magnitud es, así, una línea

recta de pendiente -20 dB por década de frecuencia, la cual pasa por 0 dB en ω) = 1

rad/s (figura 1.2). La fase de dicho sistema está dada por

Por lo tanto, (p es constante para todas las frecuencias en -90°.

Un cero en el origen

Esto es donde

y, de esta manera

La magnitud en decibeles es, de esta manera, 20 log ω. Así, cuando ω = 1 rad/s,

entonces | G(jω) | = 0 dB, y cuando ω=10 rad/s entonces I G(jω) | =20 dB. La traza de

Bode en magnitud es una línea recta de pendiente +20 dB por década de frecuencia,

la cual pasa por 0 dB en ω -1 rad/s (figura 1.3). La fase del sistema está dada por

Por lo tanto, la fase es constante en90° sin considerar la frecuencia.

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154

Un polo real Esto significa un sistema con un retraso de primer orden, donde

y, de esta manera

La magnitud en decibeles es

y el ángulo de fase

Cuando ω <<1 / t, ω2 t2 es despreciable respecto a 1 y, de este modo, la magnitud es

0 dB. Por lo tanto, en frecuencias bajas la traza

Figura 1.2 Trazas de Bode para un polo en el origen

Figura 1.3 Trazas de Bode para un cero en el origen

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155

de magnitud es una línea recta constante de valor 0 dB. Para frecuencías altas,

cuando ω >>1 / t, ω2 t2, m % es mucho mayor que 1 y, de esta manera, la magnitud

se convierte en

Ésta es una línea recta de pendiente -20 dB por década de frecuencia, la cual

intercepta la recta de cero decibeles cuando ω = 1, es decir, cuando ω= 1\t. La figura

11.8 describe estas trazas para frecuencias bajas y altas con sus intersecciones, las

que se denominan punto de quiebre, frecuencia de corte o frecuencia de esquina en

ω= 1\t. Las dos líneas rectas se conocen como aproximación asintótica a la traza

verdadera. La traza verdadera se curvea en la intersección de las dos líneas, como

muestra la figura 1.4. El máximo error es de 3 dB en el punto de quiebre. En la tabla 1

de esta lección se presentan las diferencias entre los valores verdaderos y los valores

asintóticos.

Figura 14. Trazas de Bode para un polo real

El ángulo de fase es tan-1 ωt. En frecuencias bajas, cuando ω es menor que

alrededor de 0.1/t, entonces la fase es virtualmente 0o. En frecuencias altas, cuando

ω es más de 10/r, entonces la fase es virtualmente -90°. Entre estos dos extremos,

se puede considerar razonablemente que el ángulo de fase dé una línea recta, como

en la figura 1.4. Esta línea es una aproximación asintótica. El máximo error

Tabla 1 errores asintóticos para un polo real o un cero real

Nota: Valor verdadero = aproximación asintótica + error

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es, suponiendo una línea recta, es . En ω = 1 / t, el punto de quiebre, la fase es -

45°. La tabla 1 de esta lección muestra las diferencias entre los valores verdaderos y

los valores asintóticos.

Un cero real

Esto significa un sistema de primer orden que es un adelanto, donde

y, de esta manera

La magnitud en decibeles es, de esta manera

y la fase

En frecuencias bajas, cuando ω <<1/t, entonces el término ω2t2 es insignificante en comparación con 1 y, así, la magnitud es una línea recta de 0 dB. En frecuencias altas, cuando ω <<1/t, entonces 1 es insignificante en comparación con el término a>2x2 y así la magnitud es 20 log ωt y, por lo tanto, una línea recta de pendiente 20 dB por década de frecuencia con un punto de quiebre en ω =1/t, . La figura 1.5 muestra cómo estas dos líneas, rectas se aproximan a la traza de magnitud verdadera, el máximo error sería de 3 dB en el punto de quiebre. Vea la tabla 1 de esta lección para los errores entre los valores verdaderos y la líneas asintóticas. El ángulo de fase es tan-1 ωt. En frecuencias bajas, cuando ω es menor que

alrededor de 01/t, la fase es virtualmente 0o. En frecuencias altas, cuando ω es

mayor que alrededor de 10/t, la fase es virtualmente 90°. Entre estos dos extremos

en forma razonable, se puede considerar que el ángulo de fase dé una línea recta

como la de la figura 1.5. El máximo error, suponiendo una línea recta, es , vea

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157

Figura 1.5 Trazas de Bode para un cero real

la tabla 1 de esta lección para mayores detalles. En ω = 1It, el punto de quiebre, la fase es 45°. Un par de polos complejos Esto es donde

y de este modo

Por lo tanto se puede escribir

y, de esta manera, la magnitud en decibeles es

y la fase es

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De esta manera, en frecuencias bajas la traza de magnitud es una línea recta en 0

dB, mientras que en frecuencias altas es una línea recta de pendiente -40 dB por

década de frecuencia. La intersección o punto de quiebre de estas dos líneas está en

ω=ωn; éste es el valor de la expresión de alta frecuencia que da 0 dB y, por lo tanto,

el punto de intersección con la línea de 0 dB. La traza de magnitud está, así, dada en

forma aproximada por estas dos líneas asintóticas. Sin embargo, el valor verdadero

depende del factor de amortiguamiento relativo, £. La figura 1.6 ilustra las dos líneas

rectas y las trazas verdaderas para varios factores de amortiguamiento relativo

diferentes. La tabla 2 de esta lección presenta las diferencias entre los valores

verdaderos y los asintóticos para diversos factores de amortiguamiento relativo.

Figura 1.6 Trazas de Bode para un par de polos complejos

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Tabla 2 Errores asintóticos de la magnitud en dB para pares de polos o ceros

complejos

Nota: Valor verdadero = aproximación asintótica + error

Para (ω/ωn)<<1, es decir, (ω/ωn ) = 0.2 o menor, entonces la fase se aproxima a

Para (ω/ωn ) 3, es decir, (ω/ωn) = 5 o mayor, entonces la fase se aproxima a

La forma de la traza de fase depende del factor de amortiguamiento relativo; sin embargo, todas las gráficas pasan a través del ángulo de -90° en ω=ωn. Se puede dibujar una asíntota que pase por el ángulo de -90° en ω=ωn, la cual corte la línea a 0o en (ω/ωn) = 0.2 y en -180° en (ω/ωn) =5. La tabla 3 de esta lección contiene el error, o diferencia, entre los valores verdaderos y los asintóticos. Tabla 3 Errores asintóticos de la fase para pares de polos o ceros complejos

Nota: Valor verdadero = aproximación asintótica + error

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Un par de ceros complejos

Esto es donde

y de este modo

Por lo tanto, la magnitud en decibeles es

y la fase es

La magnitud sólo difiere de la obtenida para los polos complejos (ecuación [34]) en

que ésta es positiva mientras que para los polos complejos es negativa. De esta

manera, la traza de magnitud es sólo la imagen espejo respecto a la línea de 0 dB de

la traza dada en la figura 1.6. La fase difiere sólo de la de los polos complejos (ecua-

ción [35]) en que ésta es positiva en tanto que la de los polos complejos es negativa.

En consecuencia, la traza de fase es sólo la imagen espejo respecto a la línea de 0o

de la traza que ilustra la figura 1.6. Vea la tablas 2 y 3 para las diferencias entre los

valores verdaderos y los asintóticos.

Ejemplo 6 Dibujar los diagramas asintóticos de Bode para un sistema que tiene una función de

transferencia de

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Respuesta La función de transferencia consta de dos componentes: un elemento con función de transferencia 10 y otro con función de transferencia 1 f(2s +1). Las trazas de Bode se pueden dibujar para cada uno de éstos y sumarlas para dar la traza requerida. Un sistema con función de transferencia G(s) = 10 es un sistema de ganancia

constante. De esta manera, la traza será como la de la figura 1.1 de esta lección. La

magnitud es una constante, en decibeles, en 20 log 10 = 20. La fase constante está

en 0o; las trazas se muestran en la figura 1.7.

Figura 1.7 Ejemplo 6

Un sistema con función de transferencia G(s) =1/(2s+l) es uno con un polo real sin ceros. De este modo, el sistema es como el que ilustra la figura 1.4 de esta lección; la constante de tiempo, r, es igual a2 s. La traza tendrá un punto de quiebre en 1/T = 1/2 = 0.5 s y las asíntotas serán como muestra la figura 1.7. Al sumar las trazas da el resultado que describe la figura 1.7. Ejemplo 7 Dibujar los diagramas asintóticos de Bode para un sistema con función de

transferencia de

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Respuesta La función de transferencia consta de tres componentes: uno con función de transferencia 0.1, otro con 1/s y el último con 25(s2 +35 + 25). La función de transferencia G(s) = 0.1 es una de ganancia constante y es, por lo tanto, como la que ilustra la figura 11.5. La magnitud es una constante en 20 log 0.1 = -20 log 10 10 = -20 dB. La fase constante está en 0o; las trazas se muestran en la figura 11.12. La función de transferencia G(s) = l/s describe un sistema que tiene un polo en el origen y es, de esta manera, como la que muestra la figura 1.2 de esta lección. La magnitud tiene una pendiente de -20 dB por década de frecuencia y el valor de 0 dB cuando ω = 1 rad/s. La fase es una constante en -90°; las trazas se muestran en la figura 1.8. La función de transferencia G(s) -25/(s2 +3s + 25) se puede escribir como ω2

n/(s2 +

2ζωs + ωn) con ωn =5 rad/s y ζ=0.3. De este modo, el sistema es como el que presenta la figura 1.6 para un par de polos complejos. El punto de quiebre es cuando ω=ωn =5 rad/s. La asíntota para el ángulo de fase pasa por -90° en el punto de quiebre 0º es en (ω=ωn) =0.2, es decir, ω=1 rad/s y -180° en (ω=ωn )=5, o sea, ω=25 rad/s; la figura 1.8 muestra las trazas. Al sumar estas tres trazas se obtiene la traza requerida (la figura 1.8). Ejemplo 8 Dibujar la traza de Bode verdadera para un sistema con función de transferencia de

Respuesta La función de transferencia es de la forma

con wn = 10 rad/s y ζ = 0.3. Las trazas de Bode serán, así, de la forma que se

describe en la figura 1.6.

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Figura 1.8 Ejemplo 7

Para la traza de magnitud, el punto de quiebre es 10 rad/s, la asíntota antes de esta

frecuencia tiene una pendiente de 0 y después de -40 dB por década de frecuencia.

Las diferencias entre los valores verdaderos y los asintóticos se pueden encontrar

con la tabla 2. Para £ =0.3 las diferencias en decibeles son:

La figura 1.9 muestra las trazas asintótica y verdadera teniendo en cuenta estas

diferencias.

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Figura 1.9 Ejemplo 8

Especificaciones de desempeño

Figura 1.10 Especificaciones de desempeño

Para la traza de fase, la asíntota pasa por -90° en ω = 10 rad/s, y es 0o cuando

(ω/ωn) =0.1, es decir, ω =1 rad/s, y es -180° cuando (ω/ωn)= 10, o sea, ω =100 rad/s.

La diferencia entre los valores verdaderos y los asintóticos se puede encontrar con

base en la tabla 3. Para ζ =0.3 las diferencias son:

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165

La figura 1.9 describe las trazas asintótica y verdadera considerando estas diferencias. Para describir el comportamiento transitorio de un sistema cuando está sujeto a una entrada escalón se usan términos como tiempo de levantamiento, tiempo de asentamiento y sobrepaso. Cuando el sistema está sujeto a una entrada senoidal los términos que se usan para describir el desempeño del sistema son pico de re-sonancia y ancho de banda. El pico de resonancia, Mp, se define como el máximo valor de la magnitud (figura 1.10). Para un sistema con valor grande de Mp corresponde un valor grande del máximo sobrepaso. Un sistema de segundo orden se puede relacionar en forma directa con el factor de amortiguamiento relativo mediante la comparación de la respuesta con la traza de Bode de la figura 1.6; un factor de amortiguamiento relativo bajo corresponde a un pico de resonancia alto. El ancho de banda se define como la banda de frecuencias en la cual la magnitud no

cae por debajo de -3 dB. Para el sistema dado en la traza de Bode de la figura 1.10 el

ancho de banda es el espacio entre la frecuencia cero y la frecuencia en la que la

magnitud cae por debajo de -3 dB. Puesto que

o sea, G(jω) = 0.707y éste es el valor de corte para la función de respuesta en frecuencia. Ejemplo 9 Estimar el ancho de banda para el sistema dado por la traza de Bode en la figura 1.9. Respuesta La línea de magnitud a -3 dB cruza la traza verdadera alrededor de un cuarto de

década después de 10 rad/s. Esto es alrededor de 11.7 rad/s. De esta manera, el

ancho de banda es desde 0 rad/s hasta 11.7 rad/s.

Uso de datos experimentales de la respuesta en frecuencia

Los datos de la respuesta en frecuencia para un sistema se pueden obtener en forma experimental mediante una señal senoidal como entrada y monitorear la salida en estado estable a fin de determinar el cociente de la magnitud de la salida entre la magnitud de la entrada (éste es entonces la magnitud) y la diferencia de fase entre la

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salida y la entrada. La medición se repite para varias frecuencias y, de esta manera, se obtiene la traza de Bode. Al examinar la traza de Bode se puede identificar la función de transferencia del sistema. Por lo general, la función de transferencia se determina a partir de la traza de magnitud y la traza de fase se usa para verificar los resultados. Sobre los datos experimentales se dibujan las asíntotas. Si la pendiente de la asíntota inicial es -20 dB/década, entonces hay un polo en el origen; si ésta es +20 dB/década hay un cero en el origen. Si la pendiente, al ir de una asíntota a la siguiente, cambia por -20 dB/década, entonces hay un polo real y la función de transferencia incluye un término 1/(TS +1), donde la frecuencia en el punto de cambio de la pendiente es 1/t. Si la pendiente cambia en +20 dB/década, entonces hay un cero real y la función de transferencia incluye un (ts +1), donde la frecuencia en el punto de cambio de la pendiente es 1/t. Si la pendiente, al ir de una asíntota a la siguiente, cambia en -40 dB/década hay un par de polos complejos y la función de transferencia incluye un término de la forma

donde ωn es la frecuencia en el cambio de la pendiente. Al determinar la diferencia

entre la traza de magnitud y la asíntota en el punto de quiebre es posible estimar el

factor de amortiguamiento relativo ζ, por medio de la tabla 2. Si la pendiente, al ir de

una asíntota a la siguiente, cambia en + 40 dB/década hay un par de ceros complejos

y la función de transferencia incluye un término de la forma

donde ωn es la frecuencia en el cambio de la pendiente. La tabla 2 de esta lección se

puede usar para dar un estimado del factor de amortiguamiento relativo, ζ. Todos los

elementos que constituyen la función de transferencia se combinan para dar una

función de transferencia que tiene una ganancia, K, incluida. La magnitud entonces

se calcula a partir de la función de transferencia para algún valor de frecuencia y se

compara con el valor experimental para dicho valor; por lo tanto, K se puede

determinar (vea el ejemplo 10).

