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Jornadas de

Olimpiadas Matematicas 2013

Juan Neyra Faustino

Otras Tecnicas de Conteo

1. Principio de Inclusion-Exclusion

Este principio es muy util para contar elementos de la union de varios conjuntos los cualesno se excluyen mutuamente. Por ejemplo, si queremos contar los elementos del conjunto A∪B,podemos proceder contando los elementos de A, los elementos de B, y sumar estos resultados,pero cometerıamos un error, pues los elementos comunes se estarıan contando doble. Luego, deeste analisis, podemos deducir que:

|A ∪B| = |A|+ |B| − |A ∩B|.

Analogamente, para tres conjuntos A, B y C, tenemos que:

|A ∪B ∪ C| = |A|+ |B|+ |C| − |A ∩B| − |B ∩ C| − |C ∩A|+ |A ∩B ∩ C|.

Para n conjuntos A1, A2, . . . , An, se tiene que:

∣

∣

∣

∣

∣

n⋃

i=1

Ai

∣

∣

∣

∣

∣

=∑

∅6=I⊂{1,...,n}

(−1)|I|+1

∣

∣

∣

∣

∣

⋂

i∈I

Ai

∣

∣

∣

∣

∣

.

Problemas

1 Dado un tablero de n × n. ¿Cuantos cuadrados pueden marcarse en el tablero? De estoscuadrados, ¿cuantos apoyan alguno de sus lados en el borde inferior o en el borde izquierdodel tablero?

2 Determine el numero de primos menores o iguales a 111.

3 Cinco carros entraron a una rotonda al mismo tiempo, cada uno vino de una direcciondiferente, como se muestra en la figura. Cada carro recorre menos de una vez la rotonday no hay dos carros que dejen la rotonda en la misma direccion. ¿De cuantas formasdiferentes pueden dejar la rotonda los cinco carros?

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Editorial Binaria pagina 1

4 Demostrar que el numero de permutaciones de 1, 2, . . . , n que no conservan ningun numeroen su posicion natural es

Dn =n∑

k=0

(−1)k(

n

k

)

· (n− k)!.

Observacion: a cada de estas permutaciones se le denominara desarreglo.

5 Cada casilla de un tablero de 3×3 se pinta de azul o de rojo. ¿De cuantas formas se puedepintar este tablero de tal manera que no tenga un subtablero de 2 × 2 con sus 4 casillasrojas?

6 Siete libros diferentes, tres de Historia, dos de Matematica y dos de Quımica, son colo-cados en el estante de una biblioteca. ¿En cuantas de las posibles formas de ubicarlos noapareceran todos juntos los libros de una misma materia?

7 ¿De cuantas formas podemos seleccionar un subconjunto de 3 elementos de {1, 2, . . . , 100},si requerimos que entre los 3 elegidos no haya dos numeros consecutivos?

8 Consideremos un tablero de 8× 10. ¿Cuantos rectangulos pueden marcarse en el, con porlo menos uno de sus lados apoyado en algun borde?

9 Juan va todos los viernes al cine, y ha programado que pelıculas vera en los proximos 4viernes, sin fijar un determinado orden. Pedro, que tiene identica costumbre que Juan, hahecho lo propio. Si ambos eligieron las mismas pelıculas, ¿de cuantas formas puede ocurrirque por lo menos algun dıa coincidan en la pelıcula elegida?

10 ¿De cuantas maneras puede dividirse un conjunto de 8 elementos como union de 3 sub-conjuntos no vacıos, disjuntos dos a dos?

2. Biyecciones

Introduciremos una tecnica fundamental para resolver problemas combinatorios.Para contar los elementos de cierto conjunto, los reemplazaremos con aquellos de otro con-

junto que tiene el mismo numero de elementos y cuyos elementos son mas faciles de contar.

Teorema 1 Sean A y B conjuntos finitos, y sea f una funcion inyectiva desde A hacia B.

Entonces existen al menos tantos elementos en B como en A. Ademas, si f es biyectiva, entonces

A y B tienen el mismo numero de elementos.

� Prueba. Sea A = {a1, a2, . . . , an} para algun entero positivo n. Puesto que f es inyectiva,entonces f(a1), f(a2), . . . , f(an) son todos distintos. Por lo tanto, B tiene al menos n elementos.Si f tambien es sobreyectiva, entonces cada elemento en B es la imagen de algun elemento en A.Por lo tanto, B = {f(a1), f(a2), . . . , f(an)}, y esto implica que A y B tienen el mismo numerode elementos. 2

Teorema 2 Sean m y n enteros positivos.

1. Existen(

n−1

m−1

)

m-uplas ordenadas x1, x2, . . . , xm de enteros positivos satisfaciendo la ecua-

cion x1 + x2 + · · ·+ xm = n.

2. Existen(

n+m−1

m−1

)

m-uplas ordenadas x1, x2, . . . , xm de enteros no negativos satisfaciendo

la ecuacion x1 + x2 + · · ·+ xm = n.



Problemas

1 Cada uno de los vertices de un nonagono regular ha sido pintado de rojo o de azul. Probarque existen dos triangulos monocromaticos; esto es, triangulos cuyos vertices son todos delmismo color.

2 Sea n un entero positivo. ¿De cuantas maneras podemos escribir una suma de (al menosdos) enteros positivos que sumen n? Considere que el mismo conjunto de enteros escritosen diferente orden como diferentes. (Por ejemplo, existen 3 maneras de expresar 3 como3 = 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 1 + 2.)

