Contraste de la distribución Logística Generalizada en … · 31 114 Ingeniería Ines tigación y...

Ingenieriacutea Investigacioacuten y Tecnologiacutea volumen XIV (nuacutemero1) enero-marzo 2013 113-123 ISSN en traacutemite FI-UNAM

(artiacuteculo arbitrado)

Contraste de la distribucioacuten Logiacutestica Generalizada en 31 registros histoacutericos de eventos maacuteximos anuales

Contrast of Generalized Logistic Distribution in 31 Historical Records of Annual Extreme Events

Informacioacuten del artiacuteculo recibido noviembre de 2011 aceptado junio de 2012

Descriptores

bull distribucioacuten LOGbull momentos Lbull cocientes de momentos Lbull diagrama de cocientes de

momentos Lbull optimizacioacuten numeacuterica

Campos-Aranda DFFacultad de Ingenieriacutea

Universidad Autoacutenoma de San Luis PotosiacuteCorreo campos_arandahotmailcom

Resumen

La distribucioacuten Logiacutestica Generalizada es la maacutes reciente cuya aplicacioacuten ha sido establecida bajo precepto por ello es importante su contraste con las otras dos que le precedieron la LogndashPearson tipo III en USA y la General de Valores Extremos en Inglaterra Se comenzoacute por destacar la importancia en la estimacioacuten de las crecientes de disentildeo de los anaacutelisis probabiliacutesticos y de las distribuciones citadas Para la maacutes reciente se describe con detalle la esti-macioacuten de sus tres paraacutemetros de ajuste por el meacutetodo de momentos L Ade-maacutes se propone su ajuste por minimizacioacuten del error cuadraacutetico medio a traveacutes optimizacioacuten numeacuterica Los resultados de la aplicacioacuten de esta distri-bucioacuten en 31 registros de eventos maacuteximos anuales con base en los dos meacute-todos citados se contrastan con los oacuteptimos obtenidos previamente con los modelos General de Valores Extremos y LogndashPearson tipo III Se concluye que la distribucioacuten Logiacutestica Generalizada (LOG) es una opcioacuten conveniente para registros que muestran grandes cocientes L de curtosis y que en general sus resultados conducen a las predicciones maacutes severas en los periodos de retorno extremos en registros con valores dispersos

Contraste de la distribucioacuten logiacutestica generalizada en 31 registros histoacutericos de eventos maacuteximos anuales

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Introduccioacuten

Las estimaciones fundamentales de los hidroacutelogos es-taacuten relacionadas con el escurrimiento en dos escalas de tiempo la mensual y la instantaacutenea En el primer caso se buscan los voluacutemenes escurridos disponibles para el disentildeo hidroloacutegico de embalses de aprovechamiento En el segundo caso se intenta obtener las crecientes que generan la cuenca estudiada asociadas eacutestas a diversas probabilidades de excedencia cuyo reciacuteproco es el pe-riodo de retorno o intervalo promedio de recurrencia en antildeos Las crecientes son baacutesicas en el disentildeo y la re-visioacuten hidroloacutegica de todo tipo de obras hidraacuteulicas de proteccioacuten como son presas diques rectificaciones y encauzamientos ademaacutes permiten el dimensionamien-to de las obras de cruce (alcantarillas y puentes)

La estimacioacuten de crecientes de disentildeo maacutes confiable es la que estaacute basada en los registros de gastos maacuteximos anuales existiendo actualmente dos enfoques de proce-samiento el local y el regional El tratamiento local de los datos disponibles se aplica donde el registro es am-plio (gt 50 antildeos) si es menor pero cuenta con maacutes de 25 antildeos los resultados de procesamiento local se deben ratificar mediante comparacioacuten con cuencas vecinas (WRC 1977) Cuando el registro tiene menos de 25 antildeos las estimaciones de crecientes deben estar basadas en el enfoque regional

La estimacioacuten probabiliacutestica de crecientes ha evolu-cionado desde sus inicios en 1930 y 1941 con los estu-dios de Hazen y Gumbel (Maidment 1993) hasta el uso de modelos probabiliacutesticos fiacutesicamente basados Una etapa importante acontecioacute a mediados de los antildeos se-senta cuando el Subcomiteacute de Hidrologiacutea del US Water

Resources Council contrastoacute seis distribuciones co-muacutenmente empleadas en esa eacutepoca y concluyoacute que el modelo LogndashPearson tipo III (LP3) era el maacutes conve-niente y lo recomendoacute para uso general en las agencias de gobierno (Ponce 1989) En un estudio similar en In-glaterra se determinoacute que las distribuciones de tres pa-raacutemetros de ajuste (General de Valores Extremos Pearson tipo III y LP3) conduciacutean a mejores ajustes que los modelos de dos paraacutemetros (NERC 1975)

La propuesta de uso generalizado de la distribu-cioacuten general de valores extremos (GVE) incluye como caso especial a la distribucioacuten Gumbel la cual ya era conocida y utilizada ademaacutes define a los modelos LogndashGumbel y Weibull que son curvas en el papel de probabilidad GumbelndashPowell el primero con concavi-dad hacia arriba y el segundo hacia abajo La nueva versioacuten del Flood Studies Report (NERC 1975) se lla-ma Flood Estimation Handbook y recomienda para los anaacutelisis de frecuencia de crecientes a la distribu-cioacuten Logiacutestica Generalizada ajustada mediante el meacute-todo de los momentos L que es maacutes confiable y consistente en registros sesgados (Mansell 2003 Shaw et al 2011)