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Figura 1.11 Ejemplo 10

Ejemplo 10 Determinar la función de transferencia del sistema dado por el diagrama de Bode que describe en la figura 1.11. Sólo se muestran las asíntotas. Respuesta Se tiene una pendiente inicial de -20 dB/década y, de esta manera, hay un término 1Is. Existe un cambio en la pendiente de -20 dB/década en ω = 1 rad/s y, así, se tiene un término 1/(ts +1) con x -1s. No hay otros cambios en la pendiente de manera que la función de transferencia es de la forma

donde K es la ganancia. La función de respuesta en frecuencia para el sistema es

Por lo tanto

La figura 1.11 indica que cuando 20 log | G(jω) | = 20, entonces ω = 1 rad/s. De esta manera

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Por lo tanto, K = 14.1. De esta manera, la función de transferencia es

Lección 3. DISEÑO MEDIANTE COMPENSACION.

Compensación es el término que describe el ajuste de desempeño de un controlador

a fin de que logre un mejor desempeño (vea el capítulo 10). Las trazas de Bode se

pueden usar para observar los efectos de los cambios de diseño del compensador

respecto a desempeño. Al introducir sólo un elemento proporcional, es decir, un

elemento con ganancia constante, la traza de magnitud sólo se desplaza hacia arriba

o hacia abajo y no tiene efecto en la traza de fase. Un compensador de adelanto en

cascada tiene una función de transferencia de la forma (ecuación [25] del capítulo 10)

donde p> z. Esta ecuación se puede reordenar para obtener

Los términos K y (z/p) son términos de ganancia constante, el término (1 + s/z)

contiene un cero real con constante de tiempo de 1/z, y el término (1 + s/p) contiene

un polo real con constante de tiempo de 1 / p. Puesto que p > z, entonces (1/z) >

(1/p). La traza de Bode es, por consiguiente de la forma que muestra la figura 1.1.

Los valores dados son para K = 1 y para diferentes cocientes de (z/p). Cuando z = p y

los términos de los ceros y polos se cancelan para dar G(s) = 1, entonces la magnitud

es una línea recta a lo largo del eje en

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Figura 1.1 Trazas de Bode para un compensador de adelanto

0 dB y la fase, una línea recta a lo largo del eje en 0o. El efecto de introducir un compensador de adelanto es bajar la traza de magnitud en frecuencias bajas y subir el ángulo de fase global, es decir, incrementar el ángulo de fase lo que adelanta la salida respecto a la entrada. Un compensador de atraso en cascada tiene una función de transferencia de la forma

(ecuación [24] del capítulo 10)

donde z > p. Esta ecuación se puede reordenar para obtener

Los términos K y (z/p) son términos de ganancia constante, el término (1 + s/z)

contiene un cero real con constante de tiempo de IIz, y el término (1 + s/p) contiene

un polo real con constante de tiempo de 1/p. Puesto que z > p, entonces (1/p) > (1/z).

La traza de Bode es, así, de la forma que muestra la figura 11.18. Los valores dados

son para K = 1 y para diferentes cocientes de (z/p). Cuando z = p y los términos de

los ceros y polos se cancelan para dar G(s) = 1, entonces la magnitud es una línea

recta a lo largo del eje en 0 dB y la fase, una línea recta a lo largo del eje en 0o. El

efecto de introducir un compensador de atraso es bajar la traza de magnitud en

frecuencias altas e incrementar el ángulo de fase, lo que atrasa la salida en relación

con la entrada.

Lección 4: DIAGRAMAS DE Nyquist.

Para especificar el comportamiento de un sistema a una entrada senoidal (es decir,

especificar la función de respuesta en frecuencia, G(jω)) en una frecuencia angular

particular, ω, se deben establecer

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Figura 1.1 Trazas de Bode para un compensador de atraso

tanto la magnitud, | G(jω) | como la fase, 0. Ambas son funciones de la frecuencia angular. Una forma de mostrar cómo se comporta un sistema sobre un intervalo de frecuencias angulares es trazar los datos de la respuesta para el sistema en un diagrama de Nyquist. El diagrama de Nyquist es una traza polar de la respuesta en frecuencia del sistema. Un número complejo se puede representar mediante x + jy, donde x es la parte real y y la parte imaginaria. El número se puede trazar como un punto en un diagrama de Argand, es decir, un diagrama que tiene un eje y el cual representa la parte imaginaria y un ejex, que es la parte real (como en la figura 11.19). La versión polar del número complejo se representa mediante una línea √x2+y2 que se dibuja desde el origen forman un ángulo Φ con el eje real, donde tan Φ = y/x. Ambos métodos terminan en el mismo punto especificado en el diagrama de Argand. En el diagrama de Nyquist la salida para una entrada senoidal de amplitud unitaria en una frecuencia angular particular, se especifica mediante el trazo de una línea de longitud igual a la magnitud, | G(jω) | en un ángulo de fase, Φ, con el eje real. La entrada senoidal al sistema, de este modo, en efecto se representa mediante la línea de magnitud 1 a lo largo del eje real. Al trazar diagramas de Nyquist existen cuatro puntos clave que se deben representar:

el inicio de la traza, donde ω=0; el fin de la traza, donde ω=∞; donde la traza cruza al

eje real, es decir, Φ=0°±180°, y donde ésta cruza al eje imaginario, o sea, Φ= ±90°.

Para un sistema de primer orden, o un sistema de atraso sencillo, la función de

transferencia es de la forma

donde t es la constante de tiempo. De esta manera, la función de respuesta en

frecuencia G(jω), es

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Así, debido a que la magnitud |G(jω)| es la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado

más la parte imaginaria al cuadrado (ecuación [5]), entonces

La fase, Φ, está dada por el cociente de la parte imaginaria entre la parte real

(ecuación [6])

Cuando ω = 0, entonces las ecuaciones [47] y [48] dan como resultado |G(jω)| = 1 y Φ = 0o. Éste es también el punto en el que la traza cruza el eje real. Cuando ω tiende a ∞, entonces |G(jω)| tiende a 0 y Φ a -90°. Éste es también el punto en el que la traza cruza el eje imaginario. También se pueden calcular otros puntos para ayudar a dibujar la traza de Nyquist. Así, por ejemplo, cuando ω= 1/t, entonces |G(jω)| = 1/-√2 y Ө =-tan_1 l = -45°. La figura 1.2 muestra la traza de Nyquist, la cual es un semicírculo. Considere ahora un sistema de segundo orden con una función de transferencia dada

por

La función de respuesta en frecuencia G(jω), es de esta forma

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Y por ello, la magnitud es

Y la fase está dada por

Figura 1.2 Trazado de Nyquist para G(s) = 1/(1+ts)

Figura 1.3 Trazado de Nyquist para G(s) = w2n(s

2 + 2ζωns + ωn

2)

Cuando ω= 0, entonces | G(jω)| = 1 y Φ= 0°. Cuando ω = ∞, entonces | G(jω)| = 0 y Φ = - tan_1 (0/- ∞) = -180°. Éstos son los puntos en los que la traza cruza el eje real. Cuando ω=ωn, entonces | G(jω)| = 1/2 y Φ = - tan -1 (2ζ/0) = -90°. Éste es el punto en el que la traza cruza el eje imaginario. La figura 1.3 muestra las familias de las trazas de Nyquist producidas para diferentes factores de amortiguamiento relativo.

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173

La figura 1.4 muestra ejemplos adicionales de diagramas de Nyquist y sus diagramas

asociados de lugar geométrico de las raíces.

Figura 1.4 Diagramas de Nyquist y sus diagramas de lugar peométrico de las raíces asociados:

a) G(s) = 1/(t1d+1),

b) G(s) = 1/(t1s+1) (t

2s+1),

c) G(s) = 1/(t

1s+1) (t

2s+1) (t

3s+1),

d) G(s) = 1/s(t

1s+1),

e) G(s) = 1/s(t

1s+1) (t

2s+1),

f) G(s) = (ts+1)/s (t1s+1) (t

2s+1)

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Figura 1.4 Continuación

Ejemplo 12 Trazar el diagrama de Nyquist para un sistema que tiene una función de transferencia de

Respuesta La función de respuesta en frecuencia G(jω), es

De esta manera, la magnitud es

y la fase es

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Cuando ω = 0, entonces | G(jω) | = 1 y Φ = - tan-1 0 = 0o. Cuando ω = oo entonces

|G(jω) |= 0 y

Los puntos de cruce con el eje real están dados por Φ = 0o o ±180°. El punto de 0o

está dado por ω = 0, como antes se indicó. Para Φ = -180°, tan Φ = -0 y así, se debe

tener que

Esto significa que ω=0 √(3/2) =1.2 rad/s. Con este valor de frecuencia la magnitud

tiene un valor de

o -0.3. Los puntos de cruce con el eje imaginario están dados por Φ= ±90°. La ω =

+∞ da el punto de +90°, como ya se indicó. Para Φ = -90°, tan Φ = ∞ y, de este modo,

se debe tener que

Esto significa que ω = 1 √3 = 0.6 rad/s. Con este valor de frecuencia = 0.2 rad/s la

magnitud tiene un valor de

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Figura 1.5 Ejemplo 12

o -0.7. Para ayudar a trazar el diagrama de Nyquist se pueden obtener otros valores.

Así, para ω= 1 rad/s, |G(jω)| = 0.4 y Φ = -153°; para ω=0.5 rad/s|G(jω)|= 0.8 y Φ=68°;

para ω=0.2 rad/s, |G(jω)| = 0.95 y Φ = 34°. La figura 1.5 muestra la traza de Nyquist

resultante.

Lección 5: CRITERIO DE ESTABILIDAD DE Nyquist.

Cuando a un sistema se aplica una entrada senoidal la salida de ese sistema es senoidal con la misma frecuencia angular, pero puede tener una amplitud que difiere de la de la entrada y mostrar una diferencia de fase. El cociente de las amplitudes de salida y de entrada es la magnitud, |G(jω)|. Para que la inestabilidad se presente cuando la entrada al sistema es senoidal, la magnitud en lazo abierto debe ser mayor que 1 si el atraso de fase en lazo abierto es 180°. Si el sistema causa un cambio de fase de 180°, entonces la señal de realimentación estará en fase con la señal de entrada y, de esta manera, se adicionará a ésta en vez de sustraerse. Si la amplitud es menor que la de la señal de entrada, se puede alcanzar una condición estable, pero si la amplitud es mayor, la señal a través del sistema crecerá de manera conti-nua. Si el sistema en lazo abierto es estable, el sistema en lazo cerrado también será estable. La figura 1.1 muestra la implicación de este criterio de estabilidad en relación al

diagrama de Nyquist para un sistema en lazo abierto. Un ángulo de fase de 180°

significa que la magnitud apunta hacia la parte negativa del eje real. Si la magnitud en

este valor de fase no debe exceder a 1, entonces la traza polar no debe encerrar al

punto -1 sobre el eje real si el sistema va a ser estable.

Ejemplo 13 ¿Cuál es la condición para que un sistema con la siguiente función de transferencia

en lazo abierto sea estable?

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Respuesta La función de respuesta en frecuencia es

La magnitud es, de este modo

Y la fase

Para lograr estabilidad la magnitud no debe exceder 1 cuando la fase es 180°. De

este modo, la condición limitante para la fase es Φ - tan-1 0. Por lo tanto

y así, ω=1√t1t2. Al sustituir este valor de ω en la ecuación de la magnitud se obtiene

Si el sistema va a ser estable, entonces

La traza de Nyquist es de la forma que se muestra en la figura 11.22 e.

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Figura 1.1 Trazas de Nyquist estable e inestable

Margen de ganancia y margen de fase El margen de ganancia se define como el factor mediante el cual la ganancia del

sistema, es decir, la magnitud, se puede incrementar antes de que se presente la

inestabilidad. Éste es, entonces, la cantidad mediante la cual la magnitud en 180°

debe incrementarse para alcanzar el valor crítico de 1 (figura 1.2).

Figura 1.2 Margen de ganancia

Figura 1.3 Margen de fase

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Figura 1.4 Márgenes de ganancia y fase con las trazas de Bode

1 = Margen de ganancia |G(jω)|Φ=180º

Éste en general se cuantifica en decibeles y de esta forma en decibeles es

Si la traza de Nyquist jamás cruza la parte negativa del eje real, el margen de ganancia es infinito. Si la traza pasa a través del eje en un valor menor que 1, el margen de ganancia es positivo. Si pasa a través del eje en 1, el margen de ganancia es cero y si pasa a través del eje en un valor mayor que 1, es decir, la traza encierra el punto -1, el margen de ganancia es negativo. El margen de fase se define como el ángulo a través del cual la traza de Nyquist debe girar para que el punto de magnitud unitaria pase a través del punto -1 en el eje real (figura 1.3).Esta es, por lo tanto, la cantidad mediante la cual la fase del sistema en lazo abierto cae cerca de 180° cuando su magnitud tiene un valor de 1, es decir, la amplitud de la salida es la misma que la de la entrada. La figura 1.4 muestra los márgenes de ganancia y fase en las trazas de Bode para un sistema. Ejemplo 14 Determinar el valor de K para un sistema con la siguiente función de transferencia en

lazo abierto

el cual dará a) un sistema marginalmente estable, b) un margen de ganancia de 3 dB.

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Respuesta La función de respuesta en frecuencia en lazo abierto es

La magnitud es, entonces

y la fase

a) Para que el sistema sea marginalmente estable la magnitud debe tener el valor de

1, cuando Φ = 180°. Para Φ=180° entonces Φ = tan-1 0 y, de esta manera

Por lo tanto, ω = 1 √2 rad/s. Al sustituir este valor en la ecuación de la magnitud, con

la magnitud igual a 1, se obtiene

y, así, K = 1.5. b) Para que el sistema tenga un margen de ganancia de 3 dB, según la ecuación [54]

y así, K = 1.06. Ejemplo 15 ¿Cuál es el margen de fase para un sistema que tiene la siguiente función de

transferencia en lazo abierto?