3 Sea n un entero positivo con n ≥ 2, y definimos la secuencia S = (1, 2, . . . , n). Unasubsecuencia de S es llamada aritmetica si tiene al menos dos terminos y es una progresionaritmetica. Una subsecuencia aritmetica es llamada maxima si esta progresion no puede seralargada por la inclusion de otro elemento de S. Determinar el numero de subsecuenciasaritmeticas maximas.

4 Cinco dados regulares de diferentes colores son lanzados. ¿De cuantas formas sucede quela suma de los cinco numeros mostrados es igual a 14?

5 Sea p(n) el numero de particiones de n, y sea p(n,m) el numero de particiones de n delongitud m. Probar que p(n) = p(2n, n).

6 Sean m,k enteros positivos. ¿Cuantas k-uplas ordenadas de enteros (n1, n2, . . . , nk) cum-plen que 0 ≤ n1 ≤ n2 · · · ≤ nk ≤ m?

7 ¿De cuantas formas podemos cubrir un tablero 2× n con n fichas de domino, con exacta-mente m pares de fichas de domino horizontales?

8 Una grilla triangular es obtenida dividiendo un triangulo equilatero de lado de longitud n

en n2 triangulos equilateros de lado de longitud 1 (ver Figura). Determine el numero deparalelogramos que cumplen que su borde esta conformado por segmentos de la grilla.

n = 6

9 Diez puntos son seleccionados en el eje positivo X, X+, y cinco puntos son seleccionadosen el eje positivo Y , Y +. Cincuenta segmentos que conectan los diez puntos en X+ alos cinco puntos en Y + son dibujados. ¿Cual es el maximo numero posible de puntos deinterseccion de esos cincuenta segmentos en el interior del primer cuadrante?

10 Sea n un entero positivo satisfaciendo la siguiente propiedad: Si n dominos son colocadosen un tablero de 6 × 6 con cada domino cubriendo exactamente dos casillas del tablero,entonces podemos siempre colocar un domino mas en el tablero sin mover ninguno de losotros dominos. Determine el maximo valor de n.



11 Hay n autos, numerados de 1 a n, y una hilera de n lugares para estacionar, numeradosde 1 a n. Cada auto i tiene su lugar preferido ai; cuando le toca estacionarse, se dirige adicho lugar. Si esta libre se estaciona, y si esta ocupado avanza hasta el siguiente lugarlibre, y allı se estaciona. Si no encuentra lugar de este modo, se va y no regresa mas.Primero se intenta estacionar el auto 1, luego el auto 2 y ası sucesivamente hasta el auton. Determina cuantas sucesiones de lugares preferidos a1, a2, . . . , an hay tales que todoslogran estacionarse.

Aclaracion: autos distintos pueden tener el mismo lugar preferido.

3. Recurrencia

Ahora veremos otra tecnica fundamental para resolver problemas combinatorios.Supongamos que damos un conjunto de objetos, Sn, cuya descripcion envuelve un parametro

n. Para hallar el numero de elementos de Sn, podemos ver este numero como una funcion den; esto es, escribimos |Sn| = f(n). Podrıamos ser capaces de hallar una formula explıcita paraf(n), en terminos de n, a traves de las relaciones entre f(n) y f(n − 1), . . . , f(1), f(0). Talesrelaciones son llamadas relaciones recursivas (o recursiones).

Problemas

1 ¿De cuantas formas se puede cubrir un tablero de 2× n con n dominos?

2 Timoteo quiere llenar un tablero de 6×6 con 18 dominos. Hasta el momento ya ha colocado3 dominos, como muestra la figura. ¿De cuantas formas puede llenar el resto del tablerocon 15 dominos?

Aclaracion: cada domino cubre exactamente dos cuadraditos del tablero. Ningun do-mino puede salirse del tablero.

3 Usando los dıgitos 0, 1, 2, 3 y 4, ¿cuantos secuencias de diez dıgitos pueden escribirse talque la diferencia entre cualesquiera dos dıgitos adyacentes sea 1?

4 Sea n > 0 un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos y de n pesas cuyos pesosson 20, 21, . . . , 2n−1. Debemos colocar cada una de las n pesas en la balanza, una tras otra,de manera tal que el platillo de la derecha nunca sea mas pesado que el platillo de laizquierda. En cada paso, elegimos una de las pesas que no ha sido colocada en la balanza,y la colocamos ya sea en el platillo de la izquierda o en el platillo de la derecha, hasta quetodas las pesas hayan sido colocadas. Determinar el numero de formas en las que esto sepuede hacer.



5 Sea An el conjunto de codigos de longitud n, formados por las letras a, b y c, ninguno delos cuales contiene dos letras a consecutivas ni dos letras b consecutivas. Sea Bn el conjuntode codigos de longitud n, formados por las letras a, b y c, ninguno de los cuales contienetres letras consecutivas que sean distintas (al menos dos de las tres letras son las mismas).Probar que |Bn+1| = 3|An| para todo n ≥ 1.

6 Sea n un entero positivo. Hallar el numero de enteros positivos cuya representacion enbase n consiste de dıgitos distintos con la propiedad de que excepto para el dıgito mas ala izquierda, cada dıgito difiere en ±1 de algun dıgito mas a la izquierda.

7 Sea P1P2 . . . P24 un polıgono regular de 24 lados inscrito en un cırculo ω con longitudde circunferencia 24. ¿De cuantas formas podemos elegir un conjunto de ocho verticesdistintos {Pi1 , Pi2 , . . . , Pi8} tal que ninguno de los arcos PijPik tenga longitud 3 u 8?

8 Probar que existen mas de 8n numeros de n dıgitos que no contienen una secuencia dedıgitos (de cualquier longitud) que aparezca dos veces.

Juan Neyra Faustino

[email protected]

Lima, agosto de 2013.



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