Ya se han realizado contrastes de las distribuciones GVE y LP3 (Campos 2001 y 2002a b) en 31 registros histoacutericos de eventos maacuteximos anuales con amplitudes variando de 16 a 113 antildeos Por tanto el objetivo de este estudio fue aplicar la distribucioacuten Logiacutestica Generalizada (LOG) a tales registros histoacutericos mediante dos meacuteto-dos de ajuste el de momentos L y el de optimizacioacuten numeacuterica y confrontar sus resultados con los oacuteptimos obtenidos para los modelos citados finalmente formu-lar conclusiones relativas a esta uacuteltima distribucioacuten

Abstract

The Generalized Logistic distribution is the most recent whose application has been established as precept Thus comparing it with the other two that preceded it the LogndashPearson type III in USA and the General Extreme Values in England is of high importance In this work the relevance of probabilistic analysis and the above men-tioned distributions in design flood estimation is pointed out For the most recent a fitting method of Lndashmoments is described in detail for the estimation of its three pa-rameters also a fitting by minimizing the quadratic mean error through numerical optimization is proposed The results of the application of this distribution to 31 re-cords using both cited methods are compared with the optimal ones obtained using the General Extreme Values and LogndashPearson type III models It is concluded that the Generalized Logistic distribution is a good choice for records with high Lndashkurto-sis quotients and its predictions in general are more extreme in high return periods when applied to records with outliers

Keywords

bull GLO distributionbull Lndashmomentsbull Lndashmoment ratiosbull Lndashmoment ratios diagrambull numerical optimization

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Campos-Aranda DF

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Desarrollo

Momentos y cocientes L muestrales

Son un sistema alternativo para describir las formas de las funciones de distribucioacuten de probabilidades (FDP) His-toacutericamente aparecen como modificaciones de los mo-mentos de probabilidad pesada (MPP) desarrollados por Greenwood et al (1979) Los momentos L son combina-ciones lineales de los MPP de manera que (Hosking y Wallis 1997)

λ1 = β0 (1)

λ2 = 2∙β1 ndash β0 (2)

λ3 = 6∙β2 ndash 6∙β1 + β0 (3)

λ4 = 20∙β3 ndash 30∙β2 + 12∙β1 ndash β0 (4)

Ademaacutes se definen los cocientes (τ) de momentos L co-menzando con LndashCv que es anaacutelogo al coeficiente de variacioacuten y despueacutes los de similitud con los coeficientes de asimetriacutea (Cs) y de curtosis (Ck)

τ 2= λ2λ1 (5)

τ 3 = λ3λ2 (6)

τ 4 = λ4λ2 (7)

En una muestra de tamantildeo n con sus elementos arre-glados en orden ascendente (x1 le x2 le le xn) los estima-dores insesgados de βr son

sum=

=n

jjx

nb

10

1 (8)

(9)

(10)

(11)

Los estimadores muestrales de λr seraacuten lr estando defi-nidos por las ecuaciones 1 a 4 y los de los cocientes se-raacuten t2 t3 y t4 seguacuten las ecuaciones 5 a 7

Diagrama de momentos L

Hosking y Wallis (1997) establecieron la relacioacuten que guardan los cocientes de momentos L de asimetriacutea y curtosis en cinco distribuciones de probabilidad (figura 1) logiacutestica generalizada (LOG) general de valores extremos (GVE) LogndashNormal de 3 paraacutemetros (LN3) Pearson tipo III (PT3) y pareto generalizada (PAG)

Figura 1 Ubicacioacuten de los 31 registros histoacutericos procesados en el diagrama de cocientes de momentos L

( )( ) j

n

j

xnj

nb sum

= minusminus

=2

1 111

( ) ( )( ) ( )sum

= minussdotminusminussdotminus

=n

jjx

nnjj

nb

32 21

211

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sum

= minussdotminussdotminusminussdotminussdotminus

=n

jjx

nnnjjj

nb

43 321

3211



Nuacutemero de registro y nombre del riacuteo n l1 l2 t2 t3 t4

1 Ejemplo 6ndash3 Tabla 62 16 1704375 455875 026747 017662 0116782 Riacuteo Nackawic en 01AK007 Canadaacute 21 55824 12880 023073 023555 0091423 Riacuteo Maury en Lexington Virginia USA 26 328638 101761 030965 037397 0294724 Riacuteo Ouse en Skelton Inglaterra 28 351250 51718 014724 025466 0221515 Riacuteo Tana en Garissa Kenia 31 838999 304141 036250 036151 0209236 Riacuteo Irwell en Adelphi Weir Inglaterra 31 231670 50173 021657 008024 0168337 Riacuteo Cypress Creek en Houston Texas USA 31 117343 49061 041810 026479 0223658 Riacuteo Nidd en Hunsingore Inglaterra 35 136663 33434 024465 025348 0092619 Riacuteo Valles en Santa Rosa SLP Meacutexico 36 789445 326194 041319 028267 013124

10 Riacuteo Floyd en James Iowa USA 39 191736 115072 060016 059523 04493711 Riacuteo Sinaloa en Jaina Sinaloa Meacutexico 40 1125975 449852 039952 049668 03540412 Riacuteo Guadalupe en Victoria Texas USA 44 800979 385172 048088 039767 02113913 Riacuteo Manawatu Nueva Zelanda 45 1734244 436824 025188 020775 01606814 Riacuteo Saskatchewan en Edmonton Canadaacute 47 49996 14933 029869 038044 02449815 Riacuteo Santiago en Carrizal Nayarit Meacutexico 50 2699780 722653 026767 030074 01909916 Riacuteo Bow en Banff Alberta Canadaacute 53 221945 34423 015510 009604 00986617 Riacuteo Fuerte en Huites Sinaloa Meacutexico 53 3176434 1453917 045772 050858 03194618 Riacuteo Clearwater en Kamiah Idaho USA 55 1556600 262540 016866 010948 01051319 Riacuteo San Rodrigo en Cerca del Moral