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Respuesta La función de respuesta en frecuencia es

Por lo tanto, la magnitud es

y la fase

El margen de fase es el ángulo de fase más corto a partir de 180° cuando la magnitud es 1. Así,

Si se usa la expresión para las raíces de una ecuación cuadrática y considerando ω2

como la raíz, entonces

y puesto que sólo interesan los valores positivos de ω, se tiene que ω = 2.36 rad/s. El

ángulo de fase para esta magnitud es, por lo tanto

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Figura 1.5 Ejemplo 16

Puesto que tanto la parte real como la imaginaria de G0 (jω) son negativas, este ángulo es el relativo a -180° y, de esta forma, es el margen de fase. Ejemplo 16 Para las trazas de Bode de la figura 1.5 estimar el margen de ganancia y el margen de fase. Respuesta El margen de ganancia es el valor de la magnitud cuando la fase es -180° y, de esta

forma, es de alrededor de 8 dB. El margen de fase es la diferencia de fase desde –

180° cuando la magnitud es cero. Éste es de casi 40°.

CAPITULO 6: ANALISIS EN ESPACIO DE ESTADOS.

Introducción

Como ya se ha mencionado en este modulo, cada día los procesos a controlar se

hacen más complejos, sistemas que deben controlar múltiples variables

simultáneamente para generar múltiples salidas, por lo tanto la ingeniera tiene la

responsabilidad de diseñar los procesos de automatización lo suficientemente

robustos, capaces satisfacer la necesidad de la industria. Desde esta perspectiva

se hizo necesario otras herramientas de análisis y diseño de sistemas de control

complejos basados en el concepto de estado, lo cual es evidentemente un análisis

dinámico de los sistemas pero nos permite modelar matemáticamente plantas

mucho más complejas, por lo tanto este nuevo análisis de los sistemas de control es

el que desarrollaremos en esta unidad.

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Lección 1- VARIABLES DE ESTADO.

En ingeniería de control, una representación de espacios de estados es un

modelo matemático de un sistema físico descrito mediante un conjunto de entradas,

salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer

orden que se combinan en una una ecuación diferencial matricial de primer orden.

Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son

expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma

matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e

invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también

conocida como aproximación en el dominio del tiempo) provee un modo

compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y

salidas. Con p entradas y q salidas, tendríamos que escribir veces la

transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia

de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de

espacios de estado no está limitada a sistemas con componentes lineales ni con

condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de

n dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. El

estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

Modelo típico de espacio de estados

Variables de estado

Las 'variables de estado son el conjunto más pequeño de variables que pueden

representar al sistema dinámico completo en un tiempo cualquiera. Las variables de

estado deben ser linealmente independientes; una variable de estado no puede ser

una combinación lineal de otras variables de estado. El número mínimo de variables

de estado necesarias para representar un sistema dado es n, es normalmente igual

al orden de la ecuación diferencial que define al sistema. Si el sistema es

representado en forma de función de transferencia, el número mínimo de variables

de estado es igual al orden del denominador de la función transferencia después de

haber sido reducido a una fracción propia. Cabe destacar que al convertir una

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representación de espacios de estados a una forma de función transferencia podría

perderse alguna información interna sobre el sistema, indicando que dicho sistema

es estable, cuando la representación de espacios de estados indica que es

inestable en ciertos puntos. En circuitos eléctricos, el número de variables de

estados es a menudo, pero no siempre, igual al número de elementos que

almacenan energía en los circuitos, como capacitores e inductores.

Lección 2: SISTEMAS LINEALES.

Una forma general de representación de espacios de estado de un sistema linear

con p entradas, q salidas y n variables de estado se escribe de la siguiente forma:

donde

; ; ;

,

,

,

,

.

es llamado vector de estados, es llamado vector de salida, es

llamado vector de entradas (o control), es la matriz de estados, es la

matriz de entrada, es la matriz de salida, y es la matriz de

transmisión directa. Por simplicidad, normalmente se toma como la matriz

cero, p. ej.: se elije que el sistema no tenga transmisión. Nótese que en esta

formulación general se supone que todas las matrices son variantes en el tiempo, p.

ej.: algunos o todos sus elementos pueden depender del tiempo. La variable

temporal t puede ser una "contínua" (p. ej.: ) o una discreta (p. ej.: ): en

éste último caso la variable temporal es generalmente indicada como k.

Dependiendo de las consideraciones tomadas, la representación del modelo de

espacios de estado puede tomar las siguientes formas:

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Tipo de sistema Modelo de espacio de estados

Contínuo e invariante en el tiempo

Contínuo y variante en el tiempo

Discreto e invariante en el tiempo

Discreto y variante en el tiempo

Transformada de Laplace de

contínua e invariante en el tiempo

Transformada Z de

discreta e invariante en el tiempo

La estabilidad y la respuesta natural característica de un sistema puede ser

estudiado mediante los eigen-valores (o valores propios) de la matriz A. La

estabilidad de un modelo de espacio de estados invariante en el tiempo puede ser

fácilmente determinado observando la función transferencia del sistema en forma

factorizada. Tendría un forma parecida a la siguiente:

El denominador de la función transferencia es igual al polinomio característico

encontrado tomando el determinante de sI − A,

.

Las raíces de este polinomio (los eigen-valores) proporcionan los polos en la

función transferencia del sistema. Dichos polos pueden ser utilizados para analizar

si el sistema es asintótica o marginalmente estable. Otra alternativa para determinar

la estabilidad, en la cual no involucra los cálculos de los eigen-valores, es analizar

la estabilidad de Liapunov del sistema. Los ceros encontrados en el numerador de

puede usarse de manera similar para determinar si el sistema posee una fase

mínima. El sistema podría ser estable con respecto a sus entradas y salidas aún si

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es internamente inestable. Este podría ser el caso si polos inestables son

cancelados por ceros.

Lección 3: CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD.

En este capítulo introducimos los conceptos de controlabilidad y observabilidad.

Estos conceptos describen la interacción entre el mundo externo (entradas y

salidas) y las variables internas del sistema (estados). La controlabilidad es la

propiedad que indica si el comportamiento de un sistema puede ser controlado

por medio de sus entradas, mientras que la observabilidad es la propiedad que

indica si el comportamiento interno del sistema puede detectarse en sus salidas.

Controlabilidad: Se dice que un sistema es controlable en el tiempo t0 si se puede

transferir desde cualquier estado inicial x(t0) a cualquier otro estado, mediante un

vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

Se dice que un sistema es observable en el tiempo t0 si, con el sistema en el estado

x(t0), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida

durante un intervalo de tiempo finito.

Kalman introdujo los conceptos de controlabilidad y observabilidad, que juegan un

papel importante en el diseño de los sistemas de control en el espacio de estados.

De hecho, las condiciones de controlabilidad y observabilidad determinan la

existencia de una solución completa para un problema de diseño de un sistema de

control. La solución a este problema pueda existir si el sistema considerado no es

controlable. Aunque la mayor parte de los sistemas físicos son controlables y

observables, los modelos matemáticos correspondientes tal vez no p la propiedad

de controlabilidad y observabilidad. En este caso, es necesario conocer las

condiciones en las cuales un sistema es controlable y observable. Esta sección

aborda la controlabilidad y la siguiente analiza la observabilidad.

En lo que sigue, se deducirá en primer lugar la condición para garantizar controla^

completa del estado. A continuación, se obtendrán formas alternativas de dicha

condición análisis análogo de la controlabilidad completa de salida. Finalmente se

presenta el concer estabilizabilidad.

Controlabilidad completa del estado de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistem tiempo continuo

donde x = vector de estados (vector de dimensión n) u = señal de control (escalar)

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A = matriz de n x n B = matriz de n x 1 Se dice que el sistema descrito mediante la Ecuación (11.51) es de estado controlable en t=t0,: si es posible construir una señal de control sin restricciones que transfiera un estado ira cualquier estado final en un intervalo de tiempo finito t0 ≤ t ≤ t1 Si todos los estados son controlables, se dice que el sistema es de estado completamente controlable. Ahora se obtendrá la condición para controlabilidad completa del estado. Sin pérdida generalidad, se supone que el estado final es el origen en el espacio de estados y que el tiempo inicial es cero, o t0 = 0. La solución de la Ecuación (11.51) es

Aplicando la definición de controlabilidad completa del estado recién establecida, se tiene

o bien

(11.52)

Si se tienen en cuenta las Ecuaciones (11.48) u (11.50), e-At se puede escribir como

(11.53)

Al sustituir la Ecuación (11.53) en la Ecuación (11.52) se obtiene

(11.54)

Si se define

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entonces la Ecuación (11.54) se convierte en

Si el sistema es de estado completamente controlable, entonces, dado cualquier estado inicial x(0), la Ecuación (11.55) debe satisfacerse. Esto requiere que el rango de la matriz n x n

sea n. De este análisis, se puede concluir la condición para controlabilidad completa del estado de la forma siguiente. El sistema obtenido mediante la Ecuación (11.51) es de estado completamente controlable si y sólo si los vectores B, AB, .... An-1B son linealmente independientes, o la matriz n x n

es de rango n. El resultado recién obtenido se extiende al caso en el que el vector de control u es de dimensión r. Si el sistema se describe por

donde u es un vector de dimensión r, se demuestra que la condición para controlabilidad completa del estado es que la matriz n x nr

sea de un rango n, o que contenga n vectores columna linealmente independientes. La matriz

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se conoce comúnmente como matriz de controlabilidad.

EJEMPLO 11.10. Sea el sistema dado por

Como

el sistema no es de estado completamente controlable.

EJEMPLO 11.11. Sea el sistema dado por

Por tanto, el sistema es de estado completamente controlable. Forma alternativa de la condición para la controlabilidad completa del estado. Considérese el sistema definido por

(11.56)

donde x = vector de estado (vector de dimensión n) u = vector de control (vector de dimensión r) A = matriz n x n B = matriz n x r Si los valores propios de A son distintos, es posible encontrar una matriz de transformación P tal que

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Obsérvese que, si los valores propios de A son distintos, los vectores propios de A también distintos; sin embargo, lo contrario no es cierto. Por ejemplo, una matriz simétrica real de con valores propios múltiples tiene n vectores propios distintos. Obsérvese también que columna de la matriz P es un vector propio de A asociado

con λi(i=1, 2, ..., ri). Si se define

(11.57)

al sustituir la Ecuación (11.57) en la Ecuación (11.56), se obtiene

(11.58)

se puede reescribir la Ecuación (11.58) como

Si todos los elementos de cualquier fila de la matriz F « x r son nulos, entonces la variable de estado correspondiente es no controlable por cualquiera de las ui. Por tanto, la condición de controlabilidad completa del estado es que, si los vectores propios de A son distintos, el sistema es de estado completamente controlable si y sólo si ninguna fila de P-1B tiene todos sus elementos cero. Es importante señalar que, a fin de aplicar esta condición para controlabilidad completa del estado, se debe poner en forma diagonal la matriz P-1AP de la Ecuación (11.58). Si la matriz A de la Ecuación (11.56) no posee vectores propios distintos, es imposible la diagonalización. En este caso, se transforma A en una forma canónica de Jordán. Por ejemplo, si A tiene valores propios λ1, λ1, λ1, λ4, λ4, λ6,…λn y tiene n

— 3 vectores propios distintos, la forma canónica de Jordán de A es

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Las submatrices cuadradas de la diagonal principal se denominan bloques de Jordán. Supóngase que encontramos una matriz de transformación S tal que

Si se define un nuevo vector de estado z mediante

entonces la sustitución de la Ecuación (11.59) en la Ecuación (11.56) da

La condición para controlabilidad completa del estado del sistema de la Ecuación (11.56) se expresa del modo siguiente. El sistema es de estado completamente controlable si y sólo si (1) si no hay dos bloques de Jordán en J de la Ecuación (11.60) que estén asociados con los mismos valores propios, (2) los elementos de cualquier fila de S-1B que corresponden a la última fila de cada bloque de Jordán no son todos cero y (3) los elementos de cada fila de S-1B que corresponden a valores propios distintos no son todos cero.

EJEMPLO 11.12 Los sistemas siguientes son de estado completamente controlable:

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Los sistemas siguientes no son de estado completamente controlable.

Condición para controlabilidad completa del estado en el plano s. La condición para la controlabilidad completa del estado se puede plantear en términos de funciones de transferencia o matrices de transferencia. Se puede demostrar que una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que no ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz transferencia. Si ocurre una cancelación, el sistema no puede controlarse en la dirección del modelo cancelado. EJEMPLO 11.13. Sea la función de transferencia siguiente:

Es evidente que ocurre una cancelación del factor (s + 2.5) en el numerador y el denominad* 1 función de transferencia. (Por tanto, se pierde un grado de libertad.) Debido a esta cancelación, este sistema no es de estado completamente controlable.

La misma condición se obtiene si se escribe esta función de transferencia en la forma de una ecuación de estado. Una representación en el espacio de estados es

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el rango de la matriz [B І AB] es 1. Por tanto, llegamos a la misma conclusión: el sistema no es de estado completamente controlable. Controlabilidad de la salida. En el diseño práctico de un sistema de control, se puede necesitar controlar la salida en lugar del estado del sistema. Una

controlabilidad completa del estado no es condición necesaria ni suficiente para controlar la salida del sistema. Por esta razón, es conveniente definir de forma independiente la controlabilidad completa de la salida. Sea el sistema descrito mediante

donde x = vector de estado (vector de dimensión n) u = vector de control (vector de dimensión r) y = vector de salida (vector de dimensión n) A = matriz n x n B = matriz n x r C = matriz m x n D = matriz m x r Se dice que el sistema descrito mediante las Ecuaciones (11.61) y (11.62) es de salida completamente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfiera cualquier salida inicial y(t0) a cualquier salida final y(ti-) en un intervalo de tiempo finito Es posible demostrar que la condición para controlabilidad completa de la salida es la siguiente. El sistema descrito mediante las Ecuaciones (11.61) y (11.62) es de salida completamente controlable si y sólo si la matriz m x (n+ 1) r

es de rango m. (Para una demostración, véase el Problema A.11.16.) Obsérvese que la presencia del término Du en la Ecuación (11.62) siempre ayuda a establecer la controlabilidad de la salida. Sistema no controlable. Un sistema no controlable tiene un susbsistema que está desconectado físicamente de la entrada.

Estabilizabilidad. Para un sistema parcialmente controlable, si los modos no controla: estables y los modos inestables son controlables, el sistema se dice entonces que es estabilizable. Por ejemplo, el sistema definido por

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no es de estado controlable. El modo estable que se corresponde con el valor

propio -1 no es controlable. El modo inestable que corresponde al valor propio 1 es

controlable. Este sistema se puede estabilizar mediante una realimentación

adecuada. Así que este sistema es estabilizable.

OBSERVABILIDAD En esta sección analizaremos la observabilidad de los sistemas lineales. Sea el

sistema r. do descrito mediante las ecuaciones siguientes:

(11.63)

(11.64)

Se dice que el sistema es completamente observable si el estado x(t0) se determina

a pan observación de y(t) durante un intervalo de tiempo finito. t0 ≤ t ≤ t1. Por tanto,

el sistema es completamente observable si todas las transiciones del estado

afectan eventualmente a k elementos del vector de salida. El concepto de

observabilidad es útil al resolver el pro-reconstruir variables de estado no medibles

a partir de variables que sí lo son en el tiempo posible. En esta sección, se tratan

sólo sistemas lineales e invariantes en el tiempo, to, sin pérdida de generalidad, se

supone que t0 = 0.

El concepto de observabilidad es muy importante porque, en la práctica, la dificulte,

encuentra con el control mediante realimentación del estado es que algunas de las

variables de estado no son accesibles para una medición directa, por lo que se

hace necesario estimar las variables de estado no medibles para construir las

señales de control. En la Sección 1.25 mostrará que tales estimaciones de las

variables de estado son posibles si y sólo si el a completamente observable.

Al analizar las condiciones de observabilidad, se considera el sistema sin excitación

como el que se obtiene mediante las Ecuaciones (11.63) y (11.64). La razón de esto

es la siguiente. Si el sistema se describe mediante

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e y(r) es

Como las matrices A, B, C y D se conocen al igual que u(t), los dos últimos términos del segundo miembro de esta última ecuación son cantidades conocidas. Por tanto, se pueden restar del valor observado de y(t). Así, a fin de investigar una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa, basta con considerar el sistema descrito mediante las Ecuaciones (11.63) y (11.64). Observabilidad completa de sistemas en tiempo continuo. Sea el sistema descrito mediante las Ecuaciones (11.63) y (11.64). El vector de salida y(t) es

Refiriéndose a la Ecuación (11.48) u (11.50), se tiene que

Por tanto, se obtiene

O bien

Así, si el sistema es completamente observable, dada la salida y(t) durante un intervalo del tiempo 0 ≤ t ≤ t1x x(0) se determina únicamente a partir de la Ecuación (11.65). Se demuestra que esto requiere que el rango de la matriz nm x n

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sea n. (Véase el Problema A.11.19 para la obtención de esta condición.) A partir de este análisis, se puede expresar la condición para observabilidad completa del modo siguiente. El sistema descrito por las Ecuaciones (11.63) y (11.64) es completamente observable si y sólo si la matriz n x nm

es de rango n, o tiene n vectores columna linealmente independientes. Esta matriz se denomina matriz de observabilidad.

EJEMPLO 11.14. Sea el sistema descrito por

¿Es este sistema controlable y observable? Como el rango de la matriz

es 2, el sistema es de estado completamente controlable. Para la controlabilidad de salida, se calcula el rango de la matriz [CB І CAB]. Como

el rango de esta matriz es 1. Por tanto, el sistema tiene una salida completamente controlable. Para verificar la condición de observabilidad. examine el rango de [C* І A*C*]. Como

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el rango de [C* І A*C*] es 2. Por tanto, el sistema es completamente observable. Condiciones para observabilidad completa en el plano s. Las condiciones para observabilidad completa también se pueden expresar en términos de funciones de transferencia o de transferencia. La condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es ocurra una cancelación en la función de transferencia o en la matriz de transferencia. Si ocurre una cancelación, el modo cancelado no se puede observar en la salida. EJEMPLO 11.15. Demuestre que el siguiente sistema no es completamente observable.

Tome en cuenta que la función de control u no afecta a la observabilidad completa del sistema. Para examinar la observabilidad completa, simplemente se hace u = 0. Para este sistema, se tiene que

Considere que

Por tanto, el rango de la matriz [C* І A*C* І (A*)2 C*] es menor que 3. Así, el sistema no es completamente observable. De hecho, en la función de transferencia del sistema ocurre una cancelación. La función de transferencia entre X1(s) y U(s) es

y la función de transferencia entre Y(s) y X1(s) es

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Por tanto, la función de transferencia entre la salida Y(s) y la entrada U(s) es

Es evidente que los dos factores (s + 1) se cancelan uno al otro. Esto significa que no hay condiciones iniciales x(0) diferentes de cero que no se determinen a partir de la medición de y(t). Comentarios. La función de transferencia no presenta cancelación si y sólo si el sistema es de estado completamente controlable y es completamente observable. Esto significa que la función de transferencia cancelada no transporta toda la información que caracteriza al sistema dinámico. Forma alternativa de la condición para observabilidad completa. Sea el sistema descrito por las Ecuaciones (11.63) y (11.64), vuelto a escribir como

Supóngase que la matriz de transformación P transforma A en una matriz diagonal, o

donde D es una matriz diagonal. Si se define

de esta forma, las Ecuaciones (11.66) y (11.67) pueden escribirse

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o bien

El sistema es completamente observable si ninguna de las columnas de la matriz CP m formada sólo por elementos cero. Esto se debe a que, si la í-ésima columna de CP está formada sólo por elementos cero, la variable de estado zi(0) no aparecerá en la ecuación de salida y por tal razón, no puede determinarse a partir de la observación de y(r). En este caso, x(0 . relaciona con z(0) mediante la matriz P no singular, no puede determinarse. (Recuérdese que esta prueba sólo se aplica si la matriz P-1 AP está en forma diagonal.) Si la matriz A no se transforma en una matriz diagonal, mediante una matriz de transformación adecuada S, se puede transformar A en su forma canónica de Jordán, o

donde J está en la forma canónica de Jordán. Se define

En este caso, las Ecuaciones (11.66) y (11.67) pueden escribirse

El sistema es completamente observable si (1) no hay dos bloques de Jordán en J asociados con los mismos valores propios, (2) no hay columnas de CS que correspondan a la primer cada bloque de Jordán que estén formadas por elementos

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cero y (3) no hay columnas de correspondan a valores propios distintos que estén formadas por elementos cero. Para aclarar la condición (2), en el Ejemplo 11.16 hemos enlazado mediante trazos discontinuos las columnas de CS que corresponden a la primera fila de cada bloque de Jordán

EJEMPLO 11.16. Los sistemas siguientes son completamente observables.

Principio de dualidad. A continuación se analiza la relación entre controlabilidad y observabilidad. Se introducirá el principio de dualidad, debido a Kalman, para aclarar las analogías evidentes entre controlabilidad y observabilidad.

Sea el sistema S1 descrito mediante

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donde x = vector de estado (vector de dimensión n) u = vector de control (vector de dimensión r) y = vector de salida (vector de dimensión m) A = matriz n x n B = matriz n x r C = matriz m x n y el sistema dual S2 definido mediante

donde z = vector de estado (vector de dimensión n) v = vector de control (vector de dimensión m) n = vector de salida (vector de dimensión r) A* = transpuesta conjugada de A B* = transpuesta conjugada de B C* = transpuesta conjugada de C El principio de dualidad plantea que el sistema S1, es de estado completamente controlable (observable) si y sólo si el sistema S2 es de estado completamente observable (controlable). Para verificar este principio, se escriben las condiciones necesarias y suficientes para controlabilidad completa del estado y observabilidad completa de los sistemas

5, y S2-

Para el sistema S1: 1. Una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del estado es que el rango de la matriz n x nr

Sea n

2. Una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que el rango de la matriz n x nm

sea n. Para el sistema S2:

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202

1. Una condición necesaria y suficiente para controlabilidad completa del

estado es que el rango de la matriz n x nm

sea n. 2. Una condición necesaria y suficiente para observabilidad completa es que el rango de la matriz de n x nr

Sea n Si se comparan estas condiciones, la verdad de este principio es evidente. A partir de él. servabilidad de un sistema determinado se verifica probando la controlabilidad del esta dual. Detectabilidad. Para un sistema parcialmente observable, si los modos no observables son estables y los modos observables son inestables, se dice que es detectable. Obsérvese que el concepto de detectabilidad es dual al concepto de estabilizabilidad.

Gramiano de observabilidad.

Si la matriz A es Hurwitz, la integral W0 (t )

de (3.5) converge para t = 1 . En ese

caso notamos simplemente W0 (t ) W0 y se llama gramiano de observabilidad. Si

el par (A, C) es observable, entonces la matriz de observabilidad

es de rango n. Esta condición, si la matriz A es Hurwitz, garantiza que W0 es la

única solución, y positiva definida, de la ecuación

Las funciones MATLAB Ob=obsv(A,C) y Wo=gram(A’,C’)’ calculan respectivamente la

matriz de observabilidad O y el gramiano de observabilidad W0 . Chequeando el

rango de O o W0 determinamos si un sistema es observable.

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203

Descomposiciones Canónicas.

En esta sección presentamos formas canónicas de las ecuaciones de estado que descomponen al sistema en sus partes controlables y no controlables y observables y no observables. Estas descomposiciones permiten establecer la relación entre controlabilidad y observabilidad y función transferencia, generalizando las observaciones que hiciéramos en el Ejemplo 3.6. Estas descomposiciones muestran también cuándo una realización en espacio de estados es mínima. Consideramos el sistema lineal y estacionario en ecuaciones de estado

(3.8)

Sea x Px , donde P es una matriz no singular,

P R nxn . Entonces la ecuación de

estados

(3.9)

es equivalente a (3.8). Todas las propiedades de (3.8), incluyendo estabilidad, controlabilidad, y observabilidad, se preservan en (3.9). Además, como es fácil comprobar, tenemos que

El siguiente resultado muestra que si el sistema (3.8) no es completamente controlable, es posible definir un sistema de orden reducido con igual función transferencia (es decir, equivalente a estado cero) y controlable.

Teorema 3.7 (Descomposición controlable / no-controlable). Sea el sistema

(6.26) con matriz de controlabilidad C tal que

Sea la matriz n x n de cambio de coordenadas

donde las primeras n1 columnas son n1 columnas linealmente independientes de la

matriz C, y las restantes columnas se eligen arbitrariamente de forma que P sea no singular.

Entonces la transformación de equivalencia

forma x Px o x P

1 x

lleva (3.8) a la

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204

donde y la ecuación de estados de orden n1

es controlable y tiene la misma función transferencia que (3.8).

Ejemplo 3.7 (Descomposición de un sistema no controlable). Consideremos el sistema de tercer orden

(3.10)

Calculamos el rango de la matriz de controlabilidad del sistema,

por lo que (3.10) no es controlable. Elegimos como matriz de cambio de

coordenadas las primeras dos columnas de C , y la restante la elegimos linealmente independiente a estas dos,

Haciendo x Px

obtenemos el sistema equivalente

y el sistema reducido controlable

(3.11)

El sistema reducido (3.11) tiene la misma matriz transferencia que (3.10),

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205

En forma dual obtenemos la siguiente descomposición del sistema en sus partes observables y no-observables. Teorema 3.8 (Descomposición observable/no-observable). Sea el sistema

(3.8) con matriz de observabilidad O tal que

Sea la matriz n x n de cambio de coordenadas

donde las primeras n2 filas son n2 filas linealmente independientes de la matriz O , y las restantes filas se eligen arbitrariamente de forma que P sea no singular. Entonces la transformación de equivalencia (3.8) a la forma

(3.12)

donde y la ecuación de estados de orden n2

(3.13)

observable y tiene la misma función transferencia que (3.8). En la transformación

x Px el espacio de estados de orden n se divide en dos subespacios. El

subespacio observable, de orden n2 , consiste de todos los vectores de la forma

el otro subespacio, de orden n n2 , es el subsepacio inobservable, que consiste

de todos los vectores de la forma

El estado

x puede detectarse desde la salida, pero no así el x 0

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206

,

como puede verse en (3.12). Eliminando los estados inobservables obtenemos el

sistema (3.13) de orden n2 , que es equivalente a estado cero al original (tiene la

misma función transferencia). Teorema 3.9 (Descomposición de Kalman). Toda ecuación en variable de estados (3.8) puede llevarse, mediante una transformación de equivalencia, a la forma canónica

Además, la ecuación de estados (3.8) es equivalente a estado cero a la ecuación controlable y observable

y tiene la matriz transferencia (3.14)

Figura 3.6: Descomposición de Kalman Este teorema puede ilustrarse gráficamente como se muestra en la Figura 3.6. La ecuación (3.8) se descompone primero usando el Teorema 3.7 en sus partes controlables y no controlables. Luego descomponemos cada subecuación obtenida usando el Teorema 3.8 en sus partes observables y no observables.

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207

Vemos en la Figura 3.6 que solo la parte controlable y observable del sistema está conectada tanto a las entradas como a las salidas. Esta es la única parte del sistema que determina la matriz transferencia, lo que muestra la razón de por qué la representación en matriz transferencia (externa) no es necesariamente equivalente a la representación en espacio de estados (interna). Los autovalores de

las submatrices no aparecerán como polos de la matriz transferencia. El sistema (3.14), tomado como realización de la matriz transferencia del sistema, es una realización mínima, puesto que no puede obtenerse otra realización de orden menor con la misma matriz tranferencia. Toda realización mínima es controlable y observable y del mismo orden. En MATLAB puede calcularse con la

función minreal. Ejemplo 3.8. Tomemos el circuito de la Figura 3.7. El circuito tiene cuatro almacenadotes de energía, por lo que podemos esperar una realización en ecuaciones de estados de orden . Analicemos primero el sistema desde el punto de vista físico. Dado que la entrada es una fuente de corriente, respuestas debidas

a condiciones iniciales en L1 o C1 no aparecerán a la salida, por lo que las

variables de estado asociadas x1 y x2 serán no observables (no podemos

determinar sus condiciones iniciales a partir de observación de la entrada y la

salida). De la forma similar, la variable de estado asociada a L2 será no

controlable. Debido a la simetría de los resistores de 1Ω en el puente, la variable

de estado asociada al capacitor C2 no será ni controlable ni observable. Como

vemos, la tensión de salida se reduce a y 2 u

u

La función de transferencia

del sistema es entonces una ganancia estática g (s) 1.

Figura 3.7: Circuito no controlable ni observable

Veamos ahora al circuito analizando sus ecuaciones de estado. Asignando las variables de estado como se indicó, el circuito puede describirse por

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208

Puesto que la ecuación ya se encuentra en la forma del teorema 3.7 el sistema puede reducirse a la realización controlable

La salida es independiente de xc ; así la ecuación puede reducirse a

y u

que coincide con lo que ya habríamos visto en el análisis físico del circuito.

Criterio de estabilidad de JURY.