Coahuila Meacutexico 55 327800 223791 068271 058924 037464

20 Riacuteo Tennessee en Chattanooga USA 57 208560 33051 015847 005494 010148

21 Riacuteo Waimakariri en Old Bridge Nueva Zelanda 57 1490702 361034 024219 033790 020694

22 Riacuteo Piscataquis en DoverndashFoxcroft Maine USA 58 244086 63197 025891 023256 018047

23 Riacuteo St Marys en Stillwater Nueva Escocia Canadaacute 59 409578 78535 019175 020427 01919124 Riacuteo Kentucky en Salvisa USA 66 1911642 339965 017784 001024 00936125 Riacuteo San Juan en El Cuchillo Nuevo Leoacuten Meacutexico 67 1139560 651000 057127 051895 03270326 Riacuteo Harricana en Amos Queacutebec Canadaacute 69 191317 26121 013653 014525 01930627 Riacuteo Taacutemesis en Teddington Inglaterra 85 319529 66927 020945 019039 01734728 Riacuteo Taacutemesis en Kingston Inglaterra 113 324487 64349 019831 015436 016966

29 Riacuteo Tampaoacuten en Tamuiacuten (niveles m) SLP Meacutexico 21 21689 1376 006346 ndash015284 009797

30 Precipitacioacuten maacutexima anual (mm) en Baver Suiza 70 47486 7210 015183 012331 01518531 Vel maacutexima de viento (kmh) en

Shieffield Inglaterra 72 66260 8961 013524 014060 007917

Cuadro 1 Momentos y cocientes de momentos L de los 31 registros histoacutericos procesados

Registros procesados

Las referencias de procedencia de los 31 registros histoacute-ricos que se usaraacuten se pueden consultar en Campos (2001 2002a b) asiacute como sus paraacutemetros estadiacutesticos insesgados En cambio en el cuadro 1 se presentan los valores de sus momentos y cocientes L seguacuten las ecua-ciones 1 a 7 Los valores de los cocientes τ3 y τ4 de cada registro se llevaron al diagrama de momentos L para dibujar puntos que por su cercaniacutea a una cierta curva definen la distribucioacuten de probabilidades maacutes conve-niente (figura 1)

Estos resultados estaacuten en la columna 2 del cuadro 2 y loacutegicamente soacutelo pueden ser los modelos LOG GVE LN3 PT3 y PAG Ademaacutes se observa que uacutenica-mente los registros nuacutemeros 3 4 6 7 10 23 26 y 28 se aproximan a la curva de la distribucioacuten LOG y que los registros nuacutemeros 2 8 9 y 31 son los maacutes alejados de ella

La distribucioacuten LOG se aplicaraacute a los 31 registros procesados pero en el anaacutelisis de resultados se revisaraacute con mayor acuciosidad estos dos grupos de registros

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Ajuste de la distribucioacuten Logiacutestica Generalizada mediante momentos L

Este modelo probabiliacutestico tiene tres paraacutemetros ξ (ubicacioacuten) α (escala) y k (forma) La variable x fluc-tuacutea asiacute minus infin lt x le ξ + αk si k gt 0 de minus infin lt x lt infin si k = 0 y de ξ + αk le x lt infin si k lt 0 Incluye como caso especial a la distribucioacuten Logiacutestica cuando k = 0 sus funciones de densidad y de distribucioacuten de probabilidades son (Hos-king y Wallis 1997)

f (x) = (12)

(13)

donde y = minus kminus1sdot log [1-k sdot (x minus ξ)α] cuando k ne 0 (14)

y = (x minus ξ) α cuando k = 0 (15)

Las soluciones inversas son

cuando k ne 0 (16)

cuando k = 0 (17)

donde F es probabilidad de no excedencia Las expre-siones de los paraacutemetros de ajuste son

k = minus t3 (18)

(19)

(20)

Ajuste de la distribucioacuten Logiacutestica Generalizada mediante optimizacioacuten numeacuterica

Las distribuciones general de valores extremos (GVE) y LogndashPearson tipo III (LP3) se ajustaron mediante optimi-zacioacuten numeacuterica para minimizar el error cuadraacutetico me-dio y el error absoluto medio Los resultados muestran (Campos 2001 2002b) similitud en las predicciones al-canzadas con cada enfoque ademaacutes de que se observa una correspondencia numeacuterica entre los valores miacuteni-mos de tales errores que son alcanzados en cada registroDebido a lo anterior se consideroacute suficiente contrastar la distribucioacuten logiacutestica generalizada (LOG) minimizan-

do uacutenicamente el error cuadraacutetico medio usualmente conocido como error estaacutendar de ajuste (EEA) Nueva-mente este proceso se realizoacute con base en el algoritmo de muacuteltiples variables no restringidas de Rosenbrock (Kuester y Mize 1973 Campos 2003) considera como variables a optimizar sus tres paraacutemetros de ajuste al igual que en el modelo GVE cuyos valores iniciales fue-ron los del meacutetodo de momentos L En cambio en la distribucioacuten LP3 tales variables de ajuste corresponden a los estadiacutesticos logariacutetmicos media desviacioacuten estaacuten-dar y coeficiente de asimetriacutea corregido es decir Ym Sy y gc (Campos 2002b)