La prueba de estabilidad de Jury es un algoritmo que se aplica directamente sobre los coeficientes de un polinomio, sin tener que resolver las raíces. Dicho polinomio será la ecuación característica P(z) = 0. Esta prueba revela la existencia de cualquier raíz inestable (raíces en el plano z que se presentan fuera del círculo unitario). Sin embargo, no da la localización de las raíces inestables. Se limita a comprobar si las raíces de la ecuación característica P(z) = 0 están dentro del círculo unidad.

Al aplicar la prueba de estabilidad de Jury a una ecuación característica dada P(z) = 0, construimos una tabla cuyos elementos se basan en los coeficientes de P(z). Supongamos que la ecuación característica P(z) es un polinomio en z como el siguiente: .

donde. a0 0

Entonces la tabla de Jury se construye como se muestra a continuación:

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209

Los elementos de la primera fila están formados por los coeficientes en P(z)ordenados en orden de potencias ascendentes de z. Los elementos de la segunda fila son los mismos, pero en orden inverso (potencias descendentes de z). Los elementos de las demás filas se obtienen mediante los siguientes determinantes:

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210

y así sucesivamente hasta llegar a

Nótese que la última fila de la tabla está formada por tres elementos. Para sistemas de segundo orden, 2n-3 = 1 y la tabla de Jury está formada por una sola fila, de tres elementos.

Los elementos de las filas pares son los mismos que los de la fila impar anterior, pero en orden inverso.

Criterio de estabilidad mediante la prueba de Jury.

Un sistema con la ecuación característica P(z) = 0 dada en potencias de z de la forma

donde a > 0, es estable (todas sus raíces dentro del círculo unitario), si todas las condiciones siguientes se satisfacen:

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211

Esta última condición sólo hay que probarla para sistemas de tercer orden o superiores: para un sistema de segundo orden, la tabla de Jury consta de una sola fila.

Lección 4: DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADOS.

Pasos para el diseño en el espacio de estados

Unos de las características atractivas del diseño de control utilizando el método del diseño de espacio de estados es que el mismo consiste en una secuencia independiente de pasos. Dichos pasos son los que describimos a continuación: 1) Diseño de la ley de control: Se supone que se cuenta en todo momento con el valor de cada uno de los estados de la planta a controlar, y se determina la acción de control u (entrada de control a la planta) como una combinación lineal de los estados. Los coeficientes de esa ―retroalimentación de estados‖ lo agrupamos en el vector que denominamos –K (ver figura 1). La determinación de K, para los sistemas controlables –mencionamos algo en el capítulo 6-, está unívocamente ligada a los autovalores del sistema retroalimentado y el problema se reduce en asignar un conjunto de autovalores que correspondan con una performance temporal satisfactoria en términos de tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, sobrepico, etc.

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212

Figura 1. Ley de control por retroalimentación completa de los estados.

2) Construcción del observador: Es muy raro que uno cuente con ―mediciones‖ de todos los estados de la planta, y por lo tanto es habitual no contar los valores de los estados de la planta para realizar la retroalimentación de estados que se mencionó en el paso anterior. Por lo tanto, es necesario construir un estimador o observador (los dos términos se refieren a exactamente a lo mismo), que en todo momento estime los estados de la planta a partir de la acción de control u que se ejerce sobre la planta y la medición y (salida de la planta). Veremos que siempre es posible realizar la construcción de dicho observador si el sistema es observable. 3) Combinación de la ley de control con el estimador: Una vez construído el observador, determinamos la acción de control u, alimentando la ley de control con

los estados estimados de la planta: , envés de utilizar los estados x propiamente dichos (ver figura 2). Cabría preguntarse si la construcción del controlador de éste modo no cambia la posición de los polos del sistema retroalimentado. La respuesta a esta inquietud, es que así construído el controlador, el sistema retroalimentado conserva los polos definidos por la ley de control, con adición de los polos del estimador.

Figura 2. Combinación de la ley de control con el estimador.

4) Entrada de referencia: Con el controlador armado hasta el paso anterior, el sistema planta/controlador funciona correctamente como regulador: para volver al punto de equilibrio a partir de una condición inicial distinta a ese punto de equilibrio, o para el rechazo de perturbaciones. Distinto es el caso de pretender que la salida y del sistema, ―siga‖ la evolución de una señal deseada de referencia r. El problema es cómo introducimos en el esquema anterior (figura 2), dicha señal. La manera más

x

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213

sencilla de realizarla es como se muestra en la figura 3, donde envés de introducir al estimador la señal medida y, se la alimenta con la diferencia entre la referencia y la medición (y-r). Esta forma de introducir la entrada a referencia es semejante a la que se utiliza en control clásico, pero como veremos no es la única manera de introducir la referencia en el sistema, y que hay maneras más convenientes que ésta. De la manera que el sistema ha sido retroalimentado, la posición de los polos de la función transferencia entre la referencia r y la salida y quedan completamente definidos. Veremos que según cómo introduzcamos esta señal de referencia r dentro del controlador, tendremos la capacidad de mover los ceros de la función de transferencia mencionada.

Figura 3. Ejemplo de entrada de referencia.

Ley de control El primer paso en el método de diseño de control en variable de estado como se mencionó anteriormente es encontrar la ley de control de retroalimentación de una combinación lineal de las variables de estado. Esta combinación lineal la podemos expresar como el siguiente producto de vectores:

Ec. [1]

Para la retroalimentación estamos asumiendo que disponemos de todos los elementos del vector de estado. En la práctica esta suposición es completamente poco probable, puesto que si tenemos la capacidad de medir todos los estados (no siempre es el caso ya que pueden existir estados que no se pueden medir), económicamente no tiene sentido, puesto que los sensores son unas de las partes más caras del lazo de control y tener que comprar un sensor para cada una de las variables de estado sabiendo que el problema se puede solucionar con uno solo de los sensores es un encarecimiento innecesario del sistema de control.

n

n

x

x

x

kkkxKu:

.....2

1

21

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214

Como vemos de la ecuación [1], si tenemos un sistema de orden n, el vector de incógnitas K es de n componentes. Por ser un sistema de orden n, también tenemos la capacidad de escoger la posición de n autovalores. Por lo tanto tenemos n grados de libertad (cada una de los componentes del vector K), para determinar las n posiciones de los autovalores del sistema. Sustituyamos la ley de retroalimentación (ec. [1]) dentro de la ecuación de estado del sistema:

Ec. [2]

Y por lo tanto ahora con la retroalimentación de estados el sistema pasa a ser un sistema autónomo, cuya dinámica está regida por los autovalores de la matriz (A-B.K); o sea los lugares del plano s que cumple con siguiente la ecuación característica:

Ec. [3]

Esta ecuación origina un polinomio mónico de grado n. Escogiendo los nuevos autovalores del sistema en s1, s2, … sn, dá origen también a un polinomio mónico de

grado n al cual llamamos c(s):

Ec. [4]

Igualando coeficiente a coeficiente estos dos polinomios (ec. [3] y [4]) obtenemos n ecuaciones, dentro de las cuales están nuestras n incógnitas (los elementos del vector K). De esta manera, resolviendo el sistema de ecuaciones de nxn, podemos obtener el vector de ganancias K de retroalimentación. El trabajo de ubicar las raíces de la ecuación característica lo veremos con mayor detenimiento en un próximo punto, pero generalmente esta tarea requiere de un proceso de iteración del diseñador. Ejemplo:

Pretendemos controlar un oscilador no-amortiguado de frecuencia 0, cuya una de sus representaciones por variable de estado es la siguiente:

Los requerimientos de control exigen colocar los dos autovalores del sistema controlado en una posición amortiguada dos veces más rápida que la frecuencia de

oscilación, o sea en la posición del plano s = -2. 0.

xKBAxKBxAx

0.Idet KBAs

nc sssssss 21

ux

x

x

x

1

0

0

10

2

1

2

02

1

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Veamos primero que efectivamente el sistema es un oscilador no-amortiguado. Para ello hallemos los autovalores de la matriz A que son las raíces de la siguiente ecuación característica:

Cuyas raíces son como esperábamos: s = j. 0. (oscilador no-amortiguado de

frecuencia 0). Por los requerimientos de control queremos que la ecuación característica sea:

La ecuación característica aplicando la retroalimentación de estado es la siguiente:

Igualando coeficiente a coeficiente de ambos polinomios, obtenemos las siguientes dos ecuaciones: por el término en s:

por el término independiente:

Y por lo tanto, el vector K de retroalimentación queda definido como:

Ley de control para sistema de orden mayor La determinación del vector K llega a ser una tarea sencilla en sistema de bajo orden, pero se vuelve una tarea más complicada cuanto mayor es el orden del sistema. Para facilitar esa tarea, resulta conveniente pasar la representación de variables de estado

2

0

2

2

0

2

0

1det

0

10

0

0detIdet s

s

s

s

sAs

2

00

22

0 442 ssssc

21

2

0

212

0

1det

1

0

0

10

0

0detIdet

ksk

skk

s

sKBAs

1

2

02

2Idet kkssKBAs

02 4k

2

01

2

0 4k

0

2

0 43K

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a su forma canónica de controlabilidad. De esta manera el vector de ganancias de retroalimentación K se determina muy fácilmente. Veamos para eso, cómo es la representación de variables de estado en su forma canónica de controlabilidad:

Ec. [5]

Con esta estructura especial que tiene la matriz A, el polinomio de su ecuación característica es:

Ec. [6]

Calculemos en esta forma canónica cómo es la matriz que representa la dinámica del sistema retroalimentado:

Ec. [7]

Que sigue teniendo la misma estructura que la matriz Ac original, y por lo tanto el polinomio de su ecuación característica será por consiguiente:

Ec. [8]

Y si el polinomio característico deseado de los autovalores es:

Ec. [9]

La determinación de los componentes del vector de ganancia K de retroalimentación de estados se hace fácilmente:

0...00

:::

0...10

0...01

...21 n

c

aaa

A

0

:

0

0

1

cB

nc bbbC ...21 0cD

nn

nnn asasasas 1

2

2

1

1

0...00

:::

0...10

0...01

...2211 cnncc

ccc

kakaka

KBA

)()()()( )1(1

2

22

1

11 cnnncn

n

c

n

c

n kaskaskaskas

nn

nnn ssss 1

2

2

1

1

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Ec. [10]

:

Por lo tanto, el procedimiento para determinar el vector K en sistemas de alto orden consistiría en hallar la matriz de transformación de estados T que lleve el sistema original a su forma canónica de controlabilidad. Ya en su nueva representación determinar el vector de retroalimentación Kc en esa representación, y finalmente llevar éste vector a su representación original a través de la matriz de transformación T. Observar que un sistema podemos siempre llevarlo a la forma canónica de controlabilidad si el sistema es controlable, y siempre podemos encontrar el vector de retroalimentación K si podemos llevarla a dicha representación. La inversa también se dá, no podemos hallar el vector de retroalimentación K si el sistema no es controlable (por ende no podemos llevarlo a su representación en la forma canónica de controlabilidad). Éste método de hallar el vector de retroalimentación K se puede sistematizar y reducir a una simple fórmula, conocida como la fórmula de Ackermann, donde el vector de retroalimentación K (en la representación original del sistema) se determina como:

Ec. [11]

donde C es la matriz de controlabilidad que es: y

c(.) es el polinomio característico que define las raíces deseadas de la ley de control, que se evalúa en la matriz A del sistema (notar que para evaluar el polinomio en la matriz, todos los términos del polinomio deben ser matrices de nxn, y por lo tanto el término independiente debe multiplicarse por la matriz identidad de nxn). Cabe también remarcar que esta fórmula siempre puede evaluarse, siempre y cuando la matriz de controlabilidad C sea invertible, y esto será así siempre que el sistema sea controlable.

Ejemplo: Apliquemos la fórmula de Ackermann al problema del último ejemplo. El polinomio característico deseado era:

por lo tanto su evaluación en la matriz A es:

111 akc

222 akc

nncn ak

AK c

110...0 C

BABABAB n )1(2 ...C

2

00

2 44 sssc

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La matriz de controlabilidad es:

Coincide que su inversa es justamente la misma matriz. Y aplicando la fórmula de Ackermann volvemos a obtener nuevamente el vector K de retroalimentación de estados:

Que obviamente coincide con el resultado obtenido anteriormente. Ejemplo: Para el sistema cuya representación de estados es la siguiente:

Buscar el vector de retroalimentación de estados K que cumpla con la siguiente ecuación característica:

Primero, veamos que z0 es un cero del sistema. Para eso busquemos cuánto vale la función de transferencia de u a y:

2

0

3

0

0

2

02

02

0

02

0

2

0 34

43

10

014

0

104

0

10

0

10Ac

01

10

1

0

0

10

1

02

0

BABC

0

2

02

0

3

0

0

2

0 4334

43

01

1010K

012

17A

0

1

zB

01C 0D

22 2 nnc sss

43127

12

17

001

12

117

-Idet

DC

B-Idet

0

2

0

0

ss

zs

ss

zs

s

s

zs

s

As

As

sG

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219

Encontremos ahora cuánto vale la ecuación característica del sistema retroalimentado:

Por lo tanto debe cumplirse que:

Resolviendo este sistema de ecuaciones de 2x2, obtenemos cuánto deben valer cada una de las componentes del vector K de retroalimentación:

De este resultado podemos destacar dos cosas: - Sabemos que cuanto más cercano el cero de la planta (z0) esté de los polos

de la misma (s = -3 ó -4), el sistema será más ―difícil de controlar‖; esto se traduce que las componentes del vector K se hacen cada vez más grande (requiriendo un mayor esfuerzo de la acción de control). En el límite, cuando el sistema no es controlable, las componentes del vector K se hacen infinito.

- Si requerimos también que el sistema actúe con mayor velocidad (que el

tiempo de crecimiento sea más chico y por lo tanto que el n sea más grande), vemos que exigen también que las componentes del vector K sean más grande (en valor absoluto), y por lo tanto exigiendo también un mayor esfuerzo en la acción de control.

Elección de la ubicación de las raíces de la ley de control Por lo que acabamos de ver, el esfuerzo de control está relacionado con lo lejos que se hayan movido los polos originales de la planta, y por lo tanto es una competencia

2010

21

2010

21

12

17

12

17.Idet

kzskz

kks

kzkz

kk

s

sKBAs

11277.Idet 210201201

2 kkzkzkskzksKBAs

10220201

2 121277.Idet kzkkzskzksKBAs

nkzk 27 201

2

10220 12712 nkzkkz

43

72123714

00

2

0

1zz

zk nnn

43

1227

00

2

0

2zz

zk nn

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220

entre una mejor performance de la respuesta dinámica del sistema y un menor esfuerzo de la acción de control requerida.

Además, también tenemos que los ceros originales de la planta atraen a los polos, y por lo tanto se hace difícil apartar un polo de un cero que se encuentre cercano. Pero por otro lado, el comportamiento dinámico debido a un par de polo/cero cercanos se anulan mutuamente. En este sentido, conviene dejar este polo en su ubicación original y tratar de satisfacer los requerimientos de la respuesta dinámica moviendo los polos restantes.

Entonces la filosofía de ubicar los polos de la ley de control consiste en reparar solo los defectos que tienen la respuesta de lazo abierto.

Veremos tres metodologías distintas para elegir la ubicación de los polos de la ley de control, que son:

- Segundo orden dominante. - Diseño de prototipos. - Lugar geométrico de las raíces simétrico.

Segundo orden dominante En este método, se eligen la posición de dos los polos de manera de satisfacer los requerimientos de la respuesta transitoria, como ser tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, sobrepico, etc. El resto de los polos se eligen que se encuentren alejados de éstos en un factor 4 para que no influyan en la respuesta transitoria, tratando de no moverlos demasiado, y tratando además de amortiguarlos.

Si existen ceros en la planta original, como los mismos permancen una vez cerrado el lazo de control, debería buscarse que los polos dominantes sean lo suficientemente lentos como para no ver la influencia de los ceros. En el caso de no ser posible, podría ubicarse uno de los polos restantes en la cercanía de ese cero para acotar su influencia sobre la respuesta transitoria.

Un caso típico de sistemas a controlar, son algunos sistemas mecánicos que poseen modos de alta frecuencia poco amortiguados y un par de modos de cuerpo rígido, que son de baja frecuencia. Para estos tipos de sistemas se busca satisfacer los requerimientos de la respuesta transitoria con los modos de cuerpo rígido, y los

modos vibratorios de alta frecuencia se los deja con la misma frecuencia ( n) pero trasladándolos al eje real para amortiguarlos. Diseño de prototipo En este tipo de método, se ubican las n raíces de la ecuación características en lugares predeterminados según un conjunto de polinomios que satisfacen algún tipo de criterio normalizado con alguna frecuencia típica que requerimos que el sistema tenga. Por ejemplo, Graham y Lathrop (1953) propusieron para plantas de distinto órden, cuál era el polinomio característico que minimizaba un cierto índice conocido como la Integral del Valor Absoluto del Error multiplicado por el tiempo (índice I. T. A. E. – siglas en inglés: Intergral Time Absolute Error) ante la presencia de un escalón a la entrada.

En fórmulas, el índice I.T.A.E. se calcula como:

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221

Ec. [12]

Los polinomios que Graham y Lathrop obtuvieron, fueron los siguientes, donde 0 es la frecuencia de corte que habíamos mencionado:

n Ubicación de los polos según el criterio ITAE

1

2

3

4

5

La respuesta de éstos polinomios dan en general con un sobrepico. Si por los requerimientos de control se necesita que la respuesta no posea sobrepico, entonces, se pueden utilizar los polinomios de Bessel de grado n:

n Ubicación de los polos según polinomios de Bessel

1

2

3

4

Aunque con estos polinomios tenemos la ventaja de eliminar el sobrepico, tenemos la desventaja de que la respuesta se torna algo más lenta en comparación con los polinomios según el criterio ITAE. Observaciones respecto a ésta metodología: la frecuencia que se utilice para definir los polinomios debe ser semejante a las frecuencias del sistema original (si se elige una frecuencia mucho mayor, esto provocará que el esfuerzo de control sea

dttetI ITAE

0

10

s

7.07.00

js

068.1521.07081.000

jss

414.0626.0263.1424.000

js

js

5359.05758.0292.13764.08955.0000

js

jss

10

s

5.0866.00

js

7112.07455.0942.000

jss

2711.09047.08302.06573.000

js

js

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222

demasiado grande). Si el sistema original tiene polos muy alejados en frecuencia, es mejor dejarlos y aumentarles un poco la amortiguación. Lugar geométrico de las raíces simétrico Una técnica muy utilizada en la teoría de control óptimo, es la técnica del regulador cuadrático lineal óptimo (LQR en sus siglas en inglés). Una versión simplificada de dicha teoría que es de fácil aplicación es la siguiente: Planteo del problema: Buscar la ubicación de las raíces del sistema retroalimentado por variable de estado que minimice el siguiente funcional:

Ec. [13]

para el sistema:

Ec. [14]

donde balancea el efecto del error z con la acción de control u. Observar que z no necesariamente es y la salida del sistema. La variable z, debe escogerse como un error que se quiere minimizar en conjunto con la acción de control, y dicho error se puede calcular como una combinación lineal de los estados de la planta. Kailath (1980) demostró que los polos de lazo cerrado que minimizan J son las raíces estables de la ecuación:

Ec. [15]

donde G0(s) es la función de transferencia de la entrada u del sistema al error z, que está definida como:

Ec. [16]

La ecuación [15] es la que define el lugar de las raíces simétrico respecto al eje

imaginario respecto del parámetro variable .

Entonces, para un dado se encuentran la ubicación deseada de las raíces que cumplan con los requerimientos de la respuesta transitoria, y luego, por ejemplo, con Ackermann se determina el vector de ganancias de retralimentación de estados K.

dtuzJ0

22

uBxAx

xCz 1

01 00 sGsG

sU

sZBAsCsG

1

10 I

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223

Ejemplo: Se desea controlar una planta cuya ecuación de estado es la siguiente:

donde el error que se quiere minimizar (en contraposición de la acción de control) es la suma de ambas variables de estado, por lo tanto:

Hallemos entonces la función de transferencia de u a z:

Por lo tanto, el lugar geométrico de las raíces al variar el parámetro está dada por la siguiente ecuación característica:

Y por lo tanto el lugar geométrico de las raíces simétrico se muestra en la figura 4.

Figura 4. Lugar geométrico de las raíces simétrico del ejemplo.

Supongamos que se desea además de la posición de las raíces cumpla un óptimo, también sea lo más rápido posible. Del lugar geométrico vemos que dicha posición es cuando ambas raíces se unen nuevamente en el eje real. Determinemos entonces ese punto, para eso veamos dónde la derivada con respecto a la variable compleaja s de la inversa de la función transferencia se hace nula:

uxa

x1

0

0

102

xz 11

1

0111I

1

2

1

10sa

sBAsCsG

222222

2

0

1

111

1

0

1

11as

s

as

s

as

sa

s

sG

011

12222 as

s

as

s

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224

Y por lo tanto esta derivada se hace cero en s = 0.0, , y . De ellas, la raíz

doble que nos interesa es la posición s = .

Utilizando el criterio de magnitud, podemos determinar el valor de (suponiendo que el

valor de a es: ):

Ahora, el polinomio característico deseado será:

Que debe coincidir con la ecuación característica del sistema retroalimentado:

Igualando coeficiente con coeficiente:

Obteniendo así el vector de retroalimentación K:

ss

as

ds

d

sGsGds

d

11

1222

00

22

22222

11

111122

ss

ssassssas

22

22

2222

22

22

211

2112

11

2as

ss

assasss

ss

ass

a22 a

22 a

10 a

1212

21

22

2

22

2

200 2 aa

aa

sGsGas

2

2

22

2

22

22

22

141

14

12

22

1212

22a

a

a

a

a

aa

a

2222

2 2222 asasassc

21

2212

1det

1

01detIdet

kska

skk

sa

sKBAs

2

12

2 aksks

2

2 22 ak22

1 2 aak

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Lección 5: DISEÑO DEL ESTIMADOR Y REGULADOR Diseño del estimador Normalmente en las plantas dinámicas que deseamos controlar no disponemos a cada instante de tiempo t con todas las variables de estados x para determinar la acción de control u = -K.x. Entonces, ¿cómo realizamos el control? La solución de este problema es mediante la construcción de un estimador (u observador indistintamente). Un observador se encarga en cada instante de tiempo t de ―estimar‖ cuánto valen las variables de estado x en base de la salida de la planta y (medición) y la acción de control efectuada u. El resultado del observador lo llamaremos variable de estado

estimada . Según el estimador determine el vector de variables de estado completo o solo un subconjunto del mismo, el estimador recibe el nombre de observador de orden completo u observador de orden reducido. Veamos a continuación la construcción de un observador de orden completo. Estimador de orden completo Un estimador consiste en realizar una ―simulación‖ del sistema para determinar el

valor de las variables de estado estimadas . Una opción para armar el mismo, utilizando únicamente la información de la acción de control u, es mediante la siguiente ecuación:

[Ec. 17]

ya que las matrices A y B son conocidas (ya que contamos con un modelo de la planta), y la acción de control u también puesto que es lo que nosotros determinamos y enviamos a la planta. El único problema con esto es que no conocemos la condición inicial de la que parte la planta real x(0), y así poner la misma a nuestra simulación. Analicemos con mayor detalle esto. La ecuación de estado de la planta real es:

[Ec. 18]

con condición inicial x(0). Supongamos que nuestra simulación parta de otra

condición inicial que llamamos . Veamos entonces cómo evoluciona el error

, restando la ecuación 18, la ecuación 17, obtenemos que:

[Ec. 19]

2

21 222 akkK

x

x

uBxAx ˆˆ

uBxAx

)0(x

xxx ˆ~

xAxxAuBxAuBxAxxx ~.)ˆ(ˆˆ~

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con condición inicial . Esto es un sistema autónomo, cuya dinámica corresponde a la de los autovalores de la matriz A. Entonces, salvo que fortuitamente las condiciones iniciales del vector de variables de estado coincida con el estimado, el error evolucionará con un error que estará dado por los autovalores de A, o sea la dinámica de la planta a lazo abierto. Si la planta original es inestable, evidentemente esto no funcionará puesto que el error divergirá. Pero, además, siendo la planta original estable, este estimador tampoco tiene sentido, puesto que la ley de control la diseñamos generalmente para que el sistema responda más rápidamente que la planta original, y no podemos alimentar la ley de control con una estimación que tiene una dinámica igual a la de la planta. Entonces, ¿cómo resolvemos el problema? El problema lo resolvemos usando la regla habitual de control: ―cuando tienes un problema, usa retroalimentación‖. ¿y qué es lo que retroalimentamos? Disponemos de una información que no la hemos utilizado hasta el momento que es la información de la salida de la planta y, que comparándola con la salida que daría nuestra simulación lo utilizaremos para retroalimentar el estimador como muestra en línea punteada la siguiente figura:

Figura 5. Esquema del estimador con retroalimentación.

Entonces la ecuación del observador será en este caso:

[Ec. 20]

donde L es un vector columna de n componentes de ganancias proporcionales a determinar. Este vector L se elegirá de manera tal que el error de estimación converja de manera conveniente. Calculemos ahora como converge el error de estimación. Restando a la ecuación 18 de la planta, la ecuación 20, obtenemos:

)0(ˆ)0()0(~ xxx

)ˆ(ˆˆ xCyLuBxAx

)ˆ()ˆ()ˆ(ˆˆ~ xxCLxxAxCyLuBxAuBxAxxx

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[Ec. 21]

Por lo tanto, si no hay error de modelado, el error de estimación convergerá con una dinámica que estará dada por la ecuación característica:

[Ec. 22]

En la práctica, se puede comprobar que aún habiendo pequeños errores en el modelado, se pueden conseguir errores pequeños de estimación dada una adecuada elección del vector L. Por lo tanto, eligiendo la posición de n polos que definirán la dinámica de convergencia del error de estimación, podemos determinar el valor de las n componentes del vector L (es un problema de nxn). El problema es similar al de determinación del vector K para la ley de control. Entonces teniendo la ecuación característica deseada del estimador:

[Ec. 23]

donde i son las ubicaciones deseadas de los polos del estimador. Igualando coeficiente a coeficiente con la ecuación 22 determinamos los valores de los componentes del vector L. En este problema, siempre podemos determinar todos los componentes de L, si el sistema es observable (capacidad que tiene del sistema de observar todos los modos del sistema basándose en la medición y). Recordamos que la planta es observable, si y solo si, la matriz de observabilidad O:

[Ec. 24]

es de rango completo. También podemos aplicar la fórmula de Ackerman para resolver este problema, ya que los autovalores de una matriz son los mismos que los autovalores de la matriz traspuesta. Observando las matrices, en la fórmula de Ackerman hay que reemplazar la matriz A por su traspuesta, la matriz B por la matriz C traspuesta, y el vector K por el vector L traspuesto. Notar que de esta manera, la matriz que hay que invertir es la matriz de observabilidad traspuesta. Ejemplo: Sigamos con el ejemplo del oscilador no-amortiguado, cuya representación por variables de estado volvemos a describir:

xCLAx ~)(~

0))(det( CLAs I

0)(...)()()( 21 ne ssss

)1(

2

:nAC

AC

AC

C

O

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Elijamos como polos del estimador un polo doble en s = -10. 0. Por lo tanto la ecuación característica deseada será:

Y sabemos que la ecuación característica del estimador deberá ser:

Igualando coeficiente a coeficiente, obtenemos el siguiente resultado:

Por lo tanto la ecuación del observador será:

Observar que para la ley de control habíamos ubicado sus polos en s = -2. 0, o sea que duplicamos la frecuencia natural de la planta y pasamos de tener un coeficiente de amortiguamiento igual a 0 (no existe amortiguamiento), a otro con lazo de retroalimentación de estados cuyo coeficiente de amortiguamiento es 1 (completamente amortiguado). Notar que los polos del estimador los ubicamos a una distancia 5 veces mayor que los polos de la ley de control (son polos 5 veces más rápidos). Veremos más adelante que ésta es una buena elección. Estimador de orden reducido Si la salida del sistema es ya una de las variables de estado (si no lo es, se podría realizar una transformación de estado para que esto sí ocurriera), y además esta

ux

x

x

x

1

0

0

10

2

1

2

02

1

2

101

x

xy

2

00

2

00 10020)10()10( sssse

010

10

0

0det)det(

2

1

2

0 l

l

s

sCLAs I

2

021

2

2

2

0

1 1det lsls

sl

ls

01 20l

2

02

2

0

2

02 9920 ll

)ˆ01(99

20

1

0

10ˆ

2

0

0

2

0

xyuxx

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medición no es ruidosa, es completamente innecesario realizar una estimación de dicha variable. Si la señal de medición es ruidosa el observador de orden completo actuaría como filtro de dicha variable. Entonces, en el caso que la medición no es ruidosa es conveniente construir un estimador de dimensión menor que solo estime los estados no medidos. Para eso dividamos el vector de variables de estado en: xa los estados medidos; y xb los estados no-medidos (que son los que deseamos estimar):

Por lo tanto la representación por variables de estado podrá ser escrita como:

[Ec. 25a]

[Ec. 25b]

Entonces la dinámica de las variables de estado no medidas es:

[Ec. 26]

y la dinámica de las variables de estado medidas (si hablamos de sistemas SISO es una sola variable):

[Ec. 27]

Por lo tanto la ecuación 26 juega el papel de las ecuaciones de estado, y la ecuación 27 la ecuación de salida, permitiendo realizar el siguiente paralelismo con el observador de orden completo:

O. orden completo O. orden reducido

x xb

A Abb

B.u Aba.y+Bb.u

y

b

a

x

xx

uB

B

x

x

AA

AA

x

x

b

a

b

a

bbba

abaa

b

a

b

a

x

xy 0I

ENTRADACONOCIDO

bababbbb uBxAxAx

uBxAxAx ababaaaa

bab

SALIDACONOCIDO

aaaaa xAuBxAx

uByAy aaa

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C Aab

Con este paralelismo, armamos la ecuación del estimador:

[Ec. 28]

Definiendo ahora el error de estimación de las variables de estado no-medidas como:

[Ec. 29]

Usando la ecuación 26, 27, 28 y 29, obtenemos cómo es la ecuación de la dinámica de éste error:

[Ec. 30]

Y por lo tanto la ecuación característica que define los polos del estimador será:

[Ec. 31]

Que igualando coeficiente a coeficiente con la ecuación característica deseada determinamos los componentes del vector L. Notar que ahora L será un vector columna de la misma dimensión de xb (llamemos nb), y que el determinante de la ecuación 31 es de una matriz de nbxnb; por lo tanto ahora debemos elegir solamente la posición de nb polos.