Resultados y discusioacuten

Resumen de resultados

En el cuadro 2 para cada registro procesado hay seis renglones de resultados los dos primeros proceden de Campos (2001) y corresponden a los paraacutemetros de ajuste (u α k) EEA y predicciones con periodos de re-torno 10 25 50 100 500 1 000 y 10 000 antildeos obtenidas con la distribucioacuten GVE con uno de los cuatro meacutetodos de ajuste el que condujo al EEA miacutenimo y con el ajuste mediante optimizacioacuten numeacuterica (OPN) indicando en la columna 8 del cuadro 2 los nuacutemeros de etapas y evalua-ciones de la funcioacuten objetivo (EEA) realizadas en la co-lumna 3 se indica el meacutetodo de ajuste (MA) momentos L (MOL) optimizacioacuten numeacuterica (OPN) maacutexima verosimili-tud (MMV) sextiles (SEX) momentos en el dominio logariacutet-mico (MML) mezcla de momentos (MMM) maacutexima entropiacutea (MME) y promedios diversos (MPD) Los siete periodos de retorno citados cubren los diversos dimen-sionamientos yo revisiones hidroloacutegicas de las obras hidraacuteulicas

De manera similar en los renglones 3 y 4 de cada re-gistro se presentan ideacutenticos resultados para la distribu-cioacuten LP3 pero utilizando alguno de sus seis meacutetodos de ajuste y el de OPN Finalmente en los renglones 5 y 6 de cada registro estaacuten los resultados de la distribucioacuten LOG en este caso ajustada mediante el meacutetodo de momentos L (ecuaciones 16 a 20) y de OPNEl algoritmo de OPN uacutenicamente falloacute en los registros 19 25 y 31 al ajustar la distribucioacuten LOG lo cual se corri-gioacute limitando el nuacutemero de etapas permitido a la uacuteltima en que se teniacutean resultados consistentes

Anaacutelisis global de resultados

En el cuadro 2 se presenta un contraste global de los re-sultados obtenidos para los tres modelos probabiliacutesticos probados (GVE LP3 y LOG) concluyeacutendose

(1 )1

2( )(1 )

k y

y

eF xe

minus minusminus

minus

α sdot=

+

1( )(1 )yF x

eminus=

+

(1 )( ) 1k

Fx Fk F

α minus = ξ + minus

(1 )( ) Fx F logF

minus = ξ minus α sdot

( )2 sen πα

πl k

ksdot sdot

=sdot

11

sen( )l

k k π

ξ = minus α minus πsdot



1) En todos los casos con el meacutetodo de optimizacioacuten nu-meacuterica (OPN) el EEA es reducido maacutes allaacute del miacuteni-mo obtenido con los procedimientos estadiacutesticos

2) Las tres distribuciones conducen a valores del EEA del mismo orden de magnitud ya sea a traveacutes de los meacutetodos estadiacutesticos o con el de OPN

3) Lo mismo se puede decir para sus paraacutemetros de ajuste los cuales no cambian radicalmente con el meacutetodo de ajuste

4) Respecto a las predicciones en general sus magnitu-des son bastante coincidentes en periodos de retorno bajos (lt 50 antildeos) incluso en ciertos registros hasta los periodos de retorno elevados (gt1000 antildeos) tal es el caso de los registros 2 6 9 16 18 20 22 26 27 28 y 31

5) En registros que presentan valores extremos disper-sos (outliers) sus predicciones en los periodos de retorno altos (gt 1000 antildeos) variacutean notablemente como en los registros 10 11 12 17 y 25

Las observaciones globales del cuadro 2 destacan que la distribucioacuten LP3 es mucho menos flexible en la buacutesqueda del EEA miacutenimo a traveacutes del meacutetodo de OPN como se muestra por la similitud entre sus predicciones en los pe-riodos de retorno de 1000 y 10000 antildeos las cuales casi siempre resultaron similares con el meacutetodo estadiacutestico y el de OPN Lo contrario ocurre con las distribuciones GVE y LOG las cuales casi siempre conducen a predic-ciones bastante dispersas en los periodos de retorno cita-dos con el meacutetodo estadiacutestico de ajuste y con la OPN

Anaacutelisis especiacutefico de resultados

Para los ocho registros donde es recomendable la distri-bucioacuten LOG se observa (cuadro 2) que sus EEA miacuteni-mos son plenamente coincidentes con los de los modelos GVE y LP3 Tambieacuten son similares las predic-

ciones de los tres modelos en los periodos de retorno reducidos pero en general resultan superiores las de la distribucioacuten LOG en relacioacuten con las otras dos en los periodos de retorno de 1 000 y 10 000 antildeos Cuando el modelo LOG no es el maacutes conveniente por ejemplo en los registros 2 8 9 y 31 sus EEA miacutenimos son mayores que los obtenidos con las distribuciones GVE y LP3 y tambieacuten sus predicciones resultan superiores en los pe-riodos de retorno elevados

Conclusiones

La aplicacioacuten de las tres distribuciones de probabilidad contrastadas (general de valores extremos LogndashPearson tipo III y logiacutestica generalizada) es recomendable en los anaacutelisis probabiliacutesticos de crecientes y de otros datos hidroloacutegicos extremos debido a la consistencia o simi-litud numeacuterica que presentan todas sus predicciones en los periodos de retorno reducidos (lt 50 antildeos) sin im-portar el meacutetodo de ajuste La distribucioacuten logiacutestica ge-neralizada ofrece una opcioacuten probabiliacutestica adecuada o conveniente a los registros con valores grandes del co-ciente L de curtosis (τ4) tanto en los anaacutelisis probabiliacutes-ticos locales como regionales En registros que presenten valores extremos dispersos (outliers) la distribucioacuten lo-giacutestica generalizada permitiraacute un ajuste muy bueno a los datos por medio del meacutetodo de optimizacioacuten numeacuterica pero debido a ello sus predicciones en los periodos de retorno elevados seraacuten muy grandes

Anexo

Cuadro 2 Resultados del mejor meacutetodo de ajuste (ltEEA) y de la optimizacioacuten numeacuterica para las distribu-ciones GVE LogndashPearson tipo III y Logiacutestica Generali-zada en los 31 registros histoacutericos procesados

NR DA MAParaacutemetros o variables de ajuste EEA

(m3s)(etapas)Noeval

Periodos de retorno en antildeosu oacute Ym α oacute Sy k oacute gc 10 25 50 100 500 1 000 10 000

1 MOL 1354333 651656 ndash001045 1528 ndash 2838 3474 3950 4425 5538 6022 76541 OPN 1314343 710061 ndash004934 1187 (6) 77 3004 3775 4370 4981 6477 7158 95931 MML 733750 047700 ndash016191 1641 ndash 2805 3448 3927 4406 5532 6026 77151 OPN 733095 054632 ndash005204 1158 (5) 59 3063 3934 4620 5333 7116 7943 109791 PT3 MOL 1573953 432840 ndash017662 1871 ndash 2736 3419 3996 4641 6466 7423 115901 OPN 1585836 495145 ndash022334 1270 (9) 96 2990 3877 4656 5556 8248 9737 167112 MOL 44431 16805 ndash010008 50 ndash 87 108 125 143 189 212 2992 OPN 44284 18678 ndash011427 40 (5) 64 92 116 136 157 213 241 3492 MML 394563 039843 025293 50 ndash 87 107 124 141 184 205 2852 OPN 395179 044325 003372 40 (2) 32 92 114 130 148 190 209 2802 PAG MOL 50968 11736 ndash023555 58 ndash 85 107 126 148 216 255 4372 OPN 51399 13045 ndash029079 43 (3) 29 92 120 146 177 280 341 6603 MOL 228506 102689 ndash029557 738 ndash 557 775 982 1234 2061 2557 51663 OPN 222626 103217 ndash048721 344 (5) 35 645 1017 1429 2003 4384 6142 18836

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Campos-Aranda DF


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121

Campos-Aranda DF


22 MMV 539146 046596 011666 127 ndash 399 498 575 654 850 940 126822 OPN 539286 048836 000813 110 (9) 97 411 518 601 687 902 1001 136522 GVE MOL 220547 57723 ndash023256 167 ndash 386 492 586 695 1025 1209 208622 OPN 220547 63495 ndash023256 135 (1) 9 403 519 623 742 1105 1308 227323 MOL 342811 107694 ndash005301 250 ndash 600 718 810 904 1135 1241 162123 OPN 329147 117360 ndash010033 216 (6) 91 625 772 890 1015 1341 1498 210623 MMM 595790 033555 034764 238 ndash 596 701 779 857 1041 1123 140623 OPN 596422 034782 010830 184 (9) 113 610 725 812 899 1110 1205 154223 LOG MOL 383728 73255 ndash020427 237 ndash 587 712 819 942 1301 1495 237823 OPN 381324 76095 ndash027097 145 (6) 75 610 765 907 1076 1613 1925 350724 MOL 1695071 594815 026634 512 2702 2976 3138 3272 3502 3574 373624 OPN 1687454 607700 025752 487 (5) 56 2725 3012 3183 3326 3571 3649 382724 MPD 750196 034210 ndash078476 546 ndash 2793 3246 3571 3887 4598 4899 589024 OPN 749805 035951 ndash014677 500 (6) 93 2842 3324 3670 4008 4769 5082 615624 PT3 MOL 1905918 339906 ndash001024 656 ndash 2661 3004 3256 3505 4086 4339 518924 OPN 1904117 351197 ndash001525 626 (4) 65 2689 3048 3312 3576 4193 4462 537725 MMV 425699 403393 ndash067640 2862 ndash 2562 5019 8180 13221 39714 63594 30248225 OPN 501829 501411 ndash055541 2063 (7) 92 2749 4934 7484 11219 28068 41450 14994825 MMV 643847 110027 008350 3049 ndash 2562 4315 6046 8191 15158 19208 3880525 OPN 638270 122503 000709 1655 (5) 45 2841 5066 7362 10307 20369 26467 5756225 PAG MOL 653192 398602 ndash051895 4531 ndash 2287 3882 5673 8223 19187 27557 9132625 OPN 720342 460704 ndash057561 2125 (10) 84 2755 4906 7439 11192 28519 42565 16048726 MOL 169825 39034 003898 79 ndash 254 287 311 334 385 406 47226 OPN 172115 40304 002645 77 (12) 131 260 296 322 347 403 427 50226 MMV 522410 024629 013407 76 ndash 255 286 309 331 380 401 47026 OPN 522655 025159 005087 72 (11) 114 257 290 314 338 390 413 48826 LOG MOL 185141 25224 ndash014524 72 ndash 250 287 317 350 440 485 67326 OPN 185141 27746 ndash014524 65 (1) 9 257 297 330 367 465 515 72227 MOL 264123 93736 ndash003176 163 ndash 483 580 654 728 908 988 126727 OPN 260254 92497 ndash009044 135 (20) 184 491 603 693 788 1032 1148 159027 MMV 569544 038280 004381 158 ndash 486 582 654 727 899 976 124427 OPN 570070 038211 004334 140 (11) 108 489 587 662 737 917 998 128527 GVE MOL 298941 63007 ndash019039 151 ndash 471 574 662 762 1048 1201 187927 OPN 298941 69308 ndash019039 129 (1) 9 488 602 699 808 1123 1291 203728 SEX 271602 93018 000843 141 ndash 479 565 629 691 835 896 109628 OPN 268694 94484 ndash003379 118 (7) 71 490 588 663 739 922 1004 129028 MMV 571768 036916 011273 124 ndash 488 582 652 722 888 962 122028 OPN 572233 036126 002357 123 (4) 61 486 577 645 713 874 946 119428 LOG MOL 308338 61857 ndash015437 113 ndash 470 562 638 722 953 1071 156828 OPN 308338 68042 ndash015437 109 (1) 9 486 588 671 764 1018 1148 169429 MOL 21178 2704 057722 0333 ndash 246 251 254 255 257 258 25829 OPN 21157 2935 066494 0252 (4) 46 246 250 252 254 255 255 25629 MML 307058 011604 ndash120543 0420 ndash 244 250 253 255 259 259 26129 OPN 306430 013545 ndash023489 0260 (3) 38 254 269 278 287 305 311 33229 GVE MOL 22031 1324 015284 0444 ndash 245 254 259 264 273 277 28629 OPN 22026 1467 019819 0293 (3) 40 246 255 260 265 273 275 28230 MOL 41793 11095 007426 15 ndash 65 73 79 85 97 102 11630 OPN 41445 11363 003287 13 (10) 98 66 76 83 90 105 112 13230 MMV 382453 027009 014311 14 ndash 65 74 80 86 101 107 12730 OPN 382584 027985 002164 13 (5) 67 66 75 82 88 104 110 13230 GVE MOL 46034 7031 ndash012331 14 ndash 64 73 81 89 112 123 16730 OPN 45908 7343 ndash015104 10 (6) 62 65 76 85 95 122 135 19331 MOL 58959 13476 004642 16 ndash 88 99 107 115 132 139 16031 OPN 59519 12980 002113 17 (3) 29 88 100 108 116 135 143 16831 MML 416632 023395 019732 17 ndash 87 99 107 115 134 142 17031 OPN 416678 024590 001540 15 (3) 61 88 99 107 115 132 139 16231 PAG MOL 64207 8672 ndash014059 23 ndash 87 99 109 120 150 165 22831 OPN 64609 8889 ndash014059 22 (2) 14 88 100 111 122 153 168 232