La ecuación 28 del estimador puede ser reescrita como:

[Ec. 32]

La presencia de la derivada temporal de la medición representa una dificultad, puesto que a pesar que la señal como digimos previamente no es ruidosa, el poco ruido que tenga por el uso de su derivada se verá amplificado. Entonces, para la implementación de este observador es conveniente utilizar una variable auxiliar

; e integro numéricamente con la siguiente ecuación:

[Ec. 33]

)ˆ()(ˆˆbab

SALIDA

aaa

ENTRADA

bbabbbb xAuByAyLuByAxAx

bbb xxx ˆ~

bbb xxx ˆ~

)ˆ(ˆbabaaabbabbbbababbb xAuByAyLuByAxAuBxAxA

)ˆ(ˆbabbabbabbbbabbb xAxALyAxAyAxA

babbbb xALAx ~)(~

0))(det( abbb ALAs I

yLyALAuBLBxALAx aabaabbabbbb )()(ˆ)(ˆ

yLxx bcˆ

yALAuBLByLxALAx aabaabcabbbc )()()()(

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y determino la estimación como:

[Ec. 34]

Las ecuaciones 33 y 34 son entonces en conjunto las ecuaciones del observador de orden reducido; donde la ecuación 33 juega el papel de la ecuación de estado (con dos entradas: u e y), y la ecuación 34 la ecuación de salida (notar que hay

transmisión directa de y –una de las entradas– a la salida ). Ejemplo: Volviendo al ejemplo del oscilador no-amortiguado, analizando las matrices tenemos que:

La ecuación característica será entonces:

Elijo la ubicación del único polo del estimador en s = -10. 0, por lo tanto la ecuación característica deseada será:

Por lo tanto, de la comparación de ambas ecuaciones determinamos que L = 10. 0. La ecuaciones del estimador serán entonces:

yLxx cbˆ

bx

0

102

0 bbba

abaa

AA

AA

1

0

b

a

B

B

)()0det()det( LsLsALAs abaaI

010)( sse

yALAuBLByLxALAx aabaabcabbbc )()()()(

yuyxx cc )010()0101()10()1100( 0

2

0000

yuyxx cc

2

000 )10(10

uyxx cc

2

00 10110

yLxx cbˆ

yxx cb 010ˆ

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Selección de los polos del estimador Las reglas son similares que las utilizadas para la selección de los polos de la ley de control. Generalmente los polos del estimador se eligen entre 2 a 6 veces más rápidos que los de la ley de control, así los polos de la ley de control quedan dominantes (polos más cercano al origen en el plano s). En caso que la medición sea muy ruidosa, debemos tratar que el vector de ganancias L sea de magnitudes pequeñas (confiar más en el modelo que en la medición), y esto resultará en polos del estimador que son más lentos y por lo tanto influirán más significativamente en la respuesta transitoria del sistema retroalimentado. En este caso, habrá que tomar un compromiso entre la reducción del ruido de la medición y la respuesta transitoria más lenta. Aunque en el estimador no exista el problema de ―demasiado esfuerzo para el actuador‖ (en un principio, en el comienzo de los computadores el límite estaba en la precisión que éstos podían manejar, pero con la máquinas que existen hoy en día ese ya no es un límite), el hacerlo demasiado rápido trae como consecuencia una menor capacidad de filtrado de ruido. El equilibrio entre filtrado de ruido y la rapidez de los polos del estimador se puede optimizar. Supongamos tener un observador de orden completo, cuyas ecuaciones reiteramos acá:

[Ec. 35]

con el cual tratamos de estimar los estados de una planta que posee tanto perturbaciones en el modelo (w), como en la medición (v):

[Ec. 36.a]

[Ec. 36.b]

Como podemos observar de las ecuaciones, cuando tengo un L que es pequeño en magnitud, nos estamos apoyando más en el modelo y B1.w debería ser más pequeño que el ruido de medición v. Haciendo un razonamiento similar, cuando tengo un L grande, nos estamos apoyando más en la medición que en el modelo, y por lo tanto debería tener un ruido en la medición v que sea pequeño, sin importarme mucho cuan grande sea la perturbación en el modelo w. La solución óptima a ésto es el lugar geométrico simétrico de las raíces dado por la ecuación:

[Ec. 37]

donde q es el parámetro que varía en el lugar geométrico de las raíces y que es proporcional a

la relación entre las varianzas (el cuadrado de la desviación standard) del

ruido de medición v y de la perturbación del modelo w: .

)ˆ(ˆˆ xCyLuBxAx

wBuBxAx 1

vxCy

0)()(1 sGsGq ee

w

vq

2

2

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233

Mientras que la función de transferencia Ge(s), es la función de transferencia desde la

perturbación w al ruido de la medición:

[Ec. 38]

En función de cuanto valga la relación de las varianzas de ambas señales ruidosas, es que obtenemos la mejor opción para la ubicación de polos del estimador. Ellas serán las ubicaciones de las raíces estables del lugar geométrico simétrico de las raíces mencionado. Diseño del regulador

Combinemos ahora los resultados de haber diseñado la ley de control y el estimador. Por simplificación vamos a suponer que el observador que fue diseñado sea un estimador de orden completo, pero resultados similares a los que llegaremos se obtienen utilizando un observador de orden reducido. Como se podrá observar, en este caso si la planta original es de orden n, cuando realizamos la retroalimentación de estados con un observador de orden completo, el sistema retroalimentado es un sistema de orden 2.n. Por lo tanto debemos describir al sistema eligiendo ahora 2.n variables de estado. Elijamos como las n primeras variables de estado a las variables de estado de la planta original: x, y las restantes n

variables los errores de estimación: . Empecemos a determinar las ecuaciones de estado del sistema extendido. De las ecuaciones de estado de la planta tenemos:

[Ec. 39]

Por otro lado, del estimador sabemos que el error de estimación responde a la siguiente dinámica:

[Ec. 40]

Y por lo tanto ya tenemos la descripción completa:

[Ec. 41]

Donde ahora este sistema descripto por la ecuación 41 es un sistema autónomo, cuya ecuación característica es:

1

1)()(

)()( BAsC

sW

sVsGe I

xxx ˆ~

)~(ˆ xxKBxAxKBxAx

xKBxKBAx ~)(

xCLAx ~)(~

x

x

CLA

KBKBA

x

x~)(0

)(

~

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234

[Ec. 42]

Y se puede demostrar matemáticamente que dicho determinante es:

[Ec. 43]

Por lo tanto concluímos con algo que esperábamos que sucediera: el sistema retroalimentado tiene como autovalores (como polos), los polos de la ley de control en conjunto con los polos del estimador. Ahora bien, nunca nos preguntamos con la parte que armamos del compensador, cómo era su función de transferencia. Veamos como queda el sistema retroalimentado:

Figura 6. Esquema del sistema retroalimentado con el regulador.

Toda la parte recuadrada en línea punteada es lo que ―armamos‖ para realizar el control, a la cual entra la señal y de medición, y sale determinado cuánto vale la acción de control. Las ecuaciones del compensador serán:

[Ec. 44]

Reacomodando los términos:

[Ec. 45]

0)(0

detCLA

KBK)B(As I

0)()()det()det( ssCLAsKBAs ecII

ˆ

)ˆ(ˆˆ

xKu

xCyLuBxAx

ˆ

ˆ)(ˆ

xKu

yLxCLKBAx

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235

Y por lo tanto la ecuación de transferencia del compensador será:

[Ec. 46]

Que tendrá por polos las raíces de la ecuación característica:

[Ec. 47]

Cuyos valores nunca antes habían sido calculados. Notar que dichas raíces pueden ser inestables, y por lo tanto la función de transferencia del compensador será inestable y esto no puede ser posible porque originaría acciones de control divergentes (que no es deseado puesto que, o alcanzaríamos siempre alguna saturación en la acción de control, o quemaríamos el actuador: por ejemplo un motor). Entonces este cálculo es siempre una cosa a tener en cuenta para verificar el controlador contruído. Queda como ejercicio para el lector el desarrollo de estas cuentas para el caso de un observador de orden reducido. Ejemplo: Sea la planta con la siguiente función de transferencia:

Que en su forma canónica de observabilidad queda representado por variable de estado de la siguiente manera:

Determinamos primeramente el vector K de retroalimentación de estados. Para eso

utilizamos el criterio ITAE, polinomio de tercer orden, con una frecuencia 0 = 2 rad/seg. Esto significa que los polos de la ley de control los ubicamos en s = -1.42, y s = -1.04±2.14j; y la ecuación característica deseada será:

Con el mismo llegamos a obtener el vector de retroalimentación de estados:

LCLKBAsKsGComp

1)()( I

0)det( CLKBAs I

)8()2(

10)(

ssssG

001

10

0

0

000

1016

0110

xy

uxx

04.8615.85.3)( 23 ssssc

65.07615.5411.46K

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236

Realicemos un estimador de orden completo, y utilicemos también el criterio ITAE

con un 0 = 6 rad/seg. Entonces los polos del estimador estarán en s = -4.25, y s = -3.13±6.41j; y la ecuación característica deseada será:

Y así llegamos al vector de ganancias para el estimador:

Determinemos ahora la función de transferencia del compensador, que resulta en:

Que como vemos tiene un polo inestable, y por lo tanto no es posible implementarlo puesto que generaría una acción de control divergente. Seguimiento a referencia Hasta ahora lo que hemos llegado a realizar del control nos sirve como regulador: mantener la planta en el punto de operación y no moverlo de ese punto. Este regulador también cumple la función de rechazar perturbaciones, esto es, ante el cambio de una entrada no controlada (una perturbación), lograr mantener el sistema en el punto de operación mencionado. El seguimiento a referencia es un problema distinto al de regulación, ya que supone la existencia de una señal de referencia r. El problema de seguimiento de referencia (o de servomecanismo) consiste en que la señal de salida y siga (copie) la evolución temporal de esta señal de referencia r (señal deseada para y). Entonces el problema consiste en ver cómo introducimos en el esquema de control diseñado hasta ahora, la señal de referencia r de modo que y trate de seguirla. Las ecuaciones que hemos desarrollado hasta ahora son las siguientes:

Planta:

[Ec. 48]

Regulador:

26.21649.7751.10)( 23 ssssc

26.216

49.61

51.0

L

)317.8943.2()876.1(

)1.2()432.0(190)()( 1

jss

ssLCLKBAsKsGComp I

xCy

uBxAx

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237

[Ec. 49]

Existen dos maneras evidentes de introducir en el esquema de control la entrada de referencia (que no son las únicas, veremos que existen más). Esas dos formas son las que muestran las siguientes figuras:

Figura 7. CASO A: Compensación en la retroalimentación.

Figura 8. CASO B: Compensación en el lazo directo.

Como se puede observar, ambos esquemas de control presentan los mismos polos de lazo cerrado (haciendo r = 0, ambos esquemas tienen los mismos polos que el regulador), pero no tienen los mismos ceros y por lo tanto la respuesta en el seguimiento de r serán distintos: CASO A: Un escalón en la entrada de referencia en este esquema excita de igual modo el estimador como a la planta, y por lo tanto no habrá un cambio en el error de estimación por la presencia de este escalón en la referencia. Esto significa que la función de transferencia de r a y debe tener ceros que cancelen los polos del estimador, así la respuesta del sistema así retroalimentado y con esta entrada de referencia tendrá como polos solo los polos de la ley de control, o sea las raíces de la

ecuación característica: . CASO B: Un escalón en la entrada de referencia en este esquema excita al estimador (aparece un error de estimación) que se atenúa con la dinámica propia del estimador. Esto significa que las raíces tanto de la ley de control como las del estimador son excitadas en forma conjunta, o sea los polos serán las raíces de la

ecuación característica: .

Es evidente después de este análisis que es más conveniente utilizar el esquema del caso A. Veamos ahora, la forma más general de introducir la señal de referencia r(t) en el regulador es sumando términos proporcionales a las ecuaciones del regulador:

ˆ

ˆ)(ˆ

xKu

yLxCLKGAx

0)det( KBAs I

0)det()det( CLAsKBAs II

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[Ec. 50]

donde M es un vector columna de n componentes (n = es el orden del estimador), y N es un escalar (considerando un sistema SISO).

De esta manera:

No se afecta la estabilidad del sistema retroalimentado porque r(t) es una señal externa (los polos de lazo cerrado son los de la ley de control conjuntamente con los del estimador).

Se afecta la respuesta transitoria. Dependiendo de donde se coloquen los ceros de la función de transferencia de r a y, según los valores de M y N, cambiaremos el comportamiento de la respuesta transitoria de y.

Existen varias posibilidades para elegir los valores de M y N:

1) Que el error de estimación sea independiente de r(t). 2) Que el control esté basado directamente en la comparación entre r e y, o

sea esté basado en e = r – y. 3) Máxima libertad para ajustar la respuesta transitoria y estacionaria del

sistema retroalimentado. Para el caso 1: Analicemos cómo es la dinámica del error de estimación:

[Ec. 51]

Por lo tanto, para que los cambios en el error de estimación no sean afectados por la señal r, M deberá ser igual a: M = B.N. De esta manera, la ecuación 50 queda:

[Ec. 52]

Notar que este es el caso A mencionado anteriormente. Observar que si el actuador de la planta posee una saturación, conviene indicar también dicha saturación al estimador, así la saturación no afectará tampoco al error

de estamación . Queda todavía cómo determinar el valor de N, pero esto lo dejamos para más adelante, después de haber visto todos los casos.