(m3s)(etapas)Noeval




Simbologiacutea

NR nuacutemero de registro seguacuten cuadro 1 DA distribucioacuten adecuada seguacuten figura 2 PT3 Pearson tipo III PAG Pareto generalizada LOG logiacutestica generalizada GVE general de valores extremos LN3 LogndashNormal de 3 paraacutemetros MA meacutetodo de ajusteMOL meacutetodo de momentos LOPN meacutetodo de optimizacioacuten numeacutericaMMV meacutetodo de maacutexima verosimilitudSEX meacutetodo de sextilesMML meacutetodo de momentos en el dominio logariacutetmicoMMM meacutetodo de mezcla de momentosMME meacutetodo de maacutexima entropiacuteaMPD meacutetodo de promedios diversosu paraacutemetro de ubicacioacutenα paraacutemetro de escalak paraacutemetro de formaYm media logariacutetmicaSy desviacioacuten estaacutendar logariacutetmicagc coef de asimetriacutea logariacutetmico corregidoEEA error estaacutendar de ajuste (m3smmkmh)

Referencias

Campos-Aranda DF Contraste de cinco meacutetodos de ajuste de la distribucioacuten GVE en 31 registros histoacutericos de eventos maacutexi-mos anuales Ingenieriacutea Hidraacuteulica en Meacutexico volumen XVI (nuacutemero 2) abrilndashjunio de 2001 77-92

Campos-Aranda DF Contraste de seis meacutetodos de ajuste de la distribucioacuten Log-Pearson tipo III en 31 registros histoacutericos de eventos maacuteximos anuales Ingenieriacutea Hidraacuteulica en Meacutexico vo-lumen XVII (nuacutemero 2) abril-junio de 2002a 77-97

Campos-Aranda DF Ajuste de la distribucioacuten Log-Pearson tipo III por medio de optimizacioacuten numeacuterica no restringida Inge-nieriacutea Hidraacuteulica en Meacutexico volumen XVII (nuacutemero 4) octubre-noviembre de 2002b 115-128

Campos-Aranda DF Introduccioacuten a los Meacutetodos Numeacutericos Soft-ware en Basic y aplicaciones en Hidrologiacutea Superficial capiacutetulo 9

Optimizacioacuten numeacuterica pp 172ndash211 San Luis Potosiacute SLP Libreriacutea Universitaria Potosina 2003 222 p

Greenwood JA Landwehr JM Matalas NC Wallis JR Proba-bility Weighted Moments Definition and Relation to Parame-ters of Several Distributions Expressible in Inverse Form Water Resources Research volumen 15 1979 1049-1054

Hosking JRM Wallis JR Regional Frequency Analysis An Ap-proach Based on LndashMoments Appendix LndashMoments for Some Specific Distributions pp 191-209 Cambridge Inglaterra Cambridge University Press 1997 224 p

Kuester JL Mize JH Optimization Techniques with Fortran RO-SENB Algorithm pp 320-330 Nueva York USA McGrawndashHill Book Co 1973

Maidment DR Hydrology en Handbook of Hydrology pp 11-115 editor Maidment DR Nueva York USA McGraw-Hill Inc 1993

Mansell MG Rural and Urban Hydrology capiacutetulo 8 The Analysis and Predictions of Flows pp 319-354 Londres Inglaterra Thomas Telford Publishing Ltd 2003 411 p

Natural Environment Research Council (NERC) Flood Studies Re-port volumen I Hydrological Studies Londres Inglaterra 1975 550 p

Ponce VM Engineering Hydrology Principles and Practices capiacutetu-lo 6 Frequency Analysis pp 205-232 Englewood Cliffs NJ USA Prentice Hall 1989 640 p

Shaw EM Beven KJ Chappel NA Lamb R Hydrology in Practi-ce capiacutetulo 13 Estimating Floods and Low Flows in the UK pp 322-350 4a ed Londres Inglaterra Spon Press 2011 543 p

Water Resources Council (WRC) Guidelines for Determining Flood Flow Frequency Bulletin 17A of the Hydrology Committee Washington DC USA 1977

Este artiacuteculo se cita

Citacioacuten Chicago

Campos-Aranda Daniel Francisco Contraste de la distribucioacuten logiacutestica generalizada en 31 registros histoacutericos de eventos maacutexi-mos anuales Ingenieriacutea Investigacioacuten y Tecnologiacutea XIV 01 (2013) 113-123

Citacioacuten ISO 690

Campos-Aranda DF Contraste de la distribucioacuten logiacutestica genera-lizada en 31 registros histoacutericos de eventos maacuteximos anuales Inge-nieriacutea Investigacioacuten y Tecnologiacutea volumen XIV (nuacutemero 1) enero-marzo 2013 113-123

123

Campos-Aranda DF


Semblanza del autor

Daniel Francisco Campos-Aranda Obtuvo el tiacutetulo de ingeniero civil en diciembre de 1972 en la entonces Escuela de Ingenieriacutea de la UASLP Durante el primer semestre de 1977 realizoacute en Madrid Espantildea un diplomado en hidrologiacutea ge-neral y aplicada Posteriormente durante 1980ndash1981 llevoacute a cabo estudios de maestriacutea en ingenieriacutea en la especialidad de hidraacuteulica en la Divisioacuten de Estu-dios de Posgrado de la Facultad de Ingenieriacutea de la UNAM En esa misma institucioacuten inicioacute (1984) y concluyoacute (1987) el doctorado en ingenieriacutea con espe-cialidad en aprovechamientos hidraacuteulicos Ha publicado artiacuteculos principal-mente en revistas mexicanas de excelencia 40 en Tecnologiacutea y Ciencias del Agua (antes Ingenieriacutea Hidraacuteulica en Meacutexico) 14 en Agrociencia y 11 en Ingenieriacutea In-vestigacioacuten y Tecnologiacutea Fue investigador nacional (nivel I) desde el 1ordm de julio de 1991 hasta el 31 de diciembre del 2007 Actualmente es profesor jubilado de la UASLP desde el 1deg de febrero del 2003 En noviembre de 1989 obtuvo la medalla Gabino Barreda de la UNAM y en 2008 le fue otorgado el Premio Nacional ldquoFrancisco Torres Hrdquo de la AMH a la praacutectica profesional de la hi-draacuteulica



Introduccioacuten

Las estimaciones fundamentales de los hidroacutelogos es-taacuten relacionadas con el escurrimiento en dos escalas de tiempo la mensual y la instantaacutenea En el primer caso se buscan los voluacutemenes escurridos disponibles para el disentildeo hidroloacutegico de embalses de aprovechamiento En el segundo caso se intenta obtener las crecientes que generan la cuenca estudiada asociadas eacutestas a diversas probabilidades de excedencia cuyo reciacuteproco es el pe-riodo de retorno o intervalo promedio de recurrencia en antildeos Las crecientes son baacutesicas en el disentildeo y la re-visioacuten hidroloacutegica de todo tipo de obras hidraacuteulicas de proteccioacuten como son presas diques rectificaciones y encauzamientos ademaacutes permiten el dimensionamien-to de las obras de cruce (alcantarillas y puentes)

La estimacioacuten de crecientes de disentildeo maacutes confiable es la que estaacute basada en los registros de gastos maacuteximos anuales existiendo actualmente dos enfoques de proce-samiento el local y el regional El tratamiento local de los datos disponibles se aplica donde el registro es am-plio (gt 50 antildeos) si es menor pero cuenta con maacutes de 25 antildeos los resultados de procesamiento local se deben ratificar mediante comparacioacuten con cuencas vecinas (WRC 1977) Cuando el registro tiene menos de 25 antildeos las estimaciones de crecientes deben estar basadas en el enfoque regional

La estimacioacuten probabiliacutestica de crecientes ha evolu-cionado desde sus inicios en 1930 y 1941 con los estu-dios de Hazen y Gumbel (Maidment 1993) hasta el uso de modelos probabiliacutesticos fiacutesicamente basados Una etapa importante acontecioacute a mediados de los antildeos se-senta cuando el Subcomiteacute de Hidrologiacutea del US Water

Resources Council contrastoacute seis distribuciones co-muacutenmente empleadas en esa eacutepoca y concluyoacute que el modelo LogndashPearson tipo III (LP3) era el maacutes conve-niente y lo recomendoacute para uso general en las agencias de gobierno (Ponce 1989) En un estudio similar en In-glaterra se determinoacute que las distribuciones de tres pa-raacutemetros de ajuste (General de Valores Extremos Pearson tipo III y LP3) conduciacutean a mejores ajustes que los modelos de dos paraacutemetros (NERC 1975)

La propuesta de uso generalizado de la distribu-cioacuten general de valores extremos (GVE) incluye como caso especial a la distribucioacuten Gumbel la cual ya era conocida y utilizada ademaacutes define a los modelos LogndashGumbel y Weibull que son curvas en el papel de probabilidad GumbelndashPowell el primero con concavi-dad hacia arriba y el segundo hacia abajo La nueva versioacuten del Flood Studies Report (NERC 1975) se lla-ma Flood Estimation Handbook y recomienda para los anaacutelisis de frecuencia de crecientes a la distribu-cioacuten Logiacutestica Generalizada ajustada mediante el meacute-todo de los momentos L que es maacutes confiable y consistente en registros sesgados (Mansell 2003 Shaw et al 2011)