ˆ

ˆ)(ˆ

rNxKu

rMyLxCLKBAx

x~

rMyLxCLKBArNxKBxAxxx ˆ)()ˆ(ˆ~

rMrNBxCLAx ~)(~

ˆ

ˆ)(ˆ)(ˆ

rNxKu

uByLxCLArNByLxCLKBAx

x~

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Para el caso 2: Esto es la única alternativa que disponemos cuando no se dispone de las señales r e y por separado, sino que se dispone solamente de la diferencia entre ambos. Ejemplo de ésto es por ejemplo el termostato en el control de temperatura de un ambiente.

En este caso, eligiendo N = 0; y M = -L, conseguimos el objetivo:

[Ec.53]

y como vemos las ecuaciones ahora solo dependen de e = y – r. Notar que éste es el caso B mencionado previamente. Para el caso 3: Para este caso, analicemos previamente que sucede con los ceros de transmisión de r a y, para el caso de no tener estimador. En este caso la acción de control u toma el valor:

u = -K . x + N . r [Ec. 54]

y por lo tanto las ecuaciones que gobiernan el sistema retroalimentado serán:

[Ec. 55]

Los ceros de la transmisión de r a y están dados por aquellos lugares del plano s que cumplen la siguiente ecuación:

[Ec. 56]

Estas raíces son las mismas, si a una columna de la matriz la multiplicamos por una constante y se la sumamos a las otras columnas. Multipliquemos a la última columna por ki/N y sumemos a cada una de las i columnas (i de 1 a n). Entonces las raíces de la ecuación 56 son las mismas que las raíces de la siguiente ecuación:

[Ec. 57]

Por lo tanto los ceros de transmisión de r a y no dependen del valor de K. Además podemos observar que estos ceros son los mismos ceros originales de la planta (son los ceros de u a y). Analicemos ahora el caso de tener un estimador. Los ceros que hay de r a y serán los ceros que hay entre r y u, más los ceros de u a y. Como por el análisis anterior

ˆ0ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

xKrxKu

ryLxCLKBArLyLxCLKBAx

)(

xCy

rNBxKBAx

00

detC

NBKBAs I

00

detC

BAs I

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240

sabemos que los ceros de u a y son los originales de la planta, nos queda por determinar si existe algún otro cero que se agregue en la transmisión de r a u(*). Para analizar esto, plantiemos las ecuaciones del estimador/control:

[Ec. 58]

(*) Otra manera de pensar esto: que exista un cero en la transmisión de r a u significa que para ese modo de excitación en r no tenemos ningún ―movimiento‖ en u, esto implica que como u no se mueve, tampoco se moverá y. Entonces ese modo en r no ―mueve‖ a la señal y y por lo tanto es un cero también de transmisión de r a y (la salvedad está cuando justo coincide con un polo de u a y, que en dicho caso se cancelarían). Veamos entonces los ceros que existen de r a u. Éstos serán las raíces del siguiente determinante:

[Ec. 59]

Conclusión: Tenemos n grados de libertad (n elementos del vector M/N), para asignar la posición de n ceros de transmisión de r a u (y por lo tanto de r a y), que son las

raíces de (s). Consideraciones:

Para la respuesta dinámica, los ceros influyen en forma significativa en la respuesta transitoria a un escalón y por lo tanto generalmente se requerirá que los ceros se encuentren alejados 4 veces más que los polos dominantes del sistema, salvo que se quiera eliminar algún polo (estable) indeseable cancelándolo con uno de estos ceros.

Para la respuesta estática (o estacionaria), existe una relación entre la ubicación de polos y ceros de lazo cerrado con la precisión con que se sigue a una señal de referencia. Ejemplo de ello está la relación de Truxal para sistemas de tipo I, en donde el error de estado estacionario a una rampa es:

[Ec. 60]

donde pi son la posición de los polos de lazo cerrado y zj son los ceros de los polos de lazo cerrado (con sus signos). La demostración de esta fórmula se encuentra descripta en la página 211 del libro de referencia citada en la bibliografía de este capítulo.

ˆ

ˆ)(ˆ

rNxKu

rMyLxCLKBAx

0)(γ)det(s

0det

sKN

MCLKBA

NK

MCLKBAs

I

I

ijv

ssrampapzK

e111

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241

Criterio de cómo utilizar esto: Si existen un par de cero/polo en la cual (pi – zj) es muy pequeño (y por lo tanto la influencia de este par sobre la respuesta transitoria es despreciable), pero además hacemos que (1/pi – 1/zj) sea considerablemente grande, podemos influir bastante en la constante de error estacionario sin afectar la parte transitoria. Se puede comprobar también que para sistema de tipo II, el error de estado estacionario a una parábola vale la siguiente relación:

[Ec. 61]

donde nuevamente las variables que definen la relación tienen el mismo significado que para la ecuación [60]. La demostración de esta fórmula se encuentra descripta aquí.

Observación:

De , tenemos:

a) Para el caso 1: , cuyas raíces son los polos del

estimador. Por lo tanto los ceros de transmisión de r a u se cancelan con los polos del

estimador, confirmando resultados anteriores.

b) Para el caso 2: , y reemplazando en la ecuación 59 tenemos:

[Ec. 62]

Posmultiplicando la última columna por C y sumándole a las n primeras columnas, y

premultiplicando la última fila por B y sumándole a las primeras n filas, obtenemos:

[Ec. 63]

Por lo tanto, mirando esta última ecuación, los ceros que agrega el compensador están fijados por L y K, y no hay manera de ubicarlos en otro lugar (notar que los ceros que quedan son los ceros de haber tomado las ecuaciones originales de la planta, y haber reemplazado el vector columna de entrada B por L y el vector fila de salida C por K).

Resumen: La función de transferencia total de lazo cerrado será:

22

11

2

11

ija

ssparabolapzK

e

0)(γ)det(s sKN

MCLKBAI

0)det()(γ CLAssBN

MI

0, NLM

00

det)(γK

LCLKBAss

I

00

det)(γK

LAss

I

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[Ec.64]

donde b(s) es el polinomio cuyas raíces definen los ceros de la planta (ceros de lazo

abierto, que no se mueven); c(s) y e(s) son las ecuaciones características deseadas que se utilizaron para la ley de control y el estimador respectivamente; y

finalmente (s) son los ceros elegidos por el diseñador de la entrada a referencia.

Elección de la ganancia :

Ahora es el tiempo de determinar la ganancia para los tres métodos de selección de M. El objetivo de esta elección es ajustar la ganancia estacionaria final del sistema entre r e y de manera que la misma sea unitaria .

a) Si elegimos el primer método, por el análisis que hemos hecho los estados estimados estacionarios son iguales a los estados reales estacionarios (puesto que el

error de estimación tiende a cero). Por lo tanto podemos suponer que , y de esta manera evitar complicarme con las cuentas del compensador.

Supongamos que ya en el estacionario, tanto la señal uss como los estados xss sean proporcionales a la señal de entrada r: uss = Nu . r ; xss = Nx . r. Por otro lado sabemos que por las ecuaciones de la planta, en el estacionario debe cumplirse que (ya que de tratarse de un estacionario las derivadas temporales deben ser nulas):

[Ec. 65]

Como en el estacionario queremos lograr que yss = rss, tenemos el siguiente conjunto de ecuaciones para determinar Nx y Nu:

[Ec. 66]

Eliminando rss de las ecuaciones, y reescribiendo en forma matricial:

[Ec. 67]

Premultiplicando por la inversa de la primera matriz:

[Ec. 68]

Obtenidos Nx y Nu, calculamos como: ; puesto que u es:

)()(

)()(γ)(

c

*

ss

sbsKsG

e

N

N

ssss xx

ssssss

ssss

uDxCy

uBxA0

ssussss

ssuss

rNDrCr

rNBrA

x

x

N

N0

1

0

uNDC

BA xN

1

10

DC

BA

Nu

xN

N xNKuNN

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243

[Ec. 69]

b) Si elegimos el segundo método, el resultado es trivial; ya que debe ser = 0.

c) Si elegimos el tercer método, elegimos de manera tal que la ganancia total a lazo cerrado sea unitaria (como en el primer método). Las ecuaciones de todo el sistema son:

[Ec. 70]

donde es el valor obtenido por el método 3 de . El sistema entonces tendrá una ganancia estacionaria de lazo cerrado igual a la unidad si se cumple que:

[Ec. 71]

Resolviendo esta ecuación 71, obtenemos el valor de como:

[Ec. 72]

Los análisis hechos en esta sección fueron realizados utilizando un observador de orden completo, queda para el lector realizarlos para un estimador de orden reducido.

Ejemplo: Tenemos el servomecanismo cuya función de transferencia es:

que puede ser representado por el siguiente conjunto de ecuaciones de estado:

rNxKrNKNxKrNxKrNu xuxuˆ)(ˆ)ˆ(

N

N

x

xCy

rNMB

B

x

x

CLA

KBKBA

x

x

~0

~0~

M NM

10

0

1

NMB

B

CLA

KBKBAC

N

)()(1)(

111 MBCLAKBKBAC

N

)1(

1)(

sssH

uxx

xx

22

21

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Se puede comprobar que con el vector K = [8 3] se obtiene la siguiente ecuación

característica deseada para la ley de control: . Por requerimientos de control se pretende que la respuesta estacionaria a una rampa sea inferior al 10 % (por lo tanto Kv debe ser mayor o igual a 10), pero ahora tiene un Kv = 2. Esto lo podemos verificar aplicando la fórmula de Truxal, teniendo en cuenta que la planta no tiene ceros, y que con la retroalimentación los polos de lazo cerrado están en s = -2 ± 2.j:

Con los dos primeros métodos no puedo manejar el Kv, en la primera porque los ceros justos se agregan para cancelar los polos del estimador y por lo tanto el Kv quedaría con el mismo valor de 2; en el segundo se agregan ceros (además de los polos del estimador) pero no tengo grados de libertad para elegir Kv y sería mucha casualidad que el mismo diera mayor que 10 (el lector podría realizar los cálculos para determinar cuánto daría en este caso el Kv). Por lo tanto me queda el tercer método para manejar el Kv. Elegimos colocar un estimador de orden reducido (agregando por lo tanto un solo polo), y seleccionamos la ubicación de ese polo (p3) en s = -0.1. Notar que estamos haciendo lo opuesto a lo que generalmente realizamos para elegir la posición del estimador. La idea ahora es colocar el cero que agrega la entrada de referencia en un lugar muy cercano a éste s = -0.1, de manera que no se afecte la respuesta transitoria pero sí la respuesta estacionaria. Veamos dónde debe colocarse el cero:

Por lo tanto, para que Kv sea 10, el cero debe estar en:

Que como notamos está muy cercano al polo p3, con lo cual la respuesta transitoria no se verá afectada y podemos aumentar el Kv a 10 como era el requerimiento estacionario de control. Entonces se diseña un estimador de orden reducido ubicando el polo del estimador en p3 = -0.1, y se determina el valor de M/N de manera que el cero quede ubicado en -0.962. Luego se determina la ganancia para que la ganancia estacionaria completa sea unitaria. Después de esto, puede comprobarse que la función de transferencia total del sistema es:

4)2()( 2ssc

2

1

8

4

)4(444

2222

22

1

22

11

jj

jj

jjKv

5.101

1.0

1

2

1111111

113211 zzpppzKv

0962.04.10

115.10

10

11

1

zz

)1.0()84(

)0962.0(33.8

)(

)()(

2 sss

s

sR

sYsT

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que posee un Kv = 10 como fue diseñado. También se puede comprobar, que la función de transferencia del compensador así diseñado es equivalente a un compensador tipo adelanto de fase conjuntamente con uno de atraso de fase, que se diseñan en control clásico.

Control Integral En control clásico es habitual el agregar compensadores con integradores puros, de manera que si el sistema está retroalimentado unitariamente, cambia el tipo de sistema por la cantidad de integradores puros que se hayan agregado. Para realizar esta misma práctica en control por variable de estado debemos aumentar la dimensión del estado del sistema. Supongamos que el sistema de la planta original sea:

[Ec. 73]

Entonces definimos una nueva variable de estado xI, cuya derivada sea la salida del sistema original:

[Ec. 74]

y por lo tanto .

Entonces el sistema extendido quedaría expresado del siguiente modo:

[Ec. 75]

Y ahora envés de tener que determinar un vector de retroalimentación de ganancias de n

componentes, tendrá que ser de n+1: ; que se determina en forma

semejante a lo que hacíamos previamente, pero el sistema por resolver será de (n+1)x(n+1).

El esquema de control agregando una entrada de referencia r será el siguiente:

xCy

uBxAx

xCxI

dtyxI

uBx

x

A

C

x

x II0

0

0

x

xKKu

I

I

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246

Figura 9. Esquema del sistema de control con acción integral.

En el caso que no se tenga todas las variables de estado como medición, no existe problema de incorporar un estimador para alimentar al vector K, ya que para KI solo se necesita la medición (quedando un esquema con retroalimentación unitaria).

Ejemplo: Supongamos tener una planta cuya función de transferencia sea:

Queremos que los polos del estimador se encuentren en s = -5 (polos dobles), ya que por la acción integral el sistema pasa a ser de orden 2, entonces la ecuación característica deseada será:

Y el sistema extendido tiene la siguiente forma:

Y resolviendo la ecuación característica de la ley de control para los polos propuestos, el vector de ganancias de retroalimentación es: [KI K] = [ 25 7 ]; y el esquema del sistema de control será:

)3(

1

)(

)()(

ssU

sYsG

2510)5()( 22 ssssc

ux

x

x

x II

1

0

30

10

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247

Figura 10. Esquema resultante del ejercicio del sistema de control con acción integral.

De esta manera, el error de estado estacionario tanto para un escalón en r como en la perturbación w serán nulos. Queda como ejercicio al lector demostrarlo.

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FUENTES DOCUMENTALES

CHI-TSONG, Chen. Linear System Theory And Design. Oxford University Press. New York

(USA).

BOLTON, W. Ingeniería de Control (2001). Alfaomega 2ª. Edición.

KUO Benjamín C. Sistemas Automáticos de Control. Compañía Editorial Continental S.A.

México.

BROGAN, W. L. Modern Control Theory Prentice Hall. New York 1985.

KATSUHICO, Ogata. Ingeniería de Control Moderna (2008). Pearson Prentice. 4ª. Edición.

http://www.ib.cnea.gov.ar/~dsc/capitulo8/Capitulo8.htm