Ya se han realizado contrastes de las distribuciones GVE y LP3 (Campos 2001 y 2002a b) en 31 registros histoacutericos de eventos maacuteximos anuales con amplitudes variando de 16 a 113 antildeos Por tanto el objetivo de este estudio fue aplicar la distribucioacuten Logiacutestica Generalizada (LOG) a tales registros histoacutericos mediante dos meacuteto-dos de ajuste el de momentos L y el de optimizacioacuten numeacuterica y confrontar sus resultados con los oacuteptimos obtenidos para los modelos citados finalmente formu-lar conclusiones relativas a esta uacuteltima distribucioacuten

Abstract

The Generalized Logistic distribution is the most recent whose application has been established as precept Thus comparing it with the other two that preceded it the LogndashPearson type III in USA and the General Extreme Values in England is of high importance In this work the relevance of probabilistic analysis and the above men-tioned distributions in design flood estimation is pointed out For the most recent a fitting method of Lndashmoments is described in detail for the estimation of its three pa-rameters also a fitting by minimizing the quadratic mean error through numerical optimization is proposed The results of the application of this distribution to 31 re-cords using both cited methods are compared with the optimal ones obtained using the General Extreme Values and LogndashPearson type III models It is concluded that the Generalized Logistic distribution is a good choice for records with high Lndashkurto-sis quotients and its predictions in general are more extreme in high return periods when applied to records with outliers

Keywords

bull GLO distributionbull Lndashmomentsbull Lndashmoment ratiosbull Lndashmoment ratios diagrambull numerical optimization

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Campos-Aranda DF


Desarrollo



λ1 = β0 (1)

λ2 = 2∙β1 ndash β0 (2)

λ3 = 6∙β2 ndash 6∙β1 + β0 (3)



τ 2= λ2λ1 (5)

τ 3 = λ3λ2 (6)

τ 4 = λ4λ2 (7)


sum=

=n

jjx

nb

10

1 (8)

(9)

(10)

(11)





( )( ) j

n

j

xnj

nb sum

= minusminus

=2

1 111

( ) ( )( ) ( )sum


=n

jjx

nnjj

nb

32 21

211

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sum


=n

jjx

nnnjjj

nb

43 321

3211



















117

Campos-Aranda DF




f (x) = (12)

(13)




cuando k ne 0 (16)

cuando k = 0 (17)


k = minus t3 (18)

(19)

(20)










(1 )1

2( )(1 )

k y

y

eF xe

minus minusminus

minus

α sdot=

+

1( )(1 )yF x

eminus=

+

(1 )( ) 1k

Fx Fk F


(1 )( ) Fx F logF


( )2 sen πα

πl k

ksdot sdot

=sdot

11

sen( )l

k k π













Conclusiones


Anexo



(m3s)(etapas)Noeval



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Campos-Aranda DF





(m3s)(etapas)Noeval






(m3s)(etapas)Noeval


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Campos-Aranda DF




(m3s)(etapas)Noeval




Simbologiacutea


Referencias




















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Campos-Aranda DF


Semblanza del autor


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Campos-Aranda DF


Desarrollo



λ1 = β0 (1)

λ2 = 2∙β1 ndash β0 (2)

λ3 = 6∙β2 ndash 6∙β1 + β0 (3)



τ 2= λ2λ1 (5)

τ 3 = λ3λ2 (6)

τ 4 = λ4λ2 (7)


sum=

=n

jjx

nb

10

1 (8)

(9)

(10)

(11)





( )( ) j

n

j

xnj

nb sum

= minusminus

=2

1 111

( ) ( )( ) ( )sum


=n

jjx

nnjj

nb

32 21

211

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )sum


=n

jjx

nnnjjj

nb

43 321

3211



















117

Campos-Aranda DF




f (x) = (12)

(13)




cuando k ne 0 (16)

cuando k = 0 (17)


k = minus t3 (18)

(19)

(20)










(1 )1

2( )(1 )

k y

y

eF xe

minus minusminus

minus

α sdot=

+

1( )(1 )yF x

eminus=

+

(1 )( ) 1k

Fx Fk F


(1 )( ) Fx F logF


( )2 sen πα

πl k

ksdot sdot

=sdot

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sen( )l

k k π













Conclusiones


Anexo



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Referencias




















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Semblanza del autor




















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f (x) = (12)

(13)




cuando k ne 0 (16)

cuando k = 0 (17)


k = minus t3 (18)

(19)

(20)










(1 )1

2( )(1 )

k y

y

eF xe

minus minusminus

minus

α sdot=

+

1( )(1 )yF x

eminus=

+

(1 )( ) 1k

Fx Fk F


(1 )( ) Fx F logF


( )2 sen πα

πl k

ksdot sdot

=sdot

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sen( )l

k k π













Conclusiones


Anexo



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Campos-Aranda DF




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Simbologiacutea


Referencias




















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Conclusiones


Anexo



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Referencias




















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Simbologiacutea


Referencias




















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Semblanza del autor






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Campos-Aranda DF




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Simbologiacutea


Referencias




















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Semblanza del autor


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Simbologiacutea


Referencias




















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Semblanza del autor




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Referencias




















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Semblanza del autor


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Contraste de la distribución Logística Generalizada en … · 31 114 Ingeniería Ines tigación y...